3.2.2 立体几何中的向量方法(二) (共20张PPT)
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
人教版高中数学必修四平面几何中的向量方法教学课件共20张PPT
（系2，数 思）想学如通思距想过离：向、方量程夹的运角思算等想，，问数研题形究；结几合的何思元想素，转之化间和的化归关的
（3数）学把方法运：算待结定系果数“法翻译”成几何元素。
作业：
1.课本P113 A组 1,2
人教版高中数学必修四 平面几何中的向量方法 教学课件共20张PPT
2020/9/19
1.向量加（减）（减）法的法则
D
C
A
B
2.
3.平面向量的基本定理
学生探索 尝试解决
C F
A
E
B
平面几何中的向量方法
欧氏几何的论证严谨优雅，给人以极大的美 感和享受，但有较大的思考难度，对人的 智力形成极大的挑战。而1967年笛卡尔的 《方法谈》及其附录《几何法》发表，引 入了坐标，解析几何学建立，为数学提供 了一种新工具；18世纪末，挪威测量学家 维塞尔把坐标平面上的点用向量表示，并 把向量的几何表示用于研究几何问题，为 我们找到了一个更便捷的工具。
简述：形到向量 向量的运算 向量或数到形
2020/9/19
AR=RT=TC即R,T为AC的三等分点 ，我们只要证出
D
F
C
向量AR还可以怎么构E R
T
造呢？
A
B
解：
D
F
C
ER
T
A
B
D
F
C
ER
T
A
B
线，
故AT=RT=TC
练习
分析：
A
N
P
B
C
反思小结 观点提炼
课件11：§3.2立体几何中的向量方法
例题解析 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中， 以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的 夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的 对角线的长与棱长有什么关系？
D1 A1
D A 图1
C1 B1 C B
解：如图1，设
AB AA1 AD 1 ， BAD BAA1 DAA1 60.
P
b
O a
这样，点O与向量 a,b 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 内的任意一点.
除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
探究点2 平面的法向量
n
b
P
O
a
平面的法向量：如图，直线 l ，取直线l的方向向
量 a ，则向量 a 叫做平面 的法向量 .
以及一个方向确定．在直线l上取点A和 a ，a 可
以作为l的方向向量，借助点A和 a 即可确定直线 l的位置，并能具体表示出直线l上的任意一点．
2．如何理解平面的法向量？ (1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
3．如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用？ (1)可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间 直线、平面间的平行、垂直等位置关系． (2)可以利用它们表示直线与平面所成的线面角． (3)可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离 问题．
2ab
例3 如图,一块均匀的正三角形面的钢板所受重力为500N，
在它的顶点处分别受力F1, F2 , F3 ，每个力与同它相邻的三角 形的两边之间的夹角都是60o，且 F1 F2 F3 200N .这 块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多
3.2--立体几何中的向量方法(全)ppt课件
PB (1,1,1)
故PB DE 0 1
DE 1
(0,1 2
0
,1) 2
P
22 所以PB DE
F
E
由已知 EF PB,
且EF DE E,
所以PB 平面EFD A
X
D
C
Y
B
30
第30页，共70页。
例2. 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方
形, PD 底面ABCD, PD DC ,点E是PC的中点,
A
证1 立体几何法
M
B
D
N C
MN就是异面直线AB与CD的公垂线， 故异面直线AB与CD的距离就是MN.
26
第26页，共70页。
例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证2 向量法
A
ＭＮ＝MA AD DN
M
1 AB AD 1 DC
⑴设平面的法向量为 n ( x, y,
r 习惯上取n
z);
(
x,
y,1)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
6
第6页，共70页。
z
作EF PB交PB于点F . 2 求证 : PB 平面EFD.
证2：立体几何法
P
PD 面ABCD
BC
面ABCD
PD PC
BC BC,
E
PD PC P
【高中课件】高中数学人教A版选修213.2立体几何中的向量方法2课件ppt.ppt
变式：
B'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
C' A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
C
B
A
中小学课件站
小结
1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问 题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同 时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的 定理.
z
D!
设正方体的棱长为1,则可求得
A!
M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),
C! N B! M
A1(1,0,1),B(1,1,0).于学是科网
MN
(1 2
, 0,
1) 2
D
设平面A1BD的法向量是 n 则 n DA1 0且n DB 0, 得
(x,
x
x
从而证明平面A1BD // 平面CB1D1.
