第2节 一般三角形及其性质
北师大新版九年级数学上册教案带教学反思
北师大新版九年级数学上册教案带教学反思北师大新版九年级数学上册教案及教学反思第一章代数基础第一节：一元二次方程及其解法教学目标：一、理解一元二次方程的概念及一般形式。
二、掌握一元二次方程的求解方法（直接开平、因式分解、配方法等）。
三、培养学生的运算能力和问题解决能力。
教学过程：一、导入新课：通过复习线性方程，引导学生理解方程的重要性，并提出一元二次方程的概念。
二、新课讲解：讲解一元二次方程的概念、一般形式及解的性质。
通过实例演示各种解法。
三、课堂练习：学生独立解决一元二次方程问题，教师巡视指导。
四、布置作业：给学生布置相关习题，加强一元二次方程的解法练习。
教学反思：学生对一元二次方程概念的理解较为到位，但在应用因式分解法解决方程时存在困难，需要更多的实践训练。
在后续教学中，我将加强对因式分解法的讲解和练习。
第二节：二次函数及其性质教学目标：一、理解二次函数的定义和基本形式。
二、掌握二次函数的性质（开口方向、顶点、对称轴等）。
三、能应用二次函数的性质解决实际问题。
教学过程：一、导入新课：回顾一元二次方程，引出二次函数的概念。
二、新课讲解：讲解二次函数的定义、基本形式及性质。
展示二次函数的应用。
三、课堂互动：让学生观察不同形式的二次函数，总结其性质。
四、布置作业：让学生解决与二次函数相关的实际问题。
教学反思：学生对二次函数的基本概念理解较好，但在应用二次函数性质解决实际问题时存在困难。
在今后的教学中，我将更多地结合生活实际，帮助学生理解并应用二次函数。
第二章几何基础第一节：圆的基本性质教学目标：一、理解圆的概念和性质。
二、掌握圆的周长和面积计算。
三、能应用圆的基本性质解决实际问题。
教学过程：一、导入新课：通过生活中的圆形物体，引出圆的概念。
二、新课讲解：讲解圆的基本性质、周长和面积的计算方法。
展示圆的应用。
三、实践操作：让学生通过实际操作，加深对圆的认识和理解。
四、布置作业：让学生观察生活中的圆形物体，并尝试用所学知识解决实际问题。
新教材浙教版 八年级数学初二上册第一二单元备课资料
第1章三角形的初步知识第1节认识三角形第1课时：知识基础：第二学段（4—6年级）课标要求：6．认识三角形。
通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和为180度。
7．认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。
教学建议：（1）基本概念：①三角形的严格定义，特别是“不在同一直线上”“顺次首尾相接”。
通过“不在同一直线”认识“特殊与一般”的关系；②三角形的边、内角（原教材没有严格定义），需补充“对边”、“对角”、“夹边”、“夹角”等述语。
（2）（以下按角、边展开）角（内角和为180度小学已学过，分类小学也学过）关于三角形的分类：①过去教材讲三角形的分类是在第二节课讲的内角和时提出来的，但当时教材对内角和定理也未用推理的方法说明，与小学一样，有重复之嫌，而新教材把定理的证明放在本章中讲证明时证明，而已学习了平行线也为证明作了知识储备；②在第一稿中出现了按边分类，但最后定稿是删去了，而课标对此未作说明，课标在第二学段落提出了认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，而明确提出按角、边分类则是体现对学生能力的培养，可视作一种提升。
③可适当作此提高，让学生思考：三角形中最多有几个锐角？几个钝角？几外直角？（3）边——“三角形两边之和大于第三边”小学已学过（观察、操作，没有理性的思考）初中要提升：①渗透推理的思想——找几何依据；②用不等式表示；③在不能确定三边大小时，需三个不等式；当能确定最大边时，归结为较小两边之和大于最大边；构成三角形——表述时强调首尾相接；④任何两边之差小于第三边仍需用实验的方法，不能用不等到式性质推理。
至于是否需要补充，已知两边，第三边大于两边之差而小于这两边之和，可根据学生实际择机进行）第2课时知识基础：（1）这三个概念小学未学过，即使“高”小学也没有描述概念，只是直观的（2）在学习了线段中点、垂线、角平分线这些概念的基础上进行，原教材分两节课，中线、角平分线一节，高线一节，而新教材只一节课，会很紧张，特别是高线学生不易理解，教材采用操作、概括、比较、判断、运用相结全的办法进行。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六(含答案) (50)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六（含答案)在△ABC 中，CA=CB=4，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°、∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角∠PCB=α，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当PN ∥BC 时，∠ACP=_____度．（2）在点P 滑动的过程中，当AP 长度为多少时，△ADP 与△BPC 全等． （3）在点P 的滑动过程中，△PCD 的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出夹角α的大小．【答案】90【解析】【分析】(1)当PN ∥BC 时，NPM α∠=∠，则1203090ACP ∠=︒︒=︒﹣；(2)根据120ACB ∠=︒，CA CB =，可得30A B ∠=∠=︒，再根据外角的性质可得APD α∠=∠，又AP BC =，可证ADP BPC ≌，即可得出结论.(3)在点P 的滑动过程中，PCD 的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC PD =；PD CD =；PC CD =，分别求出夹角α的大小即可.【详解】(1)当PN ∥BC 时，30NPM α∠=∠=︒，又∵120ACB ∠=︒，∴1203090ACP ∠=︒-︒=︒，故答案为90︒；(2)当4AP =时，ADP BPC ≌，理由为：∵120ACB ∠=︒，CA CB =，∴30A B ∠=∠=︒，又∵APC ∠是BPC 的一个外角，∴30APC B αα∠=∠+∠=︒+∠，∵30APC DPC APD APD ∠=∠+∠=︒+∠，∴APD α∠=∠，又∵4AP BC ==时，∴()ADP BPC ASA ≌；(3)PCD 的形状可以是等腰三角形，则120PCD α∠=︒-，30CPD ∠=︒，①当PC PD =时，PCD 是等腰三角形， ∴18030752PCD PDC ︒-︒∠=∠==︒，即120α75︒-=︒， ∴45α∠=︒；②当PD CD =时，PCD 是等腰三角形， ∴30PCD CPD ∠=∠=︒，即12030α︒=︒﹣， ∴90α=︒；③当PC CD =时，PCD 是等腰三角形，∴30CDP CPD ∠=∠=︒，∴180230120PCD ∠=︒-⨯︒=︒，即120120α︒-=︒，∴0α=︒，此时点P 与点B 重合，点D 和A 重合，综合所述：当45α=︒或90︒或0︒时，PCD 是等腰三角形．【点睛】本题考查了平行的性质，全等三角形的判定及等腰三角形的性质.解题的关键是选择适当的条件证明全等，在不确定等腰三角形的腰和底边时，注意分类讨论.92．（2016.镇江）如图，AD 、BC 相交于点O ，AD=BC ，∠C=∠D=90°． （1）若∠ABC=35°，求∠CAO 的度数；（2）求证：CO=DO【答案】（1）20°；（2）见解析；【解析】分析：（1）根据HL 证明Rt △ABC △Rt △BAD ；由全等的性质得∠BAD =△ABC ，根据直角三角形两直角互余可求∠BAC =55 º，从而可求出△CAO 的度数；（2）利用全等三角形的性质可得∠BAD =∠ABC ，BC =AD ，从而可证求证CO =DO .详解：∵∠D =∠C =90°，∴△ABC和△BAD都是Rt△，在Rt△ABC和Rt△BAD中，△AD=BC，AB=BA，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；∴∠BAD=∠ABC=35°.∵∠ABC=35°，△△BAC=90º-35º=55º,△△CAO=55º-35º=20º.（2）证明：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠BAD=∠ABC，BC=AD，∴AO=BO，∴BC-BO=AD-AO，∴CO=DO．点睛：本题考查了直角三角形两个锐角互余，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”；全等三角形的对应边相等．93．如图，方格纸中的△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，请在方格纸上按下列要求画图．(1)在图①中画出与△ABC全等且有一个公共顶点的△A′B′C′；(2)在图②中画出与△ABC全等且有一条公共边的△A″B″C″．【答案】见解析【解析】分析：(1)此题作法较多，可用平移来作，将△ABC沿射线CB平移，平移距离为BC的长，由此可得所求作的三角形.(2)以AB为公共边为例，作C关于直线AB的对称点C"，然后连接AC″和BC″即可.详解：（1）如图①；（2）如图②.点睛：本题主要考查学生动手作图的能力,注意平移和轴对称作图的应用.题目不难，属于中等题型，掌握网格作图的方法并能灵活运用是关键.94．如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠A=∠D，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见解析；【解析】【分析】首先根据平行线的性质可得∠ACB=∠DFE ，再根据ASA 定理证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：∵ AC ∥DF ，∴ ∠ACB =∠DFE ．在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ，∠ACB ＝∠DFE ，∴ △ABC ≌△DEF ．(ASA)【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．95．已知，如图， ,12AC BD =∠=∠.(1)求证: ABC ∆≌BAD ∆;(2)若2325∠=∠=°，则D ∠= °.【答案】(1)证明见解析；（2）105°【解析】试题分析：（1）利用SAS 证明三角形ABC ∆≌BAD ∆.（2）利用三角形全等的性质.试题解析：(1),12AC BD =∠=∠.,AB=AB ,所以ABC ∆≌BAD ∆.（2）由（1）得∠1=△2，△D =△C ，2325∠=∠=︒，所以△C=180°-25°-25°-25°=105°.故∠D =△C=105°.点睛：证明三角形全等的方法：（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS).（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) .（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS).（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) .注:S 是边的英文缩写,A 是角的英文缩写 ，其中证明直角三角形所有5种方法都可以用；一般三角形SSA 不能证明三角形的全等.96．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过点C 作AE 的垂线CF ，垂足为F ，过点B 作BD ⊥BC ，交CF 的延长线于点D ．（1）求证：AE=CD ；（2）若，求BD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：()1根据同角的余角相等，得到D AEC ∠=∠．用AAS 证明DBC △≌ECA △，即可得出AE CD =．()2根据DBC △≌ECA △,得到,BD EC =根据AB =求得4,AC BC ==求出EC 的长度即可求出BD 的长.试题解析：（1）证明：DB BC CF AE ，，⊥⊥∴90DCB D DCB AEC ∠+∠=∠+∠=︒．∴D AEC ∠=∠．又∵90DBC ECA ∠=∠=︒，且BC CA =，在DBC △与ECA △中 90,D AEC DBC ECA BCAC ．∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴DBC △≌ECA △（AAS ）．∴AE CD =．（2）由（1）得DBC △≌ECA △,,BD EC ∴=∵AB =∴4AC BC ==, ∴1122BD EC BC AC ===， ∴2BD =．97．如图，已知点B 、E 、F 、C 在同一条直线上，∠A=∠D ，BE=CF ，且AB ∥CD ，求证：AE=DF ．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据AB ∥CD ，得到B C ∠=∠，用ASA 证明ABE △≌DCF ，即可得到AE DF =．试题解析：证明：∵AB ∥CD ，∴B C ∠=∠，在ABE △和DCF 中，∵,A D AB CD B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABE △≌DCF （ASA ），∴AE DF =．98．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．小聪的探究方法是对∠B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B 是直角时，如图1，△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B 是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；A．全等B．不全等C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E＞90°．过点C作AB边的垂线交AB延长线于点M；同理过点F作DE边的垂线交DE延长线于N，根据“ASA”，可以知道△CBM≌△FEN，请补全图形，进而证出△ABC≌△DEF．【答案】第二种情况选C，理由见解析；第三种情况补全图见解析，证明见解析.【解析】【分析】第二种情况选C．画出图形即可判断．第三种情况：先证明△CMA≌△FND，推出AM=DN，推出AB=DE，再证明△ABC≌△DEF即可．【详解】解：第二种情况选C．理由：由题意满足条件的点D有两个，故△ABC和△DEF不一定全等（如图所示）故选C．第三种情况补全图．证明：由△CBM≌△FEN得，CM=FN，BD=EN．在Rt△CMA和Rt△FND中，∵AC DF CM FN=⎧⎨=⎩，∴△CMA≌△FND，∴AM=DN，∴AB=DE．在△ABC和△DEF中，∵AC DF BC EF AB DE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF．99．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，BE=3cm，AD=9cm．求：（1）DE的长；（2）若CE在△ABC的外部（如图），其它条件不变，DE的长是多少？【答案】（1）DE= 6cm；（2）DE= 12cm．【解析】【分析】（1）由余角的性质，推出∠CBE=∠ECA，再依据全等三角形的判定定理“AAS”，推出△BEC和△CDA全等，然后即得BE=CD，CE=AD，再由BE=3cm，AD=9cm，结合图形即可推出DE=6cm，（2）根据余角的性质推出∠CBE=∠ACD，再依据全等三角形的判定定理“AAS”，推出△BEC和△CDA全等，然后即得BE=CD，CE=AD，再由BE=3cm，AD=9cm，结合图形即可推出DE=12cm．解：（1）∵∠ACB=90°，BE⊥CE∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ECA=90°，∴∠CBE=∠ECA，∠BEC=∠CDA．在△BEC和△CDA中，∵BEC CDACBE ECABC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC≌△CDA（AAS），∴BE=CD，CE=AD．∵BE=3cm，AD=9cm，∴CD=3cm，CE=9cm，∴DE=CE﹣CD=6cm．（2）∵∠ACB=90°，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，∴∠CBE=∠ACD．在△CBE和△ACD中，∵BEC CDACBE ACDBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBE≌△ACD（AAS），∴BE=CD，CE=AD．∵BE=3cm，AD=9cm，∴DE=CD+CE=BE+AD=12cm．本题主要考查垂直的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于根据相关的判定定理推出相关的三角形全等．100．如图，已知在△ABC 和△ABD 中，AD = BC，∠DAB = ∠CBA，求证：∠C = ∠D．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据“SAS”可证明△ADB△△BAC，由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：在△ADB和△BAC中，∵AD＝BC，△DAB＝△CBA，AB＝BA，△△ADB△△BAC（SAS），△△C=△D．点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．。
