山东齐鲁名校教科研协作体2015届高三预测联考(一)数学(理)试题(扫描版)
山东省济南市2015届高三数学上学期第一次模拟试卷理(含解析)
2015年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|x＞a}若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C． [3，+∞） D．（3，+∞）2．若z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．﹣2﹣i B． 2﹣i C． 2+i D．﹣2+i3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（）①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④4．“cosα=”是“α=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A． 7 B． 9 C． 11 D． 136．某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）A． 50 B． 55 C． 60 D． 657．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A． B． C． 2 D． 58．在椭圆=1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（） A． 9x﹣16y+7=0 B． 16x+9y﹣25=0 C． 9x+16y﹣25=0 D． 16x﹣9y﹣7=09．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（）A． 48种 B． 72种 C． 96种 D． 108种10．若存在至少一个x（x≥0）使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x﹣m|成立，则实数m的取值范围为（）A． [﹣4，5] B． [﹣5，5] C． [4，5] D． [﹣5，4]二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[60，80）中的学生人数是．12．函数f（x）=的定义域是．13．某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为．14．设、、都是单位向量，且•=0，则（+）•（+）的最大值为．15．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=4x；②f（x）=x2+2；③f（x）=；④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有f（x1）﹣f（x2）≤4|x1﹣x2|．其中是“条件约束函数”的序号是（写出符合条件的全部序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间．17．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．18．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=10，AC=8，BC=6，AA1=8，点D在线段AB上．（Ⅰ）若AC1∥平面B1CD，确定D点的位置并证明；（Ⅱ）当时，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+1=3a n﹣2a n﹣1（n∈N*，n≥2）（Ⅰ）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=2log4（a n+1）2，证明：对一切正整数n，有++…+＜．20．已知抛物C的标准方程为y2=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．21．已知关于x函数g（x）=﹣alnx（a∈R），f（x）=x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）2015年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|x＞a}若M⊆N，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C． [3，+∞） D．（3，+∞）考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：先求出集合M={x|﹣1＜x＜3}，根据子集的定义即可得到a≤﹣1．解答：解：M={x|﹣1＜x＜3}；∵M⊆N；∴a≤﹣1；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A．点评：考查解一元二次不等式，描述法表示集合，以及子集的概念．2．若z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．﹣2﹣i B． 2﹣i C． 2+i D．﹣2+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得z的共轭复数．解答：解：z==，∴．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（）①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点：类比推理．专题：空间位置关系与距离．分析：①④根据课本中的定理即可判断正确，②③根据正方体中的直线，平面即可盘不正确解答：解：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确．②垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不一定平行，也可能相交直线，异面直线，故不正确．③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；不一定平行，也可能相交平面，如墙角，故不正确．④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．故正确．故选：D．点评：本题考查了空间直线平面的位置关系，只要掌握好定理，空间常见的位置关系，做本题难度不大，属于容易题．4．“cosα=”是“α=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：“cosα=”⇒“α=+2kπ，k∈Z，或α=”，“α=”⇒“cos α=”．解答：解：∵“cosα=”⇒“α=+2kπ，k∈Z，或α=”，“α=”⇒“cosα=”．故选B．点评：本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理应用．5．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A． 7 B． 9 C． 11 D． 13考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=﹣lg11时，满足条件S＜﹣1，退出循环，输出k的值为11．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，k=1不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg3，k=3不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg5，k=5不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg7，k=7不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg9，k=9不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg11，k=11满足条件S＜﹣1，退出循环，输出k的值为11．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）x 2 4 5 6 8y 25 35 m 55 75A． 50 B． 55 C． 60 D． 65考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．解答：解：由题意，==5，==38+，∵y关于x的线性回归方程为=8.5x+7.5，根据线性回归方程必过样本的中心，∴38+=8.5×5+7.5，∴m=60．故选：C．点评：本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．7．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A． B． C． 2 D． 5考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值解答：解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m ﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e==5，故选：D点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．8．在椭圆=1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（） A． 9x﹣16y+7=0 B． 16x+9y﹣25=0 C． 9x+16y﹣25=0 D． 16x﹣9y﹣7=0考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法可求得以M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率．再由点斜式可求得直线方程．解答：解：设以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2．又，①，②①﹣②得：=0又据对称性知x1≠x2，则=﹣，∴以点M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率k=﹣，∴中点弦所在直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即9x+16y﹣25=0．故选：C点评：本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求以及点差法在求解直线方程中的应用．9．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（）A． 48种 B． 72种 C． 96种 D． 108种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：首先给顶点P选色，有4种结果，再给A选色有3种结果，再给B选色有2种结果，最后分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．解答：解：设四棱锥为P﹣ABCD．下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，（1）P的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，B的着色方法种数为C21，C与B同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C21．（2）P的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，B的着色方法种数为C21，C与B不同色时C的着色方法种数为C11，D的着色方法种数为C11．综上两类共有C41•C31．2•C21+C41•C31•2=48+24=72种结果．故选：B．点评：本题主要排列与组合及两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属中档题．10．若存在至少一个x（x≥0）使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x﹣m|成立，则实数m的取值范围为（）A． [﹣4，5] B． [﹣5，5] C． [4，5] D． [﹣5，4]考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：不等式可化为|2x﹣m|≤﹣x2+4；先求对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；作函数图象，由数形结合求实数m的取值范围．解答：解：不等式x2≤4﹣|2x﹣m|可化为|2x﹣m|≤﹣x2+4；若对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4，作函数y=|2x﹣m|与y=﹣x2+4的图象如下，结合图象可知，当m＞5或m＜﹣4时，对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；故实数m的取值范围为[﹣4，5]；故选A．点评：本题考查了函数的图象的作法及函数与不等式的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[60，80）中的学生人数是50 ．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率和为1，求出a的值，再根据频率=，求出测试成绩在[60，80）中的学生数．解答：解：根据频率和为1，得；（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，解得a=；∴测试成绩落在[60，80）中的学生频率是（3a+7a）×10==，∴对应的学生人数是100×=50．故答案为：50．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．12．函数f（x）=的定义域是（10，100）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则﹣（lgx）2+3lgx﹣2＞0，即（lgx）2﹣3lgx+2＜0，解得1＜lgx＜2，即10＜x＜100，故函数的定义域为（10，100），故答案为：（10，100）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13．某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为2π．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，根据正视图与俯视图可判断底面扇形的中心角为，求出圆柱的体积乘以可得答案．解答：解：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，由正视图与俯视图判断底面扇形的中心角为60°，∴几何体的体积V=×π×22×3=2π，故答案为：2π．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．14．设、、都是单位向量，且•=0，则（+）•（+）的最大值为1+．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意设=（1，0），=（0，1），=（cosθ，sinθ），计算（+）•（+）=sin （θ+）+1≤+1，从而得出结论．解答：解：∵、、都是单位向量，且•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（cos θ，sinθ）．则（+）•（+）=（1，1））•（cosθ，1+sinθ）=cosθ+1+sinθ=sin（θ+）+1≤+1，故（+）•（+）的最大值为，故答案为．点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，两角和差的正弦公式的应用，其中，求出（+）•（+）的表达式，是解答本题的关键，属于基础题．15．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=4x；②f（x）=x2+2；③f（x）=；④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有f（x1）﹣f（x2）≤4|x1﹣x2|．其中是“条件约束函数”的序号是①③④（写出符合条件的全部序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：用F函数的定义加以验证，对于①③④⑤均可以找到常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，说明它们是“条件约束函数”．而对于②，当x→0时，||→∞，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，故它们不符合题意．解答：解：对于①，f（x）=4x，易知存在ω=4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意；是“条件约束函数”．对于②用F函数的定义不难发现：因为x→0时，||→∞，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，不符合题意，不是“条件约束函数”．对于③，因为|f（x）|=≤|x|，所以存在常数ω=2＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，③是“条件约束函数”．对于④，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）﹣f （x2）|≤4|x1﹣x2|得到，|f（x）|≤4|x|成立，存在ω≥4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意．是“条件约束函数”．故答案为：①③④．点评：本题考查了函数的定义域和值域的问题，属于中档题．题中“条件约束函数”的实质是函数f（x）与x的比值对应的函数是有界的，抓住这一点不难解出．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）首先利用三角形的面积公式求出c边的长，进一步利用余弦定理求出a的长．（Ⅱ）利用上步的结论，进一步求出B的大小和C的大小，进一步把函数关系式变性成正弦型函数，再利用函数图象的变换求出g（x）=2sin（2x﹣），最后利用整体思想求出函数的单调区间．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．则：S=．解得：c=2．a2=b2+c2﹣2bccosA则：a=．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，，所以：，解得：sinB=1，由于0＜B＜π则：，C=．f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx）=2sin（x﹣），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）=2sin（2x﹣），令：（k∈Z）解得：则函数g（x）的单调递增区间为：[]（k∈Z）点评：本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数图象的伸缩变换，正弦型函数的单调区间的确定．17．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．解答：解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，由于乙队中3人答对的概率分别为，，，P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=，P（ξ=10）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×==，P（ξ=20）=××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×==，P（ξ=30）=××=，∴ξ的分布列为：ξ 0 10 20 30P∴Eξ=0×+10×+20×+30×=．（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．又P（A）==，P（B）=××=，则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率．18．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=10，AC=8，BC=6，AA1=8，点D在线段AB上．（Ⅰ）若AC1∥平面B1CD，确定D点的位置并证明；（Ⅱ）当时，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（I）当点D为AB的中点时，AC1∥平面B1CD．其原因如下：连接BC1交B1C于点E，连接DE．利用平行四边形与三角形的中位线定理，利用线面平行的判定定理即可得出AC1∥平面B1CD．（II）由AB=10，AC=8，BC=6，可得AC⊥CB，以C为原点建立空间直角坐标系，由，可得，设平面CDB1的法向量为=（x，y，z），利用，可得，取平面BCD的法向量=（0，0，1），利用=即可得出．解答：（I）解：当点D为AB的中点时，AC1∥平面B1CD．下面给出证明：连接BC1交B1C于点E，连接DE．∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴E点是对角线BC1的中点，∴DE是△ABC1的中位线，∴DE∥AC1，∵AC1⊄平面B1CD，DE⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD．（II）由AB=10，AC=8，BC=6，可得AC⊥CB．以C为原点建立空间直角坐标系，B（6，0，0），A（0，8，0），A1（0，8，8），B1（6，0，8），∵，∴=（6，0，0）+（﹣6，8，0）=（4，，0），=（6，0，8），设平面CDB1的法向量为=（x，y，z），∴，∴，令y=2，解得x=﹣，z=1，∴=．取平面BCD的法向量=（0，0，1），∴===．点评：本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、勾股定理的逆定理，考查了通过建立空间直角坐标系得出平面的法向量、利用法向量的夹角求二面角的方法，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+1=3a n﹣2a n﹣1（n∈N*，n≥2）（Ⅰ）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=2log4（a n+1）2，证明：对一切正整数n，有++…+＜．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由a n+1=3a n﹣2a n﹣1得a n+1﹣a n=2（a n﹣a n﹣1），变形后可得{a n+1﹣a n}是以a2﹣a1为首项，2为公比的等比数列，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把{a n}的通项公式代入b n=2log4（a n+1）2 ，整理后利用裂项相消法求++…+的和，放缩后得答案．