3.2.4一元二次不等式中的含参不等式及恒成立导学案10.6
一元二次不等式及其解法导学案
§3.2一元二次不等式及其解法【学习目标】1、 掌握一元二次不等式的定义.2、理解一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象解一元二次不等式.3、能利用一元二次不等式解决有关问题：解简单的分式不等式及高次不等式，对一般二次方程的根进行讨论，解决实际问题.4、对给定的一元二次不等式，能设计求解的程序框图.【学习重点】：解一元二次不等式【学习难点】：三个“二次”之间的关系.【学习过程】：自主学习：自学课本74p ，完成下列问题：考察下面含未知数的不等式130152-+x x ＞0，342+-x x ≥0，62--x x ＜0和1632-+x x ≤0说出这四个不等式的共同特点：1、 一元二次不等式（1） 定义：（2） 一般表达形式：（3） 一元二次不等式)(x f ＞0或)(x f ＜0（)0()(2≠++=a c bx ax x f ）的解集是：2、 作出函数)(x f =62--x x 的图象，回答下列问题：（1） 当自变量x 在什么范围内取值时，函数值等于0？（2） 当自变量x 在什么范围内取值时，函数值大于0？（3） 当自变量x 在什么范围内取值时，函数值小于0？小结1：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： .小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是： . 合作探究：考察下面含未知数的不等式（1）32-+x x ≥0 （2）32-+x x ≤0 （3）324+-x x ＜0 这些不等式都是分式不等式，那这些不等式怎么解呢？3.分式不等式0)()(〉x g x f ⇔ ,分式不等式⇔≥0)()(x g x f . 高次不等式的解法一般用穿根法.例1：解下列不等式：（1）062>--x x ；（2）01442>+-x x ；（3）解不等式0322>++-x x解：（1）因为025)6(14)1(2>=-⨯⨯--=∆,方程062=--x x 的两根是2,321-==x x ， 所以，原不等式的解集是{}23-<>x x x 或。
3.2 一元二次不等式及其解法(导学案)
§3.2 一元二次不等式及其解法 学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。
学习过程一、课前预习1、阅读教材7679~P P ，回答下列问题（1）什么叫一元二次不等式？（2）一元二次不等式250x x -≤所对应的一元二次方程250x x -=与所对应的一元二次函数25y x x =-零点的关系怎样？（3）你能从一元二次函数25y x x =-的图象中看出不等式250x x -≤的解吗？（4）不等式250x x -+≥与不等式250x x -≤解集相同吗？（5）书本上讨论一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<时，为什么只讨论0a >情况？0a <的情况不要求掌握吗？（6）解一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a >）的方法和步骤是什么？（7）一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a <）能化归到（6）求解吗？（8）完成课本77页底部的表格 二、例题 例1 求不等式0232>+-x x 的解集.类推：不等式0)4)(3(>--x x 的解集为 . 不等式0)6)(5(>+-x x 的解集为 .不等式0))((21>--x x x x 的解集为 （其中12x x <）.例2 求不等式2320x x -+<的解集.类推：不等式(3)(4)0x x --<的解集为 .不等式(5)(6)0x x -+<的解集为 .不等式12()()0x x x x --<的解集为 （其中12x x <）.例3 求不等式2320x x -+-≤的解集.例4 求不等式0122>+-x x 的解集.类推：不等式0)3(2>-x 的解集为 .不等式2(6)0x +≥的解集为 .不等式2(6)0x +<的解集为 .不等式2(3)0x -≤的解集为 .不等式0)(21>-x x 的解集为 .例5 求不等式2230x x -+->小结：1、解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程c bx ax ++2=0的根.（4）画出与不等式对应的函数c bx ax y ++=2的图象；（5）根据图象写出不等式的解集.※ 动手试试解下列关于x 的不等式：（1）0322>-+x x （2）0)12)(13(≤-+x x（3）012≥+-x x （4）0122<++x x（5）0))(1(2>-+a x x （6）172153-+≥--x x x x§3.2 一元二次不等式及其解法(解析版)§3.2 一元二次不等式及其解法（1） 学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。
一元二次不等式的解法含参不等式恒成立问题及根的分布
范围是
.
