初中人教版七年级不等式知识点总结

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第9章不等式与不等式组单元复习课件 2022—2023学年人教版数学七年级下册

第九章不等式与不等式组
第9课时《不等式与不等式组》单元复习
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变. (2)不等式的性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. (3)不等式的性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
A.a－1＜b－1
B.－2a＞－2b
C.1a＋1＜1b＋1
2
2
D.ma＞mb
变式练习
8.(2021惠州模拟)已知x＞y,则下列不等式不成立的是( D )
A.x－6＞y－6
B.3x＞3y
C.－2x＜－2y
D.－3x＋6＞－3y＋6
9.【例2】不等式4x＋1＞x＋7的解集在数轴上表示正确的是 ( A)
3x＋86＞5(x-1) ,
3x＋86＜5(x-1)＋3
解得 44＜x＜45 1,
2
∵x为正整数,∴x＝45,∴3x＋86＝221. 答:该班有45名学生,本次一共种植221棵树.
12.关于 x 的不等式 3x－2a≤－2 的解集如图所示,则 a 的值
是
－1
2
.
4(x＋1)≤7x＋13,
13.解不等式组: x-4＜＞”填空:
(1)a＋2 ＞ b＋2;
(2)－4a ＜－4b;
(3)a __＞___ b.
2
2
知识点二:解不等式求不等式解集的过程称为解不等式.
2.利用不等式的性质解不等式3x＜2x＋1,得 x＜1 .
知识点三:解一元一次不等式 (1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)未知数的系数化为1.在(1)~(5)的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.

(完整版)初中人教版七年级不等式知识点总结

一元一次不等式(组 )一、不等式的概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为 1四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

数学人教版七年级下册不等式的基本性质

• 等式的基本性质2:在等式两边都乘以或除以
同一个数(除数不为0)，结果仍相等．
如果a=b,那么ac=bc或a b cc
（c≠0），
互助探究
不等式是否具有类似的性质呢？
如果 5＞3,
那么 5+2 __＞__ 3+2 , 5-2_＞___3-2
如果-1<3,
那么-1+2__<__3+2,
-1-3__<_3-3
人教版义务教育教科书七年级下册第九章第二节
不等式的基本性质
齐市三中唐秀萍
学习目标：
1 理解并学会不等式的性质； 2 体会不等式与等式的性质的异同； 3 能用不等式基本性质解不等式.
交流预习
• 等式的基本性质：等式的基本性质1:在等式两边都加上(或减
去)同一个数或整式，结果仍相等．
如果a=b,那么a±c=b±c
互助探究
如果_ a>b且c_>_0_,
那么_a_c_>_b_c__
(或
a c
b
c)
互助探究不等式基本性质2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正__数__,不等号的方向不变.
如果_a_>_b__,c_>_0_,那么_a_c_>_b_c__(_或__ac__ _bc _)
不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负__数__，不等号的方向 _改__变_.
如果_a_>__b_,c_<__0,那么_a_c_<_b__c_(或__ac__bc_)
互助探究
例1：判断下列各题的推导是否正确？为什么(学生口答) (1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a＞-4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a＞2a.

人教版七年级下册数学第九章不等式与不等式组不等式不等式的性质(第一课时)

< 不等式性质1
探究新知
知识点 2 不等式的性质2 用不等号填空：（1）5 > 3 ；
5×2 > 3×2 ； 5÷2 > 3÷2 . （2）2 < 4 ；
2×3 < 4×3 ；2÷4 < 4÷4 . 自己再写一个不等式，分别在它的两边都乘（或除以）同一个正数，看看有怎样的结果？与同桌互相交流，你们发现了什么规律？
解：(1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，得 x-7+7 ＞ 26+7，
x ＞ 33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
33
探究新知
（2）为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据
__不__等__式__性__质__1_，不等式两边都减去_2_x__，不等号的方向
探究新知
（3）已知 a<b，则 -a3
由不等式基本性质3，得
-a 3
>
-b 3
,
因为
-a 3
>
-b 3
，两边都加上2，
由不等式基本性质1，得
-a 3
+2
>
-b3+2
.
巩固练习
若 a>b, 用“>”或“<”填空： a-5 > b-5（根据不等式的性质 1 ）
探究新知
如果_a_>_b_且__c_>_0_, 那么_a_c_>_b_c__
(或 a b ) cc
探究新知
不等式基本性质2
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

