高二数学下学期限时训练 4
高二数学限时训练(单调性、极值、最值)
高二数学限时训练〔单调性、极值、最值〕1、函数xx y 142+=的单调递增区间是________________________________ 2、假设函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，那么实数m 的取值范围是_______________ 3、函数3223y x x a =-+的极大值是6，那么实数a 等于___________________4、函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，那么m =_______；n =_______．5、设函数2()ln(1)f x x a x =++有两个极值点，那么实数a 的取值范围是______________．6、函数3223125y x x x =--+在区间[0,3]上最大值与最小值分别是____________、_______________7、函数32()39f x x x x a =-+++〔a 为常数〕，在区间[2,2]-上有最大值20，那么此函数在区间[2,2]-上的最小值为_________________8、函数()2cos f x x x =+，02x π≤≤的最大值为__________．9、设函数()(0)kx f x xe k =≠．〔1〕求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；〔2〕求函数()f x 的单调区间； 〔3〕假设函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围．10、设1x =与2x =是函数2()ln f x a x bx x =++的两个极值点．〔1〕求a 、b 的值；〔2〕判断1x =，2x =是函数()f x 的极大值还是极小值，并说明理由．11、函数2()ln(1)1xf x a x b x =+-++的图象与直线20x y +-=相切于点(0,)c ． 〔1〕求a 的值；〔2〕求函数()f x 的单调区间和极小值12、设函数xe x xf 221)(=，假设当]2,2[-∈x 时，不等式恒m x f <)(成立，求实数m 的取值范围．。
广西陆川县中学2016-2017学年高二数学下学期课堂限时训练3-30 含答案 精品
陆川中学2015级高二（下）课堂限时训练（4）——2017年3月30日一、选择题1 ．已知随机变量ξ服从正态分布(3,1)N 且(24)0.6826P ≤ξ≤=，则(4)P ξ>=（ ）A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.15852 ．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示:根据上表可得回归直线方程^^0.56y x a =+，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为（ ） A ．70.09kgB ．70.12kgC ．70.55kgD ．71.05kg3 ．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率 （ ）A ．110B ．17C ．14 D ．154 ．甲、乙两人在相同条件下进行射击，甲射中目标的概率为1P ，乙射中目标的概率为2P ，两人各射击1次，那么甲、乙至少有一个射中目标的概率为 （ ）A ．21P P +B ．21P P ⋅C ．211P P -D ．)1)(1(121P P ---5 ．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．26 ．不等式x x x x 22log log +<+的解集是（ ）A ．()1,0B ．()+∞,1C ．()+∞,0D ．()∞+∞-，7 ．已知,,a b c 是正实数，且1a b c ++=，则111a b c++的最小值为 （ ）A ．3B ．6C ．9D ．128 ．已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）A B ．C ．6 D ．6-9 ．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（ ）A ．56 B ．65 C ．45 D ．5410．若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+∞上是减函数，则b 的取值范围是 （ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(2)0f =，当0x >时，有'()()0xf x f x -<成立，则不等式0)(2>⋅x f x 的解集是（ ）A ．),2()0,2(+∞-B ．)2,0()2,( --∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．)2,0()0,2( -12．若点(,)P a b 在函数23ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图像上，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A B ．2C ．D ．8二、填空题13．不等式|3||1|6x x ++-≥的解集是_________.14．不等式2|3||1|3x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则正实数a 的取值范围__________.15．若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______.16．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”.甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为4253、，在操作考试中“合格”的概率依次为1526、，所有考试是否合格，相互之间没有影响.则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率________.陆川中学2015级高二（下）数学（理）课堂限时训练（4）答题卡 姓名__________ 班级_________ 座号_________ 分数_________一、选择题（每小题5分，满分60分）二、填空题13． ；14． ；15． ；16． ． 三、解答题17．苹果iPhone6 Plus 采用的新一代A8芯片为最快芯片，为进一步改革质量稳定销售市场，要对其中某项技术的五项不同指标,,,,A B C D E 进行改革并按顺序一一量化检测。
高二数学限时训练四
高二数学限时训练四班级 姓名1.抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是 （） （A ）（a ,0）（B ）(－a ,0) （C ）（0,a ）（D ）（0,－a ）2. 设a R ∈，则1a >是11a< 的 （ ） （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）54.如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若=，=，c AA =1则下列向量中与相等的向量是（ ）（A ）++-2121（B ）++2121（C ）+--2121 （D ）+-21215．已知32()32f x ax x =++且(1)4f '-=，则实数a 的值等于（ ）A ．193B ．163C ．133 D ．1036．已知函数()ln f x x =，则有（ ）A.)3()()2(f e f f <<B.)3()2()(f f e f <<C.)2()()3(f e f f <<D.)2()3()(f f e f <<7．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）8．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5，-16C19. 若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 右支交于不同的两点，k 的取值范围（ ）（A ）（315,315-）（B ）（315,0） （C ）（0,315-） （D ）（1,315--）10.试在抛物线x y 42-=上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小，则该点坐标为 （ ） （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41（B ）⎪⎭⎫⎝⎛1,41 （C ）()22,2-- （D ）()22,2- 11.已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆离心率e 为 （）（A ）12（B C ）13（D12. 曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ）A ．[)3+∞ B. ()3+∞ C. ()+∞D. [)+∞ 13. 曲线13++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是_____________________ 14. 若f(x)=x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是___15. 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________。
高二数学试题-高二下学期限时训练4解析版
