2.7 幂函数

基础自测 1 1.下列函数中：①y＝ 3；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2； x ④y＝ x2是幂函数的个数为________ ． 2
3
解析 ①中 y＝x 3， ④中 y＝ x 符合幂函数的定义； 而
－
2 3
②中 y＝3x－2，③中 y＝x4＋x2 不符合幂函数的定义．
2．幂函数
1 ＝27 的 x 的值是________ ． 3
>3.8
>(－1.9) .
(3) 由 于 指 数 函 数 y ＝ 0.2x 在 R 上 是 减 函 数 ， 所 以 0.20.5<0.20.3.又由于幂函数 y＝x0.3 在(0，＋∞)上是递增函 数，所以 0.20.3<0.40.3，故有 0.20.5<0.40.3.
探究提高
有关幂值的大小比较， 可结合幂值的特点， 选
α
1 y＝f(x)的图象经过－2，－8，则满足
f(x)
1 解析 设幂函数 y＝x ，则－ ＝(－2)α， 8 1 ∴α＝－3，即 y＝x ，又 x ＝27，∴x＝ . 3
－3 －3
3．设
1 α∈ －1，1，2，3，则使函数
y＝xα 的定义域为
2
1 2
研究用描点法画出图象．
1 1 4．幂函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y＝x的性质 2
2 3
y＝ x 定义域 R
y＝x2 R
y＝x3 R
yx
1 2
y＝x－1 (-∞，0) ∪ (0，＋∞) (-∞，0) ∪ (0，＋∞) 奇 (－∞，0)减， (0，＋∞)减 (1,1)
[0，＋∞)
题型二
幂函数的图象和性质
例 2 比较下列各组值的大小：
(1) 8

1 3
1 3 和( ) ; 9
2 5
1
( 2 ) 4 .1 、 3 .8
2 5
和( 1.9)

3 5
;
(3)0.2 0.5 和0.4 0.3.
思维启迪
观察符号指数的特点，利用性质插入中间值进
行转化，从而得到结果．
解
1 (1)－9
1,3 R 且为奇函数的所有 α 值为________ ．
4．如图所示曲线是幂函数 y＝xn 在第一象限内 1 的图象．已知 n 分别取± 1， ，2 四个值，则 2 相应曲线 C1、C2、C3、C4 的 n 依次为( B ) 1 A．－1， ，1,2 2 1 C. ，－1,2,1 2 1 B．2,1， ，－1 2 1 D．2， ，－1,1 2
解析 幂函数 y＝xα 在(0,1)的图象为“指大图低”，所 1 以 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为：2,1， ，－1，故选 B. 2
5．若幂函数
1 f(x)的图象经过点3，9，则其定义域为(
C )
A．{x|x∈R，x>0} C．{x|x∈R，且 x≠0}
B．{x|x∈R，x<0} D．R
－
2 . 2
思想与方法 1．利用转化思想求参数范围 试题：(12 分)若函数 f(x)＝(mx2＋4x＋m＋2)
3 4

(x2－mx＋1)0 的定义域为 R， 求实数 m 的取值范围．
审题视角 3 (1)从幂函数的视角看，幂指数为－ .f(x)的 4
定义域为 R，转化为 mx2＋4x＋m＋2>0 恒成立，且 x2 －mx＋ 1≠0.(2)mx2＋ 4x ＋m ＋ 2>0 恒成立转化为 y＝ mx2＋4x＋m＋2 开口向上，且与 x 轴无交点．
1 3
＝－9

1 3
，由于幂函数 y＝x ，
1 3

1 3
在(0，＋∞)
上是减函数，所以 8 >9 因此－8
1 3
<－ 9
2 5

1 3
，即－8
2 5
1 <－9
1 3
.
3 5
(2)由于 4.1 因此 4.1
2 5
>1,0<3.8
2 5
<1，(－1.9)
3 5
<0，
5，或m>－1＋ 5， [8 分] [10 分] [12 分]
∴m>－1＋ 5. 由②得 Δ2＝(－m)2－4<0，即－2<m<2. 综上可得 5－1<m<2.
批阅笔记
(1)有关幂函数 y＝xα 的定义域的确定，当 α
为分数时，可转化为根式考虑，当 α＝0 时，底是非零 的， 不可忽视． 本题将原题转化为对一切 x∈R 有 g(x)>0 且 h(x)≠0 恒成立是解题的关键． (2)不等式恒成立问题， 可利用数形结合思想， 如 g(x)>0 和 h(x)≠0 在 R 上恒成 立作进一步转化．(3)易错分析：第一，不能将问题转化 为 mx2＋4x＋m＋2>0 恒成立问题，也就是缺乏转化的 意识；第二，易忽略 x2－mx＋1≠0 的隐含条件，致使 范围扩大．
题型三
幂函数的综合应用
m2 2 m3
例 3 已知幂函数 f(x)＝ x
m 3
(m∈N＋)的图象关于 y
m 3
轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足 (a 1)
(3 2a)

