浙江省诸暨中学学年高一数学下学期期中试卷
2015-2016年浙江省绍兴市诸暨中学高一(下)期中数学试卷和答案
7． （4 分） 在△ABC 中， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边， 已知 a2cosAsinB=b2sinAcosB， 则△ABC 为（ A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8． （4 分）已知{an}是递增数列，且对于任意 n∈N*，都有 an=n2+3λn 成立，则实 数 λ 的取值范围是（ ）
）2+（ A．外心
﹣ B．重心
）2=0，则点 O 是△ABC 的（ C．内心
）
D．垂心
二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分．将正确答案填在答题卷 横线上） 11． （4 分）若 =（2，4） ， =（1，3） ，则 = ． ．
12． （4 分）在△ABC 中，若 sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B 的大小是
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）
A．λ＞1
B．λ＜1
C．λ＞﹣1
D．λ＜﹣1 ）
9． （4 分）已知数列{an}满足 a1=1，an+1•an=2n（n∈N*） ，则 S2012=（ A．22012﹣1 B．3×21006﹣3 C．3×21006﹣1 ﹣
D．3×21005﹣2 ）2+（ ﹣
10． （4 分）已知点 O 在平面△ABC 中，且满足（
13． （4 分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1=2，且 a1，a3，a9 成等比数列， 则 a1+a4+a7+…+a3n﹣2═ ．
14． （4 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an， （n∈N*） ，a1=2，则数列 {an}通项公式 an= ． ，P 是 BN 上的一点，若 =m + ，
浙江省诸暨中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题(平行班)【含答案】
浙江省诸暨中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（平行班）1、选择题(每小题5分,共50分)1、已知,下列不等式成立的是 ( )0<<b a A ． B ． C ． D ． 22b a <ab a <233b a <b a 11<2、下列各函数中，最小值为的是 ( )2A B ，1y x x =+x x y sin 4sin +=(0,2x π∈C Dy =x x y 1+=3、等差数列中，已知，则为 ( ){}n a 33,314,31531==+=n a a a a n A ．48 B ．49 C ．50 D ． 514、数列的前2020项的和为 ( )(){}n n ⋅-12020S A ．1010 B ． C ． D ． 20171010-2017-5、已知函数的最小值为 （ ）42-+-=x x y A ．6 B ． C ． D ．22-6-6、若不等式的解集为R ，则a 的取值范围是 ( )2(2)2(2)40a x a x -+--<A. B. C. D. 2a ≤22a -<≤22a -<<2a <7、关于的不等式的解集为 ( )x ()()()1011><--a x ax A. B. C. D.⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,1()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,11, a ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1a ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,11,a 8、坐标满足,且,则的最小值为 ( ) ()1,1-1=-ny mx 0,0>>n m nm 41+ A.9 B.6 C.8 D.249、数列中,,且,则为 ( ){}n a 2,121==a a n n n a a a -=++12()*∈N n 2020a A. 2 B.1 C. D.1-2-10、为数列的前n 项和，,对任意大于2的正整数n S }{n a 17,10,5,24321====a a a a ,有恒成立,则使得n 033211=+-+---+m S S S S n n n n成立的正整数的最小值为 ( )422521212121132≥-+-+⋅⋅⋅+-+--k k a a a a k A.7 B.6 C.5 D.4二、填空题(每小题4分,共28分)11、已知数列的，前项和为，且，则的通项为 ．{}n a n n S 132-+=n n S n n a 12、已知等差数列的前项和为，若则 ．{}n αn n S 5418a a -==8S 13、已知等比数列前项和为,若,则 ．n n S 63,763==S S =9S 14、已知数列满足,则数列的通项为 ．{}n a 23,211+==+n n a a a {}n a 15、不等式的解集为 ．()()0612<-+-x x x 16、不等式解集是 ．431≥-+-x x 17、等差数列的前项和为,且,若,则 {}n a n n S 14131413,0,0a a a a ><>01<+k k S S =k ．三、解答题(共72分)18、若不等式的解集为042≤+-bx ax {}21≤≤x x (1)求值b a ,(2)求不等式的解集.111<-+ax bx19、为等差数列的前n 项和，且,已知．n S }{n a 0>d 15,544132-=+=a a a a (1)求的通项公式和的最小值;{}n a n S (2)设 ,求数列的前n 项和．()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=9,99,923n n n S b n n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b n T 20、已知函数()233-+=x x x f (1)当时,求函数的最小值;2>x ()x f (2)若存在,使得成立,求取值范围.()+∞∈,2x ()tt x f 24-≤t21、正项等比数列中，，且是和的等差中项.}{n a 11=a 621a 5a 42a (1)求的通项公式；{}n a (2)求数列的前n 项和.⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n n T (3)设,求的最小项．n a b n n 8-=n b 22、已知数列的前n 项和为,,,且,,}{n a n S 01>a *++∈+-=N n a S n n n ,122111a 5成等比．2a (1)求值; (2)证明:为等比数列,并求;1a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12n n a n a (3)设,若对任意,不等式恒成立.()n n n a b 2log 3+=*∈N n ()()01212<+-+-n n b b λλ试求取值范围．λ 诸暨中学2019学年高一期中考试(平行班)数学参考答案2、选择题(每小题5分,共50分)CDCAD BCACB二、填空题(每小题4分,共28分)11、()()⎩⎨⎧≥+==22213n n n a n 12、7213、51114、13-=nn a 15、()()2,13, -∞-16、(][)+∞∞-,40, 17、26三、解答题(共72分)18、(1)6,2==b a (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2119、(1),的最小值为153-=n a n n S 3054-==S S (2),,()n n S n -=923n b n =1+=n n T n 20、(3)()()122min ==f x f (4)2≥t 21、(1)12-=n n a (2)1224-+-=n n n T (3)最小项为2454-==b b22、(1) (2)首项为,11=a 23n n n a 23-=(3)对恒成立,()()0121,2<+-+-=n n n b n λλ*∈N n ()()[]0111<+-+n n λ,,所以()011<+-n λ11+>n λ2>λ。
浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)
高一数学 试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 向量与向量的长度相等C.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D. 若，则2.若复数（i 为虚数单位），则z 的共轭复数（ ）A. B. C. D. 3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）A ．B ．2C ．D4．在中，角的对边分别为，若，则中角B 的大小是（ ）A ．B ．C ．D ．5.在△ABC 中，O 为BC 的中点，若，则动点M 的轨迹必通过△ABC 的（ ）A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心第6题图第7题图7．如图，三棱锥中，平面，且， .则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A.B.8. 如图，在直角梯形中，，是的中点，P 是梯2AC AB ==, ∥∥a b b c a c∥ABBA 7,3b a == a b> 1iz i =+z =1122i +1122i -1i+1i-O A B C ''''//O A B C ''''242O A B C A B '''''='==，ABC ,,A B C ,,a b c ::5:7:8a b c =ABC 13512090 600MO BC ⋅=S ABC －SA ⊥ABC 30ACB ∠=︒1SA =323π13πABCD //,,4,2AB CD AD AB AB AD CD ⊥===M AD形ABCD 内一点（含边界），若，且，则的最小值是（ ）A. －7B. －2C. －1D. 0二、选择题:本题共3小题,每小题4分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得4分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线与是异面直线B ．直线与是平行直线C ．直线与是相交直线D ．平面截正方体所得的截面面积为10.对于，角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则是等腰三角形C ．若，则是钝角三角形D ．若，则符合条件的有两个）三、填空题:本题共3小题，每小题4分，共12分..14. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4各正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点P ，Q 分别在线段DE ，BC 上，则FP +PQ +AQ 的最小值为___________.BP BM BC λμ=+ 21λμ+=PM PC ⋅1111ABCD A B C D -,M N 111,C D C C BN 1MB AM BN MN AC BMN 92ABC ,,A B C ,,a b c A C >sin sin A C>sin 2sin 2A B =ABC 222sin sin sin A B C +<ABC 4,5,60a b C === ABC =四、解答题（共5小题，共52分）15.（8分）已知向量，，，且，．（1）求x 与y 的值；（2）若，，求向量，的夹角的大小.16．（10分）已知复数.（1）若m = 0，求|z |；（2）若z 是纯虚数，求m 的值;（3）若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围.17.（10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足．（1）求角C 的值；（2）若，，求的周长．()1,2a = ()3,b x = ()2,c y = a b ∥ a c ⊥2m a b =+ n a c =+ m n22(32)(43),z m m m m i m R =-++-+∈cos cos cos b C c B C +=c =1ABC S =△ABC18.（12分）正四棱锥P -ABCD ，点E 在棱PB 上，满足，点F 在棱PC 上，满足.（1）证明：PA //平面BDF ；（2）点G 是棱PB 上一点，且EF //平面ACG ，求三棱柱D-ACG与四棱柱P -ABCD 的体积之比.19．（12分）如图，在△ABC 中，AB =BC =2，D 为△ABC 外一点，AD =2CD =4，记∠BAD =α，∠BCD =β.（1）求的值；（2）若△ABD 的面积为，△BCD 的面积为，求的最大值.13PE PB =12PF PC =2cos cos αβ-1S 2S 2212S S +答案1.B2.A3.C4.D5.B6.D7.D8.C9.AD 10.AC 11.BCD12.613.或3π23π。
浙江诸暨中学2019-2020学年高一下学期期中考数学试题Word版含答案
浙江诸暨中学2019-2020学年下学期期中考高一数学试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆的方程为1422=-+x y x ，则它的圆心坐标和半径的长分别是（ ）A ．（2，0），5B ．（2，0），5C ．（0，2），5D ．（0，2），52．已知直线12:20 :(2)40l x ay l ax a y ++=+++=，若12//l l ，则实数a 的值是（ ）A ．2或1-B ．1-C ．2D ．2-或1 3．已知,a b 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若,,a b αβαβ⊂⊂⊥，则a b ⊥B ．若,,,a b αβαβ⊂⊂不平行，则,a b 为异面直线C ．若,a b b α⊥⊥，则//a αD ．若//,,//a b αβαβ⊥，则a b ⊥4．已知直线l 为圆224x y +=在点(2,2)处的切线，点P 为直线l 上一动点，点Q 为圆22(1)1x y ++=上一动点，则||PQ 的最小值为（ ）A ．2B ．12+C ．212+ D ．231- 5．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为73，则侧视图中线段的长度x 的值是( )A ．7B ．72C ．4D ．56．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点A 在椭圆上，且160AOF ∠=︒，'A 与A 关于原点O 对称，且22'0F A F A =u u u u r u u u u rg ，则椭圆离心率为（ ）A ．31-B ．32 C ．312- D ．423- 7．直线l 经过点A(1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,1B ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞-,211,YC ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞-,511,YD ．()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,121,Y8．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A ．1364522=+y x B ．1273622=+y x C ．1182722=+y x D ．191822=+y x 9．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆13422=+x y 上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 10．设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面α有( )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020学年高一(实验班)下学期期中考试数学试题 Word版含解析
2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学实验班高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1. 在平面直角坐标系中,3则此直线的倾斜角等于（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值求解即可. 【详解】设此直线的倾斜角为θ,θ∈[0°,180°）, ∵tanθ3=∴θ＝60°. 故选：B.【点睛】本题考查了直线的倾斜角、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 2. 已知直线()12:20:240l x ay l ax a y ++=+++=，，若12//l l ，则实数a 的值是（ ） A. 2或1- B. 2-或1C. 2D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】：两直线平行，斜率相等，可求参数a【详解】：两直线平行，斜率相等可知20a a a ⨯--=，解得21a =-，，当2a =时，2:20l x +=不满足题意舍去．故选D【点睛】：直线方程一般式平行的充要条件：11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，，若12//l l ,等价于1221A B A B =．所解的值要进行验证．3. 已知直线m ⊄平面α，直线n ⊂平面α，且点A ∈直线m ，点A ∈平面α，则直线m ，n 的位置关系不可能是（ ） A. 垂直 B. 相交C. 异面D. 平行【答案】D 【解析】【分析】推导出直线n ⊂平面α，m ∩α＝A ，从而直线m ，n 的位置关系不可能是平行直线． 【详解】解：∵直线m ⊄平面α，直线n ⊂平面α，且点A ∈直线m ，点A ∈平面α， ∴m ∩α＝A ，∴直线m ，n 的位置关系不可能是平行直线． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．4. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A. 22+ B.12C.22+ D. 12+【答案】A 【解析】 【分析】如图所示建立坐标系，计算面积得到答案. 【详解】如图所示建立坐标系，根据题意：图2中OABC 为直角梯形，2OC =，1BC =，21OA =+.故22S =+. 故选：A .【点睛】本题考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.5. 已知,a b 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若,,a b αβαβ⊂⊂⊥，则a b ⊥B. 若,,,a b αβαβ⊂⊂不平行，则,a b 为异面直线C. 若,a b b α⊥⊥，则//a αD. 若//,,//a b αβαβ⊥，则a b ⊥ 【答案】D 【解析】分析：由题意结合所给的条件和立体几何的相关判断定理、性质定理逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.详解：若,,a b αβαβ⊂⊂⊥，则,a b 有可能垂直，也有可能平行， 也可能异面但不垂直，也可能相交不垂直，故A 错误，B 也错误； 若,a b b α⊥⊥，则a 有可能在α内，故C 错；由//,//a ααβ可得//a β或a 在β内，又,b β⊥所以a b ⊥，故D 正确. 本题选择D 选项.点睛：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键. 6. 直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA==，则异面直线1BA 与1AC所成的角等于A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C 【解析】【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ∥A 1B ，∠EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC 1为正三角形，∴∠EC 1B 为60，故选C ．7. 已知,,,m n a b R ∈，且满足346,341m n a b +=+=的最小值为 （ ）C. 1D.12【答案】C 【解析】(),m n 为直线346x y +=上的动点，(),a b 为直线341x y +=上的动点，显然最小值即两平行线间的距离：d 1==.故选C 8. 已知圆:()2()21(0)C x a y a a -+-=>与直线2y x =相交于P Q、两点，则当CPQ∆的面积为12时，实数a 的值为（ ） A.52B. 102C. 54D.104【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，圆:()2()21(0)C x a y a a -+-=>的圆心(,)C a a ，半径为1r =，所以圆心到直线2y x=的距离为5d a=，所以弦长为||2222125PQrda=-=-，所以CPQ∆的面积为|122125SPQ da=⋅=⨯-⨯，解得102a =，故选B ．考点：圆的弦长公式的应用及三角形的面积计算．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的弦长、弦长公式的应用及三角形的面积的计算，属于基础性试题，同时着重考查了学生的运算能力和分析、解答问题的能力，本题的解答中由圆的方程确定圆心(,)C a a ，半径为1r =，得到圆心到直线的距离5d a=，可得弦长||2125PQa=-，可得三角形的面积12||12S PQ d =⋅=，可求解a 的值．9. 若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ）A. 2B. 3C. 3D. 22【答案】B 【解析】结合三视图可知几何体为如图所示三棱锥A −BCD ，三棱锥在边长为2的正方体中，可知正方体体对角线AC 即为三棱锥最长的棱，且23AC =，故选B ．点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．10. 在三棱锥A ﹣BCD 中，BCD 3的等边三角形，3BAC π∠=，二面角A ﹣BC ﹣D的大小为θ，且13cos θ=，则三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为（ ） A.364 6 C.32D.36【答案】B 【解析】 【分析】设AB ＝x ，AC ＝y ，由余弦定理及基本不等式求出xy 的最大值为3，过A 作AO ⊥平面BCD ，∠AEO 为二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角，求出AO 的最大值，进而求出三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值． 