2019高考数学三轮冲刺大题提分大题精做1三角函数与解三角形(理)
(浙江专用)高考数学三轮冲刺 抢分练 压轴大题突破练(一)三角函数与解三角形-人教版高三全册数学试题
(一)三角函数与解三角形1．(2019·余高、缙中、长中模拟)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)若f (α)＝26，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求cos2α的值．解 (1)f (x )＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得函数f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π，k ∈Z .(2)由f (α)＝26得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，所以2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－223， 所以cos2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4＝2－46.2．(2019·某某二中高考热身考)已知函数f (x )＝sin 2π4x －3sin π4x cos π4x . (1)求f (x )的最大值及此时x 的值； (2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2019)的值． 解 (1)f (x )＝12－12cos π2x －32sin π2x＝12－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6， 令π2x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 得x ＝4k －43，k ∈Z ，∴当x ＝4k －43(k ∈Z )时，f (x )max ＝32.(2)由(1)知函数的周期T ＝4，f (1)＝12－32，f (2)＝12＋12，f (3)＝12＋32，f (4)＝12－12， ∴f (4k ＋1)＝12－32，f (4k ＋2)＝12＋12，f (4k ＋3)＝12＋32，f (4k ＋4)＝12－12， ∴f (4k ＋1)＋f (4k ＋2)＋f (4k ＋3)＋f (4k ＋4)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2019) ＝504×2＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝1010.3．(2019·余高等三校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b sin A －3a cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝3，求AC 边上中线长的最小值． 解 (1)由正弦定理得，sin B sin A －3sin A cos B ＝0， ∵sin A ≠0， ∴tan B ＝3， ∵B 是三角形的内角， ∴B ＝60°.(2)方法一 设AC 边上的中点为E ，在△BAE 中，由余弦定理得，BE 2＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22－2c ·b2·cos A ，又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，a 2＋c 2－b 2＝2·cos60°ac ，∴BE 2＝c 2＋b 24－b 2＋c 2－a 22＝2a 2＋2c 2－b 24＝a 2＋c 2＋ac 4＝(a ＋c )2－ac 4＝9－ac 4≥9－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 224＝2716， 当且仅当a ＝c 时取到“＝”， ∴AC 边上中线长的最小值为334. 方法二 设AC 边上的中点为E ， BE →＝12(BA →＋BC →)，|BE →|2＝14|BA →＋BC →|2＝c 2＋a 2＋ac 4，以下同方法一．4．(2019·浙大附中考试)已知f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋3sin x ·cos x －sin 2x .(1)求函数y ＝f (x )(0<x <π)的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A 满足f (A )＝2，而AB →·AC →＝3，求BC 边上的高AD 长的最大值． 解 (1)f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴当0<x <π时，函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.(2)∵f (A )＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2，∴A ＝π6，∵AB →·AC →＝3，∴bc ·cos A ＝3，∴bc ＝2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12，而a ＝b 2＋c 2－3bc ≥(2－3)bc ＝3－1(当且仅当b ＝c 时等号成立)， ∴所求BC 边上的高AD ≤3＋12， 即AD 的最大值为3＋12. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C . (1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值； (2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ， ∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ， ∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ， ∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，∴C ＝2π3，∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32.(2)若c ＝2，则a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab， ∴S ＝12ab sin C ＝12ab－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2，∴△ABC 面积的最大值为 2.6．已知m ＝(3sin ωx ，cos ωx )，n ＝(cos ωx ，－cos ωx )(ω>0，x ∈R )，f (x )＝m·n －12且f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b ＝7，f (B )＝0，sin A ＝3sin C ，求a ，c 的值及△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝m·n －12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx －12＝32sin2ωx －12cos2ωx －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－1.∵f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6－1＝0，∵0<B <π，∴－π6<2B －π6<11π6，∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3，由sin A ＝3sin C 及正弦定理，得a ＝3c ， 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9c 2＋c 2－76c 2＝10c 2－76c 2＝12， ∴c ＝1，a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×1×32＝334.。
2019高考数学(理)解答题考前60天冲刺：三角函数
2
3
22、 m (2cos x 2 3 sin x,1), n (cos x, y) ，满足 m n 0 、
〔I 〕将 y 表示为 x 的函数 f (x) ，并求 f ( x) 的最小正周期；
〔II 〕 a,b,c 分别为 ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长，假设 A
，且 a 2，求
f( ) 3
2
3
12、设向量 α ＝ ( 3 sin2 x， sin x＋ cos x) ， β ＝ (1 ， sin x－cos x) ，其中 x∈ R，函数 f ( x)
＝α β、 ( Ⅰ ) 求 f ( x) 的最小正周期；
( Ⅱ ) 假设 f ( θ ) ＝ 3 ，其中 0＜ θ ＜ π，求 cos( θ ＋ π) 的值、
2019 高考数学（理）解答题考前 60 天冲刺：三角函数 三角函数
1 1、设△ ABC的内角 A、 B、 C所对的边分别为 a、b、 c， a＝ 1， b＝ 2， cos C＝4. (1) 求△ ABC的周长； (2) 求 cos( A－ C) 的值、
2. 在 ABC 中，角 A,B,C 对的边分别为 a,b, c，且 c 2,C 60
〔1〕求 a b 的值； sin A sin B
〔2〕假设 a b ab ，求 ABC 的面积 S ABC 。
解：〔 1〕由正弦定理可设
a sin A
b sin B
c sin C
2 sin 60
1
cos 2C
.
4
〔 1〕求 sin C 的值；
〔 2〕当 a 2 ， 2sin A sin C 时，求 b 及 c 的长 .
