二次函数专题讲座-
二次函数核心内容精讲
二次函数核心内容精讲二次函数是数学中一种常见的函数形式，它的表达式可以写作f(x)= ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，而且a不等于零。
本文将围绕二次函数的定义、图像、性质和应用等方面进行精讲。
一、定义二次函数是以x的平方项为最高次幂的多项式函数。
通常写作f(x)= ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于零。
二、图像二次函数的图像是一个抛物线。
根据二次函数的a值的正负和大小，抛物线的开口方向和形状会有所不同。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
三、性质1. 零点：二次函数的零点即为函数与x轴相交的点，可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。
如果方程有两个不同实根，那么函数的图像将与x轴交于这两个点；如果方程有两个相等的实根，那么函数的图像将与x轴相切于这一点。
2. 最值：二次函数的最值取决于抛物线的开口方向。
当a大于零时，函数的最小值为抛物线的顶点；当a小于零时，函数的最大值为抛物线的顶点。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的轴线。
对称轴可以通过取x = -b / (2a)来求得，即函数图像关于这条直线对称。
4. 范围：二次函数的范围取决于抛物线的开口方向。
当a大于零时，函数的范围为y大于等于抛物线顶点的纵坐标；当a小于零时，函数的范围为y小于等于抛物线顶点的纵坐标。
四、应用二次函数在现实生活中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 物理学：抛物线的运动轨迹可以由二次函数来表达，例如自由落体运动中的位移函数、抛体运动中的轨迹函数等。
2. 经济学：二次函数可以用来描述市场的供求关系、成本与收益的关系等。
3. 工程学：在设计桥梁、弧线排水管道等工程项目时，二次函数可以用来描述曲线的形状和变化趋势。
结语通过对二次函数的定义、图像、性质和应用的精讲，我们可以更全面地理解和掌握二次函数的相关知识。
二次函数在数学和现实生活中都具有重要的应用，希望本文对读者有所帮助。
二次函数专题讲座-
二次函数专题讲座思维基础: （一）填空：1．二次函数2)3(212++=x y 的图象的开口方向是向，顶点从标是 ，对称轴是。
2．抛物线7)1(82-+--=m x m x y 的顶点在x 轴上，则m 的值等于 . 3.如果把第一条抛物线向上平移a 49个单位（a >0），再向左平移25个单位，就得到第二条抛物线2ax y =，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是 ________.（二）选择：1.如图代13-3-1所示二次函数c bx ax y ++=2的图象，则有（ ）图代13-3-1 图代13-3-2A.a+b+c <0B.a+b+c=0C.a+b+c >0D.a+b+c 的符号不定2.如图1-3-2是抛物线c bx ax y ++=2的图象，则下列完全符合条件的是（ ）A.a <0，b <0，c >0，b 2<4ac B.a <0，b >0，c <0，b 2<4acC.a <0，b >0，c >0，b 2>4acD.a >0，b <0，c <0，b 2>4ac3．已知抛物线的对称轴为x=1，与x 轴、y 轴的三个交点构成的三角形的面积为6，且与y 轴的交点到原点的距离为3，则此二次函数的解析式为（ ）A.322++-=x x y 或322--=x x y B.322-+-=x x y 或322++=x x y C.322++-=x x y 或322-+=x x yD.332---=x x y 或322--=x x y学法指要：例 在直角坐标系中，二次函数m nx x y -++=224321的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 在点B 的左边，若∠ACB=90°，1=+COBOAO CO .（1）求点C 的坐标及这个二次函数的解析式；（2）试设计两种方案，作一条与y 轴不生命，与△ABC 的两边相交的直线，使截得的 三角形与△ABC 相似，并且面积是△AOC 面积的四分之一.【思考】 （第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y 轴的交 点坐标？3.如何设出抛物线与x 轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？【思路分析】 本例必须准确设出A ，B 两点坐标，再求出C 点坐标，并会用它们表 示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，相互转化，水到渠成.解：（1）依题意，设A(a,0),B(,0)其中a <0, β>0，则a,β是方程,,90.22.02),2,0(,24321,021).2(2).2(2.02432122O AB CO ACB m m OC m m C x m nx x y a m a a BO AO m m nx x 于点其中轴有两个交点与抛物线的两个根⊥=∠-=-=∴<--∴-++=>=-=⋅-=⋅=⋅∴-=⋅∴=-++ βββα ∴△AOC ∽△COB 。
高考数学专题讲座 第2讲 二次函数的综合应用问题
高考数学专题讲座 第二讲二次函数的综合应用问题一、考纲要求1．理解二次函数，一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法； 2．以二次函数为背景的不等式问题作为代数推理题在高考中频繁出现，二次函数和绝对值不等式相结合的题目也在高考中出现多次；3．二次函数是简单的非线性函数之一，有着丰富的内涵，成为高考的一个热点．二、基础过关1．若关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 恒成立，则a 的取值X 围是( B )．A ．53-<a 或1>a B ．a <-53≤1C ．53≤a ≤1或1-=a D ．以上均不对 2．函数54)(2+-=mx x x f 在区间2[-，)∞+上是增函数，则)1(f 的取值X 围是( A )．A ．)1(f ≥25B ．25)1(=fC ．)1(f ≤25D ．25)1(>f3．若32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在3(-，)1上是( B )．A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增4．已知a ，∈b N *，方程022=++b ax x 和方程022=++a bx x 都有实根，则b a +的最小值是( D )．A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数32)(2+-=x x x f 在区间0[，]a )0(>a 上的最大值为3，最小值为2，那么 实数a 的取值X 围是 1≤a ≤2 ．6．已知函数a b b ax x x f (1)(22+-++-=，∈b R )对任意实数x 都有)1()1(x f x f -=+成 立，若当1[-∈x ，]1时，0)(>x f 恒成立，则b 的取值X 围是 b<-1或b>2 ．三、典型例题例1 已知函数22)(2++=ax x x f ，5[-∈x ，]5．（1）当1-=a 时，求函数)(x f 的最大值与最小值；（2）某某数a 的取值X 围，使)(x f y =在区间5[-，]5上是单调函数． 解：（1）当a =-1时, f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1, x ∈ [-5,5] ∴x =1时,f (x )的最小值为1,x =-5时,f (x )的最大值为37.（2）函数f (x )=(x +a )2+2-a 2图象的对称轴为x =-a ∵f (x )在区间[-5,5]上是单调函数 ∴-a ≤-5或-a ≥5 即a ≥5或a ≤-5 故a 的取值X 围为 a ≤-5或 a ≥5.例2 （1）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为π+44. （2）已知函数∈+-=x b ax x x f (|2|)(2R )，给出下列命题：①()f x 必是偶函数；② 当)2()0(f f =时，)(x f 的图象必关于直线1=x 对称； ③ 若b a -2≤0，则)(x f 在区面a [，)∞+上是增函数； ④)(x f 有最大值||2b a -． 其中正确命题的序号是③．例3 已知函数∈++-=x m x m x x f ()1()(2R )．（1）设A 、B 是ABC ∆的两个锐角，且A tan ，B tan 是方程04)(=+x f 的两个实根， 求证：m ≥5；（2）当m ≥3时，函数)(sin αf 的最大值是8，求m 的值． 解:(1) 方程f (x )+4=0 即x 2-(m +1)x +m +4=0依题意,得⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧->->≥-≤4153m m m m 或∴m ≥5(2)f (sin α)=sin 2α-(m +1)sin α+m =(sin α2)21+-m +m 4)1(2+-m ∵m ≥3 ∴221≥+m ∴ 当sin α=-1时,f (sin α)取得最大值2m +2由题意得 2m +2=8 ∴m =3例4 已知函数x x x f (1)(2-=≥1)的图象为1C ，曲线2C 与1C 关于直线x y =对称． （1）求曲线2C 的方程)(x g y =；（2）设函数)(x g y =的定义域为M ，1x ，M x ∈2，且21x x ≠．求证：|||)()(|2121x x x g x g -<-；（3）设A 、B 为曲线2C 上任意两个不同点，证明直线AB 与直线x y =必相交． 解(1) ∵ C 1,C 2关于直线y =x 对称, ∴g (x )为f (x )的反函数. ∵y =x 2-1, 即 x 2=y +1, 又 x ≥1 ∴x =1+y∴ 曲线C 的方程为 g (x )=1+x (x ≥0)(2)设x 1,x 2∈M, 且x 1≠x 2, 则 x 1-x 2≠0 又 x 1≥0, x 2≥0∴|g (x 1)-g (x 2)|=|||2||11|||112121212121x x x x x x x x x x -<-≤+++-=+-+ (3)设A(x 1,y 1) 、B(x 2,y 2)为曲线C 2上任意两个不同的点, x 1,x 2∈M, 且 x 1≠x 2 由(2)知|k AB |1|||)()(|||21212121<--=--=x x x g x g x x y y∴直线AB 的斜率|k AB |≠1 又直线y =x 的斜率为1 ∴直线AB 与直线y =x 必相交.四、热身演练1．函数x x y (321--=≥)2的反函数是( B )．A ．∈+-=x x x y (2212R )B ．x x x y (2212+-=≤)0 C ．∈-+=x x x y (2212 R ) D ．x x x y (2212-+=≤)0 2．设函数()(2c bx ax x f ++=)0a <，满足)1()1(x f x f +=-，则)2(x f 与)3(x f 的大小关系是（ C ）．A ．)2()3(x x f f >B ．)2()3(x x f f <C ．)3(x f ≥)2(x fD ．)3(x f ≤)2(x f3．若a ，b ，c 成等差数列，则函数c bx ax x f ++=2)(的图象与x 轴的交点个数是（ D ）．A ．0B ．1C ．2D ．不确定4．已知二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f ，若在区间1(-，)1内至少存在一个 实数c ，使0)(>c f ，则实数p 的取值X 围是（ C ）．A ．21(-，)1 B ．3(-，)21- C ．3(-，0)23 D ．21(-，)235．一辆中型客车的营运总利润y (单位：万元)与营运年数∈x x (N )的变化关系如下表所示，则客车的运输年数为( B )时，该客车的年平均利润最大．A ．4B ．5C ．6D ．76．