7.2.2 二重积分计算(极坐标〕
极坐标计算二重积分
设积分区域 D为平面有界区域, 并且从原点发出的 射线与D的边界线交点不多于两个, 则区域D被分割情形 见下图.
图中分割的其中一小块的面积为
1 (r r)2 1 r 2
2
2
y
rr 1 (r)2 .
2
略去高阶无穷小 1 (r)2 , 则有
.
y
2
2
x2 y2dxdy
2 d
2acos r 2dr
0
0
D 2a
D
O
2
2 (2a cos )3d
30
x
32 a3. 9
例4
求
2a
a a2 x2
2 dx
xdy (a>0).
0
x
解 积分区域D见图, 采用极坐标计算,
原式 =
2a sin
2
d
0
r cos rdr
4
2 4
8 3
a3
sin3
cos
d
8 a3 1 sin4 2
34
4
1 a3. 2
y
D
O
2a x
2
例5 求 e x2 dx 的值. 0
解 考虑区域D: 0 x +, 0 y +, 记
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
2
0
d
2
0
f
(r
cos
,
r sin ) r
二重积分的极坐标计算方法
D
g1 ( )
iv) 视 为参数，先对 r 计算内层定积分; 再对 计算外层定积分。
例 计算二重积分：
x2 y2
d
D 4a2 x2 y2
，其中 D 是由曲线
y a a2 x2 (a 0)
和直线 y = - x 围成的区域。（2000年考研数学试题）
解：区域 D 如图所示.
y
D
易见，D { (x, y) 0 x 1 , 0 y 1 x }
{ (r, ) 0 , 0 r
1
}
2
sin cos
x
1
y
2
sin cos
sin
e xy d d e rdr sin cos
y2 d
2
d
1 0
r dr 1 r2
1 0
r dr 1 r2
1 2
ln(1
r
2
)
1 0
ln 2
2
;
2
I2
D
-2 -1
1
2
D { (r, ) 0 ，0 r 4sin }
直径为 1 ，圆心在点 (0 ，1) 处的上偏心圆右半部
2
1
D { (x, y) x2 ( y 1)2 1 且 x 0 }
24
0.8
{ (r, ) 0 ，0 r f ( ) }
5. 二重积分在极坐标系下的累次积分公式
g2 ( )
f (x, y) d f (r cos,r sin )r dr d d f (r cos ,r sin )r dr
二重积分的极坐标计算方法
二重积分的极坐标计算方法二重积分是微积分学中的一个概念，它是一种二元函数的积分。
极坐标是一种用于描述平面内一个点位置的坐标系，它由极角和极径组成。
在计算二重积分时，极坐标计算方法是一种常用的方法，它可以将二重积分转化为一个简单的积分形式，从而简化计算。
首先，我们需要将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标下的二重积分。
在直角坐标系下，二重积分的一般形式为：$\iint_{R} f(x,y) dxdy$其中，$f(x,y)$是定义在区域$R$上的被积函数，$dxdy$是$R$上的面积元素。
在极坐标下，二重积分的一般形式为：$\iint_{R} f(\rho,\theta) \rho d\rho d\theta$其中，$f(\rho,\theta)$是定义在区域$R$上的被积函数，$\rho d\rho d\theta$是$R$上的面积元素。
接下来，我们需要将极角$\theta$和极径$\rho$表示为关于直角坐标系下的$x$和$y$的函数。
在直角坐标系下，$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$，$\theta=\arctan\frac{y}{x}$。
在极坐标下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$。
因此，我们可以得到：$\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=r$$\theta=\arctan\frac{y}{x}=\arctan\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}=\frac{\theta}{2}$因此，我们可以将极角$\theta$和极径$\rho$表示为关于直角坐标系下的$x$和$y$的函数：$\rho=r$，$\theta=\frac{\theta}{2}$。
