朱慈勉结构力学力法

2次超静定
9
解：⑴ 确定超静定次数;
⑵ 用力法求解, 并作M图和FN图; ⑶ 选取基本结构为铰结体系求位移;
⑷ 求AD杆与BD间的相对转角:
⑸ 施加单位荷载并求各杆轴力:
D
FN1FN l EA
1 m 1
35m 25m 1 1 .8 9 k N 1 .3 4 k N 3 5
E A 1 5
1 m 1 35
b h
a
基本结构 3 h
a l
b
0
例6-10 绘制图示梁在已知支座位移作用下 的弯矩图。
1次超静定
解：⑴ 确定超静定次数;
⑵ 选取基本结构; ⑶ 建立力法方程:
11X11c
1
⑷ 求系数和自由项:
11
l 3EI
,
1c 1laal
X1 基本结构
⑸ 解方程求未知量:
X13lE 2IlaM A
⑹ 绘制弯矩图。
例6-13 求图示梁在支座位移作用下
B点的转角。
1次超静定
解: ⑴ 确定超静定次数;
⑵ 选取基本结构;
⑶ 建立力法方程: 11X11ca
1 a
⑷ 求系数和自由项;
11E 1I1 2ll3 2l3lE 3I
l
⑸
1 c F R c l l
解方程求未知量:
l
基本结构 X 1
M 1图
直线
t
t
t
t
工程结构受非荷载因素作用下有时会产生很大的内力，甚 至可以造成结构的破坏。在工程设计中，一般应该按有关设计 规范要求采取必要的措施，减小上述非荷载因素的作用，并对 其影响予以充分的考虑。
§6-6 支座位移、温度变化作用下超静定结构的计算
结构在非荷载因素作用下是否产生内力，完全取决于它在 这些因素作用时，变形是否为充分自由。若可以自由地变形， 则不会引起结构的内力，否则将使结构产生内力。
⑸ 求C点的竖向位移。
C
FN1FN l EA
3 E A 5m 2 5 1 .8 9 k N 1 .3 4 k N
2E4.A23kNm
C2E 4.A 23kNm
1
5
5
2
2
基本结构
例6-12 求图示组合结构C点的竖向位移ΔC和AD与BD杆间的相对转角
ΔθD。忽略受弯杆的轴向变形。 已知AD和BD杆：EA EI m2
6.46 EA
kN
(
)
2 5 m 1 15
2 5 m 1 15
C2E 4.A 23kNm
θD
6.46kN EA
1 m 1 1 m 1 35 35
例6-12 求图示组合结构C点的竖向位移ΔC和AD与BD杆间的相对转角
ΔθD。忽略受弯杆的轴向变形。 已知AD和BD杆：EA EI m2
2次超静定
9
选取基本结构为切断竖杆:
l 4 M图
ql 4 384EI
例6-12 求图示组合结构C点的竖向位移ΔC和AD与BD杆间的相对转角 ΔθD。忽略受弯杆的轴向变形。
已知AD和BD杆：EA EI m2 9
解：⑴ 确定超静定次数; 2次超静定 ⑵ 用力法求解, 并作M图和FN图; ⑶ 选取基本结构为铰结体系求位移;
⑷ 施加单位荷载并求各杆轴力;
X 1h
t0
1 EA
1 kl
§6-7超静定结构的位移计算
F E N F N d A s k 0 F G Q F Q d A s M E M d I s F R c
1)载作用下的位移计算
F N F Nd P s EA
k 0F G Q F Qd P A s
M M P ds EI
直线
C
F yC
t
t
t
C
t
F yC
用力法计算非荷载因素作用下的超静定结构，其基本原理
和分析步骤与荷载作用下时相同，差别只是力法典型方程中的
自由项不再是由荷载引起，而是由支座位移、温度变化等因素
引起的基本结构在多余约束力方向上的位移。
1.支座移动时的内力计算
与荷载作用下力法思路和建立方 程的方法相同，所不同的是：
C
MMP EI
ds022lql2l EI 3 2 8 32
ql 4 384EI
ql2 12
ql2
ql2
12
8
ql2
M图
ql 12
基本结构 1 2
ql2
ql2
l8
1
l8
12
l 2
ql2 8
M图
1
12
C
MMP ds EI
l8 M图
E 1 I 2 lq 1 l2 21 22 l2 32 lq 8 l22 l8 3
θD
6.46kN EA
1
