微积分中国商业出版社第一章课后答案

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高等数学教材微积分课后答案

高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导，得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。

令f'(x) = 0，解得x = -2和x = 2/3。

然后再带入原函数，得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。

因此，函数在x = -2和x = 2/3处取得极值，极大值为0，极小值为-1/27。

(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0，说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数；当-2 < x < 2/3时，f'(x) < 0，说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。

结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, -2)上递增，在(-2, 2/3)上递减，在(2/3, +∞)上递增。

2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数，得到f'(x) = 2e^x - 12x。

令f'(x) = 0，解得x = ln6。

然后带入原函数，得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。

因此，函数在x = ln6处取得极值。

(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0，说明函数在(-∞, ln6)上为增函数；当x > ln6时，f'(x) < 0，说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。

结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, ln6)上递增，在(ln6, +∞)上递减。

第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理，首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。

微积分第1章习题解答(上)

第1章习题参考解答习题1-11．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；解：要使函数有意义，则：092>-x 即 3>x 或3-<x 所以定义域：),3()3,(+∞⋃--∞. （2）x y a arcsin log =；解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤<x .所以函数定义域：(0,1].（3）2111x x y --+=；解：要使函数有意义则：21010x x -≥+≠且即111-≠≤≤-x x 且. 所以定义域：(-1,1]. （4）)32(log 213-+-=x x y a ；解：要使函数有意义则：03202>-≠-x x 且即232>≠x x 且所以定义域：),2()2,23(+∞⋃.（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-=；解：要使函数有意义，则：0412112>-≤-≤-x x 且，即2231<<-≤≤-x x 且所以定义域：)2,1[-（6）xy πsin 1=. 解：要使函数有意义，则：0sin ≠x π即Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集) 所以定义域：_Z 或}{Z k k x x ∈≠,.2.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x x y 的定义域和值域，并求2()f π和)0(f .解:定义域:),(+∞-∞. 当0≠x 时，01≠x ，故11sin 1≤≤-x. 所以值域:[-1,1]. 12sin )2(==ππf ,0)0(=f . 3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么?(1) 2)(,)(x x g x x f ==; 解: 不同因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数. (2) 2sin 21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数R , 值域为[-1,1], 且)(cos 2sin 21)(2x f x xx g ==-= (3)1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同因为)1(111)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同.(4)0)(,)(x x g xxx f ==.解: 相同因为0()1(0),()1(0)xf x xg x x x x ==≠==≠定义域均为非零实数，在定义域内函数值恒等于1.4.设x x f sin )(=, 证明:)2cos(2sin 2)()(xx x x f x x f ∆+∆=-∆+.证明: 由三角函数的和差化积公式知:()()sin()sin f x x f x x x x +∆-=+∆-2sincos()22x x x ∆∆=+ 5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.解: 因为 5)(2++=bx ax x f 故2(1)(1)(1)5f x a x b x +=++++2(2)(5)ax a b x a b =+++++由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f所以有:82=a 且3=+b a 得:4,1a b ==-.6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数? (1) )1(22x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞)()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-所以函数)1(22x x y -=是偶函数. (2)323x x y -=; 解: 定义域:),(+∞-∞32323)()(3)(x x x x x f +=---=-)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.所以函数323x x y -=是非奇非偶函数.(3)2211xx y +-=; 解: 定义域:),(+∞-∞)(11)(1)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-所以函数2211x x y +-=是偶函数.(4))1)(1(+-=x x x y 解: 定义域:),(+∞-∞x x x x x x f -=+-=3)1)(1()()()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-. 所以函数)1)(1(+-=x x x y 是奇函数. (5)1cos sin +-=x x y ; 解: 定义域:),(+∞-∞()sin()cos()1f x x x -=---+sin cos 1x x =--+则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-所以函数1cos sin +-=x x y 是非奇非偶函数.(6)2xx a a y -+=.解: 定义域:),(+∞-∞)(2)(x f a a x f xx =+=--所以函数2xx a a y -+=是偶函数.7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明：(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数;(2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数. 证明：由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞ (1) 1()()()F x f x f x =+-11()()()()F x f x f x F x ⇒-=-+= 故)(1x F 是偶函数. (2) 2()()()F x f x f x =--22()()()()F x f x f x F x ⇒-=--=- 故)(2x F 为奇函数.8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数，由7题知)()()(1x f x f x F -+=为偶函数, )()()(2x f x f x F --=为奇函数.且)(21)(21)(21x F x F x f +=. 故命题成立.9.设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.证明：由题设知对于(,)x L L ∀∈-，有：)()(x f x f -=-不妨设12,x x ∀满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L)(x f 在),0(L 上单增, 则)()(21x f x f ->-)(x f 奇函数)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴ 即 )()(21x f x f ->-)()(21x f x f <所以)(x f 在)0,(L -上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期: (1) )2cos(-=x y解:cos(22)cos(2)x x π-+=- , 函数是周期函数且周期π2=T . (2) x y 4cos =;解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+ππ函数x y 4cos =是周期函数且周期2π=T .(3) x y πsin 1+=; 解:1sin 1sin(2)1sin (2)x x x ππππ+=++=++函数x y πsin 1+=是周期函数且周期2=T . (4) x x y cos =; 解: 非周期函数 (5) x y 2sin =; 解: 21sin (1cos 2)2x x =- 11[1cos(22)][1cos 2()]22x x ππ=-+=-+ 函数x y 2sin =是周期函数且周期π=T . (6) x x y tan 3sin +=解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+=+=x x x ,)tan(tan π+=x x故原函数的周期为两函数sin 3,tan x x 周期π32和π的最小公倍数，即π2=T . 11.下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.(1) 3x y =,t x sin =; 解: 构成复合函数t y 3sin = 定义域: ),(+∞-∞. (2) u a y =,2x u =; 解: 构成复合函数2x a y =定义域: ),(+∞-∞. (3) u y a log =,232+=x u ; 解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;解: 不构成复合函数u y =要求0≥u 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =; 解: 构成复合函数3x y = 定义域: ),0[+∞.(6) u y a log =, 22-=x u . 解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a 定义域: (,)-∞+∞ .12.下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) 321)1(++=x y ;解: 321)1(++=x y 是由3u y =，21u v =+，1u x =+复合而成的(2) 2)1(ln 3+=x y ;解: 2)1(ln 3+=x y 是由u y 3=, 2v u =,1ln +=x v 复合而成的(3) )13(sin 3+=x y ;解: )13(sin 3+=x y 是由3u y =, v u sin =,13+=x v .复合而成的(4) 32cos log x y a =.解: 32cos log x y a =是由3u y =,v u a log =, 2w v =, x w cos =复合而成的 13.求下列函数的反函数:(1) x y sin 2=;]2,2[ππ-∈x解: 原函数的定义域:[,]22ππ-, 值域:]2,2[-.反解: 2arcsin y x =，得反函数:2arcsin xy =.反函数的定义域：]2,2[-，值域: [,]22ππ-(2) )2(log 1++=x y a ; 解: 原函数的定义域:),2(+∞- 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y a x . 得反函数: 21-=-x a y反函数的定义域:),(+∞-∞值域:),2(+∞-(3) 122+=x xy .解: 221111212121x x x x x y +-===-+++由于112>+x , 则11210<+<x . 原函数的定义域: ),(+∞-∞, 值域:.)1,0( 反解: yy x -=12, y y x -=1log 2.得反函数: xx y -=1log 2反函数的定义域：（0, 1）, 值域：),(+∞-∞. 14.某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元; 当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x 是销售量, y 是总价, 试建立总价y 和销售量x 之间的函数关系式,并作出它的图形.解: 由题知: 当200≤≤x 时, x y 5.2=; 当5020≤<x 时,43.2)20(3.2205.2+=-+⨯=x x y ;当10050≤<x 时,2.520 2.3(5020)2(50)y x =⨯+⨯-+- 219x =+ 当100>x 时,398.1)100(8.1219+=-+=x x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+≤<+≤≤=100398.110050192502043.22005.2x x x x x x x xy 图形(略)15.设某商品的市场供应函数p p S Q 480)(+-==, 其中Q 为供应量, p为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L 与市场价格p 的函数关系式.解: 供应函数p p S Q 480)(+-== 总利润( 1.5)L p Q =-( 1.5)(804)p p =--+2486120p p =-+ 16.用p 代表单价, 某商品的需求函数为p p D Q 500007)(-==, 当Q 超过1 000时成本函数为Q C 2500020+=, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡). 解: 当1000>Q 时1000500007)(>-==p p D Q则价格120<p .达到损益平衡, 则C pQ = 即：(700050)2000025p p Q -=+2000025(700050)p =+-039001652=+-p p 得282.107165±=p 又因为价格120<p , 故59.28=p答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17.在半径为r 的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V 表示为圆柱的高h 的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足4)2(22222h r h r R -=-=圆柱的体积:3222241)4(h h r h h r h R V ππππ-=-==.定义域: )2,0(r18.已知华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F 或0℃, 水的沸点温度为212F 或100℃.（1）写出华氏温度F 与摄氏温度℃的函数关系;（2）画出该函数的图形;（3）摄氏20℃相当于华氏几度? 解：（1）由华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系,设当摄氏温度为x ℃时, 华氏温度为y F 则有关系式 b ax y += 其中a , b 为常数由题知：⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+⋅=328.1100212032b a b a b a 函数关系：328.1+=x y(其中x 的度量单位是℃，y 的度量单位是F)（2）函数图形(略)（3）摄氏20℃时 y =1.8⨯20℃+32=68(F)习题1-2 1．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散 2．根据极限定义证明（1）1)11(lim =+∞→n n证明：0>∀ε，要使1111n nε+-=< 即ε1>n ，只须取1[]10N ε=+> 则当N n >时，有111n ε+-<因此 1)11(lim =+∞→nn 。

