《简单的线性规划》学法导引
《简单的线性规划》教学设计2
《简单的线性规划》教学设计一、内容和内容解析线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。
本节课为该单元的第3课时，主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．重点是如何根据实际问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义运用数形结合方法求出最优解。
与其它部分知识的联系，表现在：二、目标和目标解析本课时的目标是：1．了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等相关概念．了解线性规划模型的特征：一组决策变量表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．2．掌握实际优化问题建立线性规划模型并运用数形结合方法进行求解的基本思想和步骤．会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一族平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为建、画、移、求、答．3．培养学生数形结合的能力．对模型中z的最小值的求解，通过对式子的变形，变为，利用数形结合思想，把看作斜率为的平行直线系在y轴上的截距．平移直线，使其与y轴的交点最高，观察图象直线经过M（4，2），得出最优解x＝4，y＝2．三、教学问题诊断分析线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求．其中第一个难点通过第1课时已基本克服；第二个难点线性约束条件的几何意义也在第2课时基本解决，本节将继续巩固；第三个难点的解决必须在二元一次不等式（组）表示平面区域的基础上，继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化，以图解的形式解决之．将决策变量x，y以有序实数对（x，y）的形式反映，沟通问题与平面直角坐标系的联系，一个有序实数对就是一个决策方案．借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z的最值之间的关系；以数学语言表述运用数形结合得到求解线性规划问题的过程。
简单的线性规划说课
２
将上题中的目标函数改为 z=x2+y2, 求:z 的最大与最 小值。
x+y≤2 x≥0 y≥0
(五)、归纳小结、延伸提高
1、 小结 意义及有关概念
线性 规划
图解法 解题步骤 （ 注意事项：画图 要准确，注意数形结 合思想的应用）
应用（下一课时的内容）
2、 延伸
我们今天学的线性规划问题的图解法，能解决生活中 的一些实际问题（如引例）这也是我们下一节课学习 的内容。
(六)布置作业：
二、 教学方法及手段
首先创设情境，激趣导课。其次设置探究问题， 通过生生互动、自主合作探究学习。然后多项变式 练习,使学生能举一反三融会贯通。教师点拨、启发 引导,师生共同总结升华，同时采用多媒体辅助教学, 直观生动、化抽象为具体,提高课堂效益。
三、 说学法
本节课应着重强调学生自己动手，画符合条件 的区域，画变化中的直线，从几何的角度去理解好 问题。而教师创设疑问，精选范例，变式训练，通 过多媒体的启发点拨，使学生努力想办法解决问题， 这也体现了素质教育中学习能力的培养，达到了教 学目的。
例：设z=2x+y 式中变量x、y满足下列条件： x-4y= -3 3x+5y≤25 x≥1 (1) 指出约束条件及目标函数 (2) 画出可行域 (3) 求z的最大、最小值 [结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在 可行域的顶点处0y,求Z的最大 值和最小值。
（ 2 ）当Ｚ变化时，关于Ｘ、Ｙ的方程Ｙ = － 0.9 Ｘ + Ｚ 表示一组什么曲线？ （3）求z的最小值能否转化为求直线y= －0.9x+z在 y 轴上截距的最小值？
结论：
(1)若Ｚ是常数，Ｚ=0.9X+Y表示一条直线 令Ｘ＝０，则Ｙ＝Ｚ。∴Ｚ是这条直线在Ｙ 轴上的截距。 (2)是一组斜率为－0.9的平行直线。 (3)可以
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案教案标题：简单的线性规划教案教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和特点。
2. 理解线性规划问题的求解过程。
3. 能够利用线性规划方法解决简单的实际问题。
所需材料：1. 铅笔、纸张、计算器。
2. 多个线性规划问题的案例。
教学步骤：引入阶段：1. 引导学生思考：什么是线性规划？线性规划有哪些应用场景？2. 提出教学目标，并解释线性规划的定义和特点。
探究阶段：3. 解释线性约束条件和目标函数的概念。
4. 利用一个简单的例子说明线性规划问题的形式和表示方法。
5. 引导学生分析并列出问题的线性约束条件和目标函数。
实践阶段：6. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，并将其转化为线性规划问题。
7. 指导学生列出问题的线性约束条件和目标函数。
8. 引导学生运用计算器或手动计算，求解其线性规划问题。
9. 学生分享并讨论解决过程和结果。
巩固阶段：10. 提供更多复杂的线性规划问题案例，让学生独立尝试解答，并讨论解决策略和结果。
11. 简要总结线性规划的基本原理和步骤。
拓展阶段：12. 引导学生思考更高级的线性规划问题，如带有整数约束或非线性目标函数的问题。
13. 推荐相关参考书籍和网上学习资源供学生深入学习。
评估方式：1. 在实践阶段，观察学生的合作和参与情况。
2. 收集学生独立解答的线性规划问题的答案，并进行评估。
教学反思：根据学生的反馈和评估结果，适时调整教学步骤和内容，确保学生能够理解和应用线性规划的基本原理。
简单线性规划
3.（2011年高考浙江理5）设实数 满足不等式组 若 为整数，则 的最小值是（）
A．14B．16C．17D．19
4.（2011年高考湖南理7）设m＞1，在约束条件 下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）
（1）点（a，b）对应的区域的面积：
（2） 的取值范围；
（3） 的值域。
11.（2010广东文数19）
某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
拓展：已知变量x、y满足约束条件 若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围是。
探究二：简单线性规划
例3.某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大?
