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2014年福建省高一数学竞赛-参考答案

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2014年高考理科数学福建卷(含答案解析)

2014年高考理科数学福建卷(含答案解析)

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于（ ）A .23i --B .23i -+C .23i -D .23i + 2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是（ ）A .圆柱B .圆锥C .四面体D .三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,312S =,则6a 等于（ ）A .8B .10C .12D .144.若函数log (0,1)a y x a a =≠＞且的图象如下图所示,则下列函数图象正确的是（ ）A .B .C .D .5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值等于（ ） A .18 B .20 C .21D .406.直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于A ,B 两点,则“1k =”是“OAB △的面积为12”的 （ ）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件7.已知函数21,0,()cos ,0,x x f x x x ⎧+=⎨⎩＞≤则下列结论正确的是（ ）A .()f x 是偶函数B .()f x 是增函数C .()f x 是周期函数D .()f x 的值域为[1,)-+∞8.在下列向量组中,可以把向量(3,2)=a 表示出来的是（ ）A .1(0,0)=e ,2(1,2)=eB .1(1,2)=-e ,2(5,2)=-eC .1(3,5)=e ,2(6,10)=eD .1(2,3)=-e ,2(2,3)=-e9.设P ,Q 分别为圆22(6)2x y +-=和椭圆22110xy +=上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是（ ）A.BC.7D.10.用a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1)(1)a b ++的展开式1a b ab +++表示出来,如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）A .234555(1)(1)(1)a a a a a b c +++++++B .523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++C .523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++D .552345(1)(1)(1)a b c c c c c +++++++第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.若变量x ,y 满足约束条件10,280,0,x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≥则3z x y =+的最小值为________.12.在ABC △中,60A =,4AC =,BC =,则ABC △的面积等于________. 13.要制作一个容器为34m ,高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20 元,侧面造价是每平方米10 元,则该容器的最低总造价是________（单位：元）. 14.如图,在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.15.若集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =,且下列四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是________.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若π02α＜＜,且sin α,求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）17.（本小题满分13分）在平面四边形ABCD 中,1AB BD CD ===,AB BD ⊥,CD BD ⊥.将ABD △沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图. （Ⅰ）求证：AB CD ⊥；（Ⅱ）若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（Ⅰ）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50 元,其余3个均为10 元,求： （ⅰ）顾客所获的奖励额为60 元的概率； （ⅱ）顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（Ⅱ）商场对奖励总额的预算是60 000 元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10 元和50 元的两种球组成,或标有面值20 元和40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的两条渐近线分别为1l ：2y x =,2l ：2y x =-.（Ⅰ）求双曲线E 的离心率；（Ⅱ）如图,O 为坐标原点,动直线l 分别交直线1l ,2l 于A ,B 两点（A ,B 分别在第一、四象限）,且OAB △的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在,求出双曲线E 的方程；若不存在,说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的极值； （Ⅱ）证明：当0x ＞时,2e x x ＜；（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c ＜.21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵12112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）求矩阵1A -的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为2,4,x a t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）,圆C 的参数方程为4cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （Ⅰ）求直线l 和圆C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a .（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若p ,q ,r 是正实数,且满足p q r a ++=,求证：2223p q r ++≥.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）答案解析2.【答案】A【解析】因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.【提示】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状即可. 【考点】三视图还原实物图 3.【答案】C【解析】因为313(31)323321222S a d d ⨯-⨯=+=⨯+=，所以2d =，所以61(61)25212a a d =+-=+⨯=，故选C.【提示】由等差数列的性质和已知可得2a ，进而可得公差，可得6a . 【考点】等差数列的前n 项和【提示】由题意可得3a =，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可. 【考点】对数函数的图像与性质 5.【答案】B【解析】该程序框图为循环结构，由01S n ==，得10213112S n =+==++=，，判断315S =≥不成立，执行第二次循环，23229213S n +=+==+=，，判断915S =≥不成立，执行第三次循环，392320314S n +=+==+=，，判断2015S =≥成立，输出20S =.故选B.【提示】根据程序框图将01S n ==，代入执行第一次运算，不满足则进行第二次循环，以此类推，计算满足条件的S 值，可得答案. 【考点】带有循环结构的程序框图【提示】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 7.【答案】D【解析】由题意，可得函数图象如下：所以()f x 不是偶函数，不是增函数，不是周期函数，其值域为[1,)-+∞.故选D. 【提示】由三角函数和二次函数的性质，将函数图像画出，即可分别对各个选项判断.【考点】函数的奇偶性，单调性，周期性，值域 8.【答案】B【解析】根据12e e αλμ=+，选项A ：(3,2)(00)(1,2)λμ=+,，则322μμ==， ，无解，故选项A 不能.选项B ：(3,2)(1,2)(5,2)λμ=-+-，则35222λμλμ=-+=-， ，解得，21λμ==，，故选项B 能.选项C ：(3,2)(3,5)(6,10)λμ=+，则3362510λμλμ=+=+， ，无解，故选项C 不能.选项D ：(3,2)(2,3)(2,3)λμ=-+-，则322233λμλμ=-=-+，，无解，故选项D 不能. 故选：B.【提示】根据向里的坐标运算，12e e αλμ=+，计算判别即可. 【考点】平面向量的基本定理及其意义【提示】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离.【考点】椭圆的简单性质，圆的标准方程 10.【答案】A【解析】本题可分三步：第一步，可取0，1，2，3，4，5个红球，有23451a a a a a +++++种取法；第二步，取0或5个篮球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有5(1)c +种取法.所以共有234555()()(111)a a a a a b c +++++++种取法.故选A.【提示】根据“1a b ab +++”表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）则表示把红球和蓝球都取出来，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.【考点】归纳推理，进行简单的合情推理第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】1【解析】由线性约束条件画出可行域如下图阴影部分所示.由线性目标函数3z x y =+，得3y x z =-+，可知其过)(0,1A 时z 取最小值，故min 3011z ⨯+==.故答案为1.【提示】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值 【考点】简单线性规划 1sin 2bc A =⨯【提示】利用三角形中的正弦定理求出角B ，再利用三角形的面积公式求出ABC △的面积 【考点】正弦定理 480160xx +=160元.【提示】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a b ，，成本为y ，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求. 【考点】棱柱，棱锥，棱台的侧面积和表面积 14.【答案】22e【解析】根据题意e xy =与ln y x =互为反函数，图象关于y x =对称，所以两个阴影部分的面积相等.联立e y =与e xy =得1x =，所以阴影部分的面积11002(e e )2(e e )|[(2e )()e 01]2x x S dx x =-=-==---⎰，由几何概型可知所求概率为22e .故答案为22e . 【提示】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率 【考点】几何概型 15.【答案】6【解析】根据题意可分四种情况：（1）若①正确，则1124a b c d ==≠=，，，，符合条件的有序数组有0个； （2）若②正确，则1124a b c d ≠≠≠=，，，，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；（3）若③正确，则1124a b c d ≠===，，，，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)； （4）若④正确，则1124a b c d ≠=≠≠，，，，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2).所以共有6个. 故答案为6.【提示】利用集合的相等关系，结合①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的，即可得出结论. 【考点】集合的相等 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）1()2f α=（Ⅱ）()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【解析】（Ⅰ）因为π02α<<，sin α=cos α=所以11()22222f α=+-= 所以()f x 的单调递增区间为π,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【提示】（Ⅰ）利用同角三角函数关系求得cos α的值，分别代入函数解析式即可求得()f a 的值（Ⅱ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间.【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法 17.【答案】（Ⅰ）∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，AB ⊂平面ABD ，AB BD ⊥，∴AB ⊥平面BCD . 又CD ⊂平面BCD ， ∴AB CD ⊥.（Ⅱ）过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图：由（Ⅰ）知AB ⊥平面BCD∴AB BE AB BD⊥⊥，.为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为),1,00,1,00,0,1()(D A，，则(1,1,0BC=，10,BM⎛= ，(0,1,AD=设平面MBC的法向量(,,)n x y=，则0,0,n BCn BM⎧=⎪⎨=⎪⎩，即MBC的一个法向量1,1()1,n=-，则||6sin,3||||n ADn ADn ADθ===【提示】（Ⅰ）利用面面垂直的性质定理即可得出.（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式||sin|cos,||||n ADn ADn ADθ==即可得出.【考点】直线与平面所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.【提示】（Ⅰ）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出(60)P X=，(20)P X=，画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望.（Ⅱ）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到(10,10,50,50)，(20,20,20,40)两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列19.【答案】（Ⅰ）因为双曲线E的渐近线分别为2y x=，2y x=-，所以2ba=，所以2=，故c=，从而双曲线E的离心率ce==4a a|||8OC AB=，因此48a a=，解得12|||y y-得数学试卷第13页（共21页）数学试卷第14页（共21页）数学试卷第15页（共21页）数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）2222m m k --+21kx m y =+-=得，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为1416x y-=. 【提示】（Ⅰ）依题意，可知2ba=，易知c =，从而可求双曲线E 的离心率. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=，设直线l 与x 轴相交于点C ，分l x⊥轴与直线l 不与x 轴垂直讨论，当l x ⊥轴时，易求双曲线E 的方程为221416x y -=，当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+，与双曲线E 的方程联立，利用由12|1||82|OAB S OC y y -=△=可证得：双曲线E 的方程为，221416x y -=从而可得答案.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题20.【答案】（Ⅰ）由()e x f x ax =-，得()e xf x a '=-.又(0)11f a '=-=-，得2a =.所以()e 2()e 2x xf x x f x '=-=-，.令()0f x '=，得ln2x =当ln2x <时，()0()f x f x '<，单调递减； 当ln2x >时，()0()f x f x '>，单调递增.所以当ln2x =时，()f x 取得极小值，且极小值为ln 2(ln 2)e 2ln 22ln 4()f f x =-=-，无极大值.（Ⅱ）令2()e x g x x =-，则()e 2xg x x '=-.由（Ⅰ）得()()(ln 2)0g x f x f '=≥>，故()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2e x x <. （Ⅲ）①若1c ≥，则e e x x c ≤.又由（Ⅱ）知，当0x >时，2e x x <. 所以当0x >时，2e x x c <.取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <.②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2e x x c <成立，只要2e x kx >成立.而要使2e x kx >成立，则只要2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--，则22()1x h x x x-'=-=. 所以当2x >时，()0()h x h x '>，在(2,)+∞内单调递增. 取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+.易知ln ln 250k k k k >>>，，.所以0()0h x >.即存在016x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e x x c <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e x x c <.【提示】（Ⅰ）由题意可知点A 的横坐标为0，先求出()f x 的导函数()f x ，则曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为(0)f ，由(0)1f =-可求得a 的值.再利用求极值的步骤求解即可.（Ⅱ）常对此类问题构造新函数2()e x g x x =-，只需()0g x >在0(,)x +∞上恒成立即可，利用导数得到()g x 的单调性，从而得证.（Ⅲ）根据c 的值与1的大小关系分类进行证明.当1c ≥时，可直接根据（Ⅱ）中的结论得证；当01c <<时，证明的关键是找出0x ，先将不等式转化为21e x x c>，利用对数的性质，进一步转化为21ln 2ln ln x x x k c ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，即可构造函数()2ln ln h x x x k =--，然后利用导数研究其单调性，在该函数的增区间内找出一个值x 0，使0()0h x >即可得证.也可结合（Ⅱ）的结论，合理利用2e x x >将2x 中的一个x 赋值，利用不等式的传递性来解决问题. 【考点】导数在最大值，最小值问题中的应用，利用导数研究函数的单调性21.1-的逆矩阵，且1||221130A -=⨯-⨯=≠()0f λ=，得矩阵1A -的特征值为11λ=或23λ=，所以111⎛⎫= ⎪-⎝⎭ξ是矩阵1A -的属于特征值11λ=的一个特征向量，211⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ是矩阵1A -的属于特征值23λ=的一个特征向量.【提示】（Ⅰ）先求得1||A -的值，利用求逆矩阵的公式便可求得A .（Ⅱ）结合1A -的特征多项式，解方程，从而求得1A -的特征值. 【考点】特征向量的定义22.【答案】（Ⅰ）2216x y +=【提示】（Ⅰ）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程.（Ⅱ）求出圆心到直线的距离d ，利用直线和圆的位置关系，得d r ≤，从而求得a 的范围. 【考点】圆的参数方程，直线的参数方程23.【答案】（Ⅰ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知3p q r ++=，又因为p q r ，，是正数，所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥.【提示】（Ⅰ）由绝对值不等式||||||a b a b +≥-，当且仅当0ab ≤，取等号.（Ⅱ）利用柯西不等式2222222()()()a b c m n s am bn cs ++++≥++，结合所给式子特点，合理赋值，可证得结果.【考点】二维形式的柯西不等式，绝对值不等式的解法数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2013
解：由题设
an

2(n 1) n
an1

2(n 1) n

2n n 1 an2


2(n 1) n

2n n 1

23 2
a1

2n1 (n
1)
．
记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn =
2 + 2 × 3 + 22 × 4 + + 2n−1(n +1)
2015 2013


2015
．
2013
5. 正四棱锥 P ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M , N 分别是边 AB, BC 的中
点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
．
答案： 2 ． 4
解：设底面对角线 AC, BD 交于点 O ，过点 C 作直
线 MN 的垂线，交 MN 于点 H ． 由 于 PO 是 底 面 的 垂 线 ， 故 PO CH ， 又
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
连接的情况数．
(1) 有 AB 边：共 25 32 种情况．
(2) 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A ， B 可用折线连接当且仅当 A 与 C ， D 中至少一
点相连，且 B 与 C ， D 中至少一点相连，这样的情况数为 (22 1)(22 1) 9 ．

