高中数学3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减数乘运算学案新人教A版选修2_1
2018版高中数学第三章空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算学案新人教A版
3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.知识点一空间向量的数乘运算思考实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？答案λ>0时，λa和a方向相同；λ<0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.梳理(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝(λμ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb；③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展).知识点二共线向量与共面向量思考1 回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义.答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.思考2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案正确.根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量.梳理(1)平行(共线)向量(2)共面向量类型一 向量共线问题例1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线. 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1―→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c .∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.∴E ，F ，B 三点共线.反思与感悟 判定向量a ，b (b ≠0)共线，只需利用已知条件找到x ，使a ＝x b 即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？解 设AC 中点为G ，连接EG ，FG ， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →，EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，∴EF →与 AD →＋BC →共线.类型二 空间向量的数乘运算及应用例2 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.解 (1)AP →＝AD 1→＋D 1P →＝(AA 1→＋AD →)＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)A 1N →＝A 1A →＋AN →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)MP →＋NC 1→＝(MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →)＋(NC →＋CC 1→) ＝12AA 1→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1→ ＝32AA 1→＋32AD →＋12AB →＝32a ＋12b ＋32c . 引申探究若把本例中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD 1→＋D 1P →＝AA 1→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.跟踪训练2 如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →.解 OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(MO →＋OC →＋CN →)＝12a ＋23[－12a ＋c ＋12(b －c )]＝16a ＋13b ＋13c . 类型三 空间向量共面问题例3 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面.证明 因为OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD＝k ，所以OE →＝kOA →，OF →＝kOB →， OG →＝kOC →，OH →＝kOD →.由于四边形ABCD 是平行四边形， 所以AC →＝AB →＋AD →.因此EG →＝OG →－OE →＝kOC →－kOA →＝kAC →＝k (AB →＋AD →)＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →) ＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →.由向量共面的充要条件知E ，F ，G ，H 四点共面. 反思与感悟 (1)利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值. (2)证明空间向量共面或四点共面的方法①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面.②若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面.③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.跟踪训练3 (1)已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M ，满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面. 解 MA →，MB →，MC →三个向量共面. 因为OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，所以3OM →＝OA →＋OB →＋OC →，化简，得(OA →－OM →)＋(OB →－OM →)＋(OC →－OM →)＝0， 即MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－MB →－MC →，故MA →，MB →，MC →共面.(2)如图，已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点，且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：①A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； ②AC →∥EG →；③OG →＝kOC →.证明 ①∵AC →＝AD →＋mAB →，∴A 、B 、C 、D 四点共面. ∵EG →＝EH →＋mEF →，∴E 、F 、G 、H 四点共面. ②∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →. ③OG →＝OE →＋EG →＝kOA →＋kAC →＝k (OA →＋AC →)＝kOC →.1.对于空间的任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是( ) A.共面向量 B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量答案 A解析 ∵2a －b ＝2·a ＋(－1)·b ，∴2a －b 与a ，b 共面.2.