锐角三角函数超讲义
锐角三角函数讲义
锐角三角函数讲义【知识点拨】知识点一：锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注意：我们说锐角三角函数都是在直角三角形中讨论的！若没有直角，要想方设法构造直角。
课堂练习：1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ＇B ＇C ＇，那么锐角A.A ＇的余弦值的关系为（ ）．A.cosA ＝cosA ＇B.cosA ＝3cosA ＇C.3cosA ＝cosA ＇D.不能确定 2. 已知中，AC =4，BC =3，AB =5，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45α图14.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A． B． C． D．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A＝，sin B＝，tan B＝，6.⑴如图1－1－7①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．知识点二：特殊角三角函数值的计算知识点三：运用三角函数的关系化简或求值 1．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （900－A ）＝ctan A ； ctan （900－A ）＝tan A2．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2A+cos 2A=l ② 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==sin cos a a += ③倒数关系： tgα·ctgα=1．课堂练习：1. 如α∠是等腰直角三角形的一个锐角，那么cos α的值等于（ ）Ａ．12Ｄ．12. 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 1B. 2C. 3D.213+ 3. 下列计算错误的是（ ）A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒B ．22sin 45cos 451︒+︒=C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=︒D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒4. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ）A 20°B 30°C 40°D 50°5. 若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50°6. (兰州市)如果sin 2α＋sin 230°＝１那么锐角α的度数是（ ）Ａ．１５° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 7. 已知α为锐角，且sin α－cos α=12 ，则sin α·cos α=___________8. cos 2α+sin 242○ =1，则锐角α=______.9. tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°10. 22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒．11. 22sin 45cos30tan 45+-知识点四：锐角三角函数的增减性三角函数的单调性1． 正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．2． 余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
初中数学 函数模块3-5--锐角三角函数讲义(含答案解析)
锐角三角函数题型一：正切的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于对边与邻边的比值．即tan aA b=，根据直角三角形三边关系易证，0tan A <，()090︒<∠<︒A ①角的正切值例1.1如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若1EB =，2EC =，则tan DCE ∠为（）A .12B .2C D 【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴90B ∠=︒，//AB CD ∴DCE BEC ∠=∠，∵1EB =，2EC =，∴BC ==，∴tan tan ∠=∠==BCDCE BEC BE；故答案选D ．变式1.11.如图，在直角BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使12DC BD =，连接AC ，若tanB=53，则tan CAD ∠的值（）A.3B.5C.13D.15【答案】D 【解析】【分析】延长AD ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，由5tan 3B =，即53AD AB =，设5AD x =，则3AB x =，然后可证明CDE BDA ∆∆∽，然后相似三角形的对应边成比例可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得32CE x =，52DE x =，从而可求1tan 5EC CAD AE ∠==．【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，5tan 3B =，即53AD AB =，∴设5AD x =，则3AB x =，CDE BDA ∠=∠Q ，CED BAD ∠=∠，CDE BDA ∴∆∆∽，∴12CE DE CD AB AD BD ===，32CE x ∴=，52DE x =，152AE x ∴=，1tan 5EC CAD AE ∴∠==．故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将CAD ∠放在直角三角形中．②网格图中求正切值例1.2如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为________．【详解】解：如图，由格点知：AB ==，AC ∵12=⋅⋅ ABC S BC AE 1432=⨯⨯6=，12=⋅⋅ ABC S AB CD 12=⨯=，6=，∴CD =．∴AD ==．∴tan 2==CDA AD．故答案为：2.变式1.22.如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 分别是小正方形的三个顶点，则sin BAC ∠的值为（）A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】【分析】连接BC ，先根据勾股定理求得AB 、BC 、AC 的长，然后再利用勾股定理逆定理证得ABC ∆是直角三角形，最后根据正弦的定义解答即可【详解】解：如图：连接BC ，每个小正方形的边长均为1，AB ∴==BC ==AC ==，222AB BC AC += ，ABC ∆∴是直角三角形，sin2BC BAC AC ∴∠===．故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定义，根据题意证得ABC ∆是直角三角形是解答本题的关键．③利用图形的变换求正切值例1.3如图，矩形ABCD 中，5AB =，3BC =，E 为边AB 上一点，且3BE =，DAE△沿DE 翻折得到DFE △，连接BF ，tan ∠EFB 的值为________．【详解】解：过点F 作FO AO ⊥于点O ，作FH AB ⊥于点H ，过B 作BG FE ⊥于点G ，∵折叠∴90DAE DFE ∠=∠=︒∴180︒∠=-∠ADF AEF ∵180∠=︒-∠FEB AEF ∴ADF FEB∠=∠∵90∠=∠=︒EGB DOF ，3DF AD ==，3BE =∴DF BE=∴() ≌DOF EGB AAS ∴=GB OF532AE AB BE =-=-=∵13112222=⋅==⋅=⋅= FEB S BE FH FH FE GB AE GB GB ∴32GB FH =∵四边形OAHF 中，四个内角均为90︒，∴四边形OAHF 是矩形，∴=FH AO ∵=GB FO ∴32=FO AO3=∴22(3)9+-=FO AO ∴2413=AO 或0AO =（舍去）∴241531313==-=OD EG ∴3243621313==⨯=FO GB Rt FGB V 中，363613tan 1511213GB GFB GF ∠===-∴36tan 11∠=EFB 故答案为：3611．变式1.33.如图，在菱形纸片ABCD 中，3AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则tan EFG ∠的值为________．【答案】3【解析】【分析】连接AE 交GF 于O ，连接BE ，BD ，则△BCD 为等边三角形，设AF=x=EF ，则BF=3-x ，依据勾股定理可得Rt △BEF 中，BF 2+BE 2=EF 2，解方程（3-x ）2+2=x 2，即可得到EF=218，再根据Rt △EOF 中，=即可得出tan ∠EFG=EO FO =．【详解】解：如图，连接AE 交GF 于O ，连接BE ，BD ，则△BCD 为等边三角形，∵E 是CD 的中点，∴BE ⊥CD ，∴∠EBF=∠BEC=90°，Rt △BCE 中，CE=cos60°×3=1.5，∴Rt △ABE 中，由折叠可得，AE ⊥GF ，EO=12，设AF=x=EF ，则BF=3-x ，∵Rt △BEF 中，BF 2+BE 2=EF 2，∴（3-x ）2+）2=x 2，解得x=218，即EF=218，∴Rt △EOF 中，=，∴tan ∠EFG=EO FO =【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，对应边和对应角相等．解题时，常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．题型二：正弦的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于对边与斜边的比值．即sin aA c=，根据直角三角形三边关系易证，0sin 1A <<，()090︒<∠<︒A ①角的正弦值例2.1在ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，2sin 3A =，则边AC 的长是（）A B .3C .43D 【详解】解答：在Rt ABC △中，∵22sin 3===BC A AB AB ，∴3AB =，∴根据勾股定理，得AC =故选A ．变式2.14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1BC =，4AB =，则sin B 的值是（）A.5B.14C.13D.4【答案】D 【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AC 的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，∴AC ===∴4AC sinB AB ==，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．②网格图中求正弦值例2.2如图，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（）A .12B C .10D 【详解】解：如图所示，取格点D ，连接DC ，由网格可得出DC =，AC =，AD =，∵222+=∴222DC AD AC =+，则：90CDA ∠=︒，故sin5===DCA AC ．故选：B ．变式2.25.正方形网格中，∠AOB 如图放置，则sin ∠AOB 的值为（）A.2B.2C.3D.1【答案】B【解析】【分析】如图，连接AD ，CD ，根据勾股定理可以得到OD=AD ，则OC 是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到△ODC 是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．【详解】解：如图，连接AD ，CD ，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到：，，∠OCD=90°．则=∴sin ∠AOB=2CD OD ==，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．③利用图形的变换求正弦值例2.3如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AC 上一点，连接BD ，将ABC 沿BD翻折，点C 落在边AB 的点C '处，连接CC '．若15AB =，4sin 5A =，则CC '长________．【详解】如图，设BD 与CC '的交点为点O ，∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，15AB =，4sin 5A =，∴45BC AB =，即4155BC =，解得12BC =，∴9==AC ，由翻折的性质得：12'==BC BC ，C D CD '=，90'∠=∠=︒BC D ACB ，∴15123''=-=-=AC AB BC ，设AD x =，则9C D CD AC AD x '==-=-，在Rt AC D ' 中，222AC C D AD ''+=，即2223(9)x x +-=，解得5x =，∴5AD =，4CD =，在Rt BCD 中，BD ==又∵BC BC '=，C D CD '=，∴BD 是CC '的垂直平分线，∴BD CC '⊥，2'=CC OC ，∴Rt 1122=⋅=⋅ BCD S BC CD BD OC ，即1112422⨯⨯=⨯，解得5OC =，∴25'==CC OC ，故答案为：5．