2017-2018-2复变函数(A)
(完整版)复变函数习题答案第5章习题详解
第五章习题详解1． 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级：1) ()2211+z z解：2)31z z sin3)1123+--z z z4)()z z lz 1+5)()()z e z z π++1126)11-z e7)()112+z e z 8) n nzz +12，n 为正整数9)21z sin2． 求证：如果0z 是()z f 的()1>m m 级零点，那么0z 是()z f'的1-m 级零点。
3． 验证：2i z π=是chz 的一级零点。
4． 0=z 是函数()22--+z shz z sin 的几级极点？5． 如果()z f 和()z g 是以0z 为零点的两个不恒等于零的解析函数，那么()()()()z g z f z g z f z z z z ''lim lim 00→→=（或两端均为∞）6． 设函数()z ϕ与()z ψ分别以a z =为m 级与n 级极点（或零点），那么下列三个函数在a z =处各有什么性质：1) ()()z z ψϕ；2)()()z z ψϕ；3) ()()z z ψϕ+；7． 函数()()211-=z z z f 在1=z 处有一个二级极点；这个函数又有下列洛朗展开式：()()()()345211111111-+---+=-z z z z z ，11>-z ，所以“1=z 又是()z f 的本性奇点”；又其中不含()11--z 幂，因此()[]01=,Re z f s 。
这些说法对吗？8． 求下列各函数()z f 在有限奇点处的留数：1)zz z 212-+ 2) 421z e z-3)()32411++z z4)zz cos5) z -11cos6) z z 12sin7) z z sin 18) chz shz9． 计算下列各积分（利用留数；圆周均取正向）1) ⎰=23z dz z zsin2) ()⎰=-2221z zdz ze3) ⎰=-231z m dz z zcos ， 其中m 为整数4)⎰=-12i z thzdz5) ⎰=3z zdz tg π6) ()()⎰=--11z n n dz b z a z （其中n 为正整数，且1≠a ，1≠b ，b a <）。
复变函数课件
Ln(z)nnLn(z);Ln(nz)1 nLn(z).
作业！
w L n z 在 除 原 点 及 正 实 轴 外 均 解 析 且 ( L n z ) ' 1 / z .
3.举例 例 2.计算ln(4).
2021/6/16
9( z ) e i z e i z ,c o s ( z ) e i z e i z ,t a n ( z ) s i n z ,c o t ( z ) c o s z .
2.性质 ( 1 ) e z e x i y e x e i y | e z | e x , A r g e z y 2 k , k 0 , 1 ,.
(2 )e z 1e z 2 e z 1 z 2 ,e z 1/e z 2 e z 1 z 2 . (3) limez 不.
.
2021/6/16
26
t-域
Matlab code
1
0.8
syms t,w;figure(1);
0.6
ezplot((sin(t))./t,[-50,50]); 0.4
f(t)=sin(t)/t
Fw=fourier((sin(t))./(t),w);0.2
figure(2);
0
ezplot(Fw,[-5,5])
(4)p， 其 中 p,q互 质 且 q0,则
q
函数图像
zq peq pL nzeq pln|z|iq p(argz2k)eq pln|z|{cos[p(argz2k)]isin[p(argz2k)]},
q
q
p
当 k 0 ,1 , ,q 1 时 ,z q 共 有 q 个 不 同 取 值 q 值 .
东南大学数学系(第三版)
2017—2018年高等数学II(理工类)A卷答案
ρ cos
1 ρ
=
0
所以函数在 (0,0) 点处可微分。 ------------------------------------------------------2
5
2017—2018 年高等数学(II)理工类工学类试卷答案 (A)卷
6
y)
=
⎨⎪2x cos ⎩⎪ 0,
1+ x2 + y2
x
1
sin
,
x2 + y2
x2 + y2
x2 + y2 ≠ 0, x2 + y2 = 0,
但当 (x, y) 沿着 y = x 趋于 (0,0) 时
lim f ' (x, y) = lim 2x cos 1 + x sin 1
( x,y )→(0,0) x
0
0
15.