【详解】解：设AB ＝x ，AC ＝y ，3BAC π∠=，由余弦定理得：BC 2＝x 2+y 2﹣2xycos 3π=x 2+y 2﹣xy ≥xy ，当且仅当x ＝y 3=又BC 3=xy ≤3，过A 作AO ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，则AO BC ⊥，作AE ⊥BC ，连接OE ，AO AE A ⋂=，BC ⊥平面AEO ，OE ⊂平面AEO ，则BC OE ⊥， ∴∠AEO 为二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角，大小为θ， 又11223BC AE xysin π⋅=，所以AE 12xy =， 所以AO ＝AEsinθ21121()223xy xy =-=≤由1136333A BCD BCDV S AO AO -=⋅=⋅⋅⋅≤， 故选：B ．【点评】本题考查了二面角的应用，还考查了余弦定理，基本不等式，体积公式等，中档题． 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共34分 11. 若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】22(1)1y x +-= 【解析】【详解】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为(0,1)，所以圆的标准方程为：22(1)1y x +-=，故答案为22(1)1y x +-=. 考点：圆的标准方程.12. 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (03为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________.【答案】(3 【解析】 【分析】作出函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可. 【详解】如图示：当直线l 过点B 时设直线l 斜率为1k ， 则130301k ==- 当直线l 过点A 时设直线l 斜率为2k ， 则210121k -==-， ∴要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 斜率的取值范围是(3 故答案为：(3]∪[1，＋∞).【点睛】本题考查了两点求直线的斜率，考查了数形结合的思想，属于基础题.13. 已知圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相交于A 、B两点，则直线AB 所在直线方程为_______________；线段AB 的长度为____________． 【答案】 (1). 240x y -+= (2). 5【解析】分析：将两圆的方程作差可得两圆公共弦的直线方程，利用几何法，首先求得圆心到弦的距离，然后利用弦长公式可得弦，即线段AB 的长度.详解：由两圆221:210240C x y x y +-+-=，222:2280C x y x y +++-=，圆的方程作差可得两圆1C ，2C 公共弦AB 所在直线方程为240x y -+=， ∴圆1C 的标准方程为：()()221550x y -++=， 则圆心()1,5-到公共弦的距离为1104355d ++==.∴弦长222(52)(35)25=⨯-=.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 14. 过点(1,2)M 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________. 【答案】x+y=3或y=2x 【解析】试题分析：：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a ， 把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx ， 把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x 即2x-y=0． 综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0 考点：直线方程15. 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,已知点A （0,2）,B （﹣2,0）,C （1,0）,分别以AB ,AC 为边向外作正方形ABEF 与ACGH ,则点H 的坐标为_____,直线FH 的一般式方程为_____.【答案】 (1). ()2,3 (2). 4140x y +-= 【解析】 【分析】分别过H 、F 作y 轴的垂线,垂足分别为M 、N .根据正方形的性质证出Rt △AHM ≌Rt △CAO ,利用对应边相等及A 、C 两点的坐标,算出H ()2,3,同理得到F （﹣2,4）.由此算出直线FH 的斜率,利用直线方程的点斜式列式,化简即可得到直线FH 的一般式方程. 【详解】解：分别过H 、F 作y 轴垂线,垂足分别为M 、N , ∵四边形ACGH 为正方形,∴Rt △AHM ≌Rt △CAO ,可得AM ＝OC ,MH ＝OA , ∵A （0,2）,C （1,0）,∴MH ＝OA ＝2,AM ＝OC ＝1,可得OM ＝OA +AM ＝3, 由此可得H 坐标为()2,3,同理得到F （﹣2,4）,∴直线FH 的斜率为k 431224-==---,可得直线FH 的方程为y ﹣314=-（x ﹣2）,化简得4140x y +-=.故答案为：()2,3；4140x y +-=【点睛】主要考查了直线的一般式方程与直线的性质,需要运用正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直线的基本量与基本形式等知识,属于中档题. 16. 设M ()22{|20}x y y a x a ==->，，，N ()()(222{|130}x y x y a a =-+-=>，，，则MN ≠∅时，实数a 的最大值是_____，最小值是_____．【答案】 (1). 222 (2). 222 【解析】 【分析】先根据方程得到半圆和圆的圆心和半径，再由题得到半圆和圆相交或相切，得到2||2a a OA a a -≤≤+,222a a a a -≤≤+即得解.【详解】解：2222+2(0)y a x y a y =∴=≥，它表示以原点O 2a 为半径的上半圆.()(22213x y a -+-=，它表示以点A 3)为圆心，以a 为半径的圆. ∵MN ≠∅时，∴半圆与圆相交或相切， 所以2||2a a OA a a -≤≤+，(当半圆与圆内切时2||a a OA -=，当半圆与圆外切时，||2OA a a =+.)所以2221+32a a a a -≤≤+，所以222a a a a -≤≤+，∴实数a 的最大值是222+，a 的最小值是222-． 故答案为：222+；222-．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查两圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17. 如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 在CC 1上，且CF ＝2FC 1，点P 是侧面AA 1D 1D （包括边界）上一动点，且PB 1∥平面DEF ，则tan ∠ABP 的取值范围为_____．【答案】[1133，． 【解析】 【分析】作出平面MNQB 1∥平面DEF ，推导出P 的轨迹是线段QN ，P 在Q 处，tan ∠ABP 取最小值，P 在N 处，tan ∠ABP 取最大值，由此能求出tan ∠ABP 的取值范围．【详解】解：如下图所示,1AA 上取一点Q ，使得12AQ AQ =, 在11D C 上取中点M ,连1B M ，与11A D 交于G ， 则111B C M GD M ≅△△，所以11111GD B C A D ==， 即1D 为1A G 中点，连QG 交1DD 于N ，因为11//D N AQ ，所以1D N 为1AQG △中位线，1112D N AQ = 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点， 则11,B MDE B M ⊄面,DEF DE ⊂面DEF ，1B M∴面DEF ，1//QB DF ，同理可证1QB 面DEF ，又111QB B M B =，∴平面MNQB 1//平面DEF ，∵PB 1∥平面DEF ，∴P 的轨迹是线段QN ， 设正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，P 在Q 处，tan ∠ABP 取最小值tan 13ABP ∠=， P 在N 处，tan ∠ABP 取最大值tan ∠ABP 4913+==． ∴tan ∠ABP 的取值范围为[11333，]． 故答案为：[1133，]．【点睛】本题考查角的正切值的取值范围的求法，考查线面、面面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，是中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共76分18. 如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求：（1）该几何体的体积． （2）截面ABC 的面积． 【答案】（1）6（26． 【解析】 【分析】（1）以同样大的几何体进行补形，得一直三棱柱，计算直三棱柱的体积，可求出该几何体的体积；（2）求出△ABC 的各边长，判断△ABC 为等腰三角形，再计算截面△ABC 的面积． 【详解】（1）以同样大的几何体，进行补形，可得一直三棱柱，其底面为△A 1B 1C 1，高为4+2＝6，∴所求几何体的体积为V 111111222A B C S h =⨯=⨯⨯2×2×6＝6； （2）△ABC 中，AB 22215=+BC 22215=+=AC 2222=+=2，∴△ABC 为等腰三角形，底边AC 的高为：h ()()22523=-=∴截面ABC 的面积为S △ABC 12=⨯236= 【点睛】本题考查了求几何体的体积与截面面积的应用问题，其中合理补形是解题的关键，属于中档题．19. 已知直线120()l kx y k k R -++=∈： （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【答案】（1）见解析（2）最小值为4，直线l 的方程为24=0x y -+【解析】 【分析】（1）直线l 过定点，说明定点的坐标与参数k 无关，故让k 的系数为0 和1可得定点坐标． （2）求出,A B 的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k 值，从而得到直线方程． 【详解】（1）证明：由已知得(2)(1)0k x y ++-=，无论k 取何值，∴=0k 时，1y = ，=1k 时，2110x ++-=，2x =-∴ 直线过定点(21)-，．（2）令=0y 得A 点坐标为120k-（-，）令=0x 得B 点坐标为0210k k +>(，)() ∴11==22111221221=222AOBSk k k k k k-++++⨯⨯+-()() 122242k k≥⨯+= 当且仅当122k k=，即12k =时取等号．即AOB 的面积的最小值为4，此时直线l 的方程为11102x y -++=．即24=0x y -+． 【点评】本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求表达式的最小值．考查转化思想以及计算能力．20. 如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AF ∥DE ，AF ⊥EF ，AF ＝AD ＝2AB ＝2DE ＝2．（1）求证：CE ∥面ABF ；（2）求直线DE 与平面BDF 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）3． 【解析】 【分析】（1）取AF 中点记为G ，连EG ，证明EGBC 为平行四边形，得到CE ∥BG ，再用线面平行的判定定理证明即可.（2））根据四边形ABCD 为矩形，得到BA AD ⊥ ，由平面ABCD ⊥平面ADEF ，得到BA ⊥平面ABCD ，且 1AB =，设点E 到平面BDF 的距离为h ，由V B ﹣DEF ＝V E ﹣BDF ，求出3h =，然后由θ=hsin DE求解． 【详解】（1）如图所示：取AF 中点记为G ，连EG ， ∵//EG AD ，且EG AD =， 又//BC AD ，且BC AD =， 所以//EG BC ，且EG BC =， ∴EGBC 为平行四边形， ∴CE ∥BG ，又∵CE ⊄面ABF ，BG ⊂面ABF ， ∴CE ∥面ABF ；（2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BA AD ⊥ ，又因为平面ABCD ⊥平面ADEF ， 所以BA ⊥平面ABCD ， 1AB =， 设点E 到平面BDF 的距离为h ， 因为V B ﹣DEF ＝V E ﹣BDF ，所以1133DEFBDFSBA S h ⋅⋅=⋅⋅，因为AF ∥DE ，AF ⊥EF ，AF ＝AD ＝2AB ＝2DE ＝2． 所以()223EF AD AF DE =--=，所以1131322=⨯=⨯⨯=DEFSDE EF ， 又因为52BD BF DF ===，，所以S △BDF ＝22111222222DF BF DF ⎛⎫⨯-=⨯⨯= ⎪⎝⎭， 解得3h =， 设直线DE 与平面BDF 所成角为θ， 所以34h sin DE θ==． 【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题． 21. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(Ⅰ)若圆C 与直线1y x =-相交于M ，N 两点，且2MN =C 的横坐标a 的值；(Ⅱ)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程． 【答案】(Ⅰ) 4a =或2;(Ⅱ) 切线为：0y =或334y x =-+. 【解析】分析：（Ⅰ）设圆心(),24C a a -，由题意结合点到直线距离公式得到关于实数a 的方程，解方程可得4a =或2.（Ⅱ）由题意可得圆心为C (3，2)，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得直线的斜率0k =或34k =-．则所求切线为：0y =或334y x =-+． 详解：（Ⅰ）设圆心(),24C a a -， 圆心C 到直线1y x =-的距离2d ==， 得：4a =或2.（Ⅱ）联立：124y x y x =-⎧⎨=-⎩，得圆心为：C (3，2)．设切线为：3y kx =+，1d r ===,得：0k =或34k =-．故所求切线为：0y =或334y x =-+． 点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 22.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马P ABCD-中，侧棱PD ⊥底面ABCD，且PDCD=，过棱PC 的中点E，作EF PB⊥交PB 于点F ，连接,,,.DED FBDBE⊥平面．试判断四面体（Ⅰ）证明：PB DEFD BE F是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF与面A B C D所成二面角的大小为π3，求DC BC的值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】【详解】【分析】（解法1）（Ⅰ）因为PD⊥底面A B C D，⊥，所以PD BC由底面ABCD为长方形，有⋂=，⊥，而PD CD DB C C D⊂平面，所以所以．而DE PCD⊥．B C D E=，点E是PC的中点，所以又因为PD CD⊥．D E P C⋂=，所以D E⊥平面而PC BC CPBC．而P B P B C ⊂平面，所以PB DE⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E⋂=，所以PB ⊥平面 D E F．由DE ⊥平面P B C，PB ⊥平面D E F，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEBD E F ∠∠，，EFB DFB∠∠，．（Ⅱ）如图1，在面PBC内，延长 B C与FE 交于点G，则DG 是平面 DE F与平面ABCD的交线．由（Ⅰ）知，PB DEF⊥平面，所以PB DG⊥．又因为PD ⊥底面 A B CD，所以PD DG ⊥．而PDP BP⋂=，所以DG PBD⊥平面．故BDF ∠是面D E F与面ABCD所成二面角的平面角，设1PD DC ==，B C λ=，有12BD λ=+，在Rt△PDB 中, 由DF PB⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则tanπ3tan 123DPF BD PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以122.DC BC λ== 故当面DEF与面AB C D所成二面角的大小为π3时，22DCBC=． （解法2） （Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,D ADCDP分别为,,x y z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设1PD DC ==，B Cλ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ→=-，点E 是PC的中点，所以(0,12,12)E ，(,12,12)DE→=， 于是PBDE →⋅→=，即PB DE⊥．又已知EF PB ⊥，而DEEFE⋂=，所以PB DEF⊥平面．因(0,1,1)PC →=-,DEPC →⋅→=,则DE PC ⊥, 所以．由DE ⊥平面P B C，PB ⊥平面DE F，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，，∠∠D E B D E F，．EFB DFB∠∠⊥平面，所以（Ⅱ）由PD ABCDDP→=是平面(0,0,1)A B C D 的一个法向量；⊥平面，所以由（Ⅰ）知，PB DEF→=--是平面BPλ(,1,1)D E F 的一个法向量．若面DEF与面A B C D所成二面角的大小为π3，则→⋅→→|| BP DP，λ=．所以解得2D C B Cλ==122.故当面DEF与面A B C D所成二面角的大小为π3时，DC BC=22．考点：四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，二面角．。
浙江省诸暨中学2019_2020学年新高一数学下学期期中试题
浙江省诸暨中学2019-2020学年新高一数学下学期期中试题一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)1、 下列4个关系中，正确的是 ( ) A . R ∉2 B . *∈N 0 C . Z ∈5.0 D . Q ∈-1 2、 已知全集{}3-≥=x x S ，集合{}3>=x x A ，则=A C S ( ) A . {}3≤x x B . {}3<x x C . {}33≤≤-x x D . {}33<≤-x x 3、R x ∈，则 “21<<x ”是“12<-x ”的 ( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 4、 已知()()R x x f ∈=π，则 ()=2πf( )A . 2π B . π C . π D . 不确定5、 若10<<a ，则关于x 的不等式0112<+⎪⎭⎫⎝⎛+-x a a x 的解为 ( ) A . a x a 1<< B .a x a <<1 C . ax a x 1><或 D . a x ax ><或16、 下面四个条件中，使b a >成立的必要不充分条件是 ( )A . b a >-1B . b a >+1C . b a >D . 33b a >7、 已知2,1>>n m 且4=+n m ，则2411-+-n m 的最小值为 ( ） A . 8 B . 9 C . 10 D . 11 8、 已知不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-321x x ，则不等式 02<++a bx cx 的解集为 ( ）A . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213x x B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<213x x x 或C . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-312x x D . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<312x x x 或9、 若集合A 具有以下性质：()A ∈01，A ∈1；()2若A y A x ∈∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1. 则称集合A 是“好集”.下列命题正确的个数是 ( ) ①集合{}1,0,1-=B 是“好集”； ②有理数Q 是“好集”； ③设集合A 是“好集”，若A x ∈，A y ∈，则A y x ∈+ A . 0 B . 1 C . 2 D . 310、 已知实数c b a ,,满足0≠a ，c b a ≥≥，0=++c b a ，则()c bx ax x f ++=2被x 轴所截得的弦长的取值范围为 （ ）A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21B . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡9,49 C . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,26D . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 二、填空题(共7题，多空题每题6分，单空题每题4分，共34分)11、已知集合{}2,x x A =，若A ∈1，则=x ________；集合A 的真子集有________个.12、 已知函数()112+=x x f ，则()x f 的值域为________，()1+x f 的定义域为________.13、命题“所有菱形的对角线相等”是__________命题（填“真”或“假”）；并写出此 命题的否定： .14、m x x R x ≤--+∈∃3212,，则实数m 的取值范围为_______________. 15、已知函数()()R b a b ax x x f ∈++=,2的值域为[)+∞,0，若关于x 的不等式()c x f <的解集为()6,+m m ，则实数=c ___________.16、 函数{}{}3,2,13,2,1:→f 满足()x f x +为偶数，则这样的函数有__________个.17、 已知R d c b a ∈,,,,()()()22222bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时取等号.利用此结论可得函数x x y 3322++-=的最大值为____________.三、解答题(共4大题，共46分)18. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤---=02652x x x x A ，{}12+<<=m x m x B ，全集R U =（1）若1=m ，求()()B C A C R R ⋃; （2）若B B A =⋂，求实数m 的取值范围.19、（1）已知()n mx x f -=2，()114-≤≤-f ，()521≤≤-f ，求()3f 的取值范围.（2）已知正数b a ,满足111=+b a ，求141-+-b b a a 的最小值，并求出取到最小值 时b a ,的值.20、设()422+-=ax ax x f ，R a ∈（1）若R x ∈∀，()0>x f ，求实数a 的取值范围； （2）当1<a 时，解关于x 的不等式()x x f 2<.21、已知函数()()m x m x x f ++-+-=2232，R m ∈（1）若()x f 在[]1,1-∈x 上的最小值为()1f ，求实数m 的取值范围； （2）求()x f 在[]m ,0上的最大值()m h ； （3）若210≤<m ，记()x f 在[]1,1-上的最大值为()m g ，求()m g 的最小值.诸暨中学2019学年新高一期中考试数学参考答案 一、选择题二、填空题 18、 -1 3 19、 (]1,0 R20、 假 存在菱形对角线不相等 21、 4-≥m 22、 9 23、 4 24、 10 11、 解答题22、（1）{}621≤<-≤=x x x A 或，()3,1=B()()()(][)+∞⋃∞-=⋂=⋃,32,B A C B C A C R R R20、由已知的A B ⊆若 φ=B ,则12+≥m m ，即1-≤m若 φ≠B ,则⎩⎨⎧-≤++<11212m m m 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-<612212m m m m ，得无解或252≤≤m综上： 2521≤≤-≤m m 或 19、（1）()()()()()[]20,12381354383593-∈+-=-+--=-=f f n m n m n m f()()91415141,1,1112≥-+-+=-+--==+b b b b a a b b a b a 则得由 当且仅当23,3==a b 时取等号。
