182-习题作业-转动定律 转动惯量
刚体的转动惯量
平动动能 1 m 2
2
力的功 A
F dr
ab
动能定理
A
1 2
m 2
1 2
m02
转动动能 1 I 2
2
力矩的功 A
Md
0
动能定理
A
1 2
I 2
1 2
I02
刚体动力学规律旳应用举例
例1：如图，质量m，长为L旳匀质细杆，可绕水 平旳光滑轴在竖直平面内转动，转轴O在杆旳A端。 若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆 到铅直位置时旳角速度。
一、刚体旳运动
不论在多大外界作用下，物体旳形状和大小均 不发生变化，这么旳物体称为刚体。
各质点间旳相对位置永不发生变化旳质点系。
1、平动 刚体在运动中，其上任意两点旳连线一直保持平行。
A
A
B
A
B
B 平动中刚体上旳各点都有相同旳轨迹、位移、 速度及加速度。用质心运动讨论。
2、定轴转动 刚体上各点均绕同一固定直线旋转旳运动，
M d（I)
dt
措施四：应用机械能守恒定律（见下一种例题 ）
例2：质量m，长为L旳均匀细棒，可绕过其一端旳水平
轴O转动。现将棒拉到水平位置（OA’）放手，棒下
摆到铅直位置（OA）时，与水平面A处旳质量为M旳
物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一
段距离s后停止。设物体与水平面间旳摩擦系数到处
r2dm
转动定律 M I
动量 m，冲量
t Fdt
动量定理
F
t0 dP
dt
角动量 L I,冲量矩
t
Mdt
t0
角动量定理 M dL dt
五、质点与刚体力学规律对照表（续）
一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
大学物理-第四章-力矩 转动定律 转动惯量
2 J ddt
1
1
1 dt
1 dt
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
26
Y
M
vC
C mi
yC yi
O
X
4、刚体的势能
EP mi gyi
i
mgyc
其中m为刚体的总质量, yc为刚体质心的高度
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于
同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚
体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位
置对物体的运动有影响吗？
F
F
Fi 0 , Mi 0
圆盘静止不动
F
Fi 0 , Mi 0
1、刚体的转动动能
i质点的动能
Eki
1 2
mi vi2
1 2
miri2 2
整个刚体的动能 — 对i求和
Ek
i
Eki
i
1 2
mivi2
i
1 2
mi
ri2
2
1 2
(
i
miri2 ) 2
1 2
J 2
可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度
平方乘积的一半。
t
t0 Mdt L L0
动量守 恒定律
Fi 0,
mi vi
刚体的定轴转动习题
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刚体的定轴转动习
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目 录
• 刚体定轴转动的基本概念 • 刚体定轴转动的力学分析 • 刚体定轴转动的运动分析 • 刚体定轴转动的习题解析 • 刚体定轴转动的实际应用案例
PART 03
刚体定轴转动的运动分析
刚体的角速度与角加速度
角速度
描述刚体转动快慢的物理量，用ω表 示。单位是弧度/秒（rad/s）。
角加速度
描述刚体转动角速度变化快慢的物理 量，用α表示。单
转动轨迹
刚体转动的路径是一个圆或椭圆，其形 状取决于刚体的质量和转动轴的位置。
PART 04
刚体定轴转动的习题解析
简单习题解析
题目
一个质量为m，半径为R的 圆盘，以边缘某点为轴， 以角速度ω做定轴转动， 求圆盘的动量。
解析
根据动量的定义，圆盘的 动量P=mv=mrω，其中r 是质点到转动轴的距离， m是质量，v是线速度，ω 是角速度。
题目
一质量为m的杆，长度为l， 一端固定，绕另一端点做 定轴转动，求杆的转动惯 量。
航空航天器姿态调整中的应用
01
02
03
卫星轨道调整
卫星在轨道调整过程中， 通过刚体定轴转动实现姿 态的调整，从而改变推进 力的方向。
飞机飞行控制
飞机飞行过程中，通过刚 体定轴转动实现舵面的操 纵，从而调整飞行姿态和 方向。
火箭发射
火箭发射过程中，通过刚 体定轴转动实现发动机的 转向和稳定。
(完整word版)转动惯量实验讲义
转动惯量的测定转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度.它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。
对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。
转动惯量的测定,在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。
测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量.实验目的1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法2、观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平行轴定理3、学会使用通用电脑计时器测量时间实验仪器ZKY —ZS 转动惯量实验仪，ZKY-J1通用电脑记时器实验原理1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理根据刚体的定轴转动定律：βJ M = （1）只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J 。
