8.3乘法公式1---完全平方公式
完全平方公式
＝(2016－2015)2＝1.
方法总结
本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2 －4xy.
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4a-4
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( D )
A．(a－b)2
B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_3_6_a_2_+_6_0_a_b_+_2_5_b_2_； (2) (4x-3y)2=__1_6_x_2_-_2_4_x_y+__9_y_2 _ ； (3) (2m-1)2 =___4_m_2_-4_m__+_1_____； (4)(-2m-1)2 =__4_m_2_+_4_m__+_1_____.
b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可． 答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。
8.3乘法公式2平方差公式
当一个 数是一“分数”或是 “数与字母的乘积” 时, 要用括号把这个数整 再平方; 个括起来， 最后的结果 又要去掉括号。
注意
拓 展 练 习
运用平方差公式计算： (4a1)(4a1)． (用两种方法) 利用加法交换律， 变成公式标准形式。 法一
本题是公式的变式训练，以 加深对公式本质特征的理 解．
a-b b
b
图（1）
图（1）的面积为：
图（2）的面积为： 即：
a b (a b)(a b)
2 2
(a b)(a b) a 2 b2
初识平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数的和与差相乘； 即数码相同且符号也相同的就是公式的a; 数码相同但符号相反的就是公式中的b (2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的第一项的平方 减去第二项的平方. (3) 公式中的 a 和 b 可以代表数， 也可以是代数式．
观察 & 发现
观察以上算 式及其运算结果，你发现了什么规律？ 用式子表示，即： 两数的和与这两数的差的积,
(a+b)(a−b)= a2−b2.
等于 这两数的平方的差.
平方差公式的几何意义
1. 如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的 小正方形，请表示出图中阴影部分面积： a a
a-b a-b
图（2）
两个相同字母的二项式的乘积 .
如果m=n，且都用 x 表示， a=b，且都用 y 表示 那么上式就成为: (x+y)(x+y)= x2+2xy+y2 完全平方公式 如果m=n，且都用 x 表示， a=-b，且用 y 和-y表 示那么上式就成为: (x+y)(x-y)= 这就是本节课要学习的内容．
初中数学沪科版七年级下册-8.3-完全平方公式与平方差公式-同步分层作业(含解析)
8.3 完全平方公式与平方差公式简记为：“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间”两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.公式特征：1. 积为二次三项式；2. 积中的两项为两数的平方；3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；4. 公式中的字母 a ，b 可以表示数、单项式和多项式.注意：1. 项数、符号、字母及其指数2. 不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号，变形成符合公式的形式才行。
3. 弄清完全平方公式和平方差公式的区别（公式结构特点及结果）常用结论：a 2 +b 2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab ，4ab = (a + b)2 - (a - b)2.平方差公式：(a + b)(a − b) = a 2 − b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用基础过关练一、单选题1．已知非负实数,,a b c 满足24,0a b a b c +=-+<，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()2222a b a ab b +=++B C ．()()224a b a b ab -=+-D 二、填空题11．如图，用四个长为a ，宽为b 的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多6时，大正方形的面积+=12．已知x y13．化简：(x-14．定义：若三个正整数培优提升练三、解答题19．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题（1）已知7a b +=，12ab =，求22a b +的值；（2）已知()()202420222023x x --=，求()()2220242022x x -+-的值．拓展运用：如图3，点C 是线段AB 上一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形积分别是1S 和2S ．若AB m =，12S S S =+，则直接写出Rt ACF 的面积．