2020-2021学年浙江省诸暨中学高一下学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．各项均为实数的等比数列 中， ， =2，则 =（）
A．4B． C． 4D．
2．等差数列 中， =3， =7，则 =（）
A．9B．10C．11D．12
∴当且仅当 时，
考点：1．向量的模；2．向量的夹角
19．（1） （2）若B=90º ， ；若C=90º ，
【解析】
试题分析：（1）首先利用面积公式求得 边，再由余弦定理求得 边（2）中三角形是直角三角形需分两种情况：B=90º和C=90º来讨论
试题解析：（1）∵ ，∴
∵ ，∴
∴
（2）若B=90º，则 ， ；
5．D
【解析】
试题分析：由等差数列性质
考点：等差数列性质及求和公式
6．A
【解析】
试题分析：由已知条件可知
考点：向量运算的三角形法则
7．C
【解析】
试题分析：由余弦定理得
考点：三角形余弦定理
8．D
【解析】
试题分析：由递推公式可知数列前几项依次为 ，所以数列周期为6，
考点：数列周期性
9．A
【解析】
试题分析：由题意可知，在 中 ,在 中,
A．20 米B．20 米C．20 米D．20米
10．有穷数列 ， ， ，…， 中的每一项都是 ，0,1这三个数中的某一个数，若 + + +…+ =427且 + + +…+ =3869，则有穷数列 ， ， ，…， 中值为0的项数是（）
A．1000B．1015C．1030D．1045
浙江省诸暨中学—学年第高一数学下学期期中试题 (2)
诸暨中学2014学年第二学期高一年级数学学科期中试题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.各项均为实数的等比数列}{n a 中，11=a ，3a =2，则5a = A. 4 B.2 C. ±4 D. ±2 2.等差数列}{n a 中，21a a +=3，43a a +=7，则65a a +=A. 9B. 10C.11D.123.边长为1的正方形ABCD 中，||+=A.2B. 2C. 1D.224.在△ABC 中，若222b a ab c +=+，则角C =A.30ºB. 45ºC.60ºD.120º5.等差数列}{n a 中，543a a a ++=12，那么}{n a 的前7项和7S =A.22B.24C.26D.286.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若=，=，则AF = A.+31 B.+21 C.31+ D.21+ 7.在△ABC 中，若1=b ，3=c ，B=30º，则a =A.2B.1C.1或2D.2或38.数列}{n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a -=++12，则}{n a 的前51项和51S =A.1B.2C.3D.49.为了测得河对岸塔AB 的高度，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，此时测得塔顶A 的仰角为60º。
再由点C 沿北偏东15º方向走了20米到达点D ，测得∠BDC= 45º，则塔AB 的高度为 A.206米 B.203米 C.202米 D.20米10.有穷数列1a ，2a ，3a ，…，2015a 中的每一项都是1-，0,1这三个数中的某一个数，若1a +2a +3a +…+2015a =427且21)1(+a +22)1(+a +23)1(+a +…+22015)1(+a =3869，则有穷数列1a ，2a ，3a ，…，2015a 中值为0的项数是A.1000B.1015C.1030D.1045二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分。
浙江省诸暨市诸暨中学高一数学下学期期中试题新人教A版
浙江省诸暨市诸暨中学2013-2014学年第二学期高一年级期中试题数学试卷选择题（每题3分，共30分）1．已知向量＝(3,4)，＝(sin α，cos α)，且∥，则tan α等于 ( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－432．方程2640x x -+=的两根的等比中项是 ( )A ．3B ．2± C．．23．在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，则·BC 的值是 ( ) A ．1 B ．－1C ．1或－1D ．不确定，与B 的大小，BC 的长度有关4．在△ABC 中，若a = 2 ,b =,030A = , 则B 等于 ( )A ．60oB ．60o 或 120oC ．30oD ．30o 或150o5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4813S S =，则1216S S =( )A ． 35 B ．310C ．18D ．196．如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是),(,βααβ<则A 点离地面的高度AB 等于 ( )A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-aD ．)cos(sin cos βαβα-a7．已知数列}{n a 中，,32,111-==+n n a a a 则数列}{n a 的通项公式为 ( )A ．⎩⎨⎧>-==-1,231,11n n a n n B ．n n a )2(3-+= C ．n n a 23-= D ．123++-=n n a8．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n Λ,则2215S S +的值是 ( )A ．73-B ．73C ．15-D ．159．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A BD C α βA.π3 B.2π3 C.3π4 D.5π610．设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||＝|c |，则|b ·c |的值一定等于 ( ) A ．以a ，b 为两边的三角形的面积 B ．以b ，c 为两边的三角形的面积 C ．以，为邻边的平行四边形的面积 D ．以，为邻边的平行四边形的面积二、填空题（每题4分，共24分） 11．数列}{n a 中，1a =2，,021=++n n a a 则=5a ________12．两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为nn T S ,,且,327++=n n T S n n 则1111b a 等于13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a2＋c2－b2)tanB ＝ac ，则角B 的值为________ 14．设1e ，2e 为单位向量， 且1e ，2e 的夹角为π3，若a ＝1e ＋32e ，b ＝21e ，则向量b 在a 方向上的投影为________15．在△ABC 中,A=120°, b=4, S △ABC=3,则=++++C B A cb a sin sin sin .16．在矩形A BCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________ 三、解答题（共46分）17．（8分）设向量=（3，1），=（-1，2），向量⊥，∥，又+=，求18．（8分）在△ABC 中，已知边c=10, 又知34cos cos ==a b B A ，求边a 、b 的长。
浙江省诸暨中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(实验班)(解析版)
2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学实验班高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．在平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于√3，则此直线的倾斜角等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．已知直线l1：x+ay+2＝0，l2：ax+（a+2）y+4＝0，若l1∥l2，则实数a的值是（）A．2或﹣1B．﹣1C．2D．﹣2或13．已知直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（）A．垂直B．相交C．异面D．平行4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．12+√22B．1+√22C．1+√2D．2+√25．已知a、b为不同直线，α、β为不同平面，则下列说法正确的是（）A．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bB．若a⊥b，b⊥α，则a∥αC．若a⊂α，b⊂β，α、β不平行，则a、b为异面直线D ．若a ∥α，b ⊥β，α∥β，则a ⊥b6．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．已知m ，n ，a ，b ∈R ，且满足3m +4n ＝6，3a +4b ＝1，则√(m −a)2+(n −b)2的最小值为（ ）A ．√3B ．√2C ．1D ．12 8．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝1（a ＞0）与直线y ＝2x 相交于P 、Q 两点，则当△CPQ 的面积为12时，实数a 的值为（ ） A ．√52 B ．√102 C ．√54 D ．√1049．若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ）A ．2B ．2√3C ．3D ．2√210．在三棱锥A﹣BCD中，BCD是边长为√3的等边三角形，∠BAC=π3，二面角A﹣BC﹣D的大小为θ，且cosθ=13，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）A．3√64B．√64C．√32D．√36二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共34分11．若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为．12．直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，√3）为端点线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为．13．已知圆C1：x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0和圆C2：x2+y2+2x+2y﹣8＝0相交于A、B两点，则直线AB所在直线方程为；线段AB的长度为．14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（1，0），分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为，直线FH 的一般式方程为．16．设M={(x，y)|y=√2a2−x2，a＞0}，N={(x，y)|(x−1)2+(y−√3)2=a2，a＞0}，则M∩N≠∅时，实数a的最大值是，最小值是．17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上，且CF＝2FC1，点P是侧面AA1D1D（包括边界）上一动点，且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共76分18．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：（1）该几何体的体积．（2）截面ABC的面积．19．已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．20．（16分）如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF 为梯形，AF∥DE，AF⊥EF，AF＝AD＝2AB＝2DE＝2．（Ⅰ）求证：CE∥面ABF；（Ⅱ）求直线DE与平面BDF所成角的正弦值．21．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），直线l ：y ＝2x ﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在直线上．（Ⅰ）若圆C 与直线y ＝x ﹣1相交于M ，N 两点，且|MN |=√2，求圆心C 的横坐标a 的值；（Ⅱ）若圆心C 也在直线y ＝x ﹣1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程．22．（16分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE ．（1）证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC 的值．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1．在平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于√3，则此直线的倾斜角等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），已知tanθ=√3，可得θ．解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），∵tanθ=√3，∴θ＝60°．故选：B．【点评】本题考查了直线的倾斜角、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知直线l1：x+ay+2＝0，l2：ax+（a+2）y+4＝0，若l1∥l2，则实数a的值是（）A．2或﹣1B．﹣1C．2D．﹣2或1【分析】由a2﹣（a+2）＝0，解得a，经过验证a看是否使得两条直线平行．解：由a2﹣（a+2）＝0，解得a＝2或﹣1．经过验证a＝2时两条直线重合，舍去．∴a＝﹣1时，l1∥l2．故选：B．【点评】本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（）A．垂直B．相交C．异面D．平行【分析】推导出直线n⊂平面α，m∩α＝A，从而直线m，n的位置关系不可能是平行直线．解：∵直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，∴m∩α＝A，∴直线m，n的位置关系不可能是平行直线．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．12+√22B．1+√22C．1+√2D．2+√2【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出原来的平面图形的上底与下底、高，从而求出它的面积．解：根据题意，画出图形，如图所示； 则原来的平面图形上底是1，下底是1+√2，高是2，∴它的面积是12×（1+1+√2）×2＝2+√2． 故选：D ．【点评】本题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，是基础题目．5．已知a 、b 为不同直线，α、β为不同平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ⊂α，b ⊂β，α⊥β，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥αC ．若a ⊂α，b ⊂β，α、β不平行，则a 、b 为异面直线D ．若a ∥α，b ⊥β，α∥β，则a ⊥b【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面，以及平面与平面的位置关系，对选项中的命题真假性判断即可．解：对于A ，若a ⊂α，b ⊂β，α⊥β，则a ⊥b 不一定成立，a 、b 可能平行，也可能相交，也可能异面，A 错误；对于B ，若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α或a ⊂α，∴B 错误；对于C ，若a ⊂α，b ⊂β，α、β不平行，则a 、b 可能为异面直线，也可能为相交或平行，∴C 错误；对于D ，当b ⊥β，α∥β时，b ⊥α，又a∥α，∴b⊥a，即a⊥b，D正确．故选：D．【点评】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面，以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．解：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D＝A1B＝DB=√2AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°故选：C．【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．7．已知m，n，a，b∈R，且满足3m+4n＝6，3a+4b＝1，则√(m−a)2+(n−b)2的最小值为（）A ．√3B ．√2C ．1D ．12【分析】将问题转化为求两平行线间的距离，利用公式直接计算得答案．解：此题可理解为点A （m ，n ）与点B （a ，b ）分别在直线l 1：3x +4y ＝6与直线l 2：3x +4y ＝1上，求A 、B 两点间的距离的最小值， ∵l 1∥l 2， ∴|AB|min =√3+4=1．故选：C ．【点评】本题考查最值的求法，考查两点间的距离及平行线间的距离公式，考查转化思想及逻辑推理能力，属于基础题．8．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝1（a ＞0）与直线y ＝2x 相交于P 、Q 两点，则当△CPQ 的面积为12时，实数a 的值为（ ）A ．√52B ．√102C ．√54D ．√104【分析】求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积，然后求出最大值即可．解：圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝1（a ＞0）的圆心（a ，a ）半径为1， 圆心到直线y ＝2x 的距离d =|2a−a|√5=a√5，半弦长为：√1−(a 5)2=√1−a 25， ∴△CPQ 的面积S =12•2√1−a 25•√5=√(1−a 25)2⋅a 25，故当a 25=12，即a =√102时，S 取得最大值为12，故选：B ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形面积的最值的求法，点到直线的距离公式的应用等知识，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．9．若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（）A．2B．2√3C．3D．2√2【分析】几何体为三棱锥，底面是等腰直角三角形，根据三视图数据计算出最长棱即可．解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣BCD，其中底面是等腰直角三角形，∠BCD＝90°，作PA⊥平面BCD为正方形，则ABCD为正方形，且PA＝AB＝2，∴几何体的最长棱为PC=√22+22+22=2√3．故选：B．【点评】本题考查的知识点是球的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．10．在三棱锥A﹣BCD中，BCD是边长为√3的等边三角形，∠BAC=π3，二面角A﹣BC﹣D的大小为θ，且cosθ=13，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）A ．3√64B ．√64C ．√32D ．√36【分析】设AB ＝x ，AC ＝y ，由余弦定理及基本不等式求出xy 的最大值为3，过A 作AO ⊥平面BCD ，∠AEO 为二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角，求出AO 的最大值，进而求出三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值． 