2.独立思考，合作学习，探究求简单线性规划问题的规律和方法.
3.积极参与，高效学习，善于发现和提出问题，形成良好的学习习惯。
【重点难点】重点：求简单线性规划问题；难点：可行域的画法。
【课前预习】
简单的线性规划(教案)
§3.3.2简单的线性规划(教案)---一节校际公开课的设计，实施，反思【教学目标】1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，培养学生数形结合水平，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际问题中抽象出简单的线性规划问题的过程，学会用数学语言去表达实际问题，通过经历图解法解决问题的过程掌握图解法；3．情态与价值：通过对现实中优化问题的解决，让学生体会数学知识在解决资源分配，生产安排，人力布局等方面的强大作用．培养学生的理性精神。
【教学重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解；【教学难点】把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【教学流程】【教学过程】一.复习引入：1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）代点确定，通常代如下几点(0,0),(1,0),(0,1)２.二元一次不等式组表示的几何意义是什么？二.问题情景：例 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐４t 硝酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66t ．若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 三 建立模型解：设x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，设利润为Ｚ,于是满足以下条件：41018156600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩(1) Z=x+0.5y (2)四 分析Z 随x 和y 的变化是如何变化：把(２)式等价变形为y=-2x+2Z,联系前面学过的一次函数：y=kx+b 可知，b=2Z,又因为一次函数的图象是直线如下图从图中分析可知：当直线与y 轴交点越向上时，b 的值越大，越向下是时，b 的值越小．取z=0,ｚ=1,ｚ=2等等可得到一系列平行直线得到的结论是：y=-2ｘ+ｚ表示一簇直线，z 的值随着直线y=-2ｘ平行移动时与y 轴交点不同而变化，所以我们能够由(1)确定的区域内在平行移动直线y=-2ｘ就可找到z 的最大值点和最小值点五 解决问题 １.在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）通过平移参照直线可知使目标函数最大值点在M(2,2)所以Ｚｍａｘ=3万元 2 问题变式 在(１)的约束条件下，求目标函数Z=5x+y,Z=x+2y,Z=4x+y 的最大值3.随堂练习y=-2xy=-2x+1y=-2x+4Z=x+2yy=－2ｘ+ｚZ=5x+yZ=4x+y1、求y x z -=的最大值、最小值，使x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x2、设y x z +=2，式中变量x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x六 形成一般规律解决线性规划问题的一般方法： ⑴ 建立约束条件和目标函数 ⑵ 画出可行域与参照直线 ⑶ 平行移动参考直线寻找最值点 ⑷ 求交点和最值结论１线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.结论２线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．现摘录如下(1)对于一次函数y=kx+b 中当交点在y 轴上越高时b 值越大，但是在有些线性规划问题中，并不一定是交点越高，z 的值越大，有时能够相反，这点未给学生交待清楚，造成学生误认为只要交点越高，z 就越大的理解(2)在作图不是很严格情况下出现不确定最值点在何处时，最好是把各个交点代入检验以确保答案准确，要教给学会防止出错的方法，不能仅依赖作图来找答案 (3)开始阶段要着重向学生强调作图规范和准确以给学生做好示范，强调图解法就是靠准确作图找到最优点 八 教学反思(１) 在教学设计中，我考虑到湖北省必修教材教学顺是１４５２３的顺序，不是１２３４５的顺序，这样就给线性规划教学带来一定的困难，因为斜率未学，导致不能用斜率和截距知识来说明目标函数的变化趋势．所以只能从前面学过的一次函数角度来突破，从教学实际看，学生基本听懂了目标函数的变化趋势．(２) 考虑到本节课的重点是建模和解模两个环节，所以在建模开始时着重强调了列表法分析题中各个数据，对于初学线性规划问题的学生来讲，养成用表格方法去分析，对以后解题有很大作用(３)在解决了基本问题后设置了３个变式，用来强调目标函数最值点取决于目标函数系数和可行域的形状，特别是对于无穷解的设计，以为学生以后解题做好铺垫．。
