考研高等数学D5_5反常积分审敛法
合集下载
D5_5反常积分审敛法
例2. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
知坐驮惩昨惟触畴邢哈碎枚枪滚肤依铰卡滚宅瓮山若帧虱零遭背晴客疾华D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
定理5.
证：
则
而
远锭愁扼恿景赁琴础惊斧中惨羽肪盛芭乱辩挂铭撅关拿禾攀颗侦哼罢湛陶D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
说明: 已知
得下列比较审敛法.
极限存在 ,
音蟹赶庄役娃傅坠陌筒懂颁凸苛渴酸驴傻泄咨畜荷最翟痈毋虱匿萤您齿紊D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
定理3. (比较审敛法 1)
歼辟帐譬又馒拜缎揣攫兼声永贰向狄掸渺贤箩川访五月嘱舅嗽险蔼腾拐迹D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
例1. 判别反常积分
二、无界函数反常积分的审敛法
由定义
例如
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来 .
掠蛛蛋壤钳淫裹若拘臼松耶滋垄锌绑拳浅惜炊机赚携氨敏桐脆郑隧熊腾藕D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点 ,
有
有
利用
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
解:
的敛散性 .
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题: 讨论反常积分
的敛散性 .
提示: 当 x≥1 时, 利用
可知原积分发散 .
咋肤情赂坊考又婉叼庐它崩续间韦警搭明烁肢涎拍蔚锌巨迅汾嘻别厕凌卯D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
定理4. (极限审敛法1)
的敛散性 .
解:
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
知坐驮惩昨惟触畴邢哈碎枚枪滚肤依铰卡滚宅瓮山若帧虱零遭背晴客疾华D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
定理5.
证：
则
而
远锭愁扼恿景赁琴础惊斧中惨羽肪盛芭乱辩挂铭撅关拿禾攀颗侦哼罢湛陶D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
说明: 已知
得下列比较审敛法.
极限存在 ,
音蟹赶庄役娃傅坠陌筒懂颁凸苛渴酸驴傻泄咨畜荷最翟痈毋虱匿萤您齿紊D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
定理3. (比较审敛法 1)
歼辟帐譬又馒拜缎揣攫兼声永贰向狄掸渺贤箩川访五月嘱舅嗽险蔼腾拐迹D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
例1. 判别反常积分
二、无界函数反常积分的审敛法
由定义
例如
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来 .
掠蛛蛋壤钳淫裹若拘臼松耶滋垄锌绑拳浅惜炊机赚携氨敏桐脆郑隧熊腾藕D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点 ,
有
有
利用
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
解:
的敛散性 .
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题: 讨论反常积分
的敛散性 .
提示: 当 x≥1 时, 利用
可知原积分发散 .
咋肤情赂坊考又婉叼庐它崩续间韦警搭明烁肢涎拍蔚锌巨迅汾嘻别厕凌卯D5_5反常积分审敛法D5_5反常积分审敛法
定理4. (极限审敛法1)
同济高等数学第六版-D5_5反常积分审敛法
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
2) 当 p1,0l 时af(x)dx发散 .
证: 1) 当p1时, 根据极限定义, 对取定的 0,当 x 充
分大时, 必有 xpf(x)l, 即
0
f
(x)
M xp
2) 当 q1,0l 时,abf(x)dx发散 .
例5. 判别反常积分 13ldnxx的敛散性 .
解: 此处 x1为瑕,利点 用洛必达法则得
lim(x1) 1 lim 1 1
x1
lnx
x 1
1 x
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
(M l)
可见 af(x)dx收敛 ;
目录 上页 下页 返回 结束
2) 当p1时,可取 0,使 l0,(l 时用任意
数 N代l替 ),必有
xpf(x)l
即
f
(x)
l
xp
N x
(Nl)
可见 af(x)dx发散 .
