高中数学北师大版选修1-1练习课件：4.1.1 导数与函数的单调性(1)
北师大版数学高二选修1-1课件 第四章 1.1 导数与函数的单调性
33，
33，则
a
的取值范围是
(_0_，__＋__∞__).
解析
f′(x)＝a(3x2－1)＝3ax＋
33x－
33，
令
f′(x)<0，由已知得－
3 3 <x<
33，
可得a>0.
12345
解析 答案
5.已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的. 证明 y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)， 当a>1时，因为ln a>0，ax<1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的； 当0<a<1时，因为ln a<0，ax>1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的.
(√) 4.若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的” 的充要条件.( × ) 5.若f(x)的图像在[a，b]上是一条连续曲线，且f(x)在(a，b)上f′(x)<0，则 f(x)在[a，b]上是减少的.( √ )
题型探究
类型一 原函数和导函数图像之间的关系 例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是 图中的
解答
类型三 含参数函数的单调性 例3 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范 围是_[1_，__＋__∞__). 解析 由于 f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的， 得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立. 因为 k≥1x，而 0<1x<1，所以 k≥1， 即k的取值范围为[1，＋∞).
2020北师大版高中数学选修1-1 教师课件：第四章 导数与函数的单调性
关于不等式的恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如a≥f(x)(x∈D)得 a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)(x∈D)得a≤f(x)min(x∈D)．这种转化思想很重要，要注意掌 握．
3．已知函数f(x)＝x3＋ax(x≠0，常数a∈R)． (1)当a＝48时，求f(x)的单调递减区间； (2)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 解析：(1)当a＝48时，f(x)＝x3＋4x8， f′(x)＝3x2－4x82＝3x4x－2 48＝3x2＋4xx＋2 2x－2， 令f′(x)<0，得－2<x<0或0<x<2， ∴f(x)的单调递减区间为(－2,0)，(0,2)．
A.16，＋∞ C.－16，＋∞
B.－∞，16 D.－∞，－16
解析：f′(x)＝6x－1，令f′(x)>0，得x>16.
答案：A
3．函数f(x)＝xln x( ) A．在(0,5)上是增函数 B．在(0,5)上是减函数 C．在0，1e上是减函数，在1e，5上是增函数 D．在0，1e上是增函数，在1e，5上是减函数
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－x12x＋x－1122≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的． ②当a<－12时，Δ<0，g(x)<0， f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的．
③当－12<a<0时，Δ>0.
设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点，
x >0，f(x)在(0,1)上单调递增；
当x>1时，f′(x)＝1x－1e－x ln
x <0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
高中数学北师大版选修1-1课件：第四章 1.1 导数与函数的单调性 (2)
1.函数导数与单调性的关系:函数y=f(x)在某个区间内,如 果f′(x)>0, 则f(x)是增加的；如果f′(x)<0, 则f(x)是减少的.
2.根据导数确定函数单调区间的步骤： （1）确定函数f(x)的定义域. （2）求出函数的导数. （3）解不等式f ′(x)>0,得函数递增区间，解不等式f′(x)<0, 得函数递减区间.
【规律方法】 1.本题关键是构造函数 f(x)，借助函数的单调性来证明不 等式． 2.利用导数证明不等式的一般步骤 (1)构造函数：F(x)＝f(x)－g(x)． (2)求导：F′(x)＝f′(x)－g′(x)． (3)判断函数的单调性． (4)求 F(x)在区间上的最小值为 0，证得 f(x)≥g(x)； 求 F(x)在区间上的最大值为 0，证得 f(x)≤g(x).
【解析】 f′(x)＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝1＋ln x.
由 1＋ln x>0 得 ln x>－1＝ln 1e，
即
1 x>e.
由
1＋ln
x<0
得
1 0<x<e.
∴f(x)＝xln x 在(1e，＋∞)上递增，在(0，1e)上递减．
【答案】 D
3 .函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是________． 【解析】 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′ ＝(x－2)ex.令 f′(x)>0，解得 x>2. 【答案】 (2，＋∞)
4.求函数 f(x)＝2x3－6x2＋7 的单调区间．
解：f′(x)＝6x2－12x. 令 6x2－12x>0， 解得 x>2 或 x<0. 因此当 x∈(2，＋∞)，x∈(－∞，0)时，f(x)是增加的． 令 6x2－12x<0，解得 0<x<2. 因此当 x∈(0，2)时，f(x)是减少的． 故 f(x)＝2x3－6x2＋7 的单调递增区间为(2，＋∞)和(－∞，0)， 单调递减区间为(0，2)．
高中数学北师大版选修1-1课件：第4章 §1 1.1 导数与函数的单调性
【解析】1.∵f'(x)=3x2+a，a≥0. ∴f'(x)≥0对一切实数R都恒成立且只有x=0，a=0时，f'(x)=0， ∴函数f(x)的递增区间为(-∞，+∞).
答案：(-∞，+∞)
第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十三分。
2.(1)
f '(x) 2(x 1)2 (2x b) 2(x 1) 2x 2b 2 2[x (b 1)] (x 1).
