2008年奥数试题解析
2008中国数学奥林匹克解答
2008中国数学奥林匹克解答第一天1. 设锐角 △ABC 的三边长互不相等. O 为其外心, 点A '在线段AO 的延长线上, 使得 BA A CA A ''∠=∠. 过点A '分别作1A A AC '⊥, 2A A AB '⊥, 垂足分别为1A , 2A . 作A AH BC ⊥, 垂足为A H . 记△12A H A A 的外接圆半径为A R , 类似地可得B R , C R . 求证:1112A B C R R R R++=, 其中R 为△ABC 的外接圆半径.（熊斌提供）证明 首先, 易知,,,A B O C '四点共圆.事实上，作△BOC 的外接圆，设它与AO 相交于点P 不同于A '，则BPA BCO CBO CPA ∠=∠=∠=∠，于是，△PA C '≅△PA B '，可得A B A C ''=，故AB AC =，矛盾。
所以01802BCA BOA C ''∠=∠=-∠, 1A CA C '∠=∠.22cos sin A H A AA A AA C AC AA '==∠=∠', 22A A AH A ACB π'∠=∠=-∠. 所以△2A A AH ∽△A AC '. 同理, △1A A H A ∽△A BA '. 所以21,A A A H A ACA A H A ABA ''∠=∠∠=∠, 则12212A A A A H A A H A A H A π∠=-∠-∠2ACA ABA π''=-∠-∠22A A A ππ⎛⎫=∠+-∠=-∠ ⎪⎝⎭.所以,1212122sin 2sin AA RR R A A A R A A A H A ∠==∠2sin 2sin R A RAA A AA ∠==''∠.作AA ''⊥A C '，垂足为A ''，因为1ACA A CA C '''∠=∠=∠，所以A AA AH ''=，于是()02sin cos cos sin 90ABC A A S AH AH AA AA AA C A a AA '''===='∠∠∠-∠,故()1cos cos 11cot cot sin sin A ABC a A A B C R S R B C R∠∠===-∠∠∠∠, 同理,()111cot cot B C A R R =-∠∠, ()111cot cot C A B R R=-∠∠, 注意到 cot cot cot cot cot cot 2A B B C C A ∠∠+∠∠+∠∠=,所以1112A B C R R R R++=. 2. 给定整数3n ≥. 证明: 集合{}21,2,3,,X n n =-能写成两个不相交的非空子集的并, 使得每一个子集均不包含n 个元素1212,,,,n n a a a a a a <<<, 满足112k k k a a a -++≤, 2,,1k n =-.（冷岗松提供）证明 定义{}{}22221,,,1,,k k S k k k T k k k =-+=++, 1,2,,1k n =-.令11n k k S S -==, 11n k k T T -==. 下面证明,S T 即为满足题目要求的两个子集.首先, S T =∅, 且S T X =.其次, 如果S 中存在n 个元素1212,,,,,n n a a a a a a <<< 满足112k k k a a a -++≤, 2,,1k n =-.则11,2,, 1.k k k k a a a a k n -+-≤-=- (*)不妨设1i a S ∈. 由于1n S n -<, 故1i n <-. 12,,,n a a a 这n 个数中至少有i n S n i -=-个在11i n S S +-中. 根据抽屉原理, 必有某个()j S i j n <<中含有其中至少两个数, 设最小的一个为k a , 则1,k k j a a S +∈, 而111k j a S S --∈. 于是111k k j a a S j +-≤-=-, 111k k j a a T j ---≥+=.所以11k k k k a a a a +--<-, 与(*)矛盾.故S 中不存在n 个元素满足题中假设.同理, T 中亦不存在这样的n 个元素. 这表明,S T 即为满足题中要求的两个子集.3. 给定正整数n , 及实数1212,,n n x x x y y y ≤≤≤≥≥≥ 满足11nni ii i ix iy===∑∑.证明: 对任意实数α, 有[][]11n niii i x i y i αα==≥∑∑.这里, []β表示不超过实数β的最大整数.（朱华伟提供）证明1 我们先证明一个引理, 对任意实数x 和正整数n , 有[][]111.2n i n i n αα-=-≤∑ 引理证明 只需要将[][][]()i n i n ααα+-≤对1,2,,1i n =-求和即得.回到原题, 我们采用归纳法对n 进行归纳, 当1n =时显然正确.假设n k =时原命题成立, 考虑1n k =+. 令1122,i i k i i k a x x b y y k k ++=+=+, 其中1,2,,.i k = 显然我们有12,k a a a ≤≤≤ 12k b b b ≥≥≥, 并且通过计算得知11kkiii i ia ib===∑∑, 由归纳假设知[][]11kkiii i a i b i αα==≥∑∑.又11k k x y ++≥, 否则若11k k x y ++<, 则121121k k x x x y y y ++≤≤≤<≤≤≤,1111k k iii i ix iy++===∑∑, 矛盾.从而[][]111k ki i i i x i a i αα+==-∑∑()[]1121k k i x k i k αα+=⎧⎫=+-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ ()[][][]1111121,k k i k ki i i i y k i k y i b i αααα+=+==⎧⎫≥+-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭=-∑∑∑ 由此可得[][]1111k k i i i i x i y i αα++==≥∑∑. 由归纳法知原命题对任意正整数n 均成立.证明2 记i i i z x y =-, 则120n z z z ≤≤≤≤且10ni i iz ==∑, 只需要证明[]10ni i z i α=≥∑. (1)令112211,,,n n n z z z z z -∆=∆=-∆=-, 则()11ii j j z i n ==∆≤≤∑, 所以11110nninni j j i i j j i jiz i i =======∆=∆∑∑∑∑∑,从而 121n nnj j i ji ii ===∆=∆∑∑∑. (2)于是[][][]1111nninn ijji i j j i jz i i i ααα======∆=∆∑∑∑∑∑[]221nnn nn j j j i j j i ji i ii α=====⎛⎫=∆-∆ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑ [][]211nnnnnnj j i j i ji ji i i i i i i αα======⎛⎫=∆⋅- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑, 故(1)转化为证明对任意的2j n ≤≤,[][]11n n n ni ji ji i i i i i αα====≥∑∑∑∑. (3)而[][][][]1111111111(3)j j j j nn n n i ji ji i i i i i i i i i i i i i αααα----========⇔≥⇔≥∑∑∑∑∑∑∑∑. 故只需要证明对任意的1k ≥, 有 [][]111111k k k ki i i i i i i i αα++====≥∑∑∑∑,而上述不等式等价于[][]()[]()()11(1)2110kki i k ki k i k i ααααα==+⋅≥⇔+--+-≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑.注意到[][][]x y x y +≥+对任意实数,x y 成立, 上述不等式显然成立. 从而(3)得证.第二天4. 设A 是正整数集的无限子集, 1n >是给定的整数. 已知: 对任意一个不整除n 的素数p , 集合A 中均有无穷多个元素不被p 整除. （余红兵提供）证明: 对任意整数1m >, (),1m n =, 集合A 中均存在有限个不同元素, 其和S 满足1S ≡(mod m ), 且0S ≡ (mod n ).证明1 设p m α, 则集合A 中有一个无穷子集1A , 其中的元素都不被p 整除. 由抽屉原理知, 集合1A 有一个无穷子集2A , 其中的元素都a ≡(mod mn ), a 是一个不被p 整除的数.因(),1m n =, 故,1mn p p αα⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由中国剩余定理, 同余方程组1(mod )0(mod )x a p mn x p αα-⎧≡⎪⎨≡⎪⎩(1)有无穷多个整数解. 任取其中一个正整数解x , 并记p B 是2A 中前x 项的集合, 则p B 中的元素之和(mod )p S ax mn ≡, 再由(1)可知1(mod )p S ax p α≡≡, 0(mod)p mnS pα≡. 设11k k m p p αα=, 并设对每个(11)i p i k ≤≤-已选出了A 的有限子集i B , 其中11\i i B A B B -⊂⋃⋃, 使得i B 中的元素和i p S 满足1(mod )i i p i S p α≡, 0(mod)i ip i mnS p α≡. (2) 考虑集合1ki i B B ==, 则B 的元素和1ki i S S ==∑. 根据(2), 我们有1(mod )i i S p α≡,(1i k ≤≤), 且0(mod )S n ≡.所以B 即满足题目要求.证明2 考虑A 中的数除以mn 的余数, 设出现无穷多次的余数依次为12,,,k ααα.首先证明()12,,,,1k m ααα=. (1)反证法. 反设有某个素数()12,,,,k p m ααα, 则由(),1m n =知p 不整除n ;又根据12,,,k ααα的定义, A 中只有有限个数不是p 的倍数, 这与题设矛盾.于是(1)获证. 从而存在正整数12,,,,k x x x y , 使得11221k k x x x ym ααα+++-=. 再取合适的正整数r 使得1(mod )rn m ≡. 则()()()1122k k rnx rnx rnx rn rmny ααα+++=+.于是从A 中依次取出i rnx 个模mn 的余数为i α的数()1,2,,i k =即满足题目要求.5. 求具有如下性质的最小正整数n : 将正n 边形的每一个顶点任意染上红, 黄, 蓝三种颜色之一, 那么这n 个顶点中一定存在四个同色点, 它们是一个等腰梯形的顶点.（冷岗松提供）解 所求n 的最小值为17. 首先证明17n =时, 结论成立.反证法. 反设存在一种将正17边形的顶点三染色的方法, 使得不存在4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.由于171163-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 故必存在某6个顶点染同一种颜色, 不妨设为黄色. 将这6个点两两连线, 可以得到2615C =条线段. 由于这些线段的长度只有1782⎡⎤=⎢⎥⎣⎦种可能, 于是必出现如下的两种情况之一:(1) 有某3条线段长度相同.注意到3 17, 不可能出现这3条线段两两有公共顶点的情况. 所以存在两条线段, 顶点互不相同. 这两条线段的4个顶点即满足题目要求, 矛盾.(2) 有7对长度相等的线段.由假设, 每对长度相等的线段必有公共的黄色顶点, 否则能找到满足题目要求的4个黄色顶点. 再根据抽屉原理, 必有两对线段的公共顶点是同一个黄色点. 这4条线段的另4个顶点必然是某个等腰梯形的顶点, 矛盾.所以, 17n =时, 结论成立.再对16n ≤构造出不满足题目要求的染色方法. 用12,,,n A A A 表示正n 边形的顶点(按顺时针方向), 123,,M M M 分别表示三种颜色的顶点集.当16n =时, 令{}158131416,,,,M A A A A A =,{}23671115,,,,M A A A A A =,{}312491012,,,,,M A A A A A A =. 对于1M , 14A 到另4个顶点的距离互不相同, 而另4个点刚好是一个矩形的顶点. 类似于1M , 可验证2M 中不存在4个顶点是某个等腰梯形的顶点. 对于3M , 其中6个顶点刚好是3条直径的顶点, 所以任意4个顶点要么是某个矩形的4个顶点, 要么是某个不等边4边形的4个顶点.