初三数学一模24题汇总

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2019年初三数学一模24题

专题：2019年初三数学一模24题汇编1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-（0a ≠）与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D .（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标；（3）如果点F 是抛物线上的一点，且135FBD ∠=︒，求点F 的坐标.2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与抛物线2y ax bx =+交于点(6,0)A 和点(1,5)B -.（1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；（2）如果点C 在直线AB 上，且BOC ∠的正切值是32，求点C 的坐标.3. 已知抛物线2y x bx c =++经过点(0,6)A ，点(1,3)B ，直线1:l y kx =(0)k ≠，直线2:2l y x =--，直线1l 经过抛物线2y x bx c =++的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为M ），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为N ）.（1）求抛物线2y x bx c =++的解析式；（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由；（3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当△MHF 与△OAB 相似时，求点F 、H 的坐标. （直接写出结果）4. 如图，已知，二次函数2y x bx =+的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P ，一次函数 132y x =-的图像交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，OCA ∠的正切值为23. （1）求二次函数的解析式与顶点P 坐标；（2）将二次函数图像向下平移m 个单位，设平移后抛物线顶点为P '，若ABP BCP S S ''=，求m 的值.5. 已知，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(5,0)A 、(3,4)B -，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D .（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB 、BD ，求BDO ∠的余切值；（3）如果点P 在线段BO 的延长线上，且PAO BAO ∠=∠，求点P 的坐标.6. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点(1,0)A -、(4,0)B ，且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）.（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD =CAD ∠的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标.7. 已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线12y x b=-+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线244y ax ax=-+经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴相交于点D.（1）求抛物线的表达式；（2）求证：△BOD∽△AOB；（3）如果点P在线段AB上，且BCP DBO∠=∠，求点P的坐标.8. 在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点(4,0)B 、(5,3)D ，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且△ABD 的面积是3.（1）求该抛物线的表达式；（2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当△APE 与△ABD 相似时，求点P 的坐标.9. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=. （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA OB =，若点 A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且45APB ∠=︒，求点P 的坐标.10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线1C ：2y ax bx =+（0a <）经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒.（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S ；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E 、F ，（点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式.11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点(4,0)B ，点(3,)A m 在抛物线上.（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan OAB ∠的值；（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果45BAD ∠=︒，求点D 的坐标.12. 如图，抛物线212y x bx c =-++经过点(2,0)A -，点(0,4)B .（1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果PBO BAO ∠=∠，求点P 的坐标；（3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果2EO OF =，求m 的值.13. 在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++(0)a >与x 轴交于(1,0)A -、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，对称轴为直线1x =，交x 轴于点E ，1tan 2BDE ∠=. （1）求抛物线的表达式；（2）若点P 是对称轴上一点，且DCP BDE ∠=∠，求点P 的坐标.14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数26y ax bx =++（a 、b 都是常数，且0a <）的图像与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ，顶点为点C .（1）求这个二次函数的解析式及点C 的坐标；（2）过点B 的直线132y x =-+交抛物线的对称轴于点D ，联结BC ，求CBD ∠的余切值；（3）点P 为抛物线上一个动点，当PBA CBD ∠=∠时，求点P 的坐标.15. 在平面直角坐标系xOy （如图）中，抛物线22y ax bx =++经过点(4,0)A 、(2,2)B ，与y 轴的交点为C .（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC 的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且45DOE ∠=︒，求点E 的坐标.16. 如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、(1,3)B，又与x轴正半轴相交于点A，45BAO∠=︒，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内.（1）求抛物线的表达式；（2）若BMP AOB∠=∠，求点P的坐标；（3）过点M作MC x⊥轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍，求MNNC的值.。

24题压轴题初三数学一模

（1）求该抛物线的表达式；
（2）求的正切值；
（3）如果点P是抛物线上的一点，且，试直接写出点的坐标．
10.已知在平面直角坐标系（如图7）中，已知抛物线点经过、 .
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的对称轴与轴的交点为，
第四象限内的点在该抛物线的对称轴上，如果
以点、、所组成的三角形与△ 相似，
（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．
4.在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线过点 .
（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）抛物线的对称轴与轴相交于点，求∠PMC的正切值；
（3）点在轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点的坐标．
3.如图9，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点
A（-1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线．
（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（1）求直线BC及该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．
14.在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H.
（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离；
求点的坐标；
（3）设点在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是，

2019上海初三数学一模综合题24题

2019上海初三数学一模二次函数综合题24题24.（普陀）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-（0a ≠）与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D .（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标；（3）如果点F 是抛物线上的一点，且135FBD ∠=︒，求点F 的坐标.24. （奉贤）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与抛物线2y ax bx =+交于点(6,0)A 和点(1,5)B -. （1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；（2）如果点C 在直线AB 上，且BOC ∠的正切值是32，求点C 的坐标.24. （金山）已知抛物线2y x bx c =++经过点(0,6)A ，点(1,3)B ，直线1:l y kx =(0)k ≠，直线2:2l y x =--，直线1l 经过抛物线2y x bx c =++的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为M ），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为N ）.（1）求抛物线2y x bx c =++的解析式；（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由；（3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当△MHF 与△OAB 相似时，求点F 、H 的坐标. （直接写出结果）24. （宝山）如图，已知，二次函数2y x bx =+的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P ，一次函数132y x =-的图像交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，OCA ∠的正切值为23. （1）求二次函数的解析式与顶点P 坐标；（2）将二次函数图像向下平移m 个单位，设平移后抛物线顶点为P '，若ABP BCP SS ''=，求m 的值.24. （闵行）已知，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(5,0)A 、(3,4)B -，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D .（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB 、BD ，求BDO ∠的余切值；（3）如果点P 在线段BO 的延长线上，且PAO BAO ∠=∠，求点P 的坐标.24. （青浦）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点(1,0)A -、(4,0)B ，且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）.（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD =CAD ∠的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标.24. （浦东）已知，如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y x b =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线244y ax ax =-+经过点A 和点B ，并与x 轴相交于另一点C ，对称轴与x 轴相交于点D .（1）求抛物线的表达式；（2）求证：△BOD ∽△AOB ；（3）如果点P 在线段AB 上，且BCP DBO ∠=∠，求点P 的坐标.24. （静安）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点(4,0)B 、(5,3)D ，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且△ABD 的面积是3.（1）求该抛物线的表达式；（2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当△APE 与△ABD 相似时，求点P 的坐标.24. (杨浦）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=. （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA OB =，若点 A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且45APB ∠=︒，求点P 的坐标.24. （徐汇）如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线1C ：2y ax bx =+（0a <）经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒.（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S ；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E 、F ，（点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式.24. （虹口）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点(4,0)B ，点(3,)A m 在抛物线上.（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan OAB ∠的值；（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果45BAD ∠=︒，求点D 的坐标.24.（松江）如图，抛物线212y x bx c =-++经过点(2,0)A -，点(0,4)B .（1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果PBO BAO ∠=∠，求点P 的坐标；（3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果2EO OF =，求m 的值.24. （黄浦）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++(0)a >与x 轴交于(1,0)A -、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，对称轴为直线1x =，交x 轴于点E ，1tan 2BDE ∠=. （1）求抛物线的表达式；（2）若点P 是对称轴上一点，且DCP BDE ∠=∠，求点P 的坐标.24. （崇明）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数26y ax bx =++（a 、b 都是常数，且0a <）的图像与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ，顶点为点C .（1）求这个二次函数的解析式及点C 的坐标；（2）过点B 的直线132y x =-+交抛物线的对称轴于点D ，联结BC ，求CBD ∠的余切值；（3）点P 为抛物线上一个动点，当PBA CBD ∠=∠时，求点P 的坐标.24. （嘉定）在平面直角坐标系xOy （如图）中，抛物线22y ax bx =++经过点(4,0)A 、(2,2)B ，与y 轴的交点为C .（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC 的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且45DOE ∠=︒，求点E 的坐标.24. （长宁）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、(1,3)B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，45BAO ∠=︒，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作PM ∥OB ，与抛物线交于点M ，且点M 在第一象限内.（1）求抛物线的表达式；（2）若BMP AOB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）过点M 作MC x ⊥轴，分别交直线AB 、x 轴于点N 、C ，若△ANC 的面积等于△PMN 的面积的2倍，求MNNC 的值.。

