高中数学数列.3.等比数列的通项公式课件苏教版必修5
高中数学 第一部分 第二章 2.3 第三课时 等比数列的前n项和课件 苏教版必修5
(1)列方程组求出a1和q即可．
(2)bn可以转化为两个等比数列的通项公式和一个
常数数列通项公式相加，求和时重新组合即可．
[精解详析]
(1)设等比数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1，
1 1 a1＋a1q＝2a1＋a1q， 由已知 a1q2＋a1q3＋a1q4＝64 1 2＋ 1 3＋ 1 4， a1q a1q a1q
①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
x1－xn ＋ ＝ －nxn 1， 1－ x x ∴ Sn＝ [nxn＋1－(n＋1)xn＋1]， 2· 1－x nn＋1 2 ∴Sn＝0 x＝0 x n＋1 [ nx －n＋1xn＋1] 2 1－x x＝1
1 1 2 2 2 2 2n－1 ①－②得：2Sn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－ n＋1 2
2n－1 1 1 1 1 ＝2＋2＋22＋…＋ n－1－ n＋1 2 2 1 1 1 － n－1· 2 2 2 2n－1 3 2n－1 1 1 ＝2＋ 1 － 2n＋1 ＝2－2n－1－ 2n＋1 1－ 2 3 2n＋3 ＝2－ n＋1 ， 2 2n＋3 ∴Sn＝3－ 2n .
2 a1q＝2， 化简得 2 6 a1q ＝64.
又 a1>0，故 q＝2，a1＝1. 所以 an＝2n－1.
1 2 1 1 2 n－1 (2)由(1)知 bn＝(an＋a ) ＝an＋a2 ＋2＝4 ＋ n－1＋2. 4 n n 因此 Tn＝(1＋4＋…＋4
n－1
1 1 )＋(1＋4＋…＋ n－1)＋2n 4
(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得
2 2 a ＋ a q ＝ 10 a 1 ＋ q ＝10 1 1 1 3 5 ，即 3 5 5 2 a q ＋a1q ＝4 a q 1＋q ＝4 1 1
数学：21《数列》课件(苏教版必修
总结词
详细描述
总结词
详细描述
等比数列是一种常见的数列 ，其相邻两项的比是一个常 数。
等比数列的定义是每一项与 它的前一项的比等于同一个 常数的一种数列。这个常数 被称为公比，通常用字母q 表示。例如，数列1, 2, 4, 8, 16就是一个等比数列，公比 q=2。
等比数列的性质包括无限性 、变号性和无界性。
数列在实际生活中的应用
金融领域
数列在金融领域的应用非常广泛，如计算复利、 评估投资风险、计算保险费等。
自然现象
数列在自然界中也有很多应用，如蜂房的结构、 植物生长的规律等都与数列有密和解密信息 、设计算法等。
数列的数学建模与解决实际问题
建立数学模型
通过观察和分析实际问题的规律和特征，可以建立数列的数学模 型，从而将实际问题转化为数学问题。
等差数列的定义与性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性和递减性。
详细描述
等差数列的对称性是指如果一个数列是等差的，那么它的任意一项和它对称位置 的项的和是一个常数，这个常数等于首项和末项的和。递增性是指如果公差d>0 ，那么数列是递增的；递减性是指如果公差d<0，那么数列是递减的。
等比数列的定义与性质
和应用这些公式。
数列求和与其他知识点的结合
02
如数列求和与不等式、方程等的结合，需要综合运用各种知识
点来解决问题。
数列求和在实际问题中的应用拓展
03
除了传统的等差数列和等比数列问题，还可以拓展到解决一些
新颖的实际问题，如预测股票价格等金融问题。
05
数列的综合应用
数列与其他数学知识的结合
数列与函数
在日常生活方面，等差数列和等比数列的应用包括计算存款利息、评估投资风险、编制预算等等。在科学研究方 面，等差数列和等比数列的应用包括研究物理现象（如振动、波动）、生物繁殖、化学反应等等。此外，在计算 机科学、统计学、信息论等领域中也有广泛应用。
高二人数学必修五课件时等比数列的性质
以上内容仅供参考，具体教学 内容和顺序请根据实际教学情 况进行调整。
04
等比数列在生活中的应用举例
储蓄存款中的复利计算
复利概念
储蓄存款中的复利是指本金和利 息共同产生的利息，即“利滚利
”现象。
等比数列与复利
在复利计算中，每期产生的利息构 成等比数列，首项为本金与利率的 乘积，公比为1加上利率。
计算方法
02
自然界中的等比现象
自然界中许多现象也呈现出等比关系，如音阶中相邻两个音的频率之比
、斐波那契数列中相邻两项的比值趋近于黄金分割比等。这些现象可以
用等比数列进行描述和分析。
03
计算机科学中的应用
在计算机科学中，等比数列也有广泛应用，如数据压缩算法中的哈夫曼
编码、图像处理中的图像缩放算法等。这些算法利用等比数列的性在概率论中，当事件相互独立时，可以利用等比数列的性 质计算多个事件同时发生的概率。
概率生成函数
概率生成函数是概率论中用于描述离散随机变量分布的一 种函数，它与等比数列密切相关，可以通过等比数列的性 质研究概率生成函数的性质和计算方法。
统计推断中的应用
在统计推断中，有时需要利用等比数列的性质对样本数据 进行处理和分析，如计算样本的几何均值和调和均值等。
现了高效的数据处理和图像变换。
05
等比数列与其他知识点联系
与等差数列对比分析
定义差异
等差数列是相邻两项之差为常数，而等比数列是相邻两项之比为常 数。
性质对比
等差数列具有线性性质，如求和公式和通项公式；等比数列具有指 数性质，如求和公式和通项公式涉及指数运算。
应用场景
等差数列在解决线性增长或减少的问题中常见，如计算平均速度；等 比数列在解决指数增长或减少的问题中常见，如计算复利。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.3.2 等比数列的通项公式》
等比数列的通项公式公主岭市第一中学校毕洪波教材分析本节课是苏教版必修5第二章第二课时的内容，此前，学生已经学习了等比数列的定义，已掌握等差数列及通项公式，同时也学习了等差数列通项公式与函数的关系，这为研究等比数列的通项公式做了充分的准备。
本节通过类比的方法介绍了等比数列的通项公式，使学生理解等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决实际问题，同时，本节内容将为后续研究等比数列的前n项和奠定的基础，起到承前启后的作用。