当15n =时,令{}112358,,,,M A A A A A =,{}269131415,,,,M A A A A A =,{}347101112,,,,M A A A A A =, 每个i M 中均无4点是等腰梯形的顶点.当14n =时, 令{}11381014,,,,M A A A A A =, {}24571112,,,,M A A A A A =,{}326913,,,M A A A A =, 每个i M 中均无4点是等腰梯形的顶点.当13n =时, 令{}156710,,,M A A A A =,{}2181112,,,M A A A A =,{}3234913,,,,M A A A A A =, 每个i M 中均无4点是等腰梯形的顶点.在上述情形中去掉顶点13A , 染色方式不变, 即得到12n =的染色方法; 然后再去掉顶点12A , 即得到11n =的染色方法; 继续去掉顶点11A , 得到10n =的染色方法.当9n ≤时, 可以使每种颜色的顶点个数小于4, 从而无4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.上面构造的例子表明16n ≤不具备题目要求的性质. 总上所述, 所求的n 的最小值为17.6. 试确定所有同时满足223mod )n n n q p ++≡（, 223(mod )n n n p q ++≡的三元数组(,,)p q n , 其中,p q 为奇素数, n 为大于1的整数.（陈永高提供）解 易见()3,3,(2,3,)n n =均为满足要求的数组. 假设(),,p q n 为其它满足要求的一数组, 则,3,3p q p q ≠≠≠. 不妨设5q p >≥.如果2n =, 则2443q p -, 即22222(3)(3)q p p -+. 由于q 不同时整除223p -和223p +, 故2223q p -或2223q p +. 但22203p q <-<,22221(3)2p p q +<<, 矛盾. 因此3n ≥. 由22223,3n n n n n n p q q p ++++--知2222223,3n n n n n n n n p p q q p q +++++++-+-. 又p q <, ,p q 为素数, 故2223n n n n n p q p q ++++-. (1)因此得222232n n n n n n p q p q q ++++≤+-<, 从而22n p q <.由223n n n q p++-及3p >知2223n n n n q pp+++≤-<, 从而21nq p+<, 结合22np q <有44232nnnp pp++<<. 因此43n n<+, 故3n =. 这样 3553553,3p q q p --.且由555321113-=⨯⨯易知5p >. 由3553p q -知553p q -. 由费马小定理知113p p p q ---, 因此(5,1)(5,1)3p p p q ---.如果()5,11p -=, 则3p q -, 由5543223443333353(mod )3q q q q q p q -=+⋅+⋅+⋅+≡⨯- 以及5p ≥知p 5533q q --. 因此33p q -. 由3553q p -知()5535553333q p p pq ≤-<=<,矛盾.所以()5,11p -≠, 即51p -, 类似可得51q -. 由q 3p -(因7q p >≥)及3553q p -知55333p qp --, 从而 553432234333333p q p p p p p -≤=+⋅+⋅+⋅+-.由51q-知11p-及51q≥. 因此p≥, 312343433331q p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪≤++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭44111381p p p<⋅≤-. 从而1344811p q ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 因此3555224133334311111831p q p q p q q p q +-⎛⎫<+<+< ⎪⎝⎭,这与(1), 即335553p q p q +-矛盾.综上, ()3,3,(2,3,)n n =即为所有满足要求条件的三元数组.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
2008年创新奥数小升初数学模拟试卷22-2
模拟试卷22答案与解析1. 0.01 原式＝690.360.350.0154230.7⨯⨯=⨯⨯ 2. 28根据算式可知：□＝（509×18－1070）÷289＝283. 7因为要求“至少”，应使三科优秀的人数最少重合，所以25－（30－22）－（30－20）＝7（人）4. 6和7从表格中可以看出星期三缺少个位数字B ，星期四缺少十位数字A ，于是可以将星期三和星期四的阅读页数重新组合成两个两位数：69和AB 。
根据表格中的其它条件可求出： 785(89756981)76AB =⨯-+++=所以A=7, B=6。
5. 1012 设被乘数和乘数分别为ab xy 和，观察整个竖式可知，ab 与y 的乘积的个位是2，ab 与x 乘积的十位是9，因为22ab y ⨯=，所以只有22×1＝22，11×2＝22两种情况，当ab ＝22时，ab ×x ＝9□无解，因此ab ＝11，y=2，此时x=9，乘积为：11×92＝1012。
6. 13因为三位数是5的倍数，所以它的个位数必须是0或5，要使各个数位上数字之和为9，分两种情况：（1）个位是0，则十位和百位数字之和是9，有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(9,0)共9个。
（2）个位是5，则十位和百位数字之和是4，有(1,3),(3,1),(2,2),(4,0)共4个。
两种情况的和为：9+4＝13个。
7. 13若天平一端放砝码，可称出1克，3克，9克，1+3＝4（克），1＋9＝10（克），3+9＝12（克），1+3+9＝13（克），共7种重量;若天平两端放砝码，可称出3-1=2（克），9-1=8（克），9-3=6（克），9-(3+1)=5（克），9+1-3=7（克），9+3-1=11（克），共6种重量。
所以可称出7+6＝13（种）不同的重量。
8. 6947根据第一次和第三次的回答，可知千位数字是6; 根据第二次和第三次的回答，可知个位数字是7; 由此可继续推出百位数字是9，十位数字是4。
小学五年级奥数第六讲抽屉原理及作业
第六讲抽屉原理一、一个盒子里有10个红球、8个蓝球、6个绿球、4个白球，如果闭上眼睛，从盒子中摸球，每次只许摸一个球，至少要摸出（）个，才能保证摸出的这几个球中至少有两个颜色相同。
二、红星小学五年级（1）班有54个同学，能否有2人在同一星期内过生日？三、参加数学竞赛的有210名同学，能否保证有18名或18名以上的同学在一个月出生，为什么？四、盒子里放着红色、黄色、蓝色、白色、黑色五种手套各6只，如果闭上眼睛，让你在盒子中拿手套，至少拿多少只能可以保证拿到一副颜色相同的手套？五、在1米长的线段上任意点六个点，请证明，这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。
六、口袋中有16个白球，4个黄球，6个黑球。
请你闭上眼睛从口袋中摸球，至少取出多少个球，才能保证取出的球有黄球？七、袋子里有红、黄、黑、白袜子各10双，要想闭上眼睛摸出颜色相同的4双袜子，至少要摸出几双袜子，才能保证达到目的？八、公交集团有51辆客车，各种座位位数不同，最少的有18座，最多的有60座，那么在这些客车中，至少有几辆的座位数是相同的？九、某袋内装有70只球，其中20只是红球，20只是绿球20只是黄球，其余是黑球和白球，为确保取出的球中至少包含有10只同颜色的球，问：最少必须从袋中取出几只球？十、从1、2、3、……、2004这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得每两个数的差不等于4？第六讲抽屉原理作业1、长江小区有367名儿童在2000年出生的，至少有两人在同一天过生日，这是因为把（）当作抽屉，有（）个，把（）当作元素，有（）个。
2、盒子里有红、白两种颜色的贺卡若干张，现在有4个小朋友每人从盒子里任取两张，则必须有两个小朋友取出两张颜色完全相同的贺卡，其中抽屉数为（）个，元素（）个。
3、一个正方体，给它的每个面涂上颜色，黄色、红色，则至少有两个面颜色相同，其中把（）当成抽屉，有（）个，把（）当作元素，有（）个。
4、有30个小朋友同在2月份出生，至少有（）个小朋友同一天出生。
2008年全国小学数学奥林匹克决赛试题及详细解答
2008年小学数学奥林匹克决赛试题1、计算：2、计算：76×65-65×54+54×43-43×32+32×21-21×10= 。
3、自然数N=123456789101112…2008是一个位数。
4、人们常常喜欢使用自己的生日数码作为密码。
例如，某人的生日是1997年3月24日，他的六位数生日数码就是970324，其中97是出生年号的十位数字和个位数字，老师说：这种数码很容易重复，因为它只占六位数字数码的很小一部分。
那么，如果不计闰年二月的29日，六位数生日数码占六位数码总数的﹪。
5、如图，小张的家是一个建在10m×10m的正方形地面上的房子，房子正好位于一个40m×40m的正方形草地的正中，他们家喂了一只羊，用15m长的绳子拴在房子一边的中点处，取π=3，那么羊能吃到草的草地面积是平方米。
6、有两个2位数，它们的乘积是1924，如果它们的和是奇数，那么它们的和= 。
7、小王和小张玩拼图游戏，他们各用若干个边长为1的等边三角形拼成一个尽可能大的等边三角形，小王有1000个边长为1的等边三角形，但是无论怎样努力，小王拼成的大等边三角形的边长都比小张拼的等边三角形的边长小，那么，小张用的边长为1的等边三角形至少有个。
8、某工厂甲、乙二车间去年计划完成税利800万元，结果，甲车间超额20﹪完成任务，乙车间超额10﹪完成任务，两车间共完成税利925万元，那么，乙车间去年完成的税利是万元。
9、一只装了若干水的水桶，我们把它的水倒出一半，然后再加入一升水，这算一次操作，第二次操作是把经过第一次操作的水桶里的水倒出一半，然后再加入一升水，如果经过7次操作后，桶里还有3升水，那么，这只水桶原来有水升。
10、n正整数，D某个数字，如果n/810=0.9D59D5…，那么n= 。
11、图一是由19个六边形组成的图形，在六边形内蚂蚁只可以选图二中箭头所指的方向之一爬到相邻的六边形内。
2008年全国小学奥林匹克竞赛数学试题
2008年全国小学奥林匹克竞赛数学试题1、计算：2008×0.9998—2007×0.9999= 。
2、一只猴子每天都要吃桃子，如果它每天吃桃子的个数互不相同，那么100个桃子最多可供这只猴子吃天。
3、已知甲乙两数分别是两个三位数、，他们的和是四位数，每个字母代表0～9中的一个数字，且不同的字母代表不同的数字，那么 = 。
4、盒子里放有编号为1到10的十个球，小王先后三次从盒中共取出9个球，如果从第二次开始，每次取出的球的编号之和都是前一次的2倍，那么未取出的球的编号是。
5、一项工程，甲单独做24小时完成，乙单独做36小时完成，现在要求20小时完成，并且两人合作的时间尽可能少，那么甲乙合做。
6、我国著名运动员姚明爬一座山，上山速度为5分/分，下山速度为上山速度的倍，这名运动员上山比下山多用2小时，那么山坡的坡长是米。
7、张丹、王梓、李小双三人共有存款6300元，已知张丹与王梓的存款的比是5：6，李小双的存款占王梓的，那么张丹有存款元。
8、用四舍五入的方法计算三个真分数之和的近似值为 + + =0.98，那么a= ，b= .9、有一本童话书的页码共含有99个数字“9”，那么这本书至少有。
10、如图，一个四边形的面积是52平方米，两条对角线把这个四边形分成四个小三角形，其中两个较小三角形的面积分别为6平方米和7平方米，那么两个较大三角形的面积分别为平方米和平方米。
11、1、2、3、4四个数所组成的四位数字共有24个，将他们从小到大排列起来，第18个数字是。
12、刘翔小时候每天上学步行10分钟以后，跑步2分钟，恰好到校。
有一天他步行6分钟后就开始跑步，结果早到了2分24秒，那么他的跑步速度是步行速度的倍。
2008年五年级小学生奥数竞赛真题
2008年五年级小学生“希望杯”奥数竞赛试题第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第二试一、填空题（每小题5分，共60分）1、（1 +2 +8 ）÷（1 +2 +8 ）＝2、奥运吉祥物中的5个“福娃”取“北京欢迎您”的谐音：贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮。
如果在盒子中从左向右放5个不同的“福娃”，那么，有种不同的放法。
3、有一列数：1，1，3，8，22，60，164，448……其中的前三个数是1，1，3，从第四个数起，每个数都是这个数前面两个数之和的2倍。
那么，这列数中的第10个数是4、有一排椅子有27个座位，为了使后去的人随意坐在哪个位置都有人与他相邻，则至少要先坐人。
