2021年宁夏中考专用数学教材考点梳理第四章方法技巧突破(三) 全等三角形之五大模型课件
初中教育数学全等三角形知识点总结材料及复习
适用标准全等三角形知识点总结及复习一、知识网络对应角相等性质对应边相等全等形全等三角形判断角均分线边边边SSS边角边SAS应用角边角ASA角角边AAS斜边、直角边HL作图性质与判断定理二、根基知识梳理〔一〕、根本观点1、“全等〞的理解全等的图形一定知足：〔1〕形状相同的图形；〔2〕大小相等的图形；即能够完整重合的两个图形叫全等形。
相同我们把能够完整重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义：能够完整重合的两个三角形称为全等三角形。
〔注：全等三角形是相像三角形中的特别状况〕当两个三角形完整重合时，相互重合的极点叫做对应极点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
由此，能够得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边必定是对应边；(4)有公共角的，角必定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角必定是对应角；2、全等三角形的性质〔 1 〕全等三角形对应边相等；〔2〕全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判断方法（1 〕三边对应相等的两个三角形全等。
（2 〕两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3 〕两角和此中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4 〕两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5 〕斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角均分线的性质及判断性质：角均分线上的点到这个角的两边的距离相等判断：到一个角的两边距离相等的点在这个角均分线上〔二〕灵巧运用定理1、判断两个三角形全等的定理中，一定具备三个条件，且起码要有一组边对应相等，所以在找寻全等的条件时，老是先找寻边相等的可能性。
2、要擅长发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要擅长灵巧选择适合的方法判断两个三角形全等。
（1〕条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等〔 ASA 〕②任一组等角的对边相等 (AAS)①夹角相等 (SAS) ②第三组边也相等(SSS)〔3 〕条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)〔三〕经典例题例 1. ：以下列图，AB=AC ，，求证：.例 2. 以下列图，：AF=AE ， AC=AD ， CF 与 DE 交于点 B。
七年级数学下册 第4章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版
例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线 上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减 去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一 判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判 定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定 全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全 等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可 以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析 答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B
初中数学—全等三角形解题方法、思路及技巧汇总
初中数学—全等三角形解题方法、思路及技巧汇总全等三角形是初中数学中非常重要的内容，今天我们就把初二数学中，与全等三角形相关的方法、思路及技巧都来整理一下。
一、全等三角形的性质与判定。
五种判定方法：SSS，SAS，AAS，ASA，HL，其中HL是边边角（SSA的特例）。
全等三角形的对应边相等，对应角相等，一句话，凡是对应的，都相等。
二、寻找全等三角形常用方法1、直接从结论入手一般会有以下几种要求证的方向：•线段相等•角相等•度数•线段或者线段的和、差、倍、分关系然后根据题目要求证的方向，找到要证明的相关量分别在哪两个三角形中，再围绕这两个三角形进行研究。
2、从已知条件入手把所有能标注在图上的已经条件标注出来，注意用不同的标示进行区分，比如第一组相等的线段用一条短竖，第二组相等的线段用两条短竖，再比如第一组相等的角用一个小圆弧，第二组相等的角就用两个小圆弧等。
然后通过已知条件找到相关的两个三角形，再进行分析。
记住一句话：“充分利用已知条件”。
3、把已经条件和结论综合起来考虑找到所有的已知条件和隐藏条件，结合结论，找出可能全等的两个三角形，再进行分析。
4、如果上述方法都确定行不通，就考虑添加辅助线来构造全等三角形。
三、构造全等三角形的一般方法1、题目中出现角平分线（1）通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形（2）在角平分线的某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，构造全等三角形。
（3）在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形2、题目中出现中点或者中线（中位线）（1）倍长中线法，把中线延长至二倍位置（2）过中点作某一条边的平行线3、题目中出现等腰或者等边三角形（1）找中点，倍长中线（2）过顶点作底边的垂线（3）过某已知点作一条边的平行线（4）三线合一4、题目中出现三条线段之间的关系通常用截长补短法，在某条线段上截取一段线段，使之与特定的线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等。
数学中考总复习：全等三角形—知识讲解