答案：(-∞，a)，(-2a，+∞)
第二十一页，编辑于星期日：二十三点 三十三 分。
类型三 已知函数的单调性求参数的取值范围
【典型例题】
1.函数f(x)=ax3-x在R上是减少的，则 ( )
A.a≤0
B.a<1
C.a<2
D.a≤ 1
2.已知函数f(x)=2ax- x∈(0，1].若f3(x)在x∈(0，1)上 1
第二十页，编辑于星期日：二十三点 三十三分。
【变式训练】
函数f(x)= x13+ ax12-2a2x+1(a<0)的递增区间为
.
32
【解析】f'(x)=x2+ax-2a2=(x+2a)(x-a)，
∵a<0，∴-2a>a，由f'(x)>0得x<a或x>-2a.
∴函数的递增区间为(-∞，a)，(-2a，+∞).
与抽象函数相关的单调性问题
【典型例题】
1.若在区间(a，b)内有f'(x)>0，且f(a)≥0，则在区间
(a，b)内有 ( )
A.f(x)>0
高中数学北师大版选修1-1《导数与函数的单调性》ppt导学课件
利用函数单调性求参数的范围
已知函数 y=x2+a在[1,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围.
x
【解析】y'=2x- a =2x3-a.
x2 x2
∵函数 y=x2+a在[1,+∞)上为增函数.
x
∴2xx32-a>0,x∈[1,+∞),即 2x3-a>0,a<2x3. 即要使 a<2x3 在 x∈[1,+∞)上恒成立. 而函数 g(x)=2x3 在[1,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(1)=2,∴a<2. 又当 a=2 时,y'=2x3-2,对 x∈[1,+∞),也有 f'(x)>0.
第1课时 导数与函数的单调性
1.探索函数的单调性与导数的关系. 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.
对于函数y=x3-3x,如何判断单调性呢?你能画出该 函数的图像吗?定义法是解决问题的最根本方法,但定义 法较繁琐,又不能画出它的图像,那该如何解决呢?
问题1 增函数和减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
1 下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( D ).
A.y=-x2 B.y=-x C.y=x2-x D.y=x2
【解析】作出函数图像,观察图像可以得出函数y=x2 在(0,+∞)上是增函数.
2 函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减情况为( C ). A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增
即 a≥[-(2x+1x)]max.
因为 x∈(0,+∞),所以 2x+1≥2 2,当且仅当 x= 2时取等号.
高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性导学案北师大版选修1-1
4.1.1 导数与函数的单调性学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方.法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间思考观察下列各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率k正负导数正负单调性正正[1，＋∞)上单调递增正正R上单调递增负负(0，＋∞)上单调递减负负(0，＋∞)上单调递减负负(－∞，0)上单调递减梳理一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上是增加的.(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上是减少的.导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0>0锐角上升单调递增<0<0钝角下降单调递减知识点二函数的变化快慢与导数的关系思考我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答案如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0)内导数的绝对值较大，图像“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图像“平缓”.梳理一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.类型一原函数与导函数的关系例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的( )答案 C解析由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：x (－1，b)(b，a)(a，1)f(x)↘↗↘f′(x)－＋－由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a，1)时，函数图像在x轴下方.故选C.反思与感悟(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图像.(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢.跟踪训练 1 已知y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是如图所示的( )答案 C解析 由f ′(x )>0(f ′(x )<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋势.由已知可得x 的取值范围和f ′(x )的正、负，f (x )的增减变化情况如下表所示：x (－∞，0)(0，2) (2，＋∞)f ′(x ) ＋ － ＋ f (x )↗↘↗由表可知f (x )在(－∞，0)上是增加的，在(0，2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，满足条件的只有C ，故选C.类型二 单调区间的求解及单调性证明 命题角度1 求函数的单调区间 例2 求f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间. 解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝6x －2x ＝23x 2－1x＝23x －13x ＋1x， 由x >0，解f ′(x )>0，得x >33. 由x <0，解f ′(x )<0，得0<x <33. ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33). 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤(1)确定函数y ＝f (x )的定义域.(2)求导数y ′＝f ′(x ).(3)解不等式f ′(x )>0，函数在定义域内的解集上为增函数. (4)解不等式f ′(x )<0，函数在定义域内的解集上为减函数. 跟踪训练2 求函数f (x )＝exx －2的单调区间.解 函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). f ′(x )＝exx －2－e x x －22＝e x x －3x －22.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x>0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).命题角度2 证明函数的单调性例3 证明函数f (x )＝ln xx在区间(0，2)上是单调递增函数.证明 由题意，得f ′(x )＝1x·x －ln xx2＝1－ln x x2. ∵0<x <2，∴ln x <ln 2<1，1－ln x >0， ∴f ′(x )＝1－ln xx2>0. 根据导数与函数单调性的关系，可得函数f (x )＝ln x x在区间(0，2)上是单调递增函数.反思与感悟 利用导数证明不等式的一般步骤 (1)构造函数：F (x )＝f (x )－g (x ). (2)求导：F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x ). (3)判断函数的单调性.(4)若F (x )在区间上的最小值大于等于0，则f (x )≥g (x )；若F (x )在区间上的最大值小于等于0，则f (x )≤g (x ).跟踪训练3 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 则cos x <0，所以x cos x －sin x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的.类型三 含参数函数的单调性例4 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的，则k 的取值范围是________. 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞). 引申探究试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间. 解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x，当k ≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，函数的单调递增区间为(1k ，＋∞)，单调递减区间为(0，1k).反思与感悟 (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意.(3)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)试讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，函数f (x )的定义域为(0，＋∞).①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a <0时，f ′(x )＝2x ＋－ax －－ax，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，－a )－a (－a ，＋∞)f ′(x ) － 0＋ f (x )递减递增由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )； 单调递增区间是(－a ，＋∞).(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g (x )为[1，2]上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1，2]上恒成立，即a ≤1x－x 2在[1，2]上恒成立.令h (x )＝1x－x 2，则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x2＋2x )<0，x ∈[1，2]，所以h (x )在[1，2]上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72，所以a ≤－72.故实数a 的取值范围为{a |a ≤－72}.1.f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A.