高中数学新课标人教A版选修2-1:3.1.2 空间向量的数乘运算 课件(共25张ppt)

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(新课程)高中数学《3.1.2 空间向量的数乘运算》课件 新人教A版选修2-1

(新课程)高中数学《3.1.2 空间向量的数乘运算》课件 新人教A版选修2-1
l 上的充要条件是存在实数 t,满足等式O→P=O→A+ta.①
6
其中向量 a 叫直线 l 的方向向量,如图所示.
若在 l 上取A→B=a,则①式可以化为O→P=O→A+tA→B= (1-t)·O→A+t·O→B.② 可得如下结论:对于空间任意点 O,若有O→B=λO→A+ (1-λ)O→C成立,则 A、B、C 三点共线.这一结论可
一点 O 和不共线的三点 A,B,C,有O→P=xO→A+y O→B+z O→C,
且 x+y+z=1 成立,则 P、A、B、C 四点共面.这一结论可作 为判定空间中四个点共面的常用方法.
9
题型一 空间向量的数乘运算
【例1】 已知在空间四边形 OABC 中,M, N 分别是对边 OA,BC 的中点,点 G 在
作为证明三点共线的常用方法.
7
2.共面向量定理的理解 (1)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条
件是存在有序实数对(x,y),使A→P=xA→B+ yA→C;或对空间任意一点 O,有O→P=O→A+ xA→B+yA→C.如图所示.
8
(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式,说明空 间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示 出来,它既是判断三个向量是否共面的依据,又是已知共面条件 的另一种形式,可以借此将已知共面条件转化为向量式,以方便 向量运算.另外,若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任意
∴四边形 EFGH 是梯形.
15
规律方法 判定两向量共线就是寻找x使a=xb(b≠0)成立, 为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出a=
MN 上,且 MG=2GN,如图所示,记O→A =a,O→B=b,O→C=c,试用向量 a,b, c 表示向量O→G.

高中数学人教A版选修2-1课件: 3.1.2 空间向量的数乘运算 课件

高中数学人教A版选修2-1课件: 3.1.2 空间向量的数乘运算 课件

B1C 所成角的大小为( C ).
A.π
B.π
C.π
D.π
6
4
3
2
【解析】因为
A1B·B1C=(A1A+AB)·(B1C1+C1C)=A1A·B1C1+A1A·C1C+AB·C1C
+AB·B1C1=A1A2.设异面直线 A1B 与 B1C 所成角为 θ ,则 cos
θ
= A1B·B1C =
|A1B||B1C| (
用向量法计算二面角
如图所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为 2,D为CC1的中点,求二面角A—A1D—B的余弦值.
【解析】如图所示,取 BC 的中点 O,连接 AO.因为△ABC 是 正三角形,所以 AO⊥BC,因为在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,平 面 ABC⊥平面 BCC1B1,所以 AO⊥平面 BCC1B1.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时,首先思考应该从什么地方下手,然后在思考用什么方法,通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容,上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过,并没有详细解答, 大家要及时地把它们记下来,下课再向老师请教。
所以AB1·BD=-2+2=0,AB1·BA1=-1+4-3=0,
所以AB1⊥BD,AB1⊥BA1,又 BD∩BA1=B,所以 AB1⊥平面 A1BD,
所以AB1是平面 A1BD 的一个法向量,
所以
cos<n,AB1
>= n·AB1
|n |·|A B 1

【精品】高中数学人教A版选修2-1课件:3.1.2空间向量的数乘运算课件(55张)

【精品】高中数学人教A版选修2-1课件:3.1.2空间向量的数乘运算课件(55张)

(1 ) A B B C ( 2 ) A B A D A A1 1 (3 ) A B A D C C 1 2 1 ( 4 ) ( A B A D A A1 ) 3
A A1
D1 B1ຫໍສະໝຸດ C1D BC
例题:

