人教A版高中数学选修1—1第二章2.3.2抛物线的简单几何性质复习课件
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人教A版高中数学选修1-1课件-抛物线的简单几何性质
3．设抛物线y2＝8x上一点P到直线x＝－1的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离为( )
A．6 C．8
B．7
DA．12
[解析] 抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，准线l：x＝－2，∴点P到准线l的距离为5－[(－2)－(－1)]＝6，故 |PF|＝6.
4．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )
『规律方法』 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长 度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
跟踪练习2
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，求p 的值．
[解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由题意知过焦点的直线方程为 y＝x－p2，
命题方向 2
抛物线的焦点弦与焦半径问题
1．抛物线上任意一点(x0，y0)与焦点的连线称为焦半径，通常转化为点到准 线的距离．过焦点与抛物线相交的线段称为焦点弦．抛物线焦点弦的主要性质： 抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 Fp2，0的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝p42， y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.同样对于抛物线 y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py， 也可得到类似的性质．
(1)从特殊入手，求出定点(或定值)，再证明这个点(或值)与其他变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去有关变量，从而得到定点或定值．
Байду номын сангаас
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
高中数学人教A版选修1-1课件：2.3.2《抛物线的简单几何性质》课时2
抛物线的通径和焦半径
1.通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线 相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线 的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
y
P ( x0 , y0 )
OF
x
2.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式： |PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。
1,或 k
1
时, 方程
①
2
没有实数解, 从而
2
方程组 没有解.这时,直线 l 与抛物线没有公共点.
综上，我们可得：
当k 1,或k 1 ,或k 0时，直线 l 与抛物线 2
只有一个公共点.
当 1 k 1 ，且k 0时, 直线 l 与抛物线有 2
两个公共点.
当k 1,或k 1 ,时 , 直线 l 与抛物线没有公共点. 2
y2=mx(m ≠0)(x2=my
(m≠0)),可避免讨论
例3.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶 点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
分析：如图，设正三角形OAB的顶点A，B 在抛物线上， 且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，
则 y12＝2px1，y 22＝2px2，
直线DB平行于抛物线的对称轴。
OF
x
DB
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛物线的方程为y2 2 px,
点A的坐标为( y02 2p
,
y0 ),则直线OA的方程为y
2p y0
x,
y
抛物线的准线是x p
A
2
联立可得点D的纵坐标为y p2 .
人教A版高中数学选修1-1课件抛物线的简单几何性质.pptx
解x132 2 x232 2 得 于是|AB|=x1+x2+2=8 :, 所以线段的长是8.
y
A’
A
oF x
B’ B
试比较两种 解法
练已习知２抛物线y2=2x，过点Ｑ(2,1) 作斜率为1直线交抛物线于A、B两点， 试求弦AB的中点M。 依照上题的思路：xA+xB=4 所以xM=2 将xM=2代入y=x-1得yM＝１ 所以Ｍ为（２，１）
线由的抛距物离线分的别定为义dA,dB,
可知|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1, y
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2
A’
dA A
由已知得抛物线的焦点为(1,0)
所以直线AB的方程为 y=x-1①
oF x
B’ dB B
将①代入方程y2=4x,得
(x-1)2=4x 整理得x2-6x+1=0
直线与抛物线 相交(一个交点)
此方法适用于 其他各种曲线
计算判别式 △>0，相交 △=0，相切 △<0，相离
一练顶习点4 在原点，焦点在x轴上的抛物线截直 线2x-y-4=0所得的弦长为3，求抛物线5的方 程。
解: 设抛物线方程为y2 mx(m 0)与 直线2x y 4 0联立消去y得
4x2 (16 m)x 16 0
y
MB
ll
o A
l
复位
相离 相切 x 相交
如何从式子中解得直线与圆的关系?
把直线方程代入圆的方程
得到一元二次方程 计算判别式
>0,相交 =0,相切 <0,相离
y
Ｂ
Ｍ
o
x
l
y
A’
A
oF x
B’ B
试比较两种 解法
练已习知２抛物线y2=2x，过点Ｑ(2,1) 作斜率为1直线交抛物线于A、B两点， 试求弦AB的中点M。 依照上题的思路：xA+xB=4 所以xM=2 将xM=2代入y=x-1得yM＝１ 所以Ｍ为（２，１）
线由的抛距物离线分的别定为义dA,dB,
可知|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1, y
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2
A’
dA A
由已知得抛物线的焦点为(1,0)
所以直线AB的方程为 y=x-1①
oF x
B’ dB B
将①代入方程y2=4x,得
(x-1)2=4x 整理得x2-6x+1=0
直线与抛物线 相交(一个交点)
此方法适用于 其他各种曲线
计算判别式 △>0，相交 △=0，相切 △<0，相离
一练顶习点4 在原点，焦点在x轴上的抛物线截直 线2x-y-4=0所得的弦长为3，求抛物线5的方 程。
解: 设抛物线方程为y2 mx(m 0)与 直线2x y 4 0联立消去y得
4x2 (16 m)x 16 0
y
MB
ll
o A
l
复位
相离 相切 x 相交
如何从式子中解得直线与圆的关系?
