上海市华东师范大学二附中2018届高三(上)开学试卷(解析版)

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上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题(含解析)

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题（含解析）一.填空题1.，若集合【解析】【分析】，再求.【详解】由题得={···，-3,-2,2,3,4,5,···}【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.【解析】【分析】.【详解】∵，设所以..故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.【答案】13【解析】【分析】故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.【答案】1【解析】【分析】z的值，再求|z|的大小得解.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.）的反函数【解析】【分析】（,（,因为.因为x≥0，所以，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.【答案】2【解析】【分析】.经检验，当x=-10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.81，则常数项为________【答案】8【解析】【分析】n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4, 二项展开式的通项为令.所以常数项为故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________ 【答案】8【解析】【分析】.8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.________【答案】36【解析】【分析】.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，即令为______（结果用最简分数表示）．【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3. 【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转cosθθθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθθ，sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x 轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθθθ）到原点的距离的平方为=，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.、时，函数取得最小值；③函数3；④【答案】-17【解析】【分析】【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】，，所以S＜0再利用充要条件的定义判断得解.S＜0，所以”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.）B.【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.，则函数）图像的交点不可能（）A. B. 上 C. 多于三个 D. 在第二象限【答案】C【解析】【分析】）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解.）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.4的奇函数，时，，则方程）B. 036162C. 3053234D. 3055252 【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为【详解】结合图像对称性，可知，在（2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（2+2=4，在（上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（6+4=10，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.、均为直角，（1（2.【答案】【解析】【分析】（1）由题得AB⊥平面BCD,.(2) 以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.（1（2.【答案】【解析】【分析】（1.(2)的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2增.∴；，，明显符合，所以此时.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆（10.01米）；（2）若要求0.01平方米）.【答案】【解析】【分析】（1.(2) 连接BD,显然出.②，.（2）连接BD,显然,，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.、（，（1（2（3.【答案】【解析】【分析】（1，所以，再求出抛物线的准线方程和到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得再求出，求得，解方程得【详解】（1与准线为准线的距离（2，消去得，，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∴联立得由第（2）问结论，，，消去a得，据此，，解得【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.满足：对所有，，数列.（1的值；（2），证明：但对任意，列；（3，都存在.【答案】见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），两种情况讨论得到，即满足，且当，所以是数列，，所以不数列；再证明当以列，所以不是列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在当m为偶数，在有解，存在再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意都存在.【详解】（1，，不符；综上所述，.（2，，…，既不是，，…，只需即满足，且当，，∴不是数列；，…，只需即满足，，∴是，∴不是数列；综上，存在数列，但对任意，都不是数列.（3，……，当m为奇数，，当m为偶数，在有解，存在结合函数映射性质可知，当时，，是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2018-2019学年上海市华东师大第二附属中学高三上学期开学考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市华东师大第二附属中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.【考点】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.2．已知曲线Γ的参数方程为(3cos ln x t t ty t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中参数t R ∈，,则曲线Γ（） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．没有对称轴【答案】C【解析】设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称. 【详解】设()x f t =，()y g t = t R ∈()()()()()333cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，()x f t ∴=是奇函数，()()((ln ln g t g t t t -+=-+++((ln ln ln10t t =-+== ,()y g t ∴=也是奇函数，设点()()(),P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()(),Q f t g t --，()f t 和()g t 都是奇函数，所以点Q 的坐标是()()(),Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，∴ 函数图象关于原点对称.故选：C 【点睛】本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型. 3．．函数()y f x =是R 上的增函数，则0()()()()a b f a f b f a f b +>+>-+-是的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】又在R 上为增函数，则反之，若4．下列问题中,a b 、是不相等的正数,比较x y 、、z 的表达式,下列选项正确的是（）问题甲:一个直径a 寸的披萨和一个直径b 寸的披萨,面积和等于两个直径都是x 寸的披萨；问题乙:某人散步,第一圈的速度是a ,第二圈的速度是b ,这两圈的平均速度为y ；问题丙:将一物体放在两臂不等长的天平测量,放在左边时砝码质量为a (天平平衡),放在右边时左边砝码质量为b ,物体的实际质量为z . A ．x y = B ．x z =C ．y z =D ．x y 、、z 互不相同【答案】D【解析】首先根据条件分别列出,,x y z 与,a b 的关系，再根据基本不等式比较大小，得到答案. 【详解】问题甲：根据圆的面积公式可知2222222a b x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2222a b x +=x ∴=问题乙：设每圈的长度为s ，则2syss a b=+ ，整理为：2aby a b=+；问题丙：设天平左边的杠杆长为x ，右边的杠杆长为y ，则ax zyby zx=⎧⎨=⎩ ，可得2z ab =，即z =,a b R +∈，并且a b ¹，∴a b +>，2aba b∴<+，根据不等式可知222a b ab +>，>，2ab a b>>+ ，x z y ∴>>.故选：D【点睛】本题考查合情推理以及基本不等式比较大小，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是用,a b 分别表示,,x y z .二、填空题5．已知集合{}|lg M x y x ==，{|N x y ==，则MN =_____________.【答案】(]0,1【解析】求出集合M 、N ，然后利用交集的定义求出集合M N ⋂. 【详解】{}|lg (0,)M x y x ===+∞，{|[1,1]N x y ===-，(0,)[1,1](0,1].M N ⋂=+∞⋂-=故答案为：(]0,1. 【点睛】本题考查集合的交集运算，同时与考查了具体函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.6．若△ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是．【解析】试题分析：由正弦定理有2a c =,所以2a c +=,2222231422cos 22a b ab a b c C ab ab+-+-==,由于223142a b +≥=,故cos C ≥,所以cos C的最小值是【考点】1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin A B C +=化为2a c =，再由余弦定理推论求出cos C 的表达式，还用到用均值不等式求出223142a b +≥=，再算出结果来.7．已知函数()3sin 2cos f x x x =+,若对任意x ∈R 均有()()f x f α≥,则tan α=______.【答案】32【解析】由题意可知()f α是函数的最小值，化简函数()()f x x ϕ=+（cos ϕ=，sin ϕ=，利用()22k k Z παϕπ+=-+∈ 求tan α. 【详解】()3sin 2cos f x x x =+()x ϕ=+（cos ϕ=，sin ϕ=，由题意可知，()fα是函数的最小值，()()f ααϕ=+，当()22k k Z παϕπ+=-+∈时，函数取值最小值，22k παϕπ=--+，tan tan 2tan 22k ππαϕπϕ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 32132sin 2cos 2πϕϕπϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-===⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .故答案为：32【点睛】本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数性质的综合应用，属于中档题型，本题的关键是通过化简得到()22k k Z παϕπ+=-+∈，并且已知cos ϕ=，sin ϕ=8．设A 、B 、C 是2y x =图像上不同的三点,且OC OA OB λ=+，若A (1,-1),B (1,1),则λ的值为_______. 【答案】3【解析】首先设(),C x y ，根据条件代入坐标得11x y λλ=+⎧⎨=-+⎩，根据2y x =求λ.【详解】设(),C x y ，OC OA OB λ=+，()()(),1,11,1x y λ=-+∴11x y λλ=+⎧⎨=-+⎩，2y x = ，()211λλ∴-+=+，解得：0λ=或3λ=.当0λ=时，点,A C 重合，故舍去. 故答案为：3 【点睛】本题考查根据向量的坐标求参数，意在考查公式的理解和使用，属于基础题型. 9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm ．【解析】试题分析：根据题意，由于球的半径为1，那么可知其体积公式为244133ππ⨯=，而圆锥的体积公式等于V=SH=3πh=43π，可知其高为4，那么利用母线长和底面的半径以及高勾股定理可知圆锥的母线长，故答案为。

华二高三开学考

第份2019届高三英语讲义高三试卷年月日华二高三开学考英语试卷（考试时间120分钟；满分140分）2018.9第I卷Ⅰ. Listening (略)Ⅰ. Grammar and VocabularySection A (10%）Directions: After reading the passage below, fill in the blanks to make the passage coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper II, blank-filling (10%) form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.In most industrialized countries about 105 boys are born for every 100 girls, for a ratio of 1.05known as the secondary sex ratio（出生时性比），or SSR；the primary sex ratio（原始性比率）is the ratio at conception（受孕）.This is often expressed as the percentage of boys among all births, or about 51.2 percent. The percentage of males among all births is not fixed, however. Since the 1950s and 1960s the overall SSR ____(21)______(decline) in the U.S., Canada and several European countries. There are also both personal and environmental factors that affect the average sex ratio.______(22)______chance of having a boy appears ______(23)______(decline)with the mother's age, the fathers age and the number of children the family already has. These effects are small. One study in Denmark found that the SSR of children born to fathers younger than 25 was 51.6 percent, which decreased______(24)______51.0 percent among children of fathers at least 40 years of age. Therefore it is unlikely that the declining SSR in many countries results solely（唯独）from large-scale changes in such personal factors.With regard to（至于）environmental factors, improved prenatal（产前的）and obstetrical（产科的）care during the first part of the 20th century is largely responsible for an ______(25)______(increase) SSR over this period in many countries. The male fetus is more susceptible（易受…的影响）to loss in the womb than is the female fetus, so with more conceptions reaching term, proportionally more males are born.It is difficult to discern（认识）how much of the decrease in sex ratio since the 1950s arises from Contaminants（污染物）in the environment. What is known is that drug use, high occupational exposures and environmental accidents ______(26)______ affect SSR. For example, hopeful mothers ______(27)______(take) clomiphene citrate（Clomid）（氯芪酚胺，口服排卵药）for infertility（不孕）bore babies with an SSR of only 48.5 percent. Workers producing 1, 2-dibromo-3-chloropropane(DBCP)a chemical used to kill worms in agriculture, experienced even larger decreases in the number of male babies, Effects of DBCP on sperm quality ______(28)______(discover)incidentally when male workers found that they were unable to father children. After the exposure ended, male workers experienced some recovery of sperm quality and 36 children were born to 44 workers, Of these 36 children only 10 were boys--an SSR of just 27.8 percent.These dramatic changes resulting from extreme exposures raise the concern that chemicals in the environment at ______(29)______(low)concentrations （浓度）may also change the SSR byexposing people over longer p eriods of time. For example, there are reports that parental exposure to polychlorinated biphenyls(PCBS)and mercury（汞）, each of which is widely distributed in the environment, can affect the sex ratio. ______(30)______(confirm)such effects will take careful work on large populations, but the results may be quite important.Section BDirections:Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.It is getting harder to go anywhere without stepping on a piece of Lego-related advertisement. The Lego movie is number two at the American box office, after three weeks at number one. Model kits ______(31)______ the film are piled high in the shops. They will add to the already gigantic heap of Lego bits:86 for every person on the planet. The toymaker has enjoyed ten years of spectacular growth, almost quadrupling（四倍）its ______(32)______.This is remarkable for many reasons. Lego's home town, Billund in rural Denmark, is so small that the company had to provide it with a hotel—an elegant one, unsurprisingly. The toy business is one of the world's trickiest: perennially faddish（风靡良久）and, at the moment, convulsed（震撼）by technological innovation. Children are growing up ever faster, and abandoning the______(33)______world for（为…而放弃…）the virtual. To cap it all, （what’ more）the company almost collapsed in 2003-04, having drifted for years, ______(34)______into too many areas, producing too many products.Lego's decade of success began when it appointed Jorgen Vig Knudstorp as chief executive.Mr Knudstorp decreed(下令) that the company must go back to the______(35)______: focusing on its core products, forgetting about brand-stretching, and even selling its theme parks. He also brought in stricter management controls, for example reducing the number of different pieces that the company produced from 12,900 to 7,000.Under Mr Knudstorp Lego has struck a successful balance（取得平衡）between____(36)______ and tradition. The company has to ______(37)______new ideas to keep its sales growing: customers need a reason to expand their stock of bricks, and to buy them from Lego rather than cheaper rivals. Lego produces a stream of kits with______(38)______ designs, such as forts and spaceships, to provide children with templates（模板）. But it also insists that the pieces can be added to the child's collection of bricks, and reused to make all sorts of other things.Lego has got better at managing its relationships. The Lego Movie demonstrates how it can focus on the brick while ______(39)______ into the virtual world: Warner Bros made the film while Lego provided the models. It has also got better at tapping its legion of fans—particularly adult fans of Lego, or AFOLs—for new ideas.Lego is now at an inflection point（转折点）, building its organizational ______(40)______ and embracing globalization, to help it find new sources of growth. The aim is twofold: to replicate （复制）in the rapidly growing east Lego's success in the west; and to transform a local company that happened to go global into a global company that happens to have its head office in Billund.III. Reading ComprehensionSection ADirections: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.The introduction of non-indigenous“exotic”species is now seen as a major threat to biodiversity. In 1825，a particularly vigorous female clone of itadori (called Japanese knotweed) was introduced into Holland and later ____(41)____ throughout Europe by the plant collector and nurseryman，V on Seibold. British gardeners loved it and by 1 886 it was even found growing on cinder tips in South Wales. By the turn of the century，the plant had ____(42)____ many other sites，and gardeners were advised against planting it in shrubberies（灌木）. By 1 994，it was almost everywhere——railways，riversides，hedgerows（绿篱），cemeteries（墓地）-swamping（使陷于沼泽）a wide range of habitats and ____(43)____ rare species. Botanists‘fears that the plant is still spreading and may yet colonize other new habitats have generated （催生）recent attempts to eradicate it by mechanical （机械的）and chemical methods，all ____(44)____ as yet（至今仍）.The evidence stacked against（对抗）Japanese knotweed is damning（谴责）. But there is a deep ____(45)____ that behind the desire to correct human ecological cook-ups（虚伪）——often manifest（显示）as a passion to save endangered species and vulnerable ecosystems——is a thinly disguised （伪装的不够巧妙的）xenophobia（排外，外仇）; that we are simply seeing yet another form of ecological ____(46)____ which defines what is natural based on human preferences.But whatever our reaction to“problem‘’or alien species is，it must ____(47)____ moral decisions （道德决定）. And who should make such decisions and to what ____(48)____ they are accountable （to）（负责的）must also be up for（有待于）review. The conclusions of scientists and other sections of society may differ ____(49)____ about what to do about the introduced animals and plants that have become a common feature of everyday life.____(50)____，the scheme to control rabbits in Australia by deliberately spreading the disease myxomatosis was a success in that huge numbers of rabbits were wiped out for the greater good——the health of Australian ecosystems. But would inflicting使承担such a ____(51)____ slow agonizing（痛苦的）death on sentient creatures（有感知的生物体）win popular support if it were proposed today?Scientists of ____(52)____ are （by their very nature）concerned with the organization of species into systems and not necessarily with the interests and well-being of ____(53)____particularly those that are seen as a threat to the maintenance of those systems. Yet there is a growing feeling for the democratization of decisions（民主决策）concerning nonhuman life. The____(54)____ towards environmental values must surely （involve a movement ）away from imperialism and a search for a relationship with nature as it truly is，____(55)____ as we would design it. Then，when Our lawns have long disappeared，we may yet（依然）come to honor the humble dandelion（蒲公英）.41. A. distributed B. seen C. found D. appreciated42. A. attached B. attracted C. colonized D. settled43.A. displacing B. substituting C. destroying D. preserving44. A.in turn B.in vain C.in need D.in all45. A. delight B. astonishment C. dissatisfaction D. anxiety46. A. protection B. system C. imperialism D. invasion47. A. exclude B. involve C. object D. eliminate48. A. scope B. intention C. extent D. respect49. A. similarly B. intensively C. slightly D. vastly50. A. In fact B. In other words C. For instance D. In conclusion51. A. interestingly B. instructively C. thrillingly D. horrifically52. A. biodiversity B. naturalism C. botany D. species53. A. naturalists B. regions C. environments D. individuals54. A. demonstration B. parade C. celebration D. campaign55. A. more than B. rather than C.by contrast D. along withSection BDirections: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have read.(A)The case for college has been accepted without question for more than a generation. A school graduates ought to go, says conventional wisdom and statistical evidence, because college will help them earn more money, become "better" people, and learn to be more responsible citizens than those who don't go.But college has never been able to work its magic for everyone. And now that close to half our high school graduates are attending, those who don't fit the pattern are becoming more numerous, and more obvious. College graduates are selling shoes and driving taxis: college students interfere with each other's experiments and write false letters of recommendation in the intense competition for admission to graduate school. Other find no stimulation in their studies, and drop out—often encouraged by college administrators.Some observers say the fault is with the young people themselves —they are spoiled and they are expecting too much. But that is a condemnation(责备) of the students as a whole, and doesn't explain ail campus unhappiness. Others blame the state of the world, and they are partly right. We have been told that young people have to go to college because our economy can't absorb an army of untrained eighteen-year-olds. But disappointed graduates are learning that it can no longer absorb an army of trained twenty-two-year- olds, either.Some adventuresome educators and watchers have openly begun to suggest that college may not be the best, the proper, the only place for every young person after the completion of high school. We may have been looking at all those surveys and statistics upside down, it seems, and through the rosy glow of our own remembered college experiences. Perhaps college doesn't make people intelligent, ambitious, happy, liberal, or quick to learn things—may it is just the other way around, and intelligent, ambitious, happy, liberal, quick-learning people are merely the ones who have been attracted to college in the first place. And perhaps all those successful college graduates would have been successful whether they had gone to college or not. This is heresy to those of us who have been brought up to believe that if a little schooling is good, more has to be much better.But contrary evidence is beginning to mount up.56.According to the author, .A.people used to question the value of college education.B.people used to have full confidence in higher education.C.all high school graduates went to college.D.very few high school graduates chose to go to college.57.In the 2nd paragraph, "those who don't fit the pattern" refer to .A.high school graduates who aren't suitable for college education.B.college graduates who are selling shoes and driving taxis.C.college students who aren't any better for their higher educationD.high school graduates who failed to be admitted to college.58.According to the passage, the problems of college education partly originate in thefact that .A.society cannot provide enough jobs for properly trained graduates.B.High school graduates do not fit the pattern of college education.C.Too many students have to earn their own living.D.College administrators encourage students to drop out.59.In this passage the author argues that .A.more and more evidence shows college education may not be the best thing for high schoolgraduates.B.College education is not enough if one wants to be successful.C.College education benefits only the intelligent, ambitious, and quick-learning people.D.Intelligent people may learn quicker if they don't go to college.(B)Bugs Bunny’s Hoping Carrot HuntIn this game you are Bugs Bunny. And your goal is to reach the finish line. A carrot truck has spilled its cargo! Gather as many carrots as you can, and when you get the big carrot, you’ll be able to jump even higher!Instructions: Use the mouse to move Bugs left and right, and click to jump a gap while gathering carrots.Category: ActionMushroom MadnessYou are in charge of protecting several farms. It’s up to you to make sure the mushrooms there reach maturity before the animals in the forest get their hands on them. Use your swatter (苍蝇拍）to fight off anything that comes near them; use heavier weapons if necessary.Instructions：Slap any creature that conies near your mushrooms. Use the mouse to control the swatter. If you see a "power up", click to use it. Collect coins to buy upgrades after each level. Category: ActionRudolph’s Kick and FlySanta’s little helpers have worked all year preparing for Christmas. When Santa finally leaves to deliver his presents, the elves(精灵）head down to the snowfields with Rudolph, the reindeer, to play their favorite game: Kick and Fly!Instructions: e the mouse to aim, and click to launch an elf.2.While in the air, click again to catch, and to gain extra height.3.The goal is to collect as many Christmas ornaments (装饰物）possible, and get 10 points for each one.Tips: If you’re heading towards an obstacle(障碍),be sure to avoid it! Category: ActionClick FlickYour mission is to save chicks falling from the sky. Use your trampoline (蹦床）to bounce them up and direct them into a nest. But hurry—if you don’t, many chicks will fall and lose their lives. There will be falling bombs, worms, nuts and eggs and you can get extra points by collecting the worms and nuts. Save the amount of chicks shown to unlock the next level!Instructions: Move the chicks left and right using keys or the mouse. Category: Adventure60.Which of the following statements about the games is TRUE according to the passage?A.Bugs Bunny needs to be fast to win the game.B.All four games are in the same category.C.Players can only use the mouse to control the targets.D.The number of elves decides whether a player wins in Rudolph’ s’ Kick and Fly.61.If a player wants to become stronger to drive animals away, he should tryto .A.find a "power up" or use heavier weaponsB.collect falling bombs as quickly as possibleC.click the elf while it’s in the airD.get the big carrot while running62.In which game are there obstacles you must avoid?A. Bugs Bunny’s Hopping Carrot Hunt.B. Mushroom Madness.C. Rudolph’s Kick and Fly.D. Click Flick.(C)ILLEGAL copying and sharing of copyrighted material is hard enough to stop within a country. But when the internet takes traffic across borders it is almost unmanageable. American-owned intellectual property, say, may be uploaded in one country and downloaded in a second, via a website whose computers are in a third, operated by anonymous （匿名的）enthusiasts (or criminals) from goodness-knows-where. So whom do you sue, and in which courts? The Stop Online Piracy Act (SOPA), now before America's Congress, is the latest of many recent attempts to defend property rights on the internet.The bill aims to cut off Americans' access to foreign pirate websites by squeezing intermediaries. Rights-holders, such as Hollywood film studios, will be able to request that a credit-card firm or advertising network stop doing business with a foreign site; or ask a search engine to take down links to the site; or ask an internet-service provider to block the site's domain name, making it harder to reach. The intermediary then has just five days to comply or rebut the complaint; after that the rights-holder can go to court.This would rope intermediaries into law enforcement to an unprecedented degree, and give rights-holders exceptional power. Critics of the bill say that takedown requests and court orders will swampsmaller firms and start-ups. They say that blocking entire websites via their domain name smacks of censorship, and that determined downloaders will anyway find the block easy to bypass.Two mighty coalitions have formed around SOPA. Supporting the bill are not only film studios and music labels, but also drug firms and other manufacturers. Though SOPA itself does not affect them, they have a big interest in fighting any kind of intellectual-property infringement. On the other side are internet companies, technology investors and digital activists, who share an interest in disrupting business models and a dislike for anything that smacks of old-fashioned regulation.But the real row is about how content should be distributed and paid for. The bill's supporters want this to change as slowly as possible, so they have time to adapt. Opponents want to see more rapid changes in business models to speed up overdue innovation: cheaper pricing in poor countries, more use of on-demand digital services, less exclusivity in distribution, and ultimately, less reliance on selling albums and DVDs. Yet self-interest is at work on both sides: many of the bill's critics are trying to create just these kinds of business.63.Why is it hard to stop or manage online piracy?A.There are not enough executive organizations.B.The congress doesn't pay attention to this problem.C.It is difficult to identic the offenders.D.No court can deal with the cases.64.We can infer from paragraph 2 that the bill .A.Will prohibit advertising network from doing business with foreign sitesB.Is designed to make intermediaries unreadable by blocking their domain namesC.Will require a search engine to cut off links to an intermediaryD.Intends to fight against online intellectual property infringement65.Internet companies, technology investors and digital activists would most probably agree that.A.people should oppose illegal copying and sharing of copyrighted materialB.people should change business patterns and discard those ancient rulesC.people should pay their attention to the bill and try their best to support itD.they may ignore the bill for it's irrelevant to their interests and benefits66.Two kinds of perspectives toward the change are mentioned in order to .A.emphasize that one's own benefit affects one's attitudeB.indicate that people always have different opinionsC.provide the readers with more information about the two sidesD.show the opportunity of fighting against online piracySection C.Directions:Complete the following passage by using the sentences given below. Each sentence can only be used once. Note that there are two extra sentences than you need.As recently as 15 years ago, if you wanted to catch up on the news, you could look at a handful of publications or a few nightly programs. And if you wanted to listen to music, you could turn on MTV or fiddle with your radio. People in major cities had more opinions , because a large population can support specialty shops. 67 .Today, as we all know, access to information has exploded. One consequence, according to Toure, a cultural critic writing in Salon, is that the ability of pop culture to unify us- he refers to the massive interest in Michael Jackson’s Thriller, or Nirvana’s Never mind-has been eroded, probably forever. Steven Hyden, also writing in Salon, counters that whatever the advantages and disadvantages of a centralized pop-culture authority, the monoculture never actually existed.68 . Even when it supposedly existed, its content largely depended on other characteristics of your little corner of the world. In the 1992-1993 school year, I was a student at a multiracial and relatively urban junior high school in California’s central valley. We listened to Salt-n-Pepa, Snoop Doggy Dogg, and Kris Kross, with the latter having inspired a trend in which kids wore their clothes backwards. The next year I was enrolled in a mostly white junior high school in leafy Chiago suburb. One of the houses was famous for having appeared in the 1990 film “Home Alone”; the popular bands were Nirvana, Hole and the Smashing Pumpkins; and the biggest pop- cultural event of the school year was Kurt Cobain’s suicide.But Toure’s point is about the virtues of common cultural experience. It seems he is recalling centralized media only insofar as it’s a distribution system that fostered that outcome. 69 . It doesn’t matter whether a record is released by an important label or an indie (独立制片人); if it’s online, people can usually find, forward, share and promote it. But what’s interesting and perhaps surprising, given that both Toure and Mr Hyden seem to agree that the old distribution favored big media- is that we still have widely shared cultural experiences. Just think of Barack Obama doing the little hand gesture from Beyoncé’s “Single Ladies ” video.70 . It’s safe to say that the monoculture never really existed, and that some artists still reacha wide audience, whether we like it or not.Summary writingDirections: Read the passage. Summarize in no more than 60 words the main idea of the passage and how it is illustrated. Use your own words as far as possible.Why do so many Americans distrust what they read in their newspapers? The American Society of Newspaper Editors is trying to answer this painful question. The organization is deep into a longself-analysis known as the journalism credibility project. Sad to say, this project has turned out to be mostly low-level findings about factual errors and spelling and grammar mistakes, combined with lots of head-scratchingpuzzlement about what in the world those readers really want.But the sources of distrust go way deeper. Most journalists learn to see the world through a set of standard templates （patterns）into which they plug each day’s events. In other words, there is a conventional story line in the newsroom culture that provides a backbone and a readymade narrative structure for otherwise confusing news.There exists a social and cultural disconnect between journalists and their readers, which helps explain why the “standard templates” of the newsroom seem alien to many readers. In a recent survey, questionnaires were sent to reporters in five middle-size cities around the country, plus one large metropolitan area. Then residents in these communities were phoned at random and asked the same questions.Replies show that compared with other Americans, journalists are more likely to live in upscale neighborhoods, have maids, own Mercedes, and trade stocks, and they’re less likely to go to church, do volunteer work, or put down roots in a community.Reporters tend to be part of a broadly defined social and cultural elite, so their work tends to reflect the conventional values of this elite. The astonishing distrust of the news media isn’t rooted in inaccuracy or poor reportorial skills but in the daily clash of world views between reporters and their readers.This is an explosive situation for any industry, particularly a declining one. Here is a troubled business that keeps hiring employees whose attitudes vastly annoy the customers. Then it sponsors lots of symposiums and a credibility project dedicated to wondering why customers are annoyed and fleeing in large numbers. But it never seems to get around to noticing the cultural and class biases that so many former buyers are complaining about. If it did, it would open up its diversity program, now focused narrowly on race and gender, and look for reporters who differ broadly by outlook, values, education, and class.V. TranslationDirections: Translate the following sentences into English, using the word given in the brackets. 1.在团队合作中，不断强调个人成就是没有意义的。