数学中考总复习：全等三角形一知识讲解【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2•探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3.善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2.全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等； (2 )全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等3.全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等( ASA;(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来. 应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1.条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等.2.条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件•解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案.3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边 或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等.常见的几种辅助线添加：① 遇到等腰三角形， 可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的② 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③ 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④ 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤ 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明•这种作法，适合于证明线段的和、差、 倍、分之类的题目.【典型例题】类型一、全等三角形 1.如图，BD CE 分别是△ ABC 的边AC 和AB 上的高，点 P 在BD 的延长线上，BP=AC . 上，CQ=AB 求证：(1) AP=AQ (2) API AQ 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题.【答案与解析】证明：(1)T BD CE 分别是△ ABC 的边AC 和AB 上的高,•••/ 1 + Z CAE=90，/ 2+Z CAE=90 .•••/ 仁/2,•••在△ AQC^A PAB 中，“对折”；Q 在CECQ = AB-Zl= Z2AC^BP:.△PAB ••• AP=AQ.(2) •/ AP=AQ / QAC2 P,•••/ PAD+Z P=90°,•••/ PAD+Z QAC=90，即/ PAQ=90• API AQ【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找举一反三:【变式】（2015?永州）如图，在四边形ABCD中,Z A=Z BCD=90 , BC=DC延长AD到E点，使DE=AB (1)求证：Z ABC玄EDCABCD 中，T Z BAD= Z BCD=90 °,•90 ° Z B+90 ° Z ADC=360 ° °•Z B+ Z ADC=180 °又 T Z CDE+ Z ADC=180 °•Z ABC= Z CDE ,(2)连接人。
初中数学：全等三角形的判定性质辅助线技巧
初中数学：全等三角形的判定性质辅助线技巧三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS).2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS).5.直角三角形全等条件：有斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.②全等三角形的周长、面积相等.③全等三角形的对应边上的高对应相等.④全等三角形的对应角的角平分线相等.⑤全等三角形的对应边上的中线相等.找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；(3)从条件和结论综合分析，看它们能确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形. 另外，须特别注意基本图形的分类记忆与熟练应用.三角形全等的证明条件中包含两个要素：边和角.A、缺个角的条件.B、缺条边的条件.添辅助线的常用方法及案例解析1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线.角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等；角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F 为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件.例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上.求证：BC=AB+CD.提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF.(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题.如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF.则有：DE=DF，△OED≌△OFD.例：如上右图所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC.求证：∠ADC+∠B=180度.(3)作角平分线的垂线构造等腰三角形如下左图所示，从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF，使之与角的另一边OA相交，则截得一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质.如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”.例：如上右图所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD 于D，H是BC中点.求证：DH=1/2（AB-AC）.提示：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形，问题可证.(4)作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：①如下左图所示，过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE，从而构造等腰三角形ODE.②如下右图所示，通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H，从而构造等腰三角形ODH.2.由线段和差想到的辅助线遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：①截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段. 截长补短法作辅助线。
中考数学新突破复习第一部分教材同步复习第四章三角形4.4全等三角形课件
