42 矩阵的QR分解
QR分解
其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩阵。
证明
设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为 x 1,x 2, …,x
从而有
x1
x2 xn e1 e2
b11 b12 b1n b22 b2 n en b nn
令Q e1 e2
则QT Q I
b11 b12 b1n b22 b2 n en , R b nn
6 3
e3
令
3 6 22 3 6 3 6 2 , Q 2 3 6 3 6 0 3 3
2 R 0 0
2 3 0
2 2 3 3 6 3
则
A QR
0 3 1 例1：利用Schmidt正交化方法求矩阵的QR分解 A 0 4 2 2 1 2
QR分解也称为正交三角分解
第一节 QR分解
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容： 1· 矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2· 矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换
定义:设 A C nn . 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵
由于x 1,x 2, …,x
n
n
线性无关，将它们用Schmidt正交
n
化方法得标准正交向量e 1,e 2, …,e
矩阵QR分解的三种方法
的第 1 行元素相同 , 而 R 的第 n 行最后一个元素与 Tn - 1 A
( 1) T
的第 2 行最后一个元素相同 . 此外 , T1 A 的
第 1 列一定是 | b
参考文献 :
| , 0, …, 0 , 作矩阵乘法时应避免重复计算 ,其余也是如此 .
[ 1 ]北京大学数学系几何与代数教研室 . 高等代数 . 高等教育出版社 . [ 2 ]冯天祥 ,李世宏 . 矩阵的 QR 分解 [ J ]. 西南民族学院学报 , 2001, ( 4 ) . [ 3 ]刘秀梅 . 矩阵 QR 分解途径的研究 [ J ]. 内江师范学院学报 , 2007, (4). [ 4 ]程云鹏 . 矩阵论 [M ]. 西安 : 西北工业大学出版社 , 1998.
T T 于用相应的初等矩阵右乘该矩阵 , 故存在下三角矩阵 B 和上三角矩阵 B (显然可逆 ) , 使得 B
( A A ) B = diag ( d1 , d2 , …, dn ) ( di > 0, i = 1, 2, …, n ) ;
T
3、 设 C = d iag
d1 ,
d2 , …, C
-1
若 n 阶实非奇异矩阵 A 可以分解为正交矩阵 Q 与实非奇异上三角矩阵 R 的乘积 , 即 A = QR, 则称该分 T 解式为矩阵 A 的 QR 分解 ; 进而 A 是 m × n 列满秩矩阵 , 若 A = QR, 其中 Q 是 m × n 矩阵 , Q Q = E (称 Q 为列 正交矩阵 ) , R 为非奇异上三角矩阵 , 也称为矩阵 A 的 QR 分解 . 1 利用 Schm idt正交化求矩阵的 QR 分解 Schm idt正交化方法是矩阵的 QR 分解最常用的方法 . 主要依据下面的两个结论 : [1 ] 结论 1 设 A 是 n 阶实非奇异矩阵 , 则存在正交矩阵 Q 和实非奇异上三角矩阵 R 使 A 有 QR 分解 ; 且 除去相差一个对角元素的绝对值 (模 ) 全等于 1 的对角矩阵因子外 , 分解是唯一的 . 结论 2 设 A是 m × n 实矩阵 , 且其 n 个列线性无关 , 则 A 有分解 A = QR, 其中 Q 是 m × n 实矩阵 , 且 T 满足 Q Q = E, R 是 n 阶实非奇异上三角矩阵该分解除去相差一个对角元素的绝对值 (模 ) 全等于 1 的对角 矩阵因子外是唯一的 . 步骤 : 1、 写出矩阵的列向量 ; 2、 把列向量按照 Schm idt正交化方法进行正交 ;
利用qr分解解方程
利用qr分解解方程摘要：1.介绍QR 分解2.QR 分解与解方程的关系3.使用QR 分解解方程的步骤4.举例说明QR 分解解方程的过程5.总结QR 分解解方程的优点和适用范围正文：1.介绍QR 分解QR 分解（Quiet-Rational Decomposition，安静- 有理分解）是一种线性代数中常用的矩阵分解方法。
它是一种特殊的矩阵分解，可以将一个给定的矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
QR 分解在许多领域都有广泛的应用，如数值分析、线性方程组求解等。
2.QR 分解与解方程的关系QR 分解与解线性方程组有着密切的关系。
线性方程组可以表示为AX=B 的形式，其中A 是系数矩阵，X 是待求解的变量向量，B 是常数项向量。
利用QR 分解可以将系数矩阵A 分解为Q 和R 两个矩阵的乘积，其中Q 是正交矩阵，R 是上三角矩阵。
这样，原线性方程组可以转化为求解QR 矩阵的逆矩阵Q^-1 与R 矩阵的乘积与常数项向量B 的等式，即Q^-1RB=X。
由于Q^-1 是正交矩阵，R 是上三角矩阵，因此可以更快地求解线性方程组。
3.使用QR 分解解方程的步骤利用QR 分解解线性方程组的具体步骤如下：（1）对系数矩阵A 进行QR 分解，得到Q 和R 矩阵；（2）计算QR 矩阵的逆矩阵Q^-1；（3）计算Q^-1RB，得到解向量X。
4.举例说明QR 分解解方程的过程假设我们要解以下线性方程组：2x + 3y - 5z = 14x - y + 2z = 32x + y - z = 4首先，我们需要对系数矩阵进行QR 分解。
通过高斯消元法或其他方法，我们可以得到QR 分解的结果。
然后，计算QR 矩阵的逆矩阵Q^-1，并计算Q^-1RB，从而得到解向量X。