最后，我们将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标下的二重积分：$\begin{aligned} &\iint_{R} f(x,y) dxdy \\ =&\iint_{R} f(\rho,\theta) \rho d\rhod\theta \\ =&\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho,\theta) \rhod\rho d\theta \end{aligned}$其中，$\varphi_1$和$\varphi_2$是极角$\theta$的上下限，$\rho_1$和$\rho_2$是极径$\rho$的上下限。
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式
极坐标系是一种曲面积分的特殊形式，也就是在极坐标系中求解二重积分。
极坐标系由一个极轴和一个极角组成，极轴表示离极点距离，极角表示极轴和x轴之间的夹角。
在极坐标系中，求二重积分就是求解沿极角方向极轴上离极点的距离，以及沿极轴方向极角夹角上离极点的距离之间的关系。
二、极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分的公式是：
∫∫f(ρ,θ)dρdθ =f(ρcosθ,sinθ)ρdρdθ
其中，ρ是极轴，θ是极角，f(ρ,θ)表示由极坐标系决定的被积函数，ρdρdθ表示极坐标系下的元素。
三、求二重积分的过程
（1）设定极坐标系中的被积函数f(ρ,θ)：
f(ρ,θ)=ρ^2sin^2θ
（2）根据极坐标求二重积分公式，求解二重积分：
∫∫f(ρ,θ)dρdθ =∫ρ2sin2θρdρdθ
=∫ρ3sin2θdρdθ
（3）确定积分的边界：
ρ的上下限分别为ρ1，ρ2；θ的上下限分别为θ1，θ2。
（4）求解二重积分：
∫∫ρ3sin2θdρdθ=ρ2[-cos2θ]ρ2ρ1dθ= -1/2∫(ρ
2^2-ρ1^2)cos2θdθ
= 1/4(ρ2^2-ρ1^2)[sin2θ2-sin2θ1]
四、总结
极坐标求二重积分公式是一种将曲面积分表示成在极坐标系中求解二重积分的方法。
求解时，首先设定被积函数，然后使用极坐标求二重积分公式，最后确定积分的边界，从而求解出结果。
极坐标求二重积分公式可以求解不同类型的曲面积分，是一项重要的数学解题方法。
二重积分在极坐标下的计算法
S
14
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
S
e d 又
(x2 y2 )
S
从而 ( 1 eR 2 )
4
( 1 e2R 2 )
4
令R ,则 ( 1 eR 2 ) , ( 1 e2R 2 ) .
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
D
利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有
用的广义积分——Possion积分.
e x2 dx .
0
2
12
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) . e x2 dx .
x2 y2 a2
0
2
解 记 I ex2 dx ,则 0
(2)尽量少分块或不分块.
11
内容回顾
但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分 次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序， 则需交换积分次序. 交换积分次序的一般步骤： 1、依据积分限作出积分区域D 的图形. 2、将二次积分转化为二重积分. 3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分
1 2
er2
)
a 0
(1 ea2 ) . 11
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) .
二重积分极坐标计算公式
二重积分极坐标计算公式
极坐标系，又称径向直角坐标系或极坐标直角坐标系，是它以极点作为坐标原点，以极轴为坐标轴的坐标系统，常用来表示圆周上的点?；〔?。