1 12
(5
5 − 1)
二、 计算题(每题 8 分，共 40 分)
1. 解 原式化为
2 tan y + y = dy ,-----------------------2’
3 x x dx
令u =
y
，则有
dy
=
u+
du x
x
dx
dx
则原式变为
2 3
tan u
+
u
=
u
+
x
du dx
，分离变量的
x→0
x2 + x2
x2 + x2
x2 + x2
极限不存在，从而
f '(x, y) 在 (0,0) 点处不连续. x
复变函数 课件
就是 Laure级 nt数 .
由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可 用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有 在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系 数的方法。
1.3 洛朗级数与泰勒级数的关系
n
R2
R1
R1
z0
R2
z0
R1 R2 有公共收敛域
R1 R2 无公共收敛域
定理5.1
(1)当 R 1R 2时 ， 称cn(zz0)n处发 处 。 散
n
(2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上,
cn(zz0)n可 能 有 点收 些敛 ， 有 些 。点
n 0
负幂项部分：
c n (z z 0 ) n c 1 (z z 0 ) 1 c n (z z 0 ) n (3 )
n 1
级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 z - z0=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在z - z0=R 2外发散。
c 1 (z z0) cn (z z0)n
本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。
1.1 双边幂级数 ---含有正负幂项的级数
定义 形如
cn(zz0)n cn(zz0)n c 1(zz0) 1
相 同, 但cn
f (n)(z0) ,f (z)在c内不是处处 n!
解 析 的.
课02-第一章复变函数2ppt课件
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 直 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
12
4. 反函数的定义: 设wf(z)的定义集 z平合 面为 上的 G, 集
2
这个映射通常函简数 w称 f为 (z) 由 所构成的 . 映射
如G 果 中的 z被 点 映 w射 f(z)映射 G*成 中的 w,那 点 w 末 称z为 的(映 象)象 而 , z称w 为 的原 . 象
5
3. 两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
2 s i n s i n 2 ic o s s i n
22
22
2 s i 2 n s i 2 n ic o 2 s
30
2 s i 2 n cπ o 2 s isπ i n 2
因0 为 2 πs,in 0,
2 上式就 ei是 ei的 复三 数角 . 表示式
4
解 设z rei ,
y
还是线段.
v
w ei ,
w z2
则 r2, 2 , o
x
o
u
故0 线 r 2 , 段 π 映 0 射 4 , 为 π ,
4
2
16
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(2)双曲 x2线 y24;
解 令 z x i,y w u i,v
y
zz3 1o z 2
x
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解(可打印修改)
给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
（2）．计算
C
(z
ez 1)2
z
dz
其中
C
是正向圆周：
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算， 仅给出用前者计算过程
因为函数
f
(z)
(z
ez 1)2
z
在复平面内只有两个奇点
z1
0, z 2
1，分别以
z15
（3）．
dz
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
解：设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在： z 3 内，由留数定理
z15
dz 2i Re s[ f (z), ]
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
-----（5 分）
2i Re s[ f (1) 1 ] z z2
f (1) 1
( 1 )15 z
1
z z 2 (1 1 )2 (2 (1 )4 )3 z 2
z2
z
----（8 分）
1 f( )
1
1
有唯一的孤立奇点z 0,
z z 2 z(1 z 2 )2 (2z 4 1)3
lim lim Re s[ f
1 ()
1
,0]
1 zf ( )
1
1
1
z z2
z 0
（4） z 2,3,4L ，为f (z)的三级极点；
：
f
(z)
z(z2
1)(z 2)3 (z (sin z)3
3)2
的奇点为z
k, k
0,1,2,3,L
，
（1） z k,k 0,1,2,3,L 。。 sinz。 3 0。。。。。。
(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)
a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数 试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。