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题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条
件的m值的集合：
(1)两根都大于0;
x=m/2
(2)一个根大于0,另一个根小于0;
(3)两根都小于1.
x1
x2
解：令f(x)=x2-mx-m+3且图像与x轴相交
则△＝m2-4(-m+3)＝(m+6)(m-2)≥0
.
3.已知关于 x 的方程 x2 (m 2)x 1 0 无正根,
求 m 的取值范围.
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题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为 ( 1 , 1), 求a-b 的值.
23
[思路分析] 由不等式 ax2 bx 2 0 对应的方程 ax2 bx 2 0 的两根为 1 , 1 , 可利用二次方程
两个根都在（k1 , k2 )内
x1<k1 < k2 <x2
y
y
k1 o k2 x
ok1 k2
x
0
k1
b 2a
k2
f
(k1 )
0
f (k2 ) 0
f f
(k1 ) (k2 )
0 0
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题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题 1.已知方程 x2 2mx m 12 0 .
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
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课堂练习
3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是
高中数学《3.2一元二次不等式及其解法》导学案1 新人教A版必修5
课题：3.2一元二次不等式及其解法 (1)班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：一．：自主学习，明确目标1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
教学方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；二．研讨互动，问题生成从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：互联网的收费问题一元二次不等式模型：250x x -<1）一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式250x x -<的解集怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->； 当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<；所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。
含参一元二次不等式的解法与恒成立问题
含参一元二次不等式的解法与恒成立问题
一元二次不等式是几何、代数以及统计学等领域中使用最广泛的不等式之一，其解法和恒成立问题也是学习和研究的重要内容。
首先，要理解含参一元二次不等式的解法，我们需要对一元二次方程有所了解。
一元二次不等式也可以表示为一元二次方程形式，也可以将一元二次方程化为一元二次不等式形式。
一元二次方程有一般形式ax^2 + bx + c = 0,其中a,b,c均为实数，且a≠0，这个方程有两个实根，如果a,b,c满足一定条件，那么解得的方程式可以写作
x^2+px+q≥0,其中p为常数，q为常数。
在求解含参一元二次不等式的时候，要先化成一元二次方程的形式，然后根据首项系数是正还是负，分两种情况讨论，如果ax^2为正，那么此一元二次不等式在实数集上有解，只要保证满足一定条件即可；若ax^2为负，则含参一元二次不等式可以分离，而只要满足条件就必定存在解。
当求解不等式的恒成立问题时，一般的思路是先将不等式的非负部分和负部分分开，求解其左右两边的值，例如：若有ax^2+bx+c≥0，可先将其分解为ax^2+c≥0和bx≥0，然后求解其左右两边的值，根据不等式的性质，求解其两个值，确定其恒成立条件。
总之，一元二次不等式的解法及其恒成立问题是学习和研究中重要的内容，也是大家常用的不等式之一。
要正确求解，首先要正确分离不等式，然后根据不等式的性质确定相应的恒成立条件。
人教版高中数学全套教案导学案§3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)教案
备课人授课时间课题§3.2一元二次不等式及其解法（第2课时）课标要求巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；教学目标知识目标巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；技能目标培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力情感态度价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想重点熟练掌握一元二次不等式的解法难点理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动1.课题导入1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤2.讲授新课[范例讲解]例3 某种牌的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：21120180s x x=+在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到21139.520180x x+>移项整理得：2971100x x+->显然0>，方程2971100x x+-=有两个实数根，即1288.94,79.94x x≈-≈。
所以不等式的解集为{}|88.94,79.94x x x<->或在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.学生回答1教学过程及方法例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：22220y x x=-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到222206000x x-+>移项整理，得211030000x x-+<因为1000=>，所以方程211030000x x-+=有两个实数根1250,60x x==由二次函数的图象，得不等式的解为：50<x<60因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
高中数学 数学《一元二次不等式解法》导学案(3) 大纲人教版
高中数学 数学《一元二次不等式解法》导学案（3） 大纲人
教版
学习目标：
2. 提高分析问题、构建函数模型、解决问题的能力．
一、 课前准备
1．函数2
lg(2)y x x a =-+的定义域为全体实数，则实数a 的取值范围是 ． 2．若,x m 满足1sin 21
m x m -=
+，则实数m 的取值范围是 ． 3．若关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，则m n -= ． 二、例题选讲
例1 用一根长为100m 的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？
例 2 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元／件之间的关系为1602p x =-，生产x 件所需成本为50030C x =+元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？
三、课堂练习
（1）制作一个高为20cm 的长方体容器，底面矩形的长比宽多10cm ，并且容积不少于
4000cm 3．问：底面矩形的宽至少应为多少？
2．用24米长的竹篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场,中间有一道竹篱笆,要使养鸡场的面积最大,问矩形的边长应为多少米?
