2018届湖南省长沙县实验中学高三下学期第一次模拟理科数学试题及答案 精品
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长沙县一中2018年高考模拟试题数 学 试 卷命题人：陈志平 审题人：常美丽、刘红英本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至4页；第Ⅱ卷5至10页，共10页。
全卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，填空题）注意事项：第．Ⅰ．卷不交．．．！答案要填在第．．．．．．Ⅱ．卷上规定的答题栏目内．．．．．．．．．．，否则无效．．．．！一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的）1、 已知集合},1|{},,1|{2R x x y y N R x x y y M ∈+==∈+==，那么N M 等于 A .)2,0(),1,0( B . )}2,0(),1,0{(C .}2,1|{==y y y 或D . }1|{≥y y2、 某校高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 A . 15、10、20 B . 10、5、30 C . 15、15、15 D . 15、20、103、 5)22y x -（的展开式中系数大于1-的项共有 A . 5项 B . 4项 C . 3项 D . 2项4、 如图 ，一个封闭的长方体，它的6个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个中的一个字母，现放成下面3个不同位置，所看见的表面上的字母已标出，则字母A 、B 、C 对面的字母分别是A . D 、E 、FB . F 、D 、E 、C . E 、F 、D D .E 、D 、F5、 函数1)33(31)(+--=-x x f x x，已知3)(=a f ，则)(a f -等于 A . 32- B . 31- C . 3- D . 336、 设有两个命题：（1）不等式a x x >++|1|||的解集为R ；（2）函数x a x f )37()(--=在R 上是减函数。
精品解析：【全国百强校】湖南省长郡中学2018届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
长郡中学2018届高考模拟卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵集合∴∵集合∴故选D.2. 若，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：.考点：复数概念即运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题.3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于，函数是奇函数，不满足题意；对于，，函数是偶函数，在区间上，，函数单调递减，故满足题意；对于，函数是偶函数，在区间上，，函数单调递增，故不满足题意；对于，函数是偶函数，在区间上，不是单调函数，故不满足题意，故选B.4. 执行如图所示的算法，则输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，，；，，；，，，故输出.考点：程序框图．【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于容易题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序.5. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是，选A.6. 将函数的图象向右平移个单位，得到的图像关于原点对称，则的最小正值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：只要把的对称中心平移到原点，所得图象就关于原点对称.详解：的图象在轴左边最靠近原点的对称中心为，因此把图象向右最小平移个单位，就满足题意.故选A.点睛：的图象的对称中心是，对称轴方程为（），是奇函数，则原点是其一个对称中心，是偶函数，则轴是其一个对称轴.7. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如图：根据上图，对这两名运动员地成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B. 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C. 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【答案】D【解析】分析：根据茎叶图提供的数据，分别计算极差、中位数、均值、方差可得结论.详解：由茎叶图甲极差为47－18＝29，乙的极差是33－17＝16，A正确；甲中位数是30，乙中位数是26，B正确；甲均值为，乙均值为25，C正确，那么只有D不正确，事实上，甲的方差大于乙的方差，应该是乙成绩稳定.故选D.点睛：茎叶图中间是茎，是十位数字，两边是叶，是个位数字，由此可写出所有数据，然后根据各数字特征计算比较即可.8. 已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义，只要计算出公比即可.详解：∵成等差数列，∴，即，解得（－1舍去），∴，故选D.点睛：正整数满足，若数列是等差数列，则，若数列是等比数列，则，时也成立，此性质是等差数列（等比数列）的重要性质，解题时要注意应用.9. 在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：把用表示，再结合余弦定理可得.详解：∵，∴，∴，∴，∴，（∵舍去），∴，，故选B.点睛：解三角形问题，主要是确定选用什么公式：正弦定理、余弦定理、三角形的面积，一般可根据已知条件和要求的问题确定，象本题,右边要用到余弦定理，因此左边选择公式，这样才能达到迅速化简的目的.10. 已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线的中心，是双曲线的右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则（）A. B.C. D. 与关系不确定【答案】C【解析】试题分析：，内切圆与x轴的切点是A，∵，由圆切线长定理有，设内切圆的圆心横坐标为x，则，即，∴，即A为右顶点，在中，由条件有，在中，有，∴.考点：双曲线的标准方程、向量的运算、圆切线长定理.11. 如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.详解：由题意，当在线段上时，，当点在线段上时，，∴当在四边形内（含边界）时，（＊），又，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，，即，∴，，故选C.点睛：在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.12. 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，则对于任意的，；④对于任意的向量，其中，若，则．其中正确的命题的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】分析：按照新定义，对每一个命题进行判断.详解：①是正确的；②中，满足已知，则，只要有一个没有等号，则一定，若，则，都满足，正确；③∵，∴命题正确，④中若，则，但，错误，因此有①②③正确，故选B.点睛：新定义问题，关键是正确理解新概念，并掌握解决新概念下问题的方法，有一定的难度.本题中新概念关系“＞”与向量的坐标之间的大小关系联系在一起，由实数大小关系的传递性可得新关系“＞”的传递性，但向量的数量积与新关系“＞”之间没有必然的联系，这可通过举反例说明.实际上举反例说明一个命题是错误的，是数学中一个常用的方法.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若的展开式中的系数是，则实数__________．【答案】-2【解析】的展开式的通项为,令,得,即,解得.14. 已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，，为的准线上一点，则的面积为__________．【答案】36【解析】分析：可由得出，从而可得抛物线方程，抛物线的准线方程，因此的边上的高易得.详解：不妨设抛物线方程为，，，∴准线方程为，到直线的距离为6，∴.故答案为36.点睛：过抛物线的焦点与对称轴垂直的弦是抛物线的通径，通径长为.15. 已知的半衰期为5730年（是指经过5730年后，的残余量占原始量的一半）．设的原始量为，经过年后的残余量为，残余量与原始量的关系如下：，其中表示经过的时间，为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量约占原始量的．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今__________年．（已知）【答案】2292【解析】由题意可知，当时，，解得.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量的.所以，得,.16. 已知（），且满足的整数共有个，（）的最大值为，且，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：首先判断出函数是偶函数，这样由得，可解得，其次还要注意时，是常数，这样，从而，即恒成立，利用导数求出的最大值即可．注意到，因此在上递减才能符合要求．详解：∵，∴是偶函数，又由绝对值性质知时，是增函数，所以由得，解得或，结合，可知也满足要求，所以，故.即在时恒成立.，且，可得当时，单调递减，符合题意；当时，，使得在单调递增，不合题意，舍去.故答案为.点睛：本题有两个知识点，一个函数方程，解函数方程的方法是确定函数的性质如单调性、奇偶性、周期性等，利用函数性质去，本题是利用偶函数的性质及单调性性质得出，当然还要注意在上函数为常数，否则会漏解；二是不等式恒成立问题，也就量用导数求函数最值问题，此题中要掌握复合函数的求导法则，同时本题判断导数的正负还用到了整体换元思想，二次函数的性质，这要求我们要熟练掌握这些知识并能灵活应用．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）只要证得是常数即可，为此由已知得，代入，变形可证，从而得得的通项公式；（2）由（1）得，利用错位相减法可求和.详解：（1）∵，∴，由，∴，化简得，∵，∴，即（），而，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．∴，即，∴（）．（2）由（1）知，，∴，∴，两式相减得，，故．点睛：解决数列求和问题首先要掌握等差数列和等比数列的前项和公式，其次要掌握一些特殊数列的求和方法，设是等差数列，是等比数列，则数列用分组求和法求和，数列用错位相减法求和，数列用裂项相消法求和.18. 如图，是边长为3的正方形，平面，，且，．（1）试在线段上确定一点的位置，使得平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）设平面ACF与BD交于点M，与BE交于点N，M点就量所求，由此可知M是BD的三等分点中靠近B点的一个，由线面平行的判定定理可证；（2）分别以DA，DC，DE为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面ABE和平面CBE的法向量，由法向量的夹角可得所求二面角.详解：（1）证明：取的三等分点（靠近点），过作交于，则有，由平面，，可知平面，∴，∴，且．∴四边形为平行四边形，可知，∴平面，∵，∴为的一个三等分点（靠近点）．（2）如图建立空间直角坐标系：则，，，，，，，设平面的法向量为，由可得．设平面的法向量为，由可得，因为二面角为钝二面角，可得，所以二面角余弦值为．点睛：立体几何中求空间角问题，除用几何法求解以外还可用空间向量法求解，建立空间直角坐标系，对直线求出直线的方向向量，对平面求出平面的法向量，则两直线方向向量的夹角与异面直线所成的角相等或互补，直线的方向向量与平面的法向量的夹角余弦和绝对值等于直线与平面所成角的正弦，两平面的法向量的夹角与二面角相等或互补，具体地可根据图形进行判断.19. 为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值．【答案】(1)见解析;(2)6.【解析】分析：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0,1,2,3，由超几何分布概率公式计算出概率，得概率分布列，再由期望公式可计算出期望；（2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得，由二项分布概率公式计算出，比较它们的大小求得最大值（可用作商法：即，和可得值，即.学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...详解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0,1,2,3，，，，，所以的分布列为．（2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得，所以，其中0,1,2， (10)设，若，则，；若，则，．所以当或，可能最大，，所以的取值为．点睛：本题主要要分清概率分布的类型，然后选用不同的公式计算概率，超几何分布与二项分布是两个重要的概率分布，超几何分布是统计学上一种离散概率分布．它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）；二项分布即在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变．20. 已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，当且时，求的面积的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由知是中点，从而得轴，因此得，再把点坐标代入椭圆方程再结合可解得得椭圆方程；（2）设直线的方程为，，，代入圆方程可得，计算，由可解得，设，把代入椭圆方程可得，由计算出面积，最后根据的范围得面积的范围.详解：（1）∵，则为线段的中点，∴是的中位线，又，∴，于是，且，解得，，∴椭圆的标准方程为．（2）由（1）知，，由题意，设直线的方程为，，，由得，则，．．∵，∴，解得．由消得，设，，则．设，则，其中，∵关于在上为减函数，∴，即的面积的取值范围为．点睛：直线与椭圆相交问题，常常设交点坐标为，设直线方程，由直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理得，然后再求得弦长、斜率、面积等，并代入，从而把弦长、斜率、面积表示为参数（如）的函数，利用函数的知识可求得最值、范围或者证明其为定值.21. 已知函数，其中是自然对数的底数．（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）设，不等式可化为，对可把作为一个整体，分子分母同除以，转化后可利用基本不等式求得其最值，从而得的范围；（2）令函数，则，由导数可求得的最小值，而题中命题成立，即这个最小值，从而可得的取值范围，而比较与，即比较与的大小，即比较与的大小.于是可构造函数（），利用导数得出其单调性，从而得结论.详解：（1）由条件知在上恒成立，令（），则，所以对于任意成立．因为，∴，当且仅当，即时等号成立．因此实数的取值范围是．（2）令函数，则，当时，，，又，故，所以是上的单调递增函数，因此在上的最小值是．由于存在，使成立，当且仅当最小值，故，即．与均为正数，同取自然底数的对数，即比较与的大小，试比较与的大小．构造函数（），则，再设，，从而在上单调递减，此时，故在上恒成立，则在上单调递减．综上所述，当时，；当时，；当时，．点睛：在不等式恒成立和能成立两个问题中要注意转化的等价性：对任意，不等式恒成立，对任意，不等式恒成立，存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），与交于、两点，，求直线的斜率．【答案】(1);(2)或．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.于是，..由得，.所以的斜率为或.视频23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，求的值．【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由绝对值的定义去年绝对值符号，分类求解；（2）与（1）类似，由绝对值定义去年绝对值符号，再由题意解不等式可得.详解：（1）当时，当时，由得，解得；当时，由得无解；当时，由得，解得，故不等式的解集为．（2）令，则由，解得，又知的解集为，所以于是解得．点睛：本题考查解含绝对值不等式，一般是根据绝对值定义去掉绝对值符号，分类求解，有时也可根据绝对值的性质（例如平方后）去绝对值符号后求解.。
