厄米算符的本征值和本征函数转置算符-Oriyao
量子力学 刘劲松 7讲
二、 厄密算符的本征值与本征函数（5）
正交归一化的表示
由 n d r 0, 或（ m , n ) 0
* m 3
以及 n d r 1, 或（ n , n ) 1
* n 3
有 n d r mn
* m 3
* 2 3
An | n | d r An . A是实数 An也是实数。
8
二、 厄密算符的本征值与本征函数（4） 定理2：厄密算符的属于不同本征值的本征 函数，彼此正交。即
证 ˆ A是厄密算符，且 A n A n n , A m A m m， * ˆ * * A * ，左乘 , 积分，得 A A , 有A
1, m n 0, m n
或 m , n ) mn （
11
三、角动量的本征值与本征函数（1）
ˆ rp ˆ 角动量 l r p, 角动量算符 l ˆ i i( e e e ) 在直角坐标下， p x y z x y z ˆ ˆ ˆ ˆ r xex ye y zez , l l x ex l y e y l z ez ˆ i( y z ), lx z y ˆ i( x y ) lz y x ˆ i( z x ) ly x z
2
0
e i ( n m ) d 0
18
三、角动量的本征值与本征函数（6）
例2：平面转子的本征值与本征函数 绕z轴旋转的平面转子，设I 为转动惯量，则 lˆz2 2 2 ˆ H 。能量本征方程为 2 2I 2 I
北京大学量子力学教材第四章
北京⼤学量⼦⼒学教材第四章第四章量⼦⼒学中的⼒学量第四章⽬录§4.1表⽰⼒学量算符的性质 (3)(1) ⼀般运算规则 (3)(2) 算符的对易性 (5)(3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7)§4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12)§4.3 连续谱本征函数“归⼀化” (15)（1）连续谱本征函数“归⼀化” (15)（2）δ函数 (18)（3）本征函数的封闭性 (22)§4.4 算符的共同本征函数 (24)(1) 算符“涨落”之间的关系 (24)(2) 算符的共同本征函数组 (27)(3) ⾓动量的共同本征函数组―球谐函数 (28)(4) ⼒学量的完全集 (34)§4.5 ⼒学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36(1) ⼒学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36)(2) Vivial Theorem维⾥定理 (37)(3) 能量—时间测不准关系 (38)(4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)第四章量⼦⼒学中的⼒学量§4.1表⽰⼒学量算符的性质(1) ⼀般运算规则⼀个⼒学量如以算符O表⽰。
它代表⼀运算，它作⽤于⼀个波函数时，将其变为另⼀波函数)z ,y ,x ()z ,y ,x (O=ψ。
它代表⼀个变换，是将空间分布的⼏率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O→?ψ-=，于是)x (e )x (Odx daψ=ψ-∑∞=ψ-=0n nnn )x (dxd !n )a ( )a x (-ψ= )x (?=即将体系的⼏率分布沿x ⽅向移动距离a .A. ⼒学量算符⾄少是线性算符；量⼦⼒学⽅程是线性齐次⽅程。
由于态叠加原理，所以在量⼦⼒学中的算符应是线性算符。
量子力学——算符
换另一种方法，设定
其中，
是狄拉克δ函数。
这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，动量算符的 本征函数是完备的。也就是说，任意波函数 都可以表达为本征函数的线性组合：
其中，系数
是
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三、角动量算符
在量子力学里，角动量算符(angular momentum operator) 是一种算符，类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋 转对称性(rotational symmetry)的理论里，角动量算符占有 中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基 本特性
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2.1动量算符 导引 (3)
将上述两个方程代入方程 (1)，可以得到
使用分部积分法，
(2) (3)
方程 (2) 与 (3) 的减差是
所以， 对于任意波函数 ，这方程都成立。 为
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因此，我们可以认定动量算符
。
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2.2 （动量算符）本征值与本征函数 (1)
假设，动量算符 的本征值为 的本征函数是 ：
采用球坐标。展开角动量算符的方程：
其中， 转换回直角坐标，
，分别为径向单位矢量、天顶角单位矢量、与方位角单位矢量。
其中， 所以，
，分别为 x-单位矢量、y-单位矢量、与 z-单位矢量。 分别是