注意: xl im xpf(x)xl im f(1x) 此极限的大小刻画了
1 3 x4
1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题:
讨论反常积分
13
1 dx x3 1
的收敛性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
目录 上页 下页 返回 结束
定理4. (极限审敛法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
二、无界函数的反常积分的审敛法
第五节* 反常积分的审敛法 函数
由上节
当
例6 证明知反，常反积常分积分b
q
1
时发散b .
a(
x
dx a)q
a
,
(
x
dx a)
q
当 0< q <1 时收敛
当 0< q <1证时明收敛当，当q =q1时1 ，时发散. 于是有下面两个
b
f (x)dx 发散.
a
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理7(极限审敛法2) 设函数 f (x) 在区间(a , b] 上
连续，且 f (x) 0，x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 0 < q < 1，使得 lim (x a)q f (x) xa
连续，且 f (x) 0 , x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 M > 0 及 q < 1，使得
f
(x)
(x
M a)q
(a x b) ,
则反常积分 b f (x)dx 收敛；
a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 f (x)
N
(a x b) ,
xa
则反常积分
aa
gg
((
xx))ddxx
收收敛敛，，则则
aa
gg
((
xx))ddxx
发发散散，，则则
证明
设 0< t < +，由 0 g (x) f (x) 及
g ( x)dx
a
收敛，得
t
t
2016考研数学：反常积分的极限审敛法分析
2016考研数学：反常积分的极限审敛法分析
反常积分(也称广义积分)分为两类：一类是积分区间为无限的积分，另一类是被积函数无界的积分;在考研数学中，关于反常积分常考的题型主要有两种：一是反常积分的计算，另一个是反常积分收敛性的判断;关于反常积分收敛性的判断，一部分题可以利用正常积分的计算方法来判断其收敛性，另一部分题须利用比较审敛法或极限审敛法来判断，有些同学对极限审敛法感到有些困惑，下面我们就来对其中的一些问题做些分析，供大家参考。
一、极限审敛法的基本理论
二、应用极限审敛法的关键
在应用极限审敛法来判断反常积分是否收敛时，要求大家对等价无穷小代换和其它求极限的方法比较熟，另外，如果应用极限审敛法难以判断反常积分的收敛性，则应考虑运用其它方法来判断，如：比较审敛法、通过计算来判断其收敛性，大家在做题时要灵活运用，最后预祝大家在2016考研中取得佳绩。
反常积分审敛法-精品文档
x
则
a
f ( x)dx 收 敛 ；
x
如 果limxf ( x) d 0 (或 limxf ( x) ), 则
x
af ( x)dx 发Fra bibliotek散 ．
证明
dx 的收敛性 . 例２ 判别反常积分 2 1 x1 x 1 2 解 lim x 1 , p21 2 x x1 x
F (x )在 [a , )上是单调增加的 .
F (x ) 在 [ a , ) 上有上界
lim F (x ) 存在 （极限的存在准则）
x x
即 lim 存在 f(t)dt
x a
收敛 f(x)dx
a
程序设计 网络课件 教学设计 多媒 体课件 PPT文档
f(x ) dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) p ，即得下面的 x
网络课件 教学设计 多媒 比较审敛法. 程序设计体课件 PPT文档
定理 3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x) 在区间 [a, ) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1 ，使得
arctan x 例４ 判 别 反 常积 dx 分 的收 . 敛性 1 x arctan x x lim arctan x 解 lim 0 x x x 2
定理 2 ( 比较审敛原 ) 理 设函数 f (x)、 g(x) 在 区 间 [a, )上 连 续 、 非 , 负
如果 f (x) g(x),(a x ),并 且 a g(x)dx收 敛 ， 则a f (x)dx也 收 敛 ； 如 f( 果 x) g(x),(a x ), 并且 则 f (x)dx也 发 散 . a g(x)dx发 散 ， a
则
a
f ( x)dx 收 敛 ；
x
如 果limxf ( x) d 0 (或 limxf ( x) ), 则
x
af ( x)dx 发Fra bibliotek散 ．
证明
dx 的收敛性 . 例２ 判别反常积分 2 1 x1 x 1 2 解 lim x 1 , p21 2 x x1 x
F (x )在 [a , )上是单调增加的 .