5、一个拧紧瓶盖的瓶子里装着一些水（如图1），由图中的数据可推知瓶子的容积是立方厘米；（取3.14）6、某小区有一块如图2所示的梯形空地，根据图中的数据计算，空地的面积是平方米。
7、如图3，棱长分别为1厘米，2厘米，3厘米，5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是平方厘米。
8、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A,B,C,D,E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的仅次于A组，参加C组、D组的人数相同。
参加E组的人数最少，只有4人，那么，参加B组的有人。
9、菜地里的西红柿获得丰收，摘了全部的时，装满了3筐还多16千克。
摘完其余部分后，又装满6筐，则共收得西红柿千克。
10、工程队修一条公路，原计划每天修720米，实际每天比原计划多修80米。
因而提前3天完成任务。
这条路全长千米。
11、王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高，于是提前1小时40分到达北京。
北京、上海两市间的路程是千米。
12、两个完全相同长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，把它们拼在一起可组成一个新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是平方厘米。
2008第五届中国东南地区数学奥林匹克试题及解答
第五届中国东南地区数学奥林匹克第一天(2008年7月27日 上午8：00－12：00) 福建 龙岩1. 已知集合{}1,2,3,,3S n =，n 是正整数，T 是S 的子集，满足：对任意的,,x y z T ∈ (其中x 、y 、z 可以相同) 都有x y z T ++∉，求所有这种集合T 的元素个数的最大值。
2. 设数列{}n a 满足：111,2(12),1,2,3,n n n a a a n n +==+⋅+=。
试求通项n a 的表达式。
3. 在△ABC 中，BC >AB ，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，如图，CP 垂直BD ，垂足为P ，AQ 垂直BP ，Q 为垂足。
M 是AC 中点，E 是BC 中点。
若△PQM 的外接圆O 与AC 的另一个交点为H ，求证: O 、H 、E 、M 四点共圆。
4. 设正整数,2m n ≥，对于任一个n 元整数集{}12,,,n A a a a =，取每一对不同的数i j a a 、()j i >，作差j ia a -，把这2n C 个差按从小到大顺序排成一个数列，称这个数列为集合A 的“衍生数列”，记为A 。
衍生数列A 中能被m 整除的数的个数记为()A m 。
证明：对于任一正整数2m ≥，n 元整数集{}12,,,n A a a a =及集合{}1,2,,B n =所对应的“衍生数列”A 及B ，满足不等式()()A m B m ≥．第二天(2008年7月28日上午8：00－12：00) 福建 龙岩5. 求出最大的正实数λ，使得对于满足2221x y z ++=的任何实数x 、y 、z 成立不等式：52xy yz λ+≤。
6. 如图，ABC ∆的内切圆I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，点E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是直线EF 与BI 的交点。
证明：M 、N 、D 三点共线。
HOEMQD CBAIN F EDA7. 杰克(Jack)船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱123456,,,,,A A A A A A ，其中i A 内有金币i a 枚，i =1、2、3、4、5、6，诸i a 互不相等。
2008年第七届中国女子数学奥林匹克试题及解答
2008年第七届中国女子数学奥林匹克1．（a ） 问能否将集合{}1,2,,96 表示为它的32个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等；（b ） 问能否将集合{}1,2,,99 表示为它的33个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等．（刘诗雄供题）解：（a ）不能．因为96(961)32|129648972⨯++++==⨯ ．（b ）能．每个三元集的元素和为129999(991)15033332+++⨯+==⨯ ．将1,2,3,,66每两个一组，分成33个组，，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列：150,349,,3334,+++ 266,465,,3251+++ ．故如下33组数，每组三个数之和均相等：{}{}{}1,50,99,3,49,98,,33,34,83, {}{}{}2,66,82,4,65,81,,32,51,67. ．注：此题的一般情况是设集合{}1,2,3,,3M n = 的三元子集族{},,i i i i A x y z =，1,2,i n = 满足12n A A A M ⋃⋃⋃= ．记i i i s x y z =++，求所有的整数n ，使对任意,(1)i j i j n ≤≠≤，i j s s =．解：首先，|1233n n ++++ ，即3(31)2|312n n n n +⇒+．所以，n 为奇数．又当n 为奇数时，可将1,2,3,,2n 每两个一组，分成n 个组，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列：111(),3(),,(1)22n n n n n n +-++++++ ；322,4(21),,(1)()2n n n n n +++--++．其通项公式为1121(1)1,2213[12(1)][2(1)].22k n n k n k k a n n n k n k k n ++⎧-+++-≤≤⎪⎪=⎨++⎪-+-++--≤≤⎪⎩ 易知93312k n a n k +++-=为一常数，故如下n 组数每组三个数之和均相等：1111,,3,3,,31,,,1,31222n n n n n n n n n n +-+⎧⎫⎧⎫⎧⎫++-++-⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭；332,2,31,,1,,2122n n n n n n n ++⎧⎫⎧⎫+--++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭．当n 为奇数时，依次取上述数组为12,,,n A A A ，则其为满足题设的三元子集族．故n 为所有的奇数．2．已知实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++有三个正根，且(0)0ϕ<．求证：322970b a d abc +-≤． ①证明：设实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++的三个正根分别为1x ，2x ，3x ，由韦达定理有123b x x x a++=-，122331c x x x x x x a++=，123d x x x a=-．由(0)0ϕ<，可得0d <，故0a >． 不等式①两边同除以3a ，不等式①等价于3729b c b d a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 31231223311231237()()2()9x x x x x x x x x x x x x x x ⇔++++≤+++， 2222223331213212331321232()x x x x x x x x x x x x x x x ⇔+++++≤++ ②因为1x ，2x ，3x 大于0，所以221212()()0.x x x x --≥也就是2233122112.x x x x x x +≤+同理22332233233223311331,.x x x x x x x x x x x x +≤++≤+三个不等式相加可得不等式②，当且仅当123x x x ==时不等式等号成立．3．求最小常数1a >，使得对正方形A B C D 内部任一点P ，都存在,,,P A B P B C P C D P D A ∆∆∆∆中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间1[,]aa -．解：m i n 152a +=．首先证明m i n 152a +≤，记152ϕ+=．不妨设正方形边长为2．对正方形A B C D 内部一点P ，令1S ，2S ，3S ，4S 分别表示P A B ∆，P B C ∆，P C D ∆，P D A ∆的面积，不妨设1243S S S S ≥≥≥．令1224,S S S S λμ==，如果,λμϕ>，由13241S S S S +=+=，得221S S μ=-，得21S μμ=+．故2121111111S S λμλϕϕλμϕμϕ===>==++++，矛盾．故{}m in ,λμϕ≤，这表明m in a ϕ≤．反过来对于任意(1,)a ϕ∈，取定15(,)2t a +∈，使得2819tb t=>+．我们在正方形A B C D 内取点P ，使得12342,,,1b b S b S S S b tt====-，则我们有122315(,)2S S t a S S +==∈，3242,(1)4(1)S b b a S t b b =>>>--由此我们得到对任意{},1,2,3,4i j ∈，有1[,]i jS aa S-∉．这表明m in a ϕ=．4． 在凸四边形ABCD 的外部分别作正三角形ABQ ，正三角形BCR ，正三角形CDS ，正三角形DAP ，记四边形ABCD 的对角线之和为x ，四边形PQRS 的对边中点连线之和为y ，求y x的最大值．（熊斌供题）解：若四边形ABCD 是正方形时，可得y x132+=．下面证明：y x132+≤．设1111,,,P Q R S 分别是边DA ，AB ，BC ，CD 的中点，SP ，PQ ，QR ，RS 的中点分别为E ，F ，G ，H ．则1111P Q R S 是平行四边形．连接11,P E S E ，设点M ，N 分别是DP ，DS 的中点，则11D S S N D N E M ===， 11D P P M M D E N ===，又113606060P D S P D S ∠=︒-︒-︒-∠240(180)60E N D E N D=︒-︒-∠=︒+∠11E N S E M P =∠=∠，所以 1111D P S M P E N E S ∆≅∆≅∆， 从而，△11E P S 是正三角形．同理可得，△11G Q R 也是正三角形．设U ，V 分别是11P S ，11Q R 的中点，于是有1111113322E G E U U V V G P S P Q Q R ≤++=++111113322P Q P S B D A C =+=+，同理可得 1322F H A C B D ≤+，把上面两式相加，得132y x +≤，即y x132+≤．5． 已知凸四边形ABCD 满足AB ＝BC ，AD ＝DC ．E 是线段AB 上一点，F 是线段AD 上一点，满足B ，E ，F ，D 四点共圆．作△DPE 顺向相似于△ADC ；作△BQF 顺向相似于△ABC ．求证：A ，P ，Q 三点共线．（叶中豪供题）（注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列．） 证明将B 、E 、F 、D 四点所共圆的圆心记作O ．联结OB 、OF 、BD ．QPCABDEF在△BDF 中，O 是外心，故∠BOF ＝2∠BDA ； 又△ABD ∽△CBD ，故∠CDA ＝2∠BDA ． 于是∠BOF ＝∠CDA ＝∠EPD ，由此可知等腰△BOF ∽△EPD ． ①另一方面，由B 、E 、F 、D 四点共圆知△ABF ∽△ADE ． ② 综合①，②可知，四边形ABOF ∽四边形ADPE ， 由此得∠BAO ＝∠DAP ． ③同理，可得∠BAO ＝∠DAQ ． ④ ③，④表明A 、P 、Q 三点共线． 【附注】事实上，当四边形ABCD 不是菱形时，A 、P 、Q 三点共线 与B 、E 、F 、D 四点共圆互为充要条件．可利用同一法给予说明：取定E 点，考虑让F 点沿着直线 AD 运动．根据相似变换可知，这时Q 点的轨迹必是一条直线，它经 过P 点（由充分性保证）．以下只要说明这条轨迹与直线AP 不重合即可，即只要论 证A 点不在轨迹上．为此，作△BAA ′∽△BQF ∽△ABC ．于是由∠BAA ′＝∠ABC ， 可得A ′A ∥BC ．又因四边形ABCD 不是菱形，故AD 不平于BC ．这就表明A ′、A 、D 三点不共线，也就保证了A 点不在轨迹上． 因此，只有当B 、E 、F 、D 四点共圆时，Q 点才落在直线AP 上． 而当四边形ABCD 是菱形时，不管E 、F 位置如何，所得到的 P 、Q 两点总位于对角线AC 上．6．设正数列12,,,,n x x x 满足721187)8x x x -=（及 88211171,2()k k k k k k k x x x x x k x x -+----=≥．求正实数a ，使得当1x a >时，有单调性12n x x x >>>> ； 当10x a <<时，不具有单调性． 解：由88211171()k k k k k k k x x x x x x x -+----=，有1881111k k kk k k x x x x x x +---=-即1288811111117==8k kkkk k x x x x x x x xx+---=-=-A'QPCABDEFP QCBDAFE。