设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J 1，未加砝码时，在摩擦阻力矩M μ的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即：11βμJ M =- （2） 将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上,并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。
若砝码的加速度为a,则细线所受张力为T= m (g － a)。
若此时实验台的角加速度为β2，则有a= Rβ2。
细线施加给实验台的力矩为T R= m (g －Rβ2) R,此时有：212)(ββμJ M R R g m =-- （3）将（2）、(3）两式联立消去M μ后,可得：1221)(βββ--=R g mR J (4） 同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J 2，加砝码前后的角加速度分别为β3与β4，则有：3442)(βββ--=R g mR J (5） 由转动惯量的迭加原理可知,被测试件的转动惯量J 3为：123J J J -= (6） 测得R 、m 及β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转动惯量。
大学物理-力矩、转动定律、转动惯量
gh
yLdy
1 2
p0 Lh 2
1 6
gLh2
h
y
o
L
dA
x
dy
y
Q
dy
x
二、转动定律
质点的动力学问题 刚体的动力学问题
F ma
M
设刚体有n个质点组成，
先取任一质点i来研究
mi ri
外力：Fi 内力：Fi
由牛 顿第二定律得： Fi Fi miai
切线方向：Fit Fit miait
X
dV r2dZ (R2 Z 2 )dZ
其质量：dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r 2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
Z r dZ
O
R
Y
J dJ
X
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ
比较
牛顿第二定律 F m a
转动定律
M J
三、转动惯量 J miri2 (4 9)
对质量连续分布的刚体 J r 2dm (4 11)
转动惯量的单位：kg m2
影响转动惯量得因素
注意：
（1）、刚体的质量（材料） （2）、刚体质量的分布
质点也有转动惯量
J mr2
（3）、转轴的位置
对质量不连续分布的刚体 J m 2
R 2
8 R5 2 mR2
m 4 R3
3
15
5
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z x
解：方法二 在球上取一体积元
dV
dV dxdydz
力矩转动定律转动惯量ppt
物理学教程 （第二版）
* 例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角 = 5o.
有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿
斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.
试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角
速度.
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m FN
l2
l oP
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
圆盘绕圆心转动
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
物理学教程 （第二版）
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
且在转动平面内,
矢.
r
为由点O 到力的作用点 P 的径 M
F
对转轴Z
的力矩
M rF
M Frsin Fd
例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω0绕
通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相
同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压
力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正
压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试
问经过多长时间圆盘才停止转动?
《大学物理》刚体的转动练习题及答案
《大学物理》刚体的转动练习题及答案一、简答题：1、为什么刚体绕定轴转动的动能的改变只与外力矩有关，而与内力矩无关?答案：对刚体，由于刚体内各质点间相对位移始终为零，内力总是成对出现，每对内力大小相等，方向相反，在一直线上，故内力矩做功之和一定为零，故刚体绕定轴转动的动能的改变与内力矩无关。
2、简述刚体定轴转动的角动量守恒定律并给出其数学表达式?答案：刚体定轴转动时，若所受合外力矩为零或不受外力矩，则刚体的角动量保持不变。
3、下列物理量中，哪些量与原点的选择有关：(1) 速度，(2) 位矢，(3) 位移，(4) 角动量，(5) 动量 答案：与原点有关的物理量为：位矢，角动量。
4、质量、半径相同的两个圆盘，第一个质量分布均匀，第二个大部分质量分布在盘边缘，当它们以相同的角速度绕通过盘中心的轴转动时，哪个盘的转动动能大?为什么?答案：第二个盘的动能大。
因为由刚体转动动能221ωJ E k =知，在角速度一样时，转动惯量大的动能大；又因为2121mR J =，22mR J ≈，第二个转动惯量较大，所以转动动能较大。