解答：证明：（Ⅰ）∵a n+1=3a n﹣2a n﹣1，∴a n+1﹣a n=2（a n﹣a n﹣1），∵a1=1，a2=3，∴（n∈N*，n≥2），∴{a n+1﹣a n}是以a2﹣a1为首项，2为公比的等比数列，则a n+1﹣a n=2n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=．（Ⅱ）b n=2log4（a n+1）2 =．∴=．则++…+=．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题．20．已知抛物C的标准方程为y2=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．可得S△MON=×2p==，解得p即可．（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，与抛物线方程联立可得y2﹣6my﹣6a=0，得到根与系数的关系．由对称性，不妨设m＞0，（i）a＜0时，可知y1，y2同号．又t=+，得到t2==，可得不论a取何值，t值与M点位置有关．（ii）a＞0时，由于y1，y2异号．又t=+，可得t2==，可得仅当﹣1=0时，即a=时，t与m无关，此时A即为一个“稳定点”．解答：解：（I）∵当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．∴S△MON=×2p==，解得p=3．∴抛物线C的标准方程为y2=6x．（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，联立．化为y2﹣6my﹣6a=0，△＞0，y1+y2=6m，y1y2=﹣6a．由对称性，不妨设m＞0．（i）a＜0时，∵y1y2=﹣6a＞0，∴y1，y2同号．又t==+，∴t2===，不论a取何值，t值与M点位置有关，即此时的点A不为“稳定点”．（ii）a＞0时，∵y1y2=﹣6a＜0，∴y1，y2异号．又t==+，∴t2===•=，∴仅当﹣1=0时，即a=时，t与m无关，此时A即为抛物线的焦点，因此抛物线对称轴上仅有焦点一个“稳定点”．点评：本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知关于x函数g（x）=﹣alnx（a∈R），f（x）=x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（I）g（x）=﹣alnx（x＞0），g′（x）==﹣，对a分类讨论：当a≥0时，当a＜0时，即可得出单调性；（II）f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+g′（x）=，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x2﹣a，当a＜0时，可得：函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，由于函数f（x）单调，因此函数f（x）无极值．（III）a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，因此x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，由题意可知：x1即为x0．得到，即，消去a可得：，a＞0，令t1（x）=2lnx（x＞1），，分别研究单调性即可得出x0的取值范围．解答：解：（I）g（x）=﹣alnx（x＞0），g′（x）==﹣，（i）当a≥0时，g′（x）＜0，∴（0，+∞）为函数g（x）的单调递减区间；（ii）当a＜0时，由g′（x）=0，解得x=﹣．当x∈时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当x∈时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．（II）f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+g′（x）=，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x2﹣a，当a＜0时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）为（0，+∞）上的增函数，又h（0）=﹣2＜0，h（1）=﹣a＞0，∴函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，h（x）=2（x3﹣1）﹣ax＜0，即x∈（0，1）时，f′（x）＜0恒成立，函数f （x）无极值．综上可得：f（x）在区间（0，1）内有极值的a的取值范围是（﹣∞，0）．（III）∵a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，∴x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，且x∈（1，x1）时，函数f（x）单调递减，x∈（x1，+∞）时，函数f（x）单调递增，由题意可知：x1即为x0．∴，∴，消去a可得：，a＞0，令t1（x）=2lnx（x＞1），，则在区间（1，+∞）上t1（x）单调递增，t2（x）单调递减．t1（2）=2ln2＜2×0.7==t2（2），t1（3）=2ln3＞2＞=t2（3）．∴2＜x0＜3，∴[x0]=2．点评：本题考查了利用当时研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法，考查了分析问题与解决问题的方法，考查了零点存在但是求不出准确值的情况下的解决方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21。
2015年高考山东理科数学试题及答案解析课件.doc
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015 年山东，理1】已知集合 2{ x |x4x 3 0} ，B {x|2 x 4} ，则 A B （）（A）1,3 （B）1,4 （C）2,3 （D）2,4z（2）【2015 年山东，理2】若复数z满足i1 i，其中i 是虚数单位，则z （）（A）1 i （B）1 i （C） 1 i （D） 1 i（3）【2015 年山东，理3】要得到函数y sin(4x ) 的图象，只需将函数y sin 4x的图像（）3（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位12 12 3 3（4）【2015 年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为 a ，ABC 60 ，则????·???=?（）3 3 3 32 2 2 2a （B） a （C） a （D） a（A）2 4 4 2（5）【2015 年山东，理5】不等式| x 1| | x 5|2的解集是（）（A）( ,4) （B）( ,1)（C）(1,4)（D）(1,5)x y 0（6）【2015 年山东，理6】已知x,y 满足约束条件x y 2 若z ax y 的最大值为4，则 a （）y 0（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3（7）【2015 年山东，理7】在梯形ABCD中，A BC ，AD / / B C ，BC 2AD 2AB 2．将梯形ABCD2绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）23 （B）43（C）53（D）2（8）【2015 年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 2N (0,3 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6 内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布 2N(, ) ，则P( ) 6 8. 2 6，%P( 2 2 ) 95.44%）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%（9）【2015 年山东，理9】一条光线从点( 2, 3)射出，经y轴反射与圆 2 2(x3) (y2) 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）53 或35（B）32或23（C）54或45（D）43或34（10）【2015 年山东，理10】设函数f ( x)3x1,x1,x2 ,x 1.则满足f (a)f ( f (a)) 2 的取值范围是（）（A）2[ ,1]3（B）[0,1]（C）2[ , )3（D）[1, )第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015 年山东，理11】观察下列各式：100C4;1011C C4;330122C C C4;55501233 C C C C4;7777照此规律，当n N*时，012n1C C C C．2n12n12n12n1（12）【2015年山东，理12】若“x[0,],tan x m”是真命题，则实数m的最小值为．4（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T的值为．x（14）【2015年山东，理14】已知函数f(x)a b(a0,a1)的定义域和值域都是[1,0]，则a b．22x y（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:221(a0,b0)a b2C x py p交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．2:2(0)C x py p交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题：本大题共6题，共75分．的渐近线与抛物线（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设（Ⅰ）求f(x)的单调区间；2f(x)sin xcosx cos(x)．4A（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()0,a1，求ABC面积．2（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC中，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点．（Ⅰ）求证：BD//平面FGH；（Ⅱ）若CF平面ABC，AB BC,CF DE,BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．2na的前n项和为S n，已知2S33．（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}n n（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；n（Ⅱ）若数列{b}满足a n b n log3a n，求数列{b n}的前n项和T n．n（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．3（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22x yC:1(a b0)22a b的离心率为32，左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；22x y，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线y kx m交椭圆E于A,B两点，（Ⅱ）设椭圆E:1224a4b射线PO交椭圆E于点Q．（i）求|OQ||OP|的值；（ii）求ABQ面积最大值．4（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；2f(x)ln(x1)a(x x)，其中a R．（Ⅱ）若x0，f(x)0成立，求a的取值范围．52015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015 年山东，理1】已知集合{ x |x2 4x 3 0} ，B {x|2 x 4} ，则 A B （）（A）1,3 （B）1,4 （C）2,3 （D）2,4【答案】 C【解析】 2A { x | x 4x 3 0} { x |1 x 3} ，AB (2,3) ，故选C．z（2）【2015 年山东，理2】若复数z满足i1 i（）1 i 1 i 1 i 1i A B C D（）（）（）【答案】 A，其中i 是虚数单位，则z （）【解析】 2z (1 i)i i i 1 i ，z 1 i ，故选 A ．（3）【2015 年山东，理3】要得到函数y sin(4x ) 的图象，只需将函数y sin 4x的图像（）3（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位12 12 3 3【答案】 B【解析】y sin4( x ) ，只需将函数y sin4x的图像向右平移12 12个单位，故选B．（4）【2015 年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为 a ，ABC 60 ，则????·???=?（）（A）322a （B）342a （C）342a （D）322a【答案】 D【解析】由菱形ABCD 的边长为 a ，ABC 60 可知BAD 180 60 120 ，2 23 2BD CD ( AD AB) ( A B) AB AD AB a a cos120 a a ，故选D．2（5）【2015 年山东，理5】不等式| x 1| | x 5| 2的解集是（）（A）( ,4) （B）( ,1)（C）(1,4)（D）(1,5)【答案】 A【解析】当x 1时，1 x (5 x) 4 2成立；当 1 x 5 时，x 1 (5 x) 2x 6 2，解得x 4 ，则1 x 4 ；当x 5 时，x 1 ( x 5) 42 不成立．综上x 4 ，故选A．x y 0（6）【2015 年山东，理6】已知x, y满足约束条件若z ax y 的最大值为4，则a （）x y 2y 0（A）3（B）2 （C）-2（D）-3【答案】 B【解析】由z ax y 得y ax z ，借助图形可知：当 a 1，即a 1 时在x y 0时有最大值0，不符合题意；当0 a 1 ，即 1 a 0时在x y 1 时有最大值 a 1 4,a 3 ，不满足 1 a 0 ；当 1 a 0 ，即0 a 1 时在x y 1 时有最大值 a 1 4,a 3，不满足0 a 1；当 a 1，即a 1时在x 2,y 0 时有最大值2a 4,a 2 ，满足a 1，故选B．（7）【2015 年山东，理7】在梯形ABCD中，A BC ，AD / / B C ，BC 2AD 2AB 2．将梯形ABCD2绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）6（A）23 （B）43（C）53（D）2【答案】 C【解析】 2 1 2 5V 1 2 1 1 ，故选C．3 3（8）【2015 年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0,32 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6 内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布 2N(, ) ，则P( ) 6 8. 2 6，%P( 2 2 ) 95.44%）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%【答案】 D【解析】1P(3 6) (95.44% 68.26%) 13.59%，故选D．2（9）【2015 年山东，理9】一条光线从点( 2, 3)射出，经y轴反射与圆 2 2(x3) (y2) 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）53或35（B）32或23（C）54或45（D）43或34【答案】 D【解析】( 2, 3)关于y 轴对称点的坐标为(2, 3) ，设反射光线所在直线为y 3 k(x 2),即kx y 2k 3 0，则| 3k 2 2k 3 |2d 1,| 5k 5| k 12k 1，解得4k 或334，故选D．（10）【2015 年山东，理10】设函数 f (x) 3x 1,x 1,x2 , x 1.则满足 f ( a )f ( f ( a)) 2 的取值范围是（）（A）2[ ,1]3（B）[0,1] （C）2[ , )3（D）[1, )【答案】 C【解析】由 f ( a )f f a 可知 f (a) 1 ，则( ( )) 2 a 1a2 1或a 13a 1 1，解得 2a ，故选C．3第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015 年山东，理11】观察下列各式：0 0C 4 ;10 1 1C C 4 ;3 30 1 2 2C C C 4 ;5 5 50 1 2 3 3C C C C 4 ;7 7 7 7 照此规律，当n N* 时，0 1 2 n 1C C C C ．2n 1 2 n 1 2n 1 2n 1n 1 【答案】 4【解析】10 1 2 n 1 0 1 2 n 1C C C C (2C 2C 2C 2C )2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1210 2n 1 1 2n 2 2 2n 3 n 1 n[(C C ) (C C ) (C C ) (C C )] 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 n 1 2n 1 2n 1 2 n 121 10 1 2 n 1 n 2n 1 2n 1 n 1(C C C C C C ) 2 42n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12 2（12）【2015 年山东，理12】若“x [0, ],tan x m”是真命题，则实数m 的最小值为．4【答案】 1【解析】“x [0, ],tan x m ”是真命题，则m tan 1，于是实数m 的最小值为1．4 4（13）【2015 年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为．7【答案】1161 121111【解析】T1xdx x dx1．00236x（14）【2015年山东，理14】已知函数f(x)a b(a0,a1)的定义域和值域都是[1,0]，则a b．【答案】32【解析】当a1时1a ba b1，无解；当a1时1abab1，解得1b2,a，则213a b2．22（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy中，双曲线22x yC aba b1:221(0,0)的渐近线与抛物线2C x py p交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．2:2(0)【答案】32【解析】22x yC1:221(a0,b0)a b的渐近线为byxa，则222pb2pb2pb2pbA(,),B(,)22a a a ap2C2:x2py(p0)的焦点F(0,)，则2kAF22pbp2aa22apbb，即2b2a54，222cab22aa94，eca32．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设（Ⅰ）求f(x)的单调区间；2f(x)sin xcosx cos(x)．4A（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()0,a1，求ABC面积．2解：（Ⅰ）由111111f(x)sin2x[1cos(2x)]sin2x sin2x sin2x，2222222由2k2x2k,k Z得k x k,k Z，2244则f(x)的递增区间为[,],k k k Z；44由32k2x2k,k Z得223k x k,k Z，44则f(x)的递增区间为[,3],k k k Z．44（Ⅱ）在锐角ABC中，()sin10,sin1Af A A，222A，而a1，6由余弦定理可得221b c2bccos2bc3bc(23)bc，当且仅当b c时等号成立，6即1bc23，2311123S bc sin A bc s in bc故ABC面积的最大值为ABC22644234．（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC中，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点．（Ⅰ）求证：BD//平面FGH；（Ⅱ）若CF平面ABC，AB BC,C F DE,BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．解：（Ⅰ）证明：连接DG，DC，设DC与GF交于点T，8在三棱台DEF ABC 中，AB 2DE ，则AC 2DF ，而G 是AC 的中点，DF AC ，则DF / /GC ，所以四边形DGCF 是平行四边形，T是DC 的中点，DG FC ．又在BDC ，是BC 的中点，则TH DB ，又BD 平面FGH ，TH 平面FGH ，故BD / / 平面FGH ．（Ⅱ）由CF 平面ABC ，可得DG 平面ABC 而，AB BC ，BAC 45 ，则GB AC ，于是GB, G A, G C 两两垂直，以点G 为坐标原点，GA,GB, GC 所在的直线，分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系，设AB 2,则DE CF 1, AC 2 2, AG 2 ,2 2B(0, 2,0), C(2,0,0), F ( 2,0,1), H ( , ,0) ，2 2则平面ACFD 的一个法向量为n，设平面FGH 的法向量为1 (0,1,0)n2 (x2 , y2 , z2 ) ，则n GH2n GF2，即2 2x y2 22 22x z 02 2，取x2 1，则y2 1, z2 2 ，n2 (1,1, 2) ，1 1cos ,n n ，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60 ．1 221 1 2n （18）【2015 年山东，理18】（本小题满分12 分）设数列{a } 的前n 项和为S n ，已知2S 3 3．n n （Ⅰ）求数列{a } 的通项公式；n（Ⅱ）若数列{b } 满足n a b log a ，求数列{b } 的前n 项和n n 3 n nT ．n1n解：（Ⅰ）由2S 3 3可得a1 S1 (3 3) 3，n21 1n n 1 n 1a S S (3 3) (3 3) 3 (n 2) ，n n n 12 2而3, n 11 1a1 3 3 ，则 1an n3 ,n 1．（Ⅱ）由3, n 1a b a 及 1log a，可得n n 3 n n n3 ,n 1bn1n 1log a 33 na n1nn 1n131 123 n 1T ，n 2 3 n 13 3 3 3 3 1 1 1 2 3 n 2 n 1 T ，n 2 2 34 n 1 n3 3 3 3 3 3 32 1 1 1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 T ( )n 2 2 3 n 1 n 2 2 3 n 1 n3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1n2 3 3 n 1 2 1 3 n 1 13 2n 1n n n n19 1 3 9 2 2 3 3 18 2 3313 2n 1Tn n112 4 3（19）【2015 年山东，理19】（本小题满分12 分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得0 分；若能被 5 整除，但不能被10 整除，得-1 分；若能被10 整除，得 1 分．