高考数学命题热点名师解密专题：函数的零点与方程的根(理)AlAlUl
河南省濮阳市高三高考数学专项复习课件：函数的零点与方程的根(共23张PPT)
2 ln x的解，则 0 x
x0 所在区间是
B.(2 , 3) C.(1 , e)和3 ，4 D.(e , )
2 1.构造函数 f ( x ) ln x x 2.由单调性得方程的解只有一个，故排除 C 2 0 3.由 f (e) 1 排除 Dy=f(x)在其定义域内的某个 一个重要结论：若函数 e 区间上是单调的，则f(x)在这个区间上至多有一个零 4.计算 f (2) ln 2 1 0 得 x0 2 点．
2
问题点拨 解析：
数形结合 1 y
0
2x 6 １.函数 f x ln x 零点的个数为
zxxk
60 方程 ln x 2 x 根的个数 2x 方程 ln x 6 根的个数
y ln x
y 6 2x
x
x 函数 y ln 与
y 6 2x 的交点的个数
4.(2011湖南22)已知函数
x0 (k , k 1)
f x, x 3
g x x x
求:函数 hx f x的零点个数 ,并说明理由. g x
谢谢参与
zxxk
再见！
函数的零点与方程的根
zxxk
濮阳市综合高中
李焕云
考试大纲 结合二次函数的图象，了 解函数的零点与方程的根的 联系，判断一元二次方程的 根的存在性及根的个数。
考情分析
1.函数的零点是新增加内容，为高考命题 的一个热点。 2.函数零点所在区间、零点个数的判断以 及由函数零点的个数或取值范围求解参数的 取值范围问题是高考命题的重点。 3.试题多以选择题、填空题为主，属中低 档题目，分值一般为5分。
高中数学总复习 函数的零点与方程的根
知识梳理
(3)函数零点存在定理 一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有 f(a)·f(b)<0 ，则 存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.如果知道y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增 或单调递减，就进一步断定，方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根. 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地 把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
思维升华
确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必 有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有 交点来判断.
跟踪训练1 (1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋ (x－c) (x－a)的两个零点分别位于区间
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例3 (2023·安阳模拟)已知函数f(x)＝ xln2＋x＋2x1＋，2，x>x0≤0，的图象与直线y＝k －x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是
A.－41，＋∞ C.－41，2
B.(0，＋∞)
√D.(0,2]
如图所示，作出函数f(x)的大致图象(实线)，平移直线y＝k－x，
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例4 函数f(x)＝2x－2 －a的零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 x
√A.0<a<3
B.1<a<3
函数的零点与方程根的关系-高中数学知识点讲解
函数的零点与方程根的关系
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x 轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于 0 时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
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高考数学命题热点名师解密专题：函数的零点与方程的根(理)含答案
高考数学命题热点名师解密专题：函数的零点与方程的根（理）含答案本专题特别注意：一．命题类型：1.零点与整数解；2.二分法；3.分段函数的零点；4.零点范围问题；5.零点个数问题；6.零点与参数；7.零点与框图；8.二次函数零点分布问题；9.抽象函数零点问题；10.复合函数零点问题；11.函数零点与导数；12.零点有关的创新试题。
二．【学习目标】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．2．利用函数的零点求解参数的取值范围【知识要点】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有________．(3)函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布（一）零点与整数解；例1．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( )A．函数f(x)在区间内一定有零点B．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是C．函数f(x)在内无零点D．函数f(x)在区间或内有零点【答案】B【解析】根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，A. 函数f(x)在区间内一定有零点，不对，因为有可能在这个区间之外之内，C. 函数f(x)在内无零点，这个是不确定的；D. 函数f(x)在区间或内有零点，这个也是不确定的。
在零点应在或中或f（）＝0.这个是有可能的。
函数的零点和方程的根数学史
函数的零点和方程的根数学史函数的零点和方程的根数学史函数的零点和方程的根是数学中非常重要的概念，它们在代数学和微积分学中具有广泛的应用。
在数学史中，人们对这些概念的发展和研究做出了巨大的贡献。
最早对于方程的根和函数的零点的研究可以追溯到古希腊时期。
毕达哥拉斯学派在公元前6世纪提出了一个重要的概念，即“相等的与相等的相加，其结果还是相等的”。
这个思想对于研究方程和函数的根奠定了基础。
然而，古希腊时期的数学家并没有一个统一的符号表示方程和根，所以他们通常使用几何图形来表示方程和根的关系。
在公元16世纪，意大利数学家费拉里奥在他的《代数》一书中，引入了代数记号来表示方程和根。
他使用字母来表示未知数，并使用一般的代数形式表示方程。
费拉里奥的工作开启了代数学在方程和根研究中的新篇章。
随后，法国数学家笛卡尔进一步发展了代数学，并引入了坐标系和轴表示方程和根的关系。
这一发明标志着代数学在方程和根的研究中的重大进步，也为后来的微积分学的发展铺平了道路。
在17世纪，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨独立地发现了微积分学。
微积分学是研究函数和方程的根本工具，它将方程的根和函数的零点引入到了新的层面。
牛顿和莱布尼茨提出了微积分学的基本概念，如导数和积分，并开创了微积分学的研究领域。
在微积分学中，函数的零点和方程的根被用来确定函数的最值、函数的性态等。
这一时期的数学家在函数和方程的根的研究上取得了巨大的进展，为后来的数学理论和应用奠定了基础。
到了18世纪，数学家对于函数的零点和方程的根进行了更加深入的研究。
法国数学家拉格朗日在他的《函数的微积分理论》中，给出了函数的零点的定义，并研究了函数的零点的性质。
他提出了拉格朗日乘子法，利用函数的零点来求解约束条件下的极值问题。
意大利数学家欧拉在他的《算法分析》一书中，研究了方程的复根和多项式方程的根的分布。
这些数学家的工作不仅推动了函数和方程根的研究，还对整个数学理论的发展做出了重大贡献。
函数的零点与方程的根的求解
函数的零点与方程的根的求解在数学中，函数的零点与方程的根都是指能使函数取值为零的变量值或方程的解。
求解函数的零点和方程的根在数学和实际应用中都有重要的意义。
本文将介绍一些基本的求解方法和一些实际应用。
一、函数的零点求解函数的零点是指使函数取值为零的变量值。
求解函数的零点可以通过以下几种方法进行：1. 图像法：通过观察函数的图像，找到函数与x轴相交的点。
这种方法在函数图像相对简单，且有明显的交点时比较适用。
2. 代入法：将函数中的变量值替换为0，然后解方程求解变量值。
这种方法适用于一些简单的函数表达式，例如线性函数。
3. 迭代法：通过迭代计算逼近函数的零点。
迭代法通常需要通过设定一个初始值，然后根据一定的迭代公式逐步逼近零点。
4. 数值逼近法：使用数值方法求解函数的零点，例如二分法、牛顿法等。
这些方法会利用函数在某个区间内的性质进行迭代，逐步逼近零点。
二、方程的根求解方程的根是指使方程成立的变量值。
方程的根求解可以通过以下几种方法进行：1. 代数解法：将方程转化为标准形式，然后利用代数的性质进行求解。
例如，对于一元二次方程可以使用求根公式进行求解。
2. 图像法：绘制方程和常数曲线的图像，观察图像的交点即为方程的根。
这种方法适用于一些简单的方程，例如线性方程。
3. 迭代法：通过迭代计算逼近方程的根。
迭代法适用于无法通过代数方法求解的方程，通过不断迭代逼近根的值。
4. 数值逼近法：使用数值方法求解方程的根，例如二分法、牛顿法等。
这些方法会利用方程的特点进行迭代，逐步逼近根的值。
三、实际应用函数的零点和方程的根在实际应用中有广泛的应用。
例如，在物理学中，可以使用函数的零点来求解物体的运动方程；在经济学中，可以使用方程的根求解经济模型的均衡点；在工程学中，可以使用函数的零点来求解系统的稳定状态等。
总结：函数的零点与方程的根的求解是数学中重要的内容，它们在数学理论和实际应用中都有重要的意义。
求解函数的零点和方程的根可以使用各种方法，其中包括图像法、代入法、迭代法和数值逼近法等。
2022高考数学：函数与导数-函数的零点与方程的根
函数与导数-函数的零点与方程的根专题综述“函数零点存在性定理”是函数的一个核心定理,它蕴涵了丰富的数学思想,揭示了函数与方程的基本关系和转化的路径,是进一步研究函数问题的基础,是判定函数零点,沟通方程与函数的重要工具.从 “探究一元二次方程根与二次函数零点关系”这个特殊情况出发，抽象出函数零点与方程根的关系，体现了函数与方程思想、特殊到一般的思想；结合数形结合思想，化归与转化思想，使函数零点、方程根与图象交点三者在解题时选择合适的转化方向，顺利解题.高考中，对于函数零点与方程根的考查，通常与一元二次方程根分布、三次函数、导数等知识点结合考查，对学生能力要求较高，难度较大.专题探究探究1：判断零点个数或已知零点个数求参问题零点相关问题的解题思路：（1）二分法求零点近似值：按照二分法的步骤，缩减区间长度，使区间长度不超过精确度，则区间内任意一个值都可作为零点；（2）判断零点个数或已知零点个数求参问题的思路方法一：转化为利用图象解方程问题解决（专题1.3.1探究二）；强调：转化思想⇒函数()f x 的零点→方程()0f x =即()()g x h x =的根→函数()()y g x y h x =⎧⎪⎨=⎪⎩图象的交点； 方法二：利用零点存在性定理解决答题思路：第一步: 化繁为简，若函数结构复杂，舍去不为0的部分，取其可能为0的部分，构造函数()f x ；第二步:研究函数单调性，通常函数复杂，利用导数研究函数单调性；若含参数，分类讨论； 第三步:每个单调区间内，分别求2个函数值()(),f a f b ，确保()()0f a f b ⋅<； 第四步:得出零点个数，或已知零点所在区间，进而求出参数的取值范围.