2020届高考理数二轮复习常考题型大通关(全国卷)：第17题+解三角形+Word版含答案
【精品】2020高考数学解答题常考公式及答题样题
2020高考数学解答题常考公式及答题样题题型一：解三角形1、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 是ABC ∆外接圆的半径） 变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R b B R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::= 2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 22222222234、射影定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b B c C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5、三角形的内角和等于ο180，即π=++C B A6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin(和⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A C B A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ②8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=⇒③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(）） ③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2b a ab +≤),(+∈R b a ②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤),(R b a ∈ 注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。
2020届高考数学：解三角形常见题型及技巧 学案(含习题)
高考解三角形常见题型及技巧【基础知识】1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。
变式1：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。
变式2：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= 变式3：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。
2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
（边换角后）sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。
变式1：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab。
变式2：a 2＝（b ＋c ）2－2b c （1+cos A ）（题目已知b ＋c ，bc 或可求时常用） 3．解三角形（知道三个元素，且含有边）(1)已知三边a ，b ，c 或两边a ，b 及夹角C 都用余弦定理(2)已知两边a ，b 及一边对角A,一般先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin Aa 。
(3)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。
4．三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h 。
(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R 。
(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)。
5.在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。
2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C 2。
2020年高考数学经典题题精选三角函数解答题.docx
2020 年高考数学经典题题精选三角函数解答题求函数 y=sinx+cosx+1的最 及取得最 相x 的 .解：由 y=sinx +cosx +1得 y=2 sin(x+4 )+1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分 ∴ y max =2 +1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分y min =－ 2 +1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分由 x+4=2k π+2得 x=2k π+(k ∈ Z)即 x=2k π+4(k ∈ Z) ， y取最大 2 +1⋯⋯⋯⋯⋯ 94分由 x+=2k π－2即 x=2k π－ 3y 取最小 1－2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分441.已知函数 f ( x)2a cos 2 x b sin x cos x, 且 f (0) 2, f (3 ) 1 3 .22（ 1）求 f ( x ) 的最大 与最小 ；（ 2）若 f ( ) 0, a (0,2 ), 求 的 .解：（1）由 f (0)=2 a =2,得 a =1 , f ( )1 a3 , 2 ⋯⋯⋯⋯（ 3 分）243∴ f ( x )=2cos 2x +2sin x cos x =sin2 x +cos2 x +1=2 sin(2x) 1 ⋯⋯⋯⋯（ 5 分）4∴ f ( x ) 的最大 是2 1，最小 是 12 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）（ 2）∵ f () 0, 得 2 sin( 2) 1 0sin( 2) 2, . ⋯⋯（ 8 分）44224 2k或 2 4 2k5 , k Z44k或k, kZ(10分 )42( 0,2 ),2 或3 或 3 或 7 (12分 ).2 442.已知函数 f ( x)a sin x cos x3acos 2 x3 a b.(a0)2（ 1） x R ，写出函数的 减区 ；（ 2）x [0, ], f x3，求 数 a, b的 .( ) 的最小 是－ 2，是大 是2解：（ 1） f ( x)a(sin x cos x3 cos 2 x3 ) b2a (1sin 2x3 1 cos2 x3 ) b = a sin( 2x ) b ⋯⋯⋯⋯4 分22 23a0, x R, f ( x) 的 减区 是 [ k5 , k11]( kZ ) ⋯⋯⋯⋯ 6 分12 12（ 2）x [ 0, ] 2x[ 0, ] 2x3[ , 2] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分23 3sin( 2x) [ 3 ,1]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分32∴函数 f ( x) 的最小 是3 a b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2最大 a b 3 ⋯⋯⋯ 11 分解得 a 2,b 32 ⋯⋯ 12 分3.求函数 ysin 2 x sin xcos(6 x)的周期和 增区 ．解ysin 2 x sin x(coscos x sin sin x)663sin 2x3sin x cos x3(1 cos2x) 3sin 2 x224 43 (3sin 2x 3 3 3) ． ⋯⋯ 6 分44 cos2x)sin(2 x2 4423∴函数的周期T．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分25当2k ≤ 2x≤2k，即 k( k ∈ Z) 函数≤ x ≤ k235 21212增加，即函数的增区 是[ k] (k ∈Z) ．⋯⋯ 12分， k12124.已知函数 f ( x)5sin x cos x 5 3 cos 2 x 5 32（Ⅰ）求 f(x) 的最小正周期；（Ⅱ）求 f(x) 的 增区 .解：（Ⅰ）f (x) 5sin x cos x5 3 cos 2 x5 325sin 2x 5 31cos2x5 3 2 225 sin 2x 5 3 cos2x25(sin 2x cos3 cos2x sin)35sin(2x3 )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴最小正周期 T=2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2（Ⅱ）由 意，解不等式22k2x32 2k ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分5得kxk( k Z )12125f ( x) 的 增区 是 [k k ]( kZ ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分12 ,125.已知函数f ( x)3 2 cos 2 x 8sin4 x , 求 f ( )的定 域，判断它的奇偶性，并求其cos2xx域 .解： f ( x)32(1 sin 2 x) 8sin 4 x12sin 2 x 8sin 4 xcos 2xcos2x(1 4 sin 2 x)(1 2 sin 2 x)4 sin 2x1.分cos2x( 4 )由 cos2x0,得 2x k, 解得 x k , k z224所以函数的定义域为 { x | x R, 且 xk , k 分24因为 的定义域关于原点对称 , 且 f ( x)f ( x),f ( x)是偶函数分f ( x).(9 )又f ( x) 4sin 2 x 1,且 xk , kz2 4f ( x)的值域为 { y |1y 5,且 y 3}.(12分 )6.已知函数f ( ) 2sin 2x sin 2 x 1,x.xR（ 1）求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大x 的集合；（ 2）在 定的坐 系中画出函数f (x) 在 [0, ] 上的 象 .解：（ I ） f ( x)2sin 2 x sin 2x 1sin 2x(1 2sin 2 x)sin 2 x cos2x=2 sin(2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分4所以 f ( x) 的最小正周期是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x，所以当 2x2k, 即xk 3 (k Z ） ， f ( x) 的最大 2 .R428即 f (x) 取得最大x 的集合 { x | xk3 , k Z} ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分8（ II ） 象如下 所示： （ 卷 注意以下3 点）1．最小 f (3)2 ，8最小 f (7)2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分82．增区 [ 0,3 ], [ 7 , ];3 8 78减区 [, ] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分8 83． 象上的特殊点： （ 0，－ 1），（4 ,1），（,1）， (3, 1), ( ,1) ⋯⋯⋯ 14 分24[ 注： 象上的特殊点 两个扣1 分，最多扣2 分 ]7.已知函数 ysinx3 cos x, x R.22（ 1）求 y 取最大 相 的x 的集合；（ 2） 函数的 象 怎 的平移和伸 可以得到y sin x( xR) 的 象 .解： y 2sin(x). ⋯⋯ 4 分23（1）当y 最大2.x { x | x 4k3 , k Z} ⋯⋯ 8 分（ 2）把 y2sin(x3) 象向右平移2 ，再把每个点的 坐村 原来的 1，横坐232不 . 然后再把每个点的横坐 原来的1， 坐 不 ， 即可得到 y sin x 的2象⋯⋯ 12 分8.已知函数f ( ) 4 sin 2 x 2sin 2 x 2,x .xR（ 1）求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大x 的集合；（ 2）求 ：函数f (x) 的 象关于直x8称（ 1）解： f (x) 2sin 2x 2sin 2x 22 sin 2x 2(12 sin 2 x) 2 sin 2x 2cos 2x=22 sin(2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分4所以 f ( x) 的最小正周期是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分xR ，所以当 2x2k ,即x k3Z ） ， f ( x) 的最大 2 2 .4(k28即 f (x) 取得最大x 的集合 { x | xk3, k Z} ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分8（ 2） 明：欲 函数f ( x) 的 象关于直x称，只要 明 于任意x R ，8有 f (x) f (8x) 成立即可 .8f (x) 2 2 sin[2(x)4] 2 2 sin(2x)2 2 cos 2x;882f (x) 22 sin[ 2(8x)]2 2 sin(2 x) 2 2 cos2 x.842f (x) f (8x).8从而函数 f ( x) 的 象关于直 x称 . ⋯⋯ 14 分8[ 注：如果学生用f () 2 2( f ( x))min ；8或求出所有的 称 方程，然后x是其中一条， （ 2）中扣去 2 分]89. 已知定 在区[,2] 上的函数 yf (x) 的 象关于直x称，36当 x [2 ] ，函数 f (x) A sin( x) ( A 0 ,0 ,) ，其 象如,2632所示 .y(1)2] 的表达式；求函数 y f ( x) 在 [,13(2) 求方程 f ( x)2?的解 .?o 6?2xx6（ 1）当x[, 2 ]时，函数 f ( x)Asin(x) ( A 0 ,0 ,22)，观察图象易得：63A 1 , 1 ,3，即 x[6,2] 时，函数 f ( x)sin( x3)，由函数 y f ( x) 的图象3关于直线x6对称得， x[,6] 时，函数 f ( x)sin x .∴ f ( x)sin(x 3 )x[ 6,23].sin x x[, 6 )（ 2 ）当x[, 2]时，由 sin( x3)2得， x34或3x12或x5；当632412 x[,6 ] 时，由sin x22得， x34或 x4. ∴方程 f (x)22的解集为 {34, 4 ,12,125}10.已知函数 f ( x)sin( x)cos( x) 的定义域为R，（1）当0 时，求f (x)的单调区间；（ 2）若(0, )，且 sin x0，当为何值时， f ( x) 为偶函数．解：（1）0 时， f (x)sin x cos x 2 sin( x)4当 2k x2k,即2k 3x2k（ k Z ）时f (x)24244单调递增；当 2k2x42k3,即 2k4x2k5（ k Z ）时f (x) 24单调递减；（ 2）若f(x) 偶函数，则 sin( x)c os( x)sin(x)cos(x)即 sin( x)sin( x)cos(x)cos( x) =0 2sin x cos2sin xsin02sin x(cos sin)02 cos()04Q(0,)4，此时， f (x) 是偶函数．。
高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)