已知函数422)(2++-=a ax x x f 的定义域为R ，值域为1[，)∞+，则a 的取值X 围 为 [-1,3] ．7．如果函数)(x f 对于任意∈x R ，存在M 使不等式|)(|x f ≤||x M 恒成立(其中M 是与x 无关的正常数)，则称函数)(x f 为有界泛函，给出下列函数： ①1)(1=x f ；②22)(x x f =；③)cos (sin )(3x x x x f +=；④1)(24++=x x xx f ． 其中属于有界泛函的是③④(填上正确序号)．8．若方程02=++b ax x 有不小于2的实根，则22b a +的最小值为516. 9．已知不等式032<+-t x x 的解集为m x x <<1|{，∈x R }．（1）求t ，m 的值；（2）若函数4)(2++-=ax x x f 在区面-∞(，]1上递增，求关于x 的不等式0)23(log 2<-++-t x mx a 的解集．解：（1）依题意 ⎩⎨⎧==+t m m 31∴⎩⎨⎧==22t m（2）∵f (x )=-(x -44)222a a ++在]1,(-∞上递增∴12≥a即 2≥a 又 )32(log )23(log 22x x t x mx a a +-=-++-<0∴13202<+-<x x 解之得 210<<x 或1<x <23 故 不等式的解集为 {x |0<x <21或1<x <23}.10．定义在R 上的函数)(x f 满足:如果对任意1x ，∈2x R ，都有)2(21x x f +≤)]()([2121x f x f +， 则称函数)(x f 是R 上的凹函数．已知二次函数∈+=a x ax x f ()(2 R ）． （1）求证：当0>a 时，函数)(x f 是凹函数；（2）如果0[∈x ，]1时，|)(|x f ≤1，试某某数a 的取值X 围． 解：（1）对任意x 1,x 2∈R ,a >0,都有[f (x 1)+f (x 2)]-2f (221x x +)=a 21x +x 1+ax 22+x 2-2[a (2)221221x x x x +++] =ax 21+ax 22-21a (x 1+x 2+2x 1x 2) =21a (x 1-x 2)2≥0∴f ()]()([21)22121x f x f x x +≤+故函数f (x )是凹函数.（2）由|f (x )|≤1知: -1≤f (x )≤1 即 -1≤ax 2+x ≤1当 x =0时, a ∈R当x ∈(0,1)时, ⎩⎨⎧+-≤--≥1122x ax x ax 恒成立即 ⎪⎩⎪⎨⎧--=-≤++-=--≥41)211(1141)211(112222x x x a x x x a 恒成立 ∵x ∈(0,1) ∴11≥x当x 1=1 即x =1时, 41)211(2++-x 取最大值-2, 41)211(2--x 取最小值0 ∴ -2≤a ≤0, 而 a ≠0 ∴-2≤a <0 即 为所求. 11．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(．（1）若a c b >>且0)1(=f ，是否存在实数m ，使得当a m f -=)(成立时，)3(+m f 为正数？若存在，则证明你的结论；若不存在，则说明理由．（2）若+∞<<<∞-21x x ，)()(21x f x f ≠且方程)]()([21)(21x f x f x f +=有两个不相等的实数根，求证:必有一实数根存1x 与2x 之间．证：（1）由f (1)=a +b +c 及a >b >c 得a >0,c <0,ac0< ∵ 1是0)(=x f 的一个根，记另一根为α，则ac=α0<又,,c a b c b a --=>>∴a >-a -c >c ∴-2a <c 即 -2<ac<0假设存在实数m ,使f (m )=-a 成立则由a c ,1是f (x )=0的两根知: f (x )=a (x -ac)(x -1) 从而 f (m )=0)1)((<-=--a m a c m a ∴1<<m ac进而33+<+m ac∴m +3>1 又f (x )在[1,)∞+上单调递增 ∴f (m +3)>f (1)=0 故满足条件的实数m 存在.（2）令g (x )=f (x )-)]()([2121x f x f +, 则g (x )为二次函数∴g (x 1)=f (x 1)-)]()([2121x f x f +∴g (x 2)=f (x 2)-)]()([2121x f x f +∴g (x 1)·g (x 2)=-0)]()([41221<-x f x f又x 1<x 2∴g (x )=0必有一根在x 1,x 2之间 故f (x )=)]()([2121x f x f +必有一根在x 1,x 2之间12．已知函数)0(12)(22<+++=b x cbx x x f 的值域为1[，]3． （1）某某数b ，c 的值；（2）判断函数)(lg )(x f x F =在1[-，]1上的单调性；（3）若∈t R ，求证：57lg≤|)61||61(|+--t t F ≤513lg ．解：（1）由∆法得 b =-2 c =2（2） 由（1）f (x )=1221222222+-=++-x xx x x 用定义判断f (x )在[-1,1]上单调递减. ∴F(x )在[-1,1]上单调递减. （3）∵||t -61|-|t +61||≤|t -6161--t |=31∴31|61||61|31≤+--≤-t t∵F(x )在[-1,1]上为减函数∴)31(|)61||61(|)31(F t t F F ≤+--≤-即 513lg |)61||61(|57lg ≤+--≤t t F。
《二次函数》课件
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
二次函数的课件ppt课件ppt课件
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
九年级上册二次函数专题讲义
九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
例如，下列函数中哪些是二次函数：①y=3x²；②y=x²-x(1+x)；③y=x²(x²+x)-4；④y=1+x；⑤2xy=x(1-x)。
其中，例1需要判断每个函数的a，b，c值，而例2则是给定函数，需要判断m取何值时，该函数是关于x 的二次函数。
练1和练2则是练判断给定函数是否是关于x的二次函数，需要注意二次项系数a是否为零。
练3是已知点A在函数y=x-1的图像上，需要求出点A的坐标。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax²，它的图象是一条抛物线，有一条对称轴，对称轴和图象有一点交点，这个点叫做抛物线的顶点。
画出函数y=x的图象的步骤如下：首先列出函数对应值表，然后在直角坐标系中描点，最后用光滑的曲线连接各点得到函数的图象。
需要注意的是，抛物线与它的对称轴的交点就是抛物线的顶点。
通过观察比较函数y=x和y=-x的图象，可以得出它们关于y轴对称的结论；通过观察比较函数y=2x和y=-2x的图象，可以得出它们关于x轴对称的结论。
同时，可以发现这四个函数的图象都是抛物线，都有一条对称轴和一个顶点。
因此，结论是函数y=ax²的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0,0)。
当$a>0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；顶点是抛物线上位置最低的点。
当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数值$y=ax^2$取得最小值，最小值是$-\frac{b^2}{4a}$。
当$a<0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；顶点是抛物线上位置最高的点。
二次函数说课ppt课件ppt课件ppt课件
详细描述
二次函数在日常生活中有着广泛的应用，如最优化问题、经济模型、物理学中的抛物线 运动等。通过这些实际应用场景，学生可以更好地理解二次函数的实际意义和重要性。
物理中的二次函数
总结词
运动轨迹、能量变化
VS
详细描述
在物理学中，二次函数经常用于描述物体 的运动轨迹，如抛物线运动。此外，在能 量守恒问题中，二次函数也经常出现，用 于描述能量随时间的变化关系。通过与物 理学的结合，学生可以更深入地理解二次 函数的物理意义。
因式分解法
要点一
总结词
通过因式分解将二次函数转化为两个一次函数的乘积，便 于分析函数的零点、单调性和值域。
要点二
详细描述
因式分解法是将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为 两个一次函数的乘积，如 $f(x) = (ax + b)(cx + d)$。通 过因式分解，可以方便地找到函数的零点（即 $f(x) = 0$ 的解），分析函数的单调性（根据导数符号判断）和值域 （根据函数图像和定义域判断）。
数学竞赛中的二次函数
总结词
难度高、技巧性强
详细描述
在数学竞赛中，二次函数经常作为压轴题目 出现，难度较高，技巧性强。通过解决这类 问题，学生可以提高自己的数学思维能力和 解决问题的能力，为未来的学习和竞赛打下 坚实的基础。
CHAPTER 04
二次函数的解题策略
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为顶点式，便于分 析函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时 ，抛物线开口向下。系数$b$和$c$决定了抛物线的位置和顶点。通过研究二次 函数的图像，我们可以更好地理解其性质和特点。
二次函数公开课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
(3)一元二次方程
3x2+x-10=0旳两个根是
x1
2, x2
5 3
,
那么二次函数y= 3x2+x-10与x轴旳交点坐标是＿＿＿＿.
模块二、常见题型
1.求解二次函数解析式， 待定系数法；
1.若二次函数旳图像经过(0，0)， (1 ，-2) ， (2，3) 三点,求其解析式；
2.若二次函数图像的顶点坐标为(2,1)， 与y轴的交点的坐标为(0,11)，求其解析式.
得到y=2x2-3旳图象； 二次函数y=2x2旳图象向右 平移 3 个单位可 得到y=2(x-3)2旳图象。 ⑵二次函数y=2x2旳图象先向 左平移 1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数 y=2(x+1)2+2旳图象。
（3）由二次函数y=x2旳图象经过怎样平移能够 得到函数y=x2-5x+6旳图象.
待定系数法； 2.图像特征；
6.将函数 f (x) 3x2 6x 1 配方，
拟定其对称轴，顶点坐标，求出它旳
单调区间及最大值或最小值，
并画出它旳图像．
模块二、常见题型
1.求解二次函数解析式， 7.已知函数 待定系数法；
f (x) x2 2x, g(x) x2 2x(x [2,4])
2.图像特征； 求f(x)，g(x)旳单调区间；
(D) a<0,b<0,c>0
0
x
模块二、常见题型
1.求解二次函数解析式， 待定系数法；
5.如图，假如函数y＝kx＋b旳图像在 第一、二、三象限内，那么函数
2.图像特征；
y＝kx2＋bx－1旳图像大致是（ B ）
y 1 0x
A
y 1 0x
数学北师大版八年级上册二次函数专题讲座1
在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小， 求出P点坐标。
在对称轴上找一点P，使得PB－PC的差最 大，求出P点坐标.
连接AC，在第四象限找一点P，使得△ACP 面积最大，求P点坐标。
1、和最小问题利用的知识点即将军饮马问 题。 2、差最大问题应用知识点即三角形三边关 系定理。 3、面积最大问题，注意掌握利用铅垂距离 和水平距离乘积表示出三角形面积，同时 结合二次函数最值问题解答。
1、掌握利用二次函数解决路径最值问题 （差最大、和最小）及面积最大问题的一 般方法。 2、掌握二次函数与直角三角形相结合的动 点问题的解意问题。 4、巩固二次函数动点问题中分类讨论思想。
已知二次函数 ，求出二次 函数顶点坐标、对称轴、与x轴y轴的交点 坐标。
已知二次函数过Ａ（１,０）、Ｂ（－３,０） Ｃ（０,３）； １、求二次函数解析式； ２、在对称轴上找一点Ｐ，到PA+PC之和 最小； ３、在对称轴上找一点Ｐ，使PB—PC最大； 4、在抛物线上第二象限内找一点P，使 △APC面积最大.
