三角函数在各个象限的符号
三角函数的符号
y y y
+
o
+
x
－
o
+
x
－
o
+
x
－
－
－
+
+
－ tanα
sinα
cosα
由三角函数的定义，还可以知道：终边相同的角 的同一三角函数的值相等，由此，得到一组公式：
sin （ k 360 ） sin
o
cos （ k 360 ） cos
o
0 A、 sin(-660 ) 0 C、cos(-740 )
B、 tan1600 D、 sin(4200 ) cos5700
4、若 tan sin 0且 tan cos 0，则是（ B ）
A、 第 一 象 限 角 B、 第 二 象 限 角 C、 第 三 象 限 角 D、 第 四 象 限 角
sin cos 1
2 2
sin tan cos
( k
2
,k Z)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于 角 的正切.
“同角”二层含义:一是”角相同”, 二是”任意”一个角.
3 已知 sin ,求 cos , tan 的值. 5 解:因为 sin 0, sin 1, 所以 是第三或第四象限角.
2 cos2 1 (2) 1 2 sin 2
(1) sin 4 cos4 sin 2 cos2
(2) sin sin cos cos 1
4 2 2 2
小结:
1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系. 发现规律
各象限角的三角函数值的符号
( B) ( D)
sin 0 且cos 0 sin 0 且cos 0
3、在△ABC中，下列函数中可以是负值的是（ D ）
( A) sin A
( B) A BC (C ) cos tan 2 2
( D) tan A
二、填空题
25 1、计算： tan 3
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
y 1 、正弦函数值 sin r
y
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r y 第四象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
一、复习回顾
1、任意角三角函数的定义
y r 正弦： sin 余割： csc r y x r 余弦： cos 正割： sec r x y x 正切： tan 余切： cot x y
(1) sin 280 (4)
25 sin 4
0
(2) cos473
0
742.3 ) (3) tan(
0
Hale Waihona Puke 38 ) (5) cos( 5
e
62 tan( ) 5
解 (1)因为280°就是第四象限角，所以
sin 280 < 0
0
(2)
(5)
cos473 0 (3)
0
tan(742.3 ) 0
o
x
x 第一象限：x 0, r 0, 故 为正值； r x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
高中数学三角函数的值在各象限的符号旧人教高中必修第一册(下)
三角函数的值在各象限的符号 目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。
过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值二、提出课题 然后师生共同操作：1．第一象限：0,0.>>y x ∴sin α>0,cos α>0,tan α>0,cot α>0,sec α>0,csc α>0 第二象限：0,0.><y x ∴sin α>0,cos α<0,tan α<0,cot α<0,sec α<0,csc α>0 第三象限：0,0.<<y x ∴sin α<0,cos α<0,tan α>0,cot α>0,sec α<0,csc α<0 第四象限：0,0.<>y x ∴sin α<0,cos α>0,tan α<0,cot α<0,sec α>0,csc α<0 记忆法则：ααcsc sin 为正 全正 ααcot tan 为正 ααsec cos 为正 2．由定义：sin(α+2k π)=sin α cos(α+2k π)=cos α tan(α+2k π)=tan αcot(α+2k π)=co αsec(α+2k π)=sec α csc(α+2k π)=csc α三、例一求证角θ为第三象限角的充分条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin ϑθ )2()1( 证：必要性：若θ是第三象限角，则必有sin θ<0,tan θ>0充分性：若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若sin θ<0 则θ角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴 若tan θ>0，则角θ的终边可能位于第一或第三象限∵⑴ ⑵ 都成立 ∴θ角的终边只能位于第三象限∴角θ为第三象限角四、练习：1．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为…………（B ）A ：锐角三角形B ：钝角三角形C ：直角三角形D ：以上三种情况都可能2．