5.1.2轴对称变换
《轴对称图形》图形的变换
日期:contents•轴对称图形概述•轴对称图形的变换方法目录•轴对称图形变换的应用•轴对称图形变换的挑战与展望•轴对称图形变换的实践与探索轴对称图形概述01如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
定义如圆形、正方形、等腰三角形等都是轴对称图形。
例子轴对称图形的对称轴是唯一确定的。
性质1轴对称图形的形状和大小完全相同，即对称轴两侧的图形是全等的。
性质2轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。
性质3根据对称轴的数量，轴对称图形可以分为两类：一维对称图形和二维对称图形。
根据对称轴的方向，二维对称图形又可以分为水平对称图形、垂直对称图形和对角线对称图形。
分类2分类1轴对称图形的变换方法02常见形式绕某一点旋转90度、绕某一点旋转180度等。
定义将图形围绕某一点旋转一定的角度，使图形在旋转过程中所形成的形状和位置的变化称为绕某一点旋转一定角度。
变换效果通过旋转，可以使图形在位置上发生变化，但轴对称图形的对称性保持不变。
绕某一点旋转一定角度常见形式沿某一直线翻折90度、沿某一直线翻折180度等。
变换效果通过翻折，可以使图形的对称性发生变化，但图形的形状和大小保持不变。
定义将图形沿某一直线进行翻折，使图形在翻折过程中所形成的形状和位置的变化称为沿某一直线翻折一定角度。
沿某一直线翻折一定角度将绕某一点旋转一定角度和沿某一直线翻折一定角度两种变换组合起来，使图形在变换过程中所形成的形状和位置的变化称为两种变换的组合运用。
定义先绕某一点旋转一定角度，再沿某一直线翻折一定角度；或者先沿某一直线翻折一定角度，再绕某一点旋转一定角度。
常见形式通过组合变换，可以使图形的形状和位置都发生变化，但图形的对称性和大小保持不变。
变换效果两种变换的组合运用轴对称图形变换的应用03很多艺术和图案设计都会利用轴对称来创造美观和平衡的效果。
例如，旋转对称的图案在纺织品、地毯和墙纸设计中很常见。
图案设计在雕塑艺术中，轴对称被用来增强作品的视觉效果和平衡感。
轴对称的变换
轴对称变换的特征是什么？
由一个平面图形可以得到它关于一条直线L 对称的图形，• 个图形与原图形的 这 (形状和大小 )完全相同；
新图形上的每一点，都是原图形上的某 一点关于直线L的( 对称点 )； 连接任意一对对应点的线段被对称轴 ( 垂直平分 )．
轴对称变换的特征:
由一个平面图形可以得到它关 于一条直线l对称的图形，这个图 形与原图形的形状、大小完全一 样；
由一朵花变成八朵 花至少需要几次轴 对称变换？
思维启发：
巧用轴对称变换可以图案
中外建筑
法国著名画家
V· 瓦萨雷利
《 委 加 派 尔 》
1969
·
雕刻家
威廉斯· 多佛
《 木 制 卫 兵 雕 像 》 1971
如果有一个图形和一 条直线,作出与这个图形关 于这条直线对称的图形,你 会了吗? 我来试一试,
A’ C’ B’
3、连接A’B’、B’C’、 C’A’。
∴△A’B’C’即为所求。
例1：如图，已知△ABC和直线l，作出与 △ABC关于直线l对称的图形。
B B A A C’ B’ C C l A B’ A A’ B C C l
B
∴△AB’C’即为所 求。
∴△A’B’C即为所 求。
A’
B C l
画出点A关于 l 的对称点A′ ?
l A
O
A′
作法: 过点A作直线l的垂线在垂线上截取 OA’=OA,垂足为点O，点A’就是点A关于 直线l的对称点.