二次函数(公开课)
二次函数的图像
二次函数的图像形状可以是抛物线，其凹性取决于a的正负。正数a使抛物线开口朝上，负数a使抛物线开口朝 下。这种图像帮助我们直观地理解二次函数的变化规律。
开口朝上
正数a使抛物线形状开口朝上。
开口朝下
负数a使抛物线形状开口朝下。
二次函数的顶点
二次函数的顶点是抛物线的最高（或最低）点。顶点的横坐标可以通过求根 公式(-b/2a)得到，纵坐标是函数的最大值或最小值。
二次函数的轴对称线
抛物线的轴对称线在顶点处垂直于x轴。它将抛物线分为两个对称的部分，使 我们能够推断出函数值的对应关系。
二次函数的零点
二次函数的零点是使函数值为零的横坐标。我们可以使用求根公式找到二次函数的零点。
零点
零点是函数与x轴相交的点，使函数值为零。
二次函数的判别式
二次函数的判别式为Δ = b² - 4ac，它可以告诉我们方程的根有多少个，以及根 的性质。
二次函数(公开课)
欢迎参加我们的二次函数公开课！本课程将详细讲解二次函数的定义、特点 以及其在实际中的应用。让我们一起探索二次函数的奥秘吧！
二次函数的一般式
二次函数可以表示为y = ax²+ bx + c的一般式，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。这种形式使我们能够直观地了解 二次函数的性质和特点。
第8讲：二次函数(专题讲座)
（聚焦2008）第8讲：二次函数专题讲座（一）二次函数的解析式的三种形式（1）标准式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；（2）顶点式：y=a （x+m ）2+n （a ≠0）；（3）两根式：y=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）【例1】已知二次函数y=f （x ）同时满足条件：（1）f （1+x ）= f （1－x ）；（2）y=f （x ）的最大值是１５；（3）f （x ）＝０的两根立方和等于１７。
求y ＝f （x ）的解析式。
（二）二次函数的基本性质（1）二次函数f （x ）=a x 2+bx+c （a ≠０）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－a b 2，顶点坐标是（－a b 2，acb ac 442-）。
当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－a b 2]上递减，在[－ab 2，＋∞)上递增。
当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－a b 2]上递增，在[－a b 2，＋∞)上递减。
（2）直线与曲线的交点问题：①二次函数f （x ）=a x 2+bx+c （a ≠０），当Δ＝b 2－４ac ＞0时，图像与x 轴有两个交点Ｍ１（x １，０）Ｍ２（x ２，０），于是｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜x １－x ２｜＝||a ∆。
②若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与直线y=mx+n ，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax 2+bx+c =mx+n ，即px 2+qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二次方程的判别式Δ的符号决定。
特别地，抛物线与x 轴的交点情况由ax 2+bx+c=0的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax 2+bx+c = 0的判别式Δ的符号问题。
当Δ= b 2－4ac>0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不同的实数根，即对应的抛物线与x 轴有两个交点，此时二次函数的图像被x 轴截得的弦长L=|x 2－x 1|=||4)()(21212212a x x x x x x ∆=-+=-。
《二次函数》PPT课件
一次函数 y＝kx＋b(k≠0)
正比例函数
y＝kx (k≠0)
一条直线
反比例函数 y k (k 0).
双曲线
x
课时导入
导入新知 正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正 方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的 每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 它们的具体关系可以表示为 y＝6x2.
课堂小结
二次函数
(2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函 数关系式化为一般形式．
(3)二次项系数不为0.
感悟新知
知2－练
方法点拨：在实际问题中建立二次函数模型时，关键 要找出两个变量之间的数量关系，用类似建立一元二 次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的关 系式.
解：(1) y=300+30 ( 60-x ) =-30x+2 100 ( 40 ≤ x ≤ 60 ). ( 2 ) W= ( x-40 ) ( -30x+2 100 ) =-30x2+3 300x-84 000.
课时导入
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变 量x的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学 习的二次函数．
感悟新知
知识点 1 二次函数的定义
问题1
知1－讲
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，
比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
比赛的场次数
m＝ 1 n(n－1)，
即m＝
1
2 n2－
感悟新知
总结
知2－讲
1. 建立二次函数模型的一般步骤： (1)审清题意：找出问题中的已知量（常量）和
未知量（变量），把问题中的文字或图形语言转化 成数学语言.
第四讲二次函数(讲义).doc
第四讲二次函数一、知识要点和基本方法 1、 二次函数解析式的三种形态(顶点式、零点式与一般式)2、 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a^O)的图象与性质3、 一元二次方程o? +* + c•=0在某一开区间内外的实根分布问题(从△，对称轴与区间端点的函数值的符号这三个角度来考虑)(1) 两根均大于t()<=> (2) 两根均小于t()(3) 一根大于t(),另一根小于切 <=>(4) 其中一个根小于t|,另一个根大于t2 (ti<t 2)(5) 两根均在开区间(t ］, t 2)内，即两根X1,X2满足/, < %! < x 2 < t 2 = (6) 有旦仅有一个根在区间(t|, (2)内 o(7) 对于t^<t 2< t 3 ,两根尤］,尤2分别在区间(t ］, t 2)和(t 2, t 3)内说明：若avo,这时二次函数图像开口向下，不等式组要做相应变更，若a 的符号不能确定，则要加以 对论；若将开区间换为闭区间，不等组也要相应变形。
［典型例题］一、二次函数解析式的确定及相关问题例1、设二次函数y=ax?+bx+c 满足条件:f(0)=2, f(l)=-l,且图象在x 轴上所截得的线段长为2很， 求这个二次函数的表达式。
例2、已知二次函数y = (x)的图象以原点为顶点且过点(1, 1),反函数= f 2 (x)的图象与直线y=x 的两个交点的距离8, y(x) = /1(x) + /2(x)0 (1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x 的方程/(x)= f M 有三个实数解。
二、 二次函数的最值问题例3、己知定义在闭区间［0, a ］上的函数y=x 2—2x4-3,问：当a 在什么范围内取值时，y 的最大值是3, 且最小值是2o例4、如果抛物线y=x 2-(k-l)x-k-l 与x 轴的交点为A 、B,顶点为C,求AABC 的面积的最小值。
奥数基础讲座二次函数(含解答)-
二次函数讲座内容讲解1．二次函数y=ax 2，y=a （x-h ）2，y=a （x-h ）2+k ，y=ax 2+b x+c （各式中，a ≠0）•的图象形状相同，仅仅位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：当h>0时，y=a （x-h ）2的图象可由抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位得到，当h<0时，则向左平行移动│h │个单位得到．当h>0，k>0时，将抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就能够得到y=a （x-h ）2+k 的图象；当h>0，k<0•时，•将抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位，再向下移动│k │个单位可得到y=a （x-h ）2+k 的图象；•当h<0，k>0时，将抛物线y=a x 2向左平行移动│h │个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a （x-h ）2+k 的图象；当h<0，k<0时，将抛物线y=ax 2向左平行移动│h │个，•再向下移动│k │个单位可得到y=a （x-h ）2+k 的图象；所以，研究抛物线y=a x 2+b x+c （a ≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a （x-h ）2+k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，•抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．2．抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象；当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，•对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a，244ac b a -）． 3．抛物线y=a x 2+bx+c （a ≠0），若a>0，当x ≤-2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x ≥-2b a 时，y•随x 的增大而增大．若a<0，当x ≤-2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x ≥-2b a时，y 随x 的增大而减小．4．抛物线y=a x2+bx+c的图象与坐标轴的交点：（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；（2）当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x1，0）和B（x2，0），其中的x1，x2．是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=│x1-x2│=||a 当△=0，图象与x轴只有一个交点；当△<0，图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数，•都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．5．用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=a x2+bx+c（a≠0）．（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=•a（x-h）2+k（a≠0）．（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a （x-x1）（x-x2）（a≠0）．6．二次函数知识很容易与其他知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目．所以，以二次函数知识为主的综合性题目是热点考题，往往以大题形式出现．例题剖析例1 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）作抛物线A关于x•轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2-1，则抛物线A所对应的函数表达式是（）（A）y=-2（x+3）2-2; （B）y=-2（x+3）2+2;（C）y=-2（x-1）2-2; （D）y=-2（x-1）2+2分析：将抛物线C 再变回到抛物线A ：即将抛物线y=2（x+1）2-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=2（x-1）2-2，而抛物线y=2（x-1）2-2关于x 轴对称的抛物线是y=-2（x-1）2+2．解：选（D ）．评注：抛物线的平移主要抓住顶点坐标的变化，•需要注意的是通常要将二次函数解析式化为顶点式，且平移时二次项系数不变．例2 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））根据下列表格的对应值，判断方程a x 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）一个解x 的范围是（ ） x 3.23 3.24 3.25 3.26ax 2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.07（A ）3<x<3.23 （B ）3.23<x<3.24（C ）3.24<x<3.25 （D ）3.25<x<3.26分析：观察表格知，随x （x>0）的增大，二次函数y=a x 2+bx+c 的值由负到正．而当x 取3.24时，a x 2+bx+c=-0.02是负数；当x 取3.25时，a x 2+bx+c=0.03是正数．故能够推知借于3.24和3.25之间的某一x 值，必然使a x 2+bx+c=0．解：3.24<x<3.25，选C ．评注：本题利用方程的解就是它对应的函数图象与x 轴的交点，•以此估计一元二次方程的一个解的大致范围．它以表格才形式提出了部分信息，考查了学生合情推理的水平．解题关键是观察表格的对应值．例3 （2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题）函数y=ax 2+bx+c 图象的大致位置如右图所示，则ab ，bc ，2a+b ，（a+c ）2-b 2，（a+b ）2-c 2，b 2-a 2等代数式的值中，正数有（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个分析：显然，a<0，c<0，b>0，由-2b a<1， 得b<-2a ，所以2a+b<0；由a-b+c<0得（a+c ）2-b 2=（a+b+c ）（a-b+c ）<0；由a+b+c>0得a+b>-c>0，所以（a+b ）2-c 2>0，│b │>│a │，b 2-a 2>0．综上所述，仅有（a+b ）2-c 2，b 2-a 2为正数．解：选A ．评注：二次函数y=ax 2+b x+c 中相关字母系数a 、b 、c 的代数式符号确定，是竞赛热点问题，解题时，要抓住抛物线开口方向、对称轴、与x 轴交点情况综合考虑．例4 （2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题）一条抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为（4，-11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的（ ）（A ）只有a （B ）只有b （C ）只有c （D ）只有a 和b分析：由条件大致确定抛物线的位置，进而判定a 、b 、c 的符号．