2024届上海初三一模数学各区24题二次函数综合题

上海市2024届初三一模数学分类汇编—24题二次函数综合题【2024届·宝山区·初三一模·第24题】1.（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）题满分4分，第（3）题满分4分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线212y x平移，使平移后的抛物线仍经过原点O ，新抛物线的顶点为M （点M 在第四象限），对称轴与抛物线212y x 交于点N ，且4MN ．（1）求平移后抛物线的表达式；（2）（3）是等腰第24题图备用图2.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）已知在直角坐标平面xOy 中，抛物线2y ax bx c （0a ）经过点 1,0A 、 3,0B 、 0,3C 三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点D 是点C 关于抛物线对称轴对称的点，联结AD 、BD ，将抛物线向下平移m （0m ）个单位后，点D 落在点E 处，过B 、E 两点的直线与线段AD 交于点F （F 不与点A 、D 重合）．①如果2m ，求tan DBF 的值；②如果BDF 与ABD 相似，求m 的值．图113.（本题满分12分，第（1）小题①满分4分，第（1）小题②满分4分，第（2）小题满分4分）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线x m 对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线x m 的镜像抛物线．（1）如图11，已知抛物线22y x x ，顶点为A ．①求该抛物线关于y 轴的镜像抛物线的表达式；②已知该抛物线关于直线x m 的镜像抛物线的顶点为B ，如果1tan 4OBA （OBA 是锐角），求m 的值；（2）已知抛物线214y x bx c（0b ）的顶点为C ，它的一条镜像抛物线的顶点为D ，这两条抛物线的交点为 2,1E ．如果CDE 是直角三角形，求该抛物线的表达式．图134.（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）①题满分4分，第（2）②题满分4分）如图13，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x x m 经过点 3,0A ，与y 轴交于点C ，联结AC 交该抛物线的对称轴于点E ．（1）求m 的值和点E 的坐标；（2）点M 是抛物线的对称轴上一点且在直线AC 的上方．①联结AM 、CM ，如果AME MCA ，求点M 的坐标；②点N 是抛物线上一点，联结MN ，当直线AC 垂直平分MN 时，求点N 的坐标．第24题图（本题满分4分）5.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）如图，直线3y x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．对称轴为直线1x 的抛物线2y ax bx c 经过点A 、B ，其与x 轴的另一交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段AB 上点P 处，得到新抛物线L ，其与直线3y x 的另一个交点为Q ．①如果抛物线L 经过点A ，且与x 轴的另一交点为D ，求线段CD 的长；②试问：CPQ 的面积是否随点P 在线段AB 上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出CPQ 面积．图106.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）定义：对于抛物线2y ax bx c （a 、b 、c 是常数，0a ），若2b ac ，则称该抛物线是黄金抛物线．已知平面直角坐标系xOy （图10），抛物线22y x x k 是黄金抛物线，与y 轴交于点A ，顶点为D ．（1）求此黄金抛物线的表达式及D 点坐标；（2）点 2,B b 在这个黄金抛物线上，①点1,2C c在这个黄金抛物线的对称轴上，求OBC 的正弦值；②在射线AB 上是否存在点P ，使以点P 、A 、D 所组成的三角形与AOD 相似，且相似比不为1？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第24题图7.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c 经过点 1,0A 、 3,0B 、 0,3C ．（1）求抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点D 在抛物线对称轴上，90PAD ，求点D 的坐标；（3）抛物线的对称轴和x 轴相交于点M ，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q ，QB QM ，QO 的延长线交原抛物线于点E ，QO OE ，求新抛物线的表达式．第24题图8.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知点 2,0A 、 6,0B 、 0,8C 、322,3D在同一个二次函数的图像上．（1）请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；（2）如果射线BE 平分ABC ，交y 轴于点E ，①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段BE 的点F 处，求此时抛物线顶点F 的坐标；②如果点P 在射线BE 上，当PBC 与BOE 相似时，请求点P 的坐标．第24题图9.已知，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为 8,0，点B 的坐标为 0,6．抛物线21:2C y ax x上有一点P ，以点P 为顶点的抛物线2C 经过点B （点P 与点B 不重合），抛物线1C 和2C 形状相同，开口方向相反．（1）当抛物线1C 经过点A 时，求抛物线1C 的表达式；（2）求抛物线2C 的对称轴；（3）当0a 时，设抛物线1C 的顶点为Q ，抛物线2C 的对称轴与x 轴的交点为F ，联结PQ 、QO 、FQ ，求证：QO 平分PQF ．第24题图10.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:M y x bx c 过点 2,2A 、点 0,2B ，顶点为点C ，抛物线M 的对称轴交x 轴于点D ．（1）求抛物线M 的表达式和点C 的坐标；（2）点P 在x 轴上，当AOP 与ACD 相似时，求点P 坐标；（3）将抛物线M 向下平移t （0t ）个单位，得到抛物线N ，抛物线N 的顶点为点E ，再把点C 绕点E 顺时针旋转135 得到点F ．当点F 在抛物线N 上时，求t 的值．图12图24311.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．在图243 中，四边形1A B 和四边形2222A B C D 都与四边形ABCD 形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．交于点M ，与①中的抛物线交于点N ，请判断1OA N 和OAM 是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．第24题图12.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx 经过点 1,2A 和点 2,1B ，与y 轴交于点C ．（1）求a 、b 的值和点C 的坐标；（2）点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），当PCB ACB 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线CA 上，设平移后的抛物线的顶点为点D ，当CDP 与CAP 相似时，求平移后的抛物线的表达式．第24题图13.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c （0a ）的图像经过原点 0,0O 、点 1,3A a ，此抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，顶点为B ．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果该抛物线与x 轴负半轴的交点为D ，且ADC 的正切值为2，求a 的值；（3）将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A 、B 分别对应新抛物线上的点E 、P ．联结PA ，如果点P 在y 轴上，//PA x 轴，且EPA CBO ，求新抛物线的表达式．第24题图第24题备用图14.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，第二象限的点M 在抛物线2y ax （0a ）上，点M 到两坐标轴的距离都是2．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线2y ax （0a ）先向右平移32个单位，再向下平移k （0k ）个单位后，所得新抛物线与x 轴交于点 ,0A m 和点 ,0B n ，已知m n ，且4mn ，与y 轴负半轴交于点C ．①求k 的值；②设直线444第24题图15.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y ax ax （0a ）与x 轴交于点A 、点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，且4AB ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是线段BC 上一点，如果45PAC ，求点P 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D 平移至点E 处，过点E 作EF 直线AP ，垂足为点F ，如果1tan 2PEF ，求平移后抛物线的表达式．第24题图备用图16.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）已知抛物线212y x bx c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x 经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C 、F 两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF 时，求PDF 的正切值；②如果:3:5PD DE ，求点P 的坐标．。

中考一模测试数学试卷附答案解析

一．选择题(满分48分,每小题4分)
1.下列各数中,比-4小的数是()
A. B. C.0D.2
2.下面有四个图案,其中不是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
3.抛物线y＝(x﹣2)2+3的顶点坐标是()
A.(2,3)B.(﹣2,3)C.(2,﹣3)D.(﹣2,﹣3)
4.已知AB=AC．如图,D、E为∠BAC的平分线上的两点,连接BD、CD、BE、CE；如图4,D、E、F为∠BAC的平分线上的三点,连接BD、CD、BE、CE、BF、CF；如图5,D、E、F、G为∠BAC的平分线上的四点,连接BD、CD、BE、CE、BF、CF、BG、CG……依此规律,第17个图形中有全等三角形的对数是()
故选C．
考点：命题与定理．
6.下列整数中,与最接近的是
A.4B.5C.6D.7
【答案】C【解析】【分析】由于9＜＜16,可判断与4最接近,从而可判断与10− 最接近的整数为6．
(3)根据以上分析,你认为组(填”A”或”B”)的同学对今年”两会”知识的知晓情况更好一些,请写出你这样判断的理由(至少写两条)：①②．
四．解答题(共5小题,满分40分)
22.问题呈现：我们知道反比例函数y＝ (x＞0) 图象是双曲线,那么函数y＝ +n(k、m、n为常数且k≠0)的图象还是双曲线吗？它与反比例函数y＝ (x＞0)的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……
A组同学的测试成绩分别为：91 91 86 93 85 89 89 88 87 91
B组同学的测试成绩分别为：88 97 88 85 86 94 84 83 98 87
根据以上数据,回答下列问题：
(1)完成下表：
组别
平均数

上海市静安区2023届九年级初三数学一模试卷+答案

2023年上海市静安区中考数学一模试卷本试卷共有25道试题，满分150分，考试时间100分钟一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、下列实数中，无理数是（▲）C. 0(2)π+ D.872、计算32x x⋅所得的结果是（▲）A. 9xB. 6xC. 5xD. x3、如果非零向量a、b互为相反向量，那么下列结论中错误的是（▲）A. a∥bB. a b= C. 0a b+= D. a b=−4、如图，已知ABC∆与DEF∆，下列条件一定能推得它们相似的是（▲）A. A D∠=∠，B E∠=∠ B. A D∠=∠且AB BCDF EF=C. A B∠=∠，D E∠=∠ D. A E∠=∠且AB ACDE DF=5、如果060A︒<∠<︒，那么sin A与cos A的差（▲）A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 不能确定6、如图，在ABC∆中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE.下列结论成立的是（▲）A.13DG AG= B.BG DEEG AB= C.14DEGAGBSS∆∆= D.12CDEAGBSS∆∆=二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、13的倒数是_____▲_____. 8、计算：4222aa a +=++_____▲_____.9、已知:2:3a b =，那么aa b+的值是_____▲_____.10、抛物线2(1)2y x =+−与y 轴的交点坐标是_____▲_____.11、请写出一个以直线3x =为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是_____▲_____（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）.12、有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB 宽20米，拱桥的最高点O 距离水面AB 为3米，如图建立直角坐标平面xOy ，那么此抛物线的表达式为 _____▲_____.13、一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC 、AD ，且迎水坡AB 的坡度为1:2.5，背水坡CD 的坡度为1:3，则迎水坡AB 的坡角_____▲_____背水坡CD 的坡角（填“大于”或“小于”）.14、已知111222ABC A B C A B C ∆∆∆∽∽，ABC ∆与111A B C ∆的相似比为15，ABC ∆与222A B C ∆的相似比为23，那么111A B C ∆与222A B C ∆的相似比为_____▲_____.15、在矩形ABCD 内作正方形AEFD （如图所示），矩形的对角线AC 交正方形的边EF 于点P .如果点F 恰好是边CD 的黄金分割点（DF FC >），且2PE =，那么PF = _____▲_____.16、在ABC ∆中，6AB =，5AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，当4AD =，ADE C ∠=∠时，DEBC=_____▲_____. 17、如图，ABC ∆绕点C 逆时针旋转90︒后得DEC ∆，如果点B 、D 、E 在一直线上，且60BDC ∠=︒，3BE =，那么A 、D 两点间的距离是_____▲_____.18、定义：把二次函数2()y a x m n =++与2()y a x m n =−−−（0a ≠，m 、n 是常数）称作互为“旋转函数”.如果二次函数2322y x bx =+−与214y x cx c =−−+（b 、c 是常数）互为“旋转函数”，写出点(,)P b c 的坐标_____▲_____. 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19、（本题满分10分）2cot 45sin 45tan 45︒−︒⎛⎫+ ⎪︒⎝⎭.如图，已知在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2BD AD =，12AE EC =. （1）求证：DE ∥BC ；（2）设BE a =，BC b =，试用向量a 、b 表示向量AC .21、（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知在ABC ∆中，B ∠为锐角，AD 是BC 边上的高，5cos 13B =，13AB =，21BC =.（1）求AC 的长；（2）求BAC ∠的正弦值.有一把长为6米的梯子AB ，将它的上端A 靠着墙面，下端B 放在地面上，梯子与地面所成的角为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）.一般满足5075α︒≤≤︒时，人才能安全地使用这架梯子.（1）当梯子底端B 距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A 离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A 沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D 点处停止，梯子底端B 也随之向后平移到地面上的点E 处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DF 分别交对角线AC 、底边BC 于点E 、F ，且AD AC AE BC ⋅=⋅.（1）求证：AB ∥FD ；（2）点G 在底边BC 上，10BC =，3CG =，联结AG ，如果AGC ∆与EFC ∆的面积相等，求FC 的长.24、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①、②小题各4分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =+−（0a ≠）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），交y 轴与点C ，联结BC ，ABC ∠的余切值为13，8AB =，点P 在抛物线上，且PO PB =.（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O 和点P ，新抛物线的对称轴与x 轴交于点E . ①求新抛物线的对称轴；②点F 在新抛物线对称轴上，且EOF PCO ∠=∠，求点F 的坐标.25、（本题满分14分，第（1）①、②小题各5分，第（2）小题4分）在等腰直角ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，点D 为射线CB 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），以AD 为腰且在AD 的右侧作等腰直角ADF ∆，90ADF ∠=︒，射线AB 与射线FD 交于点E ，联结BF .（1）如图1所示，当点D 在线段CB 上时， ①求证：ACD ABF ∆∆∽；②设CD x =，tan BFD y ∠=，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当2AB BE =时，求CD 的长.2023年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案1-6、BCCADC 7、38、29、2510、(0,1)−11、2(3)y x =−（答案不唯一，形为2(3)y a x c =−+（0a >）的均为正确答案）12、23100y x =−13、大于 14、103151−16、451718、1,23P ⎛⎫− ⎪⎝⎭19、3220、（1）证略；（2）3322b a − 21、（1）20；（2）636522、（1）65α≈︒，此时人可以安全地使用这架梯子；（2）不能，此时46α≈︒23、（1）证略；（224、（1）21262y x x =+−；（2）①对称轴直线4x =；②84,5F ⎛⎫ ⎪⎝⎭或84,5F ⎛⎫− ⎪⎝⎭25、（1）①证略；②44xy x−=+（04x <<）；（2）3。