已知空间四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 边上的点，若AE →＝λAB →，AF →＝λAD →，CM →＝μCB →，CN →＝μCD →，则向量EF →与MN →满足的关系为( ) A.EF →＝MN → B.EF →∥MN → C.|EF →|＝|MN →| D.|EF →|≠|MN →| 答案 B解析 AE →－AF →＝λAB →－λAD →＝λDB →，即FE →＝λDB →.同理NM →＝μDB →.因为μDB →∥λDB →， 所以FE →∥NM →，即EF →∥MN →.又λ与μ不一定相等，故|MN →|不一定等于|EF →|.3.设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案 －8解析 ∵BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2， 又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得AB →＝λBD →， ∴12＝－4k .∴k ＝－8. 4.以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量； ②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量； ④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量. 其中正确命题的序号是________. 答案 ②④解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确.5.已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，判断在下列各条件下的点P 与点A ，B ，M 是否共面. (1)OB →＋OM →＝3OP →－OA →； (2)OP →＝4OA →－OB →－OM →.解 方法一 (1)原式可变形为OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＝OM →＋PA →＋PB →. 由共面向量定理的推论知，点P 与点A ，B ，M 共面. (2)原式为OP →＝2OA →＋OA →－OB →＋OA →－OM →＝2OA →＋BA →＋MA →.由共面向量定理的推论，可知点P 位于平面ABM 内的充要条件是OP →＝OA →＋xBA →＋yMA →. 而OP →＝2OA →＋BA →＋MA →，∴点P 与点A ，B ，M 不共面. 方法二 (1)原式可变形为OB →＝3OP →－OA →－OM →. ∵3＋(－1)＋(－1)＝1，∴点B 与点P ，A ，M 共面， 即点P 与点A ，B ，M 共面. (2)原式为OP →＝4OA →－OB →－OM →.∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，∴点P 与点A ，B ，M 不共面.1.四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1. 2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式.由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定.3.证明(或判断)三点A 、B 、C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A 、B 、C 共线.4.空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式.这个充要条件常用于证明四点共面.40分钟课时作业一、选择题1.给出下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在惟一的实数λ，使a ＝λb . 其中真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 ①假命题.三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行； ②真命题.这是关于零向量的方向的规定； ③假命题.当b ＝0时，则有无数多个λ使之成立.2.设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →等于( ) A.b －c2B.c －b2C.b －c3D.c －b3答案 D解析 设D 是BC 边的中点， ∵M 是△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AM →＝13(c －b ).3.设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A.点P 一定在直线AB 上 B.点P 一定不在直线AB 上C.点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D.AB →与AP →的方向一定相同 答案 A解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →⇒OP →－OA →＝n (OB →－OA →)⇒AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，即点A ，P ，B 共线.故选A.4.对于空间一点O 和不共线三点A ，B ，C ，且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A.O ，A ，B ，C 四点共面 B.P ，A ，B ，C 四点共面 C.O ，P ，B ，C 四点共面 D.O ，P ，A ，B ，C 五点共面 答案 B解析 由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →， 得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)， 即AP →＝2PB →＋3PC →， ∴AP →，PB →，PC →共面， 又它们有公共点P ，∴P ，A ，B ，C 四点共面.故选B.5.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( )A.1B.0C.3D.13答案 D解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面， ∴x ＋13＋13＝1，∴x ＝13.故选D.6.已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A.A 、B 、D B.A 、B 、C C.B 、C 、D D.A 、C 、D 答案 A解析 ∵AB →＝a ＋2b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )，∴AB →∥BD →，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线.7. 已知A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P 、A 、B 、C 四点( )A.不共面B.共面C.不一定共面D.无法判断是否共面 答案 B解析 OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →)＝OA →＋18AB →＋18AC →，∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →，∴AP →＝18AB →＋18AC →.由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面. 