2．判定 (1)“边角边”或“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等； (2)“角边角”或“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等； (3)“角角边”或“AAS”：两角和其中一角的对边对应相 等的两个三角形全等； (4)“边边边”或“SSS”：三边对应相等的两个三角形全 等； (5)HL公理：__斜__边____和一条_直__角__边___对应相等的两个 直角三角形全等．
(3)AAA和ASS不能判定两个三角形全等． 如图1，△ABC与△A′B′C′的三个角都相等，但△ABC 和△A′B′C′不全等．
图1
如图2，△ABC和△ABC′中，AB＝AB，AC＝AC′，∠B ＝∠B，但△ABC和△ABC′不全等．
图2
三年中考 ·讲练
典 例 精析
全等三角形的判定
【例1】 (2015·六盘水)如图，已知∠ABC＝∠DCB， 下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( D )
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定．本题要判 定△ABC≌△DCB，已知∠ABC＝∠DCB，BC是公共边，具 备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB＝DC、 ∠ACB＝∠DBC、∠A＝∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS 能判定△ABC≌△DCB，而添加AC＝BD后则不能．
【解答】 A．可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB， 故此选项不符合题意；
B．可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不 符合题意；
C．利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题 意；
D ． SSA 不 能 判 定 △ ABC≌△DCB ， 故 此 选 项 符 合 题 意．
2021年宁夏中考专用数学中档题突破专项突破十 分析判断函数图象 课件
－1)，若 y1＜y2，则 x 的取值范围是
(B )
A．x＜－2
B．x＜－2 或 0＜x＜1
C．x＜1
D．－2＜x＜0 或 x＞1
【思路点拨】根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出 结果．观察函数图象，发现：当 x＜－2 或 0＜x＜1 时，一次函数 y1＝k1x ＋b 图象在反比例函数 y2＝kx2 图象的上方，∴y1＞y2 时，x 的取值范围是 x＜－2 或 0＜x＜1. 【提分关键】解决此类题型，需先根据函数图象上下位置确定函数值的 大小关系，再根据两函数的交点坐标，即可得出结论．
的函数关系的是
(A )
类型二：判断不同函数在同一坐标系下的大致图象
(针对宁夏：2019T7，2017T6，2015T8) 【专题解读】判断不同函数在同一坐标系下的大致函数是较难题型，在 宁夏中考作为选择题或填空题的压轴出现，分值为 3 分，在同一个坐标 系中，两个不同图像的待定系数应该相同，本类题目有两种做法，先以 一个函数为正确，确定其系数取值范围，再判断另一个函数是否相同； 二是在待定系数相同前提下，分别画出两个函数图像，比较选项，选出 正确的．
路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直
追，最后同时到达终点．用 S1，S2 分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t 为
赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是
3．匀速地向如图所示的容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，
水面的高度 h 随时间 t 的变化而变化，变化规律为一折线，下列图象(草
7．(2020·银川六中二模)如图，一次函数 y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反
m 比例函数 y2＝x (m 为常数且 m≠0)的图象都经过 A(－1，2)，B(2，－1)，
初中数学三角形全等解题技巧
初中数学三角形全等解题技巧全等三角形的内容是初二数学中的重点知识，也是教学中的难点。
许多学生由于基础知识薄弱或无法进行逻辑推理等原因，下面是小编为大家整理的关于初中数学三角形全等解题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!1初中数学三角形全等解题技巧巧用三角形全等证明两线垂直通过对于数学知识的学习，学生在探究和实践中会了解三角形全等的方式，通常会通过“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”“斜边直角边”的判定方法来证明三角形全等。
当了解了三角形全等后，很多数学问题就会迎刃而解，使学生可以借助全等三角形的性质和特点来进行进一步的证明和推理，完善自己的思维，提高自己的理解能力，在大脑中建构出数学模型。
学生在解题过程中可以利用三角形全等来证明两线垂直，这是三角形全等的一种常用法。
例如：AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD与F，且有BF=AC，FD=CD，求证BE⊥AC。
解决本题的关键就是证明∠BEC=90°，而证明∠BEC=90°，也就是说∠EBC+∠BCE=90°。
题目中已知AD为△ABC的高，BF=AC，FD=CD，也就是AD⊥BC，即∠ADB为90°，同时∠DBF+∠BFD=90°。
所以证明本题的关键就是证明，这样就可以证明∠BEC=90°。
在对于∠BFD=∠BCE的过程中，学生就可以利用三角形全等的性质，这样问题就顺利解决了。
解题过程中学生利用三角形全等来证明三角形中的内角相等，之后利用三角形内角和相等就可以证明两直线的垂直。
学生在解题过程中要善于利用自己的逻辑思维和推理判断以及对于知识的迁移能力，使学生可以灵活地转化已知条件之间的关系，证明三角形全等，之后进一步对个数量关系进行证明，提高自己的思维能力。
“倍长中线法”构造全等三角形全等三角形的应用是非常广泛的，学生在解题过程中要善于转化和构造，使已知的数学条件可以得到充分地利用。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(二) “中点”之六大模型
联想 4．同一边遇垂直＋中点――→垂直平分线性质； 5．中线或与中点有关线段―联―想→倍长中线构造全等； 6．圆＋弦(弧)的中点―联―想→垂径定理．
模型一：见三角形一边中点，常考虑构造中位线 【模型展示】
【模型归纳】在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用 三角形中位线的性质定理可以得到两线的位置关系(平行)和线段的倍分 关系(三角形的中位线等于第三边的一半，或第三边等于中位线的二倍)．
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
∴∠G＝∠CAG，∴AC＝CG，∴BF＝AC.