（用(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含方法一： ；方法二： ；(2)【得出结论】22(2)()23a b a b a ab b ++=++．(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为______；(2)已知等式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，请你画出一个相应的几何图形加以解释．故选：C ．8．C【分析】根据积的乘方、合并同类项、平方差公式、单项式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：A ．()326-=-b b ，故选项错误，不符合题意；B ．3332a a a +=，故选项错误，不符合题意；C ．()()22224x y x y x y +-=-，故选项正确，符合题意；D ．62422÷=a a a ，故选项错误，不符合题意．故选：C ．9．D【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】解：216x mx ++ 是完全平方式，8m ∴=±．故选：D ．10．D【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为22a b -，右边一幅图阴影部分面积为()()a b a b +-，∵两幅图阴影部分面积相等，∴()()22a b a b a b -=+-，故选：D ．11．2【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出()22(4)a b b b a a +--=是解题关键．分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解．【详解】解：每个长方形石板的面积为ab ，中间小正方形的边长为a b -，面积为2()a b -；大正方形的边长为a b +，面积为2()a b +，所以()22(4)a b b b a a +--=；当()()6460a b a b ab +--=⎧⎨=⎩时，解得53a b =⎧⎨=⎩，∴2a b -=，故答案为：2．12．22x y m n x y m n +=+⎧∴⎨-=-⎩或x y m n x y n m+=+⎧⎨-=-⎩解得x m y n =⎧⎨=⎩或x n y m=⎧⎨=⎩．故都有2006200620062006x y m n +=+．21．（1）2x xy +，6；（2）244 24m m -，．【分析】本题考查了整式乘法混合运算，求代数式的值．（1）分别用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，最后代值求解即可；（2）用平方差公式展开再合并同类项，由已知得26m m -=，然后整体代入求值即可．【详解】解：（1）2()()()()x y x x y x y x y +-++-+222222x xy y x xy x y =++--+-2x xy =+，当2x =-，1y =-时，原式2(2)(2)(1)6=-+-⨯-=；（2）2(2)(2)(4)m n m n n m +-+-22244m n n m=-+-244m m =-，由260m m --=，得26m m -=，原式24()4624m m =-=⨯=．22．(1)()24m n mn +-；()2m n -(2)()()224m n mn m n +-=-(3)6a b -=或6a b -=-．【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即()24m n mn +-，图②中的阴影部分正方形的边长等于m n -，即面积为()2m n -；（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；（3）由（2）中的等量关系即可求解．【详解】（1）解：方法一：()24m n mn +-；方法二：()2m n -，故答案为：()24m n mn +-；()2m n -；（2）解：代数式()2m n +，()2m n -，mn 之间的等量关系为：。
乘法公式(完全平方公式)
04 完全平方公式应用举例
一元二次方程求解
完全平方公式可以帮助我们将一 元二次方程化为完全平方的形式，
从而更容易地求解。
例如，对于方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$，我们可以将其化为
$(x+1)^2 - 4 = 0$，进而求解 得到 $x = -3$ 或 $x = 1$。
通过完全平方公式，我们还可以 判断一元二次方程是否有实数解，
03
利用完全平方公式解二元一次方程组，如 $begin{cases} x + y = 5 xy = 6 end{cases}$ 可化为 $(x - 3)(y - 2) = 0$，解得 $begin{cases} x = 3 y = 2 end{cases}$ 或 $begin{cases} x = 2 y = 3 end{cases}$。
立方和公式
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。
立方差公式
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$。
高阶乘法公式的应用
在处理涉及高次幂的代数问题时，高阶乘法公式能够提供简化的计算方法。同时，在解决一些复杂的几 何问题时，高阶乘法公式也能发挥重要作用。
完全平方公式的应用
在解决涉及一个二项式与自身相乘的问题时，可以直接套用 完全平方公式进行计算，如求解平方差、计算方差等。同时 ，在解决一些最优化问题时，完全平方公式也可以用于构造 目标函数或约束条件。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