微积分教材习题答案

第一章初等函数习题答案练习题1.11. 数3.1415926是有理数。

2.是无理数。

3. 数4. 有限区间有4个，分别为(),a b [],a b [),a b (],a b 无限区间有5个，分别为(],b -∞ (),b -∞(),a +∞ [),a +∞ (),-∞+∞5. 实数集合{}||2|1,x x x R -<∈用区间表示为()1,36. 实数集合{}||1|2,x x x R -<∈可以认为是1为中心，长度为4的开区间。

7. 实数集合{}||1|2,x x x R -<∈可以称为1的邻域。

8. 以点3为中心，区间长度为1的邻域表示为{}||3|1,x x x R -<∈ 练习题1.21. 函数的三种表示法分别为公式法，图像法，列表法。

2. 单调增函数的是y x =，3y x =，xy e =，ln y x =，lg y x =，tan y x =，arcsin y x = arctan y x = ；单调减函数的是xy e -=， cot y x = 分区间的增减函数是2y x =， sin y x =，cos y x =. 3. 函数2()ln f x x =和()2ln g x x =不是相同函数。

由于2()ln f x x =的定义域是0x ≠；()2ln g x x =的定义域是0x >。

4. 函数()f x x =和()g x =不是相同函数。

由于()f x x =的值域是()f x R ∈，()g x 的值域是()0g x ≥。

5. 求下列函数的定义域：（1）y =解：[)(]1,,1+∞⋃-∞-（2）21()1f x x =- 解：[)2,-+∞且1x ≠± （3）()ln(1)f x x =+ 解：()1,-+∞（4）()lg(1)f x x =- 解：(][),22,-∞-⋃+∞6. 判断下列函数的奇偶性：（1）33y x x =+ 解：奇函数。

微积分第一章详细答案

第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011 x x x x x ≤>--+<<<+解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨+≠⎩即 1.010.991x x -<<-⎧⎨≠⎩用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99). 2.用区间表示下列函数的定义域: 1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2)y y x x xy x =-=-+=-解 (1)要使函数有意义,必须2010x x ≠⎧⎨-≥⎩即011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg 00x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即0210x x x ≤≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),ff (a )(a 为实数),并作出图形(1)1,0,2,011,12x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪<≤⎩； (2)y＝211,12x x x ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩解 (1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或D f x x x x x x x x x =<≤<<≤=<<≤=-∞10(0)200,1,()201112a a f ff a aa a ⎧<⎪⎪=⨯===⎨≤<⎪⎪<≤⎩,图1-1 图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)D f x x x x x x =≤<<=<=-221(0)1,11,()112a f ff a a a ≤===-==-<<⎪⎩4.设1,1()1,1x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,求f (f (x )).解当|x |≤1时, f (x )=1, f (f (x ))= f (1)=1;当|x |>1时, f (x )=-1, f (f (x ))= f (-1)=1, 综上所述f (f (x ))=1(x ∈R ).5.判定下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝21cos xx-； (2)f (x )＝(x 2＋x )sin x ；(3)f (x )＝1e ,0e 1,0x x x x -⎧-≤⎨->⎩解 (1) ∵221()1()()cos()cos x xf x f x x x----===-∴f (x )是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠ 且()()f x f x -≠-, ∴f (x )是非奇非偶函数.(3)当x <0时,-x >0, ()1(1)()e e x x f x f x ---=-=--=-; 当x ≥0时,-x ≤0, ()()11(1)()e e e x x x f x f x ---=-=-=--=-,综上所述, x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：(1) f (-x )+f (x )为偶函数； (2) f (-x ) -f (x )为奇函数. 证 (1)令()()()F x f x f x =-+(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;(2)令()()()F x f x f x =--,(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-所以()()()F x f x f x =--是奇函数.7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =± 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x-=-±-=±=, 所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅, 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-, 所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数:22(1)2sin 3;(2);212101,(3)()2(2)1 2. xxy x y x x f x x x ==+-≤≤⎧=⎨--<≤⎩解 (1)由2sin 3y x =得1arcsin 32y x =所以函数2sin 3y x =的反函数为1arcsin(22)32x y x =-≤≤.(2)由221xxy =+得21x y y=-,即2log 1y x y=-.所以函数221xx y =+的反函数为2log (01)1x y x x =<<-.(3)当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112y x y +=-≤≤;当12x <≤时,由22(2)y x =--得22x y =-<≤;于是有1112212y y x y +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩,所以函数22101()2(2)12x x f x x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩的反函数是1112()212x x f x x +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩.9. 将y 表示成x 的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,().为实数u vy u x y u u v x y u u v a x a ==+======+解 (1)211010u x y +==,定义域为(-∞,+∞);(2) sin ln ln 2ln 2sin ln 2vxy u x ====⋅定义域为(-∞,+∞);(3) arctan arctan arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y=(2) y =sin 3ln x ;(3) y = tan 2xa； (4) y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解 (1)令arcsin x u a =,则y =再令xv a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,xy u v v a ===复合而成的.(2)令sin ln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3sin ln y x =是由基本初等函数3,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.(3)令2tan u x =,则u y a =,再令2v x =,则tan u v =,因此2t a n x y a =是由基本初等函数2,tan ,uy a u v v x ===复合而成.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3ln(ln )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2ln ,,ln ,y u u v v w ===3,ln w t t x ==复合而成.2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域： (1) f (x 2)； (2) f (sin x ); (3) f (x +a ),(a ＞0)； (4) f (e x +1).解 (1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1) π], k ∈Z .(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ]. (4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1]. 3. 求下列函数的表达式：(1) 设ϕ(sin x )=cos 2x +sin x +5,求ϕ(x ); (2) 设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x ); (3) 设1()f x x +=x 2+21x,求f (x ).解 (1)法一:令sin t x =,则222cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:22()156t t t t t ϕ=-++=+-,即 2()6x x x ϕ=++.法二:将函数的表达式变形得:22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x x ϕ=-++=+-令sin t x =,得 2()6t t t ϕ=+-,即 2()6x x x ϕ=+-.(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++即 2()33g x x x =++.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+令1x t -=,得 2()33g t t t =++, 即 2()33g x x x =++.(3)法一:令1x t x+=,两边平方得22212x t x++=即22212x t x+=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.法二:将函数表达式变形,得222111222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令1x t x+=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.4.设f (x )为奇函数,证明：若f (x )在x =0有定义,则f (0)=0.证 ∵f (x )为奇函数,且f (x )在x =0处有定义,∴ (0)(0)f f -=-又(0)(0)f f -=于是(0)(0)f f =- 即2(0)0,(0)0f f =∴=.5.证明：狄利克雷函数是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,但无最小正周期. 证狄利克雷函数1,,()0,当为有理数时当为无理数时.x D x x ⎧=⎨⎩设T 是任一正有理数, x ∀∈R ,当x 为有理数时,x+T 为有理数,于是()1D x T +=,又()1D x =,所以()()D x T D x +=; 当x 为无理数时,x+T 为无理数,于是()0D x T +=,又()0D x =,所以()()D x T D x +=. 综上所述, x ∀∈R 有()()D x T D x +=,所以()D x 是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,又设P 是任一无理数, x P ∃=-∈R ,使()(0)1D x P P +==,而()0D x =,故()()D x P D x +≠,即无理数不是()D x 的周期;因为不存在最小的正有理数,所以()D x 无最小正周期.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).解设2()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR === 即 04261648c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 1240a b c ⎧=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩所以总收入函数21()42TR x x x =-+.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为1307001177001000x P x ≤⎧=⎨<≤⎩,总收入 130700()130700(700)1177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩,即 130700()91001177001000TR x x x xx ≤⎧=⎨+<≤⎩.3. 已知需求函数为105Q P =-,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.解由题设知总收入2()105QR Q PQ Q ==-,则总利润 ()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ⎛⎫=-=-=--+- ⎪⎝⎭, 平均利润 ()150()85L Q AL Q Q QQ==--.4. 已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =100233P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.解当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得1002201033P P -=-+,解得5P =所以市场均衡价格5P =.。