人教版七年级数学下册_9.1.1不等式及其解集

A.5
B.4
C.3
D.2
感悟新知
知识点 3 不等式的解集的表示方法
在数轴上表示不等式的解集：
特别提醒在数轴上表示不等式的解集时，
大于向右画，小于向左画；界点处用空心圆圈圈住该点.
知3－讲
感悟新知
知3－讲
不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等
式的解集可以在数轴上直观地表示出来. 一般地，利用数
C. 3
D. 2
感悟新知
例2 用不等式表示： (1)a 的一半与3 的和大于5； (2)x 的3 倍与1 的差小于2； (3)a 的 1 与1 的差是正数；
2
(4)m 与2 的差是负数.
知1－练
解题秘方：紧扣不等关系中的关键词语列出不等式.
感悟新知
解：(1) 1 a+3>5.
2
(2)3x－1<2.
第9章不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
不等式不等式的解与解集不等式的解集的表示方法
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
感悟新知
知识点 1 不等式
知1－讲
1. 定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等
式. 用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设a>0)：
不等式的解集 x>a
x>－4a
x<a
x<－a
数轴表示
感悟新知
知3－练
例4 在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x>2 (2)x<－2 解题秘方：紧扣不等式解集在数轴上的表示方法，看清不等号和端点值是解决问题的关键.

人教版七年级数学下第九章一元一次不等式归类总结

流第九章一元一次不等式【基础知识梳理】一、一元一次不等式1．不等式的基本性质：(1)不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b ，那么a ±c>b ±c．(2)不等式的性质2：不等式的两边乘以(或除以)同一正数，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b ，c>0，那么ac>bc 或a c >b c． (3)不等式的性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向① ，用式子表示：a>b ，c<0，那么，ac ② bc 或a c ③b c． 2．解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并 ④ ，把系数化为1．3．不等式解集及其数轴表示法⑴ 不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8．(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．如：注意:表示4的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．温馨提示：不等式的性质是解不等式的重要依据.在解不等式时，值得注意的是在不等式的两边除以一个负数时，不等号的方向一定要改变.二、一元一次不等式组一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．⑴ 温馨提示：求几个一元一次不等式组的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定．公共部分是指数轴上被两条不等式解集的区域都覆盖住的部分．⑵ 求解不等式组的关键是求一元一次不等式的解集．由于一元一次不等式都可转化为x ＞a 或x ＜a 的最简形式，因此只要分为两种情形讨论其解集即可(不妨设a>b)：① 当不等号的方向一致时(称同向不等式)，即：流对这类不等式组可按“同大取大；同小取小”的法则，即取公共部分为它的解(如图1)．图1 图2所以在图1中，不等式组的解集为x>a, 在图2中，不等式组的解集为⑤.②当不等号的方向相反时(称异向不等式)，即：则若未知数的取值比大数小，比小数大时，不等式组的解集在两数之间，取公共部分(如图3)；图3所以在图3中，不等式组的解集为⑥.若未知数的取值比大数还大，比小数还小，不等式组的解集是空集，即没有公共部分(如图4)．图4所以在图3中，不等式组的解集为空集,即无解.上述不等式组的解集用一句顺口溜表示为” 同大取大, 同小取小,小大大小中间找, 大大小小解不了(答：无解).三、不等式(组)的应用1．列不等式解应用题的基本步骤：①审题；②设未知数；③列不等式；④解不等式；⑤检验并写出答案．2．列不等式组解决实际问题与列一次方程组解决实际问题的步骤大致相同，不同的是前者寻找不等量关系，后者建立的是等量关系，并且解不等式组所得的结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案．流【考点例析】一、不等式的基本性质例1、若a<b<0，则下列式子：①a+1<b+1； ②a b >1；③a+b<ab ；④1a <1b 中，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个分析与解：本题就是不等式性质的应用.对于①是在不等式两边都加上1,根据不等式性质1,该不等式成立;对于②是在不等式两边同时除以b,因为b 是负数, 根据不等式的基本性质，同乘同除一个负数时，不等号的方向要改变,所以②也正确;对于③,因为a<b<0,所以a+b<0,ab>0,所以③正确;对于④是在不等式的两边同乘以1ab >0，可得1a >1b ,故④不正确，故选C. 点拨：不等式的基本性质是不等式的核心，特别要注意不等式的性质3的利用，不等号的方向要改变.二、不等式解的表示方法例2. 解集在数轴上表示为如图5所示的不等式组是（）A ．32x x >-⎧⎨⎩≥B ．32x x <-⎧⎨⎩≤C ．32x x <-⎧⎨⎩≥D ．32x x >-⎧⎨⎩≤ 分析与解：不等式（组）的解集在数轴上表示的形状是一条射线，小于向左画，大于向右画，无等号的画空心圆圈，有等号的画实心圆点，因此判断不等式的解集为.32x x >-⎧⎨⎩≤，故选D.点拨：利用数轴表示不等式（组）的解，关键要熟知不等号的表示方法.尤其是空心和实心的区别.三、不等式（组）解法步骤例3. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：23-图5流 3(1)7251.3x x x x --⎧⎪⎨--<⎪⎩≤， ① ②分析与解：解不等式①，得2x -≥；解不等式②，得12x <-．在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图：或者根据“同大取大；同小取小；小大大小中间找，大大小小解不了”的原则，可以得到：原不等式组的解集是122x -<-≤．点拨：会解不等式（组）是一个基本要求，关键是利用好不等式的基本性质，同时要注意解的范围的确定方法.四、不等式(或组)的整数解问题例4. 解不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧->--≤-4315221x x x x 并求其整数解的和.分析：欲求整数解的和，就要求出它的整数解，而要求出整数解，就要先求出不等式组的解集,然后根据解集求出符合条件的整数解.解：解①，得23->x ；解②，得x ≤4，故不等式组的解是x <-23≤,4故它的整数解是－1，0，1，2，3，4，从而整数解的和是－1＋0＋1＋2＋3＋4=9.点拨：解这类问题的一般步骤为：①求出一元一次不等式（组）的解集；②找出适合解集范围内的特殊解，如整数解、自然数解等.就本题而言，求出整数解后不要忘了求整数解的和.五、不等式式(或组)中待定字母范围的确定例5. （1）若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为—1<x<1，则（a+1）（b —1）的值是__________；2-1-01流（2）若不等式3x-a ≤0的正整数解为1、2、3，则a 的取值范围是__________．分析：（1）先求出不等式组的解集，再与已知解集对照比较，确定a 、b 的值；（2）先求出不等式的解集，再利用数轴确定a 的取值范围．解：（1）解原不等式组中的各个不等式得：1232a x x b+⎧<⎪⎨⎪>+⎩依题意知，解集为3+2b<x<a+12，又∵不等式组的解集为-1<x<1.∴ 112321a b +⎧=⎪⎨⎪+=-⎩（1）（２）由（1）得：a+1=2，由（2）得：b=—2，则b —1=—3，∴（a+1）（b —1）=2×(-3)=-6；（2）不等式的解集为x ≤a 3，如右图所示，解集为x ≤3到x<4范围内时，满足原不等式的正整数解恰好为1，2，3．故有：3≤a 3<4，解得9≤a<12．所以a 的取值范围是9≤a<12．点拨：确定不等式组中的字母的取值范围，主要有三种方法：（1）运用不等式的解集确定；（2）从反面求解确定；（3）借助数轴来确定。