1 2
完全平方公式的基本形式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
8.3乘法公式1完全平方公式
(-a-b)2 =(a+b)2
(a-b)2 =(b-a)2
作业：
(2) 3a 2b
2
(3) 2 x y
(4) (-
2
x – 2y2)2
练习2 运用完全平方公式计算： (1)(-2x+y)2
(2) 4a b
2
(3) 3x 2 y
(4) (-
2
x – 3y2)2
几点注意：
1、项数：积的项数为三； 2、符号：特别是(a-b)2= a2 - 2ab+b2；
3、字母：不要漏写；
4、字母指数：当公式中的a、b所代表的
单项式字母指数不是1时，乘方时要记
住字母指数需乘2。
例2 运用完全平方公式计算： (1) (4a2 – b2)2 = ( 4a2)2 – 2( 4a2 )( b2 )+( b2 )2 =16a4 – 8a2b2+b4 (2) (y+ )2 =( y )2+2( y )( )+( )2 = y2 +y+ 解题过程分3步：记清公式、代准数式、 准确计算。
(x +y)2 =x2+2xy +y2
例3 计算：
(1) (
a2 + b3)2
a 2) 2
解：原式= ( b3 =
b6 - 2 a2 b3+ a4
(a-b)2 =(b-a)2
( a2 + b3)2 = ( a2 b3)2
(2)(- x2y -
)2
(-a-b)2 =(a+b)2
解：原式= ( x2y + = x4y2 + )2 x2y +
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
乘法公式完全平方公式人教版八年级数学上册
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
新课学习a2+2ab+b2a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式a2+2ab+b2a2-2ab+b2
x2+2×x×2+22
x2+4x+4
a2-2×a×4+42
a2-8a+16
x2+2×x×2+22x2+4x+4a2-2×a×4+42
x2+2×x×1+12
x2+2x+1
a2-2×a×5+52
a2-10a+25
x2+2×x×1+12x2+2x+1a2-2×a×5+52a
4x2-4x+1
4x2+4xy+y2
4x2-4x+1 4x2+4xy+y2 乘法公式——完全平方
4x2-12xy+9y2
4x2+20xy+25y2
4x2-12xy+9y24x2+20xy+25y2乘法公式—
16x2+8xy+y2
16x2-24xy+9y2
16x2+8xy+y216x2-24xy+9y2 乘法公式—
4a2+12ab+9b2
4a2+12ab+9b2 乘法公式——完全平方公式人教版八年
x2-2x+1
完全平方公式口诀表
完全平方公式口诀表
中国古代数学家华罗庚曾经提出完全平方公式，也叫华罗庚定理，它给了我们解决复杂问题的有效方法。
这个定理可以用来求解自然数的完全平方。
它的公式如下：完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²这个公式有一个口诀，可以帮助我们更好地记忆它：“加减同根，平方等于毕；加减
不同根，两边和等于积。
”完全平方公式的口诀表可以帮助我
们更好地理解它的用法：
1、当两个数字的平方相加时，可以直接用完全平方公式：
(a + b)² = a² + 2ab + b²
2、当两个数字的平方相减时，也可以直接用完全平方公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²
3、两个数字的平方相乘时，可以先用完全平方公式把它
们分解成两部分，然后再用乘法解决：(a + b) (a - b) = a² - b²
4、两个数字的平方相除时，可以先用完全平方公式把它
们分解成两部分，然后再用除法解决：(a² - b²) / (a - b) = a + b
完全平方公式口诀表给了我们一个有用的工具，可以帮助我们解决许多复杂的数学问题，比如二次方程的求解。
它的口诀表可以帮助我们更容易地记忆它的用法，从而更好地理解它的应用。
完全平方公式口诀表是一种有用的数学工具，它可以帮助我们更容易地理解和解决复杂的数学问题。
只要记住它的口诀表，就可以轻松地掌握它的用法，从而更好地理解和应用它。
乘法公式
a b
2
a 2ab b
2 2 2
2
(2)平方差公式：
a b a b a b
（3）立方和公式：
a b a a b a
2
ab b ab b
2
2
a b
3 3
3
(4)立方差公式：
2 2
3 2 2
3
例1：将下列式子写成完全平方式
1.
16 8m m
2
2.Βιβλιοθήκη 1 2 1 1 2 m mn n 25 5 4
例2：将下列完全平方式补充完整：
1. 16m
2
2
8 2m 2 2. n n
1 4
例3：
2
1 若x mx k是一个完全平方式， 2 则k和m的关系是：
练习: (1)若3x xy 2 y 0( x 0, y 0),
2 2
x y x y 求 的值; y x xy
2 2
练习: (2)学海导航P 11 8
6.分式方程的解法: ①去分母(方程两边同时乘以最简公分母, 将分式方程化为整式方程); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值; ③验根(求出未知数的值后必须验根, 因为在把分式方程化为整式方程的过程 中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增 根).