武汉外校高二下学期数学限时训练（4）一、单选题1．已知数列{}n a 为等差数列，485,29a a ==，则{}n a 的公差为（）A ．2B ．6C ．1D ．14【答案】B【详解】根据题意，因为等差数列{}n a 中，485,29a a ==，所以公差8429568844a a d ---===-.故选：B ．2．已知()2,1,3a =- ，()1,4,2b =-- ，()1,3,c λ= ，若a ，b ，c三向量共面，则实数λ等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【详解】若向量a ，b ，c共面，则c xa yb =+ ，其中,R x y ∈，即()()()1,3,2,,3,4,2x x x y y y λ=-+--，所以()()1,3,2,4,32x y x y x y λ=--+-，∴214332 x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解得11 .1x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩故选：A.3．己知m ，n 是实数，则“0mn <”是“曲线221mx ny +=是焦点在x 轴的双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若曲线221mx ny +=是焦点在x 轴的双曲线，则0m >，0n <，所以0mn <，故必要性成立，若1m =-，1n =满足0mn <，但是曲线221y x -=是焦点在y 轴的双曲线，故充分性不成立，所以“0mn <”是“曲线221mx ny +=是焦点在x 轴的双曲线”的必要不充分条件.故选：B 4．已知函数()f x 的部分图象大致如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．3()2f x x x =-+B ．2()1xf x x =+C ．()cos 4f x x x =D ．||()e x x f x =【答案】C【详解】由图象可知()10f <，故BD 不成立；对于A 选项：'2()61f x x =-+，当'()0f x >时，x ⎛∈ ⎝⎭，当'()0f x <时，,x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，不符合图象，故A 不成立；故选：C5．随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注.故宫不仅是世界上现存规模最大､保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”.图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑（wŭ）殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面ABCD 是矩形，5,9BC EF AB AB =∥，四边形ABFE CDEF ､是两个全等的等腰梯形，,EAD FBC 是两个全等的等腰三角形.若10,12,13BC EF AE ===，则该几何体的体积为（）A ．720B ．C ．D ．1080【答案】B 【详解】由5,9BC EF AB AB =∥，10BC =可得18AB =；分别过点,E F 作,,,EP EQ FM FN 垂直于,AB AC ，垂足分别为,,,P Q M N ，如下图所示：又底面ABCD 是矩形，四边形ABFE CDEF ､是两个全等的等腰梯形，,EAD FBC 是两个全等的等腰三角形，所以四边形,MBCN APQD 为全等的矩形，即AP PQ ⊥，又AP EP ⊥，,,EP PQ P EP PQ ⋂=⊂平面PEQ ，所以AP ⊥平面PEQ ；由AP ⊂平面ABCD 可知平面ABCD ⊥平面PEQ ；则三棱柱EPQ FMN -为直三棱柱，四棱锥E APQD -和四棱锥F MBCN -为全等的四棱锥；易知12PM EF ==，3AP =，又13AE =，可得PE EQ =；作EH PQ ⊥，则可得EH 即为四棱锥E APQD -的高，且EH ==所以可得13103E APQD V -=⨯⨯⨯=EPQ FMN -的体积为110122V =⨯⨯=，因此该几何体的体积为2230240E APQD V V -+=⨯故选：B 6．已知ln 21ln 3,,2e 3a b c ===，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】D【详解】根据式子结构，构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，令()0f x '>，则0e x <<，令()0f x '<，得e x >，因此()ln xf x x=在()0,e 单调递增，在[)e,+∞单调递减，而()ln 2ln 4424a f ===，()1ln ee e eb f ===，()ln 333c f ==，因为43e >>，所以()()()e 34f f f >>，即b c a >>.故选：D7．已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为36π，且3l ≤≤，则该正四棱锥体积的最大值是（）A ．18B ．814C ．643D ．27【答案】C【详解】 球的表面积为36π，所以球的半径3R =，设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-，所以22226,2h l a l h ==-，故正四棱锥的体积为42622411214333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-∴=-= ⎪ ⎝⎭⎝'⎪⎭，当3l ≤≤0V '>，当l <≤时，0V '<，即641936l V l ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[3,上单调递增，在上单调递减，当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643.故选：C.8．已知M N ､是抛物线24y x =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足2π3MFN ∠=，弦MN 的中点P 到直线1:16l y =-的距离记为d ，若22||MN d λ=，则λ的最小值为（）AB ．2C ．3D．2【答案】C【详解】抛物线24y x =，即214x y =，则焦点为10,16F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为116y =-，设,MF a NF b ==，由2π3MFN ∠=，可得222222cos MN MF NF MF NF MFN a b ab =+-∠=++，由抛物线定义可得M 到准线的距离为MF ，N 到准线的距离为NF ，由梯形的中位线定理可得()()11+=22d MF NF a b =+，由22MN d λ=，可得()2224a b ab a b λ++=+，即()()()222134111444a b ab a b a b λ+=-≥-=-=++，得3λ≥，当且仅当a b =取最小值3.故选：C 二、多选题9．已知非零实数a ，b ，c 不全相等，则下列说法正确的是（）A ．如果a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c 能构成等差数列B ．如果a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c 不可能构成等比数列C ．如果a ，b ，c 成等比数列，则1a ，1b ，1c 能构成等比数列D ．如果a ，b ，c 成等比数列，则1a ，1b ，1c不可能构成等差数列【答案】BCD【详解】由非零实数a ，b ，c 不全相等，若a ，b ，c 成等差数列，可得b a c b -=-；易知1111,a b b c b a ab c b bc---=-=，要使1a ，1b ，1c 能构成等差数列，需满足ab bc =，即可得a c =，即为a b c ==，即A 错误；若a ，b ，c 成等差数列，可得2a c b +=，则()2221142b a c a c ==++⎛⎫ ⎪⎝⎭，若1a ，1b ，1c 构成等比数列，则()241ac a c =+，需满足a b c ==，这与前提矛盾，因此1a ，1b ，1c不可能构成等比数列；可得B 正确；若a ，b ，c 成等比数列，则1a ，1b ，1c能构成等比数列，例如2,4,8a b c ===时，可知C 正确；由a ，b ，c 成等比数列，可知2b ac =，此时211b ac=，则则1a ，1b ，1c 不可能构成等差数列，即D 正确.故选：BCD10．已知椭圆22:1169x y C +=上有一点12P F F ,、分别为左、右焦点，1212,F PF PF F ∠θ=△的面积为S ，则下列选项正确的是（）A ．若60θ=，则S =B ．若S 9=，则90θ=C ．12PF F △面积的最大值为D ．若12PF F △为钝角三角形，则0,4S ⎛∈ ⎝⎭【答案】ACD【详解】对于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，设11PF r =，22PF r =，12F PF θ∠=，则122221212242cos r r a c r r r r θ+=⎧⎨=+-⎩，由此可得21221cos b r r θ=+…①，所以12PF F △的面积22212112sin sin sin tan 221cos 1cos 2b S r r b b θθθθθθ==⋅=⋅=++.对于选项A ：若60θ=，则9tan 30S == ，故A 正确；对于选项B ：由①知222121221cos 2r r b r r a θ+⎛⎫=≤= ⎪+⎝⎭（当且仅当12r r =即点P 是短轴端点时取等号），所以2221cos 18b a θ≥-=，因此θ不可能是90 ，故B 错误；对于选项C ：当P 为短轴的端点时，12PF F △面积的最大值为122S c b bc =⋅⋅==，故C 正确.对于选项D ：由以上分析可知，θ不可能是钝角，由对称性不妨设12PF F ∠是钝角.先考虑临界情况，当1290PF F ∠=时，易得94P y =，此时1212P P S F F y c y =⋅=⋅=当12PF F ∠是钝角时0S <D 正确；故选：ACD.11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个实数0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，0x 为函数的不动点.现新定义：若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点.设函数()112e e x x f x x x a +--=++++，若()f x 在区间()2,1-上存在次不动点，则a 的取值可以是（）A ．1-B ．22e e 4-++C ．22e e 3----D ．