2018届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科
2018届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则12z z =（ ） A ．2-B ．2C ．1i -D ．1i +2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()U A B ð的子集个数为（ ） A ．7B ．3C ．8D ．93.函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象中相邻对称轴的距离为2π，若角ϕ的终边经过点(3,3)，则()4f π的值为（ ）A ．32B ．3C ．2D ．234.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =5.设不等式组,3,4y x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为1Ω，不等式22(2)(2)2x y ++-≤表示的平面区域为2Ω，对于1Ω中的任意一点M 和2Ω中的任意一点N ，||MN 的最小值为（ ）A ．22B ．24C ．2D ．326.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2)7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）A ．11B ．22C ．52D ．58.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20140S >，20150S <，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥，则k 的值为（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．10099.已知非零向量a ，b ，c 满足||||4a b b -== ，()()0a c b c -⋅-= ，若对每个确定的b ，||c的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n -的值（ ）A ．随||a增大而增大B ．随||a增大而减小C ．是2D ．是410.已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3AB =，3AC =，23BC CD BD ===，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π11.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=︒，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．74B ．73C ．72D ．712.已知e 为自然对数的底数，若对任意的[]0,1x ∈，总存在唯一的[]1,1y ∈-，使得20y x y e a +-=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,]eB ．1(1,]e e+C ．(1,]eD ．11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0a >，6()ax x-展开式的常数项为15，22(4)a ax x x dx -++-=⎰ ．14.设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是 ．15.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+（*n N ∈），设21(1)2nn n na c S +=-，则数列{}n c 的前2016项的和为 ．16.已知F 是椭圆C ：221204x y +=的右焦点，P 是C 上一点，(2,1)A -，当APF ∆周长最小时，其面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC ⋅= ，22sin 3BAC ∠=，32AB =，3BD =．（1）求AD 的长； （2）求cos C ．18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为梯形，ADE ∆，BCF ∆均为等边三角形，//EF AB ，12EF AD AB ==．（1）过BD 作截面与线段FC 交于点N ，使得//AF 平面BDN ，试确定点N 的位置，并予以证明； （2）在（1）的条件下，求直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值．19.2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如图频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b c +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计 捐款超过500元 30a = b 捐款不超过500元c6d =合计2()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20.已知抛物线C 的顶点在原点，其焦点(0,)F c （0c >）到直线l ：20x y --=的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值． 21.已知函数()1x xaxf x be e -=++，点(0,1)M 在曲线()y f x =上，且曲线在点M 处的切线与直线20x y -=垂直．（1）求a ，b 的值；（2）如果当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-，求k 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围． 23.选修4-5：不等式选讲设()|||21|f x x x =--，记()1f x >-的解集为M ． （1）求集合M ；（2）已知a M ∈，比较21a a -+与1a的大小．长沙市2018届高三第一次模拟试卷数学（理科）答案一、选择题1-5:BCABC 6-10:DCCDC 11、12：CB二、填空题13.22333π++ 14.[]16,16- 15.20162017- 16.4 三、解答题17.解：（1）因为0AD AC ⋅= ，则AD AC ⊥，所以sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠，即22cos 3BAD ∠=． 在ABD ∆中，由余弦定理，可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠． 即28150AD AD -+=，解得5AD =，或3AD =．因为AB AD >，所以3AD =． （2）在ABD ∆中，由正弦定理，可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，又由22cos 3BAD ∠=，可知1sin 3BAD ∠=，所以sin 6sin 3AB BAD ADB BD ∠∠==． 因为2ADB DAC C C π∠=∠+=+，所以6cos 3C =． 18.解：（1）当N 为线段FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ． 证法如下：连接AC ，BD ，设AC BD O = ， ∵四边形ABCD 为矩形， ∴O 为AC 的中点， 又∵N 为FC 的中点， ∴ON 为ACF ∆的中位线， ∴//AF ON ，∵AF ⊄平面BDN ，ON ⊂平面BDN ，∴//AF 平面BDN ，故N 为FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ．（2）过O 作//PQ AB 分别与AD ，BC 交于P ，Q ， 因为O 为AC 的中点，所以P ，Q 分别为AD ，BC 的中点， ∵ADE ∆与BCF ∆均为等边三角形，且AD BC =， ∴ADE BCF ∆≅∆，连接EP ，FQ ，则得EP FQ =， ∵//EF AB ，//AB PQ ，12EF AB =， ∴//EF PQ ，12EF PQ =， ∴四边形EPQF 为等腰梯形．取EF 的中点M ，连接MO ，则MO PQ ⊥， 又∵AD EP ⊥，AD PQ ⊥，EP PQ P = ， ∴AD ⊥平面EPQF ，过O 点作OG AB ⊥于G ，则//OG AD ， ∴OG ⊥OM ，OG OQ ⊥．分别以OG ，OQ ，OM的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设4AB =，则由条件可得：(0,0,0)O ，(1,2,0)A -，(1,2,0)B ，(0,1,2)F ，(1,2,0)D --，132(,,)222N -．设(,,)n x y z =是平面ABF 的法向量，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即40,320,y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 所以可取(2,0,1)n =，由312(,,)222BN =-- ，可得||2|cos ,|3||||BN n BN n BN n ⋅<>==⋅， ∴直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为23．19.解：（1）记每户居民的平均损失为x 元，则(10000.0001530000.0002050000.000970000.0000390000.00003)2000x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯3360=．（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有(0.000090.000030.00003)20005015++⨯⨯=户，损失超过8000元的居民共有0.000032000503⨯⨯=户，因此ξ的可能值为0,1,2，21221522(0)35C P C ξ===，1131221512(1)35C C P C ξ===，232151(2)35C P C ξ===， ξ的分布列为：ξ0 1 2P2235 1235 135221212()0123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=． （3）解得9b =，5c =，39a b +=，11c d +=，35a c +=，15b d +=，50a b c d +++=，2250(30695) 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关． 20.解：（1）依题意，设抛物线C 的方程为24x cy =，由02|3222c |--=，结合0c >，解得1c =． 所以抛物线C 的方程为24x y =．（2）抛物线C 的方程为24x y =，即214y x =，求导得1'2y x =， 设11(,)A x y ，22(,)B x y （其中2114x y =，2224x y =），则切线PA ，PB 的斜率分别为112x ，212x ，所以切线PA 的方程为111()2x y y x x -=-，即211122x x y x y =-+， 即11220x x y y --=．同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线PA ，PB 均过点00(,)P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=， 所以11(,)x y ，22(,)x y 为方程00220x x y y --=的两组解， 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=．（3）由抛物线定义可知1||1AF y =+，2||1BF y =+，所以121212||||(1)(1)()1AF BF y y y y y y ⋅=++=+++， 联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎨=⎩消去x 整理得222000(2)0y y x y y +-+=．由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-，2120y y y =， 所以221212000||||()121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+， 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以002x y =+，所以222200000019212252()22y x y y y y +-+=++=++， 所以当012y =-时，||||AF BF ⋅取得最小值，且最小值为92．