一般记为极坐标系（Ｒ，θ），其中Ｒ表示点到极点的线段的长度，而θ表示该线段与正x轴的夹角。
二重积分极坐标计算公式是指通过极坐标系计算二维图形的解
析积分公式。
以极坐标的形式表示边界上的函数，可以将复杂的二维积分问题转换为一元积分，从而计算出数值解。
一般而言，在极坐标系中，二重积分极坐标计算公式可以表示为：∫∫F(x,y)dxdy=∫∫f(ρ,θ)ρdρdθ
其中，F(x,y)为原函数，ρ = x2 + y2，f(ρ,θ) = F(x,y)。
以上表示的是由F(x,y)表示的函数f(ρ,θ)在极坐标系中的二
重积分计算公式。
它表明，在计算二维函数积分时，可以把复杂的函数积分表示为在极坐标系中的一维函数积分，从而求解出二维图形的数值解。
极坐标计算公式是有效的高效算法，在数学和计算机科学等领域有广泛的应用。
在计算复杂的多维函数时，极坐标计算公式可以大大减少计算的复杂性，提高计算的运行效率。
此外，极坐标计算公式还可用于解决多维空间中的各种物理问题，如爆炸波在多维空间内的传播特性，电磁场中电压场和力场的表示，以及气动力学问题中流体动量守恒方程的求解等等。
总之，极坐标计算公式是一种非常有用的计算方式，它的应用既
可以减少计算的复杂性，又可以解决多维空间中的各种物理问题。
二重积分极坐标计算公式
二重积分极坐标计算公式二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算在二维区域上的一些函数的平均值、面积、质心等数值特征。
极坐标系统是一种常用的描述平面点的坐标系，由径向和角度两个坐标变量组成。
在极坐标下，二重积分有一套特定的计算公式。
一、极坐标变换在直角坐标系下，点P的坐标为(x,y)，在极坐标系下，P的坐标可以表示为(r,θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P到正半轴的角度。
我们可以通过以下公式将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标下的二重积分：∬R f(x, y) dxdy = ∬D f(rcosθ, rsinθ) r drdθ其中，R为直角坐标系下的二维区域，D为其对应的极坐标系下的二维区域。
f(x,y)为被积函数。
二、极坐标下的积分区域在极坐标下，二重积分的积分区域通常是一个由两个角度θ1和θ2以及两个径向r1和r2确定的扇形区域，可以表示为：D={(r,θ)，r1≤r≤r2,θ1≤θ≤θ2}其中，r和θ的取值范围由具体问题决定。
三、极坐标下的积分公式在极坐标下，二重积分的计算公式包括被积函数的转换、积分区域的确定和积分的计算三个部分。
具体的计算步骤如下：（1）将被积函数f(x, y)转换为极坐标下的形式f(rcosθ, rsinθ)，并根据具体问题进行简化和化简。
（2）确定积分区域D的极坐标表达式，即确定r的取值范围和θ的取值范围。
（3）将被积函数f(rcosθ, rsinθ)乘以极坐标的雅可比行列式r，并根据r和θ的取值范围进行积分计算。
具体的计算公式如下：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(rcosθ, rsinθ) r drdθ四、极坐标下的面积计算二重积分在极坐标下的一个重要应用是计算二维区域的面积。
对于一个在极坐标下表示的简单闭合曲线，其面积可以通过以下公式进行计算：A=1/2∬Dr^2dθ其中，A为二维区域的面积，D为二维区域在极坐标下的表示，r为点到极坐标原点的距离。
极坐标系中二重积分的计算
极坐标系中二重积分的计算
在极坐标系中，一个点的坐标可以用极径r和极角θ来表示。
极径r表示点到原点的距离，极角θ表示点与极轴的夹角。
可以将一个点的坐标表示为(r,θ)。
与直角坐标系不同的是，极坐标系下的点坐标是一个二维向量。
二重积分的计算可以分为两个步骤：确定积分区域并设置积分限，然后设置适当的被积函数进行计算。
1.确定积分区域和设置积分限：
积分区域可以是极坐标系下的曲线、圆或其他形状。
为了计算二重积分，需要将积分区域映射到适当的极坐标系下。
通常，极坐标系下的积分区域可以被描述为一个极角θ和极径r的范围。
积分限的选择取决于积分区域。
通常，通过将积分区域分解为适当的极径及极角的范围，并在这些范围内对被积函数进行积分。
2.设置被积函数进行计算：
被积函数可以是任何依赖于(r,θ)的函数。
在极坐标系下，需要考虑坐标系变换的雅可比行列式。