22e e 1----【答案】AD【详解】根据题意，若()f x 在区间()2,1-上存在次不动点，则()f x x =-在区间()2,1-上有解，即112e e x x x x a x +--++++=-，即()()211e e11x x x a -+++++=-有解，令1x t +=，(1,2)t ∈-，则21e e t t a t --+=++，令函数2()e e t t g t t -=++，()e e 2t t g t t -'=-+且单调递增，当(0,2)t ∈时，()0g t '>，所以()g t 在(0,2)上单调递增，()22()e e e e ()t t t t g t t t g t ---=++-=++=，所以()g t 为偶函数，所以()g t 在(1,0)-上单调递减.min ()(0)2g t g ==，22()(2)e e 4g t g -<=++，故)2212,e e 4a -⎡-+∈++⎣，(22e e 3,1a -⎤∈----⎦，则((2222221e e 3,1,e e 1e e 3,1---⎤⎤-∈-------∈----⎦⎦.故选：AD.三、填空题12．已知函数()3sin f x x x =-，若()()220f a f a +->，则实数a 的取值范围为.【答案】(,2)(1,)-∞-+∞ 【详解】函数()3sin f x x x =-的定义域为R ，且()()3sin f x x x f x -=-+=-，所以()3sin f x x x =-为奇函数，又()3cos 0f x x ='->，所以()3sin f x x x =-在R 上单调递增，不等式()()220f a f a +->，即()()()22f a f a f a ->-=-，等价于22a a ->-，解得1a >或2a <-，所以实数a 的取值范围为(,2)(1,)-∞-+∞ .故答案为：(,2)(1,)-∞-+∞ 13．已知点P 在圆221x y +=上运动，长度为4的线段MN 在直线34250x y +-=上滑动，则PMN 面积的最小值为．【答案】8【详解】欲求PMN 面积的最小值，由于其底边长一定，故只要求出高最小，圆心(0,0)到直线的距离减去半径即为高的最小值，圆心(0,0)到直线的距离d ，1-，则PMN面积的最小值为141)82⨯⨯=.故答案为：8.14．已知函数()2,0,2ln ,0,x x f x xx x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()224g x x x λ=+-，R λ∈，若关于x 的方程()()f g x λ=有6个解，则λ的取值范围为．【答案】12,4e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】令()g x t =，由函数()f x 的图象可知，方程()f t λ=(λ为常数)最多有3个解，()f t 在(],0-∞上单调递增，当0t >时，()()221ln t f t t -'=，则()f t 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以e t =处取得极大值，即极大值为()2ln e 2e e ef ==，如下图：故结合图象可得20eλ<<，且方程()f t λ=的三个解中最小的解为2log t λ=.又()()2224141g x x x x λλ=+-=+--，在(),1∞--上单调递减，在()1,∞-+上单调递增，所以()g x 最小值为()141g λ-=--，即当41t λ≥--时，()g x t =有2个零点，所以使关于x 的方程()()f g x λ=有6个解，则2log 4120e λλλ>--⎧⎪⎨<<⎪⎩，2log 41λλ>--，即24log 10λλ++>，令()24log 1h λλλ=++，易知()h λ在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以24log 10λλ++>的解集为1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，综上所述，λ的取值范围为12,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：12,4e ⎛⎫⎪⎝⎭.15.已知数列{}n a 和{}n b ，其中{}n a 的前项和为n S ，且22n n a S -=，()2log 2n n b S =+.（1）分别求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记1212n n nb b b T a a a =+++ ，求证：3n T <.解析：（1）当1n =时，1111222a S a a -=-=，所以12a =，2n ≥时，22n n a S -=①，1122n n a S ---=②，①-②得()()11220n n n n a a S S -----=，即()1220n n n a a a ---=，12n n a a -=，所以{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n a =，所以()()1222log 2log 22log 21n n n n b a n +==⋅==+；（2）1212n n n b b b T a a a =+++ ，即12231222n n n T +=+++ ③，112312122n n n T -+=+++ ④，④-③，得111112222n n n n T -+=++- 111122121212n nn -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭=+--111333222n n n n n -++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，因为102n⎛⎫> ⎪⎝⎭，302n n +>，所以3n T <.。
高二数学下学期课堂限时训练(4.13)(2021年整理)
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广西陆川县2016-2017学年高二数学下学期课堂限时训练（4.13）一、选择题1 ．对于实数,x y ,若12,21x y -≤-≤,则21x y -+的最大值为（ )A ．4B ．6C ．8D ．102 ．若随机变量X 服从两点分布,其中()310==X P ,则()23+X E 和()23+X D 的值分别是（ ）A ．4和4B ．4和2C ．2和4D ．2和23 ．设随机变量 ξ服从正态分布 2(,),(0)N μδδ>若 (0)(1)1p p ξξ<+<=，则 μ的值为（ ）A ．1-B ．lC ．12-D ．124 ．已知||x a b -<的解集为{}|24x x <<， 则实数a 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45 ．设某种产品分两道工序生产，第一道工序的次品率为10%,第二道工序的次品率为3%.生产这种产品只要有一道工序出次品就出次品,则该产品的次品率是 （ ）A ．0。
13B ．0。
03C ．0.127D ．0.8736 ．10件产品，其中3件是次品，任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则()E ξ等于( )A ．35B ．815C ．1415D ．17 ．李先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，途中（不绕行）共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为61，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值ξE 是（ )A ．61 B ．1 C ．6656⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ D ．6616⎪⎭⎫⎝⎛⨯8 ．x x n+⎛⎝ ⎫⎭⎪132(*∈N n ）展开式中只有第6项系数最大,则其常数项为( )A ．120B ．210C ．252D ．459 ．若）（（R x x a x a a x ∈+++=-20112011102011)21 ，则20111222011222a a a +++= （ ）A ．0B ．2-C ．1-D ．210．已知()|2||4|f x x x =++-的最小值是n ，则二项式1()n x x-展开式中2x 项的系数为（ ）A ．15B ．15-C ．30D ．30-11．已知实数,x y 满足22111x y+=，则222x y +有 （ ） A ． 最大值322+ B ．最小值322+ C ．最大值42 D ．最小值4212．如图,用12,,K A A 三类不同的元件连成一个系统.当K 正常工作且12,A A 至少有一个正常工作时,系统正常工作。
广东省梅州市蕉岭中学2015-2016学年高二下学期数学(文
蕉岭中学2017届高二数学（文科）限时训练（4）命题人：黄金森 审题人：刘珍2016.314.已知()22cossin 22x x f x =-。
（1）求函数f(x)的最小正周期， （2）若()45,,,,25213f f ππααπβ⎛⎫⎛⎫-=∈=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭β是第三象限角，求()cos αβ-的值。
15.已知()()2sin sin cos f x x x x =+ （1）求函数f(x)的最小正周期；（2）函数f(x)的图象可以由y=sinx 的图象经过怎样的变换得到；（3）画出函数f(x)在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象。
16．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图1所示，则函数()y f x =对应的解析式为（ ）A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭17．已知函数3sin()5y x π=+的图像C ，为了得到函数3sin()5y x π=-的图像，只要将C 上的所有点A . 向右平移5π个长度单位B . 向左平移5π个长度单位 C . 向右平移25π个长度单位 D . 向左平移25π个长度单位18．为了得到函数3sin()3y x π=-的图像，只要把函数3sin()3y x π=+的图像上的点A . 向右平移3π个长度单位B . 向左平移3π个长度单位C . 向右平移23π个长度单位D . 向左平移23π个长度单位19.把函数的cos 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移8π个单位，再把图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍所得到的函数图像的解析式是 。