教学目标1．知识与技能：理解等比数列的通项公式，能利用等比数列的通项公式解决简单的实际问题；2．过程与方法：培养类比的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题的能力；3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
教学重点等比数列的通项公式，通项公式的实际应用。
教学难点等比数列通项公式与指数型函数的关系。
学法与教学用具启发学生联系之前所学内容，运用类比的思想理解掌握相关内容。
以学生探究为主，老师点拨为辅。
学生讨论，交流心得，分享成果。
同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。
直尺、投影仪（多媒体教室）教学过程一、复习回顾1等差数列定义；2等比数列定义；3等差数列通项公式：通项公式的推导方法：累加法，不完全归纳法；通项公式的特点：是一个关于n的“一次函数”形式。
（设计意图：从已经研究过的问题出发创设情境，巩固上节课所学知识，引出本节所要研究的问题，为研究等比数列的通项公式做准备。
） 二、讲授新课1、问题情景问题1观察等比数列{n a }：1，2，4，8，16，……，如何写出它的第10项10a 呢？问题2设{n a }是一个首项为1a ，公比为q 的等比数列，你能写出它的第n 项n a 吗？师：我们知道对于等差数列给定首项和公差的时候就可以求出这个数列的任意指定项和通项公式，类比等差数列对于给定的等比数列，当我们知道他的首项和公比的时候，能不能来求这个数列的指定项和通项公式呢？请看多媒体展示。
苏教版高中数学必修五第2章数列2.3等比数列的概念、性质(学生版)
等比数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。
2. 等比数列的通项公式____________________3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以_________为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列（5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q-== 当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则n n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。
高中数学 第2章 数列 2.3.2.1 等比数列的概念及通项公式学案 苏教版必修5-苏教版高中必修5
第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．( )(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．( )(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n －1＝3n，∴n ＝6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题，完成下列问题．1．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且满足G 2＝ab . 2．若数列{a n }是等比数列，对任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1·a n ＋1.1．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.【解析】 ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. 【答案】 ±32．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. 【解析】 ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4， ∴a ＝±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】 只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】 由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)． 又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列． (3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ； 当ab ＝0时，不是等比数列．等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为________． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 成等比数列吗？ 【提示】 不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列． 探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？ 【提示】 不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】 法一：利用等比数列的通项公式求解； 法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】 法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】 由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________. 【解析】 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8.【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)． 【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数． 【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列． 