广州中大附中2013届高一上学期期中考试(数学)

广州中大附中2013届高一上学期期中考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10题，共50分，第Ⅱ卷为11-21题，共100分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：
1、 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卷上。

2、 选择题和填空题都在答题卷上作答，不能答在试题卷上。

3、 要求书写工整，字迹清楚，不能使用计算器。

第Ⅰ卷（本卷共50分）
一．选择题：（本大题共10题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集{12345}U =，，，，，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合=⋂)(B A C u
A ．{3}
B ．{4,5}
C ．{1245}，，，
D ．{3,4,5}
2．函数y =
. (2,) . [2,) . (,2) . (,2]A B C D +∞+∞-∞-∞
3．下列函数是偶函数的是：
A ．x y =
B ．2
1
x y = C ．322-=x y D ．]1,0[,2∈=x x y 4．图中的图象所表示的函数的解析式为：
A .|1|23
-=
x y (0≤x ≤2) B .|1|23
23--=x y (0≤x ≤2)
C .|1|2
3
--=x y (0≤x ≤2)
D .|1|1--=x y
(0≤x ≤2)
5．下列四组函数中表示相等函数的是： A ．2)(x x f =
与x x g =)( B ．x x f =)(与
x
x x g 2
)(=
C ．2ln )(x x f =与x x g ln 2)(=
D ．x
a a x f log )(=a (＞0)1,≠a 与33)(x x g = 6．设()833-+=x x f x
，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x
在内近似解的过程中得
()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间:
A ．(1,1.25)
B ．(1.25,1.5)
C ．(1.5,2)
D ．不能确定 7. 当1a >时，在同一坐标系中，函数x
y a -=与log a y x =的图象是:
8．设12
log 3a =，0.2
13b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，1
32c =，则：
A ．a b c <<
B .c b a <<
C ．c a b <<
D .b a c <<
9．若奇函数．．．()x f 在[]3,1上为增函数．．．，且有最小值7，则它在[]1,3--上: A . 是减函数，有最小值-7 B . 是增函数，有最小值-7 C . 是减函数，有最大值-7 D . 是增函数，有最大值-7 10．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,
, 1.
a a
b a b b a b -≤⎧⊗=⎨
->⎩ 设函数
()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，
则实数c 的取值范围是:
A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭
B ．(]3,21,4⎛⎫
-∞-⋃--
⎪⎝⎭
C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝
⎛--,4
143,1
第Ⅱ卷（本卷共计100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．已知(,)x y 在映射f 下的对应元素是(,)x y x y +-，则(4,6)在映射f 下的对应元素是 。

12．已知函数21,0(),0
x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(2)]f f -的值为 。

13．方程22
12log x x -=的解的个数为 个。

14．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下三个条件：①()()0f x f x +-=；
②(2)()f x f x +=；③当01x <<时，()2
x
f x =
，则3()2f = 。

15．已知函数x
x f )2
1()(=的图象与函数g （x ）的图象关于直线x y =对称，令
|),|1()(x g x h -=则关于函数)(x h 有下列命题:
①)(x h 的图象关于原点对称； ②)(x h 为偶函数；
③)(x h 的最小值为0；
④)(x h 在（0，1）上为减函数.
其中正确命题的序号为 。

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 16. （本题满分12分）已知全集R U =，集合{}x x x A <-=32|，集合{}1log |2>=x x B ；
(1)求集合A 、B ； (2)求()B C A U ．
17. （本题满分12分）求下列各式的值：
()1()
222
log 3
3
0.2582-+
()21
lg163lg 5lg 5
+-
.
18．（本题满分14分）判断函数x
x x f 1
)(+=在)1,0(上的单调性，并给出证明．
19．（本题满分14分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。

已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）
()1分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。

()2该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收
益，其最大收益是多少万元？
20.（本小题满分14分）已知幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)，对于偶函数
()()y g x x R =∈，当0x ≥时，()()2g x f x x =-。

()1求函数()y f x =
的解析式；
()2求当0x <时，函数()y g x =的解析式，并在给定坐标系下，画出函数()y g x = 的图象； ()3写出函数()y g x =的单调递减区间。

21．(本小题满分14分)函数()f x 的定义域{}|0D x x =≠，且满足对任意12,.x x D ∈ 有：()()()1212f x x f x f x ⋅=+
()1求()1f ，()1f -的值。

()2判断()f x 的奇偶性并证明
()3如果()41f =，()()31263f x f x ++-≤，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的
取值范围。

参考答案
一．选择题：
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
三、解答题：
19．解（1）设，…………………2分
（ (10)
()x k x f 1=
分
所以当，即万元时，收益最大，万元 …………14分
2=t 16=x 3max =y。