在进行二重积分时，需要将被积函数乘以雅可比行列式r。
雅可比行列式是描述坐标系变换的因素，它将直角坐标系下的积分变换为极坐标系下的积分。
雅可比行列式r的表达式为r dr dθ。
通过将积分区域分解为适当的极径r和极角θ的范围，并对被积函数进行积分，可以求得二重积分的结果。
需要注意的是，极坐标系下的二重积分计算可能会比直角坐标系下的二重积分计算复杂一些，因为极坐标系下的被积函数和积分限都需要经过适当的变换。
总结起来，极坐标系中二重积分的计算包括确定积分区域和设置积分限，以及设置适当的被积函数进行计算。
这种计算方法可以简化复杂曲线或图形的积分计算过程，使得计算更加简单和直观。
二重积分在极坐标下的计算方法
二重积分在极坐标下的计算方法二重积分是数学中的一种重要的积分形式，广泛应用于物理、工程和统计学等领域。
在极坐标系下，二重积分的计算可以更加简便，特别是当积分区域是以原点为中心的圆形或者圆环形时。
在极坐标系下，二重积分的计算方法主要涉及到以下几个步骤：1. 确定积分区域：首先需要确定积分区域在极坐标下的表示形式。
若积分区域是以原点为中心的圆形，则可表示为$0leq r leq R$，$0leq theta leq 2pi$，其中$R$为圆的半径；若积分区域是以原点为中心的圆环形，则可表示为$r_1leq r leq r_2$，$0leq theta leq 2pi$，其中$r_1$和$r_2$分别为内圆和外圆的半径。
2. 确定被积函数：将被积函数表示为极坐标下的形式，即$f(x,y)$转化为$f(r,theta)$。
3. 确定积分限：将被积函数$f(r,theta)$乘以积分元素$rmathrm{d}rmathrm{d}theta$，并在积分区域上进行累加，最终得到二重积分的值。
根据积分区域的不同，积分限的确定也会有所不同。
例如，对于以原点为中心的圆形区域内的二重积分，其计算公式为：$$iint_D f(x,y)mathrm{d}xmathrm{d}y = int_0^{2pi}int_0^Rf(rcostheta,rsintheta)rmathrm{d}rmathrm{d}theta$$其中，$R$为圆的半径。
对于以原点为中心的圆环形区域内的二重积分，其计算公式为：$$iint_D f(x,y)mathrm{d}xmathrm{d}y =int_0^{2pi}int_{r_1}^{r_2}f(rcostheta,rsintheta)rmathrm{d}rmathrm{d}theta$$其中，$r_1$和$r_2$分别为内圆和外圆的半径。
总之，二重积分在极坐标下的计算方法相对简便，而且适用于一些特殊的积分区域，如圆形和圆环形区域。
极坐标的二重积分
极坐标的二重积分极坐标的二重积分是数学中的一种重要概念，广泛应用于物理学、工程学以及其他科学领域。
本文将为读者详细介绍极坐标的二重积分，并解释其在实际问题中的意义与应用。
首先，我们来了解一下极坐标的基本概念。
相比于直角坐标系，极坐标系使用极径和极角来描述点在平面上的位置。
对于一个点P，它的位置可以由一个由极径r和极角θ组成的有序对(r, θ)来表示。
而在直角坐标系中，点P可以由一个由x和y坐标组成的有序对(x, y)来表示。
两个坐标系之间可以通过以下公式相互转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)在极坐标系中，像前面提到的二重积分，用来表示平面上某个区域内函数的平均值、面积等性质。
极坐标下的二重积分可以看作在极坐标系中对函数进行对应区域的积分。
要计算极坐标下的二重积分，我们首先要确定积分区域。
通常情况下，我们可以通过极坐标系下的等角度线和等极径线的交点所形成的闭区域来表示我们需要积分的范围。
这个闭区域可以通过一个极角范围θ1到θ2和一个极径范围r1到r2来确定。
接下来，我们需要将被积函数转换到极坐标系下。
利用前面提到的坐标转换公式，我们可以将函数表达式中的x和y替换为r和θ，从而得到关于极坐标变量的表达式。
一旦我们确定了积分区域和被积函数的极坐标表达式，就可以开始计算极坐标下的二重积分了。
在实际计算中，我们可以按照以下步骤进行：1. 将被积区域划分为多个小区域，通常采用极坐标圆环或楔形区域。
2. 对每个小区域进行积分运算，计算每个小区域上的被积函数值在该区域面积上的加权平均值，并将这些值相加。
3. 对所有小区域的积分结果进行求和，得到最终的二重积分结果。
这个结果代表了被积函数在整个积分区域上的平均值。