(2021重庆市市辖区模拟)已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点,a b ，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A. e (0,)2B. ln 2e ,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ln 3e e ,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. ln 2e(0,)4【审题视点】选择题中出现函数的零点问题，可以令()0f x =实现转化，即转化为函数图象交点，或借助方程化简，只取可能为0的部分构造函数()g x ，利用导数研究单调性，借助零点存在性定理，研究零点个数.【思维引导】函数()2ln 1x mx f x x+-=有2个零点()2ln 1g x x mx ⇒=+-有2个零点⇒讨论()g x 的单调性，2个零点至少有2个单调区间⇒明确单调区间，确定已知零点的范围⇒验证(),a b 内是否只含有1个整数.【规范解析】解：2ln 1()x mx f x x+-=，其定义域为()0,+∞令()0f x =即2ln 10x mx +-=设2()ln 1g x x mx =+-，则()g x 的零点为,a b2112()2mx g x mx x x-'=-=，①当0m时，()0g x '>对0x >恒成立，故()g x 在()0,+∞单调递增，不可能有两个零点（舍） ②0m >，令()0g x '>，得102x m<<若函数的结构复杂，要先化繁为简，提取可能为零的部分，构造函数，降低函数研究难度解不等式()0g x '>，含参数的情况下，根据不等式结构，分类讨论令()0g x '<，得12x m>故()g x 在1(0,)2m 单调递增，在1(,)2m+∞单调递减， ()1111=()ln 21(1ln 2)2222g x g m m m =-+-=-极大 要使()g x 有两个零点，则需1()02g m>， 即1ln 202e m m ->⇒<， 当0x +→时，()g x →-∞， 当x →+∞时，()g x →-∞， 11(0,),(,)22a b m m∴∈∈+∞， 又(1)1g m =- ①当1m =时，则1(0,)2a ∈，1b =， 不存在整数0(,1)x a ∈（舍）②当1m <时，则(1)0g >，(0,1)a ∈， (1,2],b ∴∈故01x =， (2)ln 2140g m ∴=+-，即ln 21ln 244em+=， ③当1m >时，则(1)0g <且1222m < 110,,,122a b m m ⎛⎫⎛⎫∴∈∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故不存在整数0(,)x a b ∈（舍） 综上，m 的取值范围为ln 2e ,1.4⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选.B利用零点存在性定理，研究零点个数，①先明确函数的单调性②两个单调区间验证是否满足，进而验证单调区间内是否有零点，确定零点范围函数()f x 解析式中出现ln x ，通常可以用()1f 的值可作为参照当1x =时，()11g m =-，含有参数，分类讨论()1g 的正负情况【探究总结】本题是典型的考查函数零点个数求参数问题，两种方法都可解决.（1）借助图象：方程变形，作出新函数的图象，观察图象交点，即方程()0g x =转化为2ln 1x m x +=，构造函数()2ln 1x h x x +=，求导研究函数()h x 的单调性，借助极值点11,1e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、极值、零点，作出函数()h x 的大致图象，当()()21h m h ≤<时，区间(),a b 内存在唯一整数.（2）借助零点存在性定理：构造函数，利用导数研究单调性，验证每个区间内是否存在零点；参数时，要分类讨论.解决此类题目时，若为选择填空，可首选图象法；若为解答题，可首选零点存在性定理解决.但不管是那种方法，试题难度都较高，理清思路，落实好细节.(2021山东青岛模拟）设函数()()2232x f x e x ax ax b =--++，若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，且极小值点1x 大于极大值点2x ，则实数a 的取值范围是（ ）A. 321(0,)(2,)2e +∞B. 321(,)(4,)2e -∞+∞C. 32,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 32(,1)(4,)e -∞+∞探究2：“点”化方程根方程问题的关键是转化为“点”的问题解决：（1）将方程的根转化为函数图象的交点：（专题1.3.1探究二）（2）将方程的根转化为函数的零点：答题思路：第一步: 简化方程，舍去不会为零的部分，或化分为整（注意分母不为0）等； 第二步: 变形为()()f x g x =的形式，若等式左右两侧的函数图象能够用常规方法作出，通过图象能得出交点个数或列出含参数不等式，即转化为图象交点解决；若图象法不利于求解，构造函数()h x ，转化为零点问题.(2021浙江省台州市模拟)已知函数()ln 1f x x =-，若方程()xm xf x e-=在区间[]1,e 内有且仅有一个根，则实数m 的取值范围是（ ）A. []1,e e -B. [],1e e +C. (],1e -∞-D. (),e -∞【审题视点】已知方程根个数求参，方程()xm xf x e -=较为复杂，转化为零点解决. 【思维引导】方程()x m x f x e-=变形为()ln 10xx e x m -+-=，变形方向是让参数m 与x 分开，使导函数中不含参数，避免分类讨论.导函数若不能直接解不等式或不能用单调性性质判断其单调性，则提取其中符号不明确的部分，构造函数，研究新构造函数的符号.【规范解析】解：方程()x m x f x e -=即ln 1xm xx e --=即()ln 10xx e x m -+-=，令()()[]()ln 11,x g x x e x m x e =-+-∈则函数()g x 在区间[]1,e 上有且仅有一个零点， 则()1ln 11x g x x e x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭，令()[]()1ln 11,h x x x e x =+-∈，则()221110x h x x x x-'=-+=， ∴函数()h x 在[]1,e 上单调递增方程根转化为函数零点，构造函数，求导研究函数单调性一次求导后()0g x '>的不等式无法直接求解，变形取符号不确定的部分，构造函数()h x ，研究()h x 的单调性判断()h x 的符号当[]1,x e ∈时，()()10h x h =，∴()0g x '>，∴()g x 在区间[]1,e 上单调递增，当函数()g x 在区间[]1,e 内有且仅有一个零点时， 则解得，即实数m 的取值范围是[]1,.e e -故选.A【探究总结】方程根问题，转化为零点或是交点解决，所以要将题干方程表示出来，需进一步变形.如果方程能变形为()()g x h x =，()y g x =的图象为曲线，()h x 的图象为直线，或()(),g x h x 均为常见简单函数，则转化为函数图象交点解决.若变形后()(),g x h x 不满足上述情况，则转化为函数零点问题，利用零点存在性定理，得出零点个数或求参数取值范围.(2021江西抚州月考）函数22()log (0)1xf x x x =>+，关于方程2()()230f x m f x m +++=有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）A. (,427](427,)-∞-++∞B. (427,427)-+C. 32(,)43--D. 34(,]23--探究3：一元二次方程根分布问题一元二次方程根分布问题往往会结合方程()()()200a f x bf x c a ++=≠⎡⎤⎣⎦根个数考查：答题思路：第一步: 换元，设()t f x =，转化为一元二次方程20at bt c ++=，即()()12,f x t f x t ==；第二步:作出()f x 的图象，作出12,y t y t ==的图象，使交点个数之和等于根个数； 第三步: 结合图象得出12,t t 的范围，即方程20at bt c ++=的根范围； 第四步:结合一元二次方程根分布的情况，列出不等式；函数()g x 在区间[]1,e 上单调，且有1个零点，判断端点处函数值符号思路：已知方程02=++c bx ax 的实根的分布情况，画出满足条件的函数c bx ax y ++=2的图象，结合图象从,2ba∆-，及函数端点处函数值符号的角度列出不等式. （1）若在R 内研究方程02=++c bx ax 的实根情况：根据根个数及根的符号列关于2121,,x x x x +∆的不等式；（2）若在区间),(n m 内研究二次方程()200ax bx c a ++=>，则需由二次函数图象与区间关系来确定：①二次方程有且只有一个实根属于),(n m 的充要条件：()()0f m f n ⋅<；②二次方程两个根都属于),(n m 的充要条件：()()020,0b m na f m f n ∆≥⎧⎪⎪<-<⎨⎪>>⎪⎩； ③二次方程两个根分别在()(,),,m n p q 内的充要条件：()()()()000f m f n f p f q ∆>⎧⎪<⎨⎪<⎩；④二次方程两个根，一个根比r 大，一根比r 小的充要条件：()0f r <.(2021安徽淮北模拟)已知函数，若函数21()()4y f x mf x =-+有8个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A. 51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 225e 16e 161,4e 8e ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭ C. (1,2) D. 225e 16e 16,24e 8e ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭【审题视点】遇见“()()214y fx mf x =-+有8个零点”这种条件⇒换元将复合函数简单化，零点转化为方程根，再转化为图象交点求解；且方程()()2104f x mf x -+=，换元后为一元二次方程，解题会用到一元二次方程根分布的知识.【思维引导】①换元：()()21210,4t mt f x t f x t -+=⇒==；②作图：作()f x 的图象；③ “看图说话”：借助交点个数，明确12,t t 的范围；④转化为一元二次方程根分布问题.【规范解析】解：由题意得21()()04f x mf x -+=有8个根令()t f x =，则令方程2104t mt -+=的2个根为1t ，2t即方程()()12,f x t f x t ==共8个根 ①当时，令(0()21)xf x x e =+>'，则1x >-()f x ∴在区间()1,0-上单调递增,在区间(),1-∞-上单调递减且2(1)1e f -=-，(0)1f =，x →-∞时，()1f x →②当0x >时，令1()0x f x x-'=>，则1x > ()f x ∴在区间()1,+∞上单调递增，在区间()0,1上单调递减，且()11f =-，0x →时，()f x →+∞ 作出函数()f x 的大致图象如图所示， 由图可得：当122,1,1t t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，12,y t y t ==与()f x 的图象各有4个交点即方程2104t mt -+=在区间21,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭内有2个根 换元：转化为一元二次方程，再转化为2个方程()()12,f x t f x t ==作图：利用导数判断单调性，结合极值点、极值、其他函数值，作出函数大致图象∴2210211e 222211110e e e 41(1)104m m g m g m ⎧∆=->⎪⎪-<<⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+>⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪=-+>⎪⎩ 解得225e 16e 1614e 8em -+<<-，故选.B 【探究总结】一元二次方程根分布问题，一般不会单独命题，常与函数零点或方程根结合考查，这类题目难度较大，涉及函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，解题过程按照换元：方程转化为一元二次方程；进一步转化为两个简单方程()()12,f x t f x t ==；将方程根个数转化为图象交点个数；从图象上判断进一步转化为反馈卡看函数零点.