【2014龙岩市5月质检】福建省龙岩市一级达标学校联盟2014届高三毕业班5月联合考试理科数学试题 图片含答案

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数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并指出了一种或者几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分.1-5 DDCAD 6-10 ABAAB二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分20分11．-1 12．1或127 13．-1或0 14．2 15．34m ≤≤三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查二倍角公式、降幂公式、向量的数量积、递推数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，函数与方程思想．满分13分．解：（Ⅰ）(4,1)m x = ,2(cos (),tan 2)8n παα=+, ()f x m n =⋅ 2()4cos ()tan 28f x x παα∴=++()2(1c o s (2))t a n 24f x x παα∴=+++ ………………………………4分 由1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααa α 是锐角， 42πα=∴ cos(2)04πα∴+= 12)(+=∴x x f . ………………………7分 （Ⅱ）)(,111n n a f a a ==+ ，121+=∴+n n a a ， ………………………9分)1(211+=+∴+n n a a , 2111=+++n n a a , {}1+∴n a 是首项为11+12a ==，公比2=q 的等比数列,12-=∴n n a …11分 n n S n n n --=---=+2212)12(21. …………………………………13分 17．本小题主要考查茎叶图、样本中位数、古典概型，独立重复试验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）由题意可知4524440=++x 解得6=x . ……………………3分 （Ⅱ）没有一天空气质量超标的概率为37310724C C =至少有一天空气质量超标的概率为71712424-=. …………………7分 （Ⅲ）3,2,1,0=ξ ………………………8分 12527)53()0(3===ξP 12554)53)(52()1(213===C P ξ 12536)53()52()2(223===C P ξ 1258)52()3(3===ξP ξ∴的分布列为P 0 1 2 3ξ 1252712554125361258∴数学期望 2754368601231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………13分 18．本小题主要考查直线与直线、平面与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分13分．解：（Ⅰ）由ABC ADC ≅可知AC 既是等腰ABD ∆也是等边BCD ∆的角平分线，也是高，所以AO ⊥BD ，CO ⊥BD …………………………2分由于在平面图形中，AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，折起后这种关系不变，且AO CO O ⋂=所以折起后BD ⊥平面AOC ， ……………………………4分又AC ⊂平面AOC ，故BD ⊥AC ，即不论(0,)θπ在内为何值，均有AC BD ⊥. …………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD ⊥平面AOC ，又BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD过点A 作AE ⊥OC 于点E ，因为平面AOC ⋂平面BCD OC =，所以AE ⊥平面BCD ，即AE 是三棱锥A BCD -的高，在Rt AOE ∆中，sin 2sin AE AO θθ==，1442BCD S ∆=⨯⨯故三棱锥A BCD -的体积为12sin 3V θθ=⨯=，当三棱锥A BCD -的体积为3时，sin 1θ=，此时点E 与点O 重合.…9分 解法一：由上面证明易得CO ⊥平面ABD ，过O 点作OF ⊥AD 于点F ，连接CF ，因为AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥OC ，又OF ⋂OC =O ，所以AD ⊥平面OFC ，所以AD ⊥CF ，则∠OFC 就是二面角B AD C --的平面角. ………11分在Rt OFC ∆中，OF OC =CF所以cos OF OFC CF ===∠所以二面角B AD C --的余弦值为7. …………………………13分解法二：根据上面的证明过程可知OC 、OD 、OA 两两垂直，则分别以OC 、OD 、OA 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0），D （0，2，0），A （0，0，2），(23,2,0),(0,2,2)CD AD =-=-， 设平面ACD 的法向量为(,,)m xy z =则0203,(3,3,3)22003x m CD y y m y z m AD z ⎧=⎧⎧=⎪-+=⎪⎪⇒⇒==⎨⎨⎨-=⎪=⎪⎩⎪⎩=⎩取. …………11分 又平面ABD 的一个法向量(1,0,0)n =，所以7cos ,7||||m n m n m n <>== 显然所求角是锐二面角， 所以二面角B AD C -- ………13分 19．本小题主要考查椭圆标准方程与性质、直线与圆锥曲线位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等．满分13分．解：（Ⅰ） )1,0(),1,0(-B A ，)21,(m M ∴13(,),BM (,)22AM m m =-=. ………2分 又BM AM ⊥∴0=⋅BM AM 即432=m ，解得23±=m . ……5分 （Ⅱ）直线AM 的斜率为m k 211-=，直线BM 斜率为mk 232=. ∴直线AM 的方程为121+-=x m y ，直线BM 的方程为123-=x my .…6分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+,121.1422x m y y x 得04)1(22=-+mx x m ，14,0221+==∴m m x x . )11,14(222+-+∴m m m m C ……………………………………8分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+1231422x m y y x 得012)9(22=-+mx x m ，912,0221+==∴m m x x )99,912(222+-+∴m mm m D ……………………10分 据已知，3,02≠≠m m .（第18题图）∴直线CD 的斜率m m m m m m m m m m m m m m k 43)3(4)3)(3(9121499112222222222+-=---+=+-++--+-= ∴直线CD 的方程为)14(43112222+-+-=+--m m x m m m m y . ………12分 令0=x ，得,2=y ∴CD 与y 轴交点的位置与m 无关. …………13分20．本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等．满分14分．解：（Ⅰ）2()33(1)33(1)()f x x t x t x x t '=-++=--，又()f x 在(0,2)无极值1t ∴= …………………………………………3分（Ⅱ）①当0t ≤时，()f x 在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增，()f x ∴在[]0,2的最小值为13(1)22f t =+ ②当01t <<时，()f x 在(0,)t 单调递增，在(,1)t 单调递减，在(1,2)单调递增， (1)(0)f f ∴≤或()(2)f t f ≥由()(2)f t f ≥得：3234t t -+≥在01t <<时无解(1)(0)01f f t ≤⎧∴⎨<<⎩ 103t ∴<≤ ③当1t =时，不合题意；④当12t <<时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)t 单调递减，在(,2)t 单调递增，(1)(2)12f f t ≥⎧∴⎨<<⎩或()(0)12f t f t ≤⎧⎨<<⎩ 即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩或3213112212t t t ⎧-++≤⎪⎨⎪<<⎩ 523t ∴≤<或3t ≤（舍去） ⑤当2t ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减， max 13()(1)22f x f t ∴==+ 综上：15,,33t ⎛⎤⎡⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭时，存在0(0,2)x ∈，使得0()f x 是()f x 在[]0,2上的最值. …………………………………………………8分（Ⅲ）当1t =时，若2()552x f x xe x x m ≤-+-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立即322331552x x x x xe x x m -++≤-+-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立 32221x m xe x x x ∴≤--++，即2(22)1x m x e x x ≤--++对任意[)0,x ∈+∞恒成立 令2()22x g x e x x =--+，[)0,x ∈+∞()22x g x e x '=--,若000()220x g x e x '=--=，即0022x e x =+则002x <<022min 000000()()222222x g x g x e x x x x x ∴==--+=+--+2040x =->()0xg x ∴≥，()11xg x ∴+≥，1m ∴≤. ……………………14分21．（1）本小题主要考查矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分７分．（Ⅰ）设矩阵,a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭则由 1A PBP -=得AP PB = 即531313,201212a b c d --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得32392226a cb d ac bd -+=-⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩ 解得2,0,0,3a b c d ====，即20.03B ⎛⎫= ⎪⎝⎭………………4分 （Ⅱ）由（1）知2202040,030309B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以324020*********B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……………………7分 （2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分７分．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为：22(1)1x y -+=直线l 的直角坐标方程：y x =. ……………………3分（Ⅱ）圆心（1，0）到直线l的距离2d =， 则圆上的点到直线的最大距离为d r +||AB == 所以ABM ∆面积的最大值为11(1)222ABM S ∆=+=.……7分 （3）本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．满分７分．解：（Ⅰ）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或, ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ……………… 3分 （Ⅱ）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………… 7分。

福州一中2014年高中招生(面向福州以外地区)数学试卷(含答案)概要

福州一中2014年高中招生(面向福州以外地区)数学试卷(含答案)概要

福州一中2014年高中招生（面向福州以外地区）综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）1． 下列等式：①22532b a ab ab =+； ②326(5)25a a -=；③y x y x +=+；101()( 3.14)2|43π----=+其中正确的等式有（★★★）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示：则这些队员年龄的众数和中位数分别是(★★★) A ．31, 152 B ．3115, 2 C ．15, 15 D ．3131, 223．右图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为等边三角形，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（★★★）AB ．C ．24D ．24+4．若关于x 的方程22x c x c +=+的解是1x c =，22x c=，则关于x 的方程2211x a x a +=+++的解12 x x ，的值是（★★★） A ．2, a a B ．21, 1a a ++ C . 2, 1a a + D ．1, 1aa a -+1234567891314151617185．如图，边长为2的菱形纸片ABCD 中，60A ∠=，将该纸片折叠，EF 为折痕，点A D 、分别落在'A 、'D 处.若''A D 经过点B ，且'D F CD ⊥，则DF 的长为（★★★）A．2B．4- C．32D6．有一个数阵排列如下：1 2 4 7 11 16 22 3 5 8 12 17 23 6 9 13 18 2410 14 19 2515 20 2621 2728则第20行从左至右第10个数为（★★★）A ．425B ．426C ．427D ．428二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7．计算：22222132(1)211a a a a a a a a a a +-+⋅-÷=----+★★★. 8．如图，B DC E 、分别是ABC ∆的AC AB 、边上的中线，且 BD CE ⊥.若4BD =，6CE =，则ABC ∆的面积等于★★★.9．从2,1,1,2--这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y kx b =+的系数k b 、，则一次函数y kx b =+的图象不经过第三象限的概率是★★★. 10. 有一列数a ，b ，c ，d ，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差．若第一个数a 等于2，则第2014个数等于★★★. 11．如图，已知直线y kx =与双曲线ky x=相交于A B 、两点，过点A 作AC 垂直于x 轴，垂足为C ，且12A O CS ∆=.过原点O 作AB 的垂线交AC 的延长线于点D ，则ABD ∆的内切圆半径长等于★★★.12．规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =， {}2 4.2-=-；②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-. 若实数x 满足{}[]4 2=-x x ,则实数x 的取值范围是★★★．E DC BAD 'A 'FEDCBA三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13．（本小题满分12分）如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，AC BC =，D 为⊙O 中劣弧AB 上一点，延长DA至点E ，使CE CD =．(1) 求证：ACE BCD ∠=∠；(2) 若60ACB ∠=，试探究CD 与AD BD +长度的大小关系，并证明你的结论． 14．（本小题满分12分）如图，小明站在看台上的A 处，测得旗杆顶端D 的仰角为15，当旗杆顶端D 的影子刚好落在看台底部B 处时，太阳光与地面成60角.已知60ABC ∠=，4AB =米，求旗杆的高度. （点A 与旗杆DE 及其影子在同一平面内，C B E 、、三点共线且旗杆与地面垂直，不考虑小明的身高）15．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，A B 、为x 轴上两点（点A 在点B 的左边），C D 、为y轴上两点，经过A C B 、、的抛物线的一部分1C 与经过A D B 、、的抛物线的一部分2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点D 的坐标为(0 , 2)-，抛物线1C 的解析式为223 (0)y mx mx m m =--<. (1) 求A B 、两点的坐标；(2) 若四边形ACBD 是梯形，求m 的值；(3) 若点D 关于x 轴的对称点为1D ，试判断直线1AD 与该蛋线的公共点的个数，并证明你的结论.E福州一中2014年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7． 1- 8．169．1310．2 11．2 12．23x ≤<三、解答题（本大题共3小题，满分40分） 13．(1)证明： ABC ∆中，AC BC = CAB CBA ∴∠=1802ACB CBA ∴∠=-∠同理CED ∆中，1802ECD CDA ∠=-∠……2分 O 中，AC AC =CBA CDA ∴∠=∠…………………………………3分ACB ECD ∴∠=∠…………………………………4分 ACB ACD ECD ACD ∴∠-∠=∠-∠即 ACE BCD ∠=∠.……………………………5分(2)解：,CD AD BD =+证明如下：……………………6分在ACE ∆和BCD ∆中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACE ∴∆≌()BCD SAS ∆…………………………8分 AE BD ∴=………………………………………9分 若60ACB ∠=，则60ECD ∠=、 又∵CE CD =ECD ∴∆是等边三角形DE DC ∴=………………………………………10分DE AD AE =+ AE BD =∴DE AD BD =+又∵DE DC =∴CD AD BD =+.………………………………12分E14．解：过点A 作AF BD ⊥于点F ，……………………1分由题意知，15,60.DAH DBE ∠=∠= 点,,C B E 在一条直线上18060ABD ABC DBE ∴∠=-∠-∠=………2分 ABF ∆中，90,4AFB AB ∠==∴cos 4cos602,BF AB ABD =⋅∠=⋅=sin 4sin6023AF AB ABD =⋅∠=⋅=……6分AH ∥BE60HAB ABC ∴∠=∠=75BAD HAB DAH ∴∠=∠+∠=DAB ∆中，18045ADB ABD DAB ∠=-∠-∠= Rt DAF ∴∆中，tanDF AF ADB =⋅∠=2BD BF FD ∴=+=+10分 在Rt BDE ∆中，60DBE ∠=(sin 23DE BD DBE ∴=⋅∠=+=∴旗杆的高度为(3米.………………………12分15．解：(1) 在函数223y mx mx m =--中，令0y =，则 2230mx mx m --= ∵0m <∴2230x x --= 解得 123, 1x x ==-∴ (1,0), (3,0)A B -……………………………2分 (2) ∵(1,0), (3,0), (0,2)A B D --∴1, 3, 2AO BO DO ===.在函数223 (0)y mx mx m m =--<中，令0x =，则3y m =-∴(0,3)C m -则3OC m =-……………………………………3分①若AC ∥BD则AOC ∆∽BOD ∆∴AO BOCO DO = ∴1332m =- 解得29m =-此时AC BD ≠，四边形ACBD 是梯形.……6 ②若BC ∥AD则AOD ∆∽BOC ∆∴AO BODO CO=∴1323m=- 解得2m =-此时AD BC ≠，四边形ACBD 是梯形.综上所述，229m =--或.………………………………………………9分(3) ∵点1D 与点D 关于x 轴对称∴1(0,2)D则直线1AD 的方程为：22y x =+………………………………………11分 易知直线1AD 与抛物线2C 只有一个公共点A ， 下面只要考虑直线1AD 与抛物线1C 的公共点个数. 联立直线1AD 和抛物线1C 的方程22223y x y mx mx m =+⎧⎨=--⎩ 得2(22)320mx m x m -+--=解得123x m=+，21x =-…………………………………………………13分∵0m <∴233m +<①当231m +>-，即12m <-时，直线1AD 与该蛋线有两个公共点；②当23m +≤1-，即12-≤0m <时，直线1AD 与该蛋线只有一个公共点A .综上所述，当12m <-时，直线1AD 与该蛋线有两个公共点；当12-≤0m <时，直线1AD 与该蛋线有一个公共点.…………16分。

福建省福州市2014_2015学年高一数学下学期期末试卷(含解析)

福建省福州市2014_2015学年高一数学下学期期末试卷(含解析)