21.解：（1）2(1)'()(1)x xx x a e axe f x be e -+-=-+， 依题意(0)1f =，1'(0)2f =-，解得1a b ==． （2）由（1）可知()1x xx f x e e -=++，代入()1x x x f x ke e ->+-得 11x xx x x x e ke e e --+>++-，即21x xx k e e -->-， 因为当0x >时，0x x e e -->，0x <时，0x xe e --<，所以20xxx e e->-， 所以10k ->，即(1)2()01x x xx k xe e e e k----->--， 令21t k=-，设()x x g x e e tx -=--，则0t >， 又'()x x g x e e t -=+-．①当02t <≤，即0k ≤时，'()20x x g x e e t t -=+-≥-≥恒成立， 所以()x x g x e e tx -=--在R 上单调递增，所以 （i ）当0x >时，()(0)0g x g >=，又因为此时0xxe e -->，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k ----->--，即()1xxx f x ke e ->+-成立； （ii ）当0x <时，()(0)0g x g <=，又因为此时0xxe e --<，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k ----->--，即()1x xxf x ke e ->+-成立． 因此当0k ≤时，当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-成立，符合题意．②当2t >，即01k <<时，由'()0x xg x e e t -=+-=，得214ln 2t t x --=，224ln 2t t x +-=， 因为2t >，所以20x >，120x x =-<，当2(0,)x x ∈时，'()0g x <，所以()g x 在2(0,)x 上递减，所以()(0)0g x g <=， 又因为此时0x x e e -->，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k -----<--，即 ()1x x x f x ke e -<+-与()1x x x f x ke e ->+-矛盾，所以不符合题意． 综上可知：k 的取值范围是0k ≤．22.解：（1）点A ，B ，C ，D 的极坐标为(2,)3π，5(2,)6π，4(2,)3π，11(2,)6π， 点A ，B ，C ，D 的直角坐标为(1,3)，(3,1)-，(1,3)--，(3,1)-.（2）设00(,)P x y ，则002cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），222222||||||||16cos 36sin 16t PA PB PC PD ϕϕ=+++=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈．23.解：（1）1,0,1()|||21|31,0,211,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪=--=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩由()1f x >-，得0,11x x ≤⎧⎨->-⎩或10,2311x x ⎧<<⎪⎨⎪->-⎩或1,211,x x ⎧≥⎪⎨⎪-+>-⎩解得02x <<，故{}|02M x x =<<．（2）由（1）知02a <<， 因为322211(1)(1)1a a a a a a a a a a -+--+-+-==， 当01a <<时，2(1)(1)0a a a-+<，所以211a a a -+<； 当1a =时，2(1)(1)0a a a-+=，所以211a a a -+=；当12a <<时，2(1)(1)0a a a-+>，所以211a a a -+>． 综上所述：当01a <<时，211a a a -+<；当1a =时，211a a a -+=；当12a <<时，211a a a -+>．。
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案
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2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
2018年高考理科数学模拟试卷(共三套)(含答案)
2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。
2018年湖南省长沙市高考模拟理科数学试题及答案 精品
绝密★启用前2018年长沙市高考模拟试卷理 科 数 学 长沙市教科院组织名优教师联合命制满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设复数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，则 错误！未找到引用源。
=A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
2．设,a b 是两个非零向量，则“错误！未找到引用源。
”是“,a b 夹角为钝角”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为A ．10万元B ．15万元C ．20万元D ．25万元4．执行如右图所示的程序框图,若输出错入 误！未找到引用源。
的值为22，那么输的错误！未找到引用源。
值等于A ．6B ．7C ．8D ．95．如图，矩形错误！未找到引用源。
的四个顶点错误！未找到引用源。
正弦曲线错误！未找到引用源。
和余弦曲线错误！未找到引用源。
在矩形错误！未找到引用源。
内交于点F ，向矩形错误！未找到引用源。
区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
6. 设函数f （x ）=sin （2错误！未找到引用源。
）+错误！未找到引用源。
cos （2错误！未找到引用源。
）错误！未找到引用源。
，且其图象关于直线x =0对称，则A．y =f（x）的最小正周期为错误！未找到引用源。
，且在（0，错误！未找到引用源。
）上为增函数B．y =f（x）的最小正周期为错误！未找到引用源。
湖南省长沙市2018届高考一模数学试卷(理)(答案+解析)
湖南省长沙市2018届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．93．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=105．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（1，2）7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．2 D．410．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠P AQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e] B．C．（1，e] D．二、填空题：每题5分，满分20分13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF 周长最小时，其面积为．三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB= 3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cos C．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明（2000，调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线P A，PB，其中A，B 为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+b e﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+k e﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【参考答案】一、选择题1．A【解析】复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．故选：A．2．C【解析】由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则∁U A={x|﹣2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，则（∁U A）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．∴（∁U A）∩B的元素个数为3．∴（∁U A）∩B的子集个数为：23=8．故选：C．3．A【解析】由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tanφ=，∴φ=故得f（x）=sin（2x+）则=sin（+）=cos=．故选：A4．B【解析】由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26 故选：B．5．C【解析】不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，如图：对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=．故选：C．6．D【解析】∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′（x）=．∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．故选：D．7．C【解析】由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面P AD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面P AD，∴AB⊥P A，∴P A==，∴该多面体各面的面积中最大的是△P AB的面积：S△P AB==．故选：C．8．C【解析】由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008故选：C．9．D【解析】假设=（4，0）、=（2，2）、=（x，y），∵（﹣）•（﹣）=0，∴（4﹣x，﹣y）•（2﹣x，2﹣y）=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，即（x﹣3）2+（y﹣）2=4，∴满足条件的向量的终点在以（3，）为圆心、半径等于2的圆上，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴m﹣n=4，故选：D．10．C【解析】∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．11．C【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选C．12．B【解析】由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．故选：B．二、填空题13．【解析】由的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•a6﹣r•，令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．[﹣16，16]【解析】关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a＜0，∴0＜ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．【解析】正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）①，则：②，②﹣①得：+a n+1﹣a n，整理得：a n+1﹣a n=1，当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n=1+n﹣1=n，所以：．则：=，数列{c n}的前2016项的和为：，=﹣1+=﹣．故答案为：16．4【解析】椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），故S△APF=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．故答案为：4．三、解答题17．解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos BAD即AD2﹣8AD+15=0，解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知所以因为，即18．解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：连结AC交BD于M，连结MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=得=（2，0，），∴=﹣1，||=，||=．∴cos ＜，＞==﹣．∴直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为|cos ＜，＞|=．19．解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360 （Ⅱ）由频率分布直方图，得：损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户， ∴ξ的可能取值为0，1，2， P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×=．（Ⅲ）如图：K2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．20．解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线P A，PB的斜率分别为，，所以P A：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线P A的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．解：（1）f（x）=+b e﹣x的导数为f′（x）=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f（0）=1，f′（0）=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；（2）当x≠0时，都有f（x）＞+k e﹣x，即为+e﹣x＞+k e﹣x，即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g（x）﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h（x）=2x﹣e x+e﹣x，h′（x）=2﹣（e x+e﹣x）≤2﹣2=0，则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，即有g（x）＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．则k的取值范围为（﹣∞，0]．22．解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]23．解：（1）由f（x）＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．（2）由（1）知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．。