《简单的线性规划(第一课时)》1教案及说明
教学过程：
学法分析
教学内容及教学设计
学生活动
创设情境，提出问题 大家还记得北京奥运会上那二十九个 巨大的焰火脚印吗？ （给出“大脚印”视频幻灯片） 通过学生经历的 这些历史的足迹从永定门出发，沿着 实例，激发学生兴趣， 引导学生将实际生活 老北京的中轴线，经过了前门、天安门、 故宫、鼓楼，一步一步地走向了鸟巢，拉 与数学建立联系． 开了北京奥运会的序幕． （给出北京奥运场馆分布图幻灯片） 在这张图上，我们可以看到，北京的 奥运场馆分布的范围非常广． 如 果我 们以大 脚印 的行进 路线 为 y 轴，以天安门为坐标原点，建立这样一个 平面直角坐标系．那么每个场馆的位置都 可以用坐标平面内的一个点来表示． 从学生已经有的 我们做一条直线经过首都机场和举行 知识出发，寻找与新 垒球比赛的丰台体育中心，那么你能写出 知识之间的联系． 这条直线的一般式方程吗？ 直线将整个平面分成三部分区域：直 线的右下方区域、直线上和直线的左上方 区域． 直线上的点的坐标都能使代数式 3x 4 y 6 等于 0 ，不在直线上的点的坐 对已有的知识加 深理解，提出新的问 题，激发学生探求知 识的兴趣． 标代入代数式 3x 4 y 6 中，肯定会不等 于 0 ，也就是大于 0 ，或小于 0 ． 哪儿些点的坐标会使代数式 3x 4 y 6 的值大于 0 ，哪儿些点的坐标 会使它的值小于 0 呢？ 探究：是不是在某一侧的点的坐标代入代 数式 3x 4 y 6 中，所得数值的符号都相 同？怎么证明你的想法？ （不妨在直线 3x 4 y 6 0 上任取 一点 P x0 , y0 ， 过点 P 作平行于 x 轴的直 线 y y0 ，在此直线上点 P 左侧的任意一 点 x, y ，都有 x x0 ， y y0 ．所以，
《简单的线性规划》——自主学习的金钥匙
《简单的线性规划》——自主学习的金钥匙作者：刘永渤来源：《中国信息技术教育》2015年第03期今年有幸参加了NOC活动微课程评优赛项决赛阶段的评选工作，观看了来自全国的数以百计的各种类型的微课作品。
当《简单的线性规划》这一微课出现时，让我眼前一亮，一节简单、实用的微课从众多作品中脱颖而出。
一节好微课最关键、最根本的衡量标准就是学生的学习使用效果。
如果学生利用微课能正确掌握想学的知识，这节微课就是好微课。
因此，微课制作要从学生“学”的角度去设计，体现以学生自主学习为主的新课标思想。
赵老师的微课《简单的线性规划》，正是从学生的自主学习角度很好地阐述了什么是一节好的微课。
以下是我对这节课的认识。
● 从录制的课型方面从今年微课程比赛的课型来看，主要有以下几个方面的课型：新授课、重点知识讲解课、复习课、专题课、中高考难点解析课，本节课是新授课。
它的录制，解决了学生在自主学习新知识时，没有分层思维点拨与示范的困难，教师在给学生讲授知识的过程中，利用“最近发展区”原则，在学生原有的知识体系中，利用互联网，将学生的问题分层解析，让学生在原有的知识体系中既接受新知识，又巩固了原有知识，对学生日后的探究性学习起到了潜移默化的引导作用。
● 从录制的内容方面本节课内容选自普通高中课程标准实验教科书人教版数学必修五第三章第三节《简单的线性规划》，这节课的学习目标是：通过视频学习，让学生经历图解法求最优解的探索过程，学会应用并体会数形结合思想在解题过程中的作用。
这节微课学习目标明确，时间控制在10分钟内，符合中学生的学习特点，它的录制非常必要。
在传统课堂中，对于教师在课堂上的讲解，学生当时能听得很明白，但在回家自主学习与探究此问题时就存在很多问题，课堂教学内容无法再现，给学生的学习带来了很大的困难。
这10分钟的微课，解决了学生在整个知识学习过程中的几大问题：①能够根据二元一次方程画出直线;②能够根据二元一次不等式（组）画出对应的平面区域;③认识线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等相关概念。
高二数学简单的线性规划教案 人教版
高二数学简单的线性规划教案——可行域最优解的应用 成都列五中学 刘玉成一、教学目标：知识目标：学会用线性规划的图解法解决一些实际生活中有关的最优问题。
渗透转化的思想、数形结合的思想解决问题。
能力目标：培养学生们分析整理信息的能力、协作学习的能力以及应用所学知识解决实际问题的能力。
品德目标：引发学生学习与使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是，理论与实际相结合的科学态度与科学精神。
通过师生、生生互动，增进增强学生的自主性和合作精神。
二、教学重点：如何把实际问题转化为线性规划问题即建模。
教学难点：线性规化问题的图解法和建模。