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三12月月考数学试题

2018届华二高三年级 12月份月考一、填空题（前6题每小题6分，后6题每小题5分，共54分）1、计算：______112017=-+ii （i 是虚数单位） 2、双曲线1322=-y x 的渐近线的夹角为_______ 3、在62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，常数项等于______ 4、设全集R U =，已知{}21,0232<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-+=x x B x x x A ，则____=B A 5、函数xx x x f -+=||)3()(0的定义域是_______ 6、幂函数m x m m x f ---=)1()(2在),0(+∞∈x 时为减函数，则m 的值为______7、已知等比数列}{n a 满足1,232==a a ，则______)...(lim 13221=++++∞→n n n a a a a a a 8、若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z 2+=的最大值为_______9、点P 是棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的底面1111D C B A 上一点，则1PC ⋅的取值范围是________10、已知关于x 的不等式()()011291242>----x k k kx ，其中R k ∈，对于不等式的解集A ，记Z A B =（其中Z 为整数集），若集合B 是有限集，则使得集合B 中元素个数最少时的实数k 的取值范围是________11、设三角形ABC 的内角C B A ,,所对的边长分别是c b a ,,，且3π=B ，若ABC ∆不是钝角三角形，则ca 2的取值范围是______12、数列{}12-n 的前n 项12,...,7,3,1-n 组成集合{}12,7,3,1-=n n A )(*N n ∈，从集合n A 中任取),...,3,2,1(n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记n n T T T S +++=...21，例如当1=n 时，1,1},1{111===S T A ；当2=n 时，73131,31,31},3,1{2212=⨯++=⨯=+==S T T A ，试写出____=n S二、选择题（每小题5分，共20分）13、如果0<<b a ，那么下列不等式成立的是（）A. ab a <2B. 2b ab -<-C. b a 11<D. ba ab > 14、已知函数R x x f y ∈=),(是奇函数，其部分图像如图所示，则在)0,1(-上与函数)(x f的单调性相同的是（） A. xx y 1+= B. ||log 2x y = C. ⎩⎨⎧<≥=-00x e x e y x xD. )2cos(x y = 15、将一圆的八个等分点分成相同的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星，如图所示；设正八角星的中心为O ，并且21,e e ==，若将点O 到正八角星16个顶点的向量，都写成为R e e ∈+μλμλ,,21的形式，则μλ+的最大值为（） A. 2 B. 2 C. 21+ D. 2216、直线011:=-+y aax l 与y x ,轴的交点分别为B A ,，直线l 与圆1:22=+y x O 的交点为D C ,；给出下面三个结论：（1）任意21,1=≥∆OAB S a ；（2）存在||||,1CD AB a <≥；（3）存在21,1<≥∆COD S a ；则所有正确结论的序号是（）A. （1）（2）B. （2）（3）C. （1）（3）D. （1）（2）（3）三、解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17、（本题共14分）已知函数())2||,0,0(sin )(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示：（1）写出函数)(x f 的解析式及0x 的值；（2）求函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上的最大值与最小值；18、（本题共14分）如图，在AOB Rt ∆中，6π=∠OAB ，斜边D AB ,4=是AB 的中点，现将AOB Rt ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2π=∠BOC ；（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（结果用反三正切函数值表示）19、（本题共14分）已知命题:p 函数)1(31)(x x f -=且2|)(|<a f ；命题:Q 集合{}{}0|,,01)2(2>=∈=+++=x x B R x x a x x A 且∅=B A ；（1）若命题Q P ,中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围；（2）设Q P ,皆为真命题时，a 的取值范围为集合S ，已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈+==0,,x R x x n x y y T ，若S T C R ⊆，求m 的取值范围；20、（本题共16分）定义{}n x x x ,...,,max 21表示n x x x ,...,,21中的最大值；已知数列pc m b n a n n n 1500,2000,1000===，其中*,,,,,200N k p m n kn p m n ∈=++；记{}n n n n c b ad ,,max =；（1）求{}n n b a ,max ；（2）当2=k 时，求n d 的最小值；（3）任意*N k ∈时，求 n d 的最小值；21、（本题共18分）已知点P 到圆1)2(22=++y x 的切线长与到y 轴的距离之比为t )1,0(≠>t t ；（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）当3=t 时，将轨迹C 的图形沿着x 轴向左移动1个单位，得到曲线G ，过曲线G 上一点Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P 和2P ，求21QP QP ⋅的值；（3）设曲线C 的两焦点为21,F F ，求t 的取值范围使得曲线C 上不存在点Q ，使)0(21πθθ<<=∠QF F ；。

2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题(解析版)

2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解.【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A．只有B．在直线上C．多于三个D．在第二象限【答案】C【解析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解.【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.4．已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A．B．036162 C．3053234 D．3055252【答案】D【解析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.二、解答题5．如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.6．设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.7．如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9．设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列. （3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、填空题10．设全集，若集合，，则______【答案】【解析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．计算：______【答案】【解析】设，求出，即得解. 【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知向量，，则________【答案】13【解析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.13．如果复数满足，那么________【答案】1【解析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解.【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.14．（）的反函数________【答案】（）【解析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.15．方程的解为________【答案】2【解析】由题得，即，解方程再检验即得解. 【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16．在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解. 【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.17．已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距. 【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.18．已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】由题得，，再求其轴截面的面积. 【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20．已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

上海市华东师范大学二附中高三数学上学期暑假测试试题(含解析)

上海市华东师范大学二附中高三数学上学期暑假测试试题（含解析）一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）i 是虚数单位，3(1)1i i i +=- ．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）5(x-的展开式中，2x 的系数是．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“a b >”是“22a b >”的条件4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为． 6．（3分）已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是． 7．（3分）已知数列{}n a 中，11111,(*)3n n n a a a n N ++=-=∈，则lim n n a →∞= ．8．（3分）已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于． 9．（3分）（2008•天津）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[x a ∈，2]a ，都有[y a ∈，2]a 满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为．10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有．11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A ⋯的中心，1(1,0)A 任取不同的两点i A ，j A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是．12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数；③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为奇函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是奇函数；④若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ，则()f x 、()g x 、()h x 均是值域为R 的函数，其中所有正确的命题是．二.选择题13．（3分）（2008•天津）设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是( )A ．a α⊥，//b β，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥14．（3分）（2008•天津）设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 15．（3分）（2008•天津）设函数()1)1f x x x=<-的反函数为1()f x -，则( )A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1D ．1()f x -在其定义域上是增函数且最小值为016．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个( )（1）1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件．（2）若{}n a 是等比数列，212k k k b a a -=+，*k N ∈，则{}k b 也是等比数列．（3）若a ，b ，c 依次成等差数列，则a b +，a c +，b c +也依次成等差数列．（4）数列{}n a 所有项均为正数，则数列，*)n N ∈构成等比数列的充要条件是{}n a 构成等比数列． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个三.解答题17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =，AC 与BD 交于O 点．（1）求证：FO ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A FC B --的余弦值．18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即)OB 为2m ，在圆环上设置三个等分点1A ，2A ，3A ．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、)B ，同时点C 与点1A ，2A ，3A ，B 均用细绳相连接，且细绳1CA ，2CA ，3CA 的长度相等．设细绳的总长为ym ．（1）设1()CAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．19．（2019•北京）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2008•浦东新区一模）由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数()y f x =的反函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”．（1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求{}n b 的通项公式；（2）对（1）中{}n b1log (12)2a a ⋯+>-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()()()()111132122n n c n λλλ+---=⋅+⋅-为正整数，若数列}{n c 的反数列为{}n d ，{}n 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t ，求数列{}n t 前n 项和n S ．21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数()f x 定义在区间A 上时存在反函数，那么就称区间A 为函数()f x 的“单射区间”，如果不存在单射区间B ，使得A B ⊂，那么就称A 为函数()f x 的“极大单射区间”，例如[1，2]是函数2()f x x =的“单射区间”， [0，)+∞是函数2()f x x =的“极大单射区间”．（1）求()sin g x x =的所有极大单射区间(k k A A 表示包含k π的区间，)k Z ∈；（2）求()sin g x x =的所有极大单射区间k A 上的反函数1()k g x -，用arcsin x 表示；（3）判断1((2019))kg g -，1((2019))k g g -是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）i 是虚数单位，3(1)1i i i +=- 1- ．【解答】解：3(1)(1)(1)(1)211(1)(1)(1)2i i i i i i i i i i +-+----====----+--．故答案为：1-．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）5(x-的展开式中，2x 的系数是 40【解答】解：根据题意，5(x的展开式的通项为515((2)rrr rr T C x-+=⨯⨯=-10325r r C x-，令10322r-=，解可得2r =，则有21(2)r T +=-222540C x x =，即2x 的系数是40，故答案为：40．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件【解答】解：当0a =，1b =-时，满足a b >，但22a b <；当2a =-，1b =-时，满足22a b >，但a b <，所以a b >是22a b >的充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要．4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76 （米)．【解答】解：6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是：1.75 1.771.762+=（米)．故答案为：1.76．5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 24 ．【解答】解：设球的半径为R ，由343R π=得R = 所以2a =，表面积为2624a =．故答案为：246．（3分）（2010秋•承德期末）已知函数1()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是 (1] ．【解答】解：由题意22,1(1)(1)2,1x x x x f x x x x ⎧-<-+++=⎨+-⎩当0x <时，有21x -恒成立，故得0x <当0x 时，221x x +，解得121x -，故得021x -综上得不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(1]-∞-故答案为(-∞1]．7．（3分）（2008•天津）已知数列{}n a 中，11111,(*)3n n n a a a n N ++=-=∈，则lim nn a →∞= 76 ．【解答】解：因为11221112111()()()1333n n n n n n n a a a a a a a a ----=-++++-+=++⋯++ 所以n a 是一个等比数列的前n 项和，所以11n n q a q -=-，且13q =．代入，所以2173lim 11613n n a →∞=+=-．所以答案为768．（3分）（2016•上海）已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．【解答】解：可设ABC ∆的三边分别为3a =，5b =，7c =，由余弦定理可得，222925491cos 22352a b c C ab +-+-===-⨯⨯，可得sin C ==可得该三角形的外接圆半径为2sin cC==．9．（3分）（2008•天津）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[x a ∈，2]a ，都有[y a ∈，2]a 满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 {2} ．【解答】解：log log a a x y c +=，log a xy c ∴=c xy a ∴=得c a y x =，单调递减，所以当[x a ∈，2]a 时，11[,]2c c a y a --∈所以1122c c a a a a --⎧⎪⎨⎪⎩⇒223a c log c +⎧⎨⎩，因为有且只有一个常数c 符合题意，所以2log 23a +=，解得2a =，所以a 的取值的集合为{2}．故答案为：{2}10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 1248【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有12224C A =种排法， ②，然后确定其余4个数字，其排法总数为46360A =，其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有2412A =种排法，所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法；则有43121248⨯=种不同的排法，故答案为：1248．11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A ⋯的中心，1(1,0)A 任取不同的两点i A ，j A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是528．【解答】解：从正八边形128A A A ⋯的八个顶点中任取两个，基本事件总数为2828C =．满足0i j OP OA OA ++=，且点P 落在第一象限，对应的i A ，j A ，为：4(A ，7)A ，5(A ，8)A ，5(A ，6)A ，6(A ，7)A ，5(A ，7)A 共5种取法．∴点P 落在第一象限的概率是528P =，故答案为：528． 12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数；③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为奇函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是奇函数；④若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ，则()f x 、()g x 、()h x 均是值域为R 的函数，其中所有正确的命题是 ②③ 【解答】解：①，可举反例：2,1()3,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩．23,0()3,012,1x x g x x x x x +⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，,0()2,0x x h x x x -⎧=⎨>⎩．均不是增函数，但43,0()()3,0x x f x g x x x +⎧+=⎨+>⎩、,0()()4,013,1x x f x h x x x x x ⎧⎪+=<<⎨⎪+⎩、3,1()()4,1x x g x h x x x +<⎧+=⎨⎩均为增函数，故①错误；②()()()()f x g x f x T g x T +=+++，()()()()f x h x f x T h x T +=+++，()()()()h x g x h x T g x T +=+++，前两式作差可得：()()()()g x h x g x T h x T -=+-+，结合第三式可得：()()g x g x T =+，()()h x h x T =+，同理可得：()()f x f x T =+，因此②正确．③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是奇函数， ()()()()[()f x g x f x h x g x +++-、()]2()h x f x =是奇函数，即()f x 是奇函数，同理()g x 、()h x 均是奇函数，故③正确；④，由①可得()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ，但()f x 、()g x 、()h x 值域均不为R 的函数，故④错误．故答案为：②③．二.选择题13．（3分）（2008•天津）设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是( )A ．a α⊥，//b β，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥【解答】解：A 、B 、D 的反例如图．故选：C ．14．（3分）（2008•天津）设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【解答】解：22()cos ()sin ()44f x x x ππ=+-+1cos(2)1cos(2)2222x x ππ++-+=-sin 2x =-所以T π=，且为奇函数．故选：A ．15．（3分）（2008•天津）设函数()1)f x x =<的反函数为1()f x -，则( )A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1D ．1()f x -在其定义域上是增函数且最小值为0【解答】解：1y =为减函数，由复合函数单调性知()f x 为增函数，1()f x -∴单调递增，排除B 、C ；又1()f x -的值域为()f x 的定义域，1()f x -∴最小值为0 故选：D ．16．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个( )（1）1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件．（2）若{}n a 是等比数列，212k k k b a a -=+，*k N ∈，则{}k b 也是等比数列．（3）若a ，b ，c 依次成等差数列，则a b +，a c +，b c +也依次成等差数列．（4）数列{}n a 所有项均为正数，则数列，*)n N ∈构成等比数列的充要条件是{}n a 构成等比数列． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列，则1423a a a a +=+，但11a =，22a =，34a =，45a =时，1423a a a a +=+，但1a ，2a ，3a ，4a 依次不构成等差数列，故1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件，即（1）正确；若{}n a 是等比数列，公比为1-，则若21{}k a -和2{}k a 是也是等比数列，公比均为1，但对应项相反.则2120k k k b a a -=+=，可得{}k b 不是等比数列，即（2）不正确.若a ，b ，c 依次成等差数列，2b a c =+，则22()()()b a c a c a b b c ++=+=+++，即a b +，a c +，b c +也依次成等差数列．故（3）正确.（4）若{}n a 为等比数列，则数列{}n b 显然也是等比数列，但若{}n a 是所有奇数项均相等，所有偶数项也均相等的摆动数列，则{}n b 显然也是等比数列，故数列，*)n N ∈构成等比数列的充分为必要条件是{}n a 构成等比数列．故（4）正确. 三.解答题17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =，AC 与BD 交于O 点．（1）求证：FO ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A FC B --的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结DF ，OF ，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，FD FB ∴=，FA FC =，AC 与BD 交于O 点，O ∴是AC 中点，且O 是BD 中点， FO AC ∴⊥，FO BD ⊥， ACBD O =，FO ∴⊥平面ABCD ．（2）解：以O 为的点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB =，则平面AFC 的法向量(0n =，1，0)，(0F ，03)，(0B ，1，0)，(3C -，0，0)，(0FB =，1，3)-，(3FC =-，0，3)-，设平面FBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则30330m FB y z m FC x z ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩，取1x =，得(1m =，3-，1)-，设二面角A FC B --的平面角为θ，则||315cos ||||5m n m n θ===．∴二面角A FC B --的余弦值为15．18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即)OB 为2m ，在圆环上设置三个等分点1A ，2A ，3A ．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、)B ，同时点C 与点1A ，2A ，3A ，B 均用细绳相连接，且细绳1CA ，2CA ，3CA 的长度相等．设细绳的总长为ym ．（1）设1()CAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．【解答】解：（1）在1Rt COA ∆中，12cos CA θ=，2tan CO θ=，⋯（2分）122(3sin )3322tan 2(0)cos cos 4y CA CB θπθθθθ-=+=+-=+<<⋯（7分）（2）222cos (3sin )(sin )3sin 1/22cos cos y θθθθθθ-----==，令0y '=，则1sin 3θ=⋯（12分）当1sin 3θ>时，0y '>；1sin 3θ<时，0y '<，sin y θ=在[0,]4π上是增函数∴当角θ满足1sin 3θ=时，y 最小，最小为422+；此时22BC m =- ⋯（16分）19．（2019•北京）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解答】解：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =，可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；（Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，可得124x x k +=-，124x x =-，直线OM 的方程为11y y x x =，即14xy x =-，直线ON 的方程为22y y x x =，即24xy x =-，可得14(A x ，1)-，24(B x ，1)-，可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x -+==-，即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，半径为212||1441616||222AB k x x +=-==，可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+，化为224(1)4x kx y -++=，由0x =，可得1y =或3-．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．20．（2008•浦东新区一模）由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数()y f x =的反函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”．（1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求{}n b 的通项公式；（2）对（1）中{}n b1log (12)2a a ⋯+>-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()()()()111132122n n c n λλλ+---=⋅+⋅-为正整数，若数列}{n c 的反数列为{}n d ，{}n 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t ，求数列{}n t 前n 项和n S ．【解答】解：（1）()0)n f x x a n =⇒=为正整数），21()(0)4x f x x -=所以数列{}n a 的反数列为{}n b 的通项2(4n n b n =为正整数）（2分）（2）对于（1）中{}n b ，不等式化为2221log (12)..1222a a n n n ++⋯+>-++（3分） 222122n T n n n=++⋯+++，1222220212(1)12122n n T T n n n n n +-=+-=->+++++， ∴数列{}n T 单调递增，（5分）所以，要是不等式恒成立，只要11log (12)2a a >-．（6分）120a ->，∴102a <<，又212,01a a a -><< 所以，使不等式对于任意正整数n 恒成立的a的取值范围是1)..（8分）（3）设公共项k p n t c d ==，k 、p 、q 为正整数，当λ为奇数时，121,(1)2n n c n d n =-=+（9分）121(1),432p p q p -=+=-，则（表示{}n 是{}n b 的子数列），21n t n =-所以{}n t 的前n 项和2..n S n =（11分）当λ为偶数时，3n n=，3log n d n =（12分）33log q q =，则33pq =，同样有，3n n t =所以{}n t 的前n 项和3(31)2n n S =-（14分）21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数()f x 定义在区间A 上时存在反函数，那么就称区间A 为函数()f x 的“单射区间”，如果不存在单射区间B ，使得A B ⊂，那么就称A 为函数()f x 的“极大单射区间”，例如[1，2]是函数2()f x x =的“单射区间”， [0，)+∞是函数2()f x x =的“极大单射区间”．（1）求()sin g x x =的所有极大单射区间(k k A A 表示包含k π的区间，)k Z ∈；（2）求()sin g x x =的所有极大单射区间k A 上的反函数1()k g x -，用arcsin x 表示；（3）判断1((2019))kg g -，1((2019))k g g -是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．【解答】解：（1）[,]22k A k k ππππ=-+，k Z ∈；（2）1()(1)arcsin k kg x x k π-=-+，k Z ∈；（3）1((2019))(1)(6432019)k kg g k ππ-=--+，1((2019))k g g -没意义，因为2019[1∉-，1]．。