把直线方程代入圆的方程
得到一元二次方程 计算判别式
>0,相交 =0,相切 <0,相离
y
Ｂ
Ｍ
o
x
l
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2.1抛物线的简单几何性质(1)课件新人教A版选修1_1
【例 1】
������2 16
������2 已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 9
+
= 1 短轴所在的直线, 抛物线的焦点到顶Байду номын сангаас的距离为 5,
求抛物线的方程.
分析先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
题型一
题型二
题型三
解法一 由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴,∴设抛物线的 方程为 y2=2px 或 y2=-2px(p>0). 又抛物线的焦点到顶点的距离为 5,
题型一
题型二
题型三
分析 (1)利用中点坐标公式 x1+x2=2x0,而又有|AB|=x1+x2+p,联 立即可得证;(2)可设 y=������ ������- 2 为AB 的方程,则与抛物线方程联立, 即可求得 x1+x2,又 k=tan θ,经代入化简即可证得;(3)由(2)得 x1· x2 为定
y2=-2px (p>0) |PF|= p − ������0 2 |AB|= p-x1-x2
x2=2py (p>0) |PF|= p y0+ 2 |AB|= y1+y2+p
x2=-2py (p>0) |PF|= p − ������0 2 |AB|= p-y1-y2
题型一
题型二
题型三
题型一
抛物线的定义与性质的应用
1 2 ������ 2 ������ ������ ,������ 2 ������ ,-������ 2
������ ,0 2
,
,
,
题型一
题型二
题型三
题型二
抛物线的焦点弦问题
人教A版高中数学选修1—1第二章2.3.2双曲线的简单几何性质(一)复习课件
范围 对称性 顶点 性 轴长 质 离心率
渐近线
x≤－a 或 x≥a
__y≤__－__a_或__y_≥_a_______
_关__于__坐__标__轴__、__原__点__对__称___
A1(－a,0)，A2(a,0) _A_1_(_0_，__－__a_)_，__A_2(_0_，__a_)___
__实__轴__长__2_a_，__虚__轴__长__2_b___
3
．
(2019·天
津
市
七
校
高
二
期
中
联
考
)
已
知
双
曲
线
x2 a2
－
y2 b2
＝
1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF
是腰长为 2 的等腰三角形(O 为原点)，∠OFA＝120°，则双曲线的
方程为( )
A．1x22 －y42＝1
B．x42－1y22 ＝1
C．x32－y2＝1
题点知识巩固
知识点一 双曲线的简单几何性质
1．(2019·浙江卷)渐近线方程为 x±y＝0 的双曲线的离心率是
()
A．
2 2
B．1
C． 2
D．2
解析：渐近线方程为 y＝±x， ∴ba＝1 或ab＝1， ∴a＝b，a2＝b2＝c2－a2 ∴c2＝2a2，e＝ 2. 答案：C
2．(2019·东厦中学高二质量检测)已知双曲线ax22－y2＝1(a>0)
解析：由题意，直角三角形的内切圆半径
r＝|PA|＋|PF21|－|AF1|＝|PF1|－2 |PF2|＝ 22，∴2a＝|PF1||PF2|＝ 2，即 a＝ 22，
(教师用书)高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修1-1
研究抛物线的性质时要注意它们之间的关系：抛物线的焦 点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始 终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称， 离心率不变总为 1.