5， ABC 中， a 、 b 、 c 是三个内角 A、 B 、 C 的对边，关于 x 的不等式
2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析
三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。
高考数学三轮冲刺三角函数、解三角形与平面向量专项模拟试卷(含解析)
高考数学三轮冲刺三角函数、解三角形与平面向量专项模拟试卷（含分析）本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，共150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷一、选择题 (本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．已知全集 U＝ R，会合 P＝ { x|x2≤1} ，那么 ?U P＝ ()A ． (－∞，－ 1)B ． (1，＋∞ )C．( －1,1) D ．(－∞，－ 1)∪(1，＋∞ )【分析】∵x2≤ 1?－1≤ x≤ 1，∴?U P＝ (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )．【答案】D2． (2013 江·西高考 )函数 y＝ xln(1 － x)的定义域为 ()A ． (0,1)B ． [0,1)C．(0,1] D ．[0,1]1－ x＞ 0【分析】由得，函数定义域为 [0,1) ．x≥0【答案】B3．(2012 重·庆高考 )已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则“ f(x)为 [0,1] 上的增函数”是“ f(x)为[3,4] 上的减函数”的 ()A．既不充足也不用要的条件B．充足而不用要的条件C．必需而不充足的条件D．充要条件【分析】①∵f(x) 在 R 上是偶函数，∴ f(x)的图象对于y 轴对称．∵f(x)为 [0,1] 上的增函数，∴ f(x)为 [－ 1,0] 上的减函数．又∵f(x)的周期为2，∴f(x)为区间 [－ 1＋ 4,0＋ 4]＝ [3,4] 上的减函数．②∵f(x)为 [3,4] 上的减函数，且f( x)的周期为2，∴f(x)为 [ － 1,0] 上的减函数．又∵f(x)在 R 上是偶函数，∴ f(x)为 [0,1] 上的增函数．由①②知 “ f(x)为[0,1] 上的增函数 ” 是 “ f(x)为[3,4] 上的减函数 ” 的充要条件．【答案】 D4．已知 f(x)＝ sin 2 x ＋ π，若 a ＝ f(lg 5) ， b ＝ f lg 1 ，则()4 5 A ． a ＋ b ＝ 0 B ． a － b ＝ 0 C ．a ＋ b ＝ 1D ．a － b ＝ 1 【分析】f(x)＝1π1＋ sin 2x＝2，2 1－ cos 2x ＋ 21 sin 2lg 5∴a ＝ 2＋2，1sin 2lg 11 sin 2lg 55 b ＝ 2＋2＝ 2－ 2 .所以， a ＋ b ＝ 1.【答案】C5． (2013 重·庆高考 )命题“对随意 x ∈ R ，都有 x 2≥ 0”的否认为 ()A ．对随意 x ∈ R ，都有 x 2<0B ．不存在 x ∈R ，使得 x 2<02 C ．存在 x ∈ R ，使得 x ≥02D ．存在 x ∈ R ，使得 x <0【分析】因为 “ ? x ∈ M ， p( x)” 的否认是 “? x ∈ M ，綈 p(x) ” ，故 “ 对随意 x ∈ R ，22都有 x ≥ 0” 的否认是 “ 存在 x 0∈ R ，使得 x 0<0 ”．【答案】D6．在△ ABC 中，若 sin 2A ＋ sin 2B ＜sin 2C ，则△ ABC 的形状是 ()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不可以确立【分析】由正弦定理，得a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2∴cos C ＝ 2ab <0，则 C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．【答案】C3x ＋y － 6≥ 0，7． (2013 ·津高考天 )设变量 x ， y 知足拘束条件x － y －2≤ 0， 则目标函数 z ＝ y － 2xy － 3≤0，的最小值为 ()A．－ 7B．－ 4C．1 D ．2【分析】可行域如图暗影部分(含界限 ) ．令 z＝ 0，得直线l0： y－ 2x＝0，平移直线l 0知，当直线l 过 A 点时， z 获得最小值．y＝ 3，得 A(5,3)．由x－ y－2＝ 0∴z 最小＝ 3－ 2× 5＝－ 7.【答案】A8． (2013 ·标全国卷Ⅱ课 )已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋c，以下结论中错误的选项是()A ． ? x ∈ R， f(x )＝ 000B．函数 y＝ f(x)的图象是中心对称图形C．若 x0是 f(x)的极小值点，则f(x)在区间 (－∞， x0)上单一递减D．若 x是 f(x)的极值点，则f′ (x )＝ 000【分析】若 c＝0，则有 f(0)＝ 0，所以 A 正确．由 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋c 得 f(x)－ c＝ x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝ x3＋ax2＋ bx 的对称中心为 (0,0) ，所以 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋ c 的对称中心为 (0，c) ，所以 B 正确．由三次函数的图象可知，若x0是 f(x)的极小值点，则极大值点在 x0的左边，所以函数在区间 (－∞， x0)单一递减是错误的， D 正确．【答案】C第Ⅱ卷二、填空题 (本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上 )9． (2013 江·西高考 )设 f(x)＝ 3sin 3x＋ cos 3x，若对随意实数 x 都有 |f(x)|≤ a，则实数 a 的取值范围是 ________．【分析】因为 f(x)＝ 3sin 3x＋ cos 3x＝ππ2sin 3x＋6，则 |f(x)|＝ 2 sin 3x＋6≤2，要使 |f(x)|≤ a 恒建立，则 a≥ 2.【答案】[2，＋∞ )10．设 e1， e2为单位向量，且 e1， e2的夹角为π，若 a＝ e1＋3e2，b＝ 2e1，则向量 a 在3b 方向上的射影为 ________．【分析】因为 a＝ e1＋ 3e2， b＝ 2e1，2·e1所以 |b|＝2， a ·b＝ (e ＋ 3e ) ·2e ＝2e ＋ 6e＝ 2＋ 6×2＝5，121112所以 a 在 b 方向上的射影为|a| cos<a·， b>＝a·b5 |b|＝2.【答案】5 211． (2013 ·徽高考改编安 )设△ ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为a，b， c.若 b＋ c ＝2a,3sin A＝ 5sin B，则角 C＝ ________.【分析】由 3sin A＝ 5sin B，得 3a＝ 5b.又因为 b＋c＝ 2a，57所以 a＝3b， c＝3b，57a2＋ b2－ c23b 2＋ b2－3b 212π所以 cos C＝2ab＝5＝－2.因为 C∈ (0，π)，所以 C＝ 3.2×3b× b【答案】2π312．若非零向量a， b 知足 |a|＝ |b|， (2a＋ b) ·b＝ 0，则 a 与 b 的夹角为 ________．【分析】∵(2a＋ b) ·b＝ 0，∴2a·b＋ b2＝ 0，1 2∴a·b＝－2b ，设 a 与 b 的夹角为θ，又|a|＝|b|，1 2－ba·b21∴θ＝ 120 .°【答案】120°→13．(2013 北·京高考 )已知点 A(1，－ 1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面地区 D 由全部知足 AP＝→→λAB＋μAC(1 ≤λ≤ 2,0≤ μ≤ 1)的点 P 构成，则 D 的面积为 ________．【分析】→→设 P(x， y)，且 AB， AC＝ (1,2)．＝ (2,1)→ → →∴OP ＝ OA ＋ AP ＝ (1，－ 1)＋λ(2,1)＋ μ(1,2)，x ＝ 1＋2λ＋ μ， 3μ＝ 2y － x ＋3，∴∴y ＝－ 1＋ λ＋ 2μ， 3λ＝ 2x －y － 3，又 1≤ λ≤ 2,0≤ μ≤ 1，0≤ x －2y ≤ 3， ∴表示的可行域是平行四边形及内部．6≤ 2x －y ≤ 93 5如图，点 B(3,0)到直线 x － 2y ＝ 0 的距离 d ＝ 5 .又 |BN|＝5.3 5× 5＝3.∴地区 D 的面积 S ＝ 5 【答案】31，则 sin ∠BAC ＝ ________.14．在△ ABC 中，∠ C ＝ 90°，M 是 BC 的中点．若 sin ∠ BAM ＝31 2 2【分析】因为 sin ∠BAM ＝3，所以 cos ∠BAM ＝3 .在△ABM 中，利用正弦定理，得BM ＝ AM ，所以 BM＝ sin ∠BAM ＝ 1 ＝ 1 .sin ∠BAM sin B AM sin B 3sin B 3cos ∠BACCM在 Rt △ACM 中，有 AM ＝ sin ∠CAM ＝ sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知 BM ＝ CM ，所以1＝ sin(∠BAC －∠BAM )．3cos ∠BAC化简，得 2 2sin ∠BACcos ∠BAC － cos 2∠BAC ＝ 1.2 2tan ∠BAC － 1 所以＝ 1，解得 tan ∠BAC ＝ 2.tan 2∠BAC ＋ 1再联合 sin 2∠BAC ＋ cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得 sin ∠BAC ＝ 63 .【答案】63三、解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)π15． (本小题满分12 分)函数 f( x)＝ Asin( ωx－6)＋ 1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相π邻两条对称轴之间的距离为2.(1)求函数 f(x)的分析式；πα(2)设α∈ (0，2)， f(2)＝ 2，求α的值．【解】(1) ∵函数 f( x)的最大值为3，∴A＋ 1＝ 3，即 A＝ 2.π∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，∴最小正周期 T＝π，∴ω＝ 2，π∴函数 f(x)的分析式为y＝ 2sin(2x－6)＋ 1.απ(2)∵f(2)＝ 2sin(α－6)＋ 1＝ 2，π 1∴sin( α－6)＝2.π∵0< α<2，ππ π∴－6<α－6<3，π ππ∴α－6＝6，∴α＝3.16． (本小题满分12 分 )(2013 北·京高考 )在△ ABC 中， a＝ 3，b＝ 26，∠ B＝ 2∠ A，(1)求 cos A 的值；(2)求 c 的值．【解】(1) 因为 a＝ 3， b＝ 26，∠B＝ 2∠A，3 2 6所以在△ABC 中，由正弦定理得sin A＝sin 2A.2sin Acos A 2 66所以sin A＝3.故 cos A＝3 .63(2)由 (1) 知 cos A＝3，所以 sin A＝1－ cos2A＝3 .又因为∠ B＝ 2∠A，所以 cos B＝ 2cos2A－1＝1 3.