上海市华东师范大学第二附属中学实验班用2018届高三数学习题详解第一章集合与命题含解析

第一章集合与命题 1.1 集合及其表示法基础练习1．用描述法表示下列集合：（1）{}14916253649，，，，，，．（2）12340251017⎧⎫⋯±±±±⎨⎬⎩⎭，，，，，．解：（1）{}217y y x x x =∈*N ，，≤≤．（2）()2111n x x n n ⎧⎫-⎪⎪=±∈⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭*N ，． 2．用列举法表示下列集合：（1）{x x 是20的正约数}．（2）{}2340x x x x --<∈Z ，．解：（1）{}12451020，，，，，．（2）解不等式得：{}140123x -<<⇒，，，．3．设三元素的集合0b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，也可表示为{}21a a b +-，，，求20102011a b +的值．解：由已知有()()11a b =-，，，故有201020110a b +=． 4．已知全集65M aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z 且，求集合M ．解：由已知5a -=1，2，3，6，则1a =-，2，3，4，故{}1234M =-，，，． 5．给定三元集合{}21x x x -，，，求实数x 的取值范围．解：由集合元素的互异性知0x ≠，1，2x 的取值范围是()()515151001122⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，6．若集合{}2210A x ax x a x =++=∈∈R R ，，中只有一个元素，求a ．解：当0a =时，方程只有一个根12-，则以0a =符合题意．当0a ≠时，则关于x 的方程2210ax x ++=是一元二次方程，由于集合A 中只有一个元素，则一元二次方程2210ax x ++=有两个相等的实数根，所以440a ∆=-=，解得1a =．综上所得，0a =，1．7．若集合{}1A x xy xy =-，，，其中x ∈Z ，y ∈Z 且0y ≠，若0A ∈．求A 中元素之和．解：由已知及集合元素的互异性知0x y ≠，，则10xy -=．由于 x ∈Z ，y ∈Z ，则 ()()11x y =，，（舍）或()11--，，则 A 中元素之和为0．8．设集合{}0123S a a a a =，，，，在S 上定义运算为：i j k a a a ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，0i j =，，1，2，3，则求满足关系式()20x x a a ⊕⊕=的()x x S ∈的个数．解：由于 ()20x x a a ⊕⊕=则 ()()()2m o d 41m o d 4x x x ⊕≡±⇒≡±．只有1a ，3a 符合所给关系式，则x 的个数为2．9．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）1S ∉；2）若a S ∈，则11S a∈-．如果S ≠∅，S 中至少含有多少个元素？说明理由．解：若S 中只有1个元素则11a a =- （无解），若S 中只有2个元素则S 1a a a-= （无解），而1212S ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，符合条件，则S 中至少含有3个元素．10．若实数a 为常数，且1a A ⎧⎫⎪⎪∈==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则a =__________．解：0a =时符合条件，0a ≠时10x a =，，则11a a a==±，．故01a =±，．能力提高 11．平面点集(){}222263M x y xx y x x x y =-+--∈Z ，，且，≤≤，求M 中元素的个数．解：首先22226313x x x x x -+--⇒≤≤≤，进而得()()()()()()()(){}1112222324253536M =，，，，，，，，，，，，，，，，则M 中元素的个数为8．12．定义集合A ，B 的一种运算：{}1212A B x x x x x A x B *==+∈∈，，，若{}123A =，，，{}12B =，，则A B *中的所有元素之和为__________．解：{}2345A B *=，，，，则A B *中的所有元素之和为14．13．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11aA a+∈-．（1）若3a =-，求出A 中其他所有元素．（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的所有元素．（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？解：（1）A 中元素为3-，12-，13，2．（2）0不是A 的元素．若0A ∈，则10110A +=∈-，而当1A ∈时，11aa+-不存在，故0不是A 的元素．取3a =，可得113232A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，，，．（3）猜想：①A 中没有元素1-，0，1；②A 中有4个元素，且每两个互为负倒数．由上题知：0，1A ∉．若1A -∈，则111aa+=--无解．故1A -∉．设1a A ∈，则3121123412131111111111a a a a a A a A a A a A a a a a a +++-∈⇒=∈⇒==-∈⇒==∈---+ 451411a a a A a +⇒==∈-，又由集合元素的互异性知，A 中最多只有4个元素1234,a a a a ，，，且131a a =-，241a a =-．显然13a a ≠，24a a ≠．若12a a =，则11111a a a +=-，得：211a =-无实数解．同理，14a a ≠．故A 中有4个元素． 14．非空集合M N ⊆，且同时满足条件“若a M ∈，则30M a∈．（1）写出所有含有2个元素的集合M ．（2）只有3个元素的集合M 是否存在？若存在，写出集合M ，若不存在，请说明理由，并适当改变题目的条件，使满足题意的集合M 可以只有3个元素．（3）用()s M 表示集合M 中所有元素之和，求()s M 的最大值．（4）从以上的工作中你可以得到哪些一般性的结论（规律）？解：（1）{1，30}，{2，15}，{3，10}，{5，6}．（2）不存在．若M 中有3个元素，则有30a a=成立，这显然是不符题意的．如将30改成36（合理情形均可），此时M 的一种情形为{1，6，36}符合条件．（3）M = {1，2，3，5，10，15，30}时，()s M 最大，此时()72s M =．（4）如：正整数n 为完全平方数的充分必要条件是n 的所有正因子个数为奇数．15．集合{}123221A n n ⋯=+，，，，，的子集B 满足：对任意的x ，y B ∈，x y B +∉，求集合B 中元素个数的最大值．解：设{}12kB b b b ⋯=，，，12k b b b ⋯<<<．B A ⊆，则1k b b -，2k b b -，…，1k k b b --都不在B 中，设{}121k k k k M b b b b b b -⋯=---，，，且M B =∅．所以121k k n +-+≤，得1k n +≤．构造{}13521B n ⋯=+，，，，．1．2集合之间的关系基础练习1．已知集合{}2P a aq aq =，，，{}2Q a a d a d =++，，，其中0a ≠，且a ∈R ，若P Q =，则实数q =__________．解：若aq a d =+，22aq a d =+，则1q = （舍）．若2aq a d =+，2aq a d =+，则1q = （舍）或12-，故12q =-．2．已知集合{}2320M x x x =-+=，{}10N x ax =+=，若N M ⊆，则由满足条件的实数a 组成的集合P =__________．解：M = {1，2}，此时0a =，1-，12-，故1012P ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，，．3．已知{}2A x x =<，{}B x x a =≤且A B ⊆，则常数a 的取值范围是__________．解：2a ≥．4．若非空集合S 满足S ⊆{1，2，3，4，5}，且若a S ∈，则6a S -∈，那么符合要求的集合S 有__________个．解：{1，5}，{3}，{2，4}都是符合要求，然后自由组合一下，所以答案为7．5．集合{}260P x x x =+-=，{}10M x mx =-=，且M P ⊆，则满足条件的m 值构成的集合为__________．解：{}32P =-，，此时11023m =-，，，故满足条件的m 值构成的集合为11023⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，．6．已知集合{},A x xy x y =+，，{}0B x y =，，，且A B =，则x =__________，y =__________．解：由于x ，0y ≠，则()()011x y x y +=⇒=-，，． 7．集合{}A x y x y xy =-+，，，{}22220B x y x y =+-，，，且A B =，则x y +=__________．解：利用集合B 中的元素0的特殊性来分类讨论，()x y =，（0，1），（0，1-），故1x y +=，1-．能力提高8．已知集合{}0A x x =<，2121m x B z z x mx ⎧⎫-⎪⎪==>⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，，B ≠∅，且B A ⊆，则实数m 的取值范围是__________．解：原题即求实数m 的取值范围，使得()21021m x x mx -<>+恒成立．若210m x ->，()102mx x +<>恒成立，m ≤．若210m x -<，()102mx x +>>恒成立，0m =．故{}0m ⎛∈-∞ ⎝⎦，．9．集合{}1284M u u m n l m l n ==++∈Z ，，，，集合{}201612N u u p q r p q r==++∈Z ，，，，求集合M与N 的关系．解：{}4M N u u k k ===∈Z ，．10．设集合M ={1，2，3，…，2010}，集合A 满足：A M ⊆，且当x A ∈时，15x A ∉，则A 中元素最多有多少个．解：一方面M ={1，2，3，4，5，6，7，8，135，136，137，…，2009，2010}符合要求，此时M 中元素有1884个．另一方面，对于{9，135}，{10，150}，…，{134，2 010}这126个集合每个集合中的2个元素至多只有一个属于M ，故M 中元素个数最多有1884个．11．设集合M ={1，2，3，4，5，6}，1S ，2S ，…，k S 都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}{}()123j j j S a b i j i j k ⋯=≠∈，，、，，，，，都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（{}min x y ，表示两个数x ，y 中的较小者），求k 的最大值．解：对每一个{}{}()123i i i S a b i k ⋯=∈，，，，，min i i i i a b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，的取值只有11种，故k 的最大值为11．12．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若()f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，(){}B x f f x x ==⎡⎤⎣⎦（1）求证：A B ⊆．（2）若()()21f x a a x =-∈∈R R ，，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围．解：（1）若A =∅，则A B ⊆显然成立．若A ≠∅，设t A ∈，则()f t t =，()()()f f t f t t ==，即t B ∈，从而A B ⊆．（2）A 中元素是方程()f x x =即21a x -=的实根．由A ≠∅，知0a =或0140a a ≠⎧⎨∆=+⎩≥即14a -≥．B 中元素是方程()2211a ax x --=即3422210a x a x x a --+-=的实根．由A B ⊆，知上方程左边含有一个因式21ax x --，即方程可化为()()222110axx a x ax a --+-+=．因此，要A B =，即要方程2210a x ax a +-+=①，要么没有实根，要么实根是方程210ax x --=②的根．若①没有实根，则()222410a a a ∆=--<，由此解得34a <；若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有22a x ax a =+，代入①有210ax +=．由此解得12x a =-，再代人②得111042a a +-=，由此解得34a =．故a 的取值范围是1344⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．1．3集合之间的运算基础练习1．分别用集合符号表示图1-5的阴影部分：(2)(1)图 1-5解：（1）()U A B AB ð．（2）()U UCABA B C 痧．2．设集合(){}37A x y x y =-=，，集合(){}23B x y x y =+=，，求A B ．解：联立3723x y x y -=⎧⎨+=⎩，可得：{}21A B =-，．3．集合{}21A x y x x ==+∈R ，，{}29B y y x x ==-+∈R ，，则A B =__________．解：A =R ，(]9B =-∞，，则(]9AB =-∞，．4．设(){}221210B x a x x =--+=，111123C ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，，，，若B C Ü，求实数a 的所有值．解：12a =时，不符合题意．12a ≠时，有B =∅或113B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，进而得1a ≥或1a =-．5．设全集U =R ，集合{}2120A x x ax =+-=，{}22280B x x bx b =++-=，若{}2U A B =ð，求a b 、的值．解：由已知2x =是2120x ax +-=的一个根，得4a =，进而有{}62A =-，，故6x =-是22280x bx b ++-=的一个根，2b =或4（舍），故4a =，2b =．6．已知(){}A x y y a x ==，，(){}B x y y x a ==+，，C A B =，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围．解：数形结合可知[]11a ∈-，．7．I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A I ⊆，B I ⊆，{}2AB =，()(){}19U UA B =，痧，(){}468U A B =，，ð，则()UA B =ð__________．解：A ={2，3，4，5，7}，B ={2，3，4，5，6，7，8}，{3，5，7}． 8．已知集合{}21030A x x x =+-≥，{}121B x m x m =+-≤≤，当A B =∅时，实数m 的取值范围是__________．解：当B =∅时，2m <，当B ≠∅时，4m >，故()()24m ∈-∞+∞，，．9．集合{}213M m m =+-，，，{}23211N m m m =--+，，，若{}3MN =-，则m =__________．解：由已知及集合元素的互异性有33m -=-（舍）或213m -=-或213m +=-（舍），故1m =-． 10．集合{}53A a a x x ==+∈*N ，，{}72B b b y y ==+∈*N ，，则A B 中的最小元素是__________．解：枚举可得：23．能力提高11．设全集(){}U x y y =∈R ，，，集合()312y A x y x x ⎧-⎫==∈⎨⎬-⎩⎭R ，，，（1）若(){}1B x y y x x y ==+∈R ，，，，求()U A B ð．（2）若(){}1B x y y x x y =≠+∈R ，，，，求()U AB ð．解：（1）{（2，3）}．（2）{（2，3）}．12．某公司有120人，其中乘轨道交通上班的84人，乘公共汽车上班的32人，两种都乘的18人，求：（1）只乘轨道交通上班的人数．（2）不乘轨道交通上班的人数．（3）乘坐交通工具的人数．（4）不乘交通工具而步行的人数．（5）只乘一种交通工具的人数．解：画韦恩图和容斥原理可得：（1）66．（2）36．（3）98．（4）22．（5）80． 13．已知(){}A x y x ny an b n ===+∈Z ，，，，(){}2315B x y x m y mm ===+∈Z ，，，，(){}22144C x y xy =+，≤，问是否存在实数a b ，，使得A B ≠∅，()a b C ∈，同时成立？解：由于(){}A x y y ax b x ==+∈Z ，，，(){}2315B x y y xx ==+∈Z ，，，由于AB ≠∅，则2315y ax by x =+⎧⎨=+⎩（x ∈Z ）有解，即()23150x ax b -+-=有整数解，由 ()221215018012a b a b ∆=--⇒-≥≥ ① 而 22144a b +≤ ② 由①②得()222214418012606a b b b b b +-+⇒-⇒=≥≥≤，代入①、②得22108108a a ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤2108a ⇒=，由于a =±则23690x x ±+=⇒=±Z ，故这样的实数a ，b 不存在．14．设集合{}2320A x x x =-+=，()(){}222150B x x a x a =+++-=，（1）若{}2A B =，求实数a 的值．（2）若AB A =，求实数a 的取值范围．（3）若U R =，U A B A =ð，求实数a 的取值范围．解：（1）由于A ={1，2}，{}2AB =，则2B ∈，代入B 中的方程，得24301a a a ++=⇒=-或3a =-．当1a =-时，{}{}24012B x x =-==-，，满足条件；当3a =-时，{}{}24402B x x x =-+==，满足条件；综上，a 的值为1-或3-．（2）对于集合B ，()()()241245426a h a a ∆=+--=+．由于A B A =，则B A ⊆，①当0∆<，即3a <-时，B =∅满足条件； ②当0∆=，即3a =-时，{}2B =，满足条件； ③当0∆>，即3a >-时，{}12B A ==，．由韦达定理()21221125a a ⎧+=-+⎪⎨⨯=-⎪⎩2527a a ⎧=-⎪⇒⎨⎪=⎩，矛盾；综上，a 的取值范围是3a -≤．（3）U A B A =ð，则U A B ⊆ð，则AB =∅；①若B =∅，则03a ∆<⇒<-适合；②若B ≠∅，则3a -≥，此时1B ∉且2B ∉；将2代入B 的方程得1a =-或3=-，将1代入B 的方程得22201a a a +-=⇒=-1a ≠-且3a ≠-且1a ≠-综上，a 的取值范围是3a <-或31a -<<-或11a -<-或11a -<<-+或1a >-15．设集合(){}210A x y yx =--=，，(){}242250B x y xx y =+-+=，，(){}C x y y kx b ==+，，问：是否存在k ，b ∈N ，使得()A B C =∅，并证明你的结论．解：要使()()()AB C A C BC ==∅，必须A C =∅且BC =∅，由21y x y kx b⎧=+⎨=+⎩()2222110k x kb x b ⇒+-+-=，当0k =时，方程有解21x b =-，不合题意：当0k ≠时由()()222121410kb k b ∆=---<得2414k b k+> ①又由242250x x y y kx b⎧+-+=⎨=+⎩()2421520x k x b ⇒+-+-=，由()()224116520k b ∆=---<得()22018k b --< ②由①、②得114b k k >+>，而208b <，由于b 为自然数，则2b =，代入①、②得1k =．16．集合A 和B 各含有12个元素，A B 含有4个元素．试求同时满足下列条件的集合C 的个数：（1）C A B ⊆且C 中含有3个元素．（2）C A ≠∅．解：33208201918876C C 1084321321⨯⨯⨯⨯-=-=⨯⨯⨯⨯．17．判断以下命题是否正确：设A ，B 是平面上两个点集，(){}222r x y xy r =+，ð≤，若对任何0r ≥，都有rrA B ⊆痧，则必有A B ⊆，证明你的结论．解：命题不正确．如取(){}00A =，，(){}11B =，．1．4 容斥原理与抽屉原理基础练习1．对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？解：由容斥原理可得有22人只喜欢听音乐．2．正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同．证明：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据抽屉原则（2），至少有三个面涂上相同的颜色．3．从自然数1，2，3，…，99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数．它们中的一个是另一个的倍数．解：构造抽屉：（1）不超过50个；（2）每个抽屉里的数（除仅有的一个外），其中一个数是另一个数的倍数，一个自然数的想法是从数的质因数表示形式入手．设第一个抽屉里放进数：1，1×2，212⨯，312⨯，412⨯，512⨯，612⨯；第二个抽屉里放进数：3，3×2，232⨯，332⨯，432⨯，532⨯；第三个抽屉里放进数：5，5×2，252⨯，352⨯，452⨯； ……第二十五个抽屉里放进数：49，49×2；第二十六个抽屉里放进数：51． ……第五十个抽屉里放进数：99．那么随意取出51个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数． 4．任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数．解：这些数队以10的余数即个位数字，以0，1，…，9为标准制造10个抽屉，标以[0]，[1]，…，[9]．若有两数落入同一抽屉，其差是10的倍数，只是仅有7个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：[6]，[7]，[8]，[9]四个抽屉分别与[4]，[3]，[2]，[1]合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数．能力提高5．在一条笔直的马路旁种树，从起点起，每隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂．至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？解：如图，设挂牌的三棵树依次为A ，B ，C ．AB a =，BC b =．若a ，b 中有一为偶数，命题得证．否则a ，b 均为奇数，则AC a b =+为偶数，命题得证．下面我们换一个角度考虑：给每棵树上编上号，于是两棵树之间的距离就是号码差，由于树的号码只能为奇数和偶数两类，那么挂牌的三棵树号码至少有两个同为奇数或偶数，它们的差必为偶数，问题得证．baCBA题5解析图6．以()x y z ，，表示三元有序整数组，其中x ，y ，z 为整数，试证：在任意七个三整数组中，至少有两个三元数组，它们的x ，y ，z 元中有两对都是奇数或都是偶数．解：设七个三元素组为()1111A x y z ，，，()2222A x y z ，，，…，()7777A x y z ，，．现在逐步探索，从x 元开始，由抽屉原则，1x ，2x ，…，7x 这七个数中，必定有四个数具有相同的奇偶性，不妨设这四个数是1x ，2x ，…，4x 且为偶数，接着集中考虑1A ，2A ，3A ，4A ，这四组数的y 元，若1y ，2y ，3y ，4y 中有两个是偶数，则问题已证，否则至多有一个是偶数，比如4y 是偶数，这时我们再来集中考虑1A ，2A ，3A 的z 元．