中小学课件站
例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD得 交点,G为CC1的中点,求证A1O⊥平面GBD
D!
证明:设A1B1 a, A1D1 b, A1A c,则 A!
C! B!
a b c ,a b 0,b c 0,a c 0. ∵
y, z) A
z x y
0 0
C y
B
取x=1,得y=-1,z=-1, ∴ n (1, 1, 1)
又 MN n ( 1 , 0, 1 ) (1, 1, 1) 0,∴ MN ⊥ n 22
∴ MN ∥ 平面A1BD 中小学课件站
立体几何中的向量方法2-PPT精选
2 2x
x
①
∵ x2 y2 z2 1 ②∴由①②得 x 1 3
∴平面 ABC 的单位法向量为(1， 2，2）或( 1，2， 2）.
3 33
33 3
思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,
BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
分析:
z
若用几何法本题不太好处
2
x
4
y
2
0
r n
1 (
1 ,
,1)
xD
C
d|nv3 nvB u3uEur| 21111
F A
评 注 :
E
B
ry
若 平 面 的 斜 线 AO交 于 点 O,e是 单 位 法 向 量 ,
uuur r
则 A到 平 面 的 距 离 为 d|AOe|
作业:课本 P120 练习 2,3 P121 习题 3
ur
设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),
1答案
方法小结
思 BC考=题2.如,求图二,P面A角⊥平A-面PBA-BCC的,A余C⊥弦B值C.,zPA=AC=1,
解:建立坐标系如图,
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
y
uuur AP
=(0,0,1),
co s A 1A C |u A u A A u u A r 11 ||A u A C u C u r|1 3
sinA1AC
6 3
A 1HA1A si nA 1AC 36∴ 所求的距离是
6. 3
如何用向量法求点到平面的距离?
立体几何中的向量方法(二) PPT
D! A!
D A
N C! B! M
C B
例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD
法1:建立如图所示的空间直角坐标系.
z
D!
设正方体的棱长为1,则可求得
A!
M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),
C B
即 可用 与 线性表示,故 与 是共面向量,∴MN∥平面A1BD
例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD得 交点,G为CC1的中点,求证A1O⊥平面GBD
证明:设
D!
则 A!
C! B!
G
D
O A
C B
小结
1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问 题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同 时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的 定理.
立体几何中的向量方法( 二) PPT
2020/8/17
用向量运算处理平行关系
用向量运算处理垂直问题
典型例题
例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD
分析:证明线面问题,可利用三 种方法:一是证明 与平面 A1BD的法向量垂直;二是在 平面A1BD内找一向量与
C! N B! M
A1(1,0,1),B(1,1,0).于是
设平面A1BD的法向量是
则
得
D
A x
C y
B
取x=1,得y=-1,z=-1, ∴
例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD
高中数学 3.2.2立体几何中的向量方法(二)课件 新人教A
设点F的坐标为(x, y, z),则PF (x, y, z 1)
因为PF k PB 所以( x, y, z 1) k(1,1, 1)
Z
P
(k,k,k)
即x k, y k, z 1 k
F
E
因为PB • DF 0
所以(1,1,1) • (k, k,1 k)
k k 1 k 3k 1 0A 所以k 1 F (1，1，2) X
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
rr
(3) , 的夹角为， 则cosθ = cos < u,v >
u
v
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
P
(2)求证：PB 平面EFD
6 1
3
1 2
所以EFD 60o,即二面角 C PB D的大小为 60o.
例3、在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中，
ABC 90, SA 平面ABCD, SA AB BC 1,
AD 1 .求平面SCD与平面SBA所成的二面角的
2
z
正切值.
y
S
B
A
D
C x
A B C D 练1.在长方体ABCD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
F
E
D A
C B
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
P
(2)求证：PB 平面EFD
选修2-1立体几何中的向量方法(二)-空间角
异面直线所成的角
rr 设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b 若两直线 l, m所成的角为 (0 ≤ ) , 则
2r r
则cos cos a, b
rr
ab
l
r r ab
l
a
b
m
a bm
2020/4/17
线面角
设直线l的方向向量为ar ，平面α的法向量为ur ，且直线l与
平面α所成的角为θ(0 ≤θ≤π),则
rr rr ⑵ a, b＝b, a .
r b
rA
a
O
r
B
b
rr ⑶如果 a, b
r ,则称 a
r 与b
r 垂直,记为 a
r b
.