《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案二

《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案习题二1.列数列}{n x 当∞→n 时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限：（1）; )1(1>=a ax nn （2）; 3)1(nn x -= （3）; 11ng x n = （4）; )11()1(nx n n +-= （5）; 1)1(3n x n n -+= （6）; 1sec nx n =（7）; 2642)12(531limn n n ++++-++++∞→ （8）. 2121121211lim )1(22-∞→++++++n n解：1）收敛.因为当∞→n 时,; )1(>∞→a a n 所以; 0→n x 所以. 01lim lim ==∞→∞→nx n x ax2)因为⎪⎩⎪⎨⎧==为奇数为偶数n n x x n n 313 所以n x 是发散的;3)发散的.因为当∞→n 时,01→n ;所以-∞→=ng x n 11; 4)因为⎩⎨⎧-=为奇数为偶数n n x n 1 1 所以n x 是发散的;5)收敛的.因为当∞→n 时, 01→n ;所以31)1(3→-+=n x n n ;即∞→x lim 3=n x ; 6)收敛的.当∞→n 时,01→n ;11sec →n ;即∞→x lim 1=n x ; 7)因为nn n n n n n n +=+-+=++++-+++12)22(2)121(2642)12(531 ;所以∞→x lim11=+nn; 所以是收敛的;8)因为23211)21(1212112121121211121)1(221=----=++++++----n n n n1211-+n所以2321123lim 1=+-∞→n x ; 所以是收敛的;2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.解：数列为; 21 , , 21 , 21,11-n 2所以通项为; 211-=n n a 所以∞→x lim 0=n a ;3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：（1）; )0(lim 0>→μμx x （2）; )0(lim <∞→μμx x（3）; 1) , 0(lim 0≠>→a a x x （4）; 1) , 0(lim ≠>∞→a a x x（5）; 1) , 0(log lim 1≠>→a x a x （6）; arccos lim 1x x -→（7）; arctan lim 1x x → （8）. cos lim x x ∞→解：1）当0x →时,∞→x lim ; 0)0(=>u x u2）∞→x lim ∞→=<x u u x lim)0(; 0)0u (1=<-ux3）∞→x lim 1)1 , 0(=≠>a a a x4） 0; 1<a∞→x lim ⎩⎨⎧><=≠>.1 1.1 0)1 , 0(a a a a a x 所1 ; 1>a 5)0)1 , 0(log lim 1=≠>-→a a a x x6)π=-→x arccos lim 1x 所以; 1cos -=π7). 4x arctan lim 1π=-→x8)x cos lim ∞→x 的极限不存在4．求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在：（1）; 0 , )(==x xx x f （2）; 0 ,3)( 1==xx f x（3）; 0 ,1arctan )(==x x x f（4）. 1 , 21 , )1arcsin(1 , )1(11)(=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<+=x x x x x g x f解：1)10lim -→x +→≠-=0lim 1)x (f x ; 1)(f =x 所以该点的极限不存在2)10lim -→x ≠=0)x (f +→0lim x ; )x (f ∞=所以该点的极限不存在3)10lim -→x ; 2f(x)lim 2-f(x)0ππ=≠=+→x 所以该点的极限不存在4) ; 0)x (f lim 211)x (f lim 11=≠=+-→→x x g 所以该点的极限不存在5．用δε-或N -ε的方法陈述下列极限：（1）; )(lim A x f ax =+→ （2）; )(lim A x f ax =-→（3）; )(lim A x f x =+∞→ （4）. )(lim A x f x =-∞→解：1)当δ<-<a x 0时 ξ<-A x f )(2)当δ<<x -a 0时 ξ<-A x f )( 3)当M x >时 ξ<-A x f )( 4)当-M x <时 ξ<-A x f )(6．用极限的严格定义（即δε-或N -ε的方法）证明下列极限：（1）; 01lim4=∞→nn （2）; 31135lim22-=+-∞→n n n（3）; 01lim 1=++-→x x （4）. 010lim =-∞→x x解：1)对于任意给定的ξ,要使δψξ成立,只要使ξ14>n 即1n ξ>成立所以对于任意给定的ξ,存在41N ξ=当N n >时恒有ξ<-014n成立,故01lim4=∞→n x2)对于任意给定的ξ,要使ξ<++-3113522n n 成立即29316 )(1lim ξξ->+∞=→n x f o x x 成立所以对于正数ξ,存在293-16N ξξ=成立当N n >时恒有ξ<++-3113522n n 成立所以31135lim22-=+-∞→n n x 3)由于10)(+=-x x f 所以对于任意给定的0>ξ,存在2ξδ=当δ<+<10x 时恒有ξ<-0)(x f 成立故01lim 1=++-→x x4)对于任意给定的正数ξ要使ξ<-010x 成立即ξ1g x >成立所以存在. 1g X ξ=当X x >时恒有ξ1g x >成立即. 010lim =∞→x x7．求下列极限：（1）; )(lim 330hx h x h -+→ （2）; 11lim 1--→x x n x（3）;)2(arctan lim1x x x ++∞→ （4）; 11lim 21⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→x x x xx （5）; 11lim220xx x +-→ （6）; 231lim3xx x +--∞→（7）; 22312lim 4---+→x x x （8）. )31(lim 22---++∞→x x x x x解：1）22203322303303)33(lim 33lim )(lim x h xh x hx h xh h x x h h h x h h h =++=-+++=-+→→→2)n x x n x =--→11lim 1 3）12)1(arctan lim 2arctan lim 1+=+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→πx x x x x 4)x x x x x x xx x x x x x 1lim)1()1)(1(lim )11(lim 1121+=-+-=---→→→ 5)2)11(lim )11(lim11lim20222022-=++-=-++=+-→→→x xx x x x x x x6))31)(2(91231lim33+-+--=+---∞→x x x xx x)31)(2()42)(2(33323+-++-+=x x x x x2-= 7))312)(22()312)(312(lim22312lim44++--++-+=---+→→x x x x x x x x)312)(22()4(2lim 4++---=→x x x x)312()22(2lim 4+++-=→x x x322=8))31(lim 22---++∞→x x x x x)3142(lim 22--++++=∞→x x x x x x1)31111142(lim 2=--++++=∞→xx x x xx8．求. 3545lim 1-∞→+-n n n解：51)53(95)54(411lim3545lim211=+-=+-∞→++-∞→n nn n n n nn9．下列数列}{n x ，当∞→n 时是否是无穷小量？（1）; 31050nn x =（2）[]; 1)1(1n x nn -+=（3）. n n n x =解：1)是无穷小量因为0lim =∞→n n x2)是,因为0lim =∞→n n x (n 为奇数或者偶数)3)不是.10．当0→x 时下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？（1）;100 3x y = （2）; 1012100x y =（3）; )1(log 2x y += （4）; 4cot x y =（5）; 2sec ⎪⎭⎫⎝⎛-=x y π（6）. 1sin 1xx y =解：1)是无穷小,因为0lim 0=→y x2)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim3)是无穷小量,因为0lim 0=→y x4)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim5)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim6)非大非小11．已知)()(lim 0x g x f x x →存在，而0)(lim 0=→x g x x ，证明. 0)(lim 0=→x f x x解：因为, 5252lim 5arctan 2lim00==→→x x x x x x)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=存在而0)(lim 0=→x g x x所以; 0)(lim 0=→x f x x12．设31lim 21=-++→x bax x x ，求a ，b .解：因为3lim 1lim 121=+=-++→→y x x b ax x x x所以1)2)(1(12---=-++x x x x b ax x 所以1a =,2b -=13．设011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，求a ，. b解：011lim )11(lim 222=+----+=--++∞→∞→x bbx ax ax x b ax x x x x所以即b bx ax ax x ----+221为一常数所以-1b 1a ==14．当0→x 时，下列变量中与423x x +相比为同阶无穷小的是（B ）.A ．xB ．2xC ．3xD ．4x解：B ．因为3131lim3lim 204220=+=+→→x x x x x x15．求. 28159lim 4823+--∞→n n n n n解：3281591lim281593lim4835482=+--=+--∞→∞→nn n n n nn n n16．设a x →时∞→)(x f ，∞→)(x g ，则下列各式中成立的是（D ）.A ．∞→+)()(x g x fB ．0)()(→-x g x fC ．0)()(1→+x g x f D ．0)(1→x f解：D.因为a x →时∞→f(x),∞→g(x)，所以0)(1→x f ，0)(1→x g .17．求下列极限（1）; )72()43()12(lim 510--+∞→x x x x （2）. )cos 100(1lim 32x xx x x +++∞→解：1)=--+∞→510)72()43()12(limx x x x 32243232)72()43()12(lim15510151515510==--+∞→x x x x x x 2)x)105100(1111lim)105100(1lim 232+++=+++∞→∞→xx x x x x x x x18．求下列极限：（1）; 3sin 2sin lim0x x x → （2）; sin sin lim 0xx xx x +-→（3）; 5arctan 2lim0x x x → （4）; sin lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n n π（5）; sin lim x x x -→ππ （6）; cos 1lim 0xxx -+→（7）; cos 1cos 1lim20x x x --→ （8）; sin tan lim 0xxx x -→（9）; sin tan cos lim 0x x x x x x --→ （10）. 65)1sin(lim 21-+-→x x x x解：1)3232lim 3sin 2sin lim00==→→x x x x x x2)0sin 1sin 1lim sin sin lim00=+-=+-→→xx x xx x x x x x 3)5252lim 5arctan 2lim00==→→x x x x x x4)ππππ===∞→∞→∞→nn nn nn n n n 1lim 1sin lim)sin (lim5)11cos lim ' )()(sin lim sin lim'=-=-=-→→→xx x x x x x x πππππ 6)2)'2sin 2()'(lim2sin2limcos 1lim 000===-+++→→→xx xx xx x x x7)2 8)0)cos cos 1(lim ')'sin (tan lim sin tan lim 2000=-=-=-→→→x x x x x x x x x x x9)1cos lim )cos (sin )cos 1(lim sin tan cos lim0==-=--→→→x xx x x x x x x x x x10)7111lim )6)(1(1lim65)1sin(lim 1121=+=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x19．设3)1sin(lim 221=-++→x b ax x x ，求a ，. b解：因为3)1)(1(lim)1sin(lim21221=+-++=-++→→x x bax x x b ax x x x所以)5)(1(2+-=++x x b ax x所以-5b . 4==a20．设nn n n x n ++++++=22212111 ，用极限存在的夹逼准则求. lim n n x ∞→解：因为nn nx n nn +≤≤+22111而111lim 2=+∞→n nn ，11lim 2=+∞→nn nn所以1lim =∞→n n x21．求下列极限：（1）; 31lim 3xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ （2）; )21(lim 13+∞→-xx x（3）; 21lim 30x x x +→ （4）; )tan 1(lim cot 210x x x -→+（5）; 1232lim 1+∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x （6）. 1312lim 10xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--→解：1). ])31[(lim )31(lim 9933e xx xx x x =+=+∞→∞→2). )21(*])21[(lim )21(lim 3232213---∞→+∞→=--=-e xx x xx xx3). 323221030])21[(lim 21lime x x x x xx =+=+→→4). e x)tan 1(*]x)tan 1[(lim x)tan 1(lim 2-2tanx 12cotx -10=+++-→=→x x5). 1x)1221(lim )1232(lim 212121x e x x x x x x =+++=++++∞→+∞→6)xx x x x x x x 1010)131(lim )1312(lim --=--→→ =331)311(lim +-→-+x x x=. e22．设xx x k x x xx 2sinlim lim 2∞→-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-，求. k解：因为.222sin 2lim 2sinlim ==∞→∞→xx x x x x所以. 2)1(lim )(lim 22*2==-=--∞→-∞→k kk xx x x e xk x k x 所以. n2121k =23．判定下列函数在定义域上是否连续（说明理由）：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=; 0 , 0,0 , 1sin )(2x x x x x f （2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=. 0 , 1, 0 , sin )(x x xx x f解：1)因为0x)(f lim 0=→x ，而0f(0)=.所以f(x)在定义域上是连续的。