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是……………………………（B ）A ：sin α+cos α<0B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<03．已知θ是第三象限角且02cos <ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 解：∵2)12()12(ππϑπ++<<+k k )(Z k ∈ ∴4322ππθππ+<<+k k )(Z k ∈ 则2ϑ是第二或第四象限角 又∵02cos<ϑ 则2ϑ是第二或第三象限角 ∴2ϑ必为第二象限角 4．已知1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？解： 由1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ ∴sin2θ>0∴2k π<2θ<2k π+π )(Z k ∈ ∴k π<θ<k π+2π∴ 为第一或第三象限角。
5.4三角函数在各象限的符号
解 （2）因为 27 角为第 象限角，
解 （1） 因为 54327º角为第
象限角，
故故sinsin2754327o 0， co0s，275
0，
co2s74327o tatnan54327o
0．
0， 0．
三
例3 根据条件 sin 0 且 tan 0 ， 确定 是第几象限的角．
角 y
2．计算：
cos tan 1 tan2 sin 3 cos
2
43 3
2
三 角 函 数
归纳小结 自我反思
本次课学习 哪些内容？
你会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
再见
y
函
++
-+
数
-o - x
sinα
+o - x
tanα
三 角 函 数
应用知识 强化练习 练习5.3.2
1.判断下列角的各三角函数符号
（1）525º；（2）-235
º；（3）
19 6
；（4）
3 4
．
2．根据条件 sin 0 且 tan 0 ,
确定 是第几象限的角．
几个特殊角的三角函数
sinα>0 y
cosα<0 tanα<0
sinα>0 cosα>0 tanα>0
sinα<0 o
cosα<0 tanα>0
sinα<0 x
cosα>0 tanα<0
动脑思考 探索新知
三
任意角三角函数的符号：
y
角++
y
-+
2、三角函数值在各象限的符号
y
x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
o
x
y 3 、正切函数值 tan x
y 第一象限：x 0, y 0, 故 为正值； x
三角函数值在各象 限的符号
复习旧知
任意角三角函数的定义：
在角α的终边上任取一点P(x,y),点P到原点的距离记作r，
有：r | OP |
x2 y 2 r 0
x r , tan α y x
那么我们定义
sin α
y r
, cos α
新课讲授
三角函数值在各象限内的符号：
y 第二象限：x 0, y 0, 故 为负值； x
y
y 第三象限：xБайду номын сангаас 0, y 0, 故 为正值； x
第四象限：x 0, y 0, 故 y 为负值； x
o
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin
口诀：
cos
tan 、 cot
“一全正、二正弦、三正切、四余弦”
例题赏析
例1 、确定下列三角函数值的符号： 1 cos 250 2 sin 4 11 0 3 tan 672 4 tan 3
y 1 、正弦函数值 sin r
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r
y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
各象限角的三角函数值的正负号
2、余弦函数值cos x
r
第一象限：x 0, r 0,故 x 为正值； r
y
第二象限：x 0, r 00,故 x 为负值； o
x
r
第四象限：x 0, r 0,故 x 为正值； r
3、正切函数值 tan y
x
y
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
1、正弦函数值sin y
y
r
第一象限：y 0, r 0,故 y 为正值；
r
第二象限：y 0, r 0,故 y 为正值； o
x
r
第三象限：y 0, r 0,故 y 为负值； r
第四象限：y 0, r 0,故 y 为负值； r
角
00
三角函数
sin
0
cos
1
tan
0
300 450
1
2
2
2
3
2
2
2
3
1
3
600 900
3
1
2
1
0
2
3 不存在
特殊角的三角函数值表
角
1800
三角函数
2700
3600
sin
0
1
0
cos
1
0
1
tan
0 不存在 0
x
第一象限：x 0, y 0,故 y 为正值； x
y
第二象限：x 0, y 0,故 y 为负值；
x
第三象限：x 0, y 0,故 y 为正值； o
x
x
第四象限：x 0, y 0,故 y 为负值；
4)、余切函数值
各象限角的三角函数值的符号
（4）当α为第四象限角时
cos 0
`
例1、确定下列三角函数值的符号：
(1) sin 280 (4)
2s473
0
(3) tan( 742.3 )
0
38 ) (5) cos( 5
e
62 tan( ) 5
解 (1)因为280°就是第四象限角，所以
3
0.（填“>”或“<”号） 三 象限的角.