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (2)
角动量平方算符是 其中，
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (3)
思考
与
的交换算符，
由于两者的对易关系不等于 0 ， 与 同的基底量子态。一般而言，
量子力学第三章-1
二、力学量的平均值 三、例题
一、力学量的可能值
1、力学量算符本征函数组成完全系（完备系） (1) 函数的（完全性）完备性 有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函 数展开: ψ ( x) = c φ ( x)
n
n
即
c n = ∫ φ ( x )ψ ( x )dx
∗ n
证明：当 ψ (x)已归一时，cn 也是归一的。
证： 1 = ∫ ψ ( x)ψ ( x)dx = ∫ ∑ cnφn ∑ cmφm dx n m * = ∑ ∑ cn * cm ∫ φnφmdx = cn * cmδ nm
∑
n
n n
则称这组函数φn(x) 是完全（完备）的。 例如：动量本征函数组成完备系
r r r r Ψ ( r , t ) = ∫ c( p, t )ψ p ( r )d 3 p r r r r 或 ψ ( r ) = ∫ c( p )ψ p ( r )d 3 p
(2) 力学量算符的本征函数组成完备系 I、 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成 完备系（参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324），即若： ˆ Fφ = λ φ
ˆ 2、角动量算符 Lz 本征函数
φm (ϕ ) =
1 imϕ e m=0, ± 1, ± 2... 2π
组成正交归一系
∫
π
2π
0
* φm (ϕ )φm′ (ϕ )dϕ = δ mm′
ˆ 3、角动量算符 L2 本征函数
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl m (cos θ )eimϕ
厄米算符本征值和本征函数
AB BA
（3.3.8）
d.任何算符总可分解为
i
（3.3.9）
令
1
米算符。2
、 1
2i
，则 和 均为厄
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质：
① 厄米算符的平均值是实数，因为
*
O
*
m
Om
*
m
由
O m n Om m n
及O的厄米性质，O m n m O n ，及
m O n On m n
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得
(Om On ) m n 0
又因 On Om
得
m n 0
得证。若本征函数是正交归一化的，则有
* dr
*
dr
* dr
*
*
（3.3.10）
② 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。
③ 厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均 值就是本征值。
④ 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。
⑤ 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正 交归一化。
成立，而且 1 、 2 为任意波函数。为此令 1 2 ，利
用（1）式得
(1 2 ) O(1 2 ) O(1 2 ) (1 2 )
（2）
因为 O在 1、 2 中的平均值也是实数，所以上式又写为
1 O 2 2 O1 O1 2 O 2 1
（3）
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
对 1和 2作变换，令
量子力学中的量子力学算符
量子力学中的量子力学算符量子力学中的量子力学算符是描述量子系统性质的重要工具。
它们代表了物理量的数学运算符，用于计算和预测系统的态矢量的演化和测量结果。
本文将介绍量子力学算符的基本概念、性质和应用。
1. 算符的定义在量子力学中，算符是表示物理量的数学运算符。
它们作用于态矢量，用于计算物理量的测量结果或表示系统的演化。
量子力学算符通常用大写字母表示，例如位置算符X、动量算符P和能量算符H等。
2. 算符的性质量子力学算符具有多个重要性质，包括线性性、厄米性和厄米算符的本征值问题。
2.1 线性性：量子力学算符是线性的，即对于任意常数a和b，有F(aψ + bφ) = aF(ψ) + bF(φ)，其中F表示任意量子力学算符。
2.2 厄米性：厄米性是量子力学算符的重要性质。
一个算符F的厄米共轭算符F†定义为满足内积关系⟨ψ|F†φ⟩ = ⟨Fψ|φ⟩的算符。
对于厄米算符F，其本征值都是实数。
2.3 厄米算符的本征值问题：对于厄米算符F，存在一组完备正交本征态{φn}，其对应的本征值{fn}都是实数。
即Fφn = fnφn。
这个本征值问题是量子力学中重要的数学工具，可以用于计算物理量的测量结果和态矢量的演化。
3. 常见的量子力学算符量子力学中存在着许多常见的算符，这些算符用于描述各种物理量和系统性质。
3.1 位置算符X：位置算符X表示粒子在空间中的位置。
对于一维情况，位置算符的本征态是位置空间的波函数；对于三维情况，位置算符的本征态是位置空间的波函数。
