一类连续非线性时滞大系统的鲁棒分散控制

第25卷第5期辽宁工学院学报V ol.25,N o.5 2005年10月Journal of L iaoning Institute of T echno l ogy O ct.2005一类连续非线性时滞大系统的鲁棒分散控制王　巍,佟绍成,王铁超①(辽宁工学院信息科学与工程学院,辽宁锦州　121001)摘　要:针对状态可测的一类连续非线性时滞大系统的鲁棒分散控制问题,采用T-S模型对其进行建模。

根据李雅普诺夫稳定性理论及大系统分散控制理论,基于线性矩阵不等式(LM I),利用分散化并行分布补偿(PDC)的方法设计控制器,给出了保证该非线性时滞大系统闭环渐近稳定的充分条件。

关键词:非线性时滞大系统;T-S模型;线性矩阵不等式;鲁棒分散控制;并行分布补偿中图分类号:N941 文献标识码:A 文章编号:100521090(2005)0520281205D ecen tral i zed Robust Con trol of a Class of Con ti n uous-ti m eNon l i n ear Large-scale Syste m s with Ti m e-delayWAN G W ei,TON G Shao2cheng,WAN G T ie2chao(Infor m ati on Science&Engineering College,L iaoning Institute of Technol ogy,J inzhou121001,China)Key words:nonlinear large2scale syste m w ith ti m e2delay;T-S fuzzy model;linear m atrixinequalities;decen tralized robust con tro l;parallel distributed compensati on Abstract:T he decen tralized robust con trol p roble m w as p ropo sed for a class of continuous2ti m e non2 linear large2scale syste m s w ith ti m e2delay.T he T-S fuzzy model w as adop ted for fuzzy modeling of the large2scale syste m s w ith ti m e2delay.A cco rding to L yapunov stability theory and decen tralized con trol theory of large2scale syste m s,the sche m e fo r designing decen tralized fuzzy controller w as m ade via LM Im ethod and PDC.T he sufficien t conditi on that en sures the asymp to tic stability of the w ho le fuzzy ti m e2delay large2scale syste m s w as p ropo sed. 近年来,模糊控制作为一种有效的控制方法受到了国内外控制工作者的极大关注;由于工业控制过程日趋复杂化、大型化,大系统理论的研究引起了人们的广泛兴趣。

在文献[2]中已经将模糊系统理论与大系统理论相结合,称其为模糊大系统。

在过去的30多年里,许多学者研究了互联系统的属性并提出了各种镇定线性互联系统的方法。

线性互联系统往往具有较高的维数,因此提出了分散控制策略,从而使得系统可靠性增强,实现起来也比较经济;另外,实际系统中往往存在时滞现象,这就促使更多人致力于研究时滞互联系统的分散鲁棒镇定问题。

文献[3]研究了离散模糊大系统的稳定性问题,给出了系统稳定的充分条件。

本文针对状态可测的一类连续时滞大系统的鲁棒控制问题,给出了保证该大系统闭环渐近稳定的充分条件和控制器的设计方法。

①收稿日期:2005204225基金项目:国家自然科学基金资助项目(60274019);国家重大基础研究规划资助项目(2002CB312200)作者简介:王巍(19802),女,辽宁沈阳人,硕士生。

1　连续模糊时滞大系统的鲁棒分散控制的设计考虑由N 个子系统F k (k =1,2,…,N )组成的一类连续非线性时滞互联大系统F ,它的第k 个子系统由下述方程表示F k :x αk (t )=f1k(x k (t ))+f2k(x k (t -h k ))+g k (x k (t ))u k (t )+∑Nh =1,h ≠kRhkx h (t )(1)x h (t )=<h (t )其中t ∈[-Σ,0],0≤h k ≤Σ(k =1,2,…,N )式中:x k (t )为第k 个子模糊系统的状态向量;u k (t )为第k 个子模糊系统的输入向量;f 1k (x k (t )),f 2k (x k (t -h k )),g k (x k (t ))为非线性函数;h k >0为第k 个子模糊系统的时滞常数;R hk 为第h 个子模糊系统和第k 个子模糊系统的线性关联矩阵。

