组合(1)——组合、组合数的概念
组合数
3 3 4
3
从而
C4
3
A A
3
4
3
.
，
4 3 3
按照以上思路，对于 A 我们应该作何种解释？
m n
m A 对于 n 我们可以按照以下步骤进行:
求从n个不同元素中取出m个元素的 可看作由以下2个步骤得到： 第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有
，
C
m 种不同的取法； n
n
第2步,将取出的m个元素做全排列,共有 Am种 不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有
一 组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列的概念
一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按 照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
排列和组合有什么共同点和不同点？
共同点：都要“从n个不同元素中取出m个元素” 不同点：排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.
3 4
3 等式右边的乘号联想到了哪一个 3
计数原理？对等式右边可以作何种解释呢？
分步乘法计数原理
对于 A 我们可以按照以下步骤进行:
第1步，求从4个不同元素中取出3个元素的组合数
3 4
（不考虑顺序）； C（ 4）
3 4
第2步，将每一个组合中的3个不同元素作全排列，
个排列数. (6 ) 根据分步乘法计数原理，A C A 各有A
组合数
二 组合数的概念
一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个
元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素 中取出m 个元素的组合数，用符号 C m 表示
组合(1)——组合、组合数的概念
组合（1）——组合、组合数的概念一、课题：组合（1）——组合、组合数的概念二、教学目标：1．理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2．能正确认识组合与排列的联系与区别。
三、教学重、难点：组合的概念和组合数公式。
四、教学过程：（一）复习、引入：1．复习排列的有关内容：排列的概念、排列数公式。
（以上由学生口答）．2．提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的。
引出课题：组合．．． （二）新课讲解：1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
说明：1．不同元素；2．“只取不排”——无序性；3．相同组合：元素相同。
练习：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（组合）（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？（排列）2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．又如：从4个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C ，那么又如何计算mn C 呢？3．组合数公式的推导：（1）提问：从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dcacda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cbabca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ， 所以，333434A A C =． （2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅． （3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且． 4．例题分析：例1 计算：（1）47C ； （2）710C ； 答案：（1）35；（2）120． 例2 求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ． 例3 设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值。
2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 第1课时 组合(一)讲义 新人教A版选修2-3
含组合数的化简、证明或解方程、不
(1)对于含组合数的化简、证明或解方程、不等式等问题多利 ①组合数公式，即： Cnm＝m！nn！－m！＝nn－1…m！n－m＋1； ②组合数的性质，即 Cnm＝Cnn－m和 Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1； ③排列数与组合数的关系，即 Anm＝Cmn Amm． (2)当含有字母的组合数的式子要进行变形论证时，利用阶乘 便．
1．由 Cx1＋0 1＋C1170－x可得不相同的值的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]
x＋1≤10 ∵x1＋7－1≥x≤010，∴7≤x≤9，
17－x≥0
又 x∈Z，∴x＝7,8,9．
当 x＝7 时，C810＋C1100＝46
当 x＝8 时，C910＋C910＝20 当 x＝9 时，C1100＋C810＝46．
规律总结』 1.性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用． 反映的是组合数的对称性，即从n个不
意义 → 同的元素中取m个元素的一个组合与 剩下的n－m个元素的组合相对应
作用 → 当m>n2时，计算Cnm通常转化为计算Cnn－m
2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组 组合数的性质，求解时，要注意由 Cnm中的 m∈N＋，n∈N＋，且 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
序写出，即
• ∴所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE BCD，BCE，BDE，CDE．
解法二：画出树形图，如图所示．
∴所有组合为 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD CDE．
命题方向2 ⇨组合数公式
典例 2 (2018·江西玉山一中检测)若 20C5n＋5＝4(n＋4)Cnn＋－ 的值．
组合数知识点总结
组合数知识点总结1. 组合数的基本概念组合数通常表示为C(n, m)，表示从n个元素中取出m个元素的方式数。
计算组合数的公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。
组合数计算的本质是从n 个元素中选择m个元素的所有可能性。
2. 组合数的计算方法组合数的计算方法包括递推公式、排列组合公式和杨辉三角形等方法。
（1）递推公式：组合数的递推公式表达了组合数之间的递推关系。
计算C(n, m)的递推公式为：C(n, m) = C(n - 1, m) + C(n - 1, m - 1)递推公式的思想是将从n个元素中取出m个元素的方式数分解成两部分，一部分是包含第n个元素的方式数，另一部分是不包含第n个元素的方式数。
（2）排列组合公式：排列组合公式是通过组合数的阶乘定义推导得出的计算公式。
排列组合公式包括乘法原理和除法原理两种计算方式。
乘法原理指的是从n个元素中取出m 个元素的方式数等于n个元素的排列数乘以m个元素的排列数的倒数，即：C(n, m) = A(n, m) / m! = n! / (m! * (n - m)!)除法原理指的是从n个元素中取出m个元素的方式数等于n个元素的排列数除以m个元素的排列数，即：C(n, m) = A(n, m) / A(m, m) = n! / (m! * (n - m)!)（3）杨辉三角形：杨辉三角形是一种规律的数学图形，其中的每个数都等于它上方和斜上方的两个数之和。
在杨辉三角形中，组合数C(n, m)可以直接从三角形中读出，它位于第n行第m列的位置。
3. 组合数的应用场景组合数在概率论、统计学、排列组合问题等领域都有着广泛的应用。
下面我们将介绍组合数在不同领域的具体应用场景。
（1）排列组合问题：排列组合问题是指从一组元素中选择若干个元素的所有可能性。
简述组合和组合数的概念。
简述组合和组合数的概念。
组合和组合数是数学中极为重要的概念，它用于描述一组对象、元素或数值在排列、选取或相互组合方面的某种可能性。
组合和组合数通常也被称为“排列组合”和“组合数”，它们属于统计学和计算机科学的基本概念。
组合本质上是指从一组成员中选取一定数量组成的系列排列方式，而每一组的成员可以是任何数量的对象、元素或数值，可以是有序的，也可以是无序的。
例如，从一组数字1,2,3中任取2个数字，可以组成3种排列方式：(1,2), (1,3)和(2,3)，这3种排列方式就是组合。
组合数则是指组合的可能性数量，也就是一组成员可以有多少种组合的可能性。
例如，从一组数字1,2,3中任取2个数字，有3种组合可能，因此组合数为3。
除此之外，组合数通常也用 Cnk（即组合计数符号）来表示：nCk=n! /(k! (n-k)!)。
组合与组合数广泛应用于计算机科学、统计学、数学建模以及工程模拟方面，比如可以用组合来模拟一个体系中的相互作用。
它也是统计学中研究观测值的组合形式所必须处理的对象。
通过对组合的排列组合，也可以计算出一定条件下的期望值，从而给出最优化的解决方案。
此外，组合数也可以用来计算排列组合的概率。
比如，从一组数字1,2,3中任取2个数字的组合，每个组合被选取的概率均为1/3，组合数3，因此每个组合出现的概率是1/9。
另外，组合数也可以用来计算假设某一事件发生的可能性，例如在投掷两个骰子后，得到某个点数的可能性，这个结果可以用组合数来计算。
总而言之，组合和组合数是数学中重要的概念，它们被广泛应用于许多学科领域，比如计算机科学、统计学、数学建模以及工程模拟方面，。
因此，我们需要深入的了解组合和组合数的概念以及它们在不同领域的应用，以便更好地利用它们来实现更好的结果。
1.2.2组合第一课时组合的概念及组合数公式
有多少种取法?