2、三角函数值：cos490°<
3、若cosα<0且tanα>0，则角α是第
sin 0 sin 0
cos 0 cos 0 cos 0
tan 0 tan 0 tan 0 tan 0
cot 0 cot 0 cot 0 cot 0
（2）当α为第二象限角时 （3）当α为第三象限角时
1当为第一象限角时2当为第二象限角时观察下图当角分别为第一二三四象限角的符号变化情况sin3当为第三象限角时280sin473cos742tan25sin38cos62tan280sin473cos25sin38cos62tan解
观察下图A当角α分别为第一、二、三、四象限角 xp yp xp yp 时 sin 的符号 cot tan cos yp xp r r 变化情况 （1）当α为第一象限角时
sin 280 < 0
0
(2)
(5)
cos473 0 (3)
0
tan(742.3 ) 0
0
( 4)
38 cos( )0 5
25 sin 0 4
(6)
62 tan( )0 5
三角函数的定义和三个三角函数在各个象限内的符号
三角函数的定义和三个三角函数在各个象限内的符号三角函数是数学中的一个重要概念，它是数学中的一种函数，常用于描述角度和三角形的关系。
三角函数包括正弦、余弦、正切三个函数，它们在数学中有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义和三个三角函数在各个象限内的符号。
一、三角函数的定义三角函数是指一个角度和一个比率之间的关系。
三角函数包括正弦、余弦、正切三个函数，它们的定义如下：1、正弦函数正弦函数是指一个角度的正弦值与其对边与斜边的比率之间的关系。
正弦函数的定义如下：sinθ = 对边 / 斜边其中，θ表示角度，sin表示正弦函数。
2、余弦函数余弦函数是指一个角度的余弦值与其邻边与斜边的比率之间的关系。
余弦函数的定义如下：cosθ = 邻边 / 斜边其中，θ表示角度，cos表示余弦函数。
3、正切函数正切函数是指一个角度的正切值与其对边与邻边的比率之间的关系。
正切函数的定义如下：tanθ = 对边 / 邻边其中，θ表示角度，tan表示正切函数。
二、三个三角函数在各个象限内的符号在平面直角坐标系中，将x轴和y轴分别称为横轴和纵轴，以原点为起点建立一个角度，我们将平面分成四个象限，如下图所示：在不同象限内，三角函数的符号是不同的。
具体如下：1、第一象限在第一象限中，角度的大小在0到90度之间，此时正弦函数、余弦函数和正切函数的值都为正数。
2、第二象限在第二象限中，角度的大小在90度到180度之间，此时正弦函数的值为正数，余弦函数和正切函数的值为负数。
3、第三象限在第三象限中，角度的大小在180度到270度之间，此时正弦函数和余弦函数的值为负数，正切函数的值为正数。
4、第四象限在第四象限中，角度的大小在270度到360度之间，此时正弦函数的值为负数，余弦函数和正切函数的值为正数。
三、总结三角函数是数学中的一个重要概念，它是数学中的一种函数，常用于描述角度和三角形的关系。
三角函数包括正弦、余弦、正切三个函数，它们在数学中有着广泛的应用。
7.2.4三角函数值在各象限的符号(单位圆)
sin y
x
+
0
y + x
0
y + x +
0 +
y + x -
正弦
余弦
正切
结论：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如限
cos
sin
+ +
+
+ －
－
－
－ +
－
+ －
cos
tan
你可以采用自己喜欢的方法记住它们
例题分析
x 叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα= x r r y y x 叫做角α的正切，记作tanα，即tanα= x
O
任意角三角函数的定义 sinα
cosα
tanα
2、设 α 的终边与单位圆交点为P(x,y)，那么
y sin = ____
1
y
P(x,y)
x cos = ____
y ( x 0) tan = ____ x
O
1
x
故：P(x,y)=P(cosα,sinα) 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位 圆交点的横坐标和纵坐标。
复习：
1、直角坐标系中四个象限内的点（x，y）的横坐标x、 纵坐标y的符号有何特点？
y
第二象限
X<0 ,y>0 0
第一象限
x>0 ,y>0
x
第四象限
第三象限
X<0 ,y<0
• 例7 确定下列三角函数值的符号
π 11 π （ 1 ） sin( )；（2） cos 250 ；（3） tan( 600 )；（4） cos 4 3
三角函数在各个象限的符号
角度 30° 150° 210° 330°
弧度 5 7 1 1
6
66
6
正弦值 1
1
-1
-1
2
2
2
2
余弦值 3
正切值
2
3
-3 2
-3
-3 2
3
3 2
-3
3
3
3
3
角度 60° 120° 240° 300°
弧度 3
正弦值 3
2
余弦值 1
2
正切值 3
2 4 5
思考：1、已知sin tan 0 确定是第几象限的角 2、已知cos与tan异号 确定是第几象限的角
y ++
0x --
正弦
y -+
0x -+
余弦 y
0
x
y -+
0x +-
正切
一全正 二正弦
三正切 四余弦
小结：三角函数值在
各象限的符号 一全正
y
sin 全为正
tan0
x
cos
(3) 如果tan ＞0，则是__或是___象限的角；
y ++
0x --
正弦
y -+
0x -+
余弦
y -+
0x +-
正切
填空：(4) 如果sin<0，则是_______或是 _________象限的角，或是__y_负_半__轴__上__的_角___； (5) 如果cos<0，则是___或是___象限的角， 或是_X__负_半__轴__上__的_角__；