变式2.36.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 对折，点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点F ．（1）求证：BFD △是等腰三角形；（2）若4BC =，2CD =，求AFB ∠的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）45【解析】【分析】（1）根据矩形性质和平行线的性质得∠ADB =∠CBD ，结合折叠性质得出∠ADB =∠DBF ，再根据等腰三角形的判定即可证得结论；（2）设BF=DF =x ，则AF=4﹣x ，利用勾股定理求解x 值，再根据正弦定义求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ADB =∠CBD ，由折叠性质得：∠DBF =∠CBD ，∴∠ADB =∠DBF ，∴BF=DF ，∴△BFD 是等腰三角形；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC =4，AB=CD =2，∠A =90°，设BF=DF =x ，则AF=4﹣x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：22+（4﹣x ）2=x 2解得：x =52，∴sin ∠AFB =24552AB BF ==，即AFB ∠的正弦值为45．【点睛】本题考查矩形性质、折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正弦定义、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．题型三：余弦的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于邻边与斜边的比值．即cos b A c=，根据直角三角形三边关系易证，0cos 1A <<，()090︒<∠<︒A 角的余弦值例3.1如图，在Rt ABC 中，90C ∠︒＝，13AB =，5AC =，则cos A 的值是________．【详解】解：在Rt ABC 中，5cos 13AC A AB ==，故答案为：513．变式3.17.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则cos A ＝_____．【答案】45【解析】【分析】根据勾股定理求出边BC 的长，利用余弦定理cos A=A A ∠∠的临边的斜边即可解得．【详解】Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，所以所以cos A =AC AB =810=45.【点睛】本题考查勾股定理以及余弦定理．②网格图中求余弦值例3.2如图，已知ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cos A 的值为________．【详解】解：如图所示：连接BD ，可得：90CDB ∠=︒，BD =，AD =AB ，故cos5AD A AB ===．．变式3.28.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的余弦值是____．【答案】5【解析】【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵AB 2＝32+42＝25、AC 2＝22+42＝20、BC 2＝12+22＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，则cos ∠BAC 5AC AB ==，．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．③利用图形的变换求余弦值例3.3如图，在菱形纸片ABCD 中，2AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则cos EFG ∠的值为________．【详解】过点A 作AP CD ⊥，交CD 延长线于P ，连接AE ，交FG 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴2AD AB ==，∵将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，∴∠=∠AFG EFG ，FG AE ⊥，∵//CD AB ，AP CD ⊥，∴AP AB ⊥，∴90∠+∠=︒PAE EAF ，∵90∠+∠=︒EAF AFG ，∴∠=∠PAE AFG ，∴∠=∠EFG APE ，∵//CD AB ，60DAB ∠=︒，∴60PDA ∠=︒，∴sin 6022=⋅︒=⨯=AP AD ，1cos60212=⋅︒=⨯=PD AD ，∵E 为CD 中点，∴112DE AD ==，∴2=+=PE DE PD ，∴==AE ，∴cos cos7∠=∠===AP EFG PAE AE ．故答案为7变式3.39.如图，在菱形ABCD 中，4AB =，B Ð是锐角，AE BC ⊥于点E ，M 是AB 的中点，连接MD ，ME ．若90EMD ∠=︒，则cos B 的值为___________．【答案】12【解析】【分析】延长DM 交CB 的延长线于点H ．首先证明△ADM ≌△BHM ，得出AD=HB=4，MD=MH ，由线段垂直平分线的性质得出EH=ED ，设BE=x ，利用勾股定理构建方程求出x ，即BE ，结合AB 得出cosB 的值.【详解】解：延长DM 交CB 的延长线于点H ．如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=4，AD ∥CH ，∴∠ADM=∠H ，∵M 是AB 的中点，∴AM=BM ，在△ADM 和△BHM 中，AMD BMH ADM H AM BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM ≌△BHM （AAS ），∴AD=HB=4，MD=MH ，∵∠EMD=90°，∴EM ⊥DH ，∴EH=ED ，设BE=x ，∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，∴∠AEB=∠EAD=90°，∵AE 2=AB 2-BE 2=DE 2-AD 2，∴42-x 2=（4+x ）2-42，解得：x=2-，或x=2--（舍），∴BE=2，∴cosB=2142BE AB-==.故答案为：12-.【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．题型四：同角三角函数关系（拓展）1.若90A B ∠+∠=︒，则sin cos A B =，sin cos B A =，tan tan 1A B ⋅=2.平方关系：22sin cos 1A B +=3.比值关系：sin tan cos =AA A例4若α是锐角，tan tan501⋅︒=α，则α的值为（）A .20︒B .30°C .40︒D .50︒【详解】解：∵tan tan501⋅︒=α∴5090+︒=︒α∴40α=︒．故选C ．变式410.比较大小：sin81︒________tan 47︒；cos30︒________tan 60︒．（填“>，<或=”）【答案】①.<②.<【解析】【分析】①把sin81︒、tan 47︒分别与1进行比较，即可得到答案；②分别求出cos30︒、tan 60︒的值，然后进行比较即可．【详解】解：∵sin811︒<，tan 47tan 451︒>︒=，∴sin81tan 47︒<︒；∵cos302=°，tan 60︒=又∵2<，∴0cos30tan 6︒<︒；故答案为：<；<；【点睛】本题考查了三角函数的比较大小，解题的关键是正确的掌握三角函数的值，然后进行比较．题型五：特殊角的三角函数值①特殊角的三角函数值的混合运算例5.1计算：sin 30cos 601sin 60cos 45tan 60sin452︒︒+︒-︒︒+︒．【详解】原式1122=+，===，=；变式5.111.计算：（1）28sin 60tan 454cos30︒+︒-︒；（2）222tan 60cos 30sin 45tan 45︒+︒-︒︒．【答案】（1）7-；（2）134．【解析】【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可；（2）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【详解】解：（1）原式281422⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭3814=⨯+-7=-；（2）原式222122⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31342=+-134=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的关键．②由特殊角的三角函数值判断三角形的形状例5.2在ABC 中2(2cos |1tan |0-+-=A B ，则ABC 一定是（）A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【详解】解：由2(2cos |1tan |0-+-=A B ，得2cos A =，1tan 0B -=．解得45A ∠=︒，45B ∠=︒，则ABC 一定是等腰直角三角形，故选：D ．变式5.212.在ABC 中，若tanA=1，cosB=2，则下列判断最确切的是（）A.ABC 是等腰三角形B.ABC 是等腰直角三角形C.ABC 是直角三角形D.ABC 是一般锐角三角形【答案】B【解析】【分析】先根据正切值、余弦值求出A ∠、B Ð的度数，再根据三角形的内角和定理可得C ∠的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得．【详解】A ∠、B Ð是ABC 的内角，且tan 1A =，cos 2B =，45A ∴∠=︒，45B ∠=︒，18090C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，ABC ∴ 是等腰直角三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键．③根据特殊角三角函数值求角的度数例5.3在ABC 1cos 02+-=C ，且B Ð，C ∠都是锐角，则A ∠的度数是（）A .15︒B .60︒C .75︒D .30°1cos 02+-=C ，∴sin 02-=B ；1cos 02-=C ．即sin 2B =；1cos 2C =．∴45B ∠=︒，60C ∠=°．∴180180456075∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒A B C ．故选：C ．变式5.313.已知tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅，22tan tan 21tan ααα=-α和β都表示角度），比如求tan105︒，可利用公式得()tan105tan 60452︒=︒+︒==-，又如求tan120︒，可利用公式得()()22tan120tan 2601︒=⨯︒==-，请你结合材料，若()tan 1203λ︒+=-（λ为锐角），则λ的度数是__________．【答案】30°【解析】【分析】设tan λx =，先根据公式可得到一个关于x 的分式方程，解方程可求出x 的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．【详解】设tan λx=由题意得：()tan120tan tan 1201tan120tan λλλ︒+︒+=-︒⋅()tan120tan ,tan 1203λx λ︒==︒+=-3=-解得3x =经检验，3x =是分式方程的根即tan 3λ=λQ 为锐角30λ∴=︒故答案为：30°．【点睛】本题考查了分式方程的解法、特殊角的正切函数值，熟记特殊角的正切函数值是解题关键．④三角函数值的大小例5.4如图所示的网格是正方形网格，则AOB ∠________COD ∠．（填“>”，“=”或“<”）【详解】解：根据题意可知tan 2AOB ∠=，tan 2∠=COD ，∴AOB COD ∠=∠，故答案为=．变式5.4.114.如果α是锐角，则下列成立的是（）A.sin αcos α1+= B.sin αcos α1+> C.sin αcos α1+< D.sin αcos α1+≤【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可得答案.【详解】解：∵a 、b 是直角边，c 是斜边，∴sin α+cos α=a c +bc =a b c +，∵a+b>c ，∴a b c+>1，∴sin αcos α1+>.故选B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边是解题关键.变式5.4.215.如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转()90αα︒<得到A BC ''△．请比较大小：sin ABA '∠______tan CBC '∠．【答案】＜【解析】【分析】由旋转可得：ABA CBC α''∠=∠=＜90,︒如图，构建直角三角形,ABA '且,ABA CBC ''∠=∠再利用锐角三角函数的定义可得：sin ,tan tan ,AA AA ABA CBC ABA AB A B'''''∠=∠=∠='由A B '＜,AB 从而可得答案．【详解】解：由旋转可得：ABA CBC α''∠=∠=＜90,︒如图，构建直角三角形,ABA '且,ABA CBC ''∠=∠由三角函数定义可得：sin ,tan tan ,AA AA ABA CBC ABA AB A B'''''∠=∠=∠='A B ' ＜,AB AA AB '∴＜,AA A B''sin ABA '∴∠＜tan .CBC '∠故答案为：＜．