（Ⅰ）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．解：（Ⅰ）125，135，145，235，245，345；9（Ⅱ）X 的所有取值为-1，0，1．甲得分X 的分布列为：3 2 1 1 2C 2 C 1 C C C 118 4 4 4 4P( X 0) , P( X 1) ,P(X 1)3 3 3C 3 C 14 C 429 9 9X 0 -1 1P 2311411422 1 11 4 EX 0 ( 1) 1 ．3 14 42 21（20）【2015 年山东，理20】（本小题满分13 分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2 2x yC : 1(a b 0)2 2a b的离心率为32，左、右焦点分别是F1,F2 ,以F1 为圆心，以 3 为半径的圆与以F2 为圆心，以 1 为半径的圆相交，交点在椭圆 C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设椭圆 E2 2x y: 12 24a 4b，P 为椭圆 C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m 交椭圆 E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆 E 于点Q ．（i）求| OQ|| OP|的值；（ii）求ABQ面积最大值．解：（Ⅰ）由椭圆22xyC :1(ab0)22ab的离心率为32可知 eca右焦点分别是F1 ( 3b ,0), F2 ( 3b ,0) ,圆F1：(x 3b)2 y2 9,圆F2 ：22(x 3b) y 1,由两圆相交可得 2 2 3b 4 ，即1 3b2，交点2 22 ( , 1( ) )3b 3b在椭圆C 上，则21 ( 3b)4 3b2 2 23b 4b b21，整理得 4 24b 5b 10，解得2 1b ，2 1b （舍去），4故 2 1b ，2 4a ，椭圆 C 的方程为2x42 1y ．（Ⅱ）（i）椭圆E的方程为2 2x y16 41，设点P(x0,y0 ) ，满足2x42y0 1，射线yPO : y x( x0)x代入2 2x y16 41可得点Q( 2x0,2y0 ) ，于是22( 2x )( 2y )| OQ || OP | x y2 20 02．（ii ）点Q( 2x , 2y ) 到直线AB距离等于原点O 到直线AB距离的 3 倍：0 0d | 2kx 2 y m | | m |0 032 21 k 1 ky kx m，x2 y2 ，得116 42 4( )216x kxm ，整理得 2 2 2(1 4k )x8kmx 4m16 0 ．2 2 2 2 2 264k m 16(4 k 1)(m 4) 16(16k 4 m ) 0 ，21 k22 | AB | 16(16k 4 m )21 4k221 1 | m | |m|16k4 m2 2S | AB | d 3 4 16k 4 m 6222 2 1 4k 14k2 2 2m 16k 4 m61222(4k 1)，当且仅当 2 2 2 2|m| 16k 4 m ,m8k 2等号成立．而直线y kx m 与椭圆2xC y 有交点P，则: 124y kx m2 4 2 4x y有解，10即24()24,(142)284240 x kx m k x kmx m有解，其判别式222222164k m16(14k)(m1)16(14k m)0，即22 14k m，则上述2822m k不成立，等号不成立，设 t|m|214k(0,1]，则22|m|16k4mS66(4t)t214k在(0,1]为增函数，于是当2214k m时S max6(41)163，故ABQ面积最大值为12．（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中a R．（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若x0，f(x)0成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）2f(x)ln(x1)a(x x)，定义域为(1,)，21a(2x1)(x1)12ax ax1a f(x)a(2x1)x1x1x1，设2g(x)2ax ax1a，当a0时，()1,()10g x f xx1，函数f(x)在(1,)为增函数，无极值点．当a0时，a28a(1a)9a28a，若08a时0，g(x)0,f(x)0，函数f(x)在(1,)为增函数，无极值点．9若8a时0，设g(x)0的两个不相等的实数根x1,x2，且x1x2，91x x，而g(1)10，则且12211x x，所以当x(1,x1),g(x)0,f(x)0,f(x)单调124递增；当x(x,x),g(x)0,f(x)0,f(x)单调递减；当x(x2,),g(x)0,f(x)0,f(x)单调递增．12因此此时函数f(x)有两个极值点；当a0时0，但g(1)10，x11x2，所以当x(1,x),g(x)0,f(x)0,f(x)单调2递増；当x(x2,),g(x)0,f(x)0,f(x)单调递减，所以函数只有一个极值点．综上可知当08a时f(x)的无极值点；当a0时f(x)有一个极值点；当98a时，f(x)的有两个9极值点．8（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当0a时f(x)在(0,)单调递增，而f(0)0，9则当x(0,)时，f(x)0，符合题意；当81a时，g(0)0,x20，f(x)在(0,)单调递增，而f(0)0，9则当x(0,)时，f(x)0，符合题意；当a1时，g(0)0,x0，所以函数f(x)在(0,x2)单调递减，而f(0)0，2则当x(0,x)时，f(x)0，不符合题意；2当a0时，设h(x)x ln(x1)，当x(0,)时()110xh xx11x h(x)在(0,)单调递增，因此当x(0,)时h(x)h(0)0,ln(x1)0，，于是22f(x)x a(x x)ax(1a)x，当x11a时2(1)0ax a x，此时f(x)0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0a1．另解：（Ⅰ）2f(x)ln(x1)a(x x)，定义域为(1,)，21a(2x1)(x1)12ax ax1a f(x)a(2x1)x1x1x111当a0时，1f(x)0，函数f(x)在(1,)为增函数，无极值点．x1设222g(x)2ax ax1a,g(1)1,a8a(1a)9a8a，当a0时，根据二次函数的图像和性质可知g(x)0的根的个数就是函数f(x)极值点的个数．若a(9a8)0，即08a时，g(x)0，f(x)0函数在(1,)为增函数，无极值点．9若a(9a8)0，即8a或a0，而当a0时g(1)09此时方程g(x)0在(1,)只有一个实数根，此时函数f(x)只有一个极值点；当8a时方程g(x)0在(1,)都有两个不相等的实数根，此时函数f(x)有两个极值点；9综上可知当8a时f(x)的极值点个数为0；当a0时f(x)的极值点个数为1；当98a时，9f(x)的极值点个数为2．（Ⅱ）设函数2f(x)ln(x1)a(x x)，x0，都有f(x)0成立，即2ln(x1)a(x x)0当x1时，ln20恒成立；ln(x1)20当x1时，x x，a2x xln(x1)20当0x1时，x x，2x x 0；a0；由x0均有ln(x1)x成立．故当x1时，，l n(x1)12x x x1(0,)，则只需a0；当0x1时，l n(x1)12x x x1(,1)，则需1a0，即a1．综上可知对于x0，都有f(x)0成立，只需0a1即可，故所求a的取值范围是0a1．另解：（Ⅱ）设函数2f(x)ln(x1)a(x x)，f(0)0，要使x0，都有f(x)0成立，只需函数函数f(x)在(0,)上单调递增即可，于是只需x0，1f(x)a(2x1)0x1成立，当1x时2a1(x1)(2x1)，令2x1t0，2g(t)(,0)t(t3)，则a0；当1x时212f()0；当231x，2a1(x1)(2x1)，令2x1t(1,0)，g(t)2t(t3)关于t(1,0)单调递增，则2g(t)g(1)1，则a1，于是0a1．1(13)又当a1时，g(0)0,x0，所以函数f(x)在(0,x2)单调递减，而f(0)0，2则当x(0,x2)时，f(x)0，不符合题意；当a0时，设h(x)x ln(x1)，当x(0,)时1xh(x)10x11x，h(x)在(0,)单调递增，因此当x(0,)时h(x)h(0)0,ln(x1)0，于是22f(x)x a(x x)ax(1a)x，当x11a时2(1)0ax a x，此时f(x)0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0a1．【评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可12确定所求．13。
2015年高考山东理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，则A B =（）（A ）()1,3（B ）()1,4（C ）()2,3（D ）()2,4 （2）【2015年山东，理2】若复数z 满足i 1iz=-，其中i 是虚数单位，则z =（） （A ）1i -（B ）1i +（C ）1i --（D ）1i -+（3）【（A （4）【，则= （A （5）【 （A （6）【（A （7）【ABCD绕（A （8）【其2,)σ，则(P （A （9）【（A （10）【2015年山东，理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是（）（A ）2[,1]3（B ）[0,1]（C ）2[,)3+∞（D ）[1,)+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=．（12）【2015年山东，理12】若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为． （14）【2015年山东，理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=．（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设2()sin cos cos (f x x x x π=-+．（17）【AB 45，求平面（18）【2S （19）【”10（20）【0)b >>的（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ ∆面积最大值．（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，则A B =（）（A ）()1,3（B ）()1,4（C ）()2,3（D ）()2,4 【答案】C【解析】2{|430}{|13}A x x x x x =-+<=<<，(2,3)A B =，故选C ．（2）【（A （3）【（A 12（4）【60，则= （A D 【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知BAD ∠2223()()cos120BD CD AD AB AB AB AD AB a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-+=，故选（5）【 （A ）(,4)-∞ （B ）(,1)-∞（C ）(1,4)（D ）(1,5)（6）【（A ）3（B ）2（C ）-2（D ）-3【答案】B【解析】由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >，故选B ．（7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A ）23π（B ）43π（C ）53π（D ）2π【答案】C【解析】2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，故选C ．（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=） （A ）4.56%（B ）13.59%（C ）27.18%（D ）31.74% 【答案】D【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，故选D ．（9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线（A 【答案】【解析】30k -=，（10）【（A ）2[3【答案】（11）【010305077C C C C C C ++【答案】14n -【解析】1012121212121211(2222)n n n n n n n C C C C C -------++=++++（12）【】若“[0,],tan x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为．【答案】1【解析】“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则tan 14m π≥=，于是实数m 的最小值为1．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为．【答案】116【解析】11200111111236T xdx x dx =++=++=⎰⎰．（14）【2015年山东，理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=．【答案】32-【解析】当1a >时1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得12,2b a =-=，则13222a b +=-=-．（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为． 【答案】32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a -2:2(0)C x py p =>的焦点(0,p，则22222pb pa ak pb -==，即225b =，222229c a b +==，32c a ==． （16）【解：．（17）【AB （Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．解：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T ，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，则2AC DF =， 而G 是AC 的中点，DF AC ，则//DF GC ，所以四边形DGCF 是平行四边形，T 是DC 的中点，DG FC ． 又在BDC ∆，是BC 的中点，则TH DB ，又BD ⊄平面FGH ，TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ．（Ⅱ）由CF ⊥平面ABC ，可得DG ⊥平面ABC 而，AB BC ⊥，45BAC ∠=，则GB AC ⊥，于是,,GB GA GC 两两垂直，以点G 为坐标原点， ,,GA GB GC 所在的直线，分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =,则1,DE CF AC AG ====((B C F H ， 则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面FGH 的法向量为 2222(,,)n x y z =，则2200n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y z -=⎨⎪+=⎩， 取21x =，则221,y z ==2n =，121cos ,2n n <>==，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60．（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}n解：13n -++，2n -+++（19）【（本小题满分是一个三位正整数，且”10解：11420(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=．（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的，左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ ∆面积最大值． 解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>可知c e a ==，而222a b c =+则2,a b c ==，左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,圆1F：22()9,x y ++=圆2F：22()1,x y +=由两圆相交可得24<<，即12<，交点在椭圆C 上，则224134b b +=⋅，整理得424510b b -+=，解得21b =，214b =（舍去）， 故21b =，24a =，椭圆C 的方程为221xy +=．（Ⅱ）， 12=，当（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞，21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax af x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点．当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点．若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增． 因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<，所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减，所以函数只有一个极值点．综上可知当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点；当89a >时，()f x 的有两个极值点．另解：此时方程()0g x =在(1,)-+∞只有一个实数根，此时函数()f x 只有一个极值点；当89a >时方程()0g x =在(1,)-+∞都有两个不相等的实数根，此时函数()f x 有两个极值点；综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1；当89a >时，()f x 的极值点个数为2．（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，0x ∀>，都有()0f x ≥成立，即2ln(1)()0x a x x ++-≥当1x =时，ln20≥恒成立；当1x >时，20x x ->，2ln(1)0x a x x++≥-；当01x <<时，20x x -<，2ln(1)0x a x x++≤-；由0x ∀>均有ln(1)x x +<成立． 故当1x >时，，2ln(1)11x x x x +<--(0,)∈+∞，则只需0a ≥； 当01x <<时，2ln(1)1(,1)1x x x x +>∈-∞---，则需10a -+≤，即1a ≤．综上可知对于0x ∀>，都有 ()0f x ≥成立，只需01a ≤≤即可，故所求a 的取值范围是01a ≤≤．另解：（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，(0)0f =，要使0x ∀>，都有()0f x ≥成立，只需函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递增即可，于是只需0x ∀>，1()(21)01f x a x x '=+-≥+成立， 当12x >时1(1)(21)a x x ≥-+-，令210x t -=>，2()(,0)(3)g t t t =-∈-∞+，三是凭即可。
山东省齐鲁教科研协作体19所2015届高三下学期高考预测联考(一)数学(理)
齐鲁名校教科研协作体山东省19所名校15年高考预测联考（一）数学试题（理）一、选择题1、已知{11},{|A x B x x =->=<<，则A AB R = B ．A B φ=C ．B A ⊆D ．A B ⊆2、设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =-+，则12z z ⋅=A ．5 B ．-5 C ．4i -+ D ．4i --3、定义域为R 的四个函数32,sin ,,x y e y x y x y x ====-中，偶函数的个数是A ．1 B ．2 C ．3 D ．44、设向量,a b 满足(1,3),(2,2)a b a b +=-=，则a b ⋅=A ．1 B ．2 C ．3 D ．55、设,x y 满足约束条件22022x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则231x y z x ++=+的最小值为A ．3 B ．13 C ．7 D ．536、3y x =和y D ，若利用计算机产生()0,1内的两个均匀随机数,x y ，则点(,)x y 恰好落在区域D 的概率为A ．512 B ．13 C ．38 D ．237、(1)n ax by ++（,a b 为常数，,,a b n N *∈）的展开式中不含x 的项的系数之和为343，则b 的值为A5 B6 C7 D88、某几何体单的三视图如图所示，则其表面积为A．3π B C ．322π+ D 2+9、形如(0,0)by c b x c=>>-的函数应其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动第称为“囧函数”，若21()(0,1)x x f x a a a ++=>≠有最小值，则当1,1c b =-=时的“囧函数”与2log y x =的图象交点个数为A ．1B ．2C ．4D ．610、已知F 为抛物线22y x =的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，8OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，则ABO ∆与BFO ∆面积之和的最小值是A ．9 B ．12 C．2D ． 二、填空题：11、设2:,230p x R ax ax ∃∈-->，如果p 的否定“p ⌝”是真命题，a 的范围是12、如图所示，程序框图的输出结果是 13、在ABC ∆中，2,sin sin cos 62AB BC π==，则角C = 14、直线2y kx =+与圆22(2)(2)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围为 15、函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 上是单调函数；②存在[,]22a bD ⊆使得()f x 在[,]22a b 上值域为[],a b ，那么函数()f x 为“优美函数”，若函数2log (0,1)x y c t c c =->≠是“优美函数”，则t 的范围是三、解答题： 16、()2(sin 2cos 2cos sin )sin (,0,0,)2f x A wx wx A x R A w πϕϕϕϕ=+-∈>><的图象在y 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为1(,2)3P ，在原点右侧与x 轴的第一个交点为5(,0)6Q 。