在1z ，2z ，3z 中，由抽屉原则必有两个数具有相同的奇偶性，如1z ，2z ，这时无论它们是奇数，还是偶数，问题都已得到证明． 7．任选6人，试证其中必有3人，他们互相认识或都不认识．解：用A ，B ，C ，D ，E ，F 表示这6个人，首先以A 为中心考虑，他与另外5个人B ，C ，D ，E ，F 只有两种可能的关系：认识或不认识，那么由抽屉原则，他必定与其中某3人认识或不认识，现不妨设A 认识B ，C ，3D 人，当B ，C ，3D 人都互不认识时，问题得证；当B ，C ，3D 人中有两人认识，如B ，C 认识时，则A ，B ，C 互相认识，问题也得证． 8．a ，b ，c ，d 为四个任意给定的整数，求证：以下六个差数b a -，c a -，d a -，c b -，d b -，d c -的乘积一定可以被12整除．解：把这6个差数的乘积记为p ，我们必须且只须证明：3与4都可以整除p ，以下分两步进行．第一步，把a ，b ，c ，d 按以3为除数的余数来分类，这样的类只有三个，故知a ，b ，c ，d 中至少有2个除以3的余数相同，例如．不妨设为a ，b ，这时3可整除b a -，从而3可整除p ．第二步，再把a ，b ，c ，d 按以4为除数的余数来分类，这种类至多只有四个，如果a ，b ，c ，d 中有两个数除以4的余数相同，那么与第一步类似，我们立即可作出4可整除p 的结论．设a ，b ，c ，d 四数除以4的余数不同，由此推知，a ，b ，c ，d 之中必有两个奇数（不妨设为a ，b ），也必有两个偶数（设为c ，d ），这时b a -为偶数，d c -也是偶数，故4可整除()()b a d c --，自然也可得出4可整除p ．（如果能进一步灵活运用原则，不仅制造抽屉，还根据问题的特征，制造出放进抽屉的物体，则更可收到意想不到的效果．） 9．求证：从任意n 个自然数1a ，2a ，…，n a 中可以找到若干个数，使它们的和是n 的倍数．解：以0，1，…，1n -即被n 除的余数分类制造抽屉的合理的，但把什么样的数作为抽屉里的物体呢？扣住“和”，构造下列和数： 11S a =， 212S a a =+， 3123S a a a =++，……12n n S a a a ⋯=+++，其中任意两个和数之差仍为和数，若他们之中有一个是n 的倍数．问题得证，否则至少有两个数被n 除余数相同，则它们的差即它们中若干数（包括1个）的和是n 的倍数，问题同样得证． 10．910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶，证明：不论怎样排列，红、蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：（1）至少有三行完全相同．（2）至少有两组（四行）每组的两行完全相同．解：910瓶红、蓝墨水排成130行，每行7瓶，对一行来说，每个位置上有红、蓝两种可能，因此，一行的红、蓝墨水排法有72128=种，对每一种不同排法设为一种“行式”，共有128种行式．现有130行，在其中任取129行，依抽屉原则知，必有两行A ，B 行式相同．除A ，B 外余下128行，若有一行P 与A 行式相同，知满足（1）至少有三行A ，B ，P 完全相同，若没有一行P 与A 行式相同，那么这128行至多有127种行式，依抽屉原则，必有两行C ，D 具有相同行式，这样便找到了()A B ，，()C D ，两组（四行），且两组两行完全相同．1．5 命题的形式及等价关系基础练习1．已知命题“两个有理数的和是有理数”为某命题的逆命题．试写出原命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．解：原命题：如果两个数的和是有理数，那么这两个数都是有理数（假）；否命题：如果两个数的和不是有理数，那么这两个数不都是有理数（真）；逆否命题：如果两个数不都是有理数，那么和也不是有理数（假）．2．写出命题“已知a ，b ∈Z ，若a ，b 是奇数，则ab 是奇数”的逆否命题：__________．解：已知a ，b ∈Z ，若ab 不是奇数，则a 不是奇数，或b 不是奇数． 3．下列四个命题中的真命题是（）．A ．已知a b ∈R ，，若a b ⨯是无理数，则a b ，都是无理数 B ．已知a b ∈R ，，若a b ⨯是有理数，则a b ，都是有理数C ．已知a b ∈R ，，若a b +是无理数，则a 是无理数或b 是无理数 D ．已知a b ∈R ，，若a b +是有理数，则a 是有理数或b 是有理数解：C ．4．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（）． A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q q 不正确 D ．若p 正确，则q 正确解：D （逆命题为A ，逆命题的等价命题为D ）．5．“若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”，其否命题是（）． A ．若240b ac ->，则20ax bx c ++=没有实根 B ．若240b ac ->，则20ax bx c ++=有实根 C ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根 D ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根解：C ．能力提高6．写出命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，能被3整除”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解：逆命题：能被3整除的正整数各位数字之和是3的倍数（真）；否命题：各位数字之和不是3的倍数的正整数不能被3整除（真）；逆否命题：不能被3整除的正整数各位数字之和不是3的倍数（真）． 7．用反证法证明：不存在整数m ，n ，使得221998m n =+．证：若存在整数m ，n ，使得221998m n =+．则左边0≡或()1mod 4，右边2≡或()3mod 4，故无论何种情形左边≠右边．矛盾! 故不存在整数m n ，，使得221998m n =+．1．6 充分条件与必要条件基础练习1．若a 、b 、c 是常数，则函数2y ax bx c =++恒大于0的充要条件是解：____________________．解：0a b ==，或0a >，240b ac -<．2．若非空集合M N Ü，则“a N ∈或“∈N ”是“a M N ∈”的__________条件．解：必要非充分． 3．“1a ≠且1b ≠-”是“0a b +≠”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解：D ． 4．“三个数a 、b 、c 不全为零”的充要条件是（）． A ．a 、b 、c 都不为零 B ．a 、b 、c 中至多有一个为零 C ．a 、b 、c 中只有一个为零 D ．a 、b 、c 中至少有一个不为零解：D ．5．设x y ∈R 、．命题“221x y +>”是命题“1x y +>”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：A ．6．若{}246A y y x x ==-+，1x B x a ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭．试证明“5a >”是“B A ⊆”的一个充分且非必要条件．解：{}2A y y =≥，故5a >时B A ⊆，但反之不成立． 7．已知关于x 的方程()()21240a x a x -++-=，a ∈R ，求：（1）方程有两个正根的充要条件．（2）方程至少有一个正根的充要条件．解：（1）121210*********01a a x x a a a x x a -≠⎧⎪∆⎪⎪+⎨+=>⇒<-⎪⎪=>⎪-⎩或≥≤≥；（2）分两类情形：①有一个正根，②有两个正根．1a =或1212100201401a a x x a x x a -≠⎧⎪∆=⎪⎪+⎨+=>-⎪⎪=>⎪-⎩或12401x x a =<-或1212100201401a a x x a x x a -≠⎧⎪∆⎪⎪+⎨+=>-⎪⎪=>⎪-⎩≥．解得：2a ≤或10a ≥．能力提高8．（1）已知实数集合{}11110A x a x b a b ==≠，，{}22220B x a x b a b ==≠，求A B =的充要条件．（2）试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明．解：（1）11b A x x a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，22b B x x a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，12111222b b a b A B a a a b =⇔=⇔=．（2）如果系数1a ，1b ，1c 和2a ，2b ，2c 都是非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别是A 和B ，则“111222a b c a b c ==”是“A B =”的既不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．若123123--==-，()()13A =-∞-+∞，，，()13B =-，则A B ≠；若A B R ==，取2100x x ++>，21000x x ++>，则111222a b c a b c =≠．9．已知0a >，函数()2f x ax bx =-，（1）当0b >时，若对任意x ∈R 都有()1f x ≤，证明：a ≤（2）当1b >时，证明：对任意[]01x ∈，，()1f x ≤的充要条件是：1b a -≤≤ （3）当01b <≤时，讨论：对任意[]01x ∈，，()1f x ≤的充要条件．解：（1）依题设，对任意x ∈R ，都有()1f x ≤． ()2224a a f x b x b b ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴ 2124a af b b⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，00a b >>，，∴ a ≤（2）（必要性），对任意[]01x ∈，，()()11f x f x ⇒-≤≤据此可推出()11f -≤ 即1a b --≥，∴ 1a b -≥．对任意[]01x ∈，，()()11f x f x ⇒≤≤，因为1b >，可推出1f≤．即11a ≤，∴ a ≤1b a -≤≤．（充分性）：因1b >，1a b -≥，对任意[]01x ∈，，可以推出： ()221ax bx b x x x x -----≥≥≥，即：21ax bx --≥；因为1b >，a ≤[]01x ∈，，可推出221ax bx bx -≤≤，即21ax bx -≤，∴ ()11f x -≤≤．综上，当1b >时，对任意[]01x ∈，，()1f x ≤的充要条件是：1b a -≤≤ （3）因为1a >，01b <≤时，对任意[]01x ∈，． ()21f x ax bx b =---≥≥，即()1f x -≥；()()1111f x f a b ⇒⇒-≤≤≤，即1a b +≤；()()2111a b f x b x bx +⇒+-≤≤≤，即()1f x ≤．所以，当1a >，01b <≤时，对任意[]01x ∈，，()1f x ≤的充要条件是：1a b +≤．10．设定数A ，B ，C 使得不等式()()()()()()0A x y x z B y z y x C z x z y --+--+--≥对一切实数x ，y ，z 都成立，问A ，B ，C 应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A ，B ，C 的等式或不等式表示条件）解：充要条件为A ，B ，0C ≥且()2222A B C AB BC CA ++++≤ ①先证必要性，题设可改写为()()()()()220A x y B A C y z x y C y z ------+-≥ ② 若0A =，则由②对一切x ，y ，z ∈R 成立，则只有B C =，再由题设知0B C ==，若0A ≠，则因为②恒成立，所以0A >，()()()22240B A C y z AC y z ∆=-----≤恒成立，所以()240B A C AC ---≤，即()2222A B C AB BC CA ++++≤同理有0B ≥，0C ≥，所以必要性成立．再证充分性，若A ，B ，0C ≥且()2222A B C AB BC CA ++++≤，（1）若0A =，则由222B C BC +≤得()20B C -≤，所以B C =，所以0∆=，所以②成立，题设成立．（2）若0A >，则0∆≤，所以②成立，所以题设成立．综上，充要性得证．11．设p ，q 是实数．证明：方程21x p x qx +=-有4个实根的充要条件是20p q ++<．证：结合()240p q -->，得2120q p p ->⇔-+<．可知当且仅当20p q -+<时，()210x p q x +-+=有两个不同正实根．同理0<，()24020p q p q +->⇔++<．可知当且仅当20p q ++<时，()2110x p x --+=有两个不同负实根．1.7 集合的综合运用能力提高1．已知集合A ，B ，C （不必相异）的并集{}12A B C n ⋯=，，，，则满足条件的有序三元组()A B C ，，个数是__________．解：由集合的文氏图可知，对于{}12n ⋯，，，中的每一个元素，都有7种可能的放置方法，故满足条件的有序三元组()A B C ，，个数是7n ． 2．已知集合(){}1A x y ax y =+=，，(){}1B x y x ay =+=，，(){}221C x y xy =+=，，问：（1）当a 取何值时，()A B C 为恰有2个元素的集合？说明理由．（2）若改为3个元素集合，结论如何？解：显然()01A C ∈，，()10B C ∈，，所以，（0，1），（1，0）()A B C ∈．（1）0a =时，直线1ax y +=与1x ay +=均与圆221x y +=相切，()()(){}0110AB C =，，，． 1a =时，直线1ax y +=与1x ay +=重合，即连接（0，1），（1，0）的直线． 0a ≠，1时，直线1ax y +=与圆221x y +=有一个不同于（0，1），（1，0）的交点，()AB C的元素个数≥3．因此0a =，1．（2）这时0a ≠，1，而且直线1ax y +=与圆221x y +=的另一个交点也是直线1x ay +=与圆221x y +=的另一个交点，即这点是1ax y +=与1x ay +=的交点，从而z 11x y a ==+，代入221x y +=得x y ==，1a =- 3．求集合B 和C ，使得B C ={1，2，…，10}，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和．解：B 中元素的和≤1+2+3+…+10=55而1×2×3×4×5=120>55可知集合C 至多有四个元素．故可由1C =来进行讨论．（1）1C C =⇒的元素的乘积≤10，B 的元素和≥1+2+3+…+9=45，故此情况不成立．（2）2C =，不妨设{}()C x y x y =<，，．由已知，得()()551156x y x y x y ⋅=--⇒++=．因1111x y +<+<，解得1718x y +=⎧⎨+=⎩故C ={6，7}，B ={1，2，3，4，5，8，9，10}．（3）3C =，不妨设{}()C x y z x y z =<<，，，，由已知，得55x y z x y z ⋅⋅=---．当1x =时()()541155y z y z y z ⋅=--⇒++=．则4y =，10z =．故C ={1，4，10}，B ={2，3，5，6，7，8，9}，当2x =时253253422106y z y z y z y z yz y z ⋅=--⇒⋅++=⇒++=．则()()2121107y z ++=．因为107为质数，所以无解．若3x ≥，显然3456055x y z x y z ⋅⋅⨯⨯=>---≥无解．（4）4C =，不妨设{}()C x y z t x y z t =<<<，，，，必有1x =，否则234512055x y z t ⋅⋅⋅⨯⨯⨯=>≥．此时155154y z t y z t y z t y z t ⋅⋅⋅=----⇔⋅⋅=---，2y z t <<≤．同（3）3y ≥时无解．必有2y =，则252z t z t ⋅⋅++=，()()21211057153z t z ⇒++==⨯⇒=，7t =，故C ={1，2，3，7}，B ={4，5，6，8，9，10}．综上，C ={6，7}，B ={1，2，3，4，5，8，9，10}，或C ={1，4，10}，B ={2，3，5，6，7，8，9}，或C ={l ，2，3，7}，B ={4，5，6，8，9，10}．4．S 是Q 的子集且满足：若r Q ∈，则r S ∈，r S -∈，0r =恰有一个成立，并且若a S ∈，b S ∈，则ab S ∈，a b S +∈，试确定集合S ．解：设任意的r Q ∈，0r ≠，由已知r S ∈，或r S -∈之一成立．又若r S ∈，则2r S ∈；若r S -∈，则()()2r r r S =-⋅-∈．总之，2r S ∈．取1r =，则1S ∈．再由p q S +∈，得211S =+∈，312S =+∈，可知全体正整数都属于S ．设p ，q S ∈，由①pq S ∈，又由前证知21S q ∈，所以21p pq S q q =⋅∈．因此，S 含有全体正有理数．再由已知，0及全体负有理数不属于S ．即S 是由全体正有理数组成的集合．5．集合S ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？解：设1A ，2A ，…，k A 是S 的子集（满足要求的），则满足（1）()51i A i k =≤≤；（2）()21i j A A i j k ≤≤≤≤．1mnl A A A ≤，()1m n l k ≤≤≤≤，则每个元素至多在3个集合中出现，则至多出现3×10=30次，所以至多30÷5=6个集合．其次，下列6个集合满足题设条件：1A ={l ，2，3，4，5}，2A ={1，2，6，7，8}，3A ={l ，3，6，9，10}， 4A ={2，4，7，9，10}，5A ={3，5，7，8，10}，6A ={4，5，6，8，9}．综上可知，所求K 的最大值为6．6．1S ，2S ，3S 是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列i ，j ，k ，如果i x S ∈，j y S ∈，则k x y S -∈．求证：1S ，2S ，3S 中必有两个相等．证：若i x S ∈，j y S ∈，则k y x S -∈，()i y x y x S --=-∈．所以每个集合中均有非负元素．当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立．否则，设1S ，2S ，3S 中的最小正元素为a ，不妨设1a S ∈，设b 为2S ，3S 中最小的非负元素，不妨设2b S ∈，则3b a S -∈．若0b >，则0b a b -<≤，与b 的取法矛盾．所以0b =．任取1x S ∈，因20S ∈，故30x x S -=∈．所以13S S ⊆，同理31S S ⊆．所以13S S =．7．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集i A （i =1，2，…，117），使得（1）每个i A 恰有17个元素．（2）每个i A 中各元素之和相同．证明：将集合{1，2，…，1 989}中的数从小到大顺次分成17段，每段含117个数．从第4段数开始，将偶数段的数从小到大依次放入1A ，2A ，…，117A 中，将奇数段的数从大到小依次放入这117个子集中．易见，所有集合中的14个数之和都相等．于是问题归结为如何将前三段数{1，2，…，351}每3个一组分别放入每个集中，且使每组3数之和都相等．把这些数中3的倍数抽出来从大到小排好：{351．348，345，…，6，3}，共117个数，依次放入1A ，2A ，…，117A 中，其余的234个数从小到大排列并分成两段，每段117个数，即{l ，2，4，5，7，…，173，175}和{176，178，179，…，349，350}．将这两段数分别顺次放入1A ，2A ，…，117A 之中便满足要求．事实上，若将这两段数中的数顺次相加，则其和为{177，180，183，186，…，522，525}．由此可见，放入每个i A 的三个数之和都是528．8．设1a ，2a ，…，20a 是20个两两不同的整数，且集合{}120i j a a i j +≤≤≤中有201个不同的元素，求集合{}120i j a a i j -<≤≤中不同元素个数的最小可能值．解：所给集合的元素个数的最小值为1（）（）．首先，令111010i i a =+，11101010i i a +=-，1i =，2，…，10．则{}120i j a a i j +≤≤≤中共有（1+2+3+…+20）-10+1=201个不同的元素，而{}{}{}12021012101010110i ijija ai j i i j ⋯-<=⨯=±<，，，≤≤≤≤共有10+2102C =100个不同的元素．下面用反证法证明：所给集合的不同元素的个数不小于100．若存在一个使所给集合的元素个数小于100的集合{}1220S a a a ⋯=，，，，我们计算S 的“好子集”{}x y z w ，，，的个数，这里x y z w <<<，且x w y z +=+．对S 中满足b c >的数对()b c ，（共190对），考虑它们的差b c -，由于至多有99个不同的差（这里用到反证法假设），故必有至少91个数对()b c ，，使得存在b '，c S '∈，满足b b '<，c c '<且b c b c -='-'．对这样的91个数对()b c ，，它与其相应的b '，c '形成S 的一个4元集{}b c b c ''，，，，可得到S 的一个“好子集”{}x y z w ，，，，且至多两个数对()b c ，形成相同的子集{}x y z w ，，，（只能是()()b c w z =，，，()w y ，）．故=S 的“好子集”至少有46个．另一方面，S 的“好子集”{}x y z w ，，，的个数等于()112i i s s -∑，这里i s 为S 中满足b c i +=．b c ≤的数对()b c ，的个数，其中i 为正整数．注意到，对每个i ，S 中的每个元素s 至多出现在上面的一个数对()b c ，中（事实上，当s i s-≤时，s 出现在数对()s i s -，中，其余情况出现在()i s s -，中），于是10i s ≤，从而在0i s ≠时，110i s ≤≤，故()11552i i i s s s --≤．由于集合{}120i j a a i j +≤≤≤中有201个不同的元素，故使得1i s ≥的正整数i 有201个，设T 为这样的i 组成的集合．易知S 中有220C 对()b c ，满足b c <，有20对()b c ，满足b c =，所以220C 20210i i Ts ∈=+=∑．于是()()()11555210201452i i i i T i Ts s s ∈∈--=⨯-=∑∑≤，这与S 的“好子集’’至少有46个矛盾．所以，所给集合中，至少有100个不同的元素．9．设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，…，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，i =1，2，…，20，2i j A A ≤，120i j <≤≤．求n 的最小值．解：min 16n =．设B 中每个数在所有i A 中最多重复出现k 次，则必有4k ≤．若不然，数m 出现k 次（4k >），则312k >．在m 出现的所有i A 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{}1211a a m b ，，，，，{}3421a a m b ，，，，，{}5631a a m b ，，，，，其中i a A ∈，16i ≤≤，为满足题意的集合．i a 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以4k ≤． 20个i A 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16n ≥．当16n =时，如下20个集合满足要求： {1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {l ，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}，{2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}．。