(2021江苏苏州模拟）已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()f x 的局部对称点.（1）证明：函数()21x f x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点；（2）若函数()12423x x f x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.专题升华高中数学从二次函数与一元二次方程的特殊关系中，抽象出函数零点与方程根的相互转化的一般思路.高中数学的灵魂是函数，解决复杂的方程根问题转化为函数零点或函数图象的交点问题解决，所以解决这类问题的本质是能够熟练的作出函数的图象，能够深刻的理解函数的零点存在性定理中蕴含的解题思路.针对具体的函数，借助函数单调性性质及导数判断单调性，每个单调区间内判断是否存在零点，最终得出零点个数、零点所在区间、参数的取值范围等结论，这类问题难度较大，但思路明确，解题时先理清思路，处理好细节，问题能够迎刃而解.借助图象交点判断12,t t 的范围转化为为一元二次方程根分布问题【答案详解】变式训练1：【答案】A【解析】解：函数，则，函数存在两个极值点，，则函数与的图象有两个交点，设与的切点，恒过点，求导得，令，得；令，得，在单调递减，在单调递增，则在处的切线斜率，则，整理得：，解得，或，当时，则，即，，当时，则，即，，要使与有两个交点，则或，当，则与有两个交点，，且，由函数图象可知，当时，，即，当时，，即， 当时，，即，即函数单调递增，在单调递减，在单调递增，故当时，函数取极大值，当时取极小值，满足极小值点大于极大值点， 同理可知，当时，也满足极小值点大于极大值点，实数的取值范围，故选A ．变式训练2：【答案】D【解析】22()log 1x f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(1)2log 1x x +-⎛⎫= ⎪+⎝⎭22log 21x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴当0x >时，20221x <-<+，即()1f x <， 则|()|y f x =大致图象如图所示，设|()|f x t =，则2|()||()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根，且一个在(0,1)上，一个在[1,)+∞上， 当0t =时，230m +=，得32m =-，此时方程为2302t t -=，解得0t =或32t =，当0t =时，()0f x =有一个根1x =， 当32t =时，由3|()|2f x =，此时也只有一个根，此时方程共有2个根，不满足条件．设2()23h t t mt m =+++，①当有一个根为1时,2(1)1230h m m =+++=,解得43m =-,此时另一根为13,满足条件．②根不是1时，则满足(0)0(1)0hh>⎧⎨<⎩，2301230mm m+>⎧∴⎨+++<⎩，即3243mm⎧>-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，34.23m∴-<<-综上，即实数的取值范围为34(,],23--故选.D变式训练3：【解析】证明：设，则，令，则，解得，即当时，，即成立，即函数在区间内必有局部对称点；解：若函数在上有局部对称点，且，则在上有解，即在上有解，于是在上有解．令，则，所以方程变为，设，则，由，在上单调递增知，，，，即此时，所以函数在上单调递减；设，则，，由，在上单调递增知，，，，即此时，所以函数在上单调递增；故从而已知即在上有解，设，分为两种情况：①当方程在唯一解时：则或解得，；解得，，则；②当方程在有两个解时：综上得:13,22.∈⎣m⎡长干行·其一[唐]李白妾发初覆额，折花门前剧。
方程的根与函数的零点 课件
类型三 判断函数的零点所在的大致区间 例 3 设 x0 是函数 f(x)＝ln x＋x－4 的零点，则 x0 所在的区间 为( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【解析】 因为 f(2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>ln e－1＝0，f(2)·f(3)<0.由零点存在性定理，得 x0 所在的区间为(2,3)．
【答案】 (1)B (2)见解析
思路一：解方程求零点，方程 f(x)＝0 的实数根的个数就是函 数 f(x)的零点的个数；
思路二：画出函数图象，依据图象与 x 轴的交点的个数来判断 函数的零点个数．
方法归纳
判断函数零点个数的三种方法 (1)方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通 过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数． (2)图象法：由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝h(x)，在同一坐标 系内作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判 定函数零点的个数． (3)定理法：函数 y＝f(x)的图象在区间)·f(b)<0 即可判断函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有 一个零点．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数 f(x) 在区间(a，b)内只有一个零点．
类型二 确定函数零点的个数
例 2 (1)函数 f(x)＝x－ x－2 的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)判断函数 f(x)＝x－3＋ln x 的零点个数．
【解析】 (1)令 f(x)＝0 得 x－ x－2＝0，设 t＝ x(t≥0)，则 t2－t－2＝0，解得 t＝2 或 t＝－1(舍)．
【解析】 (1)由图观察，A 中图象与 x 轴没有交点，所以 A 中 函数没有零点．
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第29讲 用导数研究和解决函数的零点问题-解析版
第29讲 用导数研究和解决函数的零点问题一、函数的零点1.函数零点的意义 函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根,亦即函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标.方程()0f x =有实数根()y f x ⇔=的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.2.函数零点的求法 (1)代数法:求方程()0f x =的实数根.(2)导数法:求函数()y f x =的导数()f x ',解方程()0f x '=求得零点. (3)几何法:利用函数()y f x =的图像垥合函数的性质找出零点.3.勘根定理 如果函数()y f x =在区间(),a b 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有()()0f a f b <,那么,函数()y f x =在区间(),a b 内有零点,即存在(),c a b ∈,使()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根.4.函数零点问题的题型 函数零点问题的题型主要有:(1)确定函数零占所在的区间;(2)判断函数零点个数;(3)由函数零点的存在情况求参数的取值范围.本讲主要讲高次函数与复合函数的零点的探求,以导数为工具研究和解决这类函数的零点问题,进而研究两函数的交点问题,重点是函数与方程之间的转换.方程转换为函数问题,以导数探究函数的单调性.值域,极值、图像等知识解决,两函数交点转化为方程问题可直接求解,也可整理后再转化为新的函数问题.高考压轴题中的零点问题往往不是单一的,常常涉及方方面面,综合性强,有一定的难度,是近年高考压轴题命制的热点之一.典型例题【例1】已知函数()2e x f x ax =-.(1)若1a =,证明:当0x 时,()1f x ;(2)若()f x 在()0,∞+只有一个零点,求a .【分析】本题主要考查函数的单调性、不等式的证明、函数的零点问题,意在考查学生的推理论证能力、化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.第(1)问,证明不等式的恒成立问题,可以转化为求函数的最值,比如要证明()0f x ,可先求得()f x 的最小值,然后证明这个最小值大于等于0即可.当然在证明过程中,特别是求最值时,这个最小值可能不会明确给出,需利用导数知识求得,本小题首先对不等式进行变换,构造一个新函数,然后利用导数研究新函数的单调性,进而证明不等式.第(2)问,首先也是构造新函数,然后分0a 与0a >两种情况讨论函数的零点个数,且当0a >时,要注意利用导数研究函数的单调性与最值,总之,本题的求解构造新函数很重要,不同的构造可以有不同的解法. 【解析】 (1)【证法一】当1a =时,()1f x 等价于()21e 10x x -+-, 设函数()2()1e 1x g x x -=+-,则()22()21e (1)e .x x g x x x x '--=--+=-- 当1x ≠时,()0,()g x g x '<∴在(0,)+∞单调递减.而(0)0g =,故当0x 时,()0g x ,即()1f x【证法二】 当1a =时,2()e ,()e 2x x f x x f x x '=-=-.令()e2,()e 2xx g x x g x '=-=-,令()0g x '=,得ln 2x =.则函数()y g x =在区间[0,ln 2)内单调递减,在区间[ln 2,)+∞内单调递增,从而()(ln 2)22ln 20g x g =->,∴函数()y f x =在区间[0,)∞内单调递增,有()(0)1f x f =.(2)【解法一】设函数2()1exh x ax-=-.()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.当0a 时,()0,()h x h x >没有零点;当0a >时,()(2)e xh x ax x '-=-.当(0,2)x ∈时,()0h x '<;当(2,)x ∈+∞时,()0,()h x h x '>∴在(0,2)单调递减,在(2,)+∞单调递增, 故24(2)1e ah =-是()h x 在[0,)+∞的最小值. ①若(2)0h >,即2e ,()4a h x <在(0,)+∞没有零点;②若(2)0h =,即2e ,()4a h x =在(0,)+∞只有一个零点;③若(2)0h <,即2e 4a >,由于(0)1,()h h x =∴在(0,2)有一个零点.由(1)知,当0x >时,()333224421616161e ,(4)1111e (2)e xa a a a a x h a a a >∴=-=->-=-0>, 故()h x 在(2,4)a 有一个零点,因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上,()f x 在(0,)+∞只有一个零点时,2e 4a =.