2023届高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）解答题：立体几何1.如图,在四棱锥P ABCD -中,ABCD 为平行四边形,22AB AD ==,3PD BD AD ==,且PD ⊥底面ABCD(1)证明:BC ⊥平面PBD(2)若Q 为PC 的中点,求三棱锥A PBQ -的体积2.如图,三棱柱111ABC A B C -中,112AB AC AA BC ====,01160AAC ∠=,平面1ABC ⊥平面11AA C C ,1AC 与1A C 相交于点D ；(1)求证：1AB A C ⊥；(2)求二面角1C AB C --的正弦值.3.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC ==，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．（1）证明：//DF 平面PBE ；（2）求点F到平面PBE的距离．4.如图，在四棱锥P ABCD⊥，平面PAD⊥-中，底面ABCD是边长为1的正方形，BC PB平面ABCD，且PC=E为棱PC的中点.（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.5.如图,四边形ABCD为菱形,120∠=︒,四边形BDFE为矩形,平面BDFE⊥平面ABCD,ABC点P在AD上,EP BC⊥.(1)证明：AD⊥平面BEP；(2)若EP与平面ABCD所成角为60︒,求二面角C PE B--的余弦值.6.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠,使得平面,ABD⊥平面CBD,AE⊥平面ABD,F是BD的中点,且AE=.(1)求证：DE AC⊥；(2)求二面角B EC F--的大小.7.如下图所示，在侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AB =，14AA =，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC BC ⊥；(2)求证：1//AC 平面1CDB ；(3)求1B C 和平面11BAA B 所成的角的大小．8.在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,,E F 分别是线段,AD PB 的中点,1PA AB ==.(1)求证：//EF 平面DCP ；(2)求F 到平面PDC 的距离.答案以及解析1.答案：(1)∵222AD BD AB +=,∴AD BD ⊥,∵//AD BC ,∴BC BD⊥又∵PD ⊥底面ABCD ,∴PD BC ⊥.∵PD BD D ⋂=,∴BC ⊥平面PBD(2)三棱锥A PBQ -的体积A PBQ V -与三棱锥A QBC -的体积相等,12A QBC Q ABC P ABC V V V ---==111114434P ABCD -==⨯⨯=所以三棱锥A PBQ -的体积14A PBQ V -=2.答案：(1)已知侧面11AA C C 是菱形,D 是1AC 的中点,11,.BA BC BD AC =∴⊥ 因为平面1ABC ⊥平面11AA C C ,且BD ⊂平面1ABC ,平面1ABC 平面11=AA C C 1AC ,所以BD ⊥平面11AA C C ,所以1.BD A C ⊥又因为侧面11AA C C 是菱形,所以11.AC A C ⊥所以11A C AC B ⊥平面，11AB AC B AB A C⊂∴⊥ 平面，(2)如图,以D 为原点,以DA ,DB ,DC 所在直线分别为x 轴,z 轴,y 轴建立空间直角坐标系,由已知可得12AC =,1AD =,1BD A D DC ===BC =,∴(0,0,0)D ,(1,0,0)A ,B ,1(1,0,0)C -,C ,设平面ABC 的一个法向量是(,,)m x y z = ,(AB =- ,BC =由0AB m ⋅= ,0BC m ⋅= ,得00x ⎧-+=⎪=,可得m = ∵平面1ABC ⊥平面11AA C C ,11A C AC ⊥,∴CD ⊥平面1ABC ,∴平面1ABC 的一个法向量是(0,1,0)DC = ,∴cos ,m DC m DC m DC⋅== ,故二面角1C AB C --的正弦值是53.答案：（Ⅰ）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ，FG ，则//FG BC ，且12FG BC =，∵//DE BC 且12DE BC =，∴//DE FG 且DE FG =，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．利用等体积法：D PBE P BDE V V --=，即1133PBE BDE S d S PD ∆∆⋅=⋅，112BDE S DE AB ∆=⨯⨯=，∵PE BE ==PB =，∴PBE S ∆=∴63d =．4.答案：（1）∵,BC AB BC PB ⊥⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴BC PA ⊥，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，面PAD 平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，而PA ⊂平面PAD ，∴AB PA ⊥，又∵AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ．（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由（1）1PA ===，(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P ，则111(,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,,222BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,1,1)DP =- ，(1,1,0)DB =- ，设平面PBD 的一个法向量是(,,)n x y z = ，则00n DP y z n DB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，则1,1y z ==，即(1,1,1)n = ，设直线BE 与平面PBD 所成角为θ，则1sin cos ,3BE n BE n BE n θ⋅=<>==．5.答案：(1)因为,//EP BC AD BC ⊥,所以AD EP ⊥.因为平面BDFE ⊥平面ABCD ,BE BD ⊥,所以BE ⊥平面ABCD ,所以BE AD ⊥.又因为BE EP E ⋂=,所以AD ⊥平面BEP .(2)由(1)知EB ⊥平面ABCD ,所以EPB ∠为EP 与平面ABCD 所成的角,所以60EPB∠=,BEBP=AD⊥平面BEP,知AD BP⊥,设2AB=,则3BP BE=.连接AC,以AC和BD的交点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.则1(0,(1,0,0),,,0,(1,0,3)22A C D P E⎛⎫---⎪⎪⎝⎭所以1,,(1,22PC CE⎛⎫==⎪⎪⎝⎭设(,,)n x y z=为平面CEP的一个法向量,则10230n PC xn CE x z⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩可取n⎛=-⎝⎭.由(1)可知(AD=-为平面BEP的一个法向量.所以3cos,5||||n ADn ADn AD⋅〈〉===.结合图可知二面角C PE B--的余弦值为35.6.答案：(1)证明：以A为坐标原点,,,AB AD AE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则(E,()2,0,0B,()0,2,0D连结,CF AF .由题意得,CF BD⊥又 平面BDA ⊥平面BDC ,CF ∴⊥平面BDA,(C ∴,(0,2,DE =-,(1,1,AC =(0,0DE AC ⋅=-⋅= ,,DE AC ∴⊥.(2)解：设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =,(2,0,EB =,(1,1,BC =- ,00DE n CB n ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩11111200x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩取1z =,得：(1,n =- .平面FCE 的法向量为()222,,m x y z = ,()1,1,0F 所以(1,1,0)EC =,(0,0,FC = ,由2220000x y EC m z FC m +=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎩⎩得(1,1,0)m =- .设二面角B EC F --为θ,则cos cos ,2n m θ=<>= ,所以二面角B EC F --的大小为45︒.7.答案：(1)证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，底面三边长4AC BC ==，AB =，∴AC BC ⊥.又∵1C C ⊥面ABC ，∴1C C AC ⊥.∴AC ⊥平面11BCC B .∵1BC ⊂平面1BCC B ，∴1AC BC ⊥.(2)证明：设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，又四边形11BCC B 为矩形．E 是1BC 的中点，∵D 是AB 的中点，∴1//DE AC .∵DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，∴1//AC 平面1CDB .（3）AC BC =，点D 是AB 的中点．∴.CD AB ⊥又∵1A A ⊥面ABC ，∴1A A CD ⊥.∴C D ⊥平面11BAA B .∴1CB D ∠为所求CD =，1B C =130CB D ∠=︒.8.答案：1.取PC 中点M ,连接,DM MF ,∵,M F 分别是,PC PB 中点,1//,2MF CB MF CB ∴=,∵E 为DA 中点,ABCD 为正方形,1//,2DE CB DE CB ∴=,//,MF DE MF DE ∴=,四边形DEFM 为平行四边形,//,EF DM ∴∵EF ⊄平面PDC ,DM ⊂平面PDC ,//EF ∴平面PDC .2.∵//EF 平面PDC ,F ∴到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离,∵PA ⊥平面ABCD ,PA D A ∴⊥,∵1PA AD ==,在Rt PAD ∆中DP =∵PA ⊥平面ABCD ,PA CB ∴⊥,又∵CB ⊥AB ,PA AB A ⋂=,,CB ∴⊥平面P A B ,又∵PB ⊂平面P A B ,CB PB ∴⊥,故PC =.222PD DC PC ∴+=,PDC ∴∆为直角三角形,∵E PDC C PDE V V --=,设E 到平面PDC 的距离为h ,则1111111132322h ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅,4h ∴=F ∴到平面PDC 的距离.。
2020全国卷真题分类(数列、三角、解三角形、立体几何)
数列（2020卷一理17）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和． 答案：（1） 故{}n a 的公比为2-.（2） 1(31)(2)99nn n S +-=-（2020卷一文10）．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++= A ．12 B ．24 C ．30 D ．32答案：D（2020卷一文16）．数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = 答案：7（2020卷二理6）．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=.若155121022k k k a a a ++++++=-，则k = A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：C（2020卷二文3）．如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A ．5B ．8C ．10D ．15答案：C（2020卷二文6）．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a = A ．2n–1 B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n–1答案：B（2020卷三理17）．（12分）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2na n }的前n 项和S n ．答案：（1）2 1.n a n =+ （2）1(21)2 2.n n S n +=-+ （2020卷三文17）．（12分）设等比数列{a n }满足124a a +=，138a a -=． （1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 答案：（1）1=3n n a - （2）6m =三角函数（2020卷一理7）设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π2答案：C（2020卷一理9）．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= AB ．23C ．13D答案：A（2020卷二理2）．若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0 B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0答案：D（2020卷二文13）．若2sin 3x =-，则cos2x =__________答案：19（2020卷三理9）．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2 B ．–1C ．1D ．2答案：D（2020卷三理16）．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 答案：②③（2020卷三文5）．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12BC ．23D答案：B解三角形（2020卷一文18）．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b，求ABC △的面积；（2）若sin AC，求C . 答案：（1）√3（2）15C =︒（2020卷二理17）．（12分）ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．答案：（1）2π3A =（2）3+（2020卷二文17）．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ； （2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．答案：（1）3A π=（略）（2020卷三理7）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A立体几何（2020卷一理10）．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π答案：A（2020卷二理16）．如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB = .答案：14-（2020卷一理18）．（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO上一点，PO ．（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值．答案：（1）略（2）（2020卷一文19）．（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积. 答案：（1）略（2）√68（2020卷二理10）．已知△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为AB ．32C ．1D 答案：C（2020卷二文理20）．（12分）如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值．（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．答案：（1）略（2）（3）24（2020卷三理8）．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．答案：C（2020卷三理15）．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．答案：3π（2020卷三理19）．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．答案：（1）略（2）（2020卷三文19）．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内． 答案：略。
2020年高考数学全国卷2-理科数学试题参考答案
,y
2 0
= 4cx
0
,
故x 4c
2 0
2
+
4x 3c
0
=1
.