已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上， 直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等 于 4，求此抛物线的标准方程．
●教学流程
演示结束
1.掌握抛物线的几何性质及抛物 课标 线性质的应用．(重点) 解读 2．掌握直线与抛物线的位置关 系．(难点)
抛物线的几何性质
【问题导思】 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物 线 y2＝2px(p＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？
【提示】 范围 x≥0，关于 x 轴对称，顶点坐标(0,0)．
图 2－3－3
(1)求抛物线的方程； (2)过 M 作 MN⊥FA，垂足为 N，求直线 MN 的方程． 【思路探究】 (1)根据题意你能求出 p 的值吗？ (2)M 点的坐标是多少？直线 MN 的斜率呢？
p 【自主解答】 (1)抛物线 y ＝2px(p＞0)的准线为 x＝－2，
2
p 于是 4＋ ＝5，p＝2，∴抛物线的方程为 y2＝4x. 2 (2)由题意知 A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)，F(1,0)， 4 ∴kFA＝ . 3 3 又 MN⊥FA，∴kMN＝－ ， 4 4 则直线 FA 的方程为 y＝ (x－1)， 3 3 直线 MN 的方程为 y－2＝－ x，即 3x＋4y－8＝0. 4
学法上，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可 能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的 实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比 ——探索——应用”的探究式学习方法， 增加学生参与的机会， 使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维 的能力及科学的学习方法，增强自信心．学法指导包括：联想 法、观察分析法、练习巩固法． 这样，本节课的重点与难点就迎刃而解了．
【数学】2.3.2 抛物线的简单几何性质 课件1(人教A版选修1-1)
解法3
F1(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
⇒x1 +x2 = 6, x1x2 =1
|AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |
y
6
A1
5
4
A
3
2
1
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
x
x2 = 2py （p＞0） y
F
x2 = -2py （p＞0） y
x
l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
x
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率
（0,0） e=1
（标准方程中2p的几何意义） 补充（1）通径：
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
x1 3 2 2 x2 3 2 2 或 y1 2 2 2 y2 2 2 2
2 2 AB = (x1 -x2 ) +(y1 -y2 ) = 8
解法2
x y
0 0.25 1 2.25 4 0 1 2 3 4
6.25 … 5 …
o
描点及连线：
思考:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M(2， 2 2 )的抛物线有几条?求出它们的标准方程. 解：因为抛物线关于对称轴对称，它的顶点在原点，
(新课标)高中数学《2.3.2-抛物线的简单几何性质》课件-新人教A版选修1-1
④
将③代入④，得y1－y2＝4(x1－x2)，
即4＝yx11－－yx22，∴k＝4.
∴所求弦AB所在直线方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
第25页，共35页。
题型四 抛物线中的定值、定点问题 【例4】 (12分)已知A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并满足 OA⊥OB，求证： (1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值； (2)直线AB经过一个定点． 审题指导 设直线AB方程 → 联立方程组 → 消元得关于y的方程 →
第30页，共35页。
消去y后，整理，得 k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0. ∵A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解． ∴4·xB＝16k2－k126k＋4，即xB＝4k2－k42k＋1. 以－k代换xB中的k，得xC＝4k2＋k42k＋1， ∴kBC＝xyBB－－xyCC＝k（xB－4）＋2－ xB－[－xCk（xC－4）＋2] ＝k（xBx＋B－xCx－C 8）＝k（8k－2k＋2 82k－8）＝－14.
第10页，共35页。
(4)若直线AB的倾斜角为α，则|AB|＝sin22pα；
如当α＝90°时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的； (5)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝ p42，y1·y2＝－p2.
第11页，共35页。
3．直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方若a＝0，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行于抛 物线的对称轴或与对称轴重合．因此直线与抛物线有一个公共 点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)若a≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；
高中数学人教版选修1-1课件：第二章2-3-2-3-2抛物线的简单几何性质
2
2 2 p＝ ，于是焦点与准线之间的距离是 . 5 5 2 答案： 5
类型 1 抛物线的几何性质(自主研析) [典例 1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的直线， 抛物线焦点到顶点的距离 为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． x2 y2 [自主解答] 椭圆的方程可化为 ＋ ＝1， 4 9 其短轴在 x 轴上，
(4)抛物线 x2＝4y，y2＝4x 的 x，y 的范围是不同的， 但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相 同．( )
解析：(1)抛物线不是中心对称图形，故(1)错误；(2)p 为焦点到其准线的距离，故(2)错误；(3)抛物线的类型一 共有 4 种，经过第一象限的抛物线有 2 种，故满足条件的 抛物线有 2 条，故此种说法错误．
3 3 y＝ 3 x， 其方程为 y＝ x.由 得 A(12，4 3)． 3 y2＝4x 故正三角形的边长为|OA|＝ 122＋（4 3）2＝8 3. 答案：8 3
类型 2 抛物线的焦点弦问题(互动探究) [典例 2] 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 作直线与抛物线 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，求线段 AB 的长． 解：由题意得 p＝2，故抛物线的准线方程是 x＝－1， 因为过抛物线 y ＝ 4x 的焦点作直线与抛物线交于
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
范围 对称 轴 顶点 离心 率
x≥0，y x≤0，y∈ x∈R，y≥ x∈R，y≤ ∈R x轴 R x轴 0 y轴 (0，0) e＝ 1 0 y轴
性 质
2.焦点弦 直线过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F，与抛物线交 于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF| p p ＝x1＋ ，|BF|＝x2＋ ，故|AB|＝x1＋x2＋p． 2 2
2 2 p＝ ，于是焦点与准线之间的距离是 . 5 5 2 答案： 5
类型 1 抛物线的几何性质(自主研析) [典例 1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的直线， 抛物线焦点到顶点的距离 为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． x2 y2 [自主解答] 椭圆的方程可化为 ＋ ＝1， 4 9 其短轴在 x 轴上，
(4)抛物线 x2＝4y，y2＝4x 的 x，y 的范围是不同的， 但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相 同．( )