【点睛】本题考查旋转的性质，锐角三角函数的定义，掌握以上知识是解题的关键．题型五：解直角三角形①解直角三角形1.解直角三角形的概念：在直角三角形中除直角外一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2.理论依据：①三边关系：勾股定理222+=a b c ②两锐角互余：90A B ∠+∠=︒③边角之间的关系：tan a A b =，sin a A c=，cos a A c =3.常见类型：①已知两条边，先利用边角关系求出两个角，再利用勾股定理求出另一条边②已知一边一角，先求出另一角，再利用边角关系求出其余的边长例5.1已知2sin 3α=，其中α为锐角，求cos α、tan α、cot α的値．【详解】∵2sin 3α=∴设α的对边2k =，直角三角形的斜边3=k ，由勾股定理求出α的邻边=，∴cos α33k ==，tan 5α===，cot 22k α==．变式5.116.（1）在△ABC 中，∠B ＝45°，cosA 12=．求∠C 的度数．（2）在直角三角形ABC 中，已知sinA 45=，求tanA 的值．【答案】（1）75°；（2）43．【解析】【分析】（1）由条件根据∠A 的余弦值求得∠A 的值，再根据三角形的内角和定理求∠C 即可；（2）根据角A 的正弦设BC=4x ，AB=5x ，得AC 的长，根据三角函数的定义可得结论．【详解】解：（1）∵在△ABC 中，cosA 12=，∴∠A ＝60°∵∠B ＝45°，∴∠C ＝180°﹣∠B ﹣∠A ＝75°；（2）∵sinA 45BC AB ==，∴设BC ＝4x ，AB ＝5x ，∴AC ＝3x ，∴tanA 4433BC x AC x ===．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的知识以及三角形的内角和定理，属基础题．②构造直角三角形例5.2在ABC 中，8AB =，6BC =，B Ð为锐角且1cos 2B =．（1）求ABC 的面积；（2）求tan C ．【详解】（1）如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．∵1cos 2B =，∴60B ∠=︒，∴1cos 842=⋅=⨯=BH AB B ，sin 82=⋅=⨯=AH AB B ，∴11622=⋅⋅=⨯⨯= ABC S BC AH （2）在Rt ACH 中，∵90AHC ∠=︒，AH =742=-=-=CH BC BH ，∴tan 2===AH C CH．变式5.217.如图，在△ABC ，∠A＝30°.(1)求BD 和AD 的长；(2)求tan C 的值．【答案】(1)BD ＝3，AD ＝(2)tan C ＝2.【解析】【详解】（1）∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°．在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝AB·sin30°＝3，∴ꞏcos30AD AB =︒=．（2）CD AC AD =-==在Rt △BDC 中，tan2BD C CD ∠===．视频题型六：解直角三角形的实际应用①方位角问题从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角，称为该直线的方位角，方位角的取值范围是0360︒-︒．例6.1如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若AP =千米，则点AB 两点的距离为（）千米．A .4B .C .2D .6【详解】解：由题意可知，30︒∠= PAC ，60PBC ∠=︒，∵AP =，∴1sin 302PC AP =︒=⨯=cos 609AC AP =︒==，∴3tan 60PC BC ===︒，∴936AB AC BC =-=-=，故选：D ．变式6.118.如图，在一条笔直的海岸线上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向．有一艘小船从A 处沿北偏西60︒方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达P 处，从B 处测得小船在它的北偏东45︒的方向上．（1）求AB 的距离；（2）小船沿射线AP 的方向继续航行一段时间后，到达点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15︒的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）【答案】（1）(5AB =+海里；（2）52+海里．【解析】【分析】（1）过点P 作PD AB ⊥于点D ,利用余弦定义解出AP 、AD 的长，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解得PD 的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可；（2）过点B 作BF AC ⊥于点F ，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，解得BF 的长，在Rt BCF 中，由勾股定理解得BC 的长即可．【详解】解：（1）如图，过点P 作PD AB ⊥于点D ，在Rt PAD V 中，90ADP ∠=︒，906030PAD ∠=︒-︒=︒，∵cos AD PAD AP∠=，200.510AP ⨯==∴cos 102PA A D D AP =⋅=⨯=∠152PD AP ==在Rt PBD 中，90BDP ∠=︒，904545PBD ∠=︒-︒=︒，∴5BD PD ==．∴(5AB =+海里（2）如图，过点B 作BF AC ⊥于点F ，在Rt ABF 中，90AFB ∠=︒，30BAF ∠=︒，∴(11522BF AB ==+在ABC 中，18045C BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒．在Rt BCF 中，90BFC ∠=︒，45C ∠=︒，∴52C B ==海里．∴点C 与点B 之间的距离为52海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30°角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键．②仰角俯角问题仰角：视线在水平线上方的角．俯角：视线在水平线下方的角．例6.2如图，护林员在离树8m 的A 处测得树顶B 的仰角为45︒，已知护林员的眼睛离地面的距离AC 为1.6m ，则树的高度BD 为（）A .8mB .9.6mC . 1.6)mD . 1.6)m +【详解】解：过点C 作CE BD ⊥于E ，∵45BCE ∠=︒，∴CEB △是等腰直角三角形，∴8==CE BE ，四边形ACED 是矩形，∴ 1.6==AC DE ，∴8 1.69.6=+=BD 米，故选B ．变式6.219.如图，某飞机在空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，飞行高度AC a =，则飞机到目标B 的距离AB 为（）A.sin a α⋅B.sin a αC.cos a α⋅ D.cos a α【答案】B 【解析】【分析】由题意得∠ABC=α，然后根据解直角三角形，即可求出AB 的长度．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ABC=α，AC a =，∵sin ACABα=，∴sin a AB α=．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是掌握正弦的定义进行解题．③坡度与坡比问题坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度，也称之为坡比，用字母i 表示坡比．即=hi l．坡度一般写成:a b 的形式，如1:5i =等．把坡面与水平面的夹角记作α，α叫做坡角，有tan ==hi lα．例6.3我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1:1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由． 1.414=，1.732=）【详解】解：该文化墙PM 不需要拆除，理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为，∴3tan α==，∴30α=︒．作CD AB ⊥于点D ，则6CD =米，∵新坡面的坡度为，∴6tanCD CAD AD AD ∠===解得，AD =BC 的坡度为1:1，6CD =米，∴6BD =米，∴6)=-=-AB AD BD 米，又∵8PB =米，∴86)14146 1.732 3.6=-=--=-≈-⨯≈PA PB AB 米3>米，∴该文化墙PM 不需要拆除．变式6.320.如图，在市区A 道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h 为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l 为____米（结果精确到0.1m ，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．【答案】19.2【解析】【分析】根据题意利用正切列式进行求解即可．【详解】解：由题意可得：tan14°=4.80.24h l l=≈，解得：l ＝19.2，故答案为：19.2．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握利用三角函数进行求解问题是解题的关键．④利用三角函数测量高度例6.4如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF ，卓玛同学为了探究信号塔EF 的高度，从建筑物一层A 点沿直线AD 出发，到达C 点时刚好能看到信号塔的最高点F ，测得仰角60ACF ∠=︒，AC 长7米．接着卓玛再从C 点出发，继续沿AD 方向走了8米后到达B 点，此时刚好能看到信号塔的最低点E ，测得仰角30B ∠=︒．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF 的高度（结果保留根号）．【详解】解：在Rt △ACF 中，∵60ACF ∠=︒，7AC =米，∴tan 60=⋅︒=AF AC ∵8BC =米，∴15AB =米，在Rt ABE △中，∵30B ∠=︒，∴tan30153=⋅︒=⨯=AE AB 米，∴=-=-=EF AF AE ，答：信号塔EF 的高度为变式6.421.如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°,求楼CD 的高．【答案】楼CD 的高是（【解析】【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．【详解】延长过点A 的水平线交CD 于点E则有AE ⊥CD ，四边形ABDE 是矩形，AE=BD=36∵∠CAE=45°∴△AEC 是等腰直角三角形∴CE=AE=36在Rt △AED 中，tan ∠EAD=EDAE∴∴答：楼CD 的高是（）米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．实战练22.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是()A.sin B ＝23B.cos B ＝23C.tan B ＝23D.tan B ＝32【答案】C 【解析】【详解】∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=13AC AB ==，cosB=13BC AB ==，tanB=23AC BC =，故选C.23.如果把∠C 为直角的Rt ABC 各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A 的各三角比的值（）A.都扩大到原来的2倍B.都缩小到原来的一半C.都没有变化D.有些有变化【答案】C 【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切的定义即可得．【详解】 在Rt ABC 中，90C ∠=︒，sin ,cos ,tan a b aA A A c c b ∴===，222sin ,cos ,tan 222a a b b a aA A A c c c c b b∴======，则当Rt ABC 各边的长都扩大到原来的2倍，锐角A 的各三角比的值都没有变化，故选：C ．【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，熟记定义是解题关键．24.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sinB 的值是（）A.512B.125C.513D.1213【答案】D 【解析】【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，∴13AB ==，∴12sin 13AC B AB ==．故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．25.若锐角A 、B 满足条件4590A B <<< 时，下列式子中正确的是（）A.sin sin A B > B.cot cot B A> C.tan tan A B> D.cos cos A B>【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可.【详解】∵4590A B <<< ，∴sin sin A B ＜，cot cot B A ＜，tan tan A B ＜，cos cos A B >.