【解法二】当0x >时,e ()0x f x ax x =⇔=,原问题转化为动直线y ax =与曲线e ()xh x x=在区间(0,)+∞内只有一个公共点.由2(1)e ()xx h x x '-=,得函数()y h x =在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,)+∞内单调递增.设y ax =与()y h x =的一切点为000e ,x P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则()()000201e xx h x x '-=,于是函数()y h x =在点P 处的切线方程为()()00002001e e xx x y x x x x --=-.由切线过原点可得02x =,故2e (2)4a h '==.【例2】已知32()(,)f x x ax b a b =++∈R .(1)试讨论()f x 的单调性;(2)若(b c a =-实数c 是与a 无关的常数),当函数()f x 有3个不同的零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)1,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求c 的值. 【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值可以确定函数的零点及零点的分布情况. 【解析】 (1)2()32f x x ax '=+,令()0f x '=,解得1220,3a x x ==-.当0a =时,2()30(0),f x x x '=>≠∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增.当0a >时,2,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时,2()0;,03f x x a '⎛⎫>∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '< ∴函数()f x 在2,,(0,)3a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,当0a <时,2(,0),3x a ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭时,2()0;0,3f x x a '⎛⎫>∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<∴函数()f x 在2(,0),,3a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减. (2)【解法一】由(1)知,函数()f x 的两个极值为324(0),327f b f a a b ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,则函数()f x 有3个零点等价于324(0)0327f f a b a b ⎛⎫⎛⎫-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.从而30, 40,27a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或30,40,27a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩又,b c a =-∴当0a>时,34027a a c -+>或0a <时,34027a a c -+< 设34().27g a a a c =-+函数()f x 有3个零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,333)1,,22⎛⎫⎛⎫-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则在(,3)-∞-上,()0g a <且在31,2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()0g a >均成立.(3)10g c ∴-=-且3102g c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因此1c =. 此时,322()1(1)(1)1f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦.函数有3个零点,则2(1)10xa x a +-+-=有两个异于1-的不等实根.22(1)4(1)230a a a a ∴∆=---=+->且2(1)(1)10a a ---+-≠解得33(,3)1,,.22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上1c =. 【解法二】由(1)知,()f x 的两极值为324(0),327f b c a f a a c a ⎛⎫==--=+- ⎪⎝⎭. 函数()f x 有3个不同的零点等价于2(0)03f f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,即34()027c a a a c ⎛⎫--+< ⎪⎝⎭①由题中条件可知,上述关于a 的不等式的解集恰好为(,3)-∞-⋃331,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则33,1,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭为关于a 的方程34()027c a a a c ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭②的解集,从而c 可能的取值为33,1,2-.若3c =-,由于1a =不是②式的解,∴②式的解集不等于集合A ,故不符合题意.若32c =,由于1a =不是②式的解，∴②式的解集也不等于集合A ,故不符合题意. 若1,c =①式即为34(1)1027a a a ⎛⎫--+<⎪⎝⎭,也就是23(3)(1)02a a a ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭,其解集恰为33(,3)1,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故1c =即为所求.【解法三】同解法二,函数()f x 有3个不同的零点等价于34()027c a a a c ⎛⎫--+<⎪⎝⎭,即43222727270424a ca a ca c --+->,其解集恰为3(,3)1,2⎛⎫-∞-⋃⋃ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭又不等式23(3)(1)02a a a ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭,即4322727270424a a a a --+->的解集为33(,3)1,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故43222727270424a ca a ca c --+->与4322727270424a a a a --+->同解.比较两个同解不等式的系数可得1c =. 【解法四】由(1)知,()f x 的两极值为324(0),327f b c a f a a c a ⎛⎫==--=+- ⎪⎝⎭.①当(,3)a ∈-∞-时,(0)f 为极大值,23f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为极小值. ()f x 有3个不同的零点3(0)0420273f a c a a a f >⎧⎪⇔⇔<<-+⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩恒成立. 记34()27g a a a =-+,由24433()19922g a a a a '⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.可得当(,3)a ∈-∞-时,()0ga '<,故()g a 在(,3)-∞-上单调递减.()(3)1g a g ∴>-=,从而3 1.c -②当331,,22a ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,(0)f 为极小值,23f a ⎛⎫-⎪⎝⎭为极大值.()f x 有3个不同的零点3(0)04,20273f a c a a f a <⎧⎪⇔⇔>>-+⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩恒成立.由(1)知,当331,,22a ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,3()12g a g ⎛⎫<=⎪⎝⎭,故11c ,即1c =. 综合①②有1c =,此时,322()1(1)(1)1f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦,当()f x 有3个不同的零点时,关于x 的方程2(1)10x a x a +-+-=有两个异于－1的相异实根.故22(1)4(1)0,(1)(1)10,a a a a ⎧∆=--->⎨---+-≠⎩解之得33(,3)1,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述,1c =.强化训练1.已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+--.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 【解析】解:(1)()f x 的定义域为()()()()()2,,2e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a ∞∞-+=+--'-=+.若0a ,则()()0,f x f x <∴'在(),∞∞-+单调递增;若0a >,则由()0f x '=得ln x a =-,当(),ln x a ∞∈--时,()0f x '<;当()ln ,x a ∞∈-+时,()0f x '>.()f x ∴在(),ln a ∞--单调递减,在()ln ,a ∞-+单调递增.(2)若0a ,由(1)知()f x 至多有一个零点.若0a >,由(1)知,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+.(1)当1a =时,由于()ln 0f a -=,故()f x 只有一个零点;(2)当()1,a ∞∈+时,由于11ln 0a a-+>,即()ln 0f a ->,故()f x 没有零点;(3)当()0,1a ∈时,11ln 0a a-+<,即()ln 0f a -<,又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>,故()f x 在(),ln a ∞--有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a⎛⎫>- ⎪⎝⎭,则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->,由于3ln 1ln a a ⎛⎫->-⎪⎝⎭,因此()f x 在()ln ,a ∞-+有一个零点. 综上,a 的取值范围为()0,1.。
高考数学命题热点名师解密专题：函数的零点与方程的根(理)
专题04 函数的零点与方程的根的解题方法本专题特别注意：一．命题类型：1.零点与整数解；2.二分法；3.分段函数的零点；4.零点范围问题；5.零点个数问题；6.零点与参数；7.零点与框图；8.二次函数零点分布问题；9.抽象函数零点问题；10.复合函数零点问题；11.函数零点与导数；12.零点有关的创新试题。