上海市闵行区2023届九年级初三数学一模试卷+答案

2023年上海市闵行区中考数学一模试卷本试卷共有25道试题，满分150分，考试时间100分钟一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、下列各组图形一定相似的是（ ▲ ） A. 两个直角三角形 B. 两个菱形C. 两个矩形D. 两个等边三角形2、如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、C 、E 和点B 、D 、F ，如果:3:1AC CE =，10BF =，那么DF 等于（ ▲ ）A.103B.203C.52D.1523、如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，B β∠=，CD AB ⊥，垂足为点D ，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是（ ▲ ）A.ADBDB.ACABC.ADACD.CDBC4、下列说法正确的是（ ▲ ） A. 如果e 为单位向量，那么a a e =B. 如果a b =−，那么a ∥bC. 如果a 、b 都是单位向量，那么a b =D. 如果a b =，那么a b =5、抛物线22y x =向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ▲ ） A. (3,0)−B. (3,0)C. (0,3)−D. (0,3)6、如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB .如果3AC BDOC OD==，且量得4CD =cm ，则零件的厚度x 为（ ▲ ）A. 2cmB. 1.5cmC. 0.5cmD. 1cm二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、如果3a b =（0b ≠），那么a bb+=_____▲_____. 8、化简：()22333a b b −+−=_____▲_____. 9、已知2()2f x x x =+，那么(1)f 的值为_____▲_____.10、抛物线22y x =在对称轴的左侧部分是_____▲_____的（填“上升”或“下降”）. 11、已知两个相似三角形的相似比为2:3，那么这两个三角形的面积之比为_____▲_____. 12、设点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），2AB =，那么线段AP 的长是 _____▲_____.13、在直角坐标平面内有一点(5,12)A ，点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么sin θ的值为_____▲_____.14、已知D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点（不与端点重合），要使得ADE ∆与ABC ∆相似，那么添加一个条件可以为_____▲_____（只填一个）.15、已知一斜坡的坡角为30︒，则它的坡度i =_____▲_____.16、如图，一艘船从A 处向北偏西30︒的方向行驶5海里到B 处，再从B 处向正东方向行驶8千米到C 处，此时这艘船与出发点A 处相距_____▲_____海里.17、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，9AB =，cot 2A =，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，将ABC ∆沿着折痕DE 翻折后，点A 恰好落在线段BC 的延长线上的点P 处，如果BPD A ∠=∠，那么折痕DE 的长为_____▲_____.18、阅读：对于线段MN 与点O （点O 与MN 不在同一直线上），如果同一平面内点P 满足：射线OP 与线段MN 交于点Q ，且12OQ OP =，那么称点P 为点O 关于线段MN 的“准射点”.问题：如图，矩形ABCD 中，4AB =，5AD =，点E 在边AD 上，且2AE =，联结BE .设点F 是点A 关于线段BE 的“准射点”，且点F 在矩形ABCD 的内部或边上，如果点C 与点F 之间距离为d ，那么d 的取值范围为_____▲_____.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19、（本题满分10分）)11311cos308−⎛⎫−+︒⎪⎝⎭.20、（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，已知ABC∆中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过ABC∆的重心，设AB a=，AC b=.（1）DE=_____▲_____（用向量a、b表示）；（2）求作：13a b+（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）.21、（本题满分10分，每小题各5分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x =−++与y 轴交于点A ，其顶点坐标为B .（1）求直线AB 的表达式；（2）将抛物线223y x x =−++沿x 轴正方向平移m （0m >）个单位后得到的新抛物线的顶点C 恰好落在反比例函数16y x=的图像上，求ACB ∠的余切值.22、（本题满分10分）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射.天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度10.6BD =米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”.已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A 处测得飞船底部D 处的仰角为45︒，顶部B 处的仰角为53︒，求此时观测点A 到发射塔CD 的水平距离（结果精确到0.1米）.（参考数据：sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）23、（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF AC ⊥，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G .（1）求证：ABD ACE ∠=∠；（2）求证：2CD DG BD =⋅.24、（本题满分12分，每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过(1,3)A −、(2,0)B ，点C 是该抛物线上的一个动点，联结AC ，与y 轴的正半轴交于点D .设点C 的横坐标为m . （1）求该抛物线的表达式；（2）当32DC AD =时，求点C 到x 轴的距离；（3）如果过点C 作x 轴的垂线，垂足为点E ，联结DE ，当23m <<时，在CDE ∆中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由.25、（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图1，点D 为ABC ∆内一点，联结BD ，CBD BAC ∠=∠，以BD 、BC 为邻边作平行四边形DBCE ，DE 与边AC 交于点F ，90ADE ∠=︒. （1）求证：ABC CEF ∆∆∽；（2）延长BD ，交边AC 于点G ，如果CE FE =，且ABC ∆的面积与平行四边形DBCE 面积相等，求AGGF的值；（3）如图2，联结AE ，若DE 平分AEC ∠，5AB =，2CE =，求线段AE 的长.2023年上海市闵行区中考数学一模试卷参考答案1-6、DCABCD 7、48、2a −9、310、下降11、4:9121−13、121314、ADE B ∠=∠（或DE ∥BC 等，答案不唯一）15、16、717、 18、5d ≤≤19、20、（1）2233b a −；（2）图略 21、（1）3y x =+；（2）4 22、32.1米23、（1）证略；（2）证略 24、（1）22y x x =−；（2）34；（3）45DEC EDO ∠=∠=︒25、（1）证略；（2）2；（3）2。

初三数学一模试题及答案

初三数学一模试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，是无理数的是（）。

A. 0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）B. 0.1010010001…（每两个1之间依次多一个1）C. πD. 0.33333（3无限循环）2. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么这个三角形的周长是（）。

A. 7B. 10C. 11D. 143. 如果一个数的平方根是它本身，那么这个数是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 0或14. 函数y=2x+1的图象不经过第几象限（）。

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限A. 0B. 1C. -1D. 任意数6. 已知一个角的余角是30°，那么这个角的补角是（）。

A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°7. 一个数的绝对值是它本身，这个数是（）。

A. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数8. 一个二次函数的顶点坐标是（2，3），那么这个函数的解析式可以是（）。

A. y=(x-2)^2+3B. y=-(x-2)^2+3C. y=(x+2)^2-3D. y=-(x+2)^2-39. 一个数的立方根是它本身，这个数是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 0或1或-1A. 0B. 1C. -1D. 1或-1二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______。

2. 一个数的相反数是-2，这个数是______。

3. 一个数的平方是25，这个数可以是______。

4. 一个数的立方是-8，这个数是______。

5. 一个角的补角是120°，这个角的度数是______。

6. 一个角的余角是60°，这个角的度数是______。

7. 一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，那么这个三角形的周长是______。

8. 函数y=3x-2与x轴的交点坐标是______。

上海市2019届初三数学一模提升题汇编第24题(二次函数综合)(word版含答案)