2
2020/4/17
两个向量的夹角
rr rr
已知空间两个非零向量 a, b ,则 a, b
rr
叫做 a, b 的夹角.
即
rr cosa, b
rr ab rr
.
ab
2020/4/17
2020/4/17
ur
vr
α,β的夹角为θ，
cos
|
ur ur
vr || vr
|
2020/4/17
ur vr
, 的夹角为，
cos
|
ur vr ur || vr
|
2020/4/17
例1 (课本改编题） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是 PC的中点.
2r r
rr au
sin cos a, u r r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱau
l
u
立体几何中的向量方法PPT教学课件
CD中点，求证：D1F u平uur面AuuDurE uuuur 证明：设正方体棱长为1，以DA，DC,DD1为单位正交
基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：
uuur DA
(1,
0,
uuur 0)，DE
(1,1,
,
1)
z
D1
C1
2 设平面ADE的一个法向量
A1
B1
为nr=r(x，uuuyr，z) r uuur 则由n DA 0，n DE 0得
（ x，y，z）g(2, 2,1) 0，
是惟一的。
（x，y，z）g(4,5,3) 0,
即24xx
r n
(
1
2y z 0 , 取z 5y 3z 0
, 1,1),
|
r n
|
3
1，得
x y
1 2 1
2
2
求平面ABC的单位法向量为
(1，- 2，2）
3 33
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2, c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x,
y,
z的量不惟一， 合理取值即
方程组
r nnr
• •
r ar b
0 0
aa12
x x
b1 y b2 y
c1z c2z
0 0
可。
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
后果：这种复杂的关系，在封建主之
间“造成一团乱麻般的权利和义务”， 使封建主之间不断发生争夺和混战
查理曼帝国的分裂 公元843 年
第8讲-立体几何中的向量方法(二)
第８讲立体几何中的向量方法（二)【高考会这样考】考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小.【复习指导】复习中要掌握空间角的类型及各自的范围,掌握求空间角的向量方法，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系.基础梳理1．空间的角（1）异面直线所成的角如图,已知两条异面直线ａ、ｂ,经过空间任一点Ｏ作直线ａ′∥a,b′∥b. 则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.①直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;②直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是0°的角.(3)二面角的平面角如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角.2．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，ｌ2的方向向量分别为m1、ｍ2,则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos<m1，m２＞|.(２)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m、ｎ,则直线ｌ与平面α的夹角θ满足sin θ=｜coｓ<m,n>|．(3）求二面角的大小①如图①，AＢ、ＣD是二面角α－l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ＝<错误!，错误!>．②如图②③，n1、n2分别是二面角α-l－β的两个半平面α、β的法向量，则二面角的大小θ满足coｓθ=cos<ｎ1，n2>或－cos<n1，n2>．三种成角(１）异面直线所成的角的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π； (2)直线与平面所成角的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；(３)二面角的范围是［0,π]. 易误警示利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n 1、ｎ2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量ｎ1、ｎ2的夹角是相等,还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点.双基自测1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝（1,0,1），b ＝（０，1,１)，那么,这条斜线与平面所成的角是（ ). A ．90° B.30° C.45° D.６0°解析 ∵c ｏs 〈a ，b 〉=错误!＝错误!,又∵〈ａ，ｂ〉∈[0，π]，∴〈a ,b 〉=60°. 