所以 sin B＝1－ cos2 B＝232.在△ABC 中， sin C ＝ sin(A ＋ B)＝ sin Acos B ＋5 3cos Asin B ＝ 9 .asin C所以 c ＝ sin A ＝ 5.17． (本小题满分 14 分 )(2013 广·东高考 )已知函数 f(x)＝ 2cos x － π ，x ∈ R .12(1)求 f －π的值；63， θ∈3π π， 2π ，求 f2θ＋ 3 .(2)若 cos θ＝52π【解】(1) 因为 f( x)＝ 2cos x － 12 ，π π π所以 f －6 ＝ 2cos － 6－ 12π π 2 ＝ 2cos － 4 ＝2cos 4＝2× 2 ＝1.3π3(2)因为 θ∈ 2 ， 2 π， cos θ＝ 5，3 4所以 sin θ＝－1－ cos 2θ＝－1－ 5 2＝－ 5，37cos 2θ＝ 2cos 2θ－ 1＝ 2× 5 2－ 1＝－ 25，3 4 24sin 2θ＝ 2sin θcos θ＝ 2× 5× － 5 ＝－ 25.π π π 所以 f 2θ＋ 3 ＝ 2cos 2θ＋3－ 12π 22＝ 2cos 2θ＋4 ＝ 2× 2 cos 2θ－ 2 sin 2θ7 24 17＝ cos 2θ－ sin 2θ＝－ 25－－ 25 ＝25.3x 3xxx18． (本小题满分 14 分 )已知向量 a ＝ (cos2 ， sin 2 )，b ＝ (－ sin 2，－ cos 2)，此中 xπ∈[ ， π]．2(1)若 |a ＋ b|＝ 3，求 x 的值；(2)函数 f(x)＝ a ·b ＋|a ＋ b|2，若 c>f(x)恒建立，务实数 c 的取值范围． 【解】(1) ∵a ＋ b ＝ (cos3xx 3x x2 － sin 2， sin 2 － cos 2)，3x x23xx 2∴|a＋ b|＝cos 2－sin 2＋ sin 2－ cos 2＝2－ 2sin 2x，1由 |a＋ b|＝3，得 2－ 2sin2x＝3，即 sin 2x＝－2.π∵x∈ [2，π]，∴π≤ 2x≤ 2π.ππ7π11π所以 2x＝π＋6或 2x＝ 2π－6，即 x＝12或 x＝12.3x x3x x(2)∵a·b＝－ cos 2 sin2－sin 2 cos2＝－ sin 2x，∴f(x)＝ a ·b＋ |c＋ b|2＝ 2－ 3sin 2x，∵π≤ 2x≤ 2π，∴－ 1≤ sin 2x≤ 0，∴2≤ f(x)＝2－ 3sin 2x≤ 5，∴[f(x)] max＝5.又 c>f(x) 恒建立，所以 c>[ f(x)] max，则 c>5.∴实数 c 的取值范围为 (5，＋∞)．19．(本小题满分14 分)(2013 湖·北高考 )在△ ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是a，b，c，已知 cos 2A－ 3cos(B＋C)＝ 1.(1)求角 A 的大小；(2)若△ ABC 的面积 S＝ 5 3，b＝ 5，求 sin Bsin C 的值．【解】(1)由 cos 2A－3cos(B＋ C)＝1，得2cos2A＋ 3cos A－ 2＝ 0，即 (2cos A－ 1)(cos A＋ 2)＝ 0.解得 cos A＝12或 cos A＝－ 2(舍去 )．π因为 0<A<π，所以 A＝3.1133(2)由 S＝2bcsin A＝2bc·2＝4 bc＝ 53，得 bc＝ 20.又 b＝5，所以 c＝ 4.由余弦定理，得a2＝b2＋ c2－ 2bccos A＝ 25＋ 16－ 20＝21，故 a＝ 21.又由正弦定理，得b c bc2035. sin Bsin C＝ sin A·sin A＝a2·sin2A＝21× ＝a a478线 y＝ g(x)都过点 P(0,2) ，且在点 P 处有同样的切线 y＝ 4x＋ 2.(1)求 a， b， c， d 的值；(2)若 x≥－ 2 时， f(x)≤ kg(x)，求 k 的取值范围．【解】 (1) ∵曲线 y＝ f(x)和曲线 y＝g( x)都过点 P(0,2)，∴b＝ d＝ 2.∵f ′(x)＝ 2x＋ a，故 f′ (0)＝ a＝4.∵g′ (x)＝ e x(cx＋ d＋c) ，∴g′ (0)＝ 2＋ c＝4，故 c＝2.进而 a＝ 4， b＝2， c＝ 2，d＝ 2.(2)令 F(x)＝ kg(x)－ f(x)，则 F′ (x)＝ (ke x－ 1)(2x＋ 4)，由题设可得 F(0) ≥ 0，故 k≥ 1，令 F′ (x)＝ 0 得 x1＝－ ln k， x2＝－ 2，①若 1≤ k＜ e2，则－ 2＜ x1≤ 0，进而当 x∈ [－ 2， x1)时， F′ (x)＜ 0，1当 x∈ (x ＋∞ )时， F ′ (x)＞ 0，即 F(x)在 [ － 2，＋∞ ) 上最小值为2－ 2＝－ x1(x1＋ 2)≥ 0，此时F(x1) ＝ 2x1＋ 2－ x1－ 4x1f(x)≤ kg(x)恒建立；②若 k＝e2，F ′ (x)＝ (e x＋2－1)(2 x＋4)，故 F(x)在 [ － 2，＋∞ )上单一递加，因为 F(－ 2)＝ 0，所以 f(x)≤ kg(x)恒建立；③若 k＞e2，则 F(－ 2)＝－ 2ke－2＋ 2＝－ 2e－2 (k－ e2)＜ 0，进而当 x∈ [－ 2，＋∞ )时，f(x)≤ kg(x)不行能恒建立．综上所述k 的取值范围为[1， e2]．。
专题03 三角函数、解三角形-2019年江苏高考文科数学《基础回顾》考前抢分必做训练
一、正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的图象与性质二、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：22sin cos 1αα+=． 2．商的关系：sin cos tan ααα=．【公式变形】（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； （2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．三、两角和与差的三角函数公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z【常用变形】①tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=± ；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-．②降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα=． ③升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-．④辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==，tan baϕ=． 四、函数sin()y A x ωϕ=+（A >0，ω>0）的性质 1．奇偶性当=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数； 当=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数．2．周期性sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ．3．单调性根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间； 由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间． 4．对称性利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x ． 利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴． 五、三角函数的图象变换六、正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c==A B C．正弦定理对任意三角形都成立． 【变形与推广】①sin sin sin ,,sin sin sin A a C c B bB b A aC c===；②sin sin ,sin sin ,sin sin a B b A a C c A b C c B ===； ③sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C +++++======+++++；④::sin :sin :sin a b c A B C =； ⑤正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径．七、余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍， 即2222222222cos ,2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，． 八、三角形的面积公式设ABC △的三边为a ，b ，c ，对应的三个角分别为A ，B ，C ，其面积为S ． ①12S ah =(h 为BC 边上的高)； ②111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===； ③1()2S r a b c =++(r 为三角形的内切圆半径)． 九、三角形解的情况在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况十、利用余弦定理解三角形的步骤1．已知，则________________．2．已知1sin cos 5αα-=-，则的值为________________． 3________________．4．已知向量a =(sin(),1)6α+，b =(4，4cos α)，若a ⊥b ，则sin 4()3απ+=________________．5．若π1tan(),46α-=则tan α=________________．6的化简结果为________________．7．若ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于________________．8．已知角α，β均为锐角，且3cos 5α=，tan(α−β)=，则tan β=________________．9．已知点1)2P -在角θ的终边上，且π[)0,2θ∈，则角θ的值为________________． 10．已知函数，，直线与、的图象分别交于、两点，则的最大值是________________． 11．已知()1cos 753α︒+=，为第三象限角，则=________________．12．函数f (x )=cos2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是________________．13．ABC △中，2AB =，BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于________________． 14．为得到函数πsin()3y x =+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则m n -的最小值是________________．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．16．已知向量()())2sin ,sin cos ,,sin cos (0)x x x x x x λλλ=+=->a b ，函数()f x =⋅a b 的最大值为2．