二、填空题8.已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________. 答案215解析 由P ，A ，B ，C 四点共面可知：15＋23＋λ＝1，故λ＝215.9.在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________. 答案 0解析 延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AF →－AF →＝0.10.已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案 －1解析 OA →＝(－2x )·OB →＋(－3y )·OC →＋(－4z )·OD →，由A 、B 、C 、D 四点共面，则有－2x －3y－4z ＝1，即2x ＋3y ＋4z ＝－1.三、解答题11.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，当OP →＝2OA →－OB →－OC →时，点P 是否与A 、B 、C 共面？并给出证明.解 点P 与A 、B 、C 三点不共面，证明如下：若点P 与A 、B 、C 共面，则存在惟一的实数对(x ，y )，使AP →＝xAB →＋yAC →，于是对平面ABC 外一点O ，有OP →－OA →＝x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)，∴OP →＝(1－x －y )OA →＋xOB →＋yOC →，比较原式得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x －y ＝2，x ＝－1，y ＝－1，此方程组无解，这样的x ，y 不存在，所以A 、B 、C 、P 四点不共面.12.已知点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)证明：BD ∥平面EFGH .证明 如图，连接EG ，BG .(1)EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD → )＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面.(2)方法一 ∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，∴EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH .方法二 ∵BD →＝BA →＋AD →＝2EA →＋2AH →＝2EH →＝2(EG →＋GH →)＝2EG →＋2GH →，又EG →，GH →不共线，∴BD →与EG →，GH →共面.又BD ⊄平面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH .13.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C →，OD →，OC 1→是共面向量.证明 设C 1B 1→＝a ，C 1D 1―→＝b ，C 1C ―→＝c ，∵四边形B 1BCC 1为平行四边形，∴B 1C →＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点，∴C 1O →＝12(a ＋b )， ∴OC 1→＝－12(a ＋b )， OD 1→＝C 1D 1―→－C 1O →＝b －12(a ＋b )＝12(b －a ).∵D 1D →綊C 1C →，所以D 1D →＝c ，∴OD →＝OD 1→＋D 1D →＝12(b －a )＋c . 若存在实数x 、y ，使B 1C →＝xOD →＋yOC 1→ (x ，y ∈R )成立，则c －a ＝x [12(b －a )＋c ]＋y [－12(a ＋b )]＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋x c . ∵a 、b 、c 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12(x ＋y )＝1，12(x －y )＝0，x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1. ∴B 1C →＝OD →＋OC 1→，∴B 1C →，OD →，OC 1→是共面向量.。
新人教A版高中数学(选修2-1)3.1《空间向量及其运算》(空间向量的数乘运算)word学案
§3．1.2 空间向量的数乘运算知识点一 空间向量的运算已知ABCD —A ′B ′C ′D ′是平行六面体.(1)化简12'23AA BC AB ++(2)设M 是底面ABCD 的中心,N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点,设'MN AB AD AA αβγ=++,试求α,β,γ的值.解 (1)方法一 取AA ′的中点为E,则1''2AA EA = 又'',BC A D = '',AB D C = 取F 为D ′C ′的一个三等分点(D ′F= 23D ′C ′),则D ′F =23AB∴ 12 'AA+ BC +23AB ='EA + ''A D + 'D F = EF方法二 取AB 的三等分点P 使得23PB AB =,取CC ′的中点Q,则 12 'AA+ BC +23AB =122'3CC BC AB ++=CQ BC PB ++= ,PB BC CQ PQ ++=(2) 13'24MN MB BN DB BC =+=+= 13()(')24DA AB BC CC +++= 13()(')24AD AB AD AA -+++=113'244AB AD AA ++ ∴α＝12，β＝14，γ＝34.【反思感悟】 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法．如图所示,平行六面体A 1B 1C 1D 1- ABCD ，M 分AC 成的比为12，N 分A 1D →成的比为12，N 分A 1D →成的比为2，设AB ＝ a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a 、b 、c 表示MN ，解 11111233MN MA AA A N CA AA A D =++=++= 1112()33AC AA A A AD -+++＝－13(a ＋b )＋c ＋23(－c ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c知识点二 共线问题设空间四点O ，A ，B ，P 满足,OP mOA nOB =+其中m+n=1，则（ ）A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D. AB 与AP →与AP →的方向一定相同 答案 A解析 已知m+n=1，则1,m n =- (1)OP n OA nOB OA nOA nOB =-+=-+()OP OA n OB OA ⇒-=-AP nAB ⇒= 因 为AB ≠ 0 .所以 AP 和 AB共线，即点A ，P ，B 共线，故选 A .【反思感悟】（1）考察点P 是否在直线AB 上，只需考察AP 与AB是否共线；（2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明AP 与AB是否共线.已知A 、B 、P 三点共线，O 为空间任意一点，OP OA OB αβ=+求α+β的值.解 ∵A 、B 、P 三点共线，由共线向量知，存在实数t ，使AP = t AB由AP = OP -OA ，AB = OB-OA 代入得： (1)OP t OA tOB =-+ ；又由已知OP OA OB αβ=+，∴α＝1－t ，β＝t ，∴α＋β＝1.知识点三 共面问题已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH . 证明 (1)由已知得EF 綊HG ，∴ ,EG EF FG FG HG =+=+∵ FG , HG不共线，∴ ,,,EG FG HG共面且有公共点G ，∴E ，F ，G ，H 四点共面.（2）BD BF FG GD EF EB EG =++=-+ EF HD HG -+-()EG AH AE HG EG EH HG =+--=+-22EG EG GH GH EG GH =+++=+∵ EG 与GH不共线，∴BD →，EG →，GH →共面．由于BD 不在平面EFGH 内，所以BD ∥平面EFGH .【反思感悟】 利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．用向量法证明：空间四边形ABCD 的四边中点M ，N ，P ，Q 共面．证明 △AMQ 中, MQ MA AQ =+= 11()22BA AD BD +=△ CNP 中, NP NC CP =+ = 11()22BC CD BD +=所以 MQ NP =,所以M,N,P,Q 四点共面.课堂小结：1．向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a ，b 共线时，表示a ，b 的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a ∥b 时，也具有同样的意义．(2)“共线”这个概念具有自反性a ∥a ，也具有对称性，即若a ∥b ，则b ∥a .(3)如果应用上述结论判断a ，b 所在的直线平行，还需说明a (或b )上有一点不在b (或a )上．AB ＝λBC →或AB ＝μAC →即可．也可用“对空间任意一点O ，有OB →＝tOA →＋(1－t )OC →”来证明三点共线．2．向量共面的充要条件的理解 MP ＝xMA →＋yMB →.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OB ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．课时作业一、选择题1．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C. 若向量 ,AB CD满足 | AB |>| CD |，且AB 与 CD 同向，则AB > CDD. 若两个非零向量 AB 与CD 满足AB + CD = 0，则AB ∥CD →答案 D解析 A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面． B 错．因为|a |＝|b |仅表示a 与b 的模相等，与方向无关． C 错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB>CD →这种写法．D ．对.∵ AB + CD = 0 ,∴ AB= CD - ，∴ AB 与CD 共线，故 AB ∥CD，正确.2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( )A ．AB + ＋BC →＝AC →B ．AB －BC →＝AC →C ．AB ＝BC →D ．|AB |＝|BC →| 答案 C3．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM ＝2OA →－OB →－OC →B ．OM ＝15OA →＋13OB →＋12OC →C ．MA ＋MB →＋MC →＝0D ．OM ＋OA →＋OB →＋OC →＝0 答案 C解析 若有MA ＝ xMB → ＋ yMC →，则M 与点A 、B 、C 共面，或者OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC→且x ＋y ＋z ＝1，则M 与点A 、B 、C 共面，A 、B 、D 三项不满足x ＋y ＋z ＝1，C 项满足MA →＝xMB →＋yMC →，故选C.4．已知向量a 与b 不共线，则a ，b ，c 共面是存在两个非零常数λ，μ使c ＝λa ＋μb 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 验证必要性时，当a ，b ，c 共面且a ∥c (或b ∥c )时不能成立，不能使λ，μ都非零．5. 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量 1111,,D A D C A C是（ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量 答案 C解析 如图所示，因为 11,D C D A AC -=而 11AC A C = ,∴ 1111D C D A A C -= ，即 1111D C D A A C =+ ,而 1D A与 11A C 不共线，所以 1D C ，1D A，11A C 三向量共面.二、填空题6．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP ＝2OA →＋OB→＋λOC →，则λ＝________.答案 －2解析 P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP ＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件．7．三个向量x a －y b ，y b －z c ，z c －x a 的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)．答案 共面解析 因x a －y b ，y b －z c ，z c －x a 也是三个向量，且有z c －x a ＝－(y b －z c )－(x a －y b )所以三向量共面．8. 在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD交于点F.若 AC = a , B BD = b , 则 AF等于 ________．答案 23a ＋13b三、解答题 9 如图所示，E ，F ，G ，H 分别为正方体ABCD —A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点．求证：(1)E ，F ，D ，B 四点共面；(2)平面AEF ∥平面BDHG .证明 （1）∵ 11ED EB BD EB B D =+=+,∴ ,,ED EB EF共面且具有公共点E ，∴E ，F ，D ，B 四点共面.(2)∵E ，F ，G ，H 分别是A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，D 1C 1的中点，EF ＝12B 1D 1→＝GH →， 11AF AA A F =+ ＝ BB 1→＋B 1G →＝BG →，∴EF ∥GH ，AF ∥BG ，∴EF ∥平面BDHG ，AF ∥平面BDHG ，又AF ∩EF ＝F ，∴平面AEF ∥平面BDHG .10．对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线与另一对边平行于同一平面．证明 . 如图，利用多边形加法法则可得，EF EA AD DF =++ , EF ＝EB →＋BC →＋CF →①又E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故有 EA ＝ －EB → ，DF →＝－CF →， ② 将②代入①后，两式相加得2EA ＝ AD →＋BC →，∴1122EF AD BC =+，即 EB →与BC →，AD →共面， ∴EF 与AD ，BC 平行于同一平面．。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21
①在此充要条件中,要特别(tèbié)注意b≠0,若不加b≠0,则该充要性不一定Байду номын сангаас立.例如:
若a≠0,b=0,则a∥b,但λ不存在,该充要性也就不成立了.