上海市华东师范大学第二附属中学实验班用2018届高三数

第十九章导数及其应用19.1 函数的极限基础练习1．判断下列函数的极限是否存在，并说明理由：（1）1lim πxx →+∞⎛⎫⎪⎝⎭．（2）lim 2x x →-∞．（3）31lim x x →∞．解：（1）()1lim 0.2πxx →+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭()lim 20.3x x →-∞=（3）31lim0x x →∞=（理由说明略）． 2．根据函数极限的εδ-定义，求下列函数的极限：（1）132lim1x x x →-+．（2）x →解：（1）1321lim12x x x →-=+．（2）x →= 3．求下列函数的极限：（1）()22lim 33x x x →--．（2）22123lim 1x x x x →--+-．（3）2224lim 321x x x x x →-∞-+-+．（4）232306lim 253x x x x x x x →----．（5）()*11lim 1m n x x m n x →-∈-N ，．（6）30lim x x x x →-．（7）[]()1lim x x x →---．（8）21211lim 21x x x x x →+⎛⎫- ⎪+--⎝⎭．解：()22lim 331x x x →--=．（2）不存在．（3）222142242lim lim 2132133x x x x x x x x x x→-∞→-∞-+-+==-+-+．（4）232232006161lim lim 2532532x x x x x x x x x x x x →→----==----．（5）()()()()121212121111111lim limlim 1111m m m m m n n n n n x x x x x x x x x m x x x nx x x --------→→→-+++-+++===-+++-+++．（6）332001limlimlim 11x x x x x x x x x x →→→-===----．（7）[]()()11lim lim 21x x x x x →--→---=+=．（8）22111121121211lim lim lim 212223x x x x x x x x x x x x x x →→→+++⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪+--+-+-+⎝⎭⎝⎭．能力提高4．设正数a b ，满足()22lim 4x x ax b →+-=，求111lim 2n n n n x a ab a b+--→∞++．解：()22lim 42x x ax b a b →+-=⇒=1211111lim lim 2242n n n n n nn n a a aa ab a b a b b a b b -+---→∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 5．把()()()21111nx x x +++++++展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，求21lim1n n na a →∞-+．解：令1x =，得到各项系数和：21122221n n n a +=++++=-．则212123limlim 212n n n n n na a ++→∞→∞--==+． 6．若241lim 01n x axb x →∞⎛⎫+-+=⎪+⎝⎭，求a b ，的值．解：()()22414111a xb a x b x ax b x x -+-+++-+=++， ()()224141lim lim 011x x a x b a x b x ax b x x →∞→∞⎛⎫-+-++⎛⎫+-+== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．则40a -=，0b a -=，得出4a =，4b =．7．设()f x 为多项式，且()()34limlim 1x n f x x f x x x→∞→∞-==，求()f x 的表达式．解：()()334lim14x f x x f x x x m x →∞--=⇒=++，()m ∈R ， ()200lim1lim 4110x x f x m x m xx →→⎛⎫=⇒++=⇒= ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为()34f x x x =+．8．已知函数()231121x x f x x a x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩，，≤，试确定常数a ，使()1lim x f x →存在．解：()()11lim lim 02x x f x f x a -+→→=⇒=+，则2a =-． 9．设函数()22100x x f x x b x ⎧+>=⎨+⎩，，≤，当b 取什么值时，()0lim x f x →存在？解：()()0lim lim 1x x f x f x b -+→→=⇒=，当1b =时，()0lim x f x →存在． 19.2 两个重要极限1．求下列函数的极限：（1）0tan limx x x →．（2）0tan lim x kxx→．（3）01sin cos lim 1sin cos x x x tx tx →+-+-．（4）212lim 1x x x -→∞⎛⎫+⎪⎝⎭．解：（1）0000tan sin 1sin 1lim lim lim lim 1cos cos x x x x x x x x x x x x→→→→=⋅=⋅=．（2）000sin sin limlim lim cos cos x x x kx k kx kk kx kx kx kx→→→=⋅=．（3）200022sin sin cos sin 2sin 1sin cos 2222lim lim lim 1sin cos sin 2sin 2sin sin cos 2222x x x x x x x x x x tx tx tx tx tx tx tx →→→⎛⎫++ ⎪+-⎝⎭==+-⎛⎫++ ⎪⎝⎭00sinsin cos 1222lim lim sin sin cos222x x x x xtx tx tx t →→+=⋅=+．（4）212221421lim 1lim 12x xxx x x e x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦．2．证明()0ln 1lim1x x x →+=．证明：()()()110ln 1limlim ln 1ln lim 1ln 1xxx x x x x x e x→→→+=+=+==，3．证明01lim 1x x e x→-=．证明：令1xt e =-，则()ln 1x t =+，当0x →时，0t →，()001limlim 1ln 1x x x e txt →→-==+． 19.3 函数的连续性1．试判断下列函数在给定点处是连续？并说明理由．（1）()112121xx f x -=+，在00x =处．（2）()2ln 00x x f x x x >⎧=⎨⎩，，≤，在00x =处；（3）10sgn 00x y x x ≠⎧==⎨=⎩，点0x =．解：（1）左、右极限都存在，1121lim 121xx x-→-=-+，1121lim 121xx x+→-=+，但不相等，在0x =处不连续．（2）左极限都存在，右极限不存在，在0x =处不连续．（3）()()0lim 1lim x x f x f x -+→→==，()()0lim 100x f x f →=≠=，所以函数sgn y x =在0x =处不连续． 2．求下列函数的极限：（1）π4limlg tan x x →．（2）()sec cot 0lim 1tan x xx x →+．（3）(lim x →+∞．（4）)lim arccosx x →+∞．解：（1）π4limlg tan lg10x x →==．（2）()sec cot sec cot 001lim 1tan lim 1cot xxx xx x x e x →→⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）2sin cos ⎛⎫=⎝⎭，lim cos 0x →+∞=，则(lim 0x →+∞=．（4）)1lim lim lim 2x x x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫ ⎪⎛⎫===，则)πlim arccos 3x x →+∞=． 3．求函数在0x =处的极限：（1）()2200010x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩．（2）()ln cos5f x x =．（3）())0f x a =>，（4）()arctan 2x f x x=．（5）()f x =．（6）()(11cos xa f x x+=-．解：（1）()()0lim lim 1x x f x f x -+→→==，则极限为()0lim 0x f x →=．（2）极限为()()0lim lim lncos50x x f x x →→==．（3）极限为()001lim 2x x x f x a →→→===．（4）极限为()00arctan122lim limlim 2x x x x xf x x x →→→===．（5）极限为()))000i ns ilm l i mx x x x x xx f x xx→→→→→===⋅=⋅=．（6）()()()()0021sin sin lim lim2lim 2lim cot 1cos 22sin 2xx x x x a x x xf x xx----→→→→+⋅--===--不存在，则极限不存在． 4．求下列函数的极限：（1）x →．（2）()2π2lim2sin cos x x x x →--．（3）()222sin lim 1x x x xe x →++．（4）()11lim 1x x x -→+．（5）)lim arcsinx x →+∞．（6）22sin sin lim x a x ax a→--．解：（1）4284lim43x x x x x →→→-===-．（2）()222π2ππlim2sin cos 21244x x x x →⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭．（3）2x x →→=．（4）()111100011lim 1lim 1lim 111xx x x x x e x x --→→→⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（5）)1lim lim lim 2x x x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫⎪⎛⎫===，则)πlim arcsin 6x x →+∞=．（6）()()22sin sin sin sin sin sin lim lim x a x a x a x a x ax a x a→→+--=--()cossin sin sin 22limlim sin sin 2sin lim2sin cos sin 22x a x a x a x a x ax ax a a a a a x a→→→+--=+===-．能力提高5．求20lim lim cos cos cos cos222n x n x xx x →→∞⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值．解：2cos cos cos cos sin 2222cos cos cos cos 222sin 2n n n x x x x x x xx x x =1sin 221sin 2n x x +=， 11211sin 2sin 2sin 222lim cos cos cos cos lim lim 2222sin 22n n n x x x nnx x x x x x x x x x ++→∞→∞→∞⎛⎫===⎪⎝⎭， 2200sin 2lim lim cos cos cos coslim cos cos cos coslim 12222222n n x n n x x x x x x x xx x x→→∞→∞→⎡⎤⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 6．研究函数()221lim 1n nn x f x x x →+∞-=⋅+的连续性．解：当1x >时，()2222111lim lim 111nn n n n x x xf x x x x x x →+∞→+∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⋅=⋅=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭；当1x <时，()221lim 1nnx x f x x x x →+∞-=⋅=+；当1x =时，()0f x =，则()1011x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，，，，由于()()11lim lim 1x x f x x --→-→-=-=，()11lim lim 1x x f x x ++→-→-==-，则()1lim x f x →-不存在；又()11lim lim 1x x f x x --→→==，()()11lim lim 1x x f x x ++→→=-=-则()1lim x f x →不存在．则()f x 在1x =±处不连续，()f x 在定义域内的其余点都连续，即在区间()1-∞-，、（-1，1）和（1，+∞）上分别连续．7．讨论[]01，上黎曼函数()()()*11101p x p q p q p p q q R x x x ⎧==∈⎪=⎨⎪=⎩N ，，其中，，，，，，，理≤≤无数的连续性．证明：设()01ξ∈，为无理数，任给0ε>（不妨设12ε<），满足1qε≥正数显然只有有限个q （但至少有一个，如2q =），从而使()R x ε≥的有理数()01x ∈，只有有限个（至少有一个，如12），设为1n x x ，，，取 ()1min 1n x x δξξξξ=---，，，，，（显然0δ>）则对任何()()()01x U ξδ∈⊂，，，当x 为有理数时有()R x ε<，当x 为无理数时()0R x =．于是，对任何()x U ξε∈，，总有()()()R x R R x ξε-=<，这就证明了()R x 在无理点ξ处连续．现设p q为（0，1）内任一有理数，取012q ε=，对任何正数δ（无论多少小），在p U q δ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内总可取无理数()()001x ∈，，使得()001p R x R q qε⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以()R x 在任何有理点处都不连续． 19.4 导数的概念与运算 1．求下列函数的导数：（1）42356y x x x =--+．（2）tan y x x =⋅．（3）()()()123y x x x =+++．（4）11x y x -=+．解：（1）3465y x x =--′．（2）2tan cos x y x x =+′．（3）231211y x x =++′．（4）()221y x =+′． 2．求下列函数的导数：（1）y =（2）44sin cos 44x xy =+．（3）y =（4）2sin 12cos 24x x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．解：（1）32432y x x x =++′，（2）1sin 4y x =-′．（3）()241y x =-′，（4）1cos 2y x =′． 3．求下列函数的导数：（1）y =（2）()2223x y x x e =-+⋅．（3）3223x y x -=+．（4）y =．解：（1）2y ′．（2）()22224x y x x e =-+⋅′．（3）()21323y x =+′．（4）()23211311x y x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭-′．能力提高4．如图19-5，函数()f x 的图像是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则()()0f f =__________；函数()f x 在1x =处的导数()1f =′__________．图 19-5解：()()042f f f ==⎡⎤⎣⎦，()041220f -==--′． 5．若()02f x =′，求()()000lim2k f x k f x k→--．解：()()()()0000001limlim 122k k f x k f x f x k f x kk→→----=-=--．6．求下列函数的导数：（1）()()21231y x x x =-+-．（2）y =．（3）()2cos y ax b =+．（4）y =．（5）)1y x =>．（6）4y =解：（1）6102y x x =++′．（2）135222233322y x x x x ---=+-+′．（3）()sin 2y a ax b =-⋅+⎡⎤⎣⎦′．（4）()2cos 2cos 21sin 2x y x x -=+′．（5）211y x =-′．（6）241xy x x =-+′． 7．已知函数()y f x =是可导的周期函数，试救证其导函数()y f x =′也为周期函数．证明：()()()()()()0limlimr r f x x f x f x x T f x T f x f x T xxδδδδδδ→→+-++-+===+′′．8．若可导函数()f x 是奇函数，求证：其导函数()f x ′是偶函数．证明：函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()()()()()()d d d d f x f x f x f x f x f x x x--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⇒-=--⇒=-′′′′所以导函数()f x ′是偶函数，显然得证． 19.5 导数的应用基础练习1．（1）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为__________．（2）过曲线11y x =+上点112P ⎛⎫⎪⎝⎭，且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为__________．（3）曲线sin 3y x =在点π03P ⎛⎫⎪⎝⎭，处切线的斜率为__________．（4）函数2y x =的曲线上点A 处的切线与直线310x y -+=的夹角为45︒，则点A 的坐标为__________．（5）曲线2122y x =-与3124y x =-在交点处的切线夹角是__________．解：（1）2363y x x y =-⇒=-′′，则切线方程为32y x =-+．（2）()21141y y x =-⇒=-+′′，则夹角最大为π2，所以过曲线11y x =+上点112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与过P点的切线夹角最大的直线的斜率为4，则直线方程为：2870y x -+=．（3）3cos33y x y =⇒=′′．（4）设切线的斜率为k ，231232013k k k k -=⇒+-=+，2k =-，12，因为22y x ==-′，112x ⇒=-，14，所以点A 的坐标为11416⎛⎫⎪⎝⎭，或()11-，．（5）23122124y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()()322216024802x x x x x x ⇒+-=⇒-++=⇒=．21222y x y x y =-⇒=-⇒=-′′，32132344y x y x y =-⇒=⇒=′′．则夹角是()()32πarctan1324--=+⋅-． 2．（1）设函数32y ax bx cx d =+++的图像与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为1240x y --=．若函数在2x =处取得极值0，试确定函数的解析式．（2）若函数()f x 在区间[]a b ，内恒有()0f x <′，则求函数的[]a b ，上的最小值．（3）求曲线4321111432y x x x x =+--+的极值点．解：（1）令()32y f x ax bx cx d ==+++，则()232f x ax bx c =++′，则()21240f a b c =++=′，()012f c ==′ ()28420f a b c d =+++=，12040d ⋅--= 解得：29124a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩，则函数的解析式为3229124y x x x =-+-．（2）函数()f x 在区间[]a b ，内恒有()0f x <′，所以()f x 在区间[]a b ，单调递减，因此函数在[]a b ，上的最小值为()f b ．（3）()()3222111y x x x x x =+--=-+′，因此在1x =时有极小值． 3．求下列函数的单调区间：（1）()()212y x x =++．（2）21xy x =+．（3）x y xe =．（4）lg y x x =．解：（1）()()135y x x =++′，单调递增区间为53⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，和[)1-+∞，，单调递减区间为513⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．（2）()22211x y x -+′=，单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为(]1-∞-，．（3）()1x y e x =+′，单调递增区间为[)1-+∞，，单调递减区间为(]1-∞-，．（4）ln 1ln10x y +=′，单调递增区间为1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间为10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．4．求下列函数的极值或最值：（1）[]3239544y x x x x =--+∈-，，．（2）2sin y x x =+，[]02πx ∈，．（3）()231y x x =-．（4）2ln x y x=．解：（1）2369y x x =--′，单调递增区间为(]1-∞-，和[)3+∞，，单调递减区间为（-1，3），当1x =-时取到极大值10y =，当3x =时取到极小值22y =-．（2）12cos y x =+′，单调递增区间为2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和4π2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，单调递减区间为2π4π33⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当2π3x =时取到极大值2π3y =，当2π3x =时取到极小值4π3y =．当0x =时取到最小值0y =，当2πx =时取到最大值2πy =；（3）()13523x y x -=-′，单调递增区间为25⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间为205⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当25x =时取到极小值y =（4）2ln 12ln x y x-=′，单调递增区间为()e +∞，，单调递减区间为()0e ，，当e x =时取到极小值2e y =．5．当0x >时，证明下列不等式成立：（1）()2ln 12x x x +>-．（2）24cos 1224x x x <-+．证明：（1）令()()2ln 12x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，()211011x f x x x x =+-=>++′，所以()f x 在区间()0+∞，上单调递增，则()()()2ln 1002x f x x x f ⎛⎫=+-->= ⎪⎝⎭，则()2ln 12x x x +>-，显然得证．（2）令()241cos 224x x f x x =-+-，()()3sin 6x g x f x x x ==-++′，()()2cos 12x h x g x x ==+-′,()()sin x h x x x ϕ==-′,()1cos 0x x ϕ=+′≥，则()sin x x x ϕ=-在区间()0+∞，上单调递减，所以()()sin 00x x x ϕϕ=->=，则()2cos 12x h x x =+-在区间()0+∞，上单调递增，所以()()2cos 1002x h x x h =+->=，则()3sin 6x g x x x =-++在区间()0+∞，上单调递增，所以()()3sin 006x g x x x g =-++>=，则()241cos 224x x f x x=-+-在区间()0+∞，上单调递增，所以()()241cos 00224x x f x x f =-+->=，即24cos 1224x x x <-+得证．6．设()()21e x f x ax x -=+-⋅（e 为自然对数的底，a 为常数且0a <，x ∈R ），则()f x 何时取得极小值？解：()()()21212e 2e x xf x ax a x a x x a --⎛⎫⎡⎤=-+-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭′，当102a -<<时，1x a =-时，()f x 取得极小值；当12a <-时，2x =时，()f x 取得极小值．7．求抛物线212y x =上与点()60A ，距离最近的点．解：任取抛物线上一点212x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则()22442116123644z d x x x x x ==-+=+-+．()()32212226z x x x x x =+-=-++′，则在()2-∞，单调递减，()2+∞，单调递增，则抛物线212y x =上与点()60A ，距离最近的点是（2，2）．能力提高8．已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值．（1）讨论()1f 和()1-是函数()f x 的极大值还是极小值．（2）过点()016A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：（1）函数()323f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值()0f x ⇔=′的解为323013230a b x a b +-=⎧=±⇔⎨--=⎩10a b =⎧⇒⎨=⎩，则()33f x x x =-，则()12f -=是极大值，()12f =-是极小值．（2）设切点为()33M m m m -，，则切线方程为()()23333y m x m m m =--+-．过点()016A ，，则()()23316330382m m m m m m =--+-⇔=-⇒=-，则切点为()22M --，，则切线方程为9160x y -+=．9．设函数()()20f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线垂直于直线210x y ++=．（1）求a b ，的值．（2）若函数()()xe g xf x =，讨论()g x 的单调性．解：（1）因()()20f x ax bx k k =++>，故()2f x ax b =+′；又()f x 在0x =处取得极限值，故()0f x =′，从而0b =．由曲线()y f x =在()()11f ，处的切线与直线210x y -+=相互垂直可知：该切线斜率为2，即()12f =′，有22a =，从而1a =．（2）由（1）知，()()20x e g x k x k =>+，()()()()22220x e x x k g x k x k -+=>+′．令()0g x =′，有220x x k -+=．①当440k ∆=-<，即当1k >时，()0g x >′在R 上恒成立，故函数()g x 在R 上为增函数． ②当440k ∆=-=，即当1k =时，()()()()222100x e x g x x xk -=>≠+′，1k =时，()g x 在R 上为增函数．③440k ∆=->，即当01k <<时，方程220x x k -+=有两个不相等实根，11x =21x =．当(1x ∈-∞-，是()0g x >′，故()g x在(1-∞-，上为增函数，当(11x ∈-+时，()0g x <′，故()g x在(11-，上为减函数，10．已知函数()3213f x x ax bx =++，且()10f -=′．（1）试用含a 的代数式表示b ．（2）求()f x 的单调区间．（3）令1a =-，设函数()f x 在()1212x x x x <，处取得极值，记点()()11M x f x ，，()()22N x f x ，，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M N 、的公共点．解：（1）依题意，得()22f x x ax b =++′，由()1120f a b -=-+=′得21b a =-．（2）由（1）得()()321213f x x ax a x =++-，故()()()2221121f x x ax a x x a =++-=++-′，令()*0f x =′，则1x =-或12x a =-．①当1a >时，121a -<-当x 变化时，()f x ′与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为()12a -∞-，和()1-+∞，，单调减区间为()121a --，． ②由1a =时，121a -=-，此时，()0f x ′≥恒成立，且仅在1x =-处()0f x =′，故函数()f x 的单调区间为R ．③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为()1-∞-，和()12a -+∞，，单调减区间为()112a --，．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为()12a -∞-，和()1-+∞，，单调减区间为()121a --，；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为()1-∞-，和()12a -+∞，，单调减区间为()112a --，．（3）当1a =-时，得()32133f x x x x =--，由()3230f x x x =--=′，得11x =-，23x =．由（2）得()f x 的单调增区间为()1-∞-，和()3+∞，，单调减区间为（-1，3），所以函数()f x 在11x =-，23x =处取得极值．故513M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()39N -，．所以直线MN 的方程为813y x =--．由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得32330x x x --+=．令()3233F x x x x =--+，易得()030F =>，()230F =-<，而()F x 的图像在（0，2）内是一条连续不断的曲线，故()F x 在（0，2）内存在零点0x ，这表明线段MN 与曲线()f x 有异于M ，N 的公共点．11．设定义在R 上的函数()()43201230123i f x a x a x a x a x a i =+++∈=R ，，，，，当x =时，()f x，并且函数()y f x =′的图像关于y 轴对称．（1）求()f x 的表达式．（2）试在函数()f x 的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上．（3）求证：()())sin cos f x f x x -∈R ．解：（1）由于()320123432f x a x a x a x a =+++′为偶函数，则()()f x f x -=′′，则323201230123432432a x a x a x a a x a x a x a -+-+=+++，则302420a x a x +=对一切x ∈R 恒成立，则020a a ==，则()313f x a x a x =+，又当x =时，()f x，则0f f ⎧⎛=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎛⎪= ⎪ ⎝⎭⎩′，解得13231a a ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，则()3233f x x =-，()221f x x =-′．（2）设所求两点的横坐标为1x ，()212x x x <，则()()221221211x x -⋅-=-，又由于1x ，[]211x ∈-，，则2121x -，[]222111x -∈-，，则2121x -，2221x -中有一个为1，一个为-1，则1201x x =⎧⎨=⎩或1210x x =-⎧⎨=⎩，则所求的两点为（0，0）与113⎛⎫- ⎪⎝⎭，或（0，0）与113⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（3）证明：易知sin x ，[]cos 11x ∈-，．当0x ⎡∈⎢⎣⎦时，()0f x <′；当1x ⎤∈⎥⎣⎦时，()0f x >′．则()f x在0⎡⎢⎣⎦为减函数，在1⎤⎥⎣⎦上为增函数，又()00f =，f =⎝⎭()113f =-，而()f x 在[]11-，上为奇函数，则()f x 在[]11-，，最小值为，即()f x ，则()sin f x ()cos f x ，则()()()()sin cos sin cos f x f x f x f x -+≤． 12．已知函数()sin f x x x =-，（1）若[]0πx ∈，，试求函数()f x 的值域．（2）若[]0πx ∈，，()0πθ∈，，求证：()()2233f f x x f θθ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≥．（3）若()π1πx k k ∈+⎡⎤⎣⎦，，()π1πk k θ∈+⎡⎤⎣⎦，，∈Z ，猜想()()23f f x θ+与23x f θ+⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系（不必写出比较过程）．解：（1）当()0πx ∈，时，()1cos 0f x x =->′，则()f x 为增函数．又()f x 在区间[]0π，上连续，所以()()()0πf f x f ≤≤，求得()0πf x ≤≤，即()f x 的值域为[]0π，．（2）设()()()2233f f x x g x f θθ++⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．即()()2sin 2sin33f xx g x θθ++=-+，()12cos cos 33x g x x θ+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭′，由于[]0πx ∈，，()0πθ∈，，则()20π3xθ+∈，，由()0g x =′，得x θ=，则当()0x θ∈，时，()0g x <′，()g x 为减函数，当()πx θ∈，时，()0g x >′，()g x 为增函数．由于()g x 在区间[]0π，上连续，则()g θ为()g x 的最小值对[]0πx ∈，有()()0g x g θ=≥，因而()()2233f f x x f θθ++⎛⎫⎪⎝⎭≥．（3）在题设条件下，当k 为偶数时，()()2233f f x x f θθ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，当k 为奇数时，()()2233f f x x f θθ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≤．。

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题含解析

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题（含解析）一.填空题，则，设全集1.，若集合______【答案】【解析】【分析】.先求出得解，再求【详解】由题得，所以···}.-3,-2,2,3,4,5,={···，故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.计算：2.______【答案】【解析】【分析】. ，即得解，求出设.，设【详解】∵.所以所以.所以故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量________，则，13 【答案】【解析】【分析】- 1 -.由题得，即得.【详解】由题得，∴13故答案为：【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知. 识的理解掌握水平和分析推理计算能力________4.，那么如果复数满足1 【答案】【解析】【分析】的值，再求，所以方程没有实数根，由求根公式求出z由题得. |z|的大小得解，所以，所以方程没有实数根，【详解】∵1故答案为：【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌. 握水平和分析推理计算能力________5.）的反函数（【答案】（）【解析】【分析】. ,再求出原函数的值域即得反函数求出）（，设）所以,，【详解】设（.因x≥0，所，所以y≥0，所以反函数因为x≥0，所以，.，故答案为：【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的. 理解掌握水平和分析推理计算能力________方程6.的解为- 2 -【答案】2【解析】【分析】，即，解方程再检验即得解由题得.【详解】. 经检验，当x=-10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解2故答案为：【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考. 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力________81的二项展开式中，所有项的系数之和为在7.，则常数项为8 【答案】【解析】【分析】.由题得再利用二项式展开式的通项求常数项得解，所以n=4,得】由为式二n=4, ，所以项展开的通项题【详解，令..所以常数项为8故答案为：【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________ 【答案】8【解析】【分析】，，且，即得双曲线的焦距，解方程组即得.- 3 -8.，∴，【详解】，所以该双曲线的焦距为，且8故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和.分析推理计算能力________9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为36 【答案】【解析】【分析】. ，，再求其轴截面的面积由题得.，【详解】由题得，所以36故答案为：【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考. 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力时，他投，首先，他令胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列10.，当的概率，否则，令，即令一次骰子，若所得点数大于，则 ______（结果用最简分数表示）．为【答案】【解析】【分析】.的概率轮，要使得胡涂涂同学掷了3，分两种情况讨论，再利用古典概型求、11，胡涂涂同学掷了3轮，二轮点数为有两种情况，要使得，①一轮点数为【详解】，三轮点数26，二轮点数为1、、、，三轮点数为5、61；②一轮点数为23、45、、、、234 为1；.∴由古典概型得所求的概率故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌.握水平和分析推理计算能力已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为11.- 4 -_______【答案】【解析】【分析】=1. 22，先求出单位圆直观图的方程(x-y)+8y为了简化问题，我们可以设单位圆x2+y2=1，a画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC 即为椭圆的，ba和，我们可以求出b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为bOD即为椭圆的.从而推导出离心率，第（cosθ，sinθ），即圆上的点P2+y2=1x【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆，第二步变换，绕着一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），所以据此得到单位圆的直观图（cosθ+45°，即投影点顺时针旋转sinθ，sinθ）sinθ，θ为参数，消去参数可得方，sinθ程y=方程参的数为，x=cosθ+为，=1.2(x-y)+8y2得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了- 5 -，根据椭圆上的点到原点的距离b，OD即为椭圆的该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a. ，从而推导出离心率a和b最大为a，最小为b，我们可以求出sinθ）到原点的距离的平方为椭圆上的点（cosθ+sinθ，=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析. 推理能力是（）的下列结论：①，关于函数的，12.设R、取得最小值；③函数；④的最小值是零点；②3中有且时，函数- 6 -________仅有一个是错误的，则-17 【答案】【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，.，解方程组得且，0ac【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果＜）且.c＜0，则函数在定义域内也没有最小值则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，，.且，解方程组得，-17故答案为：【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解. 掌握水平和分析推理能力二.选择题”的（13.的各项的和为已知无穷等比数列，则“）”是“ B. 充分非必要条件A. 充要条件既非充分也非必要条件D. 必要非充分条件C.A 【答案】【解析】【分析】再利用充要条件的先根据已知得＜，因为，所以S0，所以0.，. 定义判断得解0.【详解】由题得0，所以＜S，因为，，∴.”的是充要条件∴“”是“A故答案为：项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这n【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前.些知识的理解掌握水平和分析推理能力- 7 -、、）无解，则必有（ 14.的方程组：）已知关于（其中D.C.A. B.B 【答案】【解析】【分析】，其中不同时为1、.所以当ab=1,且a,b由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.、1，，其中所以当ab=1,且a,b不同时为.∴，即:B故选【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 和分析推理能力已知（R）图像的交点不可能（，则函数15.）与）（R在直线 C. 多于三个A. 只有D. 在第二象上 B.限C 【答案】【解析】【分析】）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的（RR）与结合函数（最多个数得解.（【详解】结合函数）与R（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有个交点，在第三、第四象限，因为函数R）在第2个交点，在第二象限，最多有1（三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点. 故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.方程416.已知是周期为的奇函数，且当，时，在- 8 -，则方程区间）内有唯一解在区间上所有解的和为（ C. 3053234D. 3055252B. 036162A.D 【答案】【解析】【分析】均有三个解，的图像，分析得到在在同一个坐标系下作出函数y=为解的在区和上间所有称，且均有对性，所以，】解【详2×1=2，第0,2结合图像对称性，可知，在（上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为，所以在（2+2=4，0,2上的三个解的和为三个交点的横坐标为2，4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2,4 在（2×3=6，第三个交点的横坐标为，2,4上的三个解的和为所以在（6+4=10均有三个解，，且均有对称性，所以结合图像对称性，可知，在上所有解的和为∴在区间，D故选：【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合.分析推理能力解答题三..、17.如图，三棱锥中，、、均为直角，，- 9 -1）求三棱锥的体积；（.）求异面直线所成角的大小（2与 (2)(1) 【答案】【解析】【分析】为坐以点B.(2) BCD,（1）由题得AB⊥平面，再求出三棱锥的体积先求出轴建立空间直角坐标系，利用向量法所在直线为z所在的直线为y轴，以BA标原点，以BD.求异面直线所成角的大小与BCD,AD=AB⊥平面1）由题得【详解】 ,BD=，（所以三棱锥.的体积,所以）2（轴建立空间直zBAyBDB如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在直线为- 10 -B(0,0,0),A(0,0,1),角坐标系，则,,所以所以异面直线，与所成角的余弦.所成角为与∴异面直线【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.，函数18..R设）若，解不等式；（1，使得上单调递增. （2）求所有的在区间(1) 【答案】 (2)【解析】【分析】）由题得1再解不等式得解.(2)（在区间分类讨论，，数形结合分析得到使得和上单调递增. 的a的取值范围】（1解）由题得【详.，即，二次函数）若（2在区间y=，上单调递增.∴；，，；当，当，，明显符合，所以此时. 综上，【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单- 11 -调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为19.150°的两面墙，另两边是长度均.为8米的篱笆、平方米，求的长（结果精确到）若0.01米），；（1面积的最大值（结果精确到）若要求0.01平方米），求花坛（2.(1)10.05 (2) 平方米【答案】【解析】【分析】①，因为，由正弦定理得（1，即所以）设显然BD,，再利用余弦定理和基本不等式求②，解①②即得解.(2) 连接.，再求花坛出面积的最大值，由正弦定理得）设，，∴（【详解】1②，因为所以.解①②得.所以由正弦定理得,,显然2（）连接BD,由余弦定理得平方米. ，即最大值为∴【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.已知抛物线，直线、（），与20.恰有一，与恰有一个公共点，个公共点与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；- 12 -和且）设的夹角大小. （3是平面上一点，满足，求(3)(1) (2) 【答案】【解析】【分析】恰有一个公共点，，因为），，所以（1与点和方程出抛物线的准准线的距离.（2）线得由可，再求到以.(3) 由题得，所得得，再立与求与出，联，联立，求得，根据，和，即得得解方程，所以的夹角为.，（1，）【详解】，恰有一个公共点∵，与，∴准线的距离到准线为，所以点因为抛物线.得，可得）由（2，消去，，∴整理得得与，联立，联立得3（与）由题得，联立得，∵，与，∴a得）问结论，，，，消去由第（2，据此，，∵∴的夹角为和，解得∴，，∴.- 13 -【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.时，，，若数列，且当设满足：对所有，21.满足为“，函数则称，数列数列”，设R，（）.数列，求的值；，而是）若（1存在但对任意，证明：都不是使得（2），设数是数列，，列；是（，证明：对任意）设，使得数列，都存在.3(1) (2)见证明；(3)【答案】见证明【解析】【分析】先证明当分，）.(2) ，，（1两种情况讨论得到，即满足，所以是只需数列，，且当，所以不，，且当，所，即满足，只需，数列；再证明当是m为奇数，在归纳，得到：以当是不所，以数是列.(3)通过数列有解，存在；，m有解，存在为偶数，在当，.，所以对任意都存在再结合函数映射性质可知，，当时，，.是数列使得，），1；，，当（【详解】.当，不符；综上所述，，，- 14 -数列，也不是，，…，既不是，数列；（2，）当，数列，也不是，，数列；当，…，既不是，，数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是，，，，，，…，只需当，，∴不是，且当，数列；即满足，∴是数列，，当，，，，，…，只需，，∴不是，数列，即满足，∴是，且当数列；都不是数列，使得，是综上，存在数列，但对任意.，，当）有解，存在；3（；，，当有解，存在；，当，有解，存在有解，存在，当；，……，m存在当为奇数，有解，，在；m有解，存在为偶数，在；，当时，，结合函数映射性质可知，当.，都存在是，使得数列∴对任意【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.- 15 -。