因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ，则⎰C z2=()楚造成不良后果的，均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责；如故意涂改、乱写 的，考试成绩 答一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析，那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a （ a 为复常数）B. lim f (z ) = ∞视为无效。
题分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。
）()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密 封 A.处处不连续B.处处连续，处处不可导线 C.处处连续，仅在点 z = 0 处可导D.处处连续，仅在点 z = 0 处解析，3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1，则的值()n =0n +1 n =0n 否 则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ，f (z ) = - y + i x ，则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 ， ⎰C dz = 2i ，则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号（最后两位）总分 题号 一 二 三四统分人 题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下， z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ，则arg z =.13.在复平面上，函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ，则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛，而级数∑ zn 发散，则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛，求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题，每小题15 分，共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析，且在C因此在任何点(x , y ) 处， ∂u ≠∂v，所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。
复变函数课后习题答案
习题一 P311题 (2)i ii i -+-11 = 1)1(2)1(--++i i i i =223i --)R e (z 23-= ; 21)(-=z I m ; z = 23-2i + ; z =210;arg(z) = arctan-31π (4) 8i i i +-214 i i +-=41 i 31-= ;;1)Re(=z ;3)Im(-=z ;31i z += ;10=z 3a r c t a na r g -=z ; 5题(2) πππi e i 2)sin (cos 22=+=-；(4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-)43sin(arctan )43cos(arctan 5)43sin(arctan )43cos(arctan 91634i i i;5θi e = );43arctan(-=θ (6) θθθθθθθθϑθθ7sin 7cos )()()2sin 2(cos )sin (cos )7(4322323i e e e e e i i i i i i i -====+---- ; 8题(2) 16)2()1(848==+πie i (4));3432sin 3432(cos2163ππππ-+-=--k i k i ;431arctan ππθ-=-= ;2,1,0=K);1(24)2222(2360i i K -=-= );125sin 125(cos261ππi K += );1213sin 1213(cos 262ππi K +=12题(2) ;3)2(=-z R e 即 ;3])2[(e =+-iy x R ;32=-x 5=x 直线(6) ;4)arg(π=-i z ;4))1(arg(π=-+y i x arctan;41π=-x y ;11=-xy 1+=x y 以i 为起点的射线（x>0）. 13题(1) 0)(<z I m ; 即y<0, 不含实轴的下半平面，开区域，无界，单连通。
复变函数的应用及发展史
复变函数的应用及发展史作者：杨慧贤来源：《数学大世界·下旬刊》2019年第05期【摘要】复变函数在我国数学与物理学发展中有着重要的应用，通过复变函数的应用能够解决实际生活中遇到的许多问题，不过，目前人们在对复变函数进行研究时，仍旧有许多问题亟需解决。
为此，本文对复变函数进行了简要的介绍，并明确了复变函数的相关应用，阐述了复变函数的发展史，以期能够帮助人们更加深入地了解复变函数的内涵及发展，使复变函数能够在更多领域中得到有效应用。
【关键词】复变函数；应用；发展史近些年来，数学的快速发展使复变函数变得越来越重要，这也使越来越多的专家与学者投入到复变函数的研究中。
复变函数在各个领域中发挥着重要作用，通过复变函数的应用，有助于对实际生活中所遇到的各种问题进行有效解决，从而大大推动各个领域的技术发展。
随着人们对复变函数研究的不断深入，复变函数的重要性也日益凸显出来，人们更加迫切地需要解决复变函数研究中存在的问题。
为此，以下便对复变函数的相关应用及其介绍进行了阐述与分析。
一、复变函数介绍复数这一概念是人们在求解方程根时无意中发现的，长期以来，人们一直无法理解复数，不过，随着数学学科的不断发展，复数在各个领域中的重要性也逐渐凸显出来，这也使人们将复数的形式通常定义为a+bi，在该定义中，虚数单位由i表示。
单复变函数起源于数学中的多复分析，由于多复分析过于复杂，而且分析难度较大，这也使人们在多复分析中所研究出的方法和单复变函数存在很大差异，这是因为定义区域所具有的拓扑性质与几何性质会在很大程度上影响多复变全纯函数的性质。
因此，人们在研究过程中，需要从局部性质逐渐向着整体性质转移，并利用微分几何学、拓扑学等学科中的方法及概念，从而为复变函数的发展拓宽道路。