3．某旅店有200张床位,若每床一晚上租金为27元,则可全部出租;若将出租收费标准每晚提高10的整数倍,则出租的床位会减少10的相应倍数张,若要该旅店某晚的收入超过10000元,
则每个床位的出租价格应定在什么范围内？小结与作业：。
3,2一元二次不等式及其解法(导学案)
3、2 一元二次不等式及其解法（导学案）（集美中学 杨正国）一、学习目标1、理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；二、本节重点熟练掌握一元二次不等式的解法三、本节难点理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系四、知识储备1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？2、比较,,a b c 的大小：22,5a b c ==-五、通过预习掌握的知识点① 若判别式240b ac ∆=->，设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <，则：0a >时，其解集为{}12|,x x x x <>或；0a <时，其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0∆=，则有：0a >时，其解集为|,2b x x x R a ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；0a <时，其解集为∅. ③ 若0∆<，则有：0a >时，其解集为R ；0a <时，其解集为∅.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解”六、知识运用1、求不等式2610x x --≤的解集. 2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ⎧-<<⎨⎩，则a b +的值是_________ 3、变式训练：已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集.4、若01a <<，则不等式1()()0a x x a-->的解是___________5、解关于x 的不等式：2(1)10ax a x -++<七、重点概念总结解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若 ③ 写出解集.一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 有两相异实根有两相等实根。
一元二次不等式及其解法导学案
3.2一元二次不等式及其解法导学案一、学习目标（1）理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；（2）进一步提高数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法； （3）发扬集体合力，探究知识，共同进步。
二、本节重点熟练掌握一元二次不等式的解法 三、本节难点理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系 四、【课前延伸】问题1.方程250x x -=的根情况如何？问题2. 二次函数25y x x =-的图象开口方向、与x 轴的交点坐标分别是什么？并作出它的草图. （1）开口方向： ；（2）与x 轴的交点坐标： ； 问题3. 根据草图填空：（1）当x = 或 时，0y =，即250x x -=；（2）当x ∈ 时，函数的图象位于x 轴的下方，则y 0，即25x x - 0；（填≥、>、≤或<）.所以不等式250x x -<的解集是 ；（3）当x ∈ 时，函数的图象位于x 轴的上方，则y 0，即25x x - 0；（填≥、>、≤或<）. 所以不等式250x x ->的解集是 ；问题4：如何获得不等式2560x x -+≥的解集呢？问题5：如何将上述方法推广到求解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集呢？关键要考虑哪些方面？规律：有根大于取两边，有根小于取中间；无根大于全实数，无根小于是空集。
五、【课内探究】 一、你帮我学，探究技巧 例1：解下列不等式：（1）2340x x --≥ （2）24410x x -+> （3）2230x x -+-> 解： 解： 解：例2：解下列不等式：（1） 2430x x -+> （2）2430x x -+≤ 解： 解：总结规律：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是：-① 将二次项系数化为“+”， ② 计算判别式∆，解方程③ 画出简图，分析不等式的解的情况 ④ 写出不等式的解集化正----求根----画图----定范围二、分工合作，小试牛刀 练习1 解下列不等式：（1）0532>+-x x （2） 02732<+-x x（3）01442<++x x （4）02--62≤x x三、延伸拓展，变式训练（一）例题3 解不等式：201x x +≤-分析：201x x +≤-的解集与下列哪个不等式同解，说说为什么？A 、(2)(1)0x x +-≤B 、 (2)(1)0x x +-≤且(1)0x -≠C 、(2)(1)0x x +-<D 、(2)0x +≤ 且(1)0x -< 解：（二）总结规律：分式不等式先转化为一元二次不等式，再解不等式。
一元二次不等式导学案
函数y x25x的图像与x轴的交点是：
当时，函数图像位于x轴上方，此时y,
即：
当时，函数图像位于x轴上方，此时y,
即：则
一兀二次不等式x5x0的解集为.
