北师大版八年级上册数学第二章实数2.7.5二次根式的加减
北师大版八年级数学第二章二次根式的加减
二次根式的加减【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点进阶：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点进阶：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点进阶：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点进阶：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式例1. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．举一反三:【变式】若最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．类型二、二次根式的加减运算例2.计算：（1）4832315311312--+举一反三:【变式】计算.类型三、二次根式的混合运算例3.计算：．举一反三:【变式】)753)(753(-++-例4.计算：已知2310,x x -+=求2212x x+-的值.【巩固提高】一. 选择题1. 下列运算正确的是（ ）A ．a +a=2aB ．a 6÷a 3=a 2C ．+=D ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 22. 与不是同类二次根式的是（ ）A.B. C. D. 3.若，则x 的值等于（ ）A. 4B.C. 2D. 4. 下列各式中运算正确的是（ ） A.2510)5225(-=÷- B.529)52(2+=+ C.1)2131)(23(=-- D.ca b a c b a +=+÷)( 5.()()a b b a b a a b +-的运算结果是（ ）A ． 0 B. ()ab b a - C. ()ab a b - D. 2ab ab6. 等腰三角形两边分别为32和25，那么这个三角形的周长是（ ）A.2534+B.21032+C.2534+或21032+D.21034+二. 填空题7.若最简二次根式与是同类二次根式，则.8.3283ab 与62a b b无法合并，这种说法是__________的（填“正确”或“错误”）.9.设76,76,a b =+=-则20102011a b ⋅的值是_________ 10. （2016•哈尔滨）计算2﹣的结果是 ．11. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为_______（精确到0.1）.12.已知x ＝，则的值等于____________.三 综合题13.计算： 5334y 5(1)xy ()(x y)515x 6÷-⋅-2(2)b a a ab b a b a b a b a b a b-+-+⋅÷--++14.若x ，y 为实数，且y=++． 求﹣的值．15．已知52+的整数部分为a ，小数部分为,b 求2222444a b a ab b -++的值.。
北师大版八年级数学(上)第二章 实数 二次根式(2)
（2）
；
（3）
．
解：（1）原式＝6×（﹣3）×
＝﹣18×4＝﹣72．
（2）原式＝ + ＝
；
（3）原式＝3+2﹣2 ﹣3+2＝
．
例4：计算
(1)
3 2
2 (2) 18 3
81 8(3)(来自24 1) 63
(4)
25 2
99 18
练习：计算． （1） （2）
（3）
； ；
．
解：（1）原式＝
﹣3
（2）原式＝2 ﹣2 +
3
(2) 5 27 3 125
(3) 1.53 0.17
解：（1） （2）
=
= =6；
=
=
=；
（3）
=
= =3；
例3：计算
(1)3 2 2 3
(2) 12 3 5
(3)( 5 1)2
(4)( 13 3)( 13 3) (5)( 12 1 ) 3
3
(6) 8 18 2
练习：计算
（1）6 ×（﹣3 ）；
解：（1）原式＝2× × ×
＝；
（2）原式＝ ﹣2 +3 ﹣（ ﹣3）（5﹣9） ＝ ﹣2 +3 +4 ﹣12 ＝6 ﹣12．
4．计算：
（1）
；
（2）
．
（3）
．
解：（1）原式＝3 ﹣4 + ＝0； （2）原式＝2﹣（3+2﹣2 ）＝﹣3+2 ．
（3）原式＝
＝
＝
．
C．5
解：原式＝
＝ ＝4 ，故选：B．
D．6
2.(1) 3 5
(2) 1 108 3
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
知识点一、【平方根】如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根；即：当x2 a(a 0)时，我们称x是a的平方根，记做：x ...a (a 0)。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a>0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x .. a。
3、当a v0时，即a为负数时，它不存在平方根。
例1： (1) ______ 的平方是64,所以64的平方根是 _________ 。
(2) _______ 的平方根是它本身。
(3) _____________________________ 若.x的平方根是立，则x= ; . 16的平方根是 ______________________________________ 。
(4)当x ________________ 时，3-2x有意义。
(5) ______________________________________________ 一个正数的平方根分别是m和叶4,则m的值是 ______________________________________ ，这个正数是_______ 。
知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x的平方等于a,即x2a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“订”，读作，根号a”，其中，a称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：,a 0(a 0)。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：掐；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：Ja。
例2： (1)下列说法正确的是( )A、1的立方根是 1 ;B、•- 4 2 ;C、81的平方根是 3 ;D、0没有平方根•(2)下列各式正确的是( )A、陌9B、3.14 3.14 C"27 恥D、屈 V3 42(3) ________________________ ( 3)2的算术平方根是_______________________ 。
北师大版数学八年级上册 二次根式的运算
的值. 解：由题意得 32mn21n2，3， 解得
m
n
4, 3 1, 2
即 mn 4 1 6 .
