一类源自二次和三次映射的混合泛函方程的模糊稳定性

第15卷第2期2013年6月应用泛函分析学报一C T A A N A L Y SI S FU N C T I O N A L I S A PPL I C 爿别V ol ：15j N o 。

2J un ，；2013D O I 10．3724／SP!J ?1160。

2013：00097利办囱基；1009-1327(2013)02—0097～12一羹囊雾冀薹雾鋈薹雾薹羹翼蓁雾羹蓁蓁垂蓁羹蓁蓁霉囊蓁霾i 雾鋈i 掣零塞霎强调：“在汉语中不是什么形容词都可以重叠”。

可以参照《汉语水平词汇与汉字等级大纲》中形容词重叠的比例，让学生在宏观上有一个整体的把握。

其中，特别需要强调定量化的形容词不能重叠。

朱景松(2003)提出，一些表示绝对量的词和一些表示量达到极致的词是不能重叠的，pj 而这些词大都在泰语中具有重叠形式。

例如：婧a(真)，泰语中存在从重叠式请寸1，但是汉语中“真”作为一个绝对量的形容词，一般情况下是不能重叠的。

学生受到母语负迁移的影响，产生偏误“他弄得我真真地爱上了他”。

(二)汉、泰形容词重叠式的对应性问题。

汉、泰形容词中有一部分表达相同或者相近意义的形容词的重叠形式不是一一对应的。

汉、泰形容词重叠式经常出现这样的情况，在汉语中是灿蛆B 式。

而对应的泰语的重叠式是A B A B 式。

例如安宁翻u ，汉语的重叠形式为A A B B 式：安安宁宁，而泰语的重叠形式为A B A B 式：嗣dul 。

A AB B 式和A B A B 式分别是汉语和泰语中双音节形容词最常用的重叠方式，因而，汉语中以A A B B式重叠的形容词，在泰语中以A B A B 式重叠的概率较大。

再如“可爱”在汉语中是不能重叠的形容词，但泰语中表达相似意思的词语们翔，存在重叠式A B A B 式们饷1，泰国学习者受到母语的负迁移的影响，产生“小狗可爱可爱”这样的偏误。

所以在教学中，汉、泰形容词重叠式的对应性值得向学生强调。

(三)形容词重叠式的生造问题。

泰国学习者经常根据母语习惯生造重叠式：(1)夜来香呀，夜来香，我是真的想念你，想念你那白白细细的100应用泛函分析学报第15卷2)若，是奇映射，则，为三次映射．证明如果，是偶映射，则，=丘．由定理1，我们可以得到，为二次映射．如果，是奇映射，则，=，o，由定理1得，为三次映射．，口3泛函方程(4)的模糊稳定性在本节中，我们总是假设x为一个实线性空间，(KⅣ)是一个模糊B ana ch空间并且(z，Ⅳ7)是一个模糊赋范空间．给定一个映射，：X_y，定义D，(z，可)=2，(2z+剪)+2．厂(2z一可)一4，(z+可)一4，(z一耖)一4．厂(2。

)一．厂(2可)+8．厂(z)+8．厂(y)，其中z，可∈x．定理2设Q∈(4，+。

)并且妒：X×x—z为一个函数满足Ⅳ7(妒(。

，詈)，。

)≥Ⅳ7c妒c。

，z，，Q。

，c，熙Ⅳ，(4”妒(云，杀)，n)=㈣，其中z，y∈x且o>o．设，：x—y为—偶映射且满足，(o)=o和Ⅳ(D，(z，爹)，o)≥Ⅳ’(妒(z，可)，n)(13)其中z，可∈x且o>0．则存在唯一的二次映射Q：X—y使得Ⅳ(Q(z)一，(z)，。

)≥Ⅳ’(妒(o，z)，兰!竺三二兰2)(14)其中z∈X且o>0．证明在(13)中，令z=0可得Ⅳ(4．厂(y)一．厂(2Ⅳ)，n)≥Ⅳ7(妒(O，耖)，o)(15)Ⅳ(4州，(南)叩，(去)∥。