福建省福州市2014-2015学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．）1．（2015春•福州期末）的值为（）A．B．﹣C． D．﹣考点：诱导公式的作用．专题：计算题．分析：直接根据诱导公式转化求解计算即可．解答：解：∵tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣．故选：D．点评：本题考查诱导公式的应用：求值．此类题一般依照“负角化正角，大角化小角”的顺序进行角的转化．2．（2007•怀柔区模拟）cos20°cos25°﹣sin20°sin25°的值为（）A．0 B． 1 C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：直接利用两角和的余弦公式代入即可求出结论．解答：解：因为cos20°cos25°﹣sin20°sin25°=cos（20°+25°）=．故选：C．点评：本题主要考查两角和与差的余弦公式的应用．在应用两角和与差的余弦公式时，一定要注意公式中的符号的写法，避免出错．3．（2015春•福州期末）若A（﹣1，1），B（1，3），C（x，5），且=，则实数λ等于（）A． 1 B． 2 C． 3 D．4考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：求出向量、，由=，列出方程，求出λ的值．解答：解：∵A（﹣1，1），B（1，3），C（x，5），∴=（2，2），=（x﹣1，2），又=，∴（2，2）=λ（x﹣1，2），∴2=2λ，解得λ=1．故选：A．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．（2015春•福州期末）化简的结果为（）A． B． C． D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则即可得出．解答：解：=+++=+=．故选：B．点评：本题考查了向量的三角形法则，属于基础题．5．（2015春•福州期末）若（k∈Z），则sinα，cosα，tanα的大小关系为（）A．tanα＞sinα＞cosαB． tanα＞cosα＞sinαC．tanα＜sinα＜cosαD． tanα＜cosα＜sinα考点：三角函数线．专题：三角函数的求值．分析：利用单位圆中的正切线、正弦线、余弦线，即可得出结论．解答：解：∵（k∈Z），所以在单位圆中，做出角α的正切线、正弦线、余弦线，可得正切线最长，余弦线最短，所以有tanα＞sinα＞cosα，故选：A点评：本题考查利用单位圆中的正切线、正弦线、余弦线的大小来比较对应的三角函数的大小．6．（2007•怀柔区模拟）使函数y=sin（2x+φ）为奇函数的φ值可以是（）A． B． C．πD．考点：正弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：利用定义域包含0的函数f（x）为奇函数的条件是f（0）=0，求得sin φ=0，结合所给的选项可得结论．解答：解：定义域包含0的函数f（x）为奇函数的条件是f（0）=0，要使函数y=sin（2x+φ）为奇函数，需sin（2×0+φ）=sin φ=0，即sin φ=0，故φ=kπ，故选C．点评：本题考查奇函数的定义和性质，利用了定义域包含原点的函数f（x）为奇函数的条件是f（0）=0求得．7．（2015春•福州期末）已知α的终边在第一象限，则角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第三象限D．第一或第四象限考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：用不等式表示第一象限角α，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限解答：解：∵α是第一象限角，∴2kπ＜α＜2kπ+，k∈Z，则kπ＜＜kπ+，k∈Z，∴的终边的位置是第一或第三象限，故选：C．点评：本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限．8．（2012•马鞍山二模）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用诱导公式将y=cos（x+）转化为y=sin（x+），利用平移知识解决即可．解答：解：∵y=cos（x+）=cos（﹣x﹣）=sin[﹣（﹣x﹣）]=sin（x+），∴要得到y=sin（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位，故选C．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，将y=cos（x+）转化为y=sin（x+）是关键，考查理解与转化的能力，属于中档题．9．（2013•北京校级模拟）如图所示，向量，A，B，C在一条直线上且，则（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题．分析：由得=﹣3（），解出，即得答案．解答：解：由得=﹣3（），∴2=﹣+3，即 2=﹣+3，∴，故选A．点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，由得=﹣3（），是解题的突破口．10．（2015春•福州期末）化简，得到（）A．﹣2sin2 B．﹣2cos2 C．2sin2 D．2cos2考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的基本关系式以及倍角公式对被开方数分解因式，化简即得．解答：解：=+==|sin2+cos2|+|sin2﹣cos2|（）=sin2+cos2+sin2﹣cos2=2sin2；故选C．点评：本题考查了三角函数的基本关系式、倍角公式以及三角函数符号的运用；关键是正确化简，明确2的三角函数符号，正确去绝对值．11．（2012•监利县校级模拟）函数的定义域是（）A．B．C．D．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；综合题．分析：直接求无理式的范围，解三角不等式即可．解答：解：由2cos x+1≥0得，∴，k∈Z．故选D．点评：本题考查函数的定义域，三角不等式（利用三角函数的性质）的解法，是基础题．12．（2015春•福州期末）已知平面内的向量满足：||=1，（+）•（﹣）=0，且与的夹角为60°，又=λ+λ，0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，则由满足条件的点P所组成的图形的面积是（）A． 2 B．C． 1 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据条件建立平面直角坐标系，将满足不等式表示的可行域表示出来，从而将P点对应的图形描述出来，即可求解．解答：解：∵||=1，（+）•（﹣）=0，得到，即OA=OB，且与的夹角为60°，三角形AOB是等边三角形，则不妨以O为原点，以OA方向为x轴正方向，建立坐标系，如图则=（1，0），又=λ+λ，0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，令=（x，y），则=（λ1λ2，λ2）∴，∴，由于0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，∴其表示的平面区域如图示：由图可知阴影部分的面积为=．故选D．点评：本题主要考查平面区域的面积问题，是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．二、填空题（本题共4题，每小题4分，共16分．）13．（4分）（2015春•福州期末）与﹣2015°终边相同的最小正角是145°．考点：终边相同的角．专题：三角函数的求值．分析：先说明145°与﹣2015°终边相同，再说明在[0°，360°）上，只有145°与2015°终边相同．解答：解：∵﹣2015°=﹣6×360°+145°，∴145°与﹣1000°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，∴在[0°，360°）上，只有145°与﹣1000°终边相同，∴与﹣2015°终边相同的最小正角是145°，故答案为：145°．点评：本题考查终边相同的角的概念，终边相同的两个角相差360°的整数倍．14．（4分）（2015春•福州期末）已知，且||=3，||=5，||=7，则向量与的夹角是60°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先利用余弦定理求出以||，||，||为边的三角形内角，然后由向量夹角与三角形内角的关系求出向量夹角．解答：解：由已知，且||=3，||=5，||=7则以||=BC，||=AC，||=AB为边的三角形中cosC=，所以三角形的内角C=120°，所以向量与的夹角是：60°；故答案为：60°．点评：本题考查了平面向量的夹角以及余弦定理的运用；关键是明确三个向量围成的三角形内角与向量夹角的关系．15．（4分）（2015春•福州期末）函数y=asinx+bcosx（x∈R）的最大值是3．则a2+b2的值为9 ．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的值域求得a2+b2的值．解答：解：函数y=asinx+bcosx=（sinx+cosx），令cosθ=，sinθ=，则函数y= sin（x+θ），故函数y的最大值为=3，则a2+b2的值为9，故答案为：9．点评：本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．16．（4分）（2015春•福州期末）如图，已知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠AOC=120°，向量，的模分别为2，1，3，若=m，则实数m+n的值为．考点：平面向量的基本定理及其意义；向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面向量及应用．分析：求出题意求出∠BOC=90°，由向量的数量积运算化简=0，再化简列出方程求值，由图象确定m、n的值．解答：解：∵∠AOB=150°，∠AOC=120°，∴∠BOC=90°，则=0，∵向量，的模分别为2，1，3，且=m，∴，则，化简得，，①∵，∴，则9=，②，由①②得，m2=9，m=±3，由图可得m=﹣3，代入①n=﹣3，∴m+n=，故答案为：．点评：本题考查向量的数量积运算，向量的模的转化，以及向量垂直的充要条件的应用，对数学思维的要求比较高，难度大，易出错．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（2015春•福州期末）已知||=2，||=3，与的夹角为120°．（Ⅰ）求（3）的值；（Ⅱ）求||的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：求解=||||c os120°（I）展开（3）•（）=322，代入即可（II）根据||==求解．解答：解：∵||=2，||=3，与的夹角为120°∴=||||cos120°=2×=﹣3，（Ⅰ）（3）•（）=322=12﹣15﹣18=﹣21（Ⅱ）||===+9=．点评：本题考察了平面向量的数量积的运用，向量的线性运算，属于中档题．18．（2015春•福州期末）已知角α的终边过点P（﹣3，4）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若β为第三象限角，且tan，求cos（2α﹣β）的值．考点：任意角的三角函数的定义；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）首先分别求出sinα，cosα，tanα，然后利用诱导公式化简式子，代入数值计算；（Ⅱ）由已知β为第三象限角，且tan，求出β的正弦和余弦值，求出2α的正弦和余弦值，利用两角差的余弦公式解答．解答：解：（Ⅰ）因为角α的终边过点P（﹣3，4），所以sin，cos，tan﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）因为β为第三象限角，且tan，所以sin，cos．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由（Ⅰ）知，sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以cos（2α﹣β）=cos2αcosβ+sin2αsinβ==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了三角函数的坐标法定义以及三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数余弦公式的运用；熟记公式，正确运用是关键．19．（2015春•福州期末）如图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）+c（A＞0，ω＞0，φ＞0）图象的一部分．（Ⅰ）求此函数的周期及最大值和最小值；（Ⅱ）求此函数的单调递增区间．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由函数的最值求出A和c的值，由周期求出ω，可得函数的解析式，进而求得此函数的周期及最大值和最小值．（Ⅱ）把点（4，1）代入上式求得φ的值，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．解答：解：（Ⅰ）结合图象及解析表达式可知，c=1，A=4﹣1=3．再根据•=12﹣4，求得ω=，故函数f（x）=3sin（x+φ）+1．故函数f（x）的最小正周期为=，最大值为 3+1=4，最小值为﹣3+1=﹣2．（Ⅱ）把点（4，1）代入上式，可得 sin（+φ）=0，再根据φ＞0，故可取φ=，故函数的解析式为：f（x）=3sin（x+）+1．由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣4+k≤x≤+k，即函数f（x）的单调递增区间为：[﹣4+k，+k]，k∈z．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的周期性、最值、以及单调性，属于中档题．20．（2015春•福州期末）（Ⅰ）运用S（α+β）及C（α+β）证明：tan（α+β）=；（Ⅱ）在△ABC中，证明tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式化简tan（α+β），即可证得结论．（Ⅱ）△ABC中，由tanA=﹣tan（B+C）利用两角和差的正切公式，求得tanB+tanC=﹣tanA+tanAtanBtanC，代入要证等式的左边，即可证得结论．解答：（Ⅰ）证明：∵tan（α+β）====，∴tan（α+β）=．（Ⅱ）证明：△ABC中，tanA=﹣tan（B+C）=﹣，∴tanB+tanC=﹣tanA+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanA﹣tanA+tanAtanBtanC=tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，属于基础题．21．（2015春•福州期末）已知||=4，||=3，且向量与互相垂直．（Ⅰ）若向量=3k+4k（k∈R），且||=12，求|k|的值；（Ⅱ）若向量满足（），求||的取值范围．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）建立坐标系设出，，坐标，用||=12，求出|k|的值；（Ⅱ）利用向量垂直数量积为0，得到的坐标关系式，利用其几何意义求最值．解答：解：据题意：建立坐标系．不妨设=（4，0），=（0，3），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（Ⅰ）向量=3k+4k=（12k，12k）∴||==12，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解得|k|=1﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）设=（x，y），则由（），得到（）=（4﹣x）x﹣（y﹣3）y=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）即（x﹣2）2+（y﹣1.5）2=6.25．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由此可以判定，向量的起点在原点，终点在以（2，1.5）为圆心，半径为2.5的圆上，注意到原点也在此圆上，所以，||的取值范围[0，5]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了平面向量的坐标运算、模的计算以及向量垂直的性质运用，用到了几何意义求模的范围；属于中档题．22．（14分）（2015春•福州期末）已知向量=（（），﹣），=（sin（+mx），cos2mx）x∈R，m∈R，函数f（x）=．（Ⅰ）当m=1时，x时，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）当m=时，若f（x）在区间[0，2015]恰有2015个零点，求整数n的所有取值．考点：平面向量数量积的运算；函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由已知求出函数解析式并化简，利用正弦函数的性质求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）讨论n的符号，利用函数在区间[0，2015]恰有2015个零点，确定n值．解答：解：（Ⅰ）f（x）==（）（sin（+mx）﹣cos2mx=2sin2（mx+）﹣cos2mx=1﹣cos（+2mn）﹣cos2mx=sin2mx﹣cos2mx+1=2sin（2mx﹣）+1﹣﹣﹣﹣﹣（4分）当m=1时，f（x）=2sin（2x﹣）+1；当x时，2x﹣∈[，]，∴f（x）∈[2，3]．故当x时，f（x）的最大值为3，最小值为2．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）当m=时，f（x）=2sin（nπx﹣）+1由f（x）=0，则sin（nπx﹣）=﹣①当n＞0时，T=，nπx﹣=2kπ或nπx﹣=2kπ﹣，k∈Z，所以x=或x=，k∈Z依题意得即所以又n∈Z，所以n=1．﹣﹣﹣﹣﹣（10分）②当n＜0时，T=，sin（﹣nπx+）=所以﹣πx+=或﹣nπx+=，k∈Z所以x=或x=，k∈Z依题意得即所以又n∈Z，所以n=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）③当n=0时，显然不合题意．综上得：n=±1．﹣﹣﹣﹣﹣1（4分）点评：本题考查了平面向量的数量积以及三角函数式的化简、正弦函数的性质以及讨论思想的运用，属于难题．。