(－∞，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝e x＋(x －3)·e x＝(x －2)e x>0， 解得x >2.∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞).2.函数y ＝f (x )在定义域(－32，3)内可导，其图像如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集是( )A.[－13，1]∪[2，3)B.[－1，12]∪[43，83]C.(－32，12)∪[1，2]D.(－32，－1)∪[12，43]∪[83，3]答案 A解析 求f ′(x )≤0的解集，即求函数f (x )在(－32，3)上的单调减区间.由题干图像可知y＝f (x )的单调减区间为[－13，1]，[2，3).3.若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是( ) A.m ≥43B.m >43C.m ≤43D.m <43答案 A解析 ∵函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加的， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立， 则判别式Δ＝16－12m ≤0，即m ≥43.4.若函数y ＝f (x )＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是________. 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a (x ＋33)(x －33)， 令f ′(x )<0，由已知得－33<x <33， 故a >0.5.已知a >0且a ≠1，证明：函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的. 证明 y ′＝a xln a －ln a ＝ln a (a x－1)， 当a >1时，因为ln a >0，a x<1，所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的； 当0<a <1时，因为ln a <0，a x >1， 所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的.1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.40分钟课时作业一、选择题1.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.(π2，3π2)B.(π，2π)C.(3π2，5π2)D.(2π，3π)答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ， 若y ＝f (x )在某区间内是增函数， 只需在此区间内y ′>0恒成立即可， ∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立.2.下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( )A.y ＝sin xB.y ＝x e xC.y ＝x 3－x D.y ＝ln x －x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e x ，因为e x恒大于零，易知y ＝x e x在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3(x ＋33)(x －33)， 故函数在(－∞，－33)，(33，＋∞)上为增函数， 在(－33，33)上为减函数；对于D ，y ′＝1x－1 (x >0). 故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数.故选B.3.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数f ′(x )的图像可能是( )答案 C解析 原函数的单调性是当x <0时，f (x )单调递增； 当x >0时，f (x )的单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )的符号变化依次为＋，－，＋.故选C. 4.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1 C.a <2 D.a ≤13答案 A解析 f ′(x )＝3ax 2－1，由题意知，对∀x ∈R ，3ax 2－1≤0，当a >0时，显然不合题意， 当a ≤0时，成立.故a ≤0.5.函数f (x )的导函数为f ′(x )，若y ＝f ′(x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A.y ＝x 2－2x B.y ＝13x 3＋x 2C.y ＝x 2＋2xD.y ＝13x 3－x 2答案 B解析 由题图知f ′(x )＝0时，x 1＝－2，x 2＝0，由此可知B 正确.6.已知函数f (x )在定义域R 上为增函数，且f (x )＜0，则g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内的单调情况一定是( ) A.单调递减 B.单调递增 C.先增后减 D.先减后增答案 B解析 因为函数f (x )在定义域R 上为增函数， 所以f ′(x )≥0.又因为g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )， 所以当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＞0恒成立， 所以g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内单调递增.7.函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( ) A.f (a )>f (b ) B.f (a )<f (b ) C.f (a )＝f (b ) D.f (|a |)<f (b )答案 A解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′(π3)，∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)，解得f ′(π3)＝－12，∴f (x )＝sin x －x ，由f ′(x )＝cos x －1≤0知函数f (x )为减函数，而－12<log 32，则f (－12)>f (log 32)，即f (a )>f (b ).二、填空题 8.已知函数f (x )＝k ex －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递减区间为____________. 答案 (－∞，0) 解析 f ′(x )＝k ex －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ， 故f ′(x )＝e x＋x －1. 令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )的单调递减区间为(－∞，0).9.若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为__________. 答案 (－∞，52]解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立.令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上是增加的， ∴m ≤2＋12＝52.10.函数f (x )的图像如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式f ′xx<0的解集为________.答案 (－3，－1)∪(0，1)解析 由题图知，当x ∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故不等式f ′xx<0的解集为(－3，－1)∪(0，1). 11.如果函数y ＝f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，那么实数k 的取值范围是________. 答案 [1，32)解析 y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ＝2x ＋12x －1x，由f ′(x )>0，得x >12，f (x )的增区间是(12，＋∞)，由f ′(x )<0，得0<x <12，f (x )的减区间是(0，12)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12，k ＋1>12，k －1≥0，得1≤k <32.三、解答题12.若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a 的取值范围.解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a －1. 因为f (x )在(1，4)内为减函数， 所以当x ∈(1，4)时，f ′(x )≤0； 因为f (x )在(6，＋∞)内为增函数， 所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0. 所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7. 所以实数a 的取值范围为[5，7].13.已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图像如图，f (x )＝6ln x ＋h (x ).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围.解 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图像为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点， 把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋b ＝0，b ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)f ′(x )＝6x＋2x －8＝2x －1x －3x(x >0).当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0－ 0＋ f (x )↗↘↗∴f (x )的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(1，3).要使函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧1<m ＋12，m ＋12≤3，解得12<m ≤52.即实数m 的取值范围为(12，52].。
2016_2017学年高中数学第四章导数应用4.1.1导数与函数的单调性课件北师大版选修1_1
利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是证明不等式 f′x>0 或 f′x<0 恒成立，这时一般是先将函数的导数求出来，然后对其进行 整理、化简、变形，根据不等式的相关知识，在给定区间上判断导数的正负， 从而得证.
