清北学长精心打造——卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案(一)

清北学长精心打造——卓越自主招生数学模拟试题及参考答案(一)
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C.则sinB+cosB的取值范围是（）
A．(1，1+ B．[ ，1+ C．（1， D．[ ，
（1）求双曲线方程；
（2）设 为双曲线 右支上动点， 为双曲线 的右焦点，在 轴负半轴上是否存在定点 使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
12.（本小题满分14分）已知函数
（I）求
（II）已知数列 满足 , ,求数列 的通项公式;
(Ⅲ)求证: .
13.（本小题满分14分）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立.
综上所述，所证不等式成立.
(Ⅱ)证：当
而由（Ⅰ），
（Ⅲ）解：假设存在正整数 成立，
S= ……….(2)
(1)+(2)得:
= ,所以S=3012
( )由 两边同减去1,得
所以 ,
所以 , 是以2为公差以 为首项的等差数列,
所以
因为
所以
所以
>
13解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x即
记 ，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于 .
求得
当 时; ;当 时，
故双曲线 的方程为 ．
（2）假设点 存在，设 ．由（1）知，双曲线右焦点为 ．设 （ ）为双曲线 右支上一点．
当 时， ， ，因为 ，所以 ．
将 代入，并整理得， ．
于是 ，解得 ．
当 时， ，而 时， ，符合 ．
所以 符合要求．满足条件的点 存在，其坐标为 ．
12.解:( )因为
所以设S= （1）
（A） （B） （C） （D）
4.已知f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2007|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2007|（x∈R），且f(a2－3a＋2)＝f(a－1)．则a的值有（）.
（A）2个（B）3个（C）4个（D）无数个
5.平面上满足约束条件 的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两面三刀点的距离为（）
2.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是( )
A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/7
3．正四棱锥 中，侧棱与底面所成的角为 ，侧面与底面所成的角为 ，侧面等腰三角形的底角为 ，相邻两侧面所成的二面角为 ，则 、 、 、 的大小关系（）
即有（ ）+ ＝1.②
又由（Ⅱ）可得
（ ）+
+ 与②式矛盾，
故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.
故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；
9．（D）．10.C
解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的1/2，故①正确；
根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1上，故②正确；
第六个正三角形的边长为1/64，故顶点P6的横坐标为63/64，P5的纵坐标为 /2- /8- /16 =5 /16
从而顶点P6的纵坐标为5 /16 + /64 =21 /64，故C错误；
A． B． C． D．
6.若m、n∈{x|x＝a2×102＋a1×10＋a0}，其中ai∈{1，2，3，4，5，6，7}，i＝0，1，2，并且m＋n＝636，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为（）．
（A）60个（B）70个（C）90个（D）120个
7．数列 定义如下： .若 ，则正整数 的最小值为( ).
当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx.
(i)当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立；
（ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.
第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，xn= ，则 ，故D正确．
11.（1）由双曲线离心率为2知， ， ，双曲线方程化为 ．
又直线 方程为 ．由 ，得
．①
设 ， ，则 ， ．
因为 ，所以 ， ．
结合 ，解得 ， ．代入 ，得 ，化简得 ．又
且 ．
所以 ．此时， ，代入①，整理得 ，显然该方程有两个不同的实根． 符合要求．
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)
（3）存在m= ，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性
,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。
若 ，则 ，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;
若 ,由 可得2x2-m>0，解得x> 或x<- （舍去）
参考答案
1．C 2.B
3.A
4.解：由题设知f(x)为偶函数，则考虑在－1≤x≤1时，恒有
f(x)＝2×(1＋2＋…＋2007)＝2008×2007．
所以当－1≤a2－3a＋2≤1，且－1≤a－1≤1时，恒有f(a2－3a＋2)＝f(a－1)．
由于不等式－1≤a2－3a＋2≤1的解集为≤a≤，不等式－1≤a－1≤1的解集为0≤a≤2．因此当≤a≤2时，恒有f(a2－3a＋2)＝f(a－1).故选（D）．
7.A 8.B解：首先看图形中的ห้องสมุดไป่ตู้，5，9，有3种可能，当1，5，9，为其中一种颜色时，
2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．
4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关．
当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况，符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种，
故 时，函数的单调递增区间为( ,+∞)
单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0, )，单调递增区间是( ，+∞)
故只需 = ，解之得m= 即当m= 时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。
14解（1）
又
（2）
为等腰三角形，
15解：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
A 4025 B 4250 C 3650 D 4425
8.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为
的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )
A 96 B 108 C 112 D120
9．设an=2n，bn=n，（n=1，2，3，。。。），An、Bn分别为数列{an}、{bn}的前n项和。记cn=anBn+bnAn—anbn，则数列{cn}的前10项和为（）
14.（本小题满分14分）在△ABC中，设A、B、C的对
边分别为a、b、c向量
（1）求角A的大小；
（2）若 的面积.
15．（本小题满分14分）已知m，n为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知 ，求证 ，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.
5．（B）．
6.解：由6＝5＋1＝4＋2＝3＋3及题设知，个位数字的选择有5种.因为3＝2＋1＝7＋6－10，故（1）由3＝2＋1知，首位数字的可能选择有2×5＝10种；（2）由3＝7＋6－10及5＝4＋1＝2＋3知，首位数字的可能选择有2×4＝8种.于是，符合题设的不同点的个数为5×(10＋8)＝90种.故选（C）．
故 在x=e处取得极小值，也是最小值，
即 ，故 .
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。
令g(x)=x-2lnx,则
当 时， ,当 时，
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在 上是单调递增函数。
故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
C第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点 的坐标是 ；
D第 个正三角形的不在第 个正三角形边上的顶点 的横坐标是 ．
2、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11.（本小题满分14分）已知双曲线 ： （ ， ）的离心率为2，过点 （ ）斜率为1的直线 交双曲线 于 、 两点，且 ， ．
A．210+53B.211+53 C.110×（29－1）D.110×（210－1）
10如图，以 、 为顶点作正 ，再以 和 的中点 为顶点作正 ，再以 和 的中点 为顶点作正 ，…，如此继续下去．则下面选项中错误的是( )