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湖北省武汉市部分重点中学学年高一数学上学期期末考试试题【精选】

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2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围（ ） A ．0a ≤ B ．2a ≥ C ．2a > D ．2a ≤【答案】B【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】由11x -<解得111x -<-<即02x <<， 所以{}02A x x =<<， 因为A B ⊆，所以2a ≥， 故选:B.2．命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是（ ） A ．x +∃∈R ，使得x e +∉R B ．x +∃∉R ，使得x e +∉R C ．x +∃∈R ，使得x e +∈R D ．x +∃∉R ，使得x e +∈R【答案】A【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是“x +∃∈R ，使得x e +∉R ”. 故选：A3．已知cos140m ︒=，则tan50︒等于（ ）AB C D 【答案】B【分析】利用诱导公式化简，求出sin50,cos50︒︒，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得. 【详解】()cos140cos 9050sin500m ︒=︒+︒=-︒=<，则sin50m ︒=-，cos50∴︒sin 50tan 50cos50︒∴︒==︒.故选：B.4．已知函数()tan 4(,R)f x a x a b =+∈且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =（ ）A ．-5B ．-3C ．3D ．随,a b 的值而定【答案】C【分析】先推导()()8f x f x +-=，再根据3lg log 10lg lg 30+=求解即可【详解】由题意，()()()tan 4tan 48f x a x a x f x =+++-+=-，又3lg10lg log 10lg lg3lg lg3lg10lg3⎛⎫+=⋅== ⎪⎝⎭，故3(lg log 10)(lg lg3)8f f +=.又3(lg log 10)5f =，故(lg lg3)853f =-= 故选：C5．已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数， 所以函数()f x 在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B6．已知m 为正实数，且22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（ ） A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D 【分析】()22222max tan 1515sin tan sin sin ≥mx m x x x x+⇒≥-，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立， 可得()222max 15sin tan sin m x x x ≥-.()()()22422222221cos sin 15sin tan sin 151cos 151cos cos cos x xx x x x x xx--=--=--2211716179cos cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+≤-=，当且仅当22116cos cos x x=，即21cos 4x =时取等号.则9m ≥.故选：D7．设sin7a =，则（ ）A ．222log aa a <<B ．22log 2a a a <<C ．22log 2aa a << D ．22log 2aa a <<【答案】D【分析】分别判断出21142a <<2a <211log 2a -<<-，即可得到答案. 【详解】()sin7sin 72a π==-.因为7264πππ<-<，所以12a <<所以21142a <<；因为2x y =在R 1222a =<<因为2log y x =在()0,∞+上为增函数，且12a <<2221log log log 2a <<211log 2a -<<-；所以22log 2aa a <<.故选：D8．设函数()()()cos cos f x m x n x αβ=+++，其中m ，n ，α，β为已知实常数，x ∈R ，若()π002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．对任意实数x ，()0f x =B ．存在实数x ，()0f x ≠C ．对任意实数x ，()0f x >D ．存在实数x ，()0f x <【答案】A【分析】根据π(0)()02f f ==，可推出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=-，整理化简后可得m n =或m n =-，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.【详解】由题意知π(0)()02f f == ，即cos cos sin sin 0m n m n αβαβ+=--= ，即cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=- ，两式两边平方后可得 22m n =，故m n =或m n =-，若0m n =≠ ，则cos cos sin sin αβαβ=-=-， ，故π2π,Z k k αβ=++∈， 此时()cos(π2π)cos()cos()cos()0f x m x k m x m x m x ββββ=++++=-++=++ ， 若0m n =-≠ ，则cos cos ,sin sin αβαβ== ，故2π,Z k k αβ=+∈ ， 此时()cos(2π)cos()0f x m x k m x ββ=++-+= ，若0m n == 或0m n =-= ，则()0f x = ，故对任意实数x ，()0f x =， 则A 正确，B,C,D 错误， 故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m 和n 之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.二、多选题9．下列三角函数值为负数．．的是（ ） A ．3tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．tan505︒C ．sin7.6πD ．sin186︒【答案】BCD【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】对于A ，33tan tan (1)144ππ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭，故A 为正数； 对于B ，tan505tan(360)tan145tan350145+︒︒=︒=︒=-︒<，故B 为负数； 对于C ，sin7.6π2sin(80.4)sin05πππ=-=-<，故C 为负数；对于D ，sin186sin(1806)sin 60︒=︒+︒=-︒<，故D 为负数； 故选：BCD10．下列计算或化简结果正确的是（ ） A ．若1sin cos 2θθ⋅=，cos tan 2sin θθθ+= B ．若1tan 2x =，则2sin 2cos sin x x x =- C ．若25sin 5α=，则tan 2α= D ．若α为第二象限角，则22cos sin 21sin 1cos αααα+=-- 【答案】AB【分析】利用22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.【详解】对于A 选项：1sin cos 2θθ=，cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos θθθθθθθθθ∴+=+==，故A 正确； 对于B 选项：1tan 2x =，则122sin 2tan 221cos sin 1tan 12x x x x x ⨯===---，故B 正确； 对于C 选项：∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定，故C 错误； 对于D 选项：α为第二象限角， sin 0,cos 0αα∴><,22cos sin cos sin cos sin =0cos sin cos sin 1sin 1cos αααααααααααα∴++=-+=--,故D 错误. 故选：AB.11．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确的有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD【解析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解； 当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.12．已知函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11xg x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ） A ．1αβ+= B ．αββα=+C ．32αβ-<-D ．2αβ->-【答案】BD【分析】先说明,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称，由题意可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，化简可得αββα=+，判断B;写出αβ+的表达式，利用基本不等式可判断4αβ+>，判断A;利用零点存在定理判断出322α<<，写出αβ-的表达式，由此设函数13,(2)1()12x h x x x <<-=--，根据其单调性可判断C,D . 【详解】对于函数,11xy x x =≠- ，有,11y x y y =≠-， 即函数,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称， 由题意函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β， 可知α为(),21,1x xy y x x ==>-的图象的交点的横坐标， β为()2,log ,11xy y x x x ==>-的图象的交点的横坐标， 如图示，可得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，则2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=， 故1)(0ααβ--=，即αββα=+，故B 正确； 由题意可知1,10αα>∴-> ， 所以11(111122241)11ααααβαααα+=-+=-+-++≥-⋅≥--， 由于()22221220,2f α=-≠-∴-≠=，即4αβ+>，A 错误； 因为32332232123220f ⎛⎫=- ⎪⎝=-->⎭，()22202221f =-=-<-， 且()()21111x f x x x =-+>-为单调减函数， 故()()211x x f x x x =->-在3(,2)2上存在唯一的零点 ，即322α<< ，故13,(2)1112αβαααααα-=-=--<<--， 设13,(2)1()12x h x x x <<-=--，则该函数为单调递增函数， 故3311()122322212()h h x >=--=->--，且1(2)211()02h h x =--=-<，故3202αβ-<-<-<， 故C 错误，D 正确， 故选：BD【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，从而可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，然后写出αβ+以及αβ-的表达式，问题可解.三、填空题13．已知()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---.若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】13-【分析】利用三角函数的诱导公式化简()f θ，结果为cos θ，结合π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，再利用诱导公式化简5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为πcos()6θ--，即得答案.【详解】由题意()()()()π3πsin cos tan π(cos )sin (tan )22cos tan πsin π(tan )(sin )f θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===-----， 由π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，故5π5πππ1cos cos[π()]cos()66663f θθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13-14．若正数a ，b 满足24log log 8a b +=，48log log 2a b +=，则82log log a b +的值为__________. 【答案】523-【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩即可求解.【详解】因为24log log 8a b +=，所以221log log 82a b +=，又因为48log log 2a b +=，所以2211log log 223a b +=，联立22221log log 8211log log 223a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩，所以8222152log log log log 33a b a b +=+=-，故答案为：523-. 15．已知实数,[0,2]a b ∈，且844a b +=，则22b a -的最大值是_______________． 【答案】2【分析】由已知可得22b a-=，令2a x =，构造函数()[1,4]f x x =∈，根据函数的单调性，即可求出最大值. 【详解】解：由844a b +=，可知()()()()22844222222b a b a b a b a =-=-=+-， 则82222b a b a -=+，且有2b =22b a ∴-=，令2a x =，[0,2]a ∈()[1,4]f x x =∈，可知()f x 在[1,4]上单调递减，max 8()(1)24f x f ∴====，即22b a -的最大值是2， 故答案为：2.16．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么经过_______h 污染物减少50%（精确到1h ）？取lg 0.50.3=-，lg 0.90.045=- 【答案】33【分析】代入给定的公式即可求解. 【详解】由题知， 当0=t 时，解得0P P =，当5t =时，()500110%ekP P P -=-=，解得：1ln 0.95k =-， 所以500.9t P P =， 当050%P P =时，则有：50000.950%0.5tP P P ==， 即50.90.5t=，解得：0.9lg 0.50.35log 0.55533lg 0.90.45t -==⨯=⨯≈-. 故答案为：33.四、解答题17．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=.(1)解关于x 的不等式2tan cos tan 0x x βαβ-+<的解集（解集用α的三角值表示）； (2)求tan β的最大值.【答案】(1)1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】(1)根据题意2sin cos tan 1sin ααβα=+，用α的三角函数值替换β的三角函数值，从而解一元二次不等式即可； (2)利用基本不等式求解. 【详解】（1）2sin cos tan 1sin ααβα=+，∴()22sin 1sin sin 0x x ααα-++<， ()()sin 1sin 0x x αα⋅--<，因为1sin sin αα<所以1sin sin x αα<<， ∴原不等式解集1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）222sin cos tan tan 2sin cos 2tan 1αααβααα===++当且仅当22tan 1α=即tan α=时取得等号.18．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了min t 会与时针重合，一天内分针和时针重合n 次.(1)建立t 关于n 的函数关系；(2)求一天内分针和时针重合的次数n .【答案】(1)72011t n =. (2)22次. 【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案. 【详解】（1）设经过min t 分针就与时针重合，n 为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为()2ππrad/min 6030=， 时针旋转的角速度为()2ππrad/min 1260360=⨯，所以ππ2π30360t n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即72011t n =. （2）因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ），所以720144011n ≤，于是22≤n , 故时针与分针一天内只重合22次.19．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=.(1)求函数()y f θ=的解析式，并求π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=()0,πθ∈，求4πtan 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，12(2) 【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【详解】（1）因为1sin 2α=-，且0m <，所以7π6α=，由此得()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ππ7π5π1sin sin 33662f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由()f θ=知7ππsin sin 664θθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由于()0,πθ∈，得ππ7π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，与此同时πsin 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭由平方关系解得：πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin cos 4π36tan tan ππ33cos sin 36θθπθθθθ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=-=== ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（a 为常数）.(1)当1a =，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（参考数据：lg30.5=，lg50.7=） (2)若函数()f x 为偶函数，求()f x 在区间[]2,1--上的值域.【答案】(1)0.3 (2)999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求a ，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当1a =时，()lg 254x x f x -=-，此时1122119lg 254lg 2lg 2lg3lg510.70.3255f -⎛⎫-=-=-==-=-= ⎪⎝⎭（2）函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++的定义域为()(),00,∞-+∞，()110110lg 52lg 52lg lg 55x xx x x x x x f x a a ---+-=-++=+()lg 110lg5lg 110lg5x x x x a =--++- ()101101lg 52lg 52lg lg 22x x x x x x x xf x a a ---+=-++=+ ()lg 101lg2lg 110lg2x x x x a =--++-由偶函数的定义得恒有()()=f x f x -即：lg5lg5lg 2lg 2x x x x a a --=--也就是恒有()lg2lg5lg5lg2x x x xa -=-,所以1a =-当[]2,1x ∈--时，()()()1102lg 25lg 52lg lg 1101101x x x x x x x f x ---⎛⎫=--+==-+ ⎪++⎝⎭， 因为函数101x y =+为[]2,1--上的增函数，所以()f x 在[]2,1--单调递减，∴[]2,1x ∈--，()999lg ,lg 11101f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()f x 在[]2,1--上值域999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y （元）与发车时间间隔t （分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当812t ≤≤时，单程营业额Y 与60412t t-+成正比；当58t ≤≤时，单程营业额会在8t =时的基础上减少，减少的数量为()2408t -.(1)求当512t ≤≤时，单程营业额Y 关于发车间隔时间t 的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均120t 次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间[]8,12t ∈，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额R 最大？求出该最大值.【答案】(1)2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. (2)10t =时，max 22080R =,【分析】（1）由题意设当812t ≤≤时的函数表达式，由12t =时满载求得比例系数，进而求得当58t ≤≤时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得6012040412R t t t ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，采用换元并结合二次函数性质,求得答案. 【详解】（1）当812t ≤≤时，设60412Y a t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，a 为比例系数， 由12t =时满载可知55042200Y =⨯=， 即6041212220012a ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则40a =， 当8a =时，6040481214608Y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， 故当58t ≤≤时，()221460408406401100Y t t t -+=--=-, 故2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. （2）由题意可得6012040412R t t t⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 化简得211192001531R t t ⎛⎫=-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 令111,,812u u t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2192001531R u u =-++， 当312(15)10u =-=-，即10t =时，[]108,12∈符合题意，此时max 22080R =. 22．已知函数()32x a f x x =+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a 是常数. (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)设函数()()2log g x f x a x =-，试问，函数()g x 是否有零点，若有，求a 的取值范围；若没有，说明理由.【答案】(1)⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭(2)答案见解析【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.【详解】（1）若()0f x ≥恒成立，即恒有32x a x ≥-⋅设()2x h x x =-⋅，任取121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且满足12x x <，由于1222x x <，由不等式性质可得121222x x x x -⋅>-⋅，即()()12h x h x >， 所以函数()g x 在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()max 12h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以3a ≥a ≥；所以a 的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. （2）由题意可知232log 0x a a x x +-=，即232log 0x a x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数2x y =单调递增，23log y x x =-单调递减， 所以231log ,72x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当0a ≥时，232log 0x a x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭； 当a<0时，2312log ,,22x y a x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦单调递增，2312log 7,42x y a x a a x ⎛⎫⎤=+-∈+ ⎪⎥⎝⎭⎦，70a >或1402a +<即07a <<或8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.综上，a >8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.。

湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
湖北省部分学校 2023-2024 学年高一上学期期末考试数学试 题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A {x∣x x 4 0}, B x∣log3x 1 ，则 AI B （ ）
A． 4,
12．已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，直线 x 1是函数 y f x 的图象的一条对
称轴，当 x 0,1 时， f x x3 ，则（ ）
A． f x f x 4
B． f 2024 1
C． f x 在 1,3 上单调递减
D．方程 f x lgx 0 恰有 10 个解
A． 2 3
B． 2 3
C． 3
D． 3
6．已知 0, π ，且 sin cos 7 ，则 tan （ ）
13
试卷第 1 页，共 4 页
A． 5 12
B． 5 12
C． 12 5
7．已知 a log163,b lg2lg5, c log9 2 ，则 a,b, c 的大小关系为（
于违法行为.某人饮酒后，体内血液酒精含量迅速上升到100mg /100ml ，然后血液酒精
含量会以每小时 20% 的速度减少，则按照新规他至少经过小时后才能开车（. 参考数据：
lg2 0.3 ）
16．已知函数 f x m 2ex x2 nx ，若 x∣f x 0 ⫋ x∣f f x 0 ，则 m ，
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数 f x x sinx 的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落

湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案

湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案

湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案B.g(x)x 1x1C.h(x)x2 1D.k(x)x 210.已知函数f(x)x33x22x，g(x)ax2bx c，若f(x)g(x)2，则aA.1B.1C.2D. 211.已知函数f(x)x22x1，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x2B.x22x3C.x23x2D.x23x 312.已知函数f(x)x2x2，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x3B.x22x3C.x22x3D.x22x 3武汉市部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高一数学试卷1.函数 $f(x)=\frac{3x^2}{1-x}-\frac{2}{3x+1}$ 的定义域是A。

$(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$B。

$(-\infty,-1)\cup(-1,1)$C。

$[-1,1]$D。

$(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3},\infty)$2.集合 $A=\{xy=2(2-x)\}$，$B=\{yy=2x,x>1\}$，则$A\cap B$=A。

$[0,2]$B。

$(1,2]$C。

$[1,2]$D。

$(1,+\infty)$3.已知命题 $p:\forall x>0,\ (x+1)e^x>1$，则命题 $p$ 的否定为A。

$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$B。

$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$C。

$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$D。

$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$4.设 $a=0.6^{0.6}$，$b=0.6^{1.2}$，$c=1.2^{0.6}$，则$a$，$b$，$c$ 的大小关系是A。

$a<b<c$B。

湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题

湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题

湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．4cos10a °B ．2cos10a °．已知正四棱锥S ABCD -的底面边长为二、多选题9．已知复数1z ，2z ，3z 是方程310z -=的三个解，则下列说法正确的是（ ）．A ．1231z z z ++=B ．1231z z z =C ．1z ，2z ，3z 中有一对共轭复数D ．1223311z z z z z z ++=-10．伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记录这n 次实验的结果，设事件M ＝“n 次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N ＝“n 次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）．四、解答题17．某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，设球的半径为R，则tan30OAAB==°3tan10RBC AC AB R a =-=-=°，12．ACD【分析】由已知利用棱锥的结构特征棱锥体积判断C；由线面角的定义求出大小【详解】由题意知2,3==，AC BC由此求l 的取值范围.【详解】以SA 为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如下：则从从点A 到点B 的最短路径为线段A B ¢，在A B ¢上任取一点P ，连接SP ，则SP 的长表示点P 到山顶的距离，若1A B S ¢Ð为直角，观察可得当点P 从点A 向点1B 运动时，SP 的长逐渐变小，即从A 出发沿着这条公路到达1B 的过程中，一直在上坡，与条件矛盾，若2A B S ¢Ð为钝角，观察可得当点P 从点A 向点2B 运动时，SP 的长逐渐变小，即从A 出发沿着这条公路到达2B 的过程中，一直在上坡，与条件矛盾，则10000.52520´=，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖18．(1)0.65(2)0.105【分析】（1）甲没中奖分为第一关没有通过，和第一关通过且第二关没有通过两种情况，分别求得两个事件的概率再求和即可；（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公式即可求解．【详解】（1）甲第一关没通过的概率为10.70.3-=，第一关通过且第二关没通过的概率为0.7(10.5)0.35´-=，故甲没有得奖的概率0.30.350.65P=+=．（2）记甲和乙通过了第二关且最后获得二等奖为事件E，通过了第二关且最后获得一等奖为事件F，则()0.5(10.3)0.35P E=´-=，()0.50.30.15P F=´=，Q甲和乙最后所得奖金总和为700元，\甲和乙一人得一等奖，一人得二等奖，若甲得了一等奖，乙得了二等奖的概率为10.350.150.0525P=´=，若乙得了一等奖，甲得了二等奖的概率为20.350.150.0525P=´=，\甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率120.05250.05250.105P P P=+=+=．。

数学文卷·2016届湖北省武汉市部分重点中学高一上学期期末联考(2014.01)

数学文卷·2016届湖北省武汉市部分重点中学高一上学期期末联考(2014.01)
∴ A U B = {x | x < 1或x > 3}，
……4 分 ……5 分
CRB = {x | -2 £ x £ 3}，\ A I (CR B) = {x | -2 £ x < 1}
……6 分
ì-1 + m < 2m
(2) Q C Í {x | -2 £ x < 1}，且 C ¹ f ， ïí-1 + m ³ -2 ，
x
-
p 4
)
sin
p 4
第5页共7页
=
72 10
´
2 2
+
2 10
´
2 2
=
4. 5
6分
（2）因为
x
Î
(p2
,
3p 4
).
故
cos
x
=
-
1- sin2 x = -
1
-
(
4 5
)2
=
-
3 5
.
8分
sin
2x
=
2
sin
x
cos
x
=
-
24 25
.cos
2x
=
2
cos2´
-1
=
-
7 25
.
10 分
所以中 sin(2x
p 6
)
17、
(-¥,
2 a
]
;
(-¥,0)
U
(1,2]
15、 1 2
三、解答题
18、解：（Ⅰ）原式=
1 - 2sin sin 20°
20°cos 20° - cos 20°
=
cos 20° - sin sin 20° - cos

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含答案)

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含答案)