2015高考一模 数学」2015年山东省高考模拟冲刺卷(一)数学(理工类)试题及答案
绝密★启用前 试卷类型A山东省2015年高考模拟冲刺卷（一）理科数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、复数5)zi i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ）A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i +2、若[-1,1]{}2|1x x tx t ⊆-+≤,则实数t 的取值范围是（ ）A ．[-1,0]B ．[2-C ．(,2]-∞-D ．[2-2+3、已知()2,M m 是抛物线()220y px p =>上一点，则“1p ≥”是“点M 到抛物线焦点的距离不少于3”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线（ ）A ． BCD 5、在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ）A ．B ．2C ．D ．46、某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．π4C ．π2D ．π25 7、定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则ma x {4,3}z x y x y =+-的取值范围是（ ）A ．[8,10]-B ．[7,10]-C ．[6,8]-D ．[7,8]-8、函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则nm 21+的最小值为 （ ） A ．2 B ．4C ．8D ．169、已知△ABC 中，内角C B A 、、所对的边分别为c b a ,,且b c C a =+23cos ，若123,1=-=b c a ，则角B 为（ ）A ．4πB ．6πC ．3πD ．12π10、设定义在D 上的函数)(x h y =在点))(,(00x h x P 处的切线方程为)(:x g y l =，当0x x ≠时，若0)()(0>--x x x g x h 在D 内恒成立，则称P 为函数)(x h y =的“类对称点”，则x x x x f ln 46)(2+-=的“类对称点”的横坐标是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11、已知函数a a x x f +-=|2|)(．若不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，则实数a 的值为 ． 12、已知点A()2,0抛物线C ：24x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N13、已知函数()11,1x x f x e x -≤≤=>⎪⎩ 则⎰-21d )(x x f = ． 14、把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为： ．（用数字作答） 15、已知函数x xe x f =)(，记)()(0x f x f '=，)()(01x f x f '=，…，)()(1x f x f n n -'=且12x x >，对于下列命题：①函数)(x f 存在平行于x 轴的切线； ②0)()(2121>--x x x f x f ；③x x e xe x f 2014)(2012+='；④1221)()(x x f x x f +<+．其中正确的命题序号是_______________（写出所有满足题目条件的序号）．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数)3sin(2sin 2)(π-+=x x x f ．（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c ．已知b a A f 3,3)(==，证明:B C 3=2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）．将△AEF 沿EF 折起到EF A 1 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2） （Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角B －A 1P －F 的余弦值．数列}{n a 中，,11=a 当2≥n 时，其前n 项和为n S ，满足).21(2-=n n nS a S （Ⅰ）求n S 的表达式； （Ⅱ）设,12+=n S b n n 数列}{n b 的前n 项和为n T ，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G的上顶点，且145PFO ∠=︒． （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）已知直线1l ：1ykx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示．（1）证明：120m m +=；（Ⅲ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值．已知函数2()ln(1)f x a x ax x =+--．（Ⅰ）若1x =为函数()f x 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）讨论()f x 在定义域上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意正整数n ，222134232)1ln(nn n +++++<+ ．山东省2015年高考模拟冲刺卷参考答案理科数学（一）1、A2、A3、B4、D5、B6、A7、B8、C9、B 10、B 11、112、C13、22e e π+-14、96 15、①③；16、解：（1）)3sin(2sin 2)(π-+=x x x f )cos 23sin 21(sin 2x x x -+=)cos 21sin 23(32x x -=)6sin(32π-=x ------4分 由Z k k x k ∈+≤-≤-,22622πππππ，得：Z k k x k ∈+≤≤-,32232ππππ． 所以f （x ）的单调递增区间为)](322,32[Z k k k ∈+-ππππ -----6分 （2）因为3)(=A f ，所以21)6sin(=-πA ．因为π<<A 0，所以πππ6566<-<-A ．所以3π=A --------8分 因为B b A a sin sin =，b a 3=，所以21sin =B ．--------10分 3π=A ，6π=B ，2π=C ．所以B C 3=．--------12分17、解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率.283566581312==⋅=C C C P …4分 （Ⅱ）10,8,6,4ξ的取值为;2895618)()6(;5631)()()8(;283)10(5833233312232213582322332312132223581312==⋅+⋅+⋅===+⋅+⋅+⋅===⋅==C C C C C C C C P C C C C C C C C C P C C C P ξξξ.561)4(583322=⋅==C C C P ξ ………8分5.75642854562482830=+++=ξE ………12分18、解析：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 ．（1）在图1中，取BE 的中点D ，连结D F ． ∵AE :EB=C F :F A=1:2，∴A F =AD=2，而∠A=600,∴△AD F 是正三角形， 又AE=DE=1，∴E F ⊥AD 在图2中，A1E ⊥E F ，BE ⊥E F ，∴∠A1EB 为二面角A1-E F -B 的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E ⊥BE ．...........................．3分 又BE∩E F =E ，∴A1E ⊥平面BE F ，即A1E ⊥平面BEP (4)（2）建立分别以ED 、E F 、EA 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E （0,0,0）,A （0,0,1）, B（2,0,0）,F（0,3,0）, P （1,,0）,则(0,0,1)AE =-,(2,0,1),(1,AB BP =-=-．设平面ABP 的法向量1111(,,)n x y z =， 由1n ⊥平面ABP 知，11,n AB n BP ⊥⊥，即111120,0.x z x-=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1x =111,23y z ==，1(3,1n =．111cos ,||||(AE n AE n AE n ⋅<>===⋅,1,120AE n <>=, 所以直线A1E 与平面A1BP 所成的角为600…………8分（3）(0,3,1),(1,0,0)AF PF =-=-，设平面A F P 的法向量为2222(,,)n x y z =．由2n ⊥平面A F P 知，22,n AF n PF ⊥⊥，即22220,0.x z -=⎧⎪-=令21y =，得220,x z ==2(0,1n =． 1211127cos ,8||||(n n n n n n ⋅<>===⋅,所以二面角B-A1P-F 的余弦值是78-………………………………12分19、解：（1）因为)2(),21(12≥-=-=-n S S a S a S n n n n n n ，所以).21)((12--=-n n n n S S S S即n n n n S S S S -=⋅--112 ① 由题意,01≠⋅-n n S S 故①式两边同除以,1n n S S ⋅-得2111=--n n S S ，所以数列}1{n S 是首项为,11111==a S 公差为2的等差数列．故,12)1(211-=-+=n n S n 所以;121-=n S n（2）),121121(21)12)(12(112+--=+-=+=n n n n n S b n n)121121()5131()311((2121+--++-+-=+++=n n b b b T n n )1211(21+-=n ≥13又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立∴13≥21(5)18m m -， 化简得：2，解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．……21、解：（１）因为()21f x a x x '=--+，令(1)0f '=，即202a --=，解得4a =-， 经检验此时，(0x ∈，1)，()0f x '>，()f x 递增；(1，)+∞，()0f x '<，()f x 递减，()f x 在1x =处取极大值．满足题意． ． (4)（２）22()2()211a x x a f x a x x x +-+'=--=++， 令()0f x '=，得0x =，或22a x +=-，又()f x 的定义域为(1-，)+∞当212a +-≤-，即0a ≥时，若(1x ∈-，0)，则()0f x '>，()f x 递增；若(0x ∈，)+∞，则()0f x '<，()f x 递减；当2102a +-<-<，即20a -<<时，若(1x ∈-，2)2a +-，()0f x '<，()f x 递减；2(2a x +∈-，0)，则()0f x '>，()f x 递增；若(0x ∈，)+∞，()0f x '<，()f x 递减；③当202a +-=，即2a =-时，()0f x '≤，()f x 在(1-，)+∞内递减，④当202a +->，即2a <-时，若(1x ∈-，0)，则()0f x '<，()f x 递减；若(0x ∈，2)2a +-，则()0f x '>，()f x 递增；若2(2a x +∈-，)+∞，则()0f x '<，()f x 递减；．…．9（3）由（2）知当1a =时，()f x 在[0，)+∞上递减，∴()(0)f x f ≤，即2l n (1)x x x +≤+，∵10i >，∴221111ln(1)i i i i i++<+=，1i =，2，3，，n ， ∴23131ln 2ln ln224n n n n+++++<+++， ∴231ln(1)24n n n++<+++ ． (14)。
齐鲁名校教科研协作山东省2015届高三第一次调研考试数学试题(文)word版含答案
齐鲁名校教科研协作体山东省19所名校2015届高三第一次调研考试文科数学试题命题学校：莱芜一中命题人：陈洪波冯加辉审题人：张兆利侯鸾张凤考试时间：2015年1月4日上午8：00一10：00注意事项：1．本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、座号用0.5 mm黑色签字笔和2B铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上．3．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题纸相应区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡与答题纸．参考公式：锥体的体积公式：V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则A. B. C. D.2.已知，则A. B. C. D.3.已知正数组成的等比数列，那么的最小值为A.20B.25C.50D.不存在4.若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为A.4和3B.4和2C.3和2D.2和05.已知某集合体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A. B. C. D.6.已知向量满足，则的夹角为A. B. C. D.7.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若B. 若C.若D. 若8.已知函数若在其定义域上零点的个数为A.1个B.3个C.5个D.7个9.函数若（其中若）的图象如图所示，为了得到若的图象，则只要将若的图象A.向右平移若个单位长度B.向右平移若个单位长度C.向左平移若个单位长度D.向左平移若个单位长度10.已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为A. B. C. D.第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知_____________.12.已知正数满足的最小值为_____________.13.已知幂函数上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则的值为__________.14.已知P为所在的平面内一点，满足的面积为2015，则的面积为___________.15.下列命题中，正确的为_________________.（把你认为正确的命题的序号都填上）①函数的图象关于直线对称；②若命题P为：；③，函数都不是偶函数；④的必要不充分条件.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）已知数列满足.（1）证明是等差数列；（2）令的前项的和.17.（本小题满分12分）已知向量，函数，其图象的一个对称中心为.（1）求函数的表达式及单调递减区间；（2）在中，分别为角A，B，C的对边，S为其面积，若的值.18.（本小题满分12分）正四棱锥中，O为底面中心，SO=AB=2，E、F分别为SB、CD的中点.（1）求证：EF//平面SAD；（2）若G为SC上一点，且SG:GC=2:1，求证：平面GBD.19.（本小题满分12分）已知正项等比数列，其前项和为，且满足.（1）求的通项公式；（2）记数列，其前项和为，求证：.20.（本小题满分13分）已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）若时，求的最大值.21.（本小题满分14分）已知函数的图象与y轴的交点为A.（1）求曲线在点A处的切线方程，并证明切线上的点不会在函数图象的上方；（2）上单调递增，求的取值范围；（3）若，求证：.。
2015年山东高考数学、理综、英语、语文模拟题及答案
英语本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至10页，第Ⅱ卷11至12页。
满分为150分。
考试用时120分钟。
第I卷（选择题，共100分）第一部分听力做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．What does the hat cost?A．$ 19.15 B．$ 90.15 C．$ 9.152．What address is the man looking for?A．415 Fourth street．B．514 Fourth street．C．415 Fifth street．3．Where do they talk probably?A．At a restaurant．B．In a factory．C．At home．4．What is Lily goint to do?A．Catch a train home．B．Do her homework．C．Go to park．5．How will the man probably mail the books?A．By ordinary mail．B．By sea mail．C．By air parcel．第二节（共15小题：每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6至7题。
6．Who has got the wrong number?A．Luke．B．Luke’s aunt．C．Lucia’s aunt．7．Where do you think Lucia live?A．In Los Angeles．B．In a cinema．C．In New York．听第7段材料，回答第8至9题。
山东省济南市2015届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(有答案)
第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,,M x x x N x x a M N =--<=>⊆若，则实数a 的取值范围是 A.(],1-∞- B.(),1-∞-C.[)3,+∞D.()3,+∞2.若12iz i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是 A.2i -- B.2i - C.2i +D.2i -+3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行； A.①② B.②③ C.③④ D.①④4.“1cos 2α=”是“3πα=”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.7 B.9 C.11 D.136.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为8.57.5y x =+，则表中的m 的值为A.50B.55C.60D.657.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是A.2B.3C.2D.58.在椭圆221169x y +=内，通过点()1,1M 且被这点平分的弦所在的直线方程为 A.91670x y -+= B.169250x y +-= C.916250x y +-= D.16970x y --=9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 10.若至少存在一个()0x x ≥，使得关于x 的不等式242x x m ≤--成立，则实数m 的取值范围为 A.[]4,5- B.[]5,5- C.[]4,5D.[]5,4-第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[)60,80中的学生人数是_________. 12.函数()()213lg 2f x gx x =-+-的定义域是_________. 13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c 是单位向量，且()()0a b a c b c⋅=+⋅+，则的最大值为________.15.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数： ①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，边a,b,c 的对角分别为A,B,C ；且4,3b A π==，面积23S =.（I ）求a 的值；（II ）设()()2cos sin cos cos f x C x A x =-，将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分.（I ）求ξ的分布列和数学期望；（II ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.18. （本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，10,8,6AB AC BC ===，18AA =，点D在线段AB 上.（I ）若1//AC 平面1B CD ，确定D 点的位置并证明； （II ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值.19. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足()12111,3,32,2n n n a a a a a n N n *+-===-∈≥，（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足()242log 1n n b a =+，证明：对一切正整数222121111,1112n n b b b ++⋅⋅⋅+<---有.20. （本小题满分13分）已知抛物C 的标准方程为()220y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，()(),00A a a ≠为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N.当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ∆的面积为92. （I ）求抛物线C 的标准方程； （II ）记11t AM AN=+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.21. （本小题满分14分） 已知关于x 函数()()()()22ln ,g x a x a R f x x g x x=-∈=+，（I ）试求函数()g x 的单调区间；（II ）若()f x 在区间()0,1内有极值，试求a 的取值范围； （III ）0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，试求[]0x .