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC △中，内角A B C 、、的对边分别为2,cos 2b aa b c A c-=、、，若()0f A m ->恒成立，求实数m 的取值范围．（1）使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．（2）由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，注意确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解．（3）求函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间时，应注意先利用诱导公式把ω化为正数后再求解．求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（4）对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f （x 0）的值进行判断．（5）三角化简时，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．（6）三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2＋y 1y 2，a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用．（7）在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．（8）几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题．解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中．（9）注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等．（10）正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解．1．已知()1sin cos ,0,π5ααα+=-∈，则的值为________________．2．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知22,2(1sin )b c a b A ==-，则A =________________．3．已知锐角,αβ满足sin αβ==，则αβ+的值为________________．43sin 5α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β=________________．5．在ABC △sin()3sin()2A A -=π-，且cos A cos （π－B ），则C =________________．6．()f x 的一个零点，则0cos2x =________________．7．函数()23sin 4f x x x =-(π[0,]2x ∈)的最大值是________________．8．在ABC △中，sin cos A A +=的值为________________．9．若函数πcos()2y x ω=+（0ω>，[]0,2πx ∈）的图象与直线12y =无交点，则ω的取值范围为________________．10．若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间ππ()62，上是减函数，则a 的取值范围是________________． 11．若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是________________．12．已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b（1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．13．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，123cos ,cos 135A C ==．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？1．【答案】43或2．【答案】24 25【解析】由题意得，两边同时平方得5．【答案】7 5【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．【答案】−2sin4【解析】原式2|cos 4|2|sin 4cos 4|+=+-， 因为53π4π42<<，所以cos4<0，且sin4<cos4，所以原式=−2cos4−2(sin4−cos4)=−2sin4．9．【答案】11π6【解析】点1)2P -在角θ的终边上，由三角函数的定义可知tan θ=又点1)2P -在第四象限，且π[)0,2θ∈，所以θ=11π6． 10．【答案】【解析】，的最大值是．【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征． 11．【解析】∵()1cos 753α︒+=，为第三象限角，∴()sin 75α︒+==．则原式()()()()cos 18075sin 75α180cos 75sin 75ααα=︒-︒++︒+-︒=-︒+-︒+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 12．【答案】32-【解析】f (x )=1−2sin 2x ＋2sin x =2132(sin )22x --+，所以当1sin 2x =时，max 3()2f x =，当sin x =−1时，f (x )min =−3，故函数f (x )=cos2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是32-．13． 【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，因为2c =，a =，所以21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =．又sin A =，所以由1123222h ⨯⨯=⨯，得h = 14．【答案】2π3【解析】依题意可知，1212π5π2π,2π,,,33m k n k k k =+=+∈N 所以124π|2()π|,3m n k k -=--12,,k k ∈N 当121k k -=时，m n -的最小值是2π3．15．【答案】（1（2）4a c +=．16．【答案】（1）()π5π[ππ]36k k k ++∈Z ，；（2）1(,]2-∞-．1．【答案】34-【解析】因为1sin cos 5αα+=-(1)，所以两边平方可得112sin cos 25αα+=，则242sin cos 025αα=-<，所以是钝角，则，所以7sin cos 5αα-==(2)， 联立(1)(2)可得34sin ,cos 55αα==-，则3tan 4α=-．2．【答案】π4【解析】由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-，因为()2221sin a b A =-，所以cos sin A A =，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,A ∈π，所以4A π=． 【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容．本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等．3．4．【答案】2425055⨯=，不合题意，舍去；525=． 5．【答案】2πsin()3sin()3sin ,tan =2A ΑA A A π-=π-=∴ 又0A <<π，6A π=∴．又cos ),A B =π-即cos A B =，1cos ,062B B π==<<π,∴..32B C ΑΒππ==π-(+)=∴∴故填2π．6．7．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：()222311cos cos (cos 144f x x x x x x =-+-=-++=-+，由自变量的范围：π[0,]2x ∈可得：[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．8．【答案】2-【解析】∵sin cos A A +=①，∴()21sin cos 2A A +=，即，∴．∵，∴，．∴．∵()23sin cos 12sin cos 2A A A A -=-=，∴②．①+②得sin A =．①−②得cos A =∴sin tan 2cos A A A ===--． 学……科网9．【答案】7(0,)1210．【答案】(],2-∞【解析】∵()2cos 2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+，令sin t x =，由ππ(,)62x ∈得1(,1)2t ∈，且sin t x =在ππ(,)62上是增函数． 依题意有()221g t t at =-++在1(,1)2t ∈上是减函数，∴142a ≤，即2a ≤，故a 的取值范围是(],2-∞． 11．【答案】【解析】若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，根据正（余）弦函数的奇偶性可知：则，或，则，或，则，即：，当时，取得最小值为．12．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =．13．【答案】（1）1040m ；（2）3537；（3）1250625[,]4314(单位：m/min)． 【解析】（1）在ABC △中，因为123cos ,cos 135A C ==，所以54sin ,sin 135A C ==．从而5312463sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 13513565B AC A C A C A C =-+=+=+=⨯+⨯=． 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得12604sin 1040(m)63sin 565AC AB C B =⨯=⨯=． 所以索道AB 的长为1040m ．（2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客的距离为d ，此时，甲行走了(100+50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得222212(10050)(130)2130(10050)200(377050)13d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+， 因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤，所以当35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短． 即乙出发3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC AC A B=，得12605sin 500(m)63sin 1365AC BC A B =⨯=⨯=． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在1250625[,]4314(单位：m/min)范围内．个人总结____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 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2019高考数学江苏(理)精准提分练 解答题专项练 2.三角函数与解三角形
