2005年重庆市初中数学竞赛
操作性问题的常用解法
操作性问题的常用解法陆洪良;缪利平【摘要】操作性问题已经成为初中数学竞赛的一大特色，用来培养学生的创新精神与实践能力．创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力，培养学生的创新能力、创造思维成了素质教育的一大任务，因而在近几年的各项竞赛以及升学考试中越来越体现出操作性问题的重要性，所占的比重也日趋增大．所谓操作性问题.【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2008(000)006【总页数】2页(P8-9)【关键词】操作性问题;解法;数学竞赛;民族进步;实践能力;创新精神;创新能力;素质教育【作者】陆洪良;缪利平【作者单位】嘉兴第一中学实验学校,浙江嘉兴314001;秀洲现代实验学校,浙江嘉兴314000【正文语种】中文【中图分类】G633.6操作性问题已经成为初中数学竞赛的一大特色，用来培养学生的创新精神与实践能力.创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力，培养学生的创新能力、创造思维成了素质教育的一大任务，因而在近几年的各项竞赛以及升学考试中越来越体现出操作性问题的重要性，所占的比重也日趋增大.所谓操作性问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行.例如，对任意一个自然数，是奇数就加1，是偶数就除以2.这就是一次操作，是可以具体执行的.操作性问题往往是求连续进行某种操作后可能得到的结果.笔者认真研究了最近、最新的操作性问题的命题趋向，常用的解法有：试验法、讨论法以及利用不变性、周期性等.1 试验法试验法是解决操作性问题最常用的一种方法，通常根据操作规则，从简单情形出发，进行多次尝试，由局部变化的特征来考察研究的对象，从而能够拓宽思路，抓住主要矛盾，解决问题.图1例1 如图1是一个4×4的表格，每个方格中填入了数字0或1.按下列规则进行“操作”：每次可以同时改变某一行或某一列的数字：1变成0，0变成1.问：能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1？分析观察表中的某一行或某一列的数，如第3列：1，1，0，1，通过操作后得到0，0，1，0，操作前4个数之和为3，操作后4个数之和为1，也就是说这样的操作不改变表格中的16个数的和的奇偶性.解先考察表格中填入的所有数的和的奇偶性：第一次操作之前，它等于9，是一个奇数，每一次操作，要改变一行或一列4个方格的奇偶性，显然整个16格中所有数的和的奇偶性不变.但当每一格中所有数字都变成1时，整个16格中所有数的和是16，为一偶数.故不能通过若干次操作使得每一格中的数都变成1.评注解决本题的关键是先试验：选择表格中的任意一行或一列，将方格中的数按要求进行操作，然后寻找其变化规律，蕴涵了从特殊到一般的数学思想.2 利用周期性周期性是指事物在运动、变化的发展过程中，按照一定的方式不断重复排列的特性.利用周期性来解决的操作题也是近几年初中数学竞赛中的热点题型，是从初始状态出发按照规则进行操作，找出变化的周期.例2 有n个数，第1个记为a1,第2个记为a2，…，第n个记为an.若且从第2个数起每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”,求a1a2a3…a2004a2005a2006的值.(2005年重庆市初中数学竞赛决赛试题)分析由“”及“1与它前面那个数的差的倒数”这2个条件,可分别计算出：可以发现每3个数重复一次，因而也不难求出解由得同理可得因此a1a2a3…a2004a2005a2006=1.评注解决本题的关键是根据题中的条件计算得出：发现第4个数与第1个数相同，确定周期为3.图2例3 一个七边形棋盘如图2所示,7个顶点顺序从0到6编号,称为7个格子,一枚棋子放在0格,现在依逆时针移动这枚棋子,第1次移动1格,第2次移动2格,…,第n次移动n格，则不停留棋子的格子的编号有______.(2007年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题)分析本题可先按规则操作7次，从中发现从不停留棋子的格子为2，4，5；再继续按规则操作，不难发现第8次与第1次停留同一格…，第k次与第k+7次停留同一格，得出每移动7次是一个周期.解经操作发现：从不停留棋子的格子为2，4，5；棋子停留的格子号码每移动7次循环(即第k次与第k+7次停留同一格).第k次移动棋子，移动的格子数为：1+2+3+…+k,第k+7次移动棋子，移动的格子数为1+2+3+…+k+(k+1)+…+(k+7).又[1+2+3+…+k+(k+1)+…+(k+7)]-(1+2+3+…+k)=7k+28=7(k+4)，所以第k+7次与第k次移动棋子停留格子相同.评注从上述2例可知，解决本题型的关键是从初始状态出发，按照规则操作，寻找变化的规律，直至确定变化周期.如何确定周期是解决此类问题的难点.3 利用不变性所谓不变性就是给出一个问题的初始状况，一切按照一定的规程进行操作，从而进一步判断操作的结果.利用不变性解题在近3年的初中数学竞赛中应用比较广泛.解决这类问题的关键在于探求在操作时有些什么规律，然后抓住这个规律进行推理.大部分操作题的解题规律总是探求在操作的规律过程中的一些不变因素，这些不变因素称为不变量，通过不变因素即不变量把握变化的进程.例4 黑板上写有1，2，3，…，2010，擦去2个数并写上这2个数的差(大数减小数)为一次操作，若干次操作后，黑板上还剩下一个数.这个数能为零吗？为什么？分析考查黑板上所有数的和的奇偶性，由于a+b与a-b奇偶性相同，知所得和的奇偶性不变.解黑板上所有数的和为：1+2+3+…+2010=1005×2011,是奇数.将其中2个数的和变为差，由a+b与a-b奇偶性相同，可知所得和的奇偶性不变.操作若干次后，黑板上只剩下一个数，这个数必为奇数，它不可能为零.评注解决本题的关键是要从操作中看到，每次操作后，黑板上所剩数字的和总是奇数，这个特性是不变的.例5 在黑板上写上数1和2，可以用下列方式补写上一些新数：如果黑板上有数a 和b，那么可以补上数ab+a+b.问能不能用这个方法得到数12131？分析解决此题的关键是看补上的新数有何特征，其实不难发现这样一件事情:式子ab+a+b+1=(a+1)(b+1)在平时的因式分解中经常碰到，故容易发现补上的数可写为(a+1)(b+1)-1.由于原来2数为1和2，补上的数最后的形式为：2n×3m-1，再对12131这个数进行验证即可获得结论.解设c=ab+a+b，则c+1=(a+1)(b+1).若将黑板上每个数加上1，则补上的新数加1是这2个数加1的乘积.由于原来的数是1和2，现在考察2和3，经过若干次操作后变为2n×3m，于是在原来的情况下得到的数应为2n×3m-1，而12131+1=22×32×337≠2n×3m，故结论是否定的.评注由于c+1=(a+1)(b+1)，而原来的数为1和2，因此每个数加上1后，无论经过多少次操作，它的形式均为2n×3m-1，这个形式是不变的，是解决该问题的关键.用不变量求解的操作题，与平常学习的常规数学问题有距离，但又是常规问题的拓展与延伸.注意平时的积累是必要的，解决的关键还是选择合适的不变量，这是求解此类问题的难点和关键所在.4 讨论法分类讨论思想是数学思想方法中重要的方法之一，在近几年的数学竞赛中，尤其是在一些操作性问题中，分类讨论的思想也应用得越来越多.图3例6 如图3所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案个数是( )A．16 B．32 C．48 D．64(2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)分析先考虑2×2小方格图形中有几种不同的画法，再对4×5的大方格图形考虑位置不同的2×2小方格图形共有几个，从而得出本题的结果.解在每个2×2小方格图形中有4种不同的画法，而位置不同的2×2小方格图形共有12个，故画出不同位置的L形图案个数是12×4=48．故选C．评注解决本题的关键是抓住一个2×2小方格图形有几种不同的画法，依据这个结论再根据图形特点找出4×5的方格中有多少个位置不同的2×2小方格，这里尤其要注意位置不同的小方格，以免重复记数.例7 用标有1g，2g，6g，26g的法码各一个，在一架无刻度的天平上称重物，如果天平2端均可放置法码，那么可以称出的不同克数(正整数的重物)的种数共有( )A．15种 B．23种 C．28种 D．33种(2006年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛试题)分析解决此题的关键是进行分类讨论，可从2个方面:“一端放砝码，一端不放”、“两端都放”来展开讨论.解(1)当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1g，2g，6g，26g；(2)当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3g，7g，8g，27g，28g，32g；(3)当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9g，29g，33g，34g；(4)当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35g;(5)当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1g，4g，5g，20g，24g，25g；(6)当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3g，5g，7g，18g，19g，21g，22g，23g，25g，27g，30g，31g；(7)当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17g，23g，31g，33g；(8)当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19g，21g，29g．综上所述,去掉重复的克数后，共有28种．故选C.从上述2个例题可知，分类讨论法解题的关键在于正确、恰当地选择分类标准.在分类时，要注意在按照某一标准划分时,不要将某些对象重复地分到不同的类别中，也不能有遗漏.。
2005年重庆市初中数学竞赛初赛试题(A卷).doc
2005年重庆市初中数学竞赛初赛试题（A 卷）（本卷共三个大题，考试时间120分钟，满分120分）一、选择题：（第小题5分，共35分）1．计算：－22－3×(－1)×(－4)的结果为（ ）A ．－8B ．8C ．－16D ．162．计算(－2)2004＋(－2)2005的结果为（ ）A ．22004B ．－22004C ．－2D ．－13．若|x |＝1，|y |＝2，则|x ＋y |的值等于（ ） A ．3 B ．－3C ．1D ．1或34．如图，用图1所示的图案剪成图2所示的小图案，你认为最多能剪（ ） A ．10个 B ．15个C ．20个D ．25个5．一个五位数，若前两个数字表示的两位数为x ，后三个数字表示的三位数为y ，则这个五位数可表示为（ ）A ．1000x ＋yB ．100x ＋yC ．1000y ＋xD ．100y ＋x6．用若干个小正方体搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的几何体不同情况的总数为（ ） A ．6个 B ．7个C ．8个D ．9个7．盒中原装有6个小球，一位魔术师从中任取出若干个小球，并将每一个小球变成6个小球后，再放回盒中，然后他又从盒中任取出若干个小球，并将每一个小球又变成6个小球后，再次放回盒中，如此继续到某一时刻，魔术师停止再取球变魔术时，这时盒中小球的总个数只可能是（ ）A 2004个B ．2005个C ．2006个D ．2007个二、填空题：（每小题5分，共35分）1．请按照112 ，215 ，3110 ，4117 ，……这一列数的排列规律，写出第14位上的数是__________．2．若a ＞1，则下列四个数：a ，1a，－a ，a 2中，最大的一个数是__________．图1▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲●●●●● ●●●●●图2正视图俯视图3．计算12 ＋13 ＋23 ＋14 ＋24 ＋34 ＋15 ＋25 ＋35 ＋45 ＋……＋120 ＋220 ＋……＋1920 的结果是___________．4．如果在数轴上表示有理数x 的点到原点的距离小于3，那么|x －3|＋|x ＋3|的值等于____________．5．有人规定了一种新的运算“*”，对于任意两个有理数a 、b ，都有a *b ＝2a －3b5 ，若6*x＝35，则x 的值为_________． 6．某城市的方形街道如图所示（图中每个小方形均为相等的正方形），小明同学要从A 地沿此方形街道前往B 地，则路程最短的走法共有________种．7．如图，四边形ABCD 是一个直角梯形，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝12cm ，AD ＝7cm ，四个顶点处扇形的半径分别为AE ＝BF ＝3cm ，DG ＝CH ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为___________cm 2．（答案用含π的结果表示）三、解答题：（每小题25分，共50分）1．某城市共有10条公路两两相交，且每两条公路只有一个交点，其中仅有三条公路交于同一点．为了让行人安全地通过公路的交点，市政府决定在这些公路的每个交点处安装一套红绿灯．亲爱的同学，如果你是一个工程师，请你动脑筋算一算应准备多少套红绿灯为这10条公路的每个交点处进行安装？2．10个人围成一个圆圈，每个人心里想一个数，并把这个数告诉给左右相邻的两个人，然后每个人把左右相邻的两个人告诉给自己的数的平均数亮出来．如图所示，圆周上的数都是每个人亮出来的平均数．请你求亮出数为11的人心里想的那个数是多少？情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让二、6题图AB·· 二、7题图三、2题图7 896 · 510· ·· ··· · ·· 1112 13 14女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。
2005年全国初中数学竞赛选拔赛试题
荆州市2004年初中数学竞赛2005年全国初中数学竞赛选拔赛试题考生注意：题号后标有“初二”者，为初二年级考生试题；题号后标有“初三”者为初三年级考生试题；没有特别标志的试题为公共试题，两个年级考生都做。
初二年级考生不能做初三年级试题，初三年级考生不能做初二年级试题。