故只有D 选项正确.故选D.【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，锐角的余弦值和余切值是随着角度的增大而减小，锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大.26.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，对角线AC ABCD 的周长为（）A. B.20C. D.16【答案】D 【解析】【分析】连接BD 交AC 于点O ，由菱形的性质得出AB =BC =CD =AD ，AC ⊥BD ，OA =OC =12AC ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC =60°，求出∠BAO =30°，由直角三角形的性质得OB =3OA =2，AB =2OB =4，即可得出答案．【详解】解：连接BD 交AC 于点O ，如图：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，AC ⊥BD ，OA =OC =12AC ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC =60°，∴∠BAO =30°，∴OB =OA tan 30⋅︒=3⨯，AB =2OB =4，∴菱形ABCD 的周长=4AB =16；故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．27.如图，在△ABC 中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC 的长为（）A.B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】过A 点作AH ⊥BC 于H 点，先由sin ∠B 及AB=3算出AH 的长，再由tan ∠C 算出CH 的长，最后在Rt △ACH 中由勾股定理即可算出AC 的长．【详解】解：过A 点作AH ⊥BC 于H 点，如下图所示：由1sin =3∠=AH B AB ，且=3AB 可知，=1AH ，由tan =2∠=AHC CH ，且=1AH 可知，12CH =，∴在Rt ACH ∆中，由勾股定理有：2===AC ．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．28.如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin BAC ∠等于（）A.3B.5C.10D.5【答案】D 【解析】【分析】连接格点CD ，根据勾股定理求出三角形的边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角三角形，最后由三角函数的意义求解即可．【详解】解：如图，连接格点CD ，∵AD 2=22+22=8，CD 2=12+12=2，AC 2=12+32=10，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，由勾股定理得，AC ，CD ，∴sin ∠BAC =CDAC 5 ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的意义，勾股定理等知识，根据网格构造直角三角形和利用勾股定理求边长是解决问题的关键．29.如图，△ABC 与△DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△ABC 与△DEF 的周长比为（）A. B.1：2 C.1：3 D.1：4【答案】A 【解析】【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD 、△ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△BAC ∽△EDF ，即可解决问题．【详解】解：如图，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∴DE ＝，EF ＝同理可求：AC ，BC ，∵DF ＝2，AB ＝2，∴BC AB AC EF DE DF ===，∴△BAC ∽△EDF ，∴C △ABC ：C △DEF ＝1，故选A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质定理的应用问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．30.如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =．若BAC α∠=，AB m =，则底边BC =()A.sin m α⋅B.2sin m α⋅C.2sin2m α⋅ D.sin2m α⋅【答案】C 【解析】【分析】首先如图过点A 作AD ⊥BC 交BC 于D 点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=12∠BAC=12α，BC=2BD ，然后在Rt △ABD 中，根据sin ∠=BDBAD AB求出BD ，最后利用BC=2BD 求出答案即可.【详解】如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 于D 点，则△ABD 是直角三角形，∵△ABC 为等腰三角形，AD ⊥BC ，∴∠BAD=12∠BAC=12α，BC=2BD ，在Rt △ABD 中，sin sin2BD BDBAD AB mα===∠，∴sin2BD m α=⋅，∴22sin 2BC BD m α==⋅⋅，故选：C .【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.31.如图，在高楼前D 点测得楼顶A 的仰角为30°，向高楼前进60m 到达C 点，又测得楼顶A 的仰角为45°，则该高楼的高度大约为()A.82mB.160mC.52mD.30m【答案】A【解析】【分析】【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB，Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD=AB÷tan AB，∴DC=BD-BC=）AB=60米，≈82米，即楼的高度约为82.0米，∴AB故选A.32.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）A.6mB.mC.9mD.【答案】A【解析】【分析】根据坡比的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【详解】解：∵迎水坡AB的坡比为1，∴BC AC =3AC =解得，AC ＝，由勾股定理得，AB ==6（m ），故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．33.在△ABC 中，∠C 90°，sinA 1213，BC 12，那么AC ______．【答案】5【解析】【分析】先根据正切的定义得到sinA=BC AB =1213，则可得到AB=13，然后根据勾股定理计算AC 的长．【详解】在△ABC 中，∠C=90°，∵sinA=BC AB =1213，BC=12，∴AB=13，∴．故答案为5．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.34.cos45°-12tan60°=________；【答案】12-【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算．【详解】解：原式11222=-=-．故答案是：12-．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．35.在ABC 中，2cos (1cot )0A B +-=，则ABC ∆的形状是__________．【答案】钝角三角形【解析】【分析】根据非负数的性质得到cos =02-A ，1cot =0-B ，从而求出∠A 与∠B 的度数，即可判断△ABC 的形状．【详解】∵2cos (1cot )0A B -+-=∴cos =02-A ，1cot =0-B即cos =2A ，cot =1B ∴=30A ∠︒，=45∠︒B ∴=1803045=105∠︒-︒-︒︒C ∴ABC ∆是钝角三角形故答案为：钝角三角形【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形的分类与特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．36.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝20，c ＝，则∠B 的度数为_______.【答案】45°【解析】。
《锐角三角函数》 讲义
《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。
以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。
那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。
需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。
二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。
30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。
45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。
60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。
三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。
比如，测量物体的高度。
如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。
假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。
再比如，测量河流的宽度。
我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。
四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。
2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。
初中数学锐角三角函数综合复习讲义
初中数学锐角三角函数综合复习讲义一、研究概念1、产生的背景：直角三角形的边与角之间的关系2、明确概念：正弦阐述概念：在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦，记作sinA 3、本质：特殊的实数 4、知识点产生的条件： [直角三角形] 直角三角形中任意两边和任意一锐角5、特征： 正弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 →[表示法] sinA=∠A 的对边斜边[特殊字母] sinA=a c sinB=bc(∠A+∠B=90°) 余弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦→[表示法] cosA=∠A 的邻边斜边[特殊字母] cosA=bccosB=a c (∠A+∠B=90°)sinA=ac = cosB= cos (90°—∠A) cosA=bc= sinB= sin (90°—∠A)定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切→[表示法] tanA=∠A 的对边邻边特殊字母] tanA=abtanB=b a (∠A+∠B=90°)余切 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切→[表示法] cotA=∠A 的邻边对边[特殊字母] cotA=b a cotB= ab(∠A+∠B=90°) tanA=ab= cotB= cot (90°—∠A) CBA c bacotA=ba= tanB= tan (90°—∠A) [文字] 一个角的正弦等于它余角的余弦 一个角的余弦等于它余角的正弦一个角的正切等于它余角的余切一个角的余切等于它余角的正切[勾股] sin 2 A+ cos 2A= 1 sin 2 B+ cos 2B= 1[运算] tanA ·cotA=1 tanB · cotB=1[正弦、余弦] tanA=sin A cosA cotA=cos AsinA tanB=cos A sinA cotB=sin AcosA[特殊值] sin30°=cos60°=12sin45°=cos45°=2若α、β是锐角，且α＞β，则sin60°=cos30°α＞sin β cos α＜cos βtan30°=cot60°α＞tan β cot α＜cot β tan45°=cot45°= 1tan60°=cot30°6、系统找下位含有特殊角的斜三角形∍内角是特殊角∍15°，30°，45°，60°，90° 外角是特殊角∍15°，30°，45°，60°，90°二、应用、例题讲解（一）直角三角形中，已知两边求锐角三角函数 1、在中，∠C 为直角，已知a=3，b=4，则cos B= （ ） (A 级)对象：cos B 角度：cos B=a c分析：a=3，b=4 [勾股] c=5 cos B=a c =35（二）直角三角形中，已知一锐角的三角函数求锐角的其它三角函数 2、∠A 为锐角，且sinA=135，则tanA 的值为 （ ） （A 级） A 、512 B 、1213 C 、1312 D 、125对象：tanA 角度 ： tanA=sin AcosA分析：sinA=135 [sin 