2.三角函数与解三角形1.已知α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 解 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2. (2)因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310. 2.已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B . (1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值. 解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ，所以12cos C ＝32sin C ，即tan C ＝33. 又因为C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3， 所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2. (2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332， 在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC · CD cos C ＝74，即AD ＝72， 由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin∠ADC， 故sin∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若角α满足f (α)＋3f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值. 解 (1)由条件知周期T ＝2π，即2πω＝2π，所以ω＝1，即f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32， 所以A sin 2π3＝32，所以A ＝1， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. (2)由f (α)＋3f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝1， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1， 即sin α＝12. 因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6. 4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B .(1)求角C 的大小；(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值.解 (1)由b sin 2C ＝c sin B ，根据正弦定理得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B .因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝45.又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝32×45－12×35＝43－310.5.已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值.解 (1)方法一 因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0， 所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α. 由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125， 即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425. 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925. 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75， 所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35， 从而t ＝sin 2α＝925. 方法二 因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋152＝1， 整理得50sin 2α＋10sin α－24＝0，解得sin α＝－45或sin α＝35. 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35， 从而t ＝sin 2α＝925. (2)方法一 因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14. 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 从而tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237. 方法二 因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α.所以2sin 2α＝1＋cos 2α2，即4sin 2α－cos 2α＝1， 又sin 22α＋cos 22α＝1，所以sin 22α＋(4sin 2α－1)2＝1，整理得17sin 22α－8sin 2α＝0，解得sin 2α＝817或sin 2α＝0. 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，所以sin 2α＞0， 所以sin 2α＝817，代入4sin 2α－cos 2α＝1，得cos 2α＝1517， 因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝815， 从而tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237. 6.已知函数f (x )＝23·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A 满足f (A )＝3＋1，若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋ 3. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋3＝3＋1， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，因为A ∈(0，π)，所以2A ∈(0,2π)，2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3，又BC 边上的中线长为3，所以|AC →＋AB →|＝6，所以|AC →|2＋|AB →|2＋2AC →·AB →＝36，即b 2＋c 2＋2bc cos A ＝36，所以b 2＋c 2＋bc ＝36， ① 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2－bc ＝9， ② 由①②得，bc ＝272，所以S ＝12bc sin A ＝2738.。
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备解三角形(含解析).doc
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备解三角形（含解析）【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化、 【基础练习】1、在△ABC 中，BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，那么AC ＝.2、在ABC ∆中，假设sin :sin :sin 5:7:8A B C=，那么B ∠的大小是______________. 3、在ABC △中，假设1tan 3A =，150C =，1BC =，那么AB4、在△ABC 中，假设22tan tan b a B A =，那么△ABC5、在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，那么边AC 上的高为 、6、△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b【范例解析】例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，20a c +=，2CA =，3cos 4A =、 〔1〕求ca的值；〔2〕求b 的值、 分析：利用2C A =转化为边的关系、解：〔1〕由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====、〔2〕由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩、由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：218800b b -+=，解得：8b =或10b =，假设8b =，那么A B =，得4A π=，即3cos 4A =≠矛盾，故10b =、 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论、 例2.在三角形ABC 中，2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状、分析一：边化角 解法一：由得：22[sin()sin()][sin()sin()]aA B A B b A B A B --+=---+，π21化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =， 即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=， 又,(0,)A B π∈，sinsin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=、又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形、分析二：角化边解法二：同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b abc ac+-+-=， 整理得：22222()()0ab c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形、点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状、 例3.