湖南省长沙市长郡中学2018届高三第一次模拟考试数学理
炎德∙英才大联考 长郡中学2018届高三模拟考试（一）理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}|1,|12A x N x B x x =∈≤=-≤≤，则A B =A. {}0,1B. {}1,0,1-C. []1,1-D.{}1 2.已知复数2a iz i+=-（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是A. 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,22⎛⎫-⎪⎝⎭C. (),2-∞-D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3.设,x y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =A. 5-B. 3C. 5-或3D.5或-3 4.已知()sin 2017cos 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π 5.设()[][]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -⎰的值为A. 423π+B. 32π+C. 443π+D. 34π+6.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （(),,0,1a b c ∈）,已知他投篮一次得分的数学期望为2，则213a b+的最小值为A. 323B. 283C. 143D.1637.在如图所示的程序框图中，若输出的值为3，则输入的x 的值为A. (]4,10B. ()2,+∞C. (]2,4D. ()4,+∞8.若n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为1184，则该展开式中的常数项是 A.270- B. 270 C. 90- D.90 9.若等边ABC ∆的边长为3，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则AM MB ⋅的值为 A. 2 B. 152-C. 152D.2-10.已知抛物线()2:204C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，()()4,0,A P p ，且PA BF 等于A. 4B.92 C. 5 D.11211.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.23 B. 43 C. 83D. 412.已知函数()3,0,0x f x ax b x ≥=+<⎪⎩满足条件，对于1x R ∀∈且10x ≠，存在2x R ∈唯一的且12x x ≠，使得()()12f x f x =，当()()23f a f b =成立时，实数a b +=3+ D.3+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()sin 25sin 2f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为 . 14.设()52345012345122481632x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++= .15.已知平面向量,a b 的夹角为120，且1,2a b ==，若平面向量m 满足1m a m b ⋅=⋅=，则m = .16.设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且()()()s in s in s in .a b A B c b C+-=-（1）求A 的大小； （2）若()2cos cos 222x x xf x =⋅+，求()f B 的取值范围.18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//,90A D B C A D C ∠=平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是PC 棱上一点，12,1,2PA PD BC AD CD ===== （1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）设PM tMC =，若二面角M BQ C --的平面角的大小为30，试确定t 的值.19.（本题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2018年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次.（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （2）若将频率视作概率，某人在该购物平台上进行5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方程.20.（本题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为()2,12P -是1C 上一点（1）求椭圆1C 的方程；（2）设,,A B Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 与1C 相交于不同于,P Q 的两点,C D ，点C 关于原点的对称点为E ，证明：直线,PD PE 与y 围成的三角形为等腰三角形.21.（本题满分12分） 已知函数()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）记两个极值点为12,x x ,且12x x <，已知0λ>，若不等式112x x e λλ+⋅>恒成立，求λ的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2018年湖南省长沙市长郡中学高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜2} 2．（5分）若z（1+i）＝i（其中i为虚数单位），则|z|等于（）A．B．C．1D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y＝x3B．y＝C．y＝2|x|D．y＝cos x 4．（5分）执行如图所示的算法，则输出的结果是（）A．1B．C．D．25．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．6．（5分）将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．7．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（）A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定8．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且3a1，，2a2成等差数列，则等于（）A．6B．7C．8D．99．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）2﹣c2，则tan C＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的率心率，则（）A．|OB|＝e|OA|B．|OA|＝e|OB|C．|OB|＝|OA|D．|OA|与|OB|关系不确定11．（5分）如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若＝x+y （x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，] 12．（5分）在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D＝{|＝（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称“序”的关系，记为“＞＞”．定义如下：对于任意两个向量＝（x1，y1），＝（x2，y2），“＞＞”当且仅当“x1＞x2”或“x1＝x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“＞＞”，给出如下四个命题：①若＝（1，0），＝（0，1），＝（0，0），则＞＞＞＞；②若＞＞，＞＞，则＞＞；③若＞＞，则对于任意∈D，+＞＞+；④对于任意向量＞＞，＝（0，0），若＞＞，则•＞•．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a＝．14．（5分）已知直线l过拋物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点且|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为．15．（5分）已知14C的半衰期为5730年（是指经过5730年后，14C的残余量占原始量的一半）．设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b 与原始量a的关系如下：b＝ae﹣kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量约占原始量的76.7%．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今年．（已知log20.767≈﹣0.4）16．（5分）已知f（x）＝|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|（x∈R），且满足f（a2﹣3a+2）＝f（a﹣1）的整数a共有n个，（x≥0）的最大值为m，且m+n＝3，则实数k的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}，{b n}满足a1＝2，2a n＝1+a n a n+1，b n＝a n﹣1，b n≠0（1）求证数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）令c n＝求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，且DE＝6，AF＝2．（1）试在线段BD上确定一点M的位置，使得AM∥平面BEF；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．19．（12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图所示的茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n 户月用水量为二阶的可能性最大，求n 的值．20．（12分）已知F 1、F 2是椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过F 2作不与x 轴重合的直线l ，l 与圆x 2+y 2＝a 2+b 2相交于A 、B 并与椭圆相交于C 、D ，当＝λ，且λ∈时，求△F 1CD 的面积S 的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x ，其中e 是自然对数的底数．（1）判断并证明f （x ）的奇偶性；（2）若关于x 的不等式mf （x ）≤e ﹣x +m ﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2＝25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|，其中a＞1（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜2}【解答】解∵A＝{x||x|＜2}，∴A＝{x|﹣2＜x＜2}，而B＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}；故选：D．2．（5分）若z（1+i）＝i（其中i为虚数单位），则|z|等于（）A．B．C．1D．【解答】解：∵z（1+i）＝i，∴z＝＝＝﹣，∴|z|＝＝，故选：A．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y＝x3B．y＝C．y＝2|x|D．y＝cos x【解答】解：对于A，函数是奇函数，不满足题意；对于B，∵，∴函数是偶函数，在区间（0，+∞）上，y＝﹣lnx，y′＝﹣＜0，∴函数单调递减，故满足题意；对于C，∵2|﹣x|＝2x，∴函数是偶函数，在区间（0，+∞）上，y＝2x，y′＝2x ln2＞0，∴函数单调递增，故不满足题意；对于D，函数是偶函数，在区间（0，+∞）上，不是单调函数，故不满足题意故选：B．4．（5分）执行如图所示的算法，则输出的结果是（）A．1B．C．D．2【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝0，n＝2n＝3，M＝，S＝不满足条件S∈Q，n＝4，M＝，S＝+不满足条件S∈Q，n＝5，M＝，S＝++＝1满足条件S∈Q，退出循环，输出S的值为1．故选：A．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23﹣×22×1＝．故选：A．6．（5分）将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin[2（x﹣φ）+]＝sin（2x+﹣2φ），再根据所得函数的图象关于原点对称，可得﹣2φ＝kπ，k∈z，即φ＝﹣，则φ的最小正值为，故选：A．7．