32 3
归纳 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利 用被开方数相同，指数都为 2 ，列关于待定字母的方 程求解即可.
【变式题】如果最简二次根式 2 3a 8与 17 2a 可以合
并，那么要使式子 4a 2x 有意义，求 x 的取值范围.
3. 下列二次根式，不能与 12 合并的是__②__⑤___ (填
序号）.
① 48 ；②- 125 ；③ 11 ；④ 3 ；⑤ 18.
3
2
例7
已知 a，b，c 满足 a
2
8
b5 c3
2 0.
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解分：析(：1)(1由)若题几意个得非a 负 式8 的 2和2为，零b ， 5则，这c 几3个2非. 负式 (必2)然能都. 理为由零如；下(2：)根∵据2三2角＜3形2的＜三5，边即关a＜系c来＜判b.断.
又∵ a c 5 2 5，∴ a + c＞b.
∴ 能够成三角形，周长为 a b c 5 2 5.
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为
5 2，2 6，求其周长. 解：当腰长为 5 2 时， ∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴ 此时能构成三角形，周长为 10 2+2 6； 当腰长为 2 6 时， ∵ 2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴ 此时能构成三角形，周长为 5 2+4 6.
C. 2 3 5
D. 4 5 5 5 20 5
3. 计算：
北师大版八年级数学上册第二章 二次根式的计算
18
解：(1)
＝
3
(3)
1
35÷
3
15；
18
＝
6.
3
32
32
(2)
＝
＝
4＝2.
8
8
1
3
16 5
(3) 35÷ 15＝
5 ×8＝ 2.
3 ab3 3
(4)
2＝
2 ab 2
ab3 3
ab2＝2 b.
3 ab3
(4)
.
2 ab2
题型二
二次根式的加减
5 2
例 2：计算 8＋ 18的结果是________．
1
－ 2
变式 1：计算 8－6
的结果是__________．
2
变式 2：计算：(1)( 3＋ 2)－ 2； (2)2 3＋3 2－5 3－3 2；
(3)( 8＋ 12)－(2 3－ 2)．
解：(1)原式＝ 3＋ 2－ 2＝ 3.
(2)原式＝(2 3－5 3)＋(3 2－3 2)＝－3 3.
(3)原式＝(2 2＋2 3)－(2 3－ 2)＝2 2＋2 3－2
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知识点1：二次根式的乘除(重点)
1．乘法法则： a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘，
根指数不变，只把被开方数相乘．
注意：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要
注意：公式中a，b都必须是非负数；
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
8＋ 18
8
18
(5)
＝ ＋＝ 4＋ 9＝2＋源自＝5222
问题1：你能直接写出下列式子的结果吗？
北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-7二次根式(第1课时)教学详案
第二章 实 数7 二次根式第1课时 二次根式及其化简教学目标1.会区分二次根式与最简二次根式;2.能运用算术平方根的性质，进行二次根式的化简;3.经历二次根式的基本性质，运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象、从特殊到一般的概括能力,体验归纳、猜想的思想方法.教学重难点重点：运用算术平方根的性质，进行二次根式的化简;难点：会利用积与商的算术平方根的性质化简二次根式.教学过程导入新课1.做一做：√169= 13 ，√42= 4 ，（√4）2= 4 ，√a 2= ｜a ｜ , （√a ）2=a.2.观察下列代数式：(1)√5 ； (2)√11 ； (3)√7.2 ； (4)√49121；(5)√a 2+1 ； (6)√(c +b )(c −b)(其中b =24，c =25).这些式子有什么共同特征？(1)形式上含有根号;(2)根指数都为2;(3)被开方数为正数. 探究新知一般地，形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式,其中a 是被开方数.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数.【例1】 说一说下列各式哪些是二次根式.(1) √32； (2)6； (3) √−12；(4) √−m （m ≤0）； (5) √xy ； (6)√53.【解】（1）（4）.（2）没有开方运算；（3）被开方数是负数；（5）xy 可能是负数；（6）根指数不是2活动：探究二次根式的性质计算下列各式，你能发现什么?（1）√4×√9= 6， √4×9=6 ；√16×√25= 20， √16×25=20；√4√9＝23，√49＝23；√16√25＝45，√1625＝45． （2）用计算器计算：√6×√7 ≈6.481 ， √6×7≈6.481；√6√7≈0.925 8 ， √67≈0.925 8. 即：√4×√9= √4×9；√16×√25=√16×25；√6×√7=√6×7； √4√9=√49； √16√25=√1625； √6√7=√67. 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. √a b =√a √b(a ≥0,b ＞0).【例2】化简：（1）√81×64；（2）√25×6；（3）√59. 观察：化简以后结果中的被开方数又有什么特征？【解】（1）√81×64=√81×√64=9×8=72;（2）√25×6=√25×√6=5×√6=5√6; （3）√59=√5√9=√53. 被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数.