解：由题意可画抛物线的草图，因为开口向上，所以a>0，因为-2b a=4，b=-8a<0，又因为抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，所以c<0．故选A ．评注：解决此类问题的基本思路是：由图象大致位置确定解析式中系数符号特征，进而再判定其他字母系数取值范围，在解题中常常要用直接判断、排除筛选、分类讨论、参数吻合等方法．例5 （2006年“信利杯”全国初中数学竞赛（广西赛区）初赛试题）设b>0，二次函数y=ax 2+bx+a 2-1的图象为下列图象之一，则a 的值是（ ）（A ）1 （B ）-1 （C 1515(D ---+ 分析：因为抛物线y=ax 2+bx+a 2-1的对称轴为x=-2b a，b>0；而第1、2两个图象对称轴为x=0，则b=0不合题意．又第3、4个图象的对称轴都在y 轴右旁，所以x=-2b a >0，a<0，再由过原点，则a 2-1=0，故a=-1．解：选B ．评注：本题给出几个抛物线图象，要求我们用数形结合的方法去收集信息．•解图象信息题关键是化“图象信息”为“数学信息”．例6 （2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题）若二次函数y =ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）•，•则S=•a+•b+•c•的值的变化范围是__________．分析：本题只给出两点，不能求出a 、b 、c 具体的值，只能求出a 、b 、c•之间的关系，据此再求S 的取值范围．解：将（0，1），（-1，0）代入y=a x 2+bx+c 得1,1,0 1.c c a b c a b ==⎧⎧⎨⎨-+==-⎩⎩ 即 ∴S=a+b+c=2b ．∵二次函数y=ax 2+bx+c 顶点在第一象限，∴-2b a>0，又a=b-1，∴-2(1)b b >0，即2b （b-1）<0． ∴0<b<1，即0<S<2，选B ．评注：•求多元代数式的取值范围一般途径是转化为关于某一字母的取值范围问题． 例7 （2005年全国初中数学竞赛试题）Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C•均在抛物线y=x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h<1 （B ）h=1 （C ）1<h<2 （D ）h>2分析：设点A 的坐标为（a ，a 2），点C 的坐标为（c ，c 2）（│c │<│a │），则点B 的坐标为（-a ，a 2），由勾股定理，得A C 2=（c-a ）2+（c 2-a 2）2．BC 2=（c+a ）2+（c 2-a 2）2，AC 2+BC 2=AB 2，所以（a 2-c 2）2=a 2-c 2．因为a 2>c 2，所以a 2-c 2=1，故斜边AB 上高h=a 2-c 2=1．解：选B ．评注：本题渗透数形结合思想，通过将代数与几何有机结合一起，•考查学生综合应用数学知识解决问题的水平．例8 （1993年江苏初中数学竞赛试题）已知mn 是两位数，二次函数y=x 2+mx+n•的图象与x 轴交于不同的两点，这两点间距离不超过2．（1）求证：0<m 2-4n ≤4；（2）求出所有这样的两位数mn ．分析：先用根与系数关系求得抛物线与轴两交点间距离，再结合不定方程求整数解． 解：（1）设y=x 2+m x+n 的图象与x 轴的两交点为A （x 1，0），B （x 2，0），x 1≠x 2． 则x 1，x 2为方程x 2+mx+n=0的两个不同实根．∴x 1+x 2=-m ，x 1·x 2=n ．又0<│x 1-x 2│≤2，即0<（x 1+x 2）2-4x 1x 2≤4，也即0<m 2-4n ≤4；（2）∵m ，n 为整数（m ≠0），∴m 2-4n=1，2，3，4，而m 2被4除余0或1，故m 2-4n 被4除也余0或1， 从而只能有m 2-4n=1或m 2-4n=4．解这两个不定方程，得：1,3,5,0,2,6,m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 2,4,6,0,3,8.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ ∴所求两位数为10，32，56，20，43，68．评注：一元二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴两交点的横坐标即是方程ax 2+bx+c=0的两根，利用韦达定理即可求解．例9 （1997年天津市初中数学竞赛试题）已知函数y=x 2-│x │-12的图象与x 轴交于相异两点A ，B ，另一抛物线y=ax 2+bx+c 过点A ，B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c ．分析：求A 、B 两点的坐标时，应注意分两种情况去绝对值；条件△ABC 为等腰直角三角形应分情况讨论．解：考试方程x 2-│x │-12=0，当x>0时，x 2-x-12=0，解得x 1=4，x 2=-3（舍去）；当x<0时，x 2+x-12=0，解得x 1=-4，x 2=3（舍去）．∴A 、B 两点的坐标是（4，0），（-4，0）．∵y=ax 2+bx+c 过A 、B 两点，即过（4，0），（-4，0），∴可设y=a x 2+bx+c 为y=a （x-4）（x+4）∵△APB 为等腰直角三角形，而A 、B 为顶点，∴AB 可为斜边，也可为直角边．当AB为斜边，求得P点坐标为（0，4）或（0，-4）；当AB为直角边时，•这种情况不满足题设条件．将P（0，4）代入①得a=14，则①变为y=-14（x2-16）=-14x2+4，故有a=-14，b=0，c=4．将P（0，-4）代入①得a=14，则①变为y=14（x2-16）=14x2-4，故有a=14，b=0，c=-4．评注：求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程（组），解方程（组）便能够求得相关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．例10 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）已知二次函数y=x2+2（m+1）x-m+1．（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．（2）如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）x-m+1图象的顶点P，求此时m的值．分析：本题解题关键是用配方法求出顶点P的坐标，然后取特殊值实行探究．解：（1）该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上，求该抛物线的函数表达式如下：利用配方：得y=（x+m+1）2-m2-3m，顶点坐标是P（-m-1，-m2-3m）．方法1：分别取m=0，-1，1得到三个顶点坐标是P1（-1，0），P2（0，2），P3（-2，-4），过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x2+x+2．将顶点坐标P（-m-1，-m2-3m）代入y=-x2+x+2的左右两边，左边=-m2-3m，右边=-（-•m-1）2+（-m-1）2+2=-m2-3m，∴左边=右边．即无论m取何值，顶点P都在抛物线y=-x2+x+2上，•即所求抛物线的函数表达式是y=-x2+x+2．（注：如果没有“左边＝右边”的证明，那么解法1最多只能得4分）方法2：令-m-1=x，将m=-x-1代入-m2-3m，得-（-x-1）2-3（-x-1）=-x2+x+2．即所求抛物线的函数表达式是y=-x2+x+2上．（2）如果顶点P（-m-1，-m2-3m）在直线y=x+1上，则-m2-3m=-m-1+1，即m2=-2m，∴m=0或m=-2．∴当直线y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）（-m+1）图象的顶点P时，m的值是-2或0．评注：此题综合了求点的坐标、函数解析式、猜想说明等知识，•有一定的梯度，需要我们具有扎实的基础知识和灵活应用知识的能力，还要能够根据条件进行猜测并进行合理验证．例11 （2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题）通过实验研究，•专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平衡的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y•越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，•使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36．分析：①由点（0，20），（5，39），（10，48），可求出抛物线的函数关系式，②分别求出指标数是36的各段函数中的自变量的值．解：（1）当0≤x≤10时，设抛物线的函数关系式为y=ax+bx+c，•由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以20,25539, 1001048. ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得a=-15，b=245，c=20．所以y=-15x2+245x+20，0≤x≤10．（2）当20≤x≤40时，y=-75x+76．所以，当0≤x≤10时，令y=36，得36=-15x2+245x+20，解得x=4，x=20（舍去）；当20≤x≤40时，令y=36，得36=-75x+76，解得x=2007=2847．因为2847-4=2447>24，所以，老师可以经过适当的安排，•在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题．评注：本题情景新颖，关注了考生的学习、生活，既考查了学生基础知识和阅读理解能力，又考查了考生利用所学知识解决实际问题能力．例12 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））已知A1、A2、A3是抛物线y=1 2 x2上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C．（1）如图（a），若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长；（2）如图（b），若将抛物线y=12x2改为抛物线y=12x2-x+1，A1、A2、A3•三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长；（3）若将抛物线y=12x2改为抛物线y=ax2+bx+c，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．分析：本题考查我们归纳猜想能力，解题时，采用数形结合方法，由特殊到一般进行类比、归纳．（1）方法1：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，∴A1B1=12×12=，A2B2=12×22=2，A3B3=12×32=92．设直线A1A3的解析式为y=kx+b．∴12 23 932 2kk bbk b⎧==+⎧⎪⎪⎪⎨⎨=-⎪⎪=+⎩⎪⎩解得∴直线A1A3的解析式为y=2x-32．∴CB2=2×2-32=52．∴C A2=CB2-A2B2=52-2=12．方法2：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，∴A1B1=12×12=12，A2B2=12×22=2，A3B3=12×32=92．由已知可得A1B1∥A3B3，∴C B2=12（A1B1+A3B3）=12（12+92）=52．∴CA2=CB2-A2B2=52-2=12．（2）方法1：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为n-1、n 、n+1．则A 1B 1=12（n-1）2-（n-1）+1， A 2B 2=12n 2-n+1，A 3B 3=12（n+1）2-（n+1）+1．设直线A 1A 3的解析式为y=kx+b ．∴ 221(1)(1)(1)121(1)(1)(1)12n k b n n n k b n n ⎧-+=---+⎪⎪⎨⎪++=+-++⎪⎩ 解得211322k n b n =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴直线A 1A 3的解析式为y=（n-1）x-12n 2+32． ∴CB 2=n （n-1）-12n 2+32=12n 2-n+32 ∴C A 2=CB 2-A 2B 2=12n 2-n+32-12n 2+n-1=12．方法2：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为n-1、n 、n+1． 则A 1B 1=12（n-1）2-（n-1）+1， A 2B 2=12n 2-n+1， A 3B 3=12（n+1）2-（n+1）+1由已知可得A 1B 1∥A 3B 3， ∴CB 2=12（A 1B 1+A 3B 3） =12 [12（n-1）2-（n-1）+1+12（n+1）2-（n+1）+1]= 12n 2-n+32． ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=12n 2-n+32-（12n 2+n-1）=12．（3）当a>0时，CA 2=a ；当a<0时，CA 2=-a ．评注：本题强调从“知识立意”向“能力立意”转变的课程理念，重视基础与能力并重，突出了“观察、猜想、探究”等方面的考查，具有明显层次性，渗透了数形结合的思想方法．同时，本题还给擅长不同思维方式的学生提供了不同的解题思路．例13 设抛物线C的解析式为y=x2-2kx+3）k，k为实数．（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标，试说明当k•变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；（3）在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切，设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA<OB），试问：OAOB是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．分析：先使用配方法求出顶点坐标，通过观察可以发现顶点在一条定直线L上，再结合圆的有关知识探求值，最后通过联立方程组求出直线的解析式．解：（1）配方，得y=（x-k）23k，∴顶点坐标为（k3），对称轴为x=k．（2）设顶点为（x，y），则x=k，3消去k得直线L的解析式为3，如图（a）所示，令k=1，2，3得三个对应顶点坐标为（13），（2，3（3，3）．（3）在3x上任取一点（a，3），设直线与x轴成角为a（0°<a<90°），则tana=a∴a=60°，由切线长定理可知，OO 1平分∠a ， ∴∠O 1OA=30°，如图（a ）所示， 即O 1O=2O 1A ，OO 2=2O 2B ，又OO 2-O O 1=O 1O 2=O 1A+O 2B =2（O 2B-O 1A ） ∴O 1A ：O 2B=1：3． 又12O A OA OB O B =，∴OA OB =13，即OAOB为一定值． （4）如图（b ）要使该直线与抛物线C 中任意一条相截且截得线段长都为6，•则该直线必平行于．设其为x+b ，考虑其与y=x 2相交，则：2,.y x y b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩即x 2x-b ≥0，设此方程两根为x A ，x B ． 又│BC │=[12│AB │]2=32， 9=│x A -x B │2=（x A +x B ）2-4x A x B =3+4b ， ∴b=32，即L 1为x+32． 