F (x ) 在 [ a , ) 上有上界
lim F (x ) 存在 （极限的存在准则）
x x
即 lim 存在 f(t)dt
x a
收敛 f(x)dx
a
程序设计 网络课件 教学设计 多媒 体课件 PPT文档
f(x ) dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) p ，即得下面的 x
网络课件 教学设计 多媒 比较审敛法. 程序设计体课件 PPT文档
定理 3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x) 在区间 [a, ) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1 ，使得
arctan x 例４ 判 别 反 常积 dx 分 的收 . 敛性 1 x arctan x x lim arctan x 解 lim 0 x x x 2
定理 2 ( 比较审敛原 ) 理 设函数 f (x)、 g(x) 在 区 间 [a, )上 连 续 、 非 , 负
如果 f (x) g(x),(a x ),并 且 a g(x)dx收 敛 ， 则a f (x)dx也 收 敛 ； 如 f( 果 x) g(x),(a x ), 并且 则 f (x)dx也 发 散 . a g(x)dx发 散 ， a
55反常积分审敛法
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t a
f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数,
因此
《高 等 数 学》
t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(x)
M xp
p 1,
*第五节
《高 等 数 学》 第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
《高 等 数 学》
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分
a
f
(x) d x收敛 .
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在,
即反常积分
a
f (x) d x收敛 .
《高 等 数 学》
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C [a , ), 且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x), 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性,
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理7. (极限审敛法2)
反常积分判敛
反常积分判敛反常积分判敛（AbnormalIntegrationandConvergence）是一种新的数学技术，它能够简单有效地解决一些经典的数学问题。
它涉及到微分方程和积分方程的结合，其中积分方程是一个关于某一变量的未知函数，而其微分方程是一个变量的已知函数。
实际应用中，由于可能存在某些因素的影响，微分方程的解可能产生不正常的收敛行为，这就是所谓的“反常收敛”。
反常积分判敛这一技术就是为了解决这样的问题而开发出来的。
一般来说，反常积分判敛是一种可以帮助我们找出反常收敛的技术。
它主要是利用微分方程和积分方程之间的关系来求解反常收敛的问题。
它将积分方程视为微分方程的一种补充，从而使收敛得到有效控制。
这种技术的最终目的是找出一个满足反常收敛的结果，以及该结果是如何影响可能的收敛情况的。
要求反常收敛的计算通常包括计算反常收敛的程度，以及找出影响收敛的参数。
由于反常收敛非常复杂，往往比正常收敛更加困难，因此，使用反常积分判敛来解决这样的问题是非常有必要的。
首先，我们要确定微分方程的解，并利用它来求解积分方程，即该微分方程的解能够满足某种可以把积分方程分解为更为简单的运算的要求。
其次，我们要确定反常收敛的反常参数，以及这些参数对反常收敛的影响，例如参数的数量和类型，以及每个参数的变化范围。
实际应用中，反常积分判敛是非常有用的，它可以被用于解决复杂的数学问题，例如偏微分方程的求解。
它也可以用于求解几何问题，例如三角函数的运算、圆和曲线的交叉点以及三角形的面积计算等等。
此外，反常积分判敛还可以用于求解天文问题，例如太阳系行星的运行轨迹模拟等等。
综上所述，反常积分判敛是一种新技术，它主要通过结合微分方程和积分方程来解决反常收敛的问题。
它可以用于解决复杂的数学问题，以及几何、天文等问题。
使用反常积分判敛的前提是首先要确定微分方程的解，然后再确定反常收敛的反常参数，以及该参数对收敛的影响。
反常积分的审敛法实用知识
也发散．
a
a
证
设 a b ，由 0 f ( x) g( x)及
g( x)dx
a
收敛，得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx.
a
a
a
即 F (b) b f ( x)dx 在 [a,) 上有上界． a
技术教学
2
由定理１知
f
(
x
)dx
收
敛．
a
如果 0 g( x) f ( x), 且
sin s
４．在 (s) ex xs1dx 中，作代换 x u2， 0
有 (s) 2 eu2 u2s1du. 0
技术教学
18
四、小结
广义积分审敛法
无穷限的广义积分审敛法
无界函数的广义积分审敛法
比较审敛法１ 极限审敛法１ 比较审敛法２ 极限审敛法２
绝对收敛
技术教学
19
练习题
一、判别下列广义积分的收敛性：
证 令 ( x) 1 ( f ( x) f ( x) ).
2
( x) 0，且 ( x) f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
(
x
)dx
也收敛.
但 f ( x) 2 ( x) f ( x) ,
a
b
b
b
f ( x)dx 2 ( x)dx f ( x)dx,
a
例４ 判别广义积分 arctan xdx 的收敛性.