采用T akagi 和Sugeno 提出的模糊动态模型在合适的工作点对(1)进行局部线性化。

由于每个子系统之间的关联是线性的,对非线性系统进行建模时,可以暂时不考虑线性关联矩阵的建模,假设第k 个子系统的第i (i =1,2,…,r k )条模糊规则如下:如果x 1k (t )是F i 1k ,…,x ik (t )是F ilk ,那么x αk (t )=A1ikx k (t )+A2ikx k (t -h k )+B ik u k (t )式中:F ig k (g =1,2,…,l )为模糊集合;x k =[x 1k ,…,x lk ]是可测系统变量,即前件变量。

采用单点模糊化、乘积推理及平均加权反模糊化,第k 个子模糊系统的全局模型为x αk (t )=∑r ki =1Λik[A1ikx k (t )+A2ikx k (t -h k )+B ik u k (t )](2)式中:A 1ik 、A 2ik 、B ik 分别为第k 个子模糊系统的第i 条规则构成的各个线性子系统的系统矩阵及输入矩阵;r k为第k 个子模糊系统的模糊规则数;h k >0,为第k 个子模糊系统的时滞时间。

Λik 为式(3)所定义的归一化隶属函数,具有下列基本特点Λik =Αik (x k (t ))∑r ki =1Αik(xk(t )),Λik ≥0,∑r ki =1Λik=1(3)Αik (x k (t ))具有下列基本特点Αik (x k (t ))=∏lg =1Fig k (x g k (t )),Αik (x k (t ))≥0,∑r ki =1Αik(xk(t ))>0(4)对于连续状态模糊T -S 模型,采用文献[2]提出的并行分布补偿(PDC )技术设计各个子模糊系统的控制器,其状态反馈控制器如下u k (t )=-∑r ki =1ΛikKikx k (t )(k =1,2,…,N )(5)式中:K ik 为待确定的反馈增益矩阵。

则加上关联项的模糊大系统的闭环方程为x αk (t )=∑r ki =1∑r kj =1ΛikΛjk[(A1ik-B ik K jk )x k (t )+A2ikx k (t -h k )]+∑Nh =1,h ≠kRhkx h (t )(k =1,2,…,N )(6)2　模糊状态反馈鲁棒控制及其稳定性分析考虑由N 个子系统F k (k =1,2,…,N )组成的一类连续状态时滞非线性关联大系统F (1),目的是设计模糊状态反馈控制器(5),使得模糊控制器不但具有鲁棒性,而且保证闭环系统全局渐近稳定性。

引理1　给定适当维数的常值矩阵X 和Y ,则对任意的Ε>0,有下列不等式XT+Y T ≤ΕX TX +1ΕY TY关于由N 个子系统F k (k =1,2,…,N )组成的一类连续非线性时滞互联系统F (1)的全局渐近稳定性,有如下定理。

282辽宁工学院学报第25卷定理1　如果存在N 个正定对称矩阵P k (k =1,2,…,N ),∑Nk =1rk个正定矩阵S ik (i =1,2,…,r k ;k =1,2,…,N )及∑Nk =1r k 个矩阵K ik (i =1,2,…,r k ;k =1,2,…,N ),满足S ik ≥P -1k 和下面的矩阵不等式(M I )G Tiik P k +P k G iik +P k A2ikS ik AT2ik P k +P k +(N -1)P 2k +∑Nh =1,h ≠kRTkhR kh <0(7)(G ijk +G j ik )TP k +P k (G ijk +G j ik )+P k A2ikS ik A T 2ikP k +P k A 2jkS jk A T 2jkP k2+P k +(N -1)P 2k +∑Nh =1,h ≠kRTkhR kh <0(i <j )(8)其中:G iik =A 1ik-B ik K ik ,G ijk =A1ik-B ik K jk ,则模糊大系统F (1)在分散控制律(5)作用下闭环系统(6)是渐近稳定。