评注：（2）中消去参数k 求x 、y 的函数关系应掌握；（4）抛物线C 的顶点轨迹为直线x ，若直线L 1与抛物线截得的线段等长，则L 1必与x 平行，在利用截线段长为6时，•只须考虑一种最简单的解析式y=x 2与x 的联立方程组即可．巩固练习一、选择题1．直线y=52x-2与抛物线y=x2-12x的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）互相重合的两个2．关于抛物线y=a x2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（）①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，•当a<0时，情况相反．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同．④一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标．（A）①②③④（B）①②③（C）①②（D）①③④3．若函数y=ax的图象经过点（1，-2），那么抛物线y=ax2+（a-1）x+a+3的性质说得全对的是（）（A）开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交（B）开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交（C）开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交（D）开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交4．函数y=a x2与y=ax（a<0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）5．如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，S △ABC=6，则b的值是（）（A）b=5 （B）b=-5 （C）b=±5 （C）b=4（第5题）（第5题）6．不论x为何值，函数y=ax+bx+c（a≠0）的永远小于0的条件是（）（A）a>0，△>0 （B）a>0，△<0 （C）a<0，△>0 （D）a<0，△<0 7．已知抛物线y=a x2+bx+c如图所示，则关于x的方程a x2+bx+c-3=0的根的情况是（• ）（A）有两个不相等的正实数根（B）有两个异号实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根8．为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，•正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=a x2+bx+c（如图），则下列结论：①a<-160；②-160<a<0；③a-b+c>0；④0<b<-12a，其中正确的结论是（）（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④(第8题) (第12题) (第15题)9．已知：二次函数y=x2+b x+c与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，其顶点坐标为P（-24,24b c b），AB=│x1-x2│，若S△APB=1，则b与c的关系式是（）（A）b2-4c+1=0 （B）b2-4c-1=0 （C）b2-4c+4=0 （D）b2-4c-4=010．若函数y=12（x2-100x+196+│x2-100x+196│），则当自变量x取1、2、3、…、•10这100个自然数时，函数值的和是（）A.540;B.390;C.194;D.9711．已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有（）（A）最小值0 （B）最大值1 （C）最大值2 （D）有最小值1 412．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（）（A）ac+1=b （B）ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是13．若二次函数y=a x2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c 的变化范围是（）（A）0<S<2 （B）S>1 （C）1<S<2 （D）-1<S<114．如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）（A）8 （B）14 （C）8或14 （D）-8或-1415．（2005年全国初中数学联赛初赛试题）如图，直线x=1是二次函数y=a x2+bx+c的图象的对称轴，则有（）（A）a+b+c=0 （B）b>a+c （C）c>2b （D）abc<0二、填空题1．二次函数y=a x2+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是________．2．已知直线y=2x-1与抛物线y=5x2+k交点的横坐标为2，则k=________，•交点坐标为________．3．已知二次函数y1=ax2+b x+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（-2，4）和B（8，2）（如图所示），则能使y1>y2成立的x的取值范围是________．(第3题) (第6题) (第9题)4．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：_______．5．对于反比例函数y=-2x与二次函数y=-x2+3，•请说出它们的两个相同点①______②________；再说出它们的两个不同点①______，②_______．6．如图，已知点M（p，q）在抛物线y=x2-1上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2-2px+q=0的两根，则弦AB的长等于_______．7．设x、y、z满足关系式x-1=1223y z+-=，则x2+y2+z2的最小值为_______．8．已知二次函数y=ax2（a≥1）的图象上两点A、B的横坐标分别是-1、2，点O•是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为________．9．如图，A、B、C是二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的图像上三点，根据图中给出的三点的位置，可得a_____0，c_____0，△_____0．10．炮弹从炮口射出后，飞行的h （m ）高度与飞行的时间t （s ）之间的函数关系是h=v 0tsina-5t 2，其中v 是炮弹发射的初速度，a 是炮弹的发射角，当v 0=300（m/s ），sina=12时，炮弹飞行的最大高度是_______．11．抛物线y=-（x-L ）（x-3-k ）+L 与抛物线y=（x-•3）2•+•4•关于原点对称，•则L+•k=________．12．（2000年全国初中数学联合竞赛试题）a ，b 是正数，并且抛物线y=x 2+ax+2b 和y=x 2+2bx+a 都与x 轴有公共点，则a 2+b 2的最小值是________．13．已知直线y=-2x+3与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB•的面积等于________．14．（2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax 2+bx+c （其中a 是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为________．15．（2005年全国初中数学竞赛浙江赛区试题）在直角坐标系中，抛物线y=x 2+mx-34m 2（m>0）与x 轴交于A ，B 两点，若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足11OB OA=23，则m•的值等于_______． 三、解答题 1．已知抛物线y=23x 2与直线y=x+k 有交点，求k 的取值范围．2．如图，P是抛物线y=x2上第一象限内的一个点，A点的坐标是（3，0）．（1）令P点坐标为（x，y），求△OPA的面积S；（2）S是y的什么函数？（3）S是x的什么函数？（4）当S=6时，求点P的坐标；（5）在抛物线y=x2上求一点P′，使△OP′A的两边P′O=P′A．3．抛物线y=ax2+bx+c的顶点位于直线y=x-1和y=-2x-4的交点上，且与直线y=•4x-4有唯一交点，试求函数表达式．4．已知实数p<q，抛物线y1=x2-px+2q与y2=x2-qx+2p在x轴上有相同的交点A．（1）求A点坐标；（2）求p+q的值．5．已知抛物线y=x2+kx+k-1．（1）求证：无论k是什么实数，抛物线经过x轴上一个定点；（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且满足：x1<x2，│x1│<│x2│，S△ABC=6，问：过A、B、C三点的圆与抛物线是否有第四个交点，试说明理由，•如果有，求出其坐标．6．如图，已知直线y=-2x+2在x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB•为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，过C作CD⊥x轴，垂足为D．（1）求点A、B的坐标和AD的长．（2）求过B、A、D三点的抛物线的解析式．7．如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m•就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？8．先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：材料：过抛物线y=a x2（a>0）的对称轴上一点（0，-14a）作对称轴的垂线L，•则抛物线上任一点P到点F（0，14a）的距离与P到L的距离一定相等．我们将点F与直线L•分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x的焦点为（0，14）．问题：若直线y=kx+b交抛物线y=14x2于A、B，•AC、BD垂直于抛物线的准线L，垂足分别为C、D（如图）．（1）求抛物线y=14x2的焦点F的坐标；（2）求证：直线AB过焦点F时，CF⊥DF；（3）当直线AB过点（-1，0），且以线段AB为直径的圆与准线L相切时，求这直线对应的函数解析式．9．已知某绿色蔬菜生产基地收获的蒜苔，从四月一日起开始上市的30天内，蒜苔每10千克的批发价y（元）是上市时间x（元）的二次函数，•由近几年的行情可知如下信息：（1）求y关于x的函数解析式；（2）蒜台每10千克的批发价为10.8元时，问是在上市的多少天？10．已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知二次函数y=x2+b x+c的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，•一元二次方程x2+b2x+20=0的两实数为x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函数的解析式，•并写出顶点坐标．12．改革开放以来，某镇通过多种途径发展地方经济，1995•年该镇国民生产总值为2亿元，根据测算，该镇国民生产总产值为5亿元时，可达到小康水平．（1）若从1996年开始，该镇国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元，该镇通过几年可达到小康水平？（2）设以2001年为第一年，该镇第x年的国民生产总值为y亿元，y与x•之间的关系是y=19x2+23x+5（x≥0）该镇那一年的国民生产总值可在1995•年的基础上翻两番（•即达到1995年的年国民生产总值的4倍）？13．已知：二次函数y=-x 2+3bx+c 与x 轴交于点M （x ，0），N （x ，0）两点，与y 轴交于点H ．（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°时，求：函数解析式；（2）若│x 1│2+│x 2│2=1，当点Q （b ，c ）在直线y=19x+13上时，求二次函数y=-x+3bx+c 的解析式．14．如图，一次函数y=kx+n 的图象与x 轴和y 轴分别交于点A （6，0）和B （0，23），• 线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D ． （1）试确定这个一次函数关系式；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式．15．如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（•18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，•其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，•当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．（2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标．（3）设从出发起，运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，•并写出此时t的取值范围．（4）设从出发起，运动了t秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，•请求出t的值；如不可能，请说明理由．16．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．答案：一、1～9．CDBDD DCBD10．B．提示：∵x2-100x+196=（x-2）（x-98），∴当2≤x≤98时，│x2-100x+196│=-（x2-100x+196）．∴当自变量x取2、3、…、98时，函数值都为0．而当x取1、99、100时，│x2-100x+196│=x2-100x+196，故所求的和为：（1-2）（1-98）+（99-2）（99-98）+（100-•2）（100-98）=97+97+196=390．11～15．DAACC二、1．互为相反数 2．-17，（2，3）．3．x<-2或x>8 4．y=15x2-85x+3等5．图象都是曲线，都过点（-1，2）；图象形状不同，x取值范围不同6．13.2 7．59148．42+25 9．<、<、> 10．1125m 11．-9 12．2013．如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A（1，1），B（-3，9），作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，∴S△OAB=S梯形AA1BB1-S△AA1O-S△BB1O=12×（1+9）×（1+3）-12×1×1-12×9×3=6．14．由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），所以4,1, 421,32.a b c b aa b c c a-+==--⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩解得 •因为二次函数图象与x轴有两个不的交点，所以△=b 2-4ac>0，（-a-1）2-4a （3-2a ）>0，即（9a-1）（a-1）>0，• 由于a 是正整数，故a>1，所以a ≥2．又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，•满足题意， 故b+c 的最大值为-4． 15．2．