20.画出函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，并说明它的图像可以右y=sinx 的图像经过怎样的平移伸缩变换得到？21.把函数()sin(2)4f x x π=-（x ∈R ）的图象向右平移8π个单位后得到y=g(x)，则函数y=g(x)（）A．是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数又是偶函数D．不是奇函数又不是偶函数。
2021年高二下学期限时训练04 Word版含答案
2021年高二下学期限时训练04 Word版含答案班级姓名学号成绩1．（本小题满分14分）已知，命题，命题．⑴若命题为真命题，求实数的取值范围；⑵若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围．2．（本小题满分14分）已知函数的最小正周期为．⑴求函数的对称轴方程；⑵设，，求的值．3．（本小题满分16分）设函数.（1）当时，求函数的极大值；（2）若函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围；订正反订正反思：（3）设，当时，求函数的单调减区间．15．（本小题满分14分）已知，命题，命题．⑴若命题为真命题，求实数的取值范围；⑵若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围．【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．【答案解析】⑴⑵或．解析：解：⑴因为命题，令，根据题意，只要时，即可，……4分也就是；……7分⑵由⑴可知，当命题p 为真命题时，， 命题q 为真命题时，，解得 ……11分因为命题为真命题，命题为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假， 当命题p 为真，命题q 为假时，， 当命题p 为假，命题q 为真时，，综上：或． ……14分 【思路点拨】（1）由于命题，令，只要时，即可； （2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，，命题q 为真命题时，，解得a 的取值范围．由于命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，可知：命题p 与命题q 必然一真一假，解出即可． 16．（本小题满分14分）已知函数的最小正周期为． ⑴求函数的对称轴方程； ⑵设，，求的值．【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；两角和与差的余弦函数． 【答案解析】⑴⑵解析 ：解：⑴由条件可知，， ……4分则由为所求对称轴方程； ……7分 ⑵56334(5)cos()sin ,cos352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔==， 因为，所以，，因为，所以 … …11分4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-． ……14分【思路点拨】（1）由周期求得，由，求得对称轴方程．（2）由，, ，可得sinα 的值，可得cosα的值．由，求得cosβ的值，可得sinβ 的值，从而求得 cos （α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ 的值． 20．（本小题满分16分） 设函数.（1）当时，求函数的极大值；（2）若函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围； （3）设，当时，求函数的单调减区间．【知识点】利用导数求极值；借助导数求范围；利用导数求单调区间. 【答案解析】（1）极大值为5.（2）;（3）①当时，函数的单调减区间为；②当时，函数的单调减区间为,； ③当时，函数的单调减区间为,, ．解析 ：解：（1）当时，由=0，得或， ………2分 列表如下：所以当时，函数取得极－1 3 ＋ 0 － 0 ＋递增极大递减极小递增大值为5. ………4分（2）由，得，即，………6分令，则，列表，得1－0 ＋0 －递减极小值递增极大值2递减………8分由题意知，方程有三个不同的根，故的取值范围是. ………10分（3）因为，所以当时，在R上单调递增；当时，的两根为，且，所以此时在上递增，在上递减，在上递增；………12分令，得，或（），当时，方程（）无实根或有相等实根；当时，方程（）有两根，………13分从而①当时，函数的单调减区间为；………14分②当时，函数的单调减区间为,；……15分③当时，函数的单调减区间为,, ．………16分【思路点拨】（1）当时，求出原函数的导数，找到极值点列表求出极大值；（2）原式变型为，令，然后通过列表找到a的取值范围；（3）对a进行分类讨论即可.X 32141 7D8D 綍36690 8F52 轒30355 7693 皓%= 28569 6F99 澙>o25443 6363 捣I。
高二数学下册限时集训检测试题4
专题限时集训(四)A[第4讲 导数在研究函数性质中的应用及定积分](时间：10分钟＋35分钟)1．函数y ＝x ·e x( ) A ．y ＝e x B ．y ＝x －1＋e C ．y ＝－2e x ＋3e D ．y ＝2e x －e2．已知函数f (x )的图象如图4－1所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是()图4－1A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0ef(x)d x 的值为( )A .43B .54C .65D .764．若函数f(x)＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)的值为( ) A ．－2 B ．2C ．－23D .231．曲线y ＝x 3＋11在点y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．152．若曲线f(x)＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．已知函数f(x)＝cos xe x ，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处切线方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．cos x·x ＋y －1＝0D ．e x ·x ＋cos x·y ＋1＝04．抛物线x 2＝2y 和直线y ＝x ＋4所围成的封闭图形的面积是( )A ．16B ．18C ．20D ．225．已知f(x)＝x 3＋ax 2－2x 是奇函数，则其图象在点(1，f(1))处的切线方程为________．6.⎠⎜⎛－3－21x d x ＝________. 7.已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若a ＝2，求证：f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (2)求f (x )在[1，e]上的最小值．8．已知函数f (x )＝(x 2＋ax ＋2)e x (x ，a ∈R )．(1)当a ＝0时，求函数f (x )的图象在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)若函数y ＝f (x )为单调函数，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝－52时，求函数f (x )的极小值．专题限时集训(四)B[第4讲 导数在研究函数性质中的应用及定积分](时间：10分钟＋35分钟)1．过点(0,1)且与曲线y ＝x x －1在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( )A ．2x －y ＋1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．x －2y ＋2＝02．已知直线y ＝x ＋2与函数y ＝ln(e x ＋a )的图象相切，e 为自然对数的底数，则a 为( )A.e 2 B ．－e2 C ．2e D ．－2e3．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．94．如图4－2，设T 是直线x ＝－1，x ＝2与函数y ＝x 2的图象在x 轴上方围成的直角梯形区域，S 是在T 上函数y ＝x 2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分)．向T 中随机投一点，则该点落入S 中的概率为( )图4－2A.15B.25C.13D.121．∫π20(x －sin x)d x 等于( ) A .π24－1 B .π28－1 C .π28 D .π28＋12．函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图4－3所示，则x 21＋x 22等于( )A .89B .109 C .169 D .453．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1(x ≤0)，e ax (x>0)在[－2,2]上的最大值为2，则a 的范围是( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12ln 2 C ．(－∞，0] D .⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 2 4．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f(x)在区间(－1,0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞B .⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94 C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫95，＋∞ D .⎝ ⎛⎦⎥⎤0，95 5．