2016年高考数学理真题分类汇编：统计与概率Word版含解析.docx

2016 年高考数学理试题分类汇编
统计与概率
一、
1、（ 2016 年北京高考）袋中装有偶数个球，其中球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空
盒 .每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果个球是球，就将另一个球
放入乙盒，否就放入丙盒.重复上述程，直到袋中所有球都被放入盒中，（）
A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B. 乙盒中球与丙盒中黑球一多
C.乙盒中球不多于丙盒中球
D. 乙盒中黑球与丙盒中球一多
【答案】 C
2、（ 2016 年山高考）某高校了200 名学生每周的自（位：小），制成了如
所示的率分布直方，其中自的范是[17.5,30] ，本数据分
[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方，200 名学生中每周的自
不少于22.5 小的人数是
（A ） 56（B）60（C）120（D）140
【答案】 D
3、（ 2016 年全国 I 高考）某公司的班在7:30，8:00，8:30 ，小明在 7:50 至 8:30 之到
达站乘坐班，且到达站的刻是随机的，他等不超10 分的概率是
（ A）1
123 3（ B ）2（ C）3（D ）4
【答案】 B
4、（ 2016 年全国 II 高考）从区0,1随机抽取 2n 个数x1,x2，⋯， x n， y1， y2，⋯， y n，构成 n 个数x, y， x , y x , y，其中两数的平方和小于 1 的数共有m个，
则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
（A）4n
（B）
2n
（C）
4m
（D）
2m m m n n
【答案】 C
5、（ 2016 年全国III 高考）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均
最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中 A 点表示十月的平均最高气温约为150C，B 点表示四月的平均最低气温约为50C。

下面叙述不正确的是
(A)各月的平均最低气温都在00C 以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大
(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于200C 的月份有 5 个【答案】 D
二、填空题
1 、（ 2016年山东高考）在[－1,1]上随机的取一个数k，则事件“ 直线y = kx与圆(x－5)
2 + y2 = 9 相交”发生的概率为
3
【答案】．
4
2、（ 2016 年上海高考）某次体检， 6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）
【答案】 1.76
3、（ 2016 年四川高考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说
这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数X 的均值是.
【答案】3 2
三、解答题
1、（ 2016 年北京高考）A、 B、C 三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通
过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
A 班6 6.577.58
B 班6789101112
C 班3 4.567.5910.51213.5
（ 1）试估计 C 班的学生人数；
（ 2）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人， A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（ 3）再从 A 、 B、 C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7， 9， 8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1，表格中数据的平均数记为0 ，试判断0 和 1 的大小，（结论不要求证明）
解析】⑴
8
100 40 ， C班学生40 人
20
⑵在 A 班中取到每个人的概率相同均为1
5
设 A 班中取到第 i 个人事件为 A i, i1,2,3,4,5
C 班中取到第j 个人事件为C j,j 1,2,3,4,5,6,7,8
A 班中取到 A i C j的概率为 P i
所求事件为 D
则 P( D )
1
P1
1
P2
1
P3
1
P4
1
P5
55555
1213131314
5858585858
3
8
⑶ 10
三组平均数分别为 7 , 9 , 8.25 , 总均值08.2
但 1 中多加的三个数据7 , 9 , 8.25 , 平均值为 8.08 ，比0小，故拉低了平均值
2、（ 2016 年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一
个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人猜对，则“星
队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分．已知甲每轮猜对的概率是3
，乙每轮4
猜对的概率是2
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”3
参加两轮活动，求：
( Ⅰ )“星队”至少猜对 3 个成语的概率；
( Ⅱ )“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．
【解析】 ( Ⅰ ) “至少猜对 3 个成语”包括“恰好猜对 3 个成语”和“猜对 4 个成语”．设“至少猜对 3 个成语”为事件 A ；
“恰好猜对 3 个成语”和“猜对 4 个成语”分别为事件B,C ，
则 P( B) C213 3 2 1
C21 3 1 2 25 ；4433443312
33221
．P(C )
4334
4
所以 P( A)P( B)P(C )
512
．1243
( Ⅱ )“星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6
于是 P( X0)11111
；4343144
P( X 1) C211 2 1 1
C21 1 1 3 110 5 ；4343434314472
P( X 2) 1 12 2 3 3 1 1C21 1 3 2 125 ；
443344334433144 P( X3) C21 3 2 1 1 12 1 ；
434314412
P( X 4) C213
2( 1 2 3 1)60 5 ；43434314412
P( X6)3232361
；43431444
X012346
P
1525151 1447214412124
152515
4
155223
X 的数学期望 EX01236
144．
14472144121246
3、（ 2016 年四川高考）我国是世界上重缺水的国家，某市政府了鼓励居民用水，
划整居民生活用水收方案，确定一个合理的月用水量准x （吨）、一位居民的月用水
量不超 x 的部分按平价收，超出 x 的部分按价收.了了解居民用水情况，通抽，得了某年 100 位居民每人的月均用水量（位：吨），将数据按照 [0,0.5) ，[0.5,1) ，⋯，[4,4.5)
分成 9 ，制成了如所示的率分布直方.
（ I）求直方中 a 的；
（ II ）市有30 万居民，估全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并明理由；
（ III ）若市政府希望使85%的居民每月的用水量不超准x （吨），估x 的，并
明理由 .
【解析】（ I ）由概率相关知，各率之和的1
∵ 率 =(率 /距 )* 距
∴ 0.50.080.160.40.520.120.080.042a1
得 a0.3
（ II ）由，不低于3吨人数所占百分比0.50.120.080.04 =12%
∴全市月均用水量不低于3吨的人数：3012%=3.6 (万 )
（ III ）由可知，月均用水量小于 2.5吨的居民人数所占百分比：
0.50.080.160.30.40.520.73
即 73% 的居民月均用水量小于 2.5吨 ,
同理， 88%的居民月均用水量小于3吨，故 2.5x3
假月均用水量平均分布，x 2.50.585%73%0.5
2.9 （吨） .
0.3
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。