[再练一题]
π sin x 1．证明：函数 f(x)＝ x 在区间2，π上单调递减.
【解】
(1)f′(x)＝6x2＋6x－36，
由 f′(x)>0 得 6x2＋6x－36>0，解得 x<－3 或 x>2； 由 f(x)<0 解得－3<x<2， 故 f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3,2)． (2)f′(x)＝cos x－1. 因为 0<x<π，所以 cos x－1≤0 恒成立， 故函数 f(x)的单调递减区间为(0，π)．
[基础· 初探] 教材整理 导数与函数的单调性 阅读教材 P81 至 P82“例 1”以上部分，完成下列问题． 导函数的符号与函数的单调性之间的关系 如果在某个区间内，都有函数 y＝f(x)的导数________，则在这个区间上， 函数 y＝f(x)是________． 如果在某个区间内，都有函数 y＝f(x)的导数________，则在这个区间上， 函数 y＝f(x)是________．
【导学号：63470076】
【证明】
π xcos x－sin x f′(x)＝ ，又 x∈2，π， x2
则 cos x<0，sin x>0，∴xcos x－sin x<0，
π ∴f′(x)<0，∴f(x)在2，π上是减函数．
利用导数求函数的单调区间
求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x； ex (2)f(x)＝ ； x－2 (3)f(x)＝－x3＋3x2.
北师大版高中数学选修1-1课件1.1导数与函数的单调性
§1 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性
观察图 1 表示高台跳水运动员的高度 h随时 间变化的函数 h t 4.9t 6.5t 10的图像,
2
图 2 表示高台跳水运动员的速度v随时间t变 化的函数v t h
'
t 9.8t 6.5的图像.运动员
探究点2
y
利用导数讨论函数单调性
单调函数的图像特征
y
f ( x ) 0
o a b x o a b
f ( x ) 0
x
若 f(x) 在G上是增加的或减少的则G称为f(x)的单调
区间.
用单调性定义及函数图像讨论函数单调性虽然可行，
但比较麻烦，利用导数讨论函数单调性更方便.
思考：观察图中的函数y=f(x)的图像，对f′(2)， f′(3)，f(3)-f(2)与0的大小进行排序. 提示：f′(2)，f′(3)是x分别为 2，3时对应图像上点的切线斜率，
应地v（t）=
h(t ) >0.
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间 t的增加而减小，即h（t）在定义域上是减少的，相 应地v（t）=
h(t ) <0.
这种情况是否具有一般性呢？
1.正确理解利用导数判断函数单调性的原理.
2.会利用导数判断函数单调性，并求函数单调区间.
（重点）
3. 探索导数特征与函数性质之间的关系.（难点）
加的；
当x∈(-∞,0)时, f (x) 2x 0,
函数y=x2在区间(-∞,0)上是
o
1 1 -1
x
减少的.