解析：(1)抛物线不是中心对称图形，故(1)错误；(2)p 为焦点到其准线的距离，故(2)错误；(3)抛物线的类型一 共有 4 种，经过第一象限的抛物线有 2 种，故满足条件的 抛物线有 2 条，故此种说法错误．
3 3 y＝ 3 x， 其方程为 y＝ x.由 得 A(12，4 3)． 3 y2＝4x 故正三角形的边长为|OA|＝ 122＋（4 3）2＝8 3. 答案：8 3
类型 2 抛物线的焦点弦问题(互动探究) [典例 2] 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 作直线与抛物线 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，求线段 AB 的长． 解：由题意得 p＝2，故抛物线的准线方程是 x＝－1， 因为过抛物线 y ＝ 4x 的焦点作直线与抛物线交于
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
范围 对称 轴 顶点 离心 率
x≥0，y x≤0，y∈ x∈R，y≥ x∈R，y≤ ∈R x轴 R x轴 0 y轴 (0，0) e＝ 1 0 y轴
性 质
2.焦点弦 直线过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F，与抛物线交 于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF| p p ＝x1＋ ，|BF|＝x2＋ ，故|AB|＝x1＋x2＋p． 2 2
高中数学人教A版选修1-1课件：2.3.2 抛物线的简单几何性质(二)
-7-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.弦长问题 剖析:(1)直线与抛物线相交形成的弦长计算公式为|P1P2|= (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 = |������1 − ������2| · 1 + ������ 2 = |������1 − ������2| · 1 + (2)过焦点的直线交抛物线 y2=2px 于 A,B 两点. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p(p>0).
-15-
目标导航
题型一 题型二 题型三 题型四
知识梳理
重难聚焦
典例透析
AB 的方程是 y=k(x-4)+2. ������ = ������(������-4) + 2, 由方程组 2 消去y 后, ������ = ������ 整理,得 k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0. ∵A(4,2),B(xB,yB)是上述方程组的解,
∵y1+y2=2,∴k=
= ������ +������ = 3, ������1 -������2 1 2 ∴直线的方程为 y-1=3(x-4),即 3x-y-11=0. ������ 2 = 6������, 由 得y2-2y-22=0, ������ = 3������-11, ∴y1+y2=2,y1· y2=-22.
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题型一 题型二 题型三 题型四
知识梳理
重难聚焦
典例透析
易错辨析
易错点 忽略斜率不存在的情况致错 【例 4】 求过点 P(0,1)且与抛物线 y2=2x 有且只有一个公共点 的直线方程. ������ = ������������ + 1, 错解:设过点 P(0,1)的直线方程为 y=kx+1,由 2 消去y, ������ = 2������ 1 化简整理,得 k2x2+(2k-2)x+1=0,由 Δ=(2k-2)2-4k2=0,得 k= 2, 故所求的直线方程为 y= 2 ������ + 1.
高中数学人教A版选修(1-1) 2.3 教学课件 《2.3.2 抛物线的简单几何性质 》(人民教育出
当 k≠0 时，方程(*)是一个一元二次方程： Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k ①当 Δ＞0，即 k＜1，且 k≠0 时，l 与 C 有两个公共点， 此时 l 与 C 相交； ②当 Δ＝0，即 k＝1 时，l 与 C 有一个公共点，此时 l 与 C 相切；
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
【自主解答】 由yy2＝＝k4xx＋，1， 得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当 k＝0 时，方程变为－4x＋1＝0，x＝14，此时 y＝1. ∴直线 l 与 C 只有一个公共点(14，1)， 此时直线 l 平行于 x 轴．
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
2．直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关 系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线 与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛 物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线 与直线是相交的．
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
直线与抛物线的位置关系问题
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
已知：直线 l：y＝kx＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有 公共点？
【思路探究】 (1)联立直线 l 与抛物线 C 的方程，得到的 关于 x 的方程是什么形式？(2)能直接用判别式法判断公共点的 情况吗？
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第二章 圆锥曲线与方程--2.3 抛物线
2.3.2 抛物线的简单几何性质
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抛物线的几何性质
【问题导思】 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物 线 y2＝2px(p＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？ 【提示】 范围 x≥0，关于 x 轴对称，顶点坐标(0,0)．
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【自主解答】 由yy2＝＝k4xx＋，1， 得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当 k＝0 时，方程变为－4x＋1＝0，x＝14，此时 y＝1. ∴直线 l 与 C 只有一个公共点(14，1)， 此时直线 l 平行于 x 轴．
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2．直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关 系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线 与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛 物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线 与直线是相交的．
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直线与抛物线的位置关系问题
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已知：直线 l：y＝kx＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有 公共点？
【思路探究】 (1)联立直线 l 与抛物线 C 的方程，得到的 关于 x 的方程是什么形式？(2)能直接用判别式法判断公共点的 情况吗？
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第二章 圆锥曲线与方程--2.3 抛物线
2.3.2 抛物线的简单几何性质
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抛物线的几何性质
【问题导思】 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物 线 y2＝2px(p＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？ 【提示】 范围 x≥0，关于 x 轴对称，顶点坐标(0,0)．
高中数学人教A版选修1-1课件：2.3.2《抛物线的简单几何性质》课时2
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
没有公共点?
y2=4x
•
分析：用解析法解决这个问题，只要讨论直线l的方程
与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解
的情况判断直线l与抛物线的位置关系.