2018年上海华东师大二附中第一学期10月份月考-文档资料

华东师大二附中2018学年第一学期高三语文试卷2018.10一积累应用（10分）1、按要求填空（5分）⑴是处红衰翠减，。

（柳永）⑵，非蛇蟮之穴无可寄托者，用心躁也。

（荀子《劝学》）⑶李白在《登金陵凤凰台》中暗示自己报国无门的诗句是：，。

2、按要求选择。

（5分）⑴祝贺母校六十周年校庆，下列祝福表达最得体的是（ B ）（2分）A.欣闻母校六十华诞，愿母校桃李不言，下自成蹊。

B.春秋六秩励精图治，桃李万千再铸辉煌。

C.母校音容笑貌依然，栽培之恩永世不忘。

D.六十年沧桑砥砺，一甲子岁月峥嵘。

⑵。

在新世纪，人们怎样发挥其特点和优势，同时克服其缺点、局限，从而对本国建设乃至世界文化的进步做出贡献，这是我国学术界面临的一个重大课题。

AA.儒家文化有其不足和缺陷，需要向西方文化学习。

但是如家文化在数千年、特别是在近现代亚洲地区的发展中表现出其存在价值和自身的特点、优势。

B.儒家文化有其不足和缺陷，需要向西方文化学习。

但是如家文化在数千年、特别是在近现代亚洲地区的发展中表现出自身的特点、优势和其存在价值。

C.儒家文化在数千年、特别是在近现代亚洲地区的发展中表现出其存在价值和自身的特点、优势，但是儒家文化有其不足和缺陷，需要向西方文化学习。

D.儒家文化在数千年、特别是在近现代亚洲地区的发展中表现出自身的特点、优势和其存在价值，但是儒家文化有其不足和缺陷，需要向西方文化学习。

二阅读（70分）（一）阅读下文，完成第3-7题。

（16分）①早就想说清这样一件事情，便是一个故事本身就包含了一个讲故事的方式。

那故事是唯一的，那方式也是唯一的。

比如电影《勇敢的米哈伊》，故事本身就决定了它必须是宽银幕的；国产电视剧《今夜有暴风雪》拍得很不错，给人感觉是由电视台转播的宽银幕电影，然而失败也在此了。

到了高度现代化的美国，才明白了西方现代派的作品，并不是用意识流、结构现实主义等等莫名其妙的手法表现故事，而是那生活本身给了一个时空颠倒、错综交叉、断断续续、重重叠叠、无头无尾、莫名其妙的故事。

上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三上学期开学考试数学试题(解析版)

【小问3详解】
设直线平移后与椭圆相切的直线方程为，联立，
得，，所以，
因为椭圆上存在点到直线的距离为，，即
所以 ①，同时，
又因为，所以①式右侧肯定成立，左侧可以整理为，
解得，
因，所以当取得最小值时，有最大值，最大值为 .
21.已知，函数 .
（1）若，求曲线在处的切线方程；
则公司的分派人数只能是1，1，则有种，
根据分类计数原理共有种，
故答案为：14．
10.已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则中不同数值的个数为___________.
【答案】2020
【分析】由等差数前项和公式求出，从而，由此能求出结果．
【详解】等差数列的公差不为零，为其前项和，，
,所以切线斜率为2，
所以曲线在点处的切线方程为 .
【小问2详解】
，
则，
设，令，函数在定义内恰有一个的驻点，即方程在定义域内恰有一个解，
所以有，当时，方程不成立.
所以有，令，则，
由于，当时，，不满足题意，
所以当时， .
所以时，即，解得；
时，即，解得；
所以在上单调递减，在上单调递减，
x
1
2
3
4
y
e
【答案】 ##
【分析】对两边取对数，得令则，
利用对称中心点在函数图象上即得，进而确定解析式,求出预测值.
【详解】对两边取对数，得令则
x
1
2
3
4
y
e
z
1
3
4
6

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三11月周考英语试题

2018届高三英语试卷英语试卷（时间120分钟，满分150）2018.11 第Ⅰ卷（共70分）Ⅱ. Grammar and vocabulary（20%）Section A Directions: After reading the passages below, fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word;for the other blanks, use one word that best fits each blank. In most industrialized countries about 118 boys are born for every 100 girls, for a ratio of 1.18, known as the secondary sex ratio, or SSR; the primary sex ratio is the ratio at conception. This is often expressed as the percentage of boys among all births, or about 51.2 percent. The percentage of males among all births is not fixed, however. Since the 1950s and 1960s the overall SSR 25 (decline) in the U.S., Canada and several European countries, there are also both personal and environmental factors that affect the average sex ratio. 26 chance of having a boy appears 27 (decline)with the mother's age, the father's age and the numberof children the family already has. These effects are small. One study in Denmark found that the SSR of children born to fathers younger than 25 was 51.6 percent, which decreased 28 51.0 percent among children of fathers at least 40 years of age. Therefore it is unlikely that the declining SSR in many countriesresults solely from large-scale changes in such personal factors. With regard to environmental factors, improved prenatal and obstetrical care during the first part of the 20th century is largely responsible for an 29 (increase) SSR over this period in many countries. The male fetus is more susceptible to loss in the womb than is the female fetus, so with more conceptions reaching term, proportionally more males are born. It is difficult to discern how much of the decrease in sex ratio since the 1950s arises from contaminants in the environment. What is known is that drug use, high occupational exposures and environmental accidents 30 affect SSR. For example, hopeful mothers 31(take) clomiphene citrate (Clomid) for infertility bore babies with an SSR of only 48.5 percent. Workers producing 1,2-dibromo-3-chloropropane (DBCP), a chemical used to kill worms in agriculture, experienced even larger decreases in the number of male babies. Effects of DBCP on sperm quality 32 (discover) incidentally when male workers found that they were unable to father children. After the exposure ended, male workers experienced some recovery of sperm quality and 36 children were born to 44 workers. Of these 36 children only 10 were boys--an SSRof just 27.8 percent. These dramatic changes resulting from extreme exposures raise the concern that chemicals in theenvironment at 33 (low) concentrations may also change the SSR by exposing people over longer periods of time. For example, there are reports that parental exposure to polychlorinated biphenyls (PCBs) and mercury, each of which is widely distributed in the environment, can affect the sex ratio. 34 (confirm) such effects will take careful work on large populations, but the results may be quite important. Section B（8%）Directions: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need. A. accompanying B. add C. adolescents D. emphasizing AB. experience AC. generally AD. granted BC. limited BD. oriented CD. regularly ABC. scene Wandering around art galleries and museums will be a regular feature of school life, thanks to a curriculum reform package aimed at broadening young minds. Teachers will soon be 35 students into venues where they will be exposed to the arts, said Shanghai vice mayor Weng Tiehui at a meeting with local political advisers yesterday. “Shanghai has been 36 artistic education and requiring students to have at least one artistic skill before graduating from high school,” Weng said at the fourth session of the th12Shanghai Committee of the Chinese People’s Political Consultative Conference.“We plan to 37 watching dramas or seeing exhibitions to curricula, such asChinese, art and music courses. We will take students into artistic venues.”“We hope that our children will enjoy visiting t heaters, galleries and museums after work to make their life more colorful when they grow up,” she added.“Most theaters for 38 are empty on weekdays, which means our schools have not made good use of them,” said Cai Jinping, a political adviser and director of the Children’s Theater of China Welfare Institute. ”Artistic education sh ould not be 39 to music or art classes in schools,” Cai said. “We have to bring children into professional venues to 40 the complete presentation of real and elegant arts in person.” Wang Yang, principal of Caoyang No 2 High School, welcomed the plan, saying that Chinese students do not enjoy the same standard of arts 41 extracurricular activities that are taken for 42 in western countries. “It’s important to cultivate artistic tastes in our children when they are young. Listening to a concert when being taught about a musician, or seeing an exhibition after learning about the artist, would be really helpful in understanding the arts,” he told Shanghai Daily. “But most students focus on lessons at school and only some who are members of student artistic groups have the opportunity to visit artistic venues 43 .” He said that some parents bring children to concerts or exhibitions onweekends, but not every family can afford it. “Visit s to galleries and theaters are cheaper when they are organized by schools,” Wang said, adding that the government could help to improve Shanghai’s cultural 44 by building new arts venues. Reading Comprehension（45%） Section A Directions: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A,B,C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context. While on summer break in 2018, Jack Andraka made a breakthrough in cancer detection that had eluded medical experts. The boy from Maryland was 15. Using information he found on Google and Wikipedia, the boy 45 an idea for diagnostic test for pancreatic cancer(胰岛腺). The test, he says, is 168 times 46 , 400 times more sensitive and 26,000 times more economical than the medical 47 . Currently, to screen the blood of a patient 48 for pancreatic cancer, doctors mustsend vials to a lab, where blood 49 are tested for increased levels of a biomarker. Cancer researchers and doctors say that these tests, which are 60 years old, often don’t show any abnormalities even when the cancer is 50 . Andraka’s test provides an answer on the spot in five minutes with what he estimates is close to 100 percent 51 . It involves dipping filterpaper in a solution which detects a(n) 52 protein. 53 the blood contains the biomarker, it changes the paper’s electrical potential, which can be 54 with an ohmmeter. The now 17-year-old first got the idea for the project at age 13 when a family friend “who was like an uncle” to him died from the disease, one of the deadliest types of cancer. The whiz kid, who became interested in science at an early age and spends much of his time in the lab, 55 help from scientists and began to carry out one experiment after another to eventually 56 . Len Lichtenfeld, a medical expert at the American Cancer Society, 57 Andraka’s work as an “incredible accomplishment.” In 2018, Andraka was awarded the $75,000 grand prize in the Intel International Science and Engineering Fair for his work. Since then, he has become a(n) 58 in scientific circles and has travelled around the world to give TED talks. While the test isn’t available commercially yet, Andraka is working with several companies to continue to test and 59 the product in the hope that it can be sold over- the-counter in the future. 45.A.caught up with B. came up with C. looked forward to D. gave up on 46.A.clearer B. earlier C. faster D. slower 47.A.format B. frame C. level D. standard 48.A.at cost B. at risk C. in shadow D. in trouble 49.A.case B. example C. sample D. symbol 50.A.advanced B. awaited C. suffered D. sensed 51.A.accuracy B. clarity C. definitionD. distinction 52.A.especial B. exact C. special D. specific53.A.Although B. Because C. If D. When 54.A.calculated B. checkedC. estimatedD. measured55.A.chased B. hunted C. searched D. sought 56.A.break through B. set out C. stand out D. take up 57.A.broasted B. emphasized C. overstated D. praised 58.A.celebrity B. expert C. pioneer D. superior 59.A.exploit B. evolve C. improve D. promote Section B Directions:Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read. (A) The case for college has been accepted without question for more than a generation. All high school graduates ought to go, says conventional wisdom and statistical evidence, because college will help them earn more money, become "better" people, and learn to be more responsible citizens than those who don't go. But college has never been able to work its magic for everyone. And now that close to half our high school graduates are attending, those who don't fit the pattern are becoming more numerous, and more obvious. College graduates are selling shoes and driving taxis; college students interfere with each other's experiments and write false letters of recommendationin the intense competition for admission to graduate school. Other find no stimulation in their studies, and drop out—often encouraged by college administrators. Some observers say the fault is with the young people themselves—they are spoiled and they are expecting too much. But that is a condemnation of the students as a whole, and doesn't explain all campus unhappiness. Others blame the state of the world, and they are partly right. We have been told that young people have to go to college because our economy can't absorb an army of untrained eighteen-year-olds. But disappointed graduates are learning that it can no longer absorb an army of trained twenty-two-year-olds, either. Some adventuresome educators and watchers have openly begun to suggest that college may not be the best, the proper, the only place for every young person after the completion of high school. We may have been looking at all those surveys and statistics upside down, it seems,。

2017-2018学年上海市浦东新区华师大二附中高三(上)开学数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1．（4分）集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∪B＝．2．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|＝．3．（4分）函数f（x）＝的最小正周期为．4．（4分）已知单位向量满足，则的夹角为．5．（4分）将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为．6．（4分）已知y＝f﹣1（x）是函数f（x）＝arcsin（1﹣x）的反函数，则f﹣1（x）＝．7．（5分）将杨辉三角中的每一个数∁n'都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形．令，则＝．8．（5分）已知A（﹣9，12），B（﹣16，﹣12），O（0，0），点D在线段OB内，且AD平分∠OAB，则点D的坐标为．9．（5分）已知{a n}为等比数列，且a1a2017＝1，若，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2017）＝．10．（5分）若在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝．11．（5分）已知f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，．g（x）＝f（x）﹣a．记S（a）为函数g（x）的所有零点之和．当﹣1＜a＜0时，S（a）的取值范围为．12．（5分）将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…，b n}，C＝{c1，c2，…，c n}，若A、B、C中的元素满足条件：c1＜c2＜…＜c n，a k+b k＝c k，k＝1，2，…，n，则称M 为“完并集合”．（1）若M＝{1，x，3，4，5，6}为“完并集合”，则x的一个可能值为．（写出一个即可）（2）对于“完并集合”M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分，有且只有一个正确答案13．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹＝40尺，一丈＝10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为a n，则的值为（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b，c∈R+，则“abc＝1”是“≤a+b+c”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件15．（5分）定义max{a，b}＝，设实数x，y满足约束条件，则z＝max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10]B．[﹣7，10]C．[﹣6，8]D．[﹣7，8] 16．（5分）已知函数，给出下列四个判断：（1）f（x）的值域是[0，2]；（2）f（x）的图象是轴对称图形；（3）f（x）的图象是中心对称图形；（4）方程有解．其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题17．（14分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值．18．（14分）华东师大二附中乐东黄流中学位于我国南海边，有一片美丽的沙滩和一弯天然的海滨浴场．如图，海岸线MAN，∠A＝2θ，（海岸线MAN上方是大海），现用长为BC的栏网围成一个三角形学生游泳场所，其中B∈MA，C∈NA．（1）若BC＝l，求三角形游泳场所面积最大值；（2）若BC＝600，，由于学生人数的增加需要扩大游泳场所面积，现在折线MBCN上方选点D，现用长为BD，DC的栏围成一个四边形游泳场所DBAC，使BD+DC ＝1000，求四边形游泳场所DBAC的最大面积．19．（16分）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1斜率为k的直线l1交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，过F2且与l1垂直的直线l2交双曲线的左、右两支分别于D、B两点．（1）求k的取值范围；（2）求四边形ABCD面积的最小值．20．（16分）已知函数f（x）＝log a（x+1）（a＞1），函数g（x）的图象与函数（a＞1）的图象关于直线y＝x对称．（1）求函数g（x）的解析式；（2）若函数g（x）在区间上的值域为[log a（p+3m），log a（p+3n）]，求实数p的取值范围；（3）设函数F（x）＝a f（x）﹣g（x）（a＞1），试用列举法表示集合M＝{x|F（x）∈Z}．21．（18分）已知集合S＝（n≥2，且n∈N*）．若存在非空集合S1，S2，…，S n，使得S＝S1∪S2∪…∪S n，且S i∩S j＝∅（1≤i，j≤n，i≠j），并∀x，y∈S i（i＝1，2，…，n），x＞y，都有x﹣y∉S i，则称集合S具有性质P，S i（i＝1，2，…，n）称为集合S的P子集．（Ⅰ）当n＝2时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集S1，S2；（Ⅱ）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设T′＝{s+3n|s∈T}，求证：∀x，y∈T∪T′，x＞y，都有x﹣y∉T∪T′；（Ⅲ）求证：对任意正整数n≥2，集合S具有性质P．2017-2018学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1．【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3}．故答案为：{1，2，3}2．【解答】解：∵复数z满足，∴z＝，化为4z＝，即z＝，∴|z|＝＝．故答案为：．3．【解答】解：∵函数f（x）＝＝2cos2x﹣sin2x＝cos2x+cos2x＝+cos2x ＝cos2x+，故函数的周期为＝π，故答案为：π．4．【解答】解：根据题意，设向量、的夹角为θ，若单位向量、满足（2﹣）⊥，则有（2﹣）•＝2•﹣2＝0，解可得cosθ＝，又由0≤θ≤π，则θ＝；故答案为：．5．【解答】解：将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，用隔板法，将8个名额排列成一排，在它们形成的7个空档中插入3块隔板，则每种插入隔板的方式对对一种名额分配方式，反之亦然，∴不同的分配方案有：种，其中甲班恰好分到2个名额相当于将6个名额分配给3个班级，每个班级至少1个名额，∴甲班恰好分到2个名额的分配方案为种，∴甲班恰好分到2个名额的概率为p＝．故答案为：．6．【解答】解：∵f（x）＝arcsin（1﹣x），∴sin y＝1﹣x，y∈[﹣，]，∴x＝1﹣sin y，y∈[﹣，]；交换x、y的位置，得y＝；∴f（x）的反函数是f﹣1（x）＝1﹣sin x，x∈[﹣，]．故答案为：1﹣sin x，x∈[﹣，]．7．【解答】解：第一个空通过观察可得．＝×﹣×＝﹣﹣+＝+﹣，an＝++++…++＝（1+﹣1）+（+﹣）+（+﹣）+（+﹣）+…+（+﹣）+（+﹣）＝（1+++…+）+（++++…+）﹣2（++…+）＝[（1+++…+）﹣（++…+）]+[（++++…+）﹣（++…+）]＝1﹣+﹣＝+﹣．所以＝．故答案为：．8．【解答】解：根据题意，设D的坐标为（x，y）；如图：△ABD中，|OA|＝＝＝15，|AB|＝＝24，|OB|＝＝20，若AD平分∠OAB，则有＝＝＝，则有＝，即有（x，y）＝（﹣16，﹣12），则有，则D的坐标为（﹣，﹣）；故答案为：（﹣，﹣）．9．【解答】解：a1a2017＝1，若，f（a1）+f（a2017）＝+＝+＝+＝2．f（a2）+f（a2016）＝2，f（a3）+f（a2015）＝2，…{a n}为等比数列，且a1a2017＝a2a2016＝…，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2017）＝[f（a1）+f（a2017）+f（a2）+f（a2016）+…+f（a1）+f（a2017）]＝＝2017．故答案为：2017．10．【解答】解：由∠A＝60°，得到sin A＝，cos A＝，又b＝1，S△ABC＝，∴bc sin A＝×1×c×＝，解得c＝4，根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝1+16﹣4＝13，解得a＝，根据正弦定理＝＝＝＝，则＝．故答案为：11．【解答】解：f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，作出函数f（x）在y轴右边的图象，由图象关于原点对称可得y轴左边的图象，g（x）＝f（x）﹣a，记S（a）为函数g（x）的所有零点之和．当﹣1＜a＜0时，f（x）＝a的实根的个数为6，由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则由对称性可得x1+x2＝﹣10，x5+x6＝10，可得S（a）＝﹣10+10+（x3+x4）＝x3+x4，当﹣2＜x＜0时，f（x）＝2﹣2﹣x，令f（x）＝﹣1，可得x＝﹣log23，由图象可得x3+x4∈（﹣log23，0）．故答案为：（﹣log23，0）．12．【解答】解：（1）若集合A＝{1，4}，B＝{3，5}，根据完并集合的概念知集合C＝{6，x}，∴x＝“4+3＝7，“若集合A＝{1，5}，B＝{3，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{4，x}，∴x＝“5+6＝11，“若集合A＝{1，3}，B＝{4，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{5，x}，∴x＝3+6＝9，故x的一个可能值为7，9，11 中任一个；（2）若A＝{1，2，3，4}，B＝{5，8，7，9}，则C＝{6，10，12，11}，若A＝{1，2，3，4}，B＝“{5，6，8，10 }，则C＝{7，9，12，11}，若A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7，11}，则C＝{8，10，12，9}，这两组比较得元素乘积最小的集合是{6，10，11，12}故答案为：7，9，11，{6，10，11，12}二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分，有且只有一个正确答案13．【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1＝5（尺），S31＝9×40+30＝390（尺），设公差为d（尺），则31×5+d＝390，解得d＝．则＝＝•＝•＝．故选：B．14．【解答】解：∵abc＝1，∴＝++≤++＝a+b+c；（当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立）若a＝b＝c＝4，则≤a+b+c成立，综上所述，“abc＝1”是“≤a+b+c”的充分不必要条件．故选：A．15．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由定义max{a，b}＝，得z＝max{4x+y，3x﹣y}＝，当x+2y≥0时，化z＝4x+y为y＝﹣4x+z，当直线y＝﹣4x+z过B（﹣2，1）时z有最小值为4×（﹣2）+1＝﹣7；当直线y＝﹣4x+z过A（2，2）时z有最大值为4×2+1×2＝10；当x+2y＜0时，化z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，当直线y＝3x﹣z过B（﹣2，1）时z有最小值为3×（﹣2）﹣1＝﹣7；当直线y＝﹣4x+z过C（2，﹣2）时z有最大值为4×2﹣1×（﹣2）＝10．综上，z＝max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣7，10]．故选：B．16．【解答】解：函数，表示点动点P（x，0）到定点A（3，2），B（5，2）的距离差的绝对值，点动点P（x，0）的运动轨迹（在x轴上）如下：结合图象可知，当点P在P1处时f（x）＝0，当点P由P1处向两边运动时，函数f（x）的值无限接近2，∴f（x）的值域是[0，2），故（1）错；距离点P1等距离的点到定点A（3，2），B（5，2）的距离差的绝对值相等，故f（x）的图象关于直线x＝4轴对称，故（2）正确，（3）错由x∈[0，2）时，f（x）∈（，]，∴方程有解，故（4）正确；故选：B三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题17．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC＝BC＝AC＝4，BD＝1，∴S梯形BCED＝×（4+1）×4＝10∴V＝•S梯形BCED•AC＝×10×4＝．即该几何体的体积V为．（3分）（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）在△BAF中，∵AB＝4，BF＝AF＝＝5．∴cos∠ABF＝＝．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（7分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴＝（0，﹣4，3），＝（﹣4，4，0），∴cos＜，＞＝﹣∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．18．【解答】解：（1）设AB＝x，AC＝y，x＞0，y＞0．l2＝x2+y2﹣2xy cos2θ≥2xy﹣2xy cos2θ，xy≤＝S＝xy sin2θ≤×•sin2θ＝所以，△ABC面积的最大值为＝，当且仅当x＝y时取到，（2）由（1）S△ABC≤＝30000，由BC＝2c＝600（定值），由DB+DC＝1000＝2a，a＝500，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，S△ABC＝mn sin2A为定值．只需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点，此时b＝＝400，面积的最大值为S△DBC＝2c•b＝bc＝300×400＝12000，因此，四边形DBAC面积的最大值为12000+30000．19．【解答】解：（1）由题设条件知：l1，l2的方程分别为y＝k（x+2），y＝﹣，由，得（3﹣k2）x2﹣4k2x﹣4k2＝0，由于l1交双曲线于的左右两支分别于A，C两点，∴，解得k2＜3，注意到对称性，由直线l2交双曲线的左右两点分别为D，B两点，得（﹣）2＜3，∴，k的取值范围是（﹣，﹣）∪．（2）∵|AC|＝＝＝，∴|BD|＝＝．∴四边形ABCD的面积S＝＝，由于S＝＝≥，当且仅当，即k2＝1，k＝±1时，等号成立，故四边形ABCD面积的最小值为18．20．【解答】解：（1）∵函数g（x）的图象与函数（a＞1）的图象关于直线y＝x对称∴函数g（x）与函数（a＞1）互为反函数则g（x）＝log a（x2﹣3x+3）（x＞）（2）∵a＞1，m＞∴函数g（x）在区间上单调递增∵函数g（x）在区间上的值域为[log a（p+3m），log a（p+3n）]，∴g（m）＝log a（m2﹣3m+3）＝log a（p+3m），g（n）＝log a（n2﹣3n+3）＝log a（p+3n），即x2﹣3x+3＝p+3x在（，+∞）有两个不等的根∴﹣6＜p＜（3）f（x）﹣g（x）＝log a（x+1）﹣log a（x2﹣3x+3）＝∴F（x）＝a f（x）﹣g（x）＝（x＞）而函数F（x）的值域为（0，]∵F（x）∈Z∴F（x）＝1或2或3，此时x＝2+、、2∴M＝{x|F（x）∈Z}＝{2+，，2}21．【解答】证明：（Ⅰ）当n＝2时，S＝{1，2，3，4}，令S1＝{1，4}，S2＝{2，3}，则S＝S1∪S2，且对∀x，y∈S i（i＝1，2），x＞y，都有x﹣y∉S i，所以S具有性质P．相应的P子集为S1＝{1，4}，S2＝{2，3}．（Ⅱ）①若，由已知x﹣y∉T，又，所以x﹣y∉T'．所以x﹣y∉T∪T'．②若x，y∈T'，可设x＝s+3n，y＝r+3n，r，s∈T，且，此时．所以x﹣y∉T'，且x﹣y＝s﹣r∉T．所以x﹣y∉T∪T'．③若y∈T，x＝s+3n∈T'，s∈T，则，所以x﹣y∉T．又因为y∈T，s∈T，所以s﹣y∉T．所以x﹣y＝（s+3n）﹣y＝（s﹣y）+3n∉T'．所以x﹣y∉T∪T'．综上，对于∀x，y∈T∪T'，x＞y，都有x﹣y∉T∪T'．（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）由（Ⅰ）可知当n＝2时，命题成立，即集合S具有性质P．（2）假设n＝k（k≥2）时，命题成立．即，且S i∩S j＝∅（1≤i，j≤n，i≠j），∀x，y∈S i（i＝1，2，…，k），x＞y，都有x﹣y∉S i．那么当n＝k+1时，记，i＝1，2，…k，并构造如下k+1个集合：S''1＝S1∪S'1，S''2＝S2∪S'2，…，S''k＝S k∪S'k，，显然S''i∩S''j＝∅（i≠j）．又因为，所以．下面证明S i″中任意两个元素之差不等于S i″中的任一元素（i＝1，2，…，k+1）．①若两个元素，，则，所以．②若两个元素都属于S''i＝S i∪S'i（1≤i≤k），由（Ⅱ）可知，S''i中任意两个元素之差不等于S''i中的任一数（i＝1，2，…，k+1）．从而，n＝k+1时命题成立．综上所述，对任意正整数n≥2，集合S具有性质P．。