微积分1参考答案

微积分1参考答案微积分1参考答案微积分1是大学数学中的一门重要课程，对于理工科学生来说尤为重要。

在学习微积分1的过程中，我们会遇到各种各样的问题，需要通过练习来巩固所学知识。

为了帮助大家更好地理解和掌握微积分1的知识，我将提供一些常见问题的参考答案，希望能对大家有所帮助。

1. 求函数f(x) = x^2在区间[1,3]上的定积分。

答案：首先，我们需要求出函数f(x)在区间[1,3]上的原函数F(x)。

由于f(x) = x^2，我们可以得到F(x) = (1/3)x^3。

然后，根据定积分的定义，我们可以得到定积分的值为F(3) - F(1) = (1/3) * 3^3 - (1/3) * 1^3 = 8 - 1/3 = 7 2/3。

2. 求函数f(x) = 2x在区间[0,4]上的定积分。

答案：同样地，我们需要求出函数f(x)在区间[0,4]上的原函数F(x)。

由于f(x) =2x，我们可以得到F(x) = x^2。

然后，根据定积分的定义，我们可以得到定积分的值为F(4) - F(0) = 4^2 - 0^2 = 16。

3. 求函数f(x) = sin(x)在区间[0,π]上的定积分。

答案：函数f(x) = sin(x)在区间[0,π]上的定积分可以表示为∫[0,π] sin(x) dx。

由于sin(x)的原函数为-cos(x)，我们可以得到定积分的值为-cos(π) - (-cos(0)) = 1- (-1) = 2。

4. 求函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的定积分。

答案：函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的定积分可以表示为∫[0,1] e^x dx。

由于e^x的原函数为e^x，我们可以得到定积分的值为e^1 - e^0 = e - 1。

5. 求函数f(x) = 1/x在区间[1,2]上的定积分。

答案：函数f(x) = 1/x在区间[1,2]上的定积分可以表示为∫[1,2] 1/x dx。

《微积分》上册部分课后习题答案

微积分上册一元函数微积分与无穷级数第2章极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )．证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim．解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→．解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限．证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解：原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→．解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =．解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1）原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2）原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='．解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=，又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解：令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '；（3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy．解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =．解（1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足（1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解（1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。

微积分--课后习题答案

习题1—1解答1．设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2．设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D（2）{y y x y x D ,10),(22<+<=（3）⎫⎩⎨⎧++=),(22222b y a x y xD（4）{}1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D4．求下列各极限：（1）22101limy x xy y x +-→→=11001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim022)01=++=++→→e yx e x y y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim0020==-+→→=→y yy x y x y y x yx所以极限不存在。

微积分第一章课外习题参考答案

若 f (a b) 0,则. a b为 f (x)的一个零点; 若 f (a b) 0,则 (0,ab) 使 f () 0. 综上所述, (0,ab],使 f () 0.
p1 4 . 三 .3 .证明 : 设 M m a x{ f ( x i ) | 1 i n },
m m in{ f ( xi ) | 1 i n}, 则有 m f ( xi ) M ,1 i n,
p2. 四 . 证明: f (x) f (2a x)
f (2b 2a x) f [2(b a) x] 周期 T 2|b a |.
五 . 证明 f ( x) loga( x x2 1)
loga
x2
1 1
x
loga( x
x2 1)
f ( x).
§1.1, §1.2数列极限(3-4)
ak ).
例如:
lim n 1n 2n 8n 8.
n
p15. 三 .由导数定义知 :
1. lim e xh e x . h0 h
tan( x x) 1
2. lim
x 0
x
cos2 x .
p16. 3.解 : 原式 lim [(1
6
3 x2 6 x1
) ] 6 3 x 2 2
p 4 . 2 . 解 :由题意 ,设 P1 P2 1
P1 Pn
1
1 2
1 22
1 23
( 1)n2 2 n2
1 ( 1 )n1 2 2( 1 )n1
2 1 1
2 3
2
lim
n
P1 Pn
2 2( 1 )n1
lim
2
n
3
2 3
p4.3.证明 : { xn }有界, M 0,使得

微积分上册课后习题答案

微积分上册课后习题答案微积分是数学中的重要分支，它研究的是函数的变化规律以及相关的数学工具和方法。

对于学习微积分的学生来说，课后习题是巩固知识和提高技能的重要方式。

本文将为大家提供微积分上册课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握微积分的知识。

第一章：函数与极限1. 设函数 f(x) = x^2 + 3x - 2，求 f(2) 的值。

解：将 x = 2 代入函数 f(x) 中，得到f(2) = 2^2 + 3×2 - 2 = 4 + 6 - 2 = 8。

2. 求函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 1 的零点。

解：零点即为函数 f(x) 的解，即 f(x) = 0。

将函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 1 置零，得到 2x^2 - 5x + 1 = 0。

通过求根公式可以解得x = (5 ± √(5^2 - 4×2×1)) / (2×2) = (5 ± √(25 - 8)) / 4 = (5 ± √17) / 4。

3. 计算极限lim(x→1) (3x^2 - 2x + 1)。

解：将 x = 1 代入函数 3x^2 - 2x + 1 中，得到lim(x→1) (3x^2 - 2x + 1) =3×1^2 - 2×1 + 1 = 3 - 2 + 1 = 2。

第二章：导数与微分1. 求函数 f(x) = 3x^2 - 4x + 2 的导数。

解：导数表示函数在某一点的斜率，对于函数 f(x) = 3x^2 - 4x + 2，求导得到f'(x) = 6x - 4。

2. 求函数 f(x) = sin(x) + cos(x) 在x = π/4 处的导数。

解：对于函数 f(x) = sin(x) + cos(x)，求导得到 f'(x) = cos(x) - sin(x)。

将x = π/4 代入得到f'(π/4) = cos(π/4) - sin(π/4) = √2/2 - √2/2 = 0。

实用文档之《微积分》各章习题及详细答案

实用文档之"第一章函数极限与连续"一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

《微积分》第1-5章作业解答

第一章作业解答A1.（1）相同。

两个函数的定义域相同，对应法则相同。

（2）不同。

第一个函数是.x y=第二个函数是xxy ==2。

∴二者的对应法则不同。

∴两个函数不相同。

（3）不同。

第一个函数是),0(,2≠==x xx xx y第二个函数是1=y ，定义域为R.定义域不同，对应法则不同。

2．（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤->=1,211,1arcsin x x x xy解：定义域为),(),1(]1,(+∞-∞=+∞⋃-∞。