三、教学方法：合作、讨论式教学法 四、教学的操作程序：教师活动教学过程学生活动五、教学过程：一、教材分析：线性规划的应用对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．二、教学建议：（1）对作业、思考题、研究性题的建议：作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；思考题主要供学有余力的学生课后完成；研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．（2）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．（3）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．三、数学小知识：线性规划最早的工作始于20世纪30年年代。
《简单的线性规划》教学设计
《简单的线性规划》教学设计作者：王丹来源：《新课程·教师》2016年第09期一、教学指导思想与理论依据线性规划是利用数学为工具，来研究在一定的人、财、物、时、空等资源条件下，如何安排，达到用最少的资源取得最大的效益。
目前所学的线性规划只是规划论中极小的一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法。
重点是介绍线性规划的有关概念和利用图解法求解。
难点是图解法求最优解的探索过程。
二、教学背景分析1.教学内容分析本课时是本节内容的第二课时，是本节的核心内容。
第一课时即二元一次不等式表示平面区域，为本课时的学习做好了知识上的准备。
第三课时线性规划的应用更是以本课时内容为基础展开的。
2.学生情况分析本节课是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解，进一步了解二元一次不等式组在解决实际问题中的应用。
如果直接向学生介绍目标函数的几何意义，考虑到他们的接受能力，用数学游戏来渗透，设置一系列问题，激发学生的探索欲望。
3.教学方式：自主探究、合作探究及教师引导相结合。
4.教学手段：计算机辅助教学。
三、教学目标设计1.知识与技能：了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值。
2.情感、态度与价值观：培养学生观察、联想、作图和渗透化归，用数学的意识和解决实际问题的能力。
通过对“线性规划”的历史及应用的大致介绍，使学生感受数学的文化价值。
四、教学过程设计（一）引入：组织学生做选盒子的游戏活动师：在下图的方格中，每列（x）与每行（y）的交汇处都放有一个盒子，每次你只能选其中的一个盒子，每个盒子对应一个分值，即为你的得分，而且该分值与盒子所在的行数和列数有关，且每次的关系式在变化，你会选哪个盒子分值最高？第一次：分值=x+y（即：列数+行数）第二次：分值=y-2x（即：行数-列数×2）师：出图3，在图中找出函数b=2x+y的最大值？学生沿用上面计算的方法显然很复杂，于是学生的思维产生“结点”，引出课题，提出何为线性（即为一次的），怎么规划（即求函数的最值），这是本节课的研究重点。
3.3.2简单的线性规划
§3.3.2 《简单的线性规划》导学案【学习目标】1.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值。
3.训练数形结合、化归等数学思想，培养和发展数学应用意识。
【重点】线性规划问题及应用。
【难点】线性规划问题的应用。
【使用方法与学法指导】1.用15分钟左右的时间阅读课本基础知识，从中了解线性规划问题，通过自主高效的预习，提升自己的阅读理解能力。
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。
3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面的“我的疑惑”处。
【预习案】一．复习1.在同一直角坐标系中作出下列直线：（1）02=+y x ；（2）12=+y x ；（3）32-=+y x ；（4）42=+y x 。
结论：2.作出下列不等式组所表示的平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，（1）x 的最大值是？ 最小值是？（2）y 的最大值是？ 最小值是？（3）y x +2的最大值是？ 最小值是？☞我的疑惑：请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决。
【探究案】探究点一：线性规划问题例1.设y x z +=2，求满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x 条件时z 的最大值和最小值。