2008年秋季三年级竞赛班奥数讲义第三讲：填运算符号
2008年秋季三年级竞赛班奥数讲义第三讲：填运算符号一、知识要点在解答填运算符号的问题时,首先要认真审题,把握题目的特点,然后选择适当的方法(如凑数法,实验法).二、典型例题例一、在下面的算式中，增添运算符号和括号，使等式成立。
（1）99 9 9 9=0（2）9 9 9 9 9=0（3）9 9 9 9 9=0（4）9 9 9 9 9=0（5）9 9 9 9 9=0---------例二、请在下的11个数字8之间添上一些四则运算符号，使计算式子能够成立。
88 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1991例三、王老师在批改作业时，发现小明同学抄题时丢了括号，但结果任是正确的，请你给小明的算式添上括号。
4+28÷4-2×3-1=4例四、改变一个符号，使得下列等式成立。
1+2+3+4+5+6+7+8+9=100例五、在下面算式合适的地方添上括号，使得等式成立。
1+2×3+4×5+6×7+8×9=505例六、计算“24”扑克小游戏。
规则：任意抽取四张扑克牌，用它们上面的点数为数字，在数字之间添上运算符号和括号，使它们的结果等于24（每个数只能用一次），谁先算出为赢。
如：2、5、6、10学生抽牌，自由游戏。
三、练习设计1、在各数之间添上适当的运算符号，也可以使用小括号，使算式成立。
（1）3 2 1=0（2）3 2 1=1（3）3 2 1=3（4）3 2 1=4（5）3 2 1=52、填符号使算式成立。
（1）4 4 4 4=1（2）4 4 4 4=2（3）4 4 4 4=3（4）4 4 4 4=4（5）4 4 4 4=53、改变一个符号使下列等式成立。
1+2+3+4+5+6+7+8=244、在〇里填上与左边不同的运算符号，使灯等式成立。
（1）1+2+3=1〇2〇3（2）4×6-7=4〇6〇75、选择用运算符号及小括号，把下题连成等式。
5 5 5 5 5 5 5=06、在下面算式中合适的地方，添上适当的运算符号及括号，使每个算式成立。
奥数-2008学年第二学期八年级数学全科竞赛试卷(含答案)-
2008学年第二学期八年级数学全科竞赛试卷(满分120分,考试时间90分钟)一、仔细选一选 (共30分)1.下列计算正确的是（ ）A ．（13-）2=-13B ．32-22=1C ．-35+5=-25 D.36=±62.李师傅在检验一座雕塑底座(如图)正面时,测得CD=AB=40cm, AD=BC=30cm,AC=DB=50cm,那么可以判断四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3.下列命题中，真命题的是（ ）A.两条对角线相等的四边形是矩形;B.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形;C.两条对角线垂直的四边形是菱形;D.两条对角线相等的平行四边形是矩形.4.剪纸是中国的民间艺术,剪纸方法很多,下面是一咱剪纸方法的图示(先将纸折叠,然后再剪,展开后即得到图案):下列四幅图案,不能用上述方法剪出的是:5.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题,其中答对的是( )A.若2,42==x x 则 B.方程()1212-=-x x x 的解是1=x C.若直角三角形有两边长分别是3和4,则第三边的长为5.D.若分式23221x x x x -+=-的值为零，则6.一次统计八(1)班若干名学生每分钟跳绳次数的频数分布直方图如上图所示.由这个直方图可知;这若干名学生平均每分钟跳绳的次数(结果精确到个位)是( ).个A.数据不全无法计算B.103C.104D.1057.如图,以正方形ABCD 的对角线AC 为边,延长AB 到E,使AE=AC,以AE 为一边作菱形AEFC,若正方形的边长为2,则菱形AEFC 的面积为( ).A.24B.4C.22D.28.用反证法证明:已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,求证: ∠A, ∠B 中至少有一个角不大于45°,应假设 ( )A.∠A > 45°B.∠B > 45°C.∠A > 45°,∠B > 45°D.∠A< 45°,∠B <45°9.在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于点N 、M ，正方形ABCD 内接于 Rt △MON ，点A 、B 分别在线段MO 、NO 上，点C 、D 在线段MN 上。
奥数-2008学年第二学期八年级数学全科竞赛试卷(含答案)-题卷
2008学年第二学期八年级数学全科竞赛试卷满分120分,考试时间90分钟一、仔细选一选（每题3分，共30分）1 2345678910二、仔细填一填(每题4分，共24分)11. ; 12. ; 13. ; 14. ；15. ; 16. , , ,;三、解答题(共66分)17. (6分)计算: (1)18232;- (2) (4827)362 3.-÷+⨯18. (6分)解方程（1） ()9142=-x (2) 03422=-+x x19.(8分)(1)频数分布表中的a= ,b= ,c= ,d= .请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效(2)(3)20.( 8分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效21.(8分) ⑴⑵22.(8分) （1）2008年的客流量预计 万人次，比2007年增加 万人次，在2006年、2007年、2008年这三年中，客流量增加最多的是 年； （2）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效班级 姓名 试场 考号请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效23.(10分)(1)(2)24.(12分)（1）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效（2）（3）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请勿在此区域内作答请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效yx 第24题。
2008年全国高中数学联赛试题及解答
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解]当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2． 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ D ）A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[0,3)[解法一] 因240x ax --=有两个实根12a x =-22a x = 故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a ≥-且42a <，解之得03a ≤<． [解法二]（特殊值验证法）令3,[1,4],a B B A ==-⊄，排除C ，令1,[a B =-=，B A⊄排除A 、B ，故选D 。
[解法三]（根的分布）由题意知240x ax --=的两根在[2,4)A =-内，令2()4f x x ax =--则a 242(2)0(4)0f f ⎧-≤<⎪⎪-≥⎨⎪>⎪⎩解之得：03a ≤<3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ） A.24181 B. 26681 C. 27481D. 670243 [解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 22215()()339+=． 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==， 4520(4)()()9981P ξ===， 2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． [解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=， 1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++ 2221164()()3381==， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． 4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为AA. 764 cm 3或586 cm 3B. 764 cm 3C. 586 cm 3或564 cm 3D. 586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3． 5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4[解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩， 若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ①由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C A B C B++的取值范围是 （ C ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞ [解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而 sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++=++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b q B C A A aππ+-=====+-． 因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩从而1122q <<，因此所求的取值范围是． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += 5 .[解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x aa ab --=+++++11n n a a x b a -=+⋅-， 由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=． 8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a=2-+．[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----， (1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -；(2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1；(3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---．又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得2a =-2a =-舍去)． 