（2）x y tan lg = 解：0tan >x 。

由图像得定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,πππk k ，zk ∈。

（3）122--=x x x y解：⎪⎩⎪⎨⎧≠--≥--01201222x x x x x ，则()[]()[]⎩⎨⎧±≠≥--+-2102121x x x x 。

则⎩⎨⎧±≠+≥≤≤-2121,021x x x 。

则定义域为(]()+∞+⋃-,210,21。

8. 解：成本函数为()C x bx = 设商品的需求函数为q c bp =+，则有100013000.9c adc ad=+⎧⎨=+⎩解得30004000,c d a==-所以需求函数为：30004000qpa=-解得()40003000q ap -=收益函数为(4000)()3000x aR x px x-==⋅利润函数为()4000()()()3000a x L x R x C x x b -⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦9设该电器的线性需求函数为q a bp =+.1000120015001000a ba b=+⎧⎨=+⎩可得4000,4000 2.52.5a q pb =⎧=-⎨=-⎩收益函数为24000()0.4100002.5x R x px x x x-==⋅=-+13.(1).同阶无穷小量。

0121lim 2lim34≠=+=+→→x xx x x x∴的同阶无穷小量。

《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。

(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有。

(Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。

微积分第一章习题解答

4.(5)
4.(6)
§1.9 部分习题答案
(2)
解
：
故间断
3.(1)
3.(3)
6.
§1.10 部分习题答案
1.(1)
1.(2)
1.(3)
1.(4)
1.(5) 1.(6)
2.
3.
4.
5.
*6.
LOGO
广东外语外贸大学
5ຫໍສະໝຸດ 5 x 2 12 , 故 lim5 x 2 12.
x 2
sin x 0. 2（2）证明 xlim x
1 sin x sin x 证 0 x x x
,
0, 取 X
sin x 0 , x
1

2
,
则当 x X时恒有
第一章
第一章习题解答
§1.1 答案 §1.6 答案 §1.7 答案 §1.8 答案 §1.9 答案
§1.2 答案 §1.3 答案
§1.4 答案
§1.5 答案
§1.10 答案
§1.1 部分习题答案
1.(1)
y 1 1 x2 x
(5 )
ye
1 x
故定义域为
,0 0,
sin x 故 lim 0. x x
x 3. 验证 lim 不存在. x0 x
x x lim lim 证 x 0 x x 0 x
lim ( 1) 1
x 0
y
1
o
1
x
x x lim 1 1 lim lim x 0 x 0 x x 0 x 左右极限存在但不相等, lim f ( x ) 不存在.

经管类微积分(上)参考答案

经管类《微积分》（上）习题参考答案第一章函数习题一一、1．否； 2．是； 3．是； 4.否.二、1．)[()5,33,2⋃； 2．()πππ+k k 2,2； 3． 2,24>-<<-x x 或；4．[]a a -1,； 5.[]2,0； 6.222+-x x . 三、1．奇函数；2．奇函数． 3.（略）四、1(略)；2．212+x ； 3．11-+x x ．五、1．x v v u u y sin ,,ln 2===；2．x x u e y u ln ,==；3．1525++⋅x x ．六、50500,,)50(8.050)(>≤<⎩⎨⎧-+=x x x a a ax x R ．第二章极限与连续习题一一、 1．0,1,1,0； 2．e e e e ,,,231- 二、1．1； 2．0； 3．21； 4．4.三、1. (略)； 2.证明（略），极限为2 四、()1lim 0=+→x f x ，()1lim 0-=-→x f x ，()x f x 0lim →不存在. 五、都不存在. 六、15832.5,32.4,221.3,1.2,0.1 1.8,3.7,.6e .七、2,1==b a 八、2.4,32.3,21.2,2.1-习题二一、()().1,1.4,,22,1.3,2.2,.1+∞⋃第一类二、1．为可去间断点1=x ，为第二类间断点2=x ； 2.为跳跃间断点1=x . 三、2ln ,2==b a ．四、0,0,10,00,1)(=⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=x x x x x f 为()x f 的跳跃间断点。

五、()()+∞⋃∞-,00,. 六、左不连续；右连续. 七、,.4,.3,.2,2ln .1623e e e - 八、九、十 (略).第二章测验题一、B A C A D .5,.4,.3,.2,.1.二、21.4,2.3,2.2,2.1-e .三、.31.4,3.3,1.2,61.1.四、x x x x p ++=232)(.五、为第二类间断点为可去间断点处连续21,1,2,,1===-=x x x x ．六、.3,21==b a 七、（略）. 八、a .第三章导数与微分习题一一、),0(.2),(,)(2,)(.1000f x f x f x f '''')(),(1.3000000x x x y y x x x y y --=--=- 二、00,,2)(<>⎩⎨⎧='x x x e x f x 三、)0(2)(g a f ='. 四、处连续且可导0=x ．五、()的有理数；互质与且)2(,201n m mna a ≠> ()互质）的有理数与且n m mna a 2(,1212-≠>. 习题二一、,ln 1.3,1.2,622ln 2.123x xx x x -++- )2(42,)2(42.422ππππππ-=---=-x y x y . )(4)(2.5222x f x x f ''+'二、2)1()sin 3(cos sin cos 2.1x x e x x e x x +-+-；x x x x x x x x cos sin ln cos 2sin .2+-+； 211arcsin 2.3xx -⋅； 21)ln (ln .4x x n x n --；a a x x x ax a a a 21211sec ln .5+⋅+-；6.x x exx 1tan 1sec 221sec 22⋅⋅⋅-； )(87略-.三、1．()x f x f '⋅)(2； 2．)()(222x x x x x e f e e e f xe '+.四、00,,11)12()(222=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='x x x e x x f x . 五、(略) 习题三一、()dx x x x 1ln .1+； ()dx e e f x x '.2；x e x e x x x ln ln ,arctan ),13sin(31,61,2.36+；4. ppQ -+2;252. 二、1．)sin ln (cos sin xxx x x x +⋅； 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-+------)5(51)4(54)3(53)2(5211)5()4()3()2()1(5432x x x x x x x x x x 三、1．()184-==p dpdQ，54.04-≈=P EP ED经济意义：当价格从4上升%1时，需求量从59下降%54.0；()246.04≈=P EP ER，价格从4上涨%1时总收益将从263增加%46.0.四、1．dx x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-2222211cot )1(2)11ln(sin ．五、212x +. 第三章测验题一、,1.3,1.2,)1(21.1arctan =⋅+--y dx e x x x π21)1()1(2.4xx f x f '-, 2ln 21.5-.二、..3,.2,.1C D D 三、1．yyxey e +-2； 2．0； 3．[]()0,,02121cos )(sin )()(),0(2=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''++-+'=''=x x g x xx g x x g x x f g a第四章中值定理与导数的应用习题一一、1．不满足，没有； 2．1； 3．满足，914； 4．4,1--.；5.不存在二、三、四、五(略)六、1.6,ln .5,21.4,21.3,0.2,21.1a -. 七、连续. 八、1.习题二一、1．单减，凹的； 2．)4,1(；3．0,0==x y ；4．29,23-；5. ac b 32≤.6.e p 1=二、单增区间为[]2,0；单减区间为]()[∞+⋃∞-,20,. 三、拐点为()7,1-；凹区间为)[∞+,1；凸区间为[]1,0．四、0,3,3,1==-==d c b a .五(略)六、为极大值3)3(,2==πf a .七、20000=Q ，最大利润()34000020000=L 元. 八、5.9元，购进140件时，最大利润490元. 九、十（略）.第四章测验题一、..3;.2;.1A B B 二、()0.4;2,1.3;3.2;1.1=x三、.1.2;61.1-四、.1;0;3==-=c b a 五、获利最大时的销售量()t x -=425，当2=t 政府税收总额最大，其税收总额为10万元.六、()1证明略； ()254.06≈=P EP ER，经济意义：当价格从6上涨%1时，总收益从156增加%54.0.第五章不定积分习题一一、1．dx x f )(，C x f +)(，)(x f ，C x f +)(； 2．C ； 3．C x +2； 4．32x. 二、1．C x x +-arctan ； 2．C x e x +-2；3．C x x +-sec tan ； 4．C x +tan 21．三、1ln +=x y .四、12)(2+-=x x x G .习题二一、1．C e x x ++-tan tan ； 2．C x f +--)1(212； 3．C x F ++)12(； 4．C x f +--）2cos 3(31．二、1．C x +|ln ln |ln ； 2．C x ++-|1cos |ln 2； 3．C e x +arctan ；4．C x +--21)32(312； 5．C x x x +---------999897)1(991)1(491)1(971；6．C e xx ++1； 7．C x x +-32)cos (sin 23； 8．C e x x ++-)1ln(； 9．C x x ++-)9ln(292122； 10．C x +)arctan(sin 212； 11．C x+-arcsin 1；12．C x x ++-+ln 12)ln 1(3223； 13．()()()C x x x +++++-+11ln 313123313132；14．C e x+-1arctan 2； 15．C xx ++61611ln； 16．C x x x +-+22211arccos 21. 习题三一、1．C x e x ++-)1(；2．C x xf +)(； 3．C x f x f x +'-'')()(； 4．C e xe x x +-2．二、1．C x x x x +++-)1ln(6161arctan 31223； 2．C e xe x x +------11；3．C x x x x x ++-2ln 2ln 2； 4．C x x x x++++-)6ln 6ln 3(ln 123；5．C x x e x ++-)22(33323； 6．()()[]C x x x++ln sin ln cos 2；7．C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22； 8．C x x x x ++-sin 4cos )24(； 9．C x x x +-+arctan )1(； 10．C x x x x x +++-+221ln 1ln ．三、C x x x +-++21)arcsin 1(．四、C x x x x ++-+arctan 22)1ln(2．五、)1(21x x +．习题四1．C x x x x x x +--+-+++|1|ln 3|1|ln 4||ln 82131232．C x x x x +-+-+-arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2第六章定积分及其应用习题一一、a b a b -+-）（3331二、1．≥， 2．≥ 三、（提示：用定积分性质6证）四、1．412x x +； 2．81221213x x x x +-+； 3．3； 4．21； 5．28-x ； 6．]41,0(； 7．yx e y 2cos 22．五、)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ．六、1．6π； 2．4； 3．38．七、1．1； 2．2八、4π．九、)1ln(e +十（略）．习题二一、1．)(sin x f ； 2．)0(arctan )1(arctan f f -； 3．)]()([2122a F b F -； 4．3243π；5．0； 6．)()(a x f b x f +-+； 7．8； 8．0二、1．34-π； 2．32ln 22+； 3．a )13(-； 4．34； 5．22； 6．214-π； 7．)11(2e -； 8．)2(51-πe ．三、四（略）五、（提示：令x t -=2π）； 4π.六、()1,11=-=-a e x f x . 七、x x sin cos -. 八、x 2ln 21.习题三一、1．332； 2．2ln 23-； 3．67； 4．49．二、62221,21-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=S a ．三、2ln 214+-x ．四、1．π145； 2．24π； 3．ππ564,727．五、10/100Q Qe -．六、31666．七、1．2； 2．2ln 21．。