满分均为120分。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1．若n 满足(n －2004)2+(2005－n)2=1，则(2005－n)(n －2004)等于 （ ）A ．－1B ．0C ．21 D ．12．如图1，已知∠CGE=120°，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）A ．150°B ．210°C ．240°D ．270°3．设x 、y 、z 均为正实数，且满足 xz yz y x y x z +<+<+，则x 、y 、z 三个数的大小关 系是（ ）A ．z<x <yB ．y<z<xC ．x <y<zD ．z<y<x4．（初三）两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A 点和B 点（如图2）；A 点 和B 点之间的距离是100米，陈洁离开A 以每秒8米的速度沿着与AB 成60°角的直线 上滑行，在陈洁离开A 点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B 点， 这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度 最早相遇.则最早相遇的时间是（ ） A ．18秒 B ．20秒C ．22秒D ．3100秒 5．（初三）二次函数y=ax 2+b x +c(a ≠0)图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和点图3A ．0<S<1B ．0<S<2C ．1<S<2D ．－1<S<16．（初三）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0||||50||||522x y y y x x 在实数范围内解的组数为（ ）A ．多于5组B ．5组C ．3组D ．1组7．（初二）已知a 、b 都是正整数，那么a 、b 和8为边组成的三角形有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个8．（初二）将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不 一定按此）.则此五边形的面积为 （ ）A ．680B ．720C ．745D ．7609．（初二）水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付 钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，则共应付钱 （ ）A ．8元B ．6元C ．5元D ．4元二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10．已知p, q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则p+q= . 11．如图3，G 是边长为4的正方表ABCD的边BC 上一点，矩形DEFG 的边EF 过点A ，GD=5，则FG 的长为 .12．若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客 人.13．（初三）已知△ABC 是非等腰直角三角形，∠BAC=90°，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB=BC=CE ，连结AD 、AE ；已知∠BAD=45°，那么tan ∠CAE= . 14．（初三）如图4，已知圆内接等边三角形ABC ，在劣弧BC 上有一点P ，若 AP 与BC 交于点D ，且PB=21， PC=28，则 .15．（初三）四条直线y=x +10，y=－x +10，y=x －10, y=－x －10，在平面直角坐标系中围成的正方形内（包含四边）整点的个数有 .（注：若x ，y 为整数，则(x 、y)为整点） 16．（初二）某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的盈利是 元.17．（初二）方程|x －2y －3|+|x +y+1|=1的整数解的个数是 .18．（初二）已知点A （1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P 使△AOP 为等腰三角形.则符合条件的点P 共有 个. 三、（本大题满分15分）19．（初三）已知k 是整数，且方程x 2+k x －k+1=0有两个不相等的正整数根，求k 的值. 20．（初二）如图5所示，将1到9这9个自然数填入3×3的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和都相等，试确定正中间方格x 的值并说明理由.四、（本大题满分15分）21．某出版公司为一本畅销书价如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)49(10)4825(11)241(12)(n n n n n n n C这里的n 表示订购书的数量，C(n )是订购书所付的钱款数（单位：元） （1）有多少个n ，会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花的钱少？（2）若一本书的成本是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，五、（本大题满分15分）22．（初三）如图6：已知AC、BD是圆O的内接四边形ABCD的对角线，且BD垂直平分半径OC；在AC上取一点P使CP=OC，连结BP并延长交AD于点E交圆O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项.23．（初二）如图7：已知在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD；连结AC，过A点作AE ⊥AC，且使AE=AC；连结BE，过A点作AH⊥CD，垂足为H，且交BE于点F，求证BF=EF.六、（本大题满分15分）24．（初三）如图8，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的是大值. 25．（初二），如图9，某古城护城河在CC′处起直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B 处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计）.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A，B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米.恰当地架桥可使ADD ′E′ED的路程最短.这个最短路程是多少米？参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；解答题请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1．若n 满足(n －2004)2+(2005－n)2=1，则(2005－n)(n －2004)等于（B ）A ．－1B ．0C ．21 D ．1解答：设(2005－n)=a , (n －2004)=b a +b=1 a 2+b=1,02)()(222=+-+=∴b a b a ab 故选B. 2．如图1，已知∠CGE=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= （ C ）A ．150°B ．210°C ．240°D ．270°解答：连结AG ，则∠AGC=∠B+∠BAG , ∠AGE=∠F+∠FAG , ∴∠B+∠BAF+∠F=∠EGC=120° 则理∠C+∠D+∠E=∠BGF=120°即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°故选C 3．设x 、y 、z 均为正实数，且满足 xz yz y x y x z +<+<+，则x 、y 、z 三个数的大小关 系是（ A ）A ．z<x <yB ．y<z<xC ．x <y<zD ．z<y<x解答：∵x 、y 、z 为正实数，则有yxz x z y z y x +>+>+， 从而yzy x x z y x z z y x ++>++>++即得z<x <y.故选A. 4．（初三）两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A 点和B 点（如图2）；A 点 和B 点之间的距离是100米，陈洁离开A 以每秒8米的速度沿着与AB 成60°角的直线 上滑行，在陈洁离开A 点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B 点， 这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度 最早相遇.则最早相遇的时间是（ B ） A ．18秒 B ．20秒C ．22秒D ．3100秒 解答：如图：过C 作CD ⊥AB 于点D设满足题设的时间为t 秒，则有AC=8t ，BC=7t ，又∠A=60°.t CD t AD 34,4==∴ 由勾股定理知310020)34()4100()7(222==+-=t t t t t 或解得（舍）故选B. 5．（初三）二次函数y=ax 2+b x +c(a ≠0)图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和点（－1，0）两点，则S=a +b+c 的值的变化范围是（ B ）A ．0<S<1B ．0<S<2C ．1<S<2D ．－1<S<1解答：分别令x =0, y=1和x =－1, y=0. 求得c=l , a =b －1 ∴S=a +b+c=2b.由题设知02>-ab，且a <0，可以推知2b>0又由b=a+1及a <0可以推知2b<2. ∴0<S<2故选B.6．（初三）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0||||50||||522x y y y x x 在实数范围内解的组数为（ A ）A ．多于5组B ．5组C ．3组D ．1组解答：设|x |=a , |y|=b ,，则原方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-050522a b b b a a两式相减并化为(a －b)(a +b －6)=0∴a －b=0或a +b －6=0由此可得⎩⎨⎧=-+=+-⎩⎨⎧=-=+-060500522b a b a a b a b a a 或 前者解得（a , b ）=（0，0），（4，4）后者解得，（a ,b ）=（3+3，3－3）或（3－3，3+3）因此（a ,b ）的第一组解推得（x , y ）=（0，0）；其它三组解分别可推得的4组解，所以原方程组有13组不同的实解.故选A.7．（初二）已知a 、b 都是正整数，那么a 、b 和8为边组成的三角形有 （ D ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个解答：对于a =b>4的任何正整数，均可与8一起构成三角形的三边，故选D.8．（初二）将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不 一定按此）.则此五边形的面积为 （ C ）A ．680B ．720C ．745D ．760解答：如图：注意到切去的三角形的三边分别为5、12、13. ∴S 五边形=S 长方形－S 三角形=31×25－21×5×12=745 故选C. 9．（初二）水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，则共应付钱 （ A ）A ．8元B ．6元C ．5元D ．4元解答：设甲、乙、丙三种水果每千克价分别为x 、y 、z 元，由题设知⎩⎨⎧=++=++)2(4224)1(642 z y x z y x （1）×2+（2）得8x +4y+10z=16即4x +2y+5z=8，故选A. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10．已知p, q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则p+q= 15 .解答：因为5p 2+3q 为奇数，故p, q 必为一奇一偶，而 p , q 均为质数，故p ，q 中有一个为2.若q 为2，则 5p 2=553，不合题意，舍去；若p 为2，则q=13即p+q=15. 11．如图3，G 是边长为4的正方表ABCD的边BC 上一点，矩形DEFG 的边EF 过点A ，GD=5，则FG 的长为516. 解答：连结AG ∵S △ADG =21S 正方形ABCD =21S 长方形DEFG =16 ∴FG=516，注：利用△AED ∽△GDC 亦可. 12．若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客 961 人.解答：设有x 辆汽车，少一辆汽车后每辆车坐y 人，有30x +1=y(x －1) 从而131301130-+=-+=x x x y 所以x =2（不合题意）；x =32. 因此游客数为30×32+1=961人.13．（初三）已知△ABC 是非等腰直角三角形，∠BAC=90°，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB=BC=CE ，连结AD 、AE ；已知∠BAD=45°，那么tan ∠CAE=41. 解答：分别过B 、C 两点作BM//AC ，CN//AB分别交AD 、AC 于M 、N ；容易知道AC=2BM ， AB=2CN 又tan ∠BAD=BM, tan ∠ACCNCAE = 从而tan ∠BAD ·tan ∠CAE=41又tan ∠BAD=1 即tan ∠CAE=41.14．（初三）如图4，已知圆内接等边三角形ABC ，在劣弧BC 上有一点P ，若 AP 与BC 交于点D ，且PB=21， PC=28，则PD= 12 . 解答：由△ABD ∽△CPD 知CP AB DP BD =又由△ACD ∽△BPD 知 BPACDP DC =二式相除得43==CP BP DC BD （注：此处用角平分线定理亦可直接得出） ∵△ABD ∽△CPD 知ABCPBD PD =122873=⨯=⋅=⋅=∴CP BC BD CP AB BD PD15．（初三）四条直线y=x +10，y=－x +10，y=x －10, y=－x －10，在平面直角坐标系中围成的正方形内（包含四边）整点的个数有 221 .（注：若x ，y 为整数，则(x 、y)为整点） 解答：如图：分4个三角形考虑：△AOB（仅不含BO 边），△BOC （仅不含CO 边） △COD （仅不含DO 边）△DOA （仅不含 AO 边）每个三角形内所含整点的个数均为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，再考虑原点，故共有55×4+1=221.16．（初二）某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一解答：设盈利25%的成本价为x 元, 亏损25%的成本价为y 元,则有90－x =25%x ， 90－y=－25%y 解得x =72，y=120.从而利润为：(x +y)－180=－12元17．（初二）方程|x －2y －3|+|x +y+1|=1的整数解的个数是 1 .解答：由题设知⎩⎨⎧=++=--⎩⎨⎧=++=--0|1|1|32|1|1|0|32|y x y x y x y x 或从而得到—F 面四个方程组：①⎩⎨⎧=++=--11032y x y x ②⎩⎨⎧-=++=--11032y x y x ③⎩⎨⎧=++=--01132y x y x ④⎩⎨⎧=++-=--01132y x y x 解以上方程组，得惟一整数解⎩⎨⎧-==11y x . 18．（初二）已知点A （1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P 使△AOP 为等腰三角形.则符合条件的点P 共有 8 个.解答：①当P 在x 轴上若OA 为腰时，由OA=OP 得P 1(2，0)，P 2(－2，0)；由OA=AP得P 3(2, 0); 若OA 为底时，得P 4（1，0）有4个点.②当P 在y 轴上对称地也有4个点，所以满足题设的点共有8个.三、（本大题满分15分）19．（初三）已知k 是整数，且方程x 2+k x －k+1=0有两个不相等的正整数根，求k 的值. 解：设方程两个不相等的正实数根为a ,b （不妨设a <b ）于是a +b=－k, a b=－k+1.消去k 有ab －a －b=1，即(a －1)(b －1)=2……（10分） 只有a －1=1，b －1=2.即a =2，b=3.进而k=－5.……………………（15分）20．（初二）如图5所示，将1到9这9个自然数填入3×3的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和都相等，试确定正中间方格x 的值并说明理由.解：x =5.………………（5分）其理由是：按如图所示填字母a , b, c, d, e ,f , g , h ,有: a +b+c+d+x +e+f+g+h=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45…8分且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++15151515e x d g x b f x c h x a 四式相加得(a +b+c+d+x +e+f+g+h)+3x =60从而3x =15即x =5.………………（15分）四、（本大题满分15分）21．某出版公司为一本畅销书价如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)49(10)4825(11)241(12)(n n n n n n n C这里的n 表示订购书的数量，C(n )是订购书所付的钱款数（单位：元）（1）有多少个n ，会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花的钱少？（2）若一本书的成本是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，则出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？解：（1）由C （25）=275，C （24）=288，C （23）=276，C （22）=264；有C （25）<（23）<C （24）由C(49)=490, C(48)=528, C(47)=517, C(46)=506, C(45)=495, C(44)=484, 有C(49)<C(45)<C(46)<C(47)<C(48);故共有6个n （即23，24，45，46，47，48）出现买多于n 本书比恰买n 本所花的钱少.……（5分）（2）设两人共购买a 本和b 本共付钱S 元，不妨设a ≤b ，由a +b=60知道1≤a ≤30 （i ）当1≤a ≤11时，49≤b ≤59，S=12a +10b=10(a +b)+2a =600+2a 602≤S ≤622 （ii ）当12≤a ≤24时，36≤b ≤48 S=12a +11b=660+a 672≤S ≤684（iii ）当25≤a ≤30时，30≤b ≤48 S=11a +11b=660故出版公司最少赚602－60×5=302元，最多赚684－60×5=384元……（15分）五、（本大题满分15分）22．