思考：通过上面三个实例思考导函数的符号与函数的单 调性之间具有什么关系？ 提示：如果在某个区间内，函数y=f(x)的导数_______ f (x) 0 , 则在这个区间上，函数y=f(x)是_______; 增加的 个区间上，函数y=f(x)是_______. 减少的
高中数学北师大版选修1-1课时作业4.1.1 导数与函数的单调性(1) Word版含解析
选修第四章§课时作业一、选择题．下列函数中，在(，＋∞)内为增函数的是( ). ＝. ＝. ＝－＋(＋). ＝－解析：＝，则′＝＋＝(＋)在(，＋∞)上恒大于.答案：．若函数＝()的导函数．．．在区间[，]上是增函数，则函数＝()在区间[，]上的图像可能是()解析：∵＝()的导函数在区间[，]上是增函数，则函数()图像上的点的切线斜率是递增的．答案：．函数＝－的单调减区间是( ). ()∪(－∞，－). (). (－∞，＋∞). (－∞，) 解析：∵＝－的定义域为(，＋∞)，∴′＝－，令′<，即－<，解得：<<或<－.又∵>，∴<<，故选.答案：．设函数()在定义域内可导，＝()的图像如图所示，则导函数＝′()可能为( )解析：由函数的图像知：当<时，函数单调递增，导数始终为正；当>时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选.答案：二、填空题．函数()＝＋－－的单调递增区间是．解析：令′＝＋－>，得<－或>.答案：(－∞，－)，(，＋∞)．函数()＝(>)的单调递增区间是．解析：由′()＝＋·＝＋>，解得>.故()的单调增区间是(，＋∞)．答案：(，＋∞)．设函数()＝(－)－，则()的单调递增区间是，单调递减区间是．解析：′()＝－＋－＝(－)(＋)．当∈(－∞，－)时，′()>；当∈(－)时，′()<；当∈(，＋∞)时，′()>.故()在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－)上单调递减．答案：(－∞，－)和(，＋∞) (－)三、解答题．证明：函数()＝＋在其定义域内为单调递增函数．证明：函数的定义域为{>}，又′()＝(＋)′＝＋，当>时，′()>>，故＝＋在其定义域内为单调递增函数．．已知函数()＝·－＋＋，且＝－和＝是′()＝的两根．()求，的值：()求()的单调区间．。
2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《导数与函数的单调性》课后考点练习及解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1第4章 1.1 导数与函数的单调性一、选择题(每小题5分，共20分)1．当x ＞0时，f(x)＝x ＋2x ，则f(x)的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)解析： f ′(x)＝1－2x 2，当f ′(x)＜0时，－2＜x ＜0，或0＜x ＜2，又∵x ＞0，∴0＜x＜2，故选D. 答案： D2．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2B ．y ＝lnxC ．y ＝1x －2D ．y ＝sinx解析： 对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1(x －2)2<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.答案： C3．函数y ＝xcosx －sinx 在下列哪个区间内是增函数( )A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)解析： 由y ′＝－xsinx ＞0，则sinx ＜0，则π＋2k π＜x ＜2π＋2k π，k ∈Z. 答案： B4．(2，＋∞)为函数y ＝2x －ax 的单调递增区间，则a 的值为( )A ．a ≥－8B ．－8＜a ＜0C ．a ＜－8D ．a ＞0解析： y ′＝2＋ax 2≥0对x ＞2恒成立，∴a ≥－2x 2，∴a ≥－8. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2009江苏高考)函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 解析： f ′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 当x<－1或x>11时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当－1<x<11时，f ′(x)<0，f(x)单调递减． 答案： (－1,11)6．若函数y ＝(a －1)lnx ＋2x －1在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围为________．解析： y ′＝(a －1)·1x ＋2>0在(0，＋∞)上恒成立即：a －1>－2x ，而x>0，∴a －1≥0，∴a ≥1. 答案： a ≥1三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x 2－2x ＋1； (2)f(x)＝x 3－2x 2＋x ； (3)f(y)＝x －ln x(x>0)；解析： (1)f ′(x)＝6x －2.令6x －2>0，解得x>13.因此，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞时，f(x)是增函数；其单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.再令6x －2<0，解得x<13.因此，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13时，f(x)是减函数．其单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13.(2)f ′(x)＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1>0，解得x>1，或x<13.因此，y ＝x 3－2x 2＋x的单调递增区间为(1，＋∞)和⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13.再令3x 2－4x ＋1<0，解得13<x<1.因此，y ＝x 3－2x 2＋x的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(3)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x，令y ′＝1－1x >0，则x>1，因此，函数y ＝x －ln x 在(1，＋∞)上是增函数；令y ′＝1－1x<0，则0<x<1，因此，函数y ＝x －ln x 在(0,1)上是减函数， 所以函数y ＝x －ln x 的单调区间是(0,1)和(1，＋∞)．8．讨论函数f(x)＝bxx 2－1(－1<x<1，b ≠0)的单调区间．解析： f(x)的定义域为(－1,1)，易知函数f(x)是奇函数，故只需讨论函数在(0,1)内的单调性．因为f ′(x)＝b ·x ′(x 2－1)－x (x 2－1)′(x 2－1)2＝－b (x 2＋1)(x 2－1)2，当0<x<1时，x 2＋1>0，(x 2－1)2>0，所以－x 2＋1(x 2－1)2<0.所以若b>0，则f ′(x)<0，所以函数f(x)在(0,1)内是减函数；若b<0，则f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0,1)内是增函数．又函数f(x)是奇函数，而奇函数图象关于原点对称，所以当b>0时，f(x)在(－1,1)内是减函数；当b<0时，f(x)在(－1,1)内是增函数．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]．若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围．解析：f′(x)＝2a＋2x3. ∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－1x3在x∈(0,1]上恒成立．而g(x)＝－1x3在(0,1]上单调递增．∴g(x)max＝g(1)＝－1.∴a≥－1，即a的取值范围是[－1，＋∞)．。
北师大版选修1-1第四章导数与函数的单调性(课件)(共22张PPT)
例 2、求函数 f ( x) 2 x3 3x 2 36 x 16 的单调区间.
思路点拨：先求函数定义域 求导 令 f '( x ) 0 ，得函数增区间； 令 f '( x ) 0 ，得函数减区间 写出结论
例 2、求函数 f ( x) 2 x3 3x 2 36 x 16 的单调区间.