一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.最简二次根式的特点：①被开方数不含分母;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式;③分母不含根号.【例3】化简：（1）√50；（2）√27； （3）√3. 【解】（1）√50=√25×2=√25×√2=5×√2=5√2； （2）√27=√2√7=√2×√7√7×√7=√147； （3）√3=√3√3×√3=√33. 注：化简时，要求最终结果是最简二次根式.课堂练习 1.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A ．√7B ．√3C ．√12D ．√22．若x 为任意数，则下列各式中一定成立的是（ ）A.24x x =B.24x x -=C.x x =2D.x x -=23．下列各式中正确的是（ ）A.416±=B.()222-=-C.24-=-D.3327=4．化简()225-⨯，结果是( ) A.-52 B.52 C.－10 D.10 5.要使式子√a+2a 有意义，a 的取值范围是（ ）A. a ≠ 0B. a ＞-2且a ≠ 0C. a ＞-2或a ≠ 0D. a ≥-2且a ≠ 0参考答案1.C2.A3.D4.B5.D课堂小结1.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数.2.二次根式的性质： √ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)；√a b =√a√b (a ≥0,b ＞0).3.最简二次根式满足的条件：①二次根式的被开方数不含开得尽方的因数（或因式）；②二次根式的被开方数不含分母（即根号内不能是分数）；③分母不能含有根号. 布置作业习题2.9第1，2，3题板书设计7 二次根式第1课时 二次根式及其化简 1.二次根式的定义及其判断依据；2.二次根式的性质：√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)；√a b =√a √b (a ≥0,b ＞0).3.最简二次根式的定义及其判断依据.。
北师版八年级数学上册第二章 实数7 二次根式
二次根式
乘、除法
运算
最后结果
加、减法
C. 2 2
D. 2
感悟新知
知识点 4 二次根式的乘除法
语言叙述
知4－讲
符号表示
a · b= ab ( a ≥
乘法 两个二次根式相乘，把被开
法则 方数相乘，根指数不变
0，b ≥ 0)
a
a
除法 两个二次根式相除，把被开
= (a≥0，
b
b
法则 方数相除，根指数不变
b ＞ 0)
感悟新知
知4－讲
法则
推广
9
9
9 3
122×(32＋中，正确的是(
A. ( － 6) 2= － 6
B.
4
9
3
=2
16
4
C. 21 ÷ 7 =3
D. 25a4 =5a2
D )
感悟新知
知识点 3 最简二次根式
概念
满足的条件
知3－讲
化简二次根式的一般方法
(1)如果被开方数是分数
(包括小数和分式)，先利
A. － 1
B.0
C.2
D.6
知1－练
例2
9
若y＝ x－3＋ 3－x＋2， 则xy＝________.
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性“a ≥ 0，
a ≥ 0”进行解答.
知1－练
解：由二次根式的被开方数的非负性，
得 x － 3 ≥ 0，且3 － x ≥ 0，所以 x=3.
又因为y＝ x－3＋ 3－x ＋2，所以y＝2，
行运算 . 例如： m a ·n b =mn ab
感悟新知
知4－讲
特别提醒
北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-7二次根式(第2课时)教学详案
第二章实数7二次根式第2课时二次根式的运算教学目标1.掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.3.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算，重要的是培养这种类比学习的能力.教学重难点重点：掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用；难点：会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.教学过程导入新课1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：√8，√18，√80，√0.5， √18，√20.（2√2 ，3√2 ，4√5 ，√22，√24，2√5）2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类?几个二次根式化简后被开方数相同.最简根式分别为√2 ，√5两类，即√8 ，√18 ，√0.5 ，√18为一组；√80 ，√20为一组.探究新知活动1：二次根式的乘除运算1．填空（1）√4×√9=6，√4×9= 6 ；√16×√25=20，√16×25=20；√4√9＝23， √49＝23；√16√25＝45， √1625＝45．（2）用计算器计算：√6×√7≈6.481，√6×7≈6.481 ；√6√7≈0.925 8， √67≈0.925 8.参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空．√4×√9 = √4×9;√16×√25=√16×25; √6×√7= √6×7；√4√9=√49; √16√25=√1625; √6√7= √67.观察上面的式子得上节课的规律：√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)；√ab =√a√b(a≥0,b＞0).反过来也成立：√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)；√a √b =√a b (a ≥0,b ＞0). 【例1】计算:（1）√6×√23； （2）√6×√3√2； （3）√2√5. 