2 A+ cos 2A= 1] cos 2A= 1－ sin 2A cosA=1312 [tanA=sin A cosA ] tanA= 1253、设x 为锐角，且满足 sin x=3cos x ，则sin x ·cos x 等于 (B 级)对象：sin x ·cos x 角度：sin 2x+ cos 2x= 1分 析：sin x=3cos x [sin 2x+ cos 2x= 1] (3cos x)2＋cos 2x= 1 cos 2x=101 sin x ·cos x= 3cos 2x=103 4、如果x= tanA+1,y=cotA+1(A 为锐角)，那么y 等于 (B 级) 对象： y 角度：tanA · cotA=1分析：x= tanA+1,y=cotA+1 [tanA · cotA=1] （x-1）(y-1)=1y=1-x x 5、如果A 为锐角，且 sinA=54，那么 （ ） (B 级) A 、0°〈 A ≤30° B 、30°〈A ≤45° C 、45°〈A 〈60° D 、60°〈A 〈90°对象：A 角度：sinA=54 分析：22〈54〈23 sin 45°〈sinA 〈sin60° ∵A 为锐角 ～ 0°〈 A 〈90° 此时 sinA 是增函数 ∴ 45°〈A 〈60°6、已知A 为锐角，且2cos sin 2cos 2sin 3=-+AA AA ，那么tanA 的值等于 (B 级)对象：tanA 角度：tanA=sin AcosA分析：2cos sin 2cos 2sin 3=-+A A A A 3 sinA+2cosA=4sinA -2cosA sinA=4cosA sin AcosA=4=tanA7、在 中，c 为斜边，a 、b 为直角边，则a 3 cosA+b 3cosB 等于 （B 级）对象：a 3 cosA+b 3cosB 角度 ：cosA=∠A 的邻边斜边勾股定理分析 ：a 3cosA+b 3cosB = a 3·b c + b 3·a c =cabc 2 = abc8、计算： （A 级）对象： 角度 ：特殊角的三角函数值分析：=213222∙+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231+ 9、计算：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°= （B 级）对象：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°角度：sinA= cos (90°—∠A) tanA= cot (90°—∠A)分析：sin48°=cos(90°－48°)=cos42° tan 44°=cot(90°－44°)=cot46°原式= cos 242°+ sin 242°－cot46°·tan46°·tan45°=1－1·1=010、如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点E 反射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11。
最新锐角三角函数讲义
一、锐角三角函数【基础知识精讲】一、正弦与余弦，正切：1、 在ABC ∆中，C ∠为直角，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，⋅=∠=caA A 斜边的对边sin锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos .cbA A =∠=斜边的邻边cos锐角A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。
的邻边的对边A A A ∠∠=tan =ab2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<<A ，1cos 0<<A ，0tan >A 。
二、特殊角的三角函数值：三、增减性：当0900<<α时，sin α、tan α随角度α的增大而增大；cos α、cot α随角度α的增大而减小。
【例题巧解点拨】例1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5（1）求AB 的长。
（2）求sinA ，cosA 的值。
（3）求的值。
（4）比较sinA 与cosB 的大小。
（5）比较tanA 与AAcos sin 的大小。
例2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0） 和点B （0，－4）， 则cos ∠OAB 等于（ ）A.43B.－43C. 53D. 54例3. 已知a 为锐角，且aa aa a cos 2sin cos sin ,3tan +-=求的值.例4.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD ； (2)若sinC=54，BC=12.求AD 的长.例5、如图，在△ABC 中，∠C=90°，ED ⊥AB 于D 点，若tan ∠BED=34，cosA=1312，CE=1333，求DE 的长。
例6、如图，M 是正方形ABCD的边AD 的中点，BE=3AE 。
求sin ∠ECM 的值。
CDE【夯实基础】1.化简：+；2、△ABC 中，若cosB=23，tan A=，且 ∠A 、∠B 为锐角，则△ABC 是 三角形； 3、若αα，则锐角）110tan(3=︒+的度数为 ； 4、已知β是锐角，且cos β=23，则tan(90°-β)= ； 5.在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 。
完整版)锐角三角函数超经典讲义
完整版)锐角三角函数超经典讲义锐角三角函数锐角三角函数是三角函数的一种，包括正弦、余弦和正切。
在一个锐角三角形中，锐角的对边、邻边和斜边之间的比例就是锐角三角函数。
具体来说，对于锐角A，其正弦、余弦和正切分别表示为sinA、cosA和XXX。
其中，XXX表示A的对边与斜边的比，cosA表示A的邻边与斜边的比，XXX表示A的对边与邻边的比。
这些符号都是完整的，单独的“sin”没有意义。
在用大写字母表示角度时，一般省略“∠”符号。
在求解锐角三角函数时，关键在于构造以此锐角所在的直角三角形。
例如，在一个直角三角形ABC中，如果已知∠C=90°，cosB=4/5，则AC：BC：AB=3：4：5.另外，需要注意的是，正弦、余弦和正切是实数，没有单位，它们的大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
例1：在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。
证明△ABE≌△DFA，并求sin∠EDF的值。
解：首先，连接AC，易得△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。
又因为AE=BC，所以△ABE和△ACD相似，即∠ABE=∠ACD，∠XXX∠ADC。
又因为∠ADC=90°，所以∠AEB=90°。
因此，△ABE和△DFA是全等三角形。
接下来，求sin∠EDF的值。
由于∠BAC=45°，所以∠AED=45°。
由于△ABE和△DFA全等，所以∠XXX∠BAE=45°。
因此，sin∠EDF=sin45°=1/√2.例2：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。
解：由于∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=75°。
根据三角函数的定义，可以得到：sin75°=cos15°=(sin60°cos45°+cos60°sin45°)/2=√6+√2/4cos75°=sin15°=(sin60°cos45°-cos60°sin45°)/2=√6-√2/4因此，△ABC面积为S=(1/2)AB·BC·sin75°=4(√6+√2)。
(完整版)锐角三角函数超经典学习资料
(完整版)锐角三角函数超经典学习资料锐角三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理和工程等领域都有广泛的应用。
通过研究锐角三角函数，我们可以更好地理解和解决各种相关问题。
一、正弦函数正弦函数是锐角三角函数中最基本的函数之一，在数学中常记作sin。
正弦函数的定义如下：$$ \sin(\theta) = \frac{opposite}{hypotenuse} $$其中，$\theta$ 表示角度，$opposite$ 表示对边的长度，$hypotenuse$ 表示斜边的长度。
正弦函数有许多重要的性质和关系，比如：- 正弦函数的取值范围是[-1, 1]：即对于任意角度 $\theta$，$-1 \leq \sin(\theta) \leq 1$。
- 正弦函数是一个周期函数：即 $\sin(\theta)$ 的周期是 $2\pi$，即在每个 $2\pi$ 的区间内，$\sin(\theta)$ 的值重复。
二、余弦函数余弦函数也是锐角三角函数中的一种重要函数，在数学中常记作cos。
余弦函数的定义如下：$$ \cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypotenuse} $$其中，$\theta$ 表示角度，$adjacent$ 表示邻边的长度，$hypotenuse$ 表示斜边的长度。
余弦函数同样有许多重要的性质和关系，比如：- 余弦函数的取值范围是[-1, 1]：即对于任意角度 $\theta$，$-1 \leq \cos(\theta) \leq 1$。
- 余弦函数也是一个周期函数：即 $\cos(\theta)$ 的周期是$2\pi$，即在每个 $2\pi$ 的区间内，$\cos(\theta)$ 的值重复。
三、正切函数正切函数是锐角三角函数中的另一种常见函数，它经常用于计算角度的斜率。
正切函数的定义如下：$$ \tan(\theta) = \frac{opposite}{adjacent} $$其中，$\theta$ 表示角度，$opposite$ 表示对边的长度，$adjacent$ 表示邻边的长度。
(完整版)锐角三角函数知识点考点总结
e an dAl l th a re go 1 锐角三角函数定义锐角角A 的正弦（sin ）,余弦（cos ）和正切（tan ）叫做角A 的锐角三角函数。
正弦（sin ）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos ）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan ）等于对边比邻边；tanA=a/b锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。
1）锐角三角函数值都是正值。
2）当角度在0°~90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；4同角三角函数基本关系式aa a tan cos sin ⋅=5互为余角的三角函数间的关系aa cos )90sin(=-aa sin )90cos(=- 6 解直角三角形的基础知识在Rt 中，，，，所对的边分别为，，ABC ∆ 90=∠C A ∠B ∠C ∠a b c （1）三边之间的关系：222c b a =+（2）锐角之间的关系：+==A ∠B ∠C ∠ 90（3）边角之间的关系：；；；c a A =sin c b A =cos ba A =tan ；；c a B =cos c b B =sin abB =tan （4）面积公式：（为斜边上的高）ch ab S 2121==∆h 7 （正切），宁乘勿除，取原避中”。
其含义是当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则通常用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则取已知数据，忌用中间数据。
8 解直角三角形应用题中的常见概念（1）坡角：坡面与水平面的夹角，用字母表示。
α坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比，用字母表示，则h l i αtan ==lhi（2）方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角。
初三数学——锐角三角函数的讲义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
〈注〉解直角三角形，需把所有的边、角都求出来（不包括直角）．
2．解直角三角形的依据
在直角三角形中有6个元素（三边三角），它们具有如下关系：
（1）边之间的关系：（勾股定理）
（2）角之间的关系：（两锐角互余）
解：，
．
设，
则，，，
，
．
6．在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1， ∠A=60°，求AD、BC的长．
解：延长AD、BC相交于点E．
∠B=90°，∠A=60°，
，
；
同理，
，
；
；
．
方法3．如（方法2）图，，
，即．
．
如图，在中，于C，，，，
，，．作于E，
，
，
即．
．
【探究2】sin2α与sinα之间有什么关系？
解：易证∠BAC＝∠ADE＝a ，
在中，，
，
．
选B．
说明：可能有的同学会根据以前的知识，设，从而得出，最终算出，这样当然是很好的．但是，对于这种过去就比较熟悉的问题，应该尝试用新的观点去看待它、用新的方法去求解，逐渐形成使用锐角三角函数解题的意识．
（3）边、角之间的关系：
①；．
②；．
（4）其它：射影定理；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；三角形面积公式等．
3．直角三角形的可解条件和基本类型
已知条件 解法
一条边和一个锐角 斜边c和锐角A ，，，
直角边a和锐角A ，，，
两条边 两条直角边a和b ，由求，，
九年级人教版数学第二学期第28章锐角三角函数整章知识详解
九年级数学第28章锐角三角函数
【例】求下列各式的值.