中考数学复习《三角形及其性质》练习题含答案
第2节三角形及其性质课时1一般三角形及等腰三角形(建议答题时间：40分钟)1. (2017泰州)三角形的重心是()A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点2. (2017金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，103. (2017株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是()A. 145°B. 150°C. 155°D. 160°第3题图4. (2017甘肃)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为()A. 2a＋2b－2cB. 2a＋2bC. 2cD. 05. (2017德阳)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图第6题图6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为()A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°7. (2017荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC 于点D，则∠CBD的度数为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°第7题图第8题图第9题图8. (2017郴州)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于()A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°9. (2017天津)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是()．A. BCB. CEC. ADD. AC10. (2017泰州)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．第10题图第12题图第13题图11. (2017成都)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．12. (2017江西)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．13. (2017湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．14. (2017徐州)△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.15. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．16. (2017陕西)如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．第16题图第18题图17. (2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________. 18. (2017宁夏)在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝13DM，当AM⊥BM时，则BC的长为________．19. (2017达州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．20. (2017内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．第20题图21. (2017北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC 于点D.求证：AD＝BC.第21题图22. (2017连云港)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.第22题图课时2直角三角形及勾股定理(建议答题时间：40分钟)1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A. 3，4，5B. 1，2， 3C. 6，7，8D. 2，3，42. (2016沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A. 433 B.4 C. 83 D. 4 3第2题图第3题图3. (2017大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为()A. 2aB. 22aC. 3aD. 43 3a4. (2017黄石)如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝32，则∠CDE＋∠ACD＝()A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°第4题图第5题图5. (2017重庆巴蜀月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC＝4，AC＝8，则BD＝()A. 3B. 4C. 5D. 66. (2017陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为()A. 3 3B. 6C. 3 2D. 21第6题图第7题图7. 关注数学文化(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A. 3B. 4C. 5D. 68. (2017株洲)如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．第8题图第11题图第12题图9. (2017安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．10. (2017岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x ＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．11. (2017常德)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．12. (2017娄底)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．(用含m的代数式表示)13. (2017杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．第13题图第14题图14. (2017武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．15. (2017山西)一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB ＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4 cm，则EF的长为________cm.第15题图第16题图16. (2017河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终．．落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．17. (2018原创)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)第17题图18. (2018原创)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．第18题图19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，(1)求AB的长；(2)求CD的长．第19题图20. (2017徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC 绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．第20题图答案课时1 一般三角形及等腰三角形1. A2. C3. B4. D【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：a＋b>c，∴c－a－b ＝c－(a＋b)<0，∴|c－a－b|＝a＋b－c，|a＋b－c|＝a＋b－c，∴|a＋b－c|－|c－a －b|＝0.5. B【解析】∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，又∵∠BAC ＝60°，则∠C＝70°，又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.6．B【解析】设∠C＝x°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，∴∠B＝180°－4x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，∴180°－4x°＝x°，解得x＝36，∴∠B＝∠C＝36°.7．B【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，又∵l为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∠DBA＝∠A＝30°∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.8. B【解析】如解图，∵∠C＝∠F＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D＋∠1＝∠D＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D＋180°＝30°＋180°＝210°.第8题解图9. B【解析】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点B关于AD的对应点为点C，∴CE等于BP＋EP的最小值．10. 15°11. 40°12. 7513. CD＝DE14. 1415. 100°【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°. 16. 64°【解析】∵在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD＝12∠ABC，∠2＝∠ACE＝12∠ACB，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12×128°＝64°.17. 23【解析】假设点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC边上的高为23，故DE＋DF＝2 3.18. 8【解析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∵D是AB的中点，∴DM＝12AB＝3，∵ME＝13DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝8.19. 1＜m＜4【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD 是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝EC，在△AEC中，∵AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4即1＜m＜4.第11题解图20. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC.∴∠BAD＝∠ADE，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形．21. 解：∵AB＝AC∴在△ABC中，∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A)＝12×(180°－36°)＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝12×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，又∵在△ABC中，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BC.22. (1)解：∠ABE＝∠ACD.理由如下：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC.课时2直角三角形及勾股定理1. B2. D3. B【解析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝2a，∵在△ABC中，∠ACB ＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE＝22a.4. C 【解析】∵点E 为BC 边的中点，CD ⊥AB ，DE ＝32，∴BE ＝CE ＝DE ＝32，∴∠CDE ＝∠DCE ，BC ＝ 3.在△ABC 中，AC 2＋BC 2＝1＋(3)2＝4＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴∠CDE ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ＝90°.5. C 【解析】设BD ＝x ，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴AD ＝BD ＝x ，则CD ＝8－x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5.6. A 【解析】∵∠ACB ＝∠A ′C ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋32＝32，又∵△ABC ≌△A ′B ′C ′， ∴A ′B ′＝ AB ＝32， ∠C ′A ′B ′＝∠CAB ＝45°，∴∠CAB ′＝∠C ′AB ′＋∠CAB ＝ 45°＋45°＝90°，在Rt △CAB ′中，AC ＝3，AB ′＝32，∴B ′C ＝AC 2＋AB′2＝32＋（32）2＝3 3.7. C 【解析】如解图，∵S 正方形ABCD ＝13，∴AB ＝13，∵AG ＝a ，BG ＝b ，∴a 2＋b 2＝AB 2＝13，∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝21，∴2ab ＝(a ＋b )2－a 2－b 2＝21－13＝8，∴ab ＝4，∴S △ABG ＝12ab ＝12×4＝2，∴S 小正方形＝S 大正方形－4S △ABG ＝13－4×2＝5.第7题解图8. 25 9. 5210. 2 【解析】∵方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝16－4b ＝0，解得b ＝4.又∵BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ＝4，∴AB 2＋BC 2＝(23)2＋22＝42＝AC 2，∴∠B ＝90°，∴AC 边上的中线长为2.11. 0<CD ≤5 【解析】如解图，取BE 的中点F ，连接AF ，∵∠A ＝90°，则AF ＝12BE ＝EF ＝5，∴∠EAF ＝∠E ＝90°－∠B ＝30°，又∵∠CDE ＝30°，∴∠CDE＝∠EAF，∴CD∥AF，∴CDAF＝EDEA.当D与A重合时，CD与AF重合，取得最大值为5，当D接近于E时，DE越小，CD越小，∵线段CD不能为0，∴0<CD ≤5.第11题解图12. 2＋2m【解析】如解图，连接BD，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC，∴∠BDC＝90°，∠ABD＝∠C＝45°，∴∠BDF＋∠FDC＝90°，又∵∠EDF＝90°，∴∠BDF＋∠BDE＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴△BED≌△CFD(ASA)，∴BE＝CF，DE＝DF，则BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，而Rt △DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝2m，则△BEF的周长为2＋ 2 m.第12题解图13. 78【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝152＋202＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴CECA＝CDCB，∴CE＝1525×20＝12.