5.总结QR 分解解方程的优点和适用范围QR 分解解线性方程组的方法具有以下优点：（1）QR 分解是稳定的，即使在矩阵A 接近奇异的情况下，也能得到准确的解；（2）QR 分解可以充分利用矩阵的特殊结构，如正交性和上三角性，从而提高求解速度；（3）QR 分解适用于大规模线性方程组，尤其是在矩阵A 系数矩阵中元素非零值分布不均匀的情况下，其性能更优越。
3.3QR方法
(2)
c aaa~s2aa
1
0 0
12
(2)
(2)
2222
W1
(2(2))
nn22
(2)
a 1n (2)
aaaa((n222nn))(n22nn)
第r步：
若 air(r)(i r 1, r 2,, n)不全为零， 令 sr (0,,0, arr(r) ,, anr(r) )T
A (Hn1Hn2 H1)1 An H1H2 Hn1An 令 Q H1H2 Hn1, R An
则 A Q R 证毕
4、QR分解的实现
An Hn1Hn2 H1A
Q H1H2 Hn1
Q的计算：
令 Q1 I
Qr1 Qr H r , r 1,2,, n 1
c1
H 2 H1 A
H
2
0
0
a(2) 12
a(2) 22
(2)
a 1n (2)
a2n
a a (2) n2
(2) nn
v s2 c2 e2 s2 c2 e2 2
H2 I 2v vT
s2
(0,
a (2) 22
,,
an2
(3) nn
c2
W1~s2
0 0
(2)
c aaaaa
1
0 0
12
(2)
(2)
QR方法
QR方法QR方法是求任意矩阵的全部特征值的一种有效方法，它是JACOBI方法的推广。
基本思想利用矩阵的QR分解，通过逆序相乘产生对原矩阵的一系列正交相似变换，使其变化为一个近似的上三角矩阵来求全部特征值。
这里QR分解是指将矩阵化为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵左乘的形式。
构造原理实对称矩阵可用正交相似变换将其化为对角形矩阵，但对非对称矩阵，一般用正交相似变换化不成对角矩阵，但SCHUR分解定理给我们一个有关这方面的结果。
定理3。
（实SCHUR分解定理）设矩阵A∈R n*n，则存在一个正交矩阵Q∈R n*n，使Q T AQ=其中每个B ii是1*1或2*2的小矩阵，若B ii为1*1的，其元素就是A的实特征值，否则B ii的特征值是A一对共轭复特征值。
此定理的证明可参阅文献[3]。
定理3指出了求矩阵A的全部特征值也可用正交相似变换的方法来做，正交相似变换的结果虽然不是对角矩阵，而是分块三角形矩阵，但它同样能很方便地求出全部特征值，有关一般矩阵的正交相似变换，我们不加证明地给出一个结论。
定理4。
设非奇异矩阵A∈R n*n，且有n个不同的特征值，记A=A(1)。
如果对整数k，有矩阵A(k)的QR分解为A(k)=Q k R k，则令A(k+1)=Q T k A(k)Q k，当k→∞时有A(k)本质上收敛于分块上三角形矩阵，这里“本质上收敛”指A(k)的主对角线上的元素或子块有确定的极限，其它元素或子块不管是否有极限。
此定理给出了求解一般矩阵全部特征值的方法。
由定理3，A(k+1)=(Q1Q2....Q k)T A(Q1Q2....Q k)，令，则Q k也是正交矩阵，A(k+1)=Q T k A(k)Q k说明A(k+1)也是原矩阵A的正交相似变换，从而A(k+1)与A有相同的特征值，n任意，此外，由A(k)=Q k R k，则有Q T k A(k)= Q T k A(k)R k=R k，故有A(k+1)=Q k R k，这说明A(k+1)可直接交换Q k与R k的乘积顺序得到，于是可的如下QR算法。
矩阵的QR分解及应用
目录摘要 .............................................................................................................................. I I Abstract ...................................................................................................................... I I １引言............................................................................................ 错误！未定义书签。
2 利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解 (1)3 利用Householder变换求矩阵的QR分解 ................... 错误！未定义书签。
4 利用Givens变换求矩阵的QR分解.............................. 错误！未定义书签。
5 利用初等变换求矩阵的QR分解 .................................... 错误！未定义书签。
6 矩阵QR分解的应用 ......................................................... 错误！未定义书签。
参考文献....................................................................................... 错误！未定义书签。
结束语............................................................................................ 错误！未定义书签。
矩阵的QR分解
" " % " " " " "
" r1s ⎞ ⎟ " # ⎟ " # ⎟ ⎟ % # ⎟ ⎛r⎞ = Q⎜ ⎟ 0 rss ⎟ ⎝0⎠ ⎟ 0 0⎟ " "⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎠
r12 " " r1s ⎞ ⎟ r22 " " r2 s ⎟ # % " # ⎟ 为非奇异上三角 ⎟ # " % # ⎟ 0 " " rss ⎟ ⎠