5、在某一瞬时，刚体在一外力矩作用下，其角速度可以为零吗? 其角加速度可以为零吗?答案：由刚体转动定律αJ M =，知，在某一瞬时，刚体在一外力矩作用下，其角加速度不可以为零；由dtd ωα=，有⎰+=t dt 00αωω，可知其角速度此时可以为零。
6、写出刚体绕定轴转动的转动定律文字表达与数学表达式?答案：刚体绕定轴转动的转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
表达式为：αJ M =。
7、简述刚体定轴转动时的特点有哪些, 常用哪些物理量来描述刚体的转动?答案：刚体定轴转动的特点：转轴相对参照系固定，刚体内所有点都具有相同的角位移、角速度、角加速度；质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。
刚体的转动通常用转动惯量J 、力矩M 、角加速度α、角动量L 等来描述。
物理学教学课件-3-2 转动定律,转动惯量
由角加速度的定义
ω dω dθ
3g sinθ 2l
ωdω3gsinθdθ 2l
m,l FN θ mg
O
0ωdω 3gsiθ ndθ
0
0 2l
积分得 ω 3g(1cosθ) l
量。求：电风扇电机的电磁力矩。
解. 设电磁力矩、摩擦力矩分别为 M 、M f 由转动定律有
MMf I1
(1)
1 为启动角加速度，当电风扇达到额定转速时
0 1t1
(2)
电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，
设电风扇关闭后的角加速度为 2 ，于是
Mf I2
(3)
当电风扇达到停止时
0 2t2 0 (4)
T2
(2m 2r 2 I )m 2g (m1 m 2 )r 2 I
解法2 将m1 和m2与滑轮作一个整体 转动惯量
Im 1r2m 2r2I
合外力矩
M(m1m2)gr
所以
(m1 m2)rg
(m1 m2)r2 I
例5 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
0
2
2
2.平行轴定理
质量为m的刚体，
如果对其质心轴的转动 惯量为 I C ，则对任一与
该轴平行，相距为 d的
转轴的转动惯量
IO ICmd2
d
C mO
I Ic md2
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
IP
1mR2 2
mR2
质量为m，长为L的细棒绕其一端的I
Ic
1 12
m L2
O1
O1’
I
Ic
2.2 力矩 转动定律 转动惯量
二、转动定律和转动惯量 由牛顿第二定律得: 如图，由牛顿第二定律得
Fi + f i = ∆m i a i
分解可得: 分解可得 切向: 切向 Fi sin θ i + f i sin φ i = ∆m i a it = ∆m i riα 法向: 法向 − ( Fi cos θ i + f i cos φ i ) = ∆m i a in = ∆m i riω 2 在切向表达式中的每一项都乘以r 在切向表达式中的每一项都乘以 i得:
一、力矩 力矩的定义: 力矩的定义 M = r × F
y
O
r Fθ
力矩的计算: 力矩的计算 外力在垂直于轴的转动平面内: ① 外力在垂直于轴的转动平面内 M = r × F 外力不在垂直于轴的转动平面内， ② 外力不在垂直于轴的转动平面内，将力分 解平行与轴的力 F// ，和垂直于轴的力 F⊥，则:
J = ∫ r dm
2
A L
dx
B X
=∫
1 l 2 1 − l 2
1 2 2 λx dx = ml 12
2
l 2
(2)建立图示坐标系，取为分元 ，则: 建立图示坐标系，取为分元dx，
1 2 J = ∫ r dm = ∫ λx dx = ml 0 3
信息学院 物理教研室
例题: 质量为m， 的细圆环， 例题 质量为 ，半径为R 的细圆环，转轴过环心 且垂直于环面，求转动惯量。 且垂直于环面，求转动惯量。 取图示微分元dm， 解: 取图示微分元 ，则: y
信息学院 物理教研室
转动惯量 数学表达式: 数学表达式 J = ∑ ∆mi ri2
单位: 单位 kg ⋅ m
2
物理意义---描述刚体在转动中的惯性大小的 物理意义 描述刚体在转动中的惯性大小的 量度，是维持转动状态不变的原因。 量度，是维持转动状态不变的原因。决定转动惯 量大小的因素: 量大小的因素 刚体的质量 转轴的位置 刚体的质量分布 质量、 位置、 刚体的质量、转轴的位置、刚体的质量分布 的计算: 转动惯量J 的计算 刚体质量不连续: ① 刚体质量不连续 J = ∑ m i ri2 刚体质量连续分布: ② 刚体质量连续分布 J = r 2 dm = r 2 ρdv ∫ ∫
大学物理-力矩-转动定律-转动惯量
F
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
mg T ma
(2) Tr J
a r
两者区别?
rO
F T
T
J
mgr mr 2
98 0.2 0.5 10 0.22
i
J r2dm
9
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：
在圆规迹切线方向
mk ak mk rk Fk fk
两边乘以rk，并对整个刚体求和
第二章 动力学基础
z
o
vk
mk
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
k
k
k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
17
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四、转动定律的应用举例
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘， 在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。
转动定律和转动惯量