（注：[]x 为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[][][]0.30,2.62, 1.42==-=-；以下数据供参考：ln 20.6931,ln3 1.099,ln5 1.609,ln 7 1.946====）又∵0B π<<∴2B π=6C π=……6分∴(()2cos sin cos cos )2sin()6f x C x A x x π=-=-，………… 8分将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到()2sin(2)6g x x π=-，…………9分 所以()g x 的单调增区间为222,262k x k πππππ-≤-≤+…………10分即,()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈…………11分()g x 的单调区间为,,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………12分（17）解：（Ⅰ）由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30．…………1分1111(=0)5436041113111293(=10)=54354354360204314121322613(=20)=5435435436030432242(=30)==.5543605P P P P ξξξξ=⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⋯⋯⋯⋯，，，分ξ的分布列为：ξ0 10 20 30 P160320133025…………6分AA 1B C D B 1C 1xyz所以 AC 1∥平面B 1CD ． ………………………………………4分 （Ⅱ） 由6,8,10===BC AC AB ，得AC ⊥BC ，以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ． 则B (6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A 1(0, 8,8)，B 1(6, 0, 8)．设D (a , b , 0)（0a >，0b >），…………………5分 因为 点D 在线段AB 上，且13BD AB =， 即13BD BA =． 所以84,3a b ==．…………………7分 所以1(6,0,8)B C =--，8(4,,0)3CD =．平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =． 设平面B 1CD 的法向量为2(,,1)n x y =，由 120B C n ⋅=，20CD n ⋅=， 得 6808403x x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 所以4,23x y =-=，24(,2,1)3n =-． …………………10分设二面角1B CD B --的大小为θ， 361cos a b a bθ⋅==所以二面角1B CD B --的余弦值为61．……………………………12分 （19）解：()Ⅰ由1132n n n a a a +-=- ，可得112(),n n n n a a a a +--=-…………2分212,a a -={}1n n a a +∴- 是首项为2，公比为2的等比数列，即1=2.nn n a a +- …………3分()()()-1-1-221112=-+-+-12=22211221,6n n n n n nn n n a a a a a a a a --∴+-++++=-=-⋯⋯⋯⋯+分()()()24222221222122log (2)2.7111111=.9141212122121111111111+=1111233521211111.2212111,+11n n n n b n b n n n n n b b b n n n n b b ==⋯⋯⋯⋯⎛⎫==-⋯⋯⋯⋯ ⎪---+-+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭∴++--Ⅱ由题意得分分对一切正整数有21.1212n b <⋯⋯⋯⋯-分（20）(I)由题意,2922221||||212==⋅⋅=⋅⋅=∆p p p MN OA S MON3=∴p抛物线C 的方程为x y 62=---------------------------------------------------------------------3分 (II) 设),(),(2211y x N y x M ，,直线MN 的方程为a my x += 联立⎩⎨⎧=+=xy a my x 62得0662=--a my y024362>+=∆a mm y y 621=+,a y y 621-=,-----------------------------------------------------------------6分 由对称性,不妨设0>m ,(i )0<a 时,0621>-=a y y , 21y y ，∴同号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+= )111(1363611)()(112222222122122ma a m m y y y y m t +-=+=++=∴ 不论a 取何值,t 均与m 有关,即0<a 时A 不是“稳定点”; -------------------------9分 (ii ) 0>a 时, 0621<-=a y y , 21y y ，∴异号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+= 22121221222122122)(4)(11)()-(11y y y y y y m y y y y m t -+⋅+=⋅+=∴)11321(13624361122222ma a a a m m +-+=+⋅+= 所以,仅当0132=-a ,即23=a 时,t 与m 无关,此时A 即抛物线C 的焦点,即抛物线C 对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”. ------------------------------------------------------------13分（21）解：（I ）由题意)(x g 的定义域为),0(+∞2222-)(xax x a x x g +-=-=' （i ）若0≥a ，则0)('<x g 在),0(+∞上恒成立，),0(+∞为其单调递减区间；（ii ）若0<a ，则由0)('=x g 得ax 2-=，)2,0(a x -∈时，0)('<x g ，),2(+∞-∈ax 时，0)('>x g ，所以)2,0(a -为其单调递减区间；),2(+∞-a为其单调递增区间；-----------------------4分（II ）)()(2x g x x f += 所以)(x f 的定义域也为),0(+∞，且 232''2'2222)()()(xax x x ax x x g x x f --=+-=+= 令),0[,22)(3+∞∈--=x ax x x h (*)则a x x h -6)(2'= (**)----------------------------------------------------------------------------6分0<a 时, 0)('≥x h 恒成立,所以)(x h 为),0[+∞上的单调递增函数，又0-)1(,02)0(>=<-=a h h ，所以在区间)1,0(内)(x h 至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)('x f 的变号零点，此时)(x f 在区间)1,0(内有极值. ----------------------------------------8分0≥a 时)1,0(,0)1(2)(3∈<--=x ax x x h ,即在区间(0,1)上0)('<x f 恒成立,此时, )(x f 无极值. 综上所述,若)(x f 在区间)1,0(内有极值，则a 的取值范围为)0,(-∞. --------------9分 (III) 0>a ,由（II ）且3)1(=f 知]1,0(∈x 时0)(>x f ,10>∴x .又由(*)及(**)式知)(x f '在区间),1(+∞上只有一个极小值点,记为1x , 且),1(1x x ∈时)(x f 单调递减, ),(1+∞∈x x 时)(x f 单调递增,由题意1x 即为0x ,⎩⎨⎧='=∴0)(0)(00x f x f -----------------------------------------------------------------------------------------11分 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+∴0220ln 20200020ax x x a x x消去a ,得131ln 2300-+=x x -------------------------------------------------------------------12分 0>a 时令)0(131)(),1(ln 2)(321>-+=>=x x x t x x x t ,则在区间),1(+∞上为)(1x t 单调递增函数, )(2x t 为单调递减函数,且)2(710577.022ln 2)2(21t t =<=⨯<=)3(263123ln 2)3(21t t =+>>=320<<∴x2][0=∴x ------------------------------------------------------------------------------------------14分。
山东省实验中学2015届高三第一次诊断性考试数学理试题含解析
山东师大附中2015届高三第一次模拟考试试题数学（理工农医类）2014.9【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，试题图文并茂，文字阐述清晰，图形设计简明，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.设全集{}1,2,3,4,0U =----，集合{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，则()U C A B ⋂=A.{}0B.{}3,4--C.{}1,2--D. φ【知识点】集合.A1【答案解析】B 解析：解：因为{}(){}3,43,4U U C A C A B =--∴⋂=--所以B 为正确选项.【思路点拨】根据交集的概念可以直接求出交集.【题文】2.已知()2,f x x i =是虚数单位，则在复平面中复数()13f i i++对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【知识点】复数的基本概念与运算.L4 【答案解析】A 解析：解：由题可知()()()222211231222613333331055f i i i i i i ii i i i i i i ++-+++======+++++-，所以复数表示的点为13,55⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限，所以A 正确. 【思路点拨】根据复数的概念进行运算，分母实数化，然后找到对应点.【题文】3.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<= A.12p + B.1p - C.12p - D.12p - 【知识点】正态分布.I3【答案解析】D 解析：解：由正太分布的概念可知，当()1P p ξ>=时，()1012P p ξ<<=-，而正太分布的图像关于y 轴对称，所以()()110012P P p ξξ-<<=<<=-，所以D 为正确选项.【思路点拨】根据正态分布的对称关系可直接求解. 【题文】4.设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件；必要条件.A2【题文】5.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则；③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2D.3【知识点】直线与平面的位置关系.G4,G5【答案解析】D 解析：解：由直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系可知，①②③ 正确，④不正确.【思路点拨】由空间中的位置关系及判定定理，性质定理可直接得到. 【题文】6.要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向右平移4π个单位长度【知识点】三角函数的图像与性质.C3【答案解析】C 解析：解：因为()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移4π个单位可得，sin 2sin 2cos 2443323g x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以C 选项正确.【思路点拨】由三角函数的图像与性质可对三角函数进行移动.【题文】7.已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是A.⎡⎢⎣B.⎢⎣ C .⎛ ⎝D.(【知识点】直线与双曲线.H8【答案解析】A 解析：解： 由题可知满足条件的直线即过右焦点且斜率在两条渐近线之间的直线，由条件可知渐近线为b y x x a =±=，再分析可得，与右支只有一个交点的直线斜率应该在⎡⎢⎣范围内，所以A 正确.【思路点拨】由双曲线的渐近线及图像可知只有一个交点的情况.【题文】8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 A.360 B.520 C.600 D.720 【知识点】排列组合.J2【答案解析】C 解析：解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C 21•C 53•A 44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C 22•C 52•A 44=240种情况，其中甲乙相邻的有C 22•C 52•A 33•A 22=120种情况； 则不同的发言顺序种数480+240-120=600种， 故选C ．【思路点拨】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【题文】9.设函数()2,0,2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若()()()40,22f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为A.4B.3C.2D.1【知识点】分段函数；方程根的个数.B1,B9【答案解析】B 解析：解：因为 ()()()40,22f f f -=-=-所以2y x bx c =++的对称轴为242bx b a=-=-∴=，()22f -=-2c ∴=，()()242,01,2,22,0x x x f x f x x x x x x ⎧++≤∴=∴=⇒=-=-=⎨>⎩所以方程有3个根，所以B 正确.【思路点拨】根据条件求出函数，然后求方程的根.【题文】10.已知向量OA OB uu r uu u r与的夹角为()2,1,,1,OA OB OP tOA OQ t OB PQ θ====-uu r uu u r uu u r uu r uuu r uu u r uu u r ， 0t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为 A.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B.,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D.20,3π⎛⎫⎪⎝⎭【知识点】向量.F2,F3【答案解析】C 解析：解：由题意得()21cos 2cos ,1OA OB PQ OQ OP t OB tOAθθ⋅=⨯⨯==-=--()()222222121PQ PQ t OB t OA t t OA OB ∴==----⋅ =（1-t ）2+4t 2-4t（1-t ）cos θ=（5+4cos θ）t 2+（-2-4cos θ）t+1 由二次函数知当上式取最小值时，012cos 54cos t θθ+=+，由题意可得12cos 1054cos 5θθ+<<+解得1cos 02θ-<<223ππθ∴<<，所以C 正确.【思路点拨】根据向量的概念及运算可转化为二次函数问题，再根据三角函数值求角.第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分..【题文】11.若13x x k ++->对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围为_________. 【知识点】绝对值不等式.E2【答案解析】(),4-∞ 解析：解： 由绝对值不等式可知131344x x x x k ++-=++-≥∴<时，不等式对于任意实数恒成立.【思路点拨】绝对值不等式的解法. 【题文】12.如图给出的是计算11112462014+++⋅⋅⋅+的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_______.【知识点】程序框图.L112014++；111462014++++比较即【题文】13.已知圆C过点()1,0-，且圆心在x轴的负半轴上，直线:1l y x=+被该圆所截得的弦长为C的标准方程为________________.］【知识点】圆的标准方程.H3【答案解析】()2234x y++=解析：解：设圆心(),0C x，则圆的半径1r BC x==+，所以圆心到直线的距离CD=AB=，则1r x==+整理得：x=2（不合题意，舍去）或x=-3，∴圆心C（-3，0），半径为2，则圆C方程为()2234x y++=．故答案为：()2234x y++=【思路点拨】根据题意设圆心C坐标为（x，0），根据圆C过（-1，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆C的标准方程即可．【题文】14.定义：{},min,,a a ba bb a b≤⎧=⎨>⎩，在区域026xy≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(){}22,min2,42p x y x y x x y x y x x y++++=++，则、满足的概率为__________. 【知识点】概率.E1的事件A={（x ，y ）|0≤x ≤2，0≤y ≤6，x 2+x+2y ≤x+y+4}，即A={（x ，y ）|0≤x ≤2，0≤y ≤6，y ≤4-x 2}，()232211644|0033A S x dx x x ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭⎰,所以由几何概型公式得到1643269P ==⨯【思路点拨】由题意可作图计算出概率的值. 【题文】15.已知2280,02y x x y m m x y>>+>+，若恒成立，则实数m 的取值范围是_______.【知识点】基本不等式.E1【答案解析】-4＜m ＜280,0xy>>，288y x x y +≥=即2y x +282xm m y+>+恒成立，必有m 2+2m ＜8恒成立，m 2+2m ＜8⇔m 2+2m-8＜0， 解可得，-4＜m ＜2，故答案为-4＜m ＜2． 三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且22212a cb ac +-=..（I ）求2sin cos 22A CB ++的值； （II ）若2b =∆，求ABC 面积的最大值. 【知识点】解三角形.C8 【答案解析】(I) 21sincos 224A C B +∴+=-(II) 315解析：解：(I)在ABC 中，由余弦定理可知，2222cos a c b ac B +-=，由题意知22212a c b ac +-=1cos 4B ∴=，又在 ABC 中A B C π++=2222cos 1sin cos 2sin cos 2cos cos 22cos 22222A CB B B B B B B π+-+=+=+=+-又1cos 4B =21sin cos 224A CB +∴+=- （Ⅱ）∵b =2 ，∴由ac b c a 21222=-+可知，ac c a 21422=-+， 即4221-≥ac ac ，∴38≤ac ，……………………8分 ∵41cos =B ，∴415sin =B ………………10分∴3154153821sin 21=⋅⋅≤⋅=∆B ac S ABC . ∴△ABC 面积的最大值为315．…………………………12 【思路点拨】由余弦定理可求出角B 的值，再计算所求的值，再由公式求出面积. 【题文】17.（本小题满分12分）如图，在七面体ABCDMN 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且21.MD NB MB ND P ==，，与交于点 （I ）在棱AB 上找一点Q ，使QP//平面AMD ，并给出证明； （II ）求平面BNC 与平面MNC 所成锐二面角的余弦值. 【知识点】直线与平面的位置关系；二面角.G3,G10 【答案解析】(I)略(II) 121242cos 323n n n n θ⋅===⨯⋅解析：解：证明：∵MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，∴MD//NB ，…………2分 ∴12BP NB PM MD ==，又12QB QA =，∴QB NB QA MD=，…………4分 ∴在MAB 中，OP//AM ，又OP ⊄面AMD ，AM ⊂面AMD ，∴OP // 面AMD.…………６分（Ⅱ）解：以DA 、DC 、DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0,0,0），B （2,2,0），C （0,2,0），M （0,0,2）N （2,2,1），∴CM =（0,-2,2），CN =（2,0,1），DC =（0,2,0），………………7分设平面CMN 的法向量为1n =（x,y,z ）则1100n CM n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22020y x x z -+=⎧⎨+=⎩，∴1n =（1,-2,-2）.………………9分又NB ⊥平面ABCD ，∴NB ⊥DC ，BC ⊥DC ，∴DC ⊥平面BNC ，∴平面BNC 的法向量为2n =DC =（0,2,0），………………11分 设所求锐二面角为θ，则121242cos 323n n n n θ⋅===⨯⋅.………………12分 【思路点拨】由已知条件可证明直线与平面的位置关系；再利用向量法求出二面角的余弦值. 【题文】18.（本小题满分12分） 某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432555、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。
2015届高考模拟试卷数学试题(理科)附答案