4．如图，已知AB＝12，AD＝5，BC＝10，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A， 13
若E是CD的中点，则AE的长是 2 .
模型五：遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用线段垂直平分 线的性质 【模型展示】
如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 M 为 BC 的中点，MN⊥AC 于点 N，则 MN 的长是__22..44__.
【思路点拨】连接 AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到 AM⊥BC，根 据勾股定理求得 AM 的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得 MN 的长．
3．如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为 E，EF ∥BD，交 BC 于点 F，若 BD＝10，则 EF 的长为__5__.
模型二：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 【模型展示】
【模型归纳】在直角三角形中，当已知条件中有斜边中点时，经常会作 斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，来证明 线段间的数量关系，同时可以得到两个等腰三角形．
如图，∠ABC＝∠ADC＝90°.M，N 分别是 AC，BD 的中点，AC＝10，
专题16 全等三角形判定和性质问题(解析版)2021年中考数学必考34个考点高分三部曲
专题16 全等三角形判定和性质问题1．全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2．全等三角形的表示全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
4．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
5．直角三角形全等的判定：HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例题1】（2020•贵州省安顺市）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC【解答】选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；专题知识回顾专题典型题考法及解析选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：A．【例题2】（2020•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在△ABC和△DEF中，△B＝△E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC△△DEF，则还需添加的一个条件是_________（只填一个即可）．【答案】AB＝DE．【解析】添加AB＝DE；△BF＝CE，△BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，△△ABC△△DEF（SAS）【例题3】（2020•铜仁）如图，AB＝AC，AB△AC，AD△AE，且△ABD＝△ACE．求证：BD＝CE．【答案】见解析。
全等三角形知识点总结
一、知识框架:全等三角形二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（注意对应的顶点写在对应的位置上）⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合,一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2.全等三角形的性质和表示性质：（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
表示：全等用符号“竺”表示，读作“全等于”。
如^ABC^ADEF，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用于两个直角三角形）4、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1）：要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2）:表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等三角形学习方法
全等三角形复习与小结二. 教学目标：1. 回顾思考本章内容，会灵活运用本章知识进行计算和证明。
2. 进一步巩固三角形全等的性质及判定三角形全等的方法，培养和提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
3. 进一步掌握数学几何问题的解法，拓展学生的发散思维能力。
三. 教学重点和难点：重点：全等三角形的概念和性质，三角形全等的判定方法和直角三角形的性质和判定。
难点：三角形全等的判定与性质的综合应用，灵活选用判定三角形全等的方法解决问题，并能用基本尺规作图进行综合作图。
四. 本章知识网络图：五. 本章知识要点总结：1. 旋转的定义：将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角α，得到图形F'，图形的这种变换叫旋转。
2. 旋转的性质：性质1：对应点到旋转中心的距离相等。
性质2：对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，且等于旋转角。
性质3：旋转不改变图形的形状和大小。
3. 全等三角形及其性质：（1）全等形：能够完全重合的图形叫做全等形。
（2）全等三角形：能够完全重合的三角形叫做全等三角形。
（3）全等三角形的表示方法：比如△BCD≌△AEF（4）全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形周长、面积相等。
4. 三角形全等的判定定理（1）一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS。
（2）直角三角形：HL，SAS，ASA，AAS，SSS。
5. 直角三角形：（1）直角三角形的性质：①直角三角形中两锐角互余。
②如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
④在直角三角形中，有一个角为90°。
⑤在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
⑥在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。
（2）直角三角形的判定：①有一个角为90°的三角形为直角三角形。
数学初三全程复习方略(宁夏版)专题四
【解析】(1)∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,
∴∠2=∠5,∠4=∠6.∵MN∥BC,
∴∠1=∠5,∠3=∠6,∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EO=CO,FO=CO,∴OE=OF.