【2014龙岩高考】2014年福建省龙岩市一级达标学校联盟高中毕业班联合考试数学(理科)试题

【2014龙岩高考】2014年福建省龙岩市一级达标学校联盟高中毕业班联合考试数学(理科)试题

2014年福建省龙岩市一级达标学校联盟高中毕业班联合考试数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．1．复数(32)z m mi =-+（m R ∈，为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合2{(2)20}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=集合AB 中所有元素之和为7，则实数a 的取值集合为A ．{0}B ．{02}，C ．{12,4}，D ．{012,4}，， 3．已知命题:,ln 2p x R x x ∃∈>+，命题2:,log 0q x R x ∀∈≥A. 命题q p ∨是假命题B. 命题q p ∧是真命题C. 命题)(q p ⌝∧是真命题D. 命题)(q p ⌝∨是假命题4．阅读程序框图，若输入4,6m n ==，则输出,a i 分别是 A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i ==D ．8,4a i ==5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的A ．2B. 92C. 32D. 36．数列{}n a 满足13a =-，111n n n a a a ++=--，其前n 项积为n T ， 则2014T =（第4题图） 正视图 侧视图xA ．32B ．16-C ．23 D ．6-7．有四个函数分别是：①()21f x x =+；②()x f x e =；③()ln f x x =； ④()sin f x x = ．对于满足：对定义域内的任意x ，都有(2)()2(1)f x f x f x ++≥+的函数()f x 有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=＞＞的左、右焦点分别为12,F F ，点(1,2)M 为双曲线C 右支上一点，且2F 在以线段1MF 为直径的圆的圆周上，则双曲线C 的离心率为A ．12+B ．122-C ．223+D ．226+ 9．已知非零向量,a b 的夹角为θ，3a b +=，1a b -=，则θ的取值范围是 A ．03πθ≤≤ B ．32ππθ≤<C ．62ππθ≤<D ．203πθ<<10. 如图二次函数2(0)y ax c a =++<的图像过点(,4)C t ， 且与x 轴相交于,A B 两点，若AC BC ⊥，则a 的取值为A ．1-B ．14-C ．12- D ．4-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．定积分11(1)x dx --⎰的值为 .12．已知7270127()x m a a x a x a x -=++++的展开式中3x 的系数是35，则1237a a a a ++++= .13．若不等式组303002x y kx y x -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则实数k 的值是 .14．代数式+++11111（“ ”表示无限重复）是一个固定的值，可以令原式t =，由t t =+11解得t =用类似的方法可得 +++222= .15．已知不等式(12)(ln ln )0mn m n -⋅-≥对任意正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）已知α为锐角，且tan 1α=-．若(4,1)m x = ，2(cos (),tan 2)8n παα=+，函数()f x m n =⋅.（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）若数列{}n a 的首项11a =， 1()n n a f a +=，求数列{}n a 的前n 项和n S .（第10题图）17．（本小题满分13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.规定 PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标.某市环保局从过去一年的市区PM2．5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶). 10个数据中有y x ,两个数据模糊，无法确认，但知道这10个数据的中位数为45.（Ⅰ）求x 的值； （Ⅱ）从这10个数据中抽取3天的数据，求至少有 1天空气质量超标的概率；（Ⅲ）把频率当成概率来估计该市的空气质量情况， 记ξ表示该市空气质量未来3天达到一级的天数，求ξ的分布列及数学期望.18．（本小题满分13分）如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD ∆是以A BCD ∆为正三角形，且4BD =，AC 与BD 交于点O （如图甲）.现沿BD ，使得折起后∠(0)AOC θθπ=<<（如图乙）. （Ⅰ）证明：不论θ在(0,)π内为何值，均有AC BD ⊥（Ⅱ）当三棱锥A BCD -求二面角B AD C --的余弦值.19．（本小题满分13分）已知椭圆:E 1422=+y x 的短轴端点分别为,A B 交于D C ,两点，其中点)21,(m M 满足0≠m ，且3±≠m . （Ⅰ）若BM AM ⊥，求m 的值； （Ⅱ）证明：CD 所在直线与y 轴交点的位置与m 20．（本小题满分14分）已知t R ∈,设函数323(1)()312t f x x x tx +=-++. （Ⅰ）若()f x 在(0,2)上无极值，求的值；（Ⅱ）若存在0(0,2)x ∈，使得0()f x 是()f x 在[]0,2上的最值，求的取值范围；（Ⅲ）当1t =时，若2()552x f x xe x x m ≤-+-+（e 为自然对数的底数）对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按照所做的前两题计分. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵5320A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若存在一矩阵1312P -⎛⎫= ⎪-⎝⎭使得1A PBP -=.试求（Ⅰ）矩阵B ； （Ⅱ）3B ．2 3 4 6 7 8 82 1 4x 4y 92 48 PM 2.5日均值（微克/立方米）（第17题图） 甲 乙AC （第18题图）（第19题图）（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xoy 内，点(,)P x y 在曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上运动.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为cos()04πρθ+=.（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线C 相交于A B 、两点，点M 在曲线C 上移动，求ABM ∆面积的最大值.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式()011>≥-+-a a ax ax . （Ⅰ）当1=a 时，求此不等式的解集；（Ⅱ）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并指出了一种或者几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分. 1-5 DDCAD 6-10 ABAAB二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分20分11．-1 12．1或127 13．-1或0 14．2 15．34m ≤≤三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查二倍角公式、降幂公式、向量的数量积、递推数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）(4,1)m x = ,2(cos (),tan 2)8n παα=+, ()f x m n =⋅2()4cos ()tan 28f x x παα∴=++()2(1cos(2))tan 24f x x παα∴=+++ ………………………………4分由1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααa α 是锐角， 42πα=∴cos(2)04πα∴+= 12)(+=∴x x f . ………………………7分 （Ⅱ）)(,111n n a f a a ==+ ，121+=∴+n n a a ， ………………………9分)1(211+=+∴+n n a a , 2111=+++n n a a , {}1+∴n a 是首项为11+12a ==，公比2=q 的等比数列,12-=∴n n a …11分 n n S n n n --=---=+2212)12(21. …………………………………13分17．本小题主要考查茎叶图、样本中位数、古典概型，独立重复试验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）由题意可知4524440=++x 解得6=x . ……………………3分（Ⅱ）没有一天空气质量超标的概率为37310724C C =至少有一天空气质量超标的概率为71712424-=. …………………7分 （Ⅲ）3,2,1,0=ξ ………………………8分12527)53()0(3===ξP 12554)53)(52()1(213===C P ξ 12536)53()52()2(223===C P ξ 1258)52()3(3===ξP ξ∴的分布列为Pξ∴数学期望 2754368601231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………13分18．本小题主要考查直线与直线、平面与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）由ABC ADC ≅可知AC 既是等腰ABD ∆也是等边BCD ∆的角平分线，也是高，所以AO ⊥BD ，CO ⊥BD …………………………2分由于在平面图形中，AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，折起后这种关系不变，且AO CO O ⋂= 所以折起后BD ⊥平面AOC ， ……………………………4分 又AC ⊂平面AOC ，故BD ⊥AC ，即不论(0,)θπ在内为何值，均有AC BD ⊥. …………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD ⊥平面AOC ，又BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD过点A 作AE ⊥OC 于点E ，因为平面AOC ⋂平面BCD OC =， 所以AE ⊥平面BCD ，即AE 是三棱锥A BCD -的高，在Rt AOE ∆中，sin 2sin AE AOθθ==，1442BCD S ∆=⨯⨯故三棱锥A BCD -的体积为12sin 3V θθ=⨯=， 当三棱锥A BCD -sin 1θ=，此时点E 与点O 重合.…9分 解法一：由上面证明易得CO ⊥平面ABD ，过O 点作OF ⊥AD 于点F ，连接CF ， 因为AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥OC ，又OF ⋂OC =O ， 所以AD ⊥平面OFC ，所以AD ⊥CF ，则∠OFC 就是二面角B AD C --的平面角. ………11分 在Rt OFC ∆中，OF，OC=，所以CF所以cos OF OFC CF ===∠ 所以二面角B AD C --. …………………………13分 解法二：根据上面的证明过程可知OC 、OD 、OA 两两垂直，则分别以OC 、OD 、OA 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0），D （0，2，0），A （0，0，2），(23,2,0),(0,2,2)CD AD =-=-， 设平面ACD 的法向量为(,,)mx y z =则0203,(3,3,3)22003x m CD y y m y z m AD z ⎧=⎧⎧=⎪-+=⎪⎪⇒⇒==⎨⎨⎨-=⎪=⎪⎩⎪⎩=⎩取又平面ABD 的一个法向量(1,0,0)n =，所以7cos ,7||||m n m n m n <>==显然所求角是锐二面角， 所以二面角B AD C --. ………13分 19．本小题主要考查椭圆标准方程与性质、直线与圆锥曲线位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等．满分13分． 解：（Ⅰ） )1,0(),1,0(-B A ，)21,(m M ∴13(,),BM (,)22AM m m =-=. ………2分又BM AM ⊥∴0=⋅即432=m ，解得23±=m . ……5分（Ⅱ）直线AM 的斜率为m k 211-=，直线BM 斜率为m k 232=.∴直线AM 的方程为121+-=x m y ，直线BM 的方程为123-=x my .…6分 （第18题图）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+,121.1422x m y y x 得04)1(22=-+mx x m ，14,0221+==∴m m x x .)11,14(222+-+∴m m m m C ……………………………………8分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+1231422x m y y x 得012)9(22=-+mx x m ， 912,0221+==∴m m x x )99,912(222+-+∴m m m m D ……………………10分据已知，3,02≠≠m m .∴直线CD 的斜率m m m m m m m m m m m m m m k 43)3(4)3)(3(9121499112222222222+-=---+=+-++--+-=∴直线CD 的方程为)14(43112222+-+-=+--m mx m m m m y . ………12分 令0=x ，得,2=y ∴CD 与y 轴交点的位置与m 无关. …………13分20．本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等．满分14分． 解：（Ⅰ）2()33(1)33(1)()f x x t x t x x t '=-++=--，又()f x 在(0,2)无极值1t ∴= …………………………………………3分（Ⅱ）①当0t ≤时，()f x 在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增，()f x ∴在[]0,2的最小值为13(1)22f t =+ ②当01t <<时，()f x 在(0,)t 单调递增，在(,1)t 单调递减，在(1,2)单调递增，(1)(0)f f ∴≤或()(2)f t f ≥由()(2)f t f ≥得：3234t t -+≥在01t <<时无解(1)(0)01f f t ≤⎧∴⎨<<⎩ 103t ∴<≤ ③当1t =时，不合题意；④当12t <<时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)t 单调递减，在(,2)t 单调递增， (1)(2)12f f t ≥⎧∴⎨<<⎩或()(0)12f t f t ≤⎧⎨<<⎩ 即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩或3213112212t t t ⎧-++≤⎪⎨⎪<<⎩ 523t ∴≤<或3t ≤（舍去）⑤当2t ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，max 13()(1)22f x f t ∴==+ 综上：15,,33t ⎛⎤⎡⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭时，存在0(0,2)x ∈，使得0()f x 是()f x 在[]0,2上的最值. …………………………………………………8分 （Ⅲ）当1t =时，若2()552xf x xe x x m ≤-+-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立即322331552x x x x xe x x m -++≤-+-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立32221x m xe x x x ∴≤--++，即2(22)1x m x e x x ≤--++对任意[)0,x ∈+∞恒成立 令2()22xg x e x x =--+，[)0,x ∈+∞()22x g x e x '=--,若000()220x g x e x '=--=，即0022x e x =+则002x <<022min 000000()()222222x g x g x e x x x x x ∴==--+=+--+2040x =-> ()0xg x ∴≥，()11xg x ∴+≥，1m ∴≤. ……………………14分21．（1）本小题主要考查矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分７分． （Ⅰ）设矩阵,a b B c d ⎛⎫=⎪⎝⎭则由 1A PBP -=得AP PB =即531313,201212a b c d --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得32392226a cb d ac bd -+=-⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩ 解得2,0,0,3a b c d ====，即20.03B ⎛⎫=⎪⎝⎭………………4分 （Ⅱ）由（1）知2202040,030309B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以324020800903027B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……………………7分 （2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分７分． 解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为：22(1)1x y -+=直线的直角坐标方程：y x =. ……………………3分（Ⅱ）圆心（1，0）到直线的距离d =， 则圆上的点到直线的最大距离为d r +||AB ==所以ABM ∆面积的最大值为11)2ABM S ∆=+=.……7分（3）本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．满分７分．解：（Ⅰ）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或,∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ……………… 3分（Ⅱ）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………… 7分。

2014年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．4．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）．B．．．=5．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）6．（5分）（2014•福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（），d=的面积为×=的面积为，则S=××==的面积为7．（5分）（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）8．（5分）（2014•福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）．=（0，0），=（1，2）=（﹣1，2），=（5，﹣2）=（3，5），=（6，10）=（2，﹣3），=（﹣2，3），计算判别即可．解：根据列出方程解方程是关键，9．（5分）（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，5+，半径为=≤，5=610．（5分）（2014•福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的1+c c+二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置11．（4分）（2014•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1．12．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2．BC=2，=故答案为：13．（4分）（2014•福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）214．（4分）（2014•福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．（）．故答案为：15．（4分）（2014•福建）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．三、解答题：本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．＜=，，（）﹣．）﹣sin2x+2x+T=﹣2x+≤+≤，﹣]17．（13分）（2014•福建）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．即可得出．M．=，，．的法向量，则=|==．|=18．（13分）（2014•福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．，元的概率为=P×+60×=40，=19．（13分）（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．）依题意，可知c=的方程为=1的方程为﹣=1|OC|的方程为﹣=1=2ae==的方程为﹣|OC|a的方程为﹣=1的方程为﹣（﹣，，同理得，|OC||﹣|=8的方程为﹣=1在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x．x）时，恒有xx，当时，有21．（7分）（2014•福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．A==，﹣，，所以=对应的一个特征向量为．五、选修4-4：极坐标与参数方程22．（7分）（2014•福建）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．的参数方程为．，即22六、选修4-5：不等式选讲23．（2014•福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．。

2014年福建高考数学试题含答案word版

2014年福建高考数学试题含答案word版

2014年福建高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（ ）.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（ ）.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,1 8.在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C.27+D.2610.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++ B.()()()554325111c b b b b b a +++++++C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++二、填空题11、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________12、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆等于_________13、要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元） 14.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分. 16.（本小题满分13分） 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图.（1）求证：CD ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从 一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球 的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公 共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

2014年福建高考理科数学试卷及答案解析

2014年福建高考理科数学试卷及答案解析

2014年福建高考理科数学试卷及答案解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2014•福建）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i2．（5分）（2014•福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱3．（5分）（2014•福建）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8B．10 C．12 D．144．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．5．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18 B．20 C．21 D．406．（5分）（2014•福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7．（5分）（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）8．（5分）（2014•福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）9．（5分）（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．610．（5分）（2014•福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5 C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置11．（4分）（2014•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为_________．12．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于_________．13．（4分）（2014•福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_________（单位：元）14．（4分）（2014•福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_________．15．（4分）（2014•福建）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是_________．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．17．（13分）（2014•福建）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．18．（13分）（2014•福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．19．（13分）（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．20．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．在21-23题中考生任选2题作答，满分7分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换21．（7分）（2014•福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．五、选修4-4：极坐标与参数方程22．（7分）（2014•福建）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．六、选修4-5：不等式选讲23．（2014•福建）已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．2014年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2014•福建）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．解答：解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2014•福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱考点：由三视图还原实物图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可．解答：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．3．（5分）（2014•福建）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8B．10 C．12 D．14考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．解答：解：由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．故选：B．点评：本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．5．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18 B．20 C．21 D．40考点：循环结构．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．∴输出S=20．故选：B．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）（2014•福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．7．（5分）（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）考点：余弦函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．故选：D点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．8．（5分）（2014•福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向里的坐标运算，，计算判别即可．解答：解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．9．（5分）（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．6考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．解答：解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点与圆心的距离为=≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．10．（5分）（2014•福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5 C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）考点：归纳推理；进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决．解答：解：所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法中，与取红球的个数和黑球的个数无关，而红球篮球是无区别，黑球是有区别的，根据分布计数原理，第一步取红球，红球的取法有（1+a+a2+a3+a4+a5），第二步取蓝球，有（1+b5），第三步取黑球，有（1+c）5，所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5，故选：A．点评：本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置11．（4分）（2014•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积．解答：解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．故答案为：．点评：本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．13．（4分）（2014•福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：不等式的解法及应用．分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．解答：解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160点评：本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．14．（4分）（2014•福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．考点：几何概型．专题：综合题；概率与统计．分析：利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．解答：解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．15．（4分）（2014•福建）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．考点：集合的相等．专题：计算题；集合．分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．解答：解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．17．（13分）（2014•福建）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间角．分析：（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出．解答：（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1）．设直线AD与平面MBC所成角为θ．则sinθ=|cos|===．点评：本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题．18．（13分）（2014•福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决．解答：解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X 60 20P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为X160 20 100PX1的数学期望为E（X1）=．X1的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 20 80PX2的数学期望为E（X2）==60，X2的方差D（X2）=差D（X1）=．由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2．点评：本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想．19．（13分）（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x 轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1．当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案．解答：解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2．所以=2．故c=a，从而双曲线E的离心率e==．（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=8，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线双曲线E的方程为﹣=1也满足条件．设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|得：|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1．点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．20．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x＜ce x．即得结论成立．解答：解：（1）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得e x＞x2＞x，即x＜ce x．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．点评：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．在21-23题中考生任选2题作答，满分7分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换21．（7分）（2014•福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．考点：特征向量的定义．专题：计算题；矩阵和变换．分析：（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．解答：解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为．点评：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．五、选修4-4：极坐标与参数方程22．（7分）（2014•福建）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．考点：圆的参数方程；直线的参数方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出．解答：解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4．由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=．∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2．点评：熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．六、选修4-5：不等式选讲23．（2014•福建）已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：计算题；证明题；不等式的解法及应用．分析：（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得．解答：（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3．点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。

2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案

2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案

2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线1l ：260ax y ++=，2l ：2(1)10x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a = 。

【答案】23【解答】12212(1)03l l a a a ⊥⇔⨯++-=⇔=。

2．函数23()3sin sin cos 2f x x x x =+-（122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，）的值域为 。

【答案】 112x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 【解答】1cos 21313()3sin 2sin 2cos 2sin(2)222223x f x x x x x π-=⨯+-=-=-。

由122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，知，22633x πππ-≤-≤，1sin(2)123x π-≤-≤。