解：由题意，设直线l 的方程为y-1=k(x+2).
由方程组 y 1 k x 2,
y2 4x ,
(1)当k=0时，由方程①得y=1
把 y 1代入 y2 4x,得 x 1 . 4
（II）由 0,即2k2 k 1 0, 解得 1 k 1 . 2
于是,当 1 k 1 ,且k 0时, 方程①有两个解, 2
从而方程组有两个解.这时, 直线 l 与抛物线有两
个公共点.
（III）由 0,即2k 2 k 1 0, 解得k 1,或k 1 .
于是,当k
1,或 k
所以yx11＝tan30°＝
3 3 ，而
y21＝2px1，
所以 y1＝2 3p，
于是|AB|＝2y1＝4 3p.
故这个正三角形的边长为 4 3p.
本题利用了抛物线与正 三角形有公共对称轴这一 性质，但往往会直观上承 认而忽略了它的证明．
A
2．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，
则被抛物线截得的弦长为( B )
案例式 学习
秋人教A版高二数学选修1-1课件：第二章 2.3.2 抛物线的简单几何性质第2课时 (共79张PPT)
活，死后依然是掩埋在一抔黄土之下，依旧会被蛆虫啃噬最终腐烂。而百年之后，将不会再有人记起你，不会再有人记起你所走过的路，不会再记起你生前的成就以及所享受过的生活人们所能 记起你的也仅仅是在你的有生之年而已。 难过的时候，给自己一个微笑，那是一份洒脱；吃亏的时候，给自己一个微笑，那是一份淡然；失败的时候，给自己一个微笑，那是一份自信；被误解 的时候，给自己一个微笑，那是一份大气；无奈的时候，给自己一个微笑，那是一份达观；痛苦的时候，给自己一个微笑，那是一份解脱……真正的勇者，不是没有眼泪的人，而是含着眼泪微
意拥有；相信自己很坚强，但不要拒绝眼泪；相信世上有好人，但一定要防范坏人；相信金钱能带来幸福，但不要倾其一生；相信真诚，但不要指责所有虚伪；相信成功，但不要逃避失败；相 信缘分，但不要盲目等待；相信爱情，但不要求全责备；相信上帝，但别忘了锁上门。 一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌。最后你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的
往事；有些伤痕，划在心上，哪怕划得很轻，也会留驻于心；有些人，近在咫尺，却是一生无缘的生命中，似乎总有一种承受不住的痛；有些遗憾，注定了要背负一辈子。生命中，总有一些精 美的情感在我们身边跌碎，然而那些裂痕却留在了岁暮回首的刹那。 这世界并不是所有的东西都符合想象，有些时候，山是水的故事，云是风的故事；也有些时候，星不是夜的故事，情不是爱 的故事，许多人走着走着就散了，许多事看着看着就淡了，许多梦做着做着就断了，许多泪流着流着就干了。人生，原本就是风尘中的沧海桑田，只是，回眸处，世态炎凉演绎成了苦辣酸甜。
就那么忘记了明明说着看开了，放下了，每次却总是不自觉的想起那个给与温暖的人；每每又总是在微笑沉醉时看到了现实，想到了伤痛，然后，冷的感觉再也暖和不起来了，如此反复，心， 终于累了，现实就是这样。我曾经醉过，却又最终醒来，我正在行走，却找不到方向。 有些人，注定是等待别人的，有些人，注定是被人等的。一件事，再美好，你做不到，也要放弃；一个人， 再留恋，不属于你，也要离开。每个人的生命都免不了缺憾，最真的幸福，莫过于一杯水、一块面包、一张床，还有一双无论风雨，都和你十指相扣的手。 有些伤痕，划在手上，愈合后就成了
意拥有；相信自己很坚强，但不要拒绝眼泪；相信世上有好人，但一定要防范坏人；相信金钱能带来幸福，但不要倾其一生；相信真诚，但不要指责所有虚伪；相信成功，但不要逃避失败；相 信缘分，但不要盲目等待；相信爱情，但不要求全责备；相信上帝，但别忘了锁上门。 一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌。最后你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的
往事；有些伤痕，划在心上，哪怕划得很轻，也会留驻于心；有些人，近在咫尺，却是一生无缘的生命中，似乎总有一种承受不住的痛；有些遗憾，注定了要背负一辈子。生命中，总有一些精 美的情感在我们身边跌碎，然而那些裂痕却留在了岁暮回首的刹那。 这世界并不是所有的东西都符合想象，有些时候，山是水的故事，云是风的故事；也有些时候，星不是夜的故事，情不是爱 的故事，许多人走着走着就散了，许多事看着看着就淡了，许多梦做着做着就断了，许多泪流着流着就干了。人生，原本就是风尘中的沧海桑田，只是，回眸处，世态炎凉演绎成了苦辣酸甜。
就那么忘记了明明说着看开了，放下了，每次却总是不自觉的想起那个给与温暖的人；每每又总是在微笑沉醉时看到了现实，想到了伤痛，然后，冷的感觉再也暖和不起来了，如此反复，心， 终于累了，现实就是这样。我曾经醉过，却又最终醒来，我正在行走，却找不到方向。 有些人，注定是等待别人的，有些人，注定是被人等的。一件事，再美好，你做不到，也要放弃；一个人， 再留恋，不属于你，也要离开。每个人的生命都免不了缺憾，最真的幸福，莫过于一杯水、一块面包、一张床，还有一双无论风雨，都和你十指相扣的手。 有些伤痕，划在手上，愈合后就成了
高二数学人教a版选修1 1课件2 3 2抛物线的简单几何性质
第二章 2.3 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订
课堂典例讲练
第二章 2.3 第2课时
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思路方法技巧 命题方向 待定系数法求抛物线的标准方程
[ 例 1] 已知抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点， 并且经过点 M( 3，－2 3)，求它的方程．
2．为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利 用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对 称性避免分类讨论．