第13题解图14. 33－3【解析】∵AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，∴BC＝6，∠B＝∠BCA＝30°，如解图，将△ABD 绕点A 逆时针旋转120°得到△ACD ′，∴∠D ′CA ＝∠B ＝30°，AD ＝AD ′，∴∠D ′CE ＝60°，∵∠DAE ＝60°，∠DAD ′＝120°，∴∠EAD ′＝60°，∴△EAD ′≌∠EAD (SAS )，∴ED ′＝ED ，∴ED ′＋BD ＋EC ＝6，∴EC ＝6－DE 3，∵CD ′＝BD ＝2CE ，∠D ′CE ＝60°，∴∠D ′EC ＝90°，∴D ′E 2＋EC 2＝D ′C 2，即DE 2＋(6－DE 3)2＝(6－DE 3×2)2，解得DE ＝33－3(负根舍去)．第14题解图15. 2＋6 【解析】如解图，连接DE ，在EF 上找一点G ，使得DG ＝EG ，连接DG ，在Rt △ABD 中，∠A ＝60°， ∴AD ＝12AB ，又∵E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB ＝DE ，∴AD ＝AE ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形 ，∴DE ＝AD ＝4 cm ，∠DEA ＝60°，又∵EF ⊥CD ，∠C ＝90°，∴EF ∥CB ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝75°，∴∠DEF ＝15°，在Rt △EFD 中，∠EFD ＝90°，∵DG ＝EG ，∴∠GDE ＝∠DEF ＝15°，∴∠DGF ＝30°，设DF ＝x ，则EG ＝DG ＝2x ，FG ＝3x ，EF ＝(2＋3)x ，根据勾股定理得DF 2＋EF 2＝DE 2，即x 2＋(2＋3)2x 2＝16，解得x ＝6－2，∴EF ＝(2＋6) cm .第15题解图16.2＋12或1 【解析】(1)当∠B ′MC 为直角时，此时点M 在BC 的中点位置，点B ′与点A 重合，如解图①，则BM 长度为12BC ＝2＋12；(2)当∠MB ′C 为直角时，如解图②，根据折叠性质得，BM＝B′M，BN＝B′N，B′M∥BA，∴MCBC＝B′MAB，即MCB′M＝BCAB＝2，∴MCB′M＝2，即MC＋BMBM＝2＋11，即BCBM＝2＋11，∵BC＝2＋1，∴BM＝1.故BM长为2＋12或1.第16题解图17. 解：∵∠BDC＝45°，∠ABC＝90°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BD＝BC，∵∠A＝30°，∴BC＝12AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC2，解得BC＝BD＝2＋23(负根舍去)．18. 解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3；(2)如解图，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB，∵D为AC边的中点，∴BD＝12AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.第18题解图19. 解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB＝AC2＋BC2＝202＋152＝25，即AB的长是25；(2)∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴20×15＝25·CD，∴CD＝12.20. 解：(1) 4；【解法提示】在△ACD中，∵∠A＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4.(2)如解图，过点D作DE⊥BC于点E.第20题解图在△CDE中，∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，CD＝4，∴DE＝2，根据勾股定理得CE＝CD2－DE2＝23，∴BE＝BC－CE＝33－23＝3，∴DB＝BE2＋DE2＝（3）2＋22＝7.。
初中数学七年级下册第七章《三角形的内角和》精品说
新课标人教版初中数学七年级下册第七章《三角形的内角和》精品说课稿一、教材分析：（一）、教材的地位和作用《三角形的内角和》是人教版七年级下册第七章《三角形》的第二节内容，“三角形的内角和”是三角形的一个重要性质，是“空间与图形”领域的重要内容之一，学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，也为今后掌握多边形内角和及其他实际问题打下基础，因此，掌握三角形的内角和是180度这一规律具有重要意义。
本节课是在学生学习了平行线的性质及三角形有关的概念，边、角之间的关系的基础上，让学生动手操作，通过拼图说出“三角形的内角和等于180°”成立的理由，对“三角形的内角和定理”进行证明及简单应用。
由浅入深，循序渐进，引导学生观察、实验、猜测，验证，逐步培养学生的逻辑推理能力.（二）、说学生：七年级学生年龄较小，思维正处在具体形象思维向抽象逻辑思维转变的阶段，也是由代数运算向几何推理过渡的较好时期，通过前面的学习，学生已具备一些分析问题、解决问题的能力，这样可以让学生和谐地融入到探究性学习的氛围中。
（三）、教学目标1、知识与技能：掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用。
2、过程与方法：学了三角形内角和后，能运用所学知识解决简单的问题，训练学生对所学知识的运用能力。
3、情感态度与价值观：通过让学生积极参与数学学习活动，培养学生对数学的好奇心和求知欲。
由具体实例的引导，让学生初步认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与研究。
初步感受从个别到一般的思维过程。
（四）、重难点的确立教学重点：三角形内角和定理及用它解决简单的实际问题。
教学难点：三角形内角和等于1800的证明及辅助线的使用。
二、教法与学法分析：1、说教法：本节课结合七年级学生的理解能力、思维特征和依赖直观图形学习数学的年龄特征，采用多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化、具体化，在教学中采用启发式、师生互动式等方法，充分发挥学生的主动性、积极性，特别是用三种拼图法得出三角形内角和是180°的结论，教师采用点拨的方法，启发学生主动思考，尝试用多种方法来证明这个结论，使整个课堂生动有趣，极大限度地培养了学生观察问题、发现问题、归纳问题的能力和一题多解，一题多法的创新能力，使课本知识成为学生自己的知识。
《三角形的特性》教学反思
《三角形的特性》教学反思《三角形的特性》教学反思1本节课的内容是在学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形的学习，对三角形已经有了直观的认识，能够从平面图形中分辨出三角形的基础上进行教学的，通过这一内容的学习进一步丰富学生对三角形的认识和理解。
成功之处：1.从认识角引入，让学生通过角的变化引出三角形，利于对三角形意义的.理解，特别是角不是封闭图形，而三角形是封闭图形，从而得出“围成”的含义，经过对比分析，学生非常容易的说出三角形的意义。
2.画三角形的高是本节课的教学难点。
学生在学习此内容时，总会出现个别几个学生不会画高的现象。
因此在教学本内容时，注意让学生说出画高的方法“两重合，高虚线，标直角”。
不足之处：1.个别学生理解画法还是存在问题，经过板演发现学生不会用三角板的一条直角边重合底，不知道如何放置三角板，在本子上比划来比划去，感觉思维短路一般。
2.对于“围成”的解释没有强化学生记忆，导致同步学习上的填空出现很多错误。
再教设计：针对以上两点不足之处加以改正，重点强化画高时放置三角板的过程，并要求学生抄写本节课的知识点。
《三角形的特性》教学反思2在本学期的家长开放日活动中，我执教了《三角形的特性》一课，在准备这节课是我也是付出了很大的精力，在教学设计上下了一番功夫，精心设计探究活动，引导学生自主探究，努力完善学习方式，使学生全身心地投入到活动中，在活动中产生了比较深刻的体验。
课后我通过和听课老师和家长的课后交流，他们认为教学效果还是不错的。
一、努力之处1.歌曲和视频导入，激发兴趣。
我精心收集了不少有关《三角形》内容的歌曲，最终通过筛选我加入了《三角形的故事》这首歌曲，它不仅歌词精彩，画面生动而且符合数学的知识性，学生根据音乐的内容很自然地猜出课堂要研究的内容。
同时三角形视频的加入让学生感受到三角形在我们生活中无处不在，它和长方形、正方形、圆形等其它图形一起装点着美丽的世界，学生兴趣盎然地走进三角形的研究。
初中数学初三数学上册《相似三角形的性质及其应用》教案、教学设计
3.引导学生回顾已学的全等三角形的性质和判定方法，为新课的学习做好铺垫。
4.揭示本节课的主题——相似三角形的性质及其应用，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
在这一环节中，我将系统地讲授相似三角形的性质和判定方法：
-以小组为单位，共同完成一道具有挑战性的相似三角形综合应用题，要求小组成员分工合作，共同讨论解题策略。
-每个小组将解题过程和答案进行整理，并在下一节课上进行汇报，分享学习成果。
4.思考与反思：
-结合本节课的学习，反思自己在解决相似三角形问题时遇到的困难和挑战，分析原因，并总结经验教训。
-撰写一篇学习心得，谈谈自己对相似三角形性质及其应用的认识和理解。
4.学会运用相似三角形的性质解决与实际生活相关的问题，如测量物体的高度、求解线段长度等。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、合作交流等形式，引导学生主动发现相似三角形的性质及其应用。
2.培养学生运用几何直观和逻辑推理解决问题的能力，提高学生的几何思维能力。
3.引导学生运用类比、归纳等方法，从特殊到一般，发现几何图形的性质，培养学生发现问题和解决问题的能力。
5.预习与拓展：
-预习下一节课要学习的相似多边形的性质及其应用，为新课的学习做好准备。
-探索相似三角形与其他数学分支（如代数、平面几何等）的联系，拓展知识面。
3.培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提高学生解决几何问题的策略和方法。
4.激发学生的学习兴趣，增强学生对数学学科的情感态度，提升学生的数学素养。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
-通过展示实际生活中的相似图形，如建筑物的立面图、摄影中的缩放效果等，引起学生对相似三角形性质的兴趣。
《三角形的内角和外角》优质教案教学设计(省优)
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
2.1.3 三角形的外角和预设目标 1．使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和。
2．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算。
教学重难点 1．重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和。
2．难点：三角形外角的性质证明的过程。
教具准备三角尺、纸片教法学法讲授、讨论、练习教学过程一、复习提问1．什么叫三角形的外角?三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系?2．三角形的内角和等于多少?二、新授我们已经知道三角形的内角和等于180°。
1．现在我们探索三角形的外角及外角和。
如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角。
∠DAC是三角形的一个外角，内角BAC与它相邻，内角∠B、∠C与它不相邻。
A DB C问：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?(互补)探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系。
请同学们拿出一张白纸，在白纸上画出如教科书图2-15所示的图形，然后把∠ACB、∠BAC剪下拼在一起放到∠CBD上，使点A、C、B重合，看看会出现什么结果，与同伴交流一下，结果是否一样。
请你用文字语言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系。
如图： D是△ABC边BC上一点，则有 A∠ADC＝∠DAB+∠ABD B D C∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD问：∠ADB＝∠( )+∠( )2．探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”的方法。
三角形的内角和
1 认识三角形第1课时三角形与三角形的内角和【教材分析】本节课内容选自北京师范大学出版社的七年级数学下册第四章《三角形》第一节的第一课时：三角形的内角和。
主要内容包括三角形的有关概念、符号表示、三角形的三个角的大小关系以及内角和等基本性质。
呈现顺序是：观察一些生活中常见的物体图片——抽象出三角形的模型，概括出三角形的本质特点——认识三角形的有关概念、基本要素及三角形的符号表示——撕、拼三角形纸片得出三角形内角和——通过“议一议”活动，引出三角形按角分类——直角三角形的符号表示与直角三角形两锐角互余的结论.【学习目标】1.了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形;2. 会按角的大小对三角形进行分类;3.掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题.【教学重难点】重点：掌握三角形三个内角的和等于180°及其应用.难点：三角形三个内角的和等于180°的说理过程.）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到实用的三角梯，都有什么样的形象？为什么不选A、B、D？得出关键词：不在同一直线、首尾顺次相接1.定义：由不在同一直线上的三条线段由学生指出.二、三角形的内角和为180°如何来验证？度量或撕、拼角，通过撕角和拼角，我们把三角形的三个角拼成了一个平角.问：此时三角形的那个底边和这条虚线是什么关系？如果只撕一个角的话怎么来验证，小组讨论，动手操作。
证法2：过点C作l∥BA∴∠A=∠1 .两直线平行，内错角相等三、三角形的分类猜一猜：总结：锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形；（Rt▲ABC钝角三角形：有一个角是钝角的三角形.直角三角形中有一个角为直角，那么剩下的两个锐角的关系是：直角三角形两锐角互余.（平板分类活动：）典例精析：（学生讲）【课堂总结】【板书设计】三角形与三角形的内角和三角形的定义与表示由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图. ▲ABC三角形的内角和为180°三角形的分类：锐角三角形。
重庆市中考数学一轮复习(课件)4.第2节 三角形及其性质
面积计算公式：S=⑪ 1 ah ，其中a是底边长，
h是底边上的高
2
未完继续
温馨提示 ①对于等腰三角形的边、角、周长的计算，顶 点位置的探索，往往由于腰、底的不确定，需分类讨论解 决，防止漏解;②等腰三角形的“三线合一”是一条重要性 质，在计算和证明中，往往作为辅助线，需灵活添加解决
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1.三边相等
（2）如图①，若D在BC的延长线上，∠ACD=110°， 求∠BAC的度数；
（3）如图②，若D在BC的延长线上，AC=DC， ∠BAC=40°，求∠D的度数；
（4）如图③，若D是AC上一点，且AD=BD=BC，求∠A的度数；
（5）如图④，若E是AC上的点，且BE是△ABC的中线，BE把 △ABC的周长分为12和15两部分，求△ABC的三边长；
等 腰 三 角 形(如 图⑤)
对称图形，有一条对称轴，即AD
4.顶角的⑩ 角平分线 重合(三线合一)
，底边上的高和底边的中线互相
判定
1.有两边相等的三角形是等腰三角形
2.有两角相等的三角形是等腰三角形
作垂线,顶点和垂足之间的线段
高 线
图形及性质：如图③,在△ABC中,AD为BC边上的 高线,则有AD⊥⑧ BC ,即∠ADB=∠ADC=90°
垂心：三角形的三条高线的交点,该点称为三角 形的垂心
返回
定义：连接三角形两边中点的线段
中 位
图形及性质：如图④,在△ABC中,D、E分别为AB、
第四章 三角形
第2节 三角形及其性质
考点特训营
三角形及其边角关系
三角形的分类 三角形边角关系
人教A版高考总复习文科数学精品课件第4章三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数基本关系式及诱导公式
≠
π
π + ,
2
∈ 可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
2
2
2
3.关于sin α,cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子.
π
α=tan4 .