极坐标的二重积分在物理学和工程学中有着广泛应用。
比如，当我们需要计算平面上某个区域内的电荷分布、流体流动或者其他物理量时，可以使用极坐标下的二重积分来精确描述和计算。
怎样在极坐标系下计算二重积分
图一怎样在极坐标下计算二重积分在计算二重积分的时候，如果用直角坐标不好计算，这是就要考虑换元法.我们经常使用的一种换元，就是在极坐标.常见的情况是被积函数用极坐标表示比较简单，比如函数形为)(22y x f +或()x f y；再者就是积分区域是圆域或者圆的一部分.下面我们通过一个例子了解极坐标下怎么计算二重积分.例题. 计算22d d Dx yx y x y ++∫∫ ,其中22:1,1D x y x y +≤+≥. 1）画出积分区域图(见图一,千万不要画错或者选错了积分区域！！). 2) 确定积分顺序.理论上可以有两个顺序选择,但实际上我们习惯于先r 后θ积分.所以不妨先把积分写成如下形式:222cos sin d d d d D Dx yr r x y r r x y r θθθ++=⋅+∫∫∫∫ (cos sin )d d Dr θθθ+∫∫(cos sin )d d r θθθ+∫∫.这样就把二重积分写成了一个极坐标系的二次积分，积分限待定. 需要强调的是,将直角坐标换成极坐标时候,被积函数里多出一个r (很容易给漏掉啊！！). 3) 确定积分限. 首先确定θ的范围. 可以想像一个守夜人,保护一批重要物资. 这个守夜人在原点处高塔里,而物资在积分区域处(见图二). 每隔一段时间,他就要用探照灯把高塔周围扫描一遍,也就是扫描一周. 后来他发现也许不用那么辛苦,只需扫描物资所在的那个小区域也是可以的. 好,我们看看他是怎么扫描的: 逆时针旋转探照灯,当灯光刚刚接触区域边界时(不管是和区域边界重合,还是相切,抑或是相交),记下此时光线与x 正向的夹角---θ积分下限. 继续旋转探照灯,当灯光要离开这个区域时(可能与区域边界重合、相切或者相交)，记下光线与x 正向的夹角---θ积分上限. 以后他就在这条线之间，来回扫射就可以了. 回到本题，可以看出θ的下限是0,上限是2π. 所以就有22d d Dx yx y x y +=+∫∫2(cos sin )d d r πθθθ+∫∫.图二还有r 的积分限要确定. 让我们的守夜人出场, 继续看看他的扫描. 打开探照灯,对着区域. 固定一束光线,假设光线与x 正向的夹角是θ(见图三).光线穿过区域,自然在该区域留下痕迹---一段连续光线(图中两个红点之间的线段),标明起点和终点.很明显起点在曲线1x y +=上,将cos ,sin xr y r θθ=代入,就有cos sin 1r r θθ+=,解出1cos sin r θθ=+,这里1cos sin θθ+就是r 的积分下限;终点在曲线221x y +=上,依然将cos ,sin x r y r θθ=代入,得21r =,即1r =,这里的1就是r 的积分上限. 所以22d d Dx yx y x y +=+∫∫1210cos sin (cos sin )d d r πθθθθθ++∫∫.下面先对r 积分,其结果与前一个积分里本来就有的函数乘在一起,只要把这个被积函数积出来就好了.22dd Dx yx y x y +=+∫∫1210cos sin (cos sin )d d r πθθθθθ++∫∫201(cos sin )(1)d cos sin πθθθθθ=+−+∫20(cos sin 1)d 22ππθθθ=+−=−∫.到这里我们就把这个问题解决了. 总结一下极坐标计算二重积分方法步骤: 1) 画出积分区域图; 2) 把二重积分写成d (cos ,sin )d f r r r r θθθ⋅∫∫形式;3) 确定θ的积分限. 站在原点，用探照灯逆时针旋转着照射积分区域，能照到而且刚好照完区域时θ的范围，相应的可以写成上下限； 4) 确定r 的积分限. 从原点出发引一条射线穿过积分区域, 那么射线就会被区域截下一条线段. 把这条线段的起点应该在积分区域的边界上,写出边界的的方程,如果是直角坐标形式,就将cos ,sin xr y r θθ=代入,并整理成()r ϕθ=的样子,这个()ϕθ就是r 的下限;类似的线段的终点所在的边界线也极坐标表示为()r ψθ=，图三这里()ψθ就是r的上限;5)求解二次积分()()d(cos,sin)df r r r rβψθαϕθθθθ⋅∫∫.大家可以通过一下几个题目体会一下. 请将以下二重积分(,)d dDf x y x y∫∫化成极坐标下的二次积分的形式,其中积分区域D如下图所示:参考答案:1)2100d(cos,sin)df r r r rπθθθ⋅∫∫;2)2sec csc400d(cos,sin)df r r r rπθθθθθ⋅∫∫;3)32sin43csc4d(cos,sin)df r r r rπθθπθθθ−⋅∫∫;4)2sec41arctan4d(cos,sin)df r r r rπθθθθ⋅∫.注：图中的红色箭头与小圈只是为了方便确定r的积分限所作，没有其他含义.4)1) 2)3)。