人教版七年级下册数学第九章不等式与不等式组不等式不等式及其解集

交流：下面给出的数中，能使不等式x>50成立吗？你还能找出其他的数吗？
20， 40， 50, 100.
解：当x=20，20<50, 当x=40，40<50, 当x=50，50=50, 当x=100，100>50,
不成立；不成立；不成立；成立.
探究新知
我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，与方程类似 , 能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.
探究新知
知识点 1 不等式的概念
现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系. 例如，小明的身高为155cm，小聪的身高为156cm，则我们可以用不等号“>”或“<”来表示他们的身高之间的关系.
如：156 > 155或155 < 156.
155cm
156cm
探究新知
【思考】如图所示,处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码,左盘放上一个圆球后向左倾斜,问圆球的质量x g与质量为50g的砝码之间具有怎样关系？
我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x > 50.
探究新知
一辆匀速行驶的汽车在11 :20距离A地50千米，要在 12 :00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
11 :20
50千米 40分钟＝2/3小时
A 12 :00
探究新知
分析：设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50 千米所用的时间不到2/3小时，即
何用含x，y的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的
关系？
解: 3x+10(x+y)<50.
↓
课堂小结

不等式的性质人教版七年级下册

解：由(1-a)x>1-a ，不等式两边同时除以 1-a ，得到 x<1
不等号方向改变了，由不等式的性质3可知
1-a<0,a>1
可以取a=2
例6 某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm。容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注。
用V(单位：cm）3 表示新注入水的体积，写出V的取
(4) -4a__＜__-4b (5) 2a+3__＞__2b+3; (6) (m2+1) a __＞__ (m2+1)b (m为常数)
例3：根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或 x＜a的形式：
(1)x-7<26；
(3) 2 x>50； 3
答案：
(2)3x<2x+1； (4)-4x>3。
(1)x>33
(2)x<1
(3)x>75
(4)x< -
大于向右，小于向左，有等号为实心，无等号为空心
.
在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x≤-1 (3)x＜2
(2)x≥-3 (4)-3≤x＜2
育才初一数学备课组
不等式性质1:如果a＞b，那么a±c b±c 不等式性质2:如果a＜b,c>0那么ac bc，不等式性质3:如果a＞b，c＜0那么ac bc，
练一练：
3.解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：（1） 2x－1<4x＋13
（2） 2（5x＋3）≤x－3（1－2x）
（3）
x 2 (x 1) 1 2
若x＜a的解集中最大的整数解为3，则a的取值范围为 3＜a≤4 .
－1 0 1 2 3 4 5