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线在轴上的截距为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．现有一段底面周长为厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B320x y --=y 2-2323-1:1l y x =-(0,1)-512π2l 2l 13()3()P A P B =()P B =1613235612π2π沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（ ）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点．现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，四面体的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体的体积为，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）2πP 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭22121:10504C x x y y -+-+=(,0)T t x P T x C t 1527,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABCD αAOPQ V 'V V'1418116127A ．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B ．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则C ．若，则是锐角D ．若对空间中任意一点，有，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（ ）A ．设A ，B 是两个随机事件，且，，若，则A ，B 是相互独立事件B ．若，，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足D ．若事件A ，B 相互独立，，，则11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ）A ．点的轨迹的方程是B ．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线与点的轨迹相离D ．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C ，D ，则四边形面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，，，，，，P 为所确定的平面内一点，设的最大值是以为自变量的函数，记作．若，则{,,}a b c 23m a c =+ ,,}a b m 〈α(2,1,0)A (1,3,1)B -(2,2,1)C -(1,,)n u t =α2u t +=0a b ⋅> ,a b <>O 111362OM OA OB OC =++1()2P A =1()3P B =1()6P AB =()0P A >()0P B >()()()()P ABC P A P B P C =()0.4P A =()0.2P B =()0.44P AB AB = (1)λλ≠P (2,0)A (6,0)B P ||1||3PA PB =P τP τ2230x y x +-=(1,1)N P τ220x y -+=P τ3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭M :270l x -+=M P τECMD 1y =+y x b =+b (0,0,0)O (0,,3)A a (3,0,)B a (,3,0)C a 33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC △||PO PD -a ()f a 03a <<()f a的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C的概率分别是，，．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知的顶点，边AB 上的中线CD 所在直线方程为，边AC 上的高线BE 所在直线方程为．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC 上分别有一点和且，，其中．（1）求证：，，共面；（2）若，且，设为侧棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）点轨迹记为曲线，若曲线与轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线上的动点，直线121418ABC △(4,2)A 7250x y +-=40x y +-=BCD △111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =1AC M N AM k AC = BN k BC =01k ≤≤MN a c||||||2a b c ===13AB =160BAC BB C ∠=∠=︒P 1BB 1B 1PC 11ACC A xOy (1,0)A -(7,0)B -P ||2||PB PA =P P C C x :17l x =MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量，定义“F 变换”：，其中，，，．记，．（1）若，求及；（2）证明：对于任意，必存在，使得经过次F 变换后，有；（3）已知，，将再经过次F 变换后，最小，求的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．13．1415．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以．所以．因此其得分低于4分的概率为；（2）设事件，，，表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．（2）设事件，，，表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．则“两次射击得分之和为8分”为事件，且事件，，互斥，，，所以两次射击得分之和为8分的概率．()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ()1F k k a a +=1k k k x x y +=-1k k k y y z +=-1k k k z z x +=-k k k k a x y z = k k k k a x y z =++0(2,3,1)a =2a 2a 0a *k ∈N 0a k 0k a = 1(,2,)()a p q q p =≥ 12024a = 1am m a m 5361)+1111()12488P D =---=111()()()884P C D P C P D =+=+= 14i A i B i C i D i 1,2=i A i B i C i D i 1,2=()()()121221B B AC A C 12B B 12AC21A C ()121114416P B B =⨯=()()12211112816P AC P A C ==⨯=()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦16．解：（1）因为，所以设直线AC 的方程为：，将代入得，所以直线AC 的方程为：，联立AC ，CD 所在直线方程：，解得，设，因为为AB 的中点，所以，因为在直线BE 上，在CD 上，所以，，解得，，所以，，所以BC 所在直线的方程为：，即．（2）由（1）知点到直线BC 的距离为：，又，所以．17．（1）证明：因为，，所以．由共面向量定理可知，，，共面．（2）取BC 的中点为，在中，，由余弦定理可得，所以，依题意，均为正三角形，所以，，又，平面，平面，AC BE ⊥0x y m -+=(4,2)A 2m =-20x y --=207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩(1,1)C -()00,B x y D 0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭()00,B x y D 0040x y +-=0042725022x y ++⨯+⨯-=06x =-010y =(6,10)B -10(1)11617BC k --==---111(1)7y x +=--11740x y +-=(1,6)D -d ==||BC ==12722BCD S ==△1AM k AC kb kc ==+()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- MN a cO 1AOB △1AO B O ==13AB =11cos 2AOB ∠==-12π3AOB ∠=ABC △1B BC △BC AO ⊥1BC B O ⊥1B O AO O = 1B O ⊂1B AO AO ⊂1B AO所以平面，因为平面，所以平面平面，所以在平面内作，则平面，以OA ，OC ，Oz 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，设是平面的一个法向量，，，则，即，取得，依题意可知，则．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．18．解：（1）设动点坐标，因为动点满足，且，，化简可得，，即，BC ⊥1AOB BC ⊂ABC 1AOB ⊥ABC 1AOB Oz OA ⊥Oz ⊥ABC x y z 132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1,0)B -A (0,1,0)C 132C ⎛⎫⎪⎝⎭132A ⎫⎪⎭(,,)n x y z =11ACC A (AC =132AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 03202y x y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩1z =(3,1)n =- 123BP BB =11112323713,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎫=+=+=--+⨯=--⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭ 1PC 11ACC A θ1119sin cos ,13||n C PC P n n C Pθ⋅====⋅ 1PC 11ACC A 913(,)P x y P ||2||PB PA =(1,0)A -(7,0)B -=222150x y x +--=22(1)16x y -+=所以点的轨迹方程为．（2）曲线中，令，可得，解得或，可知，，当直线EF 为斜率为0时，即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为，，，联立消去可得：，化简可得；由韦达定理可得，因为，，，，所以EM ，FN 的斜率为，，又点在曲线上，所以，可得，所以，所以EM ，FN 的方程为，，令可得，化简可得；，又，在直线上，可得，，所以，P 22(1)16x y -+=22:(1)16C x y -+=0y =2(1)16x -=3x =-5x =(3,0)M -(5,0)N ||||EK FK +x ny t =+()11,E x y ()22,F x y 22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩x 22(1)16ny t y +-+=()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()11,E x y ()22,F x y (3,0)M -(5,0)N 113EM y k x =+225FN y k x =-()11,E x y C ()2211116x y -+=()()()22111116135y x x x =--=+-111153EM y x k x y -==+115(3)x y x y -=+22(5)5yy x x =--17x =()1212205125Q x y y y x -==-()()121235550y y x x +--=()11,E x y ()22,F x y x ny t =+11x ny t =+22x ny t =+()()121235550y y ny t ny t ++-+-=化简可得；，又，代入可得，化简可得，，，所以或，当时EF 为，必过，不合题意，当时EF 为，必过，又为圆的弦长，所以当直径MN 时弦长最小，此时半径，圆心到直线EF 的距离为，综上，的最小值．19．解：（1）因为，，，所以，，（2）设假设对，，则，，均不为0；所以，即，因为，，所以，与矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意，经过若干次F 变换后，必存在，使得．（3）设，因为，所以有或，当时，可得，三式相加得()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=(5)(816)0t t --=2t =5t =5t =5x ny =+(5,0)2t =2x ny =+(2,0)||EF EF ⊥||EF 4r =211-=||8EF ===<||EF 0(2,3,1)a = 1(1,2,1)a = 2(1,1,0)a =21100a =⨯⨯= 21102a =++={}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == N k ∀∈10k a +≠1k x +1k y +1k z +12k k M M ++>123M M M >>> *(1,2)k M k ∈=N 112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ 121M M +≤-120M M +>0aK N *∈0K a = ()0000,,a x y z = 1(,2,)()a p q q p =≥000x y z ≤≤000x y z ≥≥000x y z ≥≥0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩2q p -=又因为，可得，；当时，也可得，，所以；设的三个分量为这三个数，当时，的三个分量为，2，m 这三个数，所以；当时，的三个分量为2，2，4，则的三个分量为0，2，2，的三个分量为2，0，2，所以；所以，由，可得，；因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以的三个分量只能是2，2，4三个数，的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当时，；当时，，所以的最小值为505．12024a =1010p =1012q =000x y z ≤≤1010p =1012q =1(1010,2,1012)a =k a()*2,,2m m m +∈N 2m >1k a +2m -14k k a a +=- 2m =k a 1k a + 2k a +124k k a a ++=== 12024a = 5058a = 5064a =1(1010,2,1012)a = k a505a 506a505m <18m a +≥ 505m ≥14m a +=m。

2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知{}{}2|20,Z|3<213A x x x B x x =+-==∈--<，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2-D ．{}|12x x -<<【答案】A【分析】化简集合,A B ，然后用交集运算即可得到答案【详解】因为{}{}2|202,1,A x x x =+-==-{}{}{}Z|3<213Z|1<20,1B x x x x =∈--<=∈-<=，所以{}1A B ⋂= 故选：A2．下列命题中不正确的是（ ）A ．对于任意的实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称B ．存在一个无理数，它的立方是无理数C ．存在整数x 、y ，使得245x y +=D ．每个正方形都是平行四边形 【答案】C【分析】利用二次函数的对称性可判断A 选项；利用特殊值法可判断B 选项；分析可知24x y +为偶数，可判断C 选项；利用正方形与平行四边形的关系可判断D 选项.【详解】对于A 选项，对于任意的实数a ，二次函数2y x a =+图象的对称轴为y 轴，A 对；对于B 为无理数，B 对；对于C 选项，若x 、y 为整数，则2x 、4y 均为偶数，所以，24x y +也为偶数， 则245x y +=不成立，C 错；对于D 选项，每个正方形都是平行四边形，D 对. 故选：C.3．化简sin347cos148sin 77cos58+的值为（ ）A B ． C ．12D 【答案】D【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式化简可得所求代数式的值.【详解】原式()()sin 27077cos 9058sin 77cos58=+++()()2sin 58cos 77cos58sin 77sin 5877sin135sin 18045sin 452=+=+==-==. 故选：D.4．已知直角三角形的面积等于250cm ，则该三角形的周长的最小值为（ ）cm . A．10+B ．20+C ．40 D ．【答案】B【分析】设两条直角边长分别为cm x、100cm x，利用勾股定理结合基本不等式可求得此三角形周长的最小值.【详解】由直角三角形的面积等于250cm 可设两条直角边长分别为cm x 、100cmx，则该直角三角形的周长为()10020cm x x +=， 当且仅当2210010000x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪>⎪⎪⎩时，即当10x =时，等号成立. 故该三角形的周长的最小值为20+cm ， 故选：B5．已知函数()()()3e ,ln ,xf x xg x x xh x x x =+=+=+的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】C【分析】先判断各函数的单调性再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【详解】解：因为函数3e ,ln ,,x y y x y x y x ====都是增函数，所以函数()()()3e ,ln ,xf x xg x x xh x x x =+=+=+都是增函数，又()()1110,010ef f -=-<=>，所以函数()f x 的零点在()1,0-上，即()1,0a ∈-， 因为()1110,11e e g g ⎛⎫=-+<= ⎪⎝⎭，所以函数()g x 的零点在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1,1e b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()00h =，所以函数()h x 的零点为0，即0c ， 所以b c a >>. 故选：C.6．在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，M 点运动的角速度为πrad/s 6，若点M的初始位置为13⎛ ⎝⎭，则经过3秒钟，动点M 所处的位置的坐标为（ ） A．133⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．13⎛- ⎝⎭C．133⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．122,33【答案】C【分析】计算出运动3秒钟时动点M 转动的角，再利用诱导公式即可得解. 【详解】解：M 点运动的角速度为πrad/s 6，则经过3秒钟，转了ππ3=rad 62⨯，设点M 的初始位置坐标为()cos ,sinαα，则1cos ,sin 3αα==则经过3秒钟，动点M 所处的位置的坐标为ππcos ,sin 22αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()sin ,cos αα-，所以经过3秒钟，动点M 所处的位置的坐标为13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.7．已知函数()()1,04ln ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩，当1a >时，方程()()()2230f x a a f x a -++=的根的个数是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】A【分析】解方程得()f x a =或()2f x a =，再依次解方程()f x a =，()2f x a =确定满足条件的x 的个数即可.【详解】因为()()()2230f x a a f x a -++=，所以()()()()20f x a f x a --=，所以()f x a =或()2f x a =，因为1a >，所以2a a >，当()f x a =时，若0x >，则14x a x+=，所以24410x ax -+=， 方程24410x ax -+=的判别式216160a ∆=->，方程的根为0x =>或0x =>，若0x <，则()ln x a -=，所以e a x =-，所以方程()f x a =有3个根，同理可得()2f x a =有3个根， 故方程()()()2230f x a a f x a -++=有6个根，故选：A.8．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则正实数ω的取值范围是（ ）A ．302ω<≤ B ．312ω≤≤C ．413ω≤≤D ．4332ω≤≤ 【答案】C【分析】利用整体代换法求出函数()f x 的递减区间，结合集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，0ω>， 令322262k x k ππππωπ+≤+≤+， 解得242,Z 33k k x k ππππωωωω+≤≤+∈， 又函数()f x 在区间()3ππ,上单调递减，所以233423k k πππωωπππωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得4612,Z 3k k k ω+≤≤+∈，当0k =时，413ω≤≤. 故选：C.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是sin cos 0θθ⋅<B ．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于π3C ．经过4小时，时针转了120D ．若角α和角β的终边关于y x =对称，则有π2π,Z 2k k αβ+=+∈ 【答案】ABD【分析】对于A ，利用三角函数定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可；对于B ，转化求解弦所对的圆心角即可判断；对于C ，根据任意角的定义即可判断；对于D ，由角的终边得出两角的关系即可【详解】对于A ，因为角θ终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点(),x y 的横坐标和纵坐标异号，故sin cos 0θθ⋅=<；因为sin cos 0θθ⋅<，所以sin 0cos 0θθ>⎧⎨<⎩或sin 0cos 0θθ<⎧⎨>⎩，故角θ终边上点坐标(),x y对应为：00><或00<>即00y x >⎧⎨<⎩或00y x <⎧⎨>⎩，所以角θ终边在第二象限或第四象限，综上，角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是sin cos 0θθ⋅<，故A 正确对于B ，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为π3，故B 正确；对于C ，钟表上的时针旋转一周是360︒-，其中每小时旋转3603012︒︒-=-， 所以经过4小时应旋转120︒-，故C 错误；对于D ，角α和角β的终边关于直线y x =对称，则ππ2(π)2π42k k αβ+=+=+，Z k ∈，故D 正确故选：ABD10．给出下列四个结论，其中正确的是（ ）A ．函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ B ．函数()f x =()g x =C ．函数()2f x +的定义域为[]0,2，则函数()2f x的定义域为2,⎡⎤-⋃⎣⎦D ．函数()2f x 的最小值为2【答案】BC【分析】分别根据对数函数的性质，函数相等，抽象函数的定义域和函数的最值对四个选项逐项验证即可求解.【详解】对于A ，要使函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有意义，则有1sin 02x ->，即1sin 2x >，由正弦函数的图像可知：π5π2π2π,Z 66k x k k +<<+∈，所以函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为π5π(2π,2π)(Z)66k k k ++∈，故选项A 错误；对于B ，因为函数()f x [1,1]-，函数()g x =[1,1]-，定义域相同，对应法则相同，所以值域也相同，所以函数()f x =()g x =是相同的函数，故选项B 正确；对于C ，因为函数()2f x +的定义域为[]0,2，所以02x ≤≤，则224x ≤+≤，由224x ≤≤2x ≤≤或2x -≤≤()2f x 的定义域为2,⎡⎤-⋃⎣⎦，故选项C 正确；对于D ，因为函数()22f x =(2)t t ≥，则函数可化为1(2)y t t t=+≥，因为函数1y t t =+在[2,)+∞上单调递增，所以15222y ≥+=，也即函数()252f x =≥，所以函数()2f x =的最小值为52，故选项D 错误，故选：BC .11．设正数,a b 满足1a b +=，则有（ ） A ．14ab ≤B ．3314a b +≤C ．148b a b ⎛⎫⋅+≥+ ⎪⎝⎭D ．221124a b b a +≥++【答案】ACD【分析】对于A ，由基本不等式推论可判断选项；对于B ，利用分解因式结合A 分析可判断选项；对于C ，141445411a b b a a b a b a b+⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式可判断选项；对于D ，()()22221223496121212b a a b b a b a b a +-+-+=+=+-++++++，利用基本不等式可判断选项. 【详解】对于A ，由基本不等式推论有()2144a b ab +≤=，当且仅当12a b ==取等号.故A 正确.对于B ，()()()23322313a b a b a b ab a b ab ab +=++-=+-=-，由A 分析可知1144ab ab ≤⇒-≥-，则331134a b ab +=-≥，当且仅当12a b ==取等号.故B 正确.对于C ，()141445454111a b b a a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅-+=+-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭54888b a a b =++≥+=+2245a b =，即45，b a =-=-时取等号.故C 正确.对于D ，()()()()22222211122349612121212b a b a a b b a b a b a b a --+-+-+=+=+=+-++++++++ ()()()42911491126136412412a b b a b a b a ⎡⎤++⎛⎫=++++-=++-⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎢⎥⎣⎦1113644⎛ ≥+-= ⎝， 当且仅当()()224291a b +=+，即3255，b a ==时取等号.故D 正确. 故选：ACD12．已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，[]1,1x ∈-时，()πcos2f x x=，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的周期为4B ．10132f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 在()2,4上为单调递减函数D ．方程()5log 0f x x +=有且仅有四个不同的解【答案】BCD【分析】根据题意可知函数()f x 关于()1,0-对称且关于1x =对称，结合周期函数的定义即可判断A ，根据函数的对称性结合函数的解析式即可判断B ，判断出函数在[]2,0-上的单调性，再结合函数的对称性即可判断D ，作出函数()y f x =与函数5log y x =-图象，结合图象即可判断D. 【详解】解：因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，即()()2f x f x -=--， 则函数()f x 关于()1,0-对称，又()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -+=+， 即()()2f x f x -=+，即函数()f x 关于1x =对称， 则()()22f x f x +=--，则有()()4f x f x +=-，则()()8f x f x +=， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故A 错误；对于B ，104422π122cos 3333332f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，当[]1,0x ∈-时，ππ,022x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 在[]1,0-上递增，又()10f -=且函数()f x 关于()1,0-对称， 所以函数函数()f x 在[]2,0-上递增， 又因函数()f x 关于1x =对称，所以()f x 在()2,4上为单调递减函数，故C 正确； 对于D ，方程()5log 0f x x +=根的个数，即为函数()y f x =与函数5log y x =-图象交点的个数， 如图，作出两函数的图象，由图可知，两函数的图象有4个交点，即方程()5log 0f x x +=有且仅有四个不同的解，故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．函数()()2lg 43f x x x =-+-的值域为_______________.【答案】(],0-∞【分析】求出243x x -+-的取值范围，结合对数函数的基本性质可求得函数()f x 的值域. 【详解】因为()2243211x x x -+-=--+≤，对于函数()f x ，则有20431x x <-+-≤，所以，()()(]2lg 43,0f x x x =-+-∈-∞.故答案为：(],0-∞.14．已知tan 3α=，tan 1β=，则()()cos sin αβαβ+=-____________.【答案】1-【分析】利用两角和的余弦公式、两角差的正弦公式以及弦化切可求得代数式的值. 【详解】因为tan 3α=，tan 1β=，则cos 0α≠，cos 0β≠， 所以，()()cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-+-==--- 1tan tan 1311tan tan 31αβαβ--⨯===---.故答案为：1-.15．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=-，则sin β=___________.【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求sin β的值. 【详解】因为1cos 7α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin α=， 而0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()0,αβπ+∈，而()11cos 14αβ+=-，故()sin αβ+=所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+111714=+16．已知函数()422x xf x a a =-+-的最小值为4，则实数=a ____________．【答案】4【分析】根据指数函数的性质，结合4x 与2x 的大小，分0,01,1,1a a a a ≤<<=>四种情况讨论函数()f x 的单调性即可求解作答.【详解】当0a ≤时，函数()4223x x f x a =+⨯-在R 上单调递增，无最小值，不符合题意；当01a <<a >，有42log log log a a =>，则22444223,log ()422,log log 4223,log x x x xx x a x a f x a a x a a x a⎧--⨯+≤⎪=-+⨯-<<⎨⎪+⨯-≥⎩，显然函数()f x 在2(,log ]a -∞上单调递减，而22log log 22(log )42231a a f a a a a =--⨯+=-+<，不符合题意；当1a =时，4223,0422,()30x x x xf x x x --⨯+≤+⨯->⎧=⎨⎩，函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， min ()0f x =，不符合题意；当1a >a，有422log log log a a =，则44224223,log ()422,log log 4223,log x x x xx x a x af x a a x a a x a⎧--⨯+≤⎪=-⨯+<<⎨⎪+⨯-≥⎩，函数()f x 在4(,log ]a -∞上单调递减，在2[log ,)a +∞上单调递增，当42log log a x a <<时，22)11(()x f x a -+-=，函数()f x 在42(log ,log )a a 上单调递增，则()f x 在4(log ,)a +∞上单调递增，因此44log log min 4()(log )422324a a f x f a a a ==--⨯+=-=，解得4a =，符合要求， 所以实数4a =. 故答案为：4【点睛】思路点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．四、解答题17．已知集合241|1,|212x A x B x a x a x -⎧⎫⎧⎫=≤=≤≤+⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭. (1)求集合RA ；(2)若A B B =，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|1x x ≤或}3x >(2)(1,2](4,)⋃+∞【分析】（1）解分式不等式求得集合A ，进而求得R A .（2）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得a 的取值范围.【详解】（1）242431,10111x x x x x x ---≤-=≤---， 所以()()31010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得13x <≤， 所以{|13}A x x =<≤，R A ={|1x x ≤或}3x >.（2）由题意，若A B B =，则B A ⊆，①B =∅时，满足B A ⊆，此时122a a >+，解得4a >； ②B ≠∅时，12211232a a a a ⎧≤+⎪⎪>⎨⎪⎪+≤⎩，解得12a <≤；综上，a 的取值范围为(1,2](4,)a ∈⋃+∞.18．已知函数()15πcos(2)26f x x =-. (1)求函数()f x 在区间[]0,π上的单调递减区间；(2)若πcos 12α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f α. 【答案】(1)单调递减区间是5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)16【分析】(1)根据余弦函数的单调区间，求出函数在整个定义域上的单调减区间，再与[]0,π取交集即可求解；(2) 令π12βα=+，则π12αβ=-，利用二倍角的余弦可得1cos 23β=-，然后将所求式子利用诱导公式化简即可求解.【详解】（1）15π15π()cos 2cos 22626f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令5π26t x =-，[0,]x π∈ 因为1cos 2y t =的单调递减区间是[2π,2ππ]k k +，Z k ∈， 由5π2π22ππ6k x k ≤-≤+，Z k ∈，得5π11πππ1212k x k +≤≤+，Z k ∈， 即当5π11π[π+,π]1212x k k ∈+，Z k ∈时，()f x 单调递减； 又[0,π]x ∈，0k =时[]5π11π5π11π[,]0,π,12121212⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 所以函数15π()cos 226f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的单调递减区间是5π11π[,]1212. （2）令π12βα=+，则π12αβ=-,因为πcos()12α+=，所以cos β=，则21cos 22cos 13ββ=-=-， 15π15ππ111()cos(2)cos[2()]cos(π2)cos 2262612226f ααβββ=-=--=-=-=， 19．函数()sin 2sin f x x x =+.(1)请用五点作图法画出函数()f x 在[]0,2π上的图象；（先列表，再画图）(2)设()()2m F x f x =-，[]0,2πx ∈，当0m >时，试研究函数()F x 的零点的情况.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）将()f x 表示为分段函数的形式，然后利用列表法画出()f x 的图象.（2）由()()20m F x f x =-=转化为()y f x =与2m y =的公共点个数，对m 进行分类讨论，由此求得()F x 零点的情况.【详解】（1）3sin ,0π()sin ,π2πx x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩， 按五个关键点列表：()sin 2sin f x x x=+ 0 3 0 1 0描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：（2）因为()()2m F x f x =-，所以()F x 的零点个数等价于()y f x =与2m y =图象交点的个数，设2m t =，0m >，则1t >当20log 3m <<，即13t <<时，()F x 有2个零点；当2log 3m =，即3t =时，()F x 有1个零点；当2log 3m >，即3t >时，()F x 有0个零点.20．已知函数()()()2122m f x m m x m -=--∈R 为幂函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增.(1)求m 的值，并写出()f x 的解析式； (2)令()()21g x f x x =+1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域. 【答案】(1)3m =，()2f x x =(2)11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数m 的等式与不等式，求出m 的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）求出函数()g x 的解析式，在1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，利用单调性求出函数()g x 的值域；当[]0,1x ∈时，换元213u x ⎡=+⎣，利用二次函数的基本性质可求得函数()g x 的值域，综合可得结果.【详解】（1）解：因为()()()2122m f x m m x m -=--∈R 为幂函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，则222110m m m ⎧--=⎨->⎩，解得3m =，所以，()2f x x =.（2）解：()g x x =1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.①当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()g x x =-1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()()min 01g x g ==-，()max 1122g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，此时()11,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；②当[]0,1x ∈时，()g x x =设u =u ⎡∈⎣，可得212u x -=， ()22111111,1222y x u u u ⎡==--=--∈-⎣，此时()1,1g x ⎡∈-⎣， 综上，()g x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 21．已知函数()223log 22a a f x x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,1a a >≠. (1)当2a =时，解不等式()2log 6f x <；(2)[]2,4x a a ∀∈，()1f x ≤，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|11x x -<<或24}x << (2)2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据2a =，先求出函数的定义域，在根据函数对数函数的单调性解不等式即可，最后与函数定义域取交集即可求出结果；(2)由()1f x ≤可得：223log ()log 22a a a x ax a -+≤，然后分别在01a <<和1a >两种情况下，根据对数函数的单调性进而求解.【详解】（1）当2a =时，22()log (32)f x x x =-+，要使函数有意义，则有2320x x -+>，解得：2x >或1x <，所以定义域为(,1)(2,)-∞⋃+∞.因为2()log 6f x <，即2326x x -+<，解得：14x -<<，所以不等式解集为{|11x x -<<或24}x <<.（2）由题意，[2,4]x a a ∀∈，223log ()1log 22a a a x ax a -+≤=，①当01a <<时，则有[2,4]x a a ∀∈，22322a x ax a -+≥恒成立， 设223()22a g x x ax a =-+-，对称轴为324x a a =<，()g x 在[2,4]a a 单调递增， 所以2min 3()(2)02g x g a a a ==-≥，得203a a ≤≥或，所以2[,1)3a ∈. ②当1a >时，则有[2,4]x a a ∀∈，22322a x ax a -+≤恒成立， 223()22a g x x ax a =-+-在[2,4]a a 单调递增， 所以2max 21()(4)02g x g a a a ==-≤，得2021a ≤≤，舍去. 综上，2,13a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 22．已知函数()21ax b f x x +=+是定义域R 上的奇函数，且满足()()91210f f +=. (1)判断函数()f x 在区间()0,1上的单调性，并用定义证明；(2)已知1x ∀、()20,x ∈+∞，且12x x <，若()()12f x f x =，证明：122x x +>.【答案】(1)()f x 在()0,1上单调递增，证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用奇函数的定义可求得b 的值，利用()()91210f f +=可求得a 的值，可得出函数()f x 的解析式，判断出函数()f x 在()0,1上单调递增，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）由()()12f x f x =结合作差法可得出121=x x ，再利用基本不等式可证得结论成立.【详解】（1）解：因为函数()21ax b f x x +=+是定义域R 上的奇函数， 则()()f x f x -=-，即()2211ax b ax b x x -++=-+-+，解得0b =，则()21ax f x x =+， 又()()129122510f f a a +=+=，得1a =，所以()21x f x x =+. 函数()21x f x x =+在()0,1上单调递增，理由如下： 1x ∀、()20,1x ∈，且12x x <，即1201x x ，所以，210x x ->，1210x x -<，2110x +>，2210x +>，则()()()()()()()()()()221221211212122222221212121110111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==<++++++，所以()()12f x f x <，则()f x 在()0,1上单调递增. （2）证明：由题意，()()12f x f x =，则有()()()()()()21121222121011x x x x f x f x x x ---==++，因为120x x <<，所以1210x x -=，即121=x x ，所以122x x +>=，得证.。