设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.【答案】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2. 【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数． 【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1qn －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －1＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3q ＝1舍去，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列： 由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－n ＋1a n －n＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.【答案】13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 【解析】 由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】 设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q和－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。
高中数学 2.3.1等比数列的概念及通项公式课件 苏教版必修5
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
要点导航
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
知识点1 等比数列的定义
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一
个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公
学习目标
解析：设增长的百分率为x，则工厂的产量依次排 列组成以100为首项，公比为(1＋x)的等比数列， 由题意100(1＋x)2＝121⇒x＝0.1，
2013年的产量为100(1＋0.1)＝110(万件)．
所以年增长率为10%，2013年产量为110万件．
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
目 链 接
解得aq＝1＝22，，an＝2n(n∈N*)．
学习目标 预习导学 典例精析
题型3 等差数列与等比数列的综合应用
例 3 三个正数成等差数列，它们的和等于 15，如果它们分别加
上 1，3，9，就成为等比数列，求此三个数．
学习目标
栏
分析：因为所求三数成等差数列，且其和已知，故可设这三数为
学习目标
后溶液的浓度是多少？若 a＝2，至少应倒几次后才能使酒精浓度低 栏
于 10%?
目 链
预习导学
接
分析：这是一道应用题，解决问题的关键是建立数学模型，使实
典例精析
高中数学必修5《等差、等比数列的综合应用》PPT
4.已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*
π 且a5＝ 2 ，若函数f(x)＝sin
2x＋2cos2x2，记yn＝f(an)，
则数列{yn}的前9项和为(Βιβλιοθήκη C )A.0B.－9
C.9
D.1
【解析】∵数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an， n∈N*，∴数列{an}是等差数列，∵a5＝π2 ， ∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝π，
＋1，n∈N*，λ为常数.
(1)证明：a1，a4，a5 成等差数列；
2 (2)设 cn＝ an2 an ，求数列{cn}的前 n 项和 Sn；
(3)当 λ≠0 时，数列an－1中是否存在三项 as＋1－ 1，at＋1－1，ap＋1－1 成等比数列，且 s，t，p 也成等比 数列？若存在，求出 s，t，p 的值；若不存在，说明 理由.
－an＋λ，
令 bn＝an＋1－an，
则 bn＋1－bn＝λ，b1＝a2－a1＝0，
所以 b 是以
n
0
为首项，公差为
λ
的等差数列，所
以 bn＝b1＋(n－1)λ＝(n－1)λ，
即 an＋1－an＝(n－1)λ，
所以 an＋2－an＝2(an＋1－an)＋λ＝(2n－1)λ，
所以
c ＝ n
2an2 an
等差、等比数列的综合问题（1）
【知识要点】
1．等差、等比数列的定义 (1)等差数列：如果一个数列从__第__二__项___起，每一 项与它的前一项的差等于__同__一__个__常__数____，则称这个数 列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用
字母 d 表示． (2)等比数列：如果一个数列从__第__二__项___起，每一
高中数学必修5《等比数列的性质》PPT (1)
等差数列定义：如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等差数列.
等比数列定义：如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等比数列.
探究新知
等差数列
当n 2时，
递推
关系
an an1 d
通项 公式
S3n
S2n成等比数列，公比为qn .（Sn，S2n
S
，
n
S3n S2n均不为0）
性质2 若m n r s，则am an ar as. 特别的,m n 2k,则am an ak2.
为什么推论2不能由等差数 列的推论2类比得出？
例1（2009.浙江文科16）设等差数列
an的前n项和为Sn，则S4，S8 S4，S12 S8，
课堂小结
内容 等比数列的性质. 数学思想 转化与化归. 课后作业 作业本2.4等比数列（二）.
巩固应用
思考 若数列an是等差数列，则
当bn
a1
a2
n
an 时，数列bn也是
等差数列；类比上述性质，若数列cn
是正项等比数列，当dn _________ 时，
数列d n 也是等比数列.