已知实数a 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 7的展开式中x 2的系数，则∫－32a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫e x－1x d x ＝________.6．设函数f(x)是定义在R 上的可导偶函数，且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1对称，则f ′(1)＋f ′(2)＋f ′(22)＋…＋f ′(2100)＝________.7.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x e x (x >0)，其中e 为自然对数的底数．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与坐标轴围成的面积；(2)若函数f (x )存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e 5，求a 的值．8．已知函数f(x)＝a ln x－x2＋1.(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a 和b的值；(2)求证：f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是a＝2；(3)若a<0，且对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．专题限时集训(四)A【基础演练】1．D 【解析】 因为y ′＝e x ＋x e x ，所以在点x ＝1处函数的导数值是y ′|x ＝1＝e ＋e ＝2e ，所以在点(1，e)处函数图象的切线方程是y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e.2．B 【解析】 根据函数图象可得函数的导数是单调递减的，函数在[2,3]上的平均变化率小于在点2的瞬时变化率、大于在点3的瞬时变化率．所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)3－2<f ′(2)，即0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．3．A 【解析】 ⎠⎛0e f(x)d x ＝⎠⎛01f(x)d x ＋⎠⎛1e f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x＝13x 3|10＋ln x|e1＝13＋1＝43.4．D 【解析】 由已知得f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1⇒f ′(1)＝1－2f ′(1)＋1⇒f ′(1)＝23.【提升训练】1．C 【解析】 因为y ′＝3x 2，所以k ＝y ′|x ＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y －12＝3(x －1)，即y ＝3x ＋9，所以与y 轴交点的纵坐标为9.2．D 【解析】 f ′(x)＝sin x ＋x cos x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，即曲线f(x)＝x sin x ＋1在点x ＝π2处的切线的斜率是1，而直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×1＝－1，解得a ＝2.3．B 【解析】 由于f ′(x)＝－sin x·e x －cos x·e xe 2x，所以f ′(0)＝－1，又f(0)＝1，所以函数f(x)的图象在点(0，f(0))处切线方程为y －1＝－(x －0)，即x ＋y －1＝0.4．B 【解析】 根据x 2＝2y 以及y ＝x ＋4，得x 2－2x －8＝0，解得x ＝－2、4，故所求的面积S ＝⎠⎛4－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4－12x 2d x ＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2＋4x －16x 34－2＝24－646＋6－86＝18. 5．x －y －2＝0 【解析】 函数f(x)是奇函数可得a ＝0，此时f(x)＝x 3－2x ，所以f ′(x)＝3x 2－2，故所求切线的斜率是1，切点坐标是(1，－1)，切线方程是y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.6．ln 32 【解析】 ⎠⎜⎛－3－21x d x ＝ln |x||32＝ln 3－ln 2＝ln 32. 7．【解答】 (1)当a ＝2时，f(x)＝x 2－2ln x ， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)＝2(x 2－1)x >0， 所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数． (2)f ′(x)＝2x 2－ax (x>0)，当x ∈[1，e ]，2x 2－a ∈[2－a,2e 2－a]． 若a ≤2，则当x ∈[1，e ]时，f ′(x)≥0，所以f(x)在[1，e ]上是增函数，又f(1)＝1，故函数f(x)在[1，e ]上的最小值为1. 若a ≥2e 2，则当x ∈[1，e ]时，f ′(x)≤0， 所以f(x)在[1，e ]上是减函数，又f(e )＝e 2－a ，所以f(x)在[1，e ]上的最小值为e 2－a. 若2<a<2e 2，则： 当1≤x<a2时，f ′(x)<0，此时f(x)是减函数；当a2<x ≤e 时，f ′(x)>0，此时f(x)是增函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＝a 2－a 2ln a 2， 所以f(x)在[1，e ]上的最小值为a 2－a 2ln a2.综上可知，当a ≤2时，f(x)在[1，e ]上的最小值为1； 当2<a<2e 2时，f(x)在[1，e ]上的最小值为a 2－a 2ln a2；当a ≥2e 2时，f(x)在[1，e ]上的最小值为e 2－a. 8．【解答】 f ′(x)＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋2](1)当a ＝0时，f(x)＝(x 2＋2)e x ，f ′(x)＝e x (x 2＋2x ＋2)， f(1)＝3e ，f ′(1)＝5e ，∴函数f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为 y －3e ＝5e (x －1)，即5e x －y －2e ＝0. (2)f ′(x)＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋2]， 考虑到e x >0恒成立且x 2系数为正，∴f(x)在R 上单调等价于x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋2≥0恒成立． ∴(a ＋2)2－4(a ＋2)≤0，∴－2≤a ≤2，即a 的取值范围是[－2,2]，(3)当a ＝－52时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋2e x ， f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x －12，令f ′(x )＝0，得x ＝－12或x ＝1， 令f ′(x )>0，得x <－12或x >1， 令f ′(x )<0，得－12<x <1， x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，函数f (x )的极小值为f (1)＝12e.专题限时集训(四)B【基础演练】1．A 【解析】 y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，则y ′＝－2(x －1)在x ＝3处的导数值为－12，故所求的直线的斜率是2，直线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.2．C 【解析】 对函数y ＝ln(e x ＋a )求导得y ′＝ee x ＋a ，令y ′＝1，解得x ＝e －ae ，此时代入函数y ＝ln(e x ＋a )得y ＝1，即切点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫e －a e ，1，代入切线方程得1＝e －a e ＋2，解得a ＝2e. 3．D 【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D.4．B 【解析】 根据几何概型的意义，这个概率就是图中的阴影部分的面积和直角梯形面积之比．根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛2－1x 2d x ＝13x 3| 2－1＝3.直角梯形区域的面积是4＋12×3＝152，故所求的概率是3152＝25.【提升训练】1．B 【解析】 ∫π20(x －sin x)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋cos x π20＝π28－1.2．C 【解析】 从函数图象上可知x 1，x 2为函数f(x)的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出b ，c ，d ，根据函数图象得d ＝0，且f(－1)＝－1＋b －c ＝0，f(2)＝8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，故f ′(x)＝3x 2－2x －2.根据韦达定理x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169.3．D 【解析】 当x ≤0时，f ′(x)＝6x 2＋6x ，函数的极大值点是x ＝－1，极小值点是x ＝0，当x ＝－1时，f(x)＝2，故只要在[0,2]上e ax ≤2即可，即ax ≤ln 2在(0,2]上恒成立，即a ≤ln 2x 在(0,2]上恒成立，故a ≤12ln 2.4．C 【解析】 根据三次函数的特点，函数f(x)在(－1,0)上单调递减等价于函数f(x)的导数f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b 在区间(－1,0)上小于或者等于零恒成立，即3－2a ＋b ≤0且b ≤0，把点(a ，b)看作点的坐标，则上述不等式组表示的区域如下图．