3.2 动量算符P：动量算符P表示粒子的动量。
对于一维情况，动量算符的本征态是动量空间的波函数；对于三维情况，动量算符的本征态是动量空间的波函数。
3.3 能量算符H：能量算符H表示粒子的能量。
它是量子体系的哈密顿算符，其本征态是能量空间的波函数。
4. 算符的应用量子力学算符在物理学中有广泛的应用。
它们可以用于计算各种物理量的期望值、计算系统的演化和描述量子力学中的各种现象。
厄米算符的本征值与本征函数详解演示文稿
三、厄米算符的本征值与本征函数(5)
2、几个定理（1）
定理1：厄米算符的本征值必为实数。
设 Aˆ 为厄米算符， n 和 An 为该算符的本征态与本
征值，即：Aˆ n An n
【证明】：设 A 为 Aˆ 在本征态 m 下的平均值，即：
A
* m
Aˆ
md
3r
四、角动量的本征值与本征函数（1）
n
( Aˆ *
* m
)d
3r
n A~ˆ
* m
d
3r
* m
Aˆ
n
d
3r
* m
An
n
d
3r
An
m* nd 3r
即：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
An
m* nd 3r
已证明：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
Am
m* nd 3r
Am m* nd 3r An m* nd 3r
即( Am An ) m* nd 3r 0, Am An ,
*[( Aˆ A) ][( Aˆ A) ]* d 3r ( Aˆ A) 2 d 3r 0
( Aˆ A) 0, 或者Aˆ 常数
改记为： Aˆ n An n
三、厄米算符的本征值与本征函数(3)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ n An n
n 0,1,2,3,
定Aˆ理和：厄(r)米，算若符Aˆ＋的平Aˆ均，值即为Aˆ 实 A~数ˆ * 。
则
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
. 厄米算符不同本征值对应的本征态正交
厄米算符不同本征值对应的本征态正交在量子力学中，厄米算符是一类非常重要的算符，它们具有许多重要的性质，其中之一就是不同本征值对应的本征态是正交的。
本文将围绕这一重要的性质展开讨论，并从浅入深地探究其背后的原理和意义。
1. 什么是厄米算符？在量子力学中，厄米算符是指其对应的物理量是可观测的，即可以通过实验进行测量的算符。
厄米算符在量子力学中扮演着非常重要的角色，它们的本征值和本征态有着许多重要的性质，其中就包括本征态正交的性质。
2. 厄米算符不同本征值对应的本征态为何正交？要解释厄米算符不同本征值对应的本征态正交的性质，我们可以从厄米算符的性质和本征态的定义入手进行说明。
由于厄米算符是可观测的物理量对应的算符，不同本征值对应的本征态在物理意义上代表了对应物理量的不同测量结果。
而正交性意味着不同测量结果所对应的本征态在彼此之间是相互垂直的，这也与物理上的实验结果相符。
3. 正交性的物理意义和实际应用厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的物理意义在于，在进行量子力学的测量时，不同的测量结果是相互独立的，彼此之间不会相互干扰，这也为量子力学的实验结果提供了坚实的基础。
另外，正交性的性质也在量子力学的计算和求解中扮演着非常重要的角色，它为我们提供了在物理问题求解中的便利性和简化性。
4. 个人观点和理解作为一名研究量子力学多年的学者，我对厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的深刻理解和应用经验使我深信这一性质的重要性。
正交性不仅为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在理论计算和物理问题求解中起到了非常重要的作用，这一性质对于深入理解量子力学的重要意义不言而喻。
总结回顾本文围绕厄米算符不同本征值对应的本征态正交这一重要性质展开了讨论，从厄米算符的定义和不同本征值本征态的物理意义入手，逐步深入探究了正交性的原理和意义。
正交性为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在量子力学的计算和求解中起到了非常重要的作用。
个人作为一名资深学者对于这一性质深刻的理解和应用经验更是加深了我对其重要性的认识。
厄米算符的本征值与本征函数
19
四、角动量的本征值与本征函数（3）
2、角动量 z 分量的本征值与本征函数(1)
设本征值与本征函数为 和 lz ，本征方程为：
i
lz
ln
ilz /
解为： () C exp( ilz / ) 其中 C 为归一化常数
当 2 ，系统将回到原来的位置，由波函数的
单值性要求，有： ( 2 ) () ，即：
A ，可能
出现各种不同的结果，根据概率论，所得结果的平均将趋
于一个确定值，即平均值（期望）：A ， A *Aˆd 3r 每次测量结果则围绕平均值有一个涨落（方差）。定
义为： Aˆ 2 ( Aˆ A)2 *( Aˆ A)2d 3r
因为 Aˆ 是厄米算符，A 必为实数，因此 Aˆ 也是厄米算符 Aˆ ( Aˆ A) Aˆ A Aˆ A Aˆ
exp( ilz ( 2 ) / ) exp( ilz / ) e(2ilz /) 1 lz m, m 0,1,2 是量子化的
相应的本征函数： m () Ceim , m 0,1,2 20
四、角动量的本征值与本征函数（4）