提示：设方程x 2+mx-34m 2=0的两根分别x 1，x 2，且x 1<x 2， 则有x 1+x 2=-m<0，x 1x 2=-34m 2<0，•所以x 1<0，x 2>0，由11OB OA -=23，可知OA>OB ，又m>0， 所以抛物线的对称轴y 轴的左侧，于是OA=│x 1│=-x 1，OB=x 2． 所以2111x x +=23，1212x x x x +=23，故234m m --=23，解得m=2．三、1．由题意知，方程组22,3.y k y x k ⎧=⎪⎨⎪=+⎩有实数解，即方程23x 2=x+k 有实数解， 整理，得2x 2-3x-3k=0，∴△=9-4×2×（-3k ）≥0，∴k ≥-38． 2．（1）S=32y ，又y =x 2，∴S=32x 2；（2）正比例函数；（3）二次函数；（4）P （2，4）；（5）P ′（32，94）．3．y=23x 2+43x-43．4．（1）A （-2，0）；（2）p+q=-2．5．（1）（-1，0）；（2）过A ，B ，C 三点的圆与抛物线有第四个交点D ．∵│x 1│<│x 2│，•C 点在y 轴上， ∴点C 不是抛物线的顶点，由于抛物线都是轴对称图形，过A 、B 、C 三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形，所以过A 、B 、C•三点的圆与抛物线第四个交点与C 是对称点．∵x1=-1<0，x1<x2，│x1│<│x2│，∴x2>1，即x2>-1，-k>1，∴k<0，∵S△ABC=6，∴12│1-•k│）·（1+│1-k│）=6，∴（1-k）2+（1-k）-12=0，解得1-k=-4或1-k=3，∴k=-2或k=5（舍去），∴y=x2-2x-3．其对称轴为x=1，据对称性，D点坐标为（2，-3）．6．（1）A（1，0），B（0，2），AD=2；（2）y=23x2-83x+2．7．y=-125x2；5小时8．（1）F（0，1）；（2）∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC．又∵AC∥OF，∴∠ACF=∠CFO，∴CF平分∠AFO．同理DF平分∠BFO．而∠AFO+∠BFO=180°，∴∠CFO+∠DFO=12（∠AFO+∠BFO）=90°，∴CF⊥DF．（3）设圆心为M切L于N，连结MN，∴MN=12 AB．在直角梯形ACDB中，M•是AB中点，∴MN=12（AC+BC）．而AC=AF，BD=BF，∴MN=12（AF+BF），∴AF+BF=AB．∴AB过焦点F（0，1），又AB过点（-1，0），∴1bk b=⎧⎨-+=⎩∴AB对应的函数解析式为y=x+1．9．（1）设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c．根据题意，得15255 1022515 1562525a b ca b ca b c=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩。
专题11 二次函数-九年级数学专题讲座之剖析经典总结规律(解析版)
※知识精要1．形如2y ax bx c =++ （其中0, ,,a a b c ≠为常数 ）的函数叫做二次函数。
2. 二次函数的性质：①抛物线的顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭,对称轴2b x a =- 。
②当时，抛物线向上开口；在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，当2bx a=-时，y 有最小值，最小值是244ac b y a -= 。
当时，抛物线向下开口；在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，当2bx a=-时，y 有最大值，最大值是244ac b y a -= 。
③a 越大抛物线的开口越小，a 越小抛物线的开口越大。
3.二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时即，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时即，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于；※要点突破1. 一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．2.二次函数综合运用.解题关键点：画出图形，数形结合分析问题，把问题转化为相应函数问题解决.※典例精讲例．已知二次函数y = 2x 2 -4x -6.（1）用配方法将y= 2x2 -4x-6化成y=a (x-h) 2 +k的形式；并写出对称轴和顶点坐标。
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当x取何值时，y随x的增大而减少？（4）当x取何值是，，y<0，（5）当时，求y的取值范围；（6）求函数图像与两坐标轴交点所围成的三角形的面积.【答案】（1）x=1，（1，-8）;（2）图略;（3）x<1; （4）x=1或-3，x<-1或x>3，-1<x<3;（5）;（6）12(2)如图所示:※课堂精练一、单选题1．抛物线的顶点坐标（）A．(-3，4) B．(-3，-4)C．(3，-4) D．(3，4)【答案】D【解析】因为是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（-3，4），2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象A．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位B．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位C．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位D．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位【答案】A3．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．解：设此函数解析式为：y=ax2（a≠0），那么（2，-2）应在此函数解析式上．则-2=4a即得a=-，那么y=-x2．4．已知二次函数的部分图象如图所示，若连接该函数与坐标轴的交点所得到的三角形面积为20，则该函数的最大值为A．B．C．5 D．【答案】D5．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是A．，B．，C．，D．，【答案】A6．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：小聪观察上表，得出下面结论：抛物线与x轴的一个交点为；函数的最大值为6；抛物线的对称轴是；在对称轴左侧，y随x增大而增大其中正确有A．B．C．D．【答案】D【解析】根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下，当时，，即抛物线与x轴的交点为和；因此可得抛物线的对称轴是直线，再根据抛物线的性质即可进行判断．解：根据图表，当，，根据抛物线的对称形，当时，，即抛物线与x轴的交点为和；抛物线的对称轴是直线，根据表中数据得到抛物线的开口向下，当时，函数有最大值，而不是，或1对应的函数值6，并且在直线的左侧，y随x增大而增大，所以正确，错，故选D．【点睛】本题考查了抛物线的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大．7．抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中：；；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则．其中正确的有A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B方程有两个不相等的实数根，故正确；抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故正确；抛物线的对称轴是，有最大值是，点在该抛物线上，，故正确，本题正确的结论有：，4个，故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质．8．（题文）如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论；；；；的实数其中正确结论的有A．B．C．D．【答案】B，故不正确；当时，，，故正确；由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确；，，，，，故不正确；当时，y的值最大此时，，而当时，，所以，故，即，故正确，故正确，故选B．9．已知二次函数为常数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为A．1或B．或5 C．1或D．1或3【答案】C10．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B11．已知函数y1=x2与函数y2=x+3的图象如图所示，若y1<y2，则自变量x的取值范围是()A．-<x<2 B．x>2或x<-C．-2<x<D．x<-2或x>【答案】C12．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（）A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6【答案】C【解析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值，由2017÷5=403…2，可知点P（2018，m）在此“波浪线”上C404段上，求出C404的解析式，然后把P（2018，m）代入即可．解：当y=0时，﹣x（x﹣5）=0，解得x1=0，x2=5，则A1（5，0），∴OA1=5，∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，得到一“波浪线”，∴A1A2=A2A3=…=OA1=5，∴抛物线C404的解析式为y=（x﹣5×403）（x﹣5×404），即y=（x﹣2015）（x﹣2020），当x=2018时，y=（2018﹣2015）（2018﹣2020）=﹣6，即m=﹣6．故选：C．13．把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式是_____．【答案】y=（x﹣2）2﹣114．若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为【答案】【解析】抛物线，顶点坐标为，顶点在第一象限，且，的取值范围为，故答案为：．15．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______．【答案】【解析】，，，，．故答案为：．16．已知抛物线与关于原点对称，我们称与互为“和谐抛物线”请写出抛物线的“和谐抛物线”______．【答案】【解析】抛物线的“和谐抛物线”是，化简，得，故答案为：．17．将抛物线向上平移一个单位，向右平移两个单位，直线恰好经过平移后的抛物线的顶点，则b的值是______．【答案】18．二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________【答案】0或4【解析】根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量x的值，然后根据m的范围求出m的值即可.解：令y=5，可得x2－2x－3=5，解得x=-2或x=4所以m-2=-2，m=4即m=0或4.故答案为：0或4.19．某数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列了如下表格：根据表格中的信息回答问题：当x=3时，y=____.【答案】-420．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是___．【答案】【解析】在同一坐标系xOy中,画出函数二次函数y=-x2+1与正比例函数y=-x的图象,如图所示,设它们交于点A、B,令-x2+1=-x,即x2-x-1=0,解得:x=或,∴A（,）,B（,）,观察图象可知:当x≤时,min{-x2+1,-x}=-x2+1,函数值随x的增大而增大,其最大值为,当＜x≤时,min{-x2+1,-x}=-x,函数值随x的增大而减小,没有最大值;当x＞时,min{-x2+1,-x}=-x2+1,函数值随x的增大而减小,最大值为综上所示,min{-x2+1,-x}的最大值是,故答案为:21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．【答案】y=x2﹣x﹣2．22．已知二次函数（为常数）.（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点；（2）当取什么值时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方？【答案】（1）证明见解析；（2）时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.【解析】（1）首先求出与x轴交点的横坐标，,即可得出答案;(2)求出二次函数与y轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于0即可求出.解：（1）证明：当时，.解得，.当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程有两个不相等的实数根.所以，不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点.（2）解：当时，，即该函数的图像与轴交点的纵坐标是.当，即时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.23．某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:（1）求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;（2）求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?（3）该经销商想要每天获得168元的销售利润,销售价应定为多少?【答案】（1）y与x之间的函数关系式y=-2x+60(10≤x≤18)；（2）当销售价为18元时,每天的销售利润最大,最大利润是192元；（3）该经销商想要每天获得168元的销售利润,销售价应定为16元.（2）W=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600,对称轴x=20,在对称轴的左侧y随着x的增大而增大,∵10≤x≤18,∴当x=18时,W最大,最大为192.即当销售价为18元时,每天的销售利润最大,最大利润是192元（3）由168=-2x2+80x-600,解得x1=16,x2=24(不合题意,舍去)答:该经销商想要每天获得168元的销售利润,销售价应定为16元.24．如图，抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，其中A(－1，0)，与y轴交于点C(0，2)．（1）求抛物线的表达式及点B坐标；（2）点E是线段BC上的任意一点（点E与B、C不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G．①设点E的横坐标为m，用含有m的代数式表示线段EF的长；②线段EF长的最大值是．【答案】（1）y＝－x2＋x＋2，B（4，0）；（2）①－m2＋2m；②2当y＝0时，x1＝－1，x2＝4，故B(4，0)（2）①设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，将B(4，0)、C(0，2)代入得：y＝－x＋2，EF＝FG－GE＝－m2＋m＋2－(－m＋2)＝－m2＋2m② 226．如图，已知抛物线过点，，，顶点为D．求抛物线的解析式；设点，当的值最小时，求m的值；若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）.解得抛物线的解析式为配方，得，顶点D的坐标为作B点关于直线的对称点，如图1，则，由得，可求出直线的函数关系式为，当在直线上时，的值最小，则．，当时，的面积的最大值是；27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．点P、Q分别是AB、BC上的动点，当点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设P、Q同时运动的时间为t秒（0<t<2).（1）求抛物线的表达式；（2）设△PBQ的面积为S ，当t为何值时，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？【答案】（1）y=38x2−34x−3；（2）当t=1时，S△PBQ最大=910.；（3）当t的值是32秒或3023秒或4829秒时,△CPQ为等腰三角形.∴PB=6−3t.由题意得,点C的坐标为(0,−3).在Rt△BOC中,BC5=. 如图1，过点Q作QH⊥AB于点H.∴QH∥CO，∴△BHQ∽△BOC∴HQ BQOC BC=,即35HQ t=∴HQ=3 5 t.∴S△PBQ=12PB⋅HQ=12(6−3t)⋅35t=−910t2+95t=−910(t−1)2+910.∴当t=1时，S△PBQ最大=910. （）答：运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是9 10；。