4、（ 2016 年天津高考）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为
1,2,3 的人数分别为 3,3,4,.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会 .
（ I ）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为
4”，求事件 A 发生的概率；
（ II ）设 X 为选出的
2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量
X 的分布列和
数学期望 .
【解析】（Ⅰ）设事件
A ：选 2 人参加义工活动，次数之和为
4
1 1
2
1
P A
C 3 C 4
C 3
C 102
3
（Ⅱ）随机变量 X 可能取值 0， 1， 2
P X
0 C 32 C 32 C 42
4
C 102
15
P X
1
C 13 C 31 C 13C 1
4
7
C
2
15
10
P X
2
C 31 C 14 4
C 102
15
X 0 1 2
P
4 7 4
15
15
15
E X
7 8 1
15
15
5、（ 2016 年全国 I 高考）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 .机器有一
易损零件， 在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，
每个 200 元 .在机器使用期
间，如果备件不足再购买， 则每个 500 元 .现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替
1 台机器更换的易损零件数发生的概
率，记 X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 .
（I ）求X的分布列；
（II ）若要求P( X n)0.5 ，确定n的最小值；
（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n 19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？
解：⑴每台机器更换的易损零件数为8， 9，10， 11
记事件 A i为第一台机器 3 年内换掉 i 7 个零件i 1,2,3,4
记事件 B i为第二台机器 3 年内换掉 i7 个零件由题知 P A1P A3P A4P B1P B3设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为18， 19，20， 21，22i 1,2,3,4
P B4 0.2， P A2 P B20.4
X ，则 X 的可能的取值为16， 17，
P X16P A1P B10.20.20.04
P X17P A1P B2P A2 P B10.20.40.4 0.20.16
P X18P A1P B3P A2 P B2P A3 P B10.20.20.20.20.40.40.24
P X19P A1P B4P A2P B3P A3P B2P A4P B10.20.20.20.2 0.4 0.2
0.20.40.24
P X20P A2P B4P A3 P B3P A4 P B20.40.2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2
P x21P A3P B4P A4 P B30.20.20.20.20.08
P x22P A4P B40.20.20.04
X16171819202122
P0.040.160.240.240.20.080.04
⑵要令 P x≤ n ≥ 0.5，0.040.160.240.5 ，0.040.160.240.24 ≥ 0.5
则 n 的最小值为 19
⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件
不足时额外购买的费用
当 n19 时，费用的期望为 192005000.210000.08 1500 0.04 4040
当 n20 时，费用的期望为 202005000.0810000.04 4080
所以应选用 n 19
6、（ 2016 年全国 II 高考）某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保人称
为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数012345
保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数012345
概率0.300.150.200.200.100. 05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A ，
P( A)1P( A)1(0.30 0.15)0.55 ．
⑵设续保人保费比基本保费高出60% 为事件B，
P( AB)0.100.053
．
P( B A)
P( A)0.5511
⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．
X0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a
P0.300.150.200.200.100.05
平均保费
EX0.850.300.15a 1.25a0.201.5a0.20 1.75a0.102a0.05
0.255a0.15a0.25a0.3a0.175a0.1a 1.23a ，
∴平均保费与基本保费比值为 1.23．
7、（ 2016 年全国 III 高考）下图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）
的折线图
（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；
（II ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到0.01 ），预测 2016 年我国生活垃圾无害化
7
7
7
参考数据：
y i 9.32
，
t i y i 40.17
，
( y i y)2 0.55， 7≈ 2.646.
i 1
i 1 i 1
n
参考公式：相关系数
r
(t i
t )( y i y)
i 1
，
n
n
(t i t )2
(y i y) 2
i 1
i 1
回归方程 y
a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： n
(t i
t )( y i y )
b
i 1
，a=y bt . n
i 1 (t i t )2
【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，
P( A) 1 P( A) 1 (0.30 0.15) 0.55 ．
⑵设续保人保费比基本保费高出 60% 为事件 B ，
P( B A)
P( AB) 0.10 0.05
3 ．
P( A)
0.55 11
⑶解：设本年度所交保费为随机变量 X ．
X 0.85a
a
1.25a 1.5a 1.75a 2a P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
平均保费
EX
0.85 0.30 0.15a 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a
0.05
0.255a 0.15a 0.25a 0.3a 0.175a 0.1a
1.23a ，
∴平均保费与基本保费比值为
1.23．。