实验一转动定律和转动惯量平动和转动是物体的两种基本的机械运动。
转动定律是描述物体定轴转动的基本定律，转动惯量是反映物体改变转动状态的惰性程度。
转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表明刚体特性的一个物理量。
刚体转动惯量除了与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度分布）有关。
如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定转轴的转动惯量。
对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体，计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定，例如机械部件、电动机转子和枪炮的弹丸等。
【一】实验目的1.加深对转动惯量的感性认识和对转动定律的理解。
2.用扭摆测定几种不同形状物体的转动惯量和弹簧的扭转常数，并与理论值进行比较。
3.用实验方法学习平行轴定理。
4.巩固用作图法处理实验数据。
【二】实验原理扭摆的构造如图（1）所示，在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。
在轴的上方可以装上各种待测物体。
垂直轴与支座间装有轴承，以降低磨擦力矩。
3为水平仪，用来调整系统平衡。
将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。
根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度θ成正比，即：θKM-=（l）式中，K为弹簧的扭转常数。
根据转动定律有：图（1）图（1）βI M =式中，I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由上式得：IM=β （2） 令2KIω=，忽略轴承的磨擦阻力矩，由（1）、（2）得： θωθθβ222-=-==I Kdtd上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比，且方向相反。
此方程的解为：)cos(φωθ+=t A式中，A 振动的角振幅，φ为初相位角，ω为角速度。
此谐振动的周期为：22T πω==可得：224πT K I = （3）由（3）可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I 和K 中任何一个量己知时即可计算出另一个量。
转动惯量讲义
实验34 刚体转动惯量的测量刚体是在外力作用下形状、大小皆不变的物体。
通常将受外力作用形变甚微的物体视为刚体。
转动惯量是表征转动刚体惯性大小的物理量是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数它与刚体的质量分布、形状和转轴的位置等都有关系。
对于几何形状较规则、质量分布均匀的刚体可以通过数学方法计算出绕给定转动轴的转动惯量但形状较复杂、质量分布不均匀的刚体用数学方法计算其转动惯量是非常困难的通常采用实验方法来测定。
转动惯量的测定对于机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究具有十分重要的意义如钟表摆轮、精密电表动圈的体形设计、枪炮的弹丸、电机的转子、机器零件、导弹和卫星的发射等都不能忽视转动惯量的大小因此测定物体的转动惯量具有重要的实际意义。
转动惯量不能直接测量一般进行参量换测即设计一种装置使待测刚体以一定形式运动通过表征这种运动特征物理量与转动惯量的关系进行转换测量。
对于不同形状的刚体设计了不同的测量方法和仪器。
测量转动惯量有多种方法如落体法转动惯量仪、双线摆法、复摆法、扭摆法三线摆、金属杆扭摆、单悬丝扭摆、双悬丝扭摆、蜗簧扭摆等。
本实验采用扭摆法测量物体的转动惯量利用蜗簧扭摆使物体作扭转摆动通过对摆动周期及其它参数的测定计算出物体的转动惯量。
【预习提示】1. 什么是物体的转动惯量描述物体定轴转动的基本定律是什么2. 扭摆法测量转动惯量的基本原理是什么3. 采用扭摆法测量转动惯量需要测量哪些相关物理量各物理量如何测量4. 什么的物体转动惯量的平行轴定理实验中采用什么方法来验证平行轴定理【实验目的】1. 熟悉扭摆的构造和调整使用方法。
2. 掌握扭摆法测量转动惯量的基本原理测定扭摆的扭转常数和不同形状物体的转动惯量。
3. 了解转动惯量的平行轴定理理解“对称法”证明平行轴定理的实验思想和实验方法。
4. 掌握长度、质量、时间 周期 的基本测量方法。
【实验原理】1基本原理扭摆的基本构造如图3-4-1所示在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧 蜗簧 2用以产生恢复力矩。
转动惯量
不确定度与相对误差
根据公式
0.3 10 -3 kg m 2
得到圆盘的相对不确定度为：6.2% 根据公式：
4.9
得到圆盘的不确定度为： 10-3 kg m2 0.3
圆盘的转动惯量最终表达式为： 0.3） 10 -3 kg m 2 （4.9
圆环转动惯量的理论值与相对误差
根据公式
下
O
上
H0
R
三线摆示意图
实验原理
1 下盘
(m0 m) gRr 2 (2) T1 2 下盘+圆环 J1 2 4 H gRr J J1 J 0 2 [(m m0 )T12 m0T02 ] (3) 3 圆环 4 H m 2 (4) J 理论 ( R12 R2 ) 2
O' x C
J oo ' J c mx ,这一结论称为转动惯量的平行轴定理。
2
若把质量、半径均为m′和R'的相同
m
平行轴定理
R
x
o
x
圆柱体，对称地放在下盘上，如果圆柱
中心到下盘中心的距离为
O
x（见图），
x
测其周期为Tx.则每个圆柱体绕中心轴OO′转动惯量为:
1 (m0 2m ') gRr 2 Jx Tx J 0 2 2 4 H
(条件：θ≤5°，空气阻力不计，悬线伸长不计 H ，圆环与下盘 H0 中心重合）
m0 gRr 2 J0 T0 2 4 H 0
(1)