在20世纪90年代，复变函数论得到了高速的发展，并在当时成为重要的研究热门，在那时，大多数数学家都认为复变函数论具有广阔的研究前景，并将其誉为抽象科学中和谐性最强的数学理论。
(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）:1.若f （z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z ）在z 0解析. （ ）2.有界整函数必在整个复平面为常数。
( ) 3。
若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ）4.若f （z ）在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f （z ）在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. （ ) 6。
若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
( ） 7。
若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点. ( )8。
若函数f （z ）在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠。
（ ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .（ ）10.若函数f(z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。
（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2。
=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。
5。
幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。
6.若函数f （z ）在整个平面上处处解析，则称它是__________。
7。
若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8。
=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。
9. zz sin 的孤立奇点为________ .10。
复变函数考试试卷(A)及答案
第 1 页 共 5 页考试试卷(A)2008--2009学年第二学期 时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式: 闭卷一、专业年级: 教改信息班 总分100分, 占总评成绩70 %1． 注: 此页不作答题纸, 请将答案写在答题纸上 单项选择题（15分, 每小题3分） 下列方程中, 表示直线的是（ ）。
()()()()()()()254(54)54(54)112Re 1A i z i z zzB i z i zC z i z iD z z z -++=-++=-++==-2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。
()()()()22A B x C y D ==全平面处处不可导下列命题中, 不正确的是（ ）。
()()()()()()()()()0Res ,0Im 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e iD z e iωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆3． 下列级数绝对收敛的是（ ）。
()()()()()221111112n nnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++⎪⎝⎭∑∑∑∑ 设 在 内解析且 , 那么 （ ）。
()()()()2211A iB iCD ππ--第 2 页 共 5 页1. 的主值为 。
2. 函数 仅在点z= 处可导。
3. 。
4. 函数 在 处的泰勒展开式 。
5. 幂级数 的收敛半径为 。
三．(10分)求解析函数 , 已知 。
四. (20分)求下列积分的值 1．()2241z z e dz zz =-⎰2．()20sin 0x xdx a x a+∞>+⎰五. (15分)若函数 在点 解析, 试分析在下列情形: 1. 为函数 的m 阶零点； 2. 为函数 的m 阶极点；求()()()0Res ,f z z z f z ϕ⎡⎤'⎢⎥⎣⎦。
(精品)《复变函数》习题及答案
第 1 页 共 10 页《复变函数》习题及答案一、 判断题1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。
（ ）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。
（ ）3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。
( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。
（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。
（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。
（ ）8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。
（ ）10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。
（ ）11、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。
（ ） 12、有界整函数必为常数。
（ ） 13、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。
( )14、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。
（ ） 15、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。