3．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，60CDA ∠=︒。

则三棱锥D ABC -的体积为 。

【答案】43【解答】如图，作DE ABC ⊥面于E ，连EA 、EC 、ED 。

∵ BC CD ⊥，DA AB ⊥，∴ EC CB ⊥，EA AB ⊥，四边形EABC 为矩形。

由AB BC =知，四边形EABC 为正方形，且DA DC =。

又60CDA ∠=︒，因此，DAC △为正三角形，DA AC =。

∴2222EA ED EA EC +=+。

于是，2ED EC ==。

∴ 三棱锥D ABC -的体积为114(22)2323⨯⨯⨯⨯=。

4．已知1F 、2F 为双曲线C ：22124y x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且点P 在第一象限。

若1243PF PF =，则12PF F △内切圆半径为 。

【答案】 2【解答】设14PF t =，则23PF t =，12432t t PF PF -=-=。

精编2014年全国高考福建省高中数学文科试卷和答案

精编2014年全国高考福建省高中数学文科试卷和答案

2014年福建文科卷一．选择题1.若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ） }{}{}{}{.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤ 2.复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）.2..2.1A B C D ππ4.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）.1.2.3.4A B C D5.命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ）()()[)[)3333000000.,0.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x x B x x x C x x x D x x x ∀∈-∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥ 6.已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=7.将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）()()()() (2).-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期为的图象关于直线对称的图象关于点，对称8.若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）9.要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ）.80.120.160.240A B C D 元元元元10.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4AOM B OM C OM D OM11.已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ）.5.29.37.49A B C D12.在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,FF 的“L-距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是 （ ）二、填空题13、如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________14、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________15、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是_________16. 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ②2=b ③0≠c 有且只有一个正确，则10010________a b c ++等于三．解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥平面.（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.20.（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035-4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：（Ⅰ）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N 。

福建省四地六校2014-2015学年高一下学期第一次联考数学试卷 Word版含解析

福建省四地六校2014-2015学年高一下学期第一次联考数学试卷 Word版含解析

福建省四地六校2014-2015学年高一下学期第一次联考数学试卷一、单选题（共12小题）1．已知数列，则5是这个数列的（）A．第12项B．第13项C．第14项D．第25项2．不等式的解集为（）A．或B．C．或D．3．若，则下列不等式一定成立的是（）A ．B．C．D．4．是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于（）A．667B．668C．669D．6705．在中，角、、所对应的边分别为、、，若角、、依次成等差数列，且，,则等于（）A．B．C．D．26．在等差数列中，已知，则（）A．12B．24C．36D．487．在三角形中，若，则的大小为（）A．B．C．D．8．在中，、、分别为角、、所对的边，若，则此三角形的形状一定是（）A．等腰直角B．等腰或直角C．等腰D．直角9．数列中，若，，则这个数列的第10项（）A．19B．21C．D．10．已知等差数列的公差且成等比数列，则（）A．B．C．D．11．已知表示数列的前项和，若对任意的满足，且，则（）A．B．C．D．12．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13.在中，角、、所对应的边分别为、、，若，则_________14.已知数列的前项和是, 则数列的通项__________15.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________16.已知是等差数列，为其公差, 是其前项和，若只有是中的最小项,则可得出的结论中所有正确的序号是___________①②③④⑤三、解答题（共6小题）17.在中，，，.（1）求的值;（2）求的值。

18.已知等比数列中，。

（1）求数列的通项公式;（2）设等差数列中，，求数列的前项和.19.已知不等式的解集为或（1）求，的值（2）解不等式.20.在中，、、是角、、所对的边，是该三角形的面积，且（1）求的大小;（2）若，，求的值。

21.火车站北偏东方向的处有一电视塔,火车站正东方向的处有一小汽车,测得距离为31,该小汽车从处以60的速度前往火车站,20分钟后到达处,测得离电视塔21,问小汽车到火车站还需多长时间？22.设数列的前项和为，且满足，数列满足，且（1）求数列和的通项公式（2）设，数列的前项和为,求证:（3）设数列满足（），若数列是递增数列，求实数的取值范围。