根据a 2＋b 2的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线3－2a ＋b ＝0的距离的平方．5．e 7－e －ln 7 【解析】 ∵T r ＋1＝C r 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 27－r·(－1)r 2r x －r ＝(－1)r 22r －7C r 7x 7－3r 2，∴当r ＝1时，T 2＝－732x 2，∴x 2的系数为－732. ∴a ＝－732. ∴∫－32a1⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1x d x ＝(e x －ln x )71＝e 7－e －ln 7.6．0 【解析】 根据函数图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1对称，可得f(1－x)＋f(x)＝2，由于函数是偶函数可得f(x －1)＋f(x)＝2，进而得f(x)＋f(x ＋1)＝2，由此得f(x ＋1)＝f(x －1)，进而f(x ＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，由于函数是可导偶函数，其中在x ＝0的导数等于零，根据周期性，在x ＝2,22，…，2100处的导数都等于零．再根据函数可导和f(x －1)＋f(x)＝2，可得f ′(x －1)＋f ′(x)＝0，令x ＝1可得f ′(1)＝0.故所求的结果是0.7．【解答】 (1)f ′(x)＝x 2－ax ＋a x 2e x， 当a ＝2时，f ′(x)＝x 2－2x ＋2x 2e x ， f ′(1)＝1－2＋212×e 1＝e ，f(1)＝－e ，所以曲线y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y ＝e x －2e ， 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0，－2e )， 所以，所求面积为12×2×|－2e |＝2e .(2)因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程x 2－ax ＋a ＝0在(0，＋∞)内存在两个不等实根，则⎩⎨⎧Δ＝a 2－4a>0，a>0.所以a>4.设x 1，x 2分别为函数f(x)的极大值点和极小值点， 则x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝a ， 因为f(x 1)f(x 2)＝e 5，所以，x 1－a x 1e x 1×x 2－ax 2e x 2＝e 5，即x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2e x 1＋x 2＝e 5， 化简得e a ＝e 5，解得a ＝5，此时f(x)有两个极值点， 所以a ＝5.8．【解答】 (1)f ′(x)＝a x －2x(x>0)，f ′(1)＝a －2，又f(1)＝0，所以曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝(a －2)(x －1)，即(a －2)x －y ＋2－a ＝0，由已知得a －2＝4,2－a ＝b ，所以a ＝6，b ＝－4.(2)证明：充分性：当a ＝2时，f(x)＝2ln x －x 2＋1， 此时f ′(x)＝2x －2x ＝2(1－x 2)x (x>0)，当0<x<1时，f ′(x)>0，当x>1时，f ′(x)<0， 所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数， f(x)≤f(1)＝0；必要性：f ′(x)＝ax －2x ＝a －2x 2x (x>0)，当a ≤0时，f ′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，而f(1)＝0， 故0<x<1时，f(x)>0，与f(x)≤0恒成立矛盾， 所以a ≤0不成立， 当a>0时，f ′(x)＝2x ⎝⎛⎭⎪⎫a2＋x ⎝⎛⎭⎪⎫a2－x (x>0)， 当0<x<a2时，f ′(x)>0，当x>a2时，f ′(x)<0，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上是增函数， 在⎝⎛⎭⎪⎫a2，＋∞上是减函数，f(x)≤f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＝a 2ln a 2－a2＋1； 因为f(1)＝0，又当a ≠2时，a2≠1，f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2>f(1)＝0与f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2≤0不符．所以a ＝2.综上，f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是a ＝2； (3)当a<0时，f ′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 不妨设0<x 1≤x 2，则|f(x 1)－f(x 2)|＝f(x 1)－f(x 2)，|x 1－x 2|＝x 2－x 1， ∴|f(x 1)－f(x 2)|≥|x 1－x 2|等价于f(x 1)－f(x 2)≥x 2－x 1，即f(x 1)＋x 1≥f(x 2)＋x 2，令g(x)＝f(x)＋x ＝a ln x －x 2＋x ＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数， ∵g ′(x)＝ax －2x ＋1＝－2x 2＋x ＋a x (x>0)， ∴－2x 2＋x ＋a ≤0在x>0时恒成立， ∴1＋8a ≤0，a ≤－18，又a<0， ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－18.。
高二数学下册限时集训检测试题
专题限时集训(十一)[第11讲 推理与证明](时间：10分钟＋35分钟)1．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( ) A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错2．用反证法证明命题：“m 、n ∈N ，mn 可被3整除，那么m 、n 中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为( )A ．m 、n 都能被3整除B ．m 、n 都不能被3整除C ．m 、n 不都能被3整除D ．m 不能被3整除3．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB→＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA→＋S △OCA ·OB →＋S △OBA·OC →＝0. 将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________________________________．4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n >1，n ∈N *)时，在证明过程的第二步从n ＝k 到n ＝k ＋1成立时，左边增加的项数是________．1．已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2011项a 2011满足( )A ．0<a 2011<110 B.110≤a 2011<1C ．1≤a 2011≤10D ．a 2011>102．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图11－1的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( )图11－1 A ．4n ＋2B ．4n －2C ．2n ＋4D ．3n ＋33．把正整数按一定的规则排成了如图11－2所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2011，则i 与j 的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 24 26…图11－2A ．105B ．106C ．107D ．1084．集合{1,2,3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为T n ，如：T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝12[62－(12＋22＋32)]＝11，T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝12[102－(12＋22＋32＋42)]＝35，T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋4×5＝12[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.则T 7＝________.(写出计算结果)5．在平面几何里，有：“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．6．已知数列{a n}，a i∈{－1,0,1}(i＝1,2,3，…，2011)，若a1＋a2＋…＋a2011＝11，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2011＋1)2＝2088，则a1，a2，…，a2011中是1的个数为________．7.在数列{a n}中，a1＝3，a n＝－a n－1－2n＋1(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：数列{a n＋n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；(3)求数列{a n}的前n项和S n.8．已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋x.