解：设AB ＝x ，AC ＝y ，∠BAC =π3，由余弦定理得：BC 2＝x 2+y 2﹣2xy cos π3=x 2+y 2﹣xy ≥xy ，当且仅当x ＝y =√3时取等号，又BC =√3，所以xy ≤3，过A 作AO ⊥平面BCD ，作AE ⊥BC ，连接OE ，又12BC ⋅AE =12xysin π3，所以AE =12xy ，易知，∠AEO 为二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角，大小为θ，所以AO ＝AE sin θ=12⋅√1−(13)2xy =√23xy ≤√2，由V A−BCD =13S △BCD ⋅AO =13⋅√34⋅3⋅AO ≤√64，故选：B ．【点评】考查了二面角的应用，还考查了余弦定理，基本不等式，体积公式等，中档题． 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共34分 11．若圆C 的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为 x 2+（y﹣1）2＝1．【分析】利用点（a，b）关于直线y＝x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解：圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2＝1，故答案为：x2+（y﹣1）2＝1．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y＝x±k的对称点为（b，a），属于基础题．12．直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，√3）为端点线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为（﹣∞，−√3]∪[1，+∞）．【分析】结合函数的图象，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可．解：如图示：当直线l过B时设直线l的斜率为k1，则k1=√3−00−1=−√3，当直线l过A时设直线l的斜率为k2，则k2=1−02−1=1，∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（﹣∞，−√3]∪[1，+∞）， 故答案为：（﹣∞，−√3]∪[1，+∞）．【点评】本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道基础题． 13．已知圆C 1：x 2+y 2﹣2x +10y ﹣24＝0和圆C 2：x 2+y 2+2x +2y ﹣8＝0相交于A 、B 两点，则直线AB 所在直线方程为 x ﹣2y +4＝0 ；线段AB 的长度为 2√5 ．【分析】根据题意，将两个圆的方程联立，变形分析可得直线AB 所在直线方程，联立两圆方程，解可得A 、B 的坐标，进而由两点间距离公式计算可得答案．解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2﹣2x +10y ﹣24＝0，①；圆C 2：x 2+y 2+2x +2y ﹣8＝0，②； ①﹣②可得：﹣4x +8y ﹣16＝0， 变形可得：x ﹣2y +4＝0，联立①②可得：{x =−4y =0或{x =0y =2，即A ，B 两点的坐标为（﹣4，0），（0，2）；则|AB |=√16+4=2√5； 故答案为：x ﹣2y +4＝0，2√5．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及两圆公共弦的弦长计算，属于基础题． 14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 2x ﹣y ＝0或x +y ﹣3＝0 ． 【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x +y ＝a ，把已知点坐标代入即可求出a 的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y ＝kx ，把已知点的坐标代入即可求出k 的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程． 解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x +y ＝a ， 把（1，2）代入所设的方程得：a ＝3，则所求直线的方程为x +y ＝3即x +y ﹣3＝0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y ＝kx ，把（1，2）代入所求的方程得：k＝2，则所求直线的方程为y＝2x即2x﹣y＝0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0．故答案为：2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0【点评】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（1，0），分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为（2，3），直线FH的一般式方程为x+4y﹣14＝0．【分析】分别过H、F作y轴的垂线，垂足分别为M、N．根据正方形的性质证出Rt△AHM≌Rt△CAO，利用对应边相等及A、C两点的坐标，算出H（2，3），同理得到F （﹣2，4）．由此算出直线FH的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到直线FH的一般式方程．解：分别过H、F作y轴的垂线，垂足分别为M、N，∵四边形ACGH为正方形，∴Rt△AHM≌Rt△CAO，可得AM＝OC，MH＝OA，∵A（0，2），C（1，0），∴MH＝OA＝2，AM＝OC＝1，可得OM＝OA+AM＝3，由此可得H坐标为（2，3），同理得到F（﹣2，4），∴直线FH的斜率为k=4−3−2−2=−14，可得直线FH的方程为y﹣3=−14（x﹣2），化简得x+4y﹣14＝0．故答案为：x+4y﹣14＝0．【点评】主要考查了直线的一般式方程与直线的性质，需要运用正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直线的基本量与基本形式等知识，属于中档题．16．设M={(x，y)|y=√2a2−x2，a＞0}，N={(x，y)|(x−1)2+(y−√3)2=a2，a＞0}，则M∩N≠∅时，实数a的最大值是2√2+2，最小值是2√2−2．【分析】两个圆x2+y2＝2a2，（x﹣1）2+（y−√3）2＝a2相交或相切，当两圆内切时，√2a−a ＝2，求出实数a的最大值是2√2+2，当两圆外切时，√2a+a=2，求出a的最小值是2√2−2．解：∵M={(x，y)|y=√2a2−x2，a＞0}，N={(x，y)|(x−1)2+(y−√3)2=a2，a＞0}，M∩N≠∅时，∴两个圆x2+y2＝2a2，（x﹣1）2+（y−√3）2＝a2相交或相切，当两圆内切时，√2a−a＝2，解得a＝2√2+2，∴实数a的最大值是2√2+2，当两圆外切时，√2a+a=2，解得a＝2√2−2，∴a 的最小值是2√2−2． 故答案为：2√2+2，2√2−2．【点评】本题考查实数值的最大值、最小值的求法，考查交集定义、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 在CC 1上，且CF ＝2FC 1，点P 是侧面AA 1D 1D （包括边界）上一动点，且PB 1∥平面DEF ，则tan ∠ABP 的取值范围为 [3，√133] ．【分析】作出平面MNQB 1∥平面DEF ，推导出P 的轨迹是线段QN ，P 在Q 处，tan ∠ABP 取最小值，P 在N 处，tan ∠ABP 取最大值，由此能求出tan ∠ABP 的取值范围． 解：如图所示，作出平面MNQB 1∥平面DEF ， 则A 1Q ＝2AQ ，DN ＝2D 1N ，∵PB 1∥平面DEF ，∴P 的轨迹是线段QN ， P 在Q 处，tan ∠ABP 取最小值tan ∠ABP =13，P 在N 处，tan ∠ABP 取最大值tan ∠ABP =√4+93=√133．∴tan ∠ABP 的取值范围为[13，√133]．故答案为：[13，√133]．【点评】本题考查角的正切值的取值范围的求法，考查线面、面面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共76分18．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：（1）该几何体的体积．（2）截面ABC的面积．【分析】（1）以同样大的几何体进行补形，得一直三棱柱，计算直三棱柱的体积，求出该几何体的体积；（2）求出△ABC的各边长，判断△ABC为等腰三角形，再计算截面△ABC的面积．解：（1）以同样大的几何体，进行补形，可得一直三棱柱，其底面为△A1B1C1，高为3×2＝6，∴所求几何体的体积为V=12×S△A1B1C1h=12×12×2×2×6＝6；（2）△ABC中，AB=√22+12=√5，BC=√22+12=√5，AC=√22+22=2√2，∴△ABC为等腰三角形，底边AC的高为：h=√(√5)2−(√2)2=√3；∴截面ABC的面积为S△ABC=12×2√2×√3=√6．【点评】本题考查了求几何体的体积与截面面积的应用问题，其中合理补形是解题的关键．19．已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【分析】（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0 可得定点坐标．（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1﹣y）＝0，∴无论k取何值，直线过定点（﹣2，1）．（2）令y＝0得A点坐标为（﹣2−1k，0），令x ＝0得B 点坐标为（0，2k +1）（k ＞0），∴S △AOB =12|﹣2−1k||2k +1|=12（2+1k）（2k +1）＝（4k +1k+4）≥12（4+4）＝4．当且仅当4k =1k，即k =12时取等号．即△AOB 的面积的最小值为4，此时直线l 的方程为12x ﹣y +1+1＝0．即x ﹣2y +4＝0． 【点评】本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求表达式的最小值．考查转化思想以及计算能力．20．（16分）如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AF ∥DE ，AF ⊥EF ，AF ＝AD ＝2AB ＝2DE ＝2． （Ⅰ）求证：CE ∥面ABF ；（Ⅱ）求直线DE 与平面BDF 所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AF 中点记为G ，连EG ，证明EGBC 为平行四边形，然后证明CE ∥面ABF ；（Ⅱ）通过V B ﹣DEF ＝V E ﹣BDF ，求出h =√34，然后转化求解直线DE 与平面BDF 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AF 中点记为G ，连EG ，∵EG ∥¯¯AD ∥¯¯BC，∴EGBC为平行四边形，∴CE∥BG，又∵CE⊄面ABF，BG⊂面ABF，∴CE∥面ABF；（Ⅱ）解：∵V B﹣DEF＝V E﹣BDF，∴13⋅S△DEF⋅|BA|=13⋅S△BDF⋅h，∵S△DEF=√32，|BA|=1，又∵BD=BF=√5，DF=2，∴S△BDF＝2，∴h=√34，设直线DE与平面BDF所成角为θ，则sinθ=ℎDE=√34．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．21．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在直线上．（Ⅰ）若圆C与直线y＝x﹣1相交于M，N两点，且|MN|=√2，求圆心C的横坐标a 的值；（Ⅱ）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．【分析】（1）设圆心坐标为（a ，2a ﹣4），因为圆与直线y ＝x ﹣1相交于M ，N 两点，且|MN |=√2，根据半径、半弦长、弦心距围成直角三角形，由勾股定理可得． （2）依题意，圆心为直线y ＝x ﹣1和直线l ：y ＝2x ﹣4的交点，得到圆心坐标，再根据过A 的直线与圆相切，可以得到切线方程．解：（1）设圆心坐标为（a ，2a ﹣4），∴圆心到直线y ＝x ﹣1的距离d =1+1=|a−3|√2， 又直线y ＝x ﹣1被直线所截得的弦长为√2，∴r 2=(|MN|2)2+d 2， ∴1=(a−3)22+12，解得a ＝2或a ＝4．∴圆心C 的横坐标a 的值为或4．（2）依题意，圆心为直线y ＝x ﹣1和直线l ：y ＝2x ﹣4的交点， 由{y =x −1y =2x −4得{x =3y =2，∴圆心C 的坐标为（3，2）， ①当过A 点的直线斜率不存在时，显然直线不与圆相切．②当直线斜率存在时，设斜率为k ，则过A 点的直线为y ＝kx +3，即kx ﹣y +3＝0，∴圆心（3，2）到直线的距离为1， ∴1=√k +1，∴8k 2+6k ＝0，∴k ＝0或k =−34，∴切线方程为y ＝3或y =−34x +3，综上，切线方程为：y ＝3，或3x +4y ﹣3＝0．【点评】本题考察直线与圆的位置关系，直线被圆所截弦长问题，直线的方程等知识，数基础题．22．（16分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE ．（1）证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC的值．【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB ⊥EF ，DE ∩FE ＝E ，所以PB ⊥平面DEF ，即可判断DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，确定直角．（2）根据公理2得出DG 是平面DEF 与平面ACBD 的交线．利用直线平面的垂直判断出DG ⊥DF ，DG ⊥DB ，根据平面角的定义得出∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可． 解法2）（1）以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．2）由PD ⊥底面ABCD ，所以DP →=（0，0，1）是平面ACDB 的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以BP→=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，有BD =√1+λ2，在Rt △PDB 中，由DF ⊥PB ，得∠DPB ＝∠FDB =π3， 则 tan π3=tan ∠DPF =DBPD=√1+λ2=√3，解得λ=√2． 所以DC CB=1λ=√22故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DCBC =√22． （解法2）（1）以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，则D （0，0，0），P （0，0，1），B （λ，1，0），C （0，1，0），PB →=（λ1，﹣1），点E 是PC 的中点，所以E （0，12，12），DE →=（0，12，12），于是PB →⋅DE →=0，即PB ⊥DE ．又已知EF ⊥PB ，而ED ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF ．因PC →=（0，1，﹣1），DE →⋅PC →=0，则DE ⊥PC ，所以DE ⊥平面PBC ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB ．（2）由PD ⊥底面ABCD ，所以DP →=（0，0，1）是平面ACDB 的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB ⊥平面DEF ，所以BP →=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则运用向量的数量积求解得出cosπ3=√λ2+2=12，解得λ=√2．所以所以DC CB=1λ=√22故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC=√22． 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．。
2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨中学高一(下)期中数学试卷
2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.答案请填在答题卷的表格中）1．（4分）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．452．（4分）在△ABC中，若sinA＞sinB，则A与B的大小关系为（）A．A＞B B．A＜BC．A≥B D．A、B的大小关系不能确定3．（4分）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．4．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．30°或105°C．60°D．60°或120°5．（4分）已知||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．B． C．D．6．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，则使S n取得最小值时n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．（4分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．（4分）已知{a n}是递增数列，且对于任意n∈N*，都有a n=n2+3λn成立，则实数λ的取值范围是（）A．λ＞1 B．λ＜1 C．λ＞﹣1 D．λ＜﹣19．（4分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2012=（）A．22012﹣1 B．3×21006﹣3 C．3×21006﹣1 D．3×21005﹣210．（4分）已知点O在平面△ABC中，且满足（﹣）2+（﹣）2+（﹣）2=0，则点O是△ABC的（）A．外心B．重心C．内心D．垂心二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．将正确答案填在答题卷横线上）11．（4分）若=（2，4），=（1，3），则=．12．（4分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．13．（4分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=2，且a1，a3，a9成等比数列，则a1+a4+a7+…+a3n═．﹣214．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n，（n∈N*），a1=2，则数列{a n}通项公式a n=．15．（4分）如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．16．（4分）在数列中，a1=1，a n+1=（﹣1）n（a n+1），记S n为{a n}的前n项和，则S2016=．17．（4分）某观测站C在城A的南偏西20˚的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40˚，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，则此人还需走千米到达A城．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（8分）已知||=3，||=2，与的夹角为60°，=3+5，=m﹣3．（1）当m为何值时，与垂直？（2）当m为何值时，与共线？19．（10分）在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1=2a n+1，（n∈N*）．（Ⅰ）求证：{a n+1}为等比数列；并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．20．（10分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．21．（12分）已知=（1，1），•=﹣1，且与的夹角为，（1）求；（2）若=（1，0），且与的夹角为，=（cosA，1+cosC），其中A、B、C 为△ABC的内角，A、B、C依次成等差数列，求|+|的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（），n∈N*，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令b n=（n≥2），b1=3，s n=b1+b2+…+b n，若s n＜对一切n∈N+成立，求最小正整数m．2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.答案请填在答题卷的表格中）1．（4分）（2006•福建）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【分析】先根据a1=2，a2+a3=13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，∴a4+a5+a6=3a5=42．故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．2．（4分）（2016春•晋城校级期末）在△ABC中，若sinA＞sinB，则A与B的大小关系为（）A．A＞B B．A＜BC．A≥B D．A、B的大小关系不能确定【分析】解法一：若A，B均为锐角，则A＞B；若A，B中有一个为钝角或直角，则只能A为钝角，否则A+B＞180°．综上A＞B．解法二：由正弦定理知，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B．【解答】解法一：∵△ABC中，0°＜A+B＜180°，∴当0°＜A＜90°时，sinA＞sinB⇔A＞B．当90°＜A＜180°时，∵sinA＞sinB，A+B＜180°，∴0°＜B＜90°，所以A＞B．故选A．解法二：由正弦定理知，∵sinA＞sinB，∴a＞b，∴A＞B．故选A．【点评】本题考查正弦函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．3．（4分）（2009•山东）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【分析】根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．【解答】解：∵，∴，∴∴∴故选B．【点评】本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答．