②该充要条件包含两个命题: a.a∥b⇒存在唯一的实数λ,使a=λb; b.存在唯一的实数λ,使a=λb⇒a∥b. ③向量共线的充要条件可以作为(zuòwéi)判定线线平行的依据,但必须注意在向量a(或b)上存 在一点不在向量b(或a)上.
3.1.1 空间向量及其加减(jiā 运算 jiǎn) 3.1.2 空间向量的数乘运算
2021/12/10
第一页，共四十三页。
课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的概念.2.掌握 空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线(ɡònɡ xiàn)向量和共面向量定理及
(4)相等向量:
的向量称为相等向量,在空间,同向且等长的有向线段表示同一
向量或相等向量. 方向相同且模相等
2021/12/10
第五页，共四十三页。
注意:(1)单位向量(xiàngliàng)、零向量(xiàngliàng)都只是规定了向量(xiàngliàng) 的模长而没有规定方向,需注意单位向量(xiàngliàng)有无数个,它们的方向不确定, 因此,它们不一定相等;零向量(xiàngliàng)也有无数个,它们的方向任意,但规定所 有的零向量(xiàngliàng)都相等. (2)在平面内,若以两个同向向量为对边可构成平行四边形,则这两个向量相等,在空间 中,这个结论同样成立(chénglì). (3)和平面向量一样,若两个空间向量相等,则它们的方向相同,且模相等,但起点、终点未必相
3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( C )
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运
2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算学案新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算学案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算学案新人教A版选修2-1的全部内容。
3.1.1 空间向量及其加减运算3.1。
2 空间向量的数乘运算1。
理解空间向量的概念。
(难点)2。
掌握空间向量的线性运算。
（重点）3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用.（重点、难点)[基础·初探］教材整理1 空间向量的概念阅读教材P84～P85第二自然段内容，完成下列问题。
名称定义空间向量在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的______单位向量长度或模为______的向量零向量______的向量相等向量方向______且模______的向量相反向量______相反且______相等的向量在平行六面体ABCD.A1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量错误!相等的向量共有( ) A。
1个 B.2个 C.3个D。
4个【解析】与向量错误!相等的向量有错误!，错误!,错误!共3个.【答案】C教材整理2 空间向量的线性运算阅读教材P85第三自然段～P863。
1.2第二自然段，完成下列问题.1。
2019高中数学 第三章 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案 新人教A版选修
3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标：1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类常见的空间向量3.4.(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．(2)运算律：①λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；②λ(μa )＝(λμ)a . 5．共线向量和共面向量(1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． ②共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb . ③点P 在直线AB 上的充要条件：存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →. (2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .③空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．[基础自测]1．思考辨析(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量．( )(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．( ) (3)如果OP →＝OA →＋tAB →，则P ，A ，B 共线．( ) (4)空间中任意三个向量一定是共面向量．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －cC [CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋C ．]3．在三棱锥A BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.][合 作 探 究·攻 重 难](1)①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b | ③在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．(2)如图311所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)图311[解析] (1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错； 对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确． [答案] ②③④(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.[答案] BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→ [规律方法] 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性。
3.1.1空间向量及其加减运算(教学设计)
通过类比平面向量学习空间向量以及推导证明空间向量运算性质，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生类比归纳能力，探索能力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力，培养学生形成严谨的科学态度.
教学重难
点
教学重点
《课程标准》指出本节课的学习目标是：了解空间向量的概念，掌握空间向量的加减运算.因此，我认为本节课的教学重点为：空间向量的概念认知过程以及空间向量的加减运算法则.
3、向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多立体几何问题的解决中有着重要的应用. 本章要学习的空间向量，为解决空间中图形的位置关系提供一个十分有效的工具.