①
由于C 2
的准线为x
=
-c
, 所以|
MF |
= x 0 +c
, 而|
MF |
=5 , 故x 0 =5 -
c
,
代
入
①
得
(5 4c
c
2
)2
+
4
(5 3c
c
) =1,
1
2020年普通高等学校招生全国统一考试 ( 理科) 数 学 试题参考答案
2n
所以si n2x si n22x …si n22nx ≤ 3 3 8
3
=
3 4
n n
.
22 . 解: (1 )C 1 的普通方程为x + y = 4 (0 ≤x ≤4 ) .
由C 2
的参数方程得x2=t2Fra bibliotek+
1 t2
+2
,y
2
=t
2
+
1 t2
-
2 , 所以x 2 -
y 2 =4 .
故C 2 的普通方程为x 2 - y 2 =4 .
设 Q (a ,0 ,0 ) , 则 N Q =
4-
23 3
-
a
2
,B 1 a ,1 ,
4-
23 3
-
a
2
,故
B 1E→=
23 3
-
a
,
-
2 3
,-
4-
23 3
专题17 解三角形-2020年高考数学(理)(全国Ⅱ专版)(原卷版)
专题17解三角形【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴△周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴△周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==113sin 222ABC S ac B ==⨯=△【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．BC ．D ．【答案】A【解析】因为2253cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.【命题意图】三角函数主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以选择、填空、解答题的形式出现，属解答题中的低档题．预测今后的高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，可能与三角函数的图象和性质等交汇命题，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【命题规律】本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.【应试技巧】在ABC △中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则1．正弦定理：sin sin sin a b c==A B C.2．常见变形sin sin sin 1,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c ======（）2;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C+++++======+++++（）3::sin :sin :sin ;a b c A B C =（）3．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，4．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===5．三角形面积公式（1）三角形的高的公式：h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ，h C =a sin B =b sin A ．（2）三角形的面积公式：S =21ab sin C ，S =21bc sin A ，S =21ca sin B.6．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4==.sin sin sin a b cR R ABC A B C（）正弦定理的推广：，其中为△外接圆的半径7．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例）（1）从代数角度来看：①若sin sin 1b AB=a>，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sin sin 1b A B=a =，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b A B=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2.注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等进行讨论.（2）从几何角度来看：①当A 为锐角时，一解一解两解无解②当A 为钝角或直角时，一解一解无解无解8．利用余弦定理解三角形的步骤【解题经验分享】1．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．2．在解实际问题时，需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．3．利用正弦定理与余弦定理解题时，经常用到转化思想一个是把边转化为角，另一个是把角转化为边，，具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标，对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便，根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论，利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有锐角还是钝角，但计算麻烦．1．（2020·河北新乐市第一中学高三）已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC 的面积A ．12B ．1C ．D ．22．（2020·安徽省高三三模）在ABC 中，若3,120AB BC C ==∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．43．（2020·横峰中学高三）在ABC 中，已知45A ∠=︒，AB =，且AB 边上的高为则sin C =A ．1010BC ．5D ．54．（2020·广西壮族自治区高三）已知ABC 中，BC 边上的中线3AD =，4BC =，60BAC ∠=︒，则ABC ∆的周长为A 4+B ．4+C ．4+D ．45．（2020·山东省高三）在ABC 中，cos cos A B +=，AB =当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为A ．3B ．2C ．13D ．26．（2020·陕西省洛南中学高三）在ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π7．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）海伦公式是利用三角形的三条边的边长,,a b c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：+c2a b S p +==；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的△ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为A ．B ．C ．D ．128．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b a cosC sinC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，c 3=，则角C =A ．π3B ．π6C ．3π4D ．π49．（2020·麻城市实验高级中学高三）锐角ABC ∆中，角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，若()sin 04A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，1b c ==，则角C 的大小为A ．12πB ．6πC ．3πD ．512π10．（2020·麻城市实验高级中学高三）《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为A ．2114mB ．257mC ．254m D ．248m 11．（2020·福建省高三）设ABC 内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知()4cos cos a c B b C -=，则cos B =______．12．（2020·青海省高三）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =4b =，120A =︒，则ABC 的面积为______．13．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3A π=，6a =，b =，则C =_______．14．（2020·四川省阆中中学高三二模）在ABC 中，若()22235a c b+=，则cos B 的最小值为______．15．（2020·全国高三月考）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2cos cos 0a c B b C ++=，且4ac =，则ABC 的面积为______．16．（2020·内蒙古自治区高三二模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2B Cb a B +⋅=⋅，且2c =，则锐角ABC 面积的取值范围是______．17．（2020·赣榆智贤中学高三）在ABC 中角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且352115cos cos cos bc A ac B ab C==，则cos C 的值为______．18．（2020·河南省高三月考）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()222cos cos b a a B b A -=+，ABC ∆的周长为)51，则ABC ∆面积的最大值为______．19．（2020·福建省厦门外国语学校高三）如图所示，三个全等的三角形ABF 、BCD 、CAE V 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=______．20．（2020·江苏省高三）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其接圆半径为R .已知1c =，且△ABC 的面积()()22sin sin S R B A B A =-+，则a 的最小值为______．21．（2020·山东省高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =______，ABC ∆面积的最大值为______．22．（2020·西藏自治区高三二模）在ABC 中，4a =，5b =，6c =，则cos A =________，ABC 的面积为________．23．（2020·浙江省杭州高级中学高三）在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，135o B ∠=，AB =，AC =，5CD =，则sin ACB ∠=________，AD =________.24．（2020·广东省高三月考）已知锐角ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos cos b A A C =2cos A，则tan A =______；若2a =，则b c +的取值范围为______．25．（2020·浙江省高三）已知在ABC 中，1cos3B =，AB =，8AC =，延长BC 至D ，使2CD =，则AD =______，sin CAD ∠=______．26．（2020·山东省高三三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos sin a b C c B -=．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，sin 3sin A C =，求BC 边上的高．27．（2020·天津高三二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a 2+c 2＝b 2105+ac .（1）求cosB 及tan 2B 的值；（2）若b ＝3，A 4π=，求c 的值.28．（2020·定远县育才学校高三）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2cos c a B -=.（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC 面积的取值范围.29．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos a C b c A =-.（1）求角A 的大小；（2）若a =，2b =，求ABC ∆的面积.30．（2020·全国高三月考）已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且57b c =，4cos 5A =，ABC 的面积21S =.（1）求边b 和c ；（2）求角B .31．（2020·广东省高三）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22sin 1cos22A B C +=-.（1）求出角C 的大小；（2）若ABC ，求ABC 的周长的最小值.32．（2020·湖北省高三）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其面积S 2224b c a +-=．（1）若a =b =cos B ．（2）求sin （A +B ）+sin B cos B +cos （B ﹣A ）的最大值．33．（2020·四川省泸县五中高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.34．（2020·六盘山高级中学高三）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c +的最大值.35．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模）在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin b A B=.（1）求A ；（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积.36．（2020·定西市第一中学高三）在锐角ABC 中，a =，________，（1）求角A ；（2）求ABC 的周长l 的范围.注：在①(cos ,sin ),(cos ,sin )2222A A A A m n =-= ，且12m n ⋅=- ，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(,()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.37．（2020·天津耀华中学高三一模）在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且a b ¹.（Ⅰ）求cos B 及a 的值；（Ⅱ）求cos 23B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.38．（2020·山东省高三）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin cos cos cos A B C A B C+=+（1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC 的面积S =（2）若3a =，求ABC 周长L 的取值范围．39．（2020·广东省金山中学高三三模）已知ABC 内接于单位圆，且()()112tanA tanB ++=，()1求角C()2求ABC 面积的最大值．40．（2020·梅河口市第五中学高三）已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，()sin sin sin sin a A C b B c C -=-，点D 在边AB 上，1BD =，且DA =.（1）求角B 的大小；（2）若BCD 的面积为2，求b 的值.41．（2020·江苏省高三三模）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若5(sin C sin B)5sin A 8sin B a b c--=+．（1）求cosC 的值；（2）若A ＝C ，求sinB 的值．42．（2020·湖南省高三三模）已知,,a b c 分别是ABC 内角,,A B C 的对边，()cos (cos cos )b a C c A B -=-，22b ac =．（1）求cos C ；（2）若ABC c ．43．（2020·云南省云南师大附中高三）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且三个内角A 、B 、C 依次成等差数列.（1）若2sin sin sin B A C =，求角A ；（2）若ABC 为钝角三角形，且a c >，求21cos cos 2222A A C -+的取值范围.44．（2020·巩义市教育科研培训中心高三）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒.（1）若2a b =，求tan A 的值；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且1CD =，求ABC 的面积的最小值.45．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=.（1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.46．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin c b A b -=．（1）证明：2A B =．（2）若3cos 4B =，求sinC 的值．47．（2020·甘肃省高三）如图所示，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s 3c in os 3b C C a-=.（1）求A ；（2）若点P 是线段CA 延长线上一点，且3PA =，2AC =，6C π=，求PB .48．（2020·黑龙江省哈师大附中高三）在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且直线x C =为函数()22cos sin cos f x x x x x =--图象的一条对称轴．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若kc a b ≥+恒成立，求实数k 的最小值．49．（2020·甘肃省西北师大附中高三）在ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且)()2cos cos b A C π--=.(Ⅰ)求A 的值；(Ⅱ)若角,6B BC π=边上的中线AM =，求ABC ∆的面积.50．（2020·福建省厦门一中高三）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，33CD AB ==．（1）若CA CD =，且tan ABC ∠=ABC 的面积S ；（2）若2cos 4DAC ∠=，3cos 4ACD ∠=，求BD 的长．51．（2020·全国高三三模）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别等于a ，b ，c ，列举如下五个条件:①sin sin 2B C a B b +=；sin A A +=；③cos A +cos2A =0；④a =4；⑤△ABC 的面积等于.（1）请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角A 大小的条件来求角A ；（2）在（1）的结论的基础上，再在所给条件中选择一个(只需选择一个)，求△ABC 周长的取值范围52．（2020·山东省高三二模）在①222b ac a c +=+，②cos sin B b A =cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_________，4A π=，b =（1）求角B ；（2）求ABC 的面积.。