如图，△ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB 、AC 上的点， 线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α〔233ππα≤≤〕、 〔1〕试将△AGM 、△AGN 的面积〔分别记为S 1与S 2〕表示为α的函数； 〔2〕求221211y S S =+的最大值与最小值、 分析：利用正弦定理建立目标函数、解：〔1〕因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心， 所以AG＝23，∠MAG ＝6π， 由正弦定理GM GAsinsin 66πππα＝（－－）得GM那么S 1＝12GM ∙GA ∙sin α＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）、〔2〕221211y S S =+＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72〔3＋22cos sin αα〕 因为233ππα≤≤，所以当α＝3π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240； ABCNM G αD 例3当α＝2π时，y 取得最小值y min ＝216、点评：此题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值、 例4.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β.〔1〕证明：sin cos 20αβ+=；〔2〕假设AC，求β、分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. 〔1〕证明：C βα=+，2C B π=-，22πβα∴=+，sin cos 20αβ∴+=〔2〕解：AC，2sin 2βαββ∴===(0,)2πβ∈，sin β∴=，3πβ∴=.点评：此题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值. 【反馈演练】1、在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 那么BC=_____________、2、ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，假设a，b ，c 成等比数列，且2c a =，那么cos B=_____、3、ABC ∆顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，、假设A ∠是钝角，那么c 的取值范围___________、 4、ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为、 5、在ABC ∆中，假设2a b c =+，2sin sin sin A B C =的形状是____等边___三角形、6、假设ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，那么sin cos A A +=、 7、ABC ∆的三个内角为A B C 、、，那么cos 2cos 2B C A ++的最大值为、 8、在ABC ∆中，C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断：①tan 1tan AB= ；②1sin sin A B <+≤B DCαβA例433- 3425(,)3+∞ 32③1cos sin 22=+B A ； ④C B A 222sin cos cos =+、12、在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =、 〔Ⅰ〕求角C 的大小；〔Ⅱ〕假设ABC ∆最大边的边长为，求最小边的边长、解：〔Ⅰ〕π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯、又0πC <<，3π4C ∴=、〔Ⅱ〕34C =π，AB∴边最大，即AB =、又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边、由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C== 所以，最小边BC =。
2019年高考数学专题三角函数与三角恒等变换(第三季)压轴题必刷题理
专题04三角函数与三角恒等变换第三季1．一个三角形的三条边恰为，，.则这个三角形中最大角为（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】显然，，, 均为正值，.易知，.又,即以,,为边确实可作成一个三角形，其中为这个三角形的最大边.设它所对的角为，则，故, 选B.2．已知边长为、、的三角形的面积不小于．则此三角形为（）．A．非等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】设的面积为，则．由余弦定理得．∴．①同理，，②，③①②③得．令，则．整理成关于的二次方程．由于为实数，所以方程成立的条件是判别式，即，．为使此不等式有解，必须．．由于，得．∴．∵，∴．∴．故．选C.3．已知．则的取值范围为（）．A． B． C． D．【答案】D解法2：由已知有．同理，．∴．有．当，时，可以取到最大值；当，时，可以取到最小值．4．已知为锐角.则是的（）.A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解法1：必要性.取，有.充分性.由三维平均值不等式，有，（1）（2）（1）、（2）两式左右两边分别相加左边，右边.这说明，（1）、（2）两式同时取等号，有得但为锐角，故.解法2：解方程求出唯一解便可确定为充要条件.由，有.设，则，且.∴.解得，舍去.故只有，得，故，.所以，条件是充分必要的.故答案为：C5．函数的值域为（）.A． B． C． D．【答案】D6．已知方程在上仅有一个实数解.则参数的取值范围是（）. A． B．C． D．以上选项都不对【答案】D【解析】方程可化为.当时，有.显然，当时，方程仅有一实数解，从而，.当时，或.解得或.因，所以，方程也仅有一实数解，此时，，即.故参数的取值范围为及.故答案为：D7．已知函数的图像关于直线对称.则函数的图像关于直线()对称.A． B． C． D．【答案】C【解析】令.由题设有又,.故所以,的一个对称轴为又的周期为,故其另一个对称轴为. 选C.8．若为奇函数,且在为减函数,则的一个值为()A． B． C． D．【答案】B【解析】显然,由,得即.故.解得.所以,.因在为减函数,即在为减少数,故k为奇数当时,. 选B.9．若，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得.因为，所以，.因为,所以.故答案为:10．凸四边形ABCD中，，BC=CD=DA=1.设S、T分别为△ABD、△BCD的面积，则的最大值是（）.A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】如图，设BD=x，，作.则，E为BD的中点.，.故.当时，取最大值. 选C.11．在△ABC中，如果.其中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则△ABC 的面积是( )A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意结合余弦定理有：..则△ABC为直角三角形，且.综上所述△ABC面积为ab.故选：A.12．设．则的大小关系是（）．A． B． C． D．【答案】B13．函数的最大值是（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】要使y最大，应有不妨设则即①所以，由，得解得或（舍去）.将代入式①得.故14．在中，已知，且.则的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知有.因为，所以，，.由，得.故.当且仅当时，上式等号成立.所以，.又，则的取值范围为. 选C.15．在中，中线与垂直交于点.则的最大值是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，在中，设，，，，.则，.在、和中，分别应用勾股定理得，，.由余弦定理得.又是锐角，则. 选B.16．设的内角、、所对的边、、成等比数列．则的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】D17．设的周长为12，内切圆半径为1.则（）A．必为直角三角形 B．必为锐角三角形C．必为直角三角形或锐角三角形 D．以上结论均不对【答案】D【解析】因为的周长为12，所以的内切圆半径为1当且仅当的面积为.则由式②得.由式①得，代入上式得.于是，、为方程③的两个根.特别地，当时，解得.此时，，方程③的判别式.又由增加一个非常小的角度，可使方程的判别式仍大于0，此时，仍可由方程组解出、，再得到，这时，三边长与3、4、5也相差很小.因此，由钝角三角形满足周长为12，内切圆半径为1.18．在中，，．则、的大小关系是（）．A． B．C． D．无法确定【答案】B【解析】在中，．同理，，．三式相加得．19．对于任意的，不等式恒成立.则m的取值范围是（）.A． B． C． D．或【答案】B【解析】令，记.则已知条件转化为，当时，恒成立.等价于解得故.20．对，使①的、应满足的充分必要条件是（）．A．且 B．且C． D．【答案】D【解析】。
高考数学三轮冲刺大题提分三角函数与解三角形理
大题精做1 三角函数与解三角形1.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(),2a c b =-m ，()cos ,cos C A =n ，且⊥m n ． （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，ABC △a ． 【答案】（1）π3A =；（2）13a =． 【解析】（1）由⊥m n ，可得0⋅=m n ，即2cos cos cos b A a C c A =+， 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即()2sin cos sin B A A C =+，∵()()sin sin πsin A C B B +=-=，∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=， ∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =， ∵0πA <<，∴π3A =．（2）由ABC S =△1sin 2ABC S bc A =△4bc =，又5b c +=，由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=，∴a =2．如图，在ABC △中，π4A ∠=，4AB =，BC D 在AC 边上，且1cos 3ADB ∠=-．（1）求BD 的长； （2）求BCD △的面积．3．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=． （1）求B ；（2）若3b =，ABC △的周长为3+ABC △的面积．4．已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-． （1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间；（2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．