探究点二：线性规划的有关概念：(1)约束条件：由变量x 、y 组成的线性约束条件：由变量x 、y 的 不等式(或方程)组成的不等式组．(2)目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x 、y 的线性目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x 、y 的 .(3)线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的 或 的问题， 统称为线性规划问题．(4)可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解()y x ,叫 ；由所有可行解组成的集合 叫做 ；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的 ． 探究点三：线性规划问题的应用例2.某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，问（1）该厂所有可能的日生产安排是什么？（2）若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？变式训练：在上题中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？总结解线性规划应用问题的一般步骤：探究点四：线性规划问题的应用的整点问题例3.将大小不同的甲，乙两种钢板截成A ，B 两种规格的成品，甲种钢板可同时截得2块A 规格成品和1块B 规格成品，乙种钢板可同时截得1块A 规格成品和3块B 规格成品，若现在需要A,B 两种规格成品分别为12块和10块，则至少需要甲乙两种钢板共多少张？【巩固提升】1.求y x z +=2在⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤11y y x x y 条件下的最大值和最小值。
高中数学优秀教案 简单的线形规划教案说明
《简单的线性规划（一）》教案说明河北省石家庄市第一中学 孟庆善“简单的线性规划”是高中《数学》第二册（上）第七章第四节的内容，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识应用的重视．线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．本大节内容实质上是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，它虽然只是规划论中极小的一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，同时渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．通过这部分内容的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣，应用数学的意识，提高认识问题、分析问题和解决实际问题的能力．《大纲》和教科书在这部分内容之前安排了简易逻辑、平面向量等教学内容，把过去教材中位于这部分内容之后的充要条件移入第一章“集合与简易逻辑”中，客观上使这部分内容有了新的思维角度和处理方法的可能．数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识，带有普遍的指导意义，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中．数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序．数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握．本节内容重视与之密切相关的数形结合思想和坐标方法的教学．在教学中注意把同一数学对象在数量关系和空间形式这两方面结合起来思考，由形思数，由数思形，互相联想，达到相互转化并使问题得以解决．对于某些数学问题，通过引进坐标系，把问题的条件和结论用点的坐标表示为某些数量关系式，然后用代数方法进行解决．在讨论二元一次不等式表示平面区域时候，应用集合观点来描述直线和被直线划分所得的平面区域，并用集合的语言来表达这些点的集合，比较准确和简明．本节内容是本小节的重点．教科书首先借助于一个具体例子，提出一个有关二元一次不等式表示平面区域的问题和猜想，然后证明这一猜想，并不加证明地给出一般的二元一次不等式表示平面区域的结论，说明怎样确定不等式表示直线0Ax By C ++=的哪儿一侧区域，举例说明怎样用二元一次不等式（组）表示平面区域．依据教材的内容，教学中有两个问题有待解决．一个是如何理解二元一次不等式与平面区域的对应关系，另一个是在第一个问题解决之后如何准确作出二元一次不等式所对应的平面区域．如果直接告诉学生一般的二元一次不等式表示平面区域的结论和作出区域的方法，学生可能也能解决一些用二元一次不等式平面区域的题目，但是很难真正理解数形结合的思想方法，并自觉地将这种思想方法应用于其他的数学知识．普通高中《数学课程标准》指出：在高中数学教学中，教师应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与．