2014年福建高考理科数学试卷及答案解析

2014年福建高考理科数学试卷及答案解析

2014年福建高考理科数学试卷及答案解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. （5分）（2014?福建）复数z= （3 -2i）i的共轭复数等于（）A . - 2 - 3i B. - 2+3i C. 2 - 3i D. 2+3i2. （5分）（2014?福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A .圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱3. （5分）（2014?福建）等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a i=2, S3=12，则a6等于（）A . 8 B. 10 C . 12 D. 144. （5分）（2014?福建）若函数y=log a x （a>0,且a力）的图象如图所示，则下列函数图象S=S-2n -n运行相应的程序，输出的S的值等于（）i -D. r-i0g/-jc)H=H-1IA . 18 B. 20 C.26. (5 分)(2014?福建)直线l: y=kx+1 与圆0 : x +y 的面积为丄”的( ) 21 D. 402=1相交于A ,B两点，则“=1堤△ OABA.充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件C .充分必要条件D . 既不充分又不必要条件fx2+l7. ( 5分)(2014?福建)已知函数f (x)=cosx' ,则下列结论正确的是（）,x<0A. f （x）是偶函数 B . f （x）是增函数 C . f （x）是周期函数D. f （x ）的值域为［-1 , +①& （5分）（2014?福建）在下列向量组中，可以把向量1= （3, 2）表示出来的是（）A .P1=(0, 0),亡2= (1 , 2)1B .e l・_________=(-1, 2), ~ = (5,- 2)C .• 1=(3, 5),亡三二(6, 10)__D .e l=(2,- 3),云=(-2, 3)2 2 V 29. （5分）（2014?福建）设P, Q分别为圆x+ （y-6）=2和椭圆［+y =1上的点，贝U P,Q两点间的最大距离是（）_ _ _A . 5「B. ~C. 7+「D. 6 -10. （5分）（2014?福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b ）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：1"表示一个球都不取、a"表示取出一个红球，而ab'则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A . (1+a+a2+a3+a4+a5) (1+b5) (1+c) 5B . (1+a5) (1+b+b2+b3+b4+b5) (1+c) 5C. 1+a) 5(1+b+b2+b3+b4+b5) (1+c5) D . (1+a5) (1+b) 5(1+c+c2+c3+c4+c5)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分•把答案填在答题卡的相应位置\ -y+l<011. （4分）（2014?福建）若变量x, y满足约束条件r+2y-S< 0,则z=3x+y的最小值为_________________ .12. （4 分）（2014?福建）在△ ABC 中，A=60 ° AC=4 , BC=2、£，则△ ABC 的面积等于13. _______ （4分）（2014?福建）要制作一个容器为4m3,高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 _ （单位：元）14. _______________________________________ （4分）（2014?福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.15. （4分）（2014?福建）若集合{a , b, c, d}={1 , 2, 3, 4}，且下列四个关系：①a=1;②b为；③c=2；④d證有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a, b, c, d）的个数是 __________________ .三、解答题：本大题共5小题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. （13 分）（2014?福建）已知函数f （x）=cosx （sinx+cosx）-匸（1 ）若0v a<—，且sin a=^，求f （a）的值；2 2（2）求函数f （x）的最小正周期及单调递增区间.17. （13 分）（2014?福建）在平面四边形ABCD 中，AB=BD=CD=1 , AB 丄BD , CD 丄BD , 将厶ABD沿BD折起，使得平面ABD丄平面BCD，如图.（1）求证：AB丄CD ;（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.18. （13分）（2014?福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50 元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.2 219. （13分）（2014?畐建）已知双曲线E：- r=1 （a> 0, b> 0）的两条渐近线分别为11：y=2x, I2：y= - 2x.（1 ）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线1分别交直线11, 12于A , B两点（A , B分别在第一、第四象限），且△ OAB的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线I有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.儿\\/・//20. （14分）（2014?福建）已知函数f （x）=e x- ax （a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f （x）在点A处的切线斜率为-1.（1 ）求a的值及函数f （x ）的极值；（2 ）证明：当x > 0 时，x2v e x;（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x o,使得当x € （x o，+ R）时，恒有x v ce x.在21-23题中考生任选2题作答，满分7分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换2 1-121. （7分）（2014?福建）已知矩阵A的逆矩阵A =「'）.1 2（1）求矩阵A ;（2）求矩阵A -1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.五、选修4-4 :极坐标与参数方程x=a - 2t22. （7分）（2014?福建）已知直线l的参数方程为•，（t为参数），圆C的参数方y= -（1）求直线 l 和圆 C 的普通方程；（2）若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．六、选修 4-5 ：不等式选讲23. （2014?福建）已知定义在 R 上的函数f （x ） =|x+1|+|x - 2|的最小值为 a . （ 1 ）求 a 的值；（2）若p , q , r 为正实数，且 p+q+r=a ，求证：p 2+q 2+r 2务.'x=4cos 9 L y=4sin 0（0为常数）.2014年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. _1. （5分）（2014?福建）复数z= （3 -2i）i的共轭复数等于（）A . - 2 - 3i B. - 2+3i C. 2 - 3i D. 2+3i2. （5分）（2014?福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A .圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱考点：由三视图还原实物图.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：1直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可.解答：：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题.3. （5分）（2014?福建）等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a i=2, S3=12，则a6等于（）A . 8B. 10 C . 12 D . 14考点：等差数列的前n项和.专题：等差数列与等比数列.分析：由等差数列的性质和已知可得a2,进而可得公差，可得a6解答：:/解：由题意可得S s=a1+a2+a3=3a2=12, 解得a2=4，•公差d=a2- a1=4 - 2=2, •-a6=a1+5d=2+5 >2=12, 故选：C .点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题.4. （5分）（2014?福建）若函数y=log a x （a>0,且a力）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）考点：对数函数的图像与性质. 专题： 函数的性质及应用.分析： 由题意可得a=3,由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可. 解答：：/解：由题意可知图象过（3，1），故有 仁Iog a 3，解得a=3，选项A ，y=a x=3 x=:-单调递减，故错误；选项B ， y=x ，由幂函数的知识可知正确；选项C , y= （ x ）= - x ,其图象应与 B 关于x 轴对称，故错误；选项 D , y=log a （- x ） =Iog 3 （- x ）,当 x= - 3 时，y=1 , 但图象明显当x= - 3时，y= - 1,故错误.故选：B .点评： 本题考查对数函数的图象和性质，涉及幕函数的图象，属基础题.5.（ 5分）（2014?福建）阅读如图所示的程序框图， 运行相应的程序，输出的S 的值等于（ ）rriF ）n=n-LA . 18B . 20C . 21D . 40考点：循环结构.专题：计算题；算法和程序框图.1 2 n分析：算法的功能是求 S=2+2 +・・+2 +1+2+・・+ n 的值，计算满足条件的 S 值，可得答案.解答：解：由程序框图知：算法的功能是求 S=21+22+ ••+2“+1+2+的值，1 2123S=2 +2 +1+2=2+4+1+2=9 V 15, S=2 +2 +2 +1+2+3=2+4+8+1+2+3=20 羽5.•••输出 S=20.故选：B .点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6. (5分)(2014?福建)直线l的面积为一"的()22 2:y=kx+1与圆O : x +y =1相交于 A , B 两点，贝U “=1 "是 △ OABA .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题：直线与圆；简易逻辑.分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.一 2 2解答：解：若直线I : y=kx+1与圆O : x +y =1相交于A , B 两点，即充分性成立. 不成立，即必要性不成立. 的面积为一”的充分不必要条件.2故选：A .点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之 间的关系是解决本题的关键.F+l S >Q7. ( 5分)(2014?福建)已知函数f (x )='，则下列结论正确的是()cosx ,A . f (x )是偶函数B . f (x )是增函数C . f (x )是周期函数D . f (x )的值域为［-1 , +①考点：余弦函数的单调性. 专题：函数的性质及应用.分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可. 解答：解：由解析式可知当x 切时，f (x ) =cosx 为周期函数，2当x > 0时，f （x ） =x +1，为二次函数的一部分，则圆心到直线距离 d=, |AB|=2■■- --::;- - 一:一}1 + k 2,d = 1〔则△OAB 的面积为. J 成立，若厶OAB 的面积为衆诗疋舊，解得k= ±，则k=1 故 k=1 ”是△ OAB若 k=1，则 |AB|= ［则 S =---- -I .故f （x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C,对于D，当xO时，函数的值域为[-1, 1],当x> 0时，函数的值域为值域为（1, + a）,故函数f （x）的值域为[-1, + ^）,故正确.故选：D点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题.& （5分）（2014?福建）在下列向量组中，可以把向量1= （3, 2）表示出来的是（）A .1e l* 1=(0, 0) , . = (1, 2)1B.1■e l=(-1, 2),云=(5,- 2)1C. —* 1=(3, 5), . = (6, 10)D. ■e l=(2,- 3),巳；=(-2, 3)考点：平面向量的基本疋理及其意义.专题：平面向量及应用.分析：；根据向里的坐标运算，：」丁 .二，计算判别即可.解答：, 解：根据「二...二,...],选项A : （3, 2）=入（0, 0）+卩（1, 2），贝U 3=卩，2=2卩，无解，故选项A不能；选项B :（3, 2）=入（-1 , 2）+讥5, - 2）,则3=-廿5卩，2=2入—2仏解得，入=2 ,（1=1 ,故选项B能.选项C：（3 , 2）=入（3 , 5）+1 （6 , 10）,则3=3廿6卩，2=5廿10 1无解，故选项C 不能.选项D : （3 , 2）=入（2 , - 3）+1（- 2 , 3）,贝U 3=2 X- 2 口，2= - 3 Z+3 1,无解，故选项D不能.点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据,■ ■ j ■ 11■列出方程解方程是关键，属于基础题.22 2 V 29. （5分）（2014?福建）设P, Q分别为圆x + （y-6）=2和椭圆】+y =1上的点，贝U P,Q两点间的最大距离是（）_ _ _A . 5 匚B. .「+ 匚C. 7+ 匚D. 6 匚考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P, Q两点间的最大距离.解答：解：设椭圆上的点为（x, y）,贝U•••圆x2+ （y- 6）2=2的圆心为（0, 6）,半径为UE,10. （5分）（2014?福建）用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理， 从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（ 1+a ） （1+b ）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：1"表示一个球都不取、a"表示取出一个红球，而ab'则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的 是（ ）A . (1+a+a 2+a 3+a 4+a 5) (1+b 5) (1+c ) 5B .5、 ■ 2 3 4 5、 、5(1+a ) (1+b+b +b +b +b ) (1+c ) C .5 2 3 4 55(1+a ) 5 (1+b+b 2+b 3+b 4+b 5) (1+c 5)D .5 5 2 3 4 5(1+a 5) (1+b ) 5 (1+c+c 2+c 3+c 4+c 5)考点：归纳推理；进行简单的合情推理. 专题：推理和证明.分析：根据1+a+b+ab 表示出来，如：T 表示一个球都不取、 a"表示取出一个红球，而 ab "则表示把红球和蓝球都取出来 ",分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.解答：解：所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法中，与取红球的个数和黑球的个数无关，而红球篮球是无区别，黑球是有区别的，根据分布计数原理，第一步取红球，红球的取法有（ 1+a+a 2+a 3+a 4+a 5）,第二步取蓝球，有（1+b 5）,5第三步取黑球，有（1+c ）,所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有（1+a+a 2+a 3+a 4+a 5） （1+b 5） （1+c ）5,故选：A .点评：本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题.二、填空题：本大题共 5小题，每小题4分，共20分•把答案填在答题卡的相应位置\ -y+l<011. （4分）（2014?福建）若变量x , y 满足约束条件0,则z=3x+y 的最小值为 1.考点：简单线性规划. 专题： 不等式的解法及应用.分析：：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最小值.解答：： i解：作出不等式对应的平面区域如图， 由 z=3x+y ，得 y= - 3x+z ,平移直线y= - 3x+z ，由图象可知当直线 y= - 3x+z ，经过点A （0, 1）时，直线y=-3x+z 的截距最小，此时z最小.此时z的最小值为z=0X3+1=1 ,12.（4 分）（2014?福建）在厶ABC 中，A=60 °AC=4 , BC=2 ；，则△ ABC 的面积等于__2 :考点：正弦定理.专题：解三角形.分析：:'利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ ABC的面积.解答：〕解: •••△ ABC 中，A=60 ° AC=4 , BC=2』^,由正弦定理得：’L ,sinA sinB• 1 :sinSO* ~sinB解得sinB=1 ,•B=90°, C=30°,•△ ABC 的面积=^ ： _ . | ::; :.■w故答案为：，■:.点评：本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积.正余弦定理、解直角一角形、一角形的面积公式等知识，属于基础题.313. （4分）（2014?福建）要制作一个容器为4m，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.专题：不等式的解法及应用.分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a, b，成本为y,建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.解答：解：设池底长和宽分别为a, b，成本为y,则•••长方形容器的容器为4m3,高为1m,故底面面积S=ab=4, y=20S+10[2 （a+b）]=20 （a+b）+80,T a+b 支I .=4,故当a=b=2时，y取最小值160,即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160点评：本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题.14. （4分）（2014?福建）如图，在边长为e （e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为-.一2 —e考点：几何概型.专题：综合题；概率与统计.分析：利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率.解答：〕解：由题意，y=lnx与y-e关于y-x对称，阴影部分的面积为2 :（e- e x）dx-2 （ex - e x）-2,J 0 1 0•••边长为e （e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2, •••落到阴影部分的概率为厶.2e故答案为：三.e点评：: 本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.15. （4分）（2014?福建）若集合{a , b, c, d}={1 , 2, 3, 4}，且下列四个关系：①a=1;②b为；③c=2；④d證有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a, b, c, d）的个数是 6 .考点：集合的相等.专题：计算题；集合.分析：:利用集合的相等关系，结合①a-1 :②b为；③c-2；④d證有且只有一个是正确的，即可得出结论.解答：:解：由题意，a-2 时，b-1, c-4, d-3 ；b-3, c-1 , d-4 ；a-3 时，b-1, c-4, d-2；b-1, c-2, d-4；b-2, c-1, d-4；a-4 时，b-1, c-3, d-2；•符合条件的有序数组(a, b, c, d)的个数是6个.点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键.三、解答题：本大题共 5小题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. ( 13 分)(2014?畐建)已知函数 f (x )=cosx ( sinx+cosx )—2(1 )若0V a<2!，且sin 炉乜，求f (a)的值；2 2(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.:三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法. :三角函数的图像与性质. :(1)利用同角三角函数关系求得 COS a 的值，分别代入函数解析式即可求得 f (a)的值.(2)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数 性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间.解备解：(1 2 2v 0<a <，且 sin ―• •• cos 炉丄1,2• f ( a) =cos a (sin a +COS a)-—,2="x( "+ ")- ■2 2 2 2=丄飞.(2) f (x ) =cosx ( sinx+cosx )- 2=sin xcosx+cos 2x - 2=：si n2x+—cos2x 2 2 V2 K=——sin (2x+—),• T=込 n,2 ,k €Z ，得 kn-——§' , k €Z ,8 8• f (x )的单调递增区间为[k n- 1 , k n+——],k & .8 8点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用.考查了学生对基础知识的综合运用.17. (13 分)(2014?畐建)在平面四边形 ABCD 中，AB=BD=CD=1 , AB 丄 BD , CD 丄 BD , 将厶ABD沿BD 折起，使得平面 ABD 丄平面 BCD ，如图. 2求证：AB 丄CD ;由 2k n-—电x+—<2k24J/考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系. 专题：空间角.分析：(1)利用面面垂直的性质定理即可得出；(2)建立如图所示的空间直角坐标系•设直线AD与平面MBC所成角为0,利用线面角的计算公式sin 0=|cos<U*忑>|=■即可得出.解答：(1)证明：•••平面ABD丄平面BCD，平面ABD门平面BCD=BD , AB?平面ABD , AB 丄BD ,••• AB 丄平面BCD，又CD?平面BCD AB 丄CD .(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系.AB=BD=CD=1 , AB 丄BD , CD 丄BD ,• B (0 , 0 , 0), C (1,1 , 0), A (0 , 0 , 1) , D ( 0 , 1, 0), M (°, 2, 1).2 2—* ■■I [••■■I = (0 , 1 ,—1 ) , -•-= ( 1,1 , 0),■'"=..' 1 .n'BC=x+y=O设平面BCM的法向量n= (x , y , z),贝，〜—,i i令y= - 1,贝U x=1 , z=1 .• '= (1, - 1, 1).设直线AD与平面MBC所成角为0I IADI则sin18. (13分)(2014?畐建)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2个球，球上所 标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ① 顾客所获的奖励额为 60元的概率； ② 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是 60000元，并规定袋中的 4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡， 请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.:概率与统计.:(1)根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为X 得所有可能取值为 20, 60,分别求出P (X=60 ), P (X=20 ),画出顾客所获的奖励 额的分布列求出数学期望；(2)先讨论，寻找期望为 60元的方案，找到(10, 10, 50, 50) , (20, 20 , 40, 40) 两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.解答：解：(1)设顾客所获取的奖励额为X ,计•诂1 ① 依题意，得 P (X=60)= ------------ 牙即顾客所获得奖励额为 60元的概率为丄， 2② 依题意得X 得所有可能取值为20, 60,1盾1P (X=60 )书,P (X=20 ) —=-,5即X 的分布列为所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为 E (X ) =20 X +60 X =402 2(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60元，所以先寻找期望为 60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10, 10, 10, 50)的方案，因为60 元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择(50, 50, 50, 10)的方案，因为 60元是面值之和的最小值，所以数学期sin 9=|cos 〔rJj> 1=|门・AD | In | | AD |,考查了推理能力和空间想象能力, 属于中档题.:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.60元的概率，依题意得_2'望也不可能为60元，因此可能的方案是(10, 10, 50, 50)记为方案1,对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除(20, 20, 20, 40)和(40, 40,40, 20)的方案，所以可能的方案是(20, 20, 40, 40),记为方案2,以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案(10, 10, 50, 50)设顾客所获取的奖励额为 X i ,则X i 的分布列为X 1的方差D (X 1)=I — 5 ：25一 I 』1I i IJ- IUI I 2 一=二 1,3 6320, 40, 40)设顾客所获取的奖励额为 X 2,则X 2的分布X 2 40 20 80P1 2 3 1 &X 2的方差D (X 2)=差D (40-60 )(60-60 )(80-60 ) 63 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案 所以应该选择方案 2.点评：本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力， 运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想.2 219.( 13分)(2014?畐建)已知双曲线 E ： ： =1 (a > 0,b > 0)的两条渐近线分别为 l 1: y=2x , l 2： y= — 2x .(1 )求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线I 分别交直线1仁12于A , B 两点(A , B 分别在第一、 第四象限)，且△OAB 的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线 I 有且只有一个公共点的 双曲线E ?若存在，求出双曲线 E 的方程，若不存在，说明理由.e对于方案2，即方案(20, 列为X 2的数学期望为E (X 2).严,(Xi )2^1 400=；-2奖励额的方差比方案 1小,E (X i )==■XX考点：直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.故c=*」a .2 2(2)由(1)知，双曲线E 的方程为【-'=1./4a 3设直线I 与x 轴相交于点C ,当I 丄x 轴时，若直线I 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC|=a , |AB|=8 , 所以 |OC|?|AB|=8 ,因此丄a?4a=8，解得a=2,此时双曲线 E 的方程为-'=1 .2 4163 2(2)由(1)知，双曲线E 的方程为兰石-丄石=1 ,设直线I 与x 轴相交于点C ,分I 丄xa * 2 4a 2轴与直线I 不与x 轴垂直讨论，当I 丄x 轴时，易求双曲线 E 的方程为 £-£=1 .当直线I 不与x 轴垂直时，设直线I 的方程为y=kx+m ，与双曲线E 的方程联立，利用 由5= |OC|?|y 1 -y 2|=8可证得：双曲线E 的方程为-厂=1，从而可得答案.解：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为I 仁y=2x , I 2： y= - 2x , 所以=2.4 16416解答：解:从而双曲线E 的离心率e=-^=".以下证明：当直线I不与x轴垂直时，双曲线双曲线E的方程为£-z!=1也满足条4 16件.设直线I的方程为y=kx+m，依题意，得k> 2或k v- 2;则C (-更，0)，记A (x i, y i), B (X2, y2),k由fy=kx+m 得y i=』j_，同理得y2=』l,l 尸玄2-k 2+k由S〃AB=^|OC|?|y i - y2得：|?^Y -衆|=8，即m2=4|4 - k2|=4 (k2 -4).2 k 2-k 2+k2因为4 —k v 0,所以△ =4k m +4 (4- k ) (m +16) =- 16 (4k - m - 16), 又因为m2=4 ( k2- 4),所以△ =0,即直线I与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与直线I有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为£-#!=1 .4 16点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想.x20. (14分)(2014?福建)已知函数f (x) =e - ax (a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y=f (x)在点A处的切线斜率为-1.(1 )求a的值及函数f (x )的极值；(2 )证明：当x > 0 时，x2v e x;(3)证明：对任意给定的正数c,总存在x o,使得当x € (x o, + R)时，恒有x v ce x.考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性.专题：等差数列与等比数列.分析：(1)利用导数的几何意义求得a,再利用导数法求得函数的极值；(2)构造函数g (x) =e x- x2,禾U用导数求得函数的最小值，即可得出结论；(3)利用(2)的结论，令x0=2，贝V e x>x2>丄x,即x v ce x.即得结论成立.C C解答：解：(1)由f (x) =e x- ax 得f' (x) =e x- a.又f' (0) =1 - a=- 1 ,••• a=2,••• f (x) =e x- 2x, f' (x) =e x- 2.由f' (x) =0 得x=ln2 ,当x v ln2 时，f' (x) v 0, f ( x)单调递减；当x> ln2 时，f' (x)> 0, f ( x)单调递增；•••当x=ln2 时，f (x)有极小值为f (In2) =e ln2- 2ln2=2 - ln4.f (x)无极大值.(2) 令 g (x ) =e x - x 2，则 g' (x ) =e x - 2x ,由(1)得，g' (x ) =f (x )芳(In2) =e ln2- 2ln2=2 - ln4> 0,即 g ' (x )> 0, •••当 x >0 时，g (x )> g (0) > 0，即 x 2v e x ;(3) 对任意给定的正数 c ,总存在X 0)> 0•当x € (x 0, +s)时，c由(2) 得 e x >x 2>2x ，即 x v ce x .c•对任意给定的正数 c ,总存在X 0,使得当x € (X 0, + 时，恒有x v ce x . 点评：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词 等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思 想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想.属难题.在21-23题中考生任选2题作答，满分7分.如果多做，则按所做的前两题计分 .作答时，先 用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中 .选修4-2:矩阵与变换一 -1 2 1 21. (7分)(2014?福建)已知矩阵 A 的逆矩阵A = C ' ) •1 2(1) 求矩阵A ;—1(2) 求矩阵A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.2令f ( X)=(入-2)-仁0,可求得特征值为 则由 乃a =M a,得x+y=0得 x= - y ，可令 x=1，贝U y= - 1,1 1同理可得矩阵 M 的一个特征值 X=3对应的一个特征向量为| ； i .点评：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识,设刀=1对应的一个特征向量为所以矩阵M 的一个特征值?1=1对应的一个特征向量为属于基础乃=1 ,眩=3,考点：特征向量的定义. 专题：计算题；矩阵和变换.分析：(1)利用AA -1=E ，建立方程组，即可求矩阵 A ;(2)先根据特征值的定义列出特征多项式，令 f ( X =0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.题.五、选修4-4 :极坐标与参数方程产X 二0 =22. ( 7分)(2014?福建)已知直线I的参数方程为・- (t为参数)，圆C的参数方y= - 4tI程为1 B为常数).ly=4sin0(1)求直线I和圆C的普通方程；(2)若直线I与圆C有公共点，求实数a的取值范围.考点：圆的参数方程；直线的参数方程.专题：; 选作题；坐标系和参数方程.分析：(1)消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；(2)求出圆心到直线的距离d，再根据直线1与圆C有公共点？ d^r即可求出.解答：厂晋—9+解: (1)直线I的参数方程为“曲1u a去,，消去t可得2x - y- 2a=0；........................... i9 2 2圆C的参数方程为J，两式平万相加可得x +y =16；(y=4siny(2)圆心C (0, 0),半径r=4 .1 1由点到直线的距离公式可得圆心 C (0, 0)到直线L的距离d= 1 1 .Vs •••直线L与圆C有公共点，•••」汁,解得-2兀毛0品.点评：熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键.六、选修4-5 :不等式选讲23. (2014?福建)已知定义在R上的函数f (x) =|x+1|+|x - 2|的最小值为a. (1 )求a的值；(2)若p, q, r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2务.考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法.专题：计算题；证明题；不等式的解法及应用.分析：(1)由绝对值不等式|a|+|b|^a- b|,当且仅当ab切，取等号；(2)由柯西不等式：(a2+b2+c2) (d2+e2+f2) > (ad+be+cf) 2,即可证得.解答：(1)解：••• |x+1|+|x - 2|耳(x+1)-( x- 2) |=3, 当且仅当-1強0时，等号成立，• f (x)的最小值为3, 即a=3 ；(2)证明：由(1)知，p+q+r=3，又p, q, r为正实数，•由柯西不等式得，(p2+q2+r2) (12+12+12) >(px1+qxi+r XI) 22 2=(p+q+r) =3 =9,即p2+q2+r2為.点评：: 本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.(2) 若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.分析：(1)依题意，可知-=2，易知c= =a,从而可求双曲线E的离心率；a。