2019届一模提升题汇编第24题（二次函数综合）【2019届一模徐汇】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线C 1:2(0)y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，AO =OB =2，120AOB ∠=o ．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S V ；（3）将抛物线C 1向上平移得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线C 2的表达式．【24．解：（1）过A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，∵OB=2，∴B （2,0）………………………………（1分） ∵120AOB ∠=︒∴60,30AOH HAO ∠=︒∠=︒．（第24题图）∵抛物线21:C y ax bx A B =+经过点、，∴MBF 150∠=︒．由抛物线的轴对称性得：MO=MB ， ∴MBO MOB=150∠=∠︒． ∵OB=120A ∠︒，∴OM=150A ∠︒∴OM=MBF A ∠∠．【2019届一模浦东】24. （本题满分12分，其中每小题各4分）已知：如图9，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y x b =-+与x 轴相交于点A ，与y轴相交于点B . 抛物线244y ax ax =-+经过点A 和点B ，并与x 轴相交于另一点C ，对称轴与x 轴相交于点D .（1）求抛物线的表达式;（2）求证: △BOD ∽△AOB ;（3）如果点P 在线段AB 上，且∠BCP =∠DBO ，求点P 的坐标.【2019届一模杨浦】24．（本题满分12分，每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++?与y 轴交于点C （0,2），它的顶点为D （1,m ），且1tan 3COD ?. （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA =OB .若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；Oxy 1 2 3 412 3 4 5 -1 -2 -3-1 -2 -3 （第24题图）求P 点的坐标.【24．解：（1）作DH ⊥y 轴，垂足为H ，∵D （1,m ）（0m >），∴DH = m ，HO =1.∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （1,3）.又∵抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点C （0,2），（2）∵将此抛物线向上平移，∴设平移后的抛物线表达式为222(0)y x x k k =-+++>，. .................. （1分）则它与y 轴交点B （0,2+k ）.∵平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点A ，且OA =OB ，∴A 点的坐标为（2+k ,0）. .（1分）∴20(2)2(2)2k k k =-+++++.∴122,1k k =-=.∵0k >，∴1k =.∴A （3,0），抛物线222y x x =-++向上平移了1个单位. . .................. （1分）∵A （3,0），B （0, 3），∴∠OAB =45°, ∴∠AMH =45°. ∵∠BMP =∠AMH , ∴∠BMP =45°. ∵∠APB =45°, ∴∠BMP =∠APB .∵∠B =∠B ，∴△BMP ∽△BP A . .................... （2分）【2019届一模普陀】24．（本题满分12分）如图10，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-(0)a ≠与x 轴交于点A ()1,0-和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；xOy（2）如果点E 是y 轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标；（3）如果点F 是抛物线上的一点，且135FBD ∠=，求点F 的坐标．【24．解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A ()1,0-和点，且3OB OA =，∴点的坐标是()3,0． ······················ （1分）解法一：由抛物线23y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0．B B 图10得03,093 3.a b a b =--⎧⎨=+-⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=-⎩ ·················· （1分）∴抛物线的表达式是223y x x =--． ··············· （1分）点D 的坐标是()1,4-． ······················ （1分）解法二：由抛物线23y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0．可设抛物线的表达式为(1)(3)y a x x =+-，由抛物线与y 轴的交点C 的坐标是()0,3-，得3(01)(03)a -=+-，解得1a =． ·················· （1分） ∴抛物线的表达式是223y x x =--． ················ （1分）点D 的坐标是()1,4-． ······················ （1分）（2）过点D 作DH OC ⊥，H 为垂足．∴90DHO ∠=．∴90DEH EDH ∠+∠=． ∵BE DE ⊥，∴90DEH BEO ∠+∠=． ∴BEO EDH ∠=∠．又∵BOE EHD ∠=∠，∴△BOE ∽△EHD ． ·············（1分） ∵点D 的坐标是()1,4-，∴1DH =，4OH =．∵点的坐标是()3,0，∴3OB =．B∴1OE =或3OE =． ························ （1分） ∵点E 与点C 不重合，∴1OE =．∴点E 的坐标是()0,1-． ······················ （1分）（3）过点F 作FG x ⊥轴，G 为垂足．作45DBM ∠=，由第（2）题可得，点M 与点E 重合． ∵1OE =，1DH =，∴OE DH =．可得△BOE ≌△EHD ． ∴BE ED =． ∵90BED ∠=，∴45DBE ∠=． ∵135FBD ∠=，∴90FBE ∠=． ·························· （1分） ∴OBE GFB ∠=∠．∴在Rt △BOE 中，90BOE ∠=，∴cot 3OBE ∠=∴cot 3GFB ∠=． ··· （1分） ∴3FG BG =．设点F 点的坐标为()2,23m m m --． ∴223FG m m =--,3BG m =-．∴2233(3)m m m --=-． ····················· （1分）解得3m =，4m =-．∵3m =不合题意舍去，∴4m =-．点F 的坐标是()4,21-．（1分）】【2019届一模奉贤】24．（本题满分12分，每小题满分6分）如图10，在平面直角坐标系中，直线AB 与抛物线2y ax bx =+交于点A (6，0)和点B (1，－5)．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；（2）如果点C 在直线AB 上，且∠BOC 的正切值是32，求点C 的坐标．【24．解：（1）由题意得，抛物线2y ax bx =+经过点A (6，0)和点B (1，－5)，代入得3660,5.a b a b ì+=ïïíï+=-ïî 解得 1,6.a b ì=ïïíï=-ïî ∴抛物线的表达式是26y x x =-. （4分）由题意得，设直线AB 的表达式为y kx b =+，它经过点A (6，0)和点B (1，－5)，代入得60,5.k b k b ì+=ïïíï+=-ïî 解得 1,6.k b ì=ïïíï=-ïî∴直线AB 的表达式是6y x =-. （2分）（2）过点O 作OH AB ^，垂足为点H ．设直线AB 与y 轴交点为点D ，则点D 坐标为()0,6-.xOy 图10ABxyo①当点C 在点B 上方时，BOCCBO ??.∴CO CB =．--------------------------------------------------------------------（2分）②当点C 在点B 下方，BOC CBO ??时，OC //AB . 点C 不在直线AB 上. · （1分）【2019届一模松江】24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，抛物线c bx x y ++-=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）. （1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；(第24题图)y xOBADE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO =2OF ，求m 的值.【24．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4）∴⎩⎨⎧==+--4022c c b …………（1分），解得14b c =⎧⎨=⎩………………………（1分）(第24题图)y xO BA ED FH∵∠PBO =∠BAO ，∴tan ∠PBO =tan ∠BAO ，则()0,4D m -,()2,4E m -，DE =2……………………（1分）过点F 作FH ⊥y 轴，垂足为H ，∵DE ∥FH ，EO =2OF∴综上所述m 的值为3或5.】【2019届一模嘉定】24．（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy （如图7）中，抛物线22++=bx ax y 经过点)0,4(A 、)2,2(B ，与y 轴的交点为C ．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC 的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且︒=∠45DOE ，求点E 的坐标．【24. 解：（1）∵抛物线22++=bx ax y 点经过)0,4(A 、)2,2(B∴⎩⎨⎧=++=++222402416b a b a ……………………1分图7O 11 xy-1 -1∴点C 的坐标为)0,2(， ……………………1分过点M 作y MH ⊥轴，垂足为点H∴AOC MHC AOHM AMC S S S S ∆∆∆--= …………1分（3）联结OB过点B 作x BG ⊥轴，垂足为点G∵点B 的坐标为)2,2(，点A 的坐标为)0,4(∴2=BG ，2=GA ∴△BGA 是等腰直角三角形∴︒=∠45BAO 同理：︒=∠45BOA∵点C 的坐标为)0,2(∴2=BC ，2=OC 由题意得，△OCB 是等腰直角三角形∴DBO BAO ∠=∠∵︒=∠45DOE ∴︒=∠+∠45BOE DOB ∵︒=∠+∠45EOA BOE ∴DOB EOA ∠=∠ ∴△AOE ∽△BOD∴点D 的坐标为)2,1(∴1=BD …………1分过点E 作x EF ⊥轴，垂足为点F 易得，△AFE 是等腰直角三角形 ∴1==AF EF∴点E 的坐标为)1,3( …………1分】【2019届一模青浦】24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）．（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD，求∠CAD 的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．【24．解：（1）设平移后的抛物线的解析式为2+=-+y x bx c ． ········ （1分）（第24题图）（备用图）将A （-1，0）、B （4，0），代入得101640.，--+=⎧⎨-++=⎩b c b c ···················· （1分）解得：34.，=⎧⎨=⎩b c所以，2+34=-+y x x ． ··················· （1分）（2）∵2+34=-+y x x ，∴点C 的坐标为（0，4） ············· （1分）．设直线BC 的解析式为y = kx +4，将B （4，0），代入得kx +4=0，解得k =-1， ∴y = -x +4．设点D 的坐标为（m ，4- m ）．∴点D 的坐标为（1，3）． ····················· （1分）过点D 作DM ⊥AC ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足分别为点M 、N ．（3）设点Q 的坐标为（n ，2+34-+n n ）．如果四边形ECPQ 是菱形，则0>n ，PQ ∥y 轴，PQ =PC ，点P 的坐标为（n ，4-+n ）．【2019届一模静安】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中（如图10），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过点(40)B ，、(53)D ，，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD ∆的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE ∆与 ABD ∆相似时，求点P 的坐标．【24．解：（1）过点D 作DH ⊥x 轴，交x 轴于点H ． ∴2AB =． ··························· （1分）BD O图10xy﹒﹒∵(4,0)B ，点A 在点B 的左侧，∴(2,0)A ． ··························· （1分）把(2,0)A ，(4,0)B ，(5,3)D 分别代入2y ax bx c =++，得04201643255a b c a b c a b c=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩解得168a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ． ················· （1分）∴抛物线解析式是268y x x =-+． ················· （1分）（2）过点B 作BG AD ⊥，交AD 于点G ． ·············· （1分）由(2,0)A ，(5,0)H ，(5,3)D ，得ADH ∆是等腰直角三角形，且45HAD ∠=（3）∵抛物线268y x x =-+与y 轴交于点(0,8)C ，又(5,3)D ， ∴直线CD 的解析式为8y x =-+，∴(8,0)E ． ··························· （1分） ①_x0001_ 当点P 在线段AD 上时，APE ∆∽ABD ∆，点,,A P E 分别与点,,A B D 对应，则∴2AQ PQ ==，即(4,2)P ． ····················（1分） ②当点P 在线段AD 延长线上时，APE ADB ∠=∠，∴EP //DB过点P 作PR x ⊥轴于点R ，∴9AR PR ==， ························ （1分）即(11,9)P ． ·························· （1分） ∴APE ∆与ABD ∆相似时，点P 的坐标为 (4,2)或 (11,9)．】【2019届一模宝山】24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）如图9，已知：二次函数的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P ,一次函数的图像交x 轴于点B ，交y 轴于点C , ∠OCA 的正切值为． (1)求二次函数的解析式与顶点P 坐标；(2)将二次函数图像向下平移m 个单位,求m 的值．【 24.（本题满分12分,每小题满分各6分）解：（1）∵一次函数y =图像与y 轴交于点C ∴C （0，-3）… …1分2y x bx =+132y x =-2（图9）∴A 的坐标(2,0) (1)分把A 的坐标(2,0)代入得..................... (1)分 ∴二次函数解析式是，顶点P 坐标（1，-1）…… ……2分 (2)设点P ′坐标（1，-1-m ），根据题意可知m >0 ……………………………1分【2019届一模长宁】24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、点)3,1(B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，︒=∠45BAO ，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作OB PM //，与抛物线交于点M ，且点M 在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若AOB BMP ∠=∠，求点P 的坐标；（3）过点M 作x MC ⊥轴，分别交直线AB 、x 轴于点N 、C ，若ANC ∆的面积等于PMN ∆的面积的2倍，求NCMN 的值．bx x y +=22-=b x x y 2-2=【24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）过点B 作BH ⊥x 轴，垂足为点H , ∵)3,1(B ∴3,1==BH OH∵,90︒=∠BHA ︒=∠45BAO ∴3==BH AH ，4=OA∴)0,4(A （2分）∵抛物线过原点O 、点A 、B ∴设抛物线的表达式为)0(2≠+=a bx ax y⎩⎨⎧=+=+04163b a b a ∴ ⎩⎨⎧=-=41b a （1分）∴抛物的线表达式为x x y 42+-= （1分）（2）∵OB PM //∴BPM OBA ∠=∠ 又∵AOB BMP ∠=∠∴BPM ∆∽ABO ∆ ∴OAB MBP ∠=∠ ∴OA BM //∴设)3,(x M ∵M 在抛物线x x y 42+-=上 ∴ )3,3(M （2分）∵直线OB 经过点)0,0(O 、)3,1(B ∴ 直线OB 的表达式为x y 3=第24题图∵OB PM //且直线PM 过点)3,3(M ∴ 直线PM 的表达式为63-=x y∵直线AB 经过点)0,4(A 、)3,1(B ∴ 直线AB 的表达式为4+-=x y（2）延长MP 交x 轴于点D ，作MN PG ⊥，垂足为点G ∴AD PG // ∴MDC MPG ∠=∠，︒=∠=∠45BAO GPN ∵BO PM// ∴BOA MDC ∠=∠ ∴BOA MPG ∠=∠ 设t PG =，则t MG 3= ∵︒=∠90PGN ，︒=∠45GPN【2019届一模金山】24．已知抛物线c bx x y ++=2经过点()6,0A ，点()3,1B ，直线1l ：()0≠=k kx y ，直线2l ：2--=x y ，直线1l 经过抛物线c bx x y ++=2的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E .若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为M ），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为N ）．（1）求抛物线c bx x y ++=2的解析式．（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由．（3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当MHF ∆与OAB ∆相似时，求点F 、H 的坐标（直接写出结果）．【24.解：（1）把点()6,0A 、()3,1B 代入c bx x y ++=2得631=⎧⎨=++⎩cb c，（2分）解得，46=-⎧⎨=⎩b c ，（1分） ∴抛物线的解析式为642+-=x x y .（1分）（2）由642+-=x x y 得()222+-=x y ，∴顶点P 的坐标为()2,2P ，（1分）把()2,2P 代入1l 得k 22=解得1=k ，∴直线1l 解析式为x y =，设点()m M ,2，代入2l 得4-=m ，∴得()42-，M ，设点()4,-n N ，代入1l 得4-=n ，∴得()44--，N ，由于直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E第24题∴易得()0,2-D 、()20.-E ,∴CE OC =，∵点C 在直线x y =上，∴45=∠COE ，∴ 45=∠OEC ，904545180=--=∠OCE 即2l NC ⊥，（1分）∴以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 相离. （1分）（3）点H 、F 的坐标分别为()8,8F 、()10,10--H 或()8,8F 、()3,3H 或()5,5--F 、()10,10--H .(对1个得2分，对2个得3分，对,3个得4分)】【2019届一模闵行】24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y a x b x =+经过点A （5，0）、B （-3，4），抛物线的对称轴与x 轴相交于点D ．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB 、BD ．求∠BDO 的余切值；（3）如果点P 在线段BO 的延长线上，且∠P AO =∠BAO ，求点P 的坐标．xyO【24．解：（1）∵ 抛物线2y a x b x =+经过点A （5，0）、B （-3，4），∴ 2550,93 4.a b a b +=⎧⎨-=⎩……………………………………………………（2分）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ．（3）设点P （m ，n ）．过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为点Q ．则 PQ = -n ，OQ = m ，AQ = 5 – m ．即得 25m n -=． ①………………………………………………（1分）由 BC ⊥x 轴，PQ ⊥x 轴，得 ∠BCO =∠PQA = 90°． ∴ BC // PQ ．【2019届一模虹口】24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点B （4，0），点A （3，m ）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan ∠OAB 的值；（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果∠BAD =45°，求点D 的坐标．OAy第24题图xB【24．解：（1）把O （0，0）和B （4，0）代入2y x bx c =-++ 0;0164.c b c =⎧⎨=-++⎩ 解得4;0.b c =⎧⎨=⎩ …………………………………………（2分）∴抛物线的表达式为24y x x =-+ …………………………………………（1分） ∴对称轴为直线x =2………………………………………………………………（1分）（2）∵点A （3，m ）在抛物线上 ∴m =3∴点A （3，3）………………………………………………………………………（1分）过点A 作AP ⊥x 轴，垂足为点P过点B 作BQ ⊥AO ，垂足为点Q∵OP =AP ∴∠AOB =45°（3）设射线AD 交x 轴于点E ，可得∠BAD =∠AOB =45°∵∠ABO =∠EBA∴△ABO ∽△EBA ……………………………………………………………………（1分）设l AE：y=kx+b’（k≠0）∴l AE：y=2x-3………………………………………………………………………（1分）把x=2代入，得y=1∴点D（2，1）………………………………………………………………………（1分）】。