向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算．4．（4分）（2012•宣威市校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．30°或105°C．60°D．60°或120°【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA 的值，由a大于b，根据大边对大角，得到A大于B，由B的度数及三角形内角可得出角A的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．【解答】解：由a=，b=，B=45°，根据正弦定理=得：sinA===，由a=＞b=，得到A∈（45°，180°），则角A=60°或120°．故选D【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有正弦定理，以及特殊角的三角函数值，学生做题时注意角度的范围及三角形内角和定理这个隐含条件．5．（4分）（2016春•诸暨市校级期中）已知||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．B． C．D．【分析】设与的夹角为θ，则由题意可得=2×2×cosθ=4cosθ，求得cosθ=，可得θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，则由题意可得=2×2×cosθ=4cosθ．再根据（+2）•（﹣）=﹣2，可得﹣2+=﹣2，即4﹣8+4cosθ=﹣2 cosθ，求得cosθ=，∴θ=，故选：A．【点评】本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．6．（4分）（2014•太原一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，则使S n取得最小值时n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】等差数列{a n}中，由a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，解得a1=﹣9，d=2．所以=n2﹣10n，利用配方法能够求出S n取得最小值时n的值．【解答】解：等差数列{a n}中，∵a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，∴，解得a1=﹣9，d=2．∴=n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25，∴当n=5时，S n取得最小值．故选B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．（4分）（2016春•诸暨市校级期中）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C 的对边，已知a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】由正弦定理和二倍角的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和正弦函数的性质得到A、B的关系，即可判断出△ABC的形状．【解答】解：∵a2cosAsinB=b2sinAcosB，∴由正弦定理得，sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB，又sinB≠0且sinA≠0，∴sinAcosA=sinBcosB，则sin2A=sin2B，即2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选：D．【点评】本题考查正弦定理的应用：边角互化，二倍角的正弦公式，以及正弦函数的形状，属于中档题．8．（4分）（2016春•诸暨市校级期中）已知{a n}是递增数列，且对于任意n∈N*，都有a n=n2+3λn成立，则实数λ的取值范围是（）A．λ＞1 B．λ＜1 C．λ＞﹣1 D．λ＜﹣1【分析】解法一：由{a n}是递增数列，可得对于任意n∈N*，都有a n＞a n．化简+1利用数列的单调性即可得出．解法二：a n=n2+3λn=﹣，由{a n}是递增数列，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解法一：∵{a n}是递增数列，＞a n．∴对于任意n∈N*，都有a n+1∴（n+1）2+3λ（n+1）＞n2+3λn，化为：λ＞﹣．∵数列单调递减，∴n=1时取得最大值﹣1，∴λ＞﹣1．解法二：a n=n2+3λn=﹣，∵{a n}是递增数列，∴＜，∴λ＞﹣1．故选：C．【点评】本题考查了递推关系、数列的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（4分）（2012•合肥一模）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2012=（）A．22012﹣1 B．3×21006﹣3 C．3×21006﹣1 D．3×21005﹣2【分析】由，令n=1，求得a2的值，a n a n+1=2n，则n ≥2时，a n a n﹣1=2n﹣1，两式相比，可得数列{a n}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，利用等比数列的求和公式，即可求得结论．【解答】解：∵∴令n=1，求得a2=2∵a n a n+1=2n，∴n≥2时，a n a n﹣1=2n﹣1，∴=2，∴数列{a n}的奇数项、偶数项分别成等比数列；∴S2012==3×21006﹣3故选B．【点评】本题考查数列递推式，考查数列的求和，确定数列{a n}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列是关键．10．（4分）（2010•重庆三模）已知点O在平面△ABC中，且满足（﹣）2+（﹣）2+（﹣）2=0，则点O是△ABC的（）A．外心B．重心C．内心D．垂心【分析】作出如图的三角形，由于（﹣）2+（﹣）2+（﹣）2=0，可以得出﹣=﹣=﹣=0，由此结合向量的数量积对已知条件变形即可得出结论．【解答】解：作出如图的图形，由于（﹣）2+（﹣）2+（﹣）2=0，∴﹣=﹣=﹣=0，当﹣=0时，即=，∴∠DAB=∠DAC，∴O点在三角形的角A平分线上；同理，O点在三角形的角B，角C平分线上；故点定O的一定是△ABC的内心．故选C．【点评】本题考点是三角形的五心，考查了五心中内心的几何特征以及向量的加法与数乘运算，解答本题的关键是理解向量加法的几何意义，从而确定点的几何位置．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．将正确答案填在答题卷横线上）11．（4分）（2016春•诸暨市校级期中）若=（2，4），=（1，3），则=（﹣1，﹣1）．【分析】利用向量的三角形法则、坐标运算即可得出．【解答】解：=（1，3）﹣（2，4）=（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．【点评】本题考查了向量的三角形法则、坐标运算，属于基础题．12．（4分）（2006•北京）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．【分析】根据sinA：sinB：sinC=5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的关系，进而设a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．【解答】解：sinA：sinB：sinC=5：7：8∴a：b：c=5：7：8设a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理可得cosB==；∴∠B=．故答案为．【点评】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．作为解三角形中常用的公式，应熟练掌握正弦定理和余弦定理及其变形公式．13．（4分）（2016春•诸暨市校级期中）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=2，═3n2﹣n．且a1，a3，a9成等比数列，则a1+a4+a7+…+a3n﹣2【分析】由已知条件，利用等差数列和等比数列的性质列出方程求出公差，由此}是以2为首项，6为公差的等差数求出数列{a n}的通项公式，再得出数列{a3n﹣2列，求出它的前n项和即可．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=2，且a1，a3，a9成等比数列，公差为d≠0，∴=a1（a1+8d），（2+2d）2=2（2+8d）解得d=2．∴数列{a n}的通项公式为a n=2+（n﹣1）×2=2n．}是以2为首项，以6为公差的等差数列，∴{a3n﹣2∴a1+a4+a7+…+a3n﹣2=2n+n（n﹣1）×6=3n2﹣n．故答案为：3n2﹣n．【点评】本题考查了等差与等比数列的通项公式和前n项和公式的应用问题，是综合性题目．14．（4分）（2016春•诸暨市校级期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n，（n∈N*），a1=2，则数列{a n}通项公式a n=2n．【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n=2a n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，解得a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2，首项为2．∴a n=2n．故答案为：2n．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）（2016•衡水万卷模拟）如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．【分析】由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值【解答】解：∵P是BN上的一点，设，由，则=====∴m=1﹣λ，解得λ=，m=故答案为：【点评】本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，解答本题的关键是根据面向量的基本定理构造关于λ，m的方程组．属于基础题．16．（4分）（2016春•诸暨市校级期中）在数列中，a1=1，a n+1=（﹣1）n（a n+1），记S n为{a n}的前n项和，则S2016=﹣1008．【分析】a n+1=（﹣1）n（a n+1），分类讨论：n=2k（k∈N*）时，a2k+1﹣a2k=1；n=2k ﹣1时，a2k=﹣a2k﹣1﹣1．可得：a2k+1+a2k﹣1=0，a2k+2+a2k=﹣2．利用分组求和即可得出．【解答】解：∵a n+1=（﹣1）n（a n+1），∴n=2k（k∈N*）时，a2k+1﹣a2k=1；n=2k﹣1时，a2k=﹣a2k﹣1﹣1．∴a2k+1+a2k﹣1=0，a2k+2+a2k=﹣2．∴S2016=[（a1+a3）+…+（a2013+a2015）]+[（a2+a4）+…+（a2014+a2016）]=0+（﹣2）×=﹣1008．故答案为：﹣1008．【点评】本题考查了递推关系、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（4分）（2016春•诸暨市校级期中）某观测站C在城A的南偏西20˚的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40˚，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，则此人还需走15千米到达A城．【分析】先求出cos∠BDC，进而设∠ADC=α，则sinα，cosα可求，在△ACD中，由正弦定理求得得AD，答案可得．【解答】解：由已知得CD=21，BC=31，BD=20，在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC==﹣，设∠ADC=α，则cosα=，sinα=，在△ACD中，由正弦定理得=，AD=sin（+α）=（×+×）=15，故答案为：15．【点评】本题主要考查了解三角新的实际应用．解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（8分）（2013春•富平县期末）已知||=3，||=2，与的夹角为60°，=3+5，=m﹣3．（1）当m为何值时，与垂直？（2）当m为何值时，与共线？【分析】（1）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．（2）利用向量共线定理和平面向量基本定理即可得出．【解答】解：（1）令=0，则（3+5）•（m﹣3）=0，即3m||2﹣15||2+（5m﹣9）•=0解得m=．故当m=时，⊥．（2）令=λ，则3+5=λ（m﹣3）即（3﹣λm）+（5+3λ）=0，∵a，b不共线，∴，解得故当m=﹣时，与共线．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理和平面向量基本定理，属于基础题．19．（10分）（2016春•诸暨市校级期中）在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1=2a n+1，（n∈N*）．（Ⅰ）求证：{a n+1}为等比数列；并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）利用构造法结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）求出数列{b n}的通项公式，利用错位相减法进行求和即可．=2a n+1，【解答】解：（1）∵a n+1∴1+a n=2a n+1+2=2（a n+1），+1即=2，则数列{a n+1}是公比q=2的等比数列，首项a1+1=1+1=2，则a n+1=2•2n﹣1=2n，则．（2）b n====，则S n=+++…+，①则S n=+++…++，②①﹣②得S n=+++…+﹣=﹣=1﹣（）n﹣，则S n=2﹣﹣=2﹣．【点评】本题主要考查等比数列的证明以及利用错位相减法进行求解，利用构造法构造等比数列求出数列{a n}的通项公式是解决本题的关键．20．（10分）（2017•南关区校级模拟）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C 的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．【解答】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．利用正弦定理表示出a，b及c是第一问的突破点．21．（12分）（2016春•诸暨市校级期中）已知=（1，1），•=﹣1，且与的夹角为，（1）求；（2）若=（1，0），且与的夹角为，=（cosA，1+cosC），其中A、B、C 为△ABC的内角，A、B、C依次成等差数列，求|+|的取值范围．【分析】（1）设=（x，y），由于=（1，1），•=﹣1，且与的夹角为，可得cos==，x+y=﹣1．联立解出即可．（2）利用向量与向量=（1，0）的夹角为，向量=（cosA，1+cosC），结合三角形的内角和，A、B、C依次成等差数列，求出B，C与A的关系，利用二倍角与两角和与差的三角函数化简|+|的表达式，根据角的范围求出表达式的取值范围．【解答】解：（1）设=（x，y），∵=（1，1），•=﹣1，且与的夹角为，∴cos==，x+y=﹣1．化为，解得或．∴=（﹣1，0）或（0，﹣1）．（2）∵与的夹角为，∴•=0，∵若=（﹣1，0），则•=﹣1≠0，∴=（0，﹣1）．∵2B=A+C，A+B+C=π，可得：B=，C=﹣A，∴|+|=======∵0，可得：0，即：，∴﹣1≤cos（2A+），∴|+|∈．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式，三角函数的化简求值，以及函数值的范围的确定，考查计算能力，转化思想，属于中档题．22．（12分）（2016春•诸暨市校级期中）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（），n∈N*，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令b n=（n≥2），b1=3，s n=b1+b2+…+b n，若s n＜对一切n∈N+成立，求最小正整数m．【分析】（1）由已知得到{a n}是以1为首项，为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式求得数列{a n}的通项公式；（2）把T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1从第一项起两项两项的结合，然后利用等差数列的前n项和得答案；（3）由裂项相消法求出数列{b n}的前n项和，代入s n＜即可求解m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：．∴a n﹣a n=3，+1∴{a n}是以1为首项，为公差的等差数列．∴，即；（2）T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）===；（3）b n==（n≥2）∴S n=b1+b2+…+b n=b1+（b2+…+b n）=3+=3+=．若，只需，即m≥2014．∴m的最小正整数是2014．【点评】本题考查了等差关系的确定，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．。
【精准解析】浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020学年高一(平行班)下学期期中考试数学试题析
诸暨中学2019学年高一期中考试（平行班）数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知0a b <<，下列不等式成立的是（ ） A. 22a b < B. 2a ab <C. 33a b <D.11a b< 【答案】C 【解析】 【分析】比较大小可采用作差法比较，一般步骤是作差、变形、定号，从而得到大小关系. 【详解】0a b <<，()()220a b a b a b ∴-=-+>，即22a b >，故A 不正确； ()20∴-=->a ab a a b ，即2a ab >，故B 不正确；()()33220a b a b a ab b ∴-=-++<，即33a b <，故C 正确；110b aa b ab -∴-=>，即11a b>，故D 不正确. 故选：C【点睛】本题主要考查了不等式大小比较，作差法比较式子的大小，属于基础题. 2. 下列各函数中，最小值为2的是（ ） A. 1y x x=+B. 4sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C. 222y x =+D. y x x= 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式的使用条件：“一正二定三相等”分别对所给选项进行判断即可.【详解】当0x >时，12y x x=+≥，当0x <时，1[()]2()y x x =--+≤--，故A 不正确；当(0,)2x π∈时，()sin 0,1x ∈，令()sin 0,1t x =∈，则44y t t=+≥，当且仅当4t t =，即2t =时等号成立，()sin 0,1t x =∈等号取不到，所以4y >，故B 不正确；22y ==≥=无解，所以等号不能取得，故C 不正确；2y=≥==，即1x =时等号成立，所以D 正确.故选：D【点睛】本题考查基本不等式的应用，一定要注意一正，二定，三相等，缺一不可，考查学生的基本计算能力，是一道中档题. 3. 等差数列{}n a 中，已知135114,,3333n a a a a =+==，则n 为（ ） A. 48 B. 49C. 50D. 51【答案】C 【解析】 【分析】首先求出公差d ，再由通项公式列方程求得n ．【详解】设数列的公差为d ，则351121424633a a a d a d d +=+++=+=，23d =， 所以112(1)(1)3333n a a n d n =+-=+-=，解得50n =． 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列基本量运算．在等差数列的五个量1,,,,n n a d a S n 中，知三求二是常见题型，解题方法是基本量法． 4. 数列(){}1nn -⋅的前2020项的和2020S 为（ ）A. 1010B. 1010-C. 2017-D. 2017【答案】A 【解析】【分析】通项公式中出现(1)n-，可把相邻两项先相加，然后再计算． 【详解】20201234520192020(12)(34)(20192020)S =-+-+-+-+=-++-+++-+10101111010=+++=个1．故选：A ．【点睛】本题考查数列的并项求和法，，在数列的项出现正负相间时，可以用并项求和法求和． 5. 已知函数24y x x =-+-的最小值为（ ） A. 6B. 2-C. 6-D. 2【答案】D 【解析】 【分析】用绝对值三角不等式求得最小值． 【详解】24(2)(4)2y x x x x =-+-≥---=，当且仅当(2)(4)0x x --≤，即24x ≤≤时取等号．所以min 2y =． 故选：D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式可以很快求得其最值，本题也可以利用绝对值定义去掉绝对值符号，然后利用分段函数性质求得最值．6. 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） A. 2a ≤B. 22a -<≤C. 22a -<<D. 2a <【答案】B 【解析】 【分析】对二次项系数进行分类讨论，分为20a -=和20a -<两种情形，结合判别式与0的关系即可得结果.【详解】当20a -=即2a =时，40-<恒成立，满足题意；当20a -≠时，不等式2(2)(2)10a x a x ----<的解为一切实数，所以()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩，解得22a -<<， 综上可得实数a 的取值范围是22a -<≤， 故选：B.【点睛】本题主要考查含有参数的一元二次不等式恒成立问题，正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的性质是解题的关键，属于基础题.7. 关于x 的不等式()()()1101ax x a --<>的解集为（ ） A. 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C. 1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先求出对应方程的根，比较两根大小，再结合二次函数的图象写出解集即可. 【详解】方程()()110ax x =--的两根分别为1,1a， 又1a >，所以11a <，故此不等式的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本题主要考查了含参的一元二次不等式的求解，属于基础题. 