2014年福建普通高考数学试题及参考答案

2014年福建普通高考数学试题及参考答案

数学试题(理工农医类)第玉卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z=(3-2i)i 的共轭复数z 等于 A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是 A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱3.等差数列a{}n 的前n 项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于 A.8B.10C.12D.144.若函数y=logaxa>0,且a 屹()1的图象如右图所示,则下列函数图象正确的是5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值等于 A.18B.20C.21D.406.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B 两点,则“k=1冶是“吟OAB 的面积为12冶 的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.已知函数f(x)=x2+1,x>0,cosx,x 臆0{,则下列结论正确的是A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+¥)8.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)9.设P,Q 分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆x210+y 2=1上的点,则P,Q 两点间的最大距离是A.52B.46+2C.7+2D.6210.用a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab 表示出来,如:“1冶表示一个球都不取、“a 冶表示取出 一个红球、而“ab 冶则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个 无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出 的所有取法的是A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)第域卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.若变量x,y 满足约束条件 x-y+1臆0,x+2y-8臆0, x 逸0{, 则z=3x+y 的最小值为摇摇摇摇摇.12.在吟ABC 中,A=60毅,AC=4,BC=23,则吟ABC 的面积等于摇摇摇摇摇. 13.要制作一个容积为4m3,高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造 价是摇摇摇摇摇(单位:元).14.如图,在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为摇摇摇摇摇.15.若集合a,b,c,{}d=1,2,3,{}4,且下列四个关系:淤a=1;于b 屹1;盂c=2;榆d 屹4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序 数组(a,b,c,d)的个数是摇摇摇摇摇. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-12. (玉)若0<琢<仔2,且sin 琢=22,求f(琢)的值;(域)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间. 17.(本小题满分13分)在平面四边形ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB 彝BD,CD 彝BD.将吟ABD 沿BD 折起,使 得平面ABD 彝平面BCD,如图. (玉)求证:AB 彝CD;(域)若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值. 18.(本小题满分13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标 有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (玉)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:(印)顾客所获的奖励额为60元的概率;(英)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(域)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两 种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每 位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个 合适的设计,并说明理由.19.(本小题满分13分)已知双曲线E:x2 a2- y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(玉)求双曲线E 的离心率;(域)如图,O 为坐标原点,动直线l 分别交直线l1,l2于A,B 两点(A,B 分别在第一、四象限),且吟OAB 的面积恒为8.试探究:是否存在总与 直线l 有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E 的方 程;若不存在,说明理由.20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(玉)求a的值及函数f(x)的极值;(域)证明:当x>0时,x2<ex;(芋)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x沂(x0,+¥)时,恒有x2<cex.21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵A-1=21()12.(玉)求矩阵A;(域)求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为x=a-2t,y=-4{t(t为参数),圆C的参数方程为x=4cos兹,y=4sin{兹(兹为参数).(玉)求直线l和圆C的普通方程;(域)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲已知定义在R上的函数f(x)=x+1+x-2的最小值为a.(玉)求a的值;(域)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2逸3.数学试题(理工农医类)参考答案一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分.1.C2.A3.C4.B5.B6.A7.D8.B9.D10.A二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分20分.11.1摇摇摇12.23摇摇摇13.160摇摇摇14.2e2摇摇摇15.6三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式及三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分13分.解法一:(玉)因为0<琢<仔2,sin琢=22,所以cos琢=22.所以f(琢)=22(22+22)-12=12.(域)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-12=12sin2x+1+cos2x2-12=12sin2x+12cos2x=22sin(2x+仔4),所以T=2仔2=仔.由2k仔-仔2臆2x+仔4臆2k仔+仔2,k沂Z,得k仔-3仔8臆x臆k仔+仔8,k沂Z.所以f(x)的单调递增区间为k仔-3仔8,k仔+仔[]8,k沂Z.解法二:f(x)=sinxcosx+cos2x-12=12sin2x+1+cos2x2-12=12sin2x+12cos2x=22sin(2x+仔4).(玉)因为0<琢<仔2,sin 琢=22,所以琢=仔4,从而f(琢)=22sin(2琢+仔4)=22sin3仔4=12. (域)T=2仔2=仔.由2k 仔-仔2臆2x+仔4臆2k 仔+仔2,k 沂Z,得k 仔-3仔8臆x 臆k 仔+仔8,k 沂Z. 所以f(x)的单调递增区间为k 仔-3仔8,k 仔+仔[]8,k 沂Z.17.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分13分. 解:(玉)疫平面ABD 彝平面BCD,平面ABD 疑平面BCD=BD,AB 奂平面ABD,AB 彝BD,亦AB 彝平面BCD. 又CD 奂平面BCD,亦AB 彝CD.(域)过点B 在平面BCD 内作BE 彝BD,如图.由(玉)知AB 彝平面BCD,BE 奂平面BCD,BD 奂平面BCD, 亦AB 彝BE,AB 彝BD.以B 为坐标原点,分别以寅BE,寅BD,寅BA 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正 方向建立空间直角坐标系.依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0), A(0,0,1),M(0,12,12),则寅BC=(1,1,0),寅BM=(0,12,12),寅AD=(0,1,-1). 设平面MBC 的法向量n=(x0,y0,z0),则n·寅BC=0, n·寅BM=0{,即 x0+y0=0,1 2y0+ 1 2z0=0{,取z0=1,得平面MBC 的一个法向量n=(1,-1,1). 设直线AD 与平面MBC 所成角为兹,则sin 兹=cos<n,寅AD>=n·寅ADn·寅AD=63,即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63.18.本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想.满分13分. 解:(玉)设顾客所获的奖励额为X.(印)依题意,得P(X=60)=C11C13C24 =12,即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. (英)依题意,得X 的所有可能取值为20,60.P(X=60)=12,P(X=20)=C 23C24= 1 2,即X 的分布列为X2060 P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20伊0.5+60伊0.5=40(元).(域)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值 之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面 值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方 案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方 案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为X12060100P162316X1的期望为E(X1)=20伊16+60伊23+100伊16=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2伊16+(60-60)2伊23+(100-60)2伊16=16003.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为X2406080P162316X2的期望为E(X2)=40伊16+60伊23+80伊16=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2伊16+(60-60)2伊23+(80-60)2伊16=4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.注:第(域)问,给出方案1或方案2的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给3分;进一步比较方差,说明应选择方案2,再给2分.19.本小题主要考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想.满分13分.解法一:(玉)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以ba=2,所以c 2-a2 a=2,故c=5a,从而双曲线E的离心率e=ca=5.(域)由(玉)知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.设直线l与x轴相交于点C.当l彝x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则OC=a,|AB|=4a,又因为吟OAB的面积为8,所以12OC·AB=8,因此12a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为x24-y216=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为x24-y216=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:x24-y216=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C(-mk,0).记A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+m,y=2{x得y1=2m2-k,同理得y2=2m2+k.由S吟OAB=12OC·y1-y2得,1 2-mk·2m2-k-2m2+k=8,即m2=44-k2=4k2()-4.由y=kx+m,x24-y216{=1得,(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k2<0,所以驻=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-164k2-m2()-16,又因为m2=4k2()-4,所以驻=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x24-y216=1.解法二:(玉)同解法一.(域)由(玉)知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-12<m<12.由x=my+t,y=2{x得y1=2t1-2m,同理得y2=-2t1+2m.设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).由S吟OAB=12OC·y1-y2=8,得12|t|·2t1-2m+2t1+2m=8,所以t2=41-4m2=41-4m()2.由x=my+t,x2a2-y24a2{=1得,(4m2-1)y2+8mty+4t2-a()2=0.因为4m2-1<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当驻=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+41-4m()2-a2=0,即1-4m()2a2()-4=0,所以a2=4,因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x24-y216=1.解法三:(玉)同解法一.(域)当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得k>2或k<-2.由y=kx+m,4x2-y2{=0得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k2<0,驻>0,所以x1x2=-m2 4-k2,又因为吟OAB的面积为8,所以12OA·OB·sin蚁AOB=8,又易知sin蚁AOB=45,所以25x21+y21·x22+y22=8,化简得x1x2=4.所以-m 24-k2=4,即m2=4k2()-4.由(玉)得双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1,由y=kx+m,x2a2-y24a2{=1得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当驻=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即k2()-4a2()-4=0,所以a2=4,所以双曲线E的方程为x24-y216=1.当l彝x轴时,由吟OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:x24-y216=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x24-y216=1.20.本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想.满分14分.解法一:(玉)由f(x)=ex-ax,得f忆(x)=ex-a.又f忆(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f忆(x)=ex-2.令f忆(x)=0,得x=ln2.当x<ln2时,f忆(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln2时,f忆(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(域)令g(x)=ex-x2,则g忆(x)=ex-2x.由(玉)得g忆(x)=f(x)逸f(ln2)>0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.(芋)淤若c逸1,则ex臆cex.又由(域)知,当x>0时,x2<ex.所以当x>0时,x2<cex.取x0=0,当x沂(x0,+¥)时,恒有x2<cex.于若0<c<1,令k=1c>1,要使不等式x2<cex成立,只要ex>kx2成立.而要使ex>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2lnx+lnk成立.令h(x)=x-2lnx-lnk,则h忆(x)=1-2x=x-2x,所以当x>2时,h忆(x)>0,h(x)在(2,+¥)内单调递增.取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+¥)内单调递增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k,易知k>lnk,k>ln2,5k>0,所以h(x0)>0.即存在x0=16c,当x沂(x0,+¥)时,恒有x2<cex.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x沂(x0,+¥)时,恒有x2<cex.解法二:(玉)同解法一.(域)同解法一.(芋)对任意给定的正数c,取x0=4c,由(域)知,当x>0时,ex>x2,所以ex=ex2·ex2>(x2)2(x2)2,当x>x0时,ex>(x2)2(x2)2>4c(x2)2=1cx2,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x沂(x0,+¥)时,恒有x2<cex.解法三:(玉)同解法一.(域)同解法一.(芋)首先证明当x沂(0,+¥)时,恒有13x3<ex.证明如下:令h(x)=13x3-ex,则h忆(x)=x2-ex.由(域)知,当x>0时,x2<ex,从而h忆(x)<0,h(x)在(0,+¥)单调递减,所以h(x)<h(0)=-1<0,即13x3<ex.取x0=3c,当x>x0时,有1cx2<13x3<ex.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x沂(x0,+¥)时,恒有x2<cex.注:对c的分类可有不同的方式,只要解法正确,均相应给分.21.(1)选修4-2:矩阵与变换本小题主要考查逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.解:(玉)因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且A-1=2伊2-1伊1=3屹0,所以A=132-1()-12=23-13-13æèçççöø÷÷÷23.(域)矩阵A-1的特征多项式为f(姿)=姿-2-1-1姿-2=姿2-4姿+3=(姿-1)(姿-3),令f(姿)=0,得矩阵A-1的特征值为姿1=1或姿2=3,所以孜1=1()-1是矩阵A-1的属于特征值姿1=1的一个特征向量,孜2=1()1是矩阵A-1的属于特征值姿2=3的一个特征向量.(2)选修4-4:坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.解:(玉)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(域)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=-2a5臆4,解得-25臆a臆25.(3)选修4-5:不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.解:(玉)因为x+1+x-2逸(x+1)-(x-2)=3,当且仅当-1臆x臆2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(域)由(玉)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)逸(p伊1+q伊1+r伊1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2逸3.摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇数学试题(文史类)第玉卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合P=x2臆x{}<4,Q=xx逸{}3,则P疑Q等于A.x3臆x{}<4B.x3<x{}<4C.x2臆x{}<3D.x2臆x臆{}32.复数(3+2i)i等于A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于A.2仔B.仔C.2D.14.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为A.1B.2C.3D.45.命题“坌x沂[0,+¥),x3+x逸0冶的否定是A.坌x沂(-¥,0),x3+x<0B.坌x沂(-¥,0),x3+x逸0C.埚x0沂[0,+¥),x30+x0<0D.埚x0沂[0,+¥),x30+x0逸06.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=07.将函数y=sinx的图象向左平移仔2个单位,得到函数y=()fx的图象,则下列说法正确的是A.y=()fx是奇函数B.y=()fx的周期为仔C.y=()fx的图象关于直线x=仔2对称D.y=()fx的图象关于点(-仔2,0)对称8.若函数y=logax(a>0,且a 屹1)的图象如右图所示,则下列函数图象正确的是9.要制作一个容积为4m3,高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是A.80元B.120元C.160元D.240元10.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则寅OA+寅OB+寅OC+寅OD等于 A.寅OMB.2寅OMC.3寅OMD.4寅OM 11.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域赘:x+y-7臆0,x-y+3逸0, y 逸0{.若圆心C 沂赘,且圆C 与x 轴相切,则a2+b2的 最大值为A.5B.29C.37D.4912.在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L -距离冶定义为P1P2=x1-x2+y1-y2,则平面内与x 轴上两个不同的定点F1,F2的“L -距离冶之和等于定值(大于F1F2)的点的轨迹可以是第域卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为摇摇摇摇摇. 14.在吟ABC 中,A=60毅,AC=2,BC=3,则AB 等于摇摇摇摇摇.15.函数f(x)=x2-2,摇摇x 臆0,2x-6+lnx,x{>0的零点个数是摇摇摇摇摇.16.已知集合a,b,{}c=0,1,{}2,且下列三个关系:淤a 屹2;于b=2;盂c 屹0有且只有一个正确,则100a+10b+c 等于摇摇摇摇摇.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在等比数列a{}n 中,a2=3,a5=81. (玉)求an;(域)设bn=log3an,求数列b{}n 的前n 项和Sn. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx).(玉)求f(5仔4)的值;(域)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间. 19.(本小题满分12分)如图,三棱锥A-BCD 中,AB 彝平面BCD,CD 彝BD. (玉)求证:CD 彝平面ABD;(域)若AB=BD=CD=1,M 为AD 中点,求三棱锥A-MBC 的体积. 20.(本小题满分12分)根据世行2013年新标准,人均GDP 低于1035美元为低收入国家;人均GDP 为1035~4085美元为中等偏 下收入国家;人均GDP 为4085~12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP 不低于12616美元为高收入国 家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表:行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位:美元)A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000(玉)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;(域)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.(本小题满分12分)已知曲线祝上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(玉)求曲线祝的方程;(域)曲线祝在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线祝上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.22.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(玉)求a的值及函数f(x)的极值;(域)证明:当x>0时,x2<ex;(芋)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x沂(x0,+¥)时,恒有x<cex.数学试题(文史类)参考答案一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分60分.1.A2.B3.A4.B5.C6.D7.D8.B9.C10.D11.C12.A二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分16分.13.0.18摇摇摇14.1摇摇摇15.2摇摇摇16.201三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分12分.解:(玉)设a{}n的公比为q,依题意得a1q=3,a1q4=81{,解得a1=1,q=3{.因此,an=3n-1.(域)因为bn=log3an=n-1,所以数列b{}n的前n项和Sn=n(b1+bn)2=n 2-n 2.18.本小题主要考查诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分12分.解法一:(玉)f(5仔4)=2cos5仔4(sin5仔4+cos5仔4)=-2cos仔4(-sin仔4-cos仔4)=2.(域)因为f(x)=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+仔4)+1,所以T=2仔2=仔.由2k仔-仔2臆2x+仔4臆2k仔+仔2,k沂Z,得k仔-3仔8臆x臆k仔+仔8,k沂Z.所以f(x)的单调递增区间为k仔-3仔8,k仔+仔[]8,k沂Z.解法二:f(x)=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+仔4)+1.(玉)f(5仔4)=2sin11仔4+1=2sin仔4+1=2.(域)T=2仔2=仔.由2k仔-仔2臆2x+仔4臆2k仔+仔2,k沂Z,得k仔-3仔8臆x臆k仔+仔8,k沂Z.所以f(x)的单调递增区间为k仔-3仔8,k仔+仔[]8,k沂Z.19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想.满分12分.解法一:(玉)疫AB彝平面BCD,CD奂平面BCD,亦AB彝CD.又疫CD彝BD,AB疑BD=B,AB奂平面ABD,BD奂平面ABD,亦CD彝平面ABD.(域)由AB彝平面BCD,得AB彝BD,疫AB=BD=1,亦S吟ABD=12.疫M是AD的中点,亦S吟ABM=12S吟ABD=14.由(玉)知,CD彝平面ABD,亦三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=13S吟ABM·h=112.解法二:(玉)同解法一.(域)由AB彝平面BCD知,平面ABD彝平面BCD,又平面ABD疑平面BCD=BD,如图,过点M作MN彝BD交BD于点N,则MN彝平面BCD,且MN=12AB=12,又CD彝BD,BD=CD=1,亦S吟BCD=12.亦三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=13AB·S吟BCD-13MN·S吟BCD=112.20.本小题主要考查概率与统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想.满分12分.解:(玉)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为8000伊0.25a+4000伊0.30a+6000伊0.15a+3000伊0.10a+10000伊0.20aa=6400.因为6400沂[4085,12616),所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(域)“从5个行政区中随机抽取2个冶的所有的基本事件是: A,{}B,A,{}C,A,{}D,A,{}E,B,{}C,B,{}D,B,{}E,C,{}D,C,{}E,D,{}E,共10个.设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准冶为M,则事件M 包含的基本事件是:A,{}C,A,{}E,C,{}E,共3个,所以所求概率为P(M)=310.21.本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想.满分12分. 解法一:(玉)设S(x,y)为曲线祝上任意一点,依题意,点S 到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线祝是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线祝的方程为x2=4y.(域)当点P 在曲线祝上运动时,线段AB 的长度不变.证明如下:由(玉)知抛物线祝的方程为y=14x2,设P(x0,y0)(x0屹0),则y0=14x20,由y 忆=12x,得切线l 的斜率k=y 忆x=x0=12x0,所以切线l 的方程为y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x20.由y= 12x0x-1 4x 20, y{=0得A(12x0,0). 由y= 12x0x-1 4x 20, y{=3 得M(12x0+6x 0,3).又N(0,3),所以圆心C(14x0+3x0 ,3),半径r=12MN=14x0+3x0 ,AB=AC2-r2=[12x0-(14x0+3x 0 )] 2+32-(14x0+3x0 ) 2=6. 所以点P 在曲线祝上运动时,线段AB 的长度不变.解法二:(玉)设S(x,y)为曲线祝上任意一点,则y-(-3)-(x-0)2+(y-1)2=2,依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3, 所以(x-0)2+(y-1)2=y+1,化简得,曲线祝的方程为x2=4y.(域)同解法一.22.本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力,考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转 化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想.满分14分.解法一:(玉)由f(x)=ex-ax,得f 忆(x)=ex-a.又f 忆(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f 忆(x)=ex-2.令f 忆(x)=0,得x=ln2.当x<ln2时,f 忆(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln2时,f 忆(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)有极小值,且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(域)令g(x)=ex-x2,则g 忆(x)=ex-2x.由(玉)得,g 忆(x)=f(x)逸f(ln2)=2-ln4>0,即g 忆(x)>0.所以g(x)在R 上单调递增,又g(0)=1>0,所以当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.。