华师大二附中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

华师大二附中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．实数x ，y 满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（）A ．（1，1）B ．（0，3）C ．（，2）D ．（，0）2．已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力． 3．复数z=（﹣1+i ）2的虚部为（）A ．﹣2B ．﹣2iC ．2D ．0 4．圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（） A ．4 2 B ．4 5 C ．2 2D ．2 55．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为（） A ．120 B ．110C ．10D ．20 6．已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （）A ．1-B ．2-C ．D ． 7．拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．108．设集合(){,|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（）A ．B ．C ．D ．9．定义运算，例如．若已知，则=（）A ．B ．C ．D ．10．已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（）A ．16cmB ．C ．D ．26cm11．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[] B[]C[]D[]12．已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动时，的取值范围是（）A ． ()0,1 B．⎝ C．()1,3⎫⎪⎪⎝⎭D ．(二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点An （n ，f （n ））（n∈N +），向量=（0，1），θn 是向量与i 的夹角，则++…+= ．14．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 15．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其中为自然对数的底数）的解集为 .16．若log 2（2m ﹣3）=0，则e lnm ﹣1= ．三、解答题（本大共6小题，共70分。

上海市华东师范大学第二附属中学实验班用2018届高三数

第十五章圆锥曲线15.1曲线和方程基础练习1．如果命题“坐标满足方程()0f x y =，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是（）．（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0f x y =，（B ）坐标满足方程()0f x y =，的点有些在C 上，有些不在C 上（C ）坐标满足方程()0f x y =，的点都不在曲线C 上（D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0f x y =，解：原命题不正确说明坐标满足方程()0f x y =，的点不都在曲线C 上，故D 正确． 2．若曲线y a x =与()0y x a a =+>有两个公共点，求实数a 的取值范围．解：数形结合法，可得：()1+∞，．3．判断并画出方程y =题3解析图解：由原方程y = 1y x =--，即()()1111x x y x x ⎧-+⎪=⎨-<⎪⎩，，≥∴方程y =4．若曲线22y x =-与直线3y x k =+恰有三个公共点，则k 的值为__________．解：数形结合，可知：无解．5．过P （2，4）点作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若1l 交1l 轴于A ，2l 交y 轴于B ，求线段AB中点M 的轨迹方程．解：设1l 的方程为()24y k x =-+，则2l 的方程为()124y x k=--+（若两直线的斜率均存在），则420A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，204B k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，．由中点坐标公式知，M 的坐标为2112k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，．所以M 的轨迹方程为()25012x y x y +-=≠≠，．若两直线有一条无斜率，则N 的坐标为（1，2）．所以M 的轨迹方程为250x y +-=．能力提高6．如题6解析图，已知两点()()2202P Q -，，，以及一直线:l y x =，AB 在直线l 上移动．求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．题6解析图解：由于A 、B 在直线:l y x =，且线段AB()A a a ，，()11a a ++，.()0a ≠ 则PA 方程为()()2240a x a y a --++=，PB 方程为()()120a x a y --++=．联立两方程得()()1212216223x a ax y y x y a a ⎧=+-⎪⎪⇒++-+=⎨⎪=-+⎪⎩．所以M 的轨迹方程为222280x y x y -+-+=．7．如题7解析图()a ，Rt ABC △的两条直角边长分别为a 和()b a b >，A 与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角顶点C 的轨迹方程．解：设点C 的坐标为()x y ，，连接CO ，由90ACB AOB ∠=∠=︒，所以A 、O 、B 、C 四点共圆．从而AOC ABC ∠=∠．由tan b ABC a ∠=，tan yAOC x∠=，有y b x a =，即b y x a =．注意到方程表示的是过原点、斜率为ba的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于a 、b 为常数，故C 点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分．我们可考查A 与B 两点在坐标轴上的极端位置，确定C 点坐标的范围．如图()b ，当点A 与原点重合时，12ABC S AB x x =⋅△，所以x =．如图()c ，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标x BD =．由射影定理，2BC BD AB =⋅，即2a x =2x =由已知a b >2．故C点的轨迹方程为：2b y x x a ⎛⎫=．题7解析图(b))8．已知常数0a >，在矩形ABCD 中，4AB =，4BC a =，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DGBC CD DA==，P 为GE 与OF 的交点（如解析图）．求P 点的轨迹方程．题8解析图解：根据题设条件可知，点()P x y ，的轨迹即直线GE 与OF 的交点．据题意有()20A -，，()20B ，，()24C a ，，()24D a -，．设，()01BE CF DGk k BC CD DA===≤≤，由此有()24E ak ，，()244F k a -，，()244G a ak --，直线OF 的方程为()2210ax k y +-=，① 直线GE 的方程为()2120a k x y a --+-=．②从①②消去参数k ，得点()P x y ，的轨迹方程是：222220a x y ay +-=．1 5.2 圆的方程基础练习1．求过两点A （1，4）、B （3，2）且圆心在直线0y =上的圆的标准方程并判断点P （2，4）与圆的关系．解：圆心坐标为AB 中垂线与直线0y =的交点，半径为圆心到A 的距离，继而得()22120x y ++=，计算点P 到圆心的距离为5，圆半径为，其大于半径，故点P 在圆外．2．圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=解：圆方程为()()22128x y +++=，圆心坐标（1-，2-），=又圆的半径为3个．3．自点()33A -，发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆22:4470C x y x y +--+=相切.（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程多长？解：（1）根据对称性可知，入射光线与圆C 关于x 轴对称的圆()()22221x y -++=相切．设入射光线的方程为()33y k x =++314k =⇒=-，43-．所以入射光所在直线方程为4330x y ++=或3430x y +-=．根据对称性可知，反射光线是通过点()33A -，关于x 轴对称的点()33--，与圆22:4470C x y x y +--+=相切的直线．设入射光线的方程为()33y k x =+-314k =⇒=，43．所以反射光线所在的直线的方程为4330x y -+=或3430x y --=．（2）根据对称性可知，光线自A 到切点所经过的路程等于点()33--，与圆22:4470C x y x y +--+=7．4．求半径为4，与圆224240x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程．解：依题意，所求圆与直线0y =相切且半径为4，则圆心的坐标为()14O a ，或()14O a -，，又已知圆的圆心坐标为()221O ，，半径3r =，若两圆相切，则1243O O =+或1243O O =-．（1）当圆心为()14O a ，7=，解得2a =±1，无解．故所求圆的方程为(()222416x y --+-=或(()222416x y -++-=．（2）当圆心为()14O a -，7，解得2a =±1=，无解．故所求的圆的方程为(()222416x y --+-=或(()222416x y -++-=．综合（1）（2）可知所求圆的方程为(()222416x y --+-=或(()222416x y -++-=或(()222416x y --+-=或(()222416x y -++-=．5．求经过点A （0，5），且与直线20x y -=和20x y +=都相切的圆的方程．解：设圆心坐标为()05A ，，半径为R ==解得：135a b R =⎧⎪=⎨⎪=⎩或515a b R ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的方程为：()()22135x y -+-=或()()22515125x y -+-=．6．设点()P x y ，是圆221x y +=上的任一点，求21y u x -=+的取值范围．解：由21y u x -=+得：()21y u x -=+，此直线与圆221x y +=有公共点，故点()00，到直线的距离1d ≤．1解得：34u -≤．能力提高7．在直角坐标系xOy 中，以O为圆心的圆与直线4x =相切．（1）求圆O 的方程．（2）圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA PB ⋅的取值范围．解：（1）点()00，到直线4x =2=，故圆方程为224x y +=．（2）2PA PB PO ⋅=，设()P xy ，，故为()()()222222222[2][2]2x y x y x y y x ++⋅-+=+⇒=-．因点P在圆内，所以2240x y ->≥，得[)()()[)22223222620x PA P Bx x y x ∞∈⋅=+-+=-∈-，，，． 8．矩形ABCD 的两条对角线相交于点M （2，0），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点T （1，1）在AD 边所在直线上．（1）求AD 边所在直线的方程．（2）求矩形ABCD 外接圆的方程．（3）若动圆P 过点()20N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．解：（1）因为AB AD ⊥，因为13AD ABk k =-=-，又AD 过T ．故直线方程为320x y ++=．（2）由题知，A 点坐标为()02-，，圆心为点M （2，0），所以矩形ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=．（3）由题知，PM PN -=(22122x y x -=≤．9．在平面直角坐标系XOY 中，给定两点()12M -，和()14N ，，点P 在X 轴上移动，当MPN∠取最大值时，试求点P 的横坐标．解：经过M ，N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线3y x =-，设圆心为()3S a a -，，则圆S 的方程为：()()()222321x a y a a -+-+=+．对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN ∠取最大值时，经过M ，N ，P 三点的圆S 必与x 轴相切于点P ，即圆S 的方程中的a 值必须满足()()22213a a +=-，解得1a =或7a =-．即对应的切点分别为P （1，0）和P ＇()70-，，而过点M ，N ，P ＇的圆的半径大于过点M ，N ，P 的圆的半径，所以MPN MP N ∠>∠＇，故点P （1，0）为所求，所以点P 的横坐标为l ．10．已知⊙()22:21M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．（1）如果AB =，求直线MQ 的方程．（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程．解：（1）如解析图所示，由AB =13MP ==．由射影定理，得2MB MP MQ =⋅，得3MQ =，在Rt △MOQ 中，题10解析图OQ===故a =a =，所以直线AB 方程是20x +-或20x +．（2）连接MB ，MQ ．设()P x y ，，()0Q a ，，由点M ，P ，Q 在一直线上，得22y a x-=- 由射影定理得2MB MP MQ =⋅， ①1=②在①及②中消去a ，并注意到2y <，可得()22712416x y y ⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭．11．在x 轴同侧的两个圆：动圆1C 和圆2222244420a x a y a b x a y b +--+=外切()N 0a b a ∈≠，，，且动圆1C 与x 轴相切，求：（1）动圆1C 的圆心轨迹方程L ．（2）若直线)2241469580abx ay b a a -++-=与曲线L 有且仅有一个公共点，求a ，b 之值．解：（1）由2222244420a x a y abx ay b +--+=可得22211244b x y a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由a ，b ∈N ，以及两圆在x 轴同侧，可知动圆圆心在x 轴上方，设动圆圆心坐标为()x y ，，14y a +，整理得到动圆圆心轨迹方程2242b b y ax bx x a a ⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭．（2）联立方程组2242b b y ax bx x a a ⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭① )2241469580abx ay b a a -++-=②消去y 得()222469580a x a a ---=，由()22221671669580a b a a a ∆=⨯+-=，整理得2276958b a a += ③从③可知277a a ⇒．故令17a a =，代入③可得221176958b a a +=，277b b ⇒⇒．再令17b b =，代入上式得221117994b a a +=．同理可得，1177a b ，．可令49a n =，49b m =，代入③可得227142m n n +=④对④进行配方，得()22271771n m -+=，对此式进行奇偶分析，可知m ，n 均为偶数．所以()22277171m n =--为8的倍数，令4m r =，则2221127145r r ⇒≤≤．所以r =0，1，2，3，4，5，6．仅当04r =，时，2271112r -为完全平方数。

华二附中高三开学考

华二附中高三开学考试卷2018.03一. 填空题1. 设全集U =Z ，若集合{1,2,3,4}A =，{1,0,1}B =-，则U A C B =I2. 计算：1sin(arccos())3-=3. 已知向量(1,5,5)a =-r ，(2,1,7)b =r，则||a b +=r r4. 如果复数z 满足110z z++=，那么||z = 5. 2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()f x -=6. 方程24log (2)1log (6)x x +=+-的解为x =7. 在2)n x的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为8. 已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为 9. 已知一个圆柱的表面积和体积都等于54π，则其轴截面的面积为10. 胡图图同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列{}n a ，首先，他令11a =，当1n ≥时，他掷一次骰子，若所得点数大于n a ，即令11n n a a +=+，否则，令11n n a a +=-，则40a =的概率为（结果用最简分数表示）11. 已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为12. 设a Z ∈，b 、c ∈R ，关于函数()c f x ax b x =++（0x >）的下列结论：①12x =是 ()y f x =的零点；②1x =时，函数()y f x =取得最小值；③函数()y f x =的最小值是3；④(2)8f =中有且仅有一个是错误的，则b =二. 选择题13. 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为S ，则“10a <”是“0S <”的（） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 已知关于x 、y 的方程组：11ax y x by +=⎧⎨+=⎩（其中a 、0b >）无解，则必有（）A. 2a b +<B. 2a b +>C. 2a b -<D. 2a b -> 15. 已知*n N ∈，则函数n y x =（x ∈R ）与x y n =（x ∈R ）图像的交点不可能（） A. 只有(,)n n n B. 在直线y nx =上 C. 多于三个 D. 在第二象限16. 已知()y f x =是周期为4的奇函数，且当[0,2]x ∈时，()0.9(2)f x x x =-，方程()sin2xf x π=在区间(0,1)内有唯一解x a =，则方程()sin2xf x π=在区间[0,2018]上所有解的和为（）A. 20182034144a +B. 2036162C. 3053234D. 3055252三. 解答题17. 如图，三棱锥A BCD -中，ABC ∠、ABD ∠、ADC ∠、BDC ∠均为直角，1AB CD ==，2AC =.（1）求三棱锥A BCD -的体积；（2）求异面直线AD 与BC 所成角的大小.18. 设a ∈R ，函数22()log |2|f x x ax =++. （1）若5a =-，解不等式()1f x >；（2）求所有的a ，使得()f x 在区间1(,1)2上单调递增.19. 如图，某小区要建四边形的花坛ABCD ，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆AB 、BC .（1）若20ACD ∠=︒，6ACD S ∆=平方米，求AC 的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求AD CD =，求花坛ABCD 面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.20. 已知抛物线2:y x a Γ=+，直线1:0l kx y b ++=、2:0l x ky b ++=（1k ≠±），1l 与Γ恰有一个公共点A ，2l 与Γ恰有一个公共点B ，1l 与2l 交于点P . （1）当12l l ⊥时，求点P 到Γ准线的距离；（2）当1l 与2l 不垂直时，求a 的取值范围；（3）设Q 是平面上一点，满足32PQ AP =u u u r u u u r且1BQ l ⊥，求1l 和2l 的夹角大小.21. 设*m N ∈，若数列{}n x 满足：对所有*d N ∈，m d d x x +=，且当11n m <<+时，1n x x ≠，则称{}n x 为“m T 数列”，设k ∈R ，函数11022()1(1)12x x f x k x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，数列{}n a 满足1[0,1]a ∈，1()n n a f a +=（*n N ∈）.（1）若123a =，而{}n a 是2T 数列，求k 的值；（2）设1k =，证明：存在1[0,1]a ∈，使得{}n a 是4T 数列，但对任意1[0,1]a ∈，{}n a 都不是5T 数列；（3）设2k =，证明：对任意*m N ∈，都存在1[0,1]a ∈，使得{}n a 是m T 数列.华二附中高三开学考试卷2018.03一. 填空题1. 设全集U =Z ，若集合{1,2,3,4}A =，{1,0,1}B =-，则U A C B =I 【解析】{2,3,4}U A C B =I2. 计算：1sin(arccos())3-=【解析】∵1arccos()[0,]3π-∈，∴1sin(arccos())33-=3. 已知向量(1,5,5)a =-r ，(2,1,7)b =r，则||a b +=r r【解析】(3,4,12)a b +=-r r ，∴||13a b +=r r4. 如果复数z 满足110z z++=，那么||z = 【解析】∵110z z++=，∴z ∉R ，∴||1z = 5. 2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()f x -=【解析】1()1f x -=，1x ≥-6. 方程24log (2)1log (6)x x +=+-的解为x = 【解析】244log (2)log 4(6)2x x x +=-⇒=7. 在2)n x的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为【解析】3814n n =⇒=，常数项1428C ⋅= 8. 已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为【解析】2ca=，且23a c c -=，∴2a =，4c =，焦距为8 9. 已知一个圆柱的表面积和体积都等于54π，则其轴截面的面积为【解析】2222543r rh r h r ππππ+==⇒=，6h =，6636S =⨯=轴截面10. 胡图图同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列{}n a ，首先，他令11a =，当1n ≥时，他掷一次骰子，若所得点数大于n a ，即令11n n a a +=+，否则，令11n n a a +=-，则40a =的概率为（结果用最简分数表示）【解析】掷了3轮，要使得40a =，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1； ∴概率为31615212627⨯⨯+⨯⨯=11. 已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为12. 设a Z ∈，b 、c ∈R ，关于函数()c f x ax b x =++（0x >）的下列结论：①12x =是 ()y f x =的零点；②1x =时，函数()y f x =取得最小值；③函数()y f x =的最小值是3；④(2)8f =中有且仅有一个是错误的，则b =【解析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以0a c =>，且3b =，且282ca b ++=，解得，17b =-二. 选择题13. 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为S ，则“10a <”是“0S <”的（） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件【解析】11a S q=-，0||1q <<，∴10q ->，∴是充要条件，选A 14. 已知关于x 、y 的方程组：11ax y x by +=⎧⎨+=⎩（其中a 、0b >）无解，则必有（）A. 2a b +<B. 2a b +>C. 2a b -<D. 2a b ->【解析】根据题意，1ab =，且a 、b 不同时为1，∴a b +>2a b +>，选B 15. 已知*n N ∈，则函数n y x =（x ∈R ）与x y n =（x ∈R ）图像的交点不可能（） A. 只有(,)n n n B. 在直线y nx =上 C. 多于三个 D. 在第二象限【解析】结合图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，没有交点，∴最多只有3个交点，选C16. 已知()y f x =是周期为4的奇函数，且当[0,2]x ∈时，()0.9(2)f x x x =-，方程()sin2xf x π=在区间(0,1)内有唯一解x a =，则方程()sin2xf x π=在区间[0,2018]上所有解的和为（）A. 20182034144a +B. 2036162C. 3053234D. 3055252 【解析】结合图像对称性，可知，在(,2]k k +均有三个解，k ∈N ，且均有对称性，∴在区间[0,2018]上所有解的和为4101610094100950463055252+++⋅⋅⋅=⨯+⨯⨯=，选D三. 解答题17. 如图，三棱锥A BCD -中，ABC ∠、ABD ∠、ADC ∠、BDC ∠均为直角，1AB CD ==，2AC =.（1）求三棱锥A BCD -的体积；（2）求异面直线AD 与BC 所成角的大小.【解析】（1）AD BC ==，BD =113V ==（2）3322cos 233θ+-==⋅，∴异面直线AD 与BC 所成角为2arccos 318. 设a ∈R ，函数22()log |2|f x x ax =++. （1）若5a =-，解不等式()1f x >；（2）求所有的a ，使得()f x 在区间1(,1)2上单调递增. 【解析】（1）2|52|2(,0)(1,4)(5,)x x x -+>⇒∈-∞+∞U U（2）分类讨论，若280a ∆=-≤，即a -≤≤122a -≤，∴[a ∈-；若280a ∆=->，即a <-a >，当a <-1922a ≤⇒≤-；当a >1922a ≤⇒≥-，明显符合，综上，9(,][1,)2a ∈-∞--+∞U19. 如图，某小区要建四边形的花坛ABCD ，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆AB 、BC .（1）若20ACD ∠=︒，6ACD S ∆=平方米，求AC 的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求AD CD =，求花坛ABCD 面积的最大值（结果精确到0.01平方米）. 【解析】（1）设CD x =，sin10sin 20x AD︒︒=， ∴2cos10AD x ︒=，∴2122cos10sin150 3.4907x x ︒︒=⇒≈10.052sin10xAC ︒=≈（2）2264264cos7543.17422AD BD AD BD AD BD AD BD AD BD︒+-⋅-=≥⇒⋅≤⋅⋅∴sin7541.70S AD BD ︒=⋅⋅≤，即最大值为41.70平方米20. 已知抛物线2:y x a Γ=+，直线1:0l kx y b ++=、2:0l x ky b ++=（1k ≠±），1l 与Γ恰有一个公共点A ，2l 与Γ恰有一个公共点B ，1l 与2l 交于点P . （1）当12l l ⊥时，求点P 到Γ准线的距离；（2）当1l 与2l 不垂直时，求a 的取值范围；（3）设Q 是平面上一点，满足32PQ AP =u u u r u u u r且1BQ l ⊥，求1l 和2l 的夹角大小.【解析】（1）(,1)(1,)00k k k =⇒=，(,)P b b --，∵恰有一个公共点，∴a b =-，准线为14y a =-，11||44d a b =+-=（2）由0∆=可得24()0k a b -+=，214()0b a k k-+=，消去b 得，221440k a a k k ---=整理得141(,3)(1,)a k k =---∈-∞-+∞U ，∴31(,)(,)44a ∈-∞-+∞U（3）(,)11b b P k k --++，联立1l 与Γ得2(,)22k k A b --，联立2l 与Γ得211(,)22b B k k k --，∵1BQ l ⊥，∴2111:()22BQ bl y x k k k k=++-，与1l 联立得231Q bk bk x k k --=+，由第（2）问结论，244k a b =+，214()b a k k =+，消去a 得2141b k k k =+++，∴24331344Q bk bk k x k k k k ----==++，∵32PQ AP =u u u r u u u r ，据此23554228Q k b k x k k -=-=+，∴42335448k k k k k ---=+，解得213k =，12cos ,l l ==，∴夹角为6π.21. 设*m N ∈，若数列{}n x 满足：对所有*d N ∈，m d d x x +=，且当11n m <<+时，1n x x ≠，则称{}n x 为“m T 数列”，设k ∈R ，函数11022()1(1)12x x f x k x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，数列{}n a 满足 1[0,1]a ∈，1()n n a f a +=（*n N ∈）.（1）若123a =，而{}n a 是2T 数列，求k 的值；（2）设1k =，证明：存在1[0,1]a ∈，使得{}n a 是4T 数列，但对任意1[0,1]a ∈，{}n a 都不是5T 数列；（3）设2k =，证明：对任意*m N ∈，都存在1[0,1]a ∈，使得{}n a 是m T 数列. 【解析】（1）123a =，23k a =，当1032k ≤≤，32121()3232k a f a k ==+=⇒=，21a a ≠；当1123k <≤，32(1)233k a k k =-=⇒=，21a a =，不符；综上所述，12k =. （2）当10a =，212a =，31a =，40a =，512a =，…，既不是4T 数列，也不是5T 数列；当112a =，21a =，30a =，412a =，51a =，…，既不是4T 数列，也不是5T 数列；当11a =，20a =，312a =，41a =，50a =，…，既不是4T 数列，也不是5T 数列；当11(0,)2a ∈，2112a a =+，3112a a =-，411a a =-，51a a =，6112a a =+，…，只需114a ≠，即满足4d d a a +=，且当15n <<，1n a a ≠，∴是4T 数列，5d d a a +≠，∴不是5T 数列；当11(,1)2a ∈，211a a =-，3132a a =-，4112a a =-，51a a =，611a a =-，…，只需134a ≠，即满足4d d a a +=，且当15n <<，1n a a ≠，∴是4T 数列，5d d a a +≠，∴不是5T 数列；综上，存在1[0,1]a ∈，使得{}n a 是4T 数列，但对任意1[0,1]a ∈，{}n a 都不是5T 数列. （3）1m =，当1(,1)2x ∈，()2(1)f x x x =-=有解，存在21a a =；2m =，当13(,)24x ∈，2()(())42f x f f x x x ==-=有解，存在31a a =；3m =，当53(,)84x ∈，32()(())86f x f f x x x ==-+=有解，存在41a a =；4m =，当511(,)816x ∈，43()(())1610f x f f x x x ==-=有解，存在51a a =；……，当m 为奇数，在112122(,)3232m m m m x ++-+∈⋅⋅，122()23m mm f x x x ++=-+=有解，存在11m a a +=；当m 为偶数，在112221(,)3232m m m m x ++-+∈⋅⋅，122()23m mm f x x x +-=-=有解，存在11m a a +=；结合函数映射性质可知，当11n m <<+时，1n x x ≠， ∴对任意*m N ∈，都存在1[0,1]a ∈，使得{}n a 是m T 数列.。