（初三）如图6：已知AC 、BD 是圆O 的内接四边形ABCD 的对角线，且BD 垂直平分半径OC ；在AC 上取一点P 使CP=OC ，连结BP 并延长交AD 于点E 交圆O 于点F.求证PF 是EF 和BF 的比例中项.证明：连结OB 、AF.∵BD 垂直平分半径OC ，∴BO=BC又OB=OC=CP ∴CP=CB 从而∠PBC=∠BPC ；又∵∠PBD=∠PBC －∠CBD∠ABP=∠BPC －∠BAC而已知OC ⊥BD 得到点C 是弧BD 中点∴∠BAC=∠DAC=∠CBD因此∠PBD=∠ABP 即P 为△ABD 的内心.……（10分）这样一来，∠EAF=∠ABF ，∠F=∠F ，∴△AEF ∽△BAF 即得AF 2=EF ·BF又因为∠FAP=∠FAE+∠CAD∠FPA=∠ABF+∠BAC由内心可知，∠CAD=∠BAC ，∠FAE=∠ABF所以∠FAP=∠FPA 即PF=AF …………………………（15分）因此PF 2=EF ·BF 结论成立.23．（初二）如图7：已知在四边形ABCD 中，AB=AD ，AB ⊥AD ；连结AC ，过A 点作AE⊥AC ，且使AE=AC ；连结BE ，过A 点作AH ⊥CD ，垂足为H ，且交BE 于点F ，求证BF=EF.证明：过B 点作BM ⊥AH ，过E 点作EN ⊥AH ，交AH 或其延长线分别于点M 、N∵AB ⊥AD ∴∠BAM+∠ABM=90°又∵AH ⊥CD ∴∠DAH+∠ADH=90°∴∠BAM=∠ADH 而∠AMB=∠AHD=90°，AB=AD∴Rt △ABN ≌Rt △DAH∴BM=AH …………………………（5分）同理可证明Rt △EAN ≌Rt △ACH 得到EN=AH ………………（10分）在Rt △BMF 和Rt △ENF 中，有EN=AH ，∠BFM=∠EFN ，∠BMF=∠ENF=90° ∴Rt △BMF ≌Rt △ENF因此BF=EF ……………………………………………………（15分）六、（本大题满分15分）24．（初三）如图8，已知矩形ABCD ，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN ，P 在CD 上移动，AP 与DM 交于点E ，PN 交CM 于点F ，设四边形MEPF 的面积为S ，求S 的是大值. 解：连结PM ，设DP=x ，则PC=4－x ，∵AM//OP11211+=∴=⋅==+=+=∴=∴∆∆∆∆x x S AD AM S PA PE S S x x PA PE AM PD PD PA PE AM PD EA PE MPE APM APM MEP 且又即 同理可求xx S MPF --=∆54……………………（8分） 因此5462511125412++--=--+-=--++=x x x x x x x x S 343229)2(622=-≤--+=x ………………（13分） 当x =2时，上式等号成立.………………………（15分）25．（初二），如图9，某古城护城河在CC ′处起直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计）.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A ，B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米.恰当地架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短.这个最短路程是多少米？解：如图所示，作AA ′⊥CD ，AA ′⊥DD ′；BB ′⊥CE ，BB ′⊥EE ′，则折线ADD ′E ′EB 的长度等于折线AA ′D ′E ′B ′B 的长度，等于折线A ′D ′E ′B ′以线段A ′B ′最短.…………………………（10分）故题目所示最短路程S=A ′B ′+10.而A ′，B ′在东西方向上相距65－5=60米，南北方向上相距85－5=80米，从而由勾股定理知A ′B ′=228060 =100米，故S=110米.………………（15分）。
初中数学竞赛专题6：因式分解
专题6：因式分解第1讲 因式分解赛题练习一、选择题1．（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ） A ．是完全平方数，还是奇数 B ．是完全平方数，还是偶数 C ．不是完全平方数，但是奇数D ．不是完全平方数，但是偶数2．（第17届希望杯竞赛题）There is a two-placed number 10ab a b =+satisfying that ab ba + is a complete square number ，then total number of those like ab is （ ） A ．4B ．6C ．8D ．10（英汉词典：two-placed number 两位数；number 数；to satisfy 满足；complete square 完全平方（数）；total 总的，总数）3．（2005年全国初中数学竞赛题）若223894613M x xy y x y =-+-++（x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ） A ．正数B ．负数C ．零D ．整数4.（北京市竞赛题）44a +分解因式的结果是（ ） A.()()222222a a a a +--+ B.()()222222a a a a +--- C.()()222222a a a a ++--D.()()222222a a a a ++-+5.（2006年希望杯竞赛题）实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006B.2005C.2004D.20036.（2005年武汉市竞赛题）若3234x kx -+被31x -除后余3，则k 的值为（ ） A.2B.4C.9D.107.（第13届希望杯竞赛题）已知a b c >>，222M a b b c c a =++，222N ab bc ca =++，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M N <B.M N >C.M N =D.不能确定8.（美国犹他州竞赛题）322136x x x +-+的因式是（ ） A.21x - B.2x + C.3x -D.21x +E.21x +9.（2005年全国初中数学竞赛题）若22389M x xy y =-+-4613x y ++（x 、y 是实数），则M 的值一定是（ ） A.正数B.负数C.零D.整数10.（武汉市竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ） A.7 B.8C.15D.21二、填空题11．（第7届五羊杯竞赛题）把()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd ++++--+--+--+因式分解为________．12．（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=________． 13．（第18届五羊杯竞赛题）分解因式：2226773x xy y x y --+++=________．14．（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=________．15．（2007年全国初中数学联赛题）若10064a +和20164a +均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是________．16.（北京市竞赛题）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，则2002()x y z --=__________. 17.（2004年广西竞赛题）已知()22210x y x y +--+=，则()999x y +=__________.18.（北京市竞赛题）1~100若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有____________个.19.（郑州市竞赛题）分解因式：22423a b a b -+++=_______________________________________. 20.（2004年河南省竞赛题）分解因式：229643x x y y --+-=_______________________________. 21.（第16届希望杯竞赛题）分解因式：()()221ab a b a b +-++=_____________________________. 22.（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________________.23.（第15届江苏省竞赛题）已知26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的因式，则a =___________，b =___________.24.（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=___________. 25.（大连市第8届育英杯竞赛题）分解因式：()()112x x y y xy -++-=____________. 三、解答题26．（1991年黄冈初中数学竞赛题）已知a 是自然数，且3221215a a a +-+表示质数，求这个质数．27．（1999年天津市数学竞赛题）当k 为何值时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解成两个一次因式的积？28．（第9届华杯赛总决赛题）计算；()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++．29．（第10届希望杯竞赛题）272-1能被500与600之间的若干整数整除，请找出三个这样的整数，它们是________．30．（第10届希望杯竞赛题）若233x x x k +-+有一个因式是x +1，求k 的值．31．（第6届希望杯竞赛题）计算：2211100.010.01101001000⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．32．（第9届五羊杯竞赛题）当n =1，x =2时，求多项式51n n x x ++的两个因式的和．33．（2000年美国犹他州中学数学竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式x +1和x +2，求a +b 的值．34．（第5届美国数学邀请赛试题）计算：()()()()()()()()()()44444444441032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++．35．（第37届美国中学生数学竞赛题）设543269569106910695691N =+⨯+⨯+⨯+⨯+．问：有多少个正整数是N 的因数？36．（第9届莫斯科奥林匹克试题）证明：对任何整数x 和y ，343223453515412x x y x y x y xy y +--++的值都不会等于33．37．（第37届美国中学生数学竞赛题）已知b ，c 是整数，二次三项式2x bx c ++既是42625x x ++的一个因式，也是4234285x x x +++的一个因式，求当x =1时，2x bx c ++的值．38.（祖冲之杯竞赛题）分解因式：32539x x x ++-.39.（北京市竞赛题）证明恒等式：()244422()2a b a b a ab b +++=++.40.（江苏省竞赛题）已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，求22x y +的值.41.（希望杯竞赛题）分解因式：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-.42.（第12届五羊杯竞赛题）分解因式：()()42424310x x x x +-+++.43（2006年希望杯培训题）计算：32322007220072005200720072008-⨯-+-.44.（太原市竞赛题）已知关于x 、y 的二次式22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式的乘积，求a 的值.45.（2005年莫斯科市竞赛题）对方程22222004a b a b ++=，求出至少一组整数解.46.（2006年创新杯培训题）已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n .47.（2006年全国初中数学竞赛题）计算 (252)(472)(692)(8112)(200420072)(142)(362)(582)(7102)(200320062)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+48.计算：（1）（第15届希望杯竞赛题）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）（第九届华杯赛竞赛题）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++49.分解因式： （1）4464a b +； （2）4224x x y y ++； （3）()2222(1)x x x x ++++；（4）（昆明市竞赛题）()()()24c a b c a b ----；（5）（第15届希望杯竞赛题）432234232a a b a b ab b ++++； （6）（重庆市竞赛题）32256x x x +--.50.（重庆市竞赛题）分解因式： （1）224443x x y y --+-； （2）343115x x -+.问题解决例1.分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---=______. 例2.把下列各式分解因式： （1）()()22525312x x x x ++++-； （2）()()()()21236x x x x x +++++； （3）()()()()211x y x y xy xy xy +++++-.例3.阅读理解：观察下列因式分解的过程： （1）244x xy x y -+-原式()()()()()()24444x xy x y x x y x y x y x =-+-=-+-=-+. （2）2222a b c bc --+原式()()()()222222a b c bc a b c a b c a b c =-+-=--=+--+.第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式.仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）2a ab ac bc -+-； （2）22244x y z yz --+.例4.分解因式：326116x x x +++.例5.把下列各式分解因式： （1）261110y y --； （2）22823x xy y --.数学冲浪 知识技能广场1.分解因式：（1）()()22162x x x ---=______； （2）()()4a b a b ab --+=______； （3）276ax ax a -+=______. 2.分解因式：（1）3222a ab a b +-=______；（2）()()21211x x ---+=______； （3）2221a ab b -+-=______； （4）2244x y x --+=______. 3.分解因式：（1）323412x x x +--=______； （2）()()2223238x xx x +-+-=______.4.若()()23x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n =______.5.把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）. A.()34xy x y x --B.()22x x y --C.()2244x xy y x --D.()2244x xy y x --++6．()()()()()()656565323322134x x x x x x x xx +-+++-+++-与下列哪一个式子相同（ ）.A.()()653421x x x -+ B.()()653423x x x -+ C.()()653421x x x --+D.()()653423x x x --+7．把多项式22243x y x y ----因式分解之后，正确的结果是（ ） A.()()31x y x y ++-- B.()()13x y x y +--+ C.()()31x y x y +--+D.()()13x y x y ++--8．已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ） A.3个B.4个C.6个D.8个9．先阅读以下材料，然后解答问题.