1．【答案】（1）3；（2）【解析】（1）在ABD △中，∵1cos 3ADB ∠=-，∴sin ADB ∠，由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠． （2）∵πADB CDB ∠+∠=，∴()1cos cos πcos 3CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=．∴()sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠=，sin CDB ∠ 在BCD △中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠， 得21179233CD CD =+-⨯⨯，解得4CD =或2CD =-（舍）．∴BCD △的面积11sin 34223S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=． 2．【答案】（1）2π3B =；（2）ABC S =△【解析】（1）∵()2cos cos 0a c B b A ++=，∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=，()sin 2cos sin 0A B B C ++=， ∵()sin sin A B C +=．∴1cos 2B =-，∵0πB <<，∴2π3B =．（2）由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭，229a c ac ++=，∴()29a c ac +-=，∵3a b c ++=+3b =，∴a c +=3ac =， ∴11sin 322ABC S ac B ==⨯=△． 3．【答案】（1）函数最小正周期为π，单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）ABC S △【解析】（1）()22πcos cos sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭，2ππ2T ==，即函数最小正周期为π， 由πππ2π22π262k x k -≤+≤+得ππππ36k x k -≤≤+， 故所求单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）由()1f C =，得π2sin 216C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππ22π66C k +=+或π5π22π66C k +=+，∴πC k =或ππ3C k =+， ∵()0,πC ∈，∴π3C =， 又∵()()()sin sin sin sin 2sin cos C B A B A B A B A +-=++-=， ∴2sin cos 2sin2B A A =，即sin cos 2sin cos B A A A =，①当cos 0A =时，即π2A =，则由π3C =，2c =，可得ABC S =△，②当cos 0A ≠时，则sin 2sin B A =，即2b a =，则由2221cos 22a b c C ab +-==，解得a ，b∴1sin 2ABC S ab C ==△综上：ABC S =△。
2019高考数学(理)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做1 三角函数与解三角形(理)
2． [2019·济 南 外 国 语 ] △ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知
a 2ccos B b cos A 0 ．
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（1）求 B ； （2）若 b 3 ， △ABC 的周长为 3 2 3 ，求 △ABC 的面积．
Z
．
（2）由
f
C
1
，得
2sin
2C
π 6
1，
∴ 2C π π 2kπ 或 2C π 5π 2kπ ，∴ C kπ 或 C π kπ ，
66
66
3
∵ C 0, π ，∴ C π ，
3
又∵ sin C sin B A sin B A sin B A 2sin B cos A ，
∵ 0 B π ，∴ sin B 0 ，∴ cos A 1 ， 2
∵ 0 A π ，∴ A π ． 3
（2）由 S△ABC
3
，可得 S△ABC
1 bc sin 2
A
3 ，∴ bc 4 ，
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又 b c 5 ，由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos A b c2 3bc 13 ，
2
∵ 0 B π ，∴ B 2 π ． 3
（2）由余弦定理得
9
a2
c2
2ac
1 2
，
a2
c2
ac
2019高考数学三轮冲刺大题提分大题精做1三角函数与解三角形(理)
大题精做1 三角函数与解三角形[2019·贵阳一中]在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，可得，即，
即，即，
∵，∴，即，
∵，∴，∴，
∵，∴．
（2）由，可得，∴，
又，由余弦定理得，
∴．
1．[2019·通州期末]如图，在中，，，，点在边上，且．
（1）求的长；
（2）求的面积．
2．[2019·济南外国语]的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；
（2）若，的周长为，求的面积．
3．[2019·宜昌调研]已知函数．
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，求的面积．
1．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1）在中，∵，∴，由正弦定理，∴．
（2）∵，
∴．
∴，，
在中，由余弦定理，
得，解得或（舍）．
∴的面积．
2．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，
∴，，
∵．∴，
∵，∴．
（2）由余弦定理得，，∴，
∵，，∴，∴，
∴．
3．【答案】（1）函数最小正周期为，单调递增区间为；（2）．【解析】（1），
，即函数最小正周期为，
由得，
故所求单调递增区间为．
（2）由，得，
∴或，∴或，
∵，∴，
又∵，
∴，即，
①当时，即，则由，，可得，
②当时，则，即，
则由，解得，，
∴．
综上：．。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第3章 三角函数、解三角形 3-3a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.故选A.2．已知函数y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－3,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D ．(0,3]答案 C解析 由于y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，所以ω>0， 且π3ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.3．(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－3，选A.4．(2017·长沙模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4， 这时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x . 因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．故选A.5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．故选D.6．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )答案 D解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，则2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝－3π4＋k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ＝π4，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z ，故选D.7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 由y ＝sin πx 3可得T ＝6，则由图象可知5T4≤t ，即152≤t ， ∴t min ＝8.故选C.8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 答案 A解析 将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32，选A.9．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 解法一：(特值法)取M ＝2，ω＝1，φ＝0画图象即得答案． 解法二：T ＝2πω，g (x )＝M cos(ωx ＋φ)＝M sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2＝M sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω＋φ，∴g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫即T 4得到的．由b －a ＝T2，可知，g (x )的图象由f (x )的图象向左平移b －a 2得到的． ∴得到g (x )图象如图所示．选C.10．(2018·新疆质检)已知函数f (x )＝|sin x |·cos x ，给出下列五个结论：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称． 其中正确的结论是( )A ．①⑤B ．①②⑤C ．②④D ．②⑤ 答案 A解析 ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2018π3·cos 2018π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34，∴①正确；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 2，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确；③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x <0，12sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确；④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π<x <2k π，12sin2x ，2k π≤x <π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称，∴⑤正确．