湖北省武汉市洪山2024-2025学年高一上学期9月考试数学试卷(解析版)

湖北省武汉市洪山2024-2025学年高一上学期9月考试数学试卷(解析版)

武汉市洪山2027届高一第一学期9月考试数学试卷（答案在最后）命题人：试题分值：150分考试时长：120分钟2024.09.19一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题p ：x ∀∈R ，2430x x -++>，则命题p 的否定为（）A.x ∀∈R ，2430x x -++≤B.x ∀∈R ，2430x x -++<C.x ∃∈R ，2430x x -++≤D.x ∃∈R ，2430x x -++<【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定求得结果.【详解】根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反，则命题p 的否定为“x ∃∈R ，2430x x -++≤”.故选：C .2.下列各组函数是同一个函数的是（）A.321x x y x +=+与y x= B.y =1y x =-C.2x y x=与y x= D.x y x=与1y =【答案】A 【解析】【分析】根据相同函数的定义，依次判断选项即可.【详解】A ：函数3222(1)11x x x x y x x x ++===++和y x =的定义域为R ，解析式一样，故A 符合题意；B ：函数1y x ==-与1y x =-的定义域为R ，解析式不一样，故B 不符合题意；C ：函数2x y x x==的定义域为{}0x x ≠，y x =的定义域为R ，解析式一样，故C 不符合题意；D ：函数1x y x==±的定义域为{}0x x ≠，1y =的定义域为R ，解析式不一样，故D 不符合题意.3.“a b >”是“1ba<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可．【详解】解：0a >时，由1ba<，解得：a b >，0a <时，解得：a b <，不是必要条件，反之a b >也推不出1ba<，比如0,1a b ==-，不是充分条件，故“a b >”是“1ba<”的既不充分也不必要条件．故选：D ．4.若a b >，d c >，且()()0c a c b --<，()()0d a d b -->，则（）A.b a c d <<<B.b c a d <<<C.c d b a <<<D.b c d a<<<【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式，求出b c a <<，d a >或d b <，结合d c >，得到正确答案.【详解】因为a b >，()()0c a c b --<，所以b c a <<，又因为()()0d a d b -->，所以d a >或d b <，因为d c >，所以d b <不合要求，所以d a >，综上：b c a d <<<.故选：B5.已知集合12,Z 3A x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，21,Z 3k B x x k ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，则（）A.A B⊆ B.A B =∅C.A B= D.A B⊇【解析】【分析】由集合A ，B 中的元素特征判断可得.【详解】1612,Z ,Z 33k A x x k k x x k ⎧⎫⎧⎫+==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，当Z k ∈时，21k +表示2的整数倍与1的和，61k +表示6的整数倍与1的和，故A B ⊆，故选：A6.不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可得方程20ax bx c -+=的两个根为2x =-和=1x ，且0a <，结合二次方程根与系数的关系得到a 、b 、c 的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】因为20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，所以方程20ax bx c -+=的两根分别为2-和1，且0a <，则()21,21,b ac a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩变形可得,2,b a c a =-⎧⎨=-⎩故函数()()22221y ax bx c ax ax a a x x =-+=+-=+-的图象开口向下，且与x 轴的交点坐标为()1,0和()2,0-，故A 选项的图象符合.故选：A7.关于x 的不等式()21220x a x a -++<的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围是（）A.{}2134a a a -≤<-<≤或 B.{}2134a a a -≤≤-≤≤或C.131222a a a ⎧⎫-≤<-<≤⎨⎬⎩⎭或 D.131222a a a ⎧⎫-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭或【答案】C 【解析】【分析】分类讨论12a =，12a >与12a <三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，列不等式即可得到a 的取值范围．【详解】由()21220x a x a -++<可得(1)(2)0x x a --<，当12a =时，2(1)(2)(1)0x x a x --=-≥，即原不等式无解，不满足题意；当12a >时，原不等式解得12x a <<，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得324a <≤，即322a <≤；当12a <时，原不等式解得21a x <<，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为1-和0，因此由数轴法可得221a -≤<-，即112a -≤<-；综上：112a -≤<-或322a <≤，所以实数a 的取值范围为1{|12a a -≤<-或32}2a <≤．故选：C ．8.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合[]{}03A x x =∈<<Z ，()(){}2220B x x axxx b =+++=，且 R A B ⋂=∅ð，则集合B 的子集个数为（）．A.4B.8C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =，再由()A B ⋂=∅R ð可知A B ⊆，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数.【详解】由题设可知，[]{}{}Z |031,2A x x =∈<<=，又因为()A B ⋂=∅R ð，所以A B ⊆，而()(){}22|20B x x axxx b =+++=，因为20x ax +=的解为=0x 或x a =-，220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=-，所以1,2分属方程20x ax +=与220x x b ++=的根，若1是20x ax +=的根，2是220x x b ++=的根，则有221+1=02+22+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩，解得=1=8a b -⎧⎨-⎩，代入20x ax +=与220x x b ++=，解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =-，故{}0,1,2,4B =-；若2是20x ax +=的根，1是220x x b ++=的根，则有222+2=01+21+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩，解得=2=3a b -⎧⎨-⎩，代入20x ax +=与220x x b ++=，解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =-，故{}0,1,2,3B =-；所以不管1,2如何归属方程20x ax +=与220x x b ++=，集合B 总是有4个元素，故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16.故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．9.已知非空集合,,A B C 都是R 的子集，满足B A ⊆，A C ⋂=∅，则（）A.A B A =B.()A C A ⋂=R ðC.B C B =D.()R B C B⋂=ð【答案】ABD 【解析】【分析】根据交集、并集、补集的定义及性质判断各选项.【详解】对于A ，由B A ⊆可得A B A = ，故A 正确；对于B ，由A C ⋂=∅，可得A C ⊆R ð，从而()A C A ⋂=Rð，故B 正确；对于C 、D ，结合B A ⊆与A C ⋂=∅，可知B C =∅ ，又B A C ⊆⊆R ð，所以()RB C B ⋂=ð，故C错误，D 正确.10.已知函数22,1()1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨+-<<⎩，下列关于函数()f x 的结论正确的是（）A.()f x 的定义域是RB.()f x 的值域是(),5-∞C.若()3f x =，则x = D.()f x 的图象与直线2y =有一个交点【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的定义域、值域、由函数值求自变量、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()f x 的定义域是(),2∞-，所以A 选项错误.B 选项，当1x ≤-时，21x +≤，当12x -<<时，2204,115x x ≤<≤+<，所以()f x 的值域是(),5∞-，所以B 选项正确.C 选项，由B 选项的分析可知，若()3f x =，则21213x x -<<⎧⎨+=⎩，解得x =C 选项正确.D 选项，画出()f x 的图象如下图所示，由图可知，D 选项正确.故选：BCD11.已知()0,0,214a b ab a b >>++=，则下列正确的是（）A.ab 的最大值为11-B.3322a b +++C.()1a b +最大值为8D.2a b +的最大值为6【答案】BC【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，()0,0,214a b ab a b >>++=，A 选项，()2142ab a b ab ++=≥+⨯2140+≤，解得02<≤-+当且仅当()214a bab a b =⎧⎨++=⎩，即2a b ==-+时等号成立，所以(20222ab <≤-+=-，所以A 选项错误.B 选项，()214ab a b ++=，()()()422218ab a b a b +++=++=，()()()3322132222226a b a b a b a b ++++=⨯=+++++++1163≥⨯==，当且仅当22,2a b a b +=+==-+时等号成立，所以B 选项正确.D 选项，()()211221422222222b a ab a b b a b a b a ++⎛⎫=++=+++≤++ ⎪⎝⎭，整理得()()221221080b a b a +++-≥，()()218260,26b a b a b a +++-≥+≥，当且仅当224b a =+=时等号成立，所以D 选项错误.C 选项，()()142212ab a b ab b a b b a a b =++=+++=+++，由D 选项的分析可知：()()11421468b a a b +=-+≤-=，所以C 选项正确.故选：BC【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,1]-∞【解析】【分析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A B ⊆可得实数a 的取值范围.【详解】如图，在数轴表示,A B ，因为A B ⊆，故1a ≤，填(],1-∞.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.13.函数1()f x x=+的定义域是_________．【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =+100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃14.定义集合{|}P x a x b =≤≤的“长度”是b a -，其中a ，b ∈R ．已如集合1{|}2M x m x m =≤≤+，3{|}5N x n x n =-≤≤，且M ，N 都是集合{|12}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是_____；若65m =，集合M N ⋃的“长度”大于35，则n 的取值范围是__________.【答案】①.110##0.1②.8179,,25105⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】【分析】空1：根据区间长度定义得到关于,m n 的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入65m =得到617510M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，再根据区间长度大于35，得到关于n 的不等式组，解出即可.【详解】集合1{|}2M x m x m =≤≤+，3{|}5N x n x n =-≤≤，且M ，N 都是集合{|12}x x ≤≤的子集，由1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，可得312m ≤≤，由3152n n ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩，可得825n ≤≤．要使M N ⋂的“长度”最小，只有当m 取最小值、n 取最大或m 取最大、n 取最小时才成立.当1m =，2n =，7352M N x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭，“长度”为3712510-=，当32m =，85n =，3825M N x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎩⎭，“长度”为8315210-=，故集合M N ⋂的“长度”的最小值是110；若65m =，617510M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，要使集合M N ⋃的“长度”大于35，故31735105n -<-或63,55n >+即1710n <或9,5n >又825n ≤≤，故8179,,25105n ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.故答案为：110；8179,,25105⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知R 为全集，集合21|1,R 1x A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}11B x a x a =-≤≤+．（1）求集合A ；（2）若R B A B ⋂=ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}12A x x =-<≤（2）{2a a ≤-或}3a >【解析】【分析】（1）将分式不等式化为()()21010x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解出解集，得到集合A ；（2）由（1）得到R A ð，根据R B A B ⋂=ð得到R B A ⊆ð，从而列出不等式，求出实数a 的取值范围.【小问1详解】因为2111x x -≤+，即21101x x --≤+，即021x x ≤-+，所以()()21010x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得：12x -<≤，故{}12A x x =-<≤；【小问2详解】由（1）得：{}12A x x =-<≤，所以{R 1A x x =≤-ð或}2x >，因为R B A B ⋂=ð，所以R B A ⊆ð，又{}11B x a x a =-≤≤+，因为11a a -<+，故B ≠∅，则11a ≤-+或12a ->，解得：2a ≤-或3a >，综上：实数a 的取值范围为{2a a ≤-或}3a >.16.已知集合{}2560A x x x =--<，{}121B x m x m =+<<-且B ≠∅.（1）若“命题:p x A ∃∈，x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若:s x B ∈是:t x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|25m m <<（2）7|22m m ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）由命题:,p x A x B ∃∈∈是真命题，可知A B ≠∅ ，又B ≠∅，可得m 的取值范围；（2）由:s x B ∈是:t x A ∈的充分不必要条件,得B 是A 的真子集，又B ≠∅，可得m 的取值范围.【小问1详解】因为B ≠∅，所以2112m m m ->+⇒>命题:,p x A x B ∃∈∈是真命题，可知A B ≠∅ ，因为{}|16A x x =-<<，{}|121B x m x m =+<<-，2116m m >⎧⎨-<+<⎩，25m ∴<<,故m 的取值范围是{}|25m m <<.【小问2详解】若:s x B ∈是:t x A ∈的充分不必要条件,得B 是A 的真子集，B ≠∅，21111216m m m m ->+⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得722<≤m ，故m 的取值范围是7|22m m ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.17.已知0a b c >,,，且234a b c ++=．（1）证明:222(23)(3)(2)82233b c a c a b a b b c a c+++++≥+++．（2）若23b c =，求11212333a abc -++++的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得()2(23)22232b c a b b c a b +++≥++，()2(3)232323a c b c a c b c+++≥++，()2(2)3223a b a c a b a c+++≥++，求和即可证明；（2）原不等式可化为111922123332123a abc a b -+=+-+++++，且()()2142321a b +++=，利用基本不等式可求得11212333a abc -++++的最小值.【小问1详解】()2(23)22232b c a b b c a b +++≥++，①()2(3)232323a c b c a c b c +++≥++②()2(2)3223a b a c a b a c +++≥++③①+②+③得()()222(23)(3)(2)2234232233b c a c a b a b c a b c a b b c a c++++++++≥+++++，即()222(23)(3)(2)22382233b c a c a b a b c a b b c a c+++++≥++=+++，当且仅当4233a b c ===时，等号成立．【小问2详解】由23b c =，得44a b +=，即44a b =-，所以111144114610212333212323212323a b b a b c a b b a b b ---+-+=-+=-++++++++++1922123a b =+-++由44a b +=，得288a b +=，得()()2142321a b +++=，即()()121423121a b ⎡⎤+++=⎣⎦，所以()()()()42392119119121423372123212123212123b a a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=++++=++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦17[37213≥+=．所以11212333a a b c -++++的最小值为71233-=，当且仅当()()4239212123b a a b ++=++，即31,4a b ==时，等号成立．18.LED 灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED 灯需投入的年固定成本为4万元每生产x 万件该产品，需另投入变动成本()W x 万元，在年产量不足6万件时，()212W x x x =+，在年产量不小于6万件时，()100739W x x x =+-．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．（1）写出年利润()L x (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）()2154,06,210035, 6.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．【解析】【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分06x <<和6x ≥即可求出L (x )的解析式；(2)根据二次函数和基本不等式分别求出L (x )在06x <<和6x ≥时的最大值，比较即可得到答案．【小问1详解】∵每件产品售价为6元，∴x 万件产品的销售收入为6x 万元，依题意得，当06x <<时，()2211645422L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当6x ≥时，()1001006739435L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴()2154,06,210035, 6.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】当06x <<时，()()2117522L x x =--+，当5x =时，()L x 取得最大值172．当6x ≥时，()1003535352015L x x x ⎛⎫=-+≤--= ⎪⎝⎭，当且仅当100x x =，即10x =时，()L x 取得最大值15．∵17152<，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．19.问题：正实数a ，b 满足1a b +=，求12a b +的最小值.其中一种解法是：()12121b a b a b a b a ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭223a b+++≥，当且仅当2b a a b =且1a b +=时，即1a =且2b =.学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数x ，y 满足1x y +=，求23x y+的最小值；（2）若实数a ，b ，x ，y 满足22221x y a b-=，求证：()222a b x y -≤-；（3）求代数式M =的最小值，并求出使得M 最小的m 的值.【答案】（1）5+（2）证明见解析（3）136m =时，M 取得最小值63．【解析】【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值；（2）利用已知，222222222222222222()1()()()x y b x a y a b a b a b x y a b a b -=-⨯=--=+-，然后由基本不等式进行放缩：2222222b x a y xy a b+≥，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．（3）令x =y =22221x y a b -=，即以2231x y -=，即221113x y -=，然后利用（2）的结论可得．【小问1详解】因为0,0x y >>,1x y +=，所以32()()5552323x y x y y x x x y y =+=++≥++++，当且仅当32x y y x=，即2,3x y ==-所以x y +的最小值是5+【小问2详解】222222222222222222()1()()()x y b x a y a b a b a b x y a b a b -=-⨯=--=+-，又2222222b x a y xy a b +≥=，当且仅当222222b x a y a b =时等号成立，所以22222222(b x a y x y a b +-+2222222()x y xy x y xy x y ≤+-≤+-=-，所以222()a b x y -≤-，当且仅当222222b x a y a b =且,x y 同号时等号成立．此时,x y 满足22221x y a b -=.【小问3详解】令x =y =，由35020m m -≥⎧⎨-≥⎩得2m ≥，()()22352230x y m m m -=---=->，又0,0x y >>，所以x y >，构造22221x y a b-=，由2231x y -=，可得221113x y -=，因此2211,3a b ==，由（2）知M =3x y =-≥==，取等号时，22133x y =且,x y 同正，结合2231x y -=，解得,26x y ==2=，136m =．所以136m =时，M 取得最小值63．。