学情
分析
这节课的授课班级是高二理科普通班，学生在高一时学习了平面向量的内容，能利用平面向量解决平面几何的问题.在本节学习过程中，应引导学生思考空间向量与平面向量的区别和联系，通过与平面向量及其运算作类比，数形结合等数学思想方法的渗透，让学生清楚学什么，更主要的是帮助学生理解为什么学，怎么学.我认为本节课学生对于平面向量和空间向量其相同点与不同点的理解有一定的困难.
教学难点
根据学生的认知水平，，学生会在认知平面向量和空间向量的异同时有困难，因此我认为本节课教学难点：引导学生用类比的方法学习空间向量.
教学方法
运用探究式教学。教学中,在教师的主导下,坚持学生是探究的主体,引导学生对知识的发生、形成、发展全过程进行探究活动。课堂上给学生自主学习和讨论的空间,使他们有机会进行独立思考、相互讨论,并发表各自的意见。
教学
目标
1、知识与技能
掌握空间向量的有关概念，会进行空间向量的加法、减法运算.
2、过程与方法
高中数学 3.1.1空间向量及其运算导学案新人教A版选修2-1
3.1.1空间向量及其运算【学习目标】1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点难点】理解空间向量的概念、运算律【学习过程】一、自主预习（预习教材P84~ P86，找出疑惑之处）复习1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量. 叫相反向量，a的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有，，和共三种方法.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝ .(2)当λ＞0时，λa与A. ；当λ＜0时，λa与A. ；当λ＝0时，λa＝.3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb二、合作探究归纳展示探究任务一：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB = ， AB = ，试试：点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则AC = AB , BC = AB .反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：a +b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．三、讨论交流 点拨提升空间向量的运算法则四、学能展示 课堂闯关例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC +⑴；'AB AD AA ++⑵；1'2AB AD CC ++⑶ 1(')2AB AD AA ++⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.变式：化简下列各式：⑸ OA OC BO CO +++;⑹ AB AD DC --;⑺ NQ QP MN MP ++-.小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.※ 动手试试练1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式：⑴ 111AA A B +;⑵ 11111122A B A D +; ⑶ 111111122AA A B A D ++ ⑷ 1111AB BC CC C A A A ++++.五、学后反思※ 学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.课后作业1. 在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子：⑴AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB2. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a =，AD b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的是（ ）A. 1122a b c -++B. 1122a b c ++ C. 1122a b c -+ D. 1122a b c --+。
高中数学3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减数乘运算学案无答案新人教A版选修
3.1.1空间向量及其加减、数乘运算学习目标：类比平面向量，掌握空间向量的定义、表示方法、加减、数乘运算；会用基底表示向量自主学习：P84-P86， P86-P88，完成下列填空1.定义：在空间，把具有和的量叫空间向量2.长度：向量的叫向量的长度或；3.表示法：①几何表示法：空间向量用表示，②字母表示法：若向量的起点是A，终点是B，则向量也可以记作，其模记为或；4.几类特殊向量：①零向量：长度为的向量叫零向量，记为；②单位向量：模为的向量叫单位向量；③相等向量：方向且的向量；④相反向量：与向量长度而方向的向量称为的相反向量，记为5.共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线或，则这些向量叫共线向量或向量；共面向量：的向量；思考：空间中，任意两个向量是都是共面向量吗？6.平面向量的加减法、数乘运算法则及运算律对于空间任意两个向量同样适用；7.三角形中的向量：(1)DE为中位线 (2)AD为中线 (3)G为重心⇔；⇔；⇔ .合作学习：例1、已知平行六面体''''DAABCD-中，BC化简下列向量表达式，并标出化简的向量(1)'+AB-AABC'AA AD AB ++ (2)'''C B BA AA +-(3)(4) '21CC AD AB ++变式1、空间四边形ABCD中，M 、G 分别是BC 、CD 边的中点，化简：)(21 )1(++)(21 )2(+-变式2、已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，点E 为面A 1C 1的中心，求下列各式中的x ，y 值。
y x DD ++=1)2(自主学习：空间向量基本定理（自学课本P 93）若三个向量,,不共面，则对空间中任一向量，存在有序实数组{}z y x ,,，使得z y x ++=，其中 叫空间的一个基底，,,叫1112 )1(AC x BD AD =-例2、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点，用向量,OA,OBOC表示OP和。
《3.1.1 空间向量及其加减运算》教学案3
《3.1.1 空间向量及其加减运算》教学案3 【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。
在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。
【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：BA b a OC b a =-=+,.babD BACOC探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？（1） 思考《选2-1》课本P92探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。
例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