(1) cos260°+sin260°
(2) csoins4455
-tan45
【解析】（1）cos²60°+sin²60°
cos²60°表示 （cos60°）²， 即cos60°的平方.
=（ 12）²+（
3 2
）²
=1；
（2）cos 45 tan 45
九年级数学第28章锐角三角函数
2.（黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝
则tanB＝（ B ）
A. 4
B. 3
C. 3
D. 4
3
4
5
5
3.（丹东中考）如图，小颖利用有一
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度， 30 已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为 °A
B 1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那
九年级数学第28章锐角三角函数
【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA= 3 ，
求cosA，tanB的值.
5
B
【解析】 sinA BC ,
AB
6
AB BC 6 5 10，
sinA 3
又 AC AB2 BC2 102 62 8，
A
C
cosA AC 4 , tanB AC 4 .
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
，则 sinA=___2___ .
30°
C
7
九年级数学第28章锐角三角函数
1.（温州中考）如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，
(完整版)锐角三角函数超经典教材
(完整版)锐角三角函数超经典教材简介本教材是一份关于锐角三角函数的超经典教材。
它旨在帮助读者深入理解和运用锐角三角函数，以解决与三角函数相关的问题。
本教材包含了全面而详细的内容，适合初学者和进阶研究者使用。
目录1. 锐角概述2. 三角函数基本定义3. 正弦函数4. 余弦函数5. 正切函数6. 反正弦函数7. 反余弦函数8. 反正切函数9. 三角函数的性质与公式10. 锐角三角函数的运用内容概述本教材通过逐步引导读者了解和研究锐角三角函数的概念和定义。
在研究过程中，读者将了解正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质，并学会如何运用这些函数解决实际问题。
同时，本教材也包含了反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的介绍，帮助读者理解如何求解三角函数的反函数。
此外，教材还深入探讨了三角函数的性质与公式，帮助读者理解三角函数之间的关系，并能够灵活应用这些性质与公式进行计算与推导。
最后，教材介绍了锐角三角函数的实际运用，如平面几何、物理学和工程学等领域。
使用指南本教材可以作为课堂教学参考资料，也可以作为自学的教材使用。
在研究本教材时，建议读者结合练题和实际问题进行练与应用，以加深对锐角三角函数的理解和掌握。
结论本教材旨在为读者提供一份全面而详细的锐角三角函数教材。
通过系统研究，读者将能够深入理解和运用锐角三角函数，以解决与三角函数相关的问题。
无论是初学者还是进阶研究者，本教材都将成为他们研究锐角三角函数的重要参考资料。
以上是本文档的简要内容介绍，详细内容请参阅《(完整版)锐角三角函数超经典教材》。
锐角三角函数讲义
锐角三角函数专题1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要)5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
6、正切、的增减性：A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
9、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
10、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
:i h l =hlα典型例题1、已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ）A ．43B ．45C ．54D ．342、104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--=______．3、 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A ．8米B．C米 D米 4、一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ ）A ．5sin 40°B ．5cos 40°C ．5tan 40°D ．5cos 40°5、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）A．4 m C．．8 m6、 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡比是BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ）A． 米 B ． 10米C ．15米 D． 7、如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ）A ．3B ．5C ．25D ．2258、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明D家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.1.4141.732）9、如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角为60°，热气球A 的高度为240米，求这栋大楼的高度.10、如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D 、B 、C 在同一水平面上．（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：141.12=，732.13=，449.26=，以上结果均保留到小数点后两位．）11、求值101|2|20093tan 303-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭°A BC名校真题1.(巴蜀半期) 如图，A 为某旅游景区的最佳观景点，游客可以在B 处乘坐缆车沿BD 方向先到达小观景平台DE 观景，然后再由E 处继续乘坐缆车沿EA 方向到达A 处，返程时从A 处乘坐升降电梯直接到C 处．已知AC BC ⊥于C ，//DE BC ，斜坡BD 的坡度4:3i =，210BC =米，48DE =米，100BD =米，64α=︒，则AC 的高度为（ ）米（结果精确到0.1米，参考数据：sin640.9︒≈，tan642.1︒≈）A ．214.2B ．235.2C ．294.2D ．315.2 2.（南开月考三）如图，市规划局准备修建一座高6AB m =的过街天桥，已知天桥的坡面AC 的坡度3:4i =，则坡面AC 的长度为（ ）A 、10mB 、8mC 、6mD、3.（南开月考二）如图，在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且 2.82AB =米，BCD ∆表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18，最大夹角β为66，根据以上数据，计算出遮阳蓬中CD 的长是（结果精确到0.1）（参考数据：sin180.31≈，tan180.32≈，sin 660.91≈，tan66 2.2≈）（ ） A 、1.2米 B 、1.5米 C 、1.9米 D 、2.5米4.（南开月考一）如图，小明在大楼30米高（即30PH =米）的窗口P 处进行观测，测得山坡顶A 处的俯角为15，山脚处B 的俯角为60，已知该山坡的坡度i =P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上，点HBC 在同一条直线上，且PH HC ⊥，则A 到BC 的距离为（ ）A．米 B ．15米C．米D ．30米5.（八中月考三）11、如图，某风景区在坡度2题图1题图为7：24的斜坡AB上有一座标志性建筑物BC，在点A处测得建筑物顶部C的仰角为31，斜坡AB=100米，则这座建筑物BC的高度约为（）。
完整九年级数学锐角三角函数学生讲义
锐角三角函数与解直角三角形【考大纲求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特别角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实质问题 . 题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热门为依据题中给出的信息建立图形，成立数学模型，而后用解直角三角形的知识解决问题 .【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的观点以下图，在 Rt △ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A 所对的边的邻边，∠ B 所对的边 AC记为 b，叫做∠ B 的对边，也是∠叫做斜边．BC记为 a，叫做∠ A 的对边，也叫做∠B A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c，BcaAbC锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA ，即sin A A的对边 a ；斜边c锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA，即cos A A的邻边 b ；斜边c锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作tanA ，即tan A A的对边 a .A的邻边b同理 sin B B的对边b； cos B B的邻边a； tan B B的对边 b ．斜边c斜边c B的邻边a重点解说：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反应了直角三角形边与角的关系，是两条，，，不可以理解成s in 与∠ A，cos 与∠ A， tan 与∠ A 的乘积．书写时习惯上省略∠ A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角( 如∠ AEF)，其正切应写成“ tan ∠ AEF”，不可以写成“tanAEF”；此外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞ 0．考点二、特别角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函数值，概括以下：重点解说：(1)经过该表能够方便地知道 0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：假如知道了一个锐角的三角函数值，就能够求出这个锐角的度数，比如：若，则锐角．(2)认真研究表中数值的规律会发现：sin 0、、、、sin90的值依次为0、、、、1，而cos0、、、、cos90的值的顺序正好相反，、、的值挨次增大，其变化规律能够总结为：当角度在0°＜∠ A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大( 或减小 ) 而增大 ( 或减小 ) ②余弦值随锐角度数的增大 ( 或减小 )而减小 ( 或增大 ) ．考点三、锐角三角函数之间的关系以下图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°．(1)互余关系：，；(2) 平方关系：；(3)倒数关系：或；(4) 商数关系：．重点解说：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简易．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素( 直角除外 ) 求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即三条边和两个锐角.设在 Rt △ ABC中，∠ C=90°，∠ A、∠ B、∠ C所对的边分别为a、b、 c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2( 勾股定理 ).②锐角之间的关系：∠A+∠ B=90° .③边角之间的关系：，，，，，.④， h 为斜边上的高 .重点解说：(1)直角三角形中有一个元素为定值( 直角为 90° ) ，是已知的值 .(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其余关系( 如不等关系 ).(3)对这些式子的理解和记忆要联合图形，能够更为清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常有种类及解法已知条件解法步骤Rt △ ABC两两直角边(a，b)由边求∠ A，∠ B=90°－∠ A，由斜边，向来角边( 如 c， a)求∠ A，∠ B=90°－∠ A，锐角、邻边( 如∠ A，b)，一边向来角边一和一锐角∠ B=90°－∠ A，角锐角、对边( 如∠ A，a)，斜边、锐角 ( 如 c，∠ A)，重点解说：1．在碰到解直角三角形的实质问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意注明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，而后按先确立锐角、再确立它的对边和邻边的次序进行计算. 2．若题中无特别说明，“解直角三角形”即要求出全部的未知元素，已知条件中起码有一个条件为边 .考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很宽泛，重点是把实质问题转变为数学模型，擅长将某些实质问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实质应用问题的重点.