证明　取李雅普诺夫函数V (x (t ))=∑Nk =1xT k (t )P k x k (t )V (x (t ))对时间的导数为V α(t )=∑Nk =1[x αT k(t )P kxk(t )+x T k (t )P k x αk (t )]=∑Nk =1∑r ki =1∑r kj =1ΛikΛjk[x T k (t )(G T ijk P k +P k G ijk )x k (t )+2x T k (t )P k A 2ikx k (t -h k )]+∑Nk =1∑Nh =1,h ≠k[x T h (t )R T hk P k x k (t )+x Tk (t )P k R hk x h (t )]≤∑Nk =1∑r ki =1∑r kj =1ΛikΛjk[x T k (t )(G Tijk P k +P k G ijk +P k A2ikS ik AT2ik P k )x k (t )+x Tk (t -h k )S -1ik x k (t -h k )]+∑Nk =1∑Nh =1,h ≠k[x T h (t )R T hk R kk x h (t )+x T k (t )P 2k x h (t )]=∑Nk =1∑r ki =1Λ2ik[xT k (t )(G T iik P k +P k G iik +P k A2ikS ik AT2ik P k )x k (t )+x Tk (t -h k )S -1ik x k (t -h k )]+∑Nk =1∑r kj =1,i <j2Λik Λjk [x Tk (t )(G ijk +G j ik )T P k +P k (G ijk +G j ik )+P k A2ikS ik A T 2ikP k +P k A2jkS jk A T 2jkP k2x k (t )+x Tk (t -h k )S -1ik x k (t -h k )+x Tk (t -h k )S -1jk x k (t -h k )2]+∑N k =1∑Nh =1,h ≠kx T h (t )R T hk R kh x k (t )+x T k (t )P 2k x h (t )]≤∑Nk =1∑r ki =1Λ2ik{xT k (t )[G Tiik P k +P k G iik +P k A2ikS ik AT 2ik P k +(N -1)P 2k +∑Nh =1,h ≠kRTkhR kh ]x k (t )+x Tk (t -h k )P k x k (t -h k )}+∑Nk =1∑r kj =1,i <j2Λik Λjk {x Tk (t )[(G ijk +G j ik )T P k +P k (G ijk +G j ik )+P k A2ikS ik AT2ikP k +P k A2jkS jk AT 2jkP k2+(N -1)P 2k +∑Nh =1,h ≠kR Tkh R kh ]x k (t )+x Tk (t -h k )P k x k (t -h k )+x Tk (t -h k )P k x k (t -h k )2}假设存在v >1,对所有Η∈[0,Σ],有V (x (t -Η))<vV (x (t )),则有V α(t )<∑Nk =1∑r ki =1Λ2ikxT k (t )[G Tiik P k +P k G iik +P k A2ikS ik AT2ik P k +vP k +(N -1)P 2k +∑Nh =1,h ≠kRTkhR kh ]x k (t )+∑Nk =1∑r kj =1,i <j2Λik Λjk x Tk (t )[(G ijk +G j ik )T P k +P k (G ijk +G j ik )+P k A2ikS ik A T 2ikP k +P k A 2jkS jk A T 2jkP k2+vP k +(N -1)P 2k +∑Nh =1,h ≠kRTkhR kh ]x k (t )如果下面的不等式成立382第5期王巍等:一类连续非线性时滞大系统的鲁棒分散控制G Tiik P k +P k G iik +P k A2ikS ik AT 2ikP k +vP k +(N -1)P 2k +∑Nh =1,h ≠kRTkhR kh ≤0(G ijk +G j ik )T P k +P k (G ijk +G j ik )+P k A2ikS ik AT 2ikP k +P k A 2jkS jk AT 2jkP k2+vP k +(N -1)P 2k +∑Nh =1,h ≠kRTkhR kh ≤0则V α(t )<0.显然如果定理1中的(7)、(8)成立,则一定存在v >1满足上面的不等式。