2015届高考模拟试卷数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z = A ．i -B ．i 2-C ．iD ．i 22．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋ 3 C.32π＋ 3 D.52π＋ 33.在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρθ=B.ρθ=C.sin ρθ=D.cos ρθ=4．图(1)是某高三学生进入高中三年来 的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…， A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定 范围内考试次数的一个算法流程图． 那么算法流程图输出的结果是( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知“命题p ：∃x ∈R ，使得ax 2＋2x ＋1<0成立”为真命题，则实数a 满足( ) A ．[0,1) B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]6．若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x (a ＞0且a ≠1) 在R 上既是奇函数，又是减函数， 则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )7.等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和记为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ，则1{}na 的前n 项之和'S 是（ ）A.1SB.1n q SC.n q SD. 1n S q -8. 若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值是（ ）A ．9. 若二项式*(2)()n x n N -∈的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a ，所有项的二项式系数之和是b ，则b aa b+的最小值是（ ） A.2 B.136 C.73 D.15610.有7张卡片分别写有数字1，1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出的四位数有（ ）个A.78B. 102C.114D.120第Ⅱ卷(非选择题共100分)请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
2015年高考理科数学模拟试题
2015年普通高等学校招生考试数学模拟试题（理工类）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则AB =（ ）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}-2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。
在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）A 、总体B 、个体C 、样本的容量D 、从总体中抽取的一个样本3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A 、向左平行移动1个单位长度 B 、向右平行移动1个单位长度 C 、向左平行移动π个单位长度 D 、向右平行移动π个单位长度4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）A 、3B 、2C 、3D 、15、若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A 、a b d c > B 、a b d c < C 、a b c d > D 、a b c d<6、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、37、已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（ ）侧视图俯视图11222211A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 8、如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（ ） A、1)m B、1)mC、1)m D、1)m9、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C、8D第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015年山东省高考数学一模试卷(理科)含解析答案
2015年山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2015•山东一模）复数z=|（﹣i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数模的公式求复数的模，再利用虚数单位i的运算性质化简后得z，则复数z的共轭复数可求．【解析】：解：由z=|（﹣i）i|+i5=，得：．故选：A．【点评】：本题考查复数模的求法，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．2．（5分）（2015•山东一模）若[﹣1，1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[2﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2] D．[2﹣2，2+2]【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；集合．【分析】：令y=x2﹣tx+t，由题意，将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围．【解析】：解：令y=x2﹣tx+t，①若t=0，则{x||x2≤1}=[﹣1，1]，成立，②若t＞0，则y max=（﹣1）2﹣t（﹣1）+t=2t+1≤1，即t≤0，不成立；③若t＜0，则y max=（1）2﹣t+t=1≤1，成立，y min=（）2﹣t•+t≥﹣1，即t2﹣4t﹣4≤0，解得，2﹣2≤t≤2+2，则2﹣2≤t＜0，综上所述，2﹣2≤t≤0．故选B．【点评】：本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．3．（5分）（2015•山东一模）已知M（2，m）是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据抛物线的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解析】：解：抛物线的交点坐标为F（，0），准线方程为x=﹣，则点M到抛物线焦点的距离PF=2﹣（﹣）=2+，若p≥1，则PF=2+≥，此时点M到抛物线焦点的距离不少于3不成立，即充分性不成立，若点M到抛物线焦点的距离不少于3，即PF=2+≥3，即p≥2，则p≥1，成立，即必要性成立，故“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义和性质是解决本题的关键．4．（5分）（2015•山东一模）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解析】：解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D【点评】：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．5．（5分）（2015•山东一模）在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B． 2 C．2D． 4【考点】：正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解析】：解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B=（180°﹣A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．【点评】：本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．6．（5分）（2015•山东一模）某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（）A．3π B．4π C．2π D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，利用球的表面积计算公式即可得出．【解析】：解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，其表面积S=4πR2=3π．故选：A．【点评】：本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）（2015•山东一模）定义max{a，b}=，设实数x，y满足约束条件，则z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10] B．[﹣7，10] C．[﹣6，8] D．[﹣7，8]【考点】：简单线性规划．【专题】：分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作出可行域，结合新定义得到目标函数的分段函数，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，由定义max{a，b}=，得z=max{4x+y，3x﹣y}=，当x+2y≥0时，化z=4x+y为y=﹣4x+z，当直线y=﹣4x+z过B（﹣2，1）时z有最小值为4×（﹣2）+1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，2）时z有最大值为4×2+1×2=10；当x+2y＜0时，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，当直线y=3x﹣z过B（﹣2，1）时z有最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，﹣2）时z有最大值为4×2﹣1×（﹣2）=10．综上，z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣7，10]．故选：B．【点评】：本题是新定义题，考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题．8．（5分）（2015•山东一模）函数y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2 B． 4 C．8 D．16【考点】：基本不等式；对数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：现根据对数函数图象和性质求出点A的坐标，再根据点在直线上，代入化简得到2m+n=1，再根据基本不等式，即可求出结果【解析】：解：∵y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，当x+3=1时，即x=﹣2时，y=﹣1，∴A点的坐标为（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m，n均大于0，∴=+=2+++2≥4+2=8，当且仅当m=，n=时取等号，故的最小值为8，故选：C【点评】：本题考查了对数函数图象和性质以及基本不等式，属于中档题9．（5分）（2015•山东一模）已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，且acosC+c=b，若a=1，c﹣2b=1，则角B为（）A．B．C．D．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosA的值，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把a与sinA的值代入得到关于b与c的方程，与已知等式联立求出b与c 的值，再利用正弦定理求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解析】：解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，由sinC≠0，整理得：cosA=，即A=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+c2﹣bc①，与c﹣2b=1联立，解得：c=，b=1，由正弦定理=，得：sinB===，∵b＜c，∴B＜C，则B=．故选：B．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．10．（5分）（2015•山东一模）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A．1 B．C．e D．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；新定义；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：当a=4时，函数y=H（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y=g （x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）++x02﹣6x0+4lnx0．由此能推导出y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．【解析】：解：当a=4时，函数y=h（x）在其图象上一点P（x0，h（x0））处的切线方程为：y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0，设m（x）=h（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+﹣6）（x﹣x0）﹣x02+6x0﹣4lnx0，则m（x0）=0．m′（x）=2x+﹣6﹣（2x0+﹣6）=2（x﹣x0）（1﹣）=（x﹣x0）（x﹣）若x0＜，φ（x）在（x0，）上单调递减，∴当x∈（x0，）时，m（x）＜m（x0）=0，此时＜0；若x0，φ（x）在（，x0）上单调递减，∴当x∈（，x0）时，m（x）＞m（x0）=0，此时＜0；∴y=h（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”．若x0=，（x﹣）2＞0，∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，m（x）＞m（x0）=0，当x＜x0时，m（x）＜m（x0）=0，故＞0．即此时点P是y=f（x）的“类对称点”综上，y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．故选B．【点评】：本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，则实数a的值为a=1．【考点】：其他不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再由已知不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，由此求得实数a的值．【解析】：解：由题意可得，不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再由不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，故a=1，故答案为a=1．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．12．（5分）（2015•山东一模）已知点A（2，0）抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=1：．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解析】：解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0），∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：．故答案为：1：．【点评】：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．13．（5分）（2015•山东一模）已知函数则=．【考点】：定积分．【专题】：导数的综合应用．【分析】：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，即可得出．利用微积分基本定理即可得出dx=．【解析】：解：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，∴=．又dx==e2﹣e．∴==好．故答案为：．【点评】：本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，属于中档题．14．（5分）（2015•山东一模）把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为96．（用数字作答）【考点】：排列、组合及简单计数问题．【专题】：概率与统计．【分析】：根据题意，先将票分为符合题意要求的4份，可以转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．【解析】：解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C43=4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况，则共有4×24=96种情况．故答案为96．【点评】：本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法进行解决．15．（5分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=xe x，记f0（x）=f′（x），f1（x）=f′（x0），…，f n（x）=f′n﹣1（x）且x2＞x1，对于下列命题：①函数f（x）存在平行于x轴的切线；②＞0；③f′2012（x）=xe x+2014e x；④f（x1）+x2＜f（x2）+x1．其中正确的命题序号是①③（写出所有满足题目条件的序号）．【考点】：导数的运算．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据导数的几何意义判断①正确，根据导数和函数的单调性判断②错；根据导数的运算，得到③正确，根据导数与函数的单调性的关系判断④错【解析】：解：对于①，因为f′（x）=（x+1）e x，易知f′（﹣1）=0，函数f（x）存在平行于x轴的切线，故①正确；对于②，因为f′（x）=（x+1）e x，所以x∈（﹣∞，﹣1）时，函数f（x）单调递减，x∈（﹣1，+∞）时，函数f（x）单调递增，故＞0的正负不能定，故②错；对于③，因为f1（x）=f′（x0）=xe x+2e x，f2（x）=f′（x1）=xe x+3e x，…，f n（x）=f′n﹣1（x）=xe x+（n+1）e x，所以f′2012（x）=f2013（x）=xe x+2014e x；故③正确；对于④，f（x1）+x2＜f（x2）+x1等价于f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，构建函数h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1=（x+1）e x﹣1，易知函数h（x）在R上不单调，故④错；故答案为：①③【点评】：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=2sinx+2sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知f（A）=，a=b，证明：C=3B．【考点】：两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（1）运用两角差的正弦公式，即可化简，再由正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由f（A）=，及0＜A＜π，即可得到A=，再由正弦定理，及边角关系，即可得证．【解析】：（1）解：函数f（x）=2sinx+2sin（x﹣）=2（sinx+sinx﹣cosx）=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2k，k∈Z，则2kπ﹣≤x≤2kπ，则f（x）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ]，k∈Z．（2）证明：由f（A）=，则sin（A﹣）=，由0＜A＜π，则﹣＜A﹣＜，则A=，由=，a=b，则sinB=，由a＞b，A=，B=，C=，故C=3B．【点评】：本题考查三角函数的化简，正弦函数的单调区间，考查正弦定理及边角关系，注意角的范围，属于中档题．17．（12分）（2015•山东一模）2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量1 1 1 2 3从中随机地选取5只．（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据排列组合知识得出P=运算求解即可．（Ⅱ）确定ξ的取值为：10，8，6，4．分别求解P（ξ=10），P（ξ=8），P（ξ=6），P（ξ=4），列出分布列即可．【解析】：解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率P===，（Ⅱ）ξ的取值为：10，8，6，4．P（ξ=10）==，P（ξ=8）=，P（ξ=6）==，P（ξ=4）==ξ的分布列为：ξ 10 8 6 4P﹣Eξ==7.5．【点评】：本题综合考查了运用排列组合知识，解决古典概率分布的求解问题，关键是确定随机变量的数值，概率的求解，难度较大，仔细分类确定个数求解概率，属于难题．18．（12分）（2015•山东一模）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【考点】：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】：空间角．【分析】：（1）设正三角形ABC的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．由已知条件推导出△ADF是正三角形，从而得到EF⊥AD．在图2中，推导出∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角，且A1E⊥BE．由此能证明A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1E与平面A1BP所成的角的大小．