一元二次不等式x25x0的解集为。
新 知 导 练
题组一解下列不等式
(1)x22x30
规范解答：解不等式 就是求不等式的解 集。结果要写成
3.2一元二次不等式及其解法
学习 环节
过程
归纳纠偏
新 知 导 学
1、一元二次不等式的定义。
我们把只含有，并且未知数的最高次数是
的不等式，称为一兀二次不等式。
2
2、画出二次函数y x 5x的图像，观察一元二次方程
x 5x0的根、二次函数y x 5x的图像与x轴的交点、满 足一元二次不等式x 5x0的x的范围的关系。并填写下面的内 容
2
等式x mx n 0的解集。
2、 已知不等式ax2bx c 0的解集为（-2,3）,判断二次项系数
a的符号
归纳：
一元二次方程
2
x 5x0的根（）
二次函数
2
y x 5x的图像
与x轴的交点（）
一元二次不等式2
x 5x0解集的 端点
归纳：
影响不等式解集的因
素有那些？
知识 应用
例4某中汽车在水泥路上的刹车距离s m和车速x km/h有如下
的形式。
归 纳 提 升
(2)4x24x10
(3)x22x30
填写下表
归纳：函数法解一元 二次不等式的步骤
判别式
b24ac
0
0
0
一元二次方程ax2bx c0
高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》导学案
&3.2.《一元二次不等式的解法》（第一课时）学案 班别： 座号： 姓名：一、创设情境、引入新课学校要在长为8米,宽为6 米的一块长方形地面上进行绿化。
计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)。
为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度x 的取值范围是什么?一元二次不等式定义： 标准形式： 二、探究交流，发现规律 思考：1.一元二次方程2760x x -+=的实根为2.画出函数276y x x =-+的图象，并根据图象回答：当x 取 时，y>0 ？即不等式2760x x -+>的解集为当x 取 时，y<0 ？即不等式2760x x -+<的解集为三、启发引导，形成结论 完成下列表格 ⊿=b 2-4ac0>∆ 0=∆ 0<∆ c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()的根002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx axxx xxxx xx四、典例剖析，规范步骤 例1：解不等式 （1）x 2-x-2<0 （2）4x 2-4x+1>0变式：?)0?,0(01442≤<≥+-x x 的解集分别是？ （3）0322<+-x x （4）322-<+-x x五、当堂检测、巩固基础 解不等式：4)1(2>x0)9()2(>-x x六、回顾小结，加深印象 本节课学习的重点： 学习难点：七、课后作业、提升深化1.求函数2.解不等式2(1)940x ->(2)(2)0x x -<(3)()(1)0(1)x a x a --<<3.设计求解一元二次不等式 20(0)ax bx c a ++>>的程序框图.。
高中数学《一元二次不等式及其解法》导学案 (2)
第三章不等式§3.2一元二次不等式及其解法一、学习目标1.体会一元二次不等式与二次函数的关系,掌握一元二次不等式的解法.2.运用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式.3.解决简单一元二次不等式与函数的综合性问题.【重点，难点】教学重点：掌握一元二次不等式的解法.教学难点：运用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式。
二、学习过程【情景创设】炮弹发射后运行的高度h(km)与时间t(s)的关系可以用函数h=-t2+20t-1表示,试问炮弹运行到50 km以上的高空所需的时间是多少?上述问题就是通过解不等式-t2+20t-1≥50求出不等式解集的区间长度问题,该不等式是一个一元二次不等式,也就是我们这节课探究的重点——一元二次不等式的解法.【导入新课】1:解一元二次不等式的基本思想(1)形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作.(2)基本思想:画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,图象与x轴的交点对应的横坐标的集合就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解集,图象在x轴上方的点对应的横坐标的集合就是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集,图象在x 轴下方的点对应的横坐标的集合就是一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集.2:二次函数、二次方程、二次不等式间的关系如下表,设f(x)=ax2+bx+c(a>0).Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0y=f(x)的示意图f(x)=0的根x1,x2x0=-错误!未找到引用源。
没有实数根f(x)>0的解集(-∞,x1)∪(x2,+∞)(-∞,-错误!未找到引用源。
)∪(-错误!未找到引用源。