用定义法判断函数单调性的步骤： （1）在给定区间内任取x1<x2; （2）作差f(x1)-f(x2);
（3）变形;
（4）判断符号;
（5）下结论。
如何确定函数 f ( x) 2x3 3x2 36x 16 在哪个区间上 单调递增，哪个区间上单调递减？
用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，是否有更为简捷的方法呢？
问题2．导数的定义与几何意义是什么.
y f ( x x) f ( x) f '( x)= lim lim x 0 x x 0 x
几何意义：函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率.
如何确定函数 f ( x) 2x3 3x2 36x 16 在哪个区间上 单调递增，哪个区间上单调递减？
问题1．函数单调性的定义是什么？
一般地，在给定区间上任取两个自变量 x1 , x 2 ，当 x1 x 2 时， 若 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 f(x)在这个区间上单调递增. 若 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 f (x)在这个区间上单调递减.
问题2．导数的定义与几何意义是什么.
解：由导数公式表和求导法则可得
f '( x) 6x2 6x 36 6( x 2)( x 3)
2015高中数学北师大版选修1-1课件：《导数与函数的单调性》
第四童导数应用◎单元结枸丿知识分类数的单调性与极值:导数在实际问题中的应用第1课时导数与函数的单调性,学习自主化•目标明晰化M除程学习目标1.探索函数的单调性与导数的关系•2•会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.\知识系统化•系统形象化*知识体系梳理G 创设情境对于函数y 二x3-3x,如何判断单调性呢?你能画出该 函数的图像吗?定义法是解决问题的最根本方法,但定义 法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？知识记IIZ 与理83、预学区•不看不讲丿o知识导学增函数和减函数一般地，设函数f（X）的定义域为I :如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x n x2）当X［〈X2时,都有f （xj <f （x2）,那么就说函数f （x）在区间D上是. 单调增函数.（如图（1）所示）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、当X&2时,都有f （xj >f （x2）,那么就说函数f（X）在区间D 上是一单调减函数（如图⑵所示）r / tv X2 ,/(^l)血)心）先1 尤2Xi X2 x单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是单调增函数或是单调减函数，就 说这个函数在这个区间M 上具有单调性.区间M 称为单调区间. 判断函数的单调性有图像法和定义法，图像法是作出函 数图像利用图像找出上升或下降的区间，得出结论•奇函数在两 个对称的区间上具有 相同的单调性;偶函数在两个对称的区 间上具有』邑的单调性•定义法是利用函数单调性的定义进行 判断,通过设变量、作差、变形、定号，得出结论.作图并观察函数的图像,找出图像上升（或下降）的起点和终点的 横坐标，从而得出单调递增（或递减）区间.根据导数与函数单调性的关系，在函数定义域的某个区间(a, Arrayb)内求函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数f (x)的定义域.(2)求导数f'(x).(3)解不等式f 4 (x) >0或f' (x)<0,如果f '(x)>0,那么函数y二f (x)在这个区间内单调递增；如果f' (x) <0, 那么函数y二f (x)在这个区间内单调递减.(4)写单调区间.，一知识问题化•问题层次化*基础学习交流1 '下列函数在（0,+°°）上是增函数的是（D ）•A. y二-x?B. y二-x0. y二x2-x D. y二x【解析】作出函数图像，观察图像可以得出函数戸2在（0,+8）上是增函数•门函数y二2—3x2在区间(-1,1)±的增减情况为(C ).A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增【解析】作出函数图像，观察图像可以得出函数尸2-3x2在区间(T, 1)上先增后减.也可通过导数研究，对于函数y=2-3x2, y' =-6x,故当xG (-1, 0)时,y' >0,函数递增;当xG (0, 1)时,y'〈0,函数递减.6如果函数f(X)二x2+2 (a-1) x+2在区间(-00,4］上是减函数,那么a的取值范围是(一°°，一3］.【解析】已知函数的图像为开口向上的抛物线，对称轴为x=l-a,若在区间(~°°, 4］上是减函数，贝故aW-3・4求函数y二x2-x的单调区间.【解析】作出函数图像，观察图像可以得出函数在+-）上是增函数在（-8,》上是减函数，所以函数ypJx的单调递增区间为+-）,单调递减区间为（-8,扌）.也可通过导数研究，对于函数y=x2-x, y' =2x-l,当xe +8）时,y，>o, 是增函数；当x£ （-°°, |）时,y' <0,是减函数.所以，函数y=x2-x的单调递增区间为［扌,+8）,单调递减区间为（-8,|）第二层级U\抜能系统化•系统个性化点难点探究求函数的单调性与其导函数正负的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.思维糜笄与创新r导学区•不议不讲丿）（1(2)(3)(4)(续表)【解析】(1)函数y=x的定义域为R,并且在定义域上是增函数,其导数y, =l>0.⑵函数y=x2的定义域为R,在(-°°, 0)上单调递减，在(0, +°°)上单调递增.