∵∠2=∠5,∠4=∠6,
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°.∵CE=8,CF=6,
∴EF=
2
2
-m°,
∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+ 1m°,
2
∵EA=EC,∴∠CAE=1 ∠AEB=90°- 1n°- m1°,
2
2
2
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+1 m°+90°- 1n°- m1°= n°1.
2
2
2
2
【跟踪训练】
1.(2020·荆州中考)如图,点E在菱形ABCD的AB边上,点F在BC边的延长线上,连
为
(B)
A.4 B.3 C.2 D.1
4.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB,外 角∠ACD的平分线于点E,F. (1)若CE=8,CF=6,求OC的长. (2)连接AE,AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说 明理由.
3.(2020·嘉兴中考)在一次数学研究性学习中,小兵将两个全等的直角三角形 纸片ABC和DEF拼在一起,使点A与点F重合,点C与点D重合(如图1),其中 ∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=3 cm,AC=DF=4 cm,并进行如下研究活动. 活动一:将图1中的纸片DEF沿AC方向平移,连接AE,BD(如图2),当点F与点C重合 时停止平移.
第4章三角形证明 题型解读14 三角形全等证明思路步骤详解-2020-2021学年北师大版七下数学
《三角形证明》题型解读14 三角形全等证明思路步骤详解【知识梳理】第一步：应用情景----看题目所求的结论分析①直接证两个三角形全等②证两个角相等（或求角度，证该角与已知角相等）③证两条边相等（或求角度，证该角与已知角相等）④证边或角的倍分关系⑤证边或角的和差关系第二步：明确需证全等的两个三角形（针对以上五种情形）1.挑选方法①直接确定②直接找两个角所在的三角形；若直接所在的三角形不全等，则利用等量代换，找第三个角与其中未换的那个角所在三角形全等；③直接找两条边所在的三角形；若直接所在的三角形不全等，则利用等量代换，找第三条边与其中未换的那条边所在三角形全等；④先利用已知条件，把边或角的倍分关系转化成“一对一”关系，再按②或③的思路找三角形全等；⑤先“截长补短”，把把边或角的和差关系转化成“一对一”关系，再按②或③的思路找三角形全等；2.挑选技巧①所挑选的两个三角形，从图形视觉上应完全相同；②所挑选的两个三角形，离已知条件的图形位置最近；第三步：寻找全等条件，确定全等方法①先看字母找条件，再看图形证条件；②看图时，学会拉近已知条件与未知条件的图形位置；③学会利用已证明结论的作已知条件----“解题思路的延续性”；附：熟悉三角形全等中四个典型：“典型模型、典型图形、典型题型、典型经验”，快速确定思路方向和解题方法；【范例详解】例1.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点O，且BO＝CO，求证： DO＝EO。
【思路分析】要求DO=EO，首选三角形全等，找DO、EO所在的三角形△DOB与△EOC，再确定这两个三角形全等条件。
不难找到以下的全等条件：已知条件BO=CO；对顶角∠DOB=∠EOC，还缺一个全等条件，由于OD=OE是题目最终要证的结论，所以不可能运用SAS证明这两个三角形全等，即意味着所缺的那个全等条件应该是一组角相等，而且一定与未用过的已知条件：AB=AC有关。
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(1)求证：△ABE≌△CDF；
(1)证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠C，
∠Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∠C，
在△ABE 和△CDF，AB＝CD， ∠B＝∠D，
∴△ABE≌△CDF(ASA)．
(2)若点 E，G 分别为线段 FC，FD 的中点，连接 EG，且 EG＝5，求 AB 的
长． (2)解：∵E，G 分别是 FC，FD 的中点，
【拓展】一线三垂直(∠A＝∠B＝∠CPD＝∠90°)：证明过程中多数 用到“同(等)角的余角相等”，从而可证得角相等．
3．如图，在△PAB 中，PA＝PB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为__9_2_°.