因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕某 轴的转动惯量。
实验原理
二、验证转动惯量的平行轴定律
若质量为m的物体绕过其质心轴的转动惯量为 J c，当转轴平 行移动距离x时（如图所示），则此物体对新轴的转动惯量为
力学10-转动定律,转动惯量,刚体绕定轴转动中的功、能量、功能关系
切线方向 Fi fi miai
Fi sin fi sin miri
两边同乘 ri
Firi sin firi sin miri2
O
ri
fi
mi
Fi
对整个刚体 Firi sin firi sin ( miri2)
R3
m 2π R
mR2
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dS 2πrdr
dm dS
π
m R2
2π
rdr
2mr R2
dr
J
m r2dm
0
R 0
2m R2
r
3dr
m 2
R2
2020/2/2
4
dl m
R O
Rm dr
r O
第五章 刚体力学基础 动 量矩
(3) J 与转轴的位置有关 z
下加速运动。开始时系统处于静止。
求 物体下降距离为s时，滑轮的ω和β。
解一 转动定律
+
T1
R
M 转动： m 平动：
TR J
mg T
1 2
MR2
ma
a
R
2mg (2m M
)R
（常量）
T M
T' Mg
m mg
2
02
2
2
s R
2 s
R
2 R
mgs 2m M
受力图
T1
m1 g
转动惯量 转动定律
0 5 π rad s 1 , t = 30 s 时， 0 . 解 （1）
设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动
0
t 05π 30 rad s
1
π 6
rad s
2
飞轮 30 s 内转过的角度 2 2 02 (5 π ) 75 π rad 2 2 ( π 6)
d dt
d
2
d dt
a
an r
d t
2
v r et
a t r a n r
2
at
et v
2 a r et r en
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· -1， 因 min 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 r ，宽为 d r 的圆环
圆环质量
dm 2π rdr
RR
O
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr
2 3
而
m π R
(A)增大 (B)不变 (C)减小 (D)无法确定 分析： （1）将其分为两个部分,分别列出运动方程： P T ma (1) TR J 1 ( 2 )
实验4 转动定律和转动惯量--扭摆型
三. 实验仪器
– TH-J型转动惯量测试仪
主机和光电传感器组成
– 扭摆及待测转动惯量的物体
金属载物盘、塑料圆柱、金属圆筒、木球、金 属细杆和金属滑块
– 天平和游标卡尺等
1
3
2
1 垂直轴 2 螺旋弹簧 3 水平仪
TH-J型智能转动惯量实验仪使用
计时 转动 摆动
P1
参量指示 复位
–– –– –– ––
五. 实验步骤
1 调整扭摆底脚螺丝，调节水平 2 装上金属载物盘,调整光电探头,测定摆动周期To(3次,求平均) 将塑料低圆柱体固定在载物盘上,测定摆动周期T1 (3次,求平均) 由公式
K 4
2 2 1
J1' T T
2 0
得到弹簧扭转常数K
3 取下塑料低圆柱，依次换上塑料高圆柱、金属圆筒、圆球、金 属细长杆，测量摆动周期，计算各自的转动惯量，并与理论 比较 4 将两个已称重过的金属滑块对称地放在细杆上，使滑块质心与 转轴的距离分别为5.0，10.0， 15.0，20.0， 25.0厘米，测定摆 动周期，验证平行轴定理 5 用天平测量待测物体的质量（有一些物体质量已测好） 用游标卡尺测量筒（柱）体直径、细杆长度(各测3次)及滑块长 度
5. 按查询键可知每次测量周期（C1C5)，以及多次测量的周期的平 均值CA，及当前的周期数n，如显示“NO”表示无数据
C1 C2
••••••
0.767 .2 0.765
0.766 6. 按自检键：仪器自动依次显示： n =N-1 SC Good 自动复位 P1 2n =N-1
CA
————
7. 按返回键，系统无条件回到最初状态，清除所有执行数据
转动惯量
根据转动定律：M = Jβ J 为 转动惯量，β为角加速度 (令ω2 = K/J) d 2 K 2 2 dt J 此方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速 度与角位移成正比，且方向相反。此方程的解为： 式中，A为振动的角振幅，φ为初相位角，ω为角速度。 此谐振动的周期为：
刚体的转动惯量专题
第 1 页 共 127 页刚体的转动惯量专题1.刚体的转动惯量的三要素刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量的定义式2i iI m r =∑可看出，刚体的转动惯量是与下列三个因素有关的.（1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大.（2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如，质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大.（3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小.第 2 页共127 页第 3 页 共 127 页刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置.2.转动惯量的普遍公式 （1）转动惯量的定义式2i iI m r =∑ ·········○1可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.