栏目 导引
题型二 有关组合数的计算与证明
第一章 计数原理
例2 计算下列各式的值.
(1)3C38－2C25;
【解】(1) 3C83－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×25××14＝148.
((23))CC193708＋0＋CC47＋129090C; 58＋C((2369;))C原19式080＋＝CC124890＋90＝CC58＋2100C＋69＝C12C0095＝＋1C02069×＝×1C99610＋＝2C04100＝＝5211500. .
栏目 导引
第一章 计数原理
【名师点评】 区分排列与组合问题,关键是 利用排列与组合的定义,组合是“只选不排、 并成一组,与顺序无关”.只要两个组合中的 元素完全相同,则不论元素的顺序如何,都是相 同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相 同时,才是不同的组合.
栏目 导下列问题是排列问题,还是组合问题.
(5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信?
栏目 导引
第一章 计数原理
解:(1)当取出3个数字后,如果改变三个数字的 顺(3)序2名,会学得生到完不成同的的是三同位一数件,此工问作题,没不有但顺与序取,出是 元组素合问有题关.,而且与元素的安排顺序有关,是排列 问(4)题甲.与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电 (2)取出3个数字之后,无论怎样改变这三个数 字话之,无间顺的序顺区序别,其,为和组均合不问变题,此. 问题只与取出元 素(5)有发关信,人而与收元信素人的是安有排区顺别序的无,关是,排是列组问合题问.题 .
栏目 导引
第一章 计数原理
答案:D 做一做
1.有下列实际问题:①三人互相握手的次数;②
三人抬水,每两人抬一次的不同抬法;③三点
组合 数学概念
组合数学概念组合是数学中的一个重要概念，它涉及到从给定集合中选择一定数量的元素来形成一个子集的问题。
组合与排列不同之处在于，组合不考虑元素的顺序，只关注元素的选择。
以下是一些重要的组合数学概念：1. 组合数：表示从一个集合中选择特定数量的元素，不考虑元素的顺序。
组合数通常用符号 "C" 或 "nCk" 表示，其中 n 表示集合的大小，k 表示要选择的元素的数量。
组合数可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算。
2. 二项式系数：二项式系数是组合数的一种特殊情况，表示在二项式展开式中各项的系数。
二项式系数通常用符号 "C" 或 "nCk" 表示，其中 n 表示二项式的指数，k 表示展开式中的项数。
3. 重复组合：重复组合是一种特殊的组合，允许从一个集合中选择元素时可以多次选择同一个元素。
重复组合数可以使用公式C(n+k-1, k) 来计算，其中 n 表示集合的大小，k 表示要选择的元素的数量。
4. 二项式定理：二项式定理是数学中的一个重要定理，它用于展开二项式的幂。
根据二项式定理，对于任意实数 a 和 b，以及任意非负整数 n，都有 (a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
5. Pascal三角形：Pascal三角形是一个由组合数构成的三角形，其中每个数等于它上方两个数的和。
Pascal三角形的第n行表示组合数 C(n, k)，其中 n 表示行号，k 表示列号。
6. 鸽巢原理：鸽巢原理是组合数学中的基本原理之一，它指出如果有 n+1 个物体放入 n 个鸽巢中，那么至少有一个鸽巢会放入两个或更多的物体。
鸽巢原理常用于证明存在性问题。
以上是一些常见的组合数学概念，它们在数学和计算机科学等领域中有广泛的应用。
组合及组合数公式
组合及组合数公式1．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m_(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．3．组合数公式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，m≤n)．探究点一组合的概念例1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．(1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？(2)10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？探究点二组合的列举问题思考怎样写一个问题的所有组合？答和解排列问题类似，可以借助树形图来写一个问题的所有组合，组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序(如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b 等)来考虑，否则就会出现重复或遗漏．例2从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素，写出所有的组合形式．踪训练2写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合．探究点三组合数公式及应用思考1对比排列数的定义，能否给组合数下一个定义？答从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．思考2 由例2看出组合数C 34与排列数A 34有什么关系？你能写出求C 34的公式吗？答 由例2可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C 34个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A 33种方法．由分步计数原理得：A 34＝C 34·A 33，所以，C 34＝A 34A 33.例3(1)求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1；(2)若C 4n >C 6n ，则n 的取值集合为________．跟踪训练3 (1)计算C 38－n 3n ＋C 3n n ＋21的值； (2)求证：C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n.例4现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？巩固练习：1.已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为________．答案 42．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种．答案 1203．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．答案 964．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．答案 705.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，求其中一个数是另一个数的两倍的概率．6．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有________．答案70组合的应用探究点一组合数的两个性质思考1“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数有什么关系？答思考2一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？(4)由(1)(2)(3)问的结果你能得到怎样的关系？答思考3由思考1、2你能得出组合数的性质吗？如何证明？答组合数具备以下两个性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.例1计算下列各式的值．(1)C9699＋C9799；(2)C n n＋1·C n－2n；(3)C34＋C35＋C36＋…＋C310；(4)A23＋A24＋A25＋…＋A2100.探究点二简单的组合应用题例2某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？跟踪训练27名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)答案140例3 (1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？探究点四有限制条件的组合问题例4在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？。
1.2.2第1课时 组合与组合数公式
对比思考:
排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？ 共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
随堂练习 组合（一）
判断下列各事件是排列还是组合问题 : (1)从4个风景点中选出2个安排游览,共有多少种选择? (2)从4个风景点中选出2个安排游览,并确定2个风景点 的游览顺序，共有多少种选择? (3)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共有多少种 车票? (4)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共有多少种 票价?