3．要注意根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的 距离和到准线的距离相互转化．
第二章 2.3 第2课时
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第二章
第 2 课时 抛物线的简单几何性质
第二章 圆锥曲线与方程
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学习要点点拨 课前自主预习 课堂典例讲练
课堂巩固练习 课后强化作业
第二章 2.3 第2课时
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课程目标解读
第二章 2.3 第2课时
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1．了解抛物线的几何性质，能运用抛物线的标准方程推 导出它的几何性质，同时掌握抛物线的简单画法．
2．能应用抛物线的性质解决有关问题 归纳，对比四种方程表示的抛物线几何性质的异同．
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课堂典例讲练
第二章 2.3 第2课时
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思路方法技巧 命题方向 待定系数法求抛物线的标准方程
[ 例 1] 已知抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点， 并且经过点 M( 3，－2 3)，求它的方程．
2．为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利 用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对 称性避免分类讨论．
3．要注意根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的 距离和到准线的距离相互转化．
第二章 2.3 第2课时
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第二章
第 2 课时 抛物线的简单几何性质
第二章 圆锥曲线与方程
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学习要点点拨 课前自主预习 课堂典例讲练
课堂巩固练习 课后强化作业
第二章 2.3 第2课时
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课程目标解读
第二章 2.3 第2课时
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1．了解抛物线的几何性质，能运用抛物线的标准方程推 导出它的几何性质，同时掌握抛物线的简单画法．
2．能应用抛物线的性质解决有关问题 归纳，对比四种方程表示的抛物线几何性质的异同．
2016-2017高中数学人教A版选修1-1课件：第二章2.3-2.3.2抛物线的简单几何性质
(3)抛物线 x2＝4y，y2＝4x 的 x，y 的范围是不同的， 但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相 同．( )
(4)过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相 交于两点 A，B，则|AB|与抛物线标准方程的一次项系数 相等．( )
第九页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
解析：(1)抛物线的类型一共有 4 种，经过第一象限 的抛物线有 2 种，故满足条件的抛物线有 2 条，故此种说 法错误．(2)一条抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无 对称中心，故此种说法错误．(3)抛物线 x2＝4y 的范围是 x∈R，y≥0，焦点到准线的距离是 2，离心率为 1；
(2)当 k≠0 时，方程①应有两个相等实根．
k≠0， k≠0，
由
即
Δ＝0， 16－4k（8＋12k）＝0，
得 k＝13或 k＝－1.
第三十四页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
所以直线方程为 y－2＝13(x＋3)或 y－2＝－(x＋3)， 即 x－3y＋9＝0 或 x＋y＋1＝0. 故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9 ＝0， x＋y＋1＝0.
第二十一页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
类型 2 抛物线的焦点弦问题(互动探究) [典例 2] 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 作直线交抛物线 于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，求线段 AB 的长． 解：由题意得 p＝2，故抛物线的准线方程是 x＝－1， 因为抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1， y1)，B(x2，y2)两点，所以 |AB|＝x1＋x2＋2. 又因为 x1＋x2＝6，所以 |AB|＝x1＋x2＋2＝8.
防范措施：在解直线与抛物线的位置关系时，往往直 接把直线方程设成点斜式方程，这样就把范围缩小了， 而应先看斜率不存在的情况是否符合要求，直线斜率为 0 的情况也容易被忽略，所以解决这类问题时特殊情况要 优先考虑，画出草图是行之有效的方法．
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答案：C
4.(2019·阜阳一中月考)直线 y＝kx－k 与抛物线 y2＝4x 交于
A，B 两点，若|AB|＝4，则弦 AB 的中点到准线的距离为
.