证明 2： 将 A 按列分块： A = (a1 , a2 , ⋅⋅⋅, an ) ，则 a1 , a2 , ⋅⋅⋅, an 线性无关。 存在 Householder 矩阵 H1 ，使得 H1a1 = α1e1 ，其中 α1 = a1 2 。于是， H1 A 第
1
⎛α 一类对角元以下元素全为零。 H1 A 形如 ⎜ 1 ⎝0 ⎛α 在 Householder 矩阵 H 2 ，使得 H 2 A1 形如 ⎜ 2 ⎝0 ⎛1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎛ α1 ⎜ ⎟ H1 A = ⎜ ⎟⎜ ⎝ 0 H2 ⎠ ⎝ 0 H 2 ⎠⎝ 0
⎛ R⎞ R ，使得 A = Q ⎜ ⎟ 。 ⎝0⎠
这是定理 2 的一个推广，证明也和定理 2 完全类似。 证明： 将 A 按列分块： A = (a1 , a2 , ⋅⋅⋅, as ) ，则 a1 , a2 , ⋅⋅⋅, as 线性无关。对 a1 , a2 , ⋅⋅⋅, as 进 行 Gram-Schmidt 正交化过程：
e1 = a1 ，e2 = a2 −
令 qi =
(a , e ) (a , e ) (a , e ) (a2 , e1 ) e1 ，…，es = as − s 1 e1 − s 2 e2 − ⋅⋅⋅ s s −1 es −1 (e1 , e1 ) (e1 , e1 ) (e2 , e2 ) (es −1 , es −1 )
矩阵乘法分解
矩阵乘法分解
矩阵乘法分解通常指的是将一个矩阵分解成两个或多个矩阵的乘积。
常见的矩阵乘法分解有 LU 分解、QR 分解和奇异值分解（SVD）等。
以下是其中几种常见的矩阵乘法分解方法：
1. LU 分解（LU Decomposition）:
LU 分解将一个矩阵拆分为一个下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积。
这种分解对于解线性方程组和矩阵求逆等问题很有用。
假设有矩阵 A，LU 分解可以表示为 A = LU。
2. QR 分解（QR Decomposition）:
QR 分解将一个矩阵拆分为一个正交矩阵（Q）和一个上三角矩阵（R）的乘积。
这种分解对于求解最小二乘问题等有很好的应用。
假设有矩阵 A，QR 分解可以表示为 A = QR。
3. 奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）:
SVD 将一个矩阵拆分为三个矩阵的乘积，分别是一个正交矩阵（U）、一个对角矩阵（Σ）和另一个正交矩阵（V^T）。
SVD 在降维、图像压缩等领域有广泛应用。
假设有矩阵 A，SVD 分解可以表示为 A = UΣV^T。
这些分解方法都有各自的应用场景和优势。
矩阵乘法分解在数值计算、线性代数和机器学习等领域都有广泛的应用，可以帮助简化复杂的计算问题。
浅谈矩阵的LU分解和QR分解及其应用
浅谈矩阵的LU 分解和QR 分解及其应用基于理论研究和计算的需要，往往有必要把矩阵分解为具有某种特性的矩阵之积，这就是我们所说的矩阵分解.本文将介绍两种常用的矩阵分解方法，以及其在解线性方程组及求矩阵特征值中的应用.1.矩阵的LU 分解及其在解线性方程组中的应用 1.1 高斯消元法通过学习，我们了解到利用Gauss 消去法及其一些变形是解决低阶稠密矩阵方程组的有效方法.并且近些年来利用此类方法求具有较大型稀疏矩阵也取得了较大进展.下面我们就通过介绍Gauss 消去法，从而引出矩阵的LU 分解及讨论其对解线性方程组的优越性. 首先通过一个例子引入：例1,解方程组(1.1)(1. 2)(1.3)解. 1Step (1.1)(2)(1.3)⨯-+ 消去(1.3)中未知数,得到23411x x --=- (1.4)2Shep . (1.2)(1.4)+ 消去(1.4)中的未知数2x有12323364526x x x x x x ++=-=-=-⎧⎪⎨⎪⎩ 显然方程组的解为*x =123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上述过程相当于 111604152211⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭~111604150411⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭~111604150026⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭2-（）+ ()i i r 表示矩阵的行由此看出，消去法的基本思想是：用逐次消去未知数的方法把原方程化为与其等价的三角方程组.下面介绍解一般n 阶线性方程组的Gauss 消去法.设111n n1nn a a a a A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 1n x X x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1n b b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则n 阶线性方程组AX b = (1.5)并且A 为非奇异矩阵.通过归纳法可以将AX b =化为与其等价的三角形方程，事实上： 及方程(1.5)为()()11A X b =,其中()1A A = ()1b b =(1) 设(1)110a≠，首先对行计算乘数()()11i1111i a m m =.用1i m -乘(1.5)的第一个方程加到第()2,3,,i i n =⋯个方程上.消去方程(1.5)的第2个方程直到第n 个方程的未知数1x .