浅谈解析几何中如何求轨迹方程
求轨迹方程的几种常用方法
求轨迹方程的几种常用方法求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有：1直接法：若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为( x, y )后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。
例1 ：在直角△ ABC中，斜边是定长2a (a 0)，求直角顶点C的轨迹方程。
解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB所在的直线为X轴，AB的中点0为坐标原点，过0与AB垂直的直线为y轴(如图).则有A ( a,0),B (a,0)。
设动点C为(x, y),••• | AC |2 |BC |2 |AB|2,a)2y2]2h(x a)2y2]24a2,即x2由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在，轨迹中应除去A、B两点,故所求方程为x2y2a2( x a )。
2•代入法(或利用相关点法)：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例2 :已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM : MB 1:2，求动点M的轨迹方程。
解：设 A (a,0) , B (0, b), M (x, y),一方面，. 另一方面,36 , M分AB的比为1,2评注：本例中，由于 M 点的坐标随着 A 、B 的变化而变化，因而动点 M 的坐标(x, y)可以用A 、B 点 的坐标来表示，而点 M 又满足已知条件，从而得到 M 的轨迹方程。
此外，与上例一样，求曲线的方程时， 要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。
3.几何法：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联 系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种 求轨迹方程的方法称作几何法。
解析几何求轨迹方程
例1：设圆()11:22=+-y x C ，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.变式1：已知C B A ,,是直线l 上的三点，切6==BC AB ，圆Q 切直线l 于点A ，又过C B ,作圆Q 异于直线l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.变式2：设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆4222=+y x 交于B A ,两点，P 是直线l 上满足1=⋅PB PA 的点，求点P 的轨迹方程.变式3：ABC ∆的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是a 2，边BC 上的高为b ，边BC 沿一条定直线移动，求ABC ∆外心的轨迹方程.例2：自抛物线x y 22=上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于R 点，求R 点的轨迹方程.变式4：已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F .（1）点P A ,满足2-=.当点A 在抛物线C 上运动时，求点P 的轨迹方程.（2）在x 轴上是否存在点Q 关于直线x y 2=的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.例3：过点()0,2-M 作直线l 交双曲线122=-y x 于B A ,两点，已知OB OA OP +=.求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.变式5：设椭圆方程为1422=+y x ，过点()1,0M 的直线l 交椭圆于点B A ,，O 是坐标原点，l 上的动点P 满足()OB OA OP +=21，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.例4：已知抛物线的方程为()022>=p py x ，过点()p P ,0的直线l 与抛物线相交于B A ,两点，分别过点B A ,作抛物线的两条切线21,l l ，记21,l l 交于点M .（1）证明：直线21,l l 的斜率之积为定值；（2）求点M 的轨迹方程.变式6：已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点()0,1-K 的直线l 与C 相交于B A ,两点，点A 关于x 轴的对称点为D .证明：点F 在直线BD 上.。
解析几何求轨迹方程的常用方法
解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔x ，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔x ，y 〕＝0。
4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，〔该点坐标满足某已知曲线方程〕，则可以设出P 〔x ，y 〕，用〔x ，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