（ ） 16、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。
（ ） 17、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。
（ ） 18、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。
（ ）19、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。
复变函数课后习题答案(全)
复变函数课后习题答案(全)华工复变函数课后习题答案习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：i1（2）(i 1)(i 2)3 2i13i821（3）（4）i 4i ii1 i13 2i解：（1）z ，3 2i1332, Imz ，因此：Rez __-__z argz arctan, z i__ii 3 i（2）z ，(i 1)(i 2)1 3i1031, Imz ，因此，Rez 1010131z argz arctan, z i__-__i3 3i3 5ii （3）z ，i1 i2235因此，Rez , Imz ，3253 5iz , argz arctan, z232821（4）z i 4i i 1 4i i 1 3i（1）因此，Rez1, Imz 3，z argz arctan3, z 1 3i2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2 ）1 （4）r(cos 解：（1）i（3）r(sin icos )isin ) （5）1 cos isin (0 2 )cos2isin2e华工复变函数课后习题答案2i223（2）1 2(cos isin ) 2e33（3）r(sin （4）r(cosicos ) r[cos( ) isin( )] re22 isin ) r[cos( ) isin( )] re i isin 2sin2 ( )i2（5）1 cos2isincos 222] 2sini2sin[cos2（1）222e23．求下列各式的值：i)5 （2）(1 i)100 (1 i)100(1 )(cos isin )(cos5 isin5 )2 （3）（4）(1 i)(cos isin )(cos3 isin3 )3 （5（6i) [2(cos( ) isin())]5665解：（1）55 52(cos( ) isin( )) i)（2）(1 i)100(1 i)100 (2i)50 ( 2i)50 2(2)50 251 (1 )(cos isin )（3）(1 i)(cosisin )2[cos( ) isin( )](cos isin )) isin( )][cos( ) isin()]4412) isin(12)](cos2isin2 )12) isin(212)] (2)i华工复变函数课后习题答案(cos5 isin5 )2（4）(cos3 isin3 )3cos10 isin10 cos19 isin19 cos( 9 ) isin( 9 ) （51i, k 0 22 11 1i, k 1 cos( 2k )isin( 2k )3232 22i, k 2（6i81 1 , k 0 ( 2k )isin( 2k )]2424 8i, k 14．设z1z z2 i,试用三角形式表示z1z2与1 z2解：z1cos4isin, z2 2[cos( ) isin( )]，所以466z1z2 2[cos( ) isin( )] 2(cos isin)，__-__z11 15 5[cos( ) isin( )] (cos isin) z__-__212 5．解下列方程：（1）(z i)51 （2）z4 a4 0 (a 0) 由此解：（1）z i华工复变函数课后习题答案z i e（2）z2k i5i，(k 0,1,2,3,4)时，对应的411a[cos( 2k ) isin( 2k )]，当k 0,1,2,344(1 i), ( 1 i), 1 i), i) 6．证明下列各题：（1）设z x iy, z x y证明：首先，显然有其次z x y，因；固此有x2 y2 2xy,2(x2 y2) (y2) ,从而z2。
华中科技大学2017年复变函数与积分变换试题(A卷) - 解答
dz
2i
Re
s
(
z
ez 1)( z
3)2
,
1
Re
s
(
z
ez 1)( z
3)
2
, 3
z
1是
(
z
ez 1)( z
3)2
的一阶极点
Re
s
(
z
ez 1)( z
3)2
, 1
(z
ez 3)2
z 1
e 16
z
-3是
(
z
ez 1)( z
3)2
的二阶极点
Re
s
(
z
ez 1)( z
3)2
,
3
(
ez z
1)
3分
f (z) u(x, y) iv(x, y) (cos)e y y i[( sin x)e y x C]
由 f (0) 1 f (0) 1 iC 1 C 0
2分
f (z) (cos x)e y y i[( sin)e y x]
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三、(12 分) 将函数
s
1 z2 z z 1 (z 2) 2
，0
Re
s
1 z2 z z 1 (z 2) 2
，1 2
1分
z 0, 1 2
均为
1 z2
的一阶极点
z z 1 (z 2)
2
Re s
1 z2 z z 1 (z 2)
，0
1 z2 z 1 (z 2)
1
1分
2
2
z0
函数 f (z) u (x, y) i v (x, y) 为解析函数，且满足 f (0) 1 ．
复变函数ppt课件
1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其 中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：
17年复变函数试卷A
7．在下列复数中，使得ez=2成立的是（）
A.z=2B.z=ln2+2
C.z= D.z=ln2+
8．若f(z)在D内解析， 为f(z)的一个原函数，则（）
A. B.
C. D.
9．设C为正向.
10．对于复数项级数 ，以下命题正确的是（）
十、（本题10分）计算积分： ，其中 。
十一、（本题10分）设 为解析函数，且 ， ，求 .