【解】（1）√6×√23 =√6×23=√4=2；（2）√6×√3√2=√6×3√2=√6×32=√9=3； （3）√2√5=√25=√2×55×5=√105. 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）√（−4）×（−9）=√−4×√−9 ；（2）√41225×√25=4×√1225×√25=4√1225×25=4√12=8√3.解：（1）错. √（−4）×（−9）=√36=6；（2）错. √41225×√25=√41225×25=√11225×25 =√112 =4√7.做一做：（1）3a 2·2a 3= 6a 5 ,（2）（a +b ）(a -b )= a 2−b 2 ,（3）(a ±b)2=222a ab b ±+， （4）(554−772) ×18= 554×18-772×18=112-. 【例2】计算：（1）3√2×2√3； （2）（√5+1）2；（3）（√13+3）（√13−3）；（4）（√12−√13）×√3； （5）√8+√18√2. 【解】（1）原式=（3×2）×（√2×√3）=6√6；（2）原式=（√5）2+2×√5×1+1=5+2√5+1=6+2√5；（3）原式=（√13）2−32=13-9=4； （4）原式=√12×√3−√13×√3=√12×3−√13×3=√36−√1=5;（5）原式=√8√2+√18√2=√82+√182=√4+√9=2+3=5.活动2：二次根式的加减运算1.（1）3x 2+2x 2= 5x 2 ;（2）x 2+2x 2+4y = 3x 2+4y .2.类比合并同类项的方法，想想如何计算√80−√45？ 解：√80−√45=4√5−3√5=√5.3. √3+√5能不能再进行计算?为什么?答：不能，因为它们都是最简二次根式，且被开方数不相同，所以不能合并.【例3】计算:（1）√48+√3 ； （2）√5−√15 ； （3）(√43+√3)×√6.【解】（1）原式=4√3+√3=（4+1）√3=5√3；（2）原式=√5−√55=(1-15)√5=45√5; （3）原式=√43×√6+√3×√6=√8+√18=2√2+3√2=5√2.二次根式的加减法法则：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意：1.加减法的运算步骤：一化简，二判断，三合并.2.合并的前提：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.课堂练习1．下列运算错误的是（ ） A.2+3=5 B.2·3=6C.6÷2=3D.2(2=2.下列各式中，与√3是同类二次根式的是（ ）A. √2B. √5C. √8D. √123.估计√32×√12+√2·√5的结果在（ ） A.6至7之间 B.7至8之间C.8至9之间D.9至10之间4. √8与最简二次根式√m +1能合并，则m =________.5.若最简二次根式√3m −2n 2n+1与√3可以合并，求√mn 的值.参考答案1.A2.D3.B4.15.解：由题意得2n +1=2且3m -2n =3，解得n = 12,m = 43,即√mn =√12×43 =√23 =√63. 课堂小结1.二次根式的乘除运算法则√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)；√a√b =√ab (a ≥0,b ＞0). 2.二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.布置作业习题2.10第1，2题板书设计7 二次根式第2课时 二次根式的运算1.二次根式的乘除运算法则：√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)；√a √b=√a b (a ≥0,b ＞0). 2.二次根式的加减法法则：一化简，二判断，三合并.。
北师大版八年级上册第二章实数第七节二次根式第一课时二次根式及其性质教案
第二章实数第七节第一课时二次根式及其性质教案一、教学目标1. 理解二次根式的概念和性质，掌握二次根式的加减乘除运算规则。
2. 能够运用二次根式的性质解决实际问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
3. 培养学生的自主学习和探究能力，提高数学素养。
二、教学重点和难点教学重点：1. 二次根式的概念和性质。
2. 二次根式的加减乘除运算规则。
3. 如何运用二次根式的性质解决实际问题。
教学难点：1. 二次根式的加减乘除运算规则的理解和运用。
2. 如何运用二次根式的性质解决较复杂的实际问题。
三、教学过程1. 引入新知：通过实例引入二次根式的概念和性质，让学生了解二次根式的含义和特点。
2. 知识点讲解：详细介绍二次根式的加减乘除运算规则和符号使用，以及二次根式的性质，并通过示范让学生掌握二次根式运算方法。
3. 实践操作：通过课堂练习和实验操作，让学生进行二次根式的加减乘除运算，加深对二次根式性质和运算规则的理解和掌握。
4. 举例说明：通过实际例题讲解，让学生了解如何运用二次根式的性质解决实际问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
5. 知识点总结：回顾本节课所学的知识点，强化学生的记忆，加深对二次根式概念和性质的理解。
6. 课后练习：出题考察学生对知识点的掌握情况，并给出答案，以便学生自我评估和提升。
四、教学方法和手段1. 讲解和示范：通过讲解和示范让学生掌握二次根式的概念和性质，以及二次根式的加减乘除运算规则和符号使用。
2. 实例教学：通过实例讲解让学生理解二次根式的含义和特点，以及二次根式运算的实际应用。
3. 互动讨论：组织学生进行小组讨论和互动交流，鼓励学生提出问题和解决问题，提高学生的学习积极性和主动性。
4. 课堂检测和作业：通过课堂检测和作业，检验学生的学习效果，并巩固对二次根式概念和性质的理解。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：布置适量的课堂练习题，让学生在课堂上进行二次根式的加减乘除运算，加深对二次根式运算规则和符号使用的理解。
北师大版八年级数学上册《.2二次根式的乘除法和加减》教学课件
=
-Βιβλιοθήκη = - =3-2=1；
(6) (4 −3 )÷2 = 4 ÷ - ÷
=2
.