例2： 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
求轨迹方程的基本步骤
求轨迹方程的基本步骤求轨迹方程是数学中的一个重要问题，它涉及到确定物体的运动路径。
下面将介绍求轨迹方程的基本步骤。
第一步：确定坐标系在求解轨迹方程之前，我们首先需要确定一个合适的坐标系。
坐标系可以是直角坐标系、极坐标系或其他合适的坐标系。
选择合适的坐标系有利于简化问题和计算。
第二步：确定物体的运动规律在求解轨迹方程之前，我们需要明确物体的运动规律。
物体可以做直线运动、曲线运动或其他形式的运动。
根据物体的运动规律，我们可以确定物体在不同时刻的位置和速度。
第三步：建立物体位置与时间的关系根据物体的运动规律，我们可以建立物体位置与时间的关系。
这个关系可以是一个方程或一组方程。
通过解这个方程或一组方程，我们就可以求解物体在不同时刻的位置。
第四步：根据物体位置与时间的关系求解轨迹方程在第三步中，我们建立了物体位置与时间的关系。
根据这个关系，我们可以求解轨迹方程。
轨迹方程可以是一个参数方程、一条直线方程或其他形式的方程。
根据具体的情况，我们可以选择合适的方法来求解轨迹方程。
第五步：验证轨迹方程的正确性在求解轨迹方程之后，我们需要验证轨迹方程的正确性。
可以通过将轨迹方程代入原物体的运动规律方程，检查是否满足物体的运动规律。
如果轨迹方程满足物体的运动规律，那么它就是正确的轨迹方程。
通过以上五个步骤，我们可以求解物体的轨迹方程。
求解轨迹方程在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
它可以帮助我们了解物体的运动规律，预测物体的轨迹，优化物体的运动路径等。
因此，掌握求解轨迹方程的方法是非常重要的。
希望本文所介绍的基本步骤能够对读者有所帮助。
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程六种常用技法轨迹方程探求是解析几何中根本问题之一，也是近几年来高考中常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于提醒问题内部规律及知识之间相互联系，动辄就是罗列一大堆坐标关系，进展无目大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结与归纳探求轨迹方程常用技法，对提高学生解题能力、优化学生解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程常用技法。
1．直接法根据条件及一些根本公式如两点间距离公式，点到直线距离公式，直线斜率公式等，直接列出动点满足等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．线段，直线相交于，且它们斜率之积是，求点轨迹方程。
解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，那么，设点坐标为，那么直线斜率，直线斜率由有化简，整理得点轨迹方程为练习：1．平面内动点到点距离与到直线距离之比为2，那么点轨迹方程是。
2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足点，求点轨迹方程。
3. 到两互相垂直异面直线距离相等点,在过其中一条直线且平行于另一条直线平面内轨迹是〔〕A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法通过图形几何性质判断动点轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹定义，如线段垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何一些性质定理。
例2．假设为两顶点，与两边上中线长之与是，那么重心轨迹方程是_______________。
解：设重心为，那么由与两边上中线长之与是可得，而点为定点，所以点轨迹为以为焦点椭圆。
所以由可得故重心轨迹方程是练习：4．方程表示曲线是〔〕A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦中点有关问题可用点差法，其根本方法是把弦两端点坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦中点坐标满足，且直线斜率为，由此可求得弦中点轨迹方程。
例3．椭圆中,过弦恰被点平分,那么该弦所在直线方程为_________________。
浅谈高中数学中轨迹方程的求解方法
２ 基 础 教 育 论 坛 ８
［ ０ ２年 第 ７期 ｊ ２１
所以ｌ ｌ １ ＝ｌ ．
又 Ｐ在半 径 上 ，
四 、 参 数 法 与 点 差 法
当动点 尸的坐 标 ，Ｙ 间的直接关 系不易建立 时 ，可适 当 之
地 选 取 中 间变 量 ｔ ，并 用 ｔ 示 动点 Ｐ 的坐 标 ，Ｙ 表 ，从 而 动点 轨
问题成为高考命题 的热 点 ，也是一大难点．作者对求轨迹方程 的 常用方法做了归纳和总结 ，希望对读者有所帮助．
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Ｃ的圆心轨迹是以 ，Ｆ为焦点的双曲线，ａ ２ ＝、 ，ｂ ． ＝ ，ｃ ／ ＝１
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【 点评 】 本题 以平 面 向量为载体 ，考查 抽象 函数 与三角函数
的复合 型不 等式的解集 ，分类讨论、 由图定数是解题 的关键． 例 ５ 已知 某 质点 在运 动 过 程 中 ，热量 Ｑ随位移 变 化的规律 是 Ｑ （ ＝似 ＋ｃ ） ＋６ ＋ｄ ，其图象关