P课本 97
习题 3.1
A组
第1题
如图, 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列各表达式, D1 并在图中标出化简结果的向量: C
bba b ) c a (b c ) b ) k a+ k b
加法结合律: ( a
数乘分配律: k ( a
4、平面向量的加法的推广
(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向 末尾向量的终点的向量;
A A A A A A A A A A 1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
ka ( k > 0 ) ka ( k < 0 )
CA OA OC
空间向量的加减法 空间向量的数乘
新课:一 、空间向量的数乘运算及运算律
1、定义: 实数 λ 与空间向量 a 的积是一个向量,记作 λ a,并规定: ① λ a 的长度 | λ a | = | λ | · | a |; ② 当 λ>0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;
线段的起点和终点字母表示.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
B A C D
一 、平面向量:2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则

人教A版高中数学选修2-1课件《3.1.2空间向量数乘》

人教A版高中数学选修2-1课件《3.1.2空间向量数乘》
一对实数,使 1
z· `````· xx`````· · k
2
a 1e1 2e2
p 如果空间向量与两不共线向量,共 面,那么可将三个向量平移到同一平面,则 有 p x yb
a b
a b 反过来,对空间任意两个不共线的向量,,如果,那么 p 向量与向量 p x ,有什么位 yb a b 置关系?
P
对空间任一点O,有OP OA x AB y AC
p

C b A a B
O
P
填空:OP (_____) 1-x-yOA (____) x OB (____) y OC
式称为空间平面 ③ ABC的向量参数方程,空间中任意平 面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定。
由此可判断空间任意四点共面
① 即有 O P O A AP O A t a a 非零向量叫做直线 L的方向向量.

在L取AB a,得OP OA t AB
O

量唯一确定
L ①、②都称为空间直线的向量表示式。 P A 即:空间直线由空间一点及直线的方向向 B
a
O P O A t AB
思考:设M是底面ABCD的中心,N是侧面A1ADD1对角线 、、 MN AB AD AA A1D上的3/4分点,设,试求 的值。
A1 B1
N
D1 C1
A
M
D C
B
a

b
结论:1)空间任意两个向量都是共面向量。 2)涉及空间任意两个向量问题,平 面向量中有关结论仍适用它们。
3.已知点M在平面ABC内,并且对空间任 1 1 意一点O, 则x OM xOA + OB + ,OC 3 3 的值为:

高中数学人教A版选修2-1课件:3-1-2 空间向量的数乘运算

高中数学人教A版选修2-1课件:3-1-2 空间向量的数乘运算
1 2 1 4 1 4 1 1
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
课前预习案
课堂探究案
探究一空间向量的数乘运算 【例1】 已知ABCD为正方形,P是ABCD所在平面外的一点,P在 平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点, 求下列各式中x,y的值.
(1)������������ = ������������+x������������ +y������������; (2)������������=x������������ +y������������ + ������������ .
分析:先根据题意画出图形,然后利用三角形法则或平行四边形 法则表示出指定向量,再根据对应向量的系数相等,求出x,y即可.
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
课前预习案
课堂探究案
解: (1)如图所示 ,������������ = ������������ + ������������ ,
由向量加法的平行四边形法则可得������������ = (������������ + ������������),
定义
充要 条件
首页
课前预习案
课堂探究案
共线 (平行 )向量 如果 l 为经过点 A 平行于已 知非零向量 a 的直线 ,那么对 于空间任一点 O ,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t, 使������������ = ������������+ta①,其中 a 叫做 直线 l 的方向向量,如图所示. 推论
答案:A
首页
课前预习案
课堂探究案
2.共线向量与共面向量
共线 (平行 )向量 表示空间向量的有向线段所 在的直线互相平行或重合,则 这些向量叫做共线向量或平 行向量 对于空间任意两个向量 a,b(b ≠0),a∥ b 的充要条件是 存在实数 λ 使 a=λb

人教版高中数学选修2-1(A版)课件:第三章 3.1 3.1.2空间向量的数乘运算 (共76张PPT)

人教版高中数学选修2-1(A版)课件:第三章 3.1 3.1.2空间向量的数乘运算 (共76张PPT)