（1）若 a3 4 ， a9 1，则 a6 _____； 若 a3 4 ， a11 1，则 a7 _____
（2）若 a2a4 2a3a5 a4a6 36 ，则 a3 a5 _____； （3）若 an 0 ，a1a2a3 5 ，a7a8a9 10 ，则 a4a5a6 _____.
性质 3：设 an ，bn 是两个等比数列，
则
an
bn
，
an bn
是等比数列.
高三数学必修5课件：等比数列
学习目标
1.判断一个数列是否为等比数列. 1.判断一个数列是否为等比数列. 判断一个数列是否为等比数列 2.等比数列的通项公式的推导及应用. 2.等比数列的通项公式的推导及应用. 等比数列的通项公式的推导及应用 3.体会等比数列与指数函数的关系. 3.体会等比数列与指数函数的关系. 体会等比数列与指数函数的关系
成等比数列。
能力训练
已知数列
{a n }是正数等比数列，q=2,
30
满足， 1a 2a 3.... 30 = 2 , 求a 3ia 6ia 9... a 30 i a a 的值。
能力训练
1. 已 知 数 列
{a n } 满 足 ， a
1
= 1,
a
n +1
= 2 a n + 1, 求 a n的 通 项 公 式 。
an +1 an = q或 = q ( n ≥ 2) an an −1
等比数列的通项公式
an n −1 = q ( n ≥ 2 ) ⇒ an = a1q an −1
等比数列的性质
1 。从{an }中取出下标成等差的若干项 am+k，am+2 k，am+3k， 仍成等比数列 ⋯
设 {an } 为公比为q的等比数列
2。m，n，p, q ∈ N +且m + n = p + q则am an = a p aq m + n = 2 p则am an = a p
n−m
2
an 3。an = am q ⇒ q = am 4。数列S n，S 2 n -S n，S3n -S 2 n， ，Skn -S( k −1)n， ⋯ ⋯
n−m
也为等比数列
高中数学必修五第二章数列
设等差数列
的前n项和为sn,已知a3=12,s12>0,s13<0,
（1）求公差d的取值范围
（2）指出s1,s2,s3……,s12中哪一个的值最大，并说明理由
2.4等比数列
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前 一项的比等于同意常数，那么这个数列叫做等比数列，这个 常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+……+【an-(n-1)d】 两式相加得 2sn=n(a1+an) 由此可得 sn=n(a1+an)/2 带入通项公式得 sn=na1+n(n-1)d/2
例题一
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通 知》。
某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间在全 市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程 的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程 中的总投入是多少？
（1）求AB，BC，CD的长
（2）已AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第十项为边长的正方形 面积为多少？
AB C
D
2.3等差数列的前n项和
定义：一般的，我们称a1+a2+a3+……+an 为数列 表示，即sn=a1+a2+……+an
的前n项和，用Sn
推理过程： 因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……+【a1+(n-1)d】
数学必修5第二章求数列的通项公式课件
定义法:当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式， 只需求得首项及公差(公比)。 练2．设数列 {Cn }的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和， 若c 2, c 4, c 7, c 12 ，求通项公式 {Cn }
n n
2 n 2
n
n 1
n
观察法:观察各项的特点，观察数列中各项与其序号间的关系，分解 各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的 关系，从而归纳出构成规律写出通项公式,关键是找出各n} 是公差为d的等差数列，数列 {bn } 是公比为q 的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数 f ( x) ( x 1) 2 且 a1 f (d 1), a3 f (d 1), b1 f (q 1), b3 f (q 1) ， (1)求数列 {an}和 {bn } 的通项公式；
当给出递推关系求 an时，主要掌握通过引进 辅助数列能转化成等差或等比数列的形式。 例6，已知数列{an}的递推关系为an 1 2an 1 ，且 a1 1 求通项公式 an 。
换元法
解：∵ an 1 2an 1 ∴ an1 1 2(an 1) bn 1 an 1 1 2 an 1 令 bn an 1 ∴ bn 则辅助数列 {bn} 是公比为2的等比数列 n 1 n 1 n ∴bn b1q 即 an 1 (a1 1)q 2 n ∴ an 2 1
求an .