二．【学习目标】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．2．利用函数的零点求解参数的取值范围【知识要点】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有________．(3)函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布（一）零点与整数解；例1．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( )A．函数f(x)在区间内一定有零点B．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是C．函数f(x)在内无零点D．函数f(x)在区间或内有零点【答案】B【解析】根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，A. 函数f(x)在区间内一定有零点，不对，因为有可能在这个区间之外之内，C. 函数f(x)在内无零点，这个是不确定的；D. 函数f(x)在区间或内有零点，这个也是不确定的。
在零点应在或中或f（）＝0.这个是有可能的。
故答案为B。
函数的零点与方程根的关系高考真题教师版
函数的零点与方程根的关系一．选择题（共13小题）1．（2020•天津）已知函数3,0,(),0x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()|2|()g x f x kx x k R =--∈恰有4个零点，则k 的取值范围是()A ．(-∞，1)2-⋃)+∞B ．(-∞，1)(02-⋃，C ．(-∞，0)(0⋃，D ．(-∞，0)⋃)+∞2．（2015•上海）记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是( ) A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根3．（2015•天津）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A ．7(4，)+∞B ．7(,)4-∞C ．7(0,)4D ．7(4，2)4．（2015•天津）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩，函数()3(2)g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．55．（2013•天津）函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．（2013•湖南）函数()2f x lnx =的图象与函数2()45g x x x =-+的图象的交点个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．07．（2013•四川）设函数()f x a R ∈，e 为自然对数的底数）．若存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是( ) A ．[1，]eB ．[1，1]e +C ．[e ，1]e +D ．[0，1]8．（2013•湖南）函数()f x lnx =的图象与函数2()44g x x x =-+的图象的交点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．39．（2012•辽宁）设函数()()f x x R ∈满足()()f x f x -=，()(2)f x f x =-，且当[0x ∈，1]时，3()f x x =．又函数()|cos()|g x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．810．（2012•山东）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+．若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是( ) A ．120x x +>，120y y +> B ．120x x +>，120y y +<C ．120x x +<，120y y +>D ．120x x +<，120y y +<11．（2012•湖北）函数2()cos f x x x =在区间[0，4]上的零点个数为( ) A ．4B ．5C ．6D ．712．（2012•湖北）函数()cos 2f x x x =在区间[0，2]π上的零点个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．513．（2012•北京）函数121()()2x f x x =-的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共17小题）14．（2020•上海）设a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：（1）对任意的0x R ∈，0()f x 的值为0x 或20x ；（2）关于x 的方程()f x a =无实数解， 则a 的取值范围是 ．15．（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，当81z =时，x = ，y = ． 16．（2018•上海）设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是17．（2017•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，2,(),x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩，其中集合1{|n D x x n-==，*}n N ∈，则方程()0f x lgx -=的解的个数是 ． 18．（2017•上海）若关于x 、y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a = ．19．（2016•山东）已知函数2||,()24,x x mf x x mx m x m ⎧=⎨-+>⎩，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是 ．20．（2015•上海）方程(21)1lg x lgx ++=的解集为 ．21．（2015•湖北）函数2()4cos cos()2sin |(1)|22x f x x x ln x π=---+的零点个数为 ．22．（2015•江苏）已知函数()||f x lnx =，20,01()|4|2,1x g x x x <⎧=⎨-->⎩，则方程|()()|1f x g x +=实根的个数为 ．23．（2015•湖北）()2sin f x =2sin()2x x x π+-的零点个数为 ．24．（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数||1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为 ．25．（2015•安徽）设30x ax b ++=，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）①3a =-，3b =-．②3a =-，2b =．③3a =-，2b >．④0a =，2b =．⑤1a =，2b =． 26．（2014•江苏）已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0x ∈，3)时，21()|2|2f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[3-，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ．27．（2014•福建）函数22,0()26,0x x f x x lnx x ⎧-=⎨-+>⎩的零点个数是 ．28．（2014•天津）已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈，若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ．29．（2014•天津）已知函数2|54|,0()2|2|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为 ．30．（2012•天津）已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y kx =的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ．函数的零点与方程根的关系参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2020•天津）已知函数3,0,(),0x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()|2|()g x f x kx x k R =--∈恰有4个零点，则k 的取值范围是()A ．(-∞，1)2-⋃)+∞B ．(-∞，1)(02-⋃，C ．(-∞，0)(0⋃，D ．(-∞，0)⋃)+∞【解答】解：若函数2()()|2|()g x f x kx x k R =--∈恰有4个零点， 则2()|2|f x kx x =-有四个根，即()y f x =与2()|2|y h x kx x ==-有四个交点， 当0k =时，()y f x =与|2|2||y x x =-=图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当0k <时，2|2|y kx x =-与x 轴交于两点10x =，2212()x x x k=<图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意， 当0k >时，2|2|y kx x =-与x 轴交于两点10x =，2212()x x x k =>在[0，2)k 内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需3y x =与22y kx x =-在2(k ，)+∞还有两个交点，即可，即322x kx x =-在2(k，)+∞还有两个根，即2k x x =+在2(k，)+∞还有两个根，函数222y x x=+，（当且仅当x =时，取等号），所以20k<<k >，所以k >，综上所述，k 的取值范围为(-∞，0)⋃)+∞． 故选：D ．2．（2015•上海）记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是( ) A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△21140a =-，△22280a =-<， 即214a ，228a <， 1a ，2a ，3a 成等比数列，2213a a a ∴=，即2231a a a =，则242222232118()164a a a a a ==<=，即方程③的判别式△233160a =-<，此时方程③无实根，故选：B ．3．（2015•天津）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A ．7(4，)+∞B ．7(,)4-∞C ．7(0,)4D ．