答案 D2．已知两平面的法向量分别为ｍ＝(0，1,0)，n ＝(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为( ). A.４５° B.１35° C ．45°或135° D ．90°解析 cos 〈m ，n 〉=m·n|m ||n |＝错误!＝错误!,即〈m ，ｎ〉＝４5°,其补角为1３5°，∴两平面所成的二面角为45°或１3５°. 答案 C3．已知向量ｍ、n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量,若cos <m ,n >=－＼f(1,２），则ｌ与α所成的角为( )． A ．30° Ｂ．６0° Ｃ．120° D.１5０° 解析 设l 与α所成的角为θ，则ｓin θ=｜c ｏs 〈ｍ，ｎ〉|＝＼f （１,２）,∴θ＝3０°. 答案 A4．在如图所示的正方体A 1B １C 1Ｄ１－A ＢCD 中，E 是C 1D 1的中点,则异面直线D Ｅ与A Ｃ夹角的余弦值为( ).A.－错误! Ｂ.-错误!C. ＼f （1，2０)D. 错误!解析 如图建立直角坐标系D -xy ｚ,设ＤＡ=1，Ａ（１，0,0),C (0,1，0),E 错误!.则错误!＝(－1,1，０),错误!＝错误!，若异面直线ＤE 与ＡＣ所成的角为θ，cos θ=|cos 〈错误!,错误!〉|=错误!. 答案 D５.如图所示，在三棱柱ＡBC －Ａ１B 1C １中,AA 1⊥底面A ＢＣ,A Ｂ＝BC ＝AA 1，∠ABC =９０°，点E 、F 分别是棱ＡＢ、BB 1的中点,则直线E Ｆ和BC １所成的角是_＿______．解析建立如图所示的空间直角坐标系．设AＢ＝BＣ＝AA1＝2,则C1(2,0,２），E(0,1,０）,F(0，０,1)则错误!＝（0,-1,1)，错误!＝（２,0,2），∴错误!·错误!＝2，∴cｏs〈错误!，错误!〉＝错误!=错误!,∴EF和BC１所成角为60°.答案６0°考向一求异面直线所成的角【例１】►已知AＢＣD－A1Ｂ1Ｃ1Ｄ1是底面边长为1的正四棱柱,高AA1=2,求(1）异面直线BD与AB１所成角的余弦值；（２）四面体AB１D1C的体积.［审题视点］建立恰当的空间直角坐标系，用向量法求解,注意角的范围．解（１)如图建立空间直角坐标系A1-ｘyz，由已知条件:B(１，0,2)，D（0,1,2）,Ａ(０,0，2)，B１（1,0，0).则错误!=(-1,１,0），错误!=(1,0,-2)设异面直线BD与AB1所成角为θ,cosθ=|coｓ〈错误!，错误!〉|=错误!．(2)VAＢ1D1C=VＡBＣDＡ１Ｂ1Ｃ1Ｄ1-4VＣB１Ｃ1D１＝错误!.异面直线所成角范围是（0°,90°］，若异面直线a，ｂ的方向向量为m，ｎ,异面直线a,b所成角为θ,则cｏs θ=|coｓ〈m,n〉|.解题过程是：(1）建系;（2）求点坐标；(3)表示向量;(4)计算．【训练1】已知正方体ABCD-A１B1C１Ｄ1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与ＢC所成角的余弦值为_＿＿___．解析如图建立直角坐标系D-xyz,设ＤA＝１，由已知条件A(1,０,0),E错误!，B（1，1，0),Ｃ（0,1,０),错误!＝错误!,错误!=(－1,０，0)设异面直线AＥ与BC所成角为θ．cｏs θ＝|cos〈错误!，错误!〉|＝错误!=错误!.答案错误!考向二利用向量求直线与平面所成的角【例2】►如图所示，已知点Ｐ在正方体AＢCD－A′Ｂ′C′D′的对角线BD′上,∠PＤA＝6０°.（1）求DP与CＣ′所成角的大小；(２）求DP 与平面AA ′Ｄ′D 所成角的大小.[审题视点］ 转化为三角形内角求解不易，故考虑用向量法求解,注意向量夹角与直线与平面所成角的关系.解 如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D -ｘy ｚ.则错误!=(1,0，0），错误!=(0,0,１）．连接ＢD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′Ｄ中，延长DP 交B ′Ｄ′于H . 设错误!＝(m ,m,1)(m ＞0）,由已知〈错误!，错误!〉＝60°,即错误!·错误!＝|错误!||错误!|cos 〈错误!,错误!〉，可得2m =错误!.解得m =错误!，所以错误!＝错误!．（1)因为co ｓ〈错误!,错误!〉=错误!＝错误!，所以〈错误!,错误!〉＝45°，即D Ｐ与CC ′所成的角为4５°.(２)平面ＡＡ′D ′D 的一个法向量是错误!＝(0,1,0）．因为cos 〈错误!,错误!〉=错误!＝错误!， 所以〈错误!，错误!〉＝６0°,可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°．(1)异面直线的夹角与向量的夹角有所不同,应注意思考它们的区别与联系．(２)直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系.【训练2】已知三棱锥P －ABC 中,P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ,ＰA =AC =１2AB ,N 为A Ｂ上一点,A Ｂ＝４ＡＮ,M 、S 分别为ＰB 、BC 的中点． （１)证明：CM ⊥SN ;(2）求SN 与平面C ＭＮ所成角的大小.解:设P Ａ=１，以Ａ为原点，射线AB ,AC ,ＡP 分别为x ，ｙ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图.则P （0,0,１）,C （0,1,0），B （2，0,０），Ｍ错误!