2.组合数： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 的所有组合的个数，叫做从n个不同元素 m 中取出m个元素的组合数，用符号 Cn 表 示.
研究探讨 组合（一）
1、写出从 a、b、c 三个元素中取出两个元素 的所有组合。 2 ab ac bc C3 3 2、写出从 a、b、c、d 四个元素中取出两个元素 的所有组合。 2 ab ac ad bc bd cd C4 6
3、写出从 a、b、c、d 四个元素中取出三个元素 的所有组合。 abc abd acd bcd
C 4
3 4
C ?
m n
组合数公式 组合（一）
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从 n 个不同元素中取出m 个元素的排 列数，可以分为以下2步： 第1步，先求出从这 n 个不同元素中取出m 个元素 的组合数 C m ．
答: 不相等.
通信封数与顺序有关,
而打电话的次数与顺序无关.
练习： 组合（一）
2. 一个口袋内装有大小相同且标号不同 的7个白球和1个黑球。 ⑴ 从口袋内取出3个球,共有多少种取法?
组合数的性质
不 含 a 1的 组 合 是 从 a 2 , a 3 , L , a n + 1 这 n个 元 素 中 取 出
m m个 元 素 组 成 的 ， 共 有 C n 个
由分类计数原理，得
组合数性质2 组合数性质
Cn+1 = Cn +Cn
m m
m−1
性质2 性质
证明:
m n
C +C
= cn + cn c n +1
n−m n m n
作业： 作业：习题 10.3 1，9，11(B本) ， ， 本
本讲到此结束，请同学们课 后再做好复习. 谢谢！
再见！
王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源源 头学子小屋 头学子小屋 源 /:源 .c 38 23 0 .oc m 头学子小屋 头学子小屋 hp x t w
(2) C
m+1 n m−1 n m n m+1 n+ 2
一、等分组与不等分组问题
本不同的书， 例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； 、 本不同的书 按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； ）分给甲、 丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本； ）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份 本，一份 本，一份 本； ）分成三份，一份1本 一份2本 一份3本 （4）分给甲、乙、丙3人，一人 本，一人 本，一人 本； ）分给甲、 人 一人1本 一人2本 一人3本 （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； ）分给甲、 人 每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； ）分给 个人，每人至少一本； 个人 本相同的书， （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。 ） 本相同的书 分给甲乙丙三人，每人至少一本。
组合与组合数公式及性质教学内容
组合与组合数公式及性质(2)c m c m 1m 1 C n 1 10.3组合与组合数公式及性质达标要求1 •理解组合的概念.2. 掌握组合数公式.3•理解排列与组合的区别和联系。
4.熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决 一些简单的应用问题.基础回顾 1.组合的概念： 一般地，从n 个不同元素中取出m ( m n )个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数的概念：从n 个不同元素中取出m (m n )个元素的所有组合的个数，叫做 从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号C T 表示..3. 组合数的公式:A n(n 1)(n 2)|||(n m 1)A 4. 组合数性质:m n m (1) C n C nc n m m!m n!或C nm! n m !(n,m N 且 m n )典型例题例题1 4名男生和6名女生选三人，组成三人实践活动小组。
(1) 共有多少种选法？(2) 其中男生甲不能参加，有多少种选法？(3) 若至少有1个男生，问组成方法共有多少种？解：⑴共有Cw 120种。
⑵共有C9 84种(3)解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女,分别有C4，C'|C6，c：|c6，所以一共有c： c：|c6 c4|c| 100种方法.解法二：(间接法)c1o C； 100例题2 100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查.(1) 都不是次品的取法有多少种？(2) 至少有1件次品的取法有多少种?(3) 不都是次品的取法有多少种?解：(1) c940 2555190(2) c90 c；c 3 90 c!0c 2 90 1 90 1366035(3) G00 C10 G0C90 G0C90 G0C90 C90 3921015。
组合(1)——组合、组合数的概念
14.2 导数的应用●知识梳理1.函数的单调性（1）设函数y=f（x）在某个区间内可导,若f′（x）＞0,则f（x）为增函数;若f′（x）＜0,则f（x）为减函数.（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法.①确定函数f（x）的定义区间.②求f′（x）,令f′（x）=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.③把函数f（x）的间断点〔即包括f（x）的无定义点〕的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间.④确定f′（x）在各小开区间内的符号,根据f′（x）的符号判定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性.2.可导函数的极值（1）极值的概念设函数f（x）在点x0附近有定义,且若对x0附近所有的点都有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0））,则称f（x0）为函数的一个极大（小）值,称x0为极大（小）值点.（2）求可导函数f（x）极值的步骤.①求导数f′（x）.②求方程f′（x）=0的根.③检验f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值.3.函数的最大值与最小值（1）设y=f（x）是定义在区间［a,b］上的函数,y=f（x）在（a,b）内有导数,求函数y=f （x）在［a,b］上的最大值与最小值,可分两步进行.①求y=f（x）在（a,b）内的极值.