杨浦一模2024数学初三24题

杨浦一模2024数学初三24题24题：小明在运动会比赛中跑步，他以不同的速度跑了两段路程，第一段路程以较慢的速度2m/s跑了10秒，第二段路程以较快的速度3m/s跑了15秒。

求小明在比赛中整个过程中跑了多少米。

解题思路：
要求小明整个过程中跑了多少米，需要将小明第一段和第二段路程的米数相加。

第一段路程的速度是2m/s，跑了10秒，那么小明在这段时间内跑的米数是 2 × 10 = 20 米。

第二段路程的速度是3m/s，跑了15秒，那么小明在这段时间内跑的米数是 3 × 15 = 45 米。

将第一段和第二段的米数相加，即 20 + 45 = 65 米。

因此，小明在比赛中整个过程中跑了 65 米。

答案：小明在比赛中整个过程中跑了 65 米。

初三一模数学第24题第二小题的思考方法

初三一模数学第24题第二小题的思考方法摘要：1.问题背景及重要性2.解题思路分析a.题目分析b.解题方法c.解题步骤3.解题过程中的易错点与对策4.总结与建议正文：【提纲】1.问题背景及重要性初三一模数学第24题第二小题是一道极具代表性的题目，它考查了学生的逻辑思维能力、运算能力和解决问题的能力。

这道题目在历年中考中频繁出现，因此掌握其解题方法至关重要。

2.解题思路分析a.题目分析本题主要考查了函数图象与几何知识相结合的问题。

题目给出函数关系式，要求求解函数图象与坐标轴的交点坐标，进而求得图象所围成的图形的面积。

b.解题方法解题关键是运用数形结合的思想，将函数图象与几何知识相结合。

首先，根据函数关系式求解交点坐标，然后利用坐标轴分割法计算面积。

c.解题步骤step1：求解函数图象与x轴、y轴的交点坐标。

step2：根据交点坐标计算图象所围成的图形的面积。

3.解题过程中的易错点与对策在解题过程中，学生容易出现的错误有以下几点：（1）求解交点坐标时，对函数关系式的处理不当，导致计算错误。

对策：加强对函数知识的理解和运用，熟练掌握求解交点坐标的方法。

（2）分割法计算面积时，对分割形状的判断不准确，导致计算错误。

对策：加强对几何图形的识别能力，熟练掌握分割法计算面积的方法。

4.总结与建议本题的解题过程要求学生具备扎实的数学基本功，熟练掌握函数、几何知识，并能灵活运用数形结合的思想。

为了提高解题能力，建议学生加强以下几点：（1）深入理解数学基本概念，强化基础知识。

（2）多做类似题目，积累解题经验。

（3）培养自己的逻辑思维能力和运算能力。

2024北京北师大附中初三一模数学

2024北京北师大附中初三一模数学一、选择题（本大题共8小题，共24分）1．（3分）下图中标注的角可以用∠O来表示的是（）A．B．C．D．2．（3分）要使二次根式有意义，则a的值可以为（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣43．（3分）下列说法正确的是（）A．一个有理数的绝对值一定大于它本身B．只有正数的绝对值等于它本身C．负数的绝对值是它的相反数D．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数4．（3分）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（）A．75°B．65°C．55°D．45°5．（3分）学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）如果，那么代数式的值为（）A．3B．C．D．8. （3分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD，B=60°，AD=2，BC=8，点P从点B出发沿折线BA−AD−DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC−CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是()A. B.C. D.二、填空题(共24分)9．（3分）)若分式2a+1有意义，则a的取值范围是_____．10．（3分）方程xx−1+21−x=4的解是______．11．（3分）在函数y＝−1x的图象上有两点（﹣3，y1）、（﹣1，y2），则函数值y1，y2的大小关系是___．12．（3分）直线y＝kx（k＜0）与双曲线y＝﹣交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A在第二象限），则2x1y2+3x2y1的值为．13．（3分）Rt△BEF和Rt△DFG是一副三角尺，且BE＝DG，按如图所示的方式恰好放置在矩形ABCD内，点E，G分别在边AD，BC上，点B，D恰好与矩形的顶点重合，则＝________________．14．（3分）生活委员小刚对本班50名学生所穿校服尺码的数据统计如下：尺码 S M L XL XXL XXXL 频率0.050.10.20.3250.30.025则该班学生所穿校服尺码为“XXL ”的人数个．15．（3分）如图，正六边形ABCDEF 中，G ，H 分别是边AF 和DE 上的点AB ＝2，∠GCH ＝60°____________．16．（3分）2022年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过120元．元旦节期间，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出120件，则徽章和风铃销售总额的最大值是____________元．三、解答题（共8题）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

上海2020年初三数学各区一模24题(二次函数)汇编(含答案)