解析：∵抛物线 y2＝4x 的焦点为(1,0)，
∴直线 y＝kx－k 过焦点，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4，∴x1＋x2＝2，
知识点二 焦点弦问题
3.设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的
直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|＝( )
30
A. 3
B.6
C.12
D.7 3
解析：抛物线 C：y2＝3x 的焦点为 F34，0，所以 AB 所在 的直线方程为 y＝ 33x－34，将 y＝ 33x－34代入 y2＝3x，消去 y 整理得 x2－221x＋196＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的 关系得 x1＋x2＝221，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝221＋ 32＝12.
令 x＝－1 得 P－1，－1＋m n， 因为 n＝－m2， 所以N→A·N→P＝(m2－1,2m)·－2，－1＋m n＝－2m2＋2－2－2n ＝0， 所以 NA⊥NP， 所以点 N 在以 PA 为直径的圆 C 上.
弦 AB 的中点到准线的距离为x1＋2 x2＋1＝2.
答案：2
知识点三 直线与抛物线的综合问题
5.(2019·江西上饶期末)已知抛物线 C：y2＝4x，直线 l 与抛
物线 C 交于 A，B 两点，若 AB 中点 P 的坐标为(2,1)，则原点 O
到直线 l 的距离为( )
7
A.1
B.17 7
2 C. 2
得 M－p2， 32＋p2，
因为 T 为 MN 的中点，所以 N4＋p2，－ 32＋p2，
代入抛物线的方程可得 32＋p22＝2p4＋p2， 即 p2＋8p－48＝0，解得 p＝4 或 p＝－12(舍去)，故选 B.
答案：B
2.(2019·石家庄实验中学期末)若一动圆的圆心在抛物线 x2
y2＝2px(p>0)的准线相交于 M，与 C 的其中一个交点为 N，若线
段 MN 的中点在 x 轴上，则 p＝( )
A.2
B.4
C.2 3
D.4 3
解析：直线 y＝－ 3(x－2)与 x 轴的交点为 T(2,0)，
抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线方程为 x＝－p2，
y＝－ 3x－2， 由x＝－p2，
＝16y 上，且与直线 y＋4＝0 相切，则此圆恒过定点( )
A.(0，－8)
B.(0,4)
C.(0，－4)
D.(0,8)
解析：抛物线 x2＝16y 的焦点 F(0,4)，准线方程为 y＝－4，
∵圆心 C 在抛物线上，∴圆心 C 到准线的距离与到焦点的距离
相等，∴圆恒过定点(0,4)，故选 B.
答案：B
(2)证明：由题意可设直线 l′：x＝my＋n， 由xy＝ 2＝m4yx＋，n， 可得 y2－4my－4n＝0， (*) 因为直线 l′与曲线 E 有唯一公共点 A， 所以 Δ＝16m2＋16n＝0，即 n＝－m2. 所以(*)可化简为 y2－4my＋4m2＝0， 所以 A(m2,2m)，
2.3.2 抛物线的简单 几何性质
基础知识梳理
四种标准形式的抛物线几何性质的比较
标准 方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
图 形
x2＝－2py (p>0)
焦点 坐标
Fp2，0
F－p2，0
F0，p2
F0，－p2
准线 性
方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
质
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称
x轴
y轴
轴
顶点 坐标 性 离心 质率 开口 方向
向右
O(0,0)
e＝1
向左
向上
向下
题点知识巩固
知识点一 抛物线的简单几何性质
1.(2019·吉林白山期末)已知直线 y＝－ 3(x－2)与抛物线 C：
3 D.5 5
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y21＝4x1，① 则yx221＝＋4x2x＝2，4②，③
y1＋y2＝Байду номын сангаас，④
①－②得 y21－y22＝4(x1－x2)，∴(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)， ∴y1－y2＝2(x1－x2)，∴kl＝2，
∴直线 l 的方程为 y－1＝2(x－2)，
即 2x－y－3＝0， ∴原点 O 到直线 l 的距离为 d＝ |2－2＋3|12＝355，故选 D. 答案：D
6.(2019·会泽一中月考)已知动点 M 到点 N(1,0)和直线 l：x ＝－1 的距离相等.
(1)求动点 M 的轨迹 E 的方程； (2)已知不与 l 垂直的直线 l′与曲线 E 有唯一公共点 A，且 与直线 l 的交点为 P，以 AP 为直径作圆 C.求证：N 在圆 C 上. 解：(1)设动点 M(x，y)， 由抛物线定义可知点 M 的轨迹 E 是以 N(1,0)为焦点，直线 l：x＝－1 为准线的抛物线，所以轨迹 E 的方程为 y2＝4x.