故选A. 二、填空题11．设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案 2π3解析 由题意得f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3是奇函数，因此φ＋π3＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π3.又0<φ<π，所以φ＝2π3.12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<φ<π的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.13．(2017·绵阳模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________. 答案 －2解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数， ∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1， 则12·2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sinπx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2. 14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数． 所有正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以④正确．三、解答题15．已知函数f (x )＝2sin x ＋1.(1)设ω为大于0的常数，若f (ωx )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，求实数ω的取值范围；解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－cos 2x ＋cos x ＋2＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94.∵cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时， f (x )max ＝94.(2)依题意sin 2x ＋a cos x ＋a ≤1，即sin 2x ＋a (cos x ＋1)≤1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，0≤cos x ≤1，则1≤cos x ＋1≤2，∴a ≤ cos 2xcos x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立． 令t ＝cos x ＋1，则1≤t ≤2，∴a ≤(t －1)2t ＝t 2－2t ＋1t＝t ＋1t －2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2min . 又∵t ＋1t －2≥0，当且仅当t ＝1，即x ＝π2时取等号， ∴a ≤0.。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：中档大题规范练(一)三角函数与解三角形理
(一)三角函数与解三角形1．已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋sin x )．3(1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．[0，π2]解 (1)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x3＝sin 2x ＋(1－cos 2x )1232＝sin 2x －cos 2x ＋123232＝sin ＋.(2x －π3)32所以f (x )的最小正周期T ＝＝π.2π2(2)因为x ∈，[0，π2]所以2x －∈.π3[－π3，2π3]令u ＝2x －，π3因为y ＝sin u 在上是增函数，[－π3，π2]在上是减函数，[π2，2π3]令u ＝2x －＝，则x ＝，π3π25π12所以f (x )在上是增函数，[0，5π12]在上是减函数．[5π12，π2]由题意知，关于x 的方程f (x )＝t 在区间内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )[0，π2]与y ＝t 的图象在区间内有两个不同的交点，[0，π2]又因为f (0)＝0，f＝1＋，f ＝，(5π12)32(π2)3所以≤t <1＋，332即t 的取值范围是.[3，1＋32)2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A ＝－，b ＝，c ＝.101025(1)求a ；(2)求cos(B －A )的值．解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2＋5－2×××＝9，25(－1010)∴a ＝3(舍负)．(2)在△ABC 中，由cos A ＝－，得A ∈，1010(π2，π)∴sin A ＝＝ ＝.1－cos 2A 1－(－1010)231010在△ABC 中，由正弦定理得＝，a sin A b sin B 即＝，∴sin B ＝，3310102sin B 55又A ∈，故B ∈，(π2，π)(0，π2)∴cos B ＝＝ ＝.1－sin 2B 1－(55)2255∴cos(B －A )＝cos B cos A ＋sin B sin A＝×＋×＝.255(－1010)55310102103．(2018·河北省衡水中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B －cos 2C ＝sin 2A －sin A ·sin B .3(1)求角C ；(2)若A ＝，△ABC 的面积为4，M 为AB 的中点，求CM 的长．π63解 (1)由cos 2B －cos 2C ＝sin 2A －sin A sin B ，3得sin 2C －sin 2B ＝sin 2A －sin A sin B .3由正弦定理，得c 2－b 2＝a 2－ab ，3即a 2＋b 2－c 2＝ab .3又由余弦定理，得cos C ＝＝＝.a 2＋b 2－c 22ab 3ab 2ab32因为0<C <π，所以C ＝.π6(2)因为A ＝C ＝，π6所以△ABC 为等腰三角形，且顶角B ＝.2π3故S △ABC ＝a 2sin B ＝a 2＝4，所以a ＝4(舍负)．12343在△MBC 中，由余弦定理，得CM 2＝MB 2＋BC 2－2MB ·BC cos B＝4＋16＋2×2×4×＝28，12解得CM ＝2.74．(2018·重庆市綦江区调研)已知a ＝(2cos x,2sin x )，b ＝，函(sin (x －π6)，cos (x －π6))数f (x )＝cos 〈a ，b 〉．(1)求函数f (x )的零点；(2)若锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且f (A )＝1，求的取值范围．b ＋c a解 (1)由条件可知，a ·b ＝2cos x ·sin ＋2sin x ·cos ＝2sin ，(x －π6)(x －π6)(2x －π6)∴f (x )＝cos 〈a ，b 〉＝＝a ·b |a ||b |2sin (2x －π6)2＝sin .(2x －π6)由2x －＝k π，k ∈Z ，解得x ＝＋，k ∈Z ，π6k π2π12即函数f (x )的零点为x ＝＋，k ∈Z .k π2π12(2)由正弦定理得＝，b ＋c a sin B ＋sin C sin A由(1)知，f (x )＝sin ，(2x －π6)又f (A )＝1，得sin ＝1，(2A －π6)∴2A －＝2k π＋，k ∈Z ，π6π2又A ∈(0，π)，得A ＝，π3∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝－B ，代入上式化简得，2π3＝b ＋c a sin B ＋sin (2π3－B )sin A＝32sin B ＋32cos B sin A＝3sin (B ＋π6)sin A ＝2sin .(B ＋π6)又在锐角△ABC 中，有0<B <，π20<C ＝－B <，2π3π2∴<B <，∴<B ＋<，π6π2π3π62π3则有<sin ≤1，32(B ＋π6)即<≤2.3b ＋c a5．(2018·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝sin C .3(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝＝－，a 2＋b 2－c 22ab 12又0<C <π，∴C ＝，2π3∴sin A ＋sin B ＝sin C ＝sin ＝.332π332(2)当c ＝2，a ＋b ＝c ＝2，33∴cos C ＝＝＝－1，a 2＋b 2－c 22ab (a ＋b )2－2ab －c 22ab4ab ∴sin C ＝＝ 1－cos 2C 1－(4ab －1)2＝ ，－(4ab )2＋8ab ∴S ＝ab sin C ＝ab 1212－(4ab )2＋8ab ＝.12－16＋8ab ∵a ＋b ＝2≥2，3ab 即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝时等号成立，3∴S ＝≤＝，12－16＋8ab 12－16＋8×32∴△ABC 面积的最大值为.2。
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大题精做1 三角函数与解三角形[2019·贵阳一中]在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且．（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，可得，即，
即，即，
∵，∴，即，
∵，∴，∴，
∵，∴．
（2）由，可得，∴，
又，由余弦定理得，
∴．
1．[2019·通州期末]如图，在中，，，，点在边上，且．
（1）求的长；
（2）求的面积．
2．[2019·济南外国语]的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；
（2）若，的周长为，求的面积．
3．[2019·宜昌调研]已知函数．
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，求的面积．
1．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1）在中，∵，∴，由正弦定理，∴．
（2）∵，
∴．
∴，，
在中，由余弦定理，
得，解得或（舍）．
∴的面积．
2．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，
∴，，
∵．∴，
∵，∴．
（2）由余弦定理得，，∴，
∵，，∴，∴，
∴．
3．【答案】（1）函数最小正周期为，单调递增区间为；（2）．【解析】（1），
，即函数最小正周期为，
由得，
故所求单调递增区间为．
（2）由，得，
∴或，∴或，
∵，∴，
又∵，
∴，即，
①当时，即，则由，，可得，
②当时，则，即，
则由，解得，，
∴．
综上：．。