一、角相等和线段相等类型（5）（闵行区2019学年一模24）（本题共3题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线x = -2的抛物线经过点C （0，2），与x 轴交于A （-3，0）、B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC ，求∠BCO 的余切值；（3）如果过点C 的直线，交x 轴于点E ，交抛物线于点P ，且∠CEO =∠BCO ，求点P 的坐标．24．解：（1）设抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠．由题意得：229302ba abc c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩………………………………………………（1分）解得：23a =，83b =．……………………………………………………（2分）∴这条抛物线的表达式为228233y x x =++．……………………………（1分）注：用对称性求解析式酌情给分．（2）令y = 0，那么2282033x x ++=，解得13x =-，21x =-．………………………………………………………（1分） ∵点A 的坐标是（-3，0）∴点B 的坐标是（-1，0）．…………………（1分） ∵C （0，2）∴1OB =，2OC =．…………………………………………（1分）在Rt △ OBC 中，∠BOC =90º，∴cot 2OCBCO OB∠==．………………………………………………………（1分）（3）设点E 的坐标是（x ，0），得OE =x ．∵CEO BCO ∠=∠， ∴cot cot CEO BCO ∠=∠．在Rt△ EOC 中，∴cot 22xOE CEO OC ∠===． ∴x =4，∴点E 坐标是（4，0）或（-4，0）．………………………（1分） ∵点C 坐标是（0，2）， ∴11:2=222CE l y x y x =+-+或．……………………………………………（1分） ∴212228233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，或212228233y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得13438x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去），或194358x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去）；∴点P 坐标是（134-，38）或（194-，358）．………………………（2分）（静安区2019学年一模24）（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分,第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知二次函数c bx ax y ++=2（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果2:3:=∆∆BCD ABD S S ，求tan△DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．24．解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入）（02≠++=a c bx ax y 得，⎪⎩⎪⎨⎧++=--+=-+=cb a b a 003,4390,30…………………………………………………………………………………（3分）解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.3,4,1c b a ∴此抛物线的表达式是342-+-=x x y ．…………………………………（1分）（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则23:)21(:)21(：：==⋅⋅=∆∆DC AD h DC h AD S S BCD ABD （1分）又∵DH //y 轴，∴52===OA DH AC DC OC CH ．∴56352=⨯==DH CH ．………………………（1分） ∴54562=-=-=CH BC BH ．…………………………………………………………………（1分）∴tan△DBC=23=BH DH ．……………………………………………………………………………（1分）（3）方法一：∵1)2(3422+--=-+-=x x x y ，所以对称轴为直线x =2，设直线x =2与x 轴交于点G ．（1分）过点A 作AF 垂直于直线x =2，垂足为F ．∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴△OAC=△OCA=45°．∵AF //x 轴，∴△F AC=△OCA=45°． ∵AC 平分∠BAE ，∴△BAC=△EAC∵△BAO=△OAC -△BAC ，△EAF=△F AC -△EAC ，∴△BAO=△EAF ………………………（1分） ∵∠AOB =∠AFE =90°，∴△OAB ∽△FEA ，∴31==AF EF OA OB ．∵AF =2，∴32=EF ．…………………………………………………………………………………（1分） ∴EG =GF -EF =AO -EF =3-32=37． ∴E （2，37-）．……………………………………………（1分）方法二：延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ， ∵OA =OC =3，∴△OAC=△OCA=45°，∵△OAB=△OAC -△BAC=45°-△BAC ，△OF A=△OCA -△F AC=45°-△F AC ，∵△BAC =△F AC ，∴△OAB=△OF A ．………………………………………………………………（1分） ∴△OAB ∽△OF A ，∴31==OF OA OA OB ．∴OF =9，即F （9，0）…………………………………（1分）设直线AF 的解析式为y =kx +b （k ≠0），可得⎩⎨⎧=-+=,3,90b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,3,31b k ∴直线AF 的解析式为331-=x y ……………………………（1分）将x =2代入直线AF 的解析式得37-=y ，∴E （2，37-）……………………………………（1分）（浦东区2019学年一模24）（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为 A （−1,0）、B （3,0），与y 轴相交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正切值；（3）点P 在抛物线上且∠P AB =∠ACB ，求点P 的坐标．24．解：（1）把A （−1,0）、B （3,0）分别代入得{10,930b c b c --+=-++=．…………………………………………………………（2分）解得b =2，c =3． …………………………………………………………（1分） ∴抛物线的表达式是223y x x =-++． ………………………………（1分）（2）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵抛物线223y x x =-++与y 轴相交于点C ,∴C （0, 3）．……………（1分） ∵B （3,0）、A （−1,0）、C （0, 3），∴OC =OB =3， AB =4．在Rt △BOC 中，BC=ABC =45°．在Rt △HAB 中， ∵sin AHABH AB∠=，AB =4，∴AH BH == ……………………（1分）∵BC =CH =． ……………………………………………（1分） ∴tan 2AHACB CH∠==． ……………………………………………（1分）（3）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ．设P （x ，-x 2+2x +3），则PM =223x x -++，AM ＝x ＋１．∵∠P AB=∠ACB ，tan 2ACB ∠=，∴tan 2PAB ∠=． ……………（1分）（i ）P 在x 轴上方时，-x 2+2x +3=2(x +1) .解得：x 1=1，x 2= -1（舍）. …………………………………………（1分）（ii ）P 在x 轴下方时，-（-x 2+2x +3）=2(x +1) .解得：x 1=5，x 2= -1（舍）. …………………………………………（1分）2y x bx c =-++∴P 的坐标为（1，４）或（5，-12）. ………………………………（1分）（杨浦区2019学年一模24）（本题满分12分，每小题各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx =-+(0)m ≠与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB=6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y 轴上取点E 02（，），点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果=10OEFB S 四边形，求点F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.24．解：（1）抛物线对称轴212mxm... ................................................................. （1分）∵AB =6，∴抛物线与x 轴的交点A 为(20)，，B (40)，.................................................. （1分） ∴4440m m （或16840m m ）.. ................................................................ （1分）∴12m.∴抛物线的表达式为2142yx x . ..................................................... （1分）（2）设点F 21(4)2x x x ，. ...................................................................................... （1分） ∵点E 02-（，），点B 4（，0），∴OE = 2，OB = 4. ∵=+10OEF OBF OEFB S S S ∆∆=四边形， ∴211124(4)10222x x x ⨯⨯+⨯⨯-++=.. .................... （1分）∴12x =或，∴点F 912（，）、24（，）.. ............................................................................... （2分）（3）∵=+10OBE BEF OEFB S S S ∆∆=四边形，又1142422OBE S OB OE ∆=⋅=⨯⨯=，∴6BEF S ∆=.过F 作FH BE ⊥，垂足为点H .∵162BEF S BE FH ∆=⋅=，又BE =FH =............................... （1分）又BF ==BH ∴在Rt BFH ∆中，tan ∠EBF=3584FH BH ==.................................................................. （1分）设直线PF 与y 轴的交点为M ，则∠PMO=∠EBF ，过F 作FG x ⊥轴，垂足为点G.∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG . ∴tan ∠PFG=tan ∠EBF ................................................ （1分） ∴tan ∠PFG=34PG FG =. 又FG =4，∴PG =3.∴点P 的坐标10（-，）. .......................................................................................................... （1分）（普陀区2019学年一模24）（本题满分12分）在平面直角坐标系中（如图12），已知抛物线28()3y ax a x c =+++(0)a ≠经过点A()3,2--，与y 轴交于点B ()0,2-，抛物线的顶点为点C ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）点E 是x 轴正半轴上的一点，如果AED BCD ∠=∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是位于y 轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE 是以AE 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标．xOy24．解：（1）由抛物线28()3y ax a x c =+++经过点A ()3,2--和点B ()0,2-，得2,893() 2.3c a a c =-⎧⎪⎨-++=-⎪⎩ 解得4,32.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ··············································· （2分） △抛物线的表达式是24423y x x =+-． ············································· （1分）点C 的坐标是3(,5)2--． ··································································· （1分）（2）联结AB 交CD 于点F ，过点A 作AH OD ⊥，H 为垂足．△A ()3,2--，B ()0,2-，△3AB =．由对称性可得 32BF =． ····································································· （1分） △5CD =，△3CF =．在Rt △BCF 中，1tan 2BF BCF CF ∠==． ················································ （1分）在Rt △AEH 中，tan AHAEH EH∠=，△AED BCD ∠=∠， △12AH EH =．△4EH =． ····································································· （1分） △3OH =，△1OE =．△点E 的坐标是()1,0． ······································································· （1分）（3）△△PAE 是以AE 为直角边的直角三角形， △90PAE ∠=︒或90PEA ∠=︒．设点P 点的坐标为24(,42)3m m m +-． ①当90PAE ∠=︒时，点P 只能在AE 的下方．过点P 作PG AH ⊥，G 为垂足．△3PG m =+，2443AG m m =--．△GAE AHE AEH ∠=∠+∠，GAE PAE PAG ∠=∠+∠，△PAG AEH ∠=∠．△tan tan PAG AEH ∠=∠．△PG AH AG EH =．△2314243m m m +=--． ···················································· （1分）解得3m =-，32m =-．△3m =-不合题意舍去，△32m =-．△点P 的坐标是3(,5)2--． ······························································· （1分）②当90PEA ∠=︒时．同理可得点P的坐标是913(42--．··································· （2分）二、相似三角形类型（2）（长宁区2019学年一模24）（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线n mx x y ++=231经过点)1,6(B 、)0,5(C ，且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作OA PQ ⊥，交线段OA 的延长线于点Q ，如果︒=∠45PAB ，求证：PQA Δ∽ACB Δ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F '恰好在上述抛物线上，求F F '的长．24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）∵抛物线n mx x y ++=231过点)1,6(B 、 )0,5(C ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=++⨯055311663122n m n m ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=538n m （2分） ∴538312+-=x x y （1分）令0=x 得5=y ，∴点A 的坐标为)5,0( （1分）（2）∵)5,0(A ，)1,6(B ，)0,5(C ∴25=AC ，2=BC ，132=AB∴222BC AC AB += ∴︒=∠90ACB又∵OA PQ ⊥ ∴︒=∠90PQA ∴ACB PQA ∠=∠ （1分） ∵)5,0(A ，)0,5(C ∴OC OA =，∵︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC （1分） ∵︒=∠+∠+∠+∠180CAO BAC PAB QAP ， ︒=∠45PAB∴︒=∠+∠90BAC QAP ∵︒=∠+∠90BAC ABC ∴ABC QAP ∠=∠ （1分）∴PQA Δ∽ACB Δ （1分）（3）设点B '是点B 关于直线AC 的对称点，则2=='BC C B ，︒=∠='∠90ACB B AC过点B 作x B ⊥'G 轴，垂足为点G ∵︒=∠+'∠90OCA CO B ， ︒=∠45OC A ，∴︒='∠45CO B ∴1=='GC G B ∴），（1-4B ' （1分）∵点F '同时在线段B A '与抛物线上，∴设)53831,(F 2+-'x x x 分别过点F '，B '作轴y H F ⊥'，轴y H ⊥''B ，垂足分别为H 、H '，则H B H//F '''∴H A AH H B H F B A F A '='''='' 即6313842x x x -= ∴27=x （1分）又∵AC F F ⊥'，AC B B ⊥' ∴B //B F F '' ∴ B B F F B A F A ''='' ∴ 87427=='''=''H B H F B B F F （1分） ∵222==BC BB ∴8722='F F ∴247='F F （1分）（崇明区2019学年一模24）（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题4分）如图，抛物线与x 轴相交于点(3,0)A -、点(1,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，点D 是抛物线上一动点，联结OD 交线段AC 于点E ．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求ACB ∠的正切值；（3）当AOE △与ABC △相似时，求点D 的坐标．