7(4，2)【解答】解：()(2)g x b f x =--，()()()(2)y f x g x f x b f x ∴=-=-+-，由()(2)0f x b f x -+-=，得()(2)f x f x b +-=， 设()()(2)h x f x f x =+-， 若0x ，则0x -，22x -， 则2()()(2)2h x f x f x x x =+-=++， 若02x ，则20x --，022x -，则()()(2)22|2|2222h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+-+=， 若2x >，2x -<-，20x -<，则22()()(2)(2)2|2|58h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+． 即222,0()2,0258,2x x x h x x x x x ⎧++⎪=<⎨⎪-+>⎩，作出函数()h x 的图象如图：当0x 时，22177()2()244h x x x x =++=++， 当2x >时，22577()58()244h x x x x =-+=-+， 故当74b =时，()h x b =，有两个交点， 当2b =时，()h x b =，有无数个交点，由图象知要使函数()()y f x g x =-恰有4个零点， 即()h x b =恰有4个根， 则满足724b <<， 故选：D ．4．（2015•天津）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩，函数()3(2)g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：()3(2)g x f x =--，∴若22x -，则0x 时，()3(2)3(2|2|)1|2|g x f x x x =--=---=+-，若22x ->，则0x <时，22()3(2)3(22)3g x f x x x =--=---=-+， 即2|2|1,0()3,0x x g x x x -+⎧=⎨-+<⎩．由()()0y f x g x =-=得到()()f x g x =， 作出两个函数()f x 和()g x 的图象如图： 由图象知两个函数有两个不同的交点， 故函数()()y f x g x =-的零点个数为2个， 故选：A ．5．（2013•天津）函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：函数0.5()2|log |1x f x x =-，令()0f x =， 在同一坐标系中作出1()2x y =．与0.5|log |y x =，如图，由图可得零点的个数为2． 故选：B ．6．（2013•湖南）函数()2f x lnx =的图象与函数2()45g x x x =-+的图象的交点个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．0【解答】解：在同一坐标系下，画出函数()2f x lnx =的图象与函数2()45g x x x =-+的图象如图： 由图可知，两个函数图象共有2个交点 故选：B ．7．（2013•四川）设函数()f x a R ∈，e 为自然对数的底数）．若存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是( ) A ．[1，]eB ．[1，1]e +C ．[e ，1]e +D ．[0，1]【解答】解：由(f f （b ）)b =，可得f （b ）1f -=（b ） 其中1()f x -是函数()f x 的反函数因此命题“存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立”，转化为 “存在[0b ∈，1]，使f （b ）1f -=（b ）”， 即()y f x =的图象与函数1()y f x -=的图象有交点， 且交点的横坐标[0b ∈，1]，()y f x =的图象与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，()y f x ∴=的图象与函数1()y f x -=的图象的交点必定在直线y x =上，由此可得，()y f x =的图象与直线y x =有交点，且交点横坐标[0b ∈，1]，x =，化简整理得2x e x x a =-+记()x F x e =，2()G x x x a =-+，在同一坐标系内作出它们的图象， 可得(0)(0)(1)(1)F G F G ⎧⎨⎩，即02120011e a e a⎧-+⎨-+⎩，解之得1a e即实数a 的取值范围为[1，]e 故选：A ．8．（2013•湖南）函数()f x lnx =的图象与函数2()44g x x x =-+的图象的交点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：在同一个坐标系中，画出函数()f x lnx = 与函数22()44(2)g x x x x =-+=- 的图象，如图所示： 故函数()f x lnx =的图象与函数2()44g x x x =-+的图象 的交点个数为2， 故选：C ．9．（2012•辽宁）设函数()()f x x R ∈满足()()f x f x -=，()(2)f x f x =-，且当[0x ∈，1]时，3()f x x =．又函数()|cos()|g x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：因为当[0x ∈，1]时，3()f x x =． 所以当[1x ∈，2]时2[0x -∈，1]，3()(2)(2)f x f x x =-=-，当[0x ∈，1]2时，()cos()g x x x π=，()cos()sin()g x x x x πππ'=-；当13[,]22x ∈时，()cos g x x x π=-，()sin()cos()g x x x x πππ'=-．注意到函数()f x 、()g x 都是偶函数， 且(0)(0)f g =，f （1）g =（1）1=， 111()()228f f -==，3331()(2)228f =-=，113()()()0222g g g -===，g （1）1=，g '（1）10=>，根据上述特征作出函数()f x 、()g x 的草图， 函数()h x 除了0、1这两个零点之外，分别在区间1[2-，0]，[0，1]2，1[2，1]，[1，3]2上各有一个零点．共有6个零点， 故选：B ．10．（2012•山东）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+．若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是( ) A ．120x x +>，120y y +> B ．120x x +>，120y y +<C ．120x x +<，120y y +>D ．120x x +<，120y y +<【解答】解：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点1x ，2x ． 由()0F x '=得0x =或23x b =．这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b ．不妨设12x x <，则223x b ==21()()(F x x x x =-，比较系数得1x -，故1120x x =+>， 由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<， 故选：B ．11．（2012•湖北）函数2()cos f x x x =在区间[0，4]上的零点个数为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：令()0f x =，可得0x =或2cos 0x =0x ∴=或22x k ππ=+，k Z ∈[0x ∈，4]，则2[0x ∈，16]，k ∴可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解，∴函数2()cos f x x x =在区间[0，4]上的零点个数为6个．故选：C ．12．（2012•湖北）函数()cos 2f x x x =在区间[0，2]π上的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【解答】解：cos 2y x =在[0，2]π上有4个零点分别为4π，34π，54π，74π 函数y x =的零点有0∴函数()cos 2f x x x =在区间[0，2]π上有5个零点．分别为0，4π，34π，54π，74π 故选：D ．13．（2012•北京）函数121()()2x f x x =-的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解答】解：函数()f x 的定义域为[0，)+∞ 12y x =在定义域上为增函数，1()2x y =-在定义域上为增函数 ∴函数121()()2x f x x =-在定义域上为增函数 而(0)10f =-<，f （1）102=> 故函数121()()2x f x x =-的零点个数为1个 故选：B ．二．填空题（共17小题）14．（2020•上海）设a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：（1）对任意的0x R ∈，0()f x 的值为0x 或20x ；（2）关于x 的方程()f x a =无实数解，则a 的取值范围是 (-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞ ．【解答】解：根据条件（1）可得(0)0f =或f （1）1=，又因为关于x 的方程()f x a =无实数解，所以0a ≠或1，故(a ∈-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞，故答案为：(-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞．15．（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，当81z =时，x = 8 ，y = ． 【解答】解：1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，当81z =时，化为：195373x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得8x =，11y =．故答案为：8；11．16．（2018•上海）设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是 1119(,]66ππ 【解答】解：函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，即方程212(1)sin()x x x ax -=+-有两不同根，也就是(1)(2sin 1)0x ax -+=有两不同根，(0,1)x ∈，1sin 2ax ∴=-在(0,1)上有两不同根． 0a >，726ax k ππ∴=+或1126ax k ππ=+，k Z ∈． 又(0,1)x ∈，且0a >，0ax a ∴<<，仅有两解时，应有11161916a aππ⎧<⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 则111966a ππ<． a ∴的取值范围是1119(,]66ππ． 故答案为：1119(,]66ππ． 17．（2017•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，2,(),x x D f x x x D ⎧∈=⎨∉⎩，其中集合1{|n D x x n-==，*}n N ∈，则方程()0f x lgx -=的解的个数是 8 ． 