2、角动量 z 分量的本征值与本征函数(2)
由归一化条件，有：
根据前述的推论2：Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0
7
三、厄米算符的本征值与本征函数(2)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0 若 Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0 ，涨落为零，其物理含
义为：测量 A 所得的结果是唯一确定的，换句话说，测量
Aˆ 和
(r)，若Aˆ＋
Aˆ ，即Aˆ
~ Aˆ *
~
则 A 2 *( Aˆ)2d 3r * Aˆ *( Aˆ )d 3r
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系
d
d
1
ˆ d ( F ˆ ) * d * F *F 2 2 1 ˆ 1 ) * 2 d ( F 2 ˆ 1
ˆ d ( F ˆ ) * ] [ d ( F ˆ ) * d * F ˆ ] [ d 1 * F 2 1 2 2 1 2 1
（四）实例
（1）动量本征函数组成正交归一系 （2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
（3）角动量本征函数组成正交归一系
1. Lz 本征函数
2. L2本征函数
（4）氢原子波函数组成正交归一系
§6 算符与力学量的关系
（一）力学量的可能值
（1） 力学量算符本征函数组成完备系
（2） 力学量的可能值和相应几率
i 1 i 1
Fn nj
因为
j , j 1,2, , f
f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，
算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状 态，要想唯一的确定状态还得寻找 另外一个或几个力学量算符，F 算 符与这些算符两两对易，其本征值 与 Fn 一起共同确定状态。
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
n * n d 1 m * n d 0
m
* nd 0
[证毕]
m
* n d mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
* d ( )
1. ψ nj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
量子力学 第3章-2(第9讲)
§3.1 算符的运算规则 §3.2 厄米算符的本征值与本征函数 §3.3 共同本征函数 §3.4 连续谱本征函数的归一化
§3.2 厄米算符的本征值与本征函数
定理1: 厄米算符的本征值必为实数
^
证：设 Q 为厄米算符，其本征方程
^
Q
^
^
* Qd (Q )*d
*d * *d
例
几种常见厄米算符的本征函数和本征值
动量算符、角动量算符、动能算符、哈密顿 算符
1.动量算符
1.动量本征方程
i
p
(r
)
p
p
(r
)
i i i
x
p
(
r
)
y
p
(
r
)
z
p
(
r
)
p x
p
(
r
)
p y
p
(r
)
p z
p
(
r
)
I. 求解
采用分离变量法，令：
p
(
r
)
( x )
r
x
sin
cos
r
y
sin
sin
r
z
cos
x
1 cos cos
r
y
1 cos sin
r
z
1 sin
r
x
r
r
x
x
x
y
r
r y
y
y
z
r
r
z
z
z
将（3） 式两边分 别对 x y z 求偏导 数得：
x
厄米算符平均值为实数
厄米算符平均值为实数
厄米算符是量子力学中常见的一种算符，其具有特殊的性质，即其本征值为实数，且本征态之间正交。
因此，当一个系统处于厄米算符的本征态时，其测量结果必定为实数。
更具体地说，如果一个厄米算符A作用于一个量子态|ψ，则其
平均值可以表示为：
A = ψ|A|ψ
其中，ψ|表示量子态|ψ的共轭转置，也称为bra向量，|ψ表
示原量子态，也称为ket向量。
上式中的A表示厄米算符。
由于厄米算符的本征值为实数，因此其作用于任意一个本征态时，都将得到该本征值的倍数，即：
A|a = a|a
其中，|a表示厄米算符A的一个本征态，a表示对应的本征值。
因此，如果一个系统处于厄米算符A的本征态|a中，则对A进
行测量时，将得到本征值a。
此时，平均值A也等于本征值a，即A=a。
总之，厄米算符的本征值为实数这一性质保证了其平均值为实数。
这对于量子力学中的测量和计算都具有重要的意义，并为实验验证提供了可靠的依据。
- 1 -。
3.2 厄米算符的本征值与本征函数
3.2 厄米算符的本征值与本征函数 对于都用 来描述其状态的大量完全相同的 体系(系综), 如进行多次测量, 所得结果的平 均值将趋于一个确定值．而每一次测量的结 果则围绕平均值有一个涨落. 涨落定义为 涨落
m n m m n
m
n
n
m n
m,n 0 . ,则必有
简并问题
在处理力学量本征问题时,特别是能量 的本征值问题, 常常出现本征态的简并,
这与体系的对称性有密切关系. 在能级简并的情况下, 仅根据能量本征值并不能把各 能量的简并态确定下来. 设力学量 A 的本征方程表为 ˆ A n A n, 1 ,2 , ,f n n 即属于本征值 A n 的本征态有 f n 个,则称本征值 A n 为 f n 重简并.