得到与(1.5)等价的方程组()()()11n 12n 111nn 0a a x x a ⎛⎫⋯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋯⎝⎭⎝⎭=()()112n b b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭简记作()()22Ab = (1.6)其中()()()()()()211211111 ijij i ij i i i a m b b m a a b =-=- (2) 一般第()11k k n ≤≤-次消去，设第1k -步计算完成.即等价于()()k k AX b = (1.7)且消去未知数121,,,k x x x -⋯.其中()()()()()()()()()()1111112122222k k k k kk knk nknna n n a a a a a A a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设()0k kk a ≠计算()() (i=/1,,)k k ik ikkkaa k m n =+⋯,用()()(1,,)a n ikik k kki k n a m ==+⋯消去第1k +个方程直到第n 个方程的未知数k x .得到与(1.7)等价的方程组()()1k 1k A X b ++= 故由数学归纳法知，最后可以把原方程化成一个与原方程等价的三角方程组.但是以上分析明显存在一个问题，即使A 非奇异也无法保证()0i ii a ≠,需要把非奇异的条件加强.引理1 约化主元素()01,,)i ii a k ≠=⋯（i 的充要条件是矩阵A 的顺序主子式0i D ≠.即1111110,0ikk kkk a a D a a D a =≠=≠⋯证明 利用数学归纳法证明引理的充分性.显然，当1k = 时引理的充分性是成立的，现在假设引理对1k -是成立的，求证引理对k 亦成立.有归纳法，设()()01,21iii i a k ≠=⋯-于是可用Gauss 消去法将中，即()()()()()()()()()()()11111121n22222n 1k k k k k kk knnknn a a a a a A a a a a A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即()()()()()()()()11121231112211223112233222a a D a D a a a a a ===()()()()()()()()()11111122212222k 11122k k k kkk kka a a a a a D a a a ==⋯ (1.8) 由设0(1,,)i i D k ≠=⋯及式(1.8)有()0k kk a ≠显然，由假设()()01,2iiii k a ≠=⋯，利用(1.8)亦可以推出0(1,,)i i D k ≠=⋯ 从而由此前的分析易得；定理1 如果n 阶矩阵A 的所有顺序主子式均不为零，则可通过Gauss 消去法（不进行交换两行的初等变换），将方程组(1.5)约化成上三角方程组，即()()()()()()()()()1111111121122222222b b b n n n n nn n n a a a x x a a x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1.9) 1.2 矩阵LU 分解从而由以上讨论即能引出矩阵的LU 分解，通过高等代数我们得知对A 施行行初等变换相当于用初等矩阵左乘A ，即()()()()121211L A Lb A b == 其中 211n11101L m m ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪-⎝⎭一般第k 步消元，，相当于()()()()11k kk k k kL A A L b b ++==重复这一过程，最后得到()()()()11211121n n n n Ab L L L A L L L b --⎧⋯=⎪⎨⋯=⎪⎩ (1.10) 其中k 1,111m 1n k k km L +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭将上三角形矩阵()n A U 记作,由式(1.9)得到111121=U n A L L L LU ----⋯=,其中211111211211m 1n n n m L L m L L ----⎛⎫⎪⎪=⋯= ⎪⎪⎝⎭由以上分析得；定理2 （LU 分解） 设A 为n 阶矩阵，如果A 的顺序主子式i 0(1,2,,1)D i n ≠=-.则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的.证明 由先前的分析得出存在性是显然的，即A LU =.下证唯一性,设A LU CD == 其中L , C 为单位下三角矩阵，U ,D 为上三角矩阵.由于1D -11D C L U --=上式右端为上三角矩阵，左端为单位下三角矩阵，从而上式两端都必须等于单位矩阵，故U D =,L C =.证毕.例2 对于例子1 系数矩阵矩阵111041221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭由Gauss 消去法，得结合例1，故100111010041211002A LU ⎛⎫⎛⎫⎪⎪==- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭对于一般的非奇异矩阵，我们可以利用初等排列矩阵kki I (由交换单位矩阵I的第k 行与第k i 行得到)，即()()()()()()()()111212111111,,kk k k k ki k i k k i i k A L b L I A I b L I A I b A L b++⎧==⎪⎨==⎪⎩ (1.11) 利用(1.11)得()1111,11n nn n i i L I L U I A A ---==.简记做.其中下面就n 情况来考察一下矩阵.()()4321444343544332211443443243)(i i i i i i i i i i I L I L I L I A I L I I L I I A A L L I ===⨯4324324321432()i i i i i i I I I L I I I 43214321 )(i i i i I I I I A从而记从而容易的为单位下三角矩阵,总结以上讨论可得如下定理.定理3 如果A 非奇异矩阵，则存在排列矩阵P 使PA LU = 其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵.1.3 矩阵LU 分解的应用以上对非奇异矩阵A 的LU 分解进行了全面的讨论，一下我们就简单介绍一下应用.对于矩阵A 一旦实现了LU 分解，则解线性方程的问题,便可以等价于：(1)Ly b = 求y (2)=Ux y , 求x (1.12)即，设A 为非奇异矩阵，且有分解式A LU =，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵。