(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n}(n∈N*)满足a1＝a(a>0)，f(a n＋1)＝g(a n)，证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M.专题限时集训(十一)【基础演练】1．A 【解析】 y ＝a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．2．B 【解析】 用反证法证明命题应先否定结论，故选B.3．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 【解析】 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积，故得出结果．4．2k 【解析】 在证明过程中从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应是1＋12＋13＋…＋12k －1＋…＋12k ＋1－1，由2k ＋1－2k ＝2k ，故增加2k 项． 【提升训练】1．A 【解析】 这个数列是按如下规则分组：第一组：11；第二组：21，12；第三组：31，22，13；…；第n 组：n 1，n －12，n －23，…，n －r ＋1r ，…，1n .由不等式n (n ＋1)2<2011，即n (n ＋1)<4022，得n ≤62，且当n ＝62时，n (n ＋1)2＝1953,2011－1953＝58，即a 2011是上述分组中的第63组的第58个数，即a 2011＝63－58＋163＝663，故0<a 2011<110. 2．A 【解析】 观察可知除第一个以外，每增加一个黑色地面砖，相应的白地面砖就增加四个，因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”．或由图可知，当n ＝1时，a 1＝6，当n ＝2时，a 2＝10，当n ＝3，a 3＝14，由此推测，第n 个图案中有白色地面砖的块数是：a n ＝4n ＋2.3．D 【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行有奇数列，偶数行有偶数列，2011＝2×1006－1，所以2011为第1006个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2011在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2011＝1923＋2(j －1)，所以j ＝45，所以i ＋j ＝108.4．322 【解析】 T 7＝12[(1＋2＋…＋7)2－(12＋22＋…＋72)]＝322.5.13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r 【解析】 根据等体积法分割四面体为以侧面为底、内切球的球心为顶点的四个小三棱锥，分别计算其体积，体积之和即为四面体的体积．V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .本题考查的是由平面到空间的类比推理，也考查空间几何体的体积计算．在空间几何体的体积计算中，把所求的几何体进行分割是求体积的重要方法之一．6．33 【解析】 设1的个数有x 个，根据a 1＋a 2＋…＋a 2011＝11，则－1的个数为x －11个，0的个数为2011－2x ＋11＝2022－2x .由(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2011＋1)2＝2088，得4x ＋2022－2x ＝2088，解得x ＝33.7．【解答】 (1)∵a 1＝3，a n ＝－a n －1－2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，∴a 2＝－a 1－4＋1＝－6，a 3＝－a 2－6＋1＝1.(2)∵a n ＋n a n －1＋(n －1)＝(－a n －1－2n ＋1)＋n a n －1＋n －1＝－a n －1－n ＋1a n －1＋n －1＝－1，∴数列{a n ＋n }是首项为a 1＋1＝4，公比为－1的等比数列．∴a n ＋n ＝4·(－1)n －1，即a n ＝4·(－1)n －1－n ，∴{a n }的通项公式为a n ＝4·(－1)n －1－n (n ∈N *)．(3)∵{a n }的通项公式为a n ＝4·(－1)n －1－n (n ∈N *)，所以S n ＝∑k ＝1n a k ＝∑k ＝1n [4·(－1)k －1－k ]＝∑k ＝1n [4·(－1)k －1]－∑k ＝1nk ＝4×1－(－1)n 1－(－1)－n (n ＋1)2 ＝2[1－(－1)n ]－12(n 2＋n )＝－n 2＋n －42－2(－1)n . 8．【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．解法一：h ′(x )＝3x 2－1－12x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12x －12，则φ′(x )＝6x ＋14x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫33<0，则φ(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以，当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减．而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x )在(0，＋∞)上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．(2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0.(i)当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0. 而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0.由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立，则当n ＝k ＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k<x0＋x0＝x30知，a k＋1<x0.因此，当n＝k＋1时，a k＋1<x0成立．故对任意的n∈N*，a n<x0成立．(ii)当a≥x0时，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x0)＝0，即a3≥a＋a.从而a32＝a1＋a1＝a＋a≤a3，即a2≤a.由此猜测：a n≤a.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，a1≤a显然成立．②假设当n＝k(k≥1)时，a k≤a成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k≤a＋a≤a3知，a k＋1≤a.因此，当n＝k＋1时，a k＋1≤a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．综上所述，存在常数M＝max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M.。
2021年高二下学期限时训练(理科)4含答案
2021年高二下学期限时训练（理科）4含答案班级姓名学号成绩1．已知Z是纯虚数，是实数，则 .2．命题“若，则（R）”否命题的真假性为（从真、假中选一个）3．不等式的解集记为，不等式的解集记为，已知的充分不必要条件，则实数的取值范围是.4．在数列中，已知，，(，)．（1）当，时，分别求的值，（2）判断是否为定值，并用数学归纳法证明。
5．如图，在直三棱柱中，已知，，．（1）求异面直线与夹角的余弦值；（2）求二面角平面角的余弦值．订正反思：A1B1C1订正反思：4．在数列中，已知，，(，)．（1）当，时，分别求的值，（2）判断是否为定值，并用数学归纳法证明。
23．（1）由已知得，．所以时，；当时，．………2分猜想：()．…………………………………………3分下面用数学归纳法证明：①当时，结论成立．②假设当时，结论成立，即，将代入上式，可得．则当时，．故当结论成立，根据①,②可得，()成立．………………………………5分22．如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．则，，，，所以，，，． （1）因为11111130cos ,65CB BA CB BA CB BA ⋅===⨯， 所以异面直线与夹角的余弦值为． …………………………4分（2）设平面的法向量为，则 即取平面的一个法向量为；所以二面角平面角的余弦值为． …………………………10分O31875 7C83 粃21243 52FB 勻|be26686 683E 栾28749 704D 灍u31959 7CD7 糗h40~（第22题图）A B C A 1 B 1 C 1。
高二下周末限时练4(数学)