)刎(妒(。

，南)，。

)知e则㈡∥+1a，㈣，Ⅳ(4州，(嘉)邛，(；)，筹)刈c加加，∽，Ⅳ(4”，(；)叫巩蓦嘉)三Ⅳ(4“，(昙)硝。

1，(嘉)"’(嘉)卅’(嘉)+．．州心)叫咄薹嘉)∞，冽n变∽’c嘉H‘船)，筹))≥Ⅳ7(妒(o，z)，o)下证序列{4“，(斋))是一个cauchy列．对所有的m，佗∈N且m，仃≥o，由(18)，(Ⅳ3)和(11)可得Ⅳ(4～，(南)卵啦)，妻等)刈(妒(。

，和)刈溆吣扣M㈣，Ⅳ(4一，(赤)叩啦)，”萎1嘉)刎M吣加，㈣，第2期王利广，等：—类源自二次和三次映射的混合泛函方程的模糊稳定性103Ⅳ(等掣一掣，筹)刈c忡加，对所有的n∈N，z∈X和a>0，由(33)得Ⅳ(掣-，(砒n∥--1(tia／=Ⅳ(譬一可f(2--k)+可f(2n-lx)一可f(2'1-2x)+．．．+掣-，(吐n二--1丽aia)≥111i n n婪--1<Ⅳ”f(2i矿+lx)～下f(2ix)景)>(33)(34)下证序列，趔8m l J是一个C auchy列．对任何m，n∈N，m，n≥0，由(34)，(Ⅳ3)和(24)，我们可以得到Ⅳ(紫一掣，篆斋)刈似叩吲㈠刈(们㈡，杀)∞，其中z∈X且a>0．在(35)中，用口”a代替a可得Ⅳ(訾一譬，…基1嘉)≥删吣加，∞，其中z∈X和口>0．在(36)中，用i再罟广，代替o，有Ⅳ(訾一可f(2nx)，n)刈(们㈡’∑富～开ot i(37)其中z∈X和n>0．因为Q∈(o，8)，所以∑+i=。

oO{(詈)‘<00．因此在(37)中，令m，n一∞，且由(Ⅳ5)可得哪lira。

N(紫一掣，。

)≥哪lim．。

N'(们㈡，露啄a)吐其中z∈x且n>0．故序列{簪】．是Y q日N-+C auchy列，其中z∈x．因为(×Ⅳ)是一个模糊B anach空间，所以对所有的z∈X，序列．[厶；≯}是收敛列．因此我们可以定义一个映射H：X_y为酢)=Ⅳ一熙掣，m_∞^…Ⅳ(譬叫础口)刈(们㈡，≤≮)，其中z∈X且a>0．由(Ⅳ4)，我们可以得到阳㈤叫破n，≥嘶n{Ⅳ(酢，一型8m，抄(譬卅巩兰)>㈣，其中z∈X和o>0．’在(38)中，令m_∞，再由(Ⅳ6)，,--I vA j{4NⅣ(日㈤_，(吐啦撬Ⅳ(譬-，(吐耋)≥l甄小吣)，唾蕊a)圳(柙㈡，掣)，106应用泛函分析学报第15卷其中z，Y∈X和a>0．由定理3，存在唯一的二次映射Q：X—y使得Ⅳ(Q(z)一，e(z)，n)≥m i n N’(西(。

，z)，—a—(4_i-型)，Ⅳ7(≯(。

，一z)，a142a))}，其中z∈X和a>0．令f o(x)=}i f l z)一，(一z))，其中z∈x，则有f o(O)=0，f o是一个偶映射且满足N(D f o(z，可)，a)≥m i n{N7(咖(z，可)，口)，N7(咖(一z，-y)，o))，其中z，Y∈x和a>0．由(26)和(Ⅳ5)得l i m N’(咖(2”z，2”可)，8”o)≥l i m N7(≯(2”z，2”可)，4”口)=1，其中z，Y∈X且a>0．由定理4，存在唯一的三次映射H：x—y使得呻㈤叫砒。