《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案三

《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案习题三（A ）1．根据导数定义求下列函数的导数：（1）; )0()(>=x x x f（2）; )0(1)(2≠=x x x f（3）; )0()(32≠=x x x f （4）. )0(log )(>=x x x f a解：(1)xx x x f 2121)()(2121=='='- (2)322)'()(---=='x x x f (3)313232)'()(-=='x x x f (4)nax a x e xx x f e a a 111log 11log 1)'(log )(∙=∙==='2．求下列曲线在指定条件下的切线方程；（1）曲线23x x y +=的与直线x y 5=平行的切线；（2）余弦曲线x y cos =在点2π=x 处的切线；（3）双曲线xy 1=的经过点（2，0）的切线.解：(1)5,5==k x y 则直线23x x y += 5232=+='x x y 可得11=x ,352-=x21=y 或27502-=y 。

斜率为5，且经过)2,1(或)2750,-35(-的斜率为35-=x y 或271755+=x y(2)=-==2sin 'x x y -1 当2π=x 时0=y∴斜率为,1-且经过)0,2(π的斜线为x y -=2π(3))0,2(得直线为 b kx y += 过)0,2( ∴ 02=+b k k b 2-=∴k kx y 2-= xy y 1=-= k xy =-='21则 kx 1-±= k y -±=)0(<k),1(k k--在k kx y 2-=上, ∴代入x x y k -=+-=-=22,13．如一直线运动的运动方程为,122++=t t s 求在3=t 时运动的瞬时速度.解：22',122+=++=t s t t s 当3=t 时，8='s ∴s m v t /83==4．设函数)(x f 在点a x =可导，求：（1）0lim→∆x ; )()(x x a f a f ∆∆-- （2）0lim →h ; 2)3()5(h h a f h a f --+（3）)(a f '，如已知0lim →t . 61)3()(=+-t a f a f t解：(1)0lim→∆x )(')()()(lim )()(0a f x a a x a f a f x x a f a f x =∆--∆--=∆∆--→∆ (2))(')()()(lim 2)3()5(lim 080a f x a a x a f a f h h a f h a f h k =∆--∆--=--+→→ (3)2)(61)3()(3lim 31)3()(lim 030-='=+--=+-→→a f t a f a f t t a f a f t t t5．设)(x f 可导，求 )]([)]([lim 220xx f x x f x ∆-∆+→∆.解：xx f x x f x f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+=∆-∆+→∆→∆)]()([)]()([lim )]([)]([lim 02206．设函数)(x f 在0=x 点连续，且极限,23)(lim 0=+→xx f x 问函数)(x f 在0=x 点处是否可导？若可导，求. )0('f 解：23)(lim=+→x x f x f(x) 在0x =点连续，∴3)(,23)(lim 00-==+=→x x x f x x f 2x3x)(lim x f(0)x)(lim )(f )(lim)0(0x 0x 0=∆+∆=∆⋅∆=∆⋅∆+='→∆→∆→∆f f x x x x f f x7．求函数x x x x f -=2)(的不可导点.解：x x x x f -=2)(当02≥-x x 时，即1≥x 或0≤x x x x x x f 23)()(223-='-='当02<-x x 时，即 32)(',102x x x f x -=<<，0)0()0(='='+-f f)(')(2)(2)(])()([lim )('0x f x f x f x f x f x x f x f x =∙'=+∆+=→∆1)1(-='-f 1)1(='+f )1()1('≠'∴+-f f ∴ 1x =为f(x)的为不可导点8．设a x x xs x f a,0 ,00,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=在什么条件下可使)(x f 在点0=x 处（1）连续；（2）可导；（3）导数连续.解：x x xx x f 1cos ,1sin 0x 00x 1sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=为有界函数函数 1）连续 0a 0)0(1sin x lim 1sin x lim a 0a 0>∴===+→-→f xx x x2）可导xx x x x x f x f a x a x x ∆∆=∆∆∆=∆-∆++∆='-→∆→∆→1sin )(lim 1sin )(lim)0(01sin0)x (lim )0(100a 0存在1 01>∴>-∴a a 此时 0)0(='f3）导数连续⎪⎩⎪⎨⎧=≠-='--0 x 00 x 1cos 1sin )(21xxx ax x f a a 若)('x f 再0x =处连续，则 20)0()0(lim )0(lim 0>⇒='='='+→-→a f f f x x9．设)(x f 可导且,0)0(=f 证明)sin 1)(()(x x f x F +=在0=x 点可导，并求).0(f '解：)0(0)(lim 0sin 1)((lim )0()0(lim )0('00f xx f x x x f x F x F F x x x '=∆+∆=∆-∆+∆=∆-∆+=→∆→∞→10．对于函数),(x f 如xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 0存在，是否)(x f '必存在？解：不一定，如x x f =)(，此极限在0=x 处为0，但)0('f 不存在.11．设)()()(x g a x x f -=，(1)若)(x g 在点a x =连续，求)('a f ；(2)若点a x =是)(x g 的间断点，)(x f 是否在a x =处必不可导，为什么？解：1))()()()()(),()()(a g x g a x x g a f x g a x x f a x ='-+='-==2) 如A x g ax =→)(lim ，则A a f =)('.如)(lim a g ax →不存在，则)('a f 不存在.12．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 x 0,0 x ,1)(2e x xf 则下列结论正确的是（）. A ．)(x f 在0=x 点间断B ．)(x f 在0=x 点连续，但不可导C ．)(x f 在0=x 点可导，但)(x f '在0=x 点间断D ．)('x f 在0=x 点连续解：D. x x xe x e xx e x1312122121-=-='⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+，x x x x e x e xx e x e x 1412213121621=--=-="⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+lim)(lim 02lim )(lim )(lim 4140013==''=-='=→→→→→e x x f e x x f x f x x xx x x0=x ，时 0)()()(=''='=x f x f x f )(x f '∴在0=x 点连续13．设)(x f 为可导函数，且满足12)1(4lim0-=-+→x x f x求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的方程. 解：12)1(4lim-=-+∞→xx f x 则4+f(1)=0 f(1)=42211c o s 11s i n 11xy y x y --=--=-='='xx f x x f x f x f f x x x ∆∆++=∆∆++=∆-∆+='→∆→∆→∆2)21(4lim 2)1(4lim )1()1(lim )1(00022))2(1(4lim20=∆-∆--+-=→∆xx f x所以k=2且经过)4,1(-则切线为62-=x y14．设)(x f 是偶函数，且在点0=x 可导，证明：.0)0(='f解：f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),两边求导为: )()(x f x f '=-'-所以0)()(='+-'x f x f当x=0时，等式变为0)0(2='f 所以0)0(='f15．求下列函数的导数：（1）; 13524xx x y +-= （2）; )1(x x y += （3）;215xx y +=（4）; ln 1ln 1x xy +-=（5）x x y a nlog = （6）; 133xx y -=（7）; sin 2x y x = （8）;3 2x y x -= （9）; cos 1xxy -=（10）; cot tan x x x y -= （11）; arctan s x y = （12）; arccos x e y x = （13）; cos sin 2cos xx xy +=（14）; ln tan 2x x x y =（15）; 5log 222++=--x y x （16）. 1111ln xx x x y -++--+=解：1)23241620' 135xx x y xx x y --=+-=2)xx x xx x x y 213)1(21])1[(+=++='+='3)22)22222)1(1(5)1(52)1(515x x x x x x x x y +-=+-+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+' 4))x ln 1(2 x)ln (1)ln 1(x 1- x)ln 1(1) ln 1 ln 1(22+-=+-+-='+-='x x x xxy5))ln 1log (ln 1log )log (11aa x x a x x a nx a x y x n nx n x n +=+='='-- 6)3413323233223338313)1(xx x x x x x xx y +-=---='-'7) x)cos 2sin x (ln 2 x cos 22sin x 12) x sin 2(x x x +=+='='n y x 8)3) ln 2(333ln 3)3()(2222x x x x x x x e y x x x -+-==='-9)2)cos 1(sin cos 1)cos 1(x xx x x x y ---='-=' 10)x csc x cot x -x sec )cot x x -x (tan 22+='='y 11)21arctan x )arctan x (xx x y ++=''12)22x xx-11-x (arccos 1e - x arccos e ) x arccos(x x e xe y =-='='13)=+--+-='+=2)cos (sin 2cos )sin (cos )cos (sin 2sin 2)cos sin 2cos ('x x x x x x x x x xy =++---2)cos (sin 2cos sin 2cos cos cos 2sin 2sin 2sin 2x x x x x x x x x x)c o s (s i n )c o s (s i n 2s i n )s i n (c o s x x x x x s x ++-+-x x x x x x x x x c o s s i n )c o s (s i n )c o s (s i n )c o s (s i n 2s i n 12--=++-=+--=14)=++='='x x x x x x x x nx x x y tan ln sec ln tan 2)1tan (222)t a nln sec ln tan 2(2x x x x x x x ++ 15)32222ln )25log 2(-----='++='x x y xx16))111211(ln)1111(ln 2'+-+---++='-++--+='xx x x x xx x x y=2222211111.1.11xx x x x x x-=----- 16．