(如图)上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。
比如：三个向量的和AD CD BC AB =++,一般地,空间中多个依次用首尾相接的有向线段相加的结果等于起点和终点相连的有向线段。
我们常常把向量的这种性质ADCD BC AB =++简称为“封口向量”。
四．练习巩固1．课本P92练习1-32．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +;巩固知识，注意区别加减法的不同处.1)2()1(AA AD AB BC AB +++（2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =--五．拓展与提高1．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ；（2）GC BD AB ++；（3）．GA DG CM -+加深对相等向量和加减法的理解六．小结 1．空间向量的概念：2．空间向量的加减运算反思归纳七．作业 课本P106习题3.1，A 组 第1题（1）、（2）练习与测试：（基础题）1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。
2019高中数学 第三章 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案 新人教A版选修
3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标：1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类常见的空间向量3.(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．(2)运算律：①λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；②λ(μa )＝(λμ)a . 5．共线向量和共面向量 (1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .③点P 在直线AB 上的充要条件：存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →. (2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .③空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．[基础自测]1．思考辨析(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量．( )(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．( )(3)如果OP →＝OA →＋tAB →，则P ，A ，B 共线．( ) (4)空间中任意三个向量一定是共面向量．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝( )A ．a ＋b －cB ．－a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －cC [CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋C ．]3．在三棱锥A BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.][合 作 探 究·攻 重 难]①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b | ③在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．(2)如图311所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)图311[解析] (1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错； 对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确． [答案] ②③④(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.[答案] BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[规律方法] 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性。
学案4：3.1.1空间向量及其加减运算
3.1.1空间向量及其加减运算学习目标1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的加法、减法运算．学习重点：空间向量的加减法运算．学习难点：空间向量的基本概念和性质．学习过程知识梳理1．空间向量的概念的图形？2．空间向量的加减法与运算律想一想：已知空间四边形ABCD，则AB＋BC＋CD＋DA＝0还成立吗？名师点睛1．空间向量的理解空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又有方向的量，具有数与形的双重性．形的特征：方向、长度、夹角等；数的属性：大小、正负、可进行运算等．空间向量的数形双重性，使形与数的转化得以实现，利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来解决．空间向量和有向线段不是同一概念，有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法． 2．几类特殊向量(1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0| ＝0， 单位向量e 的模|e |＝1.(2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． (3)注意零向量的书写，必须是0这种形式．(4)两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相等，称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关．3．向量的加减法法则空间任意两个向量都是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法，如图所示．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b BA →＝OA →－OB →＝a －b注意：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；②若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.题型一 空间向量的概念辨析 例1 给出以下命题：①若空间向量a 、b 满足|a|＝|b|，则a ＝b ； ②在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的命题序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)． 变式1 判断下列命题的真假．(1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量BA →与向量AB →的长度相等． 题型二 空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.