-二重积分在极坐标下的计算法及应用
rk rk
k
1 2
rk2
k
rk rk k
又rkkxy
k
r cos rksinrk
所以面积元素为 d r dr d
f (x, y) d f (r cos, r sin ) r drd
D
D
6
二、极坐标系下二重积分的计算公式
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
D
y
半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解 用极坐标计算,
e x2 y2dxdy er2 rdrd
Hale Waihona Puke raoax
D
D
2
d
a er2 r dr
2
d
a er2 rdr
0
0
0
0
2 [ 1 2
a er2 d(
0
r2 )]
2
(
4
44
4
由夹逼准则,
即
I ex2 dx .
0
2
15
sin( x2 y2 )
例2 计算二重积分
D
dxdy , x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
y
二重积分计算极坐标
二重积分计算极坐标二重积分是多元函数积分的一种形式，其结果是一个数值，表示在给定区域上函数值的加权平均值。
而极坐标是一种在平面上描述点位置的坐标系统，其基于极径和极角来确定点的位置。
在计算二重积分时，使用极坐标可以简化计算过程，并使得积分变得容易和直观。
具体来说，可以通过将二重积分在直角坐标系下的积分区域转换为极坐标系下的极坐标区域，从而简化积分的计算。
假设要计算一个二重积分 $\iint_D f(x,y) dA$，其中 $D$ 表示积分区域， $f(x,y)$ 表示被积函数。
在极坐标系下，一个点 $(x, y)$ 可以表示为 $(r \cos \theta, r \sin \theta)$，其中 $r$ 是点的极径，$\theta$ 是点的极角。
要从直角坐标系转换到极坐标系，需要注意以下几个方面：1.积分区域的边界方程：在直角坐标系下，积分区域$D$可以由一组边界方程来描述，如$y=g_1(x),\y=g_2(x),\x=h_1(y),\x=h_2(y)$。
在极坐标系下，这些边界方程需要用极坐标来表示。
极坐标下的边界方程会涉及到极径和极角的范围。
常见的边界方程有$r = g(\theta)$，$r_1 \leq r \leq r_2$，$a \leq \theta \leq b$。
2. 面积元素的变化：在直角坐标系下，面积元素 $dA = dx \cdot dy$。
在极坐标系下，面积元素 $dA$ 可以表示为 $r \cdot dr \cdotd\theta$。
这是因为在极坐标下，微小面积元素可以看作是一个弧长乘以一个弦长，即 $ds \cdot r$。
而微小弧长 $ds$ 可以表示为 $r \cdotd\theta$，微小弦长 $dr$ 则对应于直角坐标系下的微小变化 $dx$ 或$dy$。
所以，$dA = ds \cdot r = r \cdot d\theta \cdot r = r \cdot dr \cdot d\theta$。
二重积分的极坐标计算方法
二重积分的极坐标计算方法二重积分是微积分中的重要概念，常用于求解平面区域内某个量的总量或平均值。
在一般情况下，二重积分的计算方法可以采用直角坐标系或极坐标系。
本文将详细介绍以极坐标为基础的二重积分计算方法。
一、极坐标系的基本概念极坐标系是一种平面直角坐标系的变换形式，它以极径$r$和极角$\theta$作为坐标轴。
极径$r$表示点$(x,y)$到原点的距离，极角$\theta$表示点$(x,y)$与$x$轴正半轴的夹角。
在极坐标系中，点$(x,y)$与点$(r,\theta)$是一一对应的关系，它们之间的转换公式为：$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$$$$r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) $$二、极坐标系下的二重积分在极坐标系下，二重积分的计算方法与直角坐标系有所不同。