如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? 作法：1、过点A作直 线l的垂线，垂足为点 O，在垂线上截 OA’=OA，点A’就是点 A关于直线l的对称点； 2、类似地，作出点B 关于直线l的对称点B’； B
《5.1.2轴对称变换》作业设计方案-初中数学湘教版12七年级下册
《轴对称变换》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过《轴对称变换》的学习，使学生掌握轴对称图形的概念、性质和基本变换方法，能够识别和绘制简单的轴对称图形，并能够运用轴对称变换解决实际问题。
通过作业练习，加深学生对轴对称知识的理解，提升空间想象力和思维能力。
二、作业内容作业内容分为四个部分：1. 基础知识练习：要求学生回顾轴对称图形的定义和性质，通过填空、选择等形式，掌握轴对称图形的概念和基本特点。
2. 图形识别与绘制：设计一系列轴对称图形，要求学生能够快速准确地识别图形的轴对称性，并尝试自行绘制简单的轴对称图形。
3. 变换实践操作：设计一系列与轴对称变换相关的操作题，如给定一个图形，通过轴对称变换得到另一个图形，要求学生运用所学知识完成变换。
4. 实际问题应用：结合生活实际，设计一些与轴对称变换相关的实际问题，如建筑物的对称设计等，要求学生运用所学知识解决实际问题。
三、作业要求作业要求如下：1. 要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 学生在完成作业过程中，要认真审题，理解题目要求，按照步骤进行操作。
3. 学生在完成作业后，要仔细检查答案，确保答案的准确性和完整性。
4. 学生在提交作业时，要按照教师的要求格式进行排版和标注。
四、作业评价作业评价将从以下几个方面进行：1. 正确性：答案是否准确无误。
2. 完整性：答案是否完整，是否遗漏了重要步骤或细节。
3. 规范性：作业的排版、格式、标注等是否规范。
4. 创新性：学生在解决问题时是否能够灵活运用所学知识，提出新颖的解决方案。
五、作业反馈作业反馈将通过以下方式进行：1. 教师将对学生的作业进行批改，对错误的地方进行标注和指导。
2. 教师将对学生的作业进行评价和点评，指出学生的优点和不足。
3. 对于共性问题，教师将在课堂上进行讲解和指导。
4. 对于表现优秀的学生，教师将给予表扬和鼓励。
通过这样的作业设计，不仅能够巩固学生对轴对称知识的理解，还能培养学生的空间想象力和实际操作能力。
轴对称及轴对称变换
第3讲轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.经典·考题·赏析【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打 3 个洞，则纸片展开后是（）【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选 D.【变式题组】01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使 B 落在点 E 上，点 C 落在点F 上，叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】（襄樊）如图，在边长为 1 的正方形网格中，将△ABC 向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x 轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【解法指导】在△ABC 中，点 B 的坐标为（－1，1），将△ ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B’（－1＋2，1），即B’（1，1）.由关于x 轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于x 轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D.【变式题组】01．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x 轴对称，则a、b 的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－302．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q 是点P 关于x 轴的对称点，将点Q 向右平移4 个单位得到点R，则点R 的坐标是___________.03．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围为___________.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD 折叠，使点B 落在B1 处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD ＝（）A．30° B．20° C．15° D．10°【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠B1CD.设∠ACD＝x，则∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝70°＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋（70°＋x）＝90°，故x＝10°.故选D.【变式题组】01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D、C 分别落在点D’、C’的位置. 若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70° B．65° C．50° D．25°02．如图，△ABC 中，∠A＝30°，以BE 为边，将此三角形对折，其次，又以BA 为边，再一次对折，C 点落在BE 上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF （如图②）.小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由. ⑵实践与运用：将矩形纸片ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在BC 边上的点 F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在BE 上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α 的大小.