8. 坐标()1,1-满足1mx ny -=，且0,0m n >>，则14m n+的最小值为（ ） A. 9 B. 6C. 8D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入已知点坐标得,m n 的关系式，然后用基本不等式中“1”的代换法求得最小值． 【详解】因为坐标()1,1-满足1mx ny -=，所以1m n +=，又0,0m n >>，所以14144()559m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4m n n m =，即12,33m n ==时等号成立，所以14m n+的最小值为9．故选：A ．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题方法是“1”的代换法，目的是凑配出定值．9. 数列{}n a 中，121,2a a ==，且21n n n a a a ++=-()n N *∈，则2020a 为（ ）A. 2B. 1C. 1-D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】由已知递推关系，求出数列的前几项，归纳出数列是周期数列，从而由周期性求得2020a ．【详解】因为21n n n a a a ++=-()n N *∈，121,2a a ==，所以3211a a a =-=，同理41a =-，52a =-，61a =-，71a =，82a =， 所以数列{}n a 是周期数列，且周期为6，所以20206336441a a a ⨯+===-． 故选：C ． 【点睛】本题考查数列的周期性，通过递推公式求出数列的前几项，归纳出数列的性质是解决数列的一种常用方法，考查了从特殊到一般的思想方法．10. n S 为数列{}n a 的前n 项和，12342,5,10,17a a a a ====，对任意大于2的正整数n ，有112330n n n n S S S S m +---+-+=恒成立，则使得231111125222242k k a a a a -++⋅⋅⋅++≥----成立的正整数k 的最小值为（ ） A. 7 B. 6C. 5D. 4【答案】B 【解析】 【分析】先由题设条件求出m ，得到：1123320n n n n S S S S +---+--=，整理得：11()()2n n n n a a a a +----=，从而有数列1{}n n a a +-是以3为首项，2为公差的等差数列，求出121n n a a n +-=+，再利用累加法求出2n a -，然后利用裂项相消法整理231111125222242k k a a a a -++⋯++----可得1113142k k ++，解出k 的最小值． 【详解】解：依题意知：当3n =时有43214323302S S S S m a a a m -+-+==-++，25a =，310a =，417a =，2m ∴=-，1123320n n n n S S S S +---+--=，即1112()2()()20n n n n n n S S S S S S +------+--=，11220n n n a a a +-∴-+-=，即11()()2n n n n a a a a +----=，3n ，又213a a -=，325a a -=，3221()()2a a a a ---=，∴数列1{}n n a a +-是以3为首项，2为公差的等差数列，121n n a a n +∴-=+，故213a a -=，325a a -=，437a a -=，⋯，121(2)n n a a n n --=-， 由上面的式子累加可得：(1)(321)2(1)(1)2n n n a n n -+--==-+，2n ，∴11111()2(1)(1)211n a n n n n ==---+-+，2n ． 由231111125222242k k a a a a -++++----可得： 111111*********[()()()()](1)21324351122142k k k k -+-+-++-=+---++， 整理得1113142k k ++，*k N ∈ 且2k ，∴解得：6k ．所以k 的最小值为6．故选：B ．【点睛】本题主要考查式子的变形、构造等差数列、累加法求和及裂项相消法求和、解不等式等知识点，属于难题．二、填空题（每小题4分，共28分）11. 已知数列{}n a 的，前项n 和为n S ，且231n S n n =+-，则n a 的通项为_____.【答案】3,1,22,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩【分析】利用1n n n a S S -=-求出(2)n a n ≥，再求出1a 可得通项公式．【详解】由题意2n ≥时，221(31)(1)3(1)122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦， 又111313a S ==+-=， 所以3,1,22,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩．故答案为：3,1,22,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩【点睛】本题考查由数列前n 项和n S 求数列的通项公式，解题根据是1n n n a S S -=-，但要注意这个等式只针对2n ≥适用，1a 需另外计算．12. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = ． 【答案】72 【解析】试题分析:由等差数列的通项的性质可得,所以,故应填答案72.考点：等差数列的通项的性质及前项和公式的运用．13. 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且37S =，663S =，则9S =____． 【答案】511 【解析】由等比数列的性质可得：()()263396S S S S S -=- ，即：()()2697763S S -=⨯- ，解得：9511S = .14. 已知数列{}n a 满足12a =且132n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式为__________． 【答案】31n - 【解析】根据递推公式，构造等比数列，即可求得结果.【详解】因为132n n a a +-=，所以()113331n n n a a a ++=+=+，即1131n n a a ++=+，即数列{}1n a +为首项3，公比为3的等比数列，则1133n n a -+=⨯=3n ， 所以31nn a =-．故答案：31n -.【点睛】本题考查构造数列法求数列的通项公式，属基础题. 15. 不等式()()2160x x x -+-<的解集为______.【答案】()(),31,2-∞-【解析】 【分析】利用因式分解将()()2160x x x -+-<，转化为()()()1320x x x -+-<，再利用穿根法求解.【详解】因为()()2160x x x -+-<，所以()()()1320x x x -+-<， 解得3x <-或12x <<.所以不等式()()2160x x x -+-<的解集为：()(),31,2-∞-.故答案为：()(),31,2-∞-【点睛】本题主要考查高次不等式的解法，还考查了转化求解的能力，属于中档题. 16. 不等式134x x -+-≥解集是______. 【答案】(][),04,-∞+∞【解析】 【分析】根据绝对值定义用分类讨论的方法解不等式．【详解】当3x ≥时，13134x x x x -+-=-+-≥，解得4x ≥， 当13x <<时，131324x x x x -+-=-+-=<，原不等式无解， 当1x <时，13134x x x x -+-=-+-≥，解得0x ≤， 综上0x ≤或4x ≥， 故答案为：(][),04,-∞+∞．【点睛】本题考查解绝对值不等式，解题方法是根据绝对值定义用分类讨论方法去掉绝对值符号后求解．17. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131413140,0,a a a a ><>，若10k k S S +<，则k =_________.【答案】26 【解析】 【分析】由题意可得等差数列递减且13140a a +>，可得2526270,0,0S S S >><，可得结论.【详解】等差数列{}n a 中131413140,0,a a a a ><>，∴等差数列递减且13140a a +>，13142513262714250,260,2702a a S a S S a +∴=>=>=<， ∴满足10k k S S +<的k 值为26,故答案为：26【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，得出项的正负和前n 项和的关系是解决问题的关键，属中档题. 三、解答题（共72分）18. 若不等式240ax bx -+≤的解集为{}12x x ≤≤ （1）求,a b 值 （2）求不等式111bx ax +<-的解集.【答案】（1）2,6a b ==；（2）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据不等式240ax bx -+≤的解集为{}12x x ≤≤，由1，2为方程240ax bx -+=的两根求解.（2）由（1）得到不等式61121x x +<-，再移项通分，然后利用分式不等式的解法求解. 【详解】（1）因为不等式240ax bx -+≤的解集为{}12x x ≤≤， 所以0a >，1，2是方程240ax bx -+=的两根，所以0422a a b a b >⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得26a b =⎧⎨=⎩，所以,a b 的值分别是2，6. （2）由（1）知2,6a b ==， 所以不等式111bx ax +<-，即为61121x x +<-， 所以611021x x +-<-， 所以21021x x +<-， 即11022x x ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得1122x -<<， 所以不等式111bx ax +<-的解集是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及应用以及分式不等式的解法，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.19. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且0d >，已知231454,15a a a a =+=-. （1）求{}n a 的通项公式和n S 的最小值；（2）设(),93929,9nn S n n b n ⎧≠⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）315n a n =-，n S 的最小值为-30；（2）1n nT n =+. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意，结合等差数列的性质，列出相应的方程组，求得2396a a =-⎧⎨=-⎩，之后求出公差，利用等差数列的通项公式求出结果，并求出n S ，利用配方法，结合n 的取值求出最小值； （2）将n S 代入，求出n b n =，进一步求得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，裂项相消求得结果. 【详解】（1）根据题意，结合等差数列的性质，可得23231554a a a a +=-⎧⎨⋅=⎩，且23a a <，解得2396a a =-⎧⎨=-⎩，所以6(9)3d =---=，所以2(2)93(2)315n a a n d n n =+-=-+-=-，22192833()()(12315)327242222n n n n a a n n n n S -++-+--====， 所以当4n =或5n =时，n S 取得最小值30-；（2）因为(),93929,9nn S n n b n ⎧≠⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，且23273(9)22n n n n n S --==， 所以,99,9n n n b n ≠⎧=⎨=⎩，即n b n =，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 121289910111111n n n T b b b b b b b b b b +=++++++ 1111112231n n =-+-++-+ 1111n n n =-=++. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的性质，等差数列的求和公式以及最值，裂项相消法求和，属于简单题目. 20. 已知函数()332f x x x =+- （1）当2x >时，求函数()f x 的最小值；（2）若存在()2,x ∈+∞，使得()42ttf x ≤-成立，求t 取值范围.【答案】（1）()min 12=f x ；（2）2t ≥. 【解析】 【分析】（1）函数()()33262=-++-f x x x ，利用基本不等式求解()f x 的最小值即可； （2）由题可得()min 42≤-ttf x ，即1242≤-t t ，求解此不等式即得t 取值范围. 【详解】（1）()()33262=-++-f x x x ， 2x >，()3612∴≥⨯=f x ，当且仅当122x x -=-即3x =时，()min 12=f x ； （2）因为存在()2,x ∈+∞，使得()42ttf x ≤-成立， 所以()min 42≤-ttf x ，即1242≤-t t ，则()()24230-+≥tt，解得：2t ≥， 所以t 取值范围为2t ≥.【点睛】本题主要考查基本不等式求函数的最值，不等式的能成立问题，考查了学生的运算求解能力，考查了转化与化归的思想. 21. 正项等比数列{}n a 中，11a =，且612a 是5a 和42a 的等差中项. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .（3）设8n n b a n =-，求n b 的最小项. 【答案】（1）12n n a ；（2）1242n n n T -+=-；（3）最小项为4524b b ==-. 【解析】 【分析】 （1）由已知条件612a 是5a 和42a 的等差中项可求得公比q ，然后可得通项公式； （2）利用错位相减法可求得n T ；（3）用作差法确定{}n b 的单调性后可得最小项． 【详解】（1）设{}n a 的公比为q （0q >），因为612a 是5a 和42a 的等差中项，所以6542a a a =+，即5431112a q a q a q =+，解得2q （1q =-舍去），所以12n na ；（2）由（1）12n n n na -=， 21231222n n nT -=++++，①， 23111231222222n n nn nT --=+++++，②， ①－②得2111111122121222222212n n n n n nn n n T --+=++++-=-=--， 所以1242n n n T -+=-； （3）由（1）128n n b n -=-，11128(1)(28)28n n n n n b b n n --+-=-+--=-，所以当4n <时，10nnb b ，{}n b 递减，当4n >时，10n n b b +->，{}n b 递增，所以5n =或6时，即56b b =是数列{}n b 的最小项，且5624b b ==-．【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求和，考查求数列的最值．其中求数列的最值，可用作差法确定数列的单调性，得出结论．22. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，11221,n n n S a n N +*+=-+∈，且1a2a 成等比. （1）求1a 值； （2）证明:12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n a ； （3）设()3log 2nn n b a =+，若对任意*n N∈，不等式()()21210n n b b λλ-+-+<恒成立.试求λ取值范围.【答案】（1）11a =；（2）证明见解析，32n nn a =-；（3）2λ>.【解析】 【分析】（1）当1n =时，212221S a =-+，又1a2a 成等比，求解即得1a ；()2当2n ≥时，得到122n n n n a a a +=--，化简变形，由等比数列定义即可证明并求出n a ； ()3由()2得n b n =，代入化简得()()21210-+-+<n n λλ，即11>+λn，又112+≤n，可得λ取值范围.【详解】（1）在1*1221,n n n S a n N ++=-+∈中令1n =，得212221,S a =-+即2123a a =+，①又1a2a 成等比，所以125=a a ，② 则由①②解得11a =或152=-a ， 因为10a >，所以11a =；（2）当2n ≥时，由 111221221n n n nn n S a S a ++-⎧=-+⎨=-+⎩，得到122nn n n a a a +=--，所以132nn n a a +=+，则11311222n n n n a a ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又25a =，则2121311222a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴数列12n na ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，32为公比的等比数列， 1331222n n n a -⎛⎫∴+=⨯ ⎪⎝⎭，即32n nn a =-.（3）由（2）得()33log 2log3=+==nn n n b a n ，不等式()()21210n n b b λλ-+-+<恒成立，代入化简得()()21210-+-+<n n λλ， 即11>+λn ，又112+≤n，所以2λ>. 【点睛】本题主要考查了n a 与n S 的关系，等比数列的证明，数列不等式的恒成立问题，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.。
浙江省诸暨中学高一数学下学期期中试卷
诸暨中学2015学年第二学期高一年级数学期中试题卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．是符合题目要求的.答案请填在答题卷的表格中．．．．．．．．．．．．) 1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于 ( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．452．在ABC ∆中，若sin sin ,A B >则角A 与角B 的大小关系为 ( ) A ．A>B B ．A<B C ．A ≥B D ．不能确定3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则 （ ）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若︒===45,2,3B b a ，则角A = （ ）A ．30°B ．30°或150° C．60° D．60°或120°5．已知||||2a b ==r r ，(2)()2a b a b +-=-r r r r g ，则a r 与b r的夹角为 （ ）A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且47109a a a ++=，14377S S -=，则使n S 取得最小值时的n 值为 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知22cos sin sin cos a A B b A B = 则ABC ∆为 ( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形8．已知{}n a 是递增数列，且对于任意*n N ∈，都有23n a n n λ=+成立，则实数λ的取值范围是 （ ） A ． 1λ> B ．1λ< C ． 1λ>- D ．1λ<-9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 012＝ ( )A ．22012－1B ．3·21006－3C ．3·21006－1D ．3·21005－210．已知点O 在平面ABC 中,且222)))0||||||||||||OA AB OA AC OB BA OB BC OC CA OC CB AB AC BA BC CA CB ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+-+-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v （（（，则点O 是ABC ∆的 （ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心二、填空题(本大题共7小题，每小题4分,共28分。
浙江省诸暨市诸暨中学高一数学下学期期中试题