二次函数专题全解教学讲义
二次函数专题全解教学讲义第一讲：二次函数基础知识讲解知识网络二次函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→二次函数的应用程的关系二次函数与一元二次方二次函数的平移图象及性质解析式的求法两点式顶点式一般式分类解析式数含义二次函数一般式中的系定义（或判定）考点解读考点1：二次函数的概念:y=ax 2＋bx+c(a ≠０，a 、b 、c 为常数)的函数叫做二次函数.判断二次函数的三要素，缺一不可:①函数关系式是整数；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项的系数不为0.考点2.抛物线y=ax 2＋bx+c 中系数a 、b 、c 的作用(1)a 的作用：a 的符号决定抛物线的开口方向．a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下．a 的绝对值决定抛物线的开口大小.|a|越大，抛物线开口越小．(2)b 与a 共同决定对称轴的位置：若a 、b 同号，则对称轴位于y 轴左侧；若a 、b 异号，则对称轴位于y 轴右侧；若b=0，则对称轴是y 轴．（可简单记忆为“左同右异”，一定要自己推导一篇，不但要把对称轴的横坐标和0作比较，还要联想到可以吧对称轴的横坐标和1，-1做比较）(3)c 的作用：c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置．若c>0，则抛物线交y 轴于正半轴；若c<0，则抛物线交y 轴于负半轴；若c=0，则抛物线过原点．c 的值就是抛物线与y 轴交点的纵坐标．（4）b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数（5）a+b+c ，a-b+c 是分别横坐标为1，-1是y 的取值. 考点3 二次函数的解析式1.二次函数的解析式的三种设法：（1）一般式：y=ax2＋bx+c (a≠０，a、b、c为常数);（2）顶点式： y=a(x-h) 2＋k(a≠０，a、h、k为常数);（3）两点式：y=a(x-x1）（x-x2）(a≠０，a、x1、x2为常数)．2.二次函数解析式的求法（1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得y=ax2＋bx+c;（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴，则可采用顶点式；（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式：y=a(x-x1）（x-x2），其中与x轴的交点坐标为（x1，０），（x2，０）．考点4 二次函数的图象和性质考点5 二次函数图象的画法y=ax2＋bx+c的步骤：①把二次函数y=ax2＋bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2＋k(a≠0)的形式；②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图．考点6 二次函数图象的平移:“上加下减，左加右减”（1）将y=ax2的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移｜c｜个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是(0，c).形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．（2）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，即可得到y=a(x-h) 2的图象．其顶点是(h,0)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．（3）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x-h)2＋k的图象，其顶点是(h,k)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．考点7 二次函数与一元二次方程的关系（1）一元二次方程ax2＋bx+c＝0就是二次函数y=ax2＋bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0没有实数根．考点8 二次函数的应用函数的应用指的是运用函数概念建立函数模型，研究、解决某些实际问题的过程和方法，它包括两个方面：(1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；(2)用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求函数的最大(小)值．课后测验一、填空题1、已知函数y=(m+2)xm(m+1)是二次函数,则m=______________.2、二次函数y=-x2-2x的对称轴是x=_____________3、函数s=2t-t2,当t=___________时有最大值,最大值是__________.4、已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=__________.5、抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____,若将它旋转180º后得新的抛物线,其解析式为_________.6、抛物线y=5x-5x2+m的顶点在x轴上,则m=_____________________.7已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是___________________.8、已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,在x轴上方的抛物线上有一点C,且△ABC的面积等于10,则点C的坐标为________.9、把抛物线y=2(x+1)2向下平移____单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为5.10、如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________11、已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1,x2(x1<x2),则对于下列结论:(1) 当x= -2时,y=1;(2) 当x> x2时,y>0;(3)方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1,x2;(4) x1<-1,x2>-1;(5) x2 -x1=,其中正确的结论有：_ __ _(只需填写序号)12、已知二次函数y=x2-2(m-1)x-1-m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0), x1<0<x2,与y轴交于点C, 且满足OC(OB-OA)=2OA·OB,则该二次函数的解析式为______ _ ___二.选择题13.抛物线y=(x-1)2+1的顶点坐标是( )(A) (1,1) (B) (-1,1) (C) (1,-1) (D) (-1,-1)14.抛物线y=-x2+x+7与坐标轴的交点个数为( )(A) 3个(B) 2个(C) 1个(D) 0个15.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( )(A) b=3,c=7 (B) b=-9,c=-15 (C) b=3,c=3 (D) b=-9,c=2116.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为（）(A) a+c (B) a-c (C) -c (D) c17.当a,b为实数，二次函数y=a(x-1)2+b的最小值为-1时有( )(A) a<b (B) a=b (C) a>b (D) a≥b18.已知函数y=3x2-6x+k(k为常数)的图象经过点A(0.85,y1)，B(1.1,y2),C(2,y3),则有( )(A) y1<y2<y3(B) y1>y2>y3(C) y3>y1>y2(D) y1>y3>y219如果二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y=2x2-x-1的图象的对称轴上，那么一定有( ) (A) a=2或-2 (B) a=2b (C) a=-2b (D) a=2,b= -1,c=-120抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0)，且满足4a+2b+c>0.以下结论(1)a+b>0;(2)a+c>0;(3)-a+b+c>0;(4)b2-2ac>5a2其中正确的个数有( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个三解答题：21．已知函数的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围。
第8讲：二次函数(专题讲座1)
（聚焦2008）第8讲：二次函数专题讲座（一）二次函数的解析式的三种形式（1）标准式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；（2）顶点式：y=a （x+m ）2+n （a ≠0）；（3）两根式：y=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）【例1】已知二次函数y=f （x ）同时满足条件：（1）f （1+x ）= f （1－x ）；（2）y=f （x ）的最大值是１５；（3）f （x ）＝０的两根立方和等于１７。
求y ＝f （x ）的解析式。
（二）二次函数的基本性质（1）二次函数f （x ）=a x 2+bx+c （a ≠０）的图像是一条以（－ab 2，acb ac 442-）为顶点，直线x ＝－a b 2为对称轴的抛物线。
（2）二次函数的奇偶性：二次函数为偶函数⇔b=0；若b ≠0，则二次函数为非奇非偶函数。
（3）二次函数的单调性①当a>0时，抛物线的开口向上，函数y=f （x ）在区间(－∞，－a b 2]上单调递减；在（－a b 2，+∞）上单调递增；此时函数在x=－ab 2处取得最小值ab ac 442-； ②当a ＜0时，抛物线的开口向下，函数y=f （x ）在区间（－∞，－a b 2]上单调递增；在（－a b 2，+∞）上单调递减；此时函数在x=－ab 2处取得最大值ab ac 442-。
注意：二次函数单调区间实质是利用对称轴来划分的。
【例2】设函数y=x 2+x+21的定义域为[n ，n+1]（n ∈N ），则f （x ）的值域内有（ ）个整数。
答案：【例3】（1）若函数y=lg （x 2+2x+a 2）的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
（2）若函数y=lg （x 2+2x+a 2）的值域为R ，求实数a 的取值范围。
注意：总结上面两题的结论。
【例4】作下列函数的图像，并指出函数的单调区间：（1）y=|x 2+3x －4|；（2）y=－x 2+2|x|+3；（3）y=212--x x 。
二次函数的图像与性质专题讲座
二次函数的图像与性质一、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数.其中，x 是自变量，,,a b c 分别是表达函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
2y ax bx c =++（0a ≠）也叫做二次函数的一般形式。
例1、下列函数中，哪些是二次函数？ （1）22y x = （2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）211y x=- （4）322-+=x x y （5）2y ax bx c =++变式1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）02=-x y （2）222(1)y x x =-+ （3）xx y 12+= （4）y =例2 已知函数222(4)(32)1y m x m m x m =-+-+-- （1） 当m 为何值时，y 是x 的二次函数； （2） 当m 为何值时，y 是x 的一次函数。
变式2 m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？是以x 为自变量的一次函数？二、二次函数2y ax =的图像与性质：（1）开口方向: （2）对称轴：（3）增减性：当 时，y 随着x 的增大而减小；当 时，y 随着x 的增大而增大. （4）顶点： __________.（5）最值： a _______函数有最 值 ，a _______函数有最 值 .例3 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y =; （2）23x y -=; （3）231x y =.变式3 （1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．例4 已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．变式4 （1）已知抛物线102-+=k k kx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．则=k .（2）已知函数1222)(--+=k k xk k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y 随x 的增大而增大．（3）四个二次函数的图象中，分别对应的是：①2ax y =；②2bx y =；③2cx y =；④2dxy =则a 、b 、c 、d 的大小关系为三、函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a ≠0）的图象：例5、通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图变式5、利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y（3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=2例6、已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．变式6、已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．例7、已知2()y a x h k =-+是由抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线。