2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

华中师大一附中2022—2023学年度上学期高一期末检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（）U M N P UA. B. ()M N P ⋂⋂()M N P ⋃⋂C.D.()()U M N P ⋂⋂ ()()UM N P ⋃⋂ 【答案】C 【解析】【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可.M N P 【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，M N P 即.()()UM N P ⋂⋂ 故选：C.2. 若，均为实数，则“”是“”的（ ）a b 22a b >a b >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】通过不等式的性质一一验证其充分性与必要性即可.【详解】若，则，则或，故充分性不成立；22a b >a b >a b >a b<-若，则，故必要性成立；a b>22a b >故“”是“”的必要不充分条件.22a b >a b >故选：B.3. 下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（ ）tan 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A. B. C. D. 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭3,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的性质即可求得对称中心.【详解】由已知，令()3,Z 42612k k x x k ππππ-=⇒=+∈当时，，ABD 均符合题意，0,1,2k =35,,121212x πππ=故选：C4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震级数之间的关系式为.2022年9月18日14时44分在中E M lg 4.8 1.5E M =+国台湾花莲发生的6.9级地震所释放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的倍，则下列各数中最接近的值为（ ）m m A. 100 B. 310C. 500D. 1000【答案】C 【解析】【分析】根据地震释放出的能量与地震级数之间的关系式，将两次地震等级分别代E M lg 4.8 1.5E M =+入，利用对数运算法则可得两次能量的比值，近似计算可确定选项.E 【详解】设6.9级地震所释放出来的能量是，日本5.1级地震所释放出来的能量是，1E 2E 则，；1lg 4.8 1.5 6.9E =+⨯2lg 4.8 1.5 5.1E =+⨯可得，所以1122lg lg lg2.7E E E E -==()2.7 2.53121010,10E m E ==∈而，即.52.521010316==≈()316,1000m ∈故选：C5. 函数的部分图象形状大致是（ ）()21sin 1πxf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先根据函数解析式可判断函数为偶函数，再利用特殊值的符号通过排除法即可得出结果.()f x 【详解】根据题意可知，定义域为，()2π11sin sin 1ππ1x xxf x x x -⎛⎫=-⋅=⋅ ⎪++⎝⎭x ∈R 而，()()π11ππ1sin()sin sin ()π1π1π1x x x x x x f x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++所以函数为偶函数，图像关于轴对称，可排除CD ；()f x y 根据图象可利用可排除B.()2221sin 201πf ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭>故选：A6. 若扇形的周长为定值，圆心角为，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角l ()02παα<<的值为（ ）αA. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，将面积写成关于的表达式，再利用二次函数性质即可求得S l 结果.【详解】设扇形的半径为，弧长为，r L 因此，22L r r r l α+=+=扇形的面积，2111(2)222S Lr l r r r lr ==-=-+由二次函数性质可知，当时，扇形面积取到最大值；4lr =此时，.2lr α=2α=故选：B 7. 设，，，则（ ）3log 2a =6log 4b =135log 40c =A. B. C. D. c b a <<a b c<<b a c<<a c b<<【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式将表示成分式形式，再利用加糖不等式和对数函数单调性即可判断出大小.,,a b c 【详解】由题意可知，，3lg 2log 2lg 3a ==，6lg 42lg 2lg 2lg 2lg 6lg 3lg 2lg 3lg 2log 4b =+=++==利用加糖不等式可知；(0,0)m m k m n k n n k +<<+a b <又13135131lg 2lg 5lg 40lg 5lg83lg 2lg 5lg 2lg 53log 401lg135lg 5lg 273lg 3lg 5lg 3lg 5lg 3lg 53c ++++======++++又因为，1358,lg 5lg 2<<同理根据加糖不等式，，即.1313lg 2lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 5++++<<a c b <<故选：D8. 定义在上的偶函数满足，且当时，R ()f x ()()22f x f x -=+[]0,2x ∈，若关于的方程至少有8个实数解，则实数的取值范()21,012sin 1,122x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩x ()ln x f x λ=λ围是（）A. B. 11,ln 6ln 5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,ln 6ln 5⎛⎤- ⎥⎝⎦C.D. 11,,ln 6ln 5⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,00,ln 6ln 5⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】根据函数的周期性画出函数的图像，利用对称性判断轴两个函数图像交点个数列出不等式，解y 不等式即可得到范围.【详解】由已知满足， 且函数为偶函数，()f x ()()22f x f x -=+()f x 所以，()()()()2222f x f x f x f x +=-=--=-⎡⎤⎣⎦令，()2(4)t x f t f t =-⇒+=所以函数是周期为的周期函数.()f x 4又因为与函数都是偶函数，由对称性可知()f x ln xλ由于关于的方程至少有8个实数解，x ()ln x f x λ=故当时，与至少有个交点.0x >()y f x =ln y x λ=4函数与图像如图所示.()y fx =ln y x λ=由图可知：当时，只需，解得0λ>ln 51λ≤10ln 5λ<≤当时，只需，解得0λ<ln 61λ≥-1ln 6λ-≤<当时，显然符合题意.0λ=综上所述：.11,ln 6ln 5λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 若，则下列说法中正确的是（ ）()*0,1,N n a b a n n =>>∈A. 当为奇数时，的次方根为 B. 当为奇数时，的次方根为n b n a n a n b C. 当为偶数时，的次方根为 D. 当为偶数时，的次方根为n a n b ±n b n a±【答案】AD 【解析】【分析】根据，讨论为奇数和偶数两种情况，求出的次方根即可判断得()*0,1,N n a b a n n =>>∈n b n 出结果.【详解】当为奇数时，可知的次方根只有一个，为，n b n a 当为偶数时，由于，所以的次方根有两个，为;n ()n na ab ±==b n a ±所以只有AD 正确.故选：AD10. 已知，则下列不等式正确的是（）1m n >>A.B.22n nm m +<+11m n m n +>+C. D.3322+>m n m n 11+>+m n n m【答案】BD 【解析】【分析】通过对选项利用不等式性质进行拆解，在通过已知条件反证一一推导即可.【详解】对于选项A ：，1m n >> ，22m n ∴>，22mn m mn n ∴+>+，()()22m n n m ∴+>+都大于零,m n ，22n nm m +∴>+故选项A 错误；对于选项B ：，1m n >> ，且，1mn >∴1m n ->，()mn m n m n∴->-，22m n mn m n ∴->-，22m n n mn m ∴+>+，11m n m n +>+∴故选项B 正确；对于选项C ：当，时，3m =2n =，33227835236m n m n +=+=<=故选项C 错误；对于选项D ：，1m n >> ，110n m ∴>>，11m n n m +>+∴故选项D 正确.故选：BD11. 已知，，则下列结论正确的是（ ）()0,θπ∈7sin cos 5θθ-=A.B.C.D. ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4cos 5θ=-3tan 4θ=-2tan 121tan 25θθ=-+【答案】AD 【解析】【分析】由已知得，，确定的范围判断A ，求解与值判断B 与C ，把sin 0θ>cos 0θ<θcos θtan θ代入，化简判断D.tan θ2tan 1tan θθ+【详解】对于A ：由，，两边平方得：，()0,πθ∈7sin cos 5θθ-=4912sin cos 25θθ-=则,得，，则,故A 正确；242sin cos 025θθ=-<sin 0θ>cos 0θ<π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对于B 、C 、D ：∵，则，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴，(πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭又，1sin cos 5θθ+====±当时，联立，解得，，1sin cos 5θθ+=1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-∴，；sin 4tan cos 3θθθ==-24tan 123161tan 2519θθ-==-++当时，联立，解得，，1sin cos 5θθ+=-1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3sin 5θ=4cos 5θ=-∴，.sin 3tan cos 4θθθ==-23tan 12491tan 25116θθ-==-++故B 、C 错误，D 正确.故选：AD.12. 设函数是定义在上的减函数，并且同时满足下列两个条件：①对，都()f x ()0,∞+(),0,x y ∀∈+∞有；②；则下列结论正确的是（）()()x f f x f y y⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21f =-A.()10f =B. 不等式的解集为()()21f x f x +-<01x x ⎧⎪<<+⎨⎪⎩C.()42f =-D. 使关于的不等式有解的所有正数的集合为x ()()22f kx f x +-<k 14k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值法判断选项A ，C ，根据函数的单调性化简不等式，求其解，即可判断B ，根据函数的单调性化简不等式，根据不等式有解列不等式求的范围判断D ．k 【详解】因为对，都有，(),0,x y ∀∈+∞()()x f f x f y y⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，即，则，故选项A 正确；1x y ==(1)(1)(1)f f f =-(1)0f =令，则，又，所以，故选项C 正确；4,2x y ==(2)(4)(2)f f f =-()21f =-()42f =-令，则，所以，12,2x y ==()()1422f f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，，可化为，()()21f x f x +-<(0,2)x ∈()()122f x f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭故，所以()()()1122f x f f f x ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭()122f x f x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭因为函数在上单调递减，所以，且，()f x ()0+∞，122x x >-02x <<解得：，所以的取值范围为，故选项B错误；11x <<+x 11x x ⎧⎪-<<+⎨⎪⎩不等式可化为，()()22f kx f x +-<()()11222f kx f f f x ⎛⎫⎛⎫-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，所以且，，()1242f kx f x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭1242kx x >-02x <<0k >得，此不等式有解，等价于，14(2)k x x >-min 14(2)k x x ⎡⎤>⎢⎥-⎣⎦在的范围内，由基本不等式，当且仅当，即时等号成02x <<22(2)12x x x x +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭2x x =-1x =立，，，故即为所求范围，故选项D 正确，4(2)4x x -≤114(2)4x x ≥-14k >故选：ACD ．【点睛】问题解决的关键在于通过赋值法求函数值，利用已知关系及函数单调性化简不等式.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一小问2分，第二小问3分.13. 函数的单调递增区间是______.()()213log 65f x x x =-+-【答案】##(3,5)[3,5)【解析】【分析】由对数函数的真数大于零可得的定义域，根据复合函数单调性同增异减原则，即求()f x 的单调递减区间即可.265u x x =-+-【详解】由有意义可得，所以，故函数()()213log 65f x x x =-+-2650x x -+->15x <<的定义域为，()()213log 65f x x x =-+-()1,5令， ，265u x x =-+-15x <<又根据二次函数的图象与性质可知，函数在区间上单调递增，265u x x =-+-(1,3]在区间上单调递减，[3,5)又由函数为单调递减函数，13log y u=根据复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为.()f x [3,5)故答案为：.[3,5)14.______.())21lg122log 392lg 5lg 2·lg 5014-⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭【答案】133【解析】【分析】通过指对运算一步一步运算即可得出答案.【详解】())21lg122log 392lg 5lg 2·lg 5014-⎛⎫++-+- ⎪⎝⎭()())102243lg 5lg 2·lg 5lg1019⎛⎫=+++-+⎪⎝⎭()()223lg 5lg 2·lg 5113=+++-+()210lg 5lg 2·lg 5lg 23=+++()10lg 5·lg 5lg 2lg 23=+++()10lg 5·lg10lg 23=++10lg 5lg 23=++1013=+133=故答案为：.13315. 在中，为它的三个内角，且满足，，则ABC ,,A B C 3sin 4cos 6A B +=3cos 4sin 1A B +=______.C =【答案】##π630【解析】【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可1sin()2A B +=求得结果.【详解】由题意可知，将两边同时平方得3sin 4cos 63cos 4sin 1A B A B +=⎧⎨+=⎩将两式相加得22229sin 16cos 24sin cos 369cos 16sin 24cos sin 1A B A B A B A B ⎧++=⎨++=⎩，即，所以24(sin cos cos sin )12A B A B +=1sin()2A B +=1sin 2C =可得或；π6C =5π6C =又因为，得，13cos 4sin 0A B -=>11cos 32A <<由余弦函数单调性可得，所以不合题意；π3A >5π6C =因此.π6C =故答案为：π616. 已知函数的图象是一个中心对称图形，它的对称中心为______；函数()1117122f x x x x =+++--的图象与函数图象的交点分别为，，，…，（为正整()f x ()132121x x g x -⋅+=+()11,x y ()22,x y (),m m x y m 数），则______.()()()()112233m m x y x y x y x y ++++++++= 【答案】 ①.②. 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，92m 【解析】【分析】证明函数为奇函数，由此确定函数的对称中心，证明与的对称中()712f x +-()f x ()g x ()f x 心重合，结合对称性及加法的运算律求值.【详解】因为，所以，()1117122f x x x x =+++--()7111212f x x x x -=++--设，则函数的定义域为，()()71111211h x f x x x x =+-=+++-()h x ()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞且，()()1111111111h x h x x x x x x x ⎛⎫-=++=-++=- ⎪-+----+⎝⎭所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，即函数的图象关于原点对称，()h x ()h x ()712f x +-所以函数的图象关于对称，()f x 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为，所以，()132121xx g x -⋅+=+()()17321752512212212x x xxg x +⋅+⋅-+-=-=++所以，()()()()()()521512771122221212xx x x g x g x ----⎡⎤-+-===-+-⎢⎥++⎣⎦所以函数为奇函数，故函数的图象关于对称，()712g x +-()g x 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，又函数的图象与函数图象的交点分别为，，…，，()f x ()132121x x g x -⋅+=+()11,x y ()22,x y (),m m x y ，点不在函数图象上，所以为偶数，设，()712g =71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x m 2m k =不妨设，则，122k x x x <<⋅⋅⋅<1222112k k k k x x x x x x -++=+=⋅⋅⋅=+=，1222117k k k k y y y y y y -++=+=⋅⋅⋅=+=所以，()()()1212121222112k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x k m+--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=++++⋅⋅⋅++==同理，121212772k k k k m y y y y y y k +-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++==.()()()()()()11223312212292m m k k m x y x y x y x y x x x y y y ++++++++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=【点睛】本题解决的关键在于通过证明，为奇函数，确定其对称性，结合对称()712f x +-()712g x +-性求解问题.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集，集合，非空集合，其中.U =R 12324x A x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭{}232B x a x a =-≤≤+a ∈R （1）若，求；1a =()U A B ∩ （2）从下列三个条件中任选一个作为已知条件，求的取值范围.①；②a ()()UUUA B B ⋃= ；③的一个充分条件是.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个条件的解()U B A =∅x A ∈x B ∈答计分.【答案】（1）{}21x x -≤<（2）113a -≤<【解析】【分析】（1）将代入，求出集合，再求出集合，进一步求解即可；1a =B A （2）三个条件都说明，所以利用子集关系及非空集合列不等式计算即可.B A ⊆B 【小问1详解】当时，，或，又，1a ={}15B x x =≤≤{1U B x x =< }5x >{}25A x x =-≤<则.(){}21U A B x x ⋂=-≤< 【小问2详解】选择条件①：因为，所以，()()UUUA B B ⋃= ()()UUA B Í 即，又已知非空集合，BA ⊆{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a aa a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<选择条件②：因为，则，()U B A =∅B A ⊆又已知非空集合，{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a aa a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<选择条件③：的一个充分条件是，则，x A ∈x B ∈B A ⊆又已知非空集合，{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<18. 已知函数.()2f x mx nx=-（1）若的解集为，求不等式的解集；()f x t≥{}21x x -≤≤20nxmx t ++≤（2）若，且，求的最小值.0m >0n >()10f >14m m n n ++-【答案】（1） {|12}x x -≤≤（2）6【解析】【分析】(1)根据题意可得：和方程的两根，利用韦达定理得出2-120(0)mx nx t m --=<，，将要解的不等式化简整理即可求解；n m =-2t m =(2)由可得，然后利用基本不等式即可求解.()10f >0m n ->【小问1详解】因为的解集为，()f x t≥{}21x x -≤≤所以和方程的两根，由韦达定理可知：，2-120(0)mx nx t m --=<12nm t m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩则有，，所以不等式可化为，n m =-2t m =20nx mx t ++≤220mx mx m -++≤因为，所以不等式可化为，解得：，0m <220x x --≤12x -≤≤所以不等式的解集为.20nx mx t ++≤{|12}x x -≤≤【小问2详解】因为，也即，又因为，，()10f >0m n ->0m >0n >所以，1414()6m m n n m n n m n n ++=-+++≥=--（当且仅当和同时成立时取等，也即时取等）1m n m n -=-4n n =3,2m n ==所以的最小值为.14m m n n ++-619. 已知函数（其中，）的最小正周期为，当时，取()()sin 2f x x ωϕ=+0ω>ϕπ<23π4xπ=()f x 到最大值.（1）求函数的单调递增区间；()f x （2）当时，若函数在区间上的值域为，求实数，的值.0a >()()g x af x b =+,363ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3a b 【答案】（1）， 22,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2），43a =53b =【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的周期公式，求出，再结合当时，取到最大值，ω4x π=()f x 推出的解析式，再结合三角函数的单调性即可得出答案；()f x （2）结合（1）的结论，的取值范围，得出的范围，即可得出的值域，根据已知条件列出方x ()f x ()g x 程组求解即可得出答案.【小问1详解】函数（其中，）的最小正周期为，()()sin 2f x x ωϕ=+0ω>ϕπ<23π，则，3223πωπ∴==()()sin 3f x x ϕ=+又当时，取到最大值，4x π=()f x ，，3242k ππϕπ∴⨯+=+k ∈Z解得，，24k πϕπ=-k ∈Z ，，则，ϕπ< 4πϕ∴=-()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，，232242k x k πππππ-+≤-≤+k ∈Z 解得，，2212343k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 故函数的单调递增区间为，；()f x 22,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 【小问2详解】，，,363x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 33,464x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 3,142x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()12a b g x a b∴-+≤≤+函数在区间上的值域为， ()()g x af x b =+,363ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3，解得，.1123a b a b ⎧-+=⎪∴⎨⎪+=⎩43a =53b =20. 两社区和相距2km ，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一A B ABAB A B 点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区C 的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响A A B 度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为B K A B 对社区和社区的噪音影响度之和.记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社A B C A km x C A 区的总噪音影响度为.统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪B yAB A B 音影响度为0.05.（1）将表示成的函数；y x （2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？AB A B 若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由.A 【答案】（1）22119(02)1004y x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭<<（2）存在，当该点到社区的距离时，袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.A 1x =A B 【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可得出，再根据反比例函数定义和已知条件可解得，224BC x =-0.09K =即可写出关于的函数；（2）利用整体代换和基本不等式确定的最小值，验证等号成立时的取值是y x y x 否符合题意，即可判断得出结论并确定位置.【小问1详解】由为直径可得，所以AB ACBC ⊥224BC x =-由题意可知，220.01(02)4Ky x x x =+-<<又当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05，AB A B 即时，，代入得，x =0.05y =0.09K =所以，220.010.09(02)4y x x x =+-<<即关于的函数为y x 22119(02)1004y x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭<<【小问2详解】口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小，A B y 由（1）知2222222211984211004100(4)25(4)x x y x x x x x x ++⎛⎫=+== ⎪---⎝⎭22242222211222122192542525119551222442x x x x x x x x ++=⨯=⨯=⨯-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--+++- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭令，则可得2119,222x t ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭2192554y t t=⨯-+-，当且仅当时，等号成立；99555244t t t t ⎛⎫-+-=-++≤-+= ⎪⎝⎭32t =且，所以，9504t t -+->212119252522554y t t =⨯≥⨯=-+-即，此时，即，解得.min 125y =32t =21322x +=1x =因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对社区和社AB A 1x =A 区的总噪音影响度最小.B 21. 已知函数（且）为奇函数.()412x f x a a =-+0a >1a ≠（1）求实数的值及函数的值域；a ()f x （2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.()()()12x g x mmf x =+-(],2-∞m 【答案】（1），的值域为2a =()f x ()1,1-（2）2017⎤-⎥⎦【解析】【分析】（1）根据函数解析式可判断定义域，再根据奇函数性质利用可计算的值，将代入根()00f =a a 据指数型函数值域得求法即可求得函数的值域；（2）将函数在区间上有两个不同的()f x ()g x (],2-∞零点转化成方程在上有两个不相等的实数根，利用换元法根据二次函数根()20212x x m m +++=(],2-∞的分布情况即可求得实数的取值范围.m 【小问1详解】由题意可知，函数的定义域为，()f x x ∈R 由奇函数性质可知，，得；()044011022f a a a =-=-=++2a =所以，；()411222221x x f x =-=-⨯++又因为，所以()211,x+∈+∞()20,221x ∈+因此()()211,121x f x =-∈-+即函数的值域为.()f x ()1,1-【小问2详解】由得，，()()()12xg x m mf x =+-()()212121x x g x m m ⎛⎫=+- ⎪⎝+⎭-又函数在区间上有两个不同的零点，()g x (],2-∞即方程在区间上有两个不同的实数根；()0112122x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭-+(],2-∞整理得，()20212x x m m +++=令，由得，2xt =(],2x ∈-∞(]0,4∈t 即在上有两个不相等的实数根；()210m t t m +++=(]0,4∈t 所以，且或10m +≠14(1)0m m ∆=-+>1m -<1m -<时，需满足，解得1m -<()()22100014401042(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++<⎪⎪+⨯++≤⎨⎪⎪<-<+⎪⎩0201798m m m ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪<-⎪⎩2017m ≤-当时，需满足，该不等式组无解；1m -<()()22100014401042(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++>⎪⎪+⨯++≥⎨⎪⎪<-<+⎪⎩综上可知，实数，m 2017m≤-即2017m ⎤∈-⎥⎦22. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定()y f x =D 的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.x x D -∈()()1f x f x ⋅-=()y f x =（1）已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；()10xf x =()22xg x x -=+()y f x =()y g x =（2）若是定义在上的倒函数，当时，，方程是否有整数解？()f x R 0x ≤()413x f x x -=+()2023f x =并说明理由；（3）若是定义在上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上单调递增.记，()f x R R ()()()21f x F x f x ⎡⎤-⎣⎦=证明：是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【答案】（1）函数为倒函数，函数不是倒函数，理由见解析；()f x ()g x （2）方程没有整数解，理由见解析；()2023f x =（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；()f x ()g x （2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数0x <()()0,1f x ∈()2023f x =0x 00x >，利用零点存在定理可得出结论；()()2023h x f x =-（3）推导出函数的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件()F x ()F x 的定义证明可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，对任意的，，()f x R x ∈R ()()10101x x f x f x -⋅-=⋅=所以，函数为倒函数，()f x 函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，()22xg x x -=+{}2x x ≠-故函数不是倒函数；()g x 【小问2详解】当时，则，由倒函数的定义可得，0x >0x -<()()413x f x x f x ==+-由满足倒函数的定义，()01f =当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，0x >3x y =4y x =()f x ()0,∞+当时，，，，当时，，0x >31x >40x >()1f x >0x <()()()10,1f x f x =∈-若函数有整数解，则，()2023f x =0x ()00,x ∈+∞设，则函数在上单调递增，()()2023h x f x =-()h x ()0,∞+因为，，()5453520230h =+-<()6463620230h =+->故方程无整数解，()2023f x =【小问3详解】因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，()y f x =R 0R 所以，，()()()()()()()211f x F x f x f x f x f x f x ⎡⎤-⎣⎦==-=--任取、且，则，所以，，，m n ∈R m n >m <n --()()f m f n >()()f n f m ->-所以，()()()()()()F m F n f m f m f n f n -=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()0f m f n f n f m =-+--->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以，函数为上的增函数，()F x R 因为，故函数为上的奇函数.()()()()F x f x f x F x -=--=-()F x R当时，即，则，所以，，120x x +>12x x >-()()()122F x F x F x >-=-()()120F x F x +>即“”“”；120x x +>⇒()()120F x F x +>若，则，所以，，即.()()120F x F x +>()()()122F x F x F x >-=-12x x >-120x x +>所以，“”“”.120x x +>⇐()()120F x F x +>因此，是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一上学期10月联考数学试题含答案

湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一上学期10月联考数学试题含答案

武汉市部分重点中学2022——2023学年度上学期10月联考高一数学试卷命题学校：汉阳一中 命题教师：涂元 审题教师：尹青考试时间：2022年10月11日上午8:00——10：00 试卷满分：150分一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。

)1．设集合{}21,N A x x n n ==+∈，{}41,N B x x n n ==+∈，则A B =（ ） A ．{}41,N x x n n =+∈ B ．{}42,N x x n n =+∈C ．{}43,N x x n n =+∈D ．∅2．已知命题p ：200R x x ∃∈，+1>0，则p ⌝为（ ） A ．200R x x ∃∈，+1≤0 B ．200R x x ∃∈，+1>0C ．2R x x ∀∈，+1<0D ．2R x x ∀∈，+1≤03．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>>B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+D ．0,0)2a b a b +>>4．集合{1,2,4}A =，{}2B x x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．“23x <<”是“112x >-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．b a a b a b ->- B ．11b b a a +>+ C ．11a b a b+>+ D ．22a b aa b b +>+ 7．下列函数中最小值为4的是（ ）A ．14y x x =+B ．当0x >时，2251x x y x ++=+C ．当32x <时，12123y x x =-+-D．y =8．已知函数2()(2)1f x ax a x =--+，()g x x =，若对于任意实数,()x f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是A ．0a ≤≤ B．44a -<<+ C ．04a ≤<- D．04a ≤<+二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