ˆ A 仍为 A A 因为 Aˆ 为厄米算符, A 必为实数, 因而
* ˆ ˆ A A A A d A 2 2 2
2
2
(1)
厄米算符, 再利用3.1节所学知识, 有
ˆ A A d 0 A
(2)
如果体系处于一种特殊的态, 测量 A 所得结果是 唯一确定的, 即涨落 A 2 0 , 则这种状态称为力学 量 即
出现简并时, 简并态的选择是不唯一的, 而且也不一 定彼此正交, 但总可以把它们适当线性叠加, 使之彼此 正交. 证明如下 令 因为
n a n ,
fn
ˆ a ˆ A A A . n n Aa n n n n
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
n * n d 1 m * n d 0
m
* nd 0
[证毕]
m
* n d mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
* d ( )
2线性谐振子能量本征函数组成正交归一系1动量本征函数组成正交归一系3角动量本征函数组成正交归一系本征函数4氢原子波函数组成正交归一系四实例一力学量的可能值二力学量的平均值力学量有确定值的条件三例题量子力学基本假定iii告诉人们在任意态r中测量任一力学量f所得的结果只能是由算符f的本征方程之一
第三章 量子力学中的力学量
满足上式的函数系 φn 或φλ 称为正交归一（函数）系。
（4）简并情况
上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。
如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn有f个本征函数：φn1 ,φn2 , ..., φnf
满足本征方程：
ˆ F F ni n ni
§3.5 厄密算符的本征值与本征函数
（一）厄密算符的平均值 （二）厄密算符的本征方程 （三）厄密算符本征函数的正交性
（四）实例
（一）厄密算符的平均值
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。 证：
ˆ F d * F
逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。 证：
1. ψ nj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
厄米算符的本征值与本征函数
可把常数记为An，把状态记为ψn，于是得：
Aˆψ n = Anψ n
(1)
其中An,ψn分别称为算符Â的本征值和相应的本征态，式(1)即算符Â的本征方程。 定理 II：厄米算符的本征值必为实。（证明）
3. 量子力学中的力学量用线性厄米算符表示
1). 表示力学量的算符必为线性算符；
2). 表示力学量的算符必为厄密算符。
∫ ∫ 组成正交归一系：
π 0
2π 0
Ylm*Biblioteka (θ,ϕ)Yl′m
(θ
,
ϕ
)
sin
θdθdϕ
=
δ ll′
(8)
(7)和(8)可合写为
∫ ∫π 0
2π 0
Ylm*
(θ
,
ϕ
)Yl′m′
(θ
,
ϕ
)
sin
θdθdϕ
=
δ δll′ mm′
(9)
4
把(3)与(4)式合写为
∫ψ m*ψ ndτ = δmn
②. 连续谱正交归一条件表示为：
∫ψ λ*ψ λ′dτ = δ (λ − λ′)
③. 正交归一系 满足上式的函数系ψn或ψλ称为正交归一（函数）系
5. 简并情况 如果Â的本征值An是fn度简并的，则属于本征值An的本征态有fn个：ψnα，α=1,2,…, fn
§3.5 厄米算符的本征值与本征函数
1. 厄米算符的平均值 定理 I：体系任何状态ψ下，其厄米算符的平均值必为实数。（证明） 逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。（证明） 推论：设 Â 为厄米算符，则在任意态ψ之下
∫ ∫ A2 = dτψ * Aˆ 2ψ = dτ ( Aˆψ )* Aˆψ ≥ 0
厄米算符本征函数的正交性
3.4 厄米算符本征函数的正交性 力学量算符本征值，本征函数,厄米算符 现讨论厄米算符的本征函数的基本性质，正交性 动量算符的本征函数pψ本征值为p32*1()(2)()i p rp p p r ce c d p p ψπψψτδ⋅'=='=-⎰*0p p p pd ψψτ''≠=⎰属于动量算符不同本征值的两个本征函数,p p ψψ'相互正交 厄米算符的特点：本征函数正交 证明：设力学量算符ˆF， 本征值 123,,,n λλλλ 本征函数 123,,,n φφφφ取属于不同本征值的任意两个本征波函数波函数k l λλ≠因为k lλλ≠所以 *0k l d φφτ=⎰以上证明过程对分立谱，连续谱都成立但注意：对分立谱k λ组成分立谱，波函数k φ已归一*1k kd φφτ=⎰由以上两式*k lkl d φφτδ=⎰ 其中1,0,kl k l k l δ=⎧=⎨≠⎩对连续谱λ 组成分立谱，波函数λφ归一为δ函数*()d λλφφτδλλ''=-⎰满足以上两式的函数系，称为正交归一系。