人教版七年级下册数学：第九章不等式与不等式组

解集在数轴上表示如图.
一元一次不等式组及其解法
2（x＋2）>3x，① 解：3x－2 1≥－2.② 解不等式①，得 x<4. 解不等式②，得 x≥－1. ∴不等式组的解集为－1≤x<4. 不等式组的解集在数轴上表示如下：
A
Hale Waihona Puke 利用不等式来解决实际问题的步骤是什么？
实际问题设未知数，
数学问题
列不等式
人民教育出版社数学七年级下册
第九章不等式与不等式组小结与复习
构建不等式（组）知识间的联系，形成知识体系，并解决有关问题.
1.向数学名家学习。
对于读书要扎扎实实，
每个概念、定理都要追根求源、彻底清楚。这样一来，本来一本较薄的书，由于增加了不少内容，就
变得“较厚”了，这是“由薄到厚”。这一步以后还有更为重要的一步，即在第一步的基础上能够分析归纳，抓住本质，把握整体，做到融会贯通。经过这样认真分析，就会感到真正应该记住的东西并不多，这就是“由厚到薄”这样一个过程，才能真正提高效率。
1.向数学名家学习。
2.数学单元复习方法 (1)自绘数学单元思维导图。 (2)自编数学单元练习题。 (3)数学学习伙伴互助。
互相完成伙伴的练习题，并进行互相评价，以及互相评价数学思维导图。 (4)跟着老师学，师生互动。
自己动手制作思维导图，进行数学
知识的分析、整理、总结，将已掌握的抽象数学知识可视化，将知识内化为自己的数学知识，数学知识系统化，从而培养同学们的自主学习能力，锻炼数学思维、归纳整理能力。
伙伴互助
数学学习伙伴A结合自编的《一元一次不等式（组）》思维导图和单元复习题向伙伴B陈述下面的问题，对全章的内容做一个复习：

人教版七年级数学下册第九章不等式与不等式组一元一次不等式第2课时实际问题与一元一次不等式

A．58 B．59 C．60 D．61 4．(舞钢市期末)小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则x应满足的不等式是 _5_x_＋__2_(_3_0_－__x_)≤_1_0_0__．
5．(2021·焦作期末)一种苹果的进价是每千克1.9元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，商家把售价至少定为__2__元，才能避免亏本．
解：因为1.5×10＝15＜25，所以小明家这个月的用水量超过10立方米．设小明家这个月的用水量至少为x立方米，根据题意有15＋2(x－10)≥25，解得x≥15，答：他家这个月的用水量至少是15立方米
11．(2021·河北)已知训练场球筐中有A，B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个．
(1)淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101－x＝2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；
(2)据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个．
解：(1)嘉嘉所列方程为 101－x＝2x，解得 x＝3323 ，又∵x 为整数，∴x＝3323 不合题意，∴淇淇的说法不正确 (2)设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有(101－x)个，依题意，得101－x－ x≥28，解得x≤36.5，又∵x为整数，∴x可取的最大值为36.答：A品牌球最多有36 个
8．红旗中学组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用11辆甲、乙两种型号的大客车(每种型号至少一辆)送549名学生和11名教师参加此次实践活动．
甲、乙两种型号的大客车的载客量如表所示：
则最多可以租用多少辆甲种型号大客车？有几种租车方案？
解：设租用x辆甲种型号大客车，则租用(11－x)辆乙种型号大客车，依题意得： 40x＋55(11－x)≥549＋11，解得x≤3，∴x可以取的最大值为3.∵x为正整数，∴x＝ 1或2或3，∴有3种租车方案．答：最多可以租用3辆甲种型号大客车．有3种租车方案，方案1：租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；方案2：租用2辆甲种型号大客车，9辆乙种型号大客车；方案3：租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车

人教版七年级数学下册第9章。一元一次不等式组知识点专题复习讲义

人教版七年级数学下册第9章。

一元一次不等式组知识点专题复习讲义一元一次不等式组知识点专题复讲义一、知识梳理1.知识结构图概念基本性质不等式的解法不等式的定义不等式的解集一元一次不等式的解法实际应用一元一次不等式组的解法二、知识点回顾1.不等式不等式是由不等号连接起来的式子。

常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”。

2.不等式的解与解集不等式的解是使不等式成立的未知数的值。

不等式的解集是一个含有未知数的不等式的解的全体。

解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

3.不等式的基本性质1) 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

4.一元一次不等式一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是1.系数不等于的不等式叫做一元一次不等式。