第二节QR分解
定理
是一个单位向量， 设 u ∈ C 是一个单位向量，则对于任意的
n
x∈C
n
a = x 2 , ax H u 为实数 存在Householder矩阵H Householder矩阵 存在Householder矩阵H，使得 Hx = au其中
证明 则 当 则
当x=0时，任取单位向量 x=0时
ω ∈Cn
1 x 2 = y1 + y 2 = e1 + 5e 2 2
1 x3 = y1 − y 2 + y 3 = 2e1 − e 2 + 2e3 5
从而
A = QR =
3 0 5 0 4 5 1 0
4 2 0 5 − 1 2
y1 = x1 T y y2 = x2 − (( x21 ,, y11 )) y1 = x2 − y1 = (1,−1,1) y y x y3 = x3 − (( x31 ,, y11 )) y1 − (( y32 ,, y22 )) y2 y y T 1 1 = x3 − 2 y1 − 3 y2 = 3 (− 1,1,2 )
(
)
由于 (x − au) (x − au) = x x − ax u − au x + a u u
H H H H 2 H
= x x − ax u
H H
(
)
H
− au x + x
H
2 2
= 2( x H x − a u H x) = 2( x − au ) H x
( x − au) H x ( x − au) = au 所以 H (ω ) x = x − 2 H ( x − au) ( x − au)
矩阵分析与计算QR算法
H11 0
H12 ⎟⎞ p H22 ⎠ n − p
p n− p
这样就可以将问题分解为较小型的问题．如果这种
情况出现在p =n−1或n−2情形，原特征值问题就可以
进行收缩．在实际计算中要对次对角元进行判断，
某个次对角元适当小时就进行分解或收缩．
在定理4.3的条件(4.7)′下，对H的QR迭代中,收敛
(3) Ak = Qk Rk , 其中 Rk = Rk " R2R1
证明 易证(1)．从它递推得
Ak+1 = QkT AkQk = (Q1Q2 "Qk )T A(Q1Q2 "Qk )
即得(2)，并知Ak+1与A相似，再由 Qk Rk = Q1"Qk Rk " R2 R1 = Qk−1 Ak Rk−1
⎜⎛ 0.6 0.8 0⎟⎞ G(1,2,θ1) = ⎜ − 0.8 0.6 0⎟
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
⎜⎛ 1
G(2,3,θ2 ) = ⎜ 0
最后得到
⎜⎝ 0
0 0.9996 − 0.0249
0 ⎟⎞ 0.0249 ⎟ 0.9996 ⎟⎠
⎜⎛ 4.7600 H2 = ⎜ 0.3200
⎜⎝ 0.0000
基本收敛的概念并未指出{Ak}严格上三角部分 元素是否收敛．但对求A的特征值而言，基本收 敛已足够了．
定理4.3 设矩阵 A∈Rn×n ，其特征值满足
|λ1| > |λ2| > … > |λn| >0 (4.7)′ λi对应特征向量xi ，i =1, 2,…,n．以xi为列的方阵 记为X = (x1, x2 , … , xn )．设X −1可分解为X −1=LU, 其中L为单位下三角阵，U为上三角阵．则QR算法
(完整版)QR分解及其应用
《矩阵分析与应用》专题报告——QR分解及应用学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩2015年11月25日目录1 引言 (3)2 QR分解 (4)2.1QR分解的性质 (4)2。
2 QR分解算法 (5)2.2。
1 采用修正Gram—Schmidt法的QR分解 (5)2。
2.2 Householder QR分解 (6)2.2.3 采用Givens旋转的QR分解 (8)3 QR分解在参数估计中的应用 (9)3．1 基于QR分解的参数估计问题 (9)3. 2基于Householder变换的快速时变参数估计 (12)3. 3基于Givens旋转的时变参数估计 (13)4 QR分解在通信系统中的应用 (15)4。
1 基于QR分解的稳健干扰对齐算法 (15)4。
2基于QR分解的MIMO置信传播检测器 (18)总结 (20)参考文献 (21)1 引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR分解和奇异值分解。
矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题.而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。
QR分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR分解求特征值和特征向量。
它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R,所以称为QR分解.参数估计是在已知系统模型结构时,用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。
它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。