而y' =2x,当x<0时,其导数y'〈0;当x>0时,其导数y' >0;当x=0时，其导数y =0.(3)函数y=x?的定义域为R,在定义域上为增函数.而y，=3x2,若xHO,则其导数3x2>0,当x=0时,其导数3x2=0.(4)函数y」的定义域为(-oo, 0) U (0, +8),在(一8, 0)上单调递减，在X(0, +°°)上单调递减，而y‘ 因为xHO,所以y‘〈0・x z探究二利用导数求函数的单调区间已知函数f (x)二ex-axT ,求f (x)的单调增区间.【解析】Vf(X)=e x-ax-l, A f" (x) =e x-a. 令f' (x) 20,得e x^a,当aWO时，有f' (x) >0在R上恒成立；当a>0 时，有x21n a.综上，当a WO时,f (x)的单调增区间为(-8, +OO)；当a>0时，f (x)的单调增区间为［In a, +°°).利用函数单调性求参数的范已知函数y二x2+mt[1, +oo)上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】y'=2x-青二学.X乙 x zT函数y二x'+B在[1, +°°)上为增函数.Xy 3_ •••竺F>0,X G[1,+B),即2x3-a>0, a<2x3.x z即要使a<2x3在xG [1, +°°)上恒成立.而函数g(x) =2x3在[1,+8)上单调递增,.,.g(x)min=g(l)=2, .\a<2. 又当a=2 时,y‘ 二竺对xW [1, +8)也有f，(x)>0.x z•••当a=2时，y=x2+-在[1, +8)上也是增函数.X综上所述，函数y=x?+2在[1, +OO)上单调递增时，实数a 的取值范围是aW2・ 方法能力化•能力具体化*思•维15展应用已知函数f(X)的导函数F (x) =ax 2+bx+c 的图像如下图所 示,则函数f(x)的图像可能是(D ).【解析】由导函数图像可知当x 〈0时,f‘ (x)<0,函数f(x)递减, 排除A 、B.又当x=O 时,(0)=0,所以选D ・应用CL应用二判断下列函数的单调性，并求出单调区间.(1) f (x) =s i n x-x, xE (0, n );(2) f (x) =2x3+3x2-24x+1.【解析】⑴因为 f (x)=sin x-x, xe (0, n),f‘ (x)=cos x-l〈0,所以，函数f (x)=sin x-x在(0, □)上是减函数，递减区间为(0, Ji).(2)因为 f (x) =2x3+3x2-24x+l,所以f‘ (x) =6x2+6x-24・当f‘ (x)>0,即x〈-匹土或x〉迟巴时，函数f (x) =2X3+3X-24X+1是增函数；当f‘ （x）＜0,即〈匹1时，函数f （x）=2x3+3x?-24x+l是减函数.递增区间为（-汽-呼）和（咛,+ a）,递减区间为（-字,竽）・◎应用三已知函数f(X)二In x+x2+ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围.【解析】(法一)分离参数法：由题意转化为f' (x)20在xG (0, +8)上恒成立，因为f' (x) =-+2x+a=-2+a—,所以-2+—-^0 在xG (0, +8)上恒成立X X X即2x2+ax+1^0 在xe (0, +8)上恒成立, 即a±[—(2x+丄)]max・X因为xG (0, +s),所以2x42近,当且仅当x二容时取等号.x 2因此- (2x+丄)取最大值-2V2,X则a^-2V2.所以a的取值范围为[-2V2, +°°)・(法二)二次函数法：由题意转化为f'(X)20在X W (0, +8)上恒成立, 因为f' (x)」+2x+屮业竺匕，X X所以2x*ax+l三0在％丘(°, +oo)上恒成立，X即2x2+ax+l三0在x丘(0, +°°)上恒成立，即g(x)=2x2+ax+l,其开口向上，恒过定点(0, 1). 则A<0或-仝£0,4解得a2-2说.所以a的取值范围为［-2返,+8).检測智能化•智能数字化*基础智能检测1 •函数y=f (x)是定义在R 上的可导函数，则u y=f (x)是R 上的增 函数”是"f‘(x)>0” 的(B ).A •充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D ・既不充分也不必要条件【解析】函数y=xj 当x=0时，f‘ (0)=0,但y 二X?是R 上的增函数,故选 B. 技能应用与荷雇 第三11级 固学区•不练不讲2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(C ).A. (|, +8)B.c. [|, +oo) D.【解析】由已知函数是R上的单调函数，可得y' =3x2+2x+m^0恒成立,判别式△ =4T2mW0,解得m2右,故选C.3•函数y二x-ln x的单调递减区间是-(°，】)•【解析】定义域是(0, +OO),由y =1丄叫0及定义域得0<x<i,单调X X递减区间是(0, 1)・4-若函数尸x'+bx有三个单调区间,求实数b的取值范围实数b的取值范围是(_oo,o)思维图形化•图形直观化磁维导图构建函数的单调性与导数計总结评们与反思ft 思学区•不思不复。
2021年高中数学第四章导数应用4.1.1导数与函数的单调性课件8北师大版选修1_1
求可导函数f(x)单调区间的步骤：
〔1〕确定函数的定义域；
〔2〕求导数；
〔3〕解不等式，解集在定义域内的局 部为增区间；
〔4〕解不等式，解集在定义域内的局 部为减区间．
课堂练习
请在5分钟内完成导学案中的当堂检测！
答案： B,C,D,B,A
知识小结：
一般地，函数y＝f〔x〕在某个区间内：
如果 f’(x)>0
当 f (x) 0 , 即x 1 17 或x 1 17 时, 函
数 f (x)单调递增;
2
2
当 f ( x) 0 , 即 1 17 x 1 17 时,函数
2
2
f (x)单调递减.
