厄米算符的本征值和本征函数转置算符-Oriyao

得证。若本征函数是正交归一化的，则有 1 (m n) m n mn 0 (m n) 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交归一。
( 1 2 ) O( 1 2 ) O( 1 2 ) ( 1 2 )
（2）
2 中的平均值也是实数，所以上式又写为 因为 O 在 1、
1 O 2 2 O 1 O 1 2 O 2 1
（3）
3.3 厄米算符的本征值和本征函数

,
*
（3.3.6）
厄米算符具有下列性质： a.两厄米算符之和仍为厄米算符。 b.当且仅当两厄米算符 A 和 B 对易时，它们之积才为厄米算 符。因为 （3.3.7） AB B A BA
BA AB ，才有 只有在 [ A, B] 0 时， 米算符。
1 O 2 O 1 2 2 O 1 O 2 1
因此， O 必为厄米算符。得证。
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质 ④ 的证明： O n On n
O m Om m
且 On Om (m n) ，因为 O 是厄米算符，它的本征函数 * Om Om 是实数， 。本征方程的共轭方程为
dr dr dr
* *

*


*
*
（3.3.10）
② 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。 ③ 厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均 值就是本征值。 ④ 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。 ⑤ 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正 交归一化。 ⑥ 厄米算符的本征函数系具有完备性。 ⑦ 厄米算符的本征函数系具有封闭型。
iii 若 C1 、 C2 为常数
i
dr 0
2
ii

*
（3.3.2）
C11 C22 C1 1 C2 2
C11 C2 2 C1* 1 C2* 2
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
对 1 和 2 作变换，令 1 1eia , 2 2 eib （ a , b 为任意实数） 代入（3）式后得
ei ( b a ) [ 1 O 2 O 1 2 ] ei (b a ) [ O 2 1 2 O 1 ]
（4）
因为 a , b 任意，上式成立的充要条件为
AB

AB
，即 AB 仍为厄
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
c.无论厄米算符 A 、 B 是否对易，算符 必为厄米算符，因为
1 AB B A 2

及 21i AB B A

1 1 1 1 1 AB BA B A A B A B B A AB BA （3.3.8） 2i 2i 2i 2i 2i
* O* O m m m *
由
O m n Om m n
及 O 的厄米性质，O m n m O n
，及
m O n On m n
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得
(Om On ) m n 0
又因 On Om
得
m n 0
2. 转置算符
若算符 满足
即
* *
* * d r dr
（3.3.3） （3.3.4）
则称 为转置算符。 , 为任意函数。
3. 复共轭算符
*
*
p i 的复共轭算符 。例如算符 x 的复共轭算符 x * px i px 。 x
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质 ② 的证明：由 O O *
O O
*
得
（1）
O
上式并不足以说明算符 O 厄米，因为 是同一个态。要 证明 O 厄米，必须按厄米算符的定义，证明 1 O 2 O 1 2 2 为任意波函数。为此令 1 2 ，利 成立，而且 1 、 用（1）式得





d.任何算符总可分解为
米算符。
1 令 2

i
1 ，则 和 均为厄 、 2i


（3.3.9）
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质： ① 厄米算符的平均值是实数，因为
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
为说明量子力学中能表示力学量的算符的性质，本节将介 绍一种具有非常重要性质的算符-厄米算符。为此，先引进一些 定义：
1.希尔伯特空间中矢量的内积
希尔伯特空间中的两个态矢量，在选定基矢后的两 个波 函数 和 的内积为 （3.3.1） * d r 它具有下述性质：
将算符 中的所有复量均换成它的共轭复量，称为
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
4. 厄米算符

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算符 的厄米共轭算符 ，定义为 （3.3.5）


*
则

* , , * , *



*
,