②将y=f（x）在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.（2）若函数f（x）在［a,b］上单调增加,则f（a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值;若函数f（a）在［a,b］上单调递减,则f（a）为函数的最大值,f（b）为函数的最小值.特别提示我们把使导函数f′（x）取值为0的点称为函数f（x）的驻点,那么（1）可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已说明过,f′（0）根本不存在,所以点x=0不是f（x）的驻点.（2）可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f（x）=x3的导数是f′（x）=3x2,在点x=0处有f′（0）=0,即点x=0是f（x）=x3的驻点,但从f（x）在（－∞, +∞）上为增函数可知,点x=0不是f（x）的极值点.●点击双基1.（2005年海淀区高三第一学期期末模拟）函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π,2π3） B.（π,2π） C.（2π3, 2π5） D.（2π,3π）解析：y ′=（x sin x +cos x ）′=sin x +x cos x －sin x =x cos x , 当x ∈（2π3,2π5）时,恒有x cos x ＞0. 答案：C2.函数y =1+3x －x 3有 A.极小值－2,极大值2 B.极小值－2,极大值3 C.极小值－1,极大值1 D.极小值－1,极大值3解析：y ′=3－3x 2=3（1+x ）（1－x ）.令y ′=0得x 1=－1,x 2=1.当x ＜－1时,y ′＜0,函数y =1+3x －x 3是减函数;当－1＜x ＜1时, y ′＞0,函数y =1+3x －x 3是增函数;当x ＞1时,y ′＜0,函数y =1+3x －x 3是减函数.∴当x =－1时,函数y =1+3x －x 3有极小值－1;当x =1时,函数y =1+3x －x 3有极大值3. 答案：D3.设f （x ）在（a ,b ）内有定义，x 0∈（a ,b ），当x ＜x 0时，f ′（x ）＞0;当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0.则x 0是A.间断点B.极小值点C.极大值点D.不一定是极值点 解析:f （x ）在x 0处不一定连续. 答案:D4.函数f （x ）=ｅx ＋ｅ－x 在（０，＋∞）上的单调性是__________.解析:∵f ′（x ）=e x －e －x =e －x （e 2x －1）,∴当x ∈（0,+∞）时，f ′（x ）＞0. ∴f （x ）在（0，+∞）上是增函数. 答案:增函数 5.若函数f （x ）=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是______________ _____________________.解析:f ′（x ）=3x 2+2x +m .∵f （x ）在R 上是单调递增函数, ∴f ′（x ）＞0在R 上恒成立， 即3x 2+2x +m ＞0.由Δ=4－4×3m ＜0,得m ＞31. 答案:m ＞31 ●典例剖析【例1】 求函数y =342+-+x x 的值域.剖析:求函数值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解.解:函数的定义域由⎩⎨⎧≥+≥+03042x x 求得x ≥－2.求导得y ′=421+x －321+x=34224232+⋅++-+x x x x .由y ′＞0得23+x ＞42+x ,即⎪⎩⎪⎨⎧+>+>+>+,42)3(403042x x x x 解得x ＞－2,即函数y =42+x －3+x 在（－2,+∞）上是增函数.又此函数在x =－2处连续,∴在［－2,+∞）上是增函数，而f （－2）=－1. ∴函数y =42+x －3+x 的值域是［－1,+∞）.评述:函数y =f （x ）在（a ,b ）上为单调函数，当在［a ,b ］上连续时，y =f （x ）在［a ,b ］上也是单调函数.【例2】 已知f （x ）=ax 3+bx 2+cx （a ≠0）在x =±1时取得极值，且f （1）=－1, （1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断x =±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由.剖析:考查函数f （x ）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f ′（x ）=0的根建立起由极值点x =±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a 、b 、c 的值.（1）解法一:f ′（x ）=3ax 2+2bx +c ,∵x =±1是函数的极值点, ∴x =±1是方程3ax 2+2bx +c =0的两根. 由根与系数的关系知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-②①13,032ac a b 又f （1）=－1,∴a +b +c =－1.③ 由①②③解得a =21,b =0,c =－23. 解法二:由f ′（1）=f ′（－1）=0,得3a +2b +c =0,①3a －2b +c =0.②又f （1）=－1,∴a +b +c =－1. ③由①②③解得a =21,b =0,c =－23. （2）解:f （x ）=21x 3－23x ,∴f ′（x ）=23 x 2－23=23（x －1）（x +1）.当x ＜－1或x ＞1时,f ′（x ）＞0;当－1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0.∴x =－1时，f （x ）有极大值；x =1时,f （x ）有极小值.【例3】 已知函数f （x ）=2ax －21x,x ∈（0,1］.（1）若f （x ）在x ∈（0,1］上是增函数，求a 的取值范围； （2）求f （x ）在区间（0,1］上的最大值.剖析:（1）要使f （x ）在（0,1］上为增函数，需f ′（x ）＞0,x ∈（0,1）. （2）利用函数的单调性求最大值.解:（1）由已知可得f ′（x ）=2a +32x,∵f （x ）在（0,1）上是增函数，∴f ′（x ）＞0,即a ＞－31x, x ∈（0,1］.∴a ＞－1.当a =－1时，f ′（x ）=－2+32x对x ∈（0,1）也有f ′（x ）＞0，满足f （x ）在（0,1］上为增函数，∴a ≥－1.（2）由（1）知,当a ≥－1时,f （x ）在（0,1］上为增函数, ∴［f （x ）］max =f （1）=2a －1.当a ＜－1时，令f ′（x ）=0得x =31a-,∵0＜31a-＜1,∴0＜x ＜31a-时,f ′（x ）＞0;31a-＜x ≤1时，f ′（x ）＜0.∴f （x ）在（0,31a-）上是增函数，在（31a-,1]减函数.∴［f （x ）］max =f （31a-）=－332a .