以上无简并情况简并情况---〉同一本征值对应多个波函数（状态）如力学量算符ˆF的一个本征值n λ是f度简并此处多讲！一般来说以上这些函数在满足本征方程外，还有更大的自由，所以并不一定相互正交 但我们总可以用个2f 常数,,1,2,,ij A i j f=把以上f个函数ni φ线性组合成f个新函数ni ψ相互正交上结论能否成立，关键是能否找到2f 个常数i j A ，使组成的新函数n i ψ满足正交归一即*n j n j j j d ψψτδ''=⎰即f 个新函数n i ψ相互组合，共有22(1)222ff f f f C -==-个类似以上的方程且''0j j j j δ≠=由归一性*11,2,,n j n j d j fψψτ==⎰ 共f个找到2f 个常数i j A ，使组成的新函数n i ψ 满足正交归一受限制方程数2222222ff f f N f f C f -=+=+=+ 系数i j A 有2f 个 ，大于方程的个数N ，所以总可以找到2f 个系数i j A 组成f个新函数n i ψ满足正交性且新函数是力学量ˆF的本征函数，本征值为n λ 即例：力学量算符ˆF某本征值λ2度简并本征函数1,2φφ本征值为λ设正交归一的波函数11111222211222c c c c ϕφφϕφφ=+=+由正交归一***1211220,1,1d d d ϕϕτϕϕτϕϕτ===⎰⎰⎰已作过的几个厄米算符的本征函数线性谐振子，能量算符222(1)(),2a x n n n n n n N eH ax E ψω-+== 角动量ˆzL20,0,1,2,()()im m m m mm e m m ϕππφφϕφϕδ''==±±=⎰角动量平方22,(,)(cos ),(1),(21)m im lm lm l L Y N P e l l l ϕθϕθ=++ 氢原子能量22222121212222222222s R s rZe H r r Ze H rM μμμ=-∇-∇----∇∇=- 内部运动能量波函数 3.5 算符与力学的关系 力学量 算符表示算符 厄米算符本征值方程 本征值、本征函数如果算符 F 表示力学量 F ，那么体系处于算符F 的本征态φ时，力学量F 有确定的值，这个值就是算符F 在φ态的本征值λ一般情况，体系并不在本征函数所描述的态上，而是一个任意的态ψ上 ？有确定值吗？ 测量该力学量得什么？ 波函数能给出给力学量的什么信息？态的叠加 假设体系处于1()r ψ，测量某力学量A,得1a假设体系处于2()r ψ，测量某力学量A,得2a则1122c c ψψψ=+也是体系的可能状态 （c 为任意复数）称1122c c ψψψ=+是 1()r ψ 和2()r ψ的叠加态在该态上测量力学量A 有时出现1a 有时出现2a出现的几率分别为 21c 22c力学量A 的平均值是：数学上已知证明 如ˆF是满足一定条件的厄米算符，它的正交归一本征函数nφ对应本值n λ，则任一函数可按n φ展开 式中ic 与x 无关，本征函数n φ的这种性质称完全性，即组成完全系其他例子：矢量表示r xi y j zk =++函数的级数展开00()0vs v f b b νρρ∞+==≠∑函数的三角函数展开()sin()n n f x A nx ∞==∑系数n c 如何求？***()m m n n nn m n n mn mnnx dx c dxc dx c c φψφφφφδ====∑⎰⎰∑∑⎰即*()m m c x dx φψ=⎰系数n c 的平方和等于 1 系数n c 物理意义？ 数学上n c 时含有n φ的大小物理上含有量子态份额的多少，2nc 是测量力学量ˆF得nλ的几率力学量与算符关系的一个基本假定表示力学量的算符ˆF都是厄米算符，它们的本征函数n φ组成完全系，当体系处于波函数()x ψ所描写的状态时，测量力学量F 所得的数值，必定是算符ˆF的本征值之一，测得的几率是2nc .