18世纪末德国数学家C。
F。
高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。
20世纪60年代,随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。
参数估计有很多方法，如矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极小极大熵法等。
其中最基本的是最小二乘法和极大似然法.本文将重点介绍QR分解及其在参数估计和通信系统中的应用。
(完整版)QR分解及其应用
《矩阵分析与应用》专题报告——QR分解及应用学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩2015年11月25日目录1 引言 (3)2 QR分解 (4)2.1QR分解的性质 (4)2.2 QR分解算法 (5)2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 (5)2.2.2 Householder QR分解 (6)2.2.3 采用Givens旋转的QR分解 (8)3 QR分解在参数估计中的应用 (9)3．1 基于QR分解的参数估计问题 (9)3. 2基于Householder变换的快速时变参数估计 (12)3. 3基于Givens旋转的时变参数估计 (14)4 QR分解在通信系统中的应用 (16)4.1 基于QR分解的稳健干扰对齐算法 (16)4.2基于QR分解的MIMO置信传播检测器 (19)总结 (21)参考文献 (22)1 引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR分解和奇异值分解。
矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。
而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。
QR分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR分解求特征值和特征向量。
它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R，所以称为QR分解。
参数估计是在已知系统模型结构时，用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。
它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。
18世纪末德国数学家C.F.高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。
20世纪60年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。
参数估计有很多方法，如矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极小极大熵法等。
其中最基本的是最小二乘法和极大似然法。
本文将重点介绍QR分解及其在参数估计和通信系统中的应用。
householder变换qr分解例题
householder变换qr分解例题在矩阵分解中，Householder变换是一种重要的工具。
本文将结合实例，介绍如何使用Householder变换进行QR分解。
首先，假设我们有一个4x3的矩阵A：A = [ 1 2 12 4 24 8 43 6 3 ]我们想要将A分解为QR，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。
我们可以使用Householder变换来实现这个目标。
1. 首先，我们要使用Householder变换将A的第一列消除除第一个元素以外的其它元素。
我们选择一个向量v，使得v的第一个元素为||a1||（a1是A的第一列），其它元素为0。
然后，我们计算一个Householder矩阵H1，使得H1v的最后三个元素都为0，且H1v的第一个元素为正数（为了保持正交性，我们要求H1v的第一个元素为1）。
最后，我们计算A1=H1A，此时A1的第一列除了第一个元素外都为0。
2. 接下来，我们将A1的第二列消除除第二个元素以外的其它元素。
我们选择一个向量v2，使得v2的第二个元素为||a22||（a22是A1的第二列中第二个元素到最后一个元素），其它元素为0。
然后，我们计算一个Householder矩阵H2，使得H2v2的最后两个元素都为0，且H2v2的第二个元素为正数。
最后，我们计算A2=H2A1，此时A2的前两列都已经满足上三角矩阵的形式。
3. 重复上述过程，直到我们得到一个上三角矩阵R。
此时，我们得到的矩阵A=Q*R，其中Q=H1*H2*...*Hn（n为A的列数）。
通过上述步骤，我们可以得到A的QR分解。
具体的计算过程可以使用计算机软件来实现。
矩阵QR分解
船舶对重力墩的撞击振动分析
矩阵的 QR 分解
组员：况中华&吴超
矩阵的QR分解
定理 设矩阵 A R n n ，且非奇异，则一定存在正交矩阵 Q， 上三角矩阵 R，使
其中 A1 A ，而
(n σ 1 a12 ) σ2 An σ n 1
(n) a2n R (n) a n 1 n (n) a nn a1 n
(n)
因此有
H n 1 H n 2 H 2 H 1 A R
即有
A QR
其 中 ， Q H 1 H 2 H n 1 为 正 交 矩 阵 。
唯一性
假设矩阵 A 有两种正交三角分解，即
A Q 1 R1 Q 2 R 2
其 中 ， Q 1 , Q 2 为 正 交 矩 阵 ， R1 , R 2 为 上 三 角 矩 阵 ， 且 主对角元素均为正数。于是有
同理作 A2 R 2 Q 2 ，又有
3 .7059 0 . 9558 0 A3 R 2 Q 2 0 .9558 3 .5214 0 .9738 0 0 .9738 1 .7727