内容新、结构新 的特点 ，具有一定 的创新性．这类问题在高考 中 常常 以选择题 、填空题 的形式 出现 ，能有效 考查学生 的观察能 力 、直觉思维 能力 、合情推理能力和综合 能力 ． 排除法 、特殊值
／ 、／ ／ ｏ二 位 ／ ＼ ． ｕ ＼
图４
法 、数形结合法常常是解决这类问题的有效途径．
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求轨迹方程的思路,方法和对应的题型
求轨迹方程的思路,方法和对应的题型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求轨迹方程是解析几何中的一个重要内容，它是描述一个物体在运动过程中的路径的数学方法。
在数学中，求轨迹方程的过程通常需要经过一系列的思路和方法，且会涉及到不同类型的题目。
本文将介绍求轨迹方程的思路、方法以及对应的题型，希望对读者有所帮助。
一、思路在求解轨迹方程时，我们首先需要明确物体的运动规律和路径，然后通过数学方法来描述它的运动状态。
通常来说，我们可以采用以下思路来求解轨迹方程：1. 分析运动规律：首先我们需要分析物体的运动规律，包括其运动方向、速度和加速度等。
了解物体的运动规律有助于我们更好地建立数学模型。
2. 建立数学模型：根据物体的运动规律，我们可以建立数学模型，一般是通过对其位置、速度和加速度等数据进行分析得到。
建立好数学模型后，我们就可以利用数学方法来求解轨迹方程。
3. 求解轨迹方程：根据建立的数学模型，我们可以利用数学方法如微积分、几何等来求解轨迹方程。
最终得到的轨迹方程可以描述物体在运动过程中的路径。
4. 验证结果：最后我们还需要验证求解得到的轨迹方程是否准确，通常可以通过数学推导和实际运动情况进行验证。
三、对应的题型在求解轨迹方程的过程中，我们会遇到不同类型的题目，包括但不限于以下几种：1. 直线运动问题：给定物体在直线运动过程中的速度和加速度，求解其轨迹方程。
2. 圆周运动问题：给定物体在圆周运动过程中的角速度和半径，求解其轨迹方程。
3. 曲线运动问题：给定物体在曲线运动过程中的运动规律，求解其轨迹方程。
4. 三维空间运动问题：给定物体在三维空间中的运动规律，求解其轨迹方程。
第二篇示例：求轨迹方程是数学中一个常见的问题，涉及到函数、几何和代数等多个方面的知识。
在解决这类问题时，我们需要掌握一定的思路和方法，同时要能灵活应用这些知识来解决具体的题目。
本文将介绍求轨迹方程的思路、方法以及几种常见的题型，并给出相应的解题思路和步骤。
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
高考解析几何轨迹问题解题策略
高考解析几何轨迹问题解题策略
一、轨迹方程的求法
1. 直接法：直接法就是不设出动点的坐标，而是根据题设条件，直接列出轨迹上满足的点的几何条件，并从这个条件对方程进行整理，得到轨迹方程．
2. 定义法：定义法就是根据已知条件，结合所学过的圆锥曲线的定义直接写出曲线的方程．
3. 参数法：参数法是指先引入一个参数，如时间、速度等，根据已知条件，写出参数方程，再消去参数化为普通方程．
4. 交轨法：交轨法是指利用圆锥曲线统一定义，通过求交点坐标来求轨迹方程的方法．
二、轨迹问题的解题策略
1. 转化化归：将待求问题转化为已知问题，将复杂问题转化为简单问题，将抽象问题转化为具体问题，这是解决轨迹问题的基本策略．
2. 设而不求：在轨迹问题中，设点而不求出点的坐标是常用的一种解题策略．
3. 整体代换：在轨迹问题中，有时通过整体代换可以简化运算．
4. 坐标转移：在轨迹问题中，有时可以通过坐标转移来转化问题．
5. 逆向思维：在轨迹问题中，有时通过逆向思维可以简化运算．。
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结一、直接法若动点运动的条件是一些较为明确的几何量的等量关系，而这些条件易于表达成关于x，y的等量关系式，可以较为容易地得到轨迹方程（即遵循求轨迹方程的一般程序），这种方法我们一般称之为直接法.用直接发求轨迹方程一般都要经过建系、设点、列式、化简、验证这五个环节.二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本而常见轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）已从定义来确定表示其几何特征的基本量而直接写出其轨迹方程，或从曲线定义来建立等量关系式从而求出轨迹方程．三、代入法若动点运动情况较为复杂，不易直接表述或求出，但是能够发现形成轨迹的动点P（x,y）随着另一动点Q （X,Y）的运动而有规律的运动，而且动点Q的运动轨迹方程已经给定或极为容易求出，故只要找出两动点P，Q之间的等量关系式，用x，y表示X,Y再代入Q的轨迹方程整理即得动点P的轨迹方程，称之为代入法，也叫相关点法.四、参数法若动点运动变化情况较为复杂，动点的纵坐标之间的等量关系式难以极快找到，可以适当引入参数，通过所设参数沟通动点横坐标之间的联系，从而得到轨迹的参数方程进而再消去所设参数得出轨迹的（普通）方程，称之为参数法.点悟：注意落实好图形特征信息提供的解题方向，前提是自信，实力是运算过关.本题还可有一些较为简捷的解法，不妨试试五、交轨法若所求轨迹可以看成是某两条曲线（包括直线）的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，也可引入参数来建这两条动曲线之间的联系，再消参而得到轨迹方程，称之为交轨法.可以认为交轨法是参数法的一种特殊情况.点悟：交轨是一种动态解题策略，注意特殊或极限情况处理. 六、几何法认真分析动点运动变化规律，可以发现图形明显的几何特征，利用有关平面几何的知识将动点运动变化规律与动点满足的条件有机联系起来，再利用直接法得到动点的轨迹方程，称之为几何法.七、点差法涉及与圆锥曲线中点弦有关的轨迹问题时，常可以把两端点设为(x1,y1),(x2,y2)，代入圆锥曲线方程，然后作差法求出曲线的轨迹方程，此法称之为点差法，也叫平方差法.运用此法要注意限制轨迹方程中变量可能的取值范围.点悟：上述方法是通过设直线AB的方程引入参数b得到动点M 轨迹的参数方程再消去参数得到普通方程，注意参数的取值范围，因而轨迹是一条线段.本题较为简捷的求法还可考虑点差法：。