2023年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试高一数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷﹑草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}1A x x =>-，下列关系式中成立的是（）A.0A ⊆ B.{}0A ∈ C.{}0A⊆ D.A∅∈【答案】C 【解析】【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系得答案.【详解】因为集合{}1A x x =>-所以0A ∈，A 错误；{}0A ⊆，B 错误，C 正确；A ∅⊆，D 错误.故选：C.2.设集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}34B x x =-<<，则A B = （）A.{}2,1,0,1,2,3-- B.{}2,1,0,1,2-- C.{}2,1,1,2-- D.{}1,1,3-【答案】D 【解析】【分析】直接根据交集的定义求解即可.【详解】集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}34B x x =-<<，则{}1,1,3A B ⋂=-.故选：D.3.函数x y x x=+的图象是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】讨论得到分段函数解析式，由此可得图象.【详解】1,01,0x x xy x x x x +>⎧=+=⎨-<⎩，结合一次函数的图象可知ABC 错误；D 正确.故选：D.4.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0f x <的解集是（）A.(]2,5 B.[)(]5,22,5-⋃ C.()(]2,02,5- D.[)(]5,02,5- 【答案】C 【解析】【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像，当0x >时，()0f x <的解为25x <≤，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，若()0f x <，即()0f x --<，则()0f x ->所以02x <-<，解得20x -<<，综合得不等式()0f x <的解集是()(]2,02,5- .故选：C.5.两次购买同一种物品，每次的价格不同可以用两种不同的策略，第种策略每次购买这种物品的数量一定；第二种策略每次购买这种物品所花的钱数一定．则哪种购物方式比较经济？（）A.第一种 B.第二种C.都一样D.不能确定【答案】B 【解析】【分析】设两次购物的价格分别为1p 、2p ，第一种策略：每次购买量为n ，第二种策略：每次花钱数为m ，计算出按第一种策略购物，两次购物的平均价格，按第二种策略购物，两次购物的平均价格，做差比较大小即可.【详解】设两次购物的价格分别为1p 、2p ，第一种策略：每次购买量为n ，第二种策略：每次花钱数为m ，若按第一种策略购物，两次购物的平均价格为121222np np p p n ++=，若按第二种策略购物，两次购物的平均价格为12121222p p mm m p p p p =++，因为12p p ≠，所以()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以12121222p p p p p p +>+.故选：B.6.对于函数()53f x ax bx cx d =+++（,,a b c ∈R ，Z d ∈），选取a b c d ,,,的一组值计算()2f 和()2f -，所得的正确结果一定不可能是（）A.3和4B.2和6C.1和7D.4和8【答案】A 【解析】【分析】利用函数奇偶性可知53y ax bx cx =++为奇函数，所以可得()()2f f x d x +-=，验证选项即可得出结论.【详解】根据题意可知()()82,23232228f b c d f a b c d a +++---==-+，所以可得()()222f f d +-=，又Z d ∈，可知()()222f f d +-=一定是偶数，经检验可知，A 选项两数之和为7，不是偶数，不合题意；其余选项两数之和均为偶数，符合题意；故选：A7.设a 、b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】设()f x x x =，分析函数()f x 在R 上的单调性，结合函数的单调性以及充分条件、必要条件判断可得出合适的选项.【详解】设()22,0,0x x f x x x x x ⎧-≤==⎨>⎩，则函数()f x 在(],0-∞、[)0,∞+上均为增函数，又因为函数()f x 在R 上连续，故函数()f x 在R 上单调递增，若a b >，则()()f a f b >，即a a b b >；若a a b b >，则()()f a f b >，可得a b >.因此，“a b >”是“a a b b >”的充要条件.故选：C.8.已知函数()()123,11,1a x a x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是（）A.(],1-∞- B.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.()0,1【答案】C 【解析】【分析】根据解析式得出()f x 在[)1,x ∞∈+上有()0f x ≥，由题意可得1201230a a a ->⎧⎨-+≥⎩，然后求解即可.【详解】当1x ≥时，()1f x x x=-单调递增，所以()f x 在[)1,x ∞∈+上有()0f x ≥，所以要使函数()()123,11,1a x a x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，则需1201230a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得112a -≤<.故选：C二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A.Z n ∃∈，2n n +为奇数B.R a ∀∈，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称C.“a b >”是“22ac bc >”的必要条件D.()2f x x =与()4g x =是同一函数【答案】BC 【解析】【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要条件、同一函数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当n 是整数时，()21n n n n +=+是偶数，故为假命题.B 选项，二次函数2y x a =+的对称轴为y 轴，所以B 选项正确.C 选项，当22ac bc >时，a b >，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要条件，所以C 选项正确.D 选项，()f x 的定义域是R ，()g x 的定义域是{}|0x x ≥，所以不是同一函数，故为假命题.故选：BC10.设()2211x f x x +=-，则（）A.()()f x f x -= B.()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（0x ≠）C.()f x 在()1,+∞上单调递增D.()f x 的值域为(),-∞+∞【答案】ABC 【解析】【分析】代入()f x -以及1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可判断AB ；利用增函数的定义，即可判断C ；由已知2101y x y -=≥+，即可求函数的值域.【详解】210x -≠，得1x ≠±，所以函数的定义域为{}1x x ≠±，()()()22221111x x f x x x +-+-==---，即()()f x f x -=，故A 正确；()22221111111x x f f x x x x++⎛⎫===- ⎪-⎝⎭-，()0x ≠，故B 正确；设121x x >>，则()()()()()2222121212222212122111111x x x x f x f x x x x x -++-=-=----，因为121x x >>，所以2212x x >，且2110x -<，2210x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故C 正确；由2211x y x+=-，得211y x y -=+，由101y y -≥+，得1y ≥或1y <-，所以函数的值域为()[),11,∞∞--⋃+，故D 错误.故选：ABC11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x fy =+，则（）A.()00f =B.()10f =C.()f x 是奇函数D.()f x 是偶函数【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，令0x y ==得到()00f =；B 选项，令1x y ==得到()10f =；CD 选项，先赋值求出()10f -=，进而令1y =-得到()()f x f x -=，得到C 错误，D 正确.【详解】A 选项，()()()22f xy y f x x fy =+中，令0x y ==得，()00f =，A 正确；B 选项，()()()22f xy y f x x fy =+中，令1x y ==得，()()()111f f f =+，解得()10f =，B 正确；CD 选项，()()()22f xy y f x x fy =+中，令1x y ==-得，()()()111f f f =-+-，解得()10f -=，()()()22f xy y f x x f y =+中，令1y =-得，()()()()()201f x f x x f f x f x -=+=+=-，函数()f x 的定义域为R ，故()f x 为偶函数，C 错误，D 正确.故选：ABD12.已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列说法正确的是（）A.22a b +的最小值为15B.ab 的最大值为18C.1a b +的最大值为43 D.11a b+的最小值为【答案】AB 【解析】【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.【详解】解：对于A ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以22222221(12)541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当25b =时，22a b +有最小值15，故A 正确．对于B ：由0a >，0b >，12a b =+≥，即18ab ≤，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以ab 的最大值是18，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以111121a b b b b -==+-+-，因为102b <<，所以1112b -<-<-，所以1211b -<<--，所以1121b -<<-，即112a b<<+，故C 错误；对于D ：112221233a b a b b a a b a b a b +++=+=+++≥+=+，当且仅当2b a a b =，即22b =，1a =-时取等号，故D 错误；故选：AB第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()24f x x ax =-+的值域是[)0,∞+，则=a ______.【答案】4±【解析】【分析】由二次函数图象可知Δ0=，解方程计算可得4a =±.【详解】根据二次函数性质可知，()24f x x ax =-+的最小值为0，所以可得2440a ∆=-⨯=，解得4a =±；故答案为：4±14.已知a b >，且1ab =，则22a b a b+-的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】因为a b >，1ab =，则0a b ->，所以222()22()a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+---≥=，当且仅当2a b a b -=-，即,22a b ==时，等号成立，所以22a b a b+-的最小值是故答案为：15.已知R μ∈，函数()23,32,x x f x x x x μμ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 与x 轴恰有2个交点，则μ的取值范围是______.【答案】(]()1,23,+¥ 【解析】【分析】先求出每一段的零点，然后根据函数()f x 与x 轴的交点情况分类讨论求μ的取值范围.【详解】令30x -=，得3x =，令2320x x -+=，得1x =或2x =因为函数()f x 与x 轴恰有2个交点，当两个交点为()()1,0,2,0时，()1,2,3,μ∈-∞，得3μ>，当两个交点为()()1,0,3,0时，()1,μ∈-∞，[)2,3,μ∈+∞，得12μ<≤，当两个交点为()()2,0,3,0时，()2,μ∈-∞，[)1,3,μ∈+∞，不可能，综合得μ的取值范围是(]()1,23,+¥.故答案为：(]()1,23,+¥.16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．则求出函数()323f x x x =+的图象的对称中心为______；类比上述推广结论，写出“函数()y f x =的图象关于y 轴成轴对称图形的充要条件是函数()y f x =为偶函数”的一个推广结论是______.【答案】①.()1,2-②.()y f x =的图像关于x a =对称的充要条件是()y f x a =+为偶函数【解析】【分析】根据函数()y f x a b =+-为奇函数，即可求解,a b ，根据偶函数的定义，并且类别推广，即可求解推广结论.【详解】()()()()()3232232333363f x a b x a x a b x a x a a x a a b +-=+++-=++++++-为奇函数，所以330a +=且3230a a b +-=所以1a =-，2b =，所以函数()f x 的图象的对称中心为()1,2-；若函数()y f x =关于x a =对称，则()y f x a =+为偶函数，因为若()y f x a =+为偶函数，则()()f x a f x a -+=+，即函数()y f x =关于x a =对称，反过来若函数()y f x =关于x a =对称，则()()f x a f x a -+=+，即()y f x a =+为偶函数，综上可知，命题的推广结论为“()y f x =的图像关于x a =对称的充要条件是()y f x a =+为偶函数”.故答案为：()1,2-；()y f x =的图像关于x a =对称的充要条件是()y f x a =+为偶函数四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设集合A ={x |x 2-3x +2=0}，B ={x |x 2+2（a +1）x +a 2-5=0}.（1）若A ∩B ={2}，求实数a 的值；（2）若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）-1或-3；（2）(,3]-∞-.【解析】【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可；【小问1详解】由x 2-3x +2=0得x =1或x =2，故集合A ={1，2}.因为A ∩B ={2}，所以2∈B ，将x =2代入B 中的方程，得a 2+4a +3=0，解得a =-1或a =-3，当a =-1时，B ={x |x 2-4=0}={-2，2}，满足条件；当a =-3时，B ={x |x 2-4x +4=0}={2}，满足条件，综上，实数a 的值为-1或-3；【小问2详解】对于集合B ，∆=4（a +1）2-4（a 2-5）=8（a +3）.因为A ∪B =A ，所以B ⊆A .当∆<0，即a <-3时，B 为空集，满足条件；当∆=0，即a =-3时，B ={2}，满足条件；当∆>0，即a >-3时，B =A ={1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系，得1+2=-2（a +1），1×2=a 2-5，解得a =-52，且a 2=7，矛盾.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.18.已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（2）命题q ：x A ∃∈，x B ∈是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(],3-∞（2）[]2,4【解析】【分析】（1）分类讨论B =∅和B ≠∅，根据条件列出不等式组求解m 的取值范围；（2）将条件转化为A B ⋂≠∅，进而求出m 的取值范围.【小问1详解】当B =∅时，121m m +>-，解得2m <；当B ≠∅时，12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤.综上，实数m 的取值范围为(],3-∞【小问2详解】由题意A B ⋂≠∅，所以B ≠∅即2m ≥，此时13m +≥.为使A B ⋂≠∅，需有15m +≤，即4m ≤.故实数m 的取值范围为[]2,419.已知函数f (x )＝的定义域为R .（1）求a 的取值范围；（2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.【答案】（1）[0，1]；（2）13-22⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【解析】【分析】（1）根据函数f (x )的定义域为R ，转化为ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立求解.（2）根据f (x )＝，结合f (x )的最小值为2，解得a ＝12，然后将不等式x 2－x －a 2－a <0转化为x 2－x －34<0,，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】（1）因为函数f (x )的定义域为R .所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有20{(2)40a a a >∆=-≤解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．（2）因为f (x )因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min2，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，所以不等式的解集为13-22，⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y （升)与速度x （千米/每小时）(50120)x 的关系可近似表示为：21(1304900),[50,80)7512,[80,120]60x x x y x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩（1）该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？（2）已知A ，B 两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？【答案】(1)65km/h (2)当速度为120km/h 时，总耗油量最少．【解析】【分析】（1）分类讨论，求出函数的最小值，比较可得结论；（2）分类讨论，利用基本不等式、函数的单调性，即可得出结论．【详解】解：（1）当[)50,80x ∈时，2211(1304900)[(65)675]7575y x x x =-+=-+，65x =，y 有最小值1675975⨯=当[]80,120x ∈，函数单调递减，故当120x =时，y 有最小值10因910<，故65x =时每小时耗油量最低（2）设总耗油量为l 由题意可知120:l y x= ①当[)50,80x ∈时，120849008(130)130)1655l y x x x ==+--= 当且仅当4900x x=，即70x =时，l 取得最小值16②当[]80,120x ∈时，12014402l y x x==- 为减函数当120x =，l 取得最小值101016< ，所以当速度为120时，总耗油量最少．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，考查函数模型的建立，考查函数的单调性，利用基本不等式是解决本题的关键．21.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数．（1）若对任意的1x ，2R x ∈，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x -<-，()11f =-，求满足()121f x -≤-≤的实数x 的取值范围；（2）若对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()1122120x f x x f x x x -<-，解关于m 的不等式()mf m -()()21210m f m -->．【答案】（1）[]1,3（2）()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）首先判断函数()f x 的单调性，再求解不等式；（2）首先设函数()()g x xf x =，并判断函数的单调性，并结合函数是偶函数，以及单调性，求解不等式.【小问1详解】由题意奇函数()f x 满足()()111f f -=-=，∴()121f x -≤-≤变为()()()121f f x f ≤-≤-，又()()12120f x f x x x -<-，即当12x x <时，()()12f x f x >，∴()f x 在R 上单调递减，∴121x -≤-≤，解得13x ≤≤，故实数x 的取值范围为[]1,3；【小问2详解】∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x xf x =为定义在R 上的偶函数，又∵()()1122120x f x x f x x x -<-，即12x x <，()()1122x f x x f x >，∴()()g x xf x =在[)0,∞+上递减，则()g x 在(),0∞-上递增，()()()21210mf m m f m --->，即()()()2121mf m m f m >--，则()()21g m g m >-，则21m m <-，整理为23410m m -+>，解得：()1,1,3m ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ .22.已知函数()225f x x ax =-+（1a >）．（1）若()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数a 的值；（2）若()f x 在区间(],2-∞上是减函数，且对任意的[]1,1x a ∈+，都有()0f x ≤．求实数a 的取值范围；（3）若()211x x g x x +-=+，且对任意的[]0,1x ∈，都存在[]00,1x ∈，使得()()0f x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2（2）[)3,+∞（3）7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先确定单调性，根据单调性列方程组求解；（2）根据函数单调性求出()f x 在区间[]1,1a +上的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题列不等式求解；（3）求出函数()g x 和()f x 的值域，根据题意得到值域之间的包含关系，进而可列不等式求解.【小问1详解】()()222255f x x ax x a a =-+=-+- ∴()f x 在(],a -∞上单调递减，又1a >，∴()f x 在[]1,a 上单调递减，()()11f a f a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，即22125251a a a a -+=⎧⎨-+=⎩，解得2a =；【小问2详解】()f x 在区间(],2-∞上是减函数，(](],,2a ∴∞-∞-⊆，2a ∴≥，1(1)a a a ∴-≥+-，()()11f f a +≥[]1,1x a ∴∈+时，()()max 1f x f =，又对任意的[]1,1x a ∈+，都有()0f x ≤，∴()11250f a =-+≤，3a ∴≥；【小问3详解】∵()21111x x g x x x x +-==-++，明显其在[]0,1上单调递增，当[]0,1x ∈时，()11,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又()f x 在[]0,1上单调递减，()[]62,5f x a ∈-∵对任意的[]0,1x ∈，都存在[]00,1x ∈，使得()()0f x g x =成立∴[]11,62,52a ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦∴621a --≤∴72a ≥。

湖北省部分重点中学2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题(解析版)

湖北省部分重点中学2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题(解析版)

湖北省部分重点中学高一上学期期末联合考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求（答案在最后）1. 函数1()ln 1f x x x =++的定义域是（ ）A. (1,0)-B. (1,)-+∞C. (0,)+∞D. ,1(1,)∞∞--⋃-+（）【答案】C 【解析】【分析】由解析式有意义列不等式求x 的取值范围即可. 【详解】因为1()ln 1f x x x =++有意义， 所以0,10x x >+≠，解不等式可得0x >， 所以函数1()ln 1f x x x =++的定义域是(0,)+∞， 故选：C.2. 已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边位置在（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】由P 所在的象限有tan 0,cos 0αα<<，即可判断α所在的象限. 【详解】因为点()tan ,cos P αα在第三象限， 所以tan 0,cos 0αα<<，由tan 0α<，可得角α的终边在第二、四象限，由cos 0α<，可得角α的终边在第二、三象限或x 轴非正半轴上， 所以角α终边位置在第二象限， 故选：B.3. 设0.73a =，0.7log 0.8b =，3tan 4c π=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c b a <<B. b a c <<C. b<c<aD. c a b <<【答案】A 【解析】【分析】由指数函数，对数函数单调性分析a 和b 与1和0 的关系，由正切函数性质分析c 与1和0 的关系，即可得出答案.【详解】0.70331a =>=，即1a >，0.70.7log 0.8log 0.71b =<=，且0.70.7log 0.8log 00b =>=，即01b <<，由正切函数性质可知3tan 04c π=<，即0c <， 故c b a <<， 故选：A.4. 函数()22log f x x x =-+的零点所在的区间为（）A. ()01，B. ()12，C. ()23，D. ()34，【答案】B 【解析】【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案. 【详解】函数()22log f x x x =-+,0x >是单调递增函数， 当0x +→时，()f x →-∞，2(1)1,(2)10,(3)1log 30,(4)40f f f f =-=>=+>=>，故(1)(2)0f f ⋅<故函数的零点所在的区间为()12，， 故选：B5. 奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()132xf x =+，则()2023f =（） A. 72-B.32 C.72D.552【答案】A 【解析】【分析】由()(4)f x f x =+，可得到函数()f x 的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将()2023f 转化为()1f -，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=， ()f x ∴是以4为周期的奇函数，又当()0,2x ∈时，()132xf x =+， ()()()()1172023311322f f f f ⎛⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：A.6. 函数()πcos 2x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=的部分图像大致是（） A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.【详解】因为()πcos sin 2x x x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭==,()()()sin sin x xf x f x x x--==-=--. 所以()f x 为奇函数,故AB 选项错;()0,,sin 0x x π∈>()0f x >,故D 选项错;故选:C .7. 已知函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>），若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是（） A. 5[,4)2 B. 5[,)2+∞ C. 511[,)22 D. 5[,4]2【答案】A 【解析】【分析】求出π3x ω+的范围，数形结合得到关于2ππ33ω+的范围，求出ω的取值范围. 【详解】2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，则ππ2ππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 故[)2ππ2π,3π33ω+∈，解得：5[,4)2ω∈. 故选：A8. 已知函数f(x)={|log 2(x −1)|,1<x ≤3x 2−8x +16,x >3，若方程()y f x m =-有4个不同的零点1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则341211()()x x x x ++=（）． A. 10 B. 8C. 6D. 4【答案】B 【解析】【分析】作出f (x )图像，由图可知方程()y f x m =-的4个不同的零点为函数y ＝f (x )与函数y ＝m 图像的四个交点的横坐标，由图可知，1212x x x x =+且3x 48x +=.【详解】作函数()f x =()22log 1,13816,3x x x x x ⎧-<⎪⎨-+>⎪⎩的图像如图，()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，可得3x 48x +=，且()()2122log 1log 1x x -=-，即为()()2122log 1log 10x x -+-=， 即有()()12111x x --=，即为1212x x x x =+， 可得()343412118x x x x x x ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的的0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若0a b >>，则22ac bc > B. 若0a b >>，则22a b >C. 若0a b <<，则22a ab b <<D. 若0a b <<，则11a b> 【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的运算法则与性质即可求解. 【详解】对于A ：当0c ，22ac bc =，故A 错误；对于B ：0a b >>，∴22a b >，故B 正确；对于C ：当2a =-，1b时，则24a =，2ab =，21b =， 则22a ab b >>，故C 错误；对于D ：0a b <<，∴11a b>，故D 正确； 故选：BD.10. 下列说法正确的是（ ）A. 命题3:0,0p x x ∀>>的否定为：30,0x x ∃>≤.B. 2()lg f x x =与()2lg g x x =为同一函数C. 若幂函数()y f x =的图象过点2)，则(9)2f =D. 函数2x y =和2log y x =的图象关于直线y x =对称 【答案】AD 【解析】【分析】根据全称量词的否定是存在量词，可知A 正确；根据两个函数的定义域不同，可知B 不正确；利用待定系数法求出()f x 的解析式，再根据解析式求出(9)f ，可知C 不正确；根据函数2xy =与2log y x =互为反函数，可知D 正确.【详解】对于A ，命题3:0,0p x x ∀>>的否定为：30,0x x ∃>≤，故A 正确； 对于B ，2()lg f x x =与()2lg g x x =的定义域不同，所以不为同一函数，故B 不正确； 对于C ，设()f x x α=，则(2)22a f ==12α=，所以12(9)93f ==，故C 不正确；对于D ，函数2xy =与2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故D 正确. 故选：AD11. 已知函数()sin(3)f x x ϕ=+22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（）A. 函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B. 函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增 C. 若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD. 函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】【分析】利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.【详解】因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈ ，得4k πϕπ=-+，Z k ∈，因为 22ππϕ-<<，所以0,4k πϕ==-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数成立，故选项A 正确；对于B ：123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B 不正确；对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即21323ππ⨯=，故选项C 正确； 对于D ：函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到()sin 3sin 3sin344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC【点睛】本题主要考查了利用三角函数对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题12. 已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（ ）A. 函数1()6y f x x =-有3个零点 B. 关于x 的方程*1()0(N )2n f x n -=∈有24n +个不同的解C. 对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立D. 当1*[2,2](N )n n x n -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为12【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意求出函数的解析式，再画出函数的图象，然后结合图象逐个分析判断即可. 【详解】当312x ≤≤时，()22f x x =-，当322x <≤时，()42f x x =-，当23x <≤时，则3122<≤x ，1()1222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ，当34x <≤时，则3222<≤x，1()2222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ，当46x <≤时，则232<≤x，11()2822x x f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当68x <≤时，则342<≤x，1()1282x x f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示，对于A ，由1()06f x x -=，得1()6f x x =，令16y x =，由图象可知16y x =与()y f x =的图象只有3个交点，所以函数1()6y f x x =-有3个零点，所以A 正确，对于B ，当1n =时，1()02f x -=，即1()2f x =，由图象可知12y =与()y f x =的图象只有3个交点，所以关于x 的方程1()02f x -=有3个不同的解，而当1n =时，246+=n ，所以B 错误，对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图可知函数()f x 的图象的每一个上顶点都在曲线32y x =上，所以3()2≤f x x恒成立，所以C 正确，对于D ，当1n =时，则[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，当2n =时，则[2,4]x ∈，此时函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1112222⨯⨯=，当3n =时，则[4,8]x ∈，此时函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1114242⨯⨯=， ……，当1*[2,2](N )n n x n -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为11111(22)222n n n --⨯-⨯=，所以D 正确， 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 17cos 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____________． 【答案】12 【解析】 【分析】由于17633πππ-=-，进而结合诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式可得171cos cos 6cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：12.14. 已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的图象如图所示. 则函数()f x 的解析式为_________.【答案】()2sin(2)3f x x π=+【解析】【分析】根据最值可求A ，根据周期可求ω，代入特殊值可求ϕ. 【详解】由图可知，2A =，313341234T πππ=-=， ∴T π=，2T ππω==，∴2ω=，又0ω>，∴2ω=.∴()()()2sin 2,0f x x ϕϕπ=+≤<，当3x π=时，()222sin 02333f k k Z πππϕϕππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 解得3πϕ=.故答案为：()2sin(2)3f x x π=+.15. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB 的长度为π，则该勒洛三角形的面积为___________.993π- 【解析】【分析】计算出等边ABC 的边长，计算出由弧AB 与AB 所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.【详解】设等边三角形ABC 的边长为a ，则3a ππ=，解得3a =，所以，由弧AB 与AB 所围成的弓形的面积为2221193393sin 323236424a a ππππ⨯-⨯=⨯-=-， 所以该勒洛三角形的面积9339399334242S ππ⎛-=+⨯-= ⎝⎭.故答案为：9932π-. 16. 函数()()2ln12f x axx =+是定义在R 上的奇函数，且关于x 的不等式()()22sin cos 0f m m x f x -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为________.【答案】[0,)+∞ 【解析】【分析】先利用函数的奇偶性求解实数a ；再利用定义证明函数的单调性，利用奇偶性和单调性将不等式恒成立问题转化为分离参数问题，利用基本不等式以及双勾函数的单调性求解即可. 【详解】函数()f x 的定义域为R ， 由函数()f x 为R 上的奇函数， 可得()()))()2222ln12ln12ln 140f x f x ax x ax x ax x -+=+++=+-=，即221414ax x a +-=⇒=， 则实数4a =； 所以())2ln142f x x x =+，任取12,R x x ∈，设12x x <， 则()()))21122121122222142ln142ln142142x x f x f x x x x x x x ++-=+-+=++，2212121414,22x x x x +<+<，2112221421142x x x x ++<++，则211222142ln10142x x x x ++<=++，所以()()12f x f x <， 则函数()f x 为R 上增函数； 又函数()f x 为R 上的奇函数，所以不等式()()22sin cos 0f m m x f x -+≥恒成立，转化为()()()222sin cos cos f m m x f x f x -≥-=-，即22sin cos m m x x -≥-对x ∀∈R 恒成立， 所以2sin sin 210x m x m +--≤对x ∀∈R 恒成立，即()()222sin 42sin 3sin 132sin 42sin 2sin 2sin x x x m x x x x---+-≥==-+----，令2sin t x =-， 因1sin 1x -≤≤， 则12sin 3x ≤-≤， 即13t ≤≤， 则332sin 442342sin x t x t-+-=+-≥-，当且仅当3t =时取等号，由双勾函数的单调性知：3t ⎡∈⎣，函数单调递减， 3,3t ⎤∈⎦，函数单调递增，当1t =时，340t t +-=，当3t =时，340t t+-=，所以32342sin 402sin x x≤-+-≤-，所以0m ≥，故实数m 的取值范围为[)0,∞+. 故答案为：[)0,∞+.【点睛】关键点睛：本题考查函数奇偶性的定义，以及利用奇偶性，单调性解不等式恒成立问题，利用奇偶性和单调性将不等式恒成立问题转化为分离参数问题是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为03(,)5y ，且3(,2)2παπ∈. （1）求sin α的值；（2）求9cos()cos(23sin()tan()2ππααπααπ-+++⋅-）的值.【答案】（1）45-（2）14【解析】【分析】（1）由三角函数的定义与三角函数的象限符号即可求解； （2）由同角三角函数的关系即可求解. 【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为M 03(,)5y ∴35=cos α ∵3(,2)2παπ∈ ∴sin 0α<∴24sin 1cos 5αα=--=-. 【小问2详解】原式cos sin cos sin 1tan cos tan sin tan ααααααααα--++===-⋅ 又∵sin tan s 43co ααα==- ∴原式4113443-==-18. 某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小5282m ． 【解析】【分析】设矩形停车场南北侧边长为m x ，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为1200(6)81200S x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，再由基本不等式可得答案.【详解】设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ， 人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得2720072008482848224048528m S x x x x=++≥⋅=⨯+=， 当且仅当72008x x=，即30m x =时，2min 528m S =，此时120040m x =． 所以，设计矩形停车场南北侧边长30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．19. 设函数()sin 2,R 4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（1）π，37,,Z 88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）最大值为1；最小值为22- 【解析】【分析】（1）代入正弦函数的周期公式与单调递减区间即可求解； （2）根据正弦函数单调区间与定义域即可求出最大值和最小值. 【小问1详解】由题知，()sin 2,R 4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==， 令3222,Z 242k x k k πππππ+≤-≤+∈，得37,Z 88k x k k ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为37,,Z 88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】 因为384x ππ≤≤， 所以50244x ππ≤-≤， 所以当242x ππ-=即38x π=时，()f x 有最大值，最大值为1； 当5244x ππ-=即34x π=时，()f x 有最小值，最小值为220. 中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，某种两岁燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度v （米/秒）之间满足关系：5102033vq v =⨯≤≤（），其中q 表示燕子耗氧量的单位数． （1）当该燕子的耗氧量为720个单位时，它的飞行速度大约是多少？（2）若某只两岁燕子飞行时的耗氧量变为原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：lg20.3≈，lg30.48≈）【答案】（1）31（米/秒） （2）8（米/秒） 【解析】【分析】（1）由耗氧量和飞行速度的关系可将5v表示为对数，然后求出v 即可． （2）记燕子原来的耗氧量为1q ，飞行速度为1v ，现在的耗氧量为2q ，飞行速度为2v ，则可得21523v v -=，然后化为对数运算即可． 【小问1详解】当720q =时，5720102v=⨯，即5272v=，所以22222lg 3log 72log 8log 932log 33 6.25lg 2v ==+=+=+≈， 所以31v ≈，即它的飞行速度大约是31（米/秒）． 【小问2详解】记燕子原来的耗氧量为1q ，飞行速度为1v ，现在的耗氧量为2q ，飞行速度为2v ， 则213q q =，即21551023102v v ⨯=⨯⨯， 所以21523v v -=，212log 35v v -=， 所以212lg35log 358lg2v v ⎛⎫-==⨯≈⎪⎝⎭， 所以它的飞行速度大约增加8（米/秒）． 21. 已知函数()()2f x x ax b a b R =+-∈，．(1)若1b =-，且函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围； (2)当1b a =-时，解关于x 的不等式()0f x ≤； (3)若正数a b ，满足43a b+≤，且对于任意的[)()10x f x ∈+∞≥，，恒成立，求实数a b ，的值． 【答案】(1) (,2][2,)-∞-+∞；(2) 2a <时[1,1]a --；2a =时{}1-；2a >时[1,1]a --； (3)1,2a b ==； 【解析】【分析】(1)由240a ∆=-≥可得结果；(2)1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)[)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b ≤-，则413b b-≤-，解不等式即可的结果．【详解】(1) 1b =-时，()21f x x ax =++，由函数()f x 有零点，可得240a ∆=-≥，即2a ≤-或2a ≥； (2) 1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，当11a -<-即2a <时，()0f x ≤的解集为[]11a --，， 当11a -=-即2a =时，()0f x ≤的解集为{}1-，当11a ->-即2a >时，()0f x ≤的解集为[]11a --，； (3)二次函数()f x 开口响上，对称轴2ax =-，由2a >可得()f x 在[)1+∞，单调递增， [)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b≤-， 则413b b-≤-，由0>可得2440b b -+≤，即()220b -≤，则2b =，此时11a ≤≤，则1a =．【点睛】本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中． 22. 设函数()212x x af x =+-(a 为实数). （1）当0a =时，求方程1|()|2f x =的实数解； （2）当1a =-时，（ⅰ）存在[1,2]t ∈使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，求k 的范围；（ⅱ）设函数()2,g x x b =+若对任意的1[0,1],x ∈总存在2[0,1],x ∈使12()()f x g x =，求实数b 的取值范围.【答案】（1）=1x -或23log 2x = （2）（ⅰ）(3,)+∞；（ⅱ）3[,1]2-- 【解析】【分析】（1）将0a =代入()f x 中，直接求方程1|()|2f x =的实数根即可； （2）将1a =-代入()f x 中，根据指数函数的性质判断()f x 的单调性. （ⅰ）根据条件，可得()2min2k t t>+，求出()2min2t t +，即可得到k 的取值范围；（ⅱ）求出()f x 和()g x 的值域，根据条件得到11,[,2]2b b ⎡⎤-⊆+⎢⎥⎣⎦，再求出实数b 的取值范围. 【小问1详解】当0a =时，()21x f x =-， 则1|()|2f x =⇔1212x -=-或1212x -=⇔=1x -或23log 2x =.【小问2详解】 当1a =-时，1()212x xf x =--. 因2x y =在(,)-∞+∞上单调递增，12x y =在(,)-∞+∞上单调递减， 所以1()212x xf x =--在R 上单调递增. （ⅰ）因为存在[1,2]t ∈，使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，所以22(2)(2)f t t f t k ->-，所以2222t t t k ->-，所以只需()2min2k t t>+，又当[1,2]t ∈时，()2min23t t+=，所以3k >，即k 的取值范围为(3,)+∞.（ⅱ）当[0,1]x ∈时，()2g x x b =+的值域为[,2]b b +； 当[0,1]x ∈时，1()212x x f x =--的值域为1[1,]2-. 因为对任意的1[0,1],x ∈总存在2[0,1],x ∈使12()()f x g x =，所以11,[,2]2b b ⎡⎤-⊆+⎢⎥⎣⎦，所以1122b b ≤-⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得312b -≤≤-，所以实数b 的取值范围为3[,1]2--. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．第19页/共19页。

湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年(武汉六校联考)高二上学期期末联考数学试题与答案

湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年(武汉六校联考)高二上学期期末联考数学试题与答案

武汉市部分重点中学2020—2021学年度上学期期末联考高二数学试卷命题学校：省实验中学 命题教师：谭德平 审题教师：郑艳霞李红英 考试时间：2021年1月27日下午14：00—16：00 试卷满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“0R x C Q ∃∈，3x Q ∈”的否定是 A ．0R x C Q ∃∉，3x Q ∈ B ．0R x C Q ∃∈，3x Q ∉ C ．R x C Q ∀∉，3x Q ∈D ．R x C Q ∀∈，3x Q ∉2．同时掷3枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面向上的概率是 A ．78B ．58C ．38D ．383．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是A ．B ．12πC ．8πD ．10π4．样本中有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m ，若该样本的均值为1，则其方差为A B CD ．25．已知方程222:14x y C m +=，则“2o m <<”是“方程C 表示焦点在工轴的椭圆”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．为了了解某县今年高考准备报考体育专业的学生的体重情况，将所得的学生体重数据分组整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3小组的频率a ，b ，c 恰成等差数列，若抽取的学生人数是48，则第2小组的频数为A ．6B ．12C ．18D ．247．如图，在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是A ．//BC 平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDE ⊥平面ABCD ．平面PDF ⊥平面P AE8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为1F ，若直线:l y kx =，k ∈⎣与双曲线C交于M 、N 两点，且11MF NF ⊥，则双曲线C 的离心率的取值范围是A ．()1,2B ．)2C ．1⎤⎦D ．(1⎤⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知命题p ：正四面体的任意一个面均为等边三角形，则下列结论正确的是 A ．命题p 的否定是假命题 B ．命题p 是特称命题C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题10．以下对概率的判断正确的是A ．在大量重复实验中，随机事件的概率是频率的稳定值B ．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为23C ．甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是1211．已知椭圆()2222C :10x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F 左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为椭圆C 上异于1A 、2A 的任一点，则下列结论正确的有A ．椭圆C 与椭圆2222:111x y C a b '+=++有相同的焦点B ．直线1PA ，2PA 的斜率之积为22b a-C ．存在点Р满足2122PF PF a ⋅=D ．若12PF F 为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为21 12．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为棱AD 、1CC 、11C D 的中点，则下列结论正确的是A ．直线FG 与1A D 所成的角为60︒B ．平面EFG 截正方体所得的截面为六边形C ．1BF B C ⊥D ．三棱锥1B EFG -的体积为76。

2022-2023学年湖北省武汉市新洲区高一年级上册学期期末数学试题

2022-2023学年湖北省武汉市新洲区高一年级上册学期期末数学试题

新洲一中2025届高一上学期阶段检测数学试卷考试时间：1月9日8：00-10：00命题人：卢有勇审题人：游敏一､单项选择题：每小题5分，共40分.在每小题给只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2,M yy x N y y x ====∣∣，则M N ⋂=（） A.B.C.D.[)0,∞+()(){}0,0,1,1{}0,1[]0,12.已知角α的终边经过点()12,5P -，则cos α=（） A.B.C.D.513513-12131213- 3.设,,a b c ∈R ，且a b <，则下列不等式一定成立的是（）A.B.ln ln a b <a b e e -->C.D.22ac bc <3355a b >4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A.3B.4C.6D.85.函数()22ln f x x x =-的零点所在的区间为（） A.B.C.D.()0,1()1,2()2,3()3,46.已知()2f x x a =-，若函数()f x 在区间(],2∞-上为减函数，则a 的取值范围是（）A.B.1a ≥1a >C.D.2a ≥2a >7.已知函数()212x f x -=，则下列说法正确的是（） A.()f x 的值域为(],2∞-B.()f x 在(],0∞-上为减函数C.()f x 的值域为(]0,2D.()f x 在[)0,∞+上为增函数8.已知函数()f x m =，若存在区间[],(1)a b b a >≥-，使得函数()f x 在[],a b 上的值域为[]2,2a b ，则实数m 的取值范围是（） A.B.178m >-102m <≤C.D.2m ≤-1728m -<≤- 二､多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知sin α=cos 0α>，则（） A.B.tan 0α<sin cos 0αα+<C.D.2tan 1α>α为第三象限角10.下列说法正确的是（）A.0,1x x >≠，则1lg lg y x x=+的最小值是2 B.0x ≥，则y =的最小值是52C.0x ≥，则1242x x y =+⋅的最小值是1 D.2214sin cos y x x=+的最小值为9 11.已知函数()()3log 1,11,13x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，下列结论正确的是（）A.若()1f a =，则4a =B.若()3f a ≥，则1a ≤-或28a ≥C.202120202020f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.若()()g x f x k =-有两个不同的零点，则13k ≥12.函数()()()cos 2,0sin ,0x a x f x x b x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩是奇函数，且()0,,0,2a b ππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，则下列正确的是（） A.B.322a b π+=22a b π+= C.2ab a b +的最大值为18π D.2ab a b +的最大值为6π 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()212log 231y x x =-+的递增区间为__________.14.若函数()()2122m f x m m x -=--是幂函数，且()y f x =在()0,∞+上单调递增，则f =__________. 15.函数()2sin cos f x x x =+的最小值为__________. 16.已知函数()2023202322023x x f x x -=-++，则不等式()()264046x f f x +-<的解集为__________. 四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）（1）已知2340,9a a >=，求值：log 8232log 3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）已知()tan 22πθ+=，求值：()()()sin cos cos sin 2ππθθπθπθ⎛⎫+⋅++-⋅--⎪⎝⎭. 18.（本小题满分12分） 设不等式724x x -≤-的解集为M ，记不等式()2log 3x a -≤的解集为N . （1）当0a =时，求集合M N ⋂；（2）若“x M ∈”是“x N ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 19.（本小题满分12分）已知函数()112x x e f x e =-+. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()y f x =在R 上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()2110f mt f mt ++->恒成立，求实数m 的取值范围. 20.（本小题满分12分）已知函数()()212log 23f x x ax =-+. （1）若函数()y f x =的定义域为R ，值域为(],1∞--，求实数a 的值；（2）若函数()y f x =在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名()*x ∈N ，调整后研发人员的年人均投入增加4%x ，技术人员的年人均投入调整为26025x m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x 最多为多少人？（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数m 的最大值.22.（本小题满分12分）定义函数()()412x xa f x a a =-+⋅+，其中x 为自变量，a 为常数. （1）若函数()a f x 在区间[]0,2上的最小值为1-，求实数a 的值；（2）集合()(){}()()(){}320,22a a a A xf x f B x f x f x f =≥=+-=∣∣，且()A B ⋂≠∅R ，求实数a 的取值范围. 新洲一中2025届高一上学期阶段检测数学参考答案1.A2.D3.B4.C5.B6.A7.C8.D9.ABC10.BD11.BCD12.BC1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭2–1.(),2∞- 17.（1）由332322334220,,log log 3933a a a a ⎛⎫⎛⎫>=⇒=∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 82232log 8log log 232222333a ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故原式325=+= （2）()tan 22tan 2πθθ+=⇒=，()()()sin cos cos sin 2ππθθπθπθ⎛⎫+⋅++-⋅-- ⎪⎝⎭()()()sin sin cos sin θθθθ=-⋅-+-⋅222222sin sin cos tan tan 2sin sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθ--=-===++ 18.解：（1）7112004444x x x x x x x ---≤⇒≤⇒≥⇒>---或1x ≤，{4M x x ∴=>∣或1}x ≤()(]2log 3,,8x a N a a -≤∴=+，当0a =时，(]0,8N =则集合(](]0,14,8M N ⋂=⋃（2）{4M xx =>∣或(]1},,8x N a a ≤=+， “x M ∈"是“x N ∈”的必要不充分条件，∴集合N 是集合M 的真子集， 则817a a +≤⇒≤-，或4a ≥7a ∴≤-或4a ≥19.（1）可知，()f x 的定义域为R ，由()112x x e f x e =-+，则()1111212x x x e f x e e ---=-=-++， 则()()1111111012121x x x x x e e f x f x e e e ++-=-+-=-=-=+++， ()()f x f x ∴-=-，故函数()y f x =的为奇函数.（2）结论：()f x 在R 上是增函数，下证明：()111111121221x x x x x e e f x e e e +-=-=-=-+++ 设12x x R ∈､且12x x <()()()()212121************x x x x x x e e f x f x e e e e -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 2112x x x x e e <>∴，()()2121011x x x x e e e e -∴>++，即()()21f x f x > ()f x ∴在R 上是增函数.（3）()f x 为奇函数且在R 上为增函数，不等式()()2110f mt f mt ++->化为()()211f mt f mt +>- 即220mt mt -+>对任意的t R ∈恒成立①0m =时，不等式化为20>恒成立，符合题意；①0m ≠时，有20Δ80m m m >⎧⎨=-<⎩即08m << 综上，m 的取值范围为08m ≤<20.记()22223()3g x x ax x a a =-+=-+-. （1）由函数12log y u =是减函数及函数()()212log 23f x x ax =-+的值域为(],1∞-- 可知2232x ax -+≥.由（1）知()g x 的值域为)23,a ∞⎡-+⎣， 2min ()3 2.1g x a a ∴=-=∴=±.（2）由题意得2112130a a ≥⎧⎨-⨯+≥⎩，解得12a ≤≤， ∴实数a 的取值范围是[]1,2.21.（1）依题意得()()1006014%10060x x -⋅⋅+≥⋅解得075x <≤，所以调整后的技术人员的人数最多75人（2）由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有： ()()21006014%6025x x x x m ⎛⎫-⋅⋅+≥⋅⋅- ⎪⎝⎭ 得10022112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭整理得100325x m x ≤++ 故有100325x m x ≤++10033725x x ++≥=当且仅当50x =时等号成立， 所以7m ≤，故正整数m 的最大值为722.解：（1）因为[]0,2x ∈，令[]21,4xt =∈， 则()()()21a g t f x t a t a ==-++.①若112a +≤，即1a ≤，则函数()y g t =在[]1,4上为增函数， ，矛盾；①若142a +≥，即7a ≥，则函数()y g t =在[]1,4上为减函数， ()min (4)1231g g t a ==-=-，解得133a =，矛盾 ①若1142a +<<，即17a <<，则函数()y g t =在11,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,42a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数， 2min11()122a a g t g +-⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =或1a =-（舍）；综上所述，3a =；（2）由已知()(){}{}()(){}304423021230x x x x a A x f x f x x =≥=-⋅+≥=--≥∣∣∣， 所以，()(){}{}()2212301230,log 3x x x U A x x =--<=<<=∣∣，由()()()222a a f x f x f +-=化简整理得()()224412226x x x x a a --+-+++=， 即()()()222221412220x x x x a a --+--+++=， 2(1,3x ∈，[)24)2224,52x x x x k -=+=+∈令， ()221412140(45)2k k k a k a a k k --∴-++-=⇒=≤<-， 令[)231222,3(23)k a λλλλλλ+-=-⇒∈⇒=≤<， 123,(23)a λλλ∴=-+≤<又()123h λλλ=-+在[)2,3递增，()[)1,2h λ∴∈-。

湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版无答案

湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版无答案

武汉市部分重点中学2014～2015学年度上学期高一期末测试数 学 试 卷武汉市第二十三中学 何红梅 何同海注意：（ 答题前先在答题卡写上学校，考号，班级，姓名）一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个正确的答案，请在答题卡上把相应地方用2B 铅笔涂黑)1．已知全集U R =，集合{}4|-=∈=x y Z x A ,{}6|>=x x B ,则)(B C A U ⋂=( ) A.]6,4[ B.)6,4[ C.{}6,5,4 D. {}5,42．sin( 660-)= ( )A ．21B ．23 C ．21- D ． 23-3．设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. π4．函数)32sin(π+=x y 的图象可由函数x y sin =的图象怎样变换而来？（ ） A ．先向左平移3π，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍 B ．先向左平移3π，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21 C ．先向右平移6π，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍 D ．先向左平移6π，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的215．函数|tan |x y =的最小正周期为（ ）A ．2π B ． π C ． π2 D ．无最小正周期6．函数xx x f 2)1ln()(-+=的一个零点所在的区间是 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)7．函数)220)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=，x x f 的部分图象如图所示，则ϕω，的值分别是（ ） A.32π-， B.62π-， C.321π， D.621π， 8. 若函数b a y x +=的图象如下图，则函数bx ab ax y +++=1的图象为（ ）9．函数4)1(log sin )(22++++=x x b x a x f (a 、b 为常数),若f(x)在(0,+∞)上有最小值－4,则f(x)在(－∞,0)上有( )A.最大值-2B ．最大值 4C ．最大值10D ．最大值1210.定义在)1,1(-的函数)1()()(xyy x f y f x f --=-，当)0,1(-∈x 时0)(<x f ，若)0(),21(),51()41(f R f Q f f P ==+=，则R Q P ,,的大小为（ ） A ．Q P R >> B ．P Q R >> C ．R Q P >> D ．R P Q >>二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把每题的答案填在答题卡上相应的地方）11. 已知51cos sin =+x x ，则=x 2sin 12．已知 α为锐角，且53)4co s (=+πα，则 sin α=13.若函数)6sin(2π-+=m x y 的图象关于y 轴对称，则实数)0(>m m 的最小值为14．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<≥-=时当时当10log 122)(21x x x x f x ，则满足)41()(f m f ≤的实数m 的取值范围为15．已知函数f (x )＝)62sin(2π+x +n 在区间[0，π2]上的最大值为3，则（Ⅰ）n ＝ ；（Ⅱ）对任意a ∈R ，函数y=f (x+a )在[0，10π]上的零点个数为 ．三、解答题（本大题有6个小题，共75分，解答题要写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题满分12分）已知{}2|+≤≤=a x a x A ，B {x |x 1=>或x 6}<-（1）若=AB φ，求实数a 的取值范围； （2）若=AB B ，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分12分）已知角α的终边过点)1,(-x P ，且x 105sin =α.)0(<x 其中 （1）求αtan 的值；（2）求34)2cos(2tan )cos(1-++--παααπ的值.18. （本小题满分12分）已知31sin ,21)sin(==+）（βαβα- (1)求证：βαβαsin cos 5cos sin ⋅=⋅（2）若已知2020πβαπβα<-<<+<，,求α2cos 的值19．（本小题满分12分）已知函数x x x x x x f cos sin )3sin(cos 2sin 3)(2+-⋅+=π.（1）求函数)(x f y =的增区间（2）若01)(2=+-m x f 在]127,6[ππ有两个相异的实根，求m 的取值范围. 20．（本小题满分13分）某地绿化治理沙漠需要大量用水，第1年的用水量约为100（百吨），第2年的用水量约为120（百吨）.该地政府综合各种因素预测：①每年的用水量会逐年增加；②每年的用水量都不能达到130（百吨）。