分解因式：()()()()mx nx my ny mx nx my ny x m n y m n +++=+++=+++=()()m n x y ++；也可以()()()()()()mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++. 以上分解因式的方法称为分组分解法. 请用分组分解法分解因式：3322a b a b ab -+-.10.分解因式：（1）22463a b a b -+-；（2）222944a b bc c -+-； （3）()()()2a c a c b b a +-+-； （4）()()221212x x x x ++++-； （5）()22223122331x x x x -+-+-； （6）()()()213512x x x -+++.思维方法天地11.分解因式：()()()()()12345x x x x x x ++++++=______. 12.分解因式：()()()33322x y x y -----=______.13.已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解为()()8ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a b c ++=______.14.已知1x -得多项式33x x k -+的一个因式，那么k =______；将这个多项式分解因式，得______. 15.44a +分解因式的结果是（ ）.A.()()222222a a a a +--+B.()()222222a a a a +---C.()()222222aa a a ++-- D.()()222222aa a a ++-+16．实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006B.2005C.2004D.200317．已知3a b -=，5b c +=-，则代数式2ac bc a ab -+-的值为（ ） A.15-B.2-C.6-D.618．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且满足()222220a b c b a c ++-+=，则此三角形是（ ）. A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定19．分解因式：（1）224443x x y y --+-；（2）()()()2221x y xy x y xy +-+-+-； （3）343115x x -+； （4）32539x x x ++-.应用探究乐园20.已知在ABC ∆中，三边长a ，b ，c 满足等式222166100a b c ab bc --++=.求证：2a c b +=.21.下金蛋的鸡法国数学家费马（1601-1665）一生中提出了不少猜想，最著名的是“费马大定理”：关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=（n 为大于2的整数）没有正整数解.直到350年之后，这个猜想才由英国数学家怀尔斯（1953— ）于1994年证明.德国数学家希尔伯特（1862-1943）将费马大定理称为“一只会下金蛋的鸡”，因为在攻克它的漫漫征程中，不但引出了许多数学概念和方法，而且促进了一些新的分支的创立和发展.这些远比证明定理本身更重要！不过费马的猜想并不总是正确的.他考察了12215+=，222117+=，3221257+=，422165537+=，发现结果都是素数（也称质数），于是猜想：对任意正整数n ，221n+（即()221n+）都是素数.瑞士数学家欧拉（1707-1783）指出，5221+并不是素数.我国数学家华罗庚（1910—1985）在他的著作《数论导引》中给出一种简明的证法：设72a =，5b =，可算得()524442111ab a a b +=++-，可见5221+必有除1和本身以外的约数______（填较简单的一个，用含a ，b 的式子表示），即5221+能被______整除（填入具体数值），所以不是素数.第2讲 因式分解的应用赛题练习1.（2004年重庆市竞赛题）已知2310x x x +++=，则220041x x x ++++的值为（ ）A.0B.1C.1-D.20042.（第19届江苏省竞赛题）若432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则:a b 的值是 （ ） A.2-B.12-C.6D.43.（第14届希望杯竞赛题）若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值为（ ） A.0B.1-C.1D.34.（第17届江苏省竞赛题）a 、b 、c 是正整数，a b >，且27a ab ac bc --+=，则a c -的值为（ ） A.1-B.1-或7-C.1D.1或75.（中学生智能通讯赛试题）设()()322320042003200420052003200220012002a -⨯+=⨯--，()()322320052004200520062004200320022003b -⨯+=⨯--，则a 、b 的大小关系是（ ） A.a b >B.a b =C.a b <D.不能确定6.（湖北省竞赛题）设a 是正数，且21a a -=，那么224a a-的值为（ ） A.3-B.1C.3D.57.（2005年全国初中数学竞赛题）已知2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18B.20C.24D.258.（2007年全国初中数学竞赛题）方程323652x x x y y ++=-+的整数解(),x y 的个数是（ ） A.0B.1C.3D.无穷多9.（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ） A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数10.（2002年全国初中数学联赛题）若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为（ ） A.1B.0C.1-D.2-11.（2003年全国初中数学联赛题）满足等式2003=的正整数对(),x y 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412.（第14届希望杯竞赛题）已知54410a a b a a b --+--=，且231a b -=，则33a b +的值为___________.13.（全国初中数学竞赛题）已知a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________.14.（第17届希望杯竞赛题）A 、n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =_____________.15.（四川省竞赛题）对一切大于2的正整数n ，数5354n n n -+的最大公约数是____________. 16.（2001年全国初中数学联赛题）一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为___________.17.（第9届华杯赛试题）a 、b 、c 是正整数，并且满足等式12004abc ab ac bc a b c +++++++=，那么a b c ++的最小值是__________.18.（祖冲之杯竞赛题）整数a 、b 满足6910303ab a b =-+，则a b +=___________.19.（第18届五羊杯竞赛题）若P 是两位的正整数，则以下等式中有可能成立的式子的个数是______________.①22006(34)(59)x Px x x ++=--； ②22006(17)(118)x Px x x ++=--； ③22006(34)(59)x Px x x --=+-； ④22006(17)(118)x Px x x --=+-； ⑤22006(1)(2006)x Px x x +-=-+.20.（2001年全国初中数学联赛题）若214x xy y ++=，228y xy x ++=，则x y +的值为___________. 21.（2005年四川省竞赛题）对于一个正整数n ，如果能找到正整数a 、b ，使得n a b ab =++，则称n 为一个“好数”，例如31111=++⨯，3就是一个“好数”，那么，在1~20这20个正整数中，好数有___________个.22.（2004年北京市竞赛题）已知x 、y 为正整数，且满足22222341x y x y +=+，则22x y +__________. 23.（第10届希望杯竞赛题）7221-能被500与600之间的若干整数整除，请找出3个这样的整数，它们是__________.24.（2008年天津市竞赛题）已知4个实数a 、b 、c 、d ，且a b ≠，c d ≠.若4个关系式：22a ac +=，22b bc +=，24c ac +=，24d ad +=同时成立，则6232a b c d +++的值为___________. 25.（五城市联赛题）若a 是自然数，则4239a a -+是质数还是合数？给出你的证明.26.（全国初中数学联赛题）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是()911145mn m n +++元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.27.（2006年俄罗斯萨温市竞赛题）（1）证明：19992000200120032004200536⨯⨯⨯⨯⨯+是一个完全平方数.（2）证明：数848497n n ++-对于任何自然数n 都能被20整除.28.（江苏省竞赛题）（1）证明：791381279--能被45整除；（2）证明：当n 为自然数时，()221n +形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭29.（2005年太原市竞赛题）二次三项式22x x n --能分解为两个整系数一次因式的乘积. （1）若130n ≤≤，且n 是整数，则这样的n 有多少个？ （2）当2005n ≤时，求最大的整数n .30.（重庆市竞赛题）按下面规则扩充新数：已有两数a 、b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.问题解决例1.方程2270xy x y --+=的整数解（x y ≤）为______. 例2.1621-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是（ ）. A.6 B.5 C.4 D.3例3.计算：（1）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++. 例4.设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数.例5.已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n 的值.例6.（1）实数x ，y 满足221252810x xy y y ++-+=，则22x y -=______.（2）在平面直角坐标系中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标(),x y 的个数为（ ）. A.10B.9C.7D.5数学冲浪 知识技能广场1.设y ax =，若代数式()()()23x y x y y x y +-++化简的结果为2x ，则a =______.2.如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______. 3.如果实数x ，y 满足方程组1,2225,x y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩那么22x y -的值为______.4.已知2m ≥，2n ≥，且m ，n 均为正整数，如果将n m 进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：（1）在52的“分解”中最大的数是11； （2）在34的“分解”中最小的数是13；（3）若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5. 其中正确的是______.5.若实数x ，y ，z 满足()()()240x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ） A.0x y z ++= B.20x y z +-= C.20y z x +-=D.20z x y +-=6．边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ） A.140B.70C.55D.247．设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（ ）. A.5814B.5841C.8415D.84518．a ，b ，c 是正整数，a b >，27a ab ac bc --+=，则a c -等于（ ） A.1- B.1-或7- C.1 D.1或79．计算：（1）32322004220042002200420042005-⨯-+-； （2）44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.10.选取二次三项式()20ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫配方. ①选取二次项和一次项配方：()224222x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：(()22424x x x x -+=+，或((32424x x x x -+=-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-.根据上述材料，解决下面的问题.（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方；（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值.思维方法天地11.若两个不等实数m ，n 满足22m m a -=，22n n a -=，225m n +=，则实数a 的值为______. 12.已知a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222a b xy ab x y +++=______. 13.整数x ，y 满足方程283xy x y ++=，则x y +=______.14.A ，n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =______. 15.若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ）. A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数16．设n 为某一正整数，代入代数式2n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（ ） A.7770B.7775C.7776D.777917．方程222334x xy y ++=的整数解(),x y 的组数为（ ）. A.3B.4C.5D.618．黑板上写有1，12，…，1100共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后黑板上剩下的数是（ ）. A.2012B.101C.100D.9919．已知()()222012a b c b a c +=+=，且a b ≠，求()2c a b +的值.20.计算：()()()()()()()()()()424242424242424242422214416618881010133155177199111111++++++++++++++++++++.应用探究乐园21.当我们看到下面这个数学算式333337133713503724613724++==++时，大概会觉得算题的人错用了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++，但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种等式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，…，你能发现以上等式的规律吗？22.按下面规则扩充新数：已有两数a ，b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数……每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.。
重庆市第一届初中数学竞赛试题
或石 万 干
l
泰 忐
,
.