其标准形式为：ax+b＜或ax+b≤，ax+b＞或ax+b≥0(a≠0)。

5.解一元一次不等式的一般步骤1) 去分母；2) 去括号；3) 移项；4) 合并同类项；5) 化系数为1.删除格式错误的段落。

对于每段话，进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。

解一元一次不等式和解一元一次方程类似。

不同的是，一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。

这是解不等式时最容易出错的地方。

例如，解不等式：-2/3x-1≤1/3解：去分母，得（3x-1）-2（3x-1）≤2（不要漏乘！每一项都得乘）去括号，得3x-3-6x+2≤2（注意符号，不要漏乘！）移项，得3x-6x≤2+3-1（移项要变号）合并同类项，得-3x≤4（计算要正确）系数化为1，得x≥-4/3（同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）一元一次不等式组是含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组。

人教版初一数学下册：不等式及其性质(提高)知识讲解

不等式及其性质（提高）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】知识点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【高清课堂：一元一次不等式370042不等式的基本性质】知识点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是()【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．【答案】D【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于163克．故A选项错；两个糖果的重量小于3221033=克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于16641421 333⨯==克故D选项对．【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．举一反三：【变式】【答案】类型二、不等式的解及解集2.若关于x的不等式x≤a只有三个正整数解，求a的取值范围.【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围．【答案】3≤a＜4【解析】解：∵不等式x≤a只有三个正整数解，∴三个正整数解为：1，2，3，∴3≤a＜4，【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解．3.（2015春•安县期末）如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是( )A．-3≤x＜2 B．-3＜x≤2 C．-3≤x≤2 D．-3＜x＜2【思路点拨】x表示-3右边的数，即大于-3，并且是2以及2左边的数，即小于或等于2的数．【答案】B【解析】解： A、因为-3≤x＜2，在数轴上-3的点应该是实心的圆点；C、因为-3≤x≤2，在数轴上-3和2的点应该都是实心的圆点；D、因为-3＜x＜2，在数轴上-3和2的点应该都是空心的圆点；故选B．【总结升华】在数轴上表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，“＞”，“≥”向右画；“＜”，“≤”向左画．举一反三：【变式】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为________．【答案】4提示：由程序图可知，计算求值时所使用的数学表达式为224y x =-．把x ＝1输入求值，若求得的结果大于0，则直接得到输出值y ；若求得的结果小于0，则需要把得到的结果作为输入值再代入计算，循环往复，直到使最终的结果大于0为止．类型三、不等式的基本性质4.若关于x 、y 的二元一次方程组3133x y ax y +=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y ＜2，则a 的取值范围是________．【思路点拨】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y 的值．因为x+y ＜2，故可以构建关于a 的不等式．然后利用不等式的性质就能求出a 的取值范围．【答案】a ＜4 【解析】解：将两方程相加得：4x+4y ＝4+a ．将方程的两边同除以4得 44ax y ++=．依题意：424a+<．将不等式的两边同乘以4得4+a ＜8．将不等式的两边同时减去4得a ＜4．故a 的取值范围是a ＜4．【总结升华】解关于x 的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为x ＞a 或x ＜a 的形式，化简的依据是不等式的性质．举一反三：【变式1】（2015春•沙河市期末）若关于x 的不等式（1﹣a ）x ＞3可化为，则a的取值范围是．【答案】a ＞1．解：关于x 的不等式（1﹣a ）x ＞3可化为，1﹣a ＜0，a ＞1.【高清课堂：一元一次不等式370042 练习3】【变式2】a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2；B ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若a ≠b ，则｜a ｜≠|b|D ．若｜a ｜≠|b|，则a ≠b【答案】D附录资料：一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x 必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x +>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x ＜-2解不等式②，得x ≥-5故原不等式组的解集为-5≤x ＜-2．其解集在数轴上表示如图所示．（2）原不等式可变为：213(1)3(1)4x xx x+>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x<解②得：12 x≥-故原不等式组的解集为14 2x-≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤，又x 为整数，所以5x =或6或7， ∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）． ∴方案1运费最少，应选方案1．。