9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有222种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =112(1)n n n -+． [解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++， 即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221 =)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ．令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)， 有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ． 11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅， (6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅，因此有(2)()32x f x f x +-=⋅,故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+答13答12图1 答12图22006200423(2221)(0)f =⋅+++++ 10031413(0)41f +-=⋅+- 200822007=+． [解法二] 令()()2xg x f x =-，则 2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤，得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心． 因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅ 1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则2211PP PO OP =-． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1PEF ，如答12图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=，有11cos 2PM PP MPP =⋅=⋅=，故小三角形的边长126P E P A P a r=-=． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1PAB P EF S S ∆∆-22())a a =--2=-． 又1r =，a =1PAB P EF S S ∆∆-=由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α， 求证： 2cos 1sin sin 34ααααα+=+． [证] ()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈．…5分题15由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+14sin cos αα= …15分 22cos sin 4sin cos αααα+= 21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分分组分解12108x x x +-1086222x x x ++-864444x x x ++-642x x x ++-4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->，22(0x x >． …15分所以2x >，即x <x >故原不等式解集为51(,()2--∞+∞． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+． …5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x +<+++++=+++，)1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x xx ，…10分 令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x<+， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于2211x x <+，…15分 即222()10x x +->，解得212x > (212x<舍去) 故原不等式解集为51(,()2--∞+∞． …20分 15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00y b y b x x --=，化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为11= ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分 所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-． 因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则 220204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分 所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--48≥+=． 当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,x y ==±．因此PBC S ∆的最小值为8． …20分2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：2AE AB =，1BC EC =，12ECB ECA ∠=∠，又,D A D C 是O的切线，AC =()f P 的最小值．[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅． …10分 又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 32AE AB αα==，从而32sin 2αα=，即3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，答一图1解得cos α=cos α=，故30α=，60ACE ∠=．由已知1BC EC==()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 22EAC EAC EAC∠-∠=∠，整理得21cos 22EAC EAC∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=， …40分从而45E ∠=，45DAC DCA E ∠=∠=∠=，ADC ∆为等腰直角三角形．因AC =1CD=．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故BC =212215BD =+-⋅=，BD故min ()f P BD AC =⋅= …50分[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）．过,,A C D 分别作000,,P A PC P D的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC ∆之三内角分别为x y z ，，，则0180APC y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A PC ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，所以111A B C ∆∽ABC ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有0000()()f P P A BC P D CA PC AB λλ=⋅+⋅+⋅011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅1112A B C S ∆= 111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅()f M λ=，从而 0()()f P f M ≤．由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=，记ECB α∠=，则2ECAα∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=， 34sin )4sin cosαααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=，…30分解得cos α=cos α=，故30α=，60ACE ∠=． 由已知1BC EC ==()0sin 30sin EACEAC ∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC∠-=∠，答一图2故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=， …40分所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ==，故λ=所以min ()21f P == …50分 [解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有1212z z z z +≥+， 当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 PA BC PC AB PA BC PC AB ⋅+⋅≥⋅+⋅， 所以 ()()()()A P C B C P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1）P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A PB AC =--=⋅， 从而PA BC PC AB PD CA ⋅+⋅+⋅ PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅（2）…10分（1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A --同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C B λ--=--，所以 arg()arg()A P B A C P C B--=--， 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC 旋转到AB 所成的角，从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅．以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明：（Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)n a n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得n T m =且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得 1ma nb +=．于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅是()f x 的周期． …10分 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅是()f x 的周期． …20分 （Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，…… 111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， ……． …30分 由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦， 即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）200820071110n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ， 其中00x =． 将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-．…10分由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得 112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++-20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑， 因此200811k k a =>∑． …20分充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下： 20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =． …30分2008年全国高中数学联赛 通渭一中 刘黎明- 11 - 下取数列{}n x 为01n k n k x s ==∑，1,2,n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n n k n k s s x s s +=-==-∑． 因001s <<，故10lim 0n n s +→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）．…40分 最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011k k k a s ==∑，从而200820082008100001111()()n k n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a s a x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解