求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程的五种方法有五种方法可以求解轨迹方程，分别是：1.参数方程法2.一般方程法3.极坐标方程法4.隐函数方程法5.线性方程组法接下来将对这五种方法进行详细解释。
1.参数方程法：参数方程法是指将坐标轴上的点的位置用一个参数表示，通过参数的变化来表示轨迹。
例如，一个点在x轴上运动，其速度为v，经过时间t后的位置可以用参数方程表示为x = vt。
参数方程法可以很方便地描述物体的运动轨迹，特别适用于描述曲线的参数方程。
2.一般方程法：一般方程法是指将轨迹上的点的位置用一般方程表示。
例如，对于一个圆形轨迹x^2+y^2=r^2，其中r为半径，可以通过该一般方程来描述圆的轨迹。
一般方程法可以描述各种曲线轨迹，但是求解过程可能较为繁琐。
3.极坐标方程法：极坐标方程法是指将轨迹上的点的位置用极坐标系表示。
极坐标系由极径和极角两个参数组成，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点在极坐标系中的方向角度。
通过给定极径和极角的值可以唯一确定一个点的位置。
例如，对于一个以原点为中心的圆形轨迹，可以用极坐标方程表示为r=R，其中R为圆的半径。
极坐标方程法适用于描述具有对称性的轨迹，如圆形、椭圆形等。
4.隐函数方程法：隐函数方程法是指将轨迹上的点的位置用隐函数方程表示。
隐函数方程是一个含有多个变量的方程，其中至少有一个变量无法用其他变量表示。
通过给定其他变量的值，可以计算出不能用其他变量表示的变量的值，从而确定轨迹上的点的位置。
例如，对于一个抛物线轨迹y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以根据给定的x的值求解出y的值，从而确定轨迹上的点的位置。
5.线性方程组法：线性方程组法是指将轨迹上的点的位置用线性方程组表示。
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数是轨迹上的点的坐标。
通过求解线性方程组可以得到轨迹上的点的坐标。
线性方程组法适用于描述由多个轨迹组成的复杂图形，如多边形等。
以上就是求解轨迹方程的五种方法，分别是参数方程法、一般方程法、极坐标方程法、隐函数方程法和线性方程组法。
解析几何中求曲线轨迹方程的常见方法总结(学生用)
解析几何中求曲线轨迹方程的常见方法总结一．直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式，化简即得动点轨迹方程。
它的基本步骤是建系、设点、列式、代换、化简、证明。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
习题：1.（2011新课标全国理）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0-A ，B 点在直线3-=y 上，M 点满足,,//BA MB AB MA OA MB ⋅=⋅M 点的轨迹为曲线C ，求C 的方程。
2.（2010年北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1-A 关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与直线BP 的斜率之积等于31-，求动点P 的轨迹方程。
3.（2012四川理）如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2MBA MAB∠=∠，设动点M 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程；y xB A O M4.(2012年江西)已知三点()0,0O ，()1,2-A ，()1,2B ，曲线C 上任意一点()y x M ,满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++ ，求曲线C 的方程；二．定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本曲线的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，求出待定方程中的常数，即可得到轨迹方程例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。
变式：1.方程222(1)(1)|2|x y x y -+-=++表示的曲线是 （ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．线段D ．抛物线2.一动圆与已知圆1Q ：()1322=++y x 外切，与圆2Q ：()813-22=+y x 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程。
三、代入法：代入法又称转移法或相关点发，即如果点P 的运动轨迹或所在曲线已知，而点Q 与点P 之间的坐标又可以建立某种关系，则借助点P 的轨迹可以得到点Q 的轨迹 转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。
浅谈轨迹方程的求解
浅谈轨迹方程的求解在数学中，轨迹方程是描述物体在空间中移动所形成的路径的方程。