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如果要给美好人生一个定义,那就是惬意。如果要给惬意一个定义,那就是三五知己、谈笑风生。 世界上20%的人是吃小亏而占大便宜,而80%的人是占小一便宜吃大亏,大多数成功人士都源于那20%。 没有哪一个聪明人会否定痛苦与忧愁的锻炼价值。 用最少的浪费面对现在。 快乐要懂得分享,才能加倍的快乐。 太阳虽有黑点,却在奋力燃烧中树立了光辉的形象。 如果上帝没有帮助你那他一定相信你可以。 为中华之崛起而读书。 读过一本好书,像交了一个益友。 没有热忱,世间便无进步。 生活远没有咖啡那么苦涩,关键是喝它的人怎么品味!每个人都喜欢和向往随心所欲的生活,殊不知随心所欲根本不是生活。 快乐要懂得分享,才能加倍的快乐。

选修2-1 3.1.23.1.2空间向量的数乘运算PPT

选修2-1 3.1.23.1.2空间向量的数乘运算PPT
a// b
零向量与 任何向量平
行 (1)向量平行与直线平行的比较;
(2)关注零向量;
(3)对空间任意两个向量a与b ,如 果 a// b,那么a与b有什么相等关系?反过来 呢?
(1)当我们说a,b共线时,表示a,
b的两条有向线段所在直线既可能是同一 直线,也可能是平行线;
(2)当我们说 a // b时,也具有同样 的意义.
对于空间向量的数乘运算的运算 律的证明,方法与证明平面向量数乘 运算的运算律类似.
(1) λa与a之间是什么关系? (2) λa与a所在直线之间的关系?
பைடு நூலகம்
知识要点
3.共线向量(或平行向量)的定义
表示空间向量的有向线段所在直线互 相平行或重合,则称这些向量叫共线向量 (colliner vectors)或平行向量(parallel vectors) 记作
知非零向量a的直线,对于空间任意一
点像O,点P在直线l上的充要条件是存
在实数t,使
P
B
OP = OA + ta.
(1)
a
A
O
其中向量a叫做直线l的方向向量 (direction vector)
在l上取AB=a,则(1)式可化为
OP = (1- t)OA + t OB.
(2)
说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量 参数表示式.由此可知,空间任意直线由 空间一点及直线的方向向量唯一确定.
知识要点
4.共线向量基本定理
对于空间任意两个向量a ,b(b≠0),a // b的充要条件是存在实数λ,使
a = λb
(1)b≠0的理解.若b=0,则a任意,λ 不唯一;
(2)若a // b,b // c,则a一定平行 于c吗?(不一定,考虑中间向量为零向 量)

高中数学人教A版选修2-1课件: 3.1.2 空间向量的数乘运算 课件

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注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
三、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a

注意:空间任意两个向量是 共面的,但空间任意三个向 量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
D1
C1
(2)A B A D A A1
1
(3) 3
(AB

AD

A A1)
(4)A B

AD

1 2
CC1
A1 G
D
B1 M
C
解 : (1 )A B B C = A C ; A
B
( 2 ) A B A D A A 1 A C A A 1 A C C C 1 A C 1
空间向量的数乘运算
O
• 因此
EG OG OE
k OC k OA
k AC
k( AB AD ) E
D
C
B
H
G
F
k( OB OA OD OA )
OF OE OH OE
E FE H
由向量共面的充要条件知E,F,G,H四点共面.
D1 A1
G D
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b .
c
b
a
二、共线向量及其定理
1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行

3.1.2空间向量的数乘运算 课件(人教A选修2-1)