【例4】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，EF 是AD 的垂直平分线，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【解法指导】∵EF 是AD 的中垂线，则可得△AEF ≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可．证明：∵EF 是AD 的中垂线，∴AE＝DE，∠AEF ＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4 ＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4【变式题组】01．如图，点D 在△ABC 的BC 边上，且BC＝BD＋AD，则点D 在__________的垂直平分线上．02．如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC 于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．03．如图，△ABC 中，∠BAC＝126°，DE、FG 分别为AB、AC 的垂直平分线，则∠EAG ＝___________．04.△ABC 中，AB＝AC，AB 边的垂直平分线交AC 于F，若AB＝12cm，△BCF 的周长为20cm，则△ABC 的周长是___________cm．【例5】（眉山）如图，在3³3 的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF 如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF 如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF 如图⑤⑥所示．【变式题组】01．（泰州）如图，在2³2 的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．02．（绍兴）如图甲，正方形被划分成16 个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；⑵涂黑部分成轴对称图形．如图乙是一种涂法，请在图1－3 中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙）【例6】如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，若牧童从 A 处出发牵牛到河岸CD 处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？【解法指导】⑴所求问题可转化为CD 上取一点M，使其AM ＋BM 为最小；⑵本题利用轴对称知识进行解答．解:先作点A 关于直线CD 的对称点A’，连接A’B 交CD 于点M，则点M 为所求，下面证明此时的AM＋BM 最小．证明：在CD 上任取与M 不重合的点M’，∵AA’关于CD 对称，∴CD 为线段AA’的中垂线，∴AM＝A’M，M’＝A’M’,在△A’M’B 中，有A’B＜A’M’＋BM’，∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，即AM＋BM 最小．【变式题组】01．（山西）设直线l 是一条河，P、Q 两地相距8 千米，P、Q 两地到l 地距离分别为2 千米、5 千米，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站向P、Q 两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（）02．若点A、B 是锐角∠MON 内两点，请在OM、ON 上确定点C、点D，使四边形ABCD 周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．演练巩固·反馈提高01．（黄冈）如图，△ABC 与△A’B’C’关于直线l 对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B 的度数是（）．A．48° B．54° C．74° D．7802．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠ AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形03．1 是四边形纸片ABCD，图其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图2 所示，则∠C＝（）A．80° B．85° C．95° D．110°04．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于y 轴成轴对称的图形，若点 A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是（）A．M（1，－3），N（－1，－3）B．M（－1，－3），N（－1，3）C．M（－1，－3），N（1，－3）D．M（－1，3），N（1，－3）05．点P 关于x 轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P 关于y 轴对称的对称点的坐标是（）A．（3，－5）B．（－5，3）C．（3，5）D．（5，3）06．已知M（1－a，2a＋2）关于y 轴对称的点在第二象限，则a 的取值范围是（）A．－1＜a＜1 B．－1≤a≤1 C．a＞1 D．a＞－107．（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是___________．08．（贵阳）如图，正方形ABCD 的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为___________cm .09．已知点A（2a＋3b，－2）和B（8，3a＋2b）关于x 轴对称，则a＋b＝___________.10．如图，在△ABC 中，OE、OF 分别是AB、AC 中垂线，且∠ABO ＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC 和∠ACB 的度数．11．如图，C、D、E、F 是一个长方形台球桌的4 个顶点，A、B 是桌面上的两个球，怎样击打 A 球，才能使 A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击 B 球？