2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高一上学期期末联考数学试卷含详解

2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高一上学期期末联考数学试卷含详解

湖北省重点高中智学联盟2022年秋季高一年级期末联考高一数学试题一､单项选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．注意：答在试卷上无效）1.已知集合{12}A x x =-<∣，集合{}2log 2B x x =<∣，则A B ⋃=（）A.{13}xx -<<∣ B.{04}x x <<∣C.{14}x x -<<∣ D.{03}xx <<∣2.下列函数既是奇函数又在()1,3-上单调递增的是（）A.2y x x =- B.2xy =C.sinπy x = D.33y x x=+3.设0.99 1.010.991.01,0.99,log 1.01a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b>> D.c b a>>4.已知()7sin cos 0π13ααα+=<<，则tan α=（）A.125-B.512-C.512D.1255.若不等式20ax bx c ++≥的解集为[]1,3，则不等式0ax ccx b+≥+解集为（）A.(]4,3,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭B.(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭C .43,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.43,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭6.“ππ2A <<”是“tan 12A>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知正数,a b 满足23a b +=恒成立，则121a b++的最小值为（）A.32B.94C.2D.38.已知函数()()()22132a x a x f x --++=的值域为()()()20,,lg 105g x x x b ∞+=-+的值域为[)1,+∞，则a b +=（）A.7B.8C.9D.10二､多项选择题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．注意：答在试卷上无效）9.已知函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.()f x 在,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增B.()f x 图象的对称中心为()π5π,026k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C.直线π6x =是()f x 图象的一条对称轴D.()f x 的最小正周期为π10.已知()f x 是定义在R 的奇函数，且0x >时，()22f x x x =-，则下列结论正确的是（）A.0x <时，()22f x x x=-+B.()f x 有3个零点C.()f x 增区间为()(),11,-∞-⋃+∞D.()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃11.若关于x 的方程14290x x a +-⋅+=在区间[]0,4上有两个不等的实根，则a 的可能取值为（）A .3B.4C.5D.612.已知函数()2log ,04ππ4sin ,41466x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x m =有四个不等的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.02m <<B.121=x x C.3416x x += D.31x x 取值范围为()0,5三､填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．注意：答在试卷上无效）13.已知扇形的圆心角为4rad ，周长为12，则扇形的面积为__________．14.若tan 3α=，则2222cos sin 2sin cos 3cos ααααα+=+-__________．15.若()21,1,20x x ax a ∀∈--+<，则a 的取值范围为__________．16.已知()3ln 3,ln 233a a b b +=--=-，则3a b +=__________．四､解答题（本大题共有6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．注意：答在试卷上无效）17.计算：（1213327(0.25)8-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（2）52log 371lglg4lg49lg15562+-++．18.已知对数函数()()233log a f x a a x =-+，（1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）解不等式()121f f m m ⎛⎫>-⎪⎝⎭．19.已知函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．20.如图，某市计划在一块空地上划出一块矩形区域用于修建“双子星”地标建筑，其底面为两个相同的矩形，每个底面占地面积为2300m ，在底面外周及两底面之间修建宽为2m 的过道，设地标建筑的底面一边长为m x ，地标建筑及过道的总建筑面积为()2m f x ，由于地形限制，要求图中x 不少于25m．（1）求()f x 的解析式并指出x 的取值范围；（2）为了节约土地，地标建筑及其周围过道的总建筑面积应尽可能小，地标建筑的底面的尺寸怎样设计时，总建筑面积()f x 最小？最小总建筑面积是多少？21.已知关于x 的方程225120x ax -+=的两根为sin θ和cos θ，其中3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，（1）求a 的值；（2）求()()2sin cos sin cos 224cos 12ππθθθππθπθ⎛⎫⎛⎫+--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．22.已知()()2log 41xf x kx =+-为偶函数．（1）求k 的值；（2）解不等式()221log 51xf -<-；（3）若关于x 的方程()()2[]40f x mf x -+=有4个不相等的实根，求m 的取值范围．湖北省重点高中智学联盟2022年秋季高一年级期末联考高一数学试题一､单项选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．注意：答在试卷上无效）1.已知集合{12}A x x =-<∣，集合{}2log 2B x x =<∣，则A B ⋃=（）A.{13}xx -<<∣ B.{04}x x <<∣C.{14}x x -<<∣ D.{03}xx <<∣【答案】C【分析】分别解出集合A 与B ，取并集即可得到答案.【详解】解不等式12x -<得13x -<<，故集合{13}A xx =-<<∣，解不等式2log 2x <得04x <<，故集合{04}B x x =<<∣，从而{14}A B xx ⋃=-<<∣，故选：C ．2.下列函数既是奇函数又在()1,3-上单调递增的是（）A.2y x x =- B.2x y =C.sinπy x = D.33y x x=+【答案】D【分析】根据奇函数的定义判断各选项是否为奇函数，再判断各函数的单调性即可.【详解】对于A 选项，因为1x =时，0y =，=1x -时，2y =，所以函数2y x x =-不是奇函数，A 错误；对于B 选项，因为1x =时，2y =，=1x -时，12y =，所以函数2x y =不是奇函数，B 错误；对于C 选项，记()sinπf x x =，则()()sin πsin πf x x x -=-=-，所以函数sinπy x =为奇函数，但0x =时，0y =，1x =时，0y =，所以函数sinπy x =在()1,3-上不单调递增，C 错误；对于D 选项，设()33g x x x =+，则()()33g x x g x -=--=-，所以函数33y x x =+为奇函数，又函数3,3y x y x ==在()1,3-上都为增函数，所以函数33y x x =+在()1,3-上为增函数，D 正确；故选：D ．3.设0.991.010.991.01,0.99,log 1.01a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.c b a>>【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，找中间值即可得到答案.【详解】由指数函数与对数函数的单调性易知0.990 1.0100.990.991.01 1.011,0.990.991,log 1.01log 10a b c =>==<==<=，由指数函数的值域知 1.010.990b =>，从而10a b c >>>>，故选：A ．4.已知()7sin cos 0π13ααα+=<<，则tan α=（）A.125-B.512-C.512D.125【答案】A【分析】根据已知结合22sin cos 1αα+=求得125sin ,cos 1313αα==-即可求出.【详解】因为()7sin cos 0π13ααα+=<<，22sin cos 1αα+=，则可解得125sin ,cos 1313αα==-，所以sin 12tan cos 5ααα==-.故选：A.5.若不等式20ax bx c ++≥的解集为[]1,3，则不等式0ax ccx b+≥+解集为（）A.(]4,3,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭B.(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭C.43,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.43,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】利用二次不等式解集的性质，结合韦达定理将不等式0ax c cx b +≥+化简为3034x x +≥-，从而得解.【详解】因为由不等式20ax bx c ++≥的解集为[]1,3，所以a<0，方程20ax bx c ++=的两根为1和3，由根与系数的关系得134,133b c a a-=+==⨯=，则4,3b ca a =-=，所以不等式0ax c cx b +≥+可化为0cx a c b x a a+≥+，即3034x x +≥-，所以()()3340x x +-≥且340x -≠，解得3x ≤-或43x >，所以0ax c cx b +≥+解集为(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.故选：B ．6.“ππ2A <<”是“tan 12A>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式tan12A>，可得出角A 的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当tan 12A >时，()ππππ422A k k k +<<+∈Z ，可得()π2π2ππ2k A k k +<<+∈Z ，因为ππ2AA ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭π2π2ππ,2A k A k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，因此，“ππ2A <<”是“tan 12A>”的充分不必要条件.故选：A.7.已知正数,a b 满足23a b +=恒成立，则121a b++的最小值为（）A.32B.94C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得，()124a b ++=，根据“1”的代换代入，然后根据基本不等式即可求得结果.【详解】由23a b +=得()124a b ++=，于是()121212114a b a b a b ++⎛⎫+=+⋅ ⎪++⎝⎭()21121441a b b a ⎡⎤+=+++⎢⎥+⎣⎦191444⎡⎢≥++=⎢⎣，当且仅当()2121a bb a +=+，且0a >，0b >，即13a =，43b =等号成立.所以121a b++的最小值为94.故选：B ．8.已知函数()()()22132a x a x f x --++=的值域为()()()20,,lg 105g x x x b ∞+=-+的值域为[)1,+∞，则a b +=（）A.7B.8C.9D.10【答案】C【分析】分别利用()f x 和()g x 的取值范围求出参数a 和b ，即可求出a b +的值【详解】在函数()()()22132a x a x f x --++=中，值域为()0,∞+∴函数()()2213y a x a x =--++的值域为R ，∴20a -=，解得：2a =在()()2lg 105g x x x b =-+中，值域为[)1,+∞∴在2105y x x b =-+中，值域为[)10,+∞，∵22105(5)525y x x b x b =-+=-+-，∴52510b -=，解得：7b =∴9a b +=，故选：C．二､多项选择题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．注意：答在试卷上无效）9.已知函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.()f x 在,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增B.()f x 图象的对称中心为()π5π,026k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C.直线π6x =是()f x 图象的一条对称轴D.()f x 的最小正周期为π【答案】AD【分析】根据三角函数的图象性质一一判断求解即可.【详解】ππ,1212x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，πππ2,326x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，由3sin y t =在ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，及π23t x =-在ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上递增，知()f x 在ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；令()π2π3x k k -=ÎZ ，得(),ππ26k x k =+∈Z B 错误；令()ππ2π32x k k -=+∈Z ，得()π5π,212k x k =+∈Z C 错误；()f x 的最小正周期2ππ2T ==,D 正确．故选:AD ．10.已知()f x 是定义在R 的奇函数，且0x >时，()22f x x x =-，则下列结论正确的是（）A.0x <时，()22f x x x=-+B.()f x 有3个零点C.()f x 增区间为()(),11,-∞-⋃+∞D.()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃【答案】BD【分析】根据函数的奇偶性结合条件可得函数的解析式判断A ，解方程可判断B ，根据二次函数的性质可判断C ，解不等式可判断D.【详解】由()f x 是定义在R 的奇函数知()00f =，当0x <时，0x ->，所以()()()22()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，A 错误；由上可知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，由()0f x =可得0x =或2x =或2x =-，故B 正确；由()f x 的解析式知()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上均单调递增，但在()(),11,-∞-⋃+∞上不具有单调性，如22-<，但()()22f f -=，故C 错误；由()0xf x <，可得()2020x f x x x <⎧⎨=-->⎩或()220x f x x x >⎧⎨=-<⎩，解得20x -<<或02x <<，故D 正确．故选：BD ．11.若关于x 的方程14290x x a +-⋅+=在区间[]0,4上有两个不等的实根，则a 的可能取值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】BC【分析】解法一：换元转化为一元二次方程，分参采用数形结合即可得到答案.解法二：换元转化为一元二次方程，找到对应的二次函数，再利用()()1,10,160,Δ0,a f f >⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪>⎩，即可得到答案.【详解】解法1：令2x t =，则方程14290x x a +-⋅+=变为2290t at -+=，于是92a t t=+，由[]0,4x ∈得[]21,16x t =∈，由关于x 的方程14290x x a +-⋅+=在区间[]0,4上有两个不等的实根知关于t 的方程92a t t=+在区间[]1,16上有两个不等的实根，即直线2y a =与函数[]()91,16y t t t=+∈的图象有两个不同的交点，[]()91,16y t t t=+∈，当且仅当93t t t =⇒=，y 取得最小值为6结合图象知(](]26,10,3,5a a ∈∈，故选：BC ．解法2：令2x t =，则方程14290x x a +-⋅+=变为2290t at -+=，由[]0,4x ∈得[]21,16xt =∈，由关于x 的方程14290x x a +-⋅+=在区间[]0,4上有两个不等的实根知关于t 的方程2290t at -+=在区间[]1,16上有两个不等的实根，记()229f t t at =-+，则()()1,10,160,Δ0,a f f >⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪>⎩解得35a <≤，故选：BC ．12.已知函数()2log ,04ππ4sin ,41466x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x m =有四个不等的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.02m <<B.121=x x C.3416x x += D.31x x 取值范围为()0,5【答案】ABC【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出()f x 的图像，结合图像对选项逐一分析即可得解.【详解】对于A ，当01x <<时，2log 0x <，则()212log log f x x x =-=，易得()f x 在()0,1上单调递减，且()()10f x f >=，当14x ≤<时，2log 0x >，则()2log f x x =，易得()f x 在[)1,4上单调递增，且()()()14f f x f ≤<，即()02f x ≤<，当414x ≤≤时，()ππ4sin 66f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则由正弦函数的性质可得()f x 在[)4,8上单调递减，在[]8,14上单调递增，且()2ππ44sin 236f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()5ππ54sin 066f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()4ππ84sin 436f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()7ππ144sin 436f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()11ππ114sin 066f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出()f x的图象，如图所示，因为方程()f x m =有四个不等的实根，所以()f x 与y m =的图像有四个交点，所以02m <<，故A 正确；对于B ，结合选项A 中分析可得2122log log x x -=，所以212log 0x x =，则121=x x ，故B 正确；对于C ，由正弦函数的性质结合图像可知()3,x m 与()4,x m 关于8x =对称，所以3416x x +=，故C 正确；对于D ，当01x <<时，()12log f x x =，令()2f x =，得14x =，所以1311,454x x <<<<，又由图像可知13,x x 同增同减，所以13(1,5)x x ∈，故D 错误.故选：ABC ．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断有以下方法，（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三､填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．注意：答在试卷上无效）13.已知扇形的圆心角为4rad ，周长为12，则扇形的面积为__________．【答案】8【分析】利用扇形的圆心角与周长求出扇形的半径，然后利用扇形面积公式计算即可.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为4α=，由扇形的周长为：2r l +，又4l r r α==，所以22412r l r r +=+=，扇形半径2r =，所以扇形面积221142822S r α==⨯⨯=，故答案为：8.14.若tan 3α=，则2222cos sin 2sin cos 3cos ααααα+=+-__________．【答案】74##1.75【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】()22222222222sin cos cos 2cos 2tan 37sin 2sin cos 3cos sin 2sin cos 3cos tan 2tan 34ααααααααααααααα++++===+-+-+-．故答案为：74.15.若()21,1,20x x ax a ∀∈--+<，则a 的取值范围为__________．【答案】(],1-∞-【分析】解法1：利用参变分离结合对勾函数()4f t t t=+的单调性分析运算；解法2：根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【详解】解法1：()1,1x ∈-时，()21,3x -∈，则220x ax a -+<，即()22a x x -<-，故22x a x<--在()1,1x ∈-上恒成立，令2(1,3)x t -=∈，则2x t =-，故22(2)442x t t x t t -⎛⎫-=-=-++ ⎪-⎝⎭，∵()4f t t t=+在(]1,2上单调递减，在()2,3上单调递增，且()()()1315,3,243f f f ===，∴当13t <<时，[)44,5t t +∈，则(]441,0t t ⎛⎫-++∈- ⎪⎝⎭，故1a ≤-，即a 的取值范围为(],1-∞-．解法2：令()22f x x ax a =-+开口向上，若()21,1,20x x ax a ∀∈--+<，则()()1310110f a f a ⎧-=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，解得1a ≤-，故a 的取值范围为(,1]-∞-．故答案为：(,1]-∞-.16.已知()3ln 3,ln 233a a b b +=--=-，则3a b +=__________．【答案】4【分析】设函数()3ln f x x x =+，在由函数()f x 在()0,∞+上单调递增，化简题干的式子得1a =与1b =，即可得到答案.【详解】记()3ln f x x x =+，则()f x 在()0,∞+上单调递增，观察知()13f =，故1a =，由()ln 233b b --=-得()ln 2633b b -+-=，即()23f b -=，故21,1b b -==，所以34a b +=．故答案为：4.四､解答题（本大题共有6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．注意：答在试卷上无效）17.计算：（1213327(0.25)8-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（2）52log 371lg lg4lg49lg15562+-++．【答案】（1）9；（2）10【分析】（1）根式化为分数指数幂，由幂的运算法则计算；（2）由对数的运算法则计算．【小问1详解】2152133632279(0.25)222984-⎛⎫÷⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；【小问2详解】552log 3log 9717lg lg4lg49lg155lg lg4lg7lg155626+-++=+-++7lg 47159lg109106⎛⎫=⨯÷⨯+=+= ⎪⎝⎭．18.已知对数函数()()233log a f x a a x =-+，（1）求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）解不等式()121f f m m ⎛⎫>-⎪⎝⎭．【答案】（1）112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用对数函数的定义可求出2a =，代入函数即可求解；（2）利用对数函数的单调性即可求解【小问1详解】函数()()233log a f x a a x =-+是对数函数，233101a a a a ⎧-+=⎪∴>⎨⎪≠⎩，解得2a =，()2log f x x ∴=，211log 122f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭【小问2详解】()2log f x x = 在定义域()0,∞+上单调递增，()121f f m m ⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭可得到21010121m mm m⎧⎪->⎪⎪>⎨⎪⎪>-⎪⎩，解得112m <<，∴不等式()121f f m m ⎛⎫>- ⎪⎝⎭的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．19.已知函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）()5πππ,π+1212k k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ；（2）3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)用诱导公式将()f x 化简，再用整体代入法求单调区间；(2)先判断()f x 在定区间内的单调性，根据单调性求值域.【小问1详解】()2π2ππsin 2sin π2sin 2333f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()πππ2π22π+232k x k k -<+<∈Z ，得()5ππππ1212k x k k -<<+∈Z ，()f x \的单调递增区间为()5πππ,π1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ．【小问2详解】ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,336x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，∴π3sin 2,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x \在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．20.如图，某市计划在一块空地上划出一块矩形区域用于修建“双子星”地标建筑，其底面为两个相同的矩形，每个底面占地面积为2300m ，在底面外周及两底面之间修建宽为2m 的过道，设地标建筑的底面一边长为m x ，地标建筑及过道的总建筑面积为()2m f x ，由于地形限制，要求图中x 不少于25m．（1）求()f x 的解析式并指出x 的取值范围；（2）为了节约土地，地标建筑及其周围过道的总建筑面积应尽可能小，地标建筑的底面的尺寸怎样设计时，总建筑面积()f x 最小？最小总建筑面积是多少？【答案】（1）()()2400662425f x x x x=++≥；（2）当地标建筑的底面长为25m ，宽为12m 时，总建筑面积最小，最小总建筑面积为2870m 【分析】（1）长乘宽得面积，即可得到答案.（2）由函数单调性即可得到答案.【小问1详解】依题意，()()()3002400426662425f x x x x x x ⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪⎝⎭【小问2详解】25x ≥ 时，()24006624f x x x=++12,x x ∀∈[)25,+∞，12x x <，()21121212121224002400()()6624662462400x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫--=++-++=-+⨯ ⎪⎝⎭()()12121212126240024006x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭120x x -< ，1212624000x x x x ->，则12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，则()f x 单调递增，()min ()25870f x f ∴==，当地标建筑的底面长为25m ，宽为12m 时，总建筑面积最小，最小总建筑面积为2870m ．21.已知关于x 的方程225120x ax -+=的两根为sin θ和cos θ，其中3,44θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，（1）求a 的值；（2）求()()2sin cos sin cos 224cos 12ππθθθππθπθ⎛⎫⎛⎫+--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）35a =；（2）22105-．【分析】（1）根据韦达定理得12sin cos ,sin cos 02525a θθθθ+==>，再利用22sin cos 1θθ+=，即可求出a 的值；（2）先根据题意求出34cos ,sin 55θθ==，再利用诱导公式化简式子，即可得到答案.【小问1详解】由3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得sin 0θ>， 方程225120x ax -+=的两根为sin θ和cos θ，12sin cos ,sin cos 02525a θθθθ∴+==>，于是cos 0θ>，进而025a >，即0a >，由22sin cos 1θθ+=，对sin cos 25a θθ+=左右两边同时平方，得22412525a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得35a =．【小问2详解】原方程即22535120x x -+=，两根为1134,55x x ==，由3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得sin cos θθ>，于是34cos ,sin 55θθ==，()()2sin cos sin cos 224cos 12ππθθθππθπθ⎛⎫⎛⎫+--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()64122cos sin sin cos 5525164sin 115θθθθθ-+-+-⋅-===----22105-22.已知()()2log 41x f x kx =+-为偶函数．（1）求k 的值；（2）解不等式()221log 51x f -<-；（3）若关于x 的方程()()2[]40f x mf x -+=有4个不相等的实根，求m 的取值范围．【答案】（1）1k =；（2）(),1-∞；（3）()4,5．【分析】（1）由函数的奇偶性求解即可；（2）利用函数的单调性以及奇偶性解不等式；（3）利用换元法将方程转化为二次函数的问题，再利用根的情况列出满足条件的不等式组，求解即可.【小问1详解】函数()()2log 41x f x kx =+-的定义域为R ，()()2log 41x f x kx =+- 为偶函数，()()f x f x ∴-=恒成立，即()()22log 41log 41x x kx kx -++=+-恒成立，而()()2222141log 41log 1log log 41244x x x x x kx kx kx x kx -+⎛⎫++=++=+=+-+ ⎪⎝⎭，()()22log 412log 41x x x kx kx ∴+-+=+-，即22kx x =恒成立，所以221k k =⇒=．【小问2详解】()()()22222411log 41log 41log 2log log 222x x x xx x x f x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭当[)0,x ∈+∞时，函数2x t =单调递增且[)1,t ∈+∞，当[)1,t ∈+∞时，函数1u t t=+单调递增且[)2,u ∞∈+，[)2,u ∞∈+时，函数2log y u =单调递增且[)1,y ∈+∞，[)0,x ∞∴∈+时，()f x 单调递增，值域为[)1,+∞，()f x 为偶函数，()f x \在(],0-∞单调递减，()f x 的值域为[)1,+∞．()()()221log 5121112110221x x x x f f f x ∴-<-⇔-<⇔-<-<⇔<<⇔<，∴不等式()221log 51x f -<-的解集为(),1-∞．【小问3详解】令()t f x =，则原方程可化为240t mt -+=，由（2）知()1t f x =≥且方程()1f x =仅有一根，当1t >时，方程()t f x =有两个不相等的实根，∴关于x 的方程()()2[]40f x mf x -+=有4个不相等的实根，⇔关于t 的方程240t mt -+=在()1,+∞上有2个不相等的实根，记()24g t t mt =-+，则()10,1,2Δ0,g m ⎧>⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩即250,2,160,m m m ->⎧⎪>⎨⎪->⎩解得45m <<．。

2021-2022学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一上学期期末考试数学试卷含详解

2021-2022学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一上学期期末考试数学试卷含详解
C. D.
7.“函数 在 上是增函数”是：“实数 ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知实数 满足 ，函数 有两个零点 ，则关于函数 的零点 的下列关系式一定正确的是（）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
19.如图， 是半圆的直径， 是半圆上的两点， ，设 ，四边形 的周长为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
20.函数 .
（1）若 ，求 ；
（2）若函数 的图象在区间 有且仅有一条经过最高点的对称轴，求 的取值范围（不需要证明唯一性）.
9.下列计算结果为有理数的有（）
A. B.
C. D.
ACD
【分析】由对数的运算法则和性质可判断A,C选项；选项B.求出 的值可判断；选项D. ，由正弦的二倍角公式可判断.
【详解】选项A. ,是有理数.
选项B. ,不是有理数.
选项C. ，是有理数.
选项D. 是有理数.
故选：ACD
10.已知角 是锐角，若 是关于 的方程 的两个实数根，则下列关于实数 的判断正确的是（）
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
18.已知函数 图象过点 ，且图象上与 点最近的一个最低点坐标为 .
（1）求函数 的解析式；（2）若将函数 的图象向左平移 个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到 的图象，写出函数 在区间 上的单调递增区间（不需要写过程）；并求出函数 在区间 上的值域.