3.1.2空间向量的数乘运算 课件(人教A选修2-1)
Hale Waihona Puke 第三章 空间向量与立体几何
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
【名师点评】 利用多边形法则是处理此类 问题的关键,一般地,可以找到的封闭图形 不是惟一的.但无论哪一种途径,结果应是 惟一的.利用指定向量表示出已知向量,用 待定系数法求出参数.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
变式训练 1.在本例条件不变的情况下,若P→A=x P→O+y P→Q+P→D. 求 x,y 的值.
→ AB.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
想一想 2.如果O→P=O→A+t A→B,你能判定 P、A、B 共线吗? 提示:能判定P、A、B共线.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
(2)共面向量 ①定义 平 行 于 _同__一__个__平__面_____ 的 向 量 , 叫 做 共 面 向 量. ②充要条件 若两个向量a,b不共线,则向量p与a,b共面 的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y), 使__p_=__x_a_+__yb___.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
【名师点评】 (1)判定向量共线就是充分利 用已知条件找到实数λ,使a=λb成立,或充 分利用空间向量的运算法则,结合具体图形, 通过化简、计算得出a=λb,从而得到a∥b. (2)a∥b表示a与b所在的直线平行或重合两种 情况.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
想一想 1.实数λ和向量a可以加减吗? 提示:不可以.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
做一做 3a+2b-21(a-4b)=__________. 答案:52a+4b

高中数学新课标人教A版选修2-1:3.1.2 空间向量的数乘运算 课件

高中数学新课标人教A版选修2-1:3.1.2 空间向量的数乘运算 课件
A.O→M=3O→A-2O→B-O→C
B.O→M+O→A+O→B+O→C= 0 C. M→A+M→B+M→C=0
D.O→M=14O→B-O→A+12O→C
第二十页,编辑于星期一:点 十七分。
3.下列说法正确的是( D)
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
A
O
DC B
H

E
F
第十七页,编辑于星期一:点 十七分。
证明 :因 OE OF OG OH k, OA OB OC OD
所以 OE kOA,OF kOB, OG kOC,OH kOD. 由于四形ABCD是平行四形,所以 AC AB AD . 因此 EG OG OE kOC kOA=k AC k( AB AD) k(OB OA OD OA) OF OE OH OE EF EH 由向量共面的充要件知E ,F,G ,H 四共面.
l
O
第九页,编辑于星期一:点 十七分。
由l∥a知存在惟一的t,满足AP = ta,
对空间任意一点O,AP = OP - OA,
所以OP - OA = ta, A
即OP = OA + ta, ①
l
若在l上取AB = a,则有
OP = OA + tAB.

aP
B
O
①和②都称为空间直线的向量表示式,空间任意直
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减
法实质是一样的.
第二页,编辑于星期一:点 十七分。

高中数学选修2-1第3章3.1.2空间向量的数乘运算课件人教A版

高中数学选修2-1第3章3.1.2空间向量的数乘运算课件人教A版
答案:3a+3b-5c
1 2 1 2 1 2 1 2
-5-
3.1.2 空间向量的数乘运算
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知识梳理 知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.共线向量与共面向量 (1)①共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量. ②对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 a=λb.
-10-
3.1.2 空间向量的数乘运算
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知识梳理
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典例透析
2.向量共面的充要条件及其应用 剖析:(1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是:存在有序 实数对(x,y),使������������ = ������������������ + ������������������ . 满足这个关系式的点P 都在平面 MAB 内;反之,平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式.这个充要 条件常用来证明四点共面. (2)共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据,也可 用来把已知共面条件转化为向量式,以便应用向量这一工具.另外,在 许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x,y,z),使得对于空间任意一 点 O,都有������������ = ������������������ + ������������������ + ������������������ , 且x+y+z=1 成立,则 P,A,B,C 四 点共面”作为判定空间中四点共面的依据.
-6-
3.1.2 空间向量的数乘运算
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知识梳理 知识梳理
重难聚焦
典例透析
(2)①共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. ②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件 是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.