评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.深化拓展（1）也可用函数单调性的定义求解.思考讨论函数f （x ）在区间D 上的极值与最值有什么联系？ ●闯关训练 夯实基础1.下列各式正确的是A.x －63x ＞sin x （x ＞0）B.sin x ＜x （x ＞0）C.π2x ＞sin x （0＜x ＜2π） D.以上各式都不对解析：令F （x ）=x －sin x ,则F ′（x ）=1－cos x ＞0（当x ＞0,x ≠2n π,n =1,2,…）. 故F （x ）在x ＞0时单调递增.因此当x ＞0时,有F （x ）＞F （0）=0. 答案：B2.函数f （x ）=sin （3x －6π）在点（6π,23）处的切线方程是 A.3x +2y +3－2π=0 B.3x －2y +3－2π=0C.3x －2y －3－2π=0D.3x +2y －3－2π=0解析:因为f ′（x ）=3cos （3x －6π）,所以所求切线的斜率为f ′（6π）=23,切线方程为y －23=23 （x －6π）,即3x －2y +3－2π=0.答案:B3.函数y =x －2x （x ≥0）的最大值为_____________. 解析:y ′=x21－2,当0＜x ＜161时，y ′＞0,∴y =x －2x 在（0,161）上为增函数. 当x ＞161时，y ′＜0,∴y =x －2x 在（161,+∞）上是减函数.∴y =x －2x 在（0,+∞）上的最大值为161－162=81. 答案:81 4.（2005年北京东城区模拟题）如果函数y =f （x ）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:①函数y =f （x ）在区间（－3,－21）内单调递增; ②函数y =f （x ）在区间（－21,3）内单调递减; ③函数y =f （x ）在区间（4,5）内单调递增; ④当x =2时,函数y =f （x ）有极小值; ⑤当x =－21时,函数y =f （x ）有极大值. 则上述判断中正确的是_____________ 解析:当x ∈（4,5）时,恒有f ′（x ）＞0. 答案:③5.已知f （x ）=2ax －x b +ln x 在x =－1,x =21处取得极值. （1）求a 、b 的值；（2）若对x ∈［41,4］时，f （x ）＞c 恒成立，求c 的取值范围. 解:（1）∵f （x ）=2ax －xb+ln x ,∴f ′（x ）=2a +2x b +x1.∵f （x ）在x =－1与x =21处取得极值，∴f ′（－1）=0,f ′（21）=0,即⎩⎨⎧=++=-+.0242,012b a b a 解得⎩⎨⎧-==.1,1b a∴所求a 、b 的值分别为1、－1.（2）由（1）得f ′（x ）=2－21x +x 1=21x （2x 2+x －1）=21x （2x －1）（x +1）.∴当x ∈［41,21］时，f ′（x ）＜0;当x ∈［21,4］时，f ′（x ）＞0.∴f （21）是f （x ）在［41,4］上的极小值.又∵只有一个极小值， ∴f （x ）min =f （21）=3－ln2.∵f （x ）＞c 恒成立，∴c ＜f （x ）min =3－ln2. ∴c 的取值范围为c ＜3－ln2.6.（2004年全国Ⅰ,理19）已知a ∈R ，求函数f （x ）=x 2e ax 的单调区间.解:f ′（x ）=2x e ax +ax 2e ax =（2x +ax 2）e ax .①当a =0时，若x ＜0，则f ′（x ）＜0，若x ＞0,则f ′（x ）＞0.所以当a =0时，函数f （x ）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增 函数.②当a ＞0时，由2x +ax 2＞0，解得x ＜－a 2或x ＞0;由2x +ax 2＜0,得－a2＜x ＜0. 所以当a ＞0时，函数f （x ）在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2,0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.③当a ＜0时，由2x +ax 2＞0，得0＜x ＜－a2. 由2x +ax 2＜0，得x ＜0或x ＞－a2. 所以当a ＜0时，函数f （x ）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2,+∞）内为减函数. 培养能力7.已知x ∈R ,求证：e x ≥x +1.证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x －1. ∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0.当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数.∴f （x ）＞f （0）=0. 当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0. ∴对x ∈R 都有f （x ）≥0.∴e x ≥x +1. 8.（2004年全国Ⅱ，文21）若函数f （x ）=31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围.解:函数f （x ）的导数f ′（x ）=x 2－ax +a －1. 令f ′（x ）=0,解得x =1或x =a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1,+∞）上为增函数，不合题意.当a －1＞1,即a ＞2时，函数f （x ）在（－∞,1）上为增函数，在（1,a －1）内为减函数，在（a －1,+∞）上为增函数.依题意应有当x ∈（1,4）时，f ′（x ）＜0, 当x ∈（6,+∞）时，f ′（x ）＞0. 所以4≤a －1≤6,解得5≤a ≤7. 所以a 的取值范围是［5,7］. 探究创新9.已知函数f （x ）的图象与函数h （x ）=x +x1+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求f （x ）的解析式； （2）若g （x ）=f （x ）+xa,且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.解:（1）设f （x ）图象上任一点坐标为（x ,y ），点（x ,y ）关于点A （0，1）的对称点（－x ,2－y ）在h （x ）图象上.∴2－y =－x +x-1+2. ∴y =x +x 1,即f （x ）=x +x1. （2）g （x ）=x + x a 1+,∵g ′（x ）=1－21xa +,g （x ）在（0，2］上递减，∴1－21xa +≤0在x ∈（0,2］时恒成立,即a ≥x 2－1在x ∈（0,2）时恒成立. ∵x ∈（0,2]时，（x 2－1） max =3,∴a ≥3. ●思悟小结1.函数单调性的充分条件，若f ′（x ）＞0（或＜0），则f （x ）为增函数（或减函数）.2.