应用反函数求导法则证明：（1）; 11)(arctan xx +=' （2）. 11)(arccos 2xx --='解：1)tany x arctan x y 11)(arctan 2==+='x x yy x 2cos 1)(tan ='=' 22211t a n 11c o s 1xy y x y +=+=='=' 2)211)(arccos xx --=' x y arccos = y x cos =y y x sin )(cos -='=' 2211cos 11sin 11xy y x y --=--=-='='17．设函数1)(3-+=bx ax x f y 有反函数)(x g ，且曲线)(x g y =在点（2，1）处的切线方程为5451+=x y ，求常数a ，b.解：因为函数1)(3-+==bx ax x f y 有反函数)(x g ，且曲线)(x g y =在点（2，1）处的切线方程为5451+=x y ，所以函数f(x)过点(1,2),又因为曲线)(x g y =在点（2，1）处的切线方程为5451+=x y ，所以a= 1,b = 2.18．求下列分段函数)(x f 的)(x f '，:)1(),0(f f ''（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0; x ,e 0, x ,1sin )(x x x f （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<<=.02- ,tan ,2x 0 ,arctan )(x x x x f ππ解：1) )(x f ' = .)1(.1(0), 0,0,cos 10e f e f x e x x x='=='⎪⎩⎪⎨⎧≥< 2)=')(x f.21111)1(.10cos 1)0(,02,sec 21,112222=+='=='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-<<+f f x x x x ππ19．求下列函数的导数：（1）;)15()53(53++=x x y （2）;41)23(23x x y ++= （3）;ln )ln(33x x y += （4）;12xx y += （5）);)(cos (sin x nx y n = （6）;11lnxx y -+=（7）;2tan ln x y = （8）;2cos 5x y = （9）;csc sec 22a x a x x y += （10）;1cot 2xx y +（11）;arcsin 12x x x y +-= （12）);ln(22222a x x a a x x y ++++= （13）;12arctan 2xxy -= （14）;1arccos 2xx y -= （15）;2xa ey -= （16）;xx x x e e e e y --+-=（17）;11arctanxxy +-= （18）;sin log 2x a e y =（19）;1ln 1arctan 22---=x x x y（20）b a a x u y x b ,()]([)(υ+=常数)(),(x x u υ可导）；（21）;x x x y ++= （22）;arcsin ln x y = （23）x xy cot )1(= （24）;)(sin cos x x y =（25）;x x y = （26）33224+++=x xx y（27）322)3(31x xx x y +--=（28）.)211(x xy -= 解：1)])15()53[(53'++='x y3452)53(*1)(5x *5*5 )15()53(*3*3+++++=x x x ;)15()53)(134120(42+++=x x x2)]41)23[(23'++='x x y322418*21)23(416x x x x x ++++=;41)1636(223xx x x +++=3).ln 11(311*)(ln 3131*1]ln )[ln(323232333xx x x x x x x y +=+='+='-- 4)322222)1(111221]1[x x x xx x xx y +=++-+='+='.5)]) nx)(cos [(sin n '='x yx n x nx x x n n n 1cos *)sin (sin cos cos --+=)cos sin sin cos (cos 1x x nx x nx n n n --=6).)1(1)1(2121*11]111[2x x x x xxxx xxxn y -=--+-+-='-+='7).csc sin 12cos 2sin 2121*2cos 1*2tan1]2tan 1[2x xx x x x x n y ===='='8).sin .2cos 4521*)2sin (2cos 5]2[cos 345x x x x x y -=-='='9)).cot csc tan (sec 2)sin 1cos 1(]csc 1[sec 222222ax a x a x a x a ax ax ax x y -='+='+=' 10).1csc 1cot 21*1sin 11cot 2]1cot [22222x x x xxx xx xx y +=--+='=' 11).12111221]arcsin 1[22222x x x x x x x x y -=-+--+-='+-='12)])ln([22222'++++='a x x a a x x y22222222222122ax x a x x aax x xa x ++++++++=.222a x +=13).12)1(22)1(2*)12(11]x-12xtan[2222222x x xx x x x arc y +=--+--+'='14)2222112)2(*arccos 1*11]1arccos [x x x x x x xx y -------='-=';11)1(a r c c o s 232x x x x ---=15);ln 2)2(*ln **][22222a exax a aeey xxxa x x a a ------=-='='16);)(4)()()(][2222x x x x x x x x xx x x e e e e e e e e ee e e y ------+=+--+='+-='17)2)1()11(*1121*1111]x 1x -1 tan[x x x xx x x arc y ++---+-+-+='+=';1212x--=18)x e e ae y x x x a 2**cos *ln sin 1]e sin [log 2222x ='=';c o t ln 222x x e xe a=19)]111x tan [22'---='x nx arc yxx x xx x x xx ln *11221122*11122222-------+=;)1(ln 32-=x x x20);)()()]([])]([[)(1)(na x v a x u x u b a x u y x v b x v b '+'='+='-21)]['++='x x x y)211(*211[*21xxx xx x +++++=;812422xx x x x x x x x x ++++++=22);arcsin 2121*11*arcsin 1]x arcsin[ln 2xx x xxxy -=-='='23) ]cot )1[('='x xy][c o t )1l n ('=x x e)]1(*cot *1ln)sin 1[*221lncot xx x x xe xx -+-=);cot ln (csc )1(2cot xxx x x x -= 24)])[(sin cos '='x x y][s i n ln cos '=x x ex]cos *sin xxcos sin x ln sin [*)(sin cos +-=x x x sin x);sin xln - x cos x (cot x)(sin cosx =25)x x y =，即x x y ln ln =，所以)(ln )(ln '='xxy ，即x x x xy y +='ln 21*1所以)2ln 1(xxxy x+='；26));242(24]24[322332332+-++++='++='x x xx x x xx x x x y27)];)9(39112[)3(31])3(31[2322322x x x x x x x x x x x x y --+-++--='+--='28)x x y )211(-=,即x xy )211ln(ln -=,所以 ])211[ln()(ln '-='x x y ,即])211ln([*1'-='xx y y 所以].21)211[ln()211(xx x x y x -+--='20．设)(x f 可导，求下列函数的导数：（1）; )()(x f x e e f y = （2）; )](sin[)(sin 22x f x f y += （3）; )1(arcsin xf y = （4）. )](arctan[x f y =解：1）])([)('='x f x e e f y)(**)(**)()()(x f e e f e e e f x f x x f x x '+'=)];()()('[)(x x x x f e f x f e f e e '+=2）))](sin[)(sin (22'+='x f x f y )(c o s )()(22s i n )(s i n 22x f x f x f x x f '+'=3）;1)1(arcsin )1(*111*)1(arcsin ])x 1sin ([222-'-=--'='='x x x f x xx f arc f y4）;f 1(x)f') tan[f(x)](2(x)+='='arc y21．设,12)(2x x x f -='求.])1([2'-x f 解：.21*1112)1(*)1(])1([222222-=--+--='--'='-xx xx x x f x f22．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=1 x 1),-sinb(x 1x ),ln()(22a x x f 在点1=x 可导，求b a ,.解：因为f(x)在1x =处可导，所以f(x)在1x =处一定连续.所以有⎪⎩⎪⎨⎧==='='+→→+--0)1()(lim )(lim )1()1(11f x f x f f f x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)1ln(01222a a b ，所以.2,0==b a23．设曲线2ax y =与x y ln =相切，求a .解：因为曲线2ax =y 与x y ln =在ex =处相切，所以)()(21x y x y '='，即xax 12=,所以ax 21=,此时21=y .所以an21121=,所以ea 21=.24．设)(x f 是可导周期函数，证明)('x f 也是周期函数.解：因为f(x)是可导周期函数，设T 为f(x)的周期，所以T)f(x f(x)+=,所以)()(T x f x f +'=',所以(x)f '也是周期函数。