人教A版选修2-13.1.2空间向量的数乘运算课件

人教A版选修2-13.1.2空间向量的数乘运算课件

设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示
MN.
A1
D1 解:连AN,则MN=MA+AN
B1
N C1
MA=- 1
3
AC
=-1
3
(a+b)
AN=AD+DN=AD-ND
A M
B
D
=
1 3
(2
b
+
c
)
C ∴MN= MA+AN
=
1(-
3
a
+
b
+
c
)
小结
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
aa
// b定(bb理 0)
行或重合
叫做共面向量.
a b p p x yb共面
推论
OP OA t AB
OP OA xAB y AC
运用 判断三点共线,或两 判断四点共面,或三向
向量平行
量共面
求证:①四点E、F、G、H共面;
②平面AC//平面EG.
证明:∵四边形ABCD为
O
① ∴AC AB AD
(﹡)
EG OG OE kOC kOA
k(OC OA) kAC
(﹡)代入
k( AB AD)
k(OB OA OD OA)
D
A
H
C
B
G
OF OE OH OE
E
F
EF EH
所以 E、F、G、H共面。
例2 (课本例)已知 ABCD ,从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证:①四点E、F、G、H共面;

高二数学人教A版选修2-1课件:3.1.2 空间向量的数乘运算

高二数学人教A版选修2-1课件:3.1.2 空间向量的数乘运算
∴������������ − ������������=y(������������ − ������������)+z(������������ − ������������),
即������������ =y������������ +z������������ .
∴点 P 与点 A,B,C 共面.
+
������������
=
2 3
������������

������������
+
1 3
������������1
=23 (������������
+
������������ )-������������
+
1 3
(������
������1
+
������1 ������1 )
=23 (������������
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.设 M 是△ABC 的重心,记������������=a,������������=b,������������=c,则������������=(
)
答案:D
解析:∵M 是△ABC 的重心,
∴������������
=
2 3
������������
目标导航
预习导引
123
已知在空间四边形 OABC 中,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,
点 G 在 MN 上,且 MG=2GN.设������������=a,������������=b,������������=c,则用 a,b,c 表示向

人教A版高中数学选修2-1课件《3.1.2空间向量数乘》.pptx

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两个空间向量
a//
b (b
0)
存在实数
,
使得a
b
如图:L为经过已知点A且平行非零向量的a
直线,对空间任意一点O:
点P在直线L上 ⇔ 存在实数 t,使 得AP ta
非零向量a叫 做即直有O线PL的O方A向 向AP量.OA ta①
在L取AB a,得OP OA tAB

O •
①、②都称为空间直线的向L 量表示式。
OP xOA yOB zOC(x y z 1)
小结
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
行或重合
叫做共面向量.
定理
a//
b(a
0)
a
b
a共面b
p
p x yb
推论 OP OA t AB OP xOA yOB(x y 1)
OP OA xAB y AC
置关系?
rC
ur p
P
br
A aB
a 2.共面向量定理:如果两个向量,不共b线,
a 则向量与p向量,共面的充要b 条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
A aB
对空间任一点O,有OP OA xAB y AC ③
D
C
下 面 我 们 利 用A D,A B,A C 共面来证明。
B
H
G
E
F
▪ 证明: 因为
OE OA
OF OB
OG OC
OH OD
k,
所以 OE kOA,OF kOB,

高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.1.2《空间向量及其运算-数乘运算》课件

高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.1.2《空间向量及其运算-数乘运算》课件

注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.因为 …….
4
b b
a a
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
5
定义:
例如:
6
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
A
D F
7
B
E
C
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量.(如图)
3.1.2《空间向量及其运算 -数乘运算》
1
教学目标
• 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的 数乘运算. • 2.用空间向量的运算意义和运算律解决立 几问题.. • 教学重点:空间向量的数乘运算及运算律. • 教学难点:用向量解决立几问题.
2
复习回顾
数乘运算
思考1
向量的平 行
3
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 加法结合律
思考2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
D1 A1 B1 C1
D A B
C
10
例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
D1 A1 B1 C1
D A B
C
11
例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
D1 A1 B1 M C1
G
D A B C
8
平行六面体
思考2
D1 A1 B1
C1
a
D A B C
平行六面体:平行四边形ABCD按向量 a 平移 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1

高二数学人教A版选修2-1课件:3.1.2 空间向量的数乘运算(共25张)

高二数学人教A版选修2-1课件:3.1.2 空间向量的数乘运算(共25张)