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（）A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【解答】解：首先将茎叶图的数据还原：甲运动员得分：19 18 18 26 21 20 35 33 32 30 47 41 40乙运动员得分：17 17 19 19 22 25 26 27 29 29 30 32 33对于A，极差是数据中最大值与最小值的差，由图中的数据可得甲运动员得分的极差为47﹣16＝21，乙运动员得分的极差为33﹣17＝16，得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此A正确；对于B，甲数据从小到大排列：18 18 19 20 21 26 30 32 33 35 4041 47处于中间的数是30，所以甲运动员得分的中位数是30，同理求得乙数据的中位数是26，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；对于C，不难得出甲运动员的得分平均值约为29.23，乙运动员的得分平均值为25.0，因此甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故C正确；对于D，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定．可以算出甲的方差为：＝88.22，2＝29.54同理，得出乙的方差为：S乙因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D 不正确．故选：D．8．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且3a1，，2a2成等差数列，则等于（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵3a1，，2a2成等差数列，∴a3＝3a1+2a2，∴q2﹣2q﹣3＝0，∴q＝3，q＝﹣1（舍去）．∴＝＝＝q2＝32＝9．故选：D．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）2﹣c2，则tan C＝（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，∵S＝，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，△ABC且2S＝（a+b）2﹣c2，∴ab sin C＝（a+b）2﹣（a2+b2﹣2ab cos C），整理得sin C﹣2cos C＝2，∴（sin C﹣2cos C）2＝4．∴＝4，化简可得3tan2C+4tan C＝0．∵C∈（0，180°），∴tan C＝﹣，故选：C．10．（5分）已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的率心率，则（）A．|OB|＝e|OA|B．|OA|＝e|OB|C．|OB|＝|OA|D．|OA|与|OB|关系不确定【解答】解：F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A∵|PF1|﹣|PF2|＝2a，及圆的切线长定理知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|（x+c）﹣（c﹣x）|＝2a∴x＝a；|OA|＝a，在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC＝PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB＝CF1＝（PF1﹣PC）＝（PF1﹣PF2）＝×2a＝a．∴|OB|＝|OA|．故选：C．11．（5分）如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若＝x+y （x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：若P在线段AB上，设＝λ，则有＝＝，∴＝，由于＝x+y（x，y∈R），则x＝，y＝，故有x+y＝1，若P在线段MN上，设＝λ，则有＝，故x＝1，y＝0时，最小值为，当x＝0，y＝1时，最大值为故范围为[]由于在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，则＝x+y＝x+y（x，y∈R），则x＝，y＝，故有x+y＝2，当x＝2，y＝0时有最小值，当x＝0，y＝2时，有最大值故范围为[]若P在阴影部分内（含边界），则∈．故选：C．12．（5分）在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D＝{|＝（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称“序”的关系，记为“＞＞”．定义如下：对于任意两个向量＝（x1，y1），＝（x2，y2），“＞＞”当且仅当“x1＞x2”或“x1＝x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“＞＞”，给出如下四个命题：①若＝（1，0），＝（0，1），＝（0，0），则＞＞＞＞；②若＞＞，＞＞，则＞＞；③若＞＞，则对于任意∈D，+＞＞+；④对于任意向量＞＞，＝（0，0），若＞＞，则•＞•．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由定义：对于任意两个向量＝（x1，y1），＝（x2，y2），“＞＞”当且仅当“x1＞x2”或“x1＝x2且y1＞y2”．可知：①当＝（1，0），＝（0，1），＝（0，0）时，y1＝0，y2＝1，0＜1，∴y1＜y2，不符合条件，故＞＞不成立，命题①不正确；②若＞＞，＞＞时，x1≥x2，y1＞y2，x2≥x3，y2＞y3，∴x1≥x3，y1＞y3．∴＞＞，∴命题②正确；③设，，，∵＞＞，∴x1≥x2，y1＞y2，∴x1+x≥x2+x，y1+y＞y2+y，∴+＞＞+，∴命题③正确；④设，，，∵＞＞，＝（0，0），∴x≥0，y＞0．∵＞＞，∴x1≥x2，y1＞y2，∴x1x≥x2x，y1y＞y2y．∴x1x+y1y＞x2x+y2y，∵•＝x1x+y1y，•＝x2x+y2y，∴•＞•．∴命题④正确．故正确的命题有：②③④．共3个．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a＝﹣2．【解答】解：（ax2+）5的展开式的通项公式T r+1＝（ax2）5﹣r＝a5﹣r，令10﹣＝5，解得r＝2．∵（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80∴a3＝﹣80，得a＝﹣2．14．（5分）已知直线l过拋物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点且|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为36．【解答】解：设抛物线的焦点到准线的距离为p，则由题意，AB是抛物线过焦点的弦，|AB|＝12∴2p＝12，∴p＝6∴△ABP的面积为＝36故答案为：36．15．（5分）已知14C的半衰期为5730年（是指经过5730年后，14C的残余量占原始量的一半）．设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b 与原始量a的关系如下：b＝ae﹣kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量约占原始量的76.7%．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今2292年．（已知log20.767≈﹣0.4）【解答】解：由b＝ae﹣kx，由题意可得：＝e﹣5730k，两边取2为底的对数可得：﹣1＝﹣5730k log2e，①又0.767＝e﹣kx，两边取2为底的对数可得：log20.767＝﹣kx log2e，②②÷①可得0.4≈，即x≈2292，故答案为：2292．16．（5分）已知f（x）＝|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|（x∈R），且满足f（a2﹣3a+2）＝f（a﹣1）的整数a共有n个，（x≥0）的最大值为m，且m+n＝3，则实数k的取值范围为[，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）＝|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|，∴f（﹣x）＝|﹣x﹣2018|+|﹣x﹣2017|+…+|﹣x﹣1|+|﹣x+1|+…+|﹣x+2017|+|﹣x+2018|＝|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|＝f（x），即函数f（x）是偶函数；若f（a2﹣3a+2）＝f（a﹣1），则a2﹣3a+2＝a﹣1①，或a2﹣3a+2＝﹣（a﹣1）②；由①得a2﹣3a+2＝（a﹣1）（a﹣2）＝a﹣1，即（a﹣1）（a﹣3）＝0，解得a＝1或a＝3；由②得a2﹣3a+2＝（a﹣1）（a﹣2）＝﹣（a﹣1），即（a﹣1）（a﹣1）＝0，解得a＝1；综上a＝1或a＝3；又f（0）＝f（1）＝f（﹣1）∴当a＝2时，也满足要求，∴a的值有3个，即n＝3；又m+n＝3，∴m＝0；∴g（x）＝﹣kx＝﹣kx的最大值为m＝0，可得≤kx（*）恒成立，其中x≥0，h（x）＝设直线y＝kx与曲线y＝h（x）＝相切于点（m，n），∵h′（x）＝，∴k＝h′（m）＝，n＝km，n＝，解得cos m＝1，∴k＝由于≤kx（*）恒成立，其中x≥0，∴k≥故答案为：[，+∞）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}，{b n}满足a1＝2，2a n＝1+a n a n+1，b n＝a n﹣1，b n≠0（1）求证数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）令c n＝求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）证明：∵b n＝a n﹣1，b n≠0∴a n＝b n+1又2a n＝1+a n a n+1，∴2（1+b n）＝1+（b n+1）（b n+1+1）化简得：b n﹣b n+1＝b n b n+1…（2分）∵b n≠0∴﹣＝1∴﹣＝1∵＝＝1∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列．…（4分）∴＝1+（n﹣1）×1＝n，∴b n＝∴a n＝1+＝…（6分）（2）由（1）知，∁n＝c n＝＝∴T n＝c1+c2+c3+…+c n＝①，T n＝②…（9分）∴①﹣②得：T n＝﹣＝﹣＝1﹣，∴T n＝2﹣．18．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，且DE＝6，AF＝2．（1）试在线段BD上确定一点M的位置，使得AM∥平面BEF；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】解：（1）取BE的三等分点K（靠近点B），则有，过K作KM⊥BD，交BD于M，∵DE⊥平面ABCD，AF∥DE，∴AF⊥平面ABCD，∴AF⊥BD，∴F A∥KM，且F A＝KM，∴四边形F AMK为平行四边形，∴AM∥FK，∵AM⊄平面BEF，FK⊂平面BEF，∴AM∥平面BEF，∵，∴M为BD的一个三等分点（靠近点B）．…（5分）（2）如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（3，3，0），E（0，0，6），C（0，3，0），＝（3，3，﹣6），＝（0，3，0），＝（﹣3，0，0），设平面AEB的法向量为＝（x1，y1，z1），由，得，取z1＝1，得＝（2，0，1）…（8分）平面BCE的法向量为＝（x2，y2，z2），由，即，得＝（0，2，1），设二面角A﹣BE﹣C的平面角为θ，二面角A﹣BE﹣C为钝二面角，∴cosθ＝﹣＝﹣＝﹣．∴二面角A﹣BE﹣C 的余弦值为﹣．…（12分）19．（12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图所示的茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水量为二阶的可能性最大，求n的值．【解答】解：（1）由茎叶图知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户，第二阶梯水量的户数X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：EX＝＝．（2）设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得Y～B（10，），∴P（Y＝k）＝，其中k＝0，1，2， (10)设t＝＝＝，若t＞1，则k＜6.6，P（Y＝k﹣1）＜P（Y＝k），若t＞1，则k＜6.6，P（Y＝k﹣1）＜P（Y＝k），若t＜1，则k＞6.6，P（Y＝k﹣1）＞P（Y＝k），∴当k＝6或k＝7时，p（Y＝k）可能最大，＝＝＞1，∴n的取值为6．20．（12分）已知F1、F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过F2作不与x轴重合的直线l，l与圆x2+y2＝a2+b2相交于A、B并与椭圆相交于C、D，当＝λ，且λ∈时，求△F1CD的面积S的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵PM＝MF2，∴M为线段PF2的中点，∴OM是△PF1F2的中位线，又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1F2，于是有c＝1且，解得a2＝2，b2＝c2＝1，∴椭圆方程为（4分）（Ⅱ）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），由题意，设直线l的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（t2+1）y2+2ty﹣2＝0，则，，（5分）F1A•F1B＝（x1+1，y1）•（x2+1，y2）＝（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（ty1+2）（ty2+2）+y1y2＝（t2+1）y1y2+2t（y1+y2）+4＝，∵，∴，解得（7分）由消x得（t2+2）y2+2ty﹣1＝0，设C（x3，y3），D（x4，y4）则＝（10分）设t2+1＝m，则，其中，∵S关于m在上为减函数，∴，即△F2CD的面积的取值范围为（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．【解答】（1）解：f（x）为定义域上的偶函数．证明：f（x）＝e x+e﹣x的定义域为R，∵f（﹣x）＝e﹣x+e x＝f（x），∴f（x）为定义域上的偶函数；（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1在（0，+∞）上恒成立，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t＝e x（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立．