2020年高考数学全国Ⅱ卷理科第17题解法探析
理科考试研究•数学版2021年3月1日• 2 •数•變M 2020年高考教学全国n 卷理科第17题鮮法採析孙要强1谢榕平2(1.中山市第一中学广东中山528403; 2.中山市杨仙逸中学广东中山528400)摘要：本文对2020年高考数学全国n 卷理科第丨7题进行不同角度多种解法的探析，对解三角形专题的备考给出建议，引导教学. .关键词：解三角形；解法探析；三角函数三角函数内容是高中数学中的基础内容、也是重 要内容之一，历年来在数学科高考中都占有重要地 位.2020年高考数学全国I 卷理科第17题，对解三角 形知识的考查高度契合《中国高考评价体系》中的高 考命题理念，突出基础性，体现综合性.1真题呈现与分析题目 A A BC 中，s i n 2；4 - s i n 2 Z ? - s i n 2 C = sinfisinC , ⑴求(2)若fiC =3,求周长的最大值.试题题干简洁，是传统的解三角形题目，涉及正 弦定理、余弦定理、三角形周长、不等式等知识，主要 考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.2解法探析所以 9 = (AC +4B )2 -4C •(/1C +45)2 -^AC±ABy ^l .^A C +A B )\解得+仙矣2,（当且仅当此=仙时取等号）.BfVAAABC J ^^L =A C +A B + B C ^：3 +2^".所以A /lfiC 周长的最大值为3 +於.评析本解法的关键是能够联想到基本不等式 是求最值的常用工具，在余弦定理构造的等式中，结 合基本不等式构造不等关系求得最值.此方法思路简洁，运算方便,但需熟练掌握“和” ”积” “方”之间的 关系.解法2基于函数视角研究最值问题.2.1第（1)问解析解析由正弦定理，得BC 2 -4C 2 -仙2 =也:• A R 所以c o s v 4AC2 +AB2 -B C 22AC • AB由正弦定理，得AC AB BC3sinB sinC s i n ^l . 2t tsinT= 2/3.ACsmB ,AB =2.2第（2)问解析解法1基于基本不等式视角，求边长之和的最值问题.由余弦定理，得B C 2 =仏2 +仙2 -2仏• /IBcos/l^AC2 +A B 2 +A C ■ A B =9.艮P (4C +/IB )2 —4C -45=9.因为AC ./IS 矣（^^)2(当且仅当也：=狀时取等号），由 4+£ + C = tt ,知EffU , BC +A C +A B ^3 +2vTsinfi +2vJsinC =3 + 2v /5"sinB + 2y ^"s i n (子-B )=3 + 2y 5"sinB + 2^/5"(夸 c osB — )=3 +^/3sinB +3cosB =3 +2^"sin (B +y ).因为 0<B <f ,所以 f <B +f <^.基金项目：广东省教育科研一般项目“核心素养下的高中数学专题教学研究”（项目编号：2018YQJK 236);广东省教育研究院 中小学数学教学研究专项课题“基于新课标的高中数学情境化设计实践研究”（基金项目：GDJY -2020-A -sl 22).作者简介：孙要强（1983 -)，男，河南驻马店人，硕士，中学一级教师，研究方向：高中数学教学；谢榕平（ 1980 -)，女，广东肇庆人，硕士，中学高级教师，研究方向：高中数学教学.2021年3月1日理科考试研究•数学版所以当矛=号，即B =晋时，周长有最大值3+2y ^.解法3基于函数视角研究最值问题(和差化积).AC AB BC3由正弦定理，得sinB sinC sinA2t t s i n —2/3.BfVJ , AC =2j 3sinB,AB ^^sinC .由 /l +S + C ^TT ，知 B + C =pJr^BC +A C +A B =3 +2jJsinB +2j 3sinC =3 + 2y ^ (s i n J 5 + sinC )^ A . B + C B — C=5 +4V 3 s i n —-—cos：3COS2B -C~2~'所以当¥=〇,即B = c = f 时，周长有最大值+ 2/3.解法4基于函数视角研究最值问题(对称构造).AC AB BC3^ ^由正弦定理，得• R - . r - 4，sin /> sinC s i r b 4 Z t t sm —所以 /1C =2v ^"sinB ，/4B =2v /5"sinC 由 4+B +C = 77,知 B + C =f .设+•一 a ，贝lj-f <a <f .&i V J ,B C +A C +A B ^3 + 2/3 sinB +2/3 sinC=3 +2V 5"[sin (^- + a ) +sin (^--a )]=3 +2v ^cosa .所以当a =0,即s = C = j 时,周长有最大值3 +於. 解法5基于图形几何定性分析研究最值问题.由正弦定理，得2/；B C _ 3sinA . 2 77s i n -r ---2j 3.所以三角形的外接圆直径为$，弦长BC = 3,圆周角彳=穿.所以当/ic = 时，周长有最大值3 + 2vr .评析对称推断，直观、简洁、清晰，小题方便，大题慎用.解法6通过建立方程研究最值问题.B C 2 ^AC2 +AB2 -2AC • ABcosA= AC2 +AB2 +A C • A B ^9.^{A C +AB)2-A C • A B ^9.①代人①式真2 -f •此 + t 2 -9 =0•■ A = 36 - 3t 2 ^0,方程有正根，所以，《>〇，.t 2-9 >0.所以3 <«矣2^.所以周长最大值为3+2^".评析利用转化与化归、函数与方程的思想求 解，本解法要注意方程有解不完全等价于判别式大于 等于零.解法7利用向量、坐标法研究最值问题.以S C 中点为坐标原点，B C 所在直线为;c 轴,BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系.则 SC -I ，。
2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题17-22题-(学生版)
2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题17-22题原题171．在①3ac ①sin 3c A =，①3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 变式题1基础2．在①2cos cos cos a A c B b C =+；①sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若ABC 的面积33S +=2c =，___________，求a . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 变式题2基础 3．在①cos cos 2B bC a c =-+，①sin sin sin A b c B C a c+=-+，①23S BC =-⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若3tan A =2a =，求b 的值 变式题3巩固 4．在①cos cos 2B b C a c=-+，①sin sin sin A b cB C a c +=-+，①23S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______7sin 2sin C A =，求最小边长.变式题4巩固 5．在①cos cos 2B bC a c =-+，①sin sin sin A b c B C a c+=-+，①23S BC =-⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，点M 是AC 边上的一点，且2AM MC =，3c =，13BM =求a 的值. 变式题5巩固6．在①cos cos 2B bC a c =-+，①sin sin sin A b c B C a c+=-+，①2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，BD 是ABC ∠的平分线交AC 于点D ，若1BD =，求4a c+的最小值. 变式题6巩固7．在①5cos 2A b =，①2A+C =B ，①()2sin 3sin 0a C c A C -+=这三个条件中任选一个，补充下面的问题中，并解答.是否存在ABC ，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()2sin sin sin A C A C +=+，4a c +=，______？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由. 原题188．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.变式题1基础9．在递增的等比数列{}n a 中，2532a a =，3412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1(1)nn n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .变式题2基础10．在等比数列{}n a 中，312a =，48a =． (1)求首项1a 和公比q ； (2)求数列{}n a 的前8项和8S ． 变式题3巩固11．设{}n a 是等差数列，且22a =，1325a a +=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设22n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和为n S .变式题4巩固12．已知等差数列{an }满足2a 2+a 5=0，a 7=2a 4-2. (1)求{an }的通项公式；(2)设bn =2n a ，求数列{bn }的前n 项和. 变式题5巩固13．已知数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，*n N ∈，且11a =，5722a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记在区间()()1*3,3m m m N +∈上，{}n a 的项数为m b ，求数列{}m b 的前m 项和. 变式题6提升14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，已知14a =，其前n 项的积为n T ，且1054T =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，且23122n S n n =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b a 的前n 项和n R . 原题1915．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，变式题1基础16．为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令.某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区50户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元）的户数频率分布直方图如图，其中赞成限购的户数如下表：(1)若从人平均月收入在[9,11)的住户中再随机抽取两户，求所抽取的两户至少有一户赞成楼市限购令的概率；(2)若将小区人平均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人平均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”根据已知条件完成如图所给的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关. 非高收入户 高收入户 总计 赞成不赞成 总计附：临界值表()2P K k0.1 0.05 0.010 0.001k2.7063.841 6.635 10.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.变式题2基础17．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量50kg < 箱产量 50kg ≥ 旧养殖法附： )2k0.0503.84122()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．变式题3巩固18．手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？ 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++()20P K k ≥0.10 0.050 0.010 0.001k2.7063.841 6.635 10.828变式题4巩固19．为了调查90后上班族每个月的休假天数，研究人员随机抽取了1000名90后上班族作出调查，所得数据统计如下图所示．(1)求a 的值以及这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)以频率估计概率，若从所有90后上班族中随机抽取4人，求至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率； (3)为研究90后上班族休假天数与月薪的关系，从上述1000名被调查者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关．月休假不超过6天月休假超过6天合计 月薪超过5000 90 月薪不超过5000140 合计300变式题5巩固20．北京某高中举办了一次“喜迎国庆”的读书读报知识竞赛，参赛选手为从高一年级和高二年级随机抽取的各100名学生．图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩的频率分布直方图．(1)分别估计参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；(2)若称成绩在68分以上的学生知识渊博，试估计该校高一、高二两个年级学生的知识渊博率；(3)完成下面22 列联表，并回答是否有99%的把握认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．变式题6提升21．2020年一位返乡创业青年小李在其家乡开了一家蛋糕店，由于业务不熟练，误将昨天制作的2个蛋糕和今天制作的3个蛋糕用相同的包装盒子包好后混放在一起给了客户，小李追回来后，现需要拆开将其区分，直到找出2个昨天制作的蛋糕或者找出3个今天制作的蛋糕为止．(1)若小李随机拆开两个盒子，求拆开后恰好是今天制作的蛋糕的概率；(2)为提高蛋糕店的服务水平，小李随机调查了光顾过该店的50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该蛋糕店的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表．①估计男顾客对该蛋糕店的满意的概率以及顾客对该蛋糕店的满意的概率；①能否有95%的把握认为男、女顾客对该蛋糕店服务的评价有差异？．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥0.05 0.01 0.001k3.841 6.635 10.828原题2022．如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB 2PB 与平面QCD 所成角的正弦值． 变式题1基础23．如图所示几何体中，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值． 变式题2基础24．如图，在四棱锥P ABED -中，AD AB ⊥，//BE AD ，2224AD BE AB PA ====，PA ⊥平面ABED ，M 为AD 的中点.(1)证明：ED ⊥平面PAE ；(2)求直线PD 与平面PBM 所成角的余弦值. 变式题3巩固25．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，AE AF ==BE DF ==装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹.(1)证明：PA ⊥底面ABCD ；(2)设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --PB 与平面PAT 所成角的正弦值. 变式题4巩固26．如图所示，在三棱锥A BCD -中，AD BC ⊥，2AD BD ==，BC =AC =45DBC ∠=︒.(1)求证：AD ⊥平面BCD ；(2)若E 为DC 的中点，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值.变式题5巩固27．如图，已知AB BC ⊥，BE CD ，90DCB ∠=︒，平面BCDE ⊥平面ABC ，2AB BC BE ===，4CD =，F 为AD 中点．(1)证明：EF ⊥平面ACD ；(2)求直线CE 与平面ABD 所成角的正切值．变式题6提升28．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，132AD BC ==5PC =AD BC ∥，AB AC =，150=︒∠BAD ，30PDA ∠=︒．(1)证明：PA ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于14原题2129．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求①AMN 的面积的最大值.变式题1基础30．已知两圆222212:(2)54,:(2)6C x y C x y -+=++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点()3,0A 的直线与曲线C 交于,P Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ，求ARQ 面积的最大值.变式题2基础31．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线:0l x =经过椭圆C 的一个焦点和一个顶点. (1)求椭圆C 的方程；(2)若A ，B 是椭圆C 上的两个动点，且AB 的中点到原点O 的距离为1，求AOB 面积的最大值.变式题3巩固32．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，上､下顶点分别为B ，D ，直线AB 的斜率为12-，坐标原点O 到直线AB . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l //AB ，且交椭圆C 于M ，N 两点，当①DMN 的面积最大时，求直线l 的方程.变式题4巩固33．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为12，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点，3AB =(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于A ，B 两点，求ABF 面积最大值及此时直线l 的斜率.变式题5巩固34．顺次连接椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点，得到的四边形的面积为C 的某两个顶点，可构成斜率为2的直线. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点(4,0)A -的直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，点B 在线段EF 上，若||||||||AE BE AF BF =，求OAB （O 为坐标原点）面积的取值范围.变式题6提升35．已知P 为圆2216x y +=上的一个动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，M 为线段PQ 的中点，M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若不过原点的直线l ：y x m =-+与E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值.原题2236．已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．变式题1基础37．已知函数()3221f x x ax a x =---，其中0a <.（1）求曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程；（2）若存在实数t ，使得不等式()0f x <的解集为(),t -∞，求a 的取值范围.变式题2巩固38．已知函数()e cos xf x x =+，()22ln 2x g x a x =-+. (1)求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；(2)若()()2f g x >恒成立，求a 的取值范围.变式题3巩固39．已知函数2()ln f x x mx =+．(1)当2m =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若关于x 的不等式()1(12)f x m x ≤++在(]0,e 上恒成立，求实数m 的取值范围．变式题4巩固40．已知函数2()ln ()f x x x ax a =+∈R 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行（e 是自然对数的底数）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.变式题5提升41．已知函数()ln 1f x x =+，()e 1x g x =-.(1)判断是否存在过原点的直线l 与()f x ，()g x 的图像都相切.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.(2)若0a >，且()()eag ax a f x +<在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.变式题6提升42．已知()2123ln 2f x x x x =--，()321ln 6g x x x a x =+-. (1)求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若不等式()()()26xf x g x f x x a ''->-+-对任意1x >成立，求a 的最大整数解.。
三角函数与解三角形解析版高三毕业班数学第满分练
第17题 三角函数与解三角形高考考点命题分析三年高考探源 考查频率利用正、余弦定理解三角形解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．2020新课标Ⅱ卷T17 2020新课标Ⅰ卷T18 2020新高考Ⅰ卷T172021新高考Ⅰ卷T192021新高考Ⅱ卷T18 ★★★ 解三角形与其他知识的交汇问题 2019课标全国Ⅱ卷T172019课标全国Ⅲ卷T 17★★★(2021·新高考Ⅰ卷T19)(12分)记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．【评分标准展示——看细节】评分细则 第(1)问：写对正弦定理，得1分；正确代入2b ac =得1分；利用sin sin BD ABC a C ∠=，求出BD 得2分；第(2)问：利用2AD DC =得出21,33AD b DC b ==得1分；在ABD ∆中,写出余弦定理得1分；在CBD ∆中写出余弦定理得1分，根据角的关系写出cos cos 0BDA BDC ∠+∠=得1分，列出方程，并正确求出3c a =或23c a =得2分；根据3c a =，舍去增根1份；根据23c a =，正确解出7cos 12ABC ∠=得1分.【解析】（1由正弦定理知，2sin sin b cR ABC ACB==∠∠，……………………………1分2sin b R ABC ∴=∠，2sin c R ACB =∠，2b ac =，2sin 2sin b R ABC a R ACB ∴⋅∠=⋅∠，………………2分即sin sin b ABC a C ∠=，sin sin BD ABC a C ∠=．BD b ∴=；……………………………4分 （2）由（1）知BD b =，2AD DC =，23AD b ∴=，13DC b =，…………………………5分在ABD ∆中，由余弦定理知，2222222222()1393cos 221223b bc BD AD AB b c BDA BD AD b b b +-+--∠===⋅⋅，………6分 在CBD ∆中，由余弦定理知，2222222221()1093cos 12623b b a BD CD BC b a BDC BD CD b b b +-+--∠===⋅⋅……7分 BDA BDC π∠+∠=，cos cos 0BDA BDC ∴∠+∠=，……………………………8分即2222221391090126b c b a b b--+=，得22233918b c a =+， 2b ac =，22933180c ac a ∴-+=，3c a ∴=或23c a =，……………………………10分在ABC ∆中，当3c a =时，7cos 16ABC ∠=>（舍)； 当23c a =时，7cos 12ABC ∠=；综上所述，7cos 12ABC ∠=．……………………………12分【一题多解鉴赏——拓思路】【解析】（1由正弦定理知，2sin sin b cR ABC ACB==∠∠，……………………………1分2sin b R ABC ∴=∠，2sin c R ACB =∠，2b ac =，2sin 2sin b R ABC a R ACB ∴⋅∠=⋅∠，………………2分即sin sin b ABC a C ∠=，sin sin BD ABC a C ∠=．BD b ∴=；……………………………4分（2）由∆ABC 中，由余弦定理得：2222cos a c b ac B +=+ ○1……………………………6分 由（1）得1233BD BA BC =+，BD b = 得222494cos c a b ac B +=- ○2……………………………8分 ○1○2联立，消去cos ac B ，可得2221136b c a =+ 2b ac =，22933180c ac a ∴-+=，3c a ∴=或23c a =，……………………………10分在ABC ∆中，当3c a =时，7cos 16ABC ∠=>（舍)； 当23c a =时，7cos 12ABC ∠=；综上所述，7cos 12ABC ∠=．……………………………12分【阅卷老师提醒——明原因】1.易错点提醒：（1）利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号. （2）在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围.（3）求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.（4）三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，平移量为ωϕ，而不是φ.（5）在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.2.得分点提醒：（1）利用正弦、余弦定理时，把定理完整写出是得分点。
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此时c＝2 3.
10分
正确实现角化边
得2分. 3.化简得b，c的 关系得2分. 4.正确求得角A、 B、C得2分. 5.结合条件②正 确求得结论得2 分.
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答题模板
标准解答
踩点得分
方案三：选条件③
得分点及说明
第1步：变式 利用余弦定理将C＝6π转化为
←由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
化为边a，b的等式. 第3步：化简 利用第1步、第2步的结论化简 得b＝c. 第4步：变角 利用三角形内角和定理求A． 第5步：计算 根据条件②及第4步的结论求 得结果.
2020版高三数学新课标大二轮数学(理) 专题一三角函数与解三角形高考解答题突破(一) 三角函数与解三角形
高考解答题突破(一)三角函数与解三角形突破“三变”——变角、变式、变名1．常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝⎛⎭⎪⎫α2－β.2．常用的变式技巧主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及sin x ±cos x 、sin x ·cos x 的问题，常做换元处理，如令t ＝sin x ±cos x ∈[－2，2]，将原问题转化为关于t 的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．3．常用的变名技巧(1)诱导公式．如sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α. (2)切弦互化．tan α＝sin αcos α.考向一 三角变换与三角函数的性质 1．三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等．2．研究三角函数的值域、最值、周期、单调性等性质，首先要将函数解析式化为标准形式，再结合图形求解．解答此类问题的关键在于“变”，其思路为“一角二名三结构”1．(2019·浙江宁波一模)已知函数f(x)＝23sinωx cosωx＋2cos2ωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数g (x )的最大值． [解] (1)由题意知f (x )＝3sin2ωx ＋1＋cos2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1， ∵T ＝π，2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得 π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z . (2)∵g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )max ＝2×1＋1＝3. 考向二 解三角形1．利用正弦、余弦定理完成边与角的互化，结合三角公式达到求值的目的．2．利用正弦、余弦定理进行有关的判断或证明．解答此类题目思路是“先变后解”，一是优先判断所给的等式的特点，正确分析已知等式的边角关系，合理地判断边往角化，还是角往边化；二是利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等进行三角形中边角关系的互化．2．(2019·长沙五校联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积．[解] (1)a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ，即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 即3sin A sin C －cos A sin C ＝sin C .又sin C ≠0，所以化简得3sin A －cos A ＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.在△ABC 中，0<A <π，所以A －π6＝π6，得A ＝π3. (2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B ＝437. 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314. 由正弦定理得，a c ＝sin A sin C ＝75.设a ＝7x ，c ＝5x (x >0)，则在△ABD 中， AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x ×12×7x ×17， 解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝10 3.考向三 平面向量与三角函数、解三角形在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．破解平面向量与“三角”交汇题的关键3点一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”；三是活用“两定理”，有关解三角形的关键是正确分析边角关系，由于边与角可谓形影不离的“好姐妹”，在正、余弦定理的帮助下，边角互化，即可妙解三角形．3．(2019·广东八校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量m ＝(2a －c ，b )与向量n ＝(cos C ，cos B )共线．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝37，a ＝3，且AD→＝2DC →，求BD 的长度．[解] (1)∵向量m ＝(2a －c ，b )与向量n ＝(cos C ，cos B )共线， ∴(2a －c )cos B ＝b cos C .由正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， 即sin A (2cos B －1)＝0.∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴2cos B －1＝0，即cos B ＝12. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. (2)∵b ＝37，a ＝3，B ＝π3，∴在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋c 2－632×3c ＝12，∴c 2－3c －54＝0，解得c ＝9或c ＝－6(舍去)．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋63－812×3×37＝－127 .∵AD →＝2DC →，∴DC ＝13×37＝7. ∴在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝CB 2＋DC 2－2CB ·DC cos C ＝9＋7－2×3×7×－127＝19，∴BD ＝19.专题强化训练(十三)1．(2019·大同模拟)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫ax －π4＋2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫ax －π4(a >0)，且函数的最小正周期为π2. (1)求a 的值；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．[解] (1)函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4(a >0)，化简可得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax －π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax －π2＋1＝－3cos2ax ＋sin2ax＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax －π3＋1，∵函数的最小正周期为π2，即T ＝π2. 由T ＝2π2a ，可得a ＝2，∴a 的值为2. 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3＋1. (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，4x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 当4x －π3＝－π3时，函数f (x )取得最小值为2×⎝⎛⎭⎪⎫－32＋1＝－3＋1＝1－3，当4x －π3＝π2时，函数f (x )取得最大值为2×1＋1＝3. ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为3，最小值为1－ 3. 2．(2019·银川一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝3b .(1)求角A 的值；(2)若AB ＝3，AC 边上的中线BD 的长为13，求△ABC 的面积． [解] (1)在△ABC 中，由2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝3b 及正弦定理，得2sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin C cos π3＋cos C sin π3＝3sin B ， 即sin A sin C ＋3sin A cos C ＝3sin(A ＋C )，sin A sin C ＋3sin A cos C ＝3sin A cos C ＋3cos A sin C ， 即sin A sin C ＝3cos A sin C ．因为sin C ≠0，所以sin A ＝3cos A ，则tan A ＝ 3. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)在△ABD 中，AB ＝3，BD ＝13，A ＝π3，由余弦定理， 得AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝BD 2，所以9＋AD 2－3AD ＝13， 所以AD ＝4(负值舍去)．又D 是AC 的中点，所以AC ＝8， 则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝6 3.3．(2019·合肥质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ，cos2A －cos2B ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，且m ∥n .(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且A ＝π4，外接圆半径R ＝2，求△ABC 的周长．[解] (1)由m ∥n ，得cos2A －cos2B＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，即2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2A －14sin 2A ，化简得sin B ＝32，故B ＝π3或2π3.(2)因为△ABC 为锐角三角形，所以B ＝π3， 则由A ＝π4，得C ＝π－(A ＋B )＝5π12. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ， 得a ＝4sin π4＝22，b ＝4sin π3＝23，c ＝4sin 5π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32＋12×22＝6＋2，所以△ABC 的周长为6＋23＋3 2.4．(2019·河南信阳二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ．(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． [解] (1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc .∴由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. 又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ．∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ． ∴S ＋3cos B cos C＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )．故当⎩⎪⎨⎪⎧B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取得最大值 3.。