2.计算：
；
(1) − ； (2) −
(3)
+ + .
解： (1) − = × - =4 - =3 ；
(2) −
活动2：下面正方形的边长分别是多少？
面积为8
面积为2
边长
边长
这两个数之间有什么关系，你能借助运算法则或运算律解释
它吗?
由图知： =2 . 由乘法性质知： = · =2 .
自主学习
1.二次根式的乘法法则和除法法则
对于二次根式的性质公式，将它们等号的左边与右边分别对换
即可得：
(a≥0, b≥0)，
⋅ =______
=______(a≥0,
b＞0).
【例1】计算：
；
(2)
×
；
解： (1) ×
=
× = =2；
(1) ×
（2）
×
×
=
=
（3） =
=
(3)
×
=
×
= .
×
=3；
.
【例2】计算：
(1) × ； (2) × -5； (3) ( +1)2 ；
(3) (
+ )× =
×
+ × = + =2 +3 =5 ；
数学北师大版八年级上册二次根式的加减
随堂演练
2.计算：
(1)3 2 3 22 33
(2) 8 18 12
1.同类二次根式的概念? （注：同类二次根式不一定是最简二次根式） 2.如何合并同类二次根式?
3.二次根式加减运算的步骤?
2 5计 算 ：
(1) 75 2 8 200 (2)2 20 3 45 80 (3)2 48 ( 27 243 ) (4)(5 75 4 12 ) (5 108 3 27 )
第二章实数 第一节平方根 （第三课时） 二次根式的加减
什么是最简二次根式？
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（3）分母不含根号。
探究一：1.化简下列两组二次根式，并回答问题
1 ( 1 ) 20 ; 45 ; 。 5 1 ( 2 ) 12 ; 48 ; 。 3
例 2计 算 ： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2 )( 1 2 2 (3 ) 3 20 ) ( 3 5) x 1 9x 6 2x 4 x
(1)化成最简二次根式
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
随堂演练：下列各式中,哪些是同类二次根式?
12
1 2
50 2 34 3 3 2 5 2
48
18
2 42 2
32
45
35
23 3
1 1 3
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化 为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次 根式前面的因式及符号无关．
探究二：例1计算
80 2 45 整式的加减的实质是合 3 3 8 50 2并同类项．
二次根式的加减实质是 合并同类二次根式．
北师大版八年级数学上册第2章 实数【创新教案】 二次根式的加减
二次根式的加减【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.。
北师大版八年级上册 2.7 二次根式的加减
北师大版八年级上册 2.7 二次根式的加减二次根式的加减一、内容和内容解析1．内容二次根式加减运算．2．内容解析在二次根式性质和乘除运算的基础上，本课进一步学习二次根式的加减运算．二次根式的加减法是把二次根式化为最简二次根式后，合并被开方数相同的二次根式就可以了，所以本课内容与整式的加减法类似，在教学中可以让学生体会类比思想的实质，通过具体例子，引导学生探索发现二次根式加减运算的核心是合并被开方数相同的二次根式，基本依据是二次根式的性质和分配律．基于以上分析，可以确定本课的教学重点是应用分配律进行二次根式的加减运算．二、目标和目标解析1．目标（1）掌握二次根式加减运算的步骤和方法．（2）会灵活运用二次根式的有关性质进行二次根式的加减运算．2．目标解析达成目标（1）的标志是学生经历类比合并同类项的方法后能探究归纳，概括出二次根式加减运算的方法，先把每一个二次根式化成最简二次根式，再运用分配律合并被开方数相同的二次根式．目标（2）是通过例题教学使学生掌握运算的技巧方法，并能在练习中加以运用，能说出依据．三、教学问题诊断分析类比思想是根据不同对象在某些方面的类似之处，猜想新、旧知识之间的联系与区别．在二次根式的加减运算中，最后是合并被开方数相同的二次根式．但几个二次根式是否可以合并，这一判断没有整式同类项的判断直接．前者往往需要把每一个二次根式化成最简二次根式，这会造成学生学习的困难．所以在教学教师引导学生进行类比时，指向一定要明确，由浅入深，总结得出“一化简”、“二判断”、“三合并”的步骤．本课的教学难点是准确判断可以合并的二次根式，灵活运用性质、算律运算．四、教学过程设计（一）提出问题问题1：你认为可以怎样计算+？设计意图：将具体数字的运算推广到含有字母的一般二次根式加减运算，渗透从特殊到一般的转化思想，同时强化算理．（三）典型例题例1 计算（1）；（2）；（3）；（4）．师生活动：学生独立完成计算，教师强调步骤和算理，对出现的错误给予评价．设计意图：通过例题的教学，使学生进一步巩固二次根式加减运算的步骤和算理．练习1 下列计算是不正确？为什么？（1）；（2）；（3）；（4）．练习2 计算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．设计意图：练习1可引导学生辨析计算中的常见错误；练习2加强对已学知识的复习，检验本堂课教学的知识目标达成度．（四）课堂小结1．二次根式加减运算的一般步骤与依据是什么？2．在二次根式加减运算中，有哪些地方易错？设计意图：通过归纳总结，实现学生记忆的优化，知识的内化．五、同步练习1．填空（1）（2）＝（3）（4）设计意图：用分配律做二次根式加减运算．2．下列二次根式能与合并的是（）A．①与② B．②与③ C．③与④D．①与④设计意图：强调二次根式加减运算的基础是将二次根化成最简二次根式．。
2022八年级数学上册第二章实数2.7二次根式3二次根式的加减授课课件新版北师大版
3
3
(6) 8 18 8 18 4 9 2 3 5.