对点训练 3 已知直线 2x-y+1=0 的倾斜角为
例
tan
3.已知
=-1,求下列各式的值:
tan -1
sin -3cos
(1) sin +cos ;
(2)sin2α+sin αcos α+2.
解:由已知得 tan
sin -3cos
(1) sin +cos
=
1
α=2.
tan -3
5
=- .
tan +1 3
si n 2 +sin cos
=
sin
cos
+
cos
sin
=
1
=2.
sin cos
1
α=2,
)
本 课 结 束
3π
sin ( -)+cos ( +)
2
2
(
A.-3
5
B.
3
C.3
D.5
=
)
答案:(1)A (2)C
解析:(1)由题意|OP|=1,sin α=cos 1 180°=cos(360°×3+100°)
=cos 100°=sin(-10°),cos α=sin 1 180°=sin(360°×3+100°)
包头市2015中考复习第4章 第2节 三角形与全等三角形
第2节 三角形与全等三角形与三角形有关的线段1．三角形按边分类如下： 三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 三角形三角形⎩⎪⎨⎪⎧底和腰不等的 三角形 三角形2．三边关系：三角形的任意两边之和________第三边；任意两边之差________第三边． 3．三角形的高、中线与角平分线．与三角形有关的角1．三角形按角分类如下：三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 三角形三角形 三角形2．三角形的内角和为________．3．三角形的一个外角________与它不相邻的两个内角之和；________与它不相邻的任何一个内角．全等三角形1．性质：全等三角形的对应边________，对应角________．2．判定：一般三角形有________，________，________，AAS ；对于两个直角三角形，还有______．命题1．定义：________一件事情的语句，叫做命题． 2．命题由________和________两部分组成． 3．命题分为________、________两种命题．证明证明的一般步骤：(1)审题，找出命题的________和________；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出________、________；(4)分析证明的思路；(5)写出________，每一步应有根据，要推理严密．三角形的有关知识【例1】(1)(2013·温州)下列各组数可能是一个三角形的边长的是( C ) A ．1，2，4 B ．4，5，9 C ．4，6，8 D ．5，5，11(2)如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝( A ) A．150°B．210°C．105°D．75°(1)三角形中任意两边之和大于第三边；(2)借助三角形的外角性质，连接AA′，利用整体思想可证∠1＋∠2＝2∠A.全等三角形【例2】(2014·昆明)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE∥CF，且AE＝CF.求证：∠E＝∠F.解：由SAS证△ABE≌△CDF，∴∠E＝∠F由图形结合题中的条件，利用三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等．在解与三角形的边有关的问题时不要忽视三角形的三边关系．【例3】(2014·广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( A )A．17 B．15 C．13 D．13或17注意分两种情况讨论：①腰长为3；②腰长为7，最小两线段之和大于第三线段，才能构成三角形．真题热身1．(2012·德州)不一定在三角形内部的线段是( C )A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线2．(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形的第三边的长可能是( B ) A．5 B．10 C．11 D．123．(2013·泉州)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC的形状是( D )A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形4．(2013·湘西州)如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是( A )A．15°B．25°C．30°D．10°,第4题图),第5题图) 5．(2014·深圳)如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF( C )A．AC∥DF B．∠A＝∠DC．AC＝DF D．∠ACB＝∠F6．(2014·重庆)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.解：(1)利用ASA可证△AFC≌△CGB，得AF＝CG(2)由(1)得CF＝BG，连接AG，由SAS得△ACG≌△BCG，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵DA⊥AB，∴∠D＋∠ABD ＝∠DAG＋∠GAB，∴∠D＝∠DAG，∴GD＝AG，∴DG＝CF，∵∠DAE＝∠GCE＝45°，AE＝EC，∠DEA＝∠GEC，∴△EDA≌△EGC，∴DE＝EG，∴CF＝2DE第2节三角形与全等三角形基础过关一、精心选一选1．(2014·福州)下列命题中，假命题是( D )A．对顶角相等B．三角形两边的和小于第三边C．菱形的四条边都相等D．多边形的外角和等于360°2．(2013·长沙)如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是( B )A．2 B．4 C．6 D．83．(2014·益阳)如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是( A )A ．AE ＝CFB ．BE ＝DFC ．BF ＝DED ．∠1＝∠2,第3题图) ,第4题图)4．(2013·贺州)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AC ＝8 cm ，F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是( C )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．9 cm5．(2013·台州)已知△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2的周长相等，现有两个判断：①若A 1B 1＝A 2B 2，A 1C 1＝A 2C 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2；②若∠A 1＝∠A 2，∠B 1＝∠B 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2.对于上述的两个判断，下列说法正确的是( D )A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都错误D ．①②都正确6．(2014·连云港)如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1，S 2，则( C )A ．S 1＝12S 2B ．S 1＝72S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1＝85S 27．(2013·河北)如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B ＝30°∠C ＝100°，如图2，则下列说法正确的是( C )A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远二、细心填一填8．(2014·广州)已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：__面积相等的两个三角形全等__，该逆命题是__假__命题(填“真”或“假”)．9．(2014·长沙)如图，B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC ＝6，则DF＝__6__．,第9题图),第10题图) 10．(2013·柳州)如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝__20__．11．(2013·白银)如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为__AC＝DC等__．(答案不唯一，只需填一个),第11题图),第12题图) 12．(2013·绵阳)如图，AC，BD相交于O，AB∥DC，AB＝BC，∠D＝40°，∠ACB ＝35°，则∠AOD＝__75°__．三、用心做一做13．(2014·北京)如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E.解：利用SAS证△ABC≌△EDB，∴∠A＝∠E14．(2014·南充)如图，AD，BC相交于O，OA＝OC，∠OBD＝∠ODB.求证：AB＝CD.解：∵∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD，从而可证△AOB≌△COD(SAS)，∴AB＝CD15．(2013·义乌)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明，你添加的条件是__DE＝DF，答案不唯一__．(不添加辅助线)16．(2013·天门)如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N，请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外)，并选择其中的一对加以证明．解：△ABN≌△ADM，△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF等，证明略17．(2013·聊城)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝CE.解：过点B作BH⊥CE于H，由AAS可证△CDE≌△BCH，∴CE＝BH，又BH＝AE，∴AE＝CE挑战技能18．(2013·东营)如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确的有( B )A．4个B．3个C．2个D．1个,第18题图),第19题图) 19．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为( B ) A．130°B．120°C．110°D．100°20．(2014·泰安)如图，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．解：(1)∵AD＝DE，AD⊥DE，AF＝EF，∴MF⊥AE，DF＝AF＝EF，又∠ABC＝90°，∴∠ACB ＋∠CAB ＝90°，∠MAF ＋∠AMF ＝90°，∴∠AMF ＝∠FCD ，∴△DFC ≌△AFM(AAS )，∴CF ＝MF ，∴∠FMC ＝∠FCM (2)AD ⊥MC.理由：由(1)∠MFC ＝90°，MF ＝CF ，∴∠FCM ＝45°，又∠DEF ＝45°，∴DE ∥MC ，∵AD ⊥DE ，∴AD ⊥MC21．(2013·襄阳)如图1，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形．(1)连接BE ，CD ，求证：BE ＝CD ；(2)如图2，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得到△AB′D′. ①当旋转角为__60__度时，边AD′落在AE 上；②在①的条件下，延长DD′交CE 于点P ，连接BD′，CD ′，当线段AB ，AC 满足什么数量关系时，△BDD ′与△CPD′全等？并给予证明．解：(1)由SAS 证△BAE ≌△DAC 即可 (2)①60° ②当AC ＝2AB 时，△BDD ′与△CPD′全等．证明：由旋转可知，AB ′与AD 重合，∴AB ＝BD ＝DD ′＝AD′，∴四边形ABDD′是菱形，∴∠ABD ′＝∠DBD′＝12∠ABD ＝12×60°＝30°，DP ∥BC.∵△ACE 是等边三角形，∴AC ＝AE ，∠ACE ＝60°.∵AC ＝2AB ，∴AE ＝2AD′，∴∠PCD ′＝∠ACD′＝12∠ACE ＝12×60°＝30°，又∵DP ∥BC ，∴∠ABD ′＝∠DBD′＝∠BD′D ＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C ＝30°，∴BD ′＝CD′，∴△BDD ′≌△CPD ′(ASA )22．(2013·齐齐哈尔)已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 在AC 边的延长线上，且∠DEC ＝45°，点M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN 交直线BE 于点F.当点D 在CB 边的延长线上时，如图1，易证MF ＋FN ＝12BE.(1)当点D 在CB 边上时，如图2，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．(2)当点D 在BC 的延长线上时，如图3，请直接写出你的结论．(不需要证明)解：(1)不成立，猜想：FN －MF ＝12BE.理由：连接AD ，∵M ，N 分别是DE ，AE 的中点，∴MN ＝12AD.∵在△ACD 与△BCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠BCE ，DC ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS )，∴AD ＝BE.∵MN ＝FN －MF ，∴FN －MF ＝12BE (2)图3结论：MF －FN ＝12BE.证明：连接AD ，∵M ，N 分别是DE ，AE 的中点，∴MN ＝12AD.∵在△ACD 与△BCE 中，AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS )，∴AD ＝BE ，∴MN ＝12BE ，∵MN ＝FM －FN ，∴MF －FN ＝12BE。
(遵义专版)2019年中考数学总复习第2节三角形的基本概念及全等三角形(精练)试题