1．x 7 x 15 (2 x 3)( x 5) 2
2
(2 2.18 x 19 x 5 x 1)(9 x 5)
2
3.6 x 13 x 6 (3x 2)(2 x 3)
2
4.6 11a 35a
2
完全平方公式与平方差公式-经典教学教辅文档
第8章整式乘法与因式分解8.3 完全平方公式与平方差公式（续表）_________________________________________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号_____________________________________________错题题号_____________________________________________第1课时完全平方公式学案1、完全平方公式有两个：（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一同，为（a±b）2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可抽象的叙说为：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为（a+b）2，也能够表示为S＝SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2.2、完全平方公式的特点是：左侧是两个相反的二项式相乘，右侧是三项式，是左侧二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也能够表示单项式或多项式等代数式.只需符合这一公式的结构特点，就可以运用这一公式.3、在运用完全平方公式时应留意成绩：（1）千万不要发生类似（a±b）2=a 2±b 2的错误；（2）不要与公式（ab ）2=a 2b 2混淆；（3）切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；（4）计算时，应先观察所给标题的特点能否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +-【解题思绪】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+-()252y x -=再用公式计算（反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-）；方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定能否具备运用公式的条件，关键是正确确定“两数”即“a ”和“b ”.对应练习：()2b a --知识点2：改变公式中的项数 例2、计算：()2c b a ++【解题思绪】完全平方公式的左侧是两个相反的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用全体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++=()()bc ac ab c b a c c b a b a 222222222+++++=++++.【方法归纳】运用全体思想可以使计算更为简便，快捷. 对应练习：（2a －b ＋4）2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： （1）()()y x y x 22++； （2）()()b a b a --+. 【解题思绪】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特点，但仔细观察易发现，只需将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】（1）()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；（2）()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件. 对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算 例4：计算：9992【解题思绪】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001. 【方法归纳】有些数学计算可拆成两数（式）平方差、完全平方公式的方式，正用乘法公式可使运算简捷、快速. 对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思绪】本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右侧，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•若把留意力和着眼点放在成绩的全体上，多方位考虑、联想、探求，进行全体考虑、全体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使成绩迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a 知识点6：公式的变形例6、已知实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求以下各式的值：（1）22b a +；（2）()2b a -【解题思绪】此例是典型的整式求值成绩，若按常规思想把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探求易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变方式很容易找到解决成绩的途径.【解】（1）22b a +=()822=-+ab b a ； （2）()()ab b a b a 422-+=-=6.【方法归纳】()()ab b a b a 422-+=-()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟习完全平方公式的变方式，是相关全体代换求知值的关键. 对应练习：已知：x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＝5，求xy 的值. 知识点7：乘法公式的综合运用 例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思绪】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相反，另外的项互为相反数。
8.3完全平方公式与平方差公式
（1）(a－b)2与(b－a)2有什么关系？