浙江省诸暨市诸暨中学2021-2021学年第二学期高一年级期中试题数学试卷选择题（每题3分，共30分）1．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，那么tan α等于 ( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－432．方程2640x x -+=的两根的等比中项是 ( )A ．3B ．2± C． D ．23．在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，那么AB ·BC 的值是 ( ) A ．1 B ．－1C ．1或－1D ．不确信，与B 的大小，BC 的长度有关4．在△ABC 中，假设a = 2 ,b =030A = , 则B 等于 ( )A ．60 B ．60或120 C ．30 D ．30或1505．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设4813S S =，那么1216S S =( )A ． 35 B ．310C ．18D ．196．如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角别离是),(,βααβ<那么A 点离地面的高度AB 等于 ( )A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-aD ．)cos(sin cos βαβα-a7．已知数列}{n a 中，,32,111-==+n n a a a 那么数列}{n a 的通项公式为 ( )A ．⎩⎨⎧>-==-1,231,11n n a n n B ．n n a )2(3-+= C ．n n a 23-= D ．123++-=n n a8．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则2215S S +的值是 ( )A BD CA ．73-B ．73C ．15-D ．159．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长别离为a ，b ，c.假设b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，那么角C ＝ ( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π610．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且知足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，那么|b ·c |的值必然等于 ( ) A ．以a ，b 为两边的三角形的面积 B ．以b ，c 为两边的三角形的面积 C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积 D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 二、填空题（每题4分，共24分） 11．数列}{n a 中，1a =2，,021=++n n a a 则=5a ________12．两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和别离为nn T S ,,且,327++=n n T S n n 则1111b a 等于13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，假设(a2＋c2－b2)tanB ＝ac ，那么角B 的值为________ 14．设1e ，2e 为单位向量， 且1e ，2e 的夹角为π3，假设a ＝1e ＋32e ，b ＝21e ，那么向量b 在a 方向上的投影为________15．在△ABC 中,A=120°, b=4, S △ABC=3,则=++++C B A cb a sin sin sin .16．在矩形A BCD 中，边AB 、AD 的长别离为二、1，假设M 、N 别离是边BC 、CD 上的点，且知足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，那么AM →·AN →的取值范围是________ 三、解答题（共46分）17．（8分）设向量OA =（3，1），OB =（-1，2），向量OB OC ⊥，BC ∥OA ，又OD +OA =OC ，求OD18．（8分）在△ABC 中，已知边c=10, 又知34cos cos ==a b B A ，求边a 、b 的长。
浙江省绍兴市诸暨中学高一下期中数学试卷实验班
2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨中学高一（下）期中数学试卷（实验班）一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．过点（1，0）且与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=02．已知实数x，y满足x2+y2=4，则函数S=x2+y2﹣6x﹣8y+25的最大值和最小值分别为（）A．49，9 B．7，3 C．，D．7，3．已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是（）A．必存在平面α使得a∥α，b∥αB．必存在平面α使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α使得a，b与α的距离相等4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．5．已知a∈R，则“|a﹣1|+|a|≤1”是“函数y=a x在R上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知平面α与平面β交于直线l，且直线a⊂α，直线b⊂β，则下列命题错误的是（）A．若α⊥β，a⊥b，且b与l不垂直，则a⊥lB．若α⊥β，b⊥l，则a⊥bC．若a⊥b，b⊥l，且a与l不平行，则α⊥βD．若a⊥l，b⊥l，则α⊥β7．方程=k（x﹣2）+3有两个不等实根，则k的取值范围为（）A．（，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（，）8．已知x，y满足，目标函数z=x+y的最大值是最小值的3倍，则m=（）A．B．C．D．9．已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围是（）A．（0，5）B．[1，5]C．[1，3]D．（0，3]10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1D1，C1D1的中点，N为线段B1C的中点，若点P，M分别为线段D1B，EF上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．1 B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11．边长为1的正方形的直观图面积为______．12．过点M（0，4）、被圆（x﹣1）2+y2=4截得的线段长为的直线方程为______．13．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC 的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是______．14．圆与两平行线x+3y﹣5=0，x+3y﹣3=0相切，圆心在直线2x+y+1=0，则这个圆的方程为______ （化标准式）．15．集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是______．16．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，0），O是原点，在直线l：y=﹣x+2上求点Q，使得△QOA是以O为顶点的等腰三角形，则Q点坐标为______．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．若∠BPC=90°，PB=，PC=2则四棱锥P﹣ABCD的体积最大值为______．三．解答题（本大题共5小题，共52分．解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M 恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC．19．如图，在多面体EF﹣ABCD中，ABCD，ABEF均为直角梯形，，DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：DF⊥平面ABCD；（Ⅱ）若△ABD是等边三角形，且BF与平面DCEF所成角的正切值为，求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．20．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，O为坐标原点．A，B是圆上两点．（1）直线AB的斜率为1，且满足OA⊥OB，求满足条件的直线l的方程；（2）若OA⊥OB，求AB中点P的轨迹方程．21．如图，矩形OABC的边长OA=a，OC=1，点A，C分别在x，y正半轴上，D在AC上，=，直线l垂直AC于D，且交直线BC于点E，交y轴于点F．（1）写出AC中点及D坐标（用a表示）；（2）若直线l交y轴于负半轴，求a的取值范围；（3）若直线l交y轴于正半轴，且l分矩形两部分的面积之比是2：7，求|CE|．22．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨中学高一（下）期中数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．过点（1，0）且与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【考点】直线的点斜式方程．【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（1，0）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线x﹣2y+3=0垂直，∴设所求直线的方程为2x+y+c=0∵直线过点（1，0），∴2+0+c=0∴c=﹣2，∴所求直线方程为2x+y﹣2=0，故选：C．2．已知实数x，y满足x2+y2=4，则函数S=x2+y2﹣6x﹣8y+25的最大值和最小值分别为（）A．49，9 B．7，3 C．，D．7，【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，结合S=（x﹣3）2+（y﹣4）2的几何意义，即圆x2+y2=4上的动点与定点M（3，4）的距离的平方得答案．【解答】解：S=x2+y2﹣6x﹣8y+25=（x﹣3）2+（y﹣4）2，∵实数x，y满足x2+y2=4，∴S=（x﹣3）2+（y﹣4）2的几何意义为圆x2+y2=4上的动点与定点M（3，4）的距离的平方，如图，∵|OM|=5，∴S max=（5+2）2=49，S min=（5﹣2）2=9．∴函数S=x2+y2﹣6x﹣8y+25的最大值和最小值分别为49，9．故选：A．3．已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是（）A．必存在平面α使得a∥α，b∥αB．必存在平面α使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α使得a，b与α的距离相等【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α使得a⊂α，b⊥α．其它三种情况都成立．【解答】解：由a，b为异面直线，知：在A中，在空间中任取一点O，过O分别作a，b的平行线，则由过O的a，b的平行线确一个平面α，使得a∥α，b∥α，故A正确；在B中，平移b至b'与a相交，因而确定一个平面α，在α上作a，b'交角的平分线，明显可以做出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面α使得a，b与α所成角相等．角平分线有两条，所以有两个平面都可以．故B正确；在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α使得a⊂α，b⊥α，故C错误；在D中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故D正确．故选：C．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（1+2）×1=，高h=1，故棱锥的体积V==，故选：C5．已知a∈R，则“|a﹣1|+|a|≤1”是“函数y=a x在R上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出不等式|a﹣1|+|a|≤1的解集，结合指数函数的性质判断充分必要性即可．【解答】解：a＜0时：|a﹣1|+|a|=1﹣a﹣a≤1，解得：a≥0，无解，0≤a≤1时：|a﹣1|+|a|=1﹣a+1=1≤，成立，a＞1时：|a﹣1|+|a|=2a﹣1≤1，解得：a≤1，无解，故不等式的解集是a∈[0，1]，若函数y=a x在R上为减函数，则a∈（0，1），故“|a﹣1|+|a|≤1”是“函数y=a x在R上为减函数”的必要不充分条件．6．已知平面α与平面β交于直线l，且直线a⊂α，直线b⊂β，则下列命题错误的是（）A．若α⊥β，a⊥b，且b与l不垂直，则a⊥lB．若α⊥β，b⊥l，则a⊥bC．若a⊥b，b⊥l，且a与l不平行，则α⊥βD．若a⊥l，b⊥l，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性质和判定定理进行判断即可．【解答】解：A．若α⊥β，a⊥b，且b与l不垂直，则a⊥l，正确B．若α⊥β，b⊥l，则b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，正确C．∵a与l不平行，∴a与l相交，∵a⊥b，b⊥l，∴b⊥α，则α⊥β正确．D．若a⊥l，b⊥l，不能得出α⊥β，因为不满足面面垂直的条件，故D错误，故选：D7．方程=k（x﹣2）+3有两个不等实根，则k的取值范围为（）A．（，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（，）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设y=和y=k（x﹣2）+3，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：设y=和y=k（x﹣2）+3，方程=k（x﹣2）+3有两个不等实根，等价为函数y=和y=k（x﹣2）+3的图象有两个不同的交点，y=的图象为半径为2的上半圆，y=k（x﹣2）+3表示过定点A（2，3）的直线，由图象可知当直线经过点B（﹣2，0）时，两个图象有两个交点，此时0=﹣4k+3，即k=，当直线和圆在第二象限相切时有一个交点，此时圆心到直线y=k（x﹣2）+3，即kx﹣y+3﹣2k=0的距离d=，平方得9﹣12k+4k2=4+4k2，即k=，则满足条件的k的取值范围是（，]，故选：A8．已知x，y满足，目标函数z=x+y的最大值是最小值的3倍，则m=（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=x+y的最大值是最小值的3倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（m，4﹣2m），此时z=m+4﹣2m=4﹣m，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（m，2m），此时z=3m，∵目标函数z=x+y的最大值是最小值的3倍，∴4﹣m=9m，即m=．故选：B．9．已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围是（）A．（0，5）B．[1，5]C．[1，3]D．（0，3]【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】设点A的坐标为（x0，6﹣x0），圆心M到直线AC的距离为d，则d=|AM|sin30°，由直线AC与⊙M有交点，知d=|AM|sin30°≤2，由此能求出点A的横坐标的取值范围．【解答】解：如图，设点A的坐标为（x0，6﹣x0），圆心M到直线AC的距离为d，则d=|AM|sin30°，∵直线AC与⊙M有交点，∴d=|AM|sin30°≤2，∴（x0﹣1）2+（5﹣x0）2≤16，∴1≤x0≤5，故选B．10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1D1，C1D1的中点，N为线段B1C的中点，若点P，M分别为线段D1B，EF上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．1 B．C．D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】连接B1D1交EF于G，连接PG，则EF⊥平面B1D1DB，故EF⊥PG，从而PM的最小值PG，可知G为EF的中点，D1G为D1B1的四分之一．其次，连接BD，设其中点为H，连接PH，BC1，则△D1DB≌△D1C1B，从而PN=PH．（实现了转化，这步是解题之关键），最后，连接GH交BD1于K，则当P为K时，PM+PN取得最小值，所求最小值为GH，即可得出结论．【解答】解：首先PM的最小值就是P到EF的距离．连接B1D1交EF于G，连接PG，则EF⊥平面B1D1DB，故EF⊥PG，从而PM的最小值PG，可知G为EF的中点，D1G为D1B1的四分之一．其次，连接BD，设其中点为H，连接PH，BC1，则△D1DB≌△D1C1B1，从而PN=PH．（实现了转化，这步是解题之关键）最后，连接GH交BD1于K，则当P为K时，PM+PN取得最小值，所求最小值为GH．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴GH==．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11．边长为1的正方形的直观图面积为．【考点】平面图形的直观图．【分析】根据斜二测画法所得的直观图是一个四边形，它的面积与水平放置的正方形的面积之比的关系，求解即可．【解答】解：水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图是一个四边形，两者面积之比为2：1，由边长为1的正方形的面积为：1，所以这个四边形直观图的面积为．故答案为：．12．过点M（0，4）、被圆（x﹣1）2+y2=4截得的线段长为的直线方程为x=0或15x+8y ﹣32=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先看当直线与x轴垂直时，根据勾股定理求得被圆截得的弦长为2符合题意；进而看当直线斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离和勾股定理求得k的值，则直线的方程可得．【解答】解：当直线与x轴垂直时，圆心到直线的距离为：1，半径位，则弦长为：2=2符合题意；当直线与x轴不垂直时设直线的斜率为k，则直线方程为y﹣4=kx，圆心到直线的距离为，根据勾股定理可知4﹣=3，求得k=﹣∴直线方程为15x+8y﹣32=0最后综合可得直线的方程为：x=0或15x+8y﹣32=0故答案为：x=0或15x+8y﹣32=013．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC 的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM 所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．14．圆与两平行线x+3y﹣5=0，x+3y﹣3=0相切，圆心在直线2x+y+1=0，则这个圆的方程为（化标准式）．【考点】圆的标准方程．【分析】根据直线和圆的位置关系，求出圆心与半径，即可得到结论．【解答】解：∵直线x+3y﹣5=0和x+3y﹣3=0平行，∴x+3y﹣5=0和x+3y﹣3=0的距离为d==，∵圆与直线x+3y﹣5=0和x+3y﹣3=0都相切，∴直径2r=，即圆的半径r=，∵直线x+3y﹣5=0和x+3y﹣3=0关于x+3y﹣4=0对称，且圆心在直线2x+y+1=0上，则由，解得x=﹣，y=，则圆心为（﹣，），则圆的方程为．故答案为：．15．集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是3或7．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】集合A中的元素其实是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，而集合B 的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素等价与这两圆只有一个公共点即两圆相切，则圆心距等于两个半径相加得到r的值即可．【解答】解：据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，集合B的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上任一点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切，圆心距d=R+r或d=R﹣r；根据勾股定理求出两个圆心的距离为5，一圆半径为2，则r=3或7故答案为3或716．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，0），O是原点，在直线l：y=﹣x+2上求点Q，使得△QOA是以O为顶点的等腰三角形，则Q点坐标为（0，2）或（，）．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出Q的轨迹方程为x2+y2=4，与直线l：y=﹣x+2联立，可得Q点坐标．【解答】解：由题意，Q的轨迹方程为x2+y2=4，与直线l：y=﹣x+2联立，可得x2﹣x=0，∴x=0或，∴y=2或，故答案为：（0，2）或（，）．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．若∠BPC=90°，PB=，PC=2则四棱锥P﹣ABCD的体积最大值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，作PO⊥AD，垂足为O，作OG⊥BC，垂足为G，连接GP．利用面面垂直的性质定理可得：PO⊥平面ABCD．在Rt△BPC中，可得．设AB=x，则OG=x，可得PO=，利用V P=，及其基本不等式的性质即可﹣ABCD得出．【解答】解：如图所示，作PO⊥AD，垂足为O，作OG⊥BC，垂足为G，连接GP．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．在△BPC中，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC==．∴=．设AB=x，则OG=x，PO==，==x，∴V P﹣ABCD∴V2==，当且仅当时取等号．∴V P≤．﹣ABCD三．解答题（本大题共5小题，共52分．解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M 恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由正三角形的性质可得BD⊥AC，利用线面垂直的性质可知PA⊥BD，再利用线面垂直的判定定理即可证明BD⊥PC；（Ⅱ）利用已知条件分别求出BM、MD、PB，得到，即可得到MN∥PD，再利用线面平行的判定定理即可证明【解答】证明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．（Ⅱ）在正△ABC中，BM=2．在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∠ADC=120°，∴DM=，∴=．在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4，∴=，∴，∴MN∥PD．又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN∥平面PDC．19．如图，在多面体EF﹣ABCD中，ABCD，ABEF均为直角梯形，，DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：DF⊥平面ABCD；（Ⅱ）若△ABD是等边三角形，且BF与平面DCEF所成角的正切值为，求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥平面BCE，AB∥CD∥EF，从而CD⊥平面BCE，进而CD⊥CE，由CE∥DF，得CD⊥DF，由此能证明DF⊥平面ABCD．（Ⅱ）法1：过C作CH⊥BE交BE于H，HK⊥BF交BF于K，推导出∠HKC为C﹣BF ﹣E的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．（Ⅱ）法2：以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．