，Ｎ错误!,S 错误!. （1)证明:错误!=(1，-1,错误!)，错误!＝错误!,因为错误!·错误!=－错误!＋错误!＋0=0，所以ＣＭ⊥ＳN . （2)错误!＝错误!，设a ＝(x ,y ,ｚ)为平面ＣMN 的一个法向量，则错误!∴错误!取x =2,得ａ=(2,1,－2).因为｜cos 〈ａ，错误!〉|＝错误!＝错误!,所以S Ｎ与平面ＣMN 所成角为４5°.考向三 利用向量求二面角【例３】►如图,四棱锥P －ＡB ＣD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =６0°，AB =2AD ,ＰD ⊥底面ABCD .(1)证明：P A ⊥BD ;(2)若PD =AD ,求二面角Ａ-PB -C 的余弦值.[审题视点] 会判断法向量的方向，找准向量夹角与二面角是相等还是互补.(１)证明 因为∠D ＡB ＝6０°，ＡＢ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝错误!AD ．从而BD ２＋AD 2＝AB 2,故BD ⊥ＡD ．又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥P Ｄ．又ＡD ∩PD =D ．所以BD ⊥平面ＰA Ｄ．故ＰA ⊥ＢD ．(2)解 如图,以Ｄ为坐标原点,AD 的长为单位长，射线ＤＡ为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -ｘyz ，则A (1,0,0)，B （0，＼ｒ(3)，0)，Ｃ(－1，3，0）,P (0，0,１)．错误!=(－1,错误!,0),错误!=(０,错误!，-１)，错误!=(－1,０，０)．设平面ＰＡB 的法向量为ｎ=(x ,y ，z )，则错误!即错误!因此可取ｎ＝(错误!,1,错误!）．设平面PBC 的法向量为m ，则错误!可取m =(０,-１,－错误!)，则cos 〈m ，n 〉=错误!=-错误!．故二面角A -PB -C 的余弦值为－2＼r(7)7．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.【训练3】 如图,在四棱锥P －A ＢＣD 中,底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面A ＢCD ,A Ｐ＝A Ｂ=２，B Ｃ=22,E ,F 分别是AD ，PC 的中点. (1)证明：PC ⊥平面BEF ；(2)求平面BEF 与平面B ＡＰ夹角的大小.（1)证明 如图,以A 为坐标原点，AB ,ＡD ，ＡP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵ＡP =AB =２,ＢC =AD ＝２＼ｒ（2),四边形AB ＣD 是矩形，∴A ,B ,C ，D ，P 的坐标为A (0，0,０)，Ｂ(2，0，0)，C （2,２错误!,0)，D (0,２错误!,0），Ｐ(0，0,２).又E ，F 分别是AD ，ＰＣ的中点,∴E （0,错误!,0),F (１,２，1)．∴错误!＝(2，2错误!，－２）,错误!=(-1,错误!，１),错误!=(1,0,1）.∴错误!·错误!=-2＋４－2＝0，错误!·错误!＝2＋0－2=0.∴错误!⊥错误!,错误!⊥错误!∴PC ⊥BF ，ＰC ⊥EF .又BF ∩ＥF ＝F ，∴PC ⊥平面ＢE Ｆ． （2）解由(1)知平面ＢＥF 的一个法向量n １＝错误!＝(2，2错误!,－２)，平面ＢA Ｐ的一个法向量n 2＝错误!＝（0,2＼ｒ(2)，0), ∴n 1·n 2＝８．设平面BE Ｆ与平面ＢA Ｐ的夹角为θ，则cos θ＝｜ｃｏs 〈n 1,n 2〉|＝错误!=错误!＝错误!, ∴θ=4５°.∴平面ＢEF 与平面ＢAP 的夹角为４５°.阅卷报告——对法向量夹角与二面角大小关系认识不清导致失误【问题诊断】 立体几何是高考的重点和热点内容,而求空间角是重中之重,利用空间向量求空间角的方法固定,思路简洁，但在利用平面的法向量求二面角大小时,两个向量的夹角与二面角相等还是互补是这种解法的难点,也是学生的易错易误点．【防范措施】 正确判断法向量的方向,同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则相等．【示例】► 如图,四边形ABC Ｄ为正方形,ＰD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ,ＱA ＝A Ｂ＝＼ｆ（１,2)ＰD . （１)证明：平面PQC ⊥平面ＤCQ ； (２）求二面角Q －BP -C 的余弦值．实录 如图，以D 为坐标原点，线段ＤA 的长为单位长度，射线D Ａ为ｘ轴的正半轴建立空间直角坐标系Dx ｙｚ.（1)依题意有Q (1，1,0),C (0，0，１)，P （０，2,0）.则D Ｑ，→=(１,1,０)，错误!=(０,0,1)，错误!＝（1，－1,0）.所以错误!·错误!＝０,错误!·错误!=0.即PQ ⊥ＤQ ，PQ ⊥DC ．又D Ｑ∩ＤＣ=D ,故P Ｑ⊥平面DCQ . 又P Ｑ⊂平面PQ Ｃ,所以平面ＰQC ⊥平面ＤCQ .错因 如图平面BPC ,与平面B ＰQ 的法向量分别为n ＝（０,1,２),ｍ=(1,１,1)，设二面角Ｑ -BP -C 的大小为θ,则θ≠〈m ,n 〉,θ=π-〈m ，n 〉(２)依题意有Ｂ(1,0,1），错误!＝(1,0,0),错误!＝(-1,2，－1）．设ｎ=（x ，y ,z )是平面PB Ｃ的法向量,则 错误!即错误!令ｙ＝1，则n ＝(０,1,2）． 同理，设m 是平面ＰBQ 的法向量,则错误!可取m =（1，1,1）,所以cos 〈m ，n 〉=＼f(＼r （1５),５）．故二面角Q -ＢP -Ｃ的余弦值为错误!.正解 (1)见实录(２)依题意有B (１,0，1)，错误!＝(1，0,0),错误!＝(－1,2，－1)．设n ＝(x ,y ,z )是平面ＰＢC 的法向量，则错误!即错误!因此可取n ＝(0,－1,-2)．设ｍ是平面ＰBQ 的法向量,则错误!可取m =(1,1,1),所以co ｓ〈ｍ，n 〉＝－＼f(＼r(15)，5).故二面角QBPC 的余弦值为-错误!．。