(a b)2 a2 2a(b) (b)2 a2 2ab b2 (b a)2 b2 2b(a) (a)2 a2 2ab b2
（2）(a+b)2与(－a－b)2有什么关系？
你能求出：大正方形边长 （a+b),小正方 形边长（a-b）的面积吗？
（a+b)2
(a-b)2
a
b ab
a
b ab
用多项式乘以多项式法则计算出（a+b)2 和（a-b)2的结果是多少？
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2 =a2 - 2ab+b2
把一个边长为（a+b）的正方形按图分割成4块，这个图说明了什么？你能回答出来吗？ （a+b）
例3.已知 a2+b2=25且ab=12, 求：a+b的值 解： （a+b）2=a2+2ab+b2
=25+2×12 =49 (a+b)2=49
a b 7
1.利用乘法公式计算： (1) (3x+1)2 (2) (a-3b)2
(3) (2x+3y)2 (4) (-2x+3y)2 2.运公式简便运算 （1）992 （2）1022
3.化简求值：(2x+1)(x-2)-(x-1)2+5.其中x=-5. 4.已知a(a-3)-(a2-3b)=9,求(a2+b2)/2-ab的值. 5.已知 a+b=10且ab=21, 求下列各式的值 (1) a2+b2 (2) (a-b)2
完全平方公式 应用完全平方公式
8.3 完全平方公式与平方差公式
8.3 完全平方公式与平方差公式知识点一 完全平方公式 用字母表示公式2222222)(2)(b ab a b a b ab a b a +-=-++=+， 语言叙述两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。
图中表示的等式为2222)(b ab a b a ++=+，其中2)(b a +表示边长为)(b a +的大正方形的面积，而22b a 和分别表示边长为a ，b 的小正方形的面积，2ab 表示两个一样的长方形的面积的和。
图中表示的等式为2222)(2)(b a b ab a b a -+-=-，其中表示边长为)(b a -的小正方形的面积，而2a 表示边长为a 的大正方形的面积，2b 表示边长为b 的小正方形的面积，2ab 表示两个完全一样的长方形的面积的和。
例1 计算（1）2)2(b a + （2）2)2(y x +- （3）2)3(n m --例2 计算：2)(c b a ++例3 计算（1）28.99 （2）2502知识点二 平方差公式 用字母表示公式22))((b a b a b a -=-+ 语言叙述 两数的和与它们的差的积，等于这两数的平方差2. 平方差公式的几何意义如图，若把小长方形IV 旋转到小长方形V 的位置，则此时阴影部分的面积可以看作是)()(b a b a S S S S S S V III I IV III I -•+=++=++。
阴影部分的面积又可以看作是大正方形的面积减去小正方形II 的面积，即22b a -，从而验证了平方差公式22))((b a b a b a -=+-。
3. 平方差公式22))((b a b a b a -=-+的七种变化形式（1）位置变化22))((b a a b a b -=+-+（2）符号变化2222)())(())((a b b a b a b a b a b a -=--=-+-=---（3）系数变化22)3()21()321)(321()35.0)(321(b a b a b a b a b a -=-+=-+（4）指数变化22222222)()())((b a b a b a -=-+（5）增项变化22)(])][()[())((c b a c b a c b a c b a c b a --=+---=+---22)()]()][([))((c b a c b a c b a c b a c b a --=---+=+--+（6）增因式变化2222222)())(())()()(())()()((b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a -=--=-+-+=+----+（7）连用公式变化884422))()()((b a b a b a b a b a -=+++-例4 计算（1）)23)(32(b a a b -+ （2）)212)(212(22--+-x x （3）)32)(32(b a b a ---例5 利用乘法公式计算502498⨯典型例题剖析题型一 乘法公式的综合应用例1 计算))((z y x z y x ++-+ （2）2)2(c b a ++ （3）)2)(4)(2(2++-m m m例2 （1）化简求值：2)()3)(3(y x y x x y -+-+，其中32=-=y x ，（1）先化简，再求值：23)5)(1()2)(2(=+-+-+x x x x x ，其中题型二 乘法公式的实际应用例3 某工厂现有一批正方形硬纸片，其边长为a （a>8），现将其每个角截去一个边长为4的正方形做成无盖的盒子，试计算它的容积（硬纸片厚度忽略不计）题型三 运用乘法公式巧计算例4 小明在计算2201920192019201720192018222-+时，找不到计算器，去向小华借，小华看了题后根本不需要计算器，并且很快说出了答案，你知道小华是怎么做的吗？例5 计算=+--+++--++--222222222222016201520142013 (87654321)题型四 逆用乘法公式解题例6 求)1011)(911(......)411)(311)(211(22222--••---的值题型五 利用完全平方公式配方求代数式的值例7 已知65-==+ab b a ，，求下列各式的值（1）22b a + （2）22b ab a +-例8 已知的值，求y x y x y x 20134622+=++-+题型六 关于乘法公式的规律题例9 观察下列图形的构规律，依照此规律，第10个图形中共有 个“●”。
第8章完全平方公式与平方差公式(第3课时乘法公式的应用)教学课件--沪科版初中数学七年级(下)
(2)(a－b－c)2.
解：(1)原式＝[(x＋1)＋(y－z)][(x＋1)－(y－z)]
＝(x＋1)2－(y－z)2
＝x2＋2x＋1－y2＋2yz－z2.
(2)原式＝2＋b2＋c2 －2ab＋2bc－2ac.
随堂训练
3.若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.
解：∵a+b=5，ab=-6，
∴a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
4.已知x+y=8，x-y=4，求xy.
解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①.
都不变符号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改
变符号（简记为“负变正不变”）.