2
22
感悟新知
知识点
例 3 计算： (1 )4 83 ;(2 )51;(3 )(43)6. 53
知2－练
解: (1) 4 8 3 1 6 3 3 1 6 3 3 4 3 3 5 3 ;
(2) 5 1 5 5 5 5 4 5;
开方数相同这两个条件，它与根号前面的数字因数无
关；
(2)“被开方数相同的最简二次根式”在习惯上及相关课外
读物上都称为“同类二次根式”．
感悟新知
例 1 〈凉山州〉下列根式中，不能与
A. 1
3
3
B.
3
C. 2
3
3合并的是( C )
D. 1 2
知1－练
导引：首先把选项中每个根式化成最简二次根式，然后
找出被开方数不是3的二次根式．即
4
2
2
2
6 27 29 25 2 3 2
6 7 9 5 2 - 3 2 3 .
2
2
感悟新知
总结
知2－讲
二次根式加减运算的技巧： (1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数
中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数， 则要化成分数，进而化为最简二次根式； (2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、 结合律将被开方数相同的二次根式进行合并．
感悟新知
知识点 1 被开方数相同的最简二次根式
知1－讲
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化 成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行 合并.
感悟新知
可合并的二次根式的条件：
知1－讲
(1)最简二次根式；
北师大版八年级数学上册第2章 实数【创新学案】 二次根式的加减
二次根式的加减 一、学习目标 1.了解同类二次根式的定义。
2.能熟练进行二次根式的加减运算。
二、学习重点重点：二次根式加减法的运算。
难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。
三、自主预习1.计算：（1）2x-3x+5x （2）2223a b ba ab +-2.自学课本内容，完成下面的题目：观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：（1）2322与 （2）32与 （3）205与 （4）1218与你判断同类二次根式的方法： 。
3.自学课本，仿例计算：（1（2（3）小结：进行二次根式的加减法分三个步骤：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
四、 合作探究1.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x五、巩固反馈1.中，与是同类二次根式的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A C 3.已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式，则满足条件的 a,b 的值（ ）A ．不存在B ．有一组C ．有二组D ．多于二组4.计算：（1） （2）)27131(12-- （3）（4）x x x x 1246932-+ （5）232282xy x x +-(0,0)x y >>(6) yy x y x x 1241+-+ （7）)461(9322x x x x x x --5.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x。
初中数学北师大版八年级上册《2.7.3二次根式的加减》课件
19．已知 a，b，c 满足(a－ 8)2＋ b－5＋|c－3 2|＝0. (1)求 a，b，c 的值．
【思路点拨】(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数 必同时为零；(2)根据三角形三边之间的关系进行判定．
解：因为(a－ 8)2≥0， b－5≥0，|c－3 2|≥0， (a－ 8)2＋ b－5＋|c－3 2|＝0， 所以 a－ 8＝0，b－5＝0，c－3 2＝0. 则 a＝ 8＝2 2，b＝5，c＝3 2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9．(2018·孝感)下列计算正确的是( A ) A．a－2÷a5＝a17 B．(a＋b)2＝a2＋b2 C．2＋ 2＝2 2 D．(a3)2＝a5
10．(2018·聊城)下列计算正确的是( B )
A．3 10－2 5＝ 5
B.
7 11·
11 7÷
1
＝
11
11
C．( 75－ 15)÷ 3＝2 5
1； x
＝5 x＋14 x＋2 x
＝249 x
(4)110 200－2 0.08－4 0.5＋25 72.
＝ 2－25 2－2 2＋152 2
＝ 2.
16．已知最简二次根式 2a＋b与 a－1 3a－4能够合并， 求 a2＋b2－2的值．
解：因为最简二次根式 2a＋b与 a－1 3a－4能够合并， 所以 a－1＝2，2a＋b＝3a－4. 解得 a＝3，b＝－1.
4．(中考·凉山州)下列根式中，不．能．与 3合并的是( C )
A.
1 3
B. 3 3
C.