人教版初中数学不等式与不等式组基础知识点归纳总结

人教版初中数学不等式与不等式组基础知识点归纳总结单选题1、不等式组{3(x −1)>x −72x +2⩾3x的解集是（） A ．﹣2＜x≤2B ．x ＜﹣2C ．x≥2D ．无解答案：A解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解不等式3(x ﹣1)＞x ﹣7，得：x ＞﹣2，解不等式2x+2≥3x ，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，故选：A ．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2、下列说法中错误的是（）A ．不等式x +2≤3的整数解有无数个B ．不等式x +4<5的解集是x <1C ．不等式x <3的正整数解有限个D ．0是不等式2x <−1的解答案：D解析：逐一对选项进行分析即可．A. 不等式x +2≤3的解集为x ≤1 ，所以整数解有无数个，故正确；B. 不等式x +4<5的解集是x <1，故正确；C. 不等式x <3的正整数解为1，2，是有限个，故正确；D. 0不是不等式2x <−1的解，故错误；故选：D ．小提示：本题主要考查不等式的解集及解的个数，会解不等式是解题的关键．3、“x 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为（）A ．2x +3≥0B ．2x +3>0C ．2x +3≤0D ．2x +3<0答案：A解析：非负数就是大于或等于零的数，再根据x 的2倍与3的和是非负数列出不等式即可.解：“x 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为：2x +3≥0,故选：A.小提示：本题考查的是列不等式，掌握“非负数是正数或零，用不等式表示就是大于或等于零”是解题的关键.4、关于x 的方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m 的取值范围是（）A ．m>92B ．m<0C ．m<92D ．m>0 答案：A解析：解：方程4x －2m ＋1＝5x －8的解为x ＝9－2m ．由题意得：9－2m ＜0，则m ＞92．故选A ．5、下列式子：①3＞0；②4x +5＞0；③x ＜3；④x 2+x ；⑤x ≠﹣4；⑥x +2＞x +1，其中不等式有（）个A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C解析：根据不等式定义可得答案．①3＞0；②4x +5＞0；③x ＜3；⑤x ≠﹣4；⑥x +2＞x +1是不等式，共5个，故选C ．小提示：本题考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．6、关于x 的一元一次方程4x-m+1=3x-1的解是负数，则m 的取值范围是（）.A ．m=2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m≤2答案：C解析：∵方程x ﹣m +2=0的解是负数，∴x =m ﹣2＜0，解得：m ＜2，故选C ．7、下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（）A ．{x −1<3x +1<3B ．{x −1<3x +1>3C ．{x −1>3x +1>3D ．{x −1>3x +1<3答案：B分析：先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式组的解集，再找出符合条件的不等式组即可．详解：A、此不等式组的解集为x＜2，不符合题意；B、此不等式组的解集为2＜x＜4，符合题意；C、此不等式组的解集为x＞4，不符合题意；D、此不等式组的无解，不符合题意；故选B．点睛：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时一定要注意实心与空心圆点的区别，即一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点．8、不等式3x−1>x+1的解集在数轴上表示为( )A．B．C．D．答案：C解析：试题解析：由3x﹣1＞x+1，可得2x＞2，解得x＞1，所以一元一次不等式3x﹣1＞x+1的解在数轴上表示为：故选C．点睛：首先根据解一元一次不等式的方法，求出不等式3x﹣1＞x+1的解集，然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法，把不等式3x﹣1＞x+1的解集在数轴上表示出来即可．9、用不等式表示：x 减去2的差的绝对值不大于32_________________．答案：|x −2|≤32解析：根据题意以及不等式的定义列不等式．解：x 减2的绝对值不大于32，列式：|x −2|≤32．故答案是：|x −2|≤32．小提示：本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式．10、一次测验共出5道题，做对一题得一分，已知26人的平均分不少于4.8分，最低的得3分，至少有3人得4分，则得5分的有______ 人．答案：22解析：解：设得5分的人数为x 人，得3分的人数为y 人．则可得{x +y +3=265x +3y +12>26×4.8，解得：x ＞21.9． ∵一共26人，最低的得3分，至少有3人得4分，∴得5分最多22人，即x ≤22．∴21.9＜x ≤22且x 为整数，所以x =22．故得5分的人数应为22人．故答案为22．点睛：此题考查不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．解题过程中一定要符合题目的意思，以事实为依据．11、已知不等式组{x >1x <a −1无解，则a 的取值范围为__．答案：a⩽2解析：求出不等式组中每个不等式的解集，根据已知即可得出关于a的不等式，即可得出答案．解：∵不等式组{x>1x<a−1无解，∴a−1⩽1，解得：a⩽2，所以答案是：a⩽2．小提示：本题考查了一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式，题目比较好，难度适中．12、不等式组{2x−1<3−12x−1≤0的整数解的和为________．答案：-2解析：先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值，再相加．解：{2x−1<3①−12x−1≤0②，解不等式①得，x＜2；解不等式②得，x≥-2，∴不等式组的解集是：-2≤x＜2，∴不等式组的整数解是：-2，-1，0，1，∴整数解的和为-2-1+0+1=-2，所以答案是：-2．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．13、已知关于x的不等式3x-5k>-7的解集是x>1，则k的值为________.答案：2解析：试题分析：不等式可变形为：3x＞5k－7，x＞5k−7，3∵关于x的不等式3x－5k>－7的解集是x>1，∴5k−7＝1，3解得：k＝2．故答案为2．点睛：本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的方程是解题关键．解答题14、在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则定|x1−x2|和|y1−y2|中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为d min(P,Q)．例如：P(−2,3),Q(0,2)，因为x1=−2,x2=0,|x1−x2|=|−2−0|=2；y1=3,y2=2,|y1−y2|=|3−2|=1，而|3−2|<|−2−0|，所以d min(P,Q)=|3−2|=1．（1）请直接写出A(3,−2)和B(−1,1)的直角距离小分量d min(A,B)=_________；（2）点D是坐标轴上的一点，它与点C(3,−1)的直角距离小分量d min(C,D)=2，求出点D的坐标；（3）若点M(m+1,2m−2)满足以下条件：a）点M在第一象限；b）点M与点N(5,0)的直角距离小分量d min(M,N)<2c）∠MON>45°，O为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______．答案：（1）3；（2）D(0,1)或D(0,−3)；（3）M(5,6)或(6,8)解析：（1）根据新概念求得即可；（2）分两种情况，根据“直角距离小分量”的定义得出即可；（3）根据题意得出{m+1>02m−2>0，解出m的取值范围，再由∠MON>45°可推导出K OM =2m−2m+1>1，解出m的取值范围，根据横纵坐标都为整数的点取m的值即可．解：（1）∵A(3,−2)，B(−1,1)，∴|3+1|=4>|−2−1|=3，∴d min(A,B)=3；故答案为3；（2）∵点D是坐标轴上的一点，若D在x轴上，设D(a,0)，由于|0+1|=1<2与题意矛盾，故点D是在y轴上的一点，设D(0,b)，|0−3|=3>2，∴|b+1|=2，解得：b=1或−3，∴D(0,1)或D(0,−3)；（3）由题意得：{m+1>02m−2>0，解得m>1，|m+1−5|=|m−4|,|2m−2−0|=2|m−1|，∴(m−4)2−[2(m−1)]2=−3m2+12，当1<m<2时，d min(M,N)=2|m−1|<2，解得：0<m<2，当m≥2时，d min(M,N)=|m−4|<2，解得：2<m<6，∴m的取值范围是：0<m<2或2<m<6，∵∠MON>45°恰好为l OM的倾斜角，∴K OM>1，K OM=2m−2m+1>1，解得：m<−1或m>3综上：m的取值范围是：3<m<6，∵横纵坐标都为整数，∴m=4和5，∴M(5,6)或(6,8)，所以答案是：M(5,6)或(6,8)．小提示：本题考查了坐标与图形的性质，解一元一次不等式组，解题的关键是根据新概念列出不等式组．15、求不等式2x+13≤3x−25+1的非负整数解．答案：不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．解析：去分母，去括号，移项，合并同类项，即可得出不等式的解集．去分母得：5（2x +1）≤3（3x -2）+15，去括号得：10x +5≤9x -6+15，移项得：10x -9x ≤-5-6+15，合并同类项得x ≤4，∴不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．小提示：考查了不等式的性质和解一元一次不等式，主要考查学生运用不等式的性质解一元一次不等式的能力.。