湖州中学西山漾校区高二下周末限时练4（数学）一、单选题(每题5分，共40分)1．已知集{}2,1,1,2A =--，{}31x B x=<∣，则A B = （）A ．{}2,1--B ．{}1,2C ．{}2,1,1--D ．{}2,1,2--2．已知复数112i z =-，21i z =+，则复数12z z 的模12z z 等于（）A B C ．D ．3．函数2(2)ln ||y x x =-的图像是（）A ．B ．C ．D ．4．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则（）A ．7926x y -≤-≤B ．1920x y -≤-≤C ．4915x y ≤-≤D ．1915x y ≤-≤5．使“a b <”成立的一个充分不必要条件是（）A ．(]0,1x ∀∈，a b x+≤B ．(]0,1x ∀∈，a x b +<C ．[]0,1x ∃∈，a b x<+D ．[]0,1x ∃∈，a x b+≤6．记n T 为数列{}n a 的前n 项积，已知111n nT a +=，则10T =（）A ．8B ．9C ．10D ．117．甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从,,,,A B C D E 这5种菜中任意选用2种，则A 菜有2人选用、B 菜有1人选用的情形共有（）A ．54B ．81C ．135D ．1628．若实数m ，n ，p 满足354m e =，235n e =，218p e =，则（）A ．p m n<<B ．p n m<<C ．m p n<<D ．n p m<<二、多选题(每题5分，共20分.全部选对5分，漏选2分，错选0分)9．已知,,,a b c d ∈R ，下列命题正确的是（）A ．若a b <，则33a b <B ．若0a b <<，则2a ab <C ．若a b >，c d >，则a c b d->-D ．若0a b >>，则11b b a a +<+10．已知随机变量从二项分布11001,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．100110011()2kP X k C⎛⎫== ⎪⎝⎭B ．(301)(701)P X P X ≤=≥C ．1(())2P X E X >>D ．()P X k =最大时500k =或50111．已知0x >，0y >，且30x y xy +-+=，则下列说法正确的是（）A ．312xy <≤B ．6x y +≥C ．2218x y +≥D ．11103x y <+≤12．已知椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方，若1PF 的中点M 在以原点O 为圆心，1OF 为半径的圆上，则（）A ．点P 在第一象限B ．12PF F △的面积为C ．1PF的斜率为D ．直线1PF 和圆228x y +=相切三、填空题(每题5分，共20分)13．52(1)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数为________.14．已知随机事件A ，B ，1()3P A =，1()4P B =，3()4P AB =∣，则()P B A =∣________.15．若0x >，0y >，21x y +=，则212y xy+的最小值为_______．16．在ABC 中，E 为边BC 中点，若8BC =，ACE △的外接圆半径为3，则22AB AC +的最大值为________.四、解答题(共70分)17．（满分10分）某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y3.94.34.65.45.86.26.9(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据71162.4i i i x y ==∑18．（满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，()()2*112,N n n n S nS n n n n --=+-≥∈；(1)证明：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)令2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（满分12分）在三棱锥A ABC '-中，D ，E ，P 分别在棱AC ，AB ，BC 上，且D 为AC 中点，2AD AE A D A E ''====，AP DE ⊥于F .(1)证明：平面AA P '⊥平面A DE ¢；(2)当1BE =，5BC =，二面角A DE P '--的余弦值为35时，求直线A B '与平面A DE ¢所成角的正弦值.20．（满分12分）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为2240m ，体育馆高5m ，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x 米．(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为115212000500a a x +⎛⎫++ ⎪⎝⎭元(0)a >，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．21．（满分12分）已知函数()()()21ln f x x x x ax a =--+∈R .(1)若函数()y f x '=有两个零点，求a 的取值范围；(2)设12,x x 是函数()f x 的两个极值点，证明：122x x +>.22．（满分12分）设双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为()3,0F ，F 到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 的直线交曲线C 于A ，B 两点（其中A 在第一象限），交直线53x =于点M ，（i ）求||||||||AF BM AM BF ⋅⋅的值；（ii ）过M 平行于OA 的直线分别交直线OB 、x 轴于P ，Q ，证明：MP PQ =.答案第1页，共1页。
高中数学基础训练：高二第二学期(四)
P
A
D
E
B
C
14.
已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率为
6 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 3
3．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距 离为 3 ，求 △AOB 面积的最大值．
个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角
三角形中较小的锐角为 ，那么 cos 2 的值等于
．
12．如图，平面内有三个向量 OA，OB，OC ，其中 OA 与 OB 的夹角
C
为 120°， OA 与 OC 的 夹 角 为 30°， 且 OA OB 1 ， B
A．80 B．30
C．26
D．16
4．已知 O 是 △ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点，且 2OA OB OC 0 ，那么
Ａ． AO OD
Ｂ． AO 2OD
Ｃ． AO 3OD
Ｄ． 2 AO OD
5．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1（a
0，b
0 ），以 C
A．80 B．30
C．26
D．16
【答案】B
4．已知 O 是 △ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点，且 2OA OB OC 0 ，那么
Ａ． AO OD
Ｂ． AO 2OD
Ｃ． AO 3OD
Ｄ． 2 AO OD
【答案】Ａ
5．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1（a
高二数学限时训练(四)
高二数学限时训练(四)(40分钟完成)(2007.4.19)一、选择题：(本大题共7小题，每小题7分,共49分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 请把答案填入后面指定的空格里.1.下列表述正确的是（ ）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.(A)①②③ (B)②③④ (C)②④⑤ (D)①③⑤.2.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为( )(A)大前提错误 (B)小前提错误 (C)推理形式错误 (D)非以上错误3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度 (B)假设三内角都大于60度(C)假设三内角至多有一个大于60度 (D)假设三内角至多有两个大于60度4.已知函数()ln(()f x x f x '=则是（ ）(A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)既是奇函数也是偶函数5.在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为( )(A)29 (B)254 (C)602 (D)20046.已知函数 y =f (x )(x ∈R )上任意一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数的单调递减区间为( )(A)[)1,-+∞ (B)(],2-∞ (C)(,1),(1,2)-∞- (D)[)2,+∞7.a 1=1，211123,()2()10,,,n nn n n a a a a a a a a +++>--++=且计算然后猜想=n a ( )(A)n(B)n 2 (C)n 3n -二、填空题: 本大题共3小题,每小题7分,共21分,把答案填在题中横线上. 8.dx x x ⎰-+112|)|(= ．9.平面直角坐标系下直线的方程为)0(,022≠+=++B A C By Ax ，请类比空间直角坐标系下平面的方程为 ．10.从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…, 班别___________、学号______、姓名___________8.____________; 9.__________; 10.____________; 三、解答题: 本大题共两小题，每小题15分,共30分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.11.用分析法证明：52276+>+12.已知当[0,2]x π∈时不等式221[()]cos ()sin 4f x x f x x -⋅<恒成立，求证：()f x 不可能是一次函数.DAB BB B B 8.39.)0(,0222≠++=+++C B A D Cz By Ax 10.12114916(1)(1)(1234)n n n n ++-+-++-⋅=-+++++L L11.要证: 52276+>+,只需证:1313++只需证只需证:42>40 而42>40 成立 ,所以原不等式成立12.假设()f x 是一次函数，设()f x =ax +b, （a ≠0）已知221[()]cos ()sin 4f x x f x x -⋅<可化为11|()cos |22f x x -<（*）由[0,2]x π∈时，不等式（*）恒成立，那么特殊地令：x =0得11||22b -<，∴即0b >①再令x =2π，则11|2|22a b π+-<，∴20a b π+>，由①得0a b π+>②再令x =π，则11||22a b π++<，而由②得1122a b π++>即11||22a b π++>，显然自相矛盾。