第 4 页 共 127 页d d d d d d m x m S m Vλσρ===于是222222d d d d d d lSVI r m r xI r m r SI r m r Vλσρ======⎰⎰⎰⎰⎰⎰一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分. （2）刚体对某轴的转动惯量刚体对z 轴的转动惯量()()2222d d zIr z m x y m=-=+⎰⎰ (2)第 5 页 共 127 页刚体对x 轴的转动惯量()()2222d d xIr x m y z m=-=+⎰⎰ (2)刚体对y 轴的转动惯量()()2222d d yIr y m x z m=-=+⎰⎰ (2)仿照刚体对某轴的转动惯量来定义刚体对于某点的转动惯量：刚体中各质点的质量各自与其至某（参考）点的距离的平方的乘积，所得总和称为刚体对该点的转动惯量. （3）刚体对某点的转动惯量刚体对坐标原点O 的转动惯量可表示为第 6 页 共 127 页()222d OIx y z m=++⎰ ·········○3 由式○2、○3，得()12Ox y z II I I =++ ·········○4即，质点系（刚体）对于坐标原点的转动惯量（或极转动惯量），等于它对于三个坐标轴的转动惯量之和的一半.3.刚体的平行轴定理（许泰乃尔定理）2C I I md =+ ·········○5即，刚体对于任何一轴的转动惯量，等于刚体对于通过它的质心并与该轴平行的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.注意：平行轴定理与刚体对质心轴的转动惯量紧密联系在一起，应用此定理的参考点是刚体对质心轴的转动惯量.根据平行轴定理，可得到如下关系：（1）刚体绕通过质心的轴的转动惯量小于绕另一平行轴的转动惯量，二者之差为2md.（2）设有两条平行轴'PP与'QQ均不通过质心C. 如果'PP比'QQ靠第7 页共127 页近C，则刚体绕'PP轴的转动惯量小于绕'QQ轴的转动惯量（如图7.52(a)所示）.Q P·C ·CQ′P′(a) (b)图7.52 平行轴定理的应用 (a) 在不同圆上；(b)同一圆上第8 页共127 页第 9 页 共 127 页（3）如果有一簇与质心C 的距离相等的平行轴，那么，刚体绕这些轴的转动惯量均相等（如图7.52(b)所示）.4.刚体的垂直轴定理（正交轴定理、薄片定理）设想刚体为平面薄片，即厚度可以略去不计，因而刚体为平面图形.z x yI I I =+ ·········○6即，平面图形对于图形内的两条正交轴的转动惯量之和，等于这第 10 页 共 127 页个图形对过二轴交点．．．．且垂直．．于图形平面的那条转轴的转动惯量. 注意：正交轴定理对于有限厚度的板不成立.5.转动惯量的叠加原理实际上，有些物体是由几种形状不同的刚体的组合. 它对于某轴的转动惯量，可视为各部分对于同一转轴的转动惯量之和，因而，123I I I I =+++ ·········○7即，由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量，等于各部分对同轴的转动惯量之和. 此即转动惯量的叠加原理．．．．.叠加原理是根据加法的组合定则，把属于各部分的项分别相加，然后求和而得.同理，设有一物体挖去若干部分，则剩余部分的转动惯量，等于原物体的转动惯量，减去挖去部分的转动惯量.[例题1]在质量为m，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.第11 页共127 页第 12 页 共 127 页图7.53 转动惯量的叠加原理的应用[解] 大圆盘对过圆盘中心O 且与盘面垂直的轴线（以下简称O 轴）的转动惯量 为 212I mR. 由于对称放置，两个小圆盘对O 轴的转动惯量相等，设第 13 页 共 127 页为'I ，圆盘质量的面密度2=πm Rσ，根据平行轴定理，有 ()()242222211'ππ2224R mr I r r r mrR σσ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭设挖去两个小圆盘后，剩余部分对O 轴的转动惯量为''I442222221112"2'222r r I I I mR m mr m R r R R ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭6.转动惯量的标度变换法转动惯量的标度变换法．．．．．是计算转动惯量的一种简便的方法. 由于在几何上具有相似性的均匀物体，它们对相应转轴的转动惯量的表达式也具有相似性，在根据转动惯量的平行轴定理、叠加原理等，确定彼此关系，比较系数，从而获得物体对该轴的转动惯量. 故这种方法可以不用积分即能求得某些特殊形状的物体的转动惯量.[例题2] 求均匀立方体绕通过面心的中心轴的转动惯量I.C第14 页共127 页O′O图7.54 标度变换法用于计算立方体对通过面心的中心轴的转动惯量[解]令立方体的总质量为m，边长为l，设均匀立方体绕通第15 页共127 页第 16 页 共 127 页过面心的中心轴的转动惯量为2C I kml =其中，系数k 是无量纲的量. 因为一切立方体在几何上都是相似的，它们应该具有同样的k . 中心轴到棱边的距离为d =根据平行轴定理，立方体绕棱边的转动惯量为22212D I kml m k ml ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭现将立方体等分为8个小立方体，每个小立方体的质量为8m ，边长为2l ，绕棱边的转动惯量为第 17 页 共 127 页22'111282322D m l I k k ml ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8个立方体绕棱边的转动惯量之和应等于大立方体绕中心轴的转动惯量，即C '8D I I = 比较系数，得11322k k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭于是，求得16k =所以，2C 16I ml =下面介绍利用定积分法计算质量均匀分布、图形具有对称性．．．．．．．．．．．．．．