探究点2 共面向量
共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面 向量.
b
d
c
a
注意:空间任意两个向量是共面的,但空间任意 三个向量既可能共面,也可能不共面.
那么什么情况下三个向量共面呢?
由平面向量基本定理知,如果 , 是平面内的两个不共线的向量,那么 对于这一平面内的任意向量 ,有且 只有一对实数 , 使
C={x|x是实数}. 集合C是由所有属于集合A和集合B的元素组成的.
例如:
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结 合律
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则 这 些向量叫做共线向量或平行向量.
若P为A,B中点, 则
P
aB Alຫໍສະໝຸດ OA lP B
O
①和②都称为空间直线的向量表示式,空间任意 直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定. 由此可判断空间任意三点是否共线.
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
O
DC
A
B
H
G
E
F
证明
1.下列命题中正确的个数是( D )
①若 与 共线, 与 共线,则 与 共线;
②向量 , , 共面即它们所在的直线共面;
③若 ∥ ,则存在惟一的实数λ,使 =λ .
A.1 B.2
C.3
1.空间向量的数乘运算.(重点) 2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系.
观察下列各个集合,你能说出集合C与集合 A,B之间的关系吗?
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6}. (2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},

人教A版高中数学 选修2-1 3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算 课件 (共13张PPT)

人教A版高中数学 选修2-1 3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算 课件 (共13张PPT)

A C D
B
E C
D E
4.向量的模:a
5.特殊向量:零向量和单位向量
6.向量的基线:表示向量的有向线段所在的直线
7.共线(平行)向量: a // b
A B C D
规定:零向量与任意向量共线 注意:平行向量的基线可能重合
E A
C D
B E
交换a律 b: ba
有限个向量求和,交换相加向量的顺序其和不变 结合 (a律 b)c: a(bc)
(1)ABAD AA D
(2)DDABBC
A
(3) AB AD
D
1 ( DD BC )
2
A
C B
M C
B
三个不共面的向量的和等于以这三个向 量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向 量
D
A C
O
B
例2如图M , ,N分别是四A面 B体 C的 D棱 AB,CD的中点,
a
c
bb
a
a+ b
二、空间向量的加法运算 a
b
平行四边形法则
A
a b
O
B
C
三角形法则
多边形法则 封口向量
a b
A O
B
ab
A
B
D C
A B
D C
三、空间向量的减法运算
三角形法则
a b
A
a
ab
O
b
B
a
A ab
O
ab B
b C
OCab BAab |a||b| |ab| |a||b| |a||b| |ab| |a||b|
不改变向量a的方向(当>0时),也可以改 变向量a的方向(当 <0时)。

新课标人教A版选修2-1同课异构课件:3.1.2 空间向量的数乘运算 2

新课标人教A版选修2-1同课异构课件:3.1.2 空间向量的数乘运算 2

第十八页,编辑于星期日:十三点 九分。
三、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b No d c Imaage
注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量 既可能共面,也可能不共面
第十页,编辑于星期日:十三点 九分。
那么什么情况下三个向量共面呢?
e
2
a
e1
e 由平面向量基本定理知,如果 e1, 2
是 对 一平于对面这实内一数的平两面,个内不,的1共使任线2意的向向量量a,a那,1么e有1 且只2e2有
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
第六页,编辑于星期日:十三点 九分。
如图,l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线, 若点P是直线l上任意一点,则
由 l // a知存在唯一的t, 满足 AP ta
a
A
对空间任意一点O,
AP OP OA,
l
所以
OP
OA
ta