课堂上，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探索与合作交流．教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程．创设情境必须紧紧围绕意义建构这一目的．本节课开篇借助北京奥运会开幕式上的一幕作为引入，创设了一个导情引思的情境．平面直角坐标系的建立，将形（点）与数（坐标）联系在一起，为奥运场馆、大脚印与坐标平面内的点的对应关系，为区域内的点与坐标代入代数式的结果的对应，做了很好的铺垫．学生已经学过了直线上的点的坐标都满足二元一次方程，而且以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上．在学生得出直线方程后，如何使教材的认知结构（不等关系）和学生的认知（相等关系）构建和谐统一？在教学设计上，我采用以问题为中心，在老师的引导下，通过学生独立思考、讨论、交流等形式，对数学问题进行探究、求解、延伸和发展，通过发现问题、提出问题、解决问题来揭示二元一次不等式与平面区域的关系．对猜想的证明，要从两方面来进行．在直线3460x y -+=左上方区域内的点的坐标都满足3460x y -+<，而且在直线3460x y -+=右下方区域内的点的坐标都满足3460x y -+>．学生在证明的时候，往往会只证明其中的一方面，而忽略对另一方面的证明．只有两方面都得到证明，才能用特殊点来确定平面区域．在实际教学中，处理一些问题时，注意不纠缠于一些细枝末节问题的讨论，重在让学生应用基本的思想方法去解决问题．这样，学生是应用数学思想在思考问题，解决问题，避免了复杂的记忆和一般的讨论．正是基于这样的考虑，教材在给出猜想的证明后，直接给出了一般的二元一次不等式表示平面区域的结论．通过对引入的问题的回顾与反思，其实作出二元一次不等式表示的平面区域的方法步骤，已经很明确了．我们将教材中的例１加以变化后作为练习给出，目的是巩固作平面区域的步骤，区分边界的虚实．本节课的教学设计始终以问题为中心，将学生吸引到教师设置的问题之中，启发学生探讨、辨析，主动地参与探索学习．使学生经历了一个完整的问题提出、解决、发展的过程．通过这节课的教学，不仅仅使学生会用二元一次不等式表示平面区域，更让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的特点，亲身体会数学活动的乐趣，培养学生利用已知数学知识解决未知问题的创新意识，理解知识的来龙去脉，领会知识的产生、发展、形成过程，真正体现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的新课程理念．。
《简单的线性规划》说课材料
《简单的线性规划（二）》教学设计说明
天津市东丽区四合庄中学
张基海
《简单的线性规划（二）》教学设计说明
各位评委、老师们：
大家好！
我是天津市东丽区四合庄中学的张基海，今天我说课的内容是人教版高二（上）第七章第四节中的内容《简单的线性规划（二）》，我主要从以下几个方面说课：教材分析，教法与学法，教学手段，教学过程设计．
一、教材：“线性规划”是直线方程的一个简单应用，学生对于《简单的线性规划》的学习比较困难，而且，有些函数问题、平面解析几何等问题可以转化成规划问题来解决。
因此，有必要对这节课进行重点的分析和研究。
1、教学目标：根据本节课的特点，结合教学大纲要求，我确立了如下教学目标：（1）知识目标：
通过课堂引导、讨论、课件演示，让学生探究并初步掌握用图解法解决线性规划问题的方法---图解法。
（2）能力目标：
合作学习、探究学习及作图能力，化归、数形结合的数学思想，提高学生解决线性规划问题的能力。
（3）情感目标：
激发学生学习数学的兴趣，让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦．同时融入集体荣誉感教育。
2、重点、难点：
1、重点：利用图解法解决线性规划问题。
2、难点：（1）.目标函数的几何意义
（2）.寻找最优解
二、教法与学法：
1、教法：诱导启发、互动式教学方法
我所教的班级是文科班，学生普遍数学基础不大好，分析解决问题的能力稍差。
简单线性规划(一)
简单的线性规划（一）教学设计一、教材分析本节课是在学习了直线方程和二元一次不等式表示平面区域的基础上,介绍直线方程的一个简单应用。
中学所学的线性规划只是规划论中极小的一部分,但这部分内容也能体现数学的工具性和应用性，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的方法——数学建模法。
另外，简单的线性规划问题中的可行域，实际就是一个二元一次不等式表示的平面区域，因而解决简单线性规划问题是以二元一次不等式表示平面区域的知识为基础的，故本节课又有着承前启后的作用。
二、教法分析适宜采用启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价等授课方式，充分发挥学生的主体地位，营造生动活泼的课堂教学氛围。
三、学法分析互相讨论、探索发现。