不妨设CD=1，利用向量法能求出二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为，所以AB⊥平面BCE，又EF∥CD，所以EF∥平面ABCD，从而有AB∥CD∥EF，…所以CD⊥平面BCE，从而CD⊥CE，又CE∥DF，所以CD⊥DF，又平面DCEF⊥平面ABCD，所以DF⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）解法1：过C作CH⊥BE交BE于H，HK⊥BF交BF于K，因为AB⊥平面BCE，所以CH⊥AB，从而CH⊥平面ABEF，所以CH⊥BF，从而BF⊥平面CHK，所以BF⊥KH即∠HKC为C﹣BF﹣E的平面角，与A﹣BF﹣C的平面角互补．…因为BC⊥DCEF，所以BF与平面DCEF所成角为∠BFC．由，所以2CB2=CD2+CE2，…由△ABD是等边三角形，知∠CBD=30°，所以令CD=a，所以，．所以，．所以二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值为．…（Ⅱ）解法2：因为CB，CD，CE两两垂直，以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系．不妨设CD=1．因为BC⊥DCEF，所以BF与平面DCEF所成角为∠BFC．由，所以2CB2=CD2+CE2，…由△ABD是等边三角形，知∠CBD=30°，所以，…，平面ABF的一个法向量，平面CBF的一个法向量则，且取…则．二面角A﹣BF﹣C的平面角与的夹角互补．所以二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值为．…20．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，O为坐标原点．A，B是圆上两点．（1）直线AB的斜率为1，且满足OA⊥OB，求满足条件的直线l的方程；（2）若OA⊥OB，求AB中点P的轨迹方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设直线AB为y=x+m，由，得2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，利用点差法能求出AB中点P 的轨迹方程．【解答】解：（1）设直线AB为y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，△＞0，x1+x2=﹣m﹣1，x1x2=，y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+（x1+x2）m+m2=，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2═+==0，解得m=1或m=﹣4，均满足△＞0，∴满足条件的直线l的方程为y=x+1或y=x﹣4．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，由，得（2x﹣2）（x1﹣x2）+（2y+4）（y1﹣y2）=0，∴k===，∵OA⊥OB，∴直线AB过圆心（1，﹣2），∴k=，∴，整理，得（x﹣1）2+（y+2）2=0，∴AB中点P的轨迹方程（x﹣1）2+（y+2）2=0．21．如图，矩形OABC的边长OA=a，OC=1，点A，C分别在x，y正半轴上，D在AC上，=，直线l垂直AC于D，且交直线BC于点E，交y轴于点F．（1）写出AC中点及D坐标（用a表示）；（2）若直线l交y轴于负半轴，求a的取值范围；（3）若直线l交y轴于正半轴，且l分矩形两部分的面积之比是2：7，求|CE|．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据向量的中点坐标公式和向量的坐标运算即可求出，（2）先求出直线l的方程，令x=0时，y＜0即可，（3）分别表示处CE，CF，根据三角形的面积公式，得到关于a的方程，解得即可．【解答】解：（1）∵A（a，0），C（0，1），∴AC中点坐标，=（a，﹣1）∴==（，﹣）∴D的坐标为，（2）∵直线l垂直AC于D，且交直线BC于点E，∴直线AC的斜率为﹣∴直线l的斜率为a，∴直线l的方程为y﹣=a（x﹣），当x=0时，y=﹣＜0，解得a＞；（3）且分矩形两部分的面积之比是2：7，=，即S△CFE=S矩形OABC由（2）可知直线l的方程为y﹣=a（x﹣），当x=0时，y=﹣＞0，即0＜a＜∴CF=1﹣（﹣）=+当y=1时，1﹣=a（x﹣），解得x=+∴CE=x=+，∴S△CFE=CE•CF=（+）（+）=，解得a=，即|CE|=．22．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l 的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．【解答】解：（1）因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2．（2）设直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0，由直线l与圆O相切，得，即，，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2=0．（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，直线MP与x轴交点，，直线NP与x轴交点，，===2，故mn为定值2．高中数学-打印版2016年9月23日校对打印版。
【学期】浙江省诸暨市2020学年高一数学下学期期中试题
【关键字】学期浙江省诸暨市2016-2017学年高一数学下学期期中试题一、选择题（共10题，每题4分，共40分）(请把选择题答案涂在答题卡上)1、若向量＝(1,2)，＝(－2,3)分别表示向量与，则|+|＝（）A、B、25 C、2 D、262、在中，，则A等于（）A、45°B、120°C、60°D、30°3、已知（）A、B、C、D、4、设的内角所对的边分别是，若则的形状为（）A、钝角三角形B、锐角三角形C、等腰三角形D、直角三角形5、中，∠A，∠B的对边分别为a，b，且∠A=60°，，那么满足条件的（）A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定6、已知，，则与的夹角为（）A．B．C．D．7、等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（）A、B、C、D、与是的最大值8、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A、米B、米C、200米D、200米9、已知为数列的前项和，若，则（）A、31B、122C、324D、48410．已知点O在平面ABC中，且，则点O是的（）A、重心B、垂心C、外心D、内心2、填空题（共7题，共28分）(请把填空题答案写在答题卷上)11、若．12、当函数取得最大值时,13、记等差数列的前项和为，若，，则14、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么.15、函数 (φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB＝16、已知数列的前项和为，且，则数列通项公式=__________．17、在中，，，，是线段上的动点（含，两个端点）．若, ，则的取值范围是．三、解答题（共5题，共52分）18、（本题满分10分）在中，内角所对应的边分别为，若满足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，求边长.（解答过程写在答题卷上！）19、（本题10分）已知等差数列的公差为2，若成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前项和.（解答过程写在答题卷上！）20、（本题10分）在△ABC中，、、分别是三个内角A、B、C的对边，若向量= 与向量共线（1）求角A；（2）若=2，求得取值范围.（解答过程写在答题卷上！）21、（本题满分10分）如图，已知菱形ABCD 中，点P 为线段CD 上一点， 且.（Ⅰ）若，,求的值；（Ⅱ）若BD BC =,且BP CD PC PD ⋅≥⋅,求实数λ的取值围. （解答过程写在答题卷上！）22、（本题12分）已知数列{}n a 满足112a =，*12,1n n n a a n N a +=∈+. （I ）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）令,n nnb a =*()n N ∈,设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：当3n ≥时，242n n S >+.（解答过程写在答题卷上！）文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 牌头中学2016学年第二学期期中考试卷高一数学 答题卷（共10小题，每题4分，共40分） 选择题涂在答题卡上！（共7小题，共28分）11、 ；12、 ；13、 ；14、 ；15、 ；16、 ； 17、 . （共5小题，共52分） 18、（本题10分） 、（本题10分） 、（本题10分）试场 班级 学号 姓名 座位号 高一……………………… 密 ………………………………… 封 ………………………………… 线 ……………………………文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.21、（本题10分）22、（本题12分）……………………… 密 ………………………………… 封 ………………………………… 线 ……………………………ACDP B牌头中学2016学年第二学期期中考试卷高一数学 试题卷一、选择题（共10题，每题4分，共40分）(请把选择题答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．) 1、若向量OA ＝(1,2)， OB ＝ (－2,3)分别表示向量a 与b ，则|a +b |＝ （ A） A 、26 B 、25C 、2 2D 、262、在ABC∆中，222a b c bc =++，则A 等于（ B） A 、45° B 、120°C 、60°D 、30°3、已知=+=-)6cos(,21)3sin(θπθπ则 （ C） A 、23-B 、21-C 、21 D 、23 4、设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=则ABC∆的形状为 （ D）A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、直角三角形5、ABC ∆中，∠A ，∠B 的对边分别为a ，b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的ABC ∆（ C ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定6、已知||||2a b ==，2)()2(-=-⋅+b a b a ，则a 与b 的夹角为 （ B ） A ．23π B ．3π C ．6πD ．56π7、等差数列}{n a ，n S 是其前n 项的和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是（ C ） A 、0<d B 、07=aC 、59S S >D 、6S 与7S 是n S 的最大值8、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A 、3400米 B 、33400米 C 、2003米D 、200米9、已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，若)cos 2()cos 4(ππn n n a n -=+，则=20S （ B） A 、31B 、122C 、324D 、48410．已知点O 在平面ABC 中，且222)))0||||||||||||OA AB OA AC OB BA OB BC OC CA OC CB AB AC BA BC CA CB ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+-+-=（（（，则点O 是ABC ∆的 （ D ） A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 二、填空题（共7题，共28分）(请把填空题答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．) 11、若(2,4),(1,3),AB AC BC ===则 ．(-1,-1) 12、当函数()3sin 4cos f θθθ=-取得最大值时,cos θ=___ 45-___． 13、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若61012+8a a a -=，1484a a -=，则19=S 228 14、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27=AD ，那么=⋅AC AB -8 .15、函数sin()4y x πϕ=+ (φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点， 则tan ∠APB ＝___811-___． 16、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S a 21=+*()n N ∈，12,a =则数列{}n a 通项公式n a =__________．213422≥=⎩⎨⎧⨯=-n n a n n 17、在C ∆AB 中，CB 3=，C 4A =，CA CB CA CB +=-，M 是线段AB 上的动点（含A ，B 两个端点）．若C C C x y M =A +B ,(,)x y R ∈ ， 则C C x y A -B 的取值范围是 12,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 三、解答题（共5题，共52分）18、（本题满分10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若满足22()(2a b c bc =-+.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1cos 21cos 2A aB b-=-，且ABC S ∆=，求边长c .（解答过程写在答题卷上！） 解：（1）23cos ,3222=-+=A bc c b a 则,6π=A ；.................................................5分 （2）根据正弦定理可知：,sin sin 2cos 12cos 1BAB A =--..........................................................6分利用二倍角公式可知：,sin sin sin 2sin 222BAB A = 由此可知BA sin sin =,则B A =,所以b a =。
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诸暨中学2015学年第二学期高一年级数学期中试题卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．是符合题目要求的.答案请填在答题卷的表格中．．．．．．．．．．．．
) 1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于 ( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．45
2．在ABC ∆中，若sin sin ,A B >则角A 与角B 的大小关系为 ( ) A ．A>B B ．A<B C ．A ≥B D ．不能确定
3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=
，则 （ ）
A.0PA PB +=
B.0PC PA +=
C.0PB PC +=
D.0PA PB PC ++= 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若︒===45,2,3B b a ，则角A = （ ）
A ．30°
B ．30°或150° C．60° D ．60°或120°
5．已知||||2a b == ，(2)()2a b a b +-=-
，则a 与b 的夹角为 （ ） A ．
3
π
B ．
23π C ．6
π
D ．56π 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且47109a a a ++=，14377S S -=，
则使n S 取得最小值时的n 值为 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
7．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知22
cos sin sin cos a A B b A B = 则ABC ∆为 ( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．已知{}n a 是递增数列，且对于任意*
n N ∈，都有23n a n n λ=+成立，则实数λ的取值范围是 （ ） A ． 1λ> B ．1λ< C ． 1λ>- D ．1λ<-
9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *
)，则S 2 012＝ ( )
A ．22012－1
B ．3·21006－3
C ．3·21006－1
D ．3·21005
－2
10．已知点O 在平面ABC 中,且
222
)))0||||||||||||
OA AB OA AC OB BA OB BC OC CA OC CB AB AC BA BC CA CB ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+-+-=
（（（，
则点O 是ABC ∆的 （ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分,共28分。
将正确答案填在答题卷．．．
横线上) 11. 若(2,4),(1,3),AB AC BC ===
则 ．
12. 在△ABC 中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =, 则角B 为 ． 13. 已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝2，且139,,a a a 成等比数列，
则14732n a a a a -++++= = ．
14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,n n S a =*()n N ∈，12,a =
则数列{}n a 通项公式n a =__________．
15．在△ABC 中，1AN NC =
，P 是BN 上的一点，
则2016S ＝__________．
17．某观测站C 在城A 的南偏西20˚的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40˚，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，则此人还需走 千米到达A 城．
三、解答题 (本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18．（本题8分）
已知||a ＝3，||b ＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b
(1)当m 为何值时，c 与d
垂直？
(2)当m 为何值时，c 与d
共线？
19．（本题10分）在数列{a n }中，已知11a =，121n n a a +=+，（ n ∈N *）． （Ⅰ）求证：{1}n a +为等比数列；并求出数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若,1n
n n a a n
b -=+求数列{b n }的前n 项和n S ．
20． （本题10分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边， 已知cos cos 2B b
C a c
=-
+ (1)求角B 的大小；
(2)若b a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
21．（本题10分）已知(1,1),1,m m n =⋅=- 且m 与n 的夹角为34
π
，
（1）求n
；
（2）若(1,0),q n q =
且与的夹角为
2
π，(cos ,1cos )p A C =+
,其中A 、B 、C 为ABC ∆的内角，A 、B 、C 依次成等差数列，求||n p +
的取值范围．
．
诸暨中学2015学年第二学期高一年级数学期中答题卷
一、 选择题（每小题4分，共40分）
二、 填空题（每小题4分，共28分）
11． 12． 13． 14．
15． 16． 17．
三、解答题 (本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18．已知||a ＝3，||b ＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b
(1)当m 为何值时，c 与d
垂直？
(2)当m 为何值时，c 与d
共线？
19．在数列{a n }中，已知11a =,121n n a a +=+，(n ∈N *)． （Ⅰ）求证：{1}n a +为等比数列；并求出数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若,1n
n n a a n
b -=+求数列{b n }的前n 项和n S
20． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边， 已知cos cos 2B b
C a c
=-
+ (1)求角B 的大小；
(2)若b a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
21．已知(1,1),1,m m n =⋅=- 且m 与n
的夹角为34
π， （1）求 n
；
（2）若(1,0),q n q =
且与的夹角为
2
π，(cos ,1cos )p A C =+
, 其中A 、B 、C 为ABC ∆ 的内角，A 、B 、C 依次成等差数列，
求||n p +
的取值范围．
．
诸暨中学2015学年第二学期高一年级
数学期中试题答案
一、选择题 BABDB BCCBD 二、填空题
11． (-1,-1) 12．3
π 13． 2
3n n - 14．2n 15．
3
11
16．-1008 17．15
三、解答题 18、（1）
2914 （2）9
5
- 19、（1）21n n a =- （2）1
1
22n n n S -+=-
20、（1）B=
23π （2）21、（1）n =（-1，0）或(0,1)n =-
（2）[
2 22、（1） 21
3
n n a += （2）24
(23)9
n T n n =-
+ （3）2014,2014m m ≥∴的最小值为。