模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例尖系（“蝴蝶定理”）：① Si: S2 S4： S3 或者3 S3 S2 S4② AO:OCSS2： S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积矢系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例矢系。
【例1】（小数报竞赛活动试题）如图'某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，4 BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得AOD31 2 1.5平方千米，公园四边形【巩固】如图，四边形被两条对角线分成求：（1）三角形BGC的面积；⑵D4个三角形，其中三个三角形的面积已知,AG:GC ?【解析】⑴根据蝴蝶定理，S VBGC ,23 ,那么SVBGC 6 ；⑵根据蝴蝶定理，AG: GC 12:36任意四边形、梯形与相似模型方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.92 0.58平方千米ABCD的面积是1 2 3 1.5 7.5平【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O （如图所示）。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 面积的I ,且AO 2，DO 3，那么Co 的长度是DO 的长度的 _____________________ 倍。
3【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件SVABD :S/BCD 1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
又观察题目中给出的已知条件是面积的矢系， 转化为边的矢系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以 作AH 垂直BD 于H , CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。
三年级奥数鸡兔同笼变例问题
鸡兔同笼变例知识结构一、鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512-=（只）．显然，鸡的只数就是351223-=（只）了．这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．解鸡兔同笼问题的基本关系式是：（1）如果假设全是兔，那么则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数（2）如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法例题精讲【例 1】某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪得了79分，他做对了多少道题？【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】做错(52079 ) (52)3⨯-÷+=(道)，因此，做对的20317-=(道)．【答案】17道【巩固】 一次口算比赛，规定：答对一题得8分，答错一题扣5分。
和差倍2差倍问题2
板块一、差倍问题【例1】李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？【巩固】两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的5倍，甲书架比乙书架存书多120本，则乙书架存书多少本？【巩固】某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，则参加室内、室外活动的共有多少人?【例2】有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米，两根铁丝用去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍，两根铁丝各剩下多少米？【巩固】有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度是短纸带剩下的3倍，问剪下的一段有多长？【巩固】二⑴班的图书角里有故事书和连环画共47本，如果故事书拿走7本后，故事书的本数就是连环画的4倍.原有连环画和故事书各有多少本？【例3】有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3【巩固】有甲、乙两艘货船，甲船所载货物是乙船的3倍．若甲船增加货物1200吨，乙船增加货物900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍．甲船原载货物多少吨?【例4】某迎春茶话会上，买来苹果4箱，已知每箱苹果取出24千克后，剩余的各箱苹果总和等于原来一箱苹果的重量，问原来一箱苹果多重？【巩固】菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？【例5】有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒8千克水到大桶，则大桶中水是小桶的3倍，求原来大桶有水多少千克？【巩固】某校五年级比六年级人数少154人，若六年级学生再转来46人，则六年级学生是五年级学生的3倍，问五、六年级各有多少人？【巩固】小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍.问：原来两人各有多少本书？【例6】甲、乙俩人存款若干元，甲存款是乙存款的3倍．如果甲取出80元，乙存入20元，甲、乙的存款正好相等．问甲、乙俩人原来各存款多少元？【巩固】甲、乙各有若干本书,若甲给乙45本,则二人的书相等,若乙给甲45本则甲的本数是乙的4倍,甲、乙各有书多少本？【例7】(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去180元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，哥哥带了________元钱，妹妹带了________元钱．【巩固】食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？【例8】幼儿园大班每人发17张画片，小班每人发13张画片，小班人数是大班人数的2倍，小班比大班多发126张画片，那么小班有多少人？【巩固】实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成，从两个校区各调走200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍，那么实验小学一校区和实验小学二校区原来各有多少人？【例9】有两盘苹果，如果从第一盘中拿2个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同；如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的2倍．第一盘有苹果多少个?【巩固】小青和小红每人都有一些水彩笔，如果小青给小红1支，两人就一样多，如果小红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍，那么小青和小红各有多少支水彩笔？【巩固】小明和小刚各有玻璃弹球若干个.小明对小刚说：“我若给你两个，我们的玻璃弹球一样多.”小刚说：“我若给你两个，你的弹球数量将是我的3倍.”小明和小刚共有玻璃弹球多少个？【例10】小新家有大小两个书架，大书架上的书的本数是小书架的3倍，如果从大书架上取走150本放到小书架上，那么两个书架上的书一样多，大小书架上原来各有多少本书?【巩固】甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克油，乙桶加入14千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍．甲桶原来有油多少千克？【巩固】两根绳，第一根长64米，第二根长52米，剪去同样长后，第一根是第二根的3倍，求每根绳减去几米？【巩固】两个筐中各有苹果若干千克，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍，如果从第一个筐中取出26千克苹果，从第二个筐中取出2千克苹果，则两筐苹果的重量相等．你知道这两个筐中原来各有苹果多少千克吗?【巩固】两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？【例11】学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？【巩固】学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍少3箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？【例12】甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数减3，丙校学生人数加4都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？【巩固】红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班，一共有学生162人．如果从甲班转出2个人到乙班，则甲、乙两班人数相同．如果这时再从丙班转出3个人到乙班，则乙、丙两班人数相同．请问：甲班原来有多少人？【例13】小明、小红、小玲共有73块糖．如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍．问小红有多少块糖？【巩固】甲、乙、丙三数的和是78，甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2．求这三个数．【例14】小丸子家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只，白鸡的只数是黄鸡2倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共多少只？【例15】某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只．这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？【例16】甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的3倍．那么甲、乙两个小朋友共有多少粒糖？【巩固】在一次考试中，甲、乙两人考试结果如下：甲答错了全部试题的13，乙答错了7道题，甲、乙都答错的题目占全部试题的15，则甲、乙两人都答对的题目最少多少道？