第二节三角形的基本概念及全等三角形1．(荆门中考)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C )A．5 B．6 C．8 D．10(第1题图)(第2题图)2．(2019怀化中考)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( B )A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD3．(邵阳中考)如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是( A )A．AC>BC B．AB＝BCC．∠A>∠ABC D．∠A＝∠ABC(第3题图)(第4题图)4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝( B )A．36° B．54° C．18° D．64°5．在平面直角坐标系中，点A(2，2)，B(32，32)，动点C在x轴上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为( B )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( C )A．带①去 B．带②去C．带③去 D．带①和②去(第6题图)(第7题图)7．(东莞中考)如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是__4__．8．(南京中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO.下列结论： ①AC ⊥BD ； ②CB＝CD ； ③△ABC ≌△ADC ； ④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是__①②③__．(第8题图)(第9题图)9．(2019黔东南中考)如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，已知FB ＝CE ，AC ∥DF ，请你添加一个适当的条件__∠A＝∠D(答案不唯一)__使得△ABC≌△DEF.10．(2019温州中考)如图，在五边形ABCDE 中，∠BCD ＝∠EDC＝90°，BC ＝ED ，AC ＝AD.(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B＝140°时，求∠BAE 的度数． 解：(1)∵AC＝AD ， ∴∠ACD ＝∠ADC，又∵∠BCD ＝∠EDC＝90°， ∴∠ACB ＝∠ADE， 在△ABC 和△AED 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝ED ，∠ACB ＝∠ADE，AC ＝AD ，∴△ABC≌△AED(SAS)；(2)当∠B＝140°时，∠E＝140°，又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴在五边形ABCDE中，∠BAE＝540°－140°×2－90°×2＝80°.11．(2019湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是( C )A．8 B．6C．4 D．212．(陕西中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE 交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为( B )A．7 B．8 C．9 D．10(第12题图)(第13题图)13．(2019大庆中考)如图，从①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为( D )A．0 B．1 C．2 D．314．(2019达州中考)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是__1＜m＜4__．15．(2019武汉中考)如图，点C，F，E，B在一条直线上∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE.写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．解：CD＝AB，CD∥AB.证明如下：∵CE＝BF，∴CF＝BE.在△CDF和△BAE中，⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝BE ，∠CFD ＝∠BEA，DF ＝AE ，∴△CDF ≌△BAE ， ∴AB ＝CD ，∠C ＝∠B， ∴AB ∥CD.16．(泰安中考)如图，∠ABC ＝90°，D ，E 分别在BC ，AC 上，AD ⊥DE ，且AD ＝DE.点F 是AE 的中点，FD 与AB 相交于点M. (1)求证：∠FMC＝∠FCM； (2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．解：(1)∵△ADE 是等腰直角三角形，F 是AE 的中点， ∴DF ⊥AE ，DF ＝AF ＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF ，∠AMF 都与∠MAC 互余， ∴∠DCF ＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°， ∴△DFC ≌△AFM ，∴CF ＝MF ，∴∠FMC ＝∠FCM；(2)AD⊥MC.理由如下：延长AD 交MC 于点G. 由(1)知∠MFC＝90°，FD ＝FE ，FM ＝FC ， ∴∠FDE ＝∠FMC＝45°， ∴DE ∥CM.∴∠AGC ＝∠ADE＝90°， ∴AG ⊥MC ， 即AD⊥MC.17．在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D＝60°，连接AC. (1)如图①，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE ＝CF.求证： ①△ABE≌△ACF； ②△AEF 是等边三角形；(2)若点E 在BC 的延长线上，在直线CD 上是否存在点F ，使△AEF 是等边三角形？请证明你的结论．(图②备用)解：(1)①∵AB＝BC ，∠B ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．∴AB ＝AC.同理，△ADC 也是等边三角形， ∴∠ACF ＝∠B＝60°.又∵BE＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS)；②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形；(2)存在，在CD延长线上取点F，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.与(1)①同理可证△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠CAF－∠CAE＝∠BAE－∠CAE.∴∠EAF＝∠BAC＝60°.∴△AEF是等边三角形．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（）A. B.C. D.3．将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转120°后可得到的图形是（）A．B．C．D．4．由三角函数定义，对于任意锐角A，有sinA=cos(90°-A)及sin2A+cos2A=1成立.如图，在△ABC中，∠A，∠B是锐角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，设CD=h，BE=a’，DE=b’，BD=c’，则下列条件中能判断△ABC是直角三角形的个数是（）(1)a2+b2=c2(2)aa’+bb’=cc’ (3)sin2A+sin2B=1 (4)+=A.1个B.2个C.3个D.4个5．关于x 的不等式组23(3)1324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有三个整数解，则a 的取值范围是( )A ．5924a -<-… B ．5924a -<<- C ．5924a --剟D ．5924a -<-… 6．如图，AB 是O 的直径，120BOD =∠，点C 为BD 的中点，AC 交OD 于点E ，1DE =，则AE 的长为（ ）ABC．D．7．下列运算正确的是（ ） A ．5210()a a -= B ．6262144a a a a-÷⋅=- C ．32264()a b a b -=D ．23a a a -+=-8．下列运算中，正确的是（ ） A ．（﹣12）﹣1＝﹣2 B ．a 3•a 6＝a 18C ．6a 6÷3a 2＝2a 3D ．（﹣2ab 2）2＝2a 2b 49．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为（ ）A ．2B ．8CD ．10．计算2231366x x x x x+-⋅-+的结果为( ) A.6x x+ B.6x x - C.6x x + D.6x +11．一元二次方程2x 2﹣5x ﹣4＝0根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定该方程根的情况12．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为( )D.10二、填空题13．已知关于x 的方程240x x m -+=有一个根为3，则m 的值为_______．14．用一组,a b ab =”是错误的，这组值可以是a =____，b =_____. 15．分解因式：= ．16．如图，A 、B 是反比例函数y=图象上关于原点O 对称的两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，连线AC 过点D （0，-1．5）．若△ABC 的面积为7，则点B 的坐标为 ．17．计算﹣（﹣2）+（﹣2）0的值是_____．18．一个圆锥的底面积是40cm 2，高12cm ，体积是__________cm 3． 三、解答题19．如图是一张锐角三角形纸片，AD 是BC 边上的高，BC=40cm ，AD=30cm ，现从硬纸片上剪下一个长是宽2倍的周长最大的矩形，则所剪得的矩形周长为_____________cm ．20．如图，将矩形ABCD 沿GH 折叠，点C 落在点Q 处，点D 落在AB 边上的点E 处若∠AGE ＝32°，则∠GHC 等于多少度？21．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 、BD 是半圆的弦，且∠PDA ＝∠PBD ． （1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）如果tan BDE ∠=PD ，求PA 的长．22．观察下列式子：0×2+1＝12……①1×3+1＝22……②2×4+1＝32……③3×5+1＝42……④…… (1)第⑤个式子____，第⑩个式子_____；(2)请用含n(n 为正整数)的式子表示上述的规律，并证明． 23．（1）先化简，再求值：211121a a a a -÷+++，其中a ＝2； （2）如图，在▱ABCD 中，E 为BC 边上的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点为点F ，延长AF 与CD 交于点G ，求证：GC ＝GF ．24．如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥BC 交AD 于点E ，连接BE ，点F 是BE 上一点，连接CF ． （1）如图1，若∠ECD ＝30°，BC ＝4，DC ＝2，求tan ∠CBE 的值；（2）如图2，若BC ＝EC ，过点E 作EM ⊥CF ，交CF 延长线于点M ，延长ME 、CD 相交于点G ，连接BG 交CM 于点N 且CM ＝MG ，①在射线GM 上是否存在一点P ，使得△BCP ≌△ECG ？若存在，请指出点P 的位置并证明这对全等三角形；若没有，请说明理由． ②求证：EG ＝2MN ．25．如图所示，一次函数y ＝x+3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，将直线AB 向下平移与反比例函数m y x =（x ＞0）交于点C 、D ，连接BC 交x 轴于点E ，连接AC ，已知BE ＝3CE ，且S △ACE ＝94．（1）求直线BC 和反比例函数解析式；（2）连接BD ，求△BCD 的面积．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．14．1-答案不唯一 1答案不唯一 15．（m+2）（m ﹣2）． 16．（，3）． 17．3 18．160 三、解答题19．72cm【解析】【分析】设所剪得的矩形的长为2xcm ，宽为xcm ，根据相似三角形的对应高的比等于相似比即可列方程求解.【详解】解：设所剪得的矩形的长为2xcm ，宽为xcm ，由题意得2304030x x -=或3024030x x -= 解得x=12或12011x = 则周长为()2412272cm +⨯=或2401207202cm 111111⎛⎫+⨯=⎪⎝⎭ 因为7207211> 所以所剪得的矩形周长为72cm.故答案为：72cm【点睛】相似三角形的应用相似三角形的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.20．∠GHC ＝106°【解析】【分析】由折叠的性质可得∠DGH 的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到结论．【详解】∵∠AGE=32°，∴∠DGE=148°，由折叠可得：∠DGH 12=∠DGE=74°． ∵AD ∥BC ，∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．21．（1）证明见解析；（2）PA=1.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA.【详解】（1）证明：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线．（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°∵∠BED=60°，∴∠P=30°∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°在Rt△PDO中，∠P=30°，PD∴tan30°＝ODPD，解得OD=1∴PO 2∴PA=PO-AO=2-1=1【点睛】此题考查了切线的判定及三角函数的有关计算等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．22．(1)4×6+1＝52，9×11+1＝102；(2)(n﹣1)(n+1)+1＝n2；证明见解析.【解析】【分析】(1)根据已知等式中的规律即可得；(2)根据整数的平方等于前一个整数与后一个整数乘积与1的和可得，利用整理的运算法则即可验证．【详解】(1)第⑤个式子为4×6+1＝52，第⑩个式子9×11+1＝102；故答案为：4×6+1＝52，9×11+1＝102；(2)第n 个式子为(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2，证明：左边＝n 2﹣1+1＝n 2，右边＝n 2，∴左边＝右边，即(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2的规律，并熟练加以运用．23．（1）3；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题；（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后利用平行四边形的性质即可证明结论成立．【详解】（1）211121a a a a -÷+++ 21(1)11a a a +=⋅+- 11a a +=- 当a=2时，原式2121+==-3； （2）连接FC ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，E 为BC 边上的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点为点F ，∴BE=EC=EF ，∠B=∠AFE ，AB ∥DC ，∴∠EFC=∠ECF ，∠B+∠BCD=180°．∵∠AFE+∠EFG=180°，∴∠EFG=∠BCD ，∴∠GCF=∠CGF ，∴GC=GF ．【点睛】本题考查了分式的化简求值、平行四边形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（1）4；（2）①详见解析；②详见解析. 【解析】【分析】 (1)由平行四边形的性质和已知条件得出∠BCE ＝∠CED ＝90°，由直角三角形的性质得出DE ＝12CD ＝1，CE （2）①由等腰直角三角形的性质得出∠MCG ＝∠MGC ＝45°，由线段垂直平分线的性质得出CP ＝CG ，得出∠CPM ＝∠CGM ＝45°，求出∠PCG ＝90°，得出∠BCP ＝∠ECG ，由SAS 证明△BCP ≌△ECG 即可； ②由全等三角形的性质得出BP ＝EG ，∠BPC ＝∠EGC ＝45°，得出∠BPG ＝90°，证出BP ∥MN ，得出BN ＝GN ，MN 是△PBG 的中位线，由三角形中位线定理得出BP ＝2MN ，即可得出结论．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵CE ⊥BC ，∴CE ⊥AD ，∴∠BCE ＝∠CED ＝90°，∵∠ECD ＝30°，DC ＝2，∴DE ＝12CD ＝1，∴CE∴tan ∠CBE ＝CE BC （2）①解：在射线GM 上存在一点P ，MP ＝MG 时，△BCP ≌△ECG ；理由如下：如图2所示：∵CM ＝MG ，∴△CMG 是等腰直角三角形，∴∠MCG ＝∠MGC ＝45°，∵MP ＝MG ，EM ⊥CF ，∴∠CPM ＝∠CGM ＝45°，∴∠PCG ＝90°，∴CP ⊥CG ，∵∠BCE ＝∠PCG ＝90°，∴∠BCP ＝∠ECG ，在△BCP 和△ECG 中，BC EC BCP ECG CP CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ECG （SAS ）；②证明：由①得：△BCP ≌△ECG ，∴BP ＝EG ，∠BPC ＝∠EGC ＝45°，∴∠BPG ＝90°，∴BP ∥MN ，∵PM ＝GM ，∴BN ＝GN ，∴MN 是△PBG 的中位线，∴BP ＝2MN ，∴EG ＝2MN【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角函数等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．