数值分析A_作业3_2011210287_李国轩_13-11-2013

数值分析A-第3次作业李国轩，机研113，2011210287，13.11.201311. 用列主元消去法求解123-0.002220.410.781250 1.38163.996 5.562547.4178x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：由已知可得到增广矩阵为()0.002220.410.7812501.38163.996 5.562547.4178A b ⎡-⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦消去运算第一步。

选(1)313.996a =为第一次消去的主元，交换第1，2行，得到()(1)(1)3.996 5.562547.417810.7812501.38160.002220.4Ab ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦同时可以得到00050050.0996.3002.0,25025.0996.313121-=-===l l做消去运算可以得到()(2)(2)3.996 5.562547.417800.61077 1.00100.474710 2.0028 2.00200.40371Ab ⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦消去运算第二步。

此时，选主元为(2)322.0028a =，再交换第2，3行，同时有30496.00028.261077.031-=-=l做消去运算可以得到()(3)(3)3.996 5.562547.41780 2.0028 2.00200.40371000.390470.35159Ab ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦回代运算。

通过回代可以得到解为(1.92730,0.69850,0.90043)T x =-12. 设 11(),0ij A a a =≠，经过一步Gauss 消去得到(2)11120T a A A α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中(2)(2)2222(2)(2)2n nnna a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦试证明：(1) 若A 对称正定，则A 2也对称正定。

(2) 若A 严格对角占优，则A 2也严格对角占优。

（1）证明：由已知，A 对称，则(1)(1)ij ji a a =，如对A 进行一步高斯消去，有3112121311111111,,...,n n a a a l l l a a a === 因此有(1)(2)(1)(1)(1)(1)111(1)11i ijij i ijijj a aa l aa a a =-⋅=-⋅同时有(1)1(2)(1)(1)(1)(1)11(1)11j jiji j jijii a aa l aa a a =-⋅=-⋅ 可见有(2)(2)ij ji a a =，因此A 2的对称性成立。

A 对称正定，因此有()0,1,2,...,k kk a k n >=,若对A 2进行n-1步高斯消元运算，它变为下面的形式(2)(2)(2)22232(3)(3)333().........nn n nn a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是A 2的各顺序主子式，()()()()232233a a a 0,2,3,,i i ii D i n =>=，因此A 2是正定的。

综上所述，A 2是对称正定矩阵。

原题得证。

（2）证明：由已知，A 严格对角占优，于是有(1)(1)1ii ij nj j i a a =≠>∑ 而1111(1)(2)(1)(1)(1),(,2,3,...,)i ij ij ja a a a i j n a =-⋅= 同时1111(1)(2)(1)(1)(1),(2,3,...,)i ii ii ia a a a i n a =-⋅= 那么111111111111111111111(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2212i i ijij jij ji i i ij jij i ji nnnj j j j ij ij i nnnnj j j j j ij ij ia a aa a a a a a a a a a aa a aa a a a ===≠≠≠====≠≠≠⎛⎫ ⎪=-⋅≤+⋅ ⎪⎝⎭=+=-+-<∑∑∑∑∑∑∑111111111111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)i i i i ii i i ii i ii i iia a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=-≤-⋅=因此可见A2也是严格的对角占优阵。

13. 用平方根法解123164844543842210x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：矩阵A 是对称正定矩阵，且16484548422A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦有114l =，211l =，312l =，222l =，323l =-，333l =。

因此412233L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦于是Ly b =，其中[]4310Tb =-于是可以容易得到[]126Ty =-又TL x y =，且其中412233T L ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是可以容易得到[]2.2542Tx =-16. 求下面两个方程组的解，并利用条件数估计x δ∞，与实际的 x δ∞ 比较。

111222240319.532403193,179.524041792404x x x x x x δδ+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：通过高斯消元法解两个方程，第一个方程对应的增广矩阵为()(1)(1)1240319.53179.52404A b ⎡-⎤=⎢⎥-⎣⎦高斯消元，得到()(2)(2)1240319.530 1.0406256.24375A b ⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦求得()()12,8,6TTx x =第二个方程对应的增广矩阵为()(1)(1)224031931792404A b ⎡-⎤=⎢⎥-⎣⎦类似进行高斯消元，得到()(2)(2)2240319349914970240240Ab ⎡-⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求得()()1122,4,3TTx x x x δδ++= 由于240319179240A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，10.480960.639280.358720.48096A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1()(319240)(0.480960.63928)626.21416cond A A A -∞∞∞==+⨯+=同时0.5A δ∞=0.5()626.21416559 1.27330.51626.214161()559A cond A x A A x x cond A A δδδδ∞∞∞∞∞∞∞∞⨯≤==+-⨯-而4x xδ∞+=，于是 5.0932xδ∞=而由求得的方程可知实际的4x δ∞=18. 给出定理3.2和定理3.3的证明。

1222211123.2,(1)()1,()(),()(),,0(2)()1(3)()()()(4)(),A ()=n n n n nA R A cond A cond A cond A cond A cond A R A cond A U cond A cond AU cond UA A cond A cond A αααλλλλλλ⨯-∈≥==∀∈≠===≥定理设非奇异，则有若为正交阵，则若为正交阵，则设与为按模最大和最小的特征值，则若对称，则证明：（1）由已知的条件同时根据条件数的定义可知11()1cond A A A AA --=≥=11111()()()cond A A A A A cond A -----=== 111()()cond A A A A A cond A ααα--===（2）A 为正交矩阵，则1TA A -=，同时根据条件数的定义1222()1cond A A A-===（3）U 为正交矩阵，于是1T UU -=，又有1()T T AU AU U A AU -=，因此由矩阵相似的定义可知，()TAU AU 与TA A 相似，根据矩阵相似的性质，它们具有相同的特征值22()()cond AU cond A === 另一方面22()()cond UA cond A ====于是，222()()()cond A cond AU cond UA ==，原题得证。

（4）由定义1()cond A A A-=，同时1()A A ρλ≥=。

而-1-11()nA A ρλ≥=于是11()ncond A A Aλλ-=≥此外，如果A 对称则T A A =，11222()ncond A AAλλ-==== 至此，原定理3.2整个得证。

3.3,,0,()1()()n n n A R b R A b x Ax b x r b Ax x r x x r cond A cond A b x b⨯∈∈≠==--≤≤定理设且非奇异，是方程组的精确解，是近似解，称对应的剩余向量，则有证明：由已知11111111()x x AA r A r A r r A cond A b bbxA A A AA b-------=≤≤=于是左侧得证。

1111111()=x x A r r r r r cond A A A A A A A bbxAA bA A bA b--------==≥≥于是右侧得证，因此原题得证。