2 3
D. 12
5．下列根式中，化成最简二次根式后不．能．与最简二次根式
ab(a>0，b>0)合并的是( C )
北师大版八年级上册第二章实数第七节二次根式第三课时二次根式的加减及混合运算教案
第二章实数第七节二次根式第三课时二次根式的加减及混合运算教案一、教学目标1. 理解并掌握二次根式的加减及混合运算规则，理解其算术运算性质。
2. 学会对二次根式进行加减及混合运算，并能够应用于实际问题中。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：二次根式的加减及混合运算规则及其算术运算性质。
2. 教学难点：二次根式加减及混合运算的应用，以及运算符的使用。
三、教学过程1. 知识回顾：回顾二次根式的概念和相关性质，为后续学习做好准备。
2. 二次根式的加减运算：通过具体的例子，讲解二次根式加减运算的规则和方法，引导学生自己推导，加深理解。
3. 二次根式的混合运算：讲解二次根式与整式的加减乘除等混合运算的规则和方法，通过实例演示，帮助学生掌握。
4. 运算符的使用：强调运算符的优先级和运算顺序，通过练习题使学生掌握正确的运算方法。
5. 实际应用：结合具体实际问题，引导学生运用所学知识进行解决，提高其解决实际问题的能力。
四、教学方法和手段1. 讲解示范：通过实例演示，向学生讲解二次根式的加减及混合运算的规则和方法。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同探讨解决问题的方法，培养学生的合作精神。
3. 练习与反馈：提供练习题，要求学生进行练习，并及时给予反馈和指导，帮助学生巩固所学知识。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：选择代表性的题目进行课堂练习，检验学生的学习效果。
2. 课后作业：布置适量的课后作业，要求学生在规定时间内完成，培养学生的独立思考和解决问题的能力。
3. 评价与反馈：对学生的练习和作业进行评价，给予肯定和鼓励，同时指出不足之处，提出改进意见，帮助学生进一步提高。
六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：通过PPT展示，帮助学生更好地理解二次根式的概念和性质。
2. 各类题型练习：提供多种类型的练习题，包括选择题、填空题和计算题等，以便学生进行巩固和拓展。
北师大八年级数学上册第二章实数二次根式第3课时教学课件
第二章 实数
2.7 二次根式（第3课时）
一、新课引入
实数的运算法则、运算律在二次根式中也适用. 即二次根式可以进行加法、减法、乘法和除法的运算，
且满足：1加法交换律：a b b a；
2加法结合律： a b c a b c ；
3乘法交换律：a b b a；
本课结束
4乘法结合律： a b c a b c ； 5分配律：a b c a b a c.
其中a、b、c都是大于或等于0的实数
二、新课讲授
例 计算：
解：
二、新课讲授
第（3）题的另解：
24
1 6
3
2
6
6 6
3
2 1 6 3 6
11 2 6
11 2. 6
b ab2 .
因为b 2 0，所以原式 b b a .
将a 3，b 2代入原式，得原式 2 2 3.
二、新课讲授
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形
ABCD的面积.你有哪些方法？与同伴进行交流.
用切割的方法，先过点B作BE垂直AD 于点E，再过点C作CO垂直BE于点O.
四、强化训练
计算：
解：1 2 1 10 10 2 10 10 10 ；
5 10 5
10
10
10 10
2 12 3 1 2 3 3 3 2 1 1 3 4 3；
3
3
3
3
3 18
1 2
8
3
2
2 2
85 2 2
8 10；
42 75 8 27 2 5 3 2 2 3 3 2 5 3 3 2 2 7 3 2 2.
二、新课讲授
二次根式的加减法北师大版八年级数学上册精品课件
自学检测1
计算
1、7 3 1 3
2、 3 2 23
3、18 8
1、20 3 3
2、 6 6
1 3、5 2
8
4
二次根式的加减法北师大版八年级数 学上册 精品课 件
二次根式的加减法北师大版八年级数 学上册 精品课 件
计算
(1) 9a 25a ;
思考： 比较二次根式的加减与整式 的加减，你能得出什么结论?
35 23
2
3
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化
为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次
根式前面的因式及符号无关．
自学指导二
1.合并同类项： （1）3x2+2x2= 5x2 ; （2）x2+2x2+4y= 3x2+4y ;
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
在有理数
8+ 18
二次根式的加减法北师大版八年级数 学上册 精品课 件
二次根式的加减法北师大版八年级数 学上册 精品课 件
6、 若最简根式 2n1 3m 2n 与 3 可以合并，求
mn 的值.
解：由题意得32 1, 2
即 mn 4 1 6 .
32 3
归纳 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利 用被开方数相同，指数都为，列关于待定字母的方程 求解即可.
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类 二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式， (2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
自学检测1 1: 下列各式中,哪些是同类二次根式?