对于平面区域$D$内的函数$f(x,y)$，它在极坐标系下的表示形式为$f(r\cos\theta,r\sin\theta)$。
因此，二重积分的积分区域$D$可以表示为$r$和$\theta$的范围：$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{\theta_1}^{\theta_ 2}\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mat hrm{d}r\mathrm{d}\theta$$其中，$r_1(\theta)$和$r_2(\theta)$分别表示以$\theta$为极角的两条极径所在的方程，$\theta_1$和$\theta_2$分别表示积分区域$D$在极坐标系下的极角范围。
需要注意的是，积分区域$D$必须满足以下条件：1. $r_1(\theta)\leq r\leq r_2(\theta)$，$\theta_1\leq\theta\leq\theta_2$；2. $D$是一个简单闭曲线所围成的区域；3. $f(x,y)$在$D$上连续或可积。
二重积分的极坐标计算方法
0
0
e 1 et sin tdt e 1 I ,
0
I 1 (e 1) 原式 e I (1 e ) .
2
2
y
例 计算二重积分 I e xy d ，其中 D 由直线 x = 0 , y = 0 与
x + y = 1 所围成。 D
D { (r, ) 0 , 0 r 1 }
4
cos
D 由直线 y x , y 4 , 及 x 0 围成的平面区域。
4
D
yx
4
D D { (x, y) 0 x 4, x y 4 } x
D { (r, ) , 0 r f ( ) }
D { ( r, ) , g1( ) r g2 ( ) }
iii) 把二重积分化为极坐标下的累次积分（先积 r 后积 的内外两个 定积分）;
g2 ( )
f (x, y)d d f (r cos , r sin ) r dr
1
2
2 1
-2
-1
-1
-2 2
1
D
-2
-1
-1
-2
4. 平面区域的极坐标表示法实例
圆盘 D { (x, y) x2 y 2 4 }
将平面区域视为分布在某个角度内的
1
2
无穷条射线（段）束的组合
D { (r, ) 0 2 , 0 r 2 }
扇形 D { 半径为 1 ，夹角为 ，起始角度为 }
xy
y
2
d
,
其中 D { (x, y) x2 y2 1 , x 0 } (2006 年考研试题）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
上一页 | 首页 | 下一页
March 27, 2012
直角坐标 圆
极坐标
2
x + y =a
2 2
r=a
简单
复杂
r
( r ,θ )
a
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics March 27, 2012
直角坐标 圆 或
2 2 2
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics March 27, 2012
I R = ∫∫ e
2
D
− ( x2 + y 2 )
dxdy
D2
Q ∴
D1
D1 ⊂ D ⊂ D2
− ( x2 + y 2 )
e
− ( x2 + y 2 )
>0
D1
D
R
2R
e ∫∫
dxdy ≤ I R ≤ e ∫∫
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics March 27, 2012
R
I R = ∫∫ e
2
D
− ( x2 + y 2 )
dxdy
D2
D1
D
R
2 R
D1 = {( x, y ) | x + y ≤ R , x > 0, y > 0}
2 2 2
D2 = {( x, y ) | x + y ≤ 2 R , x > 0, y > 0}
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
r2 (θ )
r1 (θ )
f (r cosθ , r sin θ )rdr.