变式2 化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)题型三 空间向量加减运算的应用例3 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段． (1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)AB →＋CC 1→－DD 1→.变式3 已知平行六面体ABCDA ′B ′C ′D ′. 求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.参考答案学习过程 知识梳理1．空间向量的概念想一想： 成立．∵AB →＋BC →＝AC →，AC →＋CD →＝AD →，AD →＋DA →＝0，∴结论成立． 题型一 空间向量的概念辨析 例1 ②③【解析】 命题①，据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，故①错；命题②符合两个向量相等的条件，②正确；命题③正确；命题④，任意两个单位向量只是模相等，方向不一定相同，故④错． 答案变式1 解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可． (3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．(4)真命题，BA →与AB →仅是方向相反，它们的长度是相等的． 题型二 空间向量的加减运算例2 解 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→.(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→ ＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→、AC ′→如图所示． 变式2解 法一 (统一成加法)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二 (利用OA →－OB →＝BA →)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD →＝ CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0. 法三 (利用AB →＝OB →－OA →) 设O 是空间内任意一点，则原式＝[(OB →－OA →)－(OD →－OC →)]－[(OC →－OA →)－(OD →－OB →)] ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0. 题型三 空间向量加减运算的应用 例3 解：如图．(1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→. (2)AB →＋CC 1→－DD 1→＝AB →＋BB 1→－AA 1→＝AB 1→－AA 1→＝A 1B 1→. 图中AC 1→，A 1B 1→为所求.变式3 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→， AD ′→＝AD →＋AA ′→，∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)． 又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.。
2022年高中数学新人教版A版精品教案《3.1.1 空间向量及其…》
9、空间中两个向量进行加、减法运算时三角形法那么和平行四边形法那么还适用吗？
在数学中引入一种量后，就要研究它的运算，先研究运算法那么，然后研究运算律。
局部学生会提出问题，认为这两种法那么不可以推广到空间，认为空间两个向量不一定共面。
10、你认为空间任意两个非零向量都共面吗？
重点
掌握空间向量的根本概念，加减法运算法那么和运算律。
学情分析
本章是学生在?必修2?中学习立体几何初步以及在?必修4?中学习平面向量的根底上学习空间向量及其运算，经历过研究的根本思路，这为学生研究空间向量提供了理论根底和研究方向。但是，如何使学生通过类比发现平面向量与空间向量的区别与联系，自己探究并证明空间向量的加法交换律和结合律，从而提高发现问题、探索问题并解决问题的能力，最终实现学生学习方式的转变，是本节课需要突破的。
课题：空间向量及其加减运算
秦皇岛市第一中学
冯艳丽
课题
空间向量及其加减运算
学时
1学时
教材
人教A版选修2-1
知识单元
第三章空间向量与立体几何
课型
新授
教学内容分析
向量是近世代数中最根本、最重要的数学概念之一，是沟通代数、几何的桥梁。集数与形于一身，实际背景及其丰富，位移、速度、力等是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量是从这些实际对象中抽象出来的数学概念。作为数学模型，向量被广泛应用于数学、物理及实际生活中，在高中数学中占有非常重要的地位。
教师追问
8、稳固练习
1.以下说法正确的选项是〔〕
A.有向线段就是向量，向量就是有向线段
B假设都是单位向量，那么
C空间直角坐标平面上的轴、轴、轴都是向量
D两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1.1空间向量及其加减、数乘运算
学习目标：类比平面向量，掌握空间向量的定义、表示方法、加减、数乘运算；会用基底表示向量
自主学习：P84-P86， P86-P88，完成下列填空
1.定义：在空间，把具有和的量叫空间向量
2.长度：向量的叫向量的长度或；
3.表示法：①几何表示法：空间向量用表示，②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量也可以记作，其模记为或；
4.几类特殊向量：
①零向量：长度为的向量叫零向量，记为；②单位向量：模为的向量叫单位向量；
③相等向量：方向且的向量；
④相反向量：与向量长度而方向的向量称为的相反向量，记为
5.共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线或，则这些向量叫共线向量或向量；
共面向量：的向量；
思考：空间中，任意两个向量是都是共面向量吗？
6.平面向量的加减法、数乘运算法则及运算律对于空间任意两个向量同样适用；
7.三角形中的向量：
(1)DE为中位线 (2)AD为中线 (3)G为重心
⇔；⇔；⇔ .
合作学习：
例1、已知平行六面体''''D
A
ABCD-中，
B
C
化简下列向量表达式，并标出化简的向量
(1)'
+
AB-
AA
BC
'AA AD AB ++ (2)
'''C B BA AA +-
(3)
(4) '21CC AD AB ++
变式1、空间四边形ABCD
中，M 、G 分别是BC 、CD 边的中点，化简：
)(21 )1(++
)(21 )2(+-
变式2、已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，点E 为面A 1C 1的中心，求下列各式中的x ，y 值。
DC y DA x DD DE ++=1)2(
自主学习：空间向量基本定理（自学课本P 93）
若三个向量,,不共面，则对空间中任一向量，存在有序实数组{}z y x ,,，使得z y x ++=，
其中 叫空间的一个基底，,,叫
1
112 )1(AC x BD AD =
-
例2、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点，用向量,
OA,
OB
OC
表示OP和。