2 . n 1 2 3 1
倒数法:数列有形如 1 等式两边同乘以 a a
n
f (an , an1 , an an1 ) 0
,
高中数学《等比数列的定义及通项公式》课件
课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升 等比数列通项公式的求法
a1 和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量， 问题便迎刃而解．关于 a1 和 q 的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1， q 后再求 an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1， 最后求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
12
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
【跟踪训练 1】 (1)已知{an}为等比数列，且 a5＝8，
a7＝2，该数列的各项都为正数，求 an；
(2)若等比数列{an}的首项 a1＝98，末项 an＝13，公比 q＝
2，求项数 3
n.
13
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
1
(2)
等
比
数
列
－
1 10
，
－
1 100
，
－
1 1000
，
…
的
公
比
为
___1_0____．
1
(3)在等比数列{an}中，已知 an＝4n－3，则 a1＝___1_6____，
q＝____4____.
(4)(教材改编 P53 习题 2.4A 组 T1(3))已知等比数列{an}中， a1＝1，a3＝9，则 a2＝___±_3____.
课后课时精练
数学 ·必修5
解法二：因为 a7＝a4q3，所以 q3＝4，q＝3 4，an＝a4qn
2n－5
－4＝2 3 .
(2)解法一：因为aa32＋＋aa65＝＝aa11qq＋ 2＋aa11qq4＝ 5＝198，，'④'③
高中数学 第2章 数列 2.3.2 等比数列的通项公式课件
一
二
三
二、等比数列的性质
活动与探究
例2(1)在等比数列{an}中,若a2=2,a6=162,试求a10. (2)等比数列{an}中,an是正实数,a4·a5=8.求 log2a1+log2a2+…+log2a8的值. 思路分析:利用等比数列的性质来求简单,一般不通过求a1与q来 求.
解:(1)方法一:∵a6=a2q4,其中a2=2,a6=162, ∴q4=81.∴a10=a6q4=162×81=13 122. 方(∴2)法���∵���62a二=1aa:22∵aa231…0,6.∴,a180a=三1(0a=数1������·������622a成8=)等·(1a差6222·a2数=7)列1·…3,∴1·(2aa224,.·aa65,)a=10(成a4a等5)比4=数84=列2.12, ∴log2a1+log2a2+…+log2a8=log2(a1a2a3…a8)=log2212=12.
a4a5a6=
.
答案:5 2
解析:数列{an}为等比数列,由 a1a2a3=5 得������23=5, 由 a7a8a9=10 得������83=10, 所以������23������83=50,即(a2a8)3=50,即������56=50,
通项公式求解.
解:(1)方法一:由a4=a1·q3,
得27=a1·(-3)3,得a1=-1,
∴a7=a1·q6=(-1)×(-3)6=-729.
方法二:a7=a4·q3=27×(-3)3=-729.
(2)由已知得
������1������ = 18, ������1������3 = 8,
解得:
������1 = 27,
高中课程标准实验教科书必修5第二章数列PPT优秀课件 (数列的概念与简单的表示方法等17个) 14
求证：（1）这个数列成等比数列
1
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 10
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
n1
证：（1） an an1
10 5
n2
10 5
1
10（5 常数）
∴该数列成GP。
n1
（2） an an5
105 n4
105
101 110即： an
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
苏教版 高中数学选择性必修第一册 等比数列的通项公式 课件2
所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，得 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，得 n＝6.
笔记小结
(1)由a7＝q3 a4
便可求出
q，再求出
a1，则
an＝a1·qn－1.
解析：(1)因为
a4＝a1q3， a7＝a1q6，
所以
a1q3＝2， a1q6＝8，
① ②
由② ①得 q3＝4，从而 q＝3 4，而 a1q3＝2，
于是
a1＝q23＝12，所以
an＝a1qn－1＝2
2n-5 3
.
(2)方法一：由已知可得 a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18， ①
a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9， ② 由② ①得 q＝12，从而 a1＝32.
bn1 bn
32 ( n 1) 1 32n1
9.
方法技巧：判定数列是等比数列的常用方法 an q an1
an2 an1an1
题型一 等比数列通项公式的求法及应用
探究 1 基本量的计算 例 1 在等比数列{an}中 (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
• 2．(2019·全国卷Ⅲ理，5)已知各项均为正数的等比数列
{an}的前4项和为15，C且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( )
• A．16
B．8
• C．4
[解析]
D．2
a1>0，q>0， 由题意知 a1＋a1q＋a1q2＋a1qห้องสมุดไป่ตู้＝15，
a1q4＝3a1q2＋4a1，