不 全等
也就
“
当证明 中
,
将所证 式 子 变 形到
(1)
:
0《 ( 劣 一 2 ) . + ( , + l ) 2《 2 0
是
a
,
b
,
c
为 不全 相 等 的 正 数 即可
不 等 式》 中 例 功
1
不必 要
各不
+ d )
:
时
,
以下证 明可 简 化为
’
相等
。
.,
M (2
,
,
一 l ) 在二 2 + 夕 2 , 5 2以
、
3,
1
c
一一 之 一
’i
.’
、 ·
.
1一
“
9
.
一竿
(
,
,
一加
,
+
口
一牛 , = a + 口
,
3
《 不 等 式》
·
《 沙旱 音
)《 1 5
中 例 H 若 二+ 护 《
5
,
求证
5
由上 证 明 知
,
条件 为 (b+
,
c
)
、
(e+
,
a
)
、
一 与 x 盆+ 夕2 一 2 ( 2 劣 一 , (
( a + b )不 全等
不填得 1分
。
每 一 题填
。
(C ) (D )
9.
(二 l
g
:
=
初中数学竞赛专题4：整式
3、选择题则第二周工资总额与第一周工资总额相比（[9]（江苏省“数学文化节”试题）有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克调查，将两种糖果按甲种糖果m kg 与乙种糖果n kg 的比例混合，取得了较好的销售效果.现在糖果价格有了调整：甲种糖果单价上涨 c%，乙种糖果单价下跌 d%，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，那么m等于（）.nAac A .bd[10]如图①，将一个边长为 a 的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“专题4:整式33 7 9 11,4313 15 17 19, ”，右m 分裂后，其中有 个奇数是 2013,A.43B.44C.45D.46[3]若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数” 两位数的个数是（）。
A.82B.84C.86D.88[4]已知a b 0,ab ，则化简baa 2 ab 2 得( b）。
A. 2aB. 2bC. 4D. 4⑸已知2ab3, 2 c6 , 2 12 , 则a , b , c 的关系是（)A. 2b a cB. 2b a cC. 2b a cD. a大于[2] 则m 的值是（，则不是“巧数”的第二周每小时工资增加小王第一周每小时工资为 a 元，工作b 小时, [1]1时，代数式2ax 3bx 8的值为18,那么，代数式9b6a 2A.28B.-28C.32D.-3231的正整数m 的三次幕可“分裂”成若干个连续奇数的和，如2 3 5 =,10%，工作总时间减少 10%，A.增加1%B.减少1%C.减少1.5% [7]已知有理数 a,b, c 在数轴上的位置如图D.不变丄b所示，且|a | |b|，则代数式|a | | c a| |c b| | b| 的值为（）。
A. 2cB. 0C. 2cD. 2a 2b 2c [8]当x 1时, ax b 1的值为-2，贝U a b 1 1 a b 的值为（A.-16B.-8C.8D.16a 元和b 元.根据柜台组D .虫ac ”的图案，如图②所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图③所示，则新矩形的周长可表示为（3A. 2a 3b D. 4a 10bB. 4a 8bC.2a 4b[11]已知a， b ,c满足a 2 2b 7 , 2b 2c21 , c 6a 17 , 则a bA.2B.3C.4D.5[12]把255，443 ,533, 622这4个数从小到大排列, 正确的是（)55 44 33 22 55 33 22 44A. 2 3 5 6B. 2 5 6 3亠55 22 33 44 55 22 44 33C. 2 6 5 3D. 2 6 3 5[13]若a m. n b 2 2n 2ma b 5 3ab , 则mn的值为（( )A.3B. 2C.1D.[14]已知a 31 4181 , b 27 , c 961, 则a , b,c的大小关系;是（是（).A. a b cB. a c bC. a b cD.b[15](第15届希望杯竞赛题）式子a b c d 去括号后是（).A. a b c dB. a b c dC. a b c dD.[16] (2007 年浙江省竞赛题）若 3 x 2 x x 1 0,则x2725x 川 1x是（)c的值等于（3c aa b c1 x III 26xx27的值-1[17]已知25x 2000，80y 20001丄等于yA.2B.1C ED.-2[18]乘积539422的结果的位数是（A.41B.61C.51D.47[19]（五羊杯竞赛题）老师报出一个五位数，同学们将它的顺序倒排后得到的五位数减去原数，生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567, 34056, 23456，34956，老师判定4个结果中只有1 个正确, 答对的是（).A •甲B .乙C .丙26 [20]若x x 212 11 10a12x aux aexIII ax a o, 则a i2 a10 a s a6 a4 a2 ( )A. 32B.0C.32D.64[21]（第16届希望杯竞赛题）有三组数为X1，X2, X3 ；y1 , y2, y3 ；乙, Z2 , Z3 .它们的平均数分别是 a , b , c，那么为y z , x? y2 Z2 , x3 y3 Z3的平均数是（）•[22]（第17届江苏省初中数学竞赛题）下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（A . 1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470[23]（第17届江苏省初中数学竞赛题）若代数式 23x 2x 6的值为8, 则代数式-x2 x 1的值为2[24]（第18届五羊杯竞赛题）计算:2.5 3 2 (2 9 8 1 4.5 4).409[25]( 安徽省竞赛题果对于某一特定范任意允许值，2X |1 3x 1 9x| |1 10x的值恒为一常数，则此值为（).[26]（第17届希望杯竞赛题）已知a, b, c都是整数，m a b\ |bA . m 一定是奇数B . m 一定是偶数C.仅当a, b, c同奇或同偶时, m是偶数 D . m的奇偶性不能确定[27]（重庆市竞赛题）给出两列数: 3, 5, 乙9,…，2001 和1, 6, 11, 16, 21,…，2001 , 同时出现在这两列数中的数的个数为（).A . 199B .200 C .201D . 202[28]（第17届江苏省初中数学竞赛题）用min a,b表示a , b两数中的较小者，用max a,b表示a , b两数中的较大者. 例如：min 3,5 3 , max 3,5 5 ；min 3,3 3 , max 5,5 5 .设a , b ,c ,d 是互不相等的自然数，min a,b p , min c,d q , max p,q x , max a,b m , max c,d n ,D . x y 和x y 都有可能[36]把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（2002 2002x y , b , c , d 从小到大排列的顺序是（ ）.A . abedmin m,n y ，则()•A . 0B . 1C .1D . 2004[30](第17 届五 羊杯 竞 赛题）已知 有 理 数a ,b , e , d 满足3a 2005 3b 20273e 2822 d 32820 , 那么（).A . a e b dB . b d a eC . e a b dD . d b a e（ ）.[31]（第15届希望杯竞赛题）当x31时，代数式2ax 3bx 8的值为18,这时，代数式9b 6a2A . 2B .2C . 4D . 4[33] （ 2004年河北省竞赛题）已知2a3 b,2 e6 , 2 12 2002，则x2002y , b ,e 的关系是（ )A . 2ba eB.2b a eC . 2b a eD . a b e[34]如果a 2b 3e 12，且 2.2a b2e ab be ea ，贝U.23a b e的值是 ()A.12B.14C.16D.18[35]如果x 2 2y 1, x y 3，那么3x 3y 的值为（)[32] （ 2005年广西竞赛题）如果).A.2B.3C.4D.5[29] （ 2004年重庆初中数学决赛题）已知1 XX2 x 30，则 1 XX 2 x 32004x的值为A . 28B . 28C . 32D . 32 ―—，那么2 a 2 bb 2的值等于（1 a 1 bA.16 种B.14 种C.12 种D.10 种[37]（北京市迎春杯竞赛题）已知 2 219x 143xy 19y 2005 , b 344, c 533, d622，那么[38] （ 2004年河北省竞赛题）若x 123456789 小关系是（）.123456786, y 123456788 123456787，则 x , y 大D .不能确定[44]当克拉拉计算自己各科测试成绩的总分时，无意识地将某一科分数的十位与个位交换了位置, 则最有可能是错误的总分与正确的总分相差的分数是（ ）A.45B.46C.47D.48E.49[45] 一根铁丝对折，再对折，对折n 次之后n 2，从中间剪断，这根铁丝被剪成（）段。
2005年全国初中数学竞赛试题及参考答案
20年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
）1、如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6。
将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8答：A解：由折叠过程知，DE ＝AD ＝6，∠DAE ＝∠CEF ＝45°，所以△CEF 是等腰直角三角形，且EC ＝8－6＝2，所以，S △CEF ＝22、若M ＝136498322++-+-y x y xy x （x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、零 D 、整数解：因为M ＝136498322++-+-y x y xy x ＝222)3()2()2(2++-+-y x y x ≥0且y x 2-，2-x ，3+y 这三个数不能同时为0，所以M ≥03、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。
若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°答：C解：因为IA 1＝IB 1＝IC 1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以点I 同时是△A 1B 1C 1的外接圆的圆心，设IA 1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA 1＝2ID ， 所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°4、设A ＝)41001441431(48222-++-+-⨯ ，则与A 最接近的正整数为（ ） A 、18 B 、20 C 、24 D 、25 答：D解：对于正整数m n≥3，有)2121(414n 12+--=-n n ，所以A＝)1021101110019914131211(12)10216151()981211(4148----+++⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+++⨯＝)102110111001991(1225+++⨯- 因为)102110111001991(12+++⨯＜99412⨯＜21，所以与A 最接近的正整数为25。
重庆竞赛试题答案
重庆竞赛试题答案重庆市中学生数学竞赛试题解答一、选择题1. 考查整数的四则运算及其性质。
本题要求学生掌握整数的加、减、乘、除运算规则，并能够灵活运用这些规则解决问题。
例如，对于给定的整数序列，学生需要通过加减乘除的组合来推导出正确答案。
2. 考查分数的运算及其性质。
分数的运算是数学竞赛中的常见题型，学生需要了解分数的加减乘除、通分、约分等基本概念，并能够熟练地进行分数的混合运算。
3. 考查几何图形的性质。
几何题目要求学生对基本的几何图形如三角形、四边形、圆等的性质有深入的理解。
这包括图形的周长、面积的计算，以及图形之间的相互关系和变换。
4. 考查代数表达式的简化与变形。
在代数题目中，学生需要掌握如何简化复杂的代数表达式，包括合并同类项、分配律的应用等，以及如何通过变形来求解方程或不等式。
5. 考查逻辑推理与证明。
逻辑推理题目要求学生具备严密的逻辑思维能力，能够通过已知条件推导出未知结论。
这通常涉及到数学归纳法、反证法等证明方法的应用。
二、填空题1. 考查数列的规律。
数列题目要求学生观察给定数列中的规律，通过归纳推理找出数列的通项公式或求和公式。
2. 考查平面几何图形的计算。
在填空题中，学生需要计算给定的几何图形的周长、面积或体积，这通常需要学生对相关公式有清晰的认识，并能够准确计算。
3. 考查函数的性质和应用。
函数题目要求学生理解函数的基本概念，如定义域、值域、单调性等，并能够利用函数的性质解决实际问题。
三、解答题1. 考查综合应用题。
综合应用题要求学生将所学的数学知识应用于实际问题中，这通常需要学生具备较强的分析问题和解决问题的能力。
2. 考查证明题。
证明题要求学生通过逻辑推理证明给定的数学命题。