,+∞)(-∞,+∞)f(x)<0的解集(x1,x2) ⌀⌀3:解含参数的一元二次不等式的一般步骤对字母系数分类讨论时,要注意确定分类的标准,而且分类时要不重不漏.一般方法是:(1)当二次项系数不确定时,按二次项系数、、三种情况进行分类.(2)判别式大于零时,还需要讨论两根的.(3)判别式不确定时,按判别式、、三种情况讨论.结合方程的根、函数的图象得到解集.4:(1)函数f(x)=ax2+bx+c>0在R上恒成立,则且.(2)若函数f(x)=log m(ax2+bx+c)的定义域为R,则或者.(3)若函数f(x)=log m(ax2+bx+c)的值域为R,则或者.【典型例题】例1.解下列一元二次不等式(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1解：(1)x2+2x-15>0⇔(x+5)(x-3)>0⇔x<-5或x>3,∴不等式的解集是{x|x<-5或x>3}.(2)x2>2x-1⇔x2-2x+1>0⇔(x-1)2>0⇔x≠1,∴不等式的解集是{x|x≠1}.【小结】解一元二次不等式可先将二次项系数化为正,再求对应方程的根,并根据根的情况画出草图,观察图象写出解集.例2. 含参数型的一元二次不等式已知a≠0,解关于x的一元二次不等式ax2+(a+2)x+2>0.解：由ax2+(a+2)x+2=0得方程的根为x=-错误!未找到引用源。
高一数学 §3.2 一元二次不等式(2)导学案
山西省原平市第一中学2012-2013学年高一数学 §3.2 一元二次不等式（2）导学案一、 学习目标 1. 熟练解一元二次不等式的解法；2. 培养数形结合的能力，一题多解的能力，二、 文本研读 问题一：请回答下列问题1.解一元二次不等式的步骤：2、方程的根与不等式解集的关系：3、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔_____________20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔_______________三、知识应用：1、已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．2、设22{|430},{|280}A x x x B x x x a =-+<=-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.四、 实战演练1、如果{}{},100|,0)52)(1(|<<=<--=x x Q x x x P 那么 （ ）A.Φ=Q PB.P Q ≠⊂C.P Q ≠⊃D.R Q P =2、不等式(1)(1)0x x -->的解集是（ ） A.{}10x x -<≤B.{0x x >且1}x ≠C.{}11x x -<<D.{1x x >-且1}x ≠ 3、不等式03522<+--x x 的解集是（ ）A.RB.φC.1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.1|32x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 4、已知m ｘ2+m ｘ+m<1的解集为Ｒ，则m 的取值范围是（ ）A ．)0,(-∞B ．),34()0,(+∞⋃-∞C ．（－∞，]0D ．4(,0][,)3-∞⋃+∞ 5、一元二次不等式2x 0ax b ++<的解集为(-2,3),则方程2x 0ax b ++=的两根为______________.a,b 的值分别是_______,________.6、不等式2x 40ax ++<的解集为空集，则a 的取值范围是__________________ ．7、关于x 的不等式x 2-mx+5≤4的解集只有一个元素，则实数m ＝____________ ．8、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________________。
人教版高中数学全套教案导学案第二课时 含参数的一元二次不等式
第二课时 含参数的一元二次不等式【学习目标】1.掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。
经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式。
3.以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。
【学习重点】从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出数形结合的思想。
【学习难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
[自主学习][课前热身]1．设不等式2m 210x x m --+<对于满足22m -≤≤的一切m 值都成立，则x 的取值范围为 ．2．一元二次不等式2(12)1ax a x a +-++>0的解集为R 的条件为 ．3．不等式2x 40ax ++<的解集为空集，则a 的取值范围是 ．4．已知一元二次不等式210ax bx ++>的解集为{}21x x -<< 则a ,b 的值为 ．[典型例析]例1 解关于x 的不等式2220x ax ++>变式训练 解关于x 的不等式2(1)0x a x a +--<例2 已知函数22(45)4(1)3y m m x m x =+-+-+对任意实数x ，函数值恒大于0，求实数m 的取值范围。
例3 若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈都成立，求a 的取值范围。
[当堂检测]1．已知集合A={}1≤-a x x ，B={}0452≥+-x x x ，若A B=Φ，则实数a 的取值范围是_______.2. 关于x 的方程02)1(2=-+--m x m x 的两根为正数，则m 的取值范围是 .3. 解关于x 的不等式02lg )(lg 2>--x x4．关于x 的不等式12<++m mx mx 的解集是R ，则m 的取值范围是______.[学后反思]____________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________。
3.2.3含参不等式的解法导学案10.6
32§3.2.3含参不等式的解法导学案
命题人：邵玉春 2010.10.5
一、目的：含参数不等式的分类标准
二、例题选讲
例1：解关于x 的不等式22
20x ax a --<
【思路点拨】：求出一元二次方程的两根；再比较两根的大小.