单调递增 -1 2区 1+7 ,间 +); 为 (,- - (1 21-7 );单调递-减 1 21-区 7 ,-1 2 间 1+7 )为
导数与函数的单调性
复习引入
我们判断一个函数的单调性主要有哪 些方法？
1.定义法 2.图象法
函数 y = f (x) 在给定区间 I 上，当 x 1、x 2 ∈I 且 x 1＜ x 2 时 1〕都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，那么 f ( x ) 在I上是增函数； 2〕都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，那么 f ( x ) 在I 上是减函数；
单调递增区间)为;单 (1调 ,+递减区间 ,1为 )
例2 判断以下函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f ( x) x 3 3 x; (2) f ( x) x 2 2 x 3;
(3 )f(x) 2 x3 3 x2 2x4 1 .
(3) 因为 f (x) 6x2 6x 24, 所以
I=(a,b)
数学北师大版高中选修1-1导数与函数的单调性ppt课件
a f ( x) 2 x 2 0对任意x [2, )恒成立. x 2x3 a 0对任意x [2, )恒成立.
3
a 变式：已知函数f ( x) x (a R)在x (, 2] x 上是单调递减的，求a的取值范围. a 16
2
2x a对任意x [2, )恒成立. 3 (2x )min a对任意x [2, )恒成立.
（法二：图像法）y=x2－4x＋3 y
0
2
x
递增区间：（２，+∞）. 递减区间：(－∞，２).
那么如何判断下列函数的单调性呢?
(1) y x 2 x x;
3 2
(2) y x ln x 1;
(3) y e x 1.
x
问题：用单调性定义讨论函数 单调性虽然可行，但比较麻烦; 如果函数图象也不方便作出来时.. 是否有更为简捷的方法呢？
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0.
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。
y f ( x)
y A
B
o
2
3
x
y f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
引例：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
（法一：定义法）解：取x1<x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
北师大版数学选修1-1作业课件：4.1 第23课时 导数与函数的单调性(1)
12．(－∞，－5)和(5，＋∞) 解析：f′(x)＝3x2＋a，又(－5,5)是f(x)的递减区间，所以 －5,5是方程3x2＋a＝0的根，故a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75， 令f′(x)>0，则3x2－75>0，解得x<－5或x>5.
13．解：f′(x)＝2x－1＋ax＝2x2－xx＋a， 对于y＝2x2－x＋a，Δ＝1－8a， ∵a<－1， ∴Δ>0. 令f′(x)＝0，得x＝1± 14－8a， 又x≥1，
能基力础提训升练
12．(5分)函数f(x)＝x3＋ax＋8的递减区间为(－5,5)，则f(x) 的递增区间为________．
13．(15分)已知函数f(x)＝x2－x＋alnx(x≥1)，当a<－1时， 求f(x)的单调区间．
答案 10.解：f′(x)＝3x2－8x＋5.令f′(x)>0， 则3x2－8x＋5>0，解得x<1或x>53. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(53，＋∞)． 令f′(x)<0，则3x2－8x＋5<0， 解得1<x<53. ∴f(x)的单调递减区间为(1，53)．
(4,5)上是增加的，故选C.
2．A f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，令f′(x)<0
得1<x<2.
3．B
y′＝8x－
1 x2
＝
8x3－1 x2
，由y′>0，得(2x)3－1>0.∴
1 x>2.
4．C y′＝lnx＋1，令y′>0得x>1e， ∴函数在(1e，5)上增，在(0，1e)上减．
解析：令f′(x)＝
1 2
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• 4．函数y＝5x2－2x的单调递增区间是__________．
1 解析：令 y′＝10x－2>0，得 x>5. 1 答案：(5，＋∞)
5．[2014· 湖北高考节选] e＝2.71828…为自然对数的底数． lnx 求函数 f(x)＝ x 的单调区间． lnx 解：Байду номын сангаас数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为 f(x)＝ x ，
• 2．设y＝x－ln x，则此函数在区间(0,1)内( • A．单调递增 B．有增有减 • C．单调递减 D．不确定
)
1 解析：y′＝1－x ，当 x∈(0,1)时，y′<0，函数单调递减．
答案：C
知识点二
求函数的单调区间
• 3.[2014·乌鲁木齐高二检测]函数f(x)＝x3－ 3x2＋1是减函数的区间为( ) • A．(2，＋∞) B．(－∞，2) • C．(－∞，0) D．(0,2) • 解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)<0，所以 0<x<2. • 答案：D
选修1-1
第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
课时作业27 导数与函数的单调性(1)
• [目标导航] • 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利 用导数研究函数的单调性，会求不超过三 次的多项式函数的单调区间．
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课堂对点训练
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课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
判断函数的单调性
• 1.在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)内单 调递增的( ) • A．充分而不必要条件 • B．必要而不充分条件 • C．充要条件 • D．既不充分也不必要条件 • 解析：例如f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(0) ＝0. • 答案：A
1－lnx 所以 f′(x)＝ x2 . 当 f′(x)>0，即 0<x<e 时，函数 f(x)单调递增； 当 f′(x)<0，即 x>e 时，函数 f(x)单调递减． 故函数 f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e， ＋∞)．
课后提升训练
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