这不仅要求学生掌握相关的数学知识，还要求学生具备严谨的逻辑思维和表达能力。
3. 考查探索性问题。
探索性问题鼓励学生发挥创造性思维，通过自己的探索和尝试来解决问题。
这类题目往往没有固定的答案，重要的是学生的思维过程和解题策略。
2005年全国初中数学联合竞赛试题及解答
又由图像可得： f 1 a b 0 ， f 1 a b 0 ∴ p a b 2a b b a 2a b 2b a ，
q a b 2a b a b b 2a 2b a
0
1
∴ p q ，选 C 6．若 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 为互不相等的正奇数，满足（2005－x1） （2005－x2） （2005－x3）
＝ ＝
＋
1 3－5 2 4
1 7－5 2
＝
7－5 2 7＋5 2 49 50
＝－14 所以选 D 2．圆内接四边形的四条边长顺次为 5、10、11、14，则这个四边形的面积为（ A．78.5. 【答】C. 由余弦定理得：
2 52 1 4 2 5 1 4 c o 2 s 21 0 1 1
12 4 或 x （舍去） 7 3
3．若实数 x ， y 满足 【答】432.
x 3 4
3 3
y 3 6
3 3
1，
x 5 4
3 3
y 5 63
3
1 .则 x y __________.
方法 1：假设 x＋y＝a，则 y＝a－x. 则 33 63 x+ 33 43 a-x 33 63 33 43 ， 即 63 43 x 33 43 a 33 33 43 33 63 43 63
）
D C
P
【答】D. 由图形割补知圆面积等于矩形 ABCD 的面积 ∴ π 12 2 AB ， AB
π 2
2 2
A
B
16 2 16 2 由垂径定理得公共弦为 2 1 2 . 4 2 4
重庆市第二届初中数学竞赛获奖名单
三 等奖 ( “ 名
江 北 县 梅 溪中学
合川 县 盐井 中学 西 南师范学 院附中
西南 师 范 学院附 中 重庆 市 一 中 重庆市九 中 重庆 市 二十三 中 重 庆市 十 三 中
33
3 8分 8分 8分 8分 9 9 8分
7分
7分 7分
渔 南 县柏 梓 中学 淹南 县 小渡中学
男
分
男
男
二 等 奖(
重 庆 市十八 中 重 庆 市八十 四 中
分 分 分 分
5分
男 男 男 男 男
男 女 男
男
7
峰
军 晖
江
马 黄
龙
7 5分 7 5分 75分 了 5分 74分 7 4分 74 分 74分 7
7 7
张 文学
张 尤
程志 松
勇 胜
江津县 三 中
重庆 市 八巾 江北县 天堡 中学
璧 山 县 蒲 元 中学
男
南桐 区 兴隆中学
重 庆 市 第二 届 初 中数 学竞 赛获 奖名 单
唐 大昌
一 等 奖( 1 名
天 明 明 建 许 唐 邱 徐 张 黄 余 王 刘 肖 小 江 孝 稿 德可 涛 培 忠 安 银 鸥 嘉 祥 秦 杜现 伟
女 男
永川 县 大安一 校
重庆 市 四 十 一 中
71 分 71 分
周 张
1
) 翔 红
.
男 男
重 庆市 一 中 重 庆市 一 中
郑 国鑫 陈
文
名
7 7
)
分 分
温 张 刘 陈 军 松 娅
女
女
男
男
男 男
荣 昌县 五福 农 中
西 南 师 范 学 院附 中 铜 梁 县 安居 中学
全国初中数学竞赛试题及答案(2005年)
2005年全国初中数学联赛决赛试卷一、选择题：(每题7分，共42分) 1、化简：11459+302366402＋－－A 、无理数B 、真分数C 、奇数D 、偶数2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A 、78.5 B 、97.5 C 、90 D 、1023、设r ≥4，a ＝11r r+1－，b 11r r+1，c 1r(r +r+1)，则下列各式一定成立的是＿＿。
A 、a>b>cB 、b>c>aC 、c>a>bD 、c>b>a 4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
A 、5B 、6C 21252－πD 21162－π5、已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示， y 记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则＿＿。
A 、p>q B 、p ＝q C 、p<q D 、p 、q 大小关系不能确定0 1 x 6、若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345x +x +x +x +x 的未位数字是＿＿。
A 、1B 、3C 、5D 、7 二、填空题(共28分)1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
2、227x +9x+13+7x 5x+13=7x －，则x ＝＿＿＿。
3、若实数x 、y 满足3333y x =1,3+43+6＋3333y x =1,5+45+6＋则x ＋y ＝＿＿。
4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为＿＿＿。
2005年重庆市初中毕业暨高中招生统一考试
重庆市2005年初中毕业暨高中招生统一考试数 学 试 卷（本卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟）注：未加“﹡”的为毕业考试题一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）每小题只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内。
1、5的相反数是（ ）A 、－5B 、5C 、51 D 、51-2、下列四个数中，大于－3的数是（ ）A 、－5B 、－4C 、－3D 、－2 3、已知∠A ＝400，则∠A 的补角等于（ ）A 、500B 、900C 、1400D 、1800 4、下列运算中，错误的是（ ）A 、32a a a =⋅B 、ab b a 632=+C 、224a a a =÷D 、()222b a ab =-5、函数3-=x y 中自变量x 的取值范围是（ ）A 、x ＞3B 、x ≥3C 、x ＞－3D 、x ≥－36、如图，在半径为5cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长是（ ） A 、4cm B 、6cmC 、8cmD 、10cm7、抛物线()322+-=x y 的顶点坐标是（ ）A 、（－2，3）B 、（2，3）C 、（－2，－3）D 、（2，－3）8、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）A 、平行四边形B 、矩形C 、菱形D 、正方形 9、点A （4-m ，m 21-）在第三象限，则m 的取值范围是（ ） A 、21>m B 、4<mC 、421<<m D 、4>m10、如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是（ ）A 、AB ⊥CD B 、∠AOB ＝4∠ACDC 、⋂⋂=BD ADD 、PO ＝PD11﹡、为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装【机密】2005年6月15日前第6题图第10题图了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（到少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水。
年重庆市初中数学竞赛决赛试题（A卷）（有答案）
2004年重庆市初中数学竞赛决赛试题（A 卷） (全卷共三个大题，考试时间120分钟，满分100分)一．选择题：(每题5分，共35分)1．春节晚会上，电工师傅在礼堂四周挂了一圈只有绿、黄、蓝、红四种颜色的彩灯，起排列规则是：绿黄黄红蓝红红绿黄黄红蓝红红绿黄黄红蓝红红绿黄黄红蓝红红…，那么，第2004个彩灯的颜色是（ ）A.绿色B.黄色C.红色D.蓝色2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．65 1 ? 4 1 2 3 4 53．已知有理数x 、y 、z 两两不等，则yx xz x z z y z y y x ------,,中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．把10个相同的小正方体按如图的位置堆放，它的外 表会有若干个小正方形，如果将图中标有字母P 的一个 小正方体搬去，这时外表含有的小正方形的个数与搬动 前相比（ ）A ．不增不减B ．减少一个C ．减少2个D ．减少3个4.有A 、B 、C 、D 、E 共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中间统计比赛的盘数知：A 赛了4盘，B 赛了3盘，C 赛了2盘，D 赛了1盘，那么同学E 赛了（ ）盘A ．1 B.2 C.3 D.45．一椭圆形地块，打算分A 、B 、C 、D 四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种PABC植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，那么有（ ）种 栽种方案.A.60B.68C. 78D.847.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略A ．10 B.9 C.8 D.6 二．填空题：（每小题5分，共35分） 1．当整数m ＝_________时，代数式13m 6-的值是整数.2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且|abc |abc |c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n)2004＝_________.3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．如图,一个面积为50平方厘米的正 方形与另一个小正方形并排放在一起, 则△ABC 的面积是 平方厘米.5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是 张.6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表：品名件数计算器 圆规 三角板 量角器 总钱数 第一次购件数 1 3 4 5 78 第二次购件数157998A B CD则4种数学用品各买一件共需__________元.7. 某中学举行运动会，以年级为单位参加，设跳高、跳远和百米赛跑三项，各项均取前三名，第一名可得5分，第二名可得3分，第三名可得1分，已知七年级和八年级总分相等，并列第一名，且八年级进入前三名的人数是七年级的两倍，那么九年级的总分是__________ 分.三．解答题：（每小题各15分,共30分）1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？2、长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积.2004年重庆市初中数学竞赛决赛试题（A 卷）参考解答一、选择题1．B 2.D 3. B 4.A 5.B 6. D 7.A 二、填空题1．0或1 2.0 3.4 4.25 5. 20张 6.58 7. 7 三、解答题：1、解：设每人购买了n 件商品，两人共购买了单价为8元的x 件，单价为9元的有y 件．则⎩⎨⎧=+=+.17298,2y x n y x 解之，得⎩⎨⎧-=-=.16172,17218n y n x 因为0,0≥≥y x ，所以4310959≤≤n ． 所以整数10=n ． 故⎩⎨⎧==.12,8y x2． 解: 设长方形的边长为xcm 、ycm ，则四位数N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y ）=11（99x+x+y ） ∵N 是一个完全平方数，11为质数，∴x+y 能被11整除， 又∵1≤x ≤9，1≤y ≤9 ∴2 ≤x+y ≤18，得x+y=11∴N=11（99x+x+y ）=112（9x+1） ∴9x+1是一个完全平方数，经试算知当x=7时满足条件，故y=4，从而长方形的面积=7×4=28cm 2.。
【数竞必做】2005年重庆市初中数学竞赛决赛试题及答案
2005年重庆市初中数学竞赛决赛试题（A 卷）（全卷共三个大题，考试时间120分钟，满分120分）一、选择题：（每小题5分，共35分）1、设b a ,是非零有理数，且ab b a b a 32,0)(222+=+则的值为…………………（）A 、31B 、3C 、1D 、—12、如图，小明从家到学校有①②③三条路可走， 每条路的长分别为c b a ,,，则………………（ ） A 、a ＞b ＞c B 、a ＞c ＞b C 、a =b ＞c D 、a =b ＜c3、20082005的末位数字是…………………（ ） （一、2小题） A 、8 B 、6 C 、4 D 、24、如图，在数轴上有A 、B 、C 、D 、E 五个整数点（即各点均表示整数），且AB=2BC=3CD=4DE ，若A 、E 两点表示的数的分别为—13和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE 的中点最近的整数是…………………（ ）（一、4小题）A 、—2B 、—1C 、0D 、25、已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简b a b c c a ---+-的结果是…………………（ ）A 、2aB 、2bC 、2cD 、06、十年前张庄人均收入是李庄人均收入的40%，而现在张庄的人均收入是李庄人均收入的80%，已知现在李庄的人均收入是它十年前人均收入的3倍，那么，现在张庄的人均收入是它十年前人均收入的………………………（ ）A 、2倍B 、3倍C 、6倍D 、8倍7、如图，每个立方体的6个面上分别写有1到6这个 自然数，并且任意两个相对面上所写两个数字之和为7， 把这样的7个立方体一个挨着一个地连接起来，紧挨着 的两个面上的数字之和为8，则图中“﹡”所在面上 的数字是…………………（ ）A 、4B 、3C 、2D 、1二、填空题：（每小题5分，共35分）1、已知3)134(913)(2(,1392++--=x x x x 则的值是 。