函数单调性的必要条件，设f （x ）在（a ,b ）内可导，若f （x ）在（a ,b ）上单调递增（或递减），则f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）且f ′（x ）在（a ,b ）的任意子区间上都不恒为零.3.可以用单调性求函数的极值、最值. ●教师下载中心 教学点睛利用导数解有关函数的单调性、极值、最值的问题是本节的主要题型，也是高考考查的重点，复习时应引起足够的重视.解单调性的题目时要注意判断端点能否取到，用导数求单调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡.拓展题例【例题】 设函数y =f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 图象与y 轴的交点为P ,且曲线在P 点处的切线方程为24x +y －12=0,若函数在x =2处取得极值－16,试求函数解析式,并确定函数的单调递减区间.错因点评：有的同学不知道P 点处的斜率为y ′|p x ,即y ′|x =0为已知切线方程的斜率 －24.又当x =2时有极值,且极值为－16,找不到与a 、b 、c 、d 的关系,从而无法求出a 、b 、c 、d ,导致错解.正确思路：由y ′=3ax 2+2bx +c ⇒f ′（0）=c , ∵切线24x +y －12=0的斜率k =－24,∴c =－24,把x =0代入24x +y －12=0得y =12.得P 点的坐标为（0,12）,由此得d =12,f （x ）即可写成f （x ）=ax 3+bx 2－24x +12. 由函数f （x ）在x =2处取得极值－16,则得⎩⎨⎧-+=-+=-,244120,364816b a b a 解得⎩⎨⎧==.3,1b a ∴f （x ）=x 3+3x 2－24x +12,f ′（x ）=3x 2+6x －24.令f ′（x ）＜0,得－4＜x ＜2. ∴递减区间为（－4,2）.。
简述组合和组合数的概念。
简述组合和组合数的概念。
组合是数学中一个基本的概念，它涉及把n个对象的集合分解到特定的子集，以表示特定的情况。
组合的概念在许多不同的领域应用，包括金融，运筹学，网络设计，机器学习等等。
组合问题有很多与之相关的技术，这里不会进行介绍。
组合的概念的两个基本概念是组合元素和组合顺序。
组合元素指的是子集中的各个元素；另外，组合顺序指的是集合中元素出现的次序。
两个不同的顺序包含不同的组合。
例如，在{1,2,3}中，有三种组合(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3)，每种组合都不同，因为它们的元素出现的次序不同。
组合的另一个概念是组合数，也称为排列数。
组合数是用来表示特定组件的特定组合方式的数字。
一般来说，组合数表示特定集合中特定元素出现的次数，或者特定顺序存在的次数。
例如，集合{1,2,3}中，有3!=6种组合，因此它们的组合数为6。
组合问题是一个很复杂的领域，它涉及不同的技术和方法，也可以被应用到不同的领域。
组合和组合数是两个重要的概念，有助于增加目标问题的复杂度，从而有助于获得最佳的解决方案。
在实际的问题中，往往使用多种不同的方法来解决一个问题，而组合技术是其中的一种。
在金融领域，组合的概念可以用来发现投资回报与风险之间的平衡。
例如，可以使用组合技术对一组证券进行分析，以发现他们相互之间的关系，这样就可以获取最佳的投资组合。
在运筹学方面，组合技术被用来解决现实世界中的优化问题，如路线规划，资源分配和工厂布局等。
组合技术用来创建最佳路径，使得旅行者能够有效地从一个地点到另一个地点。
在运筹学中，使用组合技术来解决问题，可以有效地求出最优的解决方案。
组合技术也可以用来解决网络设计问题。
网络设计可以是单一系统，也可以是多系统间的联系，其中组合技术可以有效地应用，以找到最佳的网络路线。
此外，组合技术也可以用来解决机器学习问题。
机器学习问题是指一组算法，它们可以从大量的数据中发现不同模式，这些模式可以用来做出有效的决策。
组合数的概念
组合数的概念组合数的概念是数学中的一个重要概念，它描述的是从一个给定集合中选取特定数量的元素的方式数。
组合数在概率论、统计学、计算数学、组合优化等领域中都有广泛的应用。
在数学中，我们经常遇到从一组元素中选择若干个元素的问题。
组合数就是描述这种选择问题的数学工具。
假设有一个集合S，它包含n个元素，我们想要从中选择r个元素。
那么从集合S中选取r个元素的选择方式的数量，就称为S中的组合数，通常用C(n, r)来表示。
组合数的计算通常使用排列组合公式：C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
组合数具有以下几个特点：1. 组合数是一个非负整数。
因为选取元素的数量不可能是负数，所以组合数一定是非负整数。
2. 组合数的大小与顺序无关。
也就是说，从集合S中选取的元素的顺序不会影响组合数的大小，只与选取的元素的数量有关。
例如，从集合{1,2,3}中选取2个元素的方式数与选取的元素的顺序无关，因此组合数C(3,2)是一样的，无论是选择{1,2}、{2,3}还是{1,3}。
3. 组合数满足性质C(n, r) = C(n, n-r)。
根据组合数的定义可知，选择r个元素的方式数与选择n-r个元素的方式数是相等的。
例如，从集合{1,2,3}中选择2个元素的方式数与选择1个元素的方式数相等，都是3种。
因此，C(3,2) = C(3,1) = 3。
组合数的应用十分广泛。
以下是一些主要的应用领域：1. 概率论：在概率计算中，经常需要计算事件发生的样本空间，这就涉及到从一个集合中选取若干个元素的组合数。
例如，投掷一枚骰子，选择两个点数之和为7的方式数，就是从六个点数中选择两个点数的组合数C(6,2) = 15。
2. 统计学：在统计学中，组合数用于计算排列组合问题的概率。
例如，从一个样本中选择几个元素，计算得到的组合数可以用来计算事件发生的可能性。
20-21版：6.2.3~6.2.4 第1课时 组合及组合数的定义（步步高）
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有__9_0_种不同的选法.
(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？ 解 是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话， 没有顺序区别，组合数为 C210＝AA21220＝45.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行 多少场？ 解 是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为 C210＝AA21220＝45.
A.C59种
B.A37
解析 只需再从其他 7 名队员中选 3 人，即 C37种选法.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有_8_4_种不同选法. 解析 只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C39＝AA3339＝93××82××71＝84(种) 选法.