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高三10月月考数学卷(含答案)

2018-2019学年华二高三第一学期月考数学试卷一. 填空题1. 设函数()f x 是奇函数，当0x <时，()3x f x x =+，则当0x >时，()f x =2. 已知函数()2x f x m =+，其反函数1()y f x -=图像经过点(3,1)，则实数m 的值为3. 设集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，则“AB =R ”是“1a =”的条件（填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件之一） 4. 若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则m 的取值为5. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是6. 方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 7. 如果数列{}n a 为递增数列，且2n a n n λ=+（n ∈*N ），则实数λ的取值范围为 8. 从2为女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种（用数字填写答案）9. 已知F 是椭圆22:1204x y C +=的右焦点，P 是C 上一点，(2,1)A -，当△APF 周长最小时，其面积为10. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=，则tan tan AB的值为 11. 若二次函数2()0f x ax bx c =++=（0a >）在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为12. 已知集合25{,,1,4}34M =-，集合M 的所有非空子集依次记为：1215,,,M M M ⋅⋅⋅，设1215,,,m m m ⋅⋅⋅分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则1215m m m ++⋅⋅⋅+=二. 选择题13. 函数1x y a a=-（0a >，0a ≠）的图像可能是（）A B C D14. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差0d >，8595()()0S S S S --<，则（） A. 78||||a a > B. 78||||a a < C. 78||||a a = D. 7||0a = 15. 已知D 为△ABC 的边AB 上的一点，且13CD AC BC λ=+⋅，则实数λ的值为（） A. 23 B. 23- C. 43 D. 43-16. 已知函数231()21x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（） A. 47[,2]16- B. 4739[,]1616-C. [-D. 39[]16-三. 解答题17.如图所示，在边上为5+ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M 、N 、K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.18. 已知函数()|21|||f x x x a =---，0a ≤. （1）当0a =时，求不等式()1f x <的解集；（2）若()f x 的图像与x轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围.19. 已知函数()cos cos )f x x x x m =-+（m ∈R ），将()y f x =的图像向左平移6π个单位后得到()g x 的图像，且()y g x =在区间[,]43ππ（1）求m 的值；（2）在锐角△ABC中，若1()22C g =-+sin cos A B +的取值范围.20. 在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M 、F 、O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34，过定点(0,)D p 作直线与抛物线C 相交于A 、B 两点. （1）求抛物线C 的方程；（2）若点N 是点D 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（3）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由.21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122n na a +≤≤（*n ∈N ），则称{}n a 是“紧密数列”. （1）已知{}n a 是“紧密数列”，其前5项依次为1、32、94、x 、8116，求x 的取值范围；（2）若数列{}n a 的前项和为21(3)4n S n n =+（*n ∈N ），判断{}n a 是否是“紧密数列”，并说明理由；（3）设{}n a 是公比为q 的等比数列，若{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.参考答案一. 填空题1. 3x x --+2. 1m =3. 必要不充分4. 2m =5.66. 由1120(0,)3m m m ->>⇒∈7. 3322λλ-<⇒>-8. 16，1221242416C C C C +=9. 4，即PA PF +最小，∴PA PF PA PF '+=+，当P 、A 、F '三点共线时，周长最小，此时(0,2)P ，求得面积为4.10. 3，由1tan sin()sin()32tan AA B A B B-=+⇒= 11. [0,1) 12. 2513(1)(1)(11)(41)1342-++++-=二. 选择题13. D 14. B ，778()0a a a +<，∴70a <，870a a >-> 15. D ，13CD CA CB λ=--⋅，根据共线，∴14133λλ--=⇒=- 16. A三. 解答题17. 10S π=，3V =. 18.（1）(0,2)x ∈；（2）(,1)-∞-.19.（1（2）3)2.20.（1）22x y =；（2）0k =）；（3）2py =. 21.（1）819322x ≤≤；（2）是；（3）1[,1]2.。

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上海市华东师范大学二附中2018届高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题满分54分，本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=．2．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期为．4．（4分）已知单位向量满足，则的夹角为．5．（4分）将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为．6．（4分）已知y=f﹣1（x）是函数f（x）=arcsin（1﹣x）的反函数，则f﹣1（x）=．7．（5分）将杨辉三角中的每一个数C n'都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形．令，则=．8．（5分）已知A（﹣9，12），B（﹣16，﹣12），O（0，0），点D在线段OB内，且AD平分∠OAB，则点D的坐标为．9．（5分）已知{a n}为等比数列，且a1a2017=1，若，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2017）=．10．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．11．（5分）已知f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，．g（x）=f（x）﹣a．记S（a）为函数g（x）的所有零点之和．当﹣1＜a＜0时，S（a）的取值范围为．12．（5分）将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中A={a1，a2，…，a n}，B={b1，b2，…，b n}，C={c1，c2，…，c n}，若A、B、C中的元素满足条件：c1＜c2＜…＜c n，a k+b k=c k，k=1，2，…，n，则称M为“完并集合”．（1）若M={1，x，3，4，5，6}为“完并集合”，则x的一个可能值为．（写出一个即可）（2）对于“完并集合”M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是．二、选择题（本大题满分20分，本大题共有4题，每题5分，有且只有一个正确答案）13．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为a n，则的值为（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b，c∈R+，则“abc=1”是“≤a+b+c”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件15．（5分）定义max{a，b}=，设实数x，y满足约束条件，则z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10] B．[﹣7，10] C．[﹣6，8] D．[﹣7，8] 16．（5分）已知函数，给出下列四个判断：（1）f（x）的值域是[0，2]；（2）f（x）的图象是轴对称图形；（3）f（x）的图象是中心对称图形；（4）方程有解．其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题满分78分，本大题共有5题）17．（14分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值．18．（14分）华东师大二附中乐东黄流中学位于我国南海边，有一片美丽的沙滩和一弯天然的海滨浴场．如图，海岸线MAN，∠A=2θ，（海岸线MAN上方是大海），现用长为BC的栏网围成一个三角形学生游泳场所，其中B∈MA，C∈NA．（1）若BC=l，求三角形游泳场所面积最大值；（2）若BC=600，，由于学生人数的增加需要扩大游泳场所面积，现在折线MBCN上方选点D，现用长为BD，DC的栏围成一个四边形游泳场所DBAC，使BD+DC=1000，求四边形游泳场所DBAC的最大面积．19．（16分）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1斜率为k的直线l1交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，过F2且与l1垂直的直线l2交双曲线的左、右两支分别于D、B两点．（1）求k的取值范围；（2）求四边形ABCD面积的最小值．20．（16分）已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），函数g（x）的图象与函数（a＞1）的图象关于直线y=x对称．（1）求函数g（x）的解析式；（2）若函数g（x）在区间上的值域为[log a（p+3m），log a（p+3n）]，求实数p的取值范围；（3）设函数F（x）=a f（x）﹣g（x）（a＞1），试用列举法表示集合M={x|F（x）∈Z}．21．（18分）已知集合S=（n≥2，且n∈N*）．若存在非空集合S1，S2，…，S n，使得S=S1∪S2∪…∪S n，且S i∩S j=∅（1≤i，j≤n，i≠j），并∀x，y∈S i （i=1，2，…，n），x＞y，都有x﹣y∉S i，则称集合S具有性质P，S i（i=1，2，…，n）称为集合S的P子集．（Ⅰ）当n=2时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集S1，S2；（Ⅱ）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设T′={s+3n|s∈T}，求证：∀x，y∈T∪T′，x＞y，都有x﹣y∉T∪T′；（Ⅲ）求证：对任意正整数n≥2，集合S具有性质P．【参考答案】一、填空题1．{1，2，3}【解析】∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}．故答案为：{1，2，3}2．【解析】∵复数z满足，∴z=，化为4z=，即z=，∴|z|==．故答案为：．3．π【解析】∵函数f（x）==2cos2x﹣sin2x=cos2x+cos2x=+cos2x =cos2x+，故函数的周期为=π，故答案为：π．4．【解析】根据题意，设向量、的夹角为θ，若单位向量、满足（2﹣）⊥，则有（2﹣）•=2•﹣2=0，解可得cosθ=，又由0≤θ≤π，则θ=；故答案为：．5．【解析】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，用隔板法，将8个名额排列成一排，在它们形成的7个空档中插入3块隔板，则每种插入隔板的方式对对一种名额分配方式，反之亦然，∴不同的分配方案有：种，其中甲班恰好分到2个名额相当于将6个名额分配给3个班级，每个班级至少1个名额，∴甲班恰好分到2个名额的分配方案为种，∴甲班恰好分到2个名额的概率为p=．故答案为：．6．1﹣sin x，x∈[﹣，]【解析】∵f（x）=arcsin（1﹣x），∴sin y=1﹣x，y∈[﹣，]，∴x=1﹣sin y，y∈[﹣，]；交换x、y的位置，得y=；∴f（x）的反函数是f﹣1（x）=1﹣sin x，x∈[﹣，]．故答案为：1﹣sin x，x∈[﹣，]．7．【解析】第一个空通过观察可得．=×﹣×=﹣﹣+=+﹣，an=++++…++=（1+﹣1）+（+﹣）+（+﹣）+（+﹣）+…+（+﹣）+（+﹣）=（1+++…+）+（++++…+）﹣2（++…+）=〔（1+++…+）﹣（++…+）〕+〔（++++…+）﹣（++…+）〕=1﹣+﹣=+﹣．所以=．故答案为：．8．【解析】根据题意，设D的坐标为（x，y）；如图：△ABD中，|OA|===15，|AB|==24，|OB|==20，若AD平分∠OAB，则有===，则有=，即有（x，y）=（﹣16，﹣12），则有，则D的坐标为（﹣，﹣）；故答案为：（﹣，﹣）．9．2017【解析】a1a2017=1，若，f（a1）+f（a2017）=+=+=+=2．f（a2）+f（a2016）=2，f（a3）+f（a2015）=2，…{a n}为等比数列，且a1a2017=a2a2016=…，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2017）=[f（a1）+f（a2017）+f（a2）+f（a2016）+…+f（a1）+f（a2017）]==2017．故答案为：2017．10．【解析】由∠A=60°，得到sin A=，cos A=，又b=1，S△ABC=，∴bc sin A=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc cos A=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：11．（﹣log23，0）【解析】f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，作出函数f（x）在y轴右边的图象，由图象关于原点对称可得y轴左边的图象，g（x）=f（x）﹣a，记S（a）为函数g（x）的所有零点之和．当﹣1＜a＜0时，f（x）=a的实根的个数为6，由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则由对称性可得x1+x2=﹣10，x5+x6=10，可得S（a）=﹣10+10+（x3+x4）=x3+x4，当﹣2＜x＜0时，f（x）=2﹣2﹣x，令f（x）=﹣1，可得x=﹣log23，由图象可得x3+x4∈（﹣log23，0）．故答案为：（﹣log23，0）．12．（1）7，9，11（2）{6，10，11，12}【解析】（1）若集合A={1，4}，B={3，5}，根据完并集合的概念知集合C={6，x}，∴x=“4+3=7，“若集合A={1，5}，B={3，6}，根据完并集合的概念知集合C={4，x}，∴x=“5+6=11，“若集合A={1，3}，B={4，6}，根据完并集合的概念知集合C={5，x}，∴x=3+6=9，故x 的一个可能值为7，9，11 中任一个；（2）若A={1，2，3，4}，B={5，8，7，9}，则C={6，10，12，11}，若A={1，2，3，4}，B=“{5，6，8，10 }，则C={7，9，12，11}，若A={1，2，3，4}，B={5，6，7，11}，则C={8，10，12，9}，这两组比较得元素乘积最小的集合是{6，10，11，12}故答案为：7，9，11，{6，10，11，12}二、选择题13．B【解析】由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1=5（尺），S31=9×40+30=390（尺），设公差为d（尺），则31×5+d=390，解得d=．则==•=•=．故选：B．14．A【解析】∵abc=1，∴=++≤++=a+b+c；（当且仅当a=b=c=1时，等号成立）若a=b=c=4，则≤a+b+c成立，综上所述，“abc=1”是“≤a+b+c”的充分不必要条件．故选A．15．B【解析】由约束条件作出可行域如图，由定义max{a，b}=，得z=max{4x+y，3x﹣y}=，当x+2y≥0时，化z=4x+y为y=﹣4x+z，当直线y=﹣4x+z过B（﹣2，1）时z有最小值为4×（﹣2）+1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，2）时z有最大值为4×2+1×2=10；当x+2y＜0时，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，当直线y=3x﹣z过B（﹣2，1）时z有最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过C（2，﹣2）时z有最大值为4×2﹣1×（﹣2）=10．综上，z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣7，10]．故选：B．16．B【解析】函数，表示点动点P（x，0）到定点A（3，2），B（5，2）的距离差的绝对值，点动点P（x，0）的运动轨迹（在x轴上）如下：结合图象可知，当点P在P1处时f（x）=0，当点P由P1处向两边运动时，函数f（x）的值无限接近2，∴f（x）的值域是[0，2），故（1）错；距离点P1等距离的点到定点A（3，2），B（5，2）的距离差的绝对值相等，故f（x）的图象关于直线x=4轴对称，故（2）正确，（3）错由x∈[0，2）时，f（x）∈（，]，∴方程有解，故（4）正确；故选：B三、解答题17．解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10∴V=•S梯形BCED•AC=×10×4=．即该几何体的体积V为．（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．在△BAF中，∵AB=4，BF=AF==5．∴cos∠ABF==．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），∴cos＜，＞=﹣∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．18．解：（1）设AB=x，AC=y，x＞0，y＞0．l2=x2+y2﹣2xy cos2θ≥2xy﹣2xy cos2θ，xy≤=S=xy sin2θ≤×•sin2θ=所以，△ABC面积的最大值为=，当且仅当x=y时取到，（2）由（1）S△ABC≤=30000，由BC=2c=600（定值），由DB+DC=1000=2a，a=500，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，S△ABC=mn sin2A为定值．只需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点，此时b==400，面积的最大值为S△DBC=2c•b=bc=300×400=12000，因此，四边形DBAC面积的最大值为12000+30000．19．解：（1）由题设条件知：l1，l2的方程分别为y=k（x+2），y=﹣，由，得（3﹣k2）x2﹣4k2x﹣4k2=0，由于l1交双曲线于的左右两支分别于A，C两点，∴，解得k2＜3，注意到对称性，由直线l2交双曲线的左右两点分别为D，B两点，得（﹣）2＜3，∴，k的取值范围是（﹣，﹣）∪．（2）∵|AC|===，∴|BD|==．∴四边形ABCD的面积S==，由于S==≥，当且仅当，即k2=1，k=±1时，等号成立，故四边形ABCD面积的最小值为18．20．解：（1）∵函数g（x）的图象与函数（a＞1）的图象关于直线y=x对称∴函数g（x）与函数（a＞1）互为反函数则g（x）=log a（x2﹣3x+3）（x＞）（2）∵a＞1，m＞∴函数g（x）在区间上单调递增∵函数g（x）在区间上的值域为[log a（p+3m），log a（p+3n）]，∴g（m）=log a（m2﹣3m+3）=log a（p+3m），g（n）=log a（n2﹣3n+3）=log a（p+3n），即x2﹣3x+3=p+3x在（，+∞）有两个不等的根∴﹣6＜p＜（3）f（x）﹣g（x）=log a（x+1）﹣log a（x2﹣3x+3）=∴F（x）=a f（x）﹣g（x）=（x＞）而函数F（x）的值域为（0，]∵F（x）∈Z∴F（x）=1或2或3，此时x=2+、、2∴M={x|F（x）∈Z}={2+，，2}21．证明：（Ⅰ）当n=2时，S={1，2，3，4}，令S1={1，4}，S2={2，3}，则S=S1∪S2，且对∀x，y∈S i（i=1，2），x＞y，都有x﹣y∉S i，所以S具有性质P．相应的P子集为S1={1，4}，S2={2，3}．（Ⅱ）①若，由已知x﹣y∉T，又，所以x﹣y∉T'．所以x﹣y∉T∪T'．②若x，y∈T'，可设x=s+3n，y=r+3n，r，s∈T，且，此时．所以x﹣y∉T'，且x﹣y=s﹣r∉T．所以x﹣y∉T∪T'．③若y∈T，x=s+3n∈T'，s∈T，则，所以x﹣y∉T．又因为y∈T，s∈T，所以s﹣y∉T．所以x﹣y=（s+3n）﹣y=（s﹣y）+3n∉T'．所以x﹣y∉T∪T'．综上，对于∀x，y∈T∪T'，x＞y，都有x﹣y∉T∪T'．（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）由（Ⅰ）可知当n=2时，命题成立，即集合S具有性质P．（2）假设n=k（k≥2）时，命题成立．即，且S i∩S j=∅（1≤i，j≤n，i≠j），∀x，y∈S i（i=1，2，…，k），x＞y，都有x﹣y∉S i．那么当n=k+1时，记，i=1，2，…k，并构造如下k+1个集合：S''1=S1∪S'1，S''2=S2∪S'2，…，S''k=S k∪S'k，，显然S''i∩S''j=∅（i≠j）．又因为，所以．下面证明S i″中任意两个元素之差不等于S i″中的任一元素（i=1，2，…，k+1）．①若两个元素，，则，所以．②若两个元素都属于S''i=S i∪S'i（1≤i≤k），由（Ⅱ）可知，S''i中任意两个元素之差不等于S''i中的任一数（i=1，2，…，k+1）．从而，n=k+1时命题成立．综上所述，对任意正整数n≥2，集合S具有性质P．。

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