知识讲授
例1 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
解：
(1) (x+2y-3)(x-2y+3)
=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
=
x2-(2y-3)2
(2) (a+b+c)2.
（2）(a+b+c)2
知识讲授
如何用乘法公式求 + + ？
去括号法则：
a+(b+c) = a+b+c;
先变形
a- (b+c) = a - b – c.
反过来，就得到添括号法则：
a + b + c = a + ( b + c) ;
乘法公式：平方差与完全平方
乘法公式一、细说乘法公式1、平方差公式应用的条件：两个多项式相乘，一个多项式可以看作两数的和，另一个多项式正好是这两数的差，或两多项式中，一项相同，另一项互为相反数结果写成：（相同项）2-（相反项）2 2、完全平方公式：结果可看作对这两数分别平方，再加上它们乘积的2即写成：（a-b ）2=a 2+b 2-2ab 试写出：（a-b-c ）2=3、完全平方公式相关变形及推广： ○1()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+； ○2ab b a b a 4)()(22=--+; ○3()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦； ○4()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；⑤（a-b+c-d ）2 =二、下列能运用什么乘法公式：3、(b-a) (-a-b) 〈比较两项的关系： 〉∴=4、（-a-b ）(a+b) 〈比较两项的关系： 〉∴=5、（-a+b ）(-a-b) 〈比较两项的关系： 〉∴=6、(a+b) (-a+b) 〈比较两项的关系： 〉∴=7、(-a-b) (a-b) 〈比较两项的关系： 〉∴=8、(-a+b) (a-b) 〈比较两项的关系： 〉∴=平方差公式组题【典型例题】 9、 热身训练 （1）（21x+31y ）（31y －21x ）＝（2）（２x －３y ）（ ）＝９y 2－４x 2 （3）（－a ＋51）（－a －51）＝（－a －５）（ ）＝25－a 2 （4）(x-1)(2x +1)( )=4x -1（5）(a+b+c)(a-b-c)= [ a + ( )] [ a - ( )]相同项 相反项用乘法公式运算：（7）1000110199⨯⨯ （8）2010200820092⨯-10．计算：（1）))(()2)(2(222x y y x y x y x x +-++--11．已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值．12．解方程：()()2313154322365=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-++x x x x x13. 已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数分别是多少？14、【初试锋芒】1）．1.010.99⨯= 2）．2221000252248-= ;3）22(2)(2)(4)x y x y x y -++=4）．在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y x y --+B ．3333()()a b a b -+C ．2222()()c d d c -+D ．()()m n m n ---【大展身手】 15. 填空题1）．若222,10x y x y -=-=则x+y= 2）.2(1)(1)(1)x x x +-+= 3）．(1)(2)(3)(3)x x x x +---+= 4）．=⨯10199 16、选择题1）．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．()()a b a b -+- B ．(2)(2)x x ++C ．1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(2)(1)x x -+2）．在下列各式中，运算结果是2236y x -的是（ ） A. ()()x y x y --+-66 B. ()()x y x y -+-66 C. ()()y x y x 94-+ D. ()()x y x y ---66 17 ：解答题 1 ） 计算： 2229995(2)(2)x x x-+--2） 解方程(21)(21)3(2)(2)(1)(2)12x x x x x x -+-+-=+-+完全平方公式组题【典型例题】1．课前热身训练：（1）221⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cd （2）()23x y -+ （3）2199（4）)2)(2(4)2(2y x y x y x +--- （5）)12)(12(-+++y x y x2．已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值．3．已知()()227,4a b a b +=-=，求22a b +和a b 的值．4. 若0132=+-a a ，求aa 1+的值.【初试锋芒】1．212a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭运算结果是（ ）A 、2214a b+B 、2214a b-C 、2214a ab b++D 、221124a ab b++2．