)／>rai n N心(0'吐掣)，Ⅳ，(卿，刊，掣a(8-))，其中z∈X和a>0．显然有，(茁)=丘(。

)+厶(z)，z∈x，则Ⅳ(∞)+脚)-，(巩。

)≥IIlin{Ⅳ(∞)一饰)，量)，Ⅳ(脚)一饰)，罢))≥醚㈦吐其中z∈x且a>0．口推论2设8∈酞，秽≥0，p∈(0，2)U(3，+o。

)且x是一个赋范空间，其范数为¨¨在R上，根据例1．2定义Ⅳ7为一模糊范数．设一个映射f：X—y满足不等式N(D f(x，可)，a)≥N’(e(1l=l l p+l lyl l卢)，口)，其中z，Y∈x其口>0．则存在唯一的二次映射Q：X—y和唯一的三次映射日：x—y使得ⅣcQ c z，+日c z，一，c z，，。

，≥{a(4—0t)a(4一O t)+4e]l=l l pa(a一8)口(a一8)+4el l xl l卢O L∈(o，4)，p∈(o，2)，2卢≤a，a∈(8，+。

)，p∈(3，+。

)，2卢≥Q，其中z∈X且a>0．证明令妒(z，可)=e(1lzI I卢十I l yl l卢)．当a∈(o，4)，p譬(o，2)且2卢{Q时，Ⅳ7({，olO，2。

)，。

)=Ⅳ，(2口ollz限a)2再南丽，Ⅳ弘媳z)，。

)=Ⅳ7(sel l z胁)2再碉a琊，1i m N7(妒(2”z，2“Ⅳ)，4“口)=l i m N，(2”卢e(1l=l lz+Il yll卢)，4”n)2熙再而币孤丽‘1’t l_∞，T上H f l l个l l p士m川一I I：一l¨其中z，Y∈x且o>0．容易证明，(z)=惫是一个单调递减的函数，其中z，o>0．因为2卢≤Q，所以N，(妒(o，2z)，o)≥N7(a妒(o，茁)，o)．由定理7，则存在唯一的二次映射Q：X_y和唯一的三次映射H：X一】，使得N(Q(x)+H(x)一，(z)，a)≥幽N0㈣吐掣)∥(们，刊，掣)，Ⅳ小㈣巩掣)∥(卅“掣)>8(4一a1其中z∈X和a>0第2期王利广，等：一类源I刍二次和三次映射的混合泛函方程的模糊稳定性107当Q∈(8，+∞)，p∈(3，+oO)，且2口≥a时，有Ⅳ7(妒(。

，加)圳(掣，。

)=痞‰，N7(妒(0，z)，o／a)=N7(口l l z||卢，Q n)=Q n乜o+oll xll卢’…lira N7(8”妒(云，芸)，。

)=熙Ⅳ7(翱圳㈠川n，。

)2黑再而币可丽而叫’n_∞n+仃I|I Z¨一+¨f川yI I窖；r l¨其中z，Y∈X和n>0．容易证明f(x)=署：是—个单调递增的函数，其中z，n>0．因为2卢≥O l，所以N7(妒(o，考)，a)≥N7(妒(o，z)，Q n)．由定理6，则存在唯一的二次映射Q：X—y和唯一的三次映射H：X_y使得N(Q(x)+H(x)一，(z)，a)≥nl i n N0(吣)，of Q一4Ⅳ0㈣巩等o(Q一8)=。

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_--_____-___________-‘一o(Q一8)+40l l xl l'’其中z∈X且a>0．参考文献尘)堕)，．NN I。

