第二章 一元函数微分学及其应用(2)

因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广． 在不需要余项的精确表达式时， n 阶泰勒公式也 可写成
1 1 (n) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 )( x − x0 ) + ⋯ + f ( x0 )( x − x0 )n + o(( x − 2! n!
拉格朗日中值定理的几何意义：
如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的 切线，那么在曲线弧上至少有一点(ξ, f (ξ )),使曲线在该点处的 切线平行于过曲线弧两端点的弦线. 弦线的方程为
作辅助函数
即可.
的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端
点连线对应的纵坐标之差.
推论 1 若函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零，则
1 ln x = lim x 解 原式 = lim+ 1 1 x →0+ x→0 − 2 x x
( 0⋅ ∞ )
= lim+ ( − x ) = 0
x→0
2 ∞−∞型 ）
例2 解
求 lim (sec x − tan x ) ( ∞ − ∞ ) π
x→ 2
1 − sin x lim(secx − tanx) = lim π π x→ cos x x→ 2 0 2 ( ), − cos x 0= lim = lim cot x = 0 π − sin x π x→ x→
定理3 第一充分条件） 定理3（第一充分条件）
求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ′( x );
( 2) 求出 f ( x )的全部驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 的全部驻点，
( 3) 考察 f ′( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点;
( 4 ) 求出各极值点处的函数 值 .
0 ( ) 0
∞ ( ) ∞
洛必达 (L’Hospital,1661-1704)
定理1 定理
0 ( ) 0
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求 导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达 法则.
. 当x →∞时,该法则仍然成立 该法则仍然成立
注意： 使用洛必达法则必须验证条件， 注意： 1) 使用洛必达法则必须验证条件，不是 定式不能用罗必塔法则； 未 定式不能用罗必塔法则； 2)洛必达法则可以连续应用，必须步步化 洛必达法则可以连续应用， 洛必达法则可以连续应用 尽可能地化简）、 ）、步步验证求未定式 简（尽可能地化简）、步步验证求未定式 的极限. 的极限
即 R ( x) = o(( x − x ) ) ， 该余项称为皮亚诺形式的余项 皮亚诺形式的余项． 皮亚诺形式的余项
n n 0
当 x0 = 0 时的泰勒公式称为麦克劳林 麦克劳林(Maclaurin) 麦克劳林 公式， 即 公式
f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0) x + x +⋯+ x + Rn ( x) ， 2! n!
f ′( x) ≥ 0 f ′( x) ≤ 0
定理1（函数单调性判别法） 定理 （函数单调性判别法）
上连续， 设函数 y = f ( x )在[a, b]上连续，在(a, b)内可导. （1） 如果在(a, b)内f ′( x ) > 0，那末函数 y = f ( x ) 在[a, b]上单调增加； 上单调增加； (2) 如果在(a, b)内 f ′( x ) < 0，那末函数 y = f ( x ) . 在[a, b]上单调减少
或
f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0) x + x +⋯+ x + o( x n ) ， 2! n!
f ( n +1) (ξ ) n +1 其中 Rn ( x) = (n + 1)! x ．
二、洛必达法则
点的导数， 点可导， 考察函数 f ( x )在 a点的导数，假设在 a点可导，
0 ∞ 1. 型和 型的极限 0 ∞
f ′(a )是一个常数值，上述极 限当 x → a时， 是一个常数值， 分子分母同时趋向于 0。 tan x 0 lim , 型未定式 x→0 → x 0
∞ 型未定式 ∞
ln sin ax lim , x→0 ln sin bx →
f ( x ) − f (a ) f ′(a ) = lim x→a x−a
0 ,1 , ∞ 型
0 0
∞
0⋅ ∞ 型
三、函数的单调性、极值和最值
1. 函数的单调性
问题的提出
y
y = f (x)
A
B
A
y
y = f (x)
B
o
a
b
x
o
a
f ′( x) ≤ 0
b x
在区间（ 若 y = f (x)在区间（a,b)上单调上升 上单调上升 在区间（ 若 y = f (x)在区间（a,b)上单调下降 上单调下降
第二节
一、微分中值定理 二、洛必达法则
导数的应用
三、函数的单调性、极值与最值 函数的单调性、 四、曲线的凹凸性、拐点以及函数图形的描 曲线的凹凸性、 绘 五、导数在工程技术中的简单应用
一、微分中值定理
1. 罗尔定理
引理 设f(x)在 处可导,且在 则有 的某邻域内恒有 .