的刚体．．．．.．．．对于一些特殊的转轴的转动惯量匀质细杆[例题3] 质量为m、长为l的匀质细杆，绕其质心且垂直于杆的轴旋转，杆的转动惯量是多少？[解] 设杆的线密度为λ，则m lλ=. 选择如图所示的坐标轴，杆的质心位于原点，取一个长度为d x、与质心的距离为x的微元，第18 页共127 页第 19 页 共 127 页则l OxOxd x图7.55 匀质细杆对质心轴的转动惯量22d d d I x m x x λ== /2232/211d 1212l O l I x x l ml λλ-===⎰根据平行轴定理，杆对通过其一端且垂直于杆的轴的转动惯量为第 20 页 共 127 页222211121243O l I I m ml ml ml ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭当然用定积分也可得相同的结果.232011d 33l I x x l ml λλ===⎰匀质正方形薄板[例题4] 求质量为m 、边长为a 的匀质正方形薄板对其边为轴的转动惯量.[解] 匀质薄板可视为细长条的组合. 根据叠加原理可得对刚体力学一边的转动惯量.y aaOdxx图 7.56 匀质正方形薄板对一边为轴的转动惯量1 1 I x mi a 2 ma 2 3 3第 21 页 共 127 页刚体力学同理，可得1 1 I y mi a 2 ma 2 3 3或利用定积分，a 1 1 I y x 2 adx a 4 ma 2 0 3 3其中， am 为面密度.2对 z 轴的转动惯量Iz Ix I y 2 ma 2 3对质心轴的转动惯量 2 2 2 1 2 1 2 IC I z m 2 a 3 ma 2 ma 6 ma 2第 22 页 共 127 页刚体力学对以对角线为轴的转动惯量Ix' I y' 1 1 1 1 I C ma 2 ma 2 2 2 6 12当然，对 z 轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.a a a a 2 2 I z x 2 y 2 dxdy dy x 2 dx dx y 2dy a 4 ma 2 0 0 0 0 3 3匀质矩形薄板 [例题 5] 求质量为 m 、长和宽分别为 a 和 b 的匀质矩形薄板对第 23 页 共 127 页刚体力学其边为轴的转动惯量.[解] 方法同上，不难得到z y a bOx图 7.57 匀质矩形薄板对一边为轴的转动惯量第 24 页 共 127 页刚体力学1 I x mb 2 , 31 I y ma 2 3由垂直轴定理， 可以进一步求得矩形薄板对通过顶点且垂直于板 平面的轴的转动惯量（如图 7.57）为1 I z I x I y m a 2 b2 3当然，对 z 轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.b a a b 1 1 I z x 2 y 2 dxdy dy x 2 dx dx y 2 dy a 4 b 4 m a 2 b 2 0 0 0 0 3 3矩形薄板对通过质心且垂直于板平面的轴的转动惯量为第 25 页 共 127 页刚体力学 a 2 b2 1 I ' m a 2 b2 m 3 2 1 m a 2 b2 12 2b/2b/2a· O1·O·O2ab/2b/2图 7.58 匀质矩形薄板对过中心且垂直于板面的轴的转动惯量另解：第 26 页 共 127 页刚体力学从量纲上考虑，所求的转动惯量可表示为IO c1ma2 c2mab c3mb2其中， c i 1, 2,3 为待定系数.i将 a 和 b 转置后，IO c1mb2 c2mba c3ma2但 I 不会因为 a 和 b 转置而发生变化，比较系数，有Oc1 c2则I O c1m a 2 b 2 c2 mba利用匀质矩形板可等分为两个小匀质矩形板的特点，如图 7.54第 27 页 共 127 页刚体力学所示，有I O1 I O 22 m 2 b m b c1 a c2 a 2 2 2 2 2 2 mb mb I O I O1 I O 2 2 4 2 4 b 2 I O1 m 4 2 2 b b b c1m a 2 c2 ma m 2 2 4 2比较系数，有c1 1 c1 , 4 16 1 c2 c2 2得，c1 1 , 12 c2 0因而，第 28 页 共 127 页刚体力学IO 1 m a2 b2 12匀质长方体 [例题 6] 求质量为 m 、长、宽和高分别为 a 、b 和 c 的匀质长方 体对其棱边为轴的转动惯量.第 29 页 共 127 页刚体力学zP′O a y Pcx b图 7.59 匀质长方体对其棱边为轴的转动惯量[解] 由叠加原理，不难得到第 30 页 共 127 页刚体力学以棱边 c 为轴的转动惯量1 1 I z mi a 2 b 2 m a 2 b 2 3 3同理可得，以棱边 a 为轴的转动惯量1 1 I x mi b 2 c 2 m b 2 c 2 3 3以棱边 b 为轴的转动惯量1 1 I y mi a 2 c 2 m a 2 c 2 3 3当然，对 z 轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.第 31 页 共 127 页刚体力学I z x 2 y 2 dxdydz dz dy x 2dx dz dx y 2dy0 0 0 0 0 0 c b a c a b1 1 a 3bc ab3c 3 3 1 1 ma 2 mb 2 3 3 1 m a 2 b2 3对 x 轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.I x y 2 z 2 dxdydz dx dz y 2 d y d x d y z 2 d z0 0 0 0 0 0 a c b a b c1 m b2 c2 3对 x 轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.I y x 2 z 2 dxdydz d z d y x 2 d x d x d y z 2 dz0 0 0 0 0 0 c b a a b c1 m a2 c2 3第 32 页 共 127 页刚体力学根据平行轴定理，对通过长方体面心为轴的转动惯量I PP ' a 2 b2 Iz m 2 1 1 1 m a 2 b2 m a 2 b2 m a 2 b2 3 4 12 2如果将上述长方体换成边长为 a 的立方体，则绕其棱边的转动惯 量均相等，且I 2 2 ma 3对通过正方体面心为轴的转动惯量I PP ' 1 ma 2 6第 33 页 共 127 页刚体力学余此类推.