数学多选择结论习题10

数学多选择结论习题10
10.如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=BC=2AD ，点E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，连接AF 、CE 交于点M ，连接BM 并延长交CD 于点N ，连接DE 交AF 于点P ，则结论：①∠ABN=∠CBN ； ②DE ∥BN ； ③△CDE 是等腰三角形； ④； ⑤
，正确的个数有【 】 A.5个 B. 4个 C.3个 D.
2个
【答案】B 。

【解析】如图，连接DF ，AC ，EF ，
∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，且AB=BC ，
∴AE=EB=BF=FC 。

在△ABF 和△CBE 中，∵AB=CB ，∠ABF=∠CBE ， BF=BE ，
∴△ABF ≌△CBE （SAS ）。

∴∠BAF=∠BCE ，AF=CE 。

在△AME 和△CMF 中，∵∠BAF=∠BCE ，∠AME=∠CMF ，AE=CF ，
∴△AME ≌△CMF （AAS ）。

∴EM=FM 。

在△BEM 和△BFM 中，∵BE=BF ，BM=BM ， EM=FM ，∴△BEM ≌△
BFM （SSS ）。

∴∠ABN=∠CBN 。

结论①正确。

∵AE=AD ，∠EAD=90°，∴△AED 为等腰直角三角形。

∴∠
AED=45°。

∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°。

∴∠AED=
∠ABN=45°。

∴ED ∥BN 。

结论②正确。

∵AB=BC=2AD ，且BC=2FC ，∴AD=FC 。

又∵AD ∥FC ，∴四边形AFCD 为平行四边形。

∴AF=DC 。

又AF=CE ，∴DC=EC 。

则△CED 为等腰三角形。

结论③正确。

∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ，且EF=12
AC 。

∴∠MEF=∠MCA ，∠EFM=∠MAC 。

∴△EFM ∽△CAM 。

∴EM ：MC=EF ：AC=1：2。

设EM=x ，则有MC=2x ，EC=EM+MC=3x ，设EB=y ，则有BC=2y ，
在Rt △EBC 中，根据勾股定理得：
， ∴3x=y ，即x ：y=：3。

∴EM ：BE=：3。

结论④正确。

∵E 为AB 的中点，EP ∥BM ，∴P 为AM 的中点。

∴。

又∵，∴。

∵四边形ABFD 为矩形，∴。

又∵，
∴S。

∴。

结论⑤错误。

因此正确的个数有4个。

故选B。