【例17】在期末考试中，哥哥的数学成绩比语文高7分，弟弟的数学成绩是语文的67．又知道弟弟的数学成绩比哥哥的数学成绩的56高4分，总成绩比哥哥低3分，那么弟弟的语文成绩是多少分？【例18】一小、二小两校春游的人数都是10的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满．现在知道，若两校都租用14座的旅游车，则两校共需租用这种车72辆；若两校都租用19座的旅游车，则二小要比一小多租用这种车7辆．问两校参加这次春游的人数各是多少？板块二、年龄问题的和差与差倍【例19】爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁．今年爸爸妈妈二人各多少岁？【例20】爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；六年后，爸爸比妈妈大4岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？【巩固】爸爸今年38岁，佳佳今年2岁，问：几年后，父亲的年龄是佳佳的5倍？【例21】姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，几年后姐弟俩岁数和是40岁？姐姐到时多少岁了？【例22】新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微.老将说：“我比你大10岁.”新手说：“上次你比我大一倍.”运动会四年开一次，两人年龄各几岁？【例23】兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半．问：哥哥今年几岁？【巩固】哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁．问：哥哥现在多少岁？【巩固】妈妈的年龄是小红的5倍，奶奶的年龄比小红大9倍，已知奶奶比妈妈大35岁，求三人年龄各多少岁？。
2008年全国高中数学联赛试题及答案
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ D ）A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根12a x =22a x =+故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a -且42a <， 解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ） A.24181 B. 26681 C. 27481D. 670243[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===， 2416(6)()981P ξ===， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ） A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =． 若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4[解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ C ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞ [解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++ s i n ()s i n ()s i ns i n ()s i n ()s i nA CB B b q BC A A a ππ+-=====+-． 因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得11,2211.22q q q ⎧<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或q <<，因此所求的取值范围是． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += 5 .[解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a=[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -；(2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得2a =-2a =-舍去)．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=． 的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =112(1)nn n -+．[解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ． 令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ． 11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅， 因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+． [解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为答12图1答12图2则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则2211PP PO OP =-=． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1PEF ，如答12图2．记正四面体 的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=，有11cos PM PP MPP =⋅==，故小三角形的边长12P E P AP M r=-=． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1PAB P EF S S ∆∆-22())a a =--2=-． 又1r =，a =1PAB P EF S S ∆∆-==由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：答13图2c o s 1s i n s i n 34ααααα+=+． [证] ()f x 的图象与直线y kx =)0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈． …5分由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+ 14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->，22(0x x >． …15分所以2x >，即x <x >故原不等式解集为51(,()2--∞+∞． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+． …5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x +<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x x x ， …10分 令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x<+， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于2211x x<+， …15分即222()10x x +->，解得2x >(2x <)，故原不等式解集为51(,()2--∞+∞． …20分题15图15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00y b y b x x --=，化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为1，1= ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分 所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则 22200020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分 所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--48≥+=． 当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,x y ==±因此PBC S ∆的最小值为8． …20分2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：AE AB =，1BC EC =，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，AC ()f P 的最小值． [解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅． (10)分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）记ECB α∠=，则2E C A α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==，从而s i n 32s i n 2αα=34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-， …30分解得cosα=cos α=， 故30α=，60ACE ∠=．由已知1BCEC==()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠1cos 2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠=75EAC ∠=， …40分从而45E ∠=，45DAC DCA E ∠=∠=∠=，ADC ∆为等腰直角三角形．因AC 1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故BC =212215BD =+-⋅=，BD故min ()f P BD AC =⋅= …50分 [解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）．过,,A C D 分别作000,,P A PC P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC ∆之三内角分别为x y z ，，，则0180APC y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A PC ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，所以111A B C ∆∽ABC ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有0000()()f P P A BC P D CA PC AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆= 111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤．由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=，记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=，34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-， …30分解得cosα=cos α=，故30α=，60ACE ∠=．