单独命题佛山科学技术学院20172018学年第一学期复变函数课程期末考试试题a专业班级
命题方式：单独命题
佛山科学技术学院2017—2018学年第一学期
《复变函数》课程期末考试试题（A卷）
专业、班级：姓名：学号：
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得分
一、单项选择题(每小题2分，14小题，共28分)
A.级数是条件收敛的B.级数是绝对收敛的
C.级数的和为 D.级数的和不存在，也不为
11．级数 的和为（）
A.0B.不存在C.iD.-i
12．对于幂级数，下列命题正确的是（）
A.在收敛圆内，幂级数条件收敛B.在收敛圆内，幂级数绝对收敛
C.在收敛圆周上，幂级数必处处收敛D.在收敛圆周上，幂级数必处处发散
1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（）
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
2．下列等式中，对任意复数z都成立的等式是（）
A.z· =Re(z· )B. z· =Im(z· )
C. z· =arg(z· )D. z· =|z|
第二次 复变函数
（ 2 ）关于实轴对称的映射 。
y
o
y
R2 z R2 z R2 z
z
R2 z
z
x
x
o
（z在半径为 R的圆内）
3
（z在半径为 R的圆外）
例11 已知函数 w z , 求区域 0 arg z
3
3
在w平面上的象。
3 i i 3 3 i 3 r , 3. 设 z re , w e , 则由 w z r e 得 解：
z z r,
w e z e
Arg(w ) Arg(z ) .
o x、 u
此函数将z平面上的图形 绕坐标原点转动角度 .
为旋转角。 注： 称此函数所对应的变换为旋转变换，
例6 研究线性函数 w rz (r为正的实常数）的映射特征。
解： w r z , arg w arg z,
此函数将z平面上的图形沿复矢量 z的方向伸缩 r倍。
注： 称此函数所对应的变换为相似变换，称r为相似系数。 例7 研究线性函数 w z b (b为复常数） 的映射特征。
解： 如果把z平面与w平面重合，则由复数的向量表示可知，
这个映射将z平面上的图形作刚体平移，即图形的每一 点都平移一个相同的复矢量。
v(x ,y ) shy cos x . 周期为2 .
e y e y y 0 e y e y sin(iy ) ,(y ). 2i 2
注：
类似可知， w cos z也是周期无界函数。
例4 将 f(x iy ) x 1 x 2 y 2 iy 1 x 2 y 2
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14．求 的值．
15．设C为正向圆周 ，计算积分 ．
16．设C为正向圆周 ，计算积分 ．
17．利用留数计算积分 ．
五、解答题.（每小题8分，共24分）
18．设 ，求p的值使 为调和函数，并求出以 为虚部的解析函数 ．
19．将函数 在圆环域 内展开成洛朗级数．
20．设函数 ,求它的所有孤立奇点处的留数，并计算积分 ,其中 为正向圆周： .
7． ，则 ____________．
8．方程 的解为_______________．
9.以方程 的根的对应点为顶点的多边形的面积为___________．
10．幂级数 的收敛半径 ____________．
11．设 ,则 ____________．
12 ______．
三、计算题.（每小题8分，共40分）
试题
2017年~2018年第2学期
课程名称：复变函数专业年级：
考生学号：考生姓名：
试卷类型：A卷√B卷□考试方式:开卷□闭卷√
…………………………………………………………………………………………………………………………
一、单项选择题.（每小题3分，共18分）
1．已知 ，则 ()
A． B． C． D．
2．设 ，则 ()
A． B． C． D．
3．幂级数 的收敛半径为()
A．0B．1C． D．
4． 是 的()
A．一阶极点B．二阶极点C．可去奇点D．本性奇点
5．级敛，D.无法判断
6．设f(z)= 在复平面解析，k为正整数，则 =()
A. B.
C. D.
二、填空题.(每小题3分，共18分）