25．（1）BC =，2y x =-；（2）S △BCD ＝32 . 【解析】【分析】（1）作CF ⊥x 轴于F ，根据BE ＝3CE ，且S △ACE ＝94 求得S △ABE ＝274，根据三角形面积求得AE ，从而求得OE 和CF ，由三角形相似求得EF ，得到C 点的坐标，即可根据勾股定理求得BC ，根据反比例函数图象上点的坐标特征求得反比例函数的解析式；（2）设直线CD 的解析式为y ＝x+b ，令直线CD 交y 轴于H ，根据待定系数法求得解析式，从而求得H 点的坐标，联立方程求得D 点的坐标，然后根据S △BCD ＝S △BCH ﹣S △BDH 求得即可．（1）作CF⊥x轴于F，由直线y＝x+3可知，A（﹣3，0），B（0，3），∵BE＝3CE，且S△ACE＝94，∴S△ABE＝274，∴12AE•OB＝274，即12AE•3＝274，∴AE＝92，∴OE＝32，∵S△ACE＝12AE•CF＝94，∴CF＝1，∵CF∥OB，∴△ECF∽△EBO，∴EF CFOE OB=，即32EF＝13，∴EF＝12，∴OF＝OE+DF＝2，∴C（2，﹣1），∴BC=，∵反比例函数y＝mx（x＞0）经过点C，∴m＝2×（﹣1）＝﹣2，∴反比例函数解析式为y＝﹣2x；（2）∵将直线AB向下平移与反比例函数y＝mx（x＞0）交于点C、D，∴设直线CD的解析式为y＝x+b，令直线CD交y轴于H，把C（2，﹣1）代入得，﹣1＝2+b，∴b＝﹣3，∴直线CD的解析式为y＝x﹣3，∴H（0，﹣3），解321212y xx xy yyx=-⎧==⎧⎧⎪⎨⎨⎨=-=-=⎩⎩⎪⎩得或，∴D（1，﹣2），∴S△BCD＝S△BCH﹣S△BDH＝12×3×2﹣12×3×1＝32．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，⊙O与BC相切于点B，弦AB∥OC，若∠C＝40°，则∠AOB的度数是（）A.60B.70°C.80°D.90°2．计算的值等于（）A.1B.C.D.3．下列运算正确的是( )A．(﹣2x2)3＝﹣6x6B．(y+x)(﹣y+x)＝y2﹣x2C．2x+2y＝4xy D．x4÷x2＝x24．如图，直线，若，，则的大小为（）A. B. C. D.5．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，等边三角形ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），则点A的坐标为（）A．（2，3）B．（2，）C．（，2）D．（2，7．2018年，淮南市经济运行总体保持平稳增长，全年GDP约为1130亿元，GDP在全省排名第十三.将1130亿用科学记数法表示为（）A．11.3×1010B．1.13×1010C．1.13×1011D．1.13×10128．如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（）A．4：3 B．3：4 C．2：3 D．3：29．如图，点A、B、C在半径为2的圆O上，且∠BAC=60°，作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接MN，则MN的长为（）A.1 C.210．在半径为8cm的圆中，垂直平分半径的弦长为( )A．4cm B．C．8cm D．11．如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是（）A．中位数31，众数是22 B．中位数是22，众数是31C．中位数是26，众数是22 D．中位数是22，众数是2612．如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；按B3此规律作下去，则点B n的坐标为（）A．（2n，2n﹣1）B．（2n，2n+1）C．（2n+1，2n）D．（2n﹣1，2n）二、填空题13．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2．则△ABC的面积为_____．14．﹣3的绝对值的倒数的相反数是_____．15．一个不透明的口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是白球的概率是_____．16．含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A(-2，0)，B(0，1)，则直线BC 的解析式为______．17．已知a 2+2a=-2，则22(21)(4)a a a +++的值为________． 18．如图所示，是一个运算程序示意图，若第一次输人k 的值为216，则第2019次输出的结果是______．三、解答题19．如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC ＝0.6米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.5米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD ＝1.4米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE ＝60°，求篮框D 到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，≈1.4）20．某公司经销的一种产品每件成本为40元，要求在90天内完成销售任务．已知该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：时间（第x天）1≤x＜50 50≤x≤90x+50 90任务完成后，统计发现销售员小王90天内日销售量p（件）与时间（第x天）满足一次函数关系p＝﹣2x+200．设小王第x天销售利润为W元．（1）直接写出W与x之间的函数关系式，井注明自变量x的取值范围；（2）求小生第几天的销售量最大？最大利润是多少？（3）任务完成后，统计发现平均每个销售员每天销售利润为4800公司制定如下奖励制度：如果一个销售员某天的销售利润超过该平均值，则该销售员当天可获得200元奖金．请计算小王一共可获得多少元奖金？21．某校为了解七年级学生体育课足球运球的掌握情况，随机抽取部分七年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，制成了如图所示的不完整的统计图：根据所给信息，解答以下问题：(1)在扇形统计图中，求等级C对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；(2)该校七年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A等级的学生有多少人？22．某水果零售商店，通过对市场行情的调查，了解到两种水果销路比较好，一种是冰糖橙，一种是睡美人西瓜．通过两次订货购进情况分析发现，买40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元，买20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元．（1）请求出购进这两种水果每箱的价格是多少元？（2）该水果零售商在五一期间共购进了这两种水果200箱，冰糖橙每箱以40元价格出售，西瓜以每箱50元的价格出售，获得的利润为w元．设购进的冰糖橙箱数为a箱，求w关于a的函数关系式；（3）在条件（2）的销售情况下，但是每种水果进货箱数不少于30箱，西瓜的箱数不少于冰糖橙箱数的5倍，请你设计进货方案，并计算出该水果零售商店能获得的最大利润是多少？23．某单位需要购买一些钢笔和笔记本．若购买2支钢笔和1本笔记本需42元，购买3支钢笔和2本笔记本需68元．（1）求买一支钢笔要多少钱？（2）若购买了钢笔和笔记本共50件，付款可能是810元吗？说明理由．24．如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．(结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04)25．如图，AB，CD是圆O的直径，AE是圆O的弦，且AE∥CD，过点C的圆O切线与EA的延长线交于点P，连接AC．（1）求证：AC平分∠BAP；（2）求证：PC2=PA•PE；（3）若AE-AP=PC=4，求圆O的半径．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1514．-13 15．1316．113y x =-+ 17．618．三、解答题19．篮框D 到地面的距离是2.9米．【解析】【分析】延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝,AB BC∴AB ＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.22，∴GM ＝AB ＝2.22，在Rt △AGF 中，∵∠FAG ＝∠FHE ＝60°，sin ∠FAG ＝,FG AF∴sin60°＝,2.52FG = ∴FG ＝2.125，∴DM ＝FG+GM ﹣DF≈2.9米．答：篮框D 到地面的距离是2.9米．【点睛】考查解直角三角形的应用，构造直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键.20．（1）221802000(150)W=10010000(5090)x x xx x⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩；（2）小王第45天的销售利润最大，最大利润为6050元；（3）小王一共可获得6200元奖金.【解析】【分析】（1）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与x（天）之间的函数关系式；（2）依据（1）中函数的增减性求得最大利润；（3）根据销售利润为W（元）与x（天）之间的函数关系式，求出利润超过4800元的天数即可求得可获得的奖金金额.【详解】（1）依题意：(50)(150) W=90(5090)p x xp x+≤<⎧⎨≤≤⎩，整理得221802000(150) W=10010000(5090)x x xx x⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩；（2）①当1≤x＜50时，W＝﹣2x2+180x+2000＝﹣2（x﹣45）2+6050，∵﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＝45时，W有最大值为6050；②当50≤x≤90时，W＝﹣100x+10000，∵﹣100＜0，∴W随x的增大而减小，∴当x＝50时，W有最大值为5000，∵6050＞5000，∴当x＝45时，W的值最大，最大值为6050，即小王第45天的销售利润最大，最大利润为6050元；（3）①当1≤x＜50时，令W＝4800，得W＝﹣2（x﹣45）2+6050＝4800，解得x1＝20，x2＝70，∴当W＞4800时，20＜x＜70，∵1≤x＜50，∴20＜x＜50；②当50≤x≤90时，令W＞4800，W＝﹣100x+10000＞4800，解得x＜52，∵50≤x≤90，∴50≤x＜52，综上所述：当20＜x＜50时，W＞4800，即共有51﹣21+1＝31天的销售利润超过4800元，∴可获得奖金200×31＝6200元，即小王一共可获得6200元奖金.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．21．(1)117°；补图见解析；(2)30人.【解析】【分析】(1)先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得，根据以上所求结果即可补全图形；(2)总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得．【详解】解：(1)∵总人数为18÷45%＝40人，∴C等级人数为40﹣(4+18+5)＝13人，则C对应的扇形的圆心角是360°×1340＝117°，补全条形图如下：(2)估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×440＝30人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（1）每箱冰糖橙进价为35元，每箱睡美人西瓜进价为40元；（2）w＝﹣5a+2000；（3）当购买冰糖橙30箱，则购买睡美人西瓜170箱该水果零售商店能获得的最大利润，最大利润为1850元．【解析】【分析】（1）设每箱冰糖橙x元，每箱睡美人西瓜y元，根据“买40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元，买20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元”列出方程组并解答；（2）根据（1）的结论以及“利润＝售价﹣成本”解答即可；（3）设购买冰糖橙a箱，则购买睡美人西瓜为（200﹣a）箱，根据“每种水果进货箱数不少于30箱，西瓜的箱数不少于冰糖橙箱数的5倍”列出不等式并求得a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）设每箱冰糖橙进价为x元，每箱睡美人西瓜进价为y元，由题意，得40152000 20301900x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：3540 xy=⎧⎨=⎩，即设每箱冰糖橙进价为35元，每箱睡美人西瓜进价为40元；（2）根据题意得，w＝（40﹣35）a+（50﹣40）（200﹣a）＝﹣5a+2000；（3）设购买冰糖橙a箱，则购买睡美人西瓜为（200﹣a）箱，则200﹣a≥5a且a≥30，解得30≤a1 333≤，由（2）得w＝﹣5a+2000，∵﹣5，w随a的增大而减小，∴当a＝30时，y最大．即当a＝30时，w最大＝﹣5×30+2000＝1850（元）．答：当购买冰糖橙30箱，则购买睡美人西瓜170箱该水果零售商店能获得的最大利润，最大利润为1850元．【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．23．（1）16；（2）不可能，理由见解析.【解析】【分析】（1）设一支钢笔x元，一本笔记本y元，根据“购买2支钢笔和1本笔记本需42元，购买3支钢笔和2本笔记本需68元．”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设学校购买m支钢笔，则购买（50﹣m）本笔记本，根据总价＝单价×数量结合购买的费用为810元，即可得出关于m的一元一次方程，解得m的值为不大于50的正整数即可．【详解】解：（1）设一支钢笔x元，一本笔记本y元，根据题意得：242 3268 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：1610 xy=⎧⎨=⎩．答：一支钢笔16元，一本笔记本10元．（2）设学校购买m支钢笔，则购买（50﹣m）本笔记本，根据题意得：16m+10（50﹣m）＝810，解得：m＝52＞50，不符合题意．答：若购买了钢笔和笔记本共50件，付款不可能是810元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程．24．篮板顶端D到地面的距离约为3.7m．【分析】延长AC、DE交于点F，则四边形BCFE为矩形，根据sin∠BAC＝BCAB，求EF,根据tan∠DBE＝DEBE，求DE,再求DF即可.【详解】解：延长AC、DE交于点F，则四边形BCFE为矩形，∴BC＝EF，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝BC AB，∴BC＝AB•sin∠BAC＝2.3×0.94＝2.162，∴EF＝2.162，在Rt△DBE中，tan∠DBE＝DE BE，∴DE＝BE•tan∠DBE＝1.5×1.04＝1.56，∴DF＝DE+EF＝2.162+1.56≈3.7(m)答：篮板顶端D到地面的距离约为3.7m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握正切、正弦的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5.【解析】【分析】（1）OA=OC，则∠OCA=∠OAC，CD∥AP，则∠OCA=∠PAC，即可求解；（2）证明△PAC∽△PCE，即可求解；（3）利用△PAC∽△CAB、PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，即可求解．【详解】解：（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠PAC，∴∠OAC=∠PAC，∴AC平分∠BAP；（2）连接AD，∵CD为圆的直径，∴∠CAD=90°，∴∠DCA+∠D=90°，∵CD∥PA，∴∠DCA=∠PAC，又∠PAC+∠PCA=90°，∴∠PAC=∠D=∠E，∴△PAC∽△PCE，∴PA PC PC PE，∴PC2=PA•PE；（3）AE=AP+PC=AP+4，由（2）得16=PA（PA+PA+4），PA2+2PA-8=0，解得，PA=2，连接BC，∵CP是切线，则∠PCA=∠CBA，Rt△PAC∽Rt△CAB，AP AC PC==，而PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，AC AB BC其中PA=2，解得：AB=10，则圆O的半径为5．【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了三角形相似、勾股定理运用的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．。