3m 0 M 图,FN
例6-12 求图示组合结构C点的竖向位移ΔC和AD与BD杆间的相对转角
ΔθD。忽略受弯杆的轴向变形。 已知AD和BD杆：EA EI m2
2次超静定
9
选取基本结构为切断竖杆:
⑶求AD杆与BD间的相对转角;
⑷ 施加单位荷载并求各杆内力;
θD
FN1FN l EA
1R*cM*h td sN*t0ds
(t,c )M *h td s N *t0 d sR * c
M *、N*、Q*、R* M * 、N* 、Q* EI EA GA
其中M, N是在超静定结构上
虚拟单位荷载求得的内 力。
而：T12=W12
M *
N *
k Q *
T 1 20 W 1 2M EdI s N EdA s Q GdA s
§6-6 支座位移、温度变化作用下超静定结构的计算
概念
除荷载(狭义上的外力)以外其 它作用使结构发生的内力，常 称为结构的自内力。
§6-6 支座位移、温度变化作用下超静定结构的计算
结构在非荷载因素作用下是否产生内力，完全取决于它在 这些因素作用时，变形是否为充分自由。若可以自由地变形， 则不会引起结构的内力，否则将使结构产生内力。
M图
ql 4 384EI
§6-7 超静定结构的位移计算
C
MMP EI
ds022lql2l EI 3 2 8 32
ql 4 384EI
ql2 12
ql2
ql2
12
8
ql2
M图
ql 12
基本结构 1 2
ql2
ql2
l8
1
l8
12
ql2
12
8 M图
C
MMP ds EI
l8
1
E 2 I 2 l q 1 l2 2 1 2 4 l2 32 l q 8 l2 4 l 5 8
多余约束力作用
温度变化作用
若是将虚拟的平衡状态建立在原结构上，则可以证明上式
等号右边前两项恒为零，位移计算公式简化为：
M h td s F N t0 d s F R c
M E M I d s F E N F A N d s M h t d s F N t 0 d s F R c
① 选择悬臂梁为基本结构,
并在B点施加单位力偶;
1
② 作出单位力偶作用下的弯矩图;
虚拟状态
③ 求B点的转角:
B 1 M E1 M I dls 3 E I FRc a 1 1 1 E I2 l l
1
M图
3a 2 2l
B
基本结构（静定结构）在支座 移动时是刚体位移，并且无内 力发生 ；
基本结构多余约束力处沿多 余约束力方向上与原结构一 致的位移条件一般不全等于 零。
6-6-1
支座位移作用
11X1 21X1
2121X X22 12cc 12jn1ij
Xj
ic
i
X1=1
1 b
2 0
l l
2C F Rc
X1 1
11
M1图
1 l
l
MM1 X1
3EI l2
l
a
M图
6-6-2 温度变化作用
n
it
ij Xj it i
t0A F N i
tA hM i
t1
j1
t1
X 1 因静定结构在非荷载
因素作用下不产生内
t1
t2
t1 t2
1 2
0
0
t1
直线
t2
X2
基本结构
力, 故最终内力仅由 多余约束力引起:
位移计算, 同样可以在其相应的静定结构上建立虚拟的平衡状
态, 从而将问题转化为静定结构的位移计算。忽略杆件剪切变
形影响时, 其位移计算的公式为：
支座位移作用
M E M I d s F E N F A N d s M h t d s F N t 0 d s F R c
求超静定结构因温度改变、支座移动产生的位移时， 若选原结构建立虚拟力状态，计算将会更简单。
EI, l,t0 ,Δt
①
M、Q、N
EMIht、ENAt0、G kQA
P=1
②
T 2 1 1 R *c W 21
c M * E M I h t d s N * E N A t0 d s Q * G kd Q
⑴ 求C点的竖向位移。
⑵ 施加单位荷载并求各杆内力;
C
M M ds F N 1F Nl
E I
E A
E 1 I 1 2 6 1 2 .9 4 3 2 3 3 2 6 9 1 2 3
E 1I1 2614.392 33
21E7I.98kNm3
24.22kNm EA