三角函数各象限正负
在平面直角坐标系中，三角函数的正负可以根据各象限的坐标值来确定。
下面是三角函数在不同象限的正负情况：正弦函数（sin）：- 第一象限（0° < θ < 90°）：在第一象限，正弦函数的值始终为正。
- 第二象限（90° < θ < 180°）：在第二象限，正弦函数的值始终为正。
- 第三象限（180° < θ < 270°）：在第三象限，正弦函数的值始终为负。
- 第四象限（270° < θ < 360°）：在第四象限，正弦函数的值始终为负。
余弦函数（cos）：- 第一象限（0° < θ < 90°）：在第一象限，余弦函数的值始终为正。
- 第二象限（90° < θ < 180°）：在第二象限，余弦函数的值始终为负。
- 第三象限（180° < θ < 270°）：在第三象限，余弦函数的值始终为负。
- 第四象限（270° < θ < 360°）：在第四象限，余弦函数的值始终为正。
正切函数（tan）：- 第一象限（0° < θ < 90°）：在第一象限，正切函数的值始终为正。
- 第二象限（90° < θ < 180°）：在第二象限，正切函数的值始终为负。
- 第三象限（180° < θ < 270°）：在第三象限，正切函数的值始终为正。
- 第四象限（270° < θ < 360°）：在第四象限，正切函数的值始终为负。
割函数（sec）、余割函数（csc）、余切函数（cot）的正负情况与余弦、正弦、正切函数的正负情况类似，可以根据各象限的坐标值来确定。
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例8已知sin 0,且 tan 0,确定是第几象限的角
解:
+
--
+
∴ θ是第三象限角
确定 是第几象限的角
(7) 如果sin >0,且cos <0 (8) 如果sin <0,且cos >0 (9) 如果tan >0,且cos <0 (10) 如果sin >0,且tan <0 (11) 如果sin <0,且tan <0
-1 2
1 2
3
-3
3
-3
复习：
1、直角坐标系中四个象 限点的横纵坐标的符号 有何特点？
y
第二象限 第一象限 X<0,y>0 +x>0 ,y>0
0
+ x
第三象限 -第四象限
X<0,y<0 x>0,y<0
复习：
2、三角函数值在 各象限的符号有何特点？
y
+ 0 -
+ x
-
sin y
r
y
第二象限 第一象限 X<0,y>0 +x>0 ,y>0
0
+ x
第三象限 -第四象限
X<0,y<0 x>0,y<0
y -+
0x -+
cos x
r
y -+
0x +-
tan y
x
y ++
0x --
正弦
y -+
0x -+
余弦
y -+
0x +-
正切
填空：(1) 如果sin＞0，则是_______或是 _________象限的角，或是_y_正__半_轴__上__的__角___； (2) 如果cos＞0，则是_________或是 _________象限的角，或是_x_正__半__轴__上_的__角__；
思考：1、已知sin tan 0 确定是第几象限的角 2、已知cos与 tan异号 确定是第几象限的角
y ++
0x --
正弦
y -+
0x -+
ห้องสมุดไป่ตู้余弦 y
0
x
y -+
0x +-
正切
一全正 二正弦
三正切 四余弦
小结：三角函数值在
各象限的符号 一全正
sin
y 全为正
tan0
x
cos
二正弦 三正切 四余弦
(3) 如果tan ＞0，则是__或是___象限的角；
y ++
0x --
正弦
y -+
0x -+
余弦
y -+
0x +-
正切
填空：(4) 如果sin<0，则是_______或是 _________象限的角，或是__y_负_半__轴__上__的_角___； (5) 如果cos<0，则是___或是___象限的角， 或是_X__负_半__轴__上__的_角__；
三角函数值在各象限的 符号
角度 30° 150° 210° 330°
弧度 5 7 11
6 66 6
正弦值 1
1
-1
-1
2
2
2
2
余弦值 3
2
-3 2
-3 2
3 2
正切值 3
-3
3
-3
3
3
3
3
角度 60° 120° 240° 300°
弧度 3
正弦值 3
2
余弦值 1
2
正切值 3
2 4 5
33 3
3
5 7 弧1度1 3 5 7
6 666
1
1
- 1 正弦-值1
2
2
2
2
3 2
-3 2
- 3 余弦值3
2
2
3
-3
3
3
3 正切- 值3
3
3
4 44 4
2
2 -2 -2
2
2
2
2
2 -2
2
2
-2 2
2 2
1
-1
1
-1
60° 120° 240° 300°
2 4 5
3 33 3
3
3
-3
-3
2
2
2
2
1 2
-1 2
-3
-3
2
2
2
-1 2
-1 2
1 2
-3
3
-3
角度
弧度 4
正弦值 2
2
余弦值 2
2
正切值 1
135°
5
4
2 2 -2 2
-2 2
-2 2
-1 1
315°
-2 2 2 2
-1
角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值
角度 30° 150° 210° 330°
45° 135° 225° 315°
y
sin为正 全为正
tan为正0 cos为正x
填空：(4) 如果sin<0，则是_______或是 _________象限的角，或是______________； (5) 如果cos<0，则是_________或是______ 象限的角，或是_____________； (6) 如果tan <0，则或是_______象限的角；