人教版-数学-七年级-下册-不等式的性质

C. a<1
D. a<0
a<1
拓展提升
2.将物体“▲”的质量用 a 表示，物体“●”的质量用 b 表示，现已知 a<b，则下列四个天平的倾斜度一定正确的是( B )
b+a
a+a
拓展提升
3.若实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，则下列不
等式成立的是( B )
c<0<a<b
A. ab<ac c<b，a>0 B. ac>bc a<b，c<0 C. a+c>b+c b>a，c<0 D. a+b<c+b a>c，b>0
拓展提升
-1 0
拓展提升
3.“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟” 即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物. 2020年，某省谷子种植面积已达 324 万亩，平均亩产量约为 320 kg.2021年，若该省谷子的平均亩产量仍保持 320 kg 不变，则要使谷子的年总产量不低于 108 万吨，该省至少应再多种植多少万亩的谷子？
我们知道解方程需要依据等式的性质，同样解不等式也可以依据不等式的性质进行，本节课我们就来学习怎样利用不等式的基本性质解不等式.
新知探究
知识点：不等式的性质的应用
分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为 x>a 或 x<a (a 为常数)的形式.
新知探究
(1) x-7＞26；解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加 7，不等号的方向不变，所以 x-7+7>26+7，即 x>33. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：

人教版七年级数学下册一元一次不等式组(基础) 知识讲解

人教版七年级数学下册一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.xx>⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3xx>⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3xx<⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3xx<⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3xx>⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x>；（2）3x<-；（3）32x-<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1)313112123x xx x+<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x+>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x＜-2解不等式②，得x≥-5故原不等式组的解集为-5≤x＜-2．其解集在数轴上表示如图所示．（2）原不等式可变为：213(1)3(1)4x xx x+>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x<解②得：12 x≥-故原不等式组的解集为14 2x-≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得： 88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤，又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．。