【解答】解：在区间[0，1)上，2,(),x x D f x x x D ⎧∈=⎨∉⎩， 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，∴在区间[1，2)上，2(1),()1,x x D f x x x D⎧-∈=⎨-∉⎩，此时()f x 的图象与y lgx =有且只有一个交点； 同理：区间[2，3)上，()f x 的图象与y lgx =有且只有一个交点；区间[3，4)上，()f x 的图象与y lgx =有且只有一个交点；区间[4，5)上，()f x 的图象与y lgx =有且只有一个交点；区间[5，6)上，()f x 的图象与y lgx =有且只有一个交点；区间[6，7)上，()f x 的图象与y lgx =有且只有一个交点；区间[7，8)上，()f x 的图象与y lgx =有且只有一个交点；区间[8，9)上，()f x 的图象与y lgx =有且只有一个交点；在区间[9，)+∞上，()f x 的图象与y lgx =无交点；故()f x 的图象与y lgx =有8个交点，且除了(1,0)，其他交点横坐标均为无理数； 即方程()0f x lgx -=的解的个数是8，故答案为：818．（2017•上海）若关于x 、y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a = 6 ． 【解答】解：若关于x 、y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩无解， 说明两直线240x y +-=与360x ay +-=无交点．则13201(6)3(4)0a ⨯-⨯=⎧⎨⨯--⨯-≠⎩，解得：6a =． 故答案为：6．19．（2016•山东）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ⎧=⎨-+>⎩，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是 (3,)+∞ ．【解答】解：当0m >时，函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ⎧=⎨-+>⎩的图象如下： x m >时，2222()24()44f x x mx m x m m m m m =-+=-+->-，y ∴要使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，必须24(0)m m m m -<>，即23(0)m m m >>，解得3m >，m ∴的取值范围是(3,)+∞，故答案为：(3,)+∞．20．（2015•上海）方程(21)1lg x lgx ++=的解集为 {2} ．【解答】解：(21)1lg x lgx ++=，((21))10lg x x lg ∴+=，∴0210(21)10x x x x >⎧⎪+>⎨⎪+=⎩， 解得：2x =．故答案为：{2}．21．（2015•湖北）函数2()4cos cos()2sin |(1)|22x f x x x ln x π=---+的零点个数为 2 ． 【解答】解：函数()f x 的定义域为：{|1}x x >-．2()4cos cos()2sin |(1)|22x f x x x ln x π=---+ 22sin (21)|(1)|2x x cos ln x =--+ sin 2|(1)|x ln x =-+，分别画出函数sin 2y x =，|(1)|y ln x =+的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．故答案为：2．22．（2015•江苏）已知函数()||f x lnx =，20,01()|4|2,1x g x x x <⎧=⎨-->⎩，则方程|()()|1f x g x +=实根的个数为 4 ． 【解答】解：由|()()|1f x g x +=可得()()1g x f x =-±．()g x 与()()1h x f x =-+的图象如图所示，图象有2个交点()g x 与()()1x f x ϕ=--的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|()()|1f x g x +=实根的个数为4．故答案为：4．23．（2015•湖北）()2sin f x =2sin()2x x x π+-的零点个数为 2 ． 【解答】解：22()2sin cos sin 2f x x x x x x =-=-，由()0f x =得2sin 2x x =，作出函数sin 2y x =和2y x =的图象如图：由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，即函数()f x 的零点个数为2个，故答案为：224．（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数||1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为12- ． 【解答】解：由已知直线2y a =是平行于x 轴的直线，由于y x a =-为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数||1y x a =--的图象是折线，所以直线2y a =过折线顶点时满足题意，所以21a =-，解得12a =-； 故答案为：12-．25．（2015•安徽）设30x ax b ++=，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 ①③④⑤ （写出所有正确条件的编号）①3a =-，3b =-．②3a =-，2b =．③3a =-，2b >．④0a =，2b =．⑤1a =，2b =．【解答】解：设3()f x x ax b =++，2()3f x x a '=+，①3a =-，3b =-时，令2()330f x x '=-=，解得1x =±，1x =时f （1）5=-，(1)1f -=-； 并且1x >或者1x <-时()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞都是增函数，所以函数图象与x 轴只有一个交点，故30x ax b ++=仅有一个实根；如图②3a =-，2b =时，令2()330f x x '=-=，解得1x =±，1x =时f （1）0=，(1)4f -=；如图③3a =-，2b >时，函数3()3f x x x b =-+，f （1）20b =-+>，函数图象形状如图②，所以方程30x ax b ++=只有一个根；④0a =，2b =时，函数3()2f x x =+，2()30f x x '=恒成立，故原函数在R 上是增函数；故方程方程30x ax b ++=只有一个根；⑤1a =，2b =时，函数3()2f x x x =++，2()310f x x '=+>恒成立，故原函数在R 上是增函数；故方程方程30x ax b ++=只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．故答案为：①③④⑤．26．（2014•江苏）已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0x ∈，3)时，21()|2|2f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[3-，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 1(0,)2 ． 【解答】解：()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0x ∈，3)时，21()|2|2f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[3-，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数()f x 与y a =的图象如图：由图象可知1(0,)2a ∈．故答案为：1(0,)2．27．（2014•福建）函数22,0()26,0x x f x x lnx x ⎧-=⎨-+>⎩的零点个数是 2 ．【解答】解：当0x 时，由()0f x =得220x -=，解得x =x =， 当0x >时，由()0f x =得260x lnx -+=，即62lnx x =-， 作出函数y lnx =和62y x =-在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故0x >时，函数有1个零点．故函数()f x 的零点个数为2，故答案为：228．（2014•天津）已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈，若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 (0，1)(9⋃，)+∞ ．【解答】解：由()|1|0y f x a x =--=得()|1|f x a x =-， 作出函数()y f x =，()|1|y g x a x ==-的图象，当0a ，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则0a >，此时(1)1()|1|(1)1a x x g x a x a x x -⎧=-=⎨--<⎩， 当30x -<<时，2()3f x x x =--，()(1)g x a x =--， 当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时23(1)x x a x --=--，即2(3)0x a x a +-+=，则由△2(3)40a a =--=，即21090a a -+=，解得1a =或9a =， 当9a =时，()9(1)g x x =--，(0)9g =，此时不成立，∴此时1a =， 要使两个函数有四个零点，则此时01a <<，若1a >，此时()(1)g x a x =--与()f x ，有两个交点， 此时只需要当1x >时，()()f x g x =有两个不同的零点即可， 即23(1)x x a x +=-，整理得2(3)0x a x a +-+=， 则由△2(3)40a a =-->，即21090a a -+>，解得1a <（舍去）或9a >， 综上a 的取值范围是(0，1)(9⋃，)+∞，方法2：由()|1|0f x a x --=得()|1|f x a x =-，若1x =，则40=不成立，故1x ≠， 则方程等价为22()|3|(1)5(1)44|||15||1||1|11f x x x x x a x x x x x +-+-+====-++----， 设4()151g x x x =-++-， 当1x >时，4()152(1)54591g x x x x =-++-=+=-，当且仅当411x x -=-，即3x =时取等号， 当1x <时，44()1552[(1)]5411g x x x -=-++--=-=-，当且仅当4(1)1x x --=--，即1x =-时取等号， 则|()|g x 的图象如图：若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根， 则满足9a >或01a <<，故答案为：(0，1)(9⋃，)+∞29．（2014•天津）已知函数2|54|,0()2|2|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为 (1,2) ．【解答】解：由()||0y f x a x =-=得()||f x a x =， 作出函数()y f x =，||y a x =的图象， 当0a ，不满足条件， 0a ∴>，当2a 时，此时||y a x =与()f x 有三个 交点， 当1a =时，当0x <时，2()54f x x x =---， 由2()54f x x x x =---=- 得2440x x ++=， 则判别式△16440=-⨯=， 即此时直线y x =-与()f x 相切， 此时||y a x =与()f x 有五个交点， ∴要使函数()||y f x a x =-恰有4个零点， 则12a <<，故答案为：(1,2)30．（2012•天津）已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y kx =的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 (0，1)(1⋃，2) ．【解答】解：函数21,1|1||1||1|(1),11111,1x x x x x y x x x x x x +>⎧-+-⎪===-+-<⎨--⎪+<-⎩， 如图所示：故当一次函数ykx =的斜率k 满足01k << 或12k <<时，直线y kx =与函数2|1|1x y x -=-的图象相交于两点， 故答案为(0，1)(1⋃，2)．。