求解轨迹方程是解决空间几何问题的关键步骤之一。
在高中数学课程中，轨迹方程通常是在解析几何部分讨论的内容之一。
本文将从基本概念出发，浅谈轨迹方程的求解方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
我们来了解一下轨迹方程的基本概念。
轨迹方程是描述物体在空间中运动产生的路径的方程。
在几何学中，我们常常遇到描述动点运动的问题，例如质点在直线上、平面上或空间内的运动轨迹，这时我们需要对动点的位置进行数学上的描述，这就涉及到了轨迹方程的求解。
在解析几何中，轨迹方程的求解需要根据具体的题目条件确定。
常见的轨迹方程有直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线等。
下面我们将就几种常见的轨迹方程进行讨论。
首先是直线的轨迹方程。
若要求解直线的轨迹方程，我们需要知道直线的方向向量和过直线上一点的坐标。
假设直线的方向向量为(a, b, c)，过直线上一点的坐标为(x0, y0, z0)，那么直线的轨迹方程可以表示为{x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct}。
在这个方程中，t是参数，表示直线上任意一点的位置。
接下来是圆的轨迹方程。
圆的轨迹方程是解析几何中的重要内容，我们常常需要根据给定的条件来求解圆的轨迹方程。
圆的轨迹方程通常表示为{(x - a)² + (y - b)² = r²}，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
在求解圆的轨迹方程时，我们需要根据给定的条件求解出圆的圆心和半径，然后带入圆的轨迹方程中即可得到结果。
在解析几何中，轨迹方程的求解是一项重要的数学技能，也是解决几何问题的关键步骤之一。
通过对轨迹方程的求解，我们可以更好地理解物体在空间中的运动规律，进而解决相关几何问题。
通过理解和掌握轨迹方程的求解方法，我们可以更好地应用这一知识点解决实际问题，提高数学解题能力。
轨迹方程的求解是解析几何中的重要内容，对于学习数学的同学来说，掌握轨迹方程的求解方法是非常重要的。
求轨迹方程的几种常用方法
求轨迹方程的几种常用方法求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有：1．直接法：若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。
例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。
解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则有A (,0)a -，B (,0)a 。
设动点C 为(,)x y ，∵222||||||AC BC AB +=，∴2224a +=，即222x y a +=．由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点，故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。
2．代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例2：已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且:1:2AM MB =，求动点M 的轨迹方程。
解：设A (,0)a ，B (0,)b ，M (,)x y ，一方面，∵||6AB =，∴2236a b +=， ①另一方面，M 分AB 的比为12，∴1022133122130121312a x a a xb y b y b ⎧+⨯⎪==⎪⎪+⎧=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+⎩⎪==⎪+⎪⎩ ② ②代入①得：223()(3)362x y +=，即221164x y +=。
评注：本例中，由于M 点的坐标随着A 、B 的变化而变化，因而动点M 的坐标(,)x y 可以用A 、B 点的坐标来表示，而点M 又满足已知条件，从而得到M 的轨迹方程。
求轨迹方程方法总结
求轨迹方程方法总结轨迹方程是描述物体运动路径的数学表达式。
当我们了解物体的运动规律时，可以使用轨迹方程来描述其运动轨迹，从而帮助我们更好地理解和预测物体的运动。
下面将总结几种常用的推导轨迹方程的方法。
一、基础几何方法：1. 直线运动：对于直线运动，轨迹方程可以通过位移与时间的关系来推导。
如果物体的初始位置为(x0, y0)，速度为v，则物体在时间t后的位置(x,y)可以表示为 x = x0 + vt，y = y0。
从而得到轨迹方程 y = y0 + vt。
2.曲线运动：对于曲线运动，可以通过几何关系来推导轨迹方程。
例如，对于抛体运动，可以通过重力加速度和初速度的关系，推导出位置关于时间的二次方程，从而得到轨迹方程。
二、解微分方程方法：1.一阶微分方程：对于一阶微分方程，可以通过求解微分方程得到轨迹方程。
例如，对于匀加速直线运动，可以得到速度关于时间的一阶微分方程，通过求解得到速度与时间的表达式，再通过积分得到位移与时间的表达式，从而得到轨迹方程。
2.二阶微分方程：对于二阶微分方程，可以通过推导得到物体的运动规律，并进一步得到轨迹方程。
例如，对于单摆运动，可以通过考虑受力平衡和受力大小的关系，推导出物体的运动方程，从而得到轨迹方程。
三、向量方法：1.位矢法：对于具有速度和加速度的运动，可以通过位矢法推导轨迹方程。
位矢是一个描述位置和方向的向量，通过将速度积分得到位矢，再通过对位矢微分得到速度，通过对速度微分得到加速度，从而得到物体的位矢关于时间的表达式。
