第四章_连续系统的频域分析

4.1
信号分解为正交函数
一、矢量正交与正交分解
矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即 3 T Vx Vy v xi v yi 0
i 1
由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。 例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以 用一个三维正交矢量集{ vx，vy，vz}分量的线性组合 表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间， 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信 号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线 性组合。
t2
t2
所以系数
Ci

t2 t1
f (t ) i (t ) d t
t2 t1

i2 (t ) d t
1 Ki

t2 t1
f (t ) i (t ) d t
代入，得最小均方误差（推导过程见教材）
n t2 1 2 [ f 2 (t ) d t C 2 K j ] 0 j t1 t 2 t1 j 1

t0 T
t0
e
jmt
e dt
jnt *
t0 T
t0
e
j ( m n ) t
0 dt T
mn mn
三、信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
式中，A0 = a0
An a b
2 n
2 n
bn n arctan an
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周 期信号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
n n
0
2

2
An e j n e jn t
n 1
2 n 1
An e j n e jn t
令A0=A0ej0ej0t ，0=0
所以
1 j n jnt f (t ) An e e e n F n n n 2 称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。
T
方波的组成
二、波形的对称性与谐波特性
1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标
2 an T
T 2 T 2
f (t ) cos(nt ) d t
2 bn T
T 2 T 2
f (t ) sin(nt ) d t
bn =0，展开为余弦级数。
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
an =0，展开为正弦级数。
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n 1
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2 A0 1 1 An e j e jnt An e j e jnt 2 2 n 1 2 n 1 上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n， 则上式写为 A 1 1
系数an , bn称为傅里叶系数 T T 2 2 2 2 a n T f (t ) cos(nt ) d t bn T f (t ) sin(nt ) d t T 2 T 2 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
将上式同频率项合并，可写为
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n 1
如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在 区间(t1，t2)内为最小。
通常使误差的方均值(称为均方误差)最小，非平均误差 最小。均方误差为
1 t 2 t1
2

t2 t1
[ f (t ) C j j (t )] 2 d t
j 1
n
为使上式最小
2 C i C i
1 T

T 0
A0 2 1 2 f 2 (t )dt ( ) An | Fn | 2 2 n 1 2 n
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。 n≥0时， |Fn| = An/2。
4.3
周期信号的频谱及特点
一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变 化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信 号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率的变化关系，即 将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平 面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn 为实数，也可直接画Fn 。

t2 t1
[ f (t ) C j j (t )] 2 d t 0
j 1
n
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不 为0，写为 t [2Ci f (t ) i (t ) Ci2 i2 (t )] d t 0 Ci t
2 1
2 f (t ) i (t ) d t 2Ci i2 (t ) d t 0 即 t1 t1
1 cos t 2 3 4
(t ) i (t ) d t 0

t0 T
( i =1，2，…，n)
则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 和 虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的 在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。

t2 t1
i j 0, i (t ) j (t ) d t K i 0, i j
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外， 不存在函数φ(t)(≠0）满足

t2 t1
二、信号正交与正交函数集
1. 定义： 定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足

t2 t1
1 (t ) 2 (t ) d t 0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 当这些函数在区间(t1，t2)内满足
例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
1 2 1 f (t ) 1 cos t cos t 2 3 6 2 4 4 3
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有

t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 K j j
j 1

上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集 中分解的各正交分量能量的总和。 f (t ) C j j (t ) 当n ∞时，均方误差为0， j 1 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
2 1 [ sin(2 nft )] T 2 nf 0
0 T 2
2 1 [sin(2 nft )] T 2 nf
T 2 0
2 1 2 1 0 2 cos(2nft ) | T [ cos(2nft )] |0 T 2nft T 2nft 2
0, 2 [1 cos(n )] 4 n n n 2, 4,6, n 1,3,5,
1 2 1 cos t 2 3 4
1 sin t 6 4 3
显然1是该信号的直流分量。
1 cos t 2 3 4
的周期T1 = 8
1 2 cos 4 3 3
的周期T2 = 6
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12
第四章 连续系统的频域分析
时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号 可分解为一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。
例4―1 试将下图所示的方波信号f(t)展开为傅 里叶级数。
f (t) 1
解：傅里叶系数, an
2 T an 2T f (t ) cos(2 nft )dt T 2
£T

T 2
0 £1
T 2
T
2T
t
2 0 2 T T (1) cos(2 nft )dt 2 1cos(2 nft )dt T 2 T 0
例如：

t0 T
t0
0 sin( mt ) sin( nt )dt T 2
t0 T t0