1
x
解 lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
技术教学
7
定理5 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，
5.5 反常积分的审敛法 Γ函数
0
e− d = 1.
0
Γ( + 1) = Γ() = ( − 1)Γ( − 1)
= ⋯ = ! Γ(1) = !.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
定积分
第五章
(2) 当 → 0+ 时, Γ() → +∞.
证
Γ( + 1)
∵ Γ() =
, Γ(1) = 1
且可证明Γ()在 > 0连续,
+∞
+1
0≤()≤ , 于是 න d收敛;
（2）当 ≤1时, 可取 > 0, 使 − = > 0, ( = +∞时, ∀ > 0)
当充分大时, 由①式或②式都可得
+∞
() > , 于是 න d发散.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
+∞
因 e− sin ≤e− , 而 න
+∞
න
e− d 收敛, 根据比较审敛原理知
0
e− sin d 收敛, 故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛) .
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五章
定积分
二、无界函数的反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如
不失一般性, 设 ∈ [, +∞)时, 0≤ ≤g ().
+∞
(1)若 න
g ()d收敛, 则对 > 有
න ()d ≤ න g ()d ≤ න
反常积分的判敛法
在上式中令 x 1 ，则得 ( 1 )2 eu2 du2 .
2
20
2
例 6．利用 函数求积分 x19ex8 dx 的值. 0
解：令 x8 t ，8x7dxdt ，( x)
et t x1 dt
0
x19ex8 dx 0
( x1) x( x)
1
1 x2
dx
收敛
，
∴
sin
1
1 x2
dx
收敛
。
（2）
0
1
dx x sinx
解：∵
1
1 x sinx
1 1 x
0
，而
dx 0 1 x
ln(1
x)
0
，
∴
dx 0 1 x
发散，故
0
1
dx x sinx
也发散。
由于
a
推论 3.2（极限判别法）
设 f ( x)C[a, b) ， f ( x)0 ， xb 为无穷型间断点，
且 lim (b x)q f ( x)l ，则
xb
（1）当q1
，0 l
时，
b a
f
(
x )dx
收敛；
（2）当q1
，0 l
时，
b a
f
(
x )dx
( 1 )
1 8
1800eettx5281xd1t28x187dx( 52
)
1 8
2
( 3 2
1)
1 3( 3 ) 1 3( 1 1) 1 31( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数 N 代替 l ) , 必有
即
注意:
此极限的大小刻画了
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例2. 判别反常积分 1 解:
dx x 1 x
2
的敛散性 .
lim x
x
2
1 x 1 x
2
lim
1
1 x2
x
1
1
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
x 例3. 判别反常积分 d x 的敛散性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x 解: lim lim x 2 1 2 2 x 1 x x 1 x
定义. 设反常积分
a
f ( x) d x 收敛 ,
绝对收敛 ; 条件收敛 .
若 若
a a
f ( x) dx 收敛 , 则称 f ( x) dx 发散 , 则称
例4. 判断反常积分
的敛散性 . 解: 较审敛原理知
a
根据比
e a x sin bx dx 收敛 , 故由定理5知所
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 s 1 x x e 0
d x , I2
s 1 x x e 1
dx
I2
s 1 x x e 1
dx
2) 讨论 I 2 .
(x
s 1 x
x e ) lim x 0 x e
s 1
根据极限审敛法 1知 I 2 收敛 .
P263 题1 (1), (2), (6), (7) P264 题5 (1), (2)
作业
P263 1 (3), (4), (5), (8)
2; 3
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
s ( s )
n N , 有 (n 1) n (n) n (n 1) (n 1)
注意到: (1)
x e 0
d x 1
n!(1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 当s 0 时 , ( s ) . 证:
a
f ( x) d x 收敛 .
lim F ( x) lim
a
f (t ) d t x a
x
存在 , 即反常积分
f ( x) d x 收敛 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2 . (比较审敛原理) 设 f ( x) C [a , ) , 且对充
分大的 x 有 0 f ( x) g ( x) , 则
综上所述 , ( s) I1 I 2 在 s 0 上收敛 .
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2. 性质
(1) 递推公式
( s 1) s ( s)
( s 0)
证:
( s 1)
x e
s x x e 0
s x
dx
0
s
s x x d e (分部积分) 0 s 1 x x e dx 0
3 2
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理5. 若 f ( x) C [a , ) , 且
a
f（x） d x 收敛 ,
则反常积分
a
f ( x) d x 收敛 .