2014年福建省高一数学竞赛-参考答案

2014年福建省高一数学竞赛-参考答案

2014年福建省高一数学竞赛-参考答案2014年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月11日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]1-∞，B ．(1)-∞，C ．(]01，D ．(]3-∞， 【答案】 A【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。

0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。

由A B A ⋂=知，A B ⊆。

1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤。

∴ a 的取值范围为(]1-∞，。

2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（ ） A 43 B ．323 C ．43π D ．163π 【答案】 A【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1222l R ππ⨯=，2l R =。

又2122S l ππ==圆锥测。

因此，2l =，1R =。

圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。

所以，其内切球半径1332323r =⨯⨯=，其体积343433327V π=⨯=。

3．函数24y x x =- ）A ．2222⎡-⎣B ．222⎡-⎣，C ．12⎡-⎣，D ．22⎡⎣，【答案】 B【解答】由24y x x -=-22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。

∴ 2248(4)0y y =--≥△，22y -≤≤又2y x ≥≥-，因此，22y -≤≤222⎡-⎣。

4．给出下列命题：（1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。

（2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。

（3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD 3。

（4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(03)，。

福建省四地六校2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题 含答案

福建省四地六校2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题 含答案

“华安、连城、永安、漳平一中,龙海二中,泉港一中”六校联考2013-2014学年下学期第一次月考高一数学试题（考试时间：120分钟 总分:150分)一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分，每小题只有一个答案是正确的）1。

求值：sin150= A. 21 B.23 C.21-D.23-2．已知数列:2，0，2,0，2，0，…．前六项不适合．．．下列哪个通项公式A ．na ＝1＋（―1)n +1 B ．na ＝2｜sin 错误!| C ．na ＝1－(―1）nD ．na ＝2sin 错误!3。

已知在数列{}na 中， 1a =1,21=-+n n a a （*)N n ∈,则n a 为A ．12-nB ．2n C ．n 2 D ．12-n4. 在∆ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若bc c b a -+=222，则角A 等于A.32π B.3π C 。

43π D 。

6π5。

ABC ∆中，若︒===30,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为A ．21 B ．23 C.1 D 。

36。

在等差数列{}na 中，若45076543=++++a a a a a，则82a a +等于A ．45B 。

75C 。

180D 。

300 7。

在△ABC 中，已知a ＝3，c ＝33，A ＝30°，则角C 等于A ．30°B ．60°或120°C ．60°D ．120° 8. 设等比数列{}na 的前n 项和为nS ，且12=S，34=S ，则=6SA ．5B ．7C ． 9D ．11 Ks5u9。

若某人在点A 测得金字塔顶端仰角为30°,此人往金字塔方向走了80米到达点B ，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高） （参考数据732.13≈)A ．110米B ．112米C ．220米D ．224米10。

福建省四地六校2013-2014学年高一下学期第二次月考数学试题 含答案

福建省四地六校2013-2014学年高一下学期第二次月考数学试题 含答案

“华安、连城、永安、漳平一中,龙海二中，泉港一中"六校联考2013-2014学年下学期第三次月考高一数学试题(考试时间：120分钟 总分：150分）柱体体积公式V Sh = 锥体体积公式13V Sh =台体体积公式()''13V h S SS S =++球的表面积、体积公式2344,3S R V R==ππ其中S 为底面面积，h 为高 ，R 为球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分，每小题只有一个答案是正确的）1、以下几何体是由哪个平面图形旋转得到的 （ ）A B C D2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 ( ）A ． 相交B ． 异面C ．异面或相交D ． 平行3。

设a ＞1＞b ＞—1,则下列不等式恒成立的是 （ ）A 。

b a 11< B.b a 11> C 。

a ＞b 2 D. 221ba >4、在数列｛a n ｝中， a 1=3，a n+1=a n +2n-1,求a n =（ ）A ．3nB ．224n n -+ C ． 22n n +-D ．21n n +5．等比数列｛a n }中,若34563,6a a a a +=+=，求910a a += ( )A ．12B ．24C ．48D ．96．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 （ )A ．41B ．21C．42D ．227.三棱锥的底面是边长为12的等边三角形，侧棱都相等，高为2，则这个三棱锥的全面积为（ )A 。

39 B.106 C 。

12(3+6) D 。

36(23)+8、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂,则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m9．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2＋c 2－b 2）tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ）5π6A.错误! B 。

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2014年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月11日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]1-∞，B ．(1)-∞，C ．(]01，D ．(]3-∞， 【答案】 A 【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。

0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。

由A B A ⋂=知，A B ⊆。

1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤。

∴ a 的取值范围为(]1-∞，。

2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（ ）A ．27 B ．27 C ．43π D ．163π 【答案】 A 【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1222l R ππ⨯=，2l R =。

又2122S l ππ==圆锥测。

因此，2l =，1R =。

圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。

所以，其内切球半径12323r =⨯=，其体积343327V π=⨯=。

3．函数y x = ）A ．⎡-⎣B ．2⎡-⎣C ．1⎡-⎣D ．⎡⎣【答案】 B【解答】由y x -=22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。

∴ 2248(4)0y y =--≥△，y -≤≤又2y x ≥≥-，因此，2y -≤≤2⎡-⎣。

4．给出下列命题：（1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。

（2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。

（3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为3。

（4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(0。

其中正确的命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】 C 【解答】（1）显然正确。

（2）若存在平面α，使得a α⊥，b α∥，则a b ⊥。

但a ，b 是未必垂直。

故不正确。

（3）作AO B C D ⊥平面于O ，则O 为正三角形BCD 的中心，ACO ∠是AC 与平面BCD 所成角。

设AB BC a ==，则2323CO a a =⨯=，cos 3ACO ∠=。

故，（3）正确。

（4）取BD 中点O ，则2OA OC ==。

由O 、A 、C 构成三角形知，(0AC ∈。

故，（4）正确。

5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈，均有(3)()f x f x +=，当3(0)2x ∈，时，2()ln(1)f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]06，上的零点个数为（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】 D 【解答】由2()ln(1)0f x x x =-+=知，211x x -+=，0x =或1x =。

∴ ()f x 在区间3(0)2，内有唯一零点1。

结合()f x 为奇函数知，()f x 在区间3(0)2-，内有唯一零点1-。

又由(3)()f x f x +=知，()f x 在区间3(3)2，内有唯一零点2；在区间9(3)2，内有唯一零点4；在区间9(6)2，内有唯一零点5。

又由33()()22f f -=-，333()(3)()222f f f -=-+=知，3()02f =，9()02f =。

又(6)(3)(0)0f f f ===。

∴ ()f x 在区间[]06，上的零点个数为9。

6．已知函数()f x =。

给出下列四个判断：（1）()f x 的值域是[]02，； （2）()f x 的图像是轴对称图形；（3）()f x 的图像是中心对称图形； （4）方程[]()f f x = 其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 B 【解答】设(32)A ，，(52)B ，，(0)P x ，，则()f x PA PB ==-。

（1）∵ ()2f x PA PBAB =-≤=，AB 与x 轴不相交（即P 、A 、B 三点不共线）。

∴ 等号不成立，()f x 的值域是[)02，。

（1）不正确。

（2）∵(4)f x -==，(4)f x +==∴ (4)(4)f x f x -=+，()f x 的图像关于直线4x =对称。

（或从几何图形上看，当Q 与P 关于点(40)，对称时，PA PB QA QB -=-）。

（2）正确。

（3）显然不正确。

（若（3）正确，则结合（2）可得()f x 为周期函数，矛盾。

） （4）∵(0)f ==[)0()02f x ∈的值域，，∴ 方程[]()f f x =4x =是方程的解）。

（4）正确。

二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知集合{}22()(2014)(2014)1A x y x y =-+-≤，，{}()201422014B x y x y a =-+-<，，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 。

【答案】)+∞ 【解答】问题等价于圆在菱形内部（不含边界）。

∴ 0a >，且圆心到直线(2014)2(2014)x y a -+-=的距离1d =>。

∴a >8．如图，在等腰直角三角形ABC 中，4CA CB ==，D 、E 分别为AC 、AB 的中点。

将ADE △沿DE 折起，使得折起后二面角A DE B --为60︒。

则折起后四棱锥A DEBC -的体积为 。

【答案】【解答】由条件知，在四棱锥A DEBC -中，ED DA ⊥，DE DC ⊥。

∴ A D C ∠是二面角A D EB --的平面角，且D E A D ⊥平面。

∴ 60ADC ∠=︒，且ADC DEBC ⊥面面。

作AF CD ⊥于F ，则AF DEBC ⊥面。

由2DA DC ==知，ADC △为正三角形，AF =∴ 四棱锥A DEBC -的体积124232V +=⨯=9．已知函数221()log ()x f x x-=的图像关于点A 对称，则点A 的坐标为 。

【答案】 1(1)4，【解答】由函数定义域为1(0)()2-∞⋃+∞，，；值域为(1)(1)-∞⋃+∞，，。

猜测点A 坐标为1(1)4A ，。

下面给出证明：∵ 222211212111828222()()log ()log ()log ()log ()1144141444x x x x f x f x x x x x +------++-=+=++-+-2221162log 2116x x -=+=-。

∴ ()f x 的图像关于点1(1)4A ，对称。

10．ABC △中，已知4AB =，若C A B =，则ABC △面积的最大值为 。

【答案】【解答】以AB 中点O 为坐标原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，则(20)A -，，(20)B ，。

设()C x y ，。

则由CA CB ==。

整理，得22(4)12x y -+=。

∴ 点C 在以(40)D ，为圆心，半径为x 轴的交点）上运动。

∴ 点C 到直线AB 即x轴距离的最大值为∴ ABC △面积的最大值为142⨯⨯=11．已知二次函数2()f x ax bx c =++，若对任意[]02x ∈，均有()2f x ≤成立，则b 的最大值为 。

【答案】 8【解答】(0)f c =，(1)f a b c =++，(2)42f a b c =++，(0)2f ≤，(1)2f ≤，(2)2f ≤。

∴ 13132(1)(2)(0)22(2)(2)82222b f f f =--≤⨯-⨯--⨯-=，当且仅当(1)2(2)422(0)2f a b c f a b c f c =++=⎧⎪=++=-⎨⎪==-⎩，即482a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩时，等号成立。

∴ b 的最大值为8。

12．不等式2286log x x -≥+的解集为 。

【答案】 (][)014⋃+∞，，【解答】不等式化为203826log xx x <<⎧⎨-≥+⎩……… ①；或23286log x x x ≥⎧⎨-≥+⎩ ……… ②。

由2826log x x -≥+，得22log 2x x +≤，由于函数2()2log x f x x =+为增函数，且(1)2f =。

所以，不等式①的解为01x <≤。

由2286log x x -≥+，得22log 14x x ≥+。

设()2x g x =，2()log 14h x x =+。

如图，在同一坐标系内作函数()y g x =与()y h x =的图像，它们有两个交点11()A x y ，， 22()B x y ，(120x x <<)，其中101x <<，24x =。

所以，②的解为4x ≥。

由①、②可知，不等式的解集为(][)014⋃+∞，，。

三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．（本题满分16分）求二次函数2()21f x ax x =-+在区间[]12，上的最小值()g a 的表达式。

【解答】211()()1f x a x a a=-+-。

当0a <时，10a <，()f x 在区间[]12，上的最小值为(2)43f a =-。

…………… 4分 当0a >时，10a>。

若101a<<，即1a >时，()f x 在区间[]12，上的最小值为(1)1f a =-。

…………… 8分 若112a ≤≤，即112a ≤≤时，()f x 在区间[]12，上的最小值为1()1f a a=-。

……………………… 12分若12a >，即102a <<时，()f x 在区间[]12，上的最小值为(2)43f a =-。

∴ 1430211()11211a a a g a a a a a ⎧-<≠⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，且。

……………………… 16分 14．（本题满分16分）已知两个同心圆1C ：224x y +=和2C ：2216x y +=，P 圆2C 上一点。

过点P 作圆1C 的两条切线，切点分别为A 、B 。

（1）若P点坐标为-，求四边形OAPB 的面积。

（2）当点P 在圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线AB 相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由。

【解答】（1）依题意，OA AP ⊥，OB BP ⊥，且2O A O B ==，PA PB ===∴122OAP OBP S S ==⨯⨯=△△。

∴ 四边形OAPB的面积为 …… 4分（2）设()P m n ，，则2216m n +=。

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