请画出A 球经过的路线，并写出作法．12．如图，P 为∠ABC 的平分线与AC 的垂直平分线的交点，PM⊥BC 于M，PN⊥BA 的延长线于N．求证：AN＝MC．13．（荆州）有如图“”的8 张纸条，用每4 张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为 2 个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图．（画出的两个图案不能全等）培优升级·奥赛检测01．（浙江竞赛试题）如图，直线l1 与直线l2 相交，∠α ＝60°，点P 在∠α 内（不在l1l2 上）．小明用下面的方法作P 的对称点：先以l1 为对称轴作点P 关于l1 的对称点P1,再以l2 为对称轴作P1 关于l2 的对称点P2，然后再以l1 为对称轴作P2 关于l1 的对称点P3，以l2 为对称轴作P3 关于l2 的对称点P4，……如此继续，得到一系列P1、P2、P3……Pn 与P 重合，则n 的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．802．在平面直角坐标系中，直线l 过点M（3，0），且平行于y 轴．⑴如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A（－2，0），B（－1，0），C（－1，2），△ABC 关于y 轴的对称图形△A1B1C1，△A1B1C1 关于直线l 的对称图形是△A2B2C2，写出△ A2B2C2 的三个顶点的坐标；⑵如果点P 的坐标是（－a，0），其中a＞0，点P 关于y 轴的对称点是点P1，点P1 关于直线l 的对称点是P2，求PP2 的长．03．（荆州）某住宅小区拟栽种12 棵风景树，若想栽成6 行，每行4 棵，且6 行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案．04．（宜昌）已知：如图，AF 平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF、AF 相交于P、M．⑴求证：AB＝CD；⑵若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．05．在△ABC 中，∠BAC＝90°，点A 关于BC 边的对称点为A’，点B 关于AC 边的对称点为B’，点C 关于AB 边的对称点为C’，若S△ABC＝1，求S△A’B’C’．06．（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋” 题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l 两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB 长a 厘米，并关于直线l 对称，在图中P1 处有一粒跳棋子，P1 距A 点b 厘米、与直线l 的距离C 厘米，按以下程序起跳：第1 次，从P1 点以A 为对称中心跳至P2 点；第 2 次，从P2 点以l 为对称轴跳至P3 点；第 3 次，从P3 点以 B 为对称中心跳至P4 点；第4 次，从P4 以l 为对称轴跳至P1 点；⑴画出跳棋子这 4 次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）⑵棋子按上述程序跳跃2011 次后停下，假设a＝8，b ＝6，c＝3，计算这时它与 A 的距离是多少？07．（湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B 两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）．⑴若P（p，0）是x 轴上的一个动点，则当p＝___________时，△PAB 的周长最短；⑵若C（a，0），D（a＋3，0）是x 轴上的两个动点，则当a＝___________时，四边形ABCD 的周长最短；⑶设M、N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n）使四边形ABMN 的周长最短？若存在，，请求出m＝___________，n＝___________ （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．。
八年级上册数学《轴对称》轴对称图形的变换 知识点整理
13.2轴对称图形的变换一、本节学习指导本节比较好学，同学们要多动动手和观察，本节配套免费学习视频。
二、知识要点1、轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•注：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．2、轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．3、作一个图形关于某条直线的轴对称图形【重点】（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．例：画出△ABC的轴对称变换后的得到的图形。
分析：我们找到能决定形状的点，①找到点A、B、C，②接着过点A、B、C分别作对称轴的垂线，并使得垂足到两个两个点的的距离相等，如：B、B＇到对称轴的距离相等③连接经过轴对称变换后的几个点A＇B＇C＇，得到△A＇B＇C＇，完毕。
4、找一点使距离之和最短【重点】条件：如下左图，Ａ、Ｂ是直线Ｌ同旁的两个定点．问题：在直线Ｌ上确定一点Ｐ，使PA＋PB的值最小．方法：作点A关于直线L的对称点A＇，连结A＇B交L于点P，则PA+PB=A＇B的值最小。
注：这个知识点非常有技巧，以后遇到的很多题型如果会运用这个方法就省很多事。
用坐标表示轴对称5、关于坐标轴对称【重点】点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）图1 图2三、经验之谈：上面的总结已经淋漓尽致了，基本上每个知识点都说的很清楚，剩下的就看同学们愿不愿意思考和动手了。
上图2中，同学们想一想P(x,y)关于y=-x轴对称点P2的坐标是什么。
湘教版数学七年级下册《5.1.2轴对称变换》说课稿
湘教版数学七年级下册《5.1.2轴对称变换》说课稿一. 教材分析湘教版数学七年级下册《5.1.2轴对称变换》这一节主要介绍了轴对称变换的概念和性质。
通过本节课的学习，让学生了解轴对称变换的定义，掌握轴对称变换的性质，能够判断一个变换是否为轴对称变换，并能够运用轴对称变换解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本概念，对图形的性质有一定的了解。