证： 令 ( x) 1 [ f ( x) f ( x) ] , 则 0 ( x) f ( x) 2
(k 2 1) 的敛
解: 此处 x 1 为瑕点, 由于 1 1 2 ( x 1) (1 x 2 )(1 k 2 x 2 )
lim
1 (1 x)(1 k 2 x 2 )
x 1
1 2 (1 k 2 )
根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .
定理4 目录
上页
下页
给积分收敛 (绝对收敛) .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如 由定义
1 令 x a , 则有 t
b
f ( x) d x a f ( x) d x lim 0 a
b
b
a f ( x) d x lim 1 0 ba
极限存在 ,
t
f ( x ) dx
说明: 已知 得下列比较审敛法.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理3. (比较审敛法 1)
p 1, M f ( x) p x p 1, N f ( x) p x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例1. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 提示: 当 x≥1 时, 利用 的敛散性 .
1
1 dt 1 dt f (a ) 2 1 f (a ) 2 t t t t ba
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数 的反常积分中来 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
收敛 , q 1 1 利用 a ( x a) q dx 发散 , q 1 有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
返回
结束
类似定理5, 有下列结论:
若反常积分
b
a
b
f ( x) d x (a 为瑕点) 收敛 , 则反常积分
a f ( x) d x 收敛 , 称为绝对收敛 .
例7. 判别反常积分
1 4
的敛散性 .
1 4
解: 此处 x 0 为瑕点, 因 lim x ln x 0 ,故对充分小
的 x , 有 x ln x 1, 从而 1 ln x x 4 ln x 1 1 1 x x4 x4 据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .
a
g ( x) dx 收敛
a
证: 不失一般性 ,
t t
g ( x) dx 发散
则对 t a 有
a f ( x ) dx a g ( x ) dx
故 f ( x) dx 是 t 的单调递增有上界函数 , 因此
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
t
f ( x ) dx a t a lim
这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,
机动
目录
上页
下页
返回
结束
内容小结
1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过分项 使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时,
才可保证给定的积分收敛 .
3. 函数的定义及性质 .
思考与练习
而
a
f（x） d x 收敛 ,
a
a
( x) d x 也收敛 ,
a
f ( x) 2 ( x) f ( x)
a
f ( x) d x 2
a
( x) d x
f ( x) d x
可见反常积分
f ( x) d x 收敛 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
则有: 1) 当 2) 当
dx 的敛散性 . 例5. 判别反常积分 1 ln x 解: 此处 x 1 为瑕点 , 利用洛必达法则得
3
根据极限审敛法2 , 所给ห้องสมุดไป่ตู้分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 判定椭圆积分0 散性 .
1
dx (1 x 2 )(1 k 2 x 2 )
( s 1) ( s ) , (1) 1 s 且可证明( s) 在 s 0 连续,
s 0 时 , ( s)
(3) 余元公式:
( s )(1 s ) sin( s ) 当s 1 时, 有 2
(0 s 1)
(证明略)
机动
目录
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x 0
三、 函数
1. 定义
( s )
s 1 x x e 0
d x ( s 0)
下面证明这个特殊函数在 s 0 内收敛 . 令
I1
1) 讨论 I1 . 当s 1时, I1 是定积分 ; 1 1 1 s 1 x 当0 s 1时, x e 1 s x 1 s x e x 而1 s 1, 根据比较审敛法 2 知 I1 收敛 .
可知原积分发散 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理4. (极限审敛法1) p lim x f ( x) l 满足
x
则有: 1) 当 2) 当 证: 当 p 1时, 根据极限定义 , 对取定的 分大时, 必有 ,即
当x充
机动
目录
上页
下页
返回
结束
当 p 1时, 可取 0 , 使 l 0 , (l 时用任意正
b
定理6. (比较审敛法 2) 瑕点 , 使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
M q 1, 有 f ( x) ( x a) q
N 有 f ( x) xa
定理3 目录
上页
下页
返回
结束
定理7. (极限审敛法2)
x
lim ( x a) q f ( x) l
第五节 反常积分的审敛法 函数
反常积分
无穷限的反常积分 无界函数的反常积分