2.矢量投影法：对于运动方向发生变化的运动，可以利用矢量投影法推导轨迹方程。
将位矢投影到坐标轴上，得到物体在各个坐标轴上的分量，从而得到轨迹方程。
四、参数方程方法：1.参数方程是一种用参数表示物体运动轨迹的方法。
可以将物体的运动分解为水平方向与竖直方向上的分量，再通过参数来表示时间的变化。
将水平和竖直方向的分量分别定义为x(t)和y(t)，则轨迹方程可以表示为(x(t),y(t))。
高考数学解析几何中求轨迹方程的常见方法(含答案)
解析几何中求轨迹方程的常见方法一、直接法 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例2 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.三、点差法将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。
例3 抛物线24y x =焦点弦的中点轨迹方程是 。
四、几何法122=+y x MQ ()0>λλ几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标y x ,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到y x ,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5 过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.例6 设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．六、交轨法12-=t t OQ OP求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例7 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线12222=-by a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.例8 已知两点以及一条直线：y =x ，设长为的线段AB 在直线上移动，求直线P A 和QB 交点M 的轨迹方程．七、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满)2,0(),2,2(Q P -ι2λ。
浅谈轨迹方程的求解
浅谈轨迹方程的求解轨迹方程是描述某个物体运动轨迹的方程，是求解物体运动状态的重要方法。
对于平面运动，轨迹方程通常是关于时间的一元二次方程，而对于空间运动，则是关于时间的一元三次方程。
本文将从求解一元二次方程以及一元三次方程开始，逐步探讨轨迹方程的求解方法。
一、一元二次方程的求解对于平面运动，我们可以用一元二次方程来描述物体的运动轨迹。
一般地，设物体在t时刻的位置为(x,y)，则其运动轨迹可以表示为：x=f(t)y=g(t)其中f(t)和g(t)都是t的一元二次函数。
由于在平面直角坐标系中，物体的位置可以由x和y坐标轴的交点来表示，因此我们需要将f(t)和g(t)合并为一个方程，得到物体的轨迹方程。
具体地，设g(t)=at²+bt+c，f(t)=dt+e，其中a、b、c、d、e均为常数。
将g(t)代入y，f(t)代入x，得到：y=at²+bt+cx=dt+e将上述两个方程联立，得到一元二次方程：通过求解该方程，我们可以得到物体的轨迹方程。
需要注意的是，一元二次方程可能会有零、一、两个解，对应着物体的轨迹可能为点、直线、抛物线等不同形状。
x=at³+bt²+ct+dy=et³+ft²+gt+hz=it³+jt²+kt+l三、轨迹方程的应用轨迹方程是求解物体运动状态的重要方法。
在物理学、工程学、天文学等领域都有广泛的应用。
例如在物理学中，通过求解物体的轨迹方程，可以得到物体的速度、加速度、质心等运动状态；在工程学中，可以通过轨迹方程来设计多种机械装置和运动控制系统；在天文学中，可以通过轨迹方程来研究星体的运动及其演化。
总之，轨迹方程是物理学、工程学、天文学等领域中非常重要的数学工具，其求解方法需要掌握基本的代数知识以及数学分析方法。
解析几何求轨迹基本方法
解析几何中轨迹问题的求解策略求曲线方程的常用思路和方法1.直译法例1 求与y 轴相切，并且和圆2240x y x +-=外切的圆的圆心的轨迹方程. 解 由2240x y x +-=，有()22222x y -+=.设动圆的圆心P 的坐标为(x ，y).根据题意设点A 的坐标为(2，0)，则有2PA x =+，即2x =+.化简整理得244y x x =+.当0x ≥时，28;y x =当x ﹤0时，y=0.综上可知，所求圆心的轨迹方程为28y x =(x ≥0)或y=0(x <0).小结 直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x 、y ，所得方程即为所求动点的轨迹方程.用直译法求解，列式容易，但在对等式等价变形与化简过程中应特别留心是否需要讨论.2.定义法例2 已知圆C ：()22125x y ++=内一点A(1，0)，Q 点为圆C 上任意一点，线段AQ的垂直平分线与线段CQ 连线交于点M ，求点M 的轨迹方程.解 连接AM ，点M 在线段AQ 的垂直平分线上，则AM=MQ. 5=+MQ CM ，∴5=+MA CM .故点M(x ，y)到点C(-1，0)和点A(1，0)的距离之和是常数5，且5>2.所以点P 的轨迹是一个以A 、C 为焦点的椭圆.∵2a=5，2c=2，∴222214b ac =-=.∴点M 的轨迹方程为221252144xy+=.小结 若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程.