正确性，由整个理论与实验结果符合而得到验证 由以上假定，力学量平均值2*n nnF c F F dx λψψ→==∑⎰证明*********2**()()()()m m n n mnm n m n m n m n n mnmnm n n m n m n n mnmnmnn n nF dx c F c dxc c F dx c c dx c c dx c c c FF x dx F x dxψψφφφφφλφλφφλδλψψψψ========∑∑⎰⎰∑∑⎰⎰∑∑⎰∑⎰⎰对含连续谱情况 ()()()n n nx c x c x d λλψφφλ=+∑⎰其中*()()c x x dx λλφψ=⎰由22*()()11nnx x dx cc d λψψλ=→+=∑⎰⎰对连续部分对含连续谱情况下2c d λλ是什么意义 是测力学量F 得值在范围d λλλ→+内的几率 平均值22n nn n nF c F c d λλλ=→=∑⎰*F Fdx ψψ=⎰有分立，连续22*n n n nF c c d F dx λλλψψ=+=∑⎰⎰例：求氢原子处于基态时，电子动量的几率分布分析基态1001()r a r eψ-=给出了随 r 的分积布,几率密度2100ψ按动量算符的本征函数展开，系数cλ 即为动量分布其中动量本征函数321()(2)i p r p r eψπ⋅=微元2sin d r drd d τθθϕ=orxyzpθ2322cos 2302201cos 23cos 12211sin (2)1sin (2)12cos (2)or i p r a p r ipr a r r ipr a r o c er drd d eer d d dra eer drd a ππθθϕθθθθϕπθθϕππθπ--⋅-∞-===-∞--===⋅==-⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰2323232222202[]/[](2)(2)2[](2)r i i pr pr a r o ri i pr pr a o r air ee epr dra a i reeedr a p a pπππ-∞-=-∞-==⋅--=-=⎡⎤+⎣⎦⎰⎰0032011()()320002[](2)2[00]11(2)()()ri i pr pr a r i i p r p r a a r r i ree e dra pi ee dr dri i a pp p a a ππ-∞-=-+--∞∞===-=--+-+--⎰⎰⎰0011()()0322200032220002[]11(2)()()211[]11(2)()()ii p r p r a a r i e e i i a p p p a a i i i a p p p a a ππ-+--∞=-=++--=++-322200000203222000222000322222003220003222222222000211[](2)()()2()11[]()()(2)2()()()()(2)2()4(2)()()(2)i ia p ia p a p a a i a ia p ia p a p i a ia p ia p a p a pi a i a p a a p a p a p πππππ+=++-+=++---+=+-==++()p c p 是p p=的函数，动量的几率密度352422228()o p a p c a p ωπ==⎡⎤+⎣⎦当氢原子处基态时，电子动量的绝对值在范围p p dp →+内的几率积分时利用公式224(1)32x dx x π∞=+⎰。
(参考资料)4.3 厄米算符的本征值与本征函数
28
28
fn( fn
1)
（ fn 1），所以结论是：
系数a 还不能完全定下来，它们还有多种
取法。
尽管如此，我们总可以说，厄米算符的本征函数
彼此正交，不管它们是否简并。
28
27
在常见的一些问题中，当出现简并时，为 了把某力学量A的简并态确定下来，往往可以 用A以外的其他力学量的本征值来对简并态进 行分类，此时正交性问题将自动得到解决。 这就涉及到了两个或多个力学量的共同本征 态问题。
相应的本征能量为
28
Em
m 2 2 2I
0
15
显然
E ~ m 2（而非E ~ m）
m ( )
1 ei|m|
2
m 0，1， 2，
也就是说，能量是二度简并的。
当然m 0并没有简并。
平面转子的角动量 z 分量本征态和能量本 征态具有相同的函数形式。
28
16
(3)求
动
量
x分
量
pˆ
的
x
本
征
态
。
解：动量的x分量的本征值方程
Hˆ
pˆ 2 2m
2 2m
d2 dx 2
本征值方程为
2 2m
d2 dx 2
(x)
E
(x)
或简写为
''k 2 0
其中
28
2mE
k
0
21
其
本
征
函
数
可
表
为
pˆ
的
x
本
征
态
，
即
E (x)
相应的能量本征值为
ce ikx
E
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若算符 满足
即
* *
* * d r dr
（3.3.3） （3.3.4）
则称 为转置算符。 , 为任意函数。
3. 复共轭算符
*
*
p i 的复共轭算符 。例如算符 x 的复共轭算符 x * px i px 。 x
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