如此下去，可得
A9 R 9 Q 9 4 .7233 0 . 1299 0 0 .1299 3 .0087 0 .0048 0 0 .0048 1 .2680 4 .7282 0 . 0781 0 .0781 3 .0035 0 0 .0048 0
A10 R10 Q10
矩阵QR分解的MATLAB与C++实现
矩阵QR 分解的MATLAB 与C++实现⼀：矩阵QR 分解矩阵的QR 分解⽬的是将⼀个列满秩矩阵A 分解成A =QR 的形式，我们这⾥暂时讨论A 为⽅阵的情况。
其中Q 为正交矩阵；R 为正线（主对⾓线元素为正）上三⾓矩阵，且分解是唯⼀的。
⽐如A =122212121，我们最终要分解成如下形式：A =Q ⋅R =1√61√31√22√6−1√31√61√3−1√2⋅√6√67√66√3√33√22现在主要的问题是如何由矩阵A 计算得到矩阵Q 和R 呢？我们将在下⾯讨论。
1.1 QR 分解原理在线性代数或矩阵理论中，我们肯定都学过斯密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization ）,正交化过程即将欧⽒空间的任⼀基化为标准正交基，构造出的标准正交基正好构成了我们想要的Q 矩阵，⽽R 矩阵由正交化过程的公式倒推即可得到。
⾸先假设初始⽅阵为A ，→x i 、→y i 、→z i 都为列向量。
我们学过斯密特正交化的步骤如下：A =→x 1→x 2→x 3正交化→→y 1→y 2→y 3单位化→→z 1→z 2→z 3=Q 再具体⼀点（为了好写，之后的→x i 、→y i 、→z i 都不加箭头了，默认为列向量）：y k =x k −k −1∑i =1(xk ,y i )(y i ,y i )y i =x k −k −1∑i =1(x k ,y i )||y i ||2y i =x k −k −1∑i =1(x k ,z i )z iz k =y k||y k ||,k =1...nQ =z 1⋯z nR =||y 1||(x 2,z 1)⋯(x n ,z 1)||y 2||⋯(x n ,z 2)⋱⋮0||y n ||由上述公式写出计算Q 和R 的伪代码为：[][][][][][][][]for k=1:nR kk=||A:k||Q:k=A:k/R kkfor i=k+1:nR ki=A′:i∗Q:kA:i=A:i−R ki.∗Q:kendend注：A:k表⽰A的第k列向量。
QR分解及其应用
《矩阵分析与应用》专题报告——QR分解及应用学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩2015年11月25日目录1 引言 (3)2 QR分解 (4)2.1QR分解的性质 (4)2.2 QR分解算法 (5)2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 (5)2.2.2 Householder QR分解 (6)2.2.3 采用Givens旋转的QR分解 (8)3 QR分解在参数估计中的应用 (9)3．1 基于QR分解的参数估计问题 (9)3. 2基于Householder变换的快速时变参数估计 (12)3. 3基于Givens旋转的时变参数估计 (14)4 QR分解在通信系统中的应用 (16)4.1 基于QR分解的稳健干扰对齐算法 (16)4.2基于QR分解的MIMO置信传播检测器 (19)总结 (21)参考文献 (22)1 引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR分解和奇异值分解。
矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。
而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。
QR分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR分解求特征值和特征向量。
它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R，所以称为QR分解。
参数估计是在已知系统模型结构时，用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。
它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。
18世纪末德国数学家C.F.高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。
20世纪60年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。
参数估计有很多方法，如矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极小极大熵法等。
其中最基本的是最小二乘法和极大似然法。
本文将重点介绍QR分解及其在参数估计和通信系统中的应用。
qr分解的应用场景
qr分解的应用场景QR分解是一种数学方法，用于将一个复杂的矩阵分解成两个简单的矩阵的乘积。
它在许多应用场景中都有广泛的应用，本文将介绍其中几个重要的应用场景。
1. 矩阵计算QR分解在矩阵计算中起到了重要的作用。
通过QR分解，我们可以将一个复杂的矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
这种分解可以简化矩阵的计算，使得计算更加高效。
在线性代数、最小二乘问题等领域中，QR分解被广泛应用。
2. 最小二乘问题在最小二乘问题中，我们需要找到一个最优解来最小化误差的平方和。
QR分解可以帮助我们求解最小二乘问题。
通过将系数矩阵进行QR分解，可以将最小二乘问题转化为一个更简单的问题，从而得到最优解。
3. 特征值计算特征值计算是在分析矩阵的性质时非常重要的一部分。
通过QR分解，我们可以将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