定义 导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、 临界点）. .
( ξ 介于 x0 与 x 之间)．
该公式称为 n 阶泰勒公式 阶泰勒公式， 余项 Rn ( x) 称为拉格朗日型余项 拉格朗日型余项. 拉格朗日型余项
当 n = 0 时， 泰勒公式变成
f ( x) = f ( x0 ) + f ' (ξ )( x − x0 )
( ξ 介于 x 与 x 之间)，
0
定理2 极值存在的必要条件） 定理2（极值存在的必要条件）
注1:
使导数为零的点 (即方程 f ′ ( x ) = 0 的实根 )叫
做函数 f ( x ) 的驻点 .
注2: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 点,
但函数的驻点却不一定 是极值点 .
例如, 例如
y = x3 ,
y′ x = 0 = 0, 但x = 0不是极值点 . 不是极值点
定理4 第二充分条件） 定理4（第二充分条件）
注意:函数的不可导点 也可能是函数的极值点 也可能是函数的极值点. 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点
3. 函数的最大值和最小值
闭区间上连续函数的最值
上连续， 处可导， 若函数 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续，除个别点外处 处可导， 为零的点， 并且至多有有限个导数 为零的点，则 f ( x ) 在 [a , b ] 上的最大值与最小值存 在 .
f (b) − f (a) f ′(ξ ) ξ ∈(a, b)，使 = . F(b) − F(a) F′(ξ )
在柯西中值定理中，若取F(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
4. 泰勒公式
泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开 区间 (a, b) 内具有直到 n + 1 阶导数， 则当 x 在 (a, b) 内 时， f (x ) 可以表示为 x − x0 的一个 n 次多项式与一个 余项 Rn ( x) 之和，即
y y y
o a
bx
o a
b x
o
a
b x
步骤: 步骤:
1.求驻点： 求出 f ( x )在( a , b )内的驻点 x1 , x 2 , ⋯ x m 求驻点： 求驻点
′ 2 2.求不可导点： f ( x )在(a, b)内的不可导点x1 , x′ ,⋯ x′ 求不可导点： 求不可导点 求出 n
3.求区间端点及驻点和不可导点的函数值 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 4. 比较（3）中函数值大小 最大的便是最大 比较（ ）中函数值大小,最大的便是最大 最小的便是最小值; 值,最小的便是最小值 最小的便是最小值 注意:如果区间内只有一个极值 则这个极值就 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值 最大值或最小值) 是最值 最大值或最小值
2. 拉格朗日中值定理
定理 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； 则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺 少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 能导出 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由 则问题可解决.
四、曲线的凹凸性、拐点以及函数图形的描绘 曲线的凹凸性、 曲线的凹凸性 1. 曲线的凹凸与拐点
定义1 设函数y=f(x)在I上连续 若曲线 上连续,若曲线 定义 设函数 在 上连续 若曲线y=f(x)位于其上 位于其上 任意一点的切线的上方,则称该曲线 则称该曲线y=f(x)在I上是凹的 若 上是凹的;若 任意一点的切线的上方 则称该曲线 在 上是凹的 函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方,则称曲线 函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方 则称曲线 y=f(x)在区间 上是凸的 在区间I上是凸的 在区间 上是凸的. 设函数f(x)在区间 在区间[a,b]上连续 在区间 上连续,在区间 定理 设函数 在区间 上连续 在区间(a,b)内具 内具 有一阶和二阶导数. 有一阶和二阶导数 (1)若在 若在(a,b)内f ``(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的 上的图形是凹的; 若在 内 则 在 上的图形是凹的 (2)若在 若在(a,b)内f ``(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的 上的图形是凸的. 若在 内 则 在 上的图形是凸的