同时，学生具备一定的观察能力和动手操作能力，能够通过观察和操作来理解轴对称变换的概念。
但是，学生对轴对称变换的性质和判断方法可能还不够清晰，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解轴对称变换的概念，掌握轴对称变换的性质，能够判断一个变换是否为轴对称变换。
2.过程与方法目标：通过观察、操作和思考，培养学生运用几何语言表达和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：轴对称变换的概念和性质。
2.教学难点：判断一个变换是否为轴对称变换，以及如何运用轴对称变换解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和探究式学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板和实物模型等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的对称现象，如剪纸、折纸等，引发学生对对称的兴趣，进而引入轴对称变换的概念。
2.探究新知：学生通过观察和操作，发现轴对称变换的性质，教师引导学生用几何语言表达和总结。
3.巩固新知：学生分组讨论，通过实际例子来判断一个变换是否为轴对称变换，并总结判断方法。
4.拓展应用：学生运用轴对称变换解决一些实际问题，如设计图案、计算面积等。
5.小结反思：学生总结本节课所学内容，教师进行点评和补充。
七. 说板书设计板书设计如下：1.概念：如果一个图形可以通过某条直线作为对称轴，使得对称轴两侧的图形完全重合，那么这个图形就经历了轴对称变换。
轴对称及中心对称变换平移及旋转变换
轴对称及中心对称变换平移及旋转变换轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换变换是极为重要的数学思维方法，利用几何变换解题在数学竞赛中经常用到，本文介绍几何变换中的基本变换：轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换。
一、轴对称变换把一个图形F沿着一直线l折过来，如果它能够与另一个图形F'重合，我们就说图形F和F'关于这条直线l对称。
两个图形中的对应点叫做关于这条直线l的对称点，这条直线l叫做对称轴，如右图。
轴对称图形有以下两条性质：1.对应点的连线被对称轴垂直平分；2.对应点到对称轴上任一点的距离相等。
例1 凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：BC+AD＞AB+CD。
分析：题中条件比较分散，故考虑“通过反射使条件相对集中”，注意到AC⊥BD，于是以BD(AC)为对称轴，将BC(AD)反射到BC'(AD')，把有关线段集中到△ABO内，利用三角形中两边之和大于第三边易证得结果。
证明：∵AC⊥BD，且OA＞OC，OB＞OD，于是以BD为对称轴，作C点关于直线BD为对称点C'，以AC为对称轴作D点关于AC 的对称点D'。
连结BC'，AD'相交于E点，则BC= BC'，AD=AD'，CD=C'D'。
∴ BE＋AE＞AB ①EC'＋ED'＞C'D' ②①＋②，得BC'＋AD'＞AB＋C'D'。
∴BC＋AD＞AB+CD。
注：(1)本题的结论对于凹四边形仍然成立；(2)还可将四边形推广成2n边形，也有类似结论。
其证明思路也完全相同，读者试自证。
二、中心对称变换如果平面上使任意一对对应点A，A'的连线段都通过一个点O，且被这一点所平分，则这个变换叫做中心对称变换(亦称点反射或点对称)，点O叫对称中心，点A和A'叫做关于对称中心的对称点，如果一个图形F在中心对称变换下保持不变(还是自身)，则这个图形F叫做中心对称图形。
【七年级】2021年七年级下册数学全册教案(新湘教版)
【七年级】2021年七年级下册数学全册教案（新湘教版）4.6两条平行线间的距离目标：1、认知平行线之间的距离的概念。
2、能够测量两条平行线之间的距离，会画到已知直线已知距离的平行线。
3、通过平行线之间的距离转变为点至直线的距离，并使学生初步体验转变的数学思想。
重点：理解平行线之间的距离的概念，掌握它与点到直线的距离的关系。
教学难点：图画至未知直线未知距离的平行线。
教学过程：一、准备工作科学知识1、点到直线距离。
2、直线外一点与直线上各点联结的所有线段中，垂线段最长。
3、三条直线的平行关系。
二、探究新知1、做一做。
测量自己的数学课本的宽度。
必须特别注意什么问题？刻度尺必须与课本两边互相横向。
2、公垂线、公垂线段的概念与两条平行直线都横向的直线，叫作这两条平行直线的公垂线。
如图形中的直线ab与cd都是公垂线，这时连结两个像距的线段，叫作这两条平行直线的公垂线段。
图中的线段ab和cd。
两平行线的公垂线段也可以看作就是两平行直线中一条上的一点到另一条的垂线段。
3、公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都成正比。
4、两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，公垂线段最长。
如图m∥n，直线m、n上各取一点a、b，连结ab。
再过a作n线段的垂线段ac，像距为c，则存有ac＜ab。
从而得到上述定理。
5、两平行间的距离：两平行线的公垂线段的长度。
6、范例分析p76基准例如图设立直线a、b、c就是三条平行直线。
未知 a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离。
（引导学生分析，然后按教材写出解题过程：求解：在直线a就任挑一点a，过a作ac⊥a，分别缴b、c于b、c两点，则ab、bc、ac分别表示a与b，b与c，a与c的公垂线段。
ac＝ab+bc＝5＋2＝7，因此a与c的距离为7厘米。
三、小结练1、练习p76 p77的a组2题2、课堂小结四、布置作业p77的a组第1、3题后记：第五章轴对称图形课题5.1轴对称图形教学目标1联系生活中的具体内容事物，通过观察和动手操作方式，初步体会生活中的等距现象，重新认识轴对称图形的基本特征，可以辨识并能够作出一些直观的轴对称图形。
湘教版数学七年级下册5.1 轴对称(49页)
第5章 轴对称与旋转 5.1轴对称
湘教版·七年级数学下册
第5章 轴对称与旋转 5.1.1轴对称图形
湘教版·七年级数学下册
情境导入 观察下列图片和图形，它们有什么共同特点？
折一折，剪一剪素材
观察图中一组生肖剪纸， 你能发现它们有什么共同的特征吗？
如果一个平面图形沿一条直线折叠后， 直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形 叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴.