高考数学 考点一遍过 考点17 正、余弦定理及解三角形 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点17正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设ABC△的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）12S ah= (h为BC边上的高)；（2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c=++(r为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A=b sin C=c sin B，h B=c sin A=a sin C，h C=a sin B=b sin A．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．4．解三角形实际应用题的步骤考向一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+；()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C+=.典例1在ABC △中，内角所对的边分别为，若，，则ca的值为A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】D【解析】由，结合正弦定理，可得， 即， 由于，所以，因为0＜A ＜π，所以． 又，由余弦定理可得， 即，所以. 故选D ．典例2已知ABC △的内角的对边分别为,且. （1）求；（2）若,线段的垂直平分线交于点,求的长. 【解析】（1）因为,所以. 由余弦定理得， 又，所以. （2）由（1）知,根据余弦定理可得， 所以.sin 2B =，解得.从而cos B =. 设的中垂线交于点, 因为在Rt BDE △中，，所以cos BE BD B ===， 因为为线段的中垂线，所以.1．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()2cos cos cos C a B b A c +=，1,3a b ==，则c = A ．3 B．CD2．在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =. （1）求BDCD； （2）若1AD AC ==，求BC 的长．考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例3在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足3cos cos sin sin cos 2A C A CB ++=，且,,a b c 成等比数列.（1）求角B 的大小； （2）若2,2tan tan tan a c ba A C B+==,试判断三角形的形状.【解析】（1∵()cos cos B A C =-+，32sin sin 2A C ∴=,又22sin sin sin b ac B A C =⇒=,232sin 2B ∴=而,,a b c 成等比数列，所以b 不是最大， 故B 为锐角，所以60B =︒.（2）由2tan tan tan a c b A C B +=,利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==,所以ABC △是等边三角形.3．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（1）求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若△ABC 是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值．考向三与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．△中，角的对边分别为，且．典例4 在ABC（1）求角；△面积的最大值．（2）若，求ABC【解析】（1）由已知和正弦定理得，，，解得．（2）由余弦定理得：，即，整理得：．∵（当且仅当取等号），∴，即，，△面积的最大值为．故ABC【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.△中，，是边上的一点.典例5在ABC（1）若，求的长；（2）若，求ABC △周长的取值范围. 【解析】（1）在ADC △中，AD ＝1，， 所以＝cos ∠DAC ＝1×2×cos∠DAC ＝3, 所以cos ∠DAC ＝.由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD DAC =+∠-⋅⋅＝12＋1－2×2×1×＝7， 所以CD ＝.（2）在ABC △中，由正弦定理得4sin sin sin sin 3AB BC AC C A B ====，，ππ0,sin 33A A ⎤⎛⎫<<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.，故ABC △周长的取值范围为 .4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22()13a b cab--=-．（1）求角C ； （2）若c b ==，求B 及ABC △的面积．5．已知,,a b c 分别是ABC △三个内角,,A B C 所对的边，且1cos 2a C cb +=. （1）求A ；（2）若1a =，求ABC △的周长L 的取值范围.考向四三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6 如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知π4B =，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，DC =，求角A 的大小； （2）若BCD △的面积为16，求AB 的长. 【解析】（1）在BCD △中，π4B =，1BC =，DC =由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，解得1sin 3BDC ⨯∠==所以π3BDC ∠=或2π3. 因为ABC △是锐角三角形，所以2π3BDC ∠=. 又DA DC =，所以π3A =. （2）由题意可得1π1sin 246BCD S BC BD =⋅⋅⋅=△，解得3BD =， 由余弦定理得222π2cos4CD BC BD BC BD =+-⋅⋅=251219329+-⨯⨯=，解得CD =，则AB AD BD CD BD =+=+=. 所以AB6．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos B +b =2c .（1）求角A 的大小；（2）若AC 边上的中线BD AB ⊥BD ，求BC 的长．考向五解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()1515BAC ︒∠=︒方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60︒方向上，此时测得山顶P 的仰角为60︒，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？【解析】（1）在BCP △中，tan 2PCPBC BC ∠=⇒=， 在ABC △中，由正弦定理得所以)21AB =，故船的航行速度是每小时)61千米.（2）在BCD △中，由余弦定理得CD =在BCD △中，由正弦定理得所以山顶位于D 处南偏东45︒方向.7．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：90ACD ∠=︒，60ADC ∠=︒，15ACB ∠=︒，105BCE ∠=︒，45CEB ∠=︒，1DC CE ==百米．（1）求△CDE 的面积；（2）求A ，B 之间的距离的平方．考向六三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =ABC △的面积． 【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=⋅=m n ，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=，πsin()06A -=.ππ2π(,)663A -∈-， 所以06A -=，即π6A =.（2）设||BD x =，由3BD BC =，得||3BC x =，由（1）知π6A C ==，所以||3BA x =在ABD △中，由余弦定理，得2222π(3)213)(33cos x x x x =+-⨯⨯，解得1x =， 所以3AB BC ==， 所以··sin 33sin 112π932234ABC S BA BC B ==⨯=⨯⨯△. 典例9ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .（1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 【解析】（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . 因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， 所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． 所以cos B 的最小值为12.8．已知()()3sin ,cos ,cos ,cos ,x x x x x ==∈R m n ，设()f x =⋅m n ．（1）求()f x 的解析式并求出它的最小正周期T ；（2）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．1．设△ABC 的内角所对边的长分别是，且，，，则的值为 A ．B ．4C ．D ．2．在ABC △中，，，则角的取值范围是 A ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭3．已知ABC △的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则ABC △是 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定4．ABC △中，2AB =，BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于A B ．34C D ．35．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒，这时船与灯塔的距离为A ．B ．kmC ．D ．6．已知ABC △的面积为，，则的最小值为 A ． B ． C ．D ．7．设ABC △的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．D ．18．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =4c =，且cos 3cos a B b A =，则△ABC 的面积为 A ．2B ．3C ．4D ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)a c a b =+-p ，(,)b a c =-q ，且∥p q ，则角C =A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π210．若ABC △的三个内角所对的边分别是，，且，则A ．10B ．8C ．7D ．411．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC △的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．2C ．4D ．412．平面四边形中，，，，，，则四边形的面积为A ．BC ．D ．13．已知△ABC A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，则c 的值为____________．14．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =ADC △的面积的最大值为.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m.16．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π,6,143C a b ==≤≤，则sin A 的取值范围为__________.17．在ABC △中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求； （2）求的值．18．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π2A ≠，sin 26cos sin b A A B =. （1）求a 的值； （2）若π3A =，求△ABC 周长的取值范围.19．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．20．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h 追上，此时到达C 处．（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．21．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．22．已知函数（1）当时，求的值域；（2）在ABC △中，若求ABC △的面积.23．如图所示，在平面内，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，1,AB BC AC CD ===，AC CD ⊥，记ABC θ∠=．（1）若45θ=︒，求对角线BD 的长度（2）当θ变化时，求对角线BD 长度的最大值．1．（2017山东理科）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ． B ． C ．2A B =D ．2B A =2．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，cos2C =，1BC =，5AC =，则AB = A． BCD．3．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2 B ．π3 C ．π4D ．π6a b c 2a b =2b a =4．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．5．（2019年高考浙江卷）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．6．（2018年高考浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．7．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．8．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．9．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．10．（2019年高考北京卷理数）在ABC △中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值．11．（2019年高考天津卷理数）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值；（2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．12．（2019年高考江苏卷）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．13．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .14．（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.15．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．16．（2018北京理科）在△ABC中，a=7，b=8，cos B=–17．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．1．【答案】C【解析】由题知()2cos cos cosC a B b A c+=，由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sinC A B B A C+=，所以()2cos sin sinC A B C+=，即2cos sin sinC C C=，所以在△ABC中，1cos2C=，又因为2221cos,1,322a b cC a bab+-====，所以c=故选C.2．【解析】（1）由正弦定理可得在△ABD中，sin sinAD BDB BAD=∠，在△ACD中，sin sinAD CDC CAD=∠，又因为BAD CAD∠=∠，则sin2sinBD CCD B==.（2）sin2sinC B=，由正弦定理得22AB AC==，设DC x=，则2BD x=，由余弦定理得222254cos cos24AB AD BD xBAD CADAB AD+--∠==∠⋅，2222222AC AD CD xAC AD+--==⋅.因为BAD CAD∠=∠，所以2254242x x--=，解得2x=.则32BC x==.3．【解析】（1）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C BC B=-，则()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+，πA B C ++=，()()sin sin πsin B C A A ∴+=-=，sin sin C A ∴=，由正弦定理可知：c a =， 则△ABC 为等腰三角形.（2）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =，∵△ABC 为钝角三角形，且a c =，B ∴为钝角，cos B ∴=由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+，2222b b ac a∴==+4．【解析】（1）由已知条件化简可得22()3a b c ab --=-，即222a b c ab +-=-，由余弦定理的推论，可得2221cos 22a b c C ab +-==-，2π(0,π),3C C ∈∴=．（2）2π3,3c b C ===，∴又π,,4b c B C B <∴<∴=，在ABC △中，1sin sin()sin cos cos sin ()2A B C B C B C =+=+=-=．11sin 22ABC S bc A ∴===△．5．