（3）分别求出平面A1FP的法向量和平面BA1F的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【解析】：（1）证明：不妨设正三角形ABC 的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60度，∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD．在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，0，1），B（2，0，0），F（0，，0），P （1，，0），则，．设平面ABP的法向量为，由平面ABP知，，即令，得，．，，∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60度．（3），设平面A1FP的法向量为．由平面A1FP知，令y 2=1，得，．，所以二面角B﹣A1P﹣F的余弦值是．【点评】：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2015•山东一模）数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n，满足S n2=a n （S n﹣）．（1）求S n的表达式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”、一元二次不等式的解法即可得出．【解析】：解：（1）∵S n2=a n（S n﹣）=．化为，∴数列是首项为==1，公差为2的等差数列．故=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=．（2）b n===，故T n=+…+=．又∵不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，∴≥（m2﹣5m），化简得：m2﹣5m﹣6≤0，解得：﹣1≤m≤6．∴正整数m的最大值为6．【点评】：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2015•山东一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】：综合题．【分析】：（Ⅰ）根据F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．【解析】：（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为．因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．所以，a2=b2+c2=2．…（2分）所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）证明：由消去y得：．则，…（5分）所以===．同理．…（7分）因为|AB|=|CD|，所以．因为m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．因为m1+m2=0，所以．…（10分）所以=．（或）所以当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形的面积，同时考查利用基本不等式求最值，正确求弦长，表示出四边形的面积是解题的关键．21．（14分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（I）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．【解析】：解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．【点评】：本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性，证明：对任意的正整数n．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．。
2015年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学(理科)试卷
2015年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
．．．．．．．．．，在试题卷考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题（共10小题）1．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．B．C．﹣D．22．集合M={1，2}，N={3，4，5}，P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为（） A． 3 B．4C．5D．63．函数y=ln（﹣1）的定义域为（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，1）4．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为（）A． 780 B．660 C．680 D．4605．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．66．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a，b＞0）的最大值是12，则a2+b2的最小值是（）A．B．C．D．7．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A． 1 B．2C．3D．48．函数y=a x（a＞0，a≠1）与y=x b的图象如图，则下列不等式一定成立的是（） A． b a＞0 B．a+b＞0 C．a b＞1 D．l og a2＞b9．斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A． 15个B．12个C．9个D．8个二．填空题（共5小题）11．执行如图中的程序框，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的S属于区间．12．若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中x6的系数为．（用数字作答）13．已知命题p：函数的值域为[0，+∞），命题q：对任意的x∈R，不等式|x|﹣|x+a|≤1恒成立，若命题p∧（¬q）为真命题，则实数a的取值范围是．14．已知，，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设，则= ．15．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数．给定下列函数：①f（x）=②f（x）=（x﹣1）2③f（x）=x3④f（x）=cosx其中所有准奇函数的序号是．三．解答题（共6小题）16．已知函数f（x）=2sinxcosx+2，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）=1，，求△ABC的面积．17．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）19．已知函数f（x）=log k x（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（a n）}是首项为4，公差为2的等差数列．（Ⅰ）求证：数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）若b n=a n•f（a n），当时，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）若c n=a n lga n，问是否存在实数k，使得{c n}中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=，g（x）=（）|x﹣m|，其中m∈R且m≠0．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＜﹣2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[﹣2，2]上的最值；（Ⅲ）设函数h（x）=，当m≥2时，若对于任意的x1∈[2，+∞），总存在唯一的x2∈（﹣∞，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围．21．如图，已知点S（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，ST是圆O的直经，从左到右M和N依次是ST的四等分点，P（异于S、T）是圆O上的动点，PD⊥ST，交ST于D，，直线PS与TE交于C，|CM|+|CN|为定值．（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于Q点、与轨迹E相交于A，B两点的直线，，是否存在上述直线l，使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2015年山东省高考数学(理科)模拟试卷参考答案一．选择题（共10小题）=sin2x+）≤2x+≤2k，，[k k2A+），∴，∴2A+，从而，又∵，=，MN∥BC∥DA，且（Ⅲ）解：…（…（配方生产的产品中优质的频率为配方生产的产品中优质品的频率为．=n•2恒成立，只需时，综上所述，存在实数（Ⅰ）依题意，在所以，；；只需，即记函数易知，①且，②．①②相乘得，上的动点，故即=1此时的方程为，假设使|=1，得，由求根公式可得⑤轴时，满足的直线的坐标分别为；时，同理可得综上可知，使。
2015山东高考押题卷数学理
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学（押题卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1、答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3、第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()P AB P A P B =⋅． 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数121iz i+=-（i 是虚数单位）的共轭复数z 表示的点在A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．2．已知集合{}{}240,2M x x x N x x M N =-<=≤⋃=，则A ． ()24-，B ． [)24-，C ． ()02，D ． (]02，3．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r a <不与任何一条平行线相碰的概率是A ．a ra - B ．2a ra- C ．22a ra- D ．2a r a +4．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是()31.21A f x x x =-- ()31.21B f x x x =+-()31.21C f x x x =-+ ()31.21D f x x x =--- 5．下列说法不正确的是A ．若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”C ．“2πϕ=”是“()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D ．当0α<时，幂函数()0,y x α=+∞在上单调递减6．执行如图所示的程序框图，输出的T= A ．29B ．44C ．52D ．627．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是 A ． 12x π=-B ． 12x π=C ． 3x π=D ． 23x π=8．变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值，则k 的取值范围是 A ． 3k <-B ． 1k >C ． 31k -<<D ． 11k -<<9．函数y =为该等比数列公比的是 A ．34B ．C ．D ．10．已知函数()3111,0,36221,,112x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，函数()()si n 220,6g x a x a a π⎛⎫=-+>⎪⎝⎭若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．如果双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线0y -=平行，则双曲线的离心率为 ．12．市内某公共汽车站6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是 ．13．已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则213x y x y++-的最小值为________． 14．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆()2220x y rr +=>交于A,B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB r =+=，则uuu r uu r uu u r______．15．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线x y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞．其中真命题的序号为________．（将所有真命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知()111sin ,cos 2142A B ππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．（I ）求sinA 与角B 的值；（II ）若角A,B,C 的对边分别为,,5,a b c a b c =，且，求的值．17． （本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球． （I ）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（II ）若左右手依次各取两球，称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．18． （本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B D ⊥，为棱11A B 上的点．（I ）证明：DF AE ⊥；（II ）已知存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，请说明点D 的位置．19． （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()2,2,n n S S n n n N *=+∈且． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设集合{}{}22,,2,nA x x n n NB x x a n N **==+∈==∈，等差数列{}nc 的任一项n c A B ∈⋂，其中1c 是A B ⋂中的最小数，10110115c <<，求数列{}n c 的通项公式．20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：22221(1)x y a b e a b +==＞≥的离心率,且椭圆C 上一点N 到点Q （0，3）的距离最大值为4，过点M （3,0）的直线交椭圆C 于点A 、B ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当AB t 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()e x f x ax a =--（其中a ∈R ，e 是自然对数的底数，e ＝2．71828…）． (Ⅰ)当e a =时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)求证：对任意正整数n ，都有222221212121en n ⨯⨯⨯>+++．2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学（押题卷１）参考答案一．选择题 CBAAC,ADCDB（1）【答案】C ，解：分母实数化乘以它的共扼复数1+i,()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222Z +++-+====-+--+,Z ∴的共扼复数为13i 22Z -=--，它表示的点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限．（2）【答案】B ．解:(0,4),[2,2],[2,4)M N MN ==-∴=-．（3）【答案】A ．解:抓圆心的位置,圆心到两平行线距离小于r 即可,故选A ．（4）【答案】 A ，解:根据定义域排除C 根据1,,2x x y →+∞→（从左侧）的变化趋势分别排除B 、D 选A ．（5）【答案】 C 解：A ．若“p 且q ”为假，则p 、q 至少有一个是假命题，正确；B ．命题“x R ∃∈，210x x --<”的否定是“x R ∀∈，210x x --≥”，正确；C ．“2πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充分不必要条件，故C 错误；D ．0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减，正确．故选：C （6）【答案】 A ，解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2， 不满足条件T ＞2S ，S=6，n=2，T=8， 不满足条件T ＞2S ，S=9，n=3，T=17， 不满足条件T ＞2S ，S=12，n=4，T=29，满足条件T ＞2S ，退出循环，输出T 的值为29．故选：A ．（7）【答案】 D ，解：将函数()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍得函数()1πs i n 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其对称轴方程为1ππ2ππ,2π()2623x k x k k +=+∴=+∈Z ， 故选D ．（8）【答案】C ，解:作出不等式对应的平面区域，由z =k x -y 得y =k x -z ， 要使目标函数z =k x -y 仅在点A （0，2）处 取得最小值，则阴影部分区域在直线y =k x -z 的下方，∴目标函数的斜率k 满足-3＜k ＜1．（9）【答案】D ，解:函数等价为0,9)5(22≥=+-y y x ，表示为圆心在)0,5(半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比q 应有228q =，即2,42==q q ，最小的公比应满足282q =，所以21,412==q q ，所以公比的取值范围为221≤≤q ，所以选D ． （10）【答案】 B 解析：因为当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()32246'01x x f x x +=>+，所以此时函数单调递增，其值域为1,16⎛⎤⎥⎝⎦，当x 10,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，值域为10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数f （x ）在其定义域上的值域为，又函数g （x ）在区间上的值域为，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则3202221a a ⎧-+≥⎪⎨⎪-+≤⎩解得1423a ≤≤，所以选B ．二、填空题（11） 2.e =（12）72．（13）223．（1415）②③． （11）答案 2.e =解:由题意知ba= 2.c e a ==（12）答案72．根据题意，先把3名乘客进行全排列，有336A =种排法，排好后，有4个空位，再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空位中，有2412A =种排法，则共有61272⨯=种候车方式．（13）答案21212()3()[(3)()]33333x y x yx y x y x y x y x y x y x y x y-++=+++-=++≥++-+-+- （14）答案．解:22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：222225159+c o s 16816r r r A O B r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=，又圆心到直线的1x距离为OD ==222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，r =．（15）答案②③．解:①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -=(,)A B ϕ∴=<②对：如1y =； ③对；(,)2A Bϕ==≤；④错；1212(,)x x x xA Bϕ==1211,(,)A B ϕ==>因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤． （16）解：（Ⅰ）πsin()cos 2A A +=Q ，11cos 14A ∴=，又0πA <<Q ，sin A ∴= 1cos(π)cos 2B B -=-=-Q ，且0πB <<，π3B ∴=．………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a bA B =，sin 7sin a B b A ⋅∴==， 另由2222cos b a c ac B =+-得249255c c =+-，解得8c =或3c =-（舍去），7b ∴=，8c =．…………………………………………………12分（17）解：（Ⅰ）设事件A 为“两手所取的球不同色”， 则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P ． ………5分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0,1,2．