点 P 与点 P′ 重合
PD = _P_′_D__，∠1=_∠__2_ = __9_0_° 成轴对称的两个图形中，对应点 的连线被对称轴垂直平分.
如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分， 那么这两个图形关于这条直线对称.
已知直线 l 及直线外一点 P，求作点 P′， 使它与点 P 关于直线 l 对称.
[选自教材P114 练习]
随堂演练 1.如图所示的几个图案中，是轴对称图形的是（ A ）
2.如图所示，下面的 5 个英文字母中是轴对称图形 的有（ B ）
是轴对称图形的有（ B ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4. 如图所示，从轴对称的角度来看，你觉得下面 哪一个图形比较独特？简单说明你的理由.
已知三角形 ABC 和直线 l，作出与
三角形 ABC 关于直线 l 对称的图形.
轴对称变换课件PPT
THANK YOU
感谢聆听
直线的轴对称变换可以用来研 究几何图形的对称性和性质。
05
轴对称变换的应用举例
在几何图形中的应用
总结词：丰富多样
详细描述：轴对称变换在几何图形中有着广泛的应用，如矩形、正方形、菱形、 等腰三角形等都是轴对称图形。通过对这些图形进行对称变换，可以创造出更多 具有美学价值的图案和设计。
在函数图像中的应用
图案设计
在图案设计中，轴对称变换可 以创造出具有美感的图案，如 雪花、蜂巢等。
物理学应用
在物理学中，轴对称变换被应 用于分析物体的平衡和稳定性 问题，如天体运动、机械转动 等。
02
轴对称变换的定义与性质
轴对称变换的定义
轴对称变换是指图形关于某一直线（称为对称轴）对称的变换。
如果图形上任意一点P经过轴对称变换后，其对应点P'与P关于对 称轴对称，则称该变换为轴对称变换。
根据对称轴的方向，轴对称变换可分为正向和反向轴对称变换。正向轴 对称变换是指图形关于水平或垂直的直线进行对称的变换；反向轴对称 变换是指图形关于斜线进行对称的变换。
03
常见的轴对称变换
关于x轴的对称变换
总结词
图像在x轴两侧对称
详细描述
当一个图形关于x轴进行对称变换时，图像在x轴两侧呈现对称状态，即如果某 点坐标为(x, y)，则其对称点坐标为(x, -y)。
如果一个点关于某一直线进行 轴对称变换，则该点关于该直 线进行翻转，与原点关于该直 线对称。
点的轴对称变换可以用来研究 几何图形的性质和关系。
轴对称变换与直线的关系
直线是几何图形中的重要元素， 轴对称变换也可以应用于直线。
如果一条直线关于某一直线进 行轴对称变换，则该直线会变 成一条与原直线平行且距离相 等的直线。
中考数学《轴对称》知识点：坐标系中的轴对称变换与中心对称变换
中考数学《轴对称》知识点：坐标系中的轴对称变换与中心对
称变换
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中考数学《轴对称》知识点：坐标系中的轴对称变换与中心对称变换
点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x,-y)，关于y轴对称的点P2的坐标为(-x,y)。
关于原点对称的点的坐标P3的坐标是(-x,-y)这个规律也可以记为：关于y轴(x轴)对称的点的纵坐标(横坐标)相同，横坐标(纵坐标)互为相反数。
关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以-1。
轴对称变换 PPT
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△
就是所求作的三角形
归纳
几何图形都可以看作由点组成，只要作出这些点 关于对称轴的对应点，再连接对应点，就可以得 到原图形的轴对称图形
对于一些由直线、线段或射线组成的图形只要作出 图形中的一些特殊点的对称点，再连接对应点，就 可以得到原图形的轴对称图形
请你用所学的知识来欣赏下列美丽的图案
要在燃气管道L上修建一个 泵站，分别向A、B两镇供 气，泵站修在管道的什么地 方，可使所用的输气管线最 短？
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小结：
①对称轴方向和位置发生变化时，得到的图 形的方向和位置也 会发生变化
②由一个平面图形可以得到它关于一条直线L 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小 完全一样；
③新图形上的每一点，都是原图形上 的某一点关于直线L的对称点；
④连接任意一 对对于的对应点的线段被对称 轴垂直平分。
轴对称变换
∴∠AEF= ∠A ˊEF
∠BEG=∠B ˊEG
∵∠AEF+∠A ˊEF+ ∠ BEG+∠B ˊEG=180°
∴ 2∠AEF+2∠BEG=180°
∴ ∠AEF+ ∠BEG=90°
5.1.2 轴对称变换（应用）
5.1.2 轴对称变换（应用）
1
2
5
6
3
4
5.1.2 轴对称变换（应用）
火眼金睛：某日发生了一起交通事故，肇事司机已驾车逃离现
AˊCˊ=________
5cm
(3)∠C=________°
53
C
B
B＇
(4)三角形ABC的周长是__________,
三角形A ˊ B ˊ C ˊ的面积
12cm
是____________.