用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，然后用待定系数法求解. 3.代入法例3 抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点M(0，-1)作直线l 交抛物线于不同两点A 、B ，以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，求顶点R 的轨迹方程.解 设点R 的坐标为(x ，y)，平行四边形FARB 的对角线的点为P(x 0，y 0)，F(0，1)，由中点坐标公式可得001,22x y x y +==.设A 点的坐标为(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则可知x 1≠x 2, 且x 12=4y 1，x 22=4y 2.上述两式对应相减得x 12-x 22=4(y 1-y 2).从而有02A B x k =.又A 、P 、B 、M 四点共线，且001PM y k x +=，由K AB = K PM 可得x 02=2(y 0+1).把001,22x y x y +==代入上式并整理得x 2=4y+12.小结 动点是直线被圆锥曲线截得的弦中点，只要通过代点作差并以弦的斜率作为过渡，即可获得动点的轨迹方程.事实上这就是中点弦问题的处理方法. 4.参数法例4 已知点P 在直线x=2上移动，直线l垂直，通过点A(1，0)及点P 的直线m 和直线l 相交于点Q Q 的轨迹方程.解 如图1所示，设OP 所在直线的斜率为k ，则点 P 的坐标为(2，2k).由l O P ⊥，得直线的方程为x+ky=0. ① 易得直线m 的方程为y=2k(x-1). ②由于点Q(x ，y)是直线l 和直线m 的交点，所以将①②联立，消去k ，得点Q 的轨迹方程为02222=-+x y x (x 小结 当动点坐标满足的等量关系不容易直接找到时，我们可选取与动点坐标有密切关系的量(如角、斜率k 、比值等)作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法.圆与圆锥曲线的轨迹问题例5 如图2所示，矩形A B C D 的两条对角线相交于点(20)M ，，A B 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在A D 边所在的直线上.(1)求A D 边所在直线的方程. (2)求矩形A B C D 外接圆的方程.(3)若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形A B C D 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程.解 (1)A D 边所在直线的方程为320x y ++=. (2)矩形A B C D 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.(3)因为动圆P过点N，所以P N是该圆的半径.又动圆P与圆M外切，所以PM PN=+PM PN-=故点P的轨迹是以MN，为焦点，实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长a=半焦距2c=，所以虚半轴长b==从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(22x yx-=≤.小结根据题设条件，分析矩形图形的有关性质，通过解由两个直线方程组成的方程组求得圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出半径，从而得出“矩形ABCD的外接圆”的标准方程.本题的第(1)问和第(2)问，将平面几何中的一个重要而基本的图形——矩形与圆结合起来，难度不大，但考查的基础知识却不少.立体几何与解析几何的轨迹问题1.轨迹为椭圆例6如图3所示，AB是平面a的斜线段，A在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点PA.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线解根据△ABP的面积为定值，线段AB是定值，则动点P到线段AB的距离也是定值，设此定值为d，所以点P在平面a的轨迹是一个以d为半径且与线段AB垂直的圆在平面a上的投影，即为椭圆.选B.小结涉及面积、点到直线的距离等多个知识点的综合，实质利用投影，考查对椭圆图像的理解.2.轨迹为抛物线例7如图4所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一个动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线解由C1D1⊥平面BB1C1C，得PC1⊥C1D1，所以PC1就是点P到直线C1D1的距离.因此已知条件转化为点P到BC的距离等于点P到点C1的距离.根据抛物线的定义，可知点P的轨迹所在的曲线是抛物线.选D.小结例6和例7均巧妙地利用了题中某些定值定量条件，从而转化为定义法来判定动点轨迹.这其实也是解析几何中求轨迹问题常用的方法之一.3.轨迹为双曲线例8已知αα∉e,，过点P引与直线e成45°角的直线交平面α于Q，则Q点⊂p的轨迹是A.两个点B.双曲线C.椭圆D.抛物线解如图5所示，过点P作PO⊥α于O点，以过O点与e平行的直线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系.过点Q作OA⊥x轴于A.设Q点的坐标为(x，y，0)，则A点的坐标为(x，0，0).由于P点固定，我们不妨设P(0，0，h)，由OA=PA，可知y2=x2+h2.故Q点的轨迹是双曲线.选B.小结解答本题时，首先建立空间直角坐标系，然后把立体几何与解析几何知识直接联系起来，根据圆锥曲线的定义作出判断.。