由于学生在尝试问题解决的过程中常会在新旧知识联系、策略选择、思想方法运用等方面遇到一定的困难，需要教师指导.作为学生活动的组织者、引导者、参与者，教师要帮助学生重温与问题解决有关的旧知，给予学生思考的时间和表达的机会，共同对（解题）过程进行反思等，在师生（生生）互动中，给予学生启发和鼓励，在心理上、认知上予以帮助.这样，在学法上确立的教法，能帮助学生更好地获得完整的认知结构，使学生思维、能力等得到和谐发展.四、学习目标分析知识与技能：1．了解线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．2．掌握线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值和最小值．3．能将实际问题转化为数学问题，从实际情景中抽象解决一些简单的线性规划应用问题的基本思路和主要方法．过程与方法：在学生独立探究和师生的双边活动中完成简单的线性规划的数学理论的构建，在实践中掌握求解简单的线性规划问题的方法－－图解法．情感与态度：1．通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．体会不等式（组）刻画不等关系的意义和价值．2．体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题．3．通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的使用价值．增强应用意识，提高实践能力．五、教学重、难点重点：用图解法求线性规划问题的最优解．难点：对用图解法求线性规划问题的最优解这一方法的理解和掌握．六、所需材料及资源1、多媒体课件2电脑，投影仪，直尺等七、教学过程：[情境导入] 某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t 甲种产品需要A 种原料4t 、B 种原料12t ，产生的利润为2万元；生产1t 乙种产品需要A 种原料1t 、B 种原料9t ，产生的利润为1万元．现有库存A 种原料10t 、B 种原料60t ，如何安排生产才能使利润最大？ [第一步]设分别生产甲、乙两种产品为xt 、yt 。
§7.2 简单的线性规划
（１） 当 Ｃ≠０ 时，取原点（ ０，０） ，当原点坐标使 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ≥０ 成立时，就是含原点的区域；不成立时，就是不含原点的区域．
可行解
满足线性约束条件的解（ ｘ，ｙ）
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 线性规划问题
问题
对应学生用书起始页码 Ｐ１２３
２．对线性目标函数 ｚ ＝ Ａｘ＋Ｂｙ 中的 Ｂ 的符号一定要注意：当 Ｂ＞０ 时，直线过可行域且在 ｙ 轴上截距最大时，ｚ 值最大；在 ｙ 轴 上截距最小时，ｚ 值最小．当 Ｂ＜０ 时，直线过可行域且在 ｙ 轴上截 距最小时，ｚ 值最大；在 ｙ 轴上截距最大时，ｚ 值最小．
２×４－１ ＝ ７．
答案 Ｃ １－１ 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲种产品 １
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
线性规划的应用、非线性规划或含 考点二
参问题
简单的线性规划3.doc
3.4.4简单的线性规划授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解；【教学难点】把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【教学过程】1.课题导入[复习引入]：1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:2.讲授新课线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：[范例讲解]例5 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。
为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.例6 在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元。
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Ａｔ
，
解 令』 “ ＋ ’ ｙ得
ｒ
≥ ０，
＋ Ｙ ≤ １．
ｒ
Ⅳ ＼
图２
≤ ｌ，
｛＋ ≥０则点（ ， 所在的 ， ｕ）
【 Ｍ
一
（ ）将最 优解 代人 目标 函数 ， 出最 值． ４ 求
二、 高考导 航 １ 求线性 目标 函数 的 最值 ．
３ 解 线 性规划 应用 题 的步骤 ： ．
Ａ － ｚ
＝
ｃ Ｄ 专 ． ÷
Ｊ