4．如图，已知在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 P 为 BC 边上一动 点(BP＜CP)，分别过点 B，C 作 BE⊥AP 于点 E，CF⊥AP 于点 F.
(1)求证：△ABE≌△CAF； (1)证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°.
∴∠FAC＋ACF＝∠90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°. ∴∠BAE＝∠ACF. 在△ABE 和△CAF 中，∠AEB＝∠AFC，
∠BAE＝∠ACF，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF(AAS)．
证明：∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC. ∵点 D，E 分别为边 AB，AC 的中点， ∴BD＝12AB，CE＝12AC，∴BD＝CE. 又∵∠ABC＝∠ACB，BC＝CB，
∴△CBE≌△BCD(SAS)，
∴BE＝CD.
模型三：一线三等角(K 型)
【模型归纳】 三个等角在同一直线上，称一线三等角模型(角度有锐角、钝角)， 若为直角则称一线三垂直(见下面拓展)，利用三等角关系找全等三角形 所需的角相等条件(如：∠1＝∠2)． 一线三等角的解题理念：有边相等证全等；无边相等证相似．
的角隐含在平行线、对顶角中．
(2)有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等 角．
5．如图，在△ABC 中，∠ABC＝30°，AB＝ 3，BC＝ 6.分别以 AB，AC 为边在△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE，连接 BE，则 BE 的长为__3__.
6．如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 边长分别为 a 和 b，正方形 CEFG 绕 点 C 旋转，给出下列结论：
方法技巧突破(三) 全等三角形之五大模型
模型一：平移型 【模型归纳】 如图，此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平
行，可看作是由对应相等的边在同一边上移动所构成的，故对应边的相 等关系一般可由同一直线上的线段和差证得；对应角的相等关系可由平 行线的性质证得．
1．已知：如图，点 A，F，E，C 在同一直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝ ∠D.
①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2＋BG2＝2a2＋2b2.其中正确结论是
_①__②__③___(填序号)．
模型五：半角模型 【模型归纳】 当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三角形通过旋转到
一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的 三角形全等．
7．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 和点 E 均在边 BC 上， 且∠DAE＝45°，AC＝6 2，CE＝3，则 BD＝__4__.
∴CD＝2EG， ∵EG＝5，∴CD＝10， ∵AB＝CD，
∴AB＝10.
模型二：轴对称型 【模型归纳】 此模型的特征是所给图形可沿着某一条直线折叠，直线两边的部分
能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐 含条件，即公共边或公共角．
2．已知△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，点 D，E 分别为边 AB，AC 的中点． 求证：BE＝CD.
(2)若 CF＝6 cm，BE＝2 cm，求 EF 的长．
(2)解：∵△ABE≌△CAF，∴AE＝CF，BE＝AF. ∵EF＝AE－AF，∴EF＝CF－BE.
∴EF＝6－2＝4(cm)
模型四：旋转型(常考“手拉手”模型) 【模型归纳】 此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的． (1)无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分．一般有一对相等
8．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E，F 分别是 AB，BC 上的点，且 ∠EDF＝45°，将△DAE 绕 D 点逆时针旋转 90°，得到△DCM，若 AE＝1， 则 FM 的长为_2_._5_.