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专题04 函数的零点与方程的根的解题方法本专题特别注意：一．命题类型： 1.零点与整数解； 2.二分法；3.分段函数的零点；4.零点范围问题；5.零点个数问题；6.零点与参数；7.零点与框图；8.二次函数零点分布问题； 9.抽象函数零点问题； 10.复合函数零点问题； 11.函数零点与导数； 12.零点有关的创新试题。
二．【学习目标】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数． 2．利用函数的零点求解参数的取值范围 【知识要点】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使___________的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有________． (3)函数零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是_________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y ＝f (x )在区间__________内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)零点的分布根的分布 (m <n <p 为常数)图象满足条件x 1<x 2<m⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0－b2a <m f （m ）>0m <x 1<x 2⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0－b2a >m f （m ）>0x 1<m <x 2f (m )<0m <x 1<x 2<n⎩⎨⎧Δ>0m <－b 2a <nf （m ）>0f （n ）>0m <x 1<n <x 2<p⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）>0f （n ）<0f （p ）>0只有一根在 (m ，n )之间⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0m <－b 2a <n 或f (m )·f (n )<0（一）零点与整数解；例1．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( )A ．函数f(x)在区间内一定有零点B ．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是C ．函数f(x)在内无零点D ．函数f(x)在区间或内有零点【答案】B【解析】根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，A. 函数f(x)在区间内一定有零点，不对，因为有可能在这个区间之外之内，C. 函数f(x)在内无零点，这个是不确定的；D. 函数f(x)在区间或内有零点，这个也是不确定的。
在零点应在或中或f（）＝0.这个是有可能的。
故答案为B。
点睛：本题主要考查二分法的定义，属于基础题．已经知道零点所在区间，根据二分法原理，依次“二分”区间，零点应存在于更小的区间，而不是更大的区间。
这样就可以断定ACD是错误的。
故可以得到结论。
练习1.【河北定州2019模拟】设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当直线令，,函数在上为减函数，在上为增函数，当时，取得极小值为，时，，当时，，若存在唯一的整数，使得，即，只需解得：，选D.练习2.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，求当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】由函数为奇函数可知当x≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数与0x ≥时()0f x ≤的个数相同，由奇函数可知()00f =，由得，所以整数解为1,2，3，所以满足题意要求的整数点有4个（二）二分法；例2．下面关于二分法的叙述中，正确的是 ( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D ．只能用二分法求函数的零点 【答案】B【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误； 二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C 错误； 求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D 错误．故选B .练习1.已知函数，设，且()F x 的零点均在区间(,)a b 内，其中a ,b Z ∈，a b <，则()0F x >的最小整数解为（ ） A ．1- B ．0 C ．5- D ．4- 【答案】D考点：函数图象平移与零点.【思路点晴】本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于，所以函数()F x 的图像是有函数()f x 的图像向左平移4个单位所得.由于()F x 零点都在某个区间上，所以函数()f x 的零点也在某个区间上.利用二分法的知识，计算的值，，且()'0fx >函数递增，有唯一零点在区间()1,0-，左移4个单位就是()5,4--.（三）分段函数的零点；例3.已知函数，若关于x 的方程有8个不等的实数根，则a 的取值范围是A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．（2, 94） 【答案】D【解析】函数，的图象如图：关于x 的方程有8个不等的实数根， ()f x 必须有两个不相等的实数根，由函数()f x 图象可知12f x ∈（）（，），令t f x =（），方程化为：， 23a t t =-+，开口向下，对称轴为： 32t =，可知： a 的最大值为：， a 的最小值为2， 92]4a ∈（，，故选D.练习1．函数的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】由得零点个数为2,选B.（四）零点范围问题；例4．【哈六中2019模拟】设函数，若方程恰好有三个根，且，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意,则，画出函数的大致图象： 由图得,当时,方程f (x )=a 恰好有三个根, 由得,由得， 由图知,点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，∴,则，即的取值范围是[,)，练习1.已知函数，且存在不同的实数123,,x x x ，使得，则123x x x g g 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．()1,2C ．()0,2D ．()1,3 【答案】A【解析】函数，画出()x f 的图象如图所示，作出直线t y =，当21<<t 时，直线与()x f 图象有三个交点，横坐标由小到大，设为1x ，2x ，3x ，令，即，则有121-=⋅t x x ，令t x =-22，得到，即有，令，()2,1∈t ，01>-t ，t 越大其值越大；，t 越大其值越大，则有，故选A ．（五）零点个数问题；例5．【湖北2019模拟】定义在R 上的奇函数()f x 满足①，②，③[]0,1x ∈时，则函数的零点个数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】由①②可知,f (x )是周期为2的奇函数,又x ∈[0,1]时,，可得函数f (x )在R 上的图象如图，由图可知,函数y =f (x )−log 3|x |的零点个数为6个， 本题选择C 选项.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 练习1.关于x 的方程有三个不同实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()3,+∞C ．(0, 3 )D ．(),3-∞【答案】B 【解析】,即为22a x x=+， 设,导数，当1x >时,在(1,+∞)递增；当0,x <或01x <<时,在(−∞,0),(0,1)递减。
可得()f x 在1x =处取得极小值3，作出()y f x =的图象，由题意可得当p >3时， 直线y a =与()y f x =有3个交点。
即有原方程有三个不同实数解,则a 的范围是()3,+∞. 练习2．已知函数，用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，，则函数()h x 的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】由题意，作出()h x 的图象如图所示，由图象，得函数的零点有三个：1,e,3e；故选C.（六）零点与参数；6．【2019南昌模拟】曲线与直线有两个交点时，实数k 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】可化为x 2+（y ﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k （x ﹣2）+4过定点p （2，4），由图知，当直线经过A （﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个． 且k AP =34，由直线与圆相切得d=2，解得k=512， 则实数k 的取值范围为 53,124⎛⎤⎥⎝⎦， 故选B ．点睛：先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k 的取值范围．练习1．已知()f x ，又()0,∞ ，若满足的有四个，则()f x 的取值范围为( )A ．()0,+∞B ．10a +>C ．()0f x '=D ．11x a =+ 【答案】A点睛：本题考查复合函数，换元设内外层函数，找到内外层的对应关系； 练习2．若方程有大于2的根，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】问题等价于方程在有解，而函数在上递增，值域为，所以k 的取值范围是，故选C.练习3．方程在区间[]1,5上有根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】由于方程有解，设它的两个解分别为x 1，x 2，则x 1⋅x 2=−2<0，故方程在区间[1,5]上有唯一解。
设f (x )= 22x ax +-，则有f (1)f (5)<0，即(a −1)(5a +23)⩽0， 解得： 235-⩽a ⩽1， 故选：C.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．（七）零点与框图；例7.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出n 的值（ ）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得n=1,x1=1,x2=2，d=0.1，令f(x)=x2−2,则f(1)=−1<0,f(2)=2>0，m=1.5,f(1.5)=0.25>0,满足条件f(m)f(x1)<0,x2=1.5，此时|1.5−1|=0.5>0.05，不合精确度要求。