∵＝﹣．当且仅当t＝2时上式等号成立．∴m；（3）解：令g（x）＝e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x）．则g′（x）＝e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1时，g′（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）＝e+．由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+＜0，即a＞（e+）．令h（x）＝x﹣（e﹣1）lnx﹣1，h′（x）＝1﹣，由h′（x）＝1﹣＝0，解得x＝e﹣1．当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增．∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1）．注意到h（0）＝h（1）＝0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）＝0．x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）＝0．∴h（x）＜0对任意x∈（1，e）成立．①a∈（，e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而e a﹣1＜a e﹣1；②a＝e时，e a﹣1＝a e﹣1；③a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，h（a）＞h（e）＝0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而e a﹣1＞a e﹣1 ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2＝25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2＝25，∴x2+y2+12x+11＝0，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosα，y＝ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11＝0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t＝，代入y＝t sinα，得：直线l的一般方程y＝tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|＝，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r＝5，圆心到直线的距离d＝．∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d＝＝，解得tan2α＝，∴tanα＝±＝±．∴l的斜率k＝±．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|，其中a＞1（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，得2≥4，无解；当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．（2）设h（x）＝f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）＝由|h（x）|≤2得，又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，所以，故a＝3．。
2018届湖南省长沙县实验中学高三下学期第一次模拟理科
湖南省长沙县实验中学2018届高三下学期第一次模拟理科综合试题时量：150分钟，满分：300分，可能用到的相对原子质量（原子量）：H—1 C—12 O—16 F—19 Si—28 S—32 Ca—40 Cu—64 一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1、下图是遗传信息流动过程图解，以下说法正确的是A.真核细胞和原核细胞合成RNA的过程分别是b、eB.a过程中可能发生基因重组C.a、d过程需要的酶相同D.图中各过程都发生碱基互补配对2、右图表示某细胞部分结构示意图。
下列有关叙述正确的是A．图示结构为动物细胞的细胞核B．③对物质的运输具有选择性C．②表示染色质，能够被健那绿染色D．①表示核仁，衰老细胞、癌细胞的核仁较小3、动植物细胞中普遍存在一一种大约由22个核苷酸组成的RNA分子——microRNAs（简称miRNA），它们作为基因调控因子发挥作用（抑制靶基因的表达），影响了从发育到生理机能再到应激反应的大部分生物学过程。
研究表明：一种位于粗面内质网膜上的蛋白AMP1是miRNA成功抑制靶基因表达所必需的物质。
据此分析不正确的是A．miRNA的形成遵循碱基互补配对原则B．miRNA的元素组成为C、H、O、N、PC．AMPl是miRNA指导产生的一种阻抑蛋白D．miRNA的作用可能是抑制基因表达的翻译过程4、嗜盐菌是一种能在高浓度盐溶液中生长的细菌，该菌中有一种结合蛋白质称为菌紫质，菌紫质能将光能转换成化学能。
下列叙述正确的是A．加入呼吸抑制剂不影响菌紫质的合成B．嗜盐菌内的ATP主要在线粒体中合成C．嗜盐菌的能量转化发生在类囊体膜上D．菌紫质的功能与叶绿素等色素分子类似5、有三个均表现为低甲状腺激素的病人，他们分别患有甲状腺、垂体和下丘脑功能缺陷病。
给这些病人及健康人静脉注射促甲状腺激素释放激素（TRH)，注射前30min 和注射后30min分别测定每个人的促甲状腺激素（TSH)浓度，结果如下：经诊断甲为下丘脑功能缺陷，下列对实验结果分析正确的是A. 病人乙是垂体功能缺陷、病人丙是甲状腺功能缺陷B. 注射TRH后，三位病人的甲状腺激素浓度都可以暂时恢复正常C. 表中数据不能说明“下丘脑一腺垂体一甲状腺”之间存在反馈调节D. TRH与TSH的作用相同6、图1是人工设计的生态系统图，图2是在蚯蚓养殖池中加入一定量食用菌杂屑后蚯蚓种群数量随时间的变化示意图。
2018届湖南省长沙县实验中学高三下学期第一次模拟理科数学试题及答案
湖南省长沙县实验中学2018届高三下学期第一次模拟数学（理）试题本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页22小题，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,2,3}A =，错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，则B 中所含元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．62．在复平面内，复数错误!不能通过编辑域代码创建对象。
对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．以q 为公比的等比数列{n a }中，1a ＞0，则“13a a <”是“q ＞1”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）5.两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有（ ） A ．30种B ．20种C ．15种D ．10种6．对于函数1()42x x f x m +=-⋅，若存在实数错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，使得00()()f x f x -=-成立，则实数错误!不能通过编辑域代码创建对象。
的取值范围是( )A ．1m ≤B ．错误!不能通过编辑域代码创建对象。
C ．D ． 错误!不能通过编辑域代码创建对象。
7．已知1F ，错误!不能通过编辑域代码创建对象。
分别为双曲线22221x y a b-=错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，0)b >的左、右焦点，若在右支上存在点错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，使得点2F 到直线错误!不能通过编辑域代码创建对象。
的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．错误!不能通过编辑域代码创建对象。
B ．C ．错误!不能通过编辑域代码创建对象。
湖南长沙市2018届高三模拟试题(二)
湖南长沙市2018届高三模拟试题（二）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|15,|560A x N x B x x x =∈-<<=-++>，则A B =（ ）A ．{}1,0,1,3-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2,3,42.已知i 为虚数单位，复数z 满足()212i z i =-，则z 的值为 （ ）A ．2B ．3C ．．53. 设数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，若5532,4S a a ==，则9a =（ ）A ． 4B ．-22C ． 22D ． 804. 函数()[]()cos ,x f x xe x ππ=∈-的图象大致是（ ） A ． B ．C. D ．5.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面,,1,ABC AB BC SA AB BC ⊥===则球O 的表面积等于 （ ）A ．4πB ．3π C. 2π D ．π6. 若直线22p y x =+与抛物线()220x py p =>相交于,A B 两点，则AB 等于（ ） A ．5p B ．11p C. 10p D ．12p7.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）A．4+．3+4+ D．3+8. 执行如下图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ． 1B ．20162017 C. 20182017 D ．201820199. 已知点()4,3P -在角ϕ的终边上，函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象上与y 轴最近的两个对称中心间的距离为2π，则8f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） AB．．10. 设0a >，若关于,x y 的不等式组202020ax y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域与圆()2229x y -+=存在公共点，则2z x y =+的最大值的取值范围为（ ）A ．[]8,10B ．()6,+∞ C. (]6,8 D ．[)8,+∞ 11. 已知函数()2f x x m =+与函数()11ln 3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5ln 2,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ B ．52ln 2,ln 24⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5ln 2,2ln 24⎛⎤+- ⎥⎝⎦D ．(]2ln2,2-12. 已知直线1l 与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，且AB 中点M 的横坐标为b ，过M 且与直线1l 垂直的直线2l 过双曲线C 的右焦点，则双曲线的离心率为（ ）A B第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()2sin 18a a x x dx -+=⎰，则a = .14.若()()()21010501210111x x a a x a x a x -=+-+-++-，则5a = . 15.已知3,4,0a b a b ==⋅=，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的取值范围是 .16.已知各项均为整数的数列{}n a 中，12a =，且对任意的n N *∈，满足1212,3212n n n n n n a a a a ++-<+->⨯-，则2017a = . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知ABC ∆中，2,120,cos .AC A B C ===（1）求边AB 的长；（2）设D 是BC 边上的一点，且ACD ∆ADC ∠的正弦值.18.（本题满分12分）某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查的数据，能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%的规定”？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品的质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似满足()218,140X N ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？19.（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAD 是边长为2的正三角形， 3.AB AD PB ===（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）设Q 是棱PC 上的点，当//PA 平面BDQ 时，求二面角A BD Q --的余弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为23，12,F F 分别是它的左、右焦点，且存在直线l ，使12,F F 关于l 的对称点恰好为圆222:42540C x y mx my m +--+-= (),0m R m ∈≠的一条直径的两个端点.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，射线11,F A F B 与椭圆E 分别相交于点,M N ，试探究：是否存在数集D ，当且仅当p D ∈时，总存在m ，使点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D ；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()(),1.ln x f x g x k x x==- （1）证明：x R ∀∈,直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（2）若2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f xg x ≤+成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