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动 Ｍ 轨 是 （） 心 半 为 ， 轴 争 点 的 迹 以， 中， 轴 争 半 为 的 ａ为 长 ｏ 短
垂 直 的直 线 ｌ ｌ 若 ｌ交 Ｘ 于 Ａ ，： ，， 。 轴 点 ， 交 Ｙ轴 于 Ｂ点 ， ｌ ： 求线 段 Ａ Ｂ的
中点 Ｍ 的 轨迹 方 程 。 分析 ｌ ：设 Ｍ（ Ｙ ， 由 已知 ｘ，）
Ｐ运 动 的某 个 几 何 量 ｔ以 此 量 作 为 参 变 数 ， 别 建 立 Ｐ点 坐 标 。 分
ｘ Ｙ与该 参 数 ｔ 函数 关 系 ｘ ｆ ｔ ，＝ （） 进 而 通 过 消参 化 为 轨 ， 的 ＝ （） ｙ ｇ ｔ ， 迹 的 普通 方 程 Ｆ ｘ ｙ ＝ 。 （ ， ）０
ｌ上ｌ 联 想 到 两 直 线 垂 直 的充 要 条 件 ： ， 一 １ 即 可 列 出 轨 迹 方 。 ： ， ｋｋ ： ， 程 ， 键 是 如 何 用 Ｍ 点 坐 标 表 示 Ａ、 关 Ｂ两 点 坐 标 。事 实 上 ， Ｍ 由
综 上 可 知 ． Ｍ 的轨 迹 方 程 为 ｘ ２ － ＝ 。 点 ＋ ｙ５ Ｏ
｛ （ （ 参 来表 若 判 轨 方程 示 种曲 ｔ 数） 示， 要 断 迹 表 何 线， 爿 为
ｔ＝ （） ｙ ｇ ｔ
分析 ２ ：解 法 １中在 利 用 ｋ ２ ｌ时 ，需 注 意 ｋ、２ 否 存 ｌ一 ｋ ｌ 是 ｋ 在 ． 而 分 情 形讨 论 ， 故 能否 避 开 讨 论 呢 ？ 只需 利 用 ＡＰ Ｂ 为直 角 Ａ
中 图 分 类 号 ：Ｇ６ ２ ３
文 献标 识 码 ：Ｃ
文 章 编号 ： ６ ２ １ ７ （ ０ １０ — ０ ６ ０ １ ７ — ５ ８ ２ １ ）６ ０ ９ — ２ 即 点 Ｂ坐 标 可 表 为 （ ｘ ２ ．ｙ ２一 ａ ２ ）
１ 求轨 迹 方 程 的 一 般 方法
Ｉ１ 定 系数 法 ．待
１ ． 入法（ 关点法） ４代 相 如果 动 点 Ｐ的运 动 是 由另 外 某一 点 Ｐ 的运 动 引 发 的 ， 该 而 点 的 运动 规 律 已知 ，该 点 坐 标 满 足某 已知 曲线 方 程 ）则 可 以设 （ ，
出 Ｐ ｘ Ｙ ， （ ， ） 示 出相 关 点 Ｐ 的 坐 标 ， 后 把 Ｐ 的 坐 标 （ ，）用 Ｘ Ｙ 表 然 代 入 已知 曲线 方 程 ， 即可 得 到动 点 Ｐ的轨 迹 方 程 。 ２ 求 轨 迹 方 程 的注 意 事 项
‘
验是 否 丢 解 。 即轨 迹 上 的某 些 点 未 能用 所 求 的 方 程表 示 ） 出现 （ ，
，
变 中求 不 变 。 轨 迹方 程 既 可 用普 通 方 程 Ｆ ｘｙ ＝ （ ，） ０表示 ， 可 用 参数 方 程 又
注意 到 ｌ 上ｘ轴 时 ， 上ｙ轴 ， 时 Ａ（ ， ） Ｂ ０ ４ ｌ ： 此 ２０ ， （ ， ）
中点 Ｍ（ ， ， 检验 ， １ ２） 经 它也 满 足 方 程 ｘ ２ 一 ＝ ＋ｙ５０
如 果 动点 Ｐ的 运动 规 律 合 乎 我们 已知 的 某 种 曲线 （ 圆 、 如 椭
又‘ （＇在 ＋。１ ． ｘｙ 椭圆ａ 苦＝ ‘ ００ 点Ｓ ） 。Ｄ
・ ． ．
圆 、 曲线 、 物 线 ） 双 抛 的定 义 ， 可 先 设 出 轨 迹 方 程 。 根据 已 知 则 再 条件 ， 待定 方 程 中 的 常 数 ， 可 得 到 轨 迹 方 程 ， 有 人 将 此 方法 即 也
‘ ． ．
Ｐ Ａ上Ｐ 从 而 ｋＡｋＢ一１ Ｂ， Ｐ・ｐ＝ ，
，ｋ
而 ｋ
・ ． ．
求轨 迹 方 程 的 关键 是 在 纷 繁 复 杂 的运 动 变 化 中 ，发现 动 点
Ｐ的运 动 规 律 。 Ｐ点 满 足 的 等 量 关 系 ， 此 要 学 会 动 中求 静 ， ， ｘ ２ － ＝ 丁２ ４ 得 十ｙ５０
第８ 第６ 卷 期
Ｖ １ ８ Ｎｏ６ ０ ＿． ．
读
与
写
杂 志
２ ｌ 年 ６月 ０１
Ｊ ｎｅ ０ １ ｕ ２ １
Ｒｅａ ｎｄ 、，ｉｅＰｅ ｉ ｉ ａ ｄａ ）ｒｔ ｒｏｄ ｃ ｌ ｌ
浅谈解析几何 中如何 求轨迹方程
吴 良东
（ 四川 省 威 远 中学 校 四 川 威 远 Ｉ ６２５ ） ４ ４ ０
三 角 形 的几 何 特 性 ：
Ｉ Ｉ －Ｉ ＭＰ ＝ ＡＢＩ
则 往 往 需 将参 数 方 程 化 为普 通 方 程 。 求 出 轨迹 方 程 后 ， 注 意 检 验其 是 否 符 合 题 意 ， 要 检 验是 应 既
否增 解 ， 即 以该 方 程 的 某些 解 为 坐 标 的 点不 在 轨 迹 上 ） 又 要 检 （ ，
称为定义法。
１ 直 译 法 ． ２ 如果 动点 Ｐ的运 动 规 律是 否 合 乎 我 们 熟 知 的某 些 曲线 的定
害＋ ， 有 矿 ＋ － ａ 等＝ 而 一 Ｄ 。从 ｂ
．
整 ，动 的 迹 程 ＋ ＝ 理得 点Ｍ 轨 方 为 等 １
椭圆。 例 ２ 过 点 Ｐ ２ ４ 作 两 条互 相 ： （ ，）
义 难 以判 断 ， 但点 Ｐ满 足 的等 量 关 系 易于 建 立 ， 可 以 先表 示 出 则
点 Ｐ所 满 足 的几 何 上 的 等 量关 系 ， 用点 Ｐ的 坐标 （ ， ） 示 该 再 ｘ ｙ表
等 量 关 系式 ， 可得 到 轨 迹 方程 。 即 １ 参 数 法 － ３
如果 采 用 直 译 法求 轨 迹 方 程 难 以奏 效 ．则 可 寻求 引发 动 点
为 Ａ 的 中点 ， 找 出 它们 的坐 标 之 间 的联 系 。 Ｂ 易
解 法 １ 设 Ｍ（ ， ） ‘ 为 Ａ ： ｘ Ｙ ，。 ． Ｍ Ｂ中 点 ，． （ ｘ ０ ， （ ， ｙ 。 ＿ ２ ， ）Ｂ ０ ２ ） ＿ Ａ 又 ｌ ｌ过 点 Ｐ ２ ４ ， ｌ ２ １２ ， （ ，）且 ｌ 上１