为说明量子力学中能表示力学量的算符的性质，本节将介 绍一种具有非常重要性质的算符-厄米算符。为此，先引进一些 定义：
1.希尔伯特空间中矢量的内积
希尔伯特空间中的两个态矢量，在选定基矢后的两 个波 函数 和 的内积为 （3.3.1） * d r 它具有下述性质：
将算符 中的所有复量均换成它的共轭复量，称为
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
4. 厄米算符
算符 的厄米共轭算符 ，定义为 （3.3.5）
*
则
* , , * , *
*
,
,
*
（3.3.6）
厄米算符具有下列性质： a.两厄米算符之和仍为厄米算符。 b.当且仅当两厄米算符 A 和 B 对易时，它们之积才为厄米算 符。因为 （3.3.7） AB B A BA
BA AB ，才有 只有在 [ A, B] 0 时， 米算符。
d.任何算符总可分解为
米算符 ，则 和 均为厄 、 2i
（3.3.9）
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质： ① 厄米算符的平均值是实数，因为
iii 若 C1 、 C2 为常数
i
dr 0
2
ii
*
（3.3.2）
C11 C22 C1 1 C2 2
C11 C2 2 C1* 1 C2* 2
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得证。若本征函数是正交归一化的，则有 1 (m n) m n mn 0 (m n) 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交归一。
( 1 2 ) O( 1 2 ) O( 1 2 ) ( 1 2 )
（2）
2 中的平均值也是实数，所以上式又写为 因为 O 在 1、
1 O 2 2 O 1 O 1 2 O 2 1
（3）
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
1 O 2 O 1 2 2 O 1 O 2 1
因此， O 必为厄米算符。得证。
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质 ④ 的证明： O n On n
O m Om m
且 On Om (m n) ，因为 O 是厄米算符，它的本征函数 * Om Om 是实数， 。本征方程的共轭方程为
* O* O m m m *
由
O m n Om m n
及 O 的厄米性质，O m n m O n
，及
m O n On m n
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得
(Om On ) m n 0
又因 On Om
得
m n 0
对 1 和 2 作变换，令 1 1eia , 2 2 eib （ a , b 为任意实数） 代入（3）式后得
ei ( b a ) [ 1 O 2 O 1 2 ] ei (b a ) [ O 2 1 2 O 1 ]
（4）
因为 a , b 任意，上式成立的充要条件为
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质 ② 的证明：由 O O *
O O
*
得
（1）
O
上式并不足以说明算符 O 厄米，因为 是同一个态。要 证明 O 厄米，必须按厄米算符的定义，证明 1 O 2 O 1 2 2 为任意波函数。为此令 1 2 ，利 成立，而且 1 、 用（1）式得
AB
AB
，即 AB 仍为厄
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
c.无论厄米算符 A 、 B 是否对易，算符 必为厄米算符，因为
1 AB B A 2
及 21i AB B A
1 1 1 1 1 AB BA B A A B A B B A AB BA （3.3.8） 2i 2i 2i 2i 2i
dr dr dr
* *
*
*
*
（3.3.10）
② 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。 ③ 厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均 值就是本征值。 ④ 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。 ⑤ 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正 交归一化。 ⑥ 厄米算符的本征函数系具有完备性。 ⑦ 厄米算符的本征函数系具有封闭型。