解这种问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等观点，而后依据题意画出几何图形，成立数学模型 .(2)将已知条件转变为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实质问题转变为解直角三角形的问题 .(3) 依据直角三角形( 或经过作垂线结构直角三角形) 元素 ( 边、角 ) 之间的关系解有关的直角三角形 .(4) 得出数学识题的答案并查验答案能否切合实质意义，得出实质问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实质问题时，常常会用到以下观点：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示 .坡度 ( 坡比 ) ：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式 .(2)仰角、俯角：视野与水平线所成的角中，视野中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图 .(3)方向角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方向角，如图①中，目标方向 PA， PB， PC的方向角分别为是40°， 135°， 245° .(4) 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA， OB， OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西 60° . 特别如：东南方向指的是南偏东 45°，东北方向指的是北偏东 45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西 45° .重点解说：1．解直角三角形实质是用三角知识，经过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的表示图.2．非直接解直角三角形的问题，要察看图形特色，适合引协助线，使其转变为直角三角形或矩形来解 . 比如：3．解直角三角形的应用题时，第一弄清题意( 重点弄清此中名词术语的意义) ，而后正确画出示企图，从而依据条件选择适合的方法求解.【典型例题】种类一、锐角三角函数的观点与性质1． (1) 以下图，在△ABC中，若∠ C＝ 90°，∠ B＝ 50°， AB＝ 10，则 BC的长为 ( )．A．10· tan50 ° B ． 10· cos50 ° C ． 10· sin50 ° D ．10 sin 50°(2)以下图，在△ ABC中，∠ C＝ 90°， sinA ＝3，求 cosA+tanB 的值．5(3)以下图的半圆中， AD是直径，且 AD＝3， AC＝2，则 sinB 的值等于 ________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，依据锐角三角函数的定义，能够用某个锐角的三角函数值和一条边表示其余边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，能够用比率系数k 表示各边．(3)要求 sinB 的值，能够将∠ B 转变到一个直角三角形中．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其余三角函数值时，常用的方法是：利用定义，依据三角函数值，用比率系数表示三角形的边长；(2)题求 cosA 时，还能够直接利用同角三角函数之间的关系式sin 2 A+cos 2 A ＝1，读者可自己试试达成．贯通融会：【变式】 Rt △ ABC中，∠ C=90°， a、 b、 c 分别是∠ A、∠ B、∠ C 的对边，那么 c 等于 ( )(A) acosA bsin B(B)a b(D) (C)sin Bsin A种类二、特别角的三角函数值asin A bsin Ba b cosA sin B2．解答以下各题：(1)化简求值： tan60° tan45° sin 45°sin 30°； sin60° cos30° cos45°(2)在△ ABC中，∠ C＝ 90°，化简12sin A cos A ．．【总结升华】由第 (2) 题可获得此后常用的一个关系式：1± 2sin α cos α =(sin α± cos α ) 2．比如，若设 sin α +cos α＝ t ，则sin cos1(t 2 1)．贯通融会：【变式】若 sin 23sin，(2α，β为锐角)，求tan(2)的值.， cos233． (1) 以下图，在△ABC中，∠ ACB＝ 105°，∠ A＝ 30°， AC＝ 8，求 AB 和 BC的长；(2)在△ ABC中，∠ ABC＝ 135°，∠ A＝ 30°， AC＝ 8，怎样求 AB和 BC的长 ?(3) 在△ ABC中， AC＝ 17， AB＝ 26，锐角 A 知足sin A 12，怎样求BC的长及△ABC的面积？13若 AC＝ 3，其余条件不变呢?【思路点拨】第 (1) 题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B＝ 45°；过点C 作 CD ⊥ AB 于 D，则 Rt △ ACD是可解三角形，可求出 CD的长，从而 Rt △ CDB可解，由此得解；第 (2) 题的条件是“两角一对边” ；第 (3) 题的条件是“两边一夹角” ，均可用近似的方法解决．种类三、解直角三角形及应用4．以下图， D 是 AB上一点，且 CD⊥ AC于 C，S△ACD: S△CDB 2 : 3 ， cos DCB 4，5AC+CD＝ 18，求 tanA 的值和 AB 的长．专题总结及应用一、知识性专题专题 1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考察多以选择题、填空题为主．例 1 如图 28－ 123 所示，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， BC＝ 1，AB＝ 2，则以下结论正确的选项是()A ． sin A＝3B ．tan A＝122C． cosB＝3D． tan B＝ 3 2例 2 在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， cosA＝3,则 tan A 等于() 5A ．3B ．4C．3D．4 5543专题 2特别角的三角函数值【专题解读】要熟记特别角的三角函数值．例 4计算|－3|＋2cos 45°－(3 － 1)0．例 5计算－ 1 ＋9 ＋ (－ 1)2007－ cos 60°．2例 6计算|－ 2 |＋ (cos 60°－ tan 30° )0＋8 ．131例 7计算－ (π－ 3.14)0－ |1－ tan 60° |－.232专题 3锐角三角函数与有关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其余知识综合起来运用，考察综合运用知识解决问题的能力.例 8如图28－124所示，在△ ABC中，AD是BC边上的高，E为AC4边的中点， BC＝ 14， AD＝ 12， sin B＝．(1)求线段 DC 的长；(2)求 tan∠EDC 的值 .例 9 如图 28－ 125 所示，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的高， tan B＝ cos∠DAC .(1)求证 AC＝ BD ；12(2)若 sin C＝，BC＝12，求AD的长．例 10 如图 28－ 126 所示，在△ ABC 中，∠ B＝ 45°，∠ C＝ 30°， BC＝ 30＋30 3 ，求 AB 的长．专题 4用锐角三角函数解决实质问题【专题解读】增强数学与实质生活的联系，提升数学的应企图识，培育应用数学的能力是现在数学改革的方向，环绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐渐成为命题的热门，其主要种类有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑丈量问题、高度丈量问题等，解决各种应用问题时要注意掌握各种图形的特色及解法．例 13如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去丈量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点 A 处观察到对岸 C 点，测得∠ CAD＝45°，又在距 A 处 60 米远的 B 处测得∠ CBA＝ 30°，请你依据这些数据算出河宽是多少 ?(结果保存小数点后两位 )例 14如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的 A 点处发现海中的 B 点有人求救，便立刻派三名救生员前往救援． 1 号救生员从 A 点直接跳入海中； 2 号救生员沿岸边(岸边能够当作是直线)向前跑到 C 点再跳入海中； 3 号救生员沿岸边向前跑300 米到离 B 点近来的 D 点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是 6 米／秒，在水中游泳的速度都是 2 米 /秒．若∠ BAD ＝ 45°，∠ BCD＝ 60°，三名救生员同时从 A 点出发，请说明谁先抵达救援地址B．(参照数据 2 ≈， 3≈ 1.7)例 15 如图 28－ 133 所示，某货船以 24 海里 /时的速度将一批重要物质从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在它的北偏东 60°方向上，该货船航行 30 分钟后抵达 B 处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在 C 岛周围 9 海里的地区内有暗礁，若货船持续向正东方向航行，该货船有无触礁危险 ?试说明原因．例 16如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距 8 米的 A， B 两处测得 D 点和 C 点的仰角分别为45°和 60°，且 A，B，F三点在一条直线上，若BE＝ 15 米，求这块广告牌的高度．( 3 ≈，结果保存整数 )例 17如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD ＝，坝高 4 m，背水坡的坡度是1： 1，迎水坡的坡度是1：，求坝底宽BC.例 18如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝30m，某人在点A 处测得塔底 C 的仰角为20°，塔顶 D 的仰角为23°，求这人距CD 的水平距离 AB． (参照数据： sin 20°≈，cos 20°≈，tan 20°≈， sin 23°≈，cos23°≈，tan 23°≈ 0.424)二、规律方法专题 专题 5公式法【专题解读】本章的公式好多，娴熟掌握公式是解决问题的重点．1 sin2例 19 当 0°＜ α＜90°时，求的值．cos三、思想方法专题 专题 6类比思想【专题解读】 求方程中未知数的过程叫做解方程， 求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形， 所以对解直角三角形的观点的理解可类比解方程的观点． 我们能够像解方程 (组 )同样求直角三角形中的未知元素．例 20 在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 a＝ 5 ， b2＝15，解这个直角三角形．2．专题 7 数形联合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数” ，二者奇妙联合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一．例 21 如图 28－ 137 所示，已知∠ α的终边 OP ⊥ AB ，直线 AB 的方程为 y ＝－3 x ＋ 3 ，则 cos α等于()33A ．12B ．2 2C ．33D ．专题 8分类议论思想【专题解读】当结果不可以确立，且有多种状况时，对每一种可能的状况都要进行议论．例 22一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在 A 的北偏东45°方向上还有一个加油站 C， C 到高速公路的最短距离是30 km ， B， C 间的距离是60 km ．要经过 C 修一条笔挺的公路与高速公路订交，使两路交错口P 到 B，C 的距离相等，求交错口P 与加油站 A 的距离． (结果可保留根号 )专题 9转变思想例 24如图28－140所示，A，B两城市相距100 km ．现计划在这两座城市中间修建一条高速公路(即线段 AB)，经丈量，丛林保护中心P 在 A 城市的北偏东30°和 B 城市的北偏西45°的方向上．已知丛林保护区的范围在以P 点为圆心， 50 km为半径的圆形地区内．请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区．为何?(参考数据： 3 ≈， 2 ≈ 1.414)例 25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图 28－ 141 所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为 12 mm 的横格纸中，恰巧四个极点都在横格线上．已知α＝ 36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题． (结果保存整数；参照数据： sin 36°≈ 0．6，cos 36°≈0． 8， tan 36°≈ 0.7)例 26 如图 28－ 142 所示，某居民楼 I 高 20 米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离 CM 为 2 米，窗户 CD 高 1． 8 米．现计划在 I 楼角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I 楼全部住户的采光，新建Ⅱ楼最高只好盖多少米?。
锐角三角函数讲义