湖北省武汉市重点中学4G联合体2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题

湖北省武汉市重点中学4G联合体2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题

湖北省武汉市重点中学4G 联合体2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}ln 2A x y x ==-，集合{}220B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}0x x <B ．{}2x x <C ．{}02x x <<D ．∅2．命题p ：x ∃∈R ，210x x ++>，则命题p 的否定是（ ） A ．x ∃∈R ，210x x ++≤ B ．x ∃∉R ，210x x ++≤ C ．x ∀∈R ，210x x ++≤D ．x ∀∉R ，210x x ++>3．已知函数()2f x +的定义域为()1,1-，则函数()21y f x =-的定义域为（ ） A ．()1,1-B ．()3,1-C ．()0,1D ．()1,24．设函数()()22211x f x x -=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．0B ．1C ．2D ．45．已知函数(),0(2)3,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1a ∈B ．()2,a ∈+∞C ．10,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭6．已知1ln 2a =，sin 6b π=，122c - =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b<c<a7．已知0x >，0y >，且211x y +=，则22yx y x++的最小值为（ ）A ．5+B ．3+C ．9D ．78．已知满足()()e ln 4e 3xf f x x --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ）A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,e二、多选题9．设, , a b c R ∈，a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a c b c +<+B ．a b e e -->C ．22ac bc <D ．11a b> 10．下列说法正确的是（ ） A ．7π6是第三象限角 B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2C ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则2α为钝角．11．已知函数()()2ln 1f x x bx b =--+，下列说法正确的有（ ）A ．当0b =时，函数()f x 的定义域为RB ．当0b =时，函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 有最小值的充要条件为：2440b b +-<D ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数b 的取值范围是5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12．若函数()f x 在其定义域内是奇函数或偶函数，则称()f x 具有奇偶性.以下函数中，具有奇偶性的函数是（ ） A ．()(11f x x =-B ．()2f x =C ．()311212x f x =+- D ．411()0,111,1x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩，三、填空题13．已知函数31log ,0()23,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则1()9f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________． 14．已知cos sin 2cos sin αααα+=-，则2sin 2sin cos ααα-=______．15．已知函数23y x x a =-+-与1y x =+的图像上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是______．16．已知函数()2211212x x f x x =-++，若[]1,4m ∃∈，使得不等式()()2432f ma f m m -++≤成立，则实数a 的最大值是______．四、解答题 17．（1）已知sin α=，且α为第二象限角，求cos α，tan α的值； （2）化简求值：()()13483964log 3log 3log 2log 227-⎛⎫+⋅++ ⎪⎝⎭ 18．已知2:560p x x --<，:13q m x m -≤≤+． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围； (2)若p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．19．2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产x 千件该产品，需另投入成本()F x 万元，且()210100,060810090121980,60x x x F x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完． (1)求出全年的利润()G x 万元关于年产量x 千件的函数关系式；(2)试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润． 20．已知函数()xf x ax b=+（a ，b 为常数，且220a b +≠），满足()21f =，方程()f x x =有唯一解．(1)求函数()y f x =的解析式(2)如果()f x 不是奇偶函数，证明：函数()f x 在区间()2,-+∞上是增函数． 21．我们知道，函数()y f x =的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图像关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，(1)求函数()1xf x x =-的对称中心； (2)已知()1xf x x =-，()12g x mx m =+-，若对任意的[]12,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．22．已知1x =是函数()232g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=． (1)求实数a 的值；(2)若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．参考答案：1．C【分析】先化简集合A 、B ，进而利用交集定义求得A B ⋂.【详解】(){}{}ln 22A x y x x x ==-=<，{}{}22002B x x x x x =-<=<<，则{}{}{}20202A B x x x x x x ⋂=<⋂<<=<<. 故选：C 2．C【分析】根据特称命题的否定可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：命题p 的否定为x ∀∈R ，210x x ++≤. 故选：C. 3．D【分析】求抽象函数的定义域，只需要牢记对应法则括号中的式子取值范围相同即可. 【详解】设2x t +=，则()()2f x f t +=，因为函数()2f x +的定义域为()1,1-，所以当11x -<<时，()2f x +有意义， 所以123x <+<，故当且仅当13t <<时，函数()f t 有意义， 所以函数()f t 的定义域为()1,3，由函数()21f x -有意义可得1213x <-<，所以12x <<， 所以函数()21f x -的定义域为(1,2)， 故选：D. 4．D【分析】将()f x 整理为()2421xf x x =-+，令()()2g x f x =-，由奇偶性定义可证得()g x 为奇函数，则()()max min 0g x g x +=，由此可求得M m +的值. 【详解】()()()222222142142111x x x x f x x x x +--===-+++，∴可令()()2421x g x f x x =-=-+，则()()224411x xg x g x x x --=-==-++， ()g x ∴为定义在R 上的奇函数，()()max min 0g x g x ∴+=，则220M m -+-=，4M m ∴+=. 故选：D. 5．B【分析】根据不等式可以确定函数的单调性，根据分段函数的单调性的性质进行求解即可. 【详解】不妨设12x x >，由()()()()()()1212121200f x f x f x f x f x f x x x ->⇒->⇒>-，因此该函数是实数集上的增函数， 于是有01202(2)03a a a a a a >⎧⎪->⇒>⎨⎪≤-⋅+⎩， 故选：B 6．A【解析】分别将,,a b c 与0,1进行比较，然后可判断.【详解】1ln ln102a =<=，1sin 62b π==，122- ==c a b c <<.故选：A. 7．A【分析】根据()222221y yx y x y x xx y ⎛++=+⎫+⎝+ ⎪⎭，化简后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为0x >，0y >，且211x y+=，所以()222221y y x y x y x xx y ⎛++=+⎫+⎝+ ⎪⎭45525x y x y =++≥+=+当2x =1y = 所以22yx y x++的最小值为5+ 故选：A. 8．D【分析】先利用题给条件求得函数()f x 的解析式，再利用零点存在定理即可求得函数()f x的零点所在区间.【详解】设()e ln 4x f x x t --+=，则()e ln 4xf x t x =++-，()e 3f t =-则()11e ln14e 4f t t =++-=+-，()1e 3f =-又()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，则e 4e 3t +-=-，解之得1t =，则()e ln 3xf x x =+-则()1e 30f =-<，()e ee e lne 3e 2e 20f =+-=->->()222e 2e e e ln e 3e 5e 50f ----=+-=-<-<()111e 1e e e ln e 3e 4e 40f ----=+-=-<-<则函数()f x 的零点所在区间为()1,e . 故选：D 9．AB【解析】由不等式的性质，x y e =的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误.【详解】A ：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即a c b c +<+，正确；B ：因为x y e =在定义域内为增函数，由题意知a b ->-，故有a b e e -->，正确；C ：当0c 时，22ac bc =，故错误；D ：当0a b <<时，11a b <，故错误；故选：AB. 10．ABC【分析】根据象限角定义、扇形弧长和面积公式、任意角三角函数的定义和锐角、钝角的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，7π6终边位于第三象限，7π6∴为第三象限角，A 正确； 对于B ，设扇形的半径为r ，则ππ3r =，解得：3r =，∴扇形面积21π3π232S r =⨯=，B 正确；对于C ，α终边过点()3,4P -，3cos 5α∴==-，C 正确；对于D ，当π04α<<时，π022α<<，此时2α是锐角，D 错误. 故选：ABC. 11．ACD【分析】求得当0b =时函数()f x 的定义域判断选项A ；求得当0b =时函数()f x 的值域判断选项B ；求得函数()f x 有最小值的充要条件判断选项C ；求得实数b 的取值范围判断选项D.【详解】选项A ：当0b =时，函数()()2ln 1f x x =+，()f x 的定义域为R.判断正确； 选项B ：当0b =时，函数()()2ln 1f x x =+，211x +≥,故函数()f x 的值域为[)0,∞+.判断错误；选项C ：若函数()()2ln 1f x x bx b =--+有最小值，则21u x bx b =--+有最小正值，则()()2410b b ---+<，即2440b b +-<. 又当2440b b +-<时，21u x bx b =--+有最小正值，则函数()()2ln 1f x x bx b =--+有最小值.则函数()f x 有最小值的充要条件为：2440b b +-<.判断正确；选项D ：若()()2ln 1f x x bx b =--+在区间[)2,+∞上单调递增，则2222210bb b ⎧≤⎪⎨⎪--+>⎩，解之得53b <.则实数b 的取值范围是5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.判断正确.故选：ACD 12．BCD【分析】选项A ，因为定义域不关于原点对称，所以很容易识别；选项B 、C ，先看看函数定义域是否关于原点对称，然后再求解()f x -与()f x 的关系，选项D ，可以根据图像来识别.【详解】选项A ，令101xx +≥-，则(1)(1)010x x x +-≥⎧⎨-≠⎩，解得1<1x -≤. 所以函数()1f x 的定义域是[)1,1-，定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性； 选项B ，为使函数()2f x的分子有意义，x ⎡∈⎣，于是30x -<恒成立， 故())(2f x x ⎡==∈⋃⎣， 因为()()22f x f x -==-， 故()2f x 是奇函数；选项C ，函数()3f x 的定义域是{}0x x ≠∣，()()311221121212221221x x x x x f x +-+=+==⋅---，()()33121112221212x xx xf x f x --++-=⋅=⋅=---，故()3f x 为奇函数；选项D ，画出411()0,111,1x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩，的图象，如图，图象关于y 轴对称，故()4f x 为偶函数. 故选：BCD ． 13．11【解析】根据分段函数的解析式，先计算1()9f ，然后计算1()9f f ⎛⎫⎪⎝⎭即可. 【详解】由题可知：31log ,0()23,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩ 所以23311()log log 3299f -===-，则()()121()223119f f f --⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭故答案为：11 14．12-##0.5-.【分析】由题意求出1tan 3α=，将要求的式子化简为22tan 2tan tan 1ααα-+，求解即可.【详解】cos sin 2cos sin αααα+=-分子分母同除cos α得，1tan 21tan αα+=-， 解得：1tan 3α=，所以22222212sin 2sin cos tan 2tan 193sin 2sin cos 1sin cos tan 1219ααααααααααα----====-+++. 故答案为：12-15．5a ≤【分析】根据题意，点(),m n 关于x 轴对称点为(),m n -，即对于任意的点(),m n 在23y x x a =-+-上，则点(),m n -在1y x =+上，列出方程即可得到结果.【详解】设点(),m n 在函数23y x x a =-+-上，则23n m m a =-+- 则点(),m n -在函数1y x =+上，即1n m -=+所以()213m m m a -+=-+-，化简可得2410m m a -+-=即()()24410a ∆=--⨯-≥，解得5a ≤ 故答案为: 5a ≤ 16．8【分析】根据不等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性、奇偶性，结合对钩函数的单调性、存在性的性质进行求解即可.【详解】构造函数()()222111111()212212xx x g x f x x x =-=-+-=-++， 因为()()222111112()()102122122121x xx x x g x g x x x x -⎛⎫+-=-+-=+-= ⎪++++⎝⎭， 所以函数()g x 是奇函数，当210x x >>时，21212121111111112212121200212122212212x x x x x x x x >>⇒+>+>⇒<<<⇒-<-<-<++++ 2111110212212x x ⎛⎫⎛⎫-->--> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为210x x >>，所以22210x x >>， 因此有21222111110212212x x x x ⎛⎫⎛⎫-->--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以有()()()210,g x g x g x <<，因此此时函数()g x 单调递减，而()00g =，函数()g x 是奇函数，所以函数()g x 是实数集上的减函数，()()()()2243241[31]f ma f m m f ma f m m -++≤⇒--≤-+-()()()22243343g ma g m m g m m ma m m ⇒-≤-+=--⇒-≥--，因为[]1,4m ∈，所以由224334m m a m m m a m -≥--⇒++≥，43a m m ≤++， 令[]4()3,1,4,g m m m m=++∈ 当12m ≤<时， ()g m 单调递减，当24m <≤时，()g m 单调递增，因为(2)7g =，()(1)48g g ==∴()g m 在[2,4]上的最大值为8，要想[]1,4m ∃∈，使得不等式()()2432f ma f m m -++≤成立，只需 8a ≤，则实数a 的最大值是8故答案为：8【点睛】关键点睛：构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性，结合对钩函数的单调性是解题的关键.17．（1）1cos 2α=-，tan α=（2）2． 【分析】（1）利用同角三角函数的关系即可求得cos α，tan α的值；（2）利用指对数运算规则即可求得该代数式的值.【详解】（1）由sin α，且α为第二象限角，可得1cos 2α=-，sin 2tan 1cos 2ααα===-； （2）()()13483964log 3log 3log 2log 227-⎛⎫+⋅++ ⎪⎝⎭ 133********log 3log 3log 2log 22323-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12353453log 3log 2262344-⎛⎫=⨯+=+= ⎪⎝⎭ 18．(1)[)3,+∞；(2)(),2-∞【分析】（1）先化简条件p ，再利用p 是q 的充分条件列出关于实数m 的不等式，解之即可求得实数m 的取值范围；（2）按实数m 分类讨论，利用p 是q 的必要条件列出关于实数m 的不等式，解之即可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）由2560x x --<，可得16x -<<，则:16p x -<<又:13q m x m -≤≤+，且p 是q 的充分条件，可得1163m m -≤-⎧⎨≤+⎩，解之得3m ≥，则实数m 的取值范围为[)3,+∞； （2）由（1）得:16p x -<<，:13q m x m -≤≤+当1m <-时，13m m ->+ ，:q x ∈∅，此时，p 是q 的必要条件，符合要求； 当1m ≥-时，由p 是q 的必要条件，可得11631m m m ->-⎧⎪>+⎨⎪≥-⎩，解之得12m -≤<，综上，实数m 的取值范围为(),2-∞.19．(1)()2108006200,060810015780,60x x x G x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元【分析】（1）利用分段函数即可求得全年的利润()G x 万元关于年产量x 千件的函数关系式；（2）利用二次函数求值域和均值定理求值域即可求得该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元.【详解】（1）当060x <<时，()()22900101006200108006200G x x x x x x =-+-=-+-，当60x ≥时，()8100810090090121980620015780G x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()2108006200,060810015780,60x x x G x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）若060x <<，则()()210409800G x x =--+，当40x =时，()max 9800G x =； 若60x ≥，()8100157801578015600G x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x=，即90x =时，等号成立，此时()max 15600G x =． 因为156009800>，所以该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元． 20．(1)()2x f x =或()()10f x x =≠或()()222x f x x x =≠-+； (2)证明见解析.【分析】（1）根据a ，b 的正负性，结合代入法进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义，结合函数单调性的定义进行证明即可.【详解】（1）由()f x x =，得到x x ax b =+， ∴0a =，0b ≠，则()x f x b=，由()21f =得2b =，即()2x f x =； ∴若0a ≠，0b =，则()()10f x x a =≠，由()21f =得1a =，即()()10f x x =≠； ∴0a ≠，0b ≠，由x x ax b =+得()210ax b x +-=，由Δ0=得1b =， 又由()21f =得12a =，即()()222x f x x x =≠-+． ∴函数的解析式为()2x f x =或()()10f x x =≠或()()222x f x x x =≠-+；（2）因为()()2x f x f x -=-=-，所以函数()2x f x =是奇函数， 因为()()()10f x f x x -==≠，所以函数()()10f x x =≠是偶函数，若()f x 不是奇、偶函数，由（1）知()()222x f x x x =≠-+ 任取1x ，()22,x ∈-+∞，且12x x < ()()()()()121212121242202222x x x x f x f x x x x x --=-=<++++，即()()12f x f x <， ∴()f x 在区间()2,-+∞是增函数．21．(1)()1,1(2)m 1≥【分析】（1）求出()11111x y f x x x+=+-=-=，判断1y x =为奇函数，即可证明； （2）若对任意的[]12,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使()()12f x g x =成立，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集．分别求出()y f x =和()y g x =的值域，即可得出答案.【详解】（1）因为()11111x y f x x x+=+-=-=，而1y x =为奇函数， 所以()y f x =的图象是关于点()1,1成中心对称.（2）若对任意的[]12,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使()()12f x g x =成立，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集．∴函数()111f x x =+-,易得函数()f x 在[]2,3上单调递减，求出函数()f x 的值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，下讨论()12g x mx m =+-的值域．∴当0m =时，()g x 为常数，不符合题意舍去；∴当0m >时，()g x 的值域为[]1,1m +，只需12m +≥，解得m 1≥；∴当0m <时，()g x 的值域为[]1,1m +，不符合题意舍去，综上，m 的取值范围为m 1≥.22．(1)1a =(2)2133k -<<-【分析】（1）依据题给条件列出关于实数a 的方程，解之即可求得实数a 的值；（2）先将题给方程化简整理，利用换元法转化为二次方程有二根，再利用指数函数列出关于实数k 的不等式，解之即可求得实数k 的取值范围．【详解】（1）∴1x =是函数()232g x ax ax =-+的零点∴()132220g a a a =-+=-=，解之得1a =；（2）由（1）得()232g x x x =-+，则()23f x x x=-+， 则方程()3213021x x f k k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭ 可化为23213302121x x x k k -+-+-=--， ∴0x ≠，∴两边同乘21x -得：()2213321320x x k k --+-++=，则此方程有三个不同的实数解. 令21x t =-则0t >，则()233320t k t k -+++=，解之得1t =或32t k =+， 当1t =时，211x -=，得1x =；当32t k =+时，2132x k -=+，则此方程有两个不同的实数解，则0321k <+<，解之得2133k -<<-． 则实数k 的取值范围为2133k -<<-．。

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武汉市部分重点中学2014～2015学年度上学期高一期末测试
数 学 试 卷
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个正确的答案，请在答题卡上把相应地方用2B 铅笔涂黑)
1．已知全集U R =，集合{}
4|-=∈=x y Z x A ,{}6|>=x x B ,则)(B C A U ⋂=( ) A.]6,4[ B.)6,4[ C.{}6,5,4 D. {}5,4
2．sin( 660-)= ( )
A ．21
B ．23
C ．21
- D ． 23
-
3．设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（ ）
A. 1
B. 4
C. 1或4
D. π
4．函数)
32sin(π
+=x y 的图象可由函数x y sin =的图象怎样变换而来？（
） A ．先向左平移3π
，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍
B ．先向左平移3π，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21
C ．先向右平移6π
，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍
D ．先向左平移6π，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21
5．函数|tan |x y =的最小正周期为（ ）
A ．2π
B ． π
C ． π2
D ．无最小正周期
6．函数x x x f 2)1ln()(-
+=的一个零点所在的区间是 ( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
7．函数
)
220)(sin(2)(πϕπωϕω<<-
>+=，x x f 的部分图象如图所示， 则ϕω，的值分别是（ ） A.
32π-
， B.62π-， C.321π， D.621π，
8. 若函数b a y x +=的图象如下图，则函数b x ab ax y +++=1的图象为（ ）
9．
函数
4)1(log sin )(22++++=x x b x a x f (a 、b 为常数),若f(x)在(0,+∞)上有最小值－4,则f(x)在(－∞,0)上有( )
A.最大值-2 B ．最大值 4
C ．最大值10
D ．最大值12
10.定义在)1,1(-的函数)1()()(xy y x f y f x f --=-，当)0,1(-∈x 时0)(<x f ，若
)0(),21(),51()41(f R f Q f f P ==+=，则R Q P ,,的大小为（ ）
A ．Q P R >>
B ．P Q R >>
C ．R Q P >>
D ．R P Q >>
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把每题的答案填在答题卡上相应的地方）
11. 已知
51cos sin =
+x x ，则=x 2sin
12．已知
α为锐角，且53)4cos(=+πα，则 sin α=
13.若函数
)
6sin(2π-
+=m x y 的图象关于y 轴对称，则实数)0(>m m 的最小值为 14．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<≥-=时当时当10log 122)(21x x x x f x ，则满足)41()(f m f ≤的实数m 的取值范围为
15．已知函数f(x)＝)62sin(2π+
x +n 在区间[0，π2
]上的最大值为3，则（Ⅰ）n ＝ ；（Ⅱ）对任意a ∈R ，函数y=f(x+a)在[0，10π]上的零点个数为 ．
三、解答题（本大题有6个小题，共75分，解答题要写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）已知{}2|+≤≤=a x a x A ，B {x |x 1=>或x 6}<-
（1）若=A
B φ，求实数a 的取值范围； （2）若=A
B B ，求实数a 的取值范围.
17．（本小题满分12分）已知角α的终边过点)1,(-x P ，且
x 105sin =α.)0(<x 其中
（1）求αtan 的值； （2）求
34)2cos(2tan )
cos(1-++--παααπ的值.
18. （本小题满分12分）已知
31sin ,21)sin(==
+）（βαβα-
(1)求证：βαβαsin cos 5cos sin ⋅=⋅ （2）若已知
2020πβαπβα<-<<
+<，,求α2cos 的值
19．（本小题满分12分）已知函数
x x x x x x f cos sin )3sin(cos 2sin 3)(2+-
⋅+=π.
（1）求函数)(x f y =的增区间 （2）若01)(2=+-m x f 在]
127,6[ππ有两个相异的实根，求m 的取值范围.
20．（本小题满分13分）某地绿化治理沙漠需要大量用水，第1年的用水量约为100（百吨），第2年的用水量约为120（百吨）.该地政府综合各种因素预测：①每年的用水量会逐年增加；②每年的用水量都不能达到130（百吨）。

某校数学兴趣小组想找一个函数()y f x =来拟合该项目第x (1)x ≥年与当年的用水量y （单位：百吨）之间的关系，则函数()y f x =必须符合预测①：()f x 在[1,)+∞上单调递增；预测②：()130f x <对[1,)x ∈+∞恒成立。

（1）若()f x =m n x +，试确定,m n 的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；
（2）若()f x =
(0,1)x a b c b b ⋅+>≠，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b 的取值范围．
21．（本小题满分14分）函数f (x)是定义域为R 的偶函数，且对任意的x R ∈，均有
f (x 4)f (x)+=成立。

当x [0,2]∈时，
a f (x)log (4x)(a 1)=->
(1)∈当x [-2,0]时，求f(x)的表达式
(2)x [4k 2,4k 2](k Z)f (x)∈-+∈当时，求的表达式
2(3)f (x)x f (x)log 3>若的最大值为2，解关于的不等式。

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