由已知1BCEC==()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠1cos 2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠=75EAC ∠=， …40分所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，AC 1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ===故λ=min ()21f P == …50分[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 P A B C P C A B P A B C P C A B⋅+⋅≥⋅+⋅，所以 ()()()()A P CBC P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1） P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A PB AC =--=⋅， 从而 P A B C P C A B PD C A⋅+⋅+⋅ PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅． （2） …10分（1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C Bλ--=--， 所以 a r g ()a r g ()A PB AC P C B--=--， 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC 旋转到AB 所成的角， 从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得1ma nb +=． 于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期． …10分 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅是()f x 的周期． …20分（Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，…… 111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……． …30分由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分 三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ， 其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-． …10分 由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++-20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑． …20分充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =． …30分下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑，1,2,n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑． 因001s <<，故10lim 0n n s +→∞=，因此100000lim lim11n n n n s s sx s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011k k k a s ==∑，从而 200820082008100001111()()n k n n kn n k k k n k n k k k k x x s a s s a s a x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分。
2008年数学奥林匹克竞赛
2008年数学奥林匹克竞赛2008年的数学奥林匹克竞赛是中国数学界的一次盛事。
在这场比赛中，来自各个国家的数学精英齐聚一堂，争夺数学的荣誉。
本文将重点介绍在这场竞赛中的一些内容和亮点。
一、竞赛概述2008年数学奥林匹克竞赛于7月在中国浙江省杭州市举行。
来自约100个国家和地区的400多名中学生参加了比赛。
竞赛分为两天进行，每天有三个题目需要参赛者解答。
这些题目涵盖了数论、代数、几何和组合数学等各个领域。
二、2016年题目回顾以下是其中一些有代表性的题目：1. 第一天的第一题：证明存在一个22位的自然数，其中每位数字都是从1到9中选择而来，且任意相邻两位数字之差的绝对值为0或1。
2. 第一天的第二题：在直角坐标系中，给定一个点O(0, 0)，一条直线L以y=x-2为斜率经过点O，另一条直线L'垂直于直线L，并经过坐标点(60, y)，若该点到直线L的距离恰好等于6，则求y的所有可能值。
3. 第二天的第一题：在一个正方形的四个顶点上分别放置了红、黄、蓝、绿四种颜色的灯泡。
每次可以选择一个角上的灯泡，然后改变该灯泡以及相邻两个角上的灯泡的颜色（即红变黄，黄变蓝，蓝变绿，绿变红）。
问是否存在某种操作方式，使得无论从哪一种初始灯泡颜色出发，经过若干次操作后，四个角上的灯泡都变成同一颜色。
4. 第二天的第二题：证明对于任意正整数n，都存在一个长度为n的序列{a1, a2, ..., an}，满足以下条件：1）ai为1到n之间的整数，且ai与ai+1的最大公约数为ai(1≤i<n)2）a1和an是互质的这些题目既有综合性的思维题，也有需要运用数学原理的计算题。
参赛选手们需要在有限的时间内，灵活运用自己所学的数学知识和解题技巧。
三、赛事亮点2008年的数学奥林匹克竞赛不仅仅是一场数学比赛，还充满了学术交流和合作的氛围。
各国选手在竞赛之余，互相切磋，分享数学思维和解题技巧。
这种交流不仅促进了彼此的成长，也丰富了数学的发展。
2008年全国数学奥赛
2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、已知实数x ，y 满足42423x x-=，423y y +=，则444y x +的值为（ ）。
A 、7 B 、1132+ C 、7132+ D 、5 ［答］A解：因为2x ＞0，2y ≥0，由已知条件得212444311344x ++⨯⨯+==，2114311322y -++⨯-+==， 所以 444y x +＝2222223367y y x x++-=-+=2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）。
A 、512B 、49C 、1736D 、12 ［答］C解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知 △＝24m n -＞0，即24m n通过枚举知，满足条件的m ，n 有17对，故1736p =3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（ ）。
A 、6条B 、8条C 、10条D 、12条［答］B解：如图，大圆周上有4个不同的点 A 、B 、C 、D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E 、F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。
当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。
4、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。
2008年第七届中国女子数学奥林匹克试题及解答(中山)
下面证明：
设P 1 , Q1 , R1 , S1 分别是边 DA，AB，BC，CD 的中点，SP，PQ，QR，RS 的中点分别 为 E，F，G，H．则 P 1 Q1 R1 S1 是平行四边形． 连接 P 1 E , S1 E ，设点 M，N 分别是 DP，DS 的中点，则 DS = S= DN = EM ， 1 1N DP = PM = MD = EN ， 1 1 又 ∠P = 360° − 60° − 60° − ∠PDS 1 DS 1 = 240° − (180° − ∠END) = 60° + ∠END = ∠ENS1 = ∠EMP 1， 所以 ∆DPS 1 1 ≅ ∆MP 1 E ≅ ∆NES1 ，
n + 3 n+3 , 2n + 1 ． 2, 2n,3n + 1 − , , n − 1, n + 2 2 当 n 为奇数时，依次取上述数组为 A1 , A2 , , An ，则其为满足题设的三元子集族．故 n 为 所有的奇数．
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2 因为 x1 ， x2 ， x3 大于 0，所以 ( x1 − x2 )( x12 − x2 ) ≥ 0.
3
②
2 3 也就是 x12 x2 + x2 x1 ≤ x13 + x2 .
2 2 3 3 2 3 同理 x2 x3 + x3 x2 ≤ x2 + x3 , x3 x1 + x12 x3 ≤ x3 + x13 .
λµ
λ
ϕ
ϕ2
b b , S3 = 2 , S 4 = 1 − b ，则我们有 t t
S3 S1 S 2 b b 1+ 5 = = t ∈ ( a, )， = > > 2 > a, 2 S 2 S3 2 S 4 t (1 − b) 4(1 − b) 由此我们得到对任意 i, j ∈ {1, 2,3, 4} ，有 Si ∉ [a −1 , a ] ．这表明 amin = ϕ ． Sj
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2008年奥数试题解析
1.77.777×22
2.22×+22.222×33
3.33—3.3333×444
4.4=
2.14.5×9.9+5.5×10.1=
3.6.1+6.3+6.5….+9.9—6.2—6.4—6.6—….—9.8=
4.被3除余2，被4除余3，被5除余4最小的数是多少？
5. 甲乙两个工程队，甲队人数是乙队人数的2倍。
甲队调出9人，乙队调入18人后，因而提前3天完成任务，这条路全长多少千米？
5.商店购进甲乙两种不同的糖果，购进甲种糖所用的钱是购进乙种糖的2倍，
已知甲种糖每千克60元，乙种糖每千克20元，如果把这两种糖混在一起作为什锦糖出售，那么这种糖每千克的成本是多少元？
6.图是由竖直线和水平线组成的图形，过点B画一条直线把这个图形分成面积
相等的两部分，这条直线和边界相交于点P从点B沿着边界走到点P，较近的路程是多少米？
7.如图，平行四边形的面积是1080平方米，则平行四边形的周长是多少米？
8.图中的每个拐弯处的角都是直角。
且它的八条边的边长分别是1、2、3、4、
5、6、7、8厘米，这个图形的面积最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘
米？
9.由一段路程如图，A到C是上坡，C到B是下坡，某人由A经C到达B后立即
沿原路还回A地，共用4小时，已知他上坡时每小时行3千米。
下坡时每小时行5千米，AC间路长是CB间路长的2倍，那么从A点经C点到达B点的路程是多少千米？
10.由一个大口袋，里面装着许多球，每个球上都写着一个数字，其中写0的有
10个，写1的有11个，写2的有12个，………写9的有19个，如果闭着眼睛从袋中取球，那么至少要取出多少个球？，才能保证取出的球中必有4个球，这4个球上面所写的数字恰好组成2007.
11.一排中有100个座位，至少有几个座位有人，才有可能使之后入座的人必须
坐在其中某个人的旁边。
12.图中有5个小正方形，请你在图中画一条直线，将这5个小正方形平均分成
两部分，每部分所包含的图形两两相同，且面积相等，并请简要说明作图步骤？
13.用8根火柴可以搭出一个长方形或正方形，如图，你能不能用8根火柴搭出
一个面积比这两个图形更大的几何图形来？请你把搭出的图形画出来？
14.对于大于零的分数，有如下4个结论：
1.两个真分数的和是真分数；
2.两个真分数的积是真分数；
3.一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；
4.一个真分数与一个假分数的积是一个假分数；
其中正确结论的编号是（）
15.算式111×111×……×111+2007得到的结果能否写成两个相邻自然数的
积？请你写明理由？
16．图中有三角形多少个。
16.阳光小学买来125个苹果，分给参加小学生运动会的学生，上午每个人分一
个，中午每两个人分一个，下午每三个人分一个，最后还剩下4个苹果，阳光小学共有多少人参加运动会？
17.某班女同学人数是男同学的2倍，如果女同学的平均身高是150厘米，男同
学的平均身高是162厘米，那么全班同学的平均身高是多少厘米？
18.图是由几个边长为1厘米的立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数
字表示该位置叠加的立方体个数，则这个几何体的表面积是多少？并画出主俯视图？
19.已知A※B=AB+A+B,则1※9※9※.....※9※9=。