24、（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠∵抛物线2y ax bx c =++过点(3,0)A -、(1,0)B 、(0,3)C ∴93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩…………………………………………………………1分解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩……………………………………………………………1分∴这条抛物线的解析式为223y x x =--+ ………………………1分顶点坐标为(1,4)- …………………………………1分（2）解：过点B 作BH AC ⊥，垂足为H∵90AOC =︒∠，3OA OC ==∴45OAC OCA ==︒∠∠，AC = ……………………………………1分∵90BHA =︒∠ ∴90HAB HBA +=︒∠∠ ∴45HAB HBA ==︒∠∠∵在Rt AHB △中，222AH BH AB +=，4AB =∴AH BH == ……………………………………………………………1分∴CH == ……………………………………………………1分∵90BHC =︒∠ ∴2BH tan ACB CH ===∠ …………………1分（3）解：过点D 作DK x ⊥轴，垂足为K设2(,23)D x x x --+，则(,0)K x ，并由题意可得点D 在第二象限∴223DK x x =--+，OK x =-∵BAC ∠是公共角 ∴当AOE △与ABC △相似时存在以下两种可能1° AOD ABC =∠∠∴3tan AOD tan ABC ==∠∠∴2233x x x--+=- 解得1x =，2x =1分∴D ……………………………………………………1分 2° AOD ACB =∠∠∴2tan AOD tan ACB ==∠∠∴2232x x x--+=- 解得1x =2x =1分∴(D …………………………………………………………1分综上所述：当AOE △与ABC △相似时，点D 的坐标为 13()22或(．三、与圆结合类型（1）（宝山区2019学年一模24）（本题共12分，每小题各4分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数)1(2-+=x x a y 的图像交于点),1(a A 和点),1(a B --．（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，求a 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图像的顶点为Q ，当Q 在以AB 为直径的圆上时，求a 的值．24. (1)△设直线AB ：)0(≠+=k b kx y 交y 轴于（b ,0） …………………1分将点A （1，a ）代入有：b k a +=将点B （﹣1，﹣a ）代入有：b k a +-=-△0=b ，直线AB 与y 轴的交于坐标原点．………………………………3分（2）经过点A （1，a ）的反比例函数为xa y = …………………1分 △要使反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，△由反比例函数的性质a ＜0． …………………1分△二次函数)1(2-+=x x a y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=45)21(2x a y ， △它的对称轴为：直线21-=x ． …………………1分在a ＜0的情况下，x 必须在对称轴的左边，即21- x 时，才能使得y 随着x 的增大而增大． …………………1分 △综上所述，a ＜0且21- x ．（2）由（2）得二次函数图像的顶点Q （45,21a -），…………………1分由（1）得坐标原点交点O （0,0）是线段AB 的中点．以AB 为直径的圆的圆心为 O （0,0）， …………………1分当Q 在以AB 为直径的圆上时有OQ=OA221162541a a +=+ …………………………………1分解得：332±=a …………………………………1分 △当332±=a 时，二次函数图像的顶点Q 在以AB 为直径的圆上．四、平移类型（3）（奉贤区2019学年一模24）（本题满分12分，每小题满分4分）如图10，在平面直角坐标系中，抛物线2yx bx c 经过点A (2，-3)和点B (5，0)，顶点为C ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C 的坐标；（2）点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ，联结OD 、BD ，求∠ODB 的正切值；（3）将抛物线2y x bx c 向上平移t （t >0）个单位，使顶点C 落在点E 处，点B 落在点F 处，如果BE=BF ，求t 的值．24．解：（1）由题意得，抛物线2yx bx c 经过点A (2，-3)和点B (5，0)，代入得423,2550.b cb c 解得 6,5.b c ·············································· （2分）xOy∴抛物线的表达式是265y x x =-+. ····················································· （1分）它的顶点C 的坐标是（3，-4）. ······························································ （1分）（2）∵点A （2，-3）关于抛物线对称轴的对应点为点D ，∴点D 的坐标是(4，-3) . ······································································· （1分）∴OD =OB =5，∴ODB OBD ∠=∠ . ························································· （1分）过点D 作DH OB ，垂足为点H ，在Rt △DHB 中，90DHB，DH =3，BH =1， ∴tan 3DH OBD BH∠==． ········································································· （1分） ∴tan 3ODB ∠=，即∠ODB 的正切值是3． ················································ （1分）（3）由题意得，当 BE=BF 时，点E 在x 轴下方，由平移可知，CE =BF =t ，∴BE t =. ························································· （1分）设对称轴与x 轴的交点为Q ，则CQ =4，BQ =2. ··········································· （1分）在Rt △BEQ 中，90BEQ，222EQ BQ BE ， ∴222(4)2t t ，解得52t . ····························································· （2分）即当BE=BF ， t 的值是52．（青浦区2019学年一模24）（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x =2，点A 的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），联结PC ．当∠PCB=∠ACB 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y 轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D ，点P 的对应点为点Q ，当OD ⊥DQ 时，求抛物线平移的距离．24．解：（1）∵A 的坐标为（1，0），对称轴为直线x =2，∴点B 的坐标为（3，0） ·· （1分）将A （1，0）、B （3，0）代入2+=+y x bx c ，得 10930.，++=⎧⎨++=⎩b c b c 解得：43.，=-⎧⎨=⎩b c ··········································· （2分）所以，243=-+y x x ．当x =2时，2242+3=1=-⨯-y∴顶点坐标为（2，-1） ····························································· （1分）．（2）过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N ．过点C 作CM ⊥PN ，交NP 的延长线于点M ．∵∠CON =90°，∴四边形CONM 为矩形．∴∠CMN =90°，CO = MN ．∵243=-+y x x ，∴点C 的坐标为（0，3） ······································· （1分）．∵B （3，0），∴OB =OC ．∵∠COB =90°，∴∠OCB =∠BCM = 45°， ·········· （1分）．又∵∠ACB =∠PCB ，∴∠OCB -∠ACB =∠BCM -∠PCB ，即∠OCA =∠PCM ．（1分）．∴tan ∠OCA= tan ∠PCM ．∴13=PM MC．设PM =a ，则MC =3a ，PN =3-a ．∴P （3a ，3-a ）． ······································································· （1分）将P （3a ，3-a ）代入243=-+y x x ，得()231233-+=-a a a ．解得111=9a ，2=0a （舍）．∴P （113，169）． ······································ （1分）（3）设抛物线平移的距离为m ．得()221=---y x m ，∴D 的坐标为（2，1--m ）． ······························································· （1分）过点D 作直线EF ∥x 轴，交y 轴于点E ，交PQ 的延长线于点F ．∵∠OED =∠QFD =∠ODQ =90°，∴∠EOD+∠ODE = 90°，∠ODE+∠QDF = 90°，∴∠EOD =∠QDF ， ······································································· （1分）∴tan ∠EOD = tan ∠QDF ．∴=DE QF OE DF ．∴1612911123-++=+-m m m ．解得15=m ．所以，抛物线平移的距离为15． ··········································· （1分）（徐汇区2019学年一模24）（本题满分12分）如图，将抛物线4342+-=x y 平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，4tan =B ，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D ．（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结AC 、DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线4342+-=x y 沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当DEF ∆和ABC ∆相似时，请直接写出平移后所得抛物线的表达式．24．解：（1）由题意，设新抛物线的表达式为4342++-=bx x y ． ∵抛物线4342+-=x y 的顶点为C ，∴)4,0(C ，4=OC ；在BOC Rt ∆中，︒=∠90BOC ， ∴4tan ==OBOC B ，得1=OB ；∴)0,1(B ；由题意，得0434=++-b ，解得38-=b ； ∴新抛物线的表达式为438342+--=x x y ；∴)316,1(-D ．（2）由题意，可得)0,3(-A ；过点D 作OC DM ⊥，垂足为M ．∴)316,0(M ； ∴4,3,34,1====CO AO CM DM ；∴43==CO AO CM DM ；又︒=∠=∠90AOC DMC ，∴DMC ∆∽AOC ∆，∴ACO DCM ∠=∠；∵CE 平分DCA ∠，∴ACE DCE ∠=∠；∴︒=∠+∠180)(2DCE DCM ；∴AOC MCE ∠=︒=∠90；∴AO CE //；∴点E 与点C 关于直线1-=x 对称；∴)4,2(-E ．（3）有两种情况满足要求，平移后所得抛物线的表达式为：4)32(342++-=x y 或4)121(342+--=x y ．五、新定义题型（3）（虹口区2019学年一模24）（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）如图12，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，3），点P在抛物线的对称轴上，且纵坐标为（1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”． ①点D 在射线AP 上，如果∠DAB 为△ABD 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，CE ⊥EF ，如果∠CEF 为△ECF 的特征角，求点E 的坐标．24．解：（1） ∵过A (－1， 0)，C (0，3)∴0=1;3.b c c --+⎧⎨=⎩ 解得：=2;3.b c ⎧⎨=⎩……………………………………………（2分）∴………………………………………………………………（1分）对称轴为直线x =1∵点P 在对称轴上，且纵坐标为，∴点P 的坐标为（1，）……………………………………………………（1分）（2）设直线x=1交x 轴于点Q∵A (－1，0)，P （1，）∴AQ =2 PQ = ∴tan PAQ ∠=∴△P AQ =60° 即∠DAB=60°……………………………………………………（1分）∵点D 在射线AP 上，且∠DAB 为△ABD 的特征角， c bx x y ++-=2322++-=x x y 32323232∴∠ABD =30°或∠ADB =30°，…………………………………………………（1分）∴点D 的坐标为（0，）或（3，）…………………………………（2分）（3）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，过点C作CH ⊥GE 的延长线于点H .∵CE ⊥EF 且△CEF 为△ECF 的特征角，∴∠ECF =△CFE =45°……………………………………………………………（1分）∴CE =EF在Rt △CHE 中，∠HCE+∠CEH =90°∵∠CEH +∠FEG =90°∴∠HCE =∠FEG∵∠H =∠EGF =90°∴△CHE ≌△EGF∴CH =EG …………………………………………………………………………（1分）∵点E 为第一象限内抛物线上一点 ∴设E （a ，223a a -++）∴ ……………………………………………………………（1分）解得（舍负） ∴E ………………………………………………………………（1分）（黄浦区2019学年一模24）（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是225y x x =-+，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是25y x =-+，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．3223a a a =-++12a =24．（本题满分12分）（1）由题意，可知原抛物线顶点是(1,4)．………………………………………………（1分）设影子抛物线表达式是2y x n =+，………………………………………………（1分）将(1,4)代入2y x n =+，解得3n =．………………………………………………（1分）所以“影子抛物线”的表达式是23y x =+．………………………………………（1分）（2）设原抛物线表达式是2()y x m k =-++，则原抛物线顶点是(,)m k -．将(,)m k -代入25y x =-+，得2()5m k --+=① ………………………………（1分）将（1，0）代入2()y x m k =-++，20(1)m k =-++②…………………………（1分）由①、②解得 1114m k =⎧⎨=⎩，2221m k =-⎧⎨=⎩．所以，原抛物线表达式是2(1)4y x =-++或2(2)1y x =--+．…………………（2分）（3）结论成立．……………………………………………………………………（1分）设影子抛物线表达式是2y ax n =+．原抛物线于y 轴交点坐标为(0,)c则两条原抛物线可表示为211y ax b x c =++与抛物线222y ax b x c =++（其中a 、1b 、2b 、c 是常数，且0a ≠，12b b ≠）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是21114(,)24b ac b P a a --、22224(,)24b ac b P a a-- 将1P 、2P 分别代入2y ax n =+，得221122224()244()24b ac b a n a a b ac b a n a a ⎧--+=⎪⎪⎨-⎪-+=⎪⎩…………………………………………………………（1分）消去n 得2212b b =．………………………………………………………………………（1分）∵12b b ≠，∴12b b =- ∴22214(,)24b ac b P a a -，22224(,)24b ac b P a a--， ………………………………………（1分） ∴1P 、2P 关于y 轴对称．（嘉定区2019学年一模24）（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，将点)(1a b a P -，定义为点)(b a P ，的“关联点”.已知：点)(y x A ，在函数2x y =的图像上（如图9所示），点A 的“关联点”是点1A .（1）请在图9的基础上画出函数22-=x y 的图像，简要说明画图方法；（2）如果点1A 在函数22-=x y 的图像上，求点1A 的坐标；（3）将点),(2na b a P -称为点)(b a P ，的“待定关联点”（其中，0≠n ）.如果点)(y x A ，的“待定关联点”2A 在函数n x y -=2的图像上，试用含n 的代数式表示点2A 的坐标.24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）图像基本正确（开口方向、对称轴、顶点、大致光滑） ·························· 2分将图9中的抛物线2x y =向下平移2个单位长，可得抛物线22-=x y ·············· 2分备注：如果使用“列表、描点、连线”的方式叙述，需要呈现列表使用的表格.（2）由题意，得点),(y x A 的“关联点”为),(1x y x A -······································· 1分由点),(y x A 在抛物线2x y =上，可得),(2x x A ，),(21x x x A - ··························· 1分又∵),(1x y x A -在抛物线22-=x y 上，∴222-=-x x x ··································· 1分解得2=x .将2=x 代入),(21x x x A -，得)2,2(1A ·········································· 1分（3）点),(y x A 的“待定关联点”为),(22nx x x A -， ············································ 1分∵),(22nx x x A -在抛物线n x y -=2的图像上，∴n x nx x -=-22. ····················· 1分∴0=-nx n ,0)1(=-x n .又∵0≠n ，∴1=x . ·············································· 1分当1=x 时，n nx x -=-12，故可得)11(2n A -，. ············································· 1分六、特殊三角形类型（1）（松江区2019学年一模24）（本题满分12分,第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A (3,0)，点B （0,3）.点M （m ，0）在线段OA 上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当∠BOP =∠PBQ 时，求PQ 的长度；（3）当△PBQ 为等腰三角形时，求m 的值.24.解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A (3,0)，点B （0,3）.。