运算结果是24221m n mn -+的是（ ）A 、22(1)m n -B 、22(1)m n -C 、22(1)m n --D 、22(1)m n +3．若224222)(n n m m M n m ++=+-，则M （ ）A 、0B 、2m nC 、22m n -D 、24m n4．若249x Nx ++（N 为整数）是一个完全平方式，则N=（ ）A 、6，-6B 、12C 、6D 、12，-125．已知y x y x y x >=+=+且,7,2522，则x-y 的值等于【大展身手】 1．（35x +）2=22962525x xy y++ 2．22()()a b a b -=+3．()222a b a b +=-+ =2()a b +- 4．()2a b c -+= 4．若7,12,a b ab +==则22a ab b -+=5．要使等式()()22a b M a b -+=+成立，代数式M 应是（ ）A 、2abB 、4abC 、4ab -D 、2ab - 【中考真题演练】1.（2009枣庄）若3n m =+，则222426m mn n ++-的值为（ ）Ａ．12Ｂ．6Ｃ．3Ｄ．02.（2009台州）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①② B．①③ C ． ②③ D ．①②③ 3.（2009北京）已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值4.（2009十堰）已知3b a =+，2=ab ,求下列各式的值： （1）22ab b a + （2）22b a +。
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课题：8.3 整式乘法（1）
第一课时完全平方公式
主备人：王刚喜审核人：杨明使用时间：2011年4月日
年级班姓名：
学习目标：
1.通过探索完全平方公式的过程，培养自己观察、交流、归纳、验证等能力。
2.理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会用公式计算。
3.体会数形结合的数学思想和方法。
学习重点：
完全平方公式的理解和应用
学习难点：
公式的结构特征以及对公式中字母所表示广泛含义的理解和正确运用。
一、学前准备
【回顾】
1. 计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ；
(2)(m+2)2= ；
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ；
(4)(m-2)2= .
规律：
2.尝试归纳：
-2)
a
(b
(b
=
+2)
a=
【自学】
1.研读教材P64
2. 完全平方公式用语言叙述是：
【自学检测】
1.计算：（1） (a +4)2 （2）( x －2)2
二、探究活动
【想一想】
1.请你根据小学里学过的知识，用图中的字母表示出左图中白色部分和黑色部分面积的和。
()=+2
b a + +
2.请你根据小学里学过的知识，用图中的字母表 示出右图中黑色部分的面积。
()=-2
b a - +
【例题分析】
例1. 用完全平方公式计算
(1) ( 5 + 3p )2 (2) ( 2x - 7y )2
(3) （-x + 2y ）2 (4) a 2- ( -2a - 5)2
例3.填空题：（注意分析，找出a 、b ） ①()(
)2216
=
++x ； ②()(
)()22
243=
+-
y x ③(
)(
)22=+-ab a ； ④(
)(
)22
5025=+
+ab a
⑤(
)-
+
=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-2
2
2
4
11621
4y
x
y x
⑥()()2
2
2b
ab a b a ++=
+- ()(
)2
22b
ab a b a +-=
-+
例4．已知3=+y x ，2=xy ，求: ①2
2
y x +；②
y
x
11+
【课堂自测】
1.用完全平方公式计算
(1)（1＋x ）2 （2） (y -4)2 （3）(2x y + x )2
2.下 面的计算是否正确？如有错误，请改正：
(1) (x +y )2＝x 2+y 2; (2) (-m +n )2＝-m 2 +n 2；
(3) (-a −1)2＝-a 2−2a −1. (4) 22211
()1x x x
x
-=-+
3. 一个正方形的边长为a c m 。
若边长减少6c m ，则这个正方形的面积减少了多少？
三、自我测试
1．填空题：
2
)
2(b a += ； 2)32(y x += ．
2
2
)
32(b a
-= ； 2
)
42
1(--
a = ；
2
2
)
()(b a b a --+= ． 1982= = ．
2．下列各式中，计算结果是2
2
2n
m
mn
--的是（ ）
A ．2
)
(n m
- B ．2
)
(n m
-- C.2
)
(n m +- D ．2
)
(n m
+
3.下列计算中正确的是（ ）
A ．2
2
2
)(n
m
n m -=-
B ．
2
2
263)3(q
pq p
q p +-=+-
C ．2
1)1(
2
2
2-+
=-x
x
x x
D ．2
2
2
42)2(b
ab a
b a ++=+
3．计算：
①()2
222x y - ② 2
2)
2
12(-
-x ③2)(c b a +-
四、应用与拓展
1.若02610442
2=++-+y x y
x ，试求y
x 5
16-
的平方根．。