人教版八年级数学上册(教案).2等边三角形
1.理论介绍：首先，我们要了解等边三角形的基本概念。等边三角形是三边长度相等的三角形，它具有独特的性质和应用。在几何学中，等边三角形是非常重要的基本图形。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析等边三角形在建筑、艺术等领域的应用，了解它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等边三角形的基本概念、判定方法、性质和面积计算。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对等边三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-掌握等边三角形面积公式的推导过程：学生需要理解并记住面积公式的推导过程，这涉及到数学抽象和逻辑推理的能力。
-在实际问题中识别和应用等边三角形的知识：学生需要具备一定的观察能力和问题分析能力，才能将等边三角形的知识应用到实际问题中。
举例解释：
-通过对比不同类型的三角形，让学生明确等边三角形的判定条件，并能够识别。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“等边三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等边三角形的判定方法和面积计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
初中数学三角形教案(7篇)
初中数学三角形教案（7篇）一、教材分析本节教材是学生对小学阶段三角形有初步了解的根底上进一步熟悉三角形的特点和性质。
三角形是最简洁、最根本，很常见的一种几何图形，在工农业生产和日常生活中有广泛的应用价值。
对学生更好地熟悉现实世界，拓展空间观念都有特别重要的作用，同时对今后学习三角形全等、相像和解直角三解形，解决相关的实际问题，都有不行低估的作用。
二、教学目标1、结合实物和图形理解三角形定义2、找到全部三角形的共同特点。
3、会用三角形顶点的三个大写字母和形象符号（“△”）来记一个三角形。
4、初步了解任意三角形三边之间的大小关系。
5、能应用所学学问解决日常生活中与三角形有关的实际问题。
6、初步感受三角形简洁、广泛地适用性。
7、培育学生动手、动脑、合作、沟通、探究意识。
三、教学重难点重点：三角形共同特点的理解及三角形三边关系性质的理解。
难点：应用三边关系性质解决简章的实际问题。
四、教具及材料预备三角板、实物的三角形、包装带、剪刀、头钉、白纸、透亮胶等（师生同备）五、学生状况及教学构思七年级学生年龄较小，思维正处在由详细形象思维向抽象规律思维转化的阶段，针对这一特点，在教学中设计了以下教学环节：从实际动身说三角形、找三角形、记三角形、画三角形、算三角形、感悟三角形、剪三角形、做三角形、小结三角形的教学环节。
六、教学实施1、师：在小学我们进一步了解了三角形，今日我们在一起进一步熟悉三角形的定义、记法及其相关性质，随之在黑板上板书课题（1熟悉三角形）哪位同学能列举日常生活中与三角形有关的实例（同学们争先举手答问）。
生：像铁塔，空调器支架、铁桥、教室里饮水机支架、屋顶支架等都是由很多三角形构成的。
师：在黑板上画出同学熟识的屋顶框架图。
2、师：既然小到生活小事，大到交通、建筑等随处可见三角形的图形，那么三角形有哪些共同特点呢？甲生：每一个三角形都有三个内角，三个顶点。
乙生：每一个三角形都由三条线段组成。
丙生：任意三角形的三内角之和都等于180°。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题七(含答案) (55)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题七（含答案)（2015秋•孝义市期末）如图，△ABC，点E是AB上一点，D是BC的中点，连接ED并延长至点F，使DF=DE，连接CF，则线段BE与线段CF的关系为．【答案】BE=CF，BE∥CF．【解析】试题分析：由D是BC的中点，得到BD=CD，推出△BDE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，∠B=∠DCF，根据平行线的判定即可得到结论．解：∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF，∴BE=CF，∠B=∠DCF，∴BE∥CF．故答案为：BE=CF，BE∥CF．考点：全等三角形的判定与性质．42．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结AD，CD．则△ABC△△ADC的依据是．【答案】SSS【解析】试题分析：根据作图得出AB=AD，CD=CB，根据全等三角形的判定得出即可．解：由作图可知：AB=AD，CD=CB，∵在∵ABC和∵ADC中∵∵ABC∵∵ADC（SSS），故答案为SSS．考点：全等三角形的判定．43．（2015秋•乳山市期末）如图，AB∥EF，∠C=∠D=85°，CF=BD，若∠A=40°，则∠EFD= ．【答案】55°．【解析】试题分析：利用已知条件证明△ABC≌△DFE（ASA），得到∠A=∠E=40°，再利用三角形的内角和为180°，即可解答．解：∵AB∥EF，∴∠ABC=∠EFD，∵CF=BD，∴CF+BF=BD+BF，∴BC=DF，在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴∠A=∠E=40°，∴∠EFD=180°﹣∠D﹣∠E=180°﹣85°﹣40°=55°．考点：全等三角形的判定与性质．44．如图，已知AB=AD，△BAE=△DAC，要使△ABC△△ADE，若以“SAS”为依据，补充的条件是．【答案】AC=AE．【解析】【分析】先根据∠BAE=∠DAC，等号两边都加上∠EAC，得到∠BAC=∠DAE，由已知AB=AD，要使△ABC≌△ADE，根据全等三角形的判定：添上AC=AE，根据有两边及夹角相等的两个三角形全等（简称SAS）；添上∠C=∠E，根据有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（AAS）；添上∠B=∠D，根据有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）．【详解】可补充的条件是：当AC=AE，△ABC≌△ADE（SAS）；当∠C=∠E，△ABC≌△ADE（AAS）；当∠B=∠D，△ABC≌△ADE（ASA）．故答案为AC=AE或∠C=∠E或∠B=∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．45．（2015秋•驻马店期末）如图，AE∥FD，AE=FD，要使△EAC≌△FDB，则应补充条件（填写一个即可）．【答案】∠E=∠F．【解析】试题分析：添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A=∠D，再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可．解：添加∠E=∠F，理由如下：∵AE∥FD，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AC=BD，在△AEC和△DFB中，，∴△EAC≌△FDB（ASA）．故答案是：∠E=∠F．考点：全等三角形的判定．46．如图，点P是△A OB的角平分线OC上一点，分别连接AP、BP，若再添加一个条件即可判定△AOP△△BPO，则一下条件中：①△A=△B；②△APO=△BPO；③△APC=△BPC；④AP=BP；⑤OA=OB．其中一定正确的是_____（只需填序号即可）【答案】①②③⑤【解析】试题分析：根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．解：∵点P是∵AOB的角平分线OC上一点，∵∵AOP=∵BOP，添加①∵A=∵B，再加上公共边OP=OP可利用AAS判定∵AOP∵∵BPO；添加②∵APO=∵BPO，再加上公共边OP=OP可利用ASA判定∵AOP∵∵BPO；添加③∵APC=∵BPC可得∵APO=∵BPO，再加上公共边OP=OP可利用ASA 判定∵AOP∵∵BPO；添加④AP=BP，再加上公共边OP=OP不能判定∵AOP∵∵BPO；添加⑤OA=OB，再加上公共边OP=OP可利用SAS判定∵AOP∵∵BPO；故答案为①②③⑤．考点：全等三角形的判定．三、解答题47．请从以下三个等式中，选出一个等式填在横线上，并加以证明．等式：AB=CD，△A=△C，△AEB=△CFD，已知：AB△CD，BE=DF，．求证：△ABE△△CDF．证明：【答案】证明见解析【解析】试题分析：先加上条件，再证明，根据所加的条件，利用全等三角形的判定加以证明．证明：∵AB∵CD，∵∵B=∵D，在∵ABE和∵CDF中，∵∵ABE∵∵CDF．考点：全等三角形的判定．48．如图，已知点A、C、E在同一直线上．从下面四个关系式中，取三个式子作为条件，第四个式子作为结论，构成一个真命题，并证明其正确：①AC=CE，②AB=CD，③AB∥CD，④BC∥DE．已知：，求证：．（只要填序号）【答案】①②③，④．【解析】试题分析：根据平行线的性质得到∠A=∠DCE，推出△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠E，由平行线的判定定理即可得到结论．已知：①AC=CE，②AB=CD，③AB∥CD，求证：④BC∥DE．证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠DCE，在△ABC与△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴∠ACB=∠E，∴BC∥DE．故答案为：①②③，④．考点：全等三角形的判定与性质；命题与定理．49．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，AF=DC，求证：△ABC≌△DEF．【答案】见解析【解析】试题分析：首先证明AC=DF，再根据AAS定理判定△ABC≌△DEF即可．证明：∵AF=DC，∴AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）．考点：全等三角形的判定．50．如图，两根旗杆相距12m，某人从B点沿BA走向A点，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求：这个人从B点到M 点运动了多长时间？【答案】这个人从B点到M点运动了3s．【解析】试题分析：根据∠CMD=90°，利用互余关系可以得出：∠ACM=∠DMB，证明三角形全等的另外两个条件容易看出．利用全等的性质可求得AC=BM=3，从而求得运动时间．解：∵∠CMD=90°，∴∠CMA+∠DMB=90°，又∵∠CAM=90°∴∠CMA+∠ACM=90°，∴∠ACM=∠DMB，在Rt△ACM和Rt△BMD中，，∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），∴AC=BM=3m，∴他到达点M时，运动时间为3÷1=3（s）．答：这个人从B点到M点运动了3s．考点：全等三角形的应用．。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 第二节 一般三角形及其性质
长的一的一半半．
第三边
③若∠A＝50°，∠AEF＝60°，则∠ABC＝7070°°；
【解题依据】此问用到的中位线的性质为三三角角形形的中的位中线位线平平行行于第． ④若 S△ABC＝6，则△BDC 的面积为 2 2. 于第三边
1．如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，F 是 DE 上一点，连
( A) A.重心 B．外心 C．内心 D．中心
6.(2021·梧州第 6 题 3 分)如图，DE 是△ABC 的边 BC 的垂直平分线，分 别交边 AB，BC 于点 D，E，且 AB＝9，AC＝6，则△ACD 的周长是( C ) A.10.5 B．12 C.15 D．18
7.(2021·梧州第 10 题 3 分)如图，在 Rt△ABC 中，点 D，E，F 分别是 边 AB，AC，BC 的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形 CEDF 的面积是( B ) A.6 B．12 C．24 D．48
命题点 1：三角形的边、角关系(近 6 年考查 12 次),1.(2021·梧州第 7
题 3 分)
在△ABC 中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C 等于
( A)
A.32° B．36° C．40° D．128°
2.(2018·北部湾经济区第 6 题 3 分)如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平
则∠FDG 的度数为 120120°°；
【解题依据】此问用到的垂直平分线的性质为线段线垂段直垂平分直线平上分的点线到
线到段线两段端点两的端距点的离距相离等．
上的点
相等
图③
图④
(3)如图③，若 CF，BE 分别是∠ACB 和∠ABC 的平分线．
①若∠A＝50°，则∠BDC＝11 1155°°；
11.1.1与三角形有关的线段课件
思 考
判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验 三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你 刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？
2.小明有长为2cm，4cm, 5cm, 7cm的四根 木条，任意选其中三根组成三角形，他能组 成几种三角形？
两种 分别是2cm，4cm, 5cm和 4cm, 5cm, 7cm
3.∠ A、 ∠ B、 ∠ C叫做三角形的 内角，简称三角形的角。
C 三角形ABC的三边,有时也用a、b、c来 表示. 一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所 对的边记作b,顶点C所对的边记作c
三角形用符号“△”表示 记作“△ ABC”读作“三角形ABC”
除此△ ABC还可记作△BCA, △ CAB,
理解三角形的有关概念
问题1 三角形是我们熟悉的图形，观察下列图 片，你能说一说三角形是怎样的图形吗？
一、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组 成的图形，叫做三角形。
注意点： （1）三条线段（2）不在同一直线上 （3）首尾顺次相接
二、认识三角形
A c B b
1.线段AB、BC、CA叫做三角形的边 2.点A、B、C 叫做三角形的顶点
发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以 选择？各条路线的长一样吗？
A
路线1:由点B到点C 路线2:由点B到点线长分别是BC,AB+AC.