的 a 的取值范围．
由 f(x)＝x
m2 2 m3
思维启迪
(m∈N＋)的图象关于 y 轴对
m 3
2 m －m－1＝1 则 －5m－3>0
，∴m＝－1.
(3)若 f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1， 4 解得 m＝－ ， 5 4 2 此时 m －m－1≠0，故 m＝－ . 5 (4)若 f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1， 2 2 2 则 m＝－ ，此时 m －m－1≠0，故 m＝－ . 5 5 (5)若 f(x)是二次函数，则－5m－3＝2， 即 m＝－1，此时 m2－m－1≠0，故 m＝－1. 综上所述，当 m＝2 或 m＝－1 时，f(x)是幂函数； 当 m＝－1 时，f(x)既是幂函数，又是(0，＋∞)上的增函数； 4 当 m＝－ 时，f(x)是正比例函数； 5 2 当 m＝－ 时，f(x)是反比例函数； 5 当 m＝－1 时，f(x)是二次函数．
解
－
2 的大小． 2
x2＋4x＋5 1 ∵f(x)＝ 2 ＝1＋ x ＋4x＋4 (x＋2)2
＝1＋(x＋2)－2， 其图象可由幂函数 y＝x
－2
的图象向左平移 2 个单位，再
向上平移 1 个单位得到，
该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增 函数，且其图象关于直线 x＝－2 对称(如图所示)． 2 2 又∵－2－(－π)＝π－2<－ －(－2)＝2－ ， 2 2 ∴f(－π)>f
探究提高
本题集幂函数的概念、 图象及单调性、 奇偶性
于一体， 综合性较强， 解此题的关键是弄清幂函数的概念 及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调 性和奇偶性(图象对称性)求出 m 的值或范围；第二步，利 用分类讨论的思想， 结合函数的图象求出参数 a 的取值范 围．
x2＋4x＋5 变式训练 3 指出函数 f(x)＝ 2 的单调区间， 并比 x ＋4x＋4 较 f(－π)与 f
k 数为 y＝x (k≠0)；(3)幂函数为 y＝xα.解这类题目， 要紧扣 定义．
变式训练 1 值时，f(x)
已知函数 f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m 为何
(1)是幂函数； (2)是幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数； (3)是正比例函数； (4)是反比例函数； (5)是二次函数．
解 (1)因 f(x)是幂函数，故 m2－m－1＝1，即 m2－m－2＝0， 解得 m＝2 或 m＝－1. (2)若 f(x)是幂函数且又是(0，＋∞)上的增函数，
解析
设 f(x)＝x
α
1 .∵图象过点3，9，
1 － ∴ ＝3α，即 3 2＝3α，∴α＝－2， 9 1 即 f(x)＝x ＝ 2，∴x2≠0，即 x≠0， x
－2
其定义域为{x|x∈R，且 x≠0}．
题型分类
题型一 例1 幂函数的概念
2
深度剖析
，m 为何值时，f(x)是
已知 f(x)＝(m ＋2m) x
变式训练 2
已知幂函数
yx
43mm2
(m∈Z)的图象与 y
轴有公共点，且其图象关于 y 轴对称，求 m 的值，并 作出其图象．
解 依题意，其图象与 y 轴有公共点，则
4－3m－m2>0，即 m2＋3m－4<0，解得－4<m<1. 又∵m∈Z，∴m＝－3，－2，－1,0. 当 m＝－3 或 m＝0 时，函数可化为 y＝x4，符合题意，其 图象如图①. 当 m＝－2 或 m＝－1 时， 函数可化为 y＝x6，符合题 意，其图象如图②.
2 m ＋m－1＝－1 2 m ＋2m≠0
，解得 m＝－1.
所以当 m＝－1 时，f(x)为反比例函数． (3)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1. ∴m＝－1± 2， 所以当 m＝－1± 2时，f(x)为幂函数．
探究提高 (1)正比例函数为 y＝kx (k≠0)；(2)反比例函
(3)幂函数的图象一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第四 象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性； 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图 像与坐标轴相交，则交点一定是原点． (4)幂函数的定义域的求法可分 5 种情况，即：①α 为零；②α 为 正整数；③α 为负整数；④α 为正分数；⑤α 为负分数． (5)作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性 等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性 就可作出幂函数在定义域内完整的图象．