二次函数讲义-详细之令狐文艳创作
第一讲 二次函数的定义令狐文艳知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例1、函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m=． 例2、下列函数中是二次函数的有（）①y=x ＋x1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x ＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．训练题:1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．2、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。
3、已知函数y=(m －1)x 2m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6．下列不是二次函数的是（）A ．y=3x 2＋4B ．y=－31x 2C ．y=52-xD ．y=（x ＋1）（x －2）7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数 8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．10．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE=；（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．第二讲 二次函数的图像和性质知识点归纳：1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=. （2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条对称轴平行y 轴或者与y 轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。
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二次函数专题讲座思维基础: （一）填空：1．二次函数2)3(212++=x y 的图象的开口方向是向，顶点从标是 ，对称轴是。
2．抛物线7)1(82-+--=m x m x y 的顶点在x 轴上，则m 的值等于 . 3.如果把第一条抛物线向上平移a 49个单位（a >0），再向左平移25个单位，就得到第二条抛物线2ax y =，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是 ________.（二）选择：1.如图代13-3-1所示二次函数c bx ax y ++=2的图象，则有（ ）图代13-3-1 图代13-3-2A.a+b+c <0B.a+b+c=0C.a+b+c >0D.a+b+c 的符号不定2.如图1-3-2是抛物线c bx ax y ++=2的图象，则下列完全符合条件的是（ ）A.a <0，b <0，c >0，b 2<4ac B.a <0，b >0，c <0，b 2<4acC.a <0，b >0，c >0，b 2>4acD.a >0，b <0，c <0，b 2>4ac3．已知抛物线的对称轴为x=1，与x 轴、y 轴的三个交点构成的三角形的面积为6，且与y 轴的交点到原点的距离为3，则此二次函数的解析式为（ ）A.322++-=x x y 或322--=x x y B.322-+-=x x y 或322++=x x y C.322++-=x x y 或322-+=x x y D.332---=x x y 或322--=x x y 学法指要：例 在直角坐标系中，二次函数m nx x y -++=224321的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 在点B 的左边，若∠ACB=90°，1=+COBOAO CO .（1）求点C 的坐标及这个二次函数的解析式；（2）试设计两种方案，作一条与y 轴不平行，与△ABC 的两边相交的直线，使截得的 三角形与△ABC 相似，并且面积是△AOC 面积的四分之一.【思考】 （第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y 轴的交 点坐标？3.如何设出抛物线与x 轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？【思路分析】 本例必须准确设出A ，B 两点坐标，再求出C 点坐标，并会用它们表 示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，水到渠成.解：（1）依题意，设A(a,0),B(β,0)其中a <0, β>0，则a,β是方程,,90.22.02),2,0(,24321,021).2(2).2(2.02432122O AB CO ACB m m OC m m C x m nx x y a m a a BO AO m m nx x 于点其中轴有两个交点与抛物线的两个根⊥=∠-=-=∴<--∴-++=>=-=⋅-=⋅=⋅∴-=⋅∴=-++ βββα ∴△AOC ∽△COB 。
).0,4(,.42.12,,1,24321,4).2,0(.,02,4.,02,2.4,2,).2(2)2(.,::22122-∴=⋅=∴=⋅∴==+++==∴<-==-===-=-∴⋅=∴=∴的坐标是点轴负半轴上在点二次函数时当的坐标是点符合题意时当不合题意时当得解这个方程A x A CO AO AOCO COBOAO CO OC BO AO CO nx x y m C m m m m m m m m BO AO CO CO BO AO CO把A （-4，0）代入①，得.2)4(43)4(2102--⋅⋅+-⨯=n 解这个方程得n=2.∴所求的二次函数的解析式为现在来解答第二问。
.223212-+=x x y【思考】这第二问所要求作的三角形应具备什么条件？什么样的三角形与△ABC 相似？在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比？在一个图形上作一和直线，需要确定什么？△ABC 是一个什么样的三角形？【思路分析】①所求的三角形与△ABC 相似；②所求的三角形面积=.41AOC S ∆ 所求三角形若与△ABC 相似，要具备有“两角对应相等”，“两边对应成比例且夹角相等”，“三边对应成比例”等判定两三角形相似的条件。
在两三角形相似的条件下，“两三角形面积的比等于相似的平方”，即找相似比等于1:2. 在一个图形上，截得一个三角形，需要作一条直线，作一条直线应在图形上确定两个点，且这条直线不能与y 轴重合。
分析至此问题十分明确，即在△ABC 的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线。
再来分析△ABC 是一个什么样的三角形，猜测它是直角三角形最为理想。
从第一问得知的条件A （-4，0）B （1，0），C （0，-2）可用勾股定理推出，△ABC 确是直角三角形。
这样△ABC ∽△CAO ∽△BCO ，且A B C B O CS S ∆∆=41为作符合条件的直线提供了条件。
下边分述作符合条件直线的方案。
方案1:依据“三角形两边中点的连线，截得的三角形与原三角形相似”，其相似比是1:2，面积的比为1:4。
作法：取AO 的中点D ，过D 作D D '∥OC ， ∴D '是AC 的中点。
∴ AD ：AO=1：2， 即 △AD 'D=AOC S ∆41. △AD 'D ∽△ACO ∽△ABC.图代13-3-3∴DD '是所求作的直线，AD 'D 是所求作的三角形。
方案2：利用∠C 作一个△BCF △COB 。
作法：在CA 上截取CE ，使CE=CO=2，在CB 上截取CF ，使CF=BO=1，连结EF ，则△BCF 即为所求，如图代13-3-4所示。
请读者证明。
图13-3-4图13-3-5方案3：在AC 上截取AG ，使AG=CO=2，在AB 上截取AH ，使AH=BC=5，连结GH ，则△AGH 为所求，如图代13-3-5所示，请读者去证明。
方案4：在CA 上截取CM ，使CM=BO=1，在CB 上截取CN ，使CN=CO=2，连结MN ，则△CMN 为所求，如图代13-3-6所示，请读者去证明。
图13-3-6图13-3-7方案5：在BA 上截取BP ，使BP=BC=5，在BC 上截取BQ ，使BQ=BO=1，连结PQ ，则△BPQ 为所示，如图代13-3-7所示。
请读者去证明。
思维体操例 一运动员推铅球，铅球刚出手时离地面321米，铅球落地点距离铅球刚出手时 相应地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线.求这个抛物线的解析式.图13-3-8如图，结合题意，知抛物线过)0,10(),3,(),321,0(C m B A ，用一般式：+=2ax y c bx + 解之，于是有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=.344,010100,352a b ac c b a c 解方程组，得35,152,3001111=-=-=c b a ； 35,32,121222==-=c b a .∴所求抛物线解析式为351523002+--=x x y 或35321212++-=x x y .∵3)20(30013515230022++-=+--=x x x y ，这时，抛物线的最高点（-20，3）不在运动员与铅球落地之间，不合题意，舍去.∴所求抛物线解析式为35321212++-=x x y （0≤x ≤10）. 【扩散2】 仿扩散1知抛物线过)0,10(),3,(,35,0C m B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛.因B 为顶点，所以利用顶点式最宜，于是可设抛物线的解析式为3)(2+-=m x a y .又其图象过A ，C 两点，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-.03)10(,353)0(22m a m a 解方程组，得20,300111-=-=m a ； 4,12122=-=m a .∵抛物线3)20(30012++-=x y 最高点（-20，3）不在运动员和铅球之间，不合题意，∴舍去.故所求抛物线的解析式是3)4(1212+--=x y （0≤x ≤10）. 【扩散3】 抛物线与x 轴交于两点，即D （x ，0），C （10，0），联想截距式解之. 于是设抛物线解析式为)10)((1--=x x x a y ， 其图象又过A ，C 两点，则有35)100)(0(1=--x a ，∴611=ax . 又 )10)((1--=x x x a y11210)10(ax ax x ax ++-=，∴34])10([104211=+--⋅aa x ax a . ② ①②联立解方程组，得50,30011-='-=x a ；2,12112-=''-=x a . 但)10)(50(3001-+-=x x y 不合题意，舍去. 故所求二次函数解析式为)10)(2(121-+-=x x y （0≤x ≤10）.【扩散4】 由抛物线对称性,设⎪⎭⎫ ⎝⎛35,0A 对称点⎪⎭⎫ ⎝⎛'35,2m A ,B(m ，3)，又C （10，0），应用一般式可获解.设抛物线c bx ax y ++=2，则可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++.03510100,353524,33522b a bm am bm am 解这个方程组，得4,2021=-=m m .∵（m ，3）在第一象限，∴m >0.∴m=-20（舍去），∴m=4.进而求得： .32,121=-=b a 故所求抛物线解析式是：35321212++-=x x y （0≤x ≤10）.【扩散5】 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA=1千米，tg α=289,tg β=83,位于O 点正上方35千米D 点处的直升飞机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中的E 点）. （1）若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式； （2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C 的理由. 【思路分析】①本例应用扩散1～4思路均可，尤以扩散2应用顶点式最佳，读者可仿扩散2求得抛 物线解析式为：35321212++-=x x y （0≤x ≤10）. ②过点C 作CB ⊥Ox ，垂足为B ，然后解Rt △OBC 和Rt △ABC ，可求得点⎪⎭⎫ ⎝⎛49,7C 在抛物线35321212++-=x x y 上，因此可击中目标C （请读者自己写出完整解答过程）. 【扩散6】 有一抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的图形放在坐标系里（如图所示），若在离跨度中心M 点5m 处垂直竖直一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？图代13-3-9【思路分析】 本例仿扩散2可设抛物线解析式为16)20(2+-=x a y （0≤x ≤40）， 又抛物线过原点，进而求得16)20(2512+--=x y ，在距离M 点5m 处，即它们的横坐标是x 1=15或x 2=25，分别代入抛物线解析式，求得y 1=y 2=15.所以铁柱应取15m 长.【评析】 由扩散1～6，抛物线应用从体育方面，扩散到军事，涉及现代科技、导弹、 直升飞机等.进而又扩散到桥梁建筑，涉及到现代化建设的方方面面，告诉同学们，必须学好课本知识，才能适应现代化的需要.图13-3-10本例的解题思路扩散，把顶点式、一般式、截距式、抛物线的对称性都进行了展示， 我们可以根据不同的情况，迅速进行决策，选设不同的解析式，达到求解的目的. 心中有数：二次函数的知识，是初中三年级数学的重点内容.在解有关二次函数的问题时，应用待 定系数法和方程、方程组的知识，用数形结合、观察、想象的思想方法，应当深入理解和掌握这部分知识. 动手动脑：1.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在采 用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提高1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润为最大，并求出最大利润？2.已知抛物线43432+⎪⎭⎫⎝⎛+-=x m mx y 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，若 △ABC 是等腰三角形，求抛物线的解析式.3.已知抛物线63)5(222+++-=m x m x y .（1）求证：不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点，并且有一个交点是A （2，0）. （2）设抛物线与x 轴的另一个交点为B ，AB 的长为d ，求d 与m 之间的函数关系式. （3）当d=10，P （a ，b ）为抛物线上一点. ①当△ABP 是直角三角形时，求b 的值；②当△APB 是锐角三角形、钝角三角形时，分别写出b 的范围（不要求写出解答过程）. 创新园地：如图，有一模型拱门，其拱门的徒刑为抛物线的一部分（该抛物线为二次函数 c bx ax y ++=2的图形），拱门宽AB=20cm ，拱门高PO 为8cm ，已知小明的玩具车宽为12cm ，车高hcm ，就能顺利通过这拱门，那么满足这个条件h 的最大整数为 .提示：本例没有告知拱门所在坐标，这就需要我们自己建立直角坐标系后求解.图13-3-11。