12
48
18
50
2018年秋季八年级数学上册第二章实数2.7二次根式第2课时二次根式的加、减、乘、除导学课件(新版)北师大版
1. 下列计算正确的是( C )
A． 2× 3＝6
B． 2＋ 3＝ 5
C． 8－ 2＝ 2
D． 8÷ 2＝4
2. 文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程
序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小 1，
若输入 7，则输出的结果为( B )
A．5
B．6
C．7
D．8
3. 计算：(1) 18－ 27＋ 8； (2) 50－ 32＋ 20. 解：(1)5 2－3 3； (2) 2＋2 5.
(2)3； (4)8＋3 5.
探究 ：一个直角三角形的两条直角边分别是 18 和 2 2，求该直角三角形周长和面积．
解：直角三角形的斜边长为 ( 18)2＋(2 2)2＝ 18＋8＝ 26.
直角三角形的周长为 18＋2 2＋ 26＝5 2＋ 26.
直角三角形的面积为12× 18×2 2＝6.
◎基础训练
A．1＋ 3
B．2＋ 3
C．2 3－1
D．2 3＋1
【解析】设 C 点对应的实数为 x，
则 x－ 3＝ 3－(－1)，∴x＝2 3＋1.
6. 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越 远，从而能接收电视节目信号的区域就越广．已知电视
塔高 h(m)与电视节目信号的传播半径 r(m)之间满足 r＝ 2Rh(其中 R 是地球半径)．现有两座高分别为 h1＝400
3. 二次根式的加减：二次根式加减时，通常应先将 每一个二次根式_化__简___，然后再将被开方数相同的二次 根式的_系__数___相加减，_被__开__方__数___不变．
4. 二次根式和_实__数___一样，可以进行加、减、乘、 除、乘方运算，而且_实__数___的运算法则和运算律对二次 根式仍然_适__用___．
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2.7.5二次根式的加减
1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根
式加减法的运算；(重点)
2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决
问题．(难点)
一、情境导入
小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在
客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不
同颜色的地砖，问能否截出？
二、合作探究
探究点一：被开方数相同的最简二次根式
已知最简二次根式2a＋b与a＋b
3a－4能够
合并同类项，求a＋b的值．
解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可．
解：∵最简二次根式2a＋b与a＋b
3a－4能够合并
同类项，∴a＋b＝2，2a＋b＝3a－4，解得a＝3，b＝－1，∴a＋b＝3＋(－1)＝2.
方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．
探究点二：二次根式的加减
【类型一】二次根式的加减运算
计算：12－1
3
－(2)2＋|2－3|.
解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式．
解：原式＝23－
3
3－2＋2－3＝⎝
⎛
⎭
⎫
2－
1
3－13＝
23
3.
方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化
成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合
并，合并时系数相加减，根式不变．
【类型二】二次根式的化简求值
先化简，再求值：
a2－b2
a÷⎝
⎛
⎭
⎫
a－
2ab－b2
a，其中
a＝2＋3，b＝2－ 3.
解析：先将原式化为最简形式，再将a与b的值代
入计算即可求出．
解：原式＝
（a＋b）（a－b）
a÷
a2－2ab＋b2
a＝
（a＋b）（a－b）
a·
a
（a－b）2
＝
a＋b
a－b
.当a＝2＋3，b＝2
－3时，原式＝
2＋3＋2－3
2＋3－2＋3
＝
4
23
＝
23
3.
方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或
整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的
步骤易造成错解．
【类型三】二次根式加减运算在实际生活中的应
用
母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小
号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈
妈，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2，
他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他
手上现有1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他
的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细
彩带(2≈1.414，结果保留整数)?
解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方
形的周长公式求所需金色细彩带的长．
解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋
450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为
1.2m＝120cm＜197.96cm，所以小号的金色细彩带不够
用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm的金色
细彩带．
方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应
认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．
三、板书设计
1．被开方数相同的最简二次根式
第 1 页共2 页
第 2 页 共 2 页
2．二次根式的加减
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐． 巩固练习： 一、选择题
1122
22
3
273 ）．
A ．①和②
B ．②和③
C ．①和④
D ．③和④
2．下列各式：①333；②
1
7
7=1；③
268224
3
=22，其中错误的有
（ ）．
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
3．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( ) (A)3和18
(B)3和3
1
(C)b a 2和2ab (D)1+a 和1-a 4．下列各式的计算中，成立的是( ) (A)5252=+ (B)15354=-
(C)y x y x +=+2
2 (D)52045=-
5．若1
21,1
21+=
-=
b a 则)(
a
b
b a ab -的值为( )
(A)2
(B)－2 (C)2 (D)22
二、填空题 181753a 293a 125323a a
3
0.2、-2
1
8
中，与3a 是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式a b a b 的最后结果是________．
3．若最简二次根式123+x 与13-x 是同类二次
根式，则x ＝______． 4．若最简二次根式b a +3与
b
a b 2+是同类二次根
式，则a ＝______，b ＝______． 5．计算： （1）a a a a a a a 1084
333273123-+-
（2）5.0753
128132-+--。