【解析】（1）1cos 2a C cb +=，∴由正弦定理得1sin cos sin sin 2A C CB +=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，1sin cos sin 2C A C ∴=， sin 0C ≠，1cos 2A ∴=， 又0πA <<，π3A ∴=. （2）由正弦定理得sinsin a B b c A ===， ]1sin )1sin sin()L a b c B C B A B ∴=++=+=+++1π12cos 12sin 26B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， π2πππ5π,0,,,33666A B B ⎛⎫⎛⎫=∴∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则(2,3]L ∈.故ABC △的周长L 的取值范围是(2,3].6．【解析】（1）由2cos 2a B b c +=，及正弦定理可得：2sin cos sin 2sin A B B C +=， 则2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos 2cos sin A B B C A B A B A B +==+=+， 整理得sin 2cos sin B A B =， 因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >， 所以1cos 2A =， 又(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）在Rt △ABD中，2sin sin 3BD AD A ===，则1AB ==， 因为D 为AC 的中点，所以24AC AD ==，在△ABC 中，由余弦定理可得222π41241cos 133BC =+-⨯⨯⨯=，所以BC =．7．【解析】（1）在△CDE 中，3609015105150DCE ∠=︒-︒-︒-︒=︒， ∴1111sin150112224△CDE S CD CE =⋅⋅︒=⨯⨯⨯=（平方百米）. （2）如图，连接AB ，根据题意知，在Rt △ACD中，tan 1tan60AC DC ADC =⋅∠=⨯︒=（百米）， 在△BCE 中，180CBE BCE CEB ∠=︒-∠-∠1801054530=︒-︒-︒=︒，由正弦定理sin sin BC CE CEB CBE =∠∠，得1sin 21sin 2CE CEBBC CBE⋅∠===∠（百米），()cos15cos 6045cos60cos45sin60sin45︒=︒-︒=︒︒+︒︒=， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，则2322AB =+-=-8．【解析】（1）由,cos ),(cos ,cos ),x x x x x ==∈R m n ， 则()f x =⋅m n211π1cos cos 2cos 2sin(2)22262x x x x x x +=++=++， 故函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故π1()sin(2)62f x x =++，最小正周期为π． （2）因为()1f A =，所以π1sin(2)162A ++=，所以π1sin(2)62A +=，又ππ13π2(,)666A +∈， 所以π5π266A +=，所以π3A =，又1,2a b c =+=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：221b c bc =+-， 所以2()31b c bc +-=， 所以1bc =，则1sin 24△ABC S bc A ==.1．【答案】C【解析】在△ABC 中，∵A ＝2B ，sin sin a b A B=，b ＝3，c ＝1，∴32sin cos sin a B B B=，整理得a ＝6cos B ，由余弦定理可得21962a a a+-=⨯，∴a =故选C ． 2．【答案】A 【解析】因为sin sin AB BCC A=，所以，所以，又，则必为锐角，故. 3．【答案】A 【解析】∵，，∴， 可得，则，可得， ∵，∴，∴，解得.即ABC △是直角三角形. 故选A ． 4．【答案】A【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，因为2c =，a =21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =.又sin A =，所以由1123222h ⨯⨯=⨯，得4h =. 故选A. 5．【答案】B【解析】作出示意图如图所示，()15460km AC =⨯=，906030BAC ∠=︒-︒=︒，9015105ACB ∠=︒+︒=︒，则︒=∠45ABC .由正弦定理，可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，则)60sin 30km sin 45BC ︒==︒.所以这时船与灯塔的距离为. 故选B. 6．【答案】A【解析】由题意知ABC △的面积为，且，所以，即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值为. 故选A ． 7．【答案】D【解析】因为，所以， 即，所以，所以，因为，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为1112sin 2a R A =⨯==. 故选D ． 8．【答案】A【解析】由余弦定理得：222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，即()221623216a a +-=+-，解得：a =，222cos 2b c a A bc +-∴===sin A ∴==，11sin 4222△ABC S bc A ∴===.故选A. 9．【答案】C【解析】222()()()∥a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-p q ， 由余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-⋅， 所以1πcos ,(0,π)23C C C =∈⇒=. 故选C ． 10．【答案】B【解析】由题意知,即，即，由正弦定理和余弦定理得：，即， 即， 则. 故选B ． 11．【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵2222cos a b c ab C +-=，∴sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，即π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πC <<，∴ππ5π666C -<-<，∴ππ66C -=，即π3C =，则πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12+=， 故选D ． 12．【答案】B【解析】如图，因为，所以设， 又，， 所以由， 得，所以， 所以， 又，所以，由余弦定理可得，， 可得，解得，故11sin6022△△四边形ABD CBD ABCD S S S AB BD BC BD =+=⋅+⋅︒1122222=⨯⨯=. 故选B.13．1【解析】由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C==== 2sin 60a∴=，解得：3a =，由余弦定理可得：22222cos 429a b c bc A c c =+-=+-=，解得：1c =1-，1c ∴=.14．【答案】【解析】如图.在ACD △中，2222248cos 222AD DC AC AD DC ADC AD DC AD DC +-+-∠===-⋅⋅1，整理得22482AD DC AD DC AD DC +=-⋅≥⋅， ∴16AD DC ⋅≤，当且仅当AD =DC 时取等号，∴ADC △的面积1sin 2S AD DC ADC AD DC =⋅∠=⋅≤，∴ADC △的面积的最大值为 15．【答案】6100【解析】依题意， 30=∠BAC ， 105=∠ABC ，在ABC △中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ， 得 45=∠ACB ，因为600m AB =，所以由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m. 在Rt BCD △中，因为 30=∠CBD，BC =，所以230030tan CDBC CD ==， 所以6100=CD m.16．【答案】⎤⎥⎣⎦【解析】∵π,6,143C a b ==≤≤， ∴由余弦定理可得：()22222366327=+-=+-=-+c a b ab b b b ， ∴()[]2232727,31=-+∈c b ，∴⎡∈⎣c ，由正弦定理sin sin a c A C =，可得6·sin 2sin ,131a C A cc c ⎡⎤===∈⎢⎥⎣⎦．故答案为⎤⎥⎣⎦． 17．【解析】（1）在ABC △中，由余弦定理得，解得．（2）在ABC △中，由得， ∴，在ABC △sin B =， ∴， 又，故， ∴， ∴．18．【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =，又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =.（2）由正弦定理得sin sin a B b B A ==，sin sin a Cc C A==，则△ABC 的周长为：2π33sin()3a b c B C B B ++=++=++-3π3sin cos 36sin 226B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2π(0,)3B ∈，所以ππ5π(,)666B +∈，则π1sin (,1]62B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.从而π36sin (6,9]6B ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. 因此△ABC 周长的取值范围是(]6,9.19．【解析】（1）∵∥m n ，∴sin cos b A B =，由正弦定理，得sin sin cos B A A B =，∵sin 0A >，∴sin B B =，即tan B =∵0πB <<，∴（212ac =，解得4ac =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得221422a c ac =+-⨯2()3a c ac =+-2()12a c =+-， 故4a c +=．20．【解析】（1）依题意得，120BAC ∠=︒，18AB =，15230AC =⨯=，BCA α∠=．在ABC △中由余弦定理可得2222cos 1764BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=， 所以42BC =，所以渔船甲的速度为212BC=海里/小时． （2）在ABC △中，18AB =，120BAC ∠=︒，BC =42，BCA α∠=，由正弦定理，得sin sin 120AB BCα=︒，所以18sin 1202sin 42AB BCα⋅︒===． 21．【解析】（1）由题意得，由正弦定理得， 即B C A 2sin )sin(=+，所以B B 2sin sin =． 又在ABC △中，则B B 2=或2πB B +=，因为0πB <<，所以π3B =. （2）因为π3B =，所以2π3AC +=.22π2sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A +-=-+-π1)3A =-.因为2π03A <<，ππ2π33A -<-<，所以πsin(2)13A <-≤， 所以()22sin cos A A C +-的范围是1,12⎛-+ ⎝． 22．【解析】（1）当，即时，取得最大值3； 当，即时，取得最小值， 故的值域为.（2）设ABC △中所对的边分别为 . 即cos cos 2cos a C c A b B +=2sin cos 2cos sin 4sin cos R A C R A C R B B +=131cos 2cos 2212cos 22222A A A A A=--+=+-得 又，即即 易得23．【解析】（1）在ABC △中，∵1,45AB BC ABC ==∠=︒，∴由余弦定理可得:2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=， ∴1AC =，则ABC △为等腰直角三角形， ∴135BCD ∠=°，在△BCD 中，1,135BC CD AC BCD ===∠=︒，由余弦定理可得:2222cos 5BD BC CD CD BC BCD =+-⋅⋅∠=，∴BD =（2）在ABC △中，∵1,AB BC ABC θ==∠=，∴由余弦定理可得:2222cos 3AC AB BC AB BC ABC θ=+-⋅⋅∠=-， 又由正弦定理可得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，即1sin ACB =∠∴sinACB ∠=∴π()cos cos sin2BCD ACB ACB ∠=+∠=-∠=在△BCD 中，BC CD AC ===由余弦定理可得2222cos 5sin cos )BD BC CD CD BC BCD θθ=+-⋅⋅∠=+-=(π54in )s 4θ+-，∴当3π4θ=时，()2max9BD =，则max 3BD =．1．【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 2．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则 故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 3．【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =， 因为()0,πC ∈，所以π4C =. 故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算. 4．【答案】2a b =【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-所以2a c ==，11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．5 【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.6．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 3B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .7．【答案】,24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 2△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．8．【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=． （2）由（1）知120B C ︒=-，()sin1202sinA C C︒+-=，1sin2sin2C C C+=，可得()cos602C︒+=-．由于0120C︒︒<<，所以()sin602C︒+=，故()sin sin6060C C︒︒=+-()()sin60cos60cos60sin60C C︒︒︒︒=+-+4=．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9．【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin2A CA B A+=．因为sin A≠0，所以sin sin2A CB+=．由180A B C︒++=，可得sin cos22A C B+=，故cos2sin cos222B B B=．因为cos02B≠，故1sin22B=，因此B=60°．（2）由题设及（1）知ABC△的面积ABCS=△．由正弦定理得()sin120sin1sin sin2tan2Cc AaC C C︒-===+．由于ABC△为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故122a<<，从而82ABC S <<△．因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 10．【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =.（2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力． 12．【解析】（1）因为23,3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得23=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.13．【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.14．【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故△ABC 的周长为3【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 15．【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin 2BB =，故()sin 41cos B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =．又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+= 所以2b =．【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．16．【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B ．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A ，∴sin A ． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7，∴AC ．。
2020年高考理科数学 解三角形题型归纳与训练
- . -2020年高考理科数学?解三角形?题型归纳与训练【题型归纳】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)假设6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】〔1〕15cos 17B =〔2〕2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =〔舍去〕，15cos 17B =.〔2〕由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，那么172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,假设2cos cos cos b B a C c A =+,那么B =.【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，假设b ＝1，c ＝3，C ＝23π，那么S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取角的公式，然后再求取边长。
2020年高考全国Ⅰ卷理科第17题的解法探究及其题型归类
2020年高考全国Ⅰ卷理科第17题的解法探究及其题型归类魏欣
【期刊名称】《中学数学研究(华南师范大学):上半月》
【年(卷),期】2022()1
【摘要】利用错位相减来求等差比数列的前n项和,是数列求和问题的常规方法,深入研究可知方法不止一种.除了落实错位相减的方法,还可以向学生灌输待定系数的方法和数列中其他的重要思想,比如从常见的裂项相消开始,能够辨析一些复杂的裂项相消;不仅可以解决一次函数型的由递推公式求通项公式,也能解决含有n的或指数型的由递推公式求通项公式等等.