4.(2019·阜阳一中月考)直线 y＝kx－k 与抛物线 y2＝4x 交于
A，B 两点，若|AB|＝4，则弦 AB 的中点到准线的距离为
.
解析：∵抛物线 y2＝4x 的焦点为(1,0)，
∴直线 y＝kx－k 过焦点，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4，∴x1＋x2＝2，
知识点二 焦点弦问题
3.设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的
直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|＝( )
30
A. 3
B.6
C.12
D.7 3
解析：抛物线 C：y2＝3x 的焦点为 F34，0，所以 AB 所在 的直线方程为 y＝ 33x－34，将 y＝ 33x－34代入 y2＝3x，消去 y 整理得 x2－221x＋196＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的 关系得 x1＋x2＝221，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝221＋ 32＝12.
令 x＝－1 得 P－1，－1＋m n， 因为 n＝－m2， 所以N→A·N→P＝(m2－1,2m)·－2，－1＋m n＝－2m2＋2－2－2n ＝0， 所以 NA⊥NP， 所以点 N 在以 PA 为直径的圆 C 上.
弦 AB 的中点到准线的距离为x1＋2 x2＋1＝2.
答案：2
知识点三 直线与抛物线的综合问题
5.(2019·江西上饶期末)已知抛物线 C：y2＝4x，直线 l 与抛
物线 C 交于 A，B 两点，若 AB 中点 P 的坐标为(2,1)，则原点 O
到直线 l 的距离为( )
7
A.1
B.17 7
2 C. 2
得 M－p2， 32＋p2，
因为 T 为 MN 的中点，所以 N4＋p2，－ 32＋p2，
代入抛物线的方程可得 32＋p22＝2p4＋p2， 即 p2＋8p－48＝0，解得 p＝4 或 p＝－12(舍去)，故选 B.
答案：B
2.(2019·石家庄实验中学期末)若一动圆的圆心在抛物线 x2
y2＝2px(p>0)的准线相交于 M，与 C 的其中一个交点为 N，若线
段 MN 的中点在 x 轴上，则 p＝( )
A.2
B.4
C.2 3
D.4 3
解析：直线 y＝－ 3(x－2)与 x 轴的交点为 T(2,0)，
抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线方程为 x＝－p2，
y＝－ 3x－2， 由x＝－p2，
＝16y 上，且与直线 y＋4＝0 相切，则此圆恒过定点( )
A.(0，－8)
B.(0,4)
C.(0，－4)
D.(0,8)
解析：抛物线 x2＝16y 的焦点 F(0,4)，准线方程为 y＝－4，
∵圆心 C 在抛物线上，∴圆心 C 到准线的距离与到焦点的距离
相等，∴圆恒过定点(0,4)，故选 B.
答案：B
(2)证明：由题意可设直线 l′：x＝my＋n， 由xy＝ 2＝m4yx＋，n， 可得 y2－4my－4n＝0， (*) 因为直线 l′与曲线 E 有唯一公共点 A， 所以 Δ＝16m2＋16n＝0，即 n＝－m2. 所以(*)可化简为 y2－4my＋4m2＝0， 所以 A(m2,2m)，
2.3.2 抛物线的简单 几何性质
基础知识梳理
四种标准形式的抛物线几何性质的比较
标准 方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
图 形
x2＝－2py (p>0)
焦点 坐标
Fp2，0
F－p2，0
F0，p2
F0，－p2
准线 性
方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
质
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称
x轴
y轴
轴
顶点 坐标 性 离心 质率 开口 方向
向右
O(0,0)
e＝1
向左
向上
向下
题点知识巩固
知识点一 抛物线的简单几何性质
1.(2019·吉林白山期末)已知直线 y＝－ 3(x－2)与抛物线 C：
3 D.5 5
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y21＝4x1，① 则yx221＝＋4x2x＝2，4②，③
y1＋y2＝Байду номын сангаас，④
①－②得 y21－y22＝4(x1－x2)，∴(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)， ∴y1－y2＝2(x1－x2)，∴kl＝2，
∴直线 l 的方程为 y－1＝2(x－2)，
即 2x－y－3＝0， ∴原点 O 到直线 l 的距离为 d＝ |2－2＋3|12＝355，故选 D. 答案：D
6.(2019·会泽一中月考)已知动点 M 到点 N(1,0)和直线 l：x ＝－1 的距离相等.
(1)求动点 M 的轨迹 E 的方程； (2)已知不与 l 垂直的直线 l′与曲线 E 有唯一公共点 A，且 与直线 l 的交点为 P，以 AP 为直径作圆 C.求证：N 在圆 C 上. 解：(1)设动点 M(x，y)， 由抛物线定义可知点 M 的轨迹 E 是以 N(1,0)为焦点，直线 l：x＝－1 为准线的抛物线，所以轨迹 E 的方程为 y2＝4x.