（ ）列出约束条件 ： ， １ 由 Ｙ的一次不等式 （ 或方
程 ）组成 的不 等式 组 ， 出可行域 ； 作 （ ）列线 性 目标 函数 ： 于 ， ２ 关 Ｙ的一 次解 析式． 作 出初 始 直线 ｚ； 。 （ ）通过 平移 ｆ， ３ ０找最 优 点 ； 通过 解方 程组 ， 最 求
最 小值 为 ３ 选 Ｂ ， ．
２ 求平 面 区域 的 面 积 问 ．
题
、
３． ）平移直线 ｆ： ０２ ｘ＋Ｙ＝０ ａ ，
～
／；
．
代人不等式 以确定不等式所表示 的平 面区域在直线
的哪一 侧． 特殊 地 ， ｃ≠０时 ， 当 常把 原点作 为 特殊点 ； 规 律是 同侧 同号 ， 侧异 号． 异 （ ）求交 ： ３ 二元 一次 不 等式组 表示 的平 面 区域是 其 中的每 个二 元一 次 不 等 式表 示 的平 面 区域 的公 共
解 由约束条 件 在坐 标 系 中 画 出 可 行 域 ＡＡ Ｃ（ Ｂ 图
线（ 注意直线 的虚实 ， 若原不等式带等号 ， 则画成实
线； 否则画成虚线 ） ．
（ ）定 侧 ： 直 线 的一 侧 取 一 特 殊 点 Ｐ Ｘ ，ｏ ２ 在 （。Ｙ）
１ ，（ ，）Ｂ（ ，） Ｃ ３ ）Ａ ２Ｏ ， １１ ， （ ， 可 见 当 该 直 线 过 点 Ｂ（ ，） １ １ 时 ， 目标 函数 ＝２ 则 ｘ＋Ｙ取
【 ≥３ ） ，
一 ．
点评 本 题 的关 键 在于通 过换 元 ， 出动点 （ ， 找 ｕ
６，
目标 函数 ｚ＝２ ｘ＋Ｙ的最 小值 为 （ ）
Ａ． ２ Ｂ． ３
《 数理化解题研究） ０１年第 Ｊ 期 ２１ Ｄ
ｒ
数学篇
２ １
≤ １，
” 满足的约束条件｛ ＋ ） Ｍ ≥０ ，
方 移 动时第 一个通 过 的整点 是 Ａ ２ １ ， 以 Ａ（ ， ） （ ，） 所 ２ １
｛ －
Ｌ 一 Ｙ ＋ １ ＝ ０．
，
得 １） ／ （， ． ２
／
ｏ
．
１
是所求 的最 优解． ｓ ＝５×２＋４×ｌ＝ １． 故 ４
点评 本题 易 出现错误 ，
图３
因此
．
＋ 的 最 小 值 为
ｆ ：
故选 Ｄ ．
４ ．求斜 率 的 范 围 问 题
＝５× ＋４×
＝ｌ． ， ８２ 因为 Ｐ 了 ‘ ９
，
）不 是 整 点 ， 以结 果 所
例 ４
已 知 变 量 ， 满 足 约 束 条 件 Ｙ
部分．
图 １
例 ２ 在 平面直 角 坐标 系 ｘ ｙ内 ， Ｏ 已知平 面 区域
Ａ ＝ ｛ ，）Ｉ ＋Ｙ≤ １且 ≥ ０ Ｙ≥ ０ ， （ Ｙ ， ， ｝则平 面 区 域 Ｂ ＝ ｛ ＋） 一Ｙ （ ， ， ）Ｉ（ Ｙ ，）∈Ａ｝的面积 为 （ ）
２ 简 单 的 线 性 规 划 问 题 的解 题 步 骤 ： 画 ， ， ． “ 移 定， ” 答 ．
解 依 约 束条 件 作 出 可行 域 ， 图 ５的 四边 形 阴 如 影 部分． 移直 线 ２： ＋ ）ｆ‘ 平 。５ ４，ｊ 、
＝
＋ 的最 小 值是 （
）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５ ２５ １
０到 ｆ， Ｚ过 可行 域 内 ・． 使
Ａ， 由 方 程 组 ”
２ Ｏ
数 学篇
《 理化解 题研 究｝０ １年第 Ｊ 数 ２１ Ｄ期
湖 北省 巴 东第一 中学 （４３ ０ 张世 林 ● 谭柱 魁 ● 廖 庆伟 ● ４４ ０ ）
一
、
点 击 三 基
Ｃ． ４Βιβλιοθήκη Ｄ． ９ 、 １确定 二元 一 次不等 式 （ ）表示 的 区域的步 骤 ． 组 （ ）画线 ： 出不 等式所 对应 的方 程所 表 示 的直 １ 画
） 图５
解 由线性 约 束条 件 画
点
． ｙＬ
出可行区域 ， ３阴影． 图 由图
形 知点 Ｂ与 原点 ０的距 离最 小 ． 立方 程 联
ｆ＋＝０得（， Ｌ４＝’ Ｐ １解 詈 ：２ １ ｙ ＋） 。， 一
．
一
Ｂ
／’
嚣 ・为 直 ４ 平 时从 点 向 下 ） 当 线５＋ ｓ移 ，Ｐ 起 左 因 ｙ
【
一
例 设 满条｛ ５ 变 ，足 三 量ｙ 件ｘ ３ ， ＋
，
＋２ ＜ １ ． ｖ ０ ¨
’求
≥ ０ ．
３ 求距 离的最值 问题 ．
ｒ
＞ ０． ＞ ０ ． Ｙ ≥ １，
例３ 已 知函数ｘ 满足｛ Ｙ １ ， ， ｙ 一 ＋ ≤０ 则
Ｌ —Ｙ 一２ ≤ ０． ２
优解 ； 若实际问题要 求的最优解是整数解 ， 而我们利 用图解法得到的解 为非整数解 （ 近似解 ） 应作适 当 ，
调整 ， 方法 应 以与线 性 目标 函数 的直 线和距 离 为依 其
据， 在直 线 的 附近寻 求与此 直线 距离最 近 的整点．
／ — ＝—。一 又 （ ，）∈ 一， ． ， ∈ Ｙ ・ 义 Ｙ ＼ 一 ／ １ Ｏ Ａ则由｛ ≥０ 得 ， Ｙ ，
ｆ ・ Ｙ≤
口≥ ０．
平面 区域 Ｂ为如 图 ２所 示 的阴影 部分 ， 即等腰 直角 三
角形 Ｏ ＭＮ 的边 界及 内部 的点 构 成． 这里 Ｎ（ ， ） １ 一１ ， Ｍ（ ， ） 所 以 ｜ 。 ＝ １１ ， ｓ １ ×２×１： １ ｊ Ｂ △ ￣ ．
．
例 １ 设变量 ｘｙ ， 满足约束条件｛ ＋Ｙ≥２ ，则