人教版七年级下册数学第九章含参不等式以及含参不等式组的解法

人教版七年级下册数学第九章含参不等式以及含参不等式组的解法含参不等式以及含参不等式组的解法在中考中经常出现，它们往往掺杂参数来增加难度。

但只要我们读清楚题目并找到解题思路，就能迎刃而解。

本节课将重点讲解如何读题去寻找解题思路。

对于含参不等式，我们需要分类讨论情况。

当不等式为ax0、a0时，解集为任意数；当b≤0时，这个不等式无解。

当不等式为ax≥b时，解集情况也需要分类讨论。

当b≥0时，解集为任意数；当b<0时，这个不等式无解。

在这些需要讨论的情况下，等号最后讨论才方便，不会讨论重合。

例如，对于不等式kx+2>2x-3，我们可以移项、合并同类项，并进一步讨论取值。

对于含参不等式组，我们需要观察解集，并根据解集分类讨论情况。

例如，对于不等式组{x>1.x>3}，解集为x>3；对于不等式组{x1.x3}，无解。

练题：1、求不等式kx+2>3的解集。

2、（1）求不等式mx-2<-7-nx的解集；（2）求不等式m2x+1<-x+5的解集。

3、关于x的方程5x-2m=-4-x的解满足2<x<10，求m的取值范围。

4、（1）求不等式(x-a)(x-b)>0的解集；（2）求不等式x-20x-18x-16x-14x-12>5的解集。

5、（1）已知关于x的不等式组{x-a≥5-2x。

x>a+2}，只有四个整数解，求实数a的取值范围；（2）已知关于x的不等式组{x<3a-2.x<1.x<1-k}无解，则a的取值范围是？已知关于x的不等式组为：begin{cases}x-a>0\\x-a<5\\x-a>3\\x-a<8\\x-a>6\\x-a<11end{cases}求a的取值范围。

首先，我们可以将每个不等式都变形为$x>a$的形式，得到：begin{cases}x>a\\x<a+5\\x>a+3\\x<a+8\\x>a+6\\x<a+11end{cases}接下来，我们可以将这些不等式表示在数轴上，如下图所示：image.png](/upload/image_hosting/ed4z3l4y.png)根据图中的表示，我们可以发现，对于任意一个整数解x，它都必须同时满足这6个不等式，也就是说，它必须在数轴上被标记为黑色的点。

人教版七年级数学下册《一元一次不等式》知识点

不等式知识点归纳一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5．用数轴表示不等式的解集。

二、不等式的基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

例:1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是。

2．如果关于x 的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的值为。

3．当x 时，代数式52+x 的值不大于零4..若x <１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空）5.不等式x 27->１，的正整数解是6.不等式x ->10-a 的解集为x <３，则a7.一罐饮料净重约为３００g ，罐上注有“蛋白质含量6.0 ”其中蛋白质的含量为 _____ g三、一元一次不等式（重点）1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2．解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为1例：一、判断题（每题1分，共6分）1、 a ＞b ，得a ＋m ＞b ＋m （）2、由a ＞3，得a ＞23 （） 3、 x = 2是不等式x ＋3＞4的解（）4、由－21＞－1，得－2a ＞－a （） 5、如果a ＞b ，c ＜0，则ac 2＞bc 2 （）6、如果a ＜b ＜0，则ba ＜1 （）二、填空题（每题2分，共34分）1、若a ＜b ，用“＞”号或“＜”号填空：a －5 b －5；－2a －2b ；－1＋2a －1＋2b ；6－a 6－b ； 2、x 与3的和不小于－6，用不等式表示为；3、当x 时，代数式2x －3的值是正数；4、代数式41＋2x 的不大于8－2x 的值，那么x 的正整数解是； 5、如果x －7＜－5，则x ；如果－2x ＞0，那么x ； 6、不等式ax ＞b 的解集是x ＜a b ，则a 的取值范围是； 7、一个长方形的长为x 米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x 应满足的不等式为；8、点A （－5，y 1）、B （－2，y 2）都在直线y = －2x 上，则y 1与y 2的关系是；9、如果一次函数y =（2－m ）x ＋m 的图象经过第一、二、四象限，那么m 的取值范围是；易错点分析：例解关于x 的不等式（12－a ）x ＞1－2a ．错解：去分母，得(1－2a )x ＞2(1－2a )．将不等式两边同时除以（1－2a ），得x ＞2．错因剖析：在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号．本例中不等式两边同乘(或除以)的(1－2a )，在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错．正解：将不等式变形，得(1－2a )x ＞2(1－2a )．（1）当1－2a ＞0时，即a ＜12时，x ＞2；（2）当1－2a ＝0时，即a ＝12时，不等式无解；（3）当1－2a ＜0时，即a ＞12时，x ＜2．。