62
C＇
图形经过轴对称变换，长度、角度和面积等都不改变．
5.1.2 轴对称变换（性质）
l
P
O
l
E
P＇
F
M
N
E＇
l
A
A＇
E
B
F＇
B＇
C
C＇
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
5.1.2 轴对称变换（性质）
因为沿l 对折，
点P和点Pˊ重合，
所以PD与PˊD，
∠1与∠2也互相重合， B
所以PD=PˊD, ∠1=∠2.
又因为∠1+∠2=180°，
所以∠1=∠2=90°.
所以PPˊ被l 垂直平分.
②
清 水 池 里（ 池 水 清 ）
③
山 西 悬 空 寺（ 空 悬 西 山 ）
轴对称变换课件(浙教版)
例：如图，已知△ABC和直线m。以直线m为对称轴，
作△ABC经轴对称变换后得到的像。
A’
课本：P42
m
做一做
B’ C’
A
C
轴对称变换的性质：B
轴对称变换不改变原图形的形状和大小，只改 变位置和方向。
实际图形与它在镜子里的像构成轴对称关系。
印章上的“马 ”
印在纸上的“马 ”
刻在印章上的“马”字与印在纸上的“马”字,把它 们并排放在一起，它们成轴对称。
究 会。他经常想一个问题：应该沿怎样的路线行走
题 才能使路程最短？请你帮他想一想，并画出最短
的路线。
A
B
知识回顾：什么是轴对称图形？ 轴对称图形有什么性质?
1、如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两侧的 部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴。
2、对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段。
中国的剪纸艺术——轴对称图形
如何剪？
看成两个图 形
两个图形成轴 对称
1、由一个图形变为 另一个图形,并使这两 个图形关于某一条直 线成轴对称，这样的 图形改变叫做图形的 轴对称变换，也叫反 射变换,简称反射. 2、经变换所得的新 图形叫原图形的像．
第一关 作点A关于直线 l 的对称点
画法
01 23 4 5
01 23 4 5
AO
A’
1、过点A作直线 的垂线，垂足为O
2、在射线AO上取一点A’，使OA’=OA
l
已知对称轴 l 和线段AB，画出线段AB经轴对称变换
后所得的像A′B′。
A
A'
A’ A A'
A
B
B B'
5.1.2轴对称变换
第57课时5.1.2轴对称变换一、教学目标：1、知识与技能：（1）能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.（2）轴对称的简单应用.2、过程与方法：能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形. 培养学生运用轴对称解决实际问题的基本能力.使学生掌握数学知识的衔接与各部分知识间的相互联系.3、情感态度与价值观：（1）积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.（2）在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.三、教学重、难点重点;能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.教学难点: 应用轴对称解决实际问题.四、教学过程（一）说一说：图中，对称轴l 两边的图形(a)与(b)的形状和大小发生变化了吗？1：轴对称变换把图形（a）沿着直线l翻折并将图形“复印”下来得到图形（b），就叫做该图形关于直线l作了轴对称变换，也叫轴反射。
轴对称变换的性质：1、轴对称变换不改变图形的形状和大小，图形经过轴对称变换，长度、角度和面积等都不改变。
2、成轴对称变换的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
（二）例题分析例1、运用轴对称变换作图：已知对称轴l 和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′ ?作法:过点A作直线l的垂线在垂线上截取OA′=OA,垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点.例2、如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′?作法：1、过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA，点A′就是点A关于直线l的对称点；2、类似地，作出点B关于直线l的对称点B′；3、连接A′B′.∴线段A’B’即为所求。
例3、如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。
作法：1、过点A作直线l的垂线，垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点；2、类似地，分别作出点B、C关于直线l的对称点B′、C′；3、连接A′B′、B′C′、C′A′。
∴△A′B′C′即为所求。
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2. 类似地，作出点B关于直线l的对应点 B´.