由“两点之间，线段最短” 可以得到AB+AC>BC 同理可得：AC+BC>AB,AB+BC>AC
结 三角形的三边有这样的关系： 论 三角形两边的和大于第三边
做一做
用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三
角形。 （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长 是多少？ （2）能围成有一边的长为4厘米的等腰三角 形吗？为什么？ 你会了吗？
考研管理类联考数学基础第7-9章
第七章应用题1、比例类问题（1）比例增长问题甲比乙多a %⇔甲=乙（1+a %）⇔甲-乙⨯100% =a% 乙区别：甲是乙的a%经常考查两阶段的增长问题，例如两年、两个季度、两个月平均增长的问题。
（2）抽象的比例问题比例数直接转为人数或者产品数；注意两阶段比例，统一后再转化。
题目陷阱在于前后描述的比例顺序。
（3）局部量推算整体考察公式：总量=局部量局部百分比⨯100% ；考试中局部百分比的求解是重点。
【例 1】某种水果第一天含水量为 90%，第二天含水量为 80%，若购进 100 斤水果，第二天重量减少多少？2、行程问题【例 2】某部队进行急行军，预计行 60 千米的路程可在下午 5 点钟到达，后来由于速度比预计的加快了1，结果于4 点钟到达，这时的速度是（）．5（A）8 （B）10 （C）12 （D）13 （E）14【例 3】小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地 40 米处第一次相⎩遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两 人在距乙地 15 米处第二次相遇．甲、乙两地相距（ ）米．（A ）80（B ）90 （C ）100 （D ）105（E ）120【例 4】甲跑 11 米所用的时间，乙只能跑 9 米，在 400 米标准田径场上，两人同时出发依同一方向，以上速度匀速跑离起点 A ，当甲第三次追及乙时，乙离起点还有（）米． （A ）360（B ）240 （C ）200 （D ）180（E ）1003、水流问题v 顺 = v 静 + v 水； v 逆 = v 静 - v 水⎧> 0，逆流而上 v = v - v ⎪= 0，静止不动逆 静 水⎨ ⎪< 0，顺流而下技巧：在某些题目中，可默认水流速度为 04、工程问题1、思维定势把总量看成单位“1”2、工程总量=工作时间⨯工作效率3、解题第一时间找到各自完成工程的时间4、工程是匀速完成的注意：题目两种叙述的比对，找到工作效率的关系。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九(含答案) (61)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九（含答案)一、单选题1．如图，已知EB FC =，EBA FCD ∠=∠，下列哪个条件不能判定ABE ≌(DCF )A ．∠E=∠FB ．∠A=∠DC ．AE=DBD ．AC=DB【答案】C【解析】【分析】 根据判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 进行分析即可．【详解】A. 可利用ASA 判定△ABE △△DCF ，故此选项不合题意；B. 可利用AAS 判定△ABE △△DCF ，故此选项不合题意；C. 不能判定△ABE △△DCF ，故此选项符合题意；D. 可利用SAS 判定△ABE △△DCF ，故此选项不合题意；故选C.【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的性质及判定.2．如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB =DE ，AD =CF ，添加下列条件后，仍不能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．BC EF =B ．A EDF ∠=∠C ．//AB DED ．BCA EDF ∠=∠【答案】D【解析】【分析】 首先根据等式的性质可得AC DF =，然后利用SSS 、SAS 、ASA 、AAS 进行分析即可．【详解】解：∵AD =CF ，∴AD +CD =CF +DC ，∴AC =DF ，A 、添加BC =EF 可利用SSS 定理判定△ABC △△DEF ，故此选项不合题意；B 、添加∠A =∠EDF 可利用SAS 定理判定△ABC △△DEF ，故此选项不合题意；C 、添加AB △DE 可证出∠A =∠EDC ，可利用SAS 定理判定△ABC △△DEF ，故此选项不合题意；D 、添加∠BCA =∠EDF 不能判定△ABC △△DEF ，故此选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．如图ABC 中，B C ∠=∠，BD CE =，CD BF =，则(EDF ∠= )A ．90A -∠B ．1902A -∠C ．1802A -∠D ．1452A -∠ 【答案】B 【解析】【分析】 利用边角边证明得到BDF 与CED 全等，根据全等三角形对应角相等可得BFD CDE ∠=∠，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理可得EDF B ∠=∠，然后根据等腰三角形顶角与底角的关系即可得解．【详解】解：在BDF 与CED 中，BD CE B C CD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BDF ∴≌()CED SAS ，BFD CDE ∴∠=∠，CDF B BFD ∠=∠+∠，CDF EDF CDE ∠=∠+∠，EDF B ∴∠=∠，B C ∠=∠，()111809022B A A ∴∠=-∠=-∠， 1902EDF A ∴∠=-∠． 故选B ．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形底角与顶角的关系，根据全等三角形对应角相等推出EDF B ∠=∠是解题的关键．4．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝3 cm ，△ABD 的周长为13 cm ，则△ABC 的周长是（ ）A．13 cmB ．16 cmC ．26cmD ．19 cm【答案】D【解析】【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．故选：D．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解题关键．5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AC=7，则DE＋BD等于（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后求出DE+BD=AC．【详解】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD=DE，∴DE+BD=CD+BD=BC，∵AC=BC，∴DE+BD=AC=7．故选：A．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并求出DE+BD=AC是解题关键．6．如图，在等边三角形ABC中，AD＝BE＝CF，D、E、F不是各边的中点，AE、BF、CD分别交于P、M、H，如果把三个三角形全等叫做一组全等三角形，那么图中全等三角形有（）A．6组B．5组C．4组D．3组【答案】B【解析】【分析】由在等边三角形ABC 中，AD ＝BE ＝CF ，利用SAS 即可判定△EBA ≌△DAC ≌△FCB ，同理可得△DBC ≌△FAB ≌△ECA ，然后证得∠BAE ＝∠ACD ＝∠CBF ，AD ＝BE ＝CF ，∠AEB ＝∠ADC ＝∠BFC ，利用ASA 可判定△ADH ≌△CFM ≌△BEP ，即可得∠ABF ＝∠CAE ＝∠BCD ，AB ＝AC ＝BC ，BP ＝AH ＝CM ，由SAS 可判定△ABP ≌△ACH ≌△CBM ，然后根据AAS 即可判定△DBM ≌△FAP ≌△ECH ．【详解】解：∵△BC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，在△EBA 和△DAC 和△FCB 中，AB AC BC ABE DAC FCB BE AD CF ⎧⎪∠∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝＝＝ ∴△EBA ≌△DAC ≌△FCB （SAS ）；∵AB ＝AC ＝BC ，AD ＝BE ＝CF ，∴BD ＝AF ＝EC ，同理：△DBC ≌△FAB ≌△ECA （SAS ）；∴∠BAE ＝∠ACD ＝∠CBF ，AD ＝BE ＝CF ，∠AEB ＝∠ADC ＝∠BFC ， 在△ADH 和△CFM 和△BEP 中，BAE ACD CBF AD CF BE ADC BFC AEB ∠∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠∠⎩＝＝＝＝＝＝， ∴△ADH ≌△CFM ≌△BEP （ASA ），∵∠ABF ＝∠CAE ＝∠BCD ，AB ＝AC ＝BC ，BP ＝AH ＝CM ，在△ABP 和△ACH 和△CBM 中，AB AC BC ABF CAE BCD BP AH CM ⎧⎪∠∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝＝＝， ∴△ABP ≌△ACH ≌△CBM （SAS ）；∵∠AHD ＝∠EHC ，∠FMC ＝∠DMB ，∠BPE ＝∠APF ，∠AHD ＝∠FMC ＝∠BPE∴∠EHC ＝∠DMB ＝∠APF∵BD ＝AF ＝EC ，∠DBM ＝∠FAP ＝∠ECH ，在△DBM 和△FAP 和△ECH 中，DMB APF BHC DBM FAP ECH BD AF EC ∠∠∠⎧⎪∠∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝＝＝， ∴△DBM ≌△FAP ≌△ECH （AAS ）．∴共5组．故选B ．【点睛】此题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D，给出下列结论：①AF=AC；②DF=CF；③∠AFC=∠C；④∠BFD=∠CAF，其中正确的结论个数有．( )A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件证明△AEF△△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．【详解】解：在△ABC与△AEF中，{AB AE B E BC EF=∠=∠=，△△AEF△△ABC，△AF=AC，△△AFC=△C；由∠B=△E，△ADE=△FDB，可知：△ADE△△FDB；△△EAF=△BAC，△△EAD=△CAF，由△ADE△△FD，B可得∠EAD=△BFD，△△BFD=△CAF．综上可知：②③④正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．8．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC 的角平分线，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为（）A．24°B．31°C．32°D．34°【答案】C【解析】【分析】∠=∠，根据线段的垂直平分线性质得出根据角平分线定义求出ABP CBP∠=∠，根据三角形内角和定理得出方程BP CP=，求出CBP BCP32160180ABP ∠+︒+︒=︒，求出方程的解即可．【详解】 BP 平分ABC ∠，ABP CBP ∴∠=∠，直线l 是线段BC 的垂直平分线，BP CP ∴=，CBP BCP ∴∠=∠，ABP CBP BCP ∴∠=∠=∠，1806024A ACB ABC A ACP ∠+∠+∠=︒∠=︒∠=︒，，，32460180ABP ∴∠+︒+︒=︒，解得：32ABP ∠=︒．故答案为：C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP 是解此题的关键，数形结合思想的应用．9．如图，已知AB ＝2，BF ＝8，BC ＝AE ＝6，CE ＝CF ＝7，则△CDF 与四边形ABDE 的面积比值是( )A ．1：1B ．2：1C ．1：2D ．2：3 【答案】A【解析】【分析】由题意得AC=CB+BA=8，可得AC=BF，利用SSS可证得△AEC≌△BCF，从而可得S△AEC=S△BCF，也就得出S△CDF+S△CDB=S四边形ABDE+S△CDB，这样可求出四边形ABDE与△CDF面积的比值．【详解】解：∵AB＝2，BF＝8，BC＝AE＝6，∴AC=CB+BA=8，∴AC=BF，在△AEC和△BCF中，AC BF CE CF BC AE=⎧⎪⎨⎪⎩＝＝∴△AEC≌△BCF（SSS），∴S△AEC=S△BCF，∴S△CDF+S△CDB=S四边形ABDE+S△CDB∴S四边形ABDE=S△CDF，∴四边形ABDE与△CDF面积的比值是1：1．故选A．【点睛】本题考查了面积及等积变换的知识，难度一般，根据题意证明△AEC≌△BCF 是解答本题的关键，另外要注意等量代换在解答数学题目中的运用．10．如图，△ABC中，△A=90°，AB=AC，BD平分△ABE，DE△BC，如果BC=10 cm，则△DEC的周长是（）A．8 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【答案】B【解析】【分析】根据角平分线的性质,得AD=DE,利用HL判定△BAD≌△BED, 得出AB=BE,进而得出BC=DE+DC+EC=10cm.【详解】解:BD平分∠ABE,DE⊥BC,DA⊥AB∴AD=DE又BD=BD，∴△BAD≌△BED (HL)∴AB=BE又AB=AC∴BE=AC∴BC=BE+EC=AC+EC=AD+DC+EC=DE+DC+EC=10cm∴△DEC的周长是10cm,故选B.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等知识. 要通过全等把相等的线段转到转到一个三角形中.。