湖南省长郡中学2018届高三下学期第一次模拟考试理科数学试题
长郡中学2018届高考模拟卷（一）数学（理科）第I卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A x ||x | 2 ，B x|12.若z（1 i） i，则|z|等于（），贝U Al B等于（A. x| 2 x 1B. x| 2 c. x|2 x D. x|1 x 2A. 1B.2 C._22D.3.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0, ）上单调递减的函数为（）A. y x31B. y In|x|C. y 2|x|D. y cosx则 tanC ()A . 2B. C.D. 15.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的33C. 8- 6D. 8 -36•将函数f(x)SIn(2x -)的图象向右平移3个单位，得到的图像关于原点对称，则()57 A.—B.—C.D.6 31212的最小正值为甲乙9 8 S 1 7 7 9 Q 6 ) 0■ 2 5 6 7 9 95 3 2 03 0 2 3 7 1 U 4B. 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C. 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定8.已知等比数列 a n 的各项都是正数，且 3印,-a 3, 2a 2成等差数列，旦」至()287A . 6B. 7C. 8D. 99.在ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a , b , c ，若 ABC 的面积为S ，且2S2 2(a b) c ,7.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如图:A .甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差ir uu uu uu ur uu ②若a 1 a ?， a 2 a 3，则 a 1 a 3 ;ir uurir r uu r ③若a 1 a ?， 则对于任意的aD ，a 〔 a a 2 a ;r rrir uu r LT ④对于任意的向量 a 0,其中0 (0,0) ，右q a 2，贝V aar uu a a ?.A34 3 4 A..B.C.D.-43432210.已知双曲线x 2y 2 1的左右焦点分别为 F 1 ，F2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线的右支上的点,abPF 1F 2的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点 A ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为 B ，若e 为双曲线的离心率，则( )A . |0B| e|OA|B . |OA| e|OB|D. |0A|与|0B |关系不确定落在四边形 ABNM 内(含边界)，则y 1的取值范围是()x y 2D a |a (x, y),x R, y R 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”•定义如下：对于任意两ir uu ir uu个向量 a 1 (x 1, y 1)， a 2 (x 2, y 2)， a 1 a 2 当且仅当“论 关系“ ”，给出下列四个命题：ur ur r ur ui r ①若 q (1,0)，e 2 (0,1)，0 (0,0)，贝V q e 2 0;C. |0B| |0A|11.如图，在OMN 中，A 、B 分别是OMuur ON 的中点，若OP uuu uuuxOA yOB ( x ， y R )，且点 PA .3‘3B. 1 3 3,4C. D.12.在实数集R 中，我们定义的大小关系为全体实数排了一个“序” ，类似的，我们这平面向量集合X 2 ”或“捲 X 2且y 1y 2 ”，按上述定义的其中正确的命题的个数为()A . 4B. 3C. 2D. 1第U 卷（共90分）、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.若（ax 215 5)的展开式中x 的系数是 80,则实数a .、、x14.已知直线I 过抛物线C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，1与C 交于A 、B 两点，|AB| 12 , P 为C 的准线I 上一点，贝U ABP 的面积为 ____________ . 15.已知14C 的半衰期为5730年(是指经过5730年后，C 的残余量占原始量的一半)•设 C 的原始量为kxa ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系如下：b ae ，其中x 表示经过的时间，k 为 一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时 14C 的残余量约占原始量约占原始量的 76.7% •请你推且m n 3，则实数k 的取值范围为 ________________ 三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列 a n , b n 满足 a 1 2, 2a n 1 a n a n 1, b n a n 1, b n 0 .1(1)求证：数列是等差数列，并求数列a n 的通项公式；b n1(2 )令C n-，求数列C n 的前n 项和T .b n 218.如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE 平面ABCD , AF//DE ，且DE 6 , AF 2 .断一下马王堆汉墓的大致年代为距今 __________ 年.（已知 log 2 0.7670.4 ）16.已知 f （x ） | x 2018||x 20171 …| x 1||x 1| …|x 20171 |x 2018| （ x R ），且满足f(a 2 3a 2) f (a 1)的整数a 共有n 个，g(x)cos-2_2 x . 2 x sin 2 2kx ( x 0 )的最大值为m ,(2)过点F 2作不与x 轴重合的直线I ，设I 与圆x * * 2y 22 2a b 相交于A , B 两点，与椭圆相交于C , D(1 )试在线段BD 上确定一点 M 的位置，使得 AM //平面BEF ;(2)求二面角 A BE C 的余弦值.19.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价•阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月 用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量氾围(单位：立方米)(0,10] (10,15] (15,)从本市随机抽取了 10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图:uuur umur交点M 满足PM MF 2 •(1)求椭圆的标准方程;uuu UULT 2两点，当F 1A F 1B 且 ，1时，求 F 1CD 的面积S 的取值范围.321. 已知函数f(x) e x e x ，其中e 是自然对数的底数.(1) 若关于x 的不等式mf(x) e x m 1在(0,)上恒成立，求实数 m 的取值范围；(2) 已知正数a 满足：存在X 。
2018-2019学年湖南省长沙市县实验中学高三数学文模拟试卷含解析
2018-2019学年湖南省长沙市县实验中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，则（）．A．B．C．D．，参考答案：D∵，，∴，，∴．故选．2. 已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）A. B. 1 C. D. 2参考答案：D【分析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则. 当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.3. 已知＜x＜，则tan为A. B. C.2 D.参考答案：A略4. 若集合=（）A. B. C. D.参考答案：C5. 执行如图所示的程序框图，当输入的在上变化时，输出结果的最大值为( )A.2B.3C.4D.5参考答案：A框图表示输出中的较小者，如图3，随在上变化时，在处取最大值，最大值为2，故选A．6. 在中，，则等于（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：C7. 函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是A． B． C． D．参考答案：D8. 已知向量m，n满足m＝(2,0)，n＝()．在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D为BC边的中点，则||等于()A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：A9. 执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．21参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=3，n=1，S=1满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．10. 已知不等式组表示的平面区域的面积为4，点P(x，y)在所给的平面区域内，则z＝2x＋y的最大值为()A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （几何证明选讲选做题）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，B、C为切点,且OC = 3，AB = 4，延长OA到D点，则△ABD的面积是___________．参考答案：12. 已知直线与圆相交于，两点，是优弧上任意一点，则=___________参考答案：答案：13. 函数的定义域是参考答案：14. 设、满足约束条件：，则的最大值是。
湖南省长沙市2018届高三期末统一模拟数学理试题Word版
长沙市2018届高三年级统一模拟考试理科数学长沙市教科院组织名优教师联合命制本试题卷共7页，全卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.己知复数iz -=12，则下列结论正确的是 A. z 的虚部为i B.|z|=2C. 2z 为纯虚数 D. z 的共轭复数i z +-=12. 己知命题p: 0x ∃>0，010=-+a x ,若p 为假命题，则a 的取值范围是 A.(-∞，1) B. (-∞，1] C. (1，+∞） D. [1，+∞）3.己知3218==yx，则=-yx 11 A.1 B. 2 C.-1 D ．-24.在△AOB 中，OA = OB=1，OA 丄OB ，点 C 在 AB 边上，且 AB = 4AC ，则AB C ⋅0= A. 21-B. 21C. 23-D. 23 5.己知某二棱锥的三视图如图所示，其中俯视图由直角三角形和斜边上的中线组成，则该几何体的外接球的体积为 A. π34B. π312C. π4D. π126.己知 53)sin(=+απ，且 α2sin 2<0，则 )4tan(πα+的值为A. 7B.-7C. 71-D. 717.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。
下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于 A. 3B. 9C.27D.818.设函数 )2<<0,0>)(sin()(πϕωϕω+=x x f ，己知)(x f 的最小正周期为π4，且当3π=x 时，)(x f 取得最大值。
将函数)(x f 的图象向左平移3π个单位得函数)(x g 的图象，则下列结论正确的是A ．)(x g 是奇函数， 且在[0,π2 ]内单调递增B ．)(x g 是奇函数， 且在[0,π2]内单调递减C ．)(x g 是偶函数， 且在[0,π2]内单调递增D ．)(x g 是偶函数， 且在[0, π2]内单调递减9.如图，有一直角墙角BA 和BC ，两边的长度足够长。
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湖南省长沙县实验中学2018届高三下学期第一次模拟数学（理）试题本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页22小题，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,2,3}A =，错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，则B 中所含元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．62．在复平面内，复数错误!不能通过编辑域代码创建对象。
对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．以q 为公比的等比数列{n a }中，1a ＞0，则“13a a <”是“q ＞1”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）5.两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有（ ） A ．30种B ．20种C ．15种D ．10种6．对于函数1()42x x f x m +=-⋅，若存在实数错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，使得00()()f x f x -=-成立，则实数错误!不能通过编辑域代码创建对象。
的取值范围是( )A ．1m ≤B ．错误!不能通过编辑域代码创建对象。
C ．D ． 错误!不能通过编辑域代码创建对象。
7．已知1F ，错误!不能通过编辑域代码创建对象。
分别为双曲线22221x y a b-=错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，0)b >的左、右焦点，若在右支上存在点错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，使得点2F 到直线错误!不能通过编辑域代码创建对象。