3. 连接A´B´.
所以和直线l，作出三角形ABC关于直 线l的对称图形。
l
A
B
C
1、下列四组图形中成轴对课称堂的达是（标A ）
96
5
5
ss
A
B
C
D
2、（2017遵义）把一个正方形纸片按沿下图①②对折两次后，再
按图③挖去一个三角形，则展开后的图形是（ C ）
①
②
③
A
B
C
D
课堂达标
3．如图△AOD关于直线l进行轴对称变换
后得到△BOC，则以下结论中不正确的 A
l
B
是( D )
1
2
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
3 O4
C．直线l 垂直平分AB且l 垂直平分CD
D
C
D．AC与BD互相平分
4．距离为20cm的两点A和A＇关于直线MN成轴对称，则 点A到到直线MN的距离为 10cm。
课前预习
知识点二 轴对称及其性质 轴对称：如果一个图形关于某一条直线作轴对称变换后，
能够与另一个图形 重合 ，那么就说这两个图形关于这条直 线对称,也称这两个图形成 轴对称 ，这条直线叫作 对称轴 。
性质：
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称
轴 垂直平分 。
l 对称轴
a
b
原像
像
A
A´
对应点
课堂探究
课堂小结
说说这节课你有哪些收获？ 你知道轴对称与轴对称图形的区别和联系吗？
联系生活
1.小明从面前的平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如 图所示，你知道此刻的时间吗？
联系生活
2.如图，在河流MN的两同侧一侧有村庄A与B，两村决定共
同出资在河边修建一个水泵站P，水泵站应该如何选址才能
使铺设至两村的水管PA+PB最短呢？
5.1.2 轴对称变换
湘潭县云龙中学 赖 娜
课前预习
知识点一 轴对称变换的相关概念及性质 如图5一1－7，把图形（a）沿着直线 l 翻折并将图形
“复印”下来得到图形（b），就叫作该图形关于直线 l 作了 轴对称变换 ，也叫轴反射．图形（a）叫做原像， 图形（b）叫做图形（a）在这个轴反射下的像。
轴对称变换的性质： 轴对称变换不改变图形的 形状 和 大小 。
由轴对称性质得PA=PA´，所以PA+PB+=PA´+PB=A´B N
在直线MN上再任取另一点C，连接AC、A´C、BC
由轴对称性质得CA=CA´，所以AC+BC=A´C+BC ˃ A´B
即PA+PB˂AC+BC 所以点P即水泵站的位置。
课后作业
《学法大视野》第75页 必做题 “课后提升”第1—10题 选做题 “课后提升” 第11—12题
两侧：
M
同侧：
B ？M
A
B
AP
A´ P
N
N
所以点P即水泵站的位置
联系生活
2.如图，在河流MN的同一侧有村庄A与B，两村决定共
同出资在河边修建一个水泵站P，水泵站应该如何选址才能
使铺设至两村的水管PA+PB最短呢？
解：如图，作点A关于直线
A
B
MN的对称点A´，连接A´B， M
交MN于点P。
A´ P
C
l
P
O
P´ Q
作法：
1. 过点P作 PQ⊥l，交l于点 O.
2. 在射线 PQ上，截取 OP'=OP.
点P´即点P关于直线l 的对称点
画一画
2.已知线段AB和直线l，作出线段AB关于直线l 的对称的
图形。
A
l A´
O
作法：
B
B´
1. 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA´= OA，
点A´就是点A关于直线l的对应点.
对应的线段、对应角？这些线段、角有什么关系？
2、连接AD,交直线l于点O，线段AD与直线l 有什么关系？
3、在对称轴直线l上任取一点P，连接PB、PE，你有什么发现？ 如图，已知点M在直线l上，若MC=4cm,则MF= 4cm 。
画一画
1.已知直线l及直线外一点P，你能画出点P关于直线l 的
对称点P´吗？
目标一 会识别轴对称
例1 观察下列各组图形，其中不成轴对称的是（ D ）
A
B
C
D
课堂探究
目标二 轴对称的性质及应用 例2 如图，三角形ABC与三角形DEF
A
1
l
2
O
D
关于直线 l 对称，若AB=6cm，∠A＝40º，
M
则DE= 6cm ，∠D= 40º 。
B
E
CF
找一找：1、图中还有哪些对应点、
P