重庆市初中数学竞赛试题
重庆市初中数学竞赛试题一、选择题1. 下列运算中，结果等于零的是（）A. 5 ÷ 2 - 1B. 2 + 7 - 2 × 3C. 6 ÷ (2 - 1)D. (2 + 5) × 0.32. 若a、b、c为正整数，且a + b = 75，b + c = 95，c + a = 115，则a +b + c的值为（）A. 95B. 105C. 115D. 1253. 用尺测量一段绳子，测得长度为1.3米，所用尺上刻度最大为1厘米，其中准确度最高的测量结果是（）A. 0.9米B. 1.2米C. 1.25米D. 1.3米4. 设a，b为正整数，且a + b = 12，a + 2b = 18，则a的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 125. 若(x - 1)(x - 3) = 0，则x的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题6. 在刻度尺上，长度为8.2厘米表示成毫米为（）毫米。
7. 已知边长为3厘米的正方形面积为（）平方厘米。
8. 若两条边长分别为3厘米和4厘米的直角三角形，其斜边长为（）厘米。
9. 若3x + 2 = 11，则x = （）。
10. 在(2a - 1) × 5 = 45的等式中，a的值为（）。
三、解答题11. 将5升的一桶水倒入容量为2升的瓶子中，剩下的水又倒入另一个容量为3升的瓶子中，问最后每个瓶子里各有多少升水？12. 给定一个直角三角形，已知一条直角边长为6厘米，另一条边长大于直角边2厘米，求斜边的最大可能长度。
13. 将一根长为24厘米的木棍剪成两段，这两段木棍的长度成等差数列，且较短的一段长12厘米，求较长的一段长度。
14. 一根高为20米的旗杆，从旗杆底部看旗面的角度为30°，旗杆顶部向上看旗面的角度为45°，求旗面的面积。
15. 一位运动员训练时，每隔12秒站起一次，每隔16秒躺下一次，若他初始时躺下，问这位运动员在30分钟内总共站起多少次？四、解题步骤和答案11. 解答：首先将5升水倒入2升的瓶子中，剩下3升水。
重庆市初中数学竞赛(初赛)(B卷)试题(含答案)-[下学期]北师大版
![重庆市初中数学竞赛(初赛)(B卷)试题(含答案)-[下学期]北师大版](https://img.taocdn.com/s3/m/90e102ee4bfe04a1b0717fd5360cba1aa8118ce1.png)
CBAD2005年重庆市初中数学竞赛(初赛)(B 卷)试题(满分：120分 时间：120分钟)一、选择题(每小题4分，共32分)1．若|2000x+2000|＝20×2 000，则x 等于( )(A)20或-21 (B)-20或2l (C)-19或2l (D)19或-2l2，已知x 为正整数，那么以3，x ，10为三边可能组成的三角形的个数为( ) (A)2 (B)3 (C)5 (D)73．一个两位数，它的个位数字与十位数字之和的3倍等于原数减2，则原数的十位数字是( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 4，若x 2-219x+1=0，则44x1x +等于( ) (A) 411 (B) 16121 (C) 1689(D) 4275．如图，在△ ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，且BD ：DC ＝2：l ，则∠B 满足( )(A)0<∠B<15°(B)∠B ＝15° (C)15°<∠B<30° (D)∠B ＝30°6．正方形的周长是一个圆的周长的2倍，则这个正方形与该圆的面积之比为( ) (A)2π (B)π (C)4 (D)27．乘积)20001-)(119991-)(119981-(1)41-)(131-)(121-(1222222••• 等于( ) (A)20001999 (B) 20002001 (C) 40001999 (D) 400020018．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝4-2，BC ＝1，CD ＝3， ∠B ＝135°，∠C ＝90°，则∠D 等于( ) (A)60° (B)67．5° (C)75° (D)条件不够，无法确定 二、填空题(每小题4分，共32分)1．一个四位数与它的四个数字之和恰好等于2 001，则这个四位数为 ． 2．在八边形的八个内角中，设钝角的个数为x ，则x 的最小值为 ;3．已知y=5x-42-x -4-5x 2-x 22＋2，则x 2+y 2＝ ; 4，若[x]表示不超过x 的最大整数，且满足方程3x+5[x]-49=0，则x ＝ ; 5．若方程x 2-2x ＋23＝0的两个根为α、β，它也是方程x 4+px 2+q ＝0的两个根，则P ＝ ·6．a ，b ，c ，d 是正整数，且a+b ＝20，a+c ＝24，a+d ＝22，设a+b+ c+d 的最大值为M ，最小值为N ，则M-N ＝ ， 7．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠CAD,23AC BD ,则ACD ABD S S △△＝8．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23，AC ＝4，过AC 的中点O 作EF ⊥AC 交AD 于E ，交BC 于F ，则EF ＝ · 三、解答题(16分．)设方程x 2-|2x-1|-4＝0，求满足该方程的所有根之和．四、证明题(20分)如图，△ ABC和△ A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D．求证：AA l⊥CC l：五、解答题(20分)在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数学、外语、奥运及日常生活常识的知识竞赛，设定满分40分，以下依次为30分、20分、10分和0分共五个评分等级．每个小表中(1)每一竖行的得分均不相同(包括单科和总分)，(2)C组有4个方面得分相同．求：B、C、D、E组的总分并填表进行检验．参考答案一、1．D 2．c 3．A 4．c 5．D 6．B 7．D 8．B ． 二、1．1 9 77 2．5 3．6 4．6 315．3 -4 6．36 7．3:1 8．43 /3四、提示：连结AD ，连结A 1D ，延长AA 1交DC 于O ，交C 1C 于E ． △AA l D ∽△CC l D ．五、解：由表格知：E 组的总分E 总≥6 O． 五个组的总分为5×(1O+20+3 O+40)=5 00分， 若E 总=7O ，又每一竖行得分不相同，则5组的总分之和≥70+8 O+9 0+1 00+1 8 O=52 0≥500，矛盾， E 总=60．同理，D总=7 O分．故E总=60分，D总=7 0分，C总=8 0分，B总=1 1 O分，或E总=60分，D总=7 O分，C总=9 O分，B总=1 O O分．(注：答案中只给2种填表法，另外还有其他填法，只要满足条件均可)两种情况都成立．。
20051228213430694.doc
2005年重庆市初中数学竞赛初赛试题（A 卷）（本卷共三个大题，考试时间120分钟，满分120分）一、选择题：（第小题5分，共35分）1．计算：－22－3×(－1)×(－4)的结果为（ ）A ．－8B ．8C ．－16D ．162．计算(－2)2004＋(－2)2005的结果为（ ）A ．22004B ．－22004C ．－2D ．－13．若|x |＝1，|y |＝2，则|x ＋y |的值等于（ ） A ．3 B ．－3C ．1D ．1或34．如图，用图1所示的图案剪成图2所示的小图案，你认为最多能剪（ ） A ．10个 B ．15个C ．20个D ．25个5．一个五位数，若前两个数字表示的两位数为x ，后三个数字表示的三位数为y ，则这个五位数可表示为（ ）A ．1000x ＋yB ．100x ＋yC ．1000y ＋xD ．100y ＋x6．用若干个小正方体搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的几何体不同情况的总数为（ ） A ．6个 B ．7个C ．8个D ．9个7．盒中原装有6个小球，一位魔术师从中任取出若干个小球，并将每一个小球变成6个小球后，再放回盒中，然后他又从盒中任取出若干个小球，并将每一个小球又变成6个小球后，再次放回盒中，如此继续到某一时刻，魔术师停止再取球变魔术时，这时盒中小球的总个数只可能是（ ）A 2004个B ．2005个C ．2006个D ．2007个二、填空题：（每小题5分，共35分）1．请按照112 ，215 ，3110 ，4117 ，……这一列数的排列规律，写出第14位上的数是__________．2．若a ＞1，则下列四个数：a ，1a，－a ，a 2中，最大的一个数是__________．图1▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲●●●●● ●●●●●图2正视图俯视图3．计算12 ＋13 ＋23 ＋14 ＋24 ＋34 ＋15 ＋25 ＋35 ＋45 ＋……＋120 ＋220 ＋……＋1920 的结果是___________．4．如果在数轴上表示有理数x 的点到原点的距离小于3，那么|x －3|＋|x ＋3|的值等于____________．5．有人规定了一种新的运算“*”，对于任意两个有理数a 、b ，都有a *b ＝2a －3b5 ，若6*x＝35，则x 的值为_________． 6．某城市的方形街道如图所示（图中每个小方形均为相等的正方形），小明同学要从A 地沿此方形街道前往B 地，则路程最短的走法共有________种．7．如图，四边形ABCD 是一个直角梯形，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝12cm ，AD ＝7cm ，四个顶点处扇形的半径分别为AE ＝BF ＝3cm ，DG ＝CH ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为___________cm 2．（答案用含π的结果表示）三、解答题：（每小题25分，共50分）1．某城市共有10条公路两两相交，且每两条公路只有一个交点，其中仅有三条公路交于同一点．为了让行人安全地通过公路的交点，市政府决定在这些公路的每个交点处安装一套红绿灯．亲爱的同学，如果你是一个工程师，请你动脑筋算一算应准备多少套红绿灯为这10条公路的每个交点处进行安装？2．10个人围成一个圆圈，每个人心里想一个数，并把这个数告诉给左右相邻的两个人，然后每个人把左右相邻的两个人告诉给自己的数的平均数亮出来．如图所示，圆周上的数都是每个人亮出来的平均数．请你求亮出数为11的人心里想的那个数是多少？二、6题图AB·· 二、7题图三、2题图7 896 · 510· ·· ··· · ·· 1112 13 14。
2005年重庆市初中数学竞赛
2005年重庆市初中数学竞赛
李开珂
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2006(000)009
【摘要】一、选择题(每小题5分,共35分) 1.已知实数a满足|2004-a|+√a-2005=a.……
【总页数】4页(P32-35)
【作者】李开珂
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.重庆市2004年（12月）初中数学竞赛初赛试题（A卷） [J], 吕忠平
2.2004年重庆市初中数学竞赛决赛试题（初一卷） [J], 吕忠平
3.2004年重庆市初中数学竞赛初赛 [J], 李开珂
4.2003年重庆市初中数学竞赛 [J], 李开珂
5.欢迎订阅《最新初中数学竞赛辅导》（体现新课改精神供2005年辅导备战初中数学竞赛使用） [J],
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
腰三角形 . 故
AC + DE A F = = 3. AD AD
设 B H = p , DG = q ,则 S △AHG = ab - ( S △ABH + S △ADG + S △CHG )
= ab = 1 [ ap + bq + ( b - p) ( a - q) ] 2
F 分别是 AB 、 AD 上的点 , 过 E 、 F 作 EH ∥
的最 大 有 理 数 按 此 排 法 的 位 置 可 记 为
. 10. 设 0. a1 a2 a3 1为四位十进制纯小数 ,
ai ( i = 1 ,2 ,3) 只取 0 或 2 ,记 T 是所有这些四
三、 15. 因为 xy = xz + 3 ,所以 , x ( y - z) = 3. 又 x、 y、 z 都是正整数 ,则有
x =3, x =1, 或 y - z =1 y - z = 3.