的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．错误!不能通过编辑域代码创建对象。
B ．C ．错误!不能通过编辑域代码创建对象。
D ．)+∞8．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 的取值范围是（ ）A.10,5,5+∞（]（） B. 10,[5,5+∞（））C.11,]5,775（（） D.11,[5,775（））二、填空题：本大题共8小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点M(4，3π)到曲线2)3cos(=-πθρ上的点最短距离为____，10．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，AC =3，CD 是⊙O 的切线，BD ⊥CD 于D ,则CD = ．11．(不等式选讲选做题) 设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋4y 2＋9z 2＝3，则x ＋2y ＋3z 的最大值为________（二）必做题（12-16题）12. 已知0t >，若0(21)6tx dx -=⎰，则t 的值等于13. 已知函数f （x ）＝－x 2＋ax －2b ．若a ，b 都是区间[0,4]内的数，则使f （1）>0成立的概率是 ．14. 我市教育管理部门用问卷调查的方式对市区1000名中学生开展了‘我爱读名著”活动情况调查，x(单位：小时）表示平均半学年度课外读书时间，现按读书时间分下列四种情况进行统计：① 0 ~ 10小时； ②10 ~ 20小时; ③20 ~ 30小时；④30小时以上。
如右图是此次调查中数据统计过程的算法框图，已知输出的结果是680, 则平均半学年度课外读书时间不超过20小时的学生的频率是_______.15. 设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点,,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边,已知2220b b c -+=,则BC AO --→--→⋅的范围是___________________.16.如图所示一系列数表依次是三项式（a+b+c ）n （n=0，1，2，3，…）展开式系数按一定规律排列所得，可发现数表的第k 行共有k 个数．依此类推，数表6的第3行第1个数为 ， 数表6的第5行第3个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12 2. (Ⅰ)求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间;(Ⅱ)ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且060,3C c ==,求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）我校高二一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：（1） 根据表中数据，求英语分y 对语文分x 的线性回归方程；（2） 要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以ξ表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.E ξ（附:线性回归方程y bx a =+中，121()(),,()niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑其中,x y 为样本平均值，,b a 的值的结果保留二位小数.）19．（本小题满分12分）在如右图的几何体中， 四边形CDEF 为正方形，四边形ABCDAB ∥CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值．20．（本小题满分13分）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k 为常数) ．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. (每平方米平均综合费用＝购地费用+所有建筑费用所有建筑面积)．（1）求k 的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且m ≠①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.22．（本小题满分13分）已知函数f （x ）＝2ln x +ax 2－1（a ∈R ）(Ⅰ)求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝1，分别解答下面两题，（i）若不等式f（1+x）+f（1－x）＜m对任意的0＜x＜1恒成立，求m的取值范围；（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且f（x1）+f（x2）＝0，求证x1+x2>2. 长沙县实验中学2018届高三数学（理科）月考试卷参考答案一、选择题：二、填空题：13. 96414. 0.32 15. 1[,2)416. 10 ，30 ．三、解答题：18.解：(1) 879091929591,5x ++++== （1分）868989929490,5y ++++== （2分） 2522221()(4)(1)01434,ii x x =-=-+-+++=∑51()()(4)(4)(1)(1)0(1)124435,iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑351.03,34b =≈ 90 1.0391 3.73a y bx =-≈-⨯= 故回归直线方程为 1.03 3.73y x =- (6分) (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.22241(0);6C P C ξ=== （7分） 1122242(1);3C C P C ξ===（8分）[来源:学科网]22241(2).6C P C ξ=== （9分）故X 的分布列为2012 1.636E ξ∴=⨯+⨯+⨯= （12分）[来源:学科网]19.解：(（1）证明1：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=在△ABC 中，由余弦定理可得BC AC 3=．…………………………………2分所以222AC BC AB +=．所以BC AC ⊥．………………………………………………………3分 因为AC FB ⊥，BF BC B =，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………5分 证明2：因为60ABC ︒∠=，设BAC α∠=()0120α<<，则120ACB α∠=-．在△ABC 中，由正弦定理，得()sin sin 120BC ABαα=-．……………………1分因为BC AB 2=，所以()sin 1202sin αα-=． 整理得tan α=，所以30α=．……………………………………2分 所以BC AC ⊥．…………………………………………………3分因为AC FB ⊥，BF BC B =，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．…………………………………………5分（2）解法1：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥．因为AC CD C =，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………7分 取AB 的中点M ，连结MD ，ME ，因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60DAM ∠=， 所以MD MA AD ==．所以△MAD 是等边三角形，且取AD 的中点N ，连结MN ，NE ，则MN AD ⊥． 因为MN ⊂平面ABCD ，ED FC ，所以ED MN ⊥．因为AD ED D =，所以MN ⊥平面ADE ．所以MEN ∠为直线BF 与平面ADE因为NE ⊂平面ADE ，所以MN ⊥NE ．因为2MN AD =，ME =在Rt △MNE 中，sin 4MN MEN ME ∠== 所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为4……………………12分解法2：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥．因为AC CD C =，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………7分[来源:Z,xx,]所以CA ，CB ，CF 两两互相垂直， 建立如图的空间直角坐标系xyz C -．因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，ABC ∠=所以CB CD CF ==．不妨设1BC =，则()0,1,0B ，()0,0,1F ，)A 1,02D ⎫-⎪⎪⎝⎭，1,12E ⎫-⎪⎪⎝⎭， 20.解：：（Ⅰ）当每栋楼建为5层时,那么每栋楼的建筑费用为：1000)}8005()8004()8003()8002()8001{(⨯+∙++∙++∙++∙++∙k k k k k………………（1分）1000)8003(51000)800515(⨯+=⨯⨯+=k k所有10栋楼的建筑总费用为：1000)8003(50⨯+k ………………（2分）所有楼房的建筑总面积为1000510⨯⨯ ……（3分） 所以该小区楼房每平方米的平均综合费用为127080033205)8003(5160010005101000)8003(50100001600=++=++=⨯⨯⨯++⨯k k k 所以50=k ………………（6分）（Ⅱ）假设将这10栋楼房都建设为n 层，那么我们需要弄清楚以下几个问题：（1） 每栋楼的建筑费用：1000]800)1(25[10000]8002)1(50[1000]800)......321(50[⨯++=⨯++⨯=⨯+++++n n n n n n n n ………………（8分） （2） 这10栋楼的总建筑面积10000n 平方米………………（9分） （3） 所以该小区楼房每平方米的平均综合费用为：)(125025800251600225800251600800)1(2516001000010000]800)1(25[100001600元=++*≥+++=+++=⨯+++⨯n nn n nnn n n n n n （11分）当且仅当n n251600=()*∈N n ，即8=n 时平均综合费用最小，最小值为1250元………（13分）21.解：解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12)，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为k 1=m21-,直线BM 斜率为k 2=m23,∴直线AM 的方程为y=121+-x m,直线BM 的方程为y=123-x m, ……1分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……3分据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m ---+-++===---++23,4m m +-∴直线EF 的方程为 2222134141m mm y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭, 令x=0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……4分 ②1||||sin 2AMFS MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠,5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =,∴225,19m mm m m m =--++ 0m ≠， ∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有m ≠∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……8分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……10分所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以 482+-=+k kx x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……12分所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ252k k =⇒=⇒=, 此时直线1:12l y x =±- ……13分 22.解： (Ⅰ)f (x )的定义域为(0,)+∞，ax xx f 22)(+='， ………………1分 令,0)(>'x f 0x >，2220ax ∴+>，①当0a ≥时，/()0f x >在(0,)+∞恒成立，∴f(x)递增区间是(0,)+∞； ②当0a <时，又x >0, ()f x ∴递增区间是，递减区间是………4分 （Ⅱ）（ⅰ）设22()(1)(1)2ln(1)(1)12ln(1)(1)1F x f x f x x x x x =++-=+++-+-+--, 化简得：2()2ln(1)2ln(1)2F x x x x =++-+, …6分01x <<，/()0F x ∴<在01x <<上恒成立，()F x ∴在(0,1)x ∈上单调递减，所以()(0)0F x F <=，0m ∴≥,即m 的取值范围是),0[+∞ .……………8分（ⅱ）(1)0f =，()f x 在(0,)+∞上单调递增,[来源:]①若12,(0,1)x x ∈，则12()0,()0,f x f x <<则12()()0f x f x +<与已知0)()(21=+x f x f 矛盾,②若12,(1,)x x ∈+∞，则12()0,()0,f x f x >>则12()()0f x f x +>与已知0)()(21=+x f x f 矛盾,③若11x =，则1()0f x =，又0)()(21=+x f x f ，2()0f x ∴=得21x =与12x x ≠矛盾,④不妨设1201x x <<<，则由（Ⅱ）知当01x <<时,(1)(1)0f x f x ++-<, 令11x x -=，则11112(2)()0(2)()()f x f x f x f x f x -+<⇔-<-=,又()f x 在(0,)+∞上单调递增，122,x x ∴-<即122x x +> . …………13分证2：22121122()()02ln 12ln 10f x f x x x x x +=⇔+-++-=221212*********ln ()220()22ln 2x x x x x x x x x x x x ⇔++--=⇔+=-+,。