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, ] 上成立； 2 2
1
3
1 cos 2 x 0 ,而 2 cos x 0 ；
3）不同，因为只有在 [

4）相同； 5)不同，因前者的定义域为 ( , 1) (1 , ) )，后者的定义域为 (1 , ) ；
1
om
，即 ( x0
a , x0 a
2
.c
f (b f ( x)
f ( x)
om
5
4）奇函数； f ( x) a x a x
a a
x
x
f ( x)
5）非奇非偶函数； f ( x) 定义域不关于原点对称 6）偶函数.
1 x x 0 f ( x) 1 x x 0
f ( x) x 4x x2
；
（2）y x5 2
（3）y x log 2 x ；
（4）y 1 3x 2 ．
A． f (a b)
f (a ) f (b)
Ｃ． f (a b) 解:C； ∵ ∴ ∵
f (a ) f (b)
f ( a b) f (a ) f (a b) f (b) ab a ab b 2 f (a b) f (a ) f (b) ab a a
6
om
1）原函数定义域为： (4 , 4)
y
2 π 0 2
2
2
-2
2
2
6
1

6
0 -1
6．在下列区间中，函数 f ( x) Ａ． (1 , 0) B． (0 , 1)
.k
sin 3 1 sin 3 2 x9 18
w
w
w
x 1
解： f ( x) 是基本初等函数的组合，在其定义域内是连续的。若要使 f ( x) 有界，则在其端点处极限值存在。
.k

（1） y x 与 y 10lgx ；
（2） y
1 cos2 x
w
（3） y arcsin(sinx) 与 y x ；
（4） y tan (arctanx) 与 y x ；（6） y lg 1 x 与 x lg(1 x) lg(1 x) ．
（1） sin 2 x ；（3） x cos x ；
（2） 3 sin 4 x ；（3） 2 cos x 3sin x .
2 3
解：1）是周期函数，因为 sin 2 ( x ) sin 2 x ,所以周期 T 。 2）是周期函数，因为 3 sin 4(x )
2
x

1 1 lg x
2x 1 7
（7） y
1 2x
arccos lg 1 x
；
（8） y
arccos
解： 1) 原函数若想有意义必须满足
( , 1) (1 , 4) . x 1 0
2)原函数若想有意义必须满足 5 x x
4
3)原函数若想有意义必须满足 1 x
4). y
y 2 25 x 2 x 25 y 2 0 y 5.
5). y
x 1 , x 0.
2 x , x 0.
6). y
2 x 1 , 0 x 1.
f (a ) f (b)
（2） x
x
x 4 1 tan x；
x
（4） a x a x ；
a a
（6） f ( x)
1 x ，x 0 ， 1 x , x 0 .
x 4 1 tan( x ) x x 4 1 tan( x) f ( x) x 2 1 x ) 1g 1 x 1 x
13．求下列函数的反函数及其定义域：（1） y
x3 ， x 1； x3
w w
（5） y
2
（3） y lg(1 - 2 x) , x 0 ；
x 1，x 0 ； x ， x 0 ；
.k
(x 1) x (1 7) y 3
w
解：1). Y(x - 1) x 3 ,
1 x
（5） y lg( x 2 1) 与 y lg( x 1) lg( x 1) ；
w
w
解：1)不同，因前者的定义域为 ( , ) ，后者的定义域为 (0 , ) ； 2)不同,因为当 x
k
((2k 2 ) , (2k 2 ) ) 时，
2
（4） y （6） y
y 1.
.c
，所以周期 T .
4 0 x 1, 1 x 2.
om
6
11．判别下列函数是否是周期函数，若是则求出其周期：
x 3 y7 yR
3). y lg(1 - 2x)
10 y 1 2x x
, x0
1 (1 10 y ) ．Y 0 ． 2 25 - x 2 ， 0 x 5
y (3) 8 .图略
2)原函数定义域为： ( , )
y (3) 1 3 y (0) 3 y (5) 9 y(5)＝-9.图略
5．利用 y sin x 的图形，画出下列函数的图形： (1) y sin x 1 ；（2） y 2 sin x ；
3）由题意去掉绝对值符号可得 x ,解得 a x a .即 (a , a ) ； 4）由题意去掉绝对值符号可得
ax x0
hd aw
,解得 x0
a x
1 x 1 , 3 x 5 . 即 ( 1 ，1 ) [3 , 5]
x 2 0 4)原函数若想有意义必须满足 x 3 0 ,可解得 5 x 0
.k

x 5)原函数若想有意义必须满足
hd aw
2
和
.c
4 x 0
x2 x 6
可解得
0 ,可解得
0 x 5 ,即 (0 , 5) .
1 x
0 ,可解得
y3 y 1
所以 x
, xR
2). y x 3 7
hd aw
x 的周期为 4 2 3
，而 sin x 的周期为 6 ，所以符合函数周期为 12 。
（2） y x3 7 ， x R ；
25 x 2 , 0 x 5 ；
2 x 1 , 2 ( x 2) ,
1 x 1 ,即 (1 , 1) .
2 x 3 ,即 [ 2 , 3 ] ( 3 , 5 ) ,3]. 3 x 5
2
4x 3 0
( x 3)( x 1) 0
,可解得
x 1 ,即 , 1 3 , x3
.k
ab 2 a x x 2 1 x)； x
w
（1） sinx cos x；（3） lg(
10．指出下列函数的奇偶性：
w
（5） coslgx ；
w
解：1）偶函数； f ( x) sin( x) cos( x) sin x cos x
x
2）奇函数； f ( x) x 3）奇函数； f ( x) 1g (
hd aw
B． f (a b) Ｄ． f (a b) 设ab则
f (a b) f (b) ab a a
9．设
在 (0 , ) 上单调减少， a , b 是任意正数，则有（C）．
∴ 2 f (a b) a b [ f (a) f (b)]
∴ f ( a b)
习题一（A） 1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：
（1） x 4 7 ；（3）（5）（2） 1 x 2 3 ；（4）（6）
x2 x 6 0 ；
x2 x 2 0 ．
解：
2）由题意去掉绝对值符号可得 3 x 2 1 或 1
.c
x 2 3 ，可解得
x0 a
. j 即 (3 , 11) . 可解得 3 x 11． 1)由题意去掉绝对值符号可得：7 x 4 7 ，
5）由题意原不等式可化为 ( x 3)( x 2) 0 , x 3 或 x 2 即 ( ， 2）（3，） . 6）由题意原不等式可化为 ( x 2)( x 1) 0 ,解得 2 x 1 .既 [2 , 1] . ２．判断下列各对函数是否相同，说明理由：
B． (1 , 1)
C． (2 , 1)
.c
D． (2 , 3) D． (3 , 0)
4
（3） y sin( x ) 是将 y sin x 向
移动个单值。
om

π
3
2π
解：7.C. 可画出函数图像判断，图略 8．指出下列函数单调增加和单调减少的区间：（1）y 解：（1）在 [0 , 2] 上，在 [2 , 4] 上；（2）在 ( , ) 上；（3）在 (0 , ) 上；（4）在 ( , 0) 上，在 (0 , ) 上．
x a ( 0) ；
ax x0 (a, 0) ；
)
与
2 cosx ；
6）相同 3．求下列函数的定义域（用区间表示）：（1） y lg(4 x) ；
x 1
（2） y （4） y ；（6） y 3
lg
5x x2 4
；
1
（5） y