对于特殊刚体，线（线段）面（矩形）体（长方体）第 34 页 共 127 页刚体力学匀质细圆环 [例题 7] 求质量为 m 、半径为 R 的匀质细圆环对通过中心并 与环面垂直的轴的转动惯量.第 35 页 共 127 页刚体力学R·O图 7.60 匀质细圆环对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量[解] 细圆环的质量可以认为全部分布在半径为 R 的圆周上， 即在距离中心小于或大于 R 的各处，质量均为零，所以转动惯量 为I z mi R2 R2 mi mR2第 36 页 共 127 页刚体力学或I z R 2 dm mR 2又由垂直轴定理，可以得到其对直径为转轴的转动惯量为ID 1 mR 2 2再利用平行轴定理， 可得细圆环对其任意切线为转轴的转动惯量 为It 1 3 mR 2 mR 2 mR 2 2 2.第 37 页 共 127 页刚体力学O2dθO · RθxO1图 7.61 匀质细圆环对任意切线为轴的转动惯量m 2 πR其中， 为细圆环的线密度，则dm Rd细圆环对切线的转动惯量第 38 页 共 127 页刚体力学I 2π0 R R cos Rd2π 02 R3 1 2 cos cos d2 R3 2π+π 3π R3 3 mR 2 2匀质中空薄圆盘 [例题 8] 求质量为 m 、内半径为 R 、外半径为 R 的匀质中空薄1 2圆盘对通过中心并与盘面垂直的轴的转动惯量.第 39 页 共 127 页刚体力学dr r· OR1 R2图 7.62 匀质中空薄圆盘对通过中心并与盘面垂直的轴的转动 惯量[解] 匀质中空薄圆盘可视为无限多个同心的细圆环的组合，第 40 页 共 127 页第 41 页 共 127 页所以，根据叠加原理可以得到该中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量. 中空薄圆盘的质量为()2221πm R R σ=-其中，σ为中空薄圆盘的面密度，则d 2πd m r r σ=⋅中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量()()()()21212344212222212122212πd 2πd 1 π21 π21 2R O R R R I r r rr rR R R R R R m R R σσσσ=⋅==-=-+=+⎰⎰第 42 页 共 127 页当然，中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.()22112π233222101d d d d 2πd 2R R O R R I r r r r r r r m R R σθσθσ====+⎰⎰⎰⎰⎰匀质薄圆盘[例题9] 求质量为m 、半径为R 的匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量.图7.63 匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量[解] 匀质薄圆盘可视为无限多个同心的细圆环的组合，所以，根据叠加原理可以得到该厚圆环对通过中心且垂直于环面的第43 页共127 页第 44 页 共 127 页转轴的转动惯量. 薄圆盘的质量为2πm R σ=其中，σ为薄圆盘的面密度，则d 2πd m r rσ=⋅薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量23420112πd 2πd π22RRO I r r r r r R mR σσσ=⋅===⎰⎰当然，薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.2π233201d d d d 2πd 2RRO I r r r r r r r mR σθσθσ====⎰⎰⎰⎰⎰第 45 页 共 127 页可见，薄圆盘是中空圆盘的特例.同样，根据垂直轴定理，得其对直径为转轴的转动惯量为214D I mR =再利用平行轴定理，可得其对切线为转轴的转动惯量为222t 1544I mR mR mR =+=匀质薄壁圆筒[例题10] 求质量为m 、半径为R 的匀质薄壁圆筒对中心轴线第 46 页 共 127 页的转动惯量.[解] 匀质薄壁圆筒可视为半径相同，圆心在同一条直线上且各个环面均垂直于该直线的一系列细圆环的组合. 根据叠加原理，由圆环对该直线的转动惯量较易求出此圆筒对该直线为转轴的转动惯量22O i I m R mR ==∑图7.64 匀质薄壁圆筒对中心轴线的转动惯量当然，也可定积分法求解.匀质中空圆柱体[例题11] 求质量为m、内半径为R、外半径为2R的匀质中空圆1第47 页共127 页柱体对中心轴线的转动惯量.图7.65 匀质中空圆柱体对中心轴线的转动惯量[解] 匀质中空圆柱体可视圆心在同一条直线上且环面均垂第48 页共127 页第 49 页 共 127 页直于该直线的一系列中空圆盘的组合. 根据叠加原理，由中空圆盘对该直线的转动惯量较易求出此中空圆柱体对该直线为转轴的转动惯量()()22222121O i I m R R m R R =-=-∑当然，也可定积分法求解.()2221πm R R Lρ=-其中，ρ为体密度.d 2πd m rL rρ=⋅第 50 页 共 127 页()()()()21212344212222212122212πd 2πd 1 π21 π21 2R O R R R I r rL rL r rL R R L R R R R m R R ρρρρ=⋅==-=-+=+⎰⎰匀质实心圆柱体[例题12] 求质量为m 、半径为R 的匀质实心圆柱体对中心轴线的转动惯量.。