这种分解可以帮助我们计算矩阵的特征值和特征向量，进而了解矩阵的性质。
4. 图像压缩QR分解在图像压缩中也有重要的应用。
图像可以表示为一个矩阵，通过QR分解，我们可以将图像矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
由于正交矩阵具有良好的特性，可以用更少的数据表示图像，从而实现图像的压缩。
5. 信号处理在信号处理中，我们经常需要对信号进行分析和处理。
QR分解可以帮助我们分解信号矩阵，从而得到信号的特征和结构信息。
这对于信号的降噪、频谱分析等都有重要的意义。
6. 数据降维在大数据时代，数据处理变得越来越重要。
QR分解可以帮助我们对数据进行降维处理。
通过将数据矩阵进行QR分解，可以得到一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而减少数据的维度，提高数据处理的效率。
7. 机器学习在机器学习中，QR分解也有广泛的应用。
通过QR分解，可以将复杂的矩阵分解成两个简单的矩阵的乘积，从而简化机器学习算法的计算过程。
在特征选择、参数估计等方面，QR分解都可以发挥重要作用。
QR分解作为一种重要的数学方法，在许多领域中都有广泛的应用。
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例 1 求下列矩阵的正交三角分解
1 1 1
A
1
0 0
0 1 0
0
0 1
解答:容易判断出
A
C 43 3
即 A 是一个列满秩矩阵
。按照定理的证明过程，
将A1 2 3的三个列向量正交化与单位化
先得到一个正交向量组:
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1 3
1 3
1 3
T
1
Department of Mathematics
再将其单位化，得到一组标准正交向量组
1
1 1
1
பைடு நூலகம்
2 2
T
2
2
0 0
2
1 2
2
6 6
6 6
T
6 3
0
T
3
1 3
3
6
3
3 6
3 6
由设于 A1,C2,rnL r ，,所m欧以氏(1酉,)2空,间,Vr的是线线性性无无关关组的,。
则 V 中利存用在Sc标hm准id正t正交交向化量与组单位1,化2方,法,，m先,使得得到一
组正[ 交1 向,量2 , 组,再m 单] 位[ 化1 ，,这2 , 样,得m 到] R 一组标准正交
1 1 1 1 0 0 T
2
2
( 2 , 1) ( 1, 1)
1
2
1 2
1
1 2
1 2
1
T
0
2
3
( 3, 1) ( 1, 1)
1
( (
3, 2) 2, 2)
2
3
1 2
1
1 3
2
定理1： A 是次酉阵当且仅当 A 的列（行）为标
准正交向量组。 称为A的UR分解
定理2: 设ACrnr ，那么 A 可唯一地分解为
AUR
其中：UUrnr ， R 为正线上三角阵
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证明：先证明分解的存在性。将矩阵 A 按列分块
得到 A (1,2,,r)
2
2 2
2
2
0
6 2
6 6
UR
0
0
2 3 3
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练习: 求下列矩阵的正交三角分解
2 2 1 A 0 2 2
2 1 2
解答:首先判断出
A
C 33 3
,由定理可知必存在
U U33
以及三阶正线上三角矩阵 R 使得 AUR
重复例题的步骤,即得结果
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3
2
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这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系 可表示成
1 21
2
6 2
2
2 2
1
3 2 333
6 6
2
2 2
1
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将上面的式子矩阵化，即为
A 1 2 3 1 2 3
向量其组中: R1C ,m m 2,m (R ,m mrm)为正线上三角阵.
由前面学的定理有： A(1,2,,r)R
记: U(1,2,,r),则 UHUI
于是: AU,R U U rnr,下面证明分解是唯一的
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于是:Uˆ1UI RˆR1I ,从而 Uˆ U,RˆR 推论2: 设ACnnn ，那么 A 可唯一地分解为
推论1: 设ACrrnA，那U么RA 可唯一地分解为
其中：UUAnnnL，UR 为正线上三角阵 其中： UUrrn ， L为正线下三角阵
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矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
第四章
矩阵的分解
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§4.2 矩阵的QR分解
定义1: 设 ACrnr(Crrn),若 AHAI(AH A I) 则称 A 为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次 酉阵的集合记为：Urnr(Urrn)
假设: AU,那R U 么ˆR ˆ有: U ˆ1UR ˆR1
注证意明到:因Uˆ为1UA 仍T是C 酉rr矩n,,阵则，A 而TU RˆR,1R U 是 一U 个rn 正r 线
上三所角以矩,阵A ， 因R T 此U 有T:,U T U r r n ( U ˆ 1 U ) U ˆ 1 ( U ) H ( U ˆ 1 U ) U H ( U ˆ 1 ) H U ˆ 1 U I