OP OA ta
能否推广到空间向量中呢?
第五页,编辑于星期日:十三点 九分。
共 线 向 量定理: 对空间任意两个向量 ,a ,b
a // b (的b充要0条) 件是存在唯一实数λ,
使 a b(b 0).
a // b(b 0)
a b(b 0)
a b(b 0) 性质 a // b (b 0) 判定
练习1.对于空间任意一点O,下列命题正确 的是: A
A.若 OP OA t AB ,则P、A、B共线 P
B
B.若 3OP OA AB ,则P是AB的中点 O
A
C.若 OP OA t AB ,则P、A、B不共线
D.若 OP OA AB ,则P、A、B共线
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探究点2 共面向量
共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面 向量.
b c a
d
注意:空间任意两个向量是共面的,但空间任意 三个向量既可能共面,也可能不共面.
那么什么情况下三个向量共面呢?
e2
a e1
由平面向量基本定理知,如果 e1 , e2 是平面内的两个不共线的向量,那么
对于这一平面内的任意向量 a ,有且 2 使 a 1e1 2e2 只有一对实数 1 ,
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序
实数对(x,y)使
AP xAB yAC
b
C
p
P
A a B
或对空间任一点O,有 OP = OA + xAB + yAC
p

b
C
P
A a B

O ③ 式称为空间平面ABC的向量表示式,空间中任意 平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定.
P与A,B,C共面
观察下列各个集合,你能说出集合C与集合 A,B之间的关系吗? (1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6}. (2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}. 集合C是由所有属于集合A和集合B的元素组成的.
例如:
3a
a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结 合律
a // b R, a b.
b a
如图,l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量
a 的直线,对空间任意一点
O,点 P 在直线 l 上的充要
条件是存在实数 t,使 OP OA ta , 其中向量 a 叫做直 线 l 的方向向量.
P B A
a
若P为A,B中点, 则
1 OP OA OB 2
3.1.2 空间向量的数乘运算
上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展 到了空间.
加法 减法 运算 运 算 律 平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
ab ba 加法结合律: (a b) c a (b c)


O
l
由l∥a知存在惟一的t,满足 AP = ta, 对空间任意一点O,AP = OP - OA, 所以OP - OA = ta, 即OP = OA + ta, OP = OA + tAB. ① ②
l A
a
B
P
若在l 上取AB = a,则有
O
①和②都称为空间直线的向量表示式,空间任意 直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定. 由此可判断空间任意三点是否共线.
即: (a b) a b
( a) ( )a
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.
对空间任意两个向量 a 与 b , 如果 a b , 那么
a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面, 对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
→ → → C. MA+MB+MC= 0
1→ → 1→ → D.OM= OB-OA+ OC 4 2
3.下列说法正确的是( D )
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线
4.(2013·温州高二检测)空间四边 形 ABCD,连接 AC、BD,设 M、G 分别 是 BC,CD 的中点,则 MG AB - AB AD 等于( B ) 3 A. DB B.3 MG 2 C.3 GM D.2 MG
5.已知 A,B,P 三点共线,O 为空间任意一点, 1 → → → 3 OP= OA+βOB,则 β=________. 3
AP xAB yAC
OP OA x AB yAC
OP xOA yOB zOC(其中x y z 1)
例1.若对任一点O和不共线的三点A,B,C,有
OP xOA yOB zOC( x, y, z R), 则x+y+z=1
是四点P,A,B,C共面的 ( C ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
C.充要条件
例2. 如图,已知平行四边形ABCD,过平面AC外 一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上 分别取点E,F,G,H,并且使 OE OF OG OH k, OA OB OC OD 求证: E,F,G,H四点共面.
O D B H G F
C
A
E
OE OF OG OH 证明 :因 k, OA OB OC OD 所以 OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD. 由于四形ABCD是平行四形,所以 AC AB AD . 因此 EG OG OE kOC kOA=k AC k ( AB AD) k (OB OA OD OA) OF OE OH OE EF EH 由向量共面的充要件知E , F, G, H 四共面.
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
b
b
a a
我们知道平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其
运算律是否也与平面向量完全相同呢?
1.空间向量的数乘运算.(重点) 2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系.
1.下列命题中正确的个数是( D ) ①若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; ②向量 a , b , c 共面即它们所在的直线共面; ③若 a ∥ b ,则存在惟一的实数λ ,使 a =λ b . A .1 C .3 B .2 D .0
2.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的 是( C ) → =3OA → -2OB → -OC → A.OM → +OA → +OB → +OC → =0 B.OM
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