教育学科教师辅导讲义课题三角函数教学内容锐角三角函数新知：⑴三个比值与B点在α∠的边AM上的位置无关；⑵三个比值随α∠的变化而变化，但α∠（00﹤α∠﹤900）确定时，三个比值随之确定；比值ABBC，ABAC，ACBC都是锐角α的函数比值ABBC叫做α∠的正弦(sine)，sinα=ABBC比值ABAC叫做α∠的余弦(cosine)，cosα=ABAC比值ACBC叫做α∠的正切(tang e nt)，tanα=ACBC（3）注意点：sinα，cosα，tanα都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写。
强化读法，写法；分清各三角函数的自变量和应变量。
1、三角函数的定义在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.则有sinA＝斜边的对边A∠cosA斜边的邻边A∠tanAAA∠=∠的对边的邻边明确：锐角的三角函数值的范围：0＜sinα＜1，0＜cosα＜1.例1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3,（1）求∠A的正弦、余弦和正切.（2）求∠B的正弦、余弦和正切.（明确：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1）练一练：1、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，•根据勾股定理有公式a2+b2=c2，根据CBA三角函数的概念有sinA=ac，cosA=bc，sin2A+cos2A=2222222a b a bc c c++==1，sincosAA=ac÷bc=ab=tanA，•其中sin2A+cos2A=1，sincosAA=tanA可作为公式来用．例如，△ABC中，∠C=90°，sinA=45，求cosA，tanA的值．解法一：∵sin2A+cos2A=1；∴cos2A=1－sin2A=1－（45）2=925．∴cosA=35，tanA=sincosAA=45÷35=43．解法二：∵∠C=90°，sinA=45．∴可设BC=4k，AB=5k．由勾股定理，得AC=3k．根据三角函数概念，得cosA=35，tanA=43．运用上述方法解答下列问题：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，求cosA，tanA的值；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，，求sinA，tanA的值；（3）Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=12，求sinA，cosA的值；（4）∠A是锐角，已知cosA=1517，求sin（90°－A）的值．3．已知tan2α－（）tanα，求锐角α的度数．4．如图，已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．（1）试说明：S△ABC=12absinC；（2）若a=30cm ，b=36cm ，∠C=30°，求△ABC 的面积．5．求下列各式的值：（1）2sin30°－3cos60°+tan45°； （2）cos 270°+cos45°·sin45°+sin 270°；（3）3tan30°－2tan45°+2cos30°； （4）2cos30°+5tan60°－2sin30°；22cos 60(5)2tan 60;1sin 60︒+︒-︒ sin 301(6).1cos30tan 30︒++︒︒6．已知3是方程x 2－5xsin α+1=0的一个根，α为锐角，求tan α的值．7．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB•的值．bABCa┌c有关三角函数的计算小结：Sin α，tan α随着锐角α的增大而增大； Cos α随着锐角α的增大而减小．1．如图，已知直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，它的解析式为y=－3x+3，角α的一边为OA ，另一边OP ⊥AB 于P ，求cos α的值．2．如图，AB 是直径，CD 是弦，AD ，BC 相交于E ，∠AEC=60°． （1）若CD=2，求AB 的长；（2）求△CDE 与△ABE 的面积比．解直角三角形：(如图)在⊿ABC 中，∠C=900，（1）.已知a,b.解直角三角形(即求：∠A ，∠B 及C 边) （2）. 已知∠A ，a.解直角三角形 （3）.已知∠A ，b. 解直角三角形 （4） 已知∠A ，c. 解直角三角形四 解直角三角形（△ABC 中，∠C ＝90°，每小题6分，共24分）： 1．已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B 、a 、b ．解：2．已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B 、b 、c . 解：. .3．已知：c ＝26-，a ＝3－1 ， 求∠A 、∠B 、 b .解：4．已知：a ＝6，b ＝23，求 ∠A 、∠B 、c .解：五 在直角三角形ABC 中，锐角A 为30°，锐角B 的平分线BD 的长为8cm ，求这个三角形的三条边的长．解：三 计算题（每小题6分，共18分）：1．tan 30°cot 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45°解：2．sin 266°－tan 54°tan 36°＋sin 224°； 解：；3．οοοοοοο50cos 40sin 0cos 45cot 30cos 330sin 145tan 41222-+-+．解：。
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锐角三角函数知识点一：锐角三角函数1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。
2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin 。
3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos 。
4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan 。
sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。
考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（ ）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。
3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB= = ______。
4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。
5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ）A 、ncosBB 、1n cosB C 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。
（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。
6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。
7、如图（1），∠α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一个点P （3，4），则sin α=______8、如图（2）所示，在正方形网格中，sin ∠AOB 等于（ ）A 、5B 、25 C 、12 D 、2 9、如图（3），在ABC △中，90ACB ∠=o ，CD AB ⊥于D ，若23AC =，32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ）A 、2B 、22C 、63D 、3310、如图（4），直径CD 为10的⊙A 经过点C (0，5)和点O (0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( ).注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
A 、12B 、34C 、3D 、4511、如图（5），A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ）A 、12B 、13C 、14D 、2412、如图（6），菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2。
图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6）13、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=35，点D 在BC 边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD 的正切值。
14、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。
15、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠BCD=90°，AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2。
（1）求证：DC=BC（2）E 是梯形ABCD 内一点，F 是梯形ABCD 外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，是判断△ECF 的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值。
【知识点二】 30°、45°、60°的三角函数值三角函数\锐角α30°45°60°sin α cos αtan α1考点一：利用特殊角的三角函数值进行计算 16、计算： （1）019(π4)sin 302---o （2）201()(32)2sin 3032--+︒+- （3）1182sin 45(2)3-⎛⎫+-π- ⎪⎝⎭o（4）2sin45°＋3cos30°－23 17、∠B 是Rt △ABC 中的一个内角，且sinB=23，则cos 2B=（ ） A 、21B 、23C 、22D 、21 18、在△ABC 中，a =3，b =4，∠C=60°，则△ABC 的面积为________。
19、Rt △ABC 中，∠C=90°，c =12，tanB=33，则△ABC 的面积为（ ） A 、363 B 、183 C 、16 D 、18 20、如图所示，在直角坐标系中，OP=4，OP 与x 轴正半轴的夹角为30°，则点P 的坐标为（ ）A 、（2、3-B 、（32）C 、（2，23D 、（32）21、已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA=3APO=30°，则⊙O 的半径长为_______。
22、在菱形ABCD 中，已知其周长为16 cm ，较短对角线长为4 cm ，求菱形较小角的正弦值 和余弦值。
23、如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限内，点B 的坐标为（3，0），OA=2，∠AOB=60°。
（1）求点A 坐标； （2）若直线AB 交y 轴于点C ，求△AOC 的面积。
考点二：已知一个特殊角的正、余弦值或正切值，求相应的锐角24、cosA = 22，A 为锐角，则A =________；2cos(α-100) = 1，则锐角α =________。
25、若tanA 的值是方程03)31(2=++-x x 的一个根，则锐角A=（ ）A 、30°或45°B 、30°或60°C 、45°或60°D 、60°或90°26、若2cosA －3=0，则锐角A=________。
27、在Rt △ABC ，∠C=90°，515A 等于（ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30°28、在△ABC 中，锐角A ，B 满足（32+│cosB -3│=0，则△ABC 是（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、等腰直角三角形D 、直角三角形29、若∠B 是Rt △ABC 的一个内角，sinB=3，则cos 2B的值是（ ）A 、12B 2C 、3D 3【知识点三】锐角三角函数的性质考点一：锐角三角函数的增减性1、当0°＜α＜90°时，sin α和tan α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
2、锐角三角函数的取值范围：0＜sin α＜1，0＜cos α＜1，tan α＞0。
30、当锐角∠A ＞45°时，sin A 的值为（ ）A 、大于22B 、小于22C 、小于32D 、大于3231、当锐角A 的cos A ＞22时，∠A 的值为（ ） A 、小于45° B 、小于30°C 、大于45°D 、大于30°32、当锐角∠A ＜60°时，tan A 的值为（ ）A 3B 3C 、大于3D 333、已知sin α≤21，则α的取值范围是（ ）A 、α＞30°B 、30°＜α＜90°C 、0°＜α＜30°D 、0°≤α≤30°34、比较大小：（1）cos 18°cos ° （2）tan 31°_________tan 32° （3）sin 30°________sin 89°35、比较大小：sin20°________sin25°；cos50°________cos70°。
考点二：锐角三角函数间的转换1、22sin cos 1A A +=2、若∠A 与∠B 互余，sin cos A B =3、sin cos =tan AA A36、当sinA=cosA 时，∠A=_______°。
37、已知α为锐角，且sin 54=α，则cos α=________。
38、cos （60°－β）=sin （________）。
（0°＜β＜90°） 39、若sin10°=cosA ，则锐角A=（ ）A 、10°B 、80°C 、10°或20°D 、不确定。