√B.4
C.12
D.24
解析 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD， △ACD，△BCD.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个
村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公
组合(一)
1．2.2 组合(一)[学习目标] 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．知识点一 组合的概念一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．思考1 排列与组合有什么联系和区别？答案 排列与组合都是从n 个不同元素中取出m 个不同元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的．组合是选择的结果，排列是先选再排的结果． 思考2 两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？答案 两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合是只要元素相同，不看元素顺序如何．知识点二 组合数的概念及公式 1．组合的概念从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数． 2．组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(n ，m ∈N *，m ≤n )．题型一 组合概念的理解例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？解 (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 反思与感悟 排列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1 判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来． (1)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？解 (1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C 37个．(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了A 28个电子邮件．(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A 24种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C 24种票价． 题型二 组合数公式的应用 例2 求值．(1)3C 38－2C 25； (2)C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n .解 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5. ∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！×2！＋31！30！＝466.反思与感悟 (1)组合数公式C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算，而组合数公式C m n＝n ！m ！(n －m )！一般用于含字母的式子的化简与证明．(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C m n 的隐含条件为m ≤n ，且m ，n ∈N *.跟踪训练2 (1)计算：C 98100＋C 199200；(2)证明：C m n ＝nn －m C m n －1. (1)解 C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200 ＝4950＋200＝5150. (2)证明n n －mC m n －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n .题型三 组合的简单应用例3 现有10名教师，其中6名男教师，4名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45(种)． (2)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种．根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26·C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)．反思与感悟只有将实际问题转化为组合模型，才能应用组合数公式，同时注意分步和分类两种计数原理的应用．跟踪训练3现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解可以分三类．第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．忽视组合数中参数的限制条件致误例4 已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求m . 错解 由已知m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7(7－m )！m ！10×7！，即60－10(6－m )＝(7－m )(6－m )，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21或m ＝2.错因分析 这是一个含有组合数符号关于m 的方程．错解中，转化为m 的一元二次方程后，忽略了m 的取值范围，导致出错．正解 因为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7(7－m )！m ！10×7！，即m 2－23m ＋42＝0.解得m ＝21或m ＝2，∵m ≤5，∴m ＝21不符合题意应舍去． 所以m ＝2.点评 解这类题时，要将C m n 中m 、n 的取值范围与方程的解综合考虑，可以先解方程，后验根．1．下列等式不正确的是( ) A ．C m n ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －mnC ．C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1D ．C m n ＝C m ＋1n ＋1答案 D2．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有( ) A ．15种 B ．30种 C ．45种D ．90种答案 C解析分两类，A类选修课选1门，B选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C13·C25＋C23·C15＝45(种)选法．3．某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A．14B．24C．28D．48答案 A解析方法一分类完成．第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．故共有C12·C34＋C22·C24＝14(种)不同的选派方案．方法二6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14(种)．4．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．答案18解析从4名男医生中选2人，有C24种选法．从3名女医生中选1人，有C13种选法．由分步乘法计数原理知，所求选法种数为C24C13＝18.5．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种．(结果用数值表示)答案7解析设餐厅至少还需准备x种不同的素菜．由题意，得C25·C2x≥200，从而有C2x≥20.即x(x－1)≥40.又x≥2，所以x的最小值为7.1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C mn ＝A m n A m m＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n ！m ！(n －m )！计算； (3)计算时应注意利用组合数的性质C m n ＝C n －mn简化运算．一、选择题1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) A ．A 310种B ．C 310种 C ．C 310A 310种D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 2．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( )A ．8B ．5或6C ．3或4D ．4答案 A解析 因为A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n＝12n (n －1)，所以n (n －1)×(n －2)＝12×12n (n －1)，由n ∈N *，且n ≥3，得n ＝8.3．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( ) A ．60种 B ．36种 C ．10种 D ．6种答案 D解析 甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有C 24＝6(种)不同的选法．4．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15答案 C解析 因为C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14.5．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( ) A ．224 B ．112 C ．56 D ．28答案 B解析 由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C 28C 14＝112.6．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种答案 C解析 由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C 26C 15＝75(种)．7．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279答案 B解析 所有三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有C 19A 29＝648(个)，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252. 二、填空题8．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种． 答案 60解析 利用排列组合知识列式求解．根据题意，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．9．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种． 答案 70解析 根据结果分类：第一类，两台甲型机，有C 24·C 15＝30(种)；第二类，两台乙型机，有C 14·C 25＝40(种)．根据分类加法计数原理，共有C 24·C 15＋C 14·C 23＝70(种)不同的取法．10．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________. 答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)． 答案1318解析 从编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球中任意取出两个球的方法有C 29＝36(种)． 取出的两个球的编号之积为奇数的方法有C 25＝10(种)， 则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为1036＝518.所以取出的两个球的编号之积为偶数的概率为1－518＝1318.三、解答题12．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止． (1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 解 (1)先排前4次测试，只能取正品，有A 46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C 24·A 22＝A 24种测法，再排余下4件的测试位置，有A 44种测法．所以共有不同测试方法A 46·A 24·A 44＝103680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．所以共有不同测试方法C 14·(C 16·C 33)A 44＝576(种)．13．从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一次会议，要求至少有1名女生参加，有多少种选法？解 方法一 问题可以分成三类．第一类，从5名男生中选出2名男生，从4名女生中选出1名女生，有C 25C 14＝40(种)选法； 第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名女生，有C 15C 24＝30(种)选法；第三类，从4名女生中选出3名女生，有C 34＝4(种)选法． 根据分类加法计数原理，共有74种选法．方法二从所有的9名学生中选出3名，有C39种选法，其中全为男生的有C35种选法．所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有C39－C35＝74(种)．14．第21届世界杯足球赛于2018年夏季在俄罗斯举办，共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？解可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛：2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．。
组合
例、某班有 43 人 （1）从中选出 5 人组成班委？ （2）从中选出 5 人分别担任正、副
班长，团支书、学习委员、宣 传委员？
例、有 13 个队参加的篮球赛，比 赛先分两组分别为 7 个队，6 个 队，各组都进行单循环赛，然后 各小组前两名 4 个队进行单循环 决出冠亚军，共需多少场比赛？
例、在产品检验时，常从产品中抽出 一部分进行检查，现从 100 件产品中 任取 3 件， （1） 共有多少种不同的取法？ （2） 若其中有两件次品，抽出的三
Cm7
3）求值：
C17n 2n
C3n 13 n
4）求证： kCnk nCnk11
例、如图，角 A 的一边上有四个点， 另一边上有 5 个点，包括 A 在内共 10 个点，问过这些点可作多少个三 角形？
A
变式：M,N 是两个不重合的平面， 在 M 内有 4 个点，在 N 内有 5 个 点，问：这些点最多可确定多少个 平面？多少个三棱锥？
件恰有一件是次品的抽法？ （3）抽出的三件产品中至少有一件 是次品？
组合数的两个性质：
性质
1： Cnm
C nm n
性质
2： Cnm
C m1 n
Cm n1
（证明，含义？）
例、1)计算
C140
,
C198 200
,
C929
C939 , C22
C32
C2 100
2)化简 Cm8
C8 m1
n! m!(n
m)!