0
C2E 4.A 23kNm
下降 t0 引起的内力。线膨胀系数α。
⑴ 在温度变化作用下, 超静定结构的内力与
平均温度变化值t0以及材料的线膨胀系数 α成正比。内力数值还随受温度变化作用
1次超静定
的AB杆截面刚度增大而增大。
⑵ 柱子的侧移刚度k愈大, 则AB杆中的轴力也
愈大。若k→0, AB杆的轴力也趋于零, 这说
明温度变化作用下, 杆件只有在变形受到约
虚力状态（单位力作用下）， 仍可由力法基本体系（基本结 构在荷载等其他一切外因和多 余力共同作用的体系）与原结
构一致的位移条件考虑。
基本体系不仅在多余力方向 与原结构的位移一致（力法 方程条件），并且显然应满 足基本结构在任一截面上的 位移都一定与原结构一致。
静定结构的位移计算就是其任意一个 基本体系的位移计算（因超静定结构 的基本体系不是唯一的）。计算超静 定结构的位移时的虚单位力可加在其 原结构的任意一个基本结构上。
X1=1
X13lE 2I
a
l
⑹ 绘制弯矩图:
MM1X1
3EI a
l
l
M图
M E M I d s F E N F A N d s M h t d s F N t 0 d s F R c
例6-13 求图示梁在支座位移作用下
B点的转角。
1次超静定
⑺ 求B点的转角。
11X11t 0
⑷ 求系数和自由项;
⑸ 解方程求未知量;
⑹ 绘制内力图。
X1 1
X1
11F E MN A 2 11 图lM E I1 2d h sE lA 3 h E 3I
X1
1t t0l
k
3EI h3
柱的侧移刚度
M图、FN
t0
1 1 h3 EA l 3EI
X 1h
t0
1 EA
1 kl
例6-11 求图示结构因AB段温度均匀
1 al
al
l 1l
h
1
h
0
1C FRc
X2=1
0ah
h
0
6-6-1
支座位移作用
11X1 11X21c 21X1 22X22c
12l
l
l
h
1 a
1
2
l h
X1=1
2C F Rc
1 b h
b h
X2=1
1
1
h
1
1C FRc
h
l b h
lb h
6-6-1
35m 25m 1 1 .8 9 k N 1 .3 4 k N
E A 1 5
1 m 1
6.46 kN
35
EA
FN图
1 m 1 35
C2E 4.A 23kNm
θD
6.46kN EA
2 5 m 1 15
1 m 1 35
2 5 m 1 15
1 m 1 35
超静定结构在支座位移、温度变化等非荷载因素作用下的
支座位移作用
11X1 11X21t 21X1 22X22t
12
X1=1
1 b
2 0
1
2C F Rc 1
X2=1
1a1 l
a l
1
11
l
h
1
h
0
百度文库
1
1C FRc
l
0h
h
6-6-1 支座位移作用
类别
1c 2c
1 2
基本结构 1 h a l b 0
基本结构 2 b l h
束的情况下才会产生内力; 若k→∞, 或者说
AB杆两端受到刚性约束, 则杆件轴力取得最
X1
大值αt0EA, 与杆件截面刚度成正比, 而与杆
件的长度无关; 若k的值介于0～∞之间, 则 杆件的内力还将随受温度变化作用的AB杆
M图、FN
长度的增大而增大。 k
3EI h3
X1
1
t0
1 h3
柱的侧移刚度 EA l 3EI
n
M Mi Xi i1
t
t0
t0
t
轴线处温度变 化引起的位移
内外侧温差 引起的位移
例6-11 求图示结构因AB段温度均匀
下降 t0 引起的内力。线膨胀系数α。
it
t0A F N i
tA hM i
X1
X1
解：⑴ 确定超静定次数;
⑵ 选取基本结构;
1次超静定
1 0
基本结构
⑶ 建立力法方程:
超静定结构位移计算时的单位虚弯矩 图可以是一个静定结构的计算。
超静定结构位移计算步骤：
1
计算超静定结构（原结构） 在各种作用下的内力（实际 状态）；
在原结构的任意一个基本结
2
构上沿拟求位移方向施加虚 单位力，并计算由此 产生的
内力；
3 将以上所得两种状态内力代 入位移计算公式计算 。
§6-7 超静定结构的位移计算