【总页数】5页(P7-11)
【作者】魏欣
【作者单位】广东省湛江一中培才学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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第17题 解三角形1、已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5sin 2sin b a b A b A C =+=+，（）（）. （1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）点D 在边AB 上，217AD BD CD ==，，求AB . 2、ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且3b =，求ABC △面积的取值范围．3、如图,某公园内有两条道路,AB AP ,现计划在AP 上选择一点C ,新建道路BC ,并把ABC △所在的区域改造成绿化区域.已知,26BAC AB km π∠==.(1) 若绿化区域ABC △的面积为21 km ,求道路BC 的长度；(2) 若绿化区域ABC △改造成本为10万元2/km ,新建道路BC 成本为10万元2/km .设20()3ABC θθπ∠=<≤,当θ为何值时,该计划所需总费用最小？ 4、在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，已知sin sin 3b A a B π+＝（）（1）求角B 的大小．（2）设46a c =，=，求b 和()sin 2A B -的值5、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos 0a b C B ++=． （1） 求角C 大小；（2）若6c =，求ABC △面积的最大值．6、设锐角ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2b是2sin cos a A C 与sin 2c A 的等差中项.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a =，求ABC △面积的最大值.7、如图ABC △中,D 为BC 的中点,13AB =4AC =,3AD =.(1).求边BC 的长；(2).点E 在边AB 上,若CE 是BCA ∠的角平分线,求BCE △的面积. 8、在ABC △中，a ,b,c 分别是内角A ,B ,C 所对的边，222sin sin sin sin sin C A B A B =+-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若1c =，求ABC △的周长的最大值.9、在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小；（2）若3b =，△ABC 的面积为23，求ABC △的周tan 3B =长．10、为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ，其中3AB =百米，5AD =百米，且BCD △是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD (路的宽度忽略不计)，设π,,π2BAD θθ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭.(1) 当5cos θ=时，求小路AC 的长度；(2) 当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．答案以及解析1答案及解析：答案：（1）在ABC△中，sin2sin2sina b A b A C b B+=+=（）（），由正弦定理sin sina bA B=，得22a ab b+=（）整理得20a b a b+-=（）（）.因为20a b+>，所以a b=，ABC△为等腰三角形.（2）如图，取AB中点E，连接CE.由（1）得，ABC△为等腰三角形，所以CE AB⊥，设31222BD x AD x BE x DE x====，则，，，由勾股定理得2213172522x x⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（），解得2x=，所以6AB=.解析：2答案及解析：答案：（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin2A CA B A+=．因为sin A≠0，所以sin sin2A CB+=．由180A B C︒++=，可得sin cos22A C B+=，故cos2sin cos222B B B=．因为cos02B≠，故1sin22B=，因此B=60°．（2）⎥⎦⎤⎝⎛43323，解析：3答案及解析：答案：(1) 在ABC△中,已知,2km6BAC ABπ∠==,所以ABC△的面积1sin126S AB ACπ=⨯⨯=,解得2AC=.在ABC△中,由余弦定理得22226BC AB AC AB AC cosπ=⨯⨯⨯＋－2222222cos86π=⨯⨯⨯=-＋－所以BC =(2) 由ABC θ∠=,则2(),063ACB πθθππ∠=<<－＋.在ABC △中,,2km 6BAC AB π∠==,由正弦定理得sin sin sin AC BC ABB A C==, 所以12sin ,sin()sin()66BC AC θθθ==ππ++. 记该计划所需费用为()F θ, 则()10(sin 1)12sin 11221010(0)223sin()sin()sin()666F θθθθθθθ+π=⨯⨯⨯⨯+⨯=<≤πππ+++. 令()F θ,则()1sin()F θθπ-+=.由()0f θ'=,得6θπ=. 所以当(0,)6θπ∈时,()0,()f f θθ<单调递减；当2(,)63θππ∈时,()()0,f f θθ'>单调递增.所以当6θπ=时,该计划所需费用最小. 解析：4答案及解析：答案：（1）由正弦定理可知，sin sin b A a B ＝， ∵sin sin 3b A a B π+＝（）， ∴sin sin 3a B a B π+（）＝， 即sin sin 3B B π+（）＝，整理可得，tan B ∵0B π∈（，）， ∴13B π=，（2）∵1463a c B π=＝，＝，由余弦定理可得，222121636246282b ac accosB ++-⨯⨯⨯=＝﹣＝，∴b ＝∵sin sin 3b A a B π+＝（）， ∴sin A = ∵a c ＜，∴A C cosA ＜，，∴sin22sin cos A A A ==212217cos A cos A ＝﹣＝，∴()11sin 2sin2cos sin cos227A B A B B A -=-=﹣ 解析：5答案及解析：答案：(1)(2)cos cos 0,2cos (cos cos )a b C c B a C b C c B ++=∴=-+由正弦定理得 2sin cos (sin cos sin cos )sin()sin A C B C C B B C A =-+=-+=-在ABC △中，sin 0A ≠,所以1cos 2C =-又(0,π)C ∈ 所以2π3C =(2)由(1)和余弦定理有222222cos 3c a b ab C a b ab ab =+-=++≥6,12.c ab =∴≤Q 当且仅当a b ==时等号成立11sin 1222ABC S ab C ∴=≤⨯=△即面积最大值为 解析：6答案及解析：答案：(1)()0,πB ∈∵，sin 0B ≠∴.1sin 2A =∴.又A ∵为锐角，π6A =∴.（Ⅱ）222222cos 2a b c b A b c bc =+-=+≥∵，(42bc ≤=∴，当且仅当2b c ==时，取等号.ABC ∴△的面积(111sin 422222S bc A =⨯+⨯=.即ABC △面积的最大值为2（当且仅当2b c =+时，等号成立）. 解析：7答案及解析：答案：(1).因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，在ADB △和ADC △中由余弦定理，得222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⨯⨯，因为AB =4AC =，3AD =，BD DC =，所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =. 所以边BC 的长为10.(2).由(1)知ADC △为直角三角形，所以14362ADC S =⨯⨯=△，212ABC ADC S S ==△△.因为CE 是BCA ∠的角平分线，所以1sin 21sin 2ACE BCEAC CE ACES S BC CE BCE ⨯⨯∠=⨯⨯∠△△42105AC BC ===. 所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S =+=+△△△△△7125BCE S ==△，所以607BCE S =△.即BCE △的面积为607. 解析：8答案及解析：答案：（1）因为222sin sin sin sin sin C A B A B =+-，由正弦定理，得222c a b ab =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==，又因为()0,πC ∈，所以π3C = （2）由1c =，π3C =及正弦定理得sin sin sin a b c A B C ====，∴b B =，2sin()3a A B π=-2π(0)3B <<，于是21)2sin()136a b c B B B ππ++=-=++，由203B π<<得5666B πππ<+<，所以当62B ππ+=即3B π=时，max ()3a b c ++=. 所以ABC ∆的周长的最大值为3. 解析：9答案及解析：答案：（1）在△ABC 中，由正弦定理，可得sin sin sin cos()6A B A B π=-，即πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得．又∵()0πB ∈，，可得B=π3．（2）∵△ABC 的面积为 1πsin 23ac =，∴所以8ac =，又∵ ()222π92cos33a c ac a c ac =+-=+-，所以a c +∴△ABC 的周长为3+ 解析：10答案及解析：答案：(1) 在ABD △中，由2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅，得214BD θ=-，又cos θ=，所以BD =因为π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sinθ=由sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，3sinADB =∠，解得3sin 5ADB ∠=. 因为BCD △是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以π2CDB ∠=且CD BD == 所以π3cos cos sin 25ADC ADB ADB ⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭.在ACD △中，(2222232cos 2375AC AD DC AD DC ADC ⎛⎫=+-⋅∠=+--= ⎪⎝⎭,所以AC =.(2)由上题得214BD θ=-，2113sin 22ABCD ABD BCD S S S BD θ=+=⨯+⨯△△7θθ=+-)()157sin 2cos 7sin 2θθθϕ=-=+-， 此时sinϕ，cos ϕ=且π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当π2θϕ-=时 ，四边形ABCD 的面积最大，即π2θϕ=+，此时sin θcos θ=，所以2141426BD θ⎛=-=-= ⎝，即BD =所以当草坪ABCD 的面积最大时，小路BD . 解析：。