高二数学立体几何中的向量方法2
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由 A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 H 在 AC上.
H A D1 A1 B1 C B C1
D
AC ( AB BC )2 1 1 2 cos 60 3
1 cosA1 AC 3 | AA1 | | AC | AA1 AC
2 2 2 2
1 x a 即 a 3 x 2(3 x cos ) 3 6 cos ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
2 2 2
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） 分析：面面距离 点面距离 过 A1点作 A1 H 平面 AC 于点 H . 解：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
夹角：
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设 AB AA1 AD 1，BAD BAA1 DAA1 60
并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等 于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以
确定棱长吗?
C
B
A
AB AD AA1 x ， BAD BAA1 DAA1 分析: 设 AC1 a ，
则由AC1 AB AD AA1
AC1 AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
2 2 2 2 a x y z 利用公式 a a 或
(其中 a ( x, y, z) ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
ab 两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos ； 2 a b au 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),sin ； 直线 l 与平面 2 a u uv 二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0 ≤ ≤ ), cos . u v
2
AC 3
AA1 AC AA1 ( AB BC ) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1.
6 sinA1 AC 3
6 A1 H AA1 sinA1 AC 3
6 。 ∴ 所求的距离是 3
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
BD b ， CD c ， AB d . 解：如图， AC a ， 化为向量问题 根据向量的加法法则 AB AC CD DB
C D B
进行向量运算
2
A 图3
d AB ( AC CD DB )
2
2
AC CD BD 2( AC CD AC DB CD DB )
a 2 c 2 b2 2 AC DB a 2 c 2 b2 2CA DB 于是，得 2CA DB a 2 b2 c 2 d 2
就是库底与水坝所成的二面角。 设向量 CA 与 DB 的夹角为 ，
2abcos a 2 b2 c 2 d 2 .
2
2
2
因此
所以
a 2 b2 c 2 d 2 cos . 2ab
回到图形问题
2 2 2 2 a b c d 库底与水坝所成二面角的余弦值为 . 2ab
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，
回到图形问题 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6 倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ 分析:
BD1 BA BC BB1
A1 B1 D D1
其中ABC ABB1 120， B1 BC 60
C1
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，
化为向量问题
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6
C D A 图3 B
其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
分析：由 AB ( AC CD DB ) 2
2Leabharlann AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB )
空间“距离”，“角度”，综合性 问题
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义。 （回到图形）