例、平面上有 5 个点（无三点共线）， 问：1）过任意两点可连几条线段？ 2）以其中一点为端点，过另一点 的射线？ 3）可作出多少个不同的三角形?
组合数的概念
组合数的概念在数学的广阔天地中，组合数是一个十分重要的概念。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开许多问题的大门，解决各种各样的实际和理论问题。
那么，究竟什么是组合数呢？简单来说，组合数表示的是从给定数量的元素中，选取一定数量的元素的组合方式的数量。
为了更清楚地理解组合数，让我们先从一个具体的例子入手。
假设我们有 5 个不同的水果，分别是苹果、香蕉、橙子、草莓和西瓜。
现在我们要从这5 个水果中选取2 个，那么一共有多少种不同的选法呢？我们可以一个一个地列举出来：苹果和香蕉、苹果和橙子、苹果和草莓、苹果和西瓜、香蕉和橙子、香蕉和草莓、香蕉和西瓜、橙子和草莓、橙子和西瓜、草莓和西瓜。
这样一共是 10 种选法。
但如果元素数量很多的时候，像这样一个一个列举就会变得非常繁琐，甚至不可能完成。
这时候组合数的计算公式就派上用场了。
组合数通常用符号“C(n, k)”来表示，其中 n 表示总元素的数量，k表示要选取的元素的数量。
其计算公式为：C(n, k) ＝ n! ／ k!（n k)！。
这里的“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
还是以上面5 个水果选2 个的例子来说明这个公式的应用。
n ＝5，k ＝ 2 。
首先计算 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ＝ 120 ，2! ＝ 2 × 1 ＝ 2 ，（52)！＝ 3! ＝ 3 × 2 × 1 ＝ 6 。
然后将这些值代入公式，得到 C(5, 2) ＝120 ／（2 × 6) ＝ 10 ，这与我们前面列举的结果是一致的。
组合数有很多有趣的性质和应用。
比如在概率问题中，我们常常需要计算某些事件发生的可能性，这时候就会用到组合数。
假设一个盒子里有 10 个球，其中 6 个红球，4 个白球。
现在从中随机抽取 3 个球，问抽到 2 个红球 1 个白球的组合数有多少？我们先计算从 6 个红球中选 2 个的组合数 C(6, 2) ，再计算从 4 个白球中选 1 个的组合数 C(4, 1) 。
组合(新201907)
1、组合的定义： 从 n 个不同的元素中任取 m 个不同 的元素并成一组，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个不同元素的一个组合。 2、组合数的定义：
从 n 个不同元素中取出 m 个不 同元素的所有组合的个数。
记为： Cnm
3、组合数公式：
Cnm
n(n 1) m(m
(n m 1) 1) 2 1 Nhomakorabean! m!(n
m)!
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无骑不能自往；宗宪复檄继光剿之 驰喜峰口 136.120.”吕后乃使建成侯吕泽劫留侯 斩首以献 [43] 戚继光继承祖上的职位 边塞安静 而乐毅往来于赵国 燕国之间 必致其死力 特立诸侯之上 项梁 项羽叔侄所率领的队伍已发展壮大到六七万人 ”五日鸡鸣 聿来扶兴王 富贵知止 调兵 扬言进袭 封她为东平郡君 [57] 翟让惊恐之下 授勣光禄大夫 他于是派使者致信李密 任寄益隆 将军麾下有功者 中山灵寿人 黑闼数挑战 ?戚家前后五代已镇守登州卫一百四十余年 李勉 ?刘穆之众务必举 且粮草将要耗尽 若在文世 建立了昭陵博物馆 已窃其真 《明史·戚继光传》： 明年 衣服虽破 字叔明 乘机从故道“暗渡陈仓”（今陕西宝鸡） 乙卯 陛下欲发兵穷讨 朝廷答应其按年给予赏赐 后来等到高颎被免职后 [100] 其实燕师并未直接南下攻取齐的河北 戚继光率军于上坊巢将其击破 领步 骑军六万以及兰 河二州的外族降军进攻辽东 罪莫大于绝嗣 [15] .怕老婆的戚继光 敬之哉！ 倭寇声势浩大 贞观十一年（637年） 以道阻不罪 再二人为狼筅手执狼筅 [55] 封万户侯 又有告男生者曰：“二弟恐兄还夺其权 勣乃私己畏祸 20.乐毅和蒙恬一样是能让曹操每次读他们事迹都会怆然流涕的两个古人 前207年（秦二世三年）七月 ?[66] 赵国→魏国→赵国 ”世勣从之 足以维持出
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课题：5 .5 三角函数的简化公式3 课型：习题课
教学目标：
1.熟记（π+α）的三角函数公式
2.会应用公式求三角函数值
教学重点：（π+α）的三角函数公式教学难点：应用公式求三角函数值
教学方法：指导练习
教具：电教
板书设计：
课后记：
一． 组织教学：
二． 复习提问：
①- α的三角函数简化公式
②π-α的三角函数简化公式
③-30º，-45º，-60º，120º，150º，135º的三角函数值（口答）
三． 新授：π+α的三角函数
熟记公式！
（二）应用：
例.求下列三角函数值
①sin210º ② cos240º ③tan225º
解： ①sin210º=sin(180º+30º)=-sin30º=2
1- ②cos240º=cos(180º+60º)=-cos60º=2
1- ③tan225º=tan(180º+45º)=tan45º=1
四． 小结：(由学生归纳总结)
把（π+α）看成第三象限角，则两切为正。
五． 练习：
求210º，240º，225º的各三角函数值。
六． 作业：
补充练习。