1 ( ab - pq) . 2
3 (2 x - 210 - y ) = x + y ,
4 即 x = 126 + y. 5
). 则 M 与 N 的大小关系是 ( (A) M < N (B) M = N ( C) M > N (D) N < M < 2 N 5. 如图 3 , 将一张正方形的纸片剪一下 ,
剪成一个三角形和一个梯形 . 如果三角形与梯
图7
当 n = 1 时 , m = 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,共 5 个 ; 当 n = 2 时 , m = 3 ,4 ,5 ,6 ,共 4 个 ; 当 n = 3 时 , m = 4 ,5 ,6 ,共 3 个 ; 当 n = 4 时 , m = 4 ,5 ,6 ,共 3 个 ; 当 n = 5 时 , m = 5 ,6 ,共 2 个 ; 当 n = 6 时 , m = 5 ,6 ,共 2 个 . 合计 19 个 . 二、 8. 2 或 - 7. 由 (3 - m ) (8 + m ) = 10 即得 .
4. 若 x0 是一元二次方程 ax + bx + c =
0( a ≠ 0) 的根 ,设
M = ( 2 ax 0 + b) , N = b - 4 ac .
2 2
2
溶于水且比空气重的惰性气体 , 工人师傅向 罐内匀速注水 , 把这种气体排出 . 那么 , 图 2 中能表示罐中剩余气体 ( y L ) 与注水时间 ( t ) ). 的函数关系的图像是 (
a - 2 004 +
2
000 ,200 ,020 ,002 ,022 ,202 ,220 ,222.
共 8 种 . 则 S = 01888 8.
11. 5 15 2 + . 2 4
4
a - 2 005 = a .
故 a - 2 004 = 2 005.
2. C.
6 个等式两端相乘得 ( abcdef ) = 1. 则 abcdef = 1 ,
2x + y =3 × 18 = 54.
种符合要求的填法 .
(2) 共 有 6 种 不 同 填
④
联立式 ③、 ④,解得 x = 15 , y = 24 ,继而知 z = 6. 在 1 ,2 , …,9 中三个数之和为 24 的仅为 7 、 8、 9, 所以 ,在 D 、 E、 F 三处圈中 ,只能填 7 、 8、 9 三个数 ,共 有 6 种不同的填法 .
6. 已知坐标原点 O 和点 A ( 2 , - 2) , B 是
则 a + b + c + d + e + f 的值为
.
坐标轴上的一点 . 若 △AOB 是等腰三角形 , ) 个. 则这样的点 B 一共有 ( (A) 4 (B) 5 ( C) 6 (D) 8 2 7. 在一元二次方程 x + mx + n = 0 中 , 系数 m 、 n 可在 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 中取值 . 则得到 的不同方程中 , 有实数根的方程的个数为 ( ). (A) 20 (B) 19 ( C) 16 (D) 10 二、 填空题 ( 每小题 5 分 ,共 35 分)
a ( a + b) ∶ a ( a - b) = 5∶ 3.
作 DG ⊥AB , DH ⊥AC , 垂足分别为 G 、 H. 易知
AB = AC = 14.
又 BD∶ DC = GD∶ HD = 2∶ 5 ,则 DG = 4 , DH = 10. 所以 , AD =
14. 3. 4 + 10 . 故 S 正方形ADEF = 116.
值为 . 三、 解答题 15. ( 16 分 ) 在一次活动课中 , 老师请每 位同学自己做一个如图
6 所示的有盖的长方体
… …
… …
… …
10 2
… … …
按此方法进行排列 , 3 2 的位置可记为 ( 2 ,
4) ,2 6 的位置可记为 ( 3 ,2 ) . 那么 , 这列数中
的纸盒 . 长方体的长 、 宽、 高 分 别 为 x cm , y cm , 图6 z cm. 小杨在展示自己做 的纸盒时 ,告诉同学们说 “ : 我做的纸盒的长 、 宽、 高都是正整数 , 且经测量发现它们满足 xy = xz + 3 , yz = xy + xz - 7. ” 请同学们算一 算 ,做一个这样的纸盒至少需要多少平方厘 米的纸板 ( 接缝不算) ? 16. ( 16 分) 如图 7 , 在矩形 ABCD 中 , E 、
图4
图5
14. 如图 5 , 已知ABCD , ∠ACB = 30° , ABCD AC + DE 的 AD
将 △ABC 沿 AC 折叠 ,使得点 B 落在
9. 将一列数 2 ,2 , 6 ,2 2 , 10 , …,10 2
所在平面的点 E 处 , 联结 DE . 则
按下面的方法进行排列 :
2 2 3 22 2 14 2 6 6 4 2 2 3 2 10 2 5
8. 定义运算
12. 设在直角坐标平面上 , 不等式 | x | + | y| ≤ 3 围成的多边形的周长为 p . 则 p 的值
为
. 13. 如 图 4 , 等腰 Rt △ABC 的面积等于
98 , D 是斜边 BC 上的一点 , BD ∶ DC = 2∶ 5. 则
以 AD 为 边 的 正 方 形 ADEF 的 面 积 等 于 .
a =2 ,b =4 ,c =8 , d =
2 2 2 2
设原进价为 a 元 ,提价后的利润率为 x % ,则
m = a・ 20 % = a (1 + 25 %) ・ x %.
1 2 1 1 2 ,e = ,f = . 2 4 8
故 a+ b+ c+ d+ e+f
= 2+ 4+ 8+ = 5 15 2 + . 2 4 1 + 2 1 + 4 1 8
解得 x % = 16 % .
3. B.
剩余气体与注水时间成一次函数 .
4. B.
x0 =
- b ±Δ 2 2 . 则 (2 ax0 + b) = b - 4 ac . 2a
12. 12 2.
5. D.
多边形是边长为 3 2 的菱形 .
13. 116.
设梯形下底为 a , 上底为 b ( a > b) , 周长为 p , 直角三角形的两直角边分别为 a 、 a - b , 周长为 p1 . 则有
2 ≤ n ≤5 . 5 m 2
数列按偶数算数平方根排列 , 2 , 4 , 6 , …,
200 ,共 100 个 . 每行 5 个共 20 行 , 最大有理数为 196 = 14. 10. 01111 1.
a1 a2 a3 可分别为
试确定 k 的最小值 ,并说明理由 .
参考答案
一、 1. C. 因为 a - 2 005 ≥ 0 ,所以 ,
2006 年第 9 期
33
形的面积比为 3∶ 5 ,则 它们的周长比为 ( ). (A) 3∶ 5 (B) 4∶ 5
( C) 5∶ 6 (D) 6∶ 7
则
S = T
.
11. 已知正数 a 、 b、 c、 d、 e、 f ,同时满足
图3
bcdef 1 acdef 1 abdef 1 = , = , = , a 2 b 4 c 8 abcef abcdf abcde =2 , =4 , = 8. d e f
满足题意的点 B 在 x 轴的正方向 、 y 轴的负方 向各有 3 个 ,其他两半轴各有 1 个 ,共 8 个 .
7. B.
2 Δ = m2 - 4 n ≥ 0 ,则 m ≥ 4 n.
别为 a 、 b ( a < b) . (1) 若 A E = A F = 1 , 且 EH ∥AC 时 , 是否存在 这样 的 整 数 a 、 b , 使得 CH 、 CG 的 长 也 均 为 整
18 ,所以 ,有
z +3y +2x =6 × 18 = 108.
② ③
②- ① 得
x + 2 y = 108 - 45 = 63.
由 y > 0 知 y 至少为 5 ,即 x ≥ 126 + 4 = 130. 所以 ,甲队至少有 130 人 .
15. (1) 图 9 给出了一
把 AB 、 BC 、 CA 每一条边上三个圈中之数的和 相加 ,则可得
32
中 等 数 学
2005 年重庆市初中数学竞赛
一、 选择题 ( 每小题 5 分 ,共 35 分) 1. 已知实数 a 满足