左手所取的两球颜色相同的概率为18529242322=++C C C C ， 右手所取的两球颜色相同的概率为4129232323=++C C C C ， ………7分 24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ， 72541185)2(=⨯==X P ， ………10分 所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E ． ………………… ……12分 (18)（Ⅰ）证明：11AE A B ⊥ ，11A B ∥AB , AB AE ∴⊥, 又1AB AA ⊥, 1A E A AA⋂=, AB ∴⊥面11A ACC ， 又AC ⊂面11A ACC ,A B A C ∴⊥,以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -, 则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B ,设(),,D x y z ，111A D A B λ= ,且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=,(),0,1D λ∴ ,11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭, 10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,∴11022DF AE =-=, DF AE ∴⊥． 分（Ⅱ）设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = ，则 00n FE n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，B 1111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 即：()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩， 令()21z λ=-, ()()3,12,21n λλ∴=+- ．由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = , ………9分平面DEF 与平面ABC所成锐二面的余弦值为14． ()14cos ,14m nm n m n ⋅∴==14=, 12λ∴=或74λ=． 又[0,1]λ∈,∴74λ=舍去．∴ 点D 为11A B 中点． ………12分（19）解 （Ⅰ）∵2*2,(N )n S n n n =+∈．当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+，当1n =时，113a S ==满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+． …… ……5分 （Ⅱ）∵*{|22,N }A x x n n ==+∈，*{|42,N }B x x n n ==+∈，∴A B B =．又∵n c ∈AB ，其中1c 是A B 中的最小数，∴16c =，∵{}n c 的公差是4的倍数，∴*1046(N )c m m =+∈． 又∵10110115c <<，∴*11046115,N ,m m <+<⎧⎨∈⎩， 解得27m =，所以10114c =，设等差数列的公差为d ， 则1011146121019c cd --===-，∴6(1)12126n c n n =+-=-，所以{}n c 的通项公式为126n c n =-． ………………… ……12分（20）解：（Ⅰ）∵2222223,4c a b e a a -=== ∴224,a b =…………………………（1分） 则椭圆方程为22221,4x y b b+=即22244.x y b +=设(,),N x y 则 2)3)N Q =……………………（2分） 12=+当1y =-时，NQ 有最大值为4,=…………………………（3分）解得21,b =∴24a =，椭圆方程是2214x y +=……………………（4分）（Ⅱ）设1122(,),(,),(,),A x y B x y P x y AB 方程为(3),y k x =-由22(3),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=．………………………………（5分） 由24222416(91)(14)0k k k ∆=--+＞，得215k ＜．2212122224364,.1414k k x x x x k k-+=⋅=++………………………………………（6分） ∴1212(,)(,),OA OB x x y y t x y +=++=则2122124()(14)k x x x t t k =+=+, []12122116()()6.(14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+………………………（7分） 由点P 在椭圆上，得222222222(24)1444,(14)(14)k k t k t k +=++ 化简得22236(14)k t k =+①………………………………………………（8分）又由12AB x =-即221212(1)()43,k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦＜将12x x +，12x x 代入得2422222244(364)(1)3,(14)14k k k k k ⎡⎤-+-⎢⎥++⎣⎦＜…………………………………（9分） 化简，得22(81)(1613)0,k k -+＞ 则221810,8k k -＞＞,………………………………………………………（11分） ∴21185k ＜＜②由①，得22223699,1414k t k k ==-++联立②，解得234,t ＜＜∴2t -＜＜或 2.t ＜………………（13分）(21)解：(Ⅰ) 当e a =时，()e e e x f x x =--，()e e x f x '=-，当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值(1)e f =-，函数()f x 无极大值． ··············· 4分 (Ⅱ)由()e x f x ax a =--，()e x f x a '=-，若0a <，则()0f x '>，函数()f x 单调递增，当x 趋近于负无穷大时，()f x 趋近于负无穷大；当x 趋近于正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，故函数()f x 存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0f x <；当0x x >时，()0f x >．故0a <不满足条件．···································· 6分 若0a =，()e 0x f x =≥恒成立，满足条件．·············································· 7分若0a >，由()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )f a ln e ln ln a a a a a a =-⋅-=-⋅，由(ln )0f a ≥得ln 0a a -⋅≥，解得01a <≤．综上，满足()0f x ≥恒成立时实数a 的取值范围是[0,1]． ····························· 9分(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当1a =时，()0f x ≥恒成立，所以()e 10x f x x =--≥恒成立，即e 1x x ≥+，所以ln(1)x x +≤，令12n x =(*n ∈N )，得11ln(1)22n n +<，············ 10分则有2111ln(1)ln(1)ln(1)222n ++++++211[1()]1111221()11222212n n n -<+++==-<-， ··································································································· 12分所以2111(1)(1)(1)e 222n ++⋅⋅+<，所以211111e(1)(1)(1)222n >++⋅⋅+， 即222221212121e nn ⨯⨯⨯>+++．···························································· 14分。
山东省齐鲁名校教科研协作体高一数学上学期统考试题(
山东省齐鲁名校教科研协作体2015-2016学年高一数学上学期统考试题（扫描版）勘误：答题卡21题分值错误，13分改为12分山东省部分重点中学2015-2016学年度高一上学期统一调研联考数学（A卷）参考答案一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
【考点】新定义问题、集合的运算2．【答案】C【解析】错误!未找到引用源。
【考点】指数函数、对数函数的性质3.【答案】C【解析】A={x|y=错误!未找到引用源。
, x错误!未找到引用源。
R}错误!未找到引用源。
，B={y|y=错误!未找到引用源。
，x错误!未找到引用源。
R}错误!未找到引用源。
,A错误!未找到引用源。
B={ y|y≥0}【考点】函数的定义域、值域，集合的运算4． B【解析】错误!未找到引用源。
5． C【解析】α是第一象限角，则－α是第四象限角．所以360°－α为第四象限角，选C.6 . C7．【答案】B【解析】错误!未找到引用源。
为奇函数，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。
上单调递减，错误!未找到引用源。
既是偶函数又在错误!未找到引用源。
单调递增的函数【考点】函数的单调性、奇偶性8．【答案】C【解析】因为错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
;错误!未找到引用源。
，故函数零点所在区间为(1，2)．【考点】函数的零点9． C【解析】由sin >0,cos＜0知角θ在第四象限，∵，选C.10．【答案】D【解析】若错误!未找到引用源。
若错误!未找到引用源。
【考点】函数图象、对数运算11．解析：f(x)＝错误!未找到引用源。
(sin x＋cos x)－错误!未找到引用源。
|sin x－cos x|＝错误!未找到引用源。
即f(x)等价于min{sin x，cos x}，如图可知，f(x)max＝f 错误!未找到引用源。
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联考（一）数学试题（理科）答案解析【解析】由条件22z i =+，∴12z z ⋅=(2)(2)i i -+⋅+5=- 3.【考点】函数的奇偶性 【答案】 B【解析】sin y x =，2y x =-是偶函数.4.【考点】向量的坐标运算，向量的数量积 【答案】A【解析】22()10()6a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩1a b ∴⋅= 5.【考点】线性规划求最值【答案】D 【解析】11211)1(21+++=++++=x y x y x z ，转化为区域内的点),(y x 和点)1,1(--连线的斜率的范围问题6.【考点】几何概型，定积分 【答案】A【解析】点(,)x y 满足条件下构成的区域是一个{}10,10),(<<<<y x y x ，边长为1的正方形，面积是1；事件A 构成的区域D 的面积125)(31=-⎰dx x x ，所以P=1257.【考点】二项式定理 【答案】B【解析】展开式中不含x 的项是()nby +1，展开式中各项系数之和是()373431==+nb .因为*N b ∈,所以6=b8.【考点】三视图，简单几何体的表面积 【答案】D【解析】由三视图可以判断出其几何体是一个圆锥沿轴截面垂直于底面截出的一个半圆锥. 9.【考点】函数的图像与性质.【答案】C 【解析】试题分析：因为函数12)(++=x xa x f )1,0(≠>a a 有最小值，故1>a ．当1,1==b c 时，囧函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≠<+-≠≥-=-=)10(11)1,0(111||1x x x x x x x y ，且且．在同一坐标系中画出“囧函数”与函数||log x y a =的图象如图所示，易知它们有4个交点，故选C ．10.【考点】抛物线，三角形的面积，重要不等式【答案】B【解析】据题意得1(,0)2F ，设221212(,),(,)22y y A y B y ，则21212()84y y y y +=,解得124y y =或128y y =-.因为,A B 位于x 轴两侧,所以128y y =-,且不妨设120,0y y ><.设直线AB 的方程为x my n =+，联立22y x x my n⎧=⎨=+⎩得2220y my n --=122y y n =-.28n ∴-=-得4n =.∴直线AB 的方程为4x my =+,直线AB 过(4,0)P .两面积之和为12211()()22S OP y y OF y =⋅-+⋅-12924y y =-11182y y =+12≥.11.【考点】命题的否定 【答案】03≤≤-a【解析】:p x R ⌝∀∈，2230ax ax --≤，因为p ⌝是真命题，①当0a =时，30-≤恒成立，所以0a =合适；②当0a ≠时，24120a a a <⎧⎨∆=+≤⎩解得03<≤-a综上所述：03≤≤-a . 12.【考点】循环结构的程序框图 【答案】55【解析】第一次循环：2,1,2z x y ===；第二次循环：3,2,3z x y ===；第三次循环：5,3,5z x y ===；第四次循环：8,5,8z x y ===；第五次循环：13,8,13z x y ===第六次循环：；21,13,21z x y ===；第七次循环：34,21,34z x y ===；第八次循环55z =结束.13.【考点】和差公式 【答案】6π 【解析】由2sin sin cos 2AB C = 及6B π=得sin 1cosC A =+， 即5sin 1cos()6C C π=+-，展开整理得sin()13C π+=，因为506C π<<，所以6C π=. 14.【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【答案】[ 【解析】设圆心到直线的距离为d，MN ≥，1d ∴≤即1≤，解得33k -≤≤15.【考点】函数新定义，函数的基本性质 【答案】1(0,)4【解析】因为()log ()xc f x c t =-是增函数，则22()log ()2()log ()2ac bc a f c t a b f c t b ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩,得到22a a b bc t c c t c ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩ 所以2ac ，2b c 是方程20x x t -+=的两根，故0140t t >⎧⎨∆=->⎩得到1(0,)4t ∈.16.【考点】两角和差的正余弦公式，三角函数图象与性质【解析】（1）由题意化简可知()sin(2)f x A x ωϕ=+ …………… 1分5122,22463T A T T πωπ==-⇒=⇒== …………… 3分 将点P )2,31(代入()2sin()f x x πϕ=+得：1)3sin(=+ϕπ所以)(62Z k k ∈+=ππϕ，又因为2πϕ<所以6πϕ= ……………5分 即函数的表达式为)()6sin(2)(R x x x f ∈+=ππ ……………6分（2）由()62x k k Z ππππ+=+∈解得31+=k x ()k Z ∈ ……………8分 令5314≤+≤k ，解得：314311≤≤k ……………10分 由于,Z k ∈所以4=k ……………11分所以函数)(x f 在区间]54[，上的对称轴方程为313=x ……………12分 17.【考点】离散型随机变量的概率，分布列，期望【解析】（1）设这3名同学至少有2名收看“20:00晚会开幕”直播为事件A ，则22333331327()()()44432P A C C =⋅+=……………4分（2）X 的取值可能为0,1,2,3 ……………5分1211(0)43212P X ==⋅⋅=， …………6分 3211111213(1)4324324328P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ……………7分3113211115(2)43243242312P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ……………8分3111(3)4328P X ==⋅⋅= ………………9分X 的分布列为…………10分X 的数学期望为35119()123812812E X =⨯+⨯+⨯= ……………12分18. 【考点】直线、平面位置关系，二面角 【解析】（1）证明：连接OC ,,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ……………2分,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO ==而2,AC =222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥……………4分,BD OC O =AO ∴⊥平面BCD ……………5分（2）分别以OB ，OC ，OA 为,,x y z则(0,0,1)A ，(1,0,0)B ,C ，(1,0,0)D -，1(,22E ……………6分 设平面ABC 的一个法向量222(,,),n x y z =(1,0,1),1)AB AC =-=-2222030n AB x z n AC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩(3,1n =， ……………8分 设平面ACD 的一个法向量111(,,),m x y z =(1,0,1),(1,3,0)AD DC =--=由111100m AD x z m DC x ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ (3,1m =- ……………10分 1cos ,7m n m n m n⋅<>==……………11分所以平面ABC 与平面ACD……………12分19.【考点】等差数列，等比数列，数列通项 ，数列的前n 项和【解析】(I)因为54123451234))b b a a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅510a ==所以10532a ==， 2分 又{}n a 为等比数列，且24a =，所以3528a q a ==，得2q = 3分所以222n n n a a q-=⋅=4分123123222))n nn b ++++=⋅⋅=(1)22(1)n n n n +==+ 6分(II ）1111111()2(1)21n n n n n c a b n n n n =-=-=--++ 8分1111111122[(1)()()]1223112n n T n n +-=--+-++-+- 10分 111(1)21n n =---+ 11分1112n n =-+ 12分20．【考点】椭圆方程及简单性质，直线与椭圆位置关系 【解析】（1）椭圆C 的左焦点为(1,0)-，∴1c =，椭圆C 的右焦点为(1,0)可得4)23()11(23)11(22222=+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=a ，解得2a =， ……2分∴222413b a c =-=-= ∴椭圆C 的标准方程为22143x y += ………4分 （2）设直线:()l y k x m =-，且1122(,),(,)M x y N x y ，由22143()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22222(34)84120k x k mx k m +-+-= ………5分2221212228412,3434k m k m x xx x k k -+==++ ………………6分 12MN x ∴=-= ………………8分因为MN AB λ=所以AB //MN ,则AB ：y kx=由22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得221234x k =+设3344(,),(,)A x y B x y34AB x =-得22248(1)34k AB k +=+ …10分∴2AB MN ==当21239m -=即1m =时24AB MN =为定值， ………12分当k 不存在时，1m =时，AB =3MN =，∴24AB MN =综上所述：存在正数1m =，使2AB MN 为定值4. ………13分21、【考点】导数几何意义，单调性，新概念问题【解析】（1）当1a =时，2()ln f x x x x =--，则1()21f x x x'=--，………………1分 由此得点(1,2)-处切线的斜率(1)2k f '==-，……………………………………………2分 所以曲线()f x 在点(1,2)-处的切线方程为22(1)y x +=--，即20x y +=.…………3分（2）对()f x 求导，得2121()21(0),ax x f x ax x x x--+'=--=>……………………4分①当0a =时，1()x f x x-'=，∴ ()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减； ……5分 ②当0a <时，设221u ax x =--+， 因为18a ∆=+，则i ）当18a ≤-时，0∆≤，所以()0f x '≥，于是()f x 在(0,)+∞上单调递增；……6分 ii ）当108a -<<时，0∆>，方程2210ax x --+=的两根为121144x x a a-+-==， 易知12210,0,x x x x >>>，则122()()()(0)a x x x x f x x x ---'=>， 所以()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减；………………7分 综上所述：当0a =时，()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减； 当18a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当108a -<<时，()f x在，)+∞上单调递增，在11(44a a--上单调递减 ………………8分 （3）1()21f x ax x'=--，设00(,())A x f x ，0(0)x > 则在A 点处的切线l '方程为000()()()y f x x x f x '=-+.………9分令000()()()()()G x f x f x x x f x '=---，则0()0G x =.000012'()()()()(0)ax x G x f x f x x x x x x+''=-=--⋅>.…………………………………10分 ①当0a ≥时，00x x <<，有'()0G x >；0x x >，有'()0G x <.所以()G x 在(]00,x 上单调递增，在[)0,x +∞上单调递减，于是0()()0G x G x ≤=， 故()f x 都在切线l '的同侧，此时不存在“转点”.……………………………………11分 ②当0a <时，取0x =，即2012a x =-. 200020012()'()()0ax x x x G x x x x x x x+-=--⋅=≥, 所以()G x 在(0,)+∞上单调递增.…………………………………………………………12分 又0()0G x =，所以当0(0,)x x ∈时，()0G x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0G x >. 于是()f x 的图象在切线l '的两侧，所以0x =()f x 的一个“转点”.…13分 综上所述：当0a <时，存在0x =是函数()f x 的一个“转点”； 当0a ≥时，()y f x =不存在“转点” . …………………14分。