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics
一般采用： 一般采用：先 r 后θ
March 27, 2012
z = F ( r ,θ )
A(θ )
r = r1 (θ )
θ =θ
∆r
∆θ
O
r =r
r = r + ∆r
≈ r ∆r ∆θ = dσ
March 27, 2012
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics
dσ = r ∆r ∆θ = rdrdθ
dσ = rdrdθ
极坐标下的面积元素
dxdy = rdrdθ
∫∫
D
f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ ) rdrdθ
r = 2 R cosθ
r D:−
2R
π
2
≤θ ≤
π
2
O
θ
x
D
0 ≤ r ≤ 2 R cos θ
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics March 27, 2012
∫
π
0
dθ ∫
2
2 R sin θ
0
f (r cos θ , r sin θ ) rdr
D : x + y ≤ 2 Ry
直角坐标 圆域 D： ：
极坐标
x + y ≤ 2ay
2 2
D : 0 ≤ r ≤ 2a sin θ
0 ≤θ ≤π
2a
r = 2a sin θ
D
( r ,θ )
r
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics March 27, 2012
θ
直角坐标 圆环域D： 圆环域 ：
θ = θ + ∆θ θ =θ
∆σ
∆θ
∆r
r = r + ∆r
O
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics
r=r
March 27, 2012
θ = θ + ∆θ θ =θ
∆σ
∆θ 2 2 = ⋅π [(r + ∆r ) − r ] 2π ∆θ 2 = ⋅[2r ∆r + (∆r ) ] 2 1 2 = r ∆r ∆θ + (∆r ) ∆θ 2
0
2 2 2
R
D:x + y ≤ R
y
D : 0 ≤ θ ≤ 2π 0≤r ≤ R
r=R
D θ
O
r
R
x
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics March 27, 2012
∫
2π
0
2
dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ ) rdr
a
2 2 2
b
D:a ≤ x + y ≤b
y
D : 0 ≤ θ ≤ 2π
D θ
O
a≤r ≤b
a
b
x
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics March 27, 2012
∫ π dθ ∫
2 − 2
π
2 R cos θ
0
f (r cos θ , r sin θ ) rdr
D : x + y ≤ 2 Rx
2 2
y
极坐标
2
( x − a) + y = a
2 2
x + y = 2ax
2 2
r = 2a cosθ
( r ,θ )
r
r cosθ = 2a
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics
θ
2a
March 27, 2012
直角坐标 圆 或
极坐标
2
x + ( y − a) = a
2
y
2R
D :0 ≤θ ≤π 0 ≤ r ≤ 2 R sin θ
r = 2 R sin θ
r
D
θ
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics
O
March 27, 2012
x
例
∫∫ e
D
2
− x2 − y2
dxdy
2
D : x + y ≤ R , x ≥ 0, y ≥ 0
D
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics March 27, 2012
二重积分化为二次积分的公式
D :α ≤θ ≤ β
r = ϕ1 (θ)
r = ϕ2 (θ)
r1 (θ ) ≤ r ≤ r2 (θ )
β
o
α
D
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
2
R
解 在极坐标下 D :
0 ≤ r ≤ R 0 ≤θ ≤
π
0 0
π
2
∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy = 2 dθ R e − r 2 rdr ∫ ∫
2
1 R −r2 π − x2 R π 2 = ⋅ (− ) ∫ e d (−r ) = [e ]0 = (1 − e− R ). 4 2 2 0 4
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics March 27, 2012
π
例 分析
求广义积分
I = ∫0 e
+∞
− x2
dx
∫
+∞
0
e
− x2
lim dx = R→+∞
∫
R
0
e
− x2
dx
O
R
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics March 27, 2012
7.2.2 利用极坐标计算二重积分
Double integrals in polar coordinates
March 27, 2012 College of Mathematics
x = r cosθ y = r sin θ
r
( x, y ) ( r ,θ )
r= x +y
2
2
y
θ
y θ = arctan x
dx =
由于
e
− x2
的原函数不是初等函数
不能用Newton-Leibniz计算定积分 计算定积分 不能用
∫
R
0
e
− x2
dx
下面借助二重积分来求解
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics March 27, 2012
I = ∫0 e
令
+∞
− x2
lim dx = R→+∞ ∫ e
θ =β
θ =θ
r = r2 (θ )
O
D θ =α
A(θ ) = ∫
r2 (θ )
r1 (θ )
f (r cosθ , r sin θ )rdr
College of Mathematics March 27, 2012
上一页 | 首页 | 下一页
D: α ≤θ ≤ β
D
r = r (θ )
0 ≤ r ≤ r (θ )
θ =β
r = r2 (θ )
D
θ =α
O
β α
r = r2 (θ )
上一页 | 首页 | 下一页
College of Mathematics March 27, 2012