练习：2(1)0x a x a +--<
例2、解关于x 的不等式2
(1)10.ax a x -++>
【思路点拨】a=0时，不等式为一元二次不等式；0a ≠时，不等式为一元二次不等式，解二次不等式关键是看二次项系数及判别式的正负。
抓住这两条也就是自然找到了分类讨论的关键点。
当二次项系数小于零时，要注意解集的写法。
练习：解关于x 的不等式222(0)ax x ax a -≥-≥
例3：解关于x 的不等式2
20x x a ++>
【思路点拨】：注意0,0,0∆>∆=∆<的讨论.
知能提升 一、选择题
1.
2.
3.若a ＜0则关于x 的不等式x 2-4ax-5a 2＞0的解是 （ ） .5 B.x>a x<5a C.5a<x< a D.a<x<5a A x a x a ><----或或
4.
5.若关于1
x a x o x ->∞∞+的不等式的解集为（-，-1）（4，+）.则实数a=___. 6.解关于x 的不等式：223()0(0).x a a a a -++>>
7.解关于x 的不等式(2)(2)0 (1).x ax a --><。
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§3.2.4一元二次不等式中的含参不等式及恒成立导学案
命题人：邵玉春 2010.10.6
知识点一：“三个二次”关系的应用
求一般的一元二次不等式2
2
0(0)0(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或的解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠的根，再根据函数图像与x 轴的相关位置确定一元二次不等式
的解集.因此一元二次不等式解集的区间端点，就是其对应的函数的零点，也就是其对应的方程根.
例1、已知x 的不等式2
0 1.2x ax b x ++<的解集为（
）试求的不等式210bx ax ++> 的解集.
练习：已知不等式2230x x --<的解集为A ，2
60x x +-<的解集为B ，
20x ax b ++<的解集为C ，若C A B =,求a,b 的值
例2、若不等式2
0ax bx c ++≥的解集是1|23x x ⎧⎫
-
≤≤⎨⎬⎩⎭
求不等式20cx bx a ++<的解集.
练习：二次函数2
()y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：
则不等式2
0ax bx c ++>的解集是___________.
课堂小结：学习了本节课后，你收获了什么呢？
① .
② .
③ .
知能提升
一、选择题
2、下列不等式的解集是∅的为 （ ）
2111
.210 C.()10 D.32x A x x x x
++≤≤-<->
3、已知不等式{}2
0|32,x px q x x ++<-<<的解集是则 （ ）
.1, 6 B.p=1,q=6 C.p=1,q= 6 D.p=1,q=6A p q =-=--- 二、填空题
4、当a 为______值时，不等式22
1(3)520|
22a x x x x ⎧
⎫-+-><<⎨⎬⎩⎭
的解集是 5、二次方程2
2
02,3,0,0__ax bx c a ax bx c ++=-<++>的两根为那么的解集是.
6、已知不等式{}2320|1.ax x x x x b -+><>的解集为或 （1）求a 、b 的值. （2）解不等式2
().ax bn an b x +<+。