，r妒(o，一z)，lfv(o，一z)，{of Q一4nf Q一4口…1U l am S M．A col l ect i on of m a t hem a t i c a l pr obl em s【M】．Int er sci ence T r act s i n Pur e a nd A ppl i e d M at he-m at i cs，no．8I nt er s ci en ce P u bl i s her s，N e w Y or k-L ondon，1960．【2】H yer s D H．O n t he s t a bi l i t y of t he l i ne ar f unct i onal equat i on【J]．Pr oc N at A cad Sci(U SA)，1941，27(4)：222-224．【3】3S k of F．L ocal pr oper t i es a nd appr oxi m at i ons of oper at or s【J1．R end Ser e M at Fi s M i l ano，1983，53：113—129．【4】C zer w i k S．O n t he s t a bi l i t y of t he quadr at i c m appi ng i n norm ed spaces[J】．A bh M at h Sem U n i v H a m bur g，1992．62：59_164．[5】K i m H M，R as si a s J M．G ener al i za t i on of U l am s t a bi l i t y pr obl e m f or E ul er—L agr ange quadr at i c m ap—pings[J]．J M at h A nal A ppl，2007，336：277-296．16】N aj at i A，M oghi m i M B．St ab i l i t y of a f uncti onal equ at i on der i vi ng f r om quadr at i c and addi t i ve f unct i onsi n quasi-B a nac h spaces【J】．J M a t h A nal A ppl，2008，337(1)：399-415．[7】M osl ehi an M S，N i kodm K，Popa D．A s ym pt ot i c as pect of t he quadr at i c f uncti onal eq uat i o n i n m ul t i-norm ed spaces[J]．J M at h A nal A ppl，2009，355：717-724．【8]R avi K，M ur al i R，A r unkum ar M．The gener al i zed H yer s-U l am s t a bi l i t y of a quadr at i c f unct i on equat ion[J]．J I nequal P ur e A pp l M at h，2008，9(1)：A r t i cl e20，5．【9】Jun K W，K i m H M．T he gener al i zed H yer s-U l am-Rass i as s t a bi l i t y of a cubi c f unct i on equa t i on|J1．J M at h A nal A ppl，2002，274(2)：267-278．【10]G or dji M E，Ebadi an A，Z ol f aghar i S．St abi f i t y of a f unct i on eq uat i o n der i vi ng f r om cubi c a nd quax t i cf uncti ons【J]．A bst r act a nd A ppl i e d A nal ys i s，2008，A r t i cl e I D801904，17．【11】K ats ar as A K．Fuzz y t opol o gi cal vect or s paces I I【J】_Fuzzy Set s Sys t，1984，12：143—154．【12】W u C，Fang J．Fuzzy gener al i zat i on of K l om ogor of f’S t heor e m[J]．J H ar bi n I n s t Technol，1984，1：1-7．[13】B ag T，Sam ant a S K．Fi ni t e di m ensi onal f uzzy norm ed l i ne ar spac es[JJ．J Fuzzy M at h，2003，11(3)：687-705．【14]C heng S C，M or de son J N．Fuzz y l i ne ar oper at or a nd f uzzy norm ed l i ne ar s paces【J]．Bull C a l cut t a M at h Soc，1984，86：429-436．【15】M i rm ost af aee A K，M os l ehi a n M S．Fuzzy ver si ons of H yer s-U l am-Rass i as t heor em【J]．Fuzzy Set s Syst，2008，159：720-729．必／勺108应用泛函分析学报第15卷[16】M i r m ost a f aee A K，M osl e hi a n M S．Fu zzy appr oxi m a t e l y cubi c m appi ngs【J】．I nf or m at i on Sci enc es，2008，178：3791-3798．f r omFuzzy St abi l i t y of a Funct i ona l E quat i on D er i vi ngQ uadr at i c and C ubi c F unc t i onsW N A G Li guang，LIU B o，S U N Z ongj uanScho ol of M at hem at i cal Sci ences，Q咖N or m al U ni versi t y，Q咖273165，C hi naA bs t r a ct：I n t hi s paper，w e i nv es t i gat e t he H yer s-U l am s t a bi fi t y of t he f ol l o w i ng f unct i onal eq uat i o n2f(2x+Y)+2f(2x—Y)=4y(x+Y)+4f(x—Y)+4f(2x)+f(2y)一8f(x)一8Y(u)i n f uzzy B an ach sp aces．K eyw o r ds：H yers—U l am s t abi l i t y；qu adr at i c m a ppi ng；c ubi c m a ppi ng；f uzz y B anach s paces。