2023年北京市初三一模数学试题汇编：圆解答题(第24题)

2023北京初三一模数学汇编圆解答题（第24题）一、解答题1.（2023·北京西城·统考一模）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ACB ∠的平分线交O 于点D ，过点D 作O 的切线交CB 的延长线于点E. （1）求证：DE ∥AB ；（2）若35sin 5OA A ==，，求线段DE 的长.2.（2023·北京朝阳·统考一模）如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，过点A 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点D ，连接OB. （1）求证：∠B=∠D ；（2）延长BO 交⊙O 于点E ，连接AE ，CE ，若AD=sinB=5，求CE 的长．3.（2023·北京海淀·统考一模）如图，AB 为☉O 的直径，C 为☉O 上一点，D 为BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E .（1）求证：直线DE 为☉O 的切线；（2）延长AB ，ED 交于点F . 若BF =2，sin ∠AFE =13，求AC 的长.4．（2023·北京房山·统考一模）如图，△ABC 中，AB = AC ，以BC 为直径作⊙O ，与边AC 交于点D，过点AD 的⊙O 的切线交BC 的延长线于点E . （1）求证：∠BAC = 2∠DBC ；（2）若cos ∠BAC =53，DE = 4，求BE 的长.5.（2023·北京丰台·统考一模）如图，AB 是⊙O 的直径，AD ，BC 是⊙O 的两条弦，∠ABC = 2∠A ，过点D 作⊙O 的切线交CB 的延长线于点E . （1）求证：CE ⊥DE ；（2）若tan A = 31，BE = 1，求CB 的长.6．（2023·北京门头沟·统考一模）如图，AB 是O e 的直径，点D 在O e 上，连接AD 并延长到C ，使AC AB =，连接BC 交O e 于E 、过点B 作O e 的切线交OE 的延长线于点F ．（1）求证：OE AC ∥；（2）如果10AB =，6AD =，求EF 的长．7．（2023·北京顺义·统考一模）如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，点C 在⊙O 上，CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，且CE =CF ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；B（2）若CF =1，∠BAF=60°，求BE 的长．8．（2023·北京通州·统考一模）如图，ABC △是圆内接三角形，过圆心O 作OE AC ⊥，连接,OA OC ，过点C 作CD AO ∥，交BA 的延长线于点D ，45COF ∠=︒．（1）求证：DC 是O 的切线；（2）如果8BC CE ⋅=，求O 半径的长度．9.（2023·北京延庆·统考一模）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥OC ，且∠ADO ＝∠BOC ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若tan ∠BAC =21，AD ＝3，求⊙O 的半径．10．（2023·北京燕山·统考一模）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点D 为BC ︵的中点，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，交 AC 的延长线于点E ． (1) 求证：DE 是⊙O 的切线；O DCBA(2) 延长ED交AB的延长线于点F，若BF＝2，DF＝4，求⊙O的半径和DE的长．图1图2参考答案1．（1）证明：连接OD ，如图1．∵ DE 是⊙O 的切线，切点是D ，∴ OD ⊥DE ． ∴ ∠ODE ＝90°． ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°．∵ ∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， ∴ ∠ACD ＝∠BCD ＝45°． ∴ ∠AOD ＝90°． ∴ ∠AOD ＝∠ODE ．∴ DE ∥AB ． ··········································································· 3分（2）解：作BH ⊥DE 于H ，如图2．∴ ∠BHD ＝∠BHE ＝90°． ∵ OD ⊥DE ，∠AOD ＝90°， ∴ ∠BOD ＝∠ODH ＝90°． ∴ 四边形OBHD 是矩形．∵ OA ＝OB ＝OD ＝5， ∴ 四边形OBHD 是正方形．∴ BH ＝OD ＝DH ＝5． ∵ 在Rt △BHE 中，sin A =35， ∴ tan A =34．∵ ∠ACB =90°，∴ ∠A ＋∠ABC ＝90°． ∵ ∠EBH ＋∠ABC ＝90°， ∴ ∠A ＝∠EBH ． ∴ tan ∠EBH ＝tan A ＝34．∴ HE ＝BH ∙tan ∠EBH ＝354 ＝154．∴ DE ＝HE ＋DH ＝354． ····························································· 6分 2. （1）证明：如图，连接OA.∵AD 为⊙O 的切线， ∴∠OAD =90°. ∴∠CAD +∠OAB =90°.∵OC ⊥AB ， ∴∠ACD =90°. ∴∠CAD +∠D =90°. ∴∠OAB =∠D . ∵OA =OB ， ∴∠OAB =∠B . ∴∠B =∠D .（2）解：在Rt △ACD 中，AD=，，可得sin 2AC AD D =⋅=. ∴AB =2AC =4.根据勾股定理，得CD =4. ∴tanB=tanD=12. ∵BE 为⊙O 的直径， ∴∠EAB =90°.在Rt △ABE 中,tan 2AE AB B =⋅=.在Rt △ACE 中，根据勾股定理，得CE=3．（本题满分6分）（1）证明：连接OD ，AD.∵ 点D 是BC 的中点， ∴ BD CD =.∴ ∠BAD ＝∠CAD. ………………………………………………………1分 ∵ OA ＝OD ， ∴ ∠OAD ＝∠ODA. ∴ ∠CAD ＝∠ODA.∴ OD ∥AC. ………………………………………………………………2分 ∵ DE ⊥AC ， ∴ ∠E ＝90°，∴ ∠ODE ＝180°−∠E ＝90°. ∵ 点D 为⊙O 上一点，∴ 直线DE 是⊙O 的切线. ………………………………………………3分（2）解：连接BC.设OA ＝OB ＝OD ＝r. ∵ BF ＝2，∴ OF ＝OB ＋BF ＝r ＋2. 在△ODF 中，∠ODF ＝90°，∴ sin 13AFE OD OF ==∠.FA即123r r =+，解得r ＝1. …………………………………………………4分 ∴ AB ＝2r ＝2.∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°＝∠E. ∴ BC ∥EF . ∴ ∠ABC ＝∠AFE.∴ sin sin 13ABC AFE ∠∠＝＝.∴ sin 23AC AB ABC ⋅∠＝＝. ………………………………………………6分4.（1）证明：连接AO ， …………………1分 ∵AB =AC ，点O 为直径BC 中点，∴AO ⊥BC ，∠BAC =2∠OAC ， ……………………2分 ∴∠OAC +∠ACO =90°， ∵BC 为⊙O 直径，点D 在⊙O 上， ∴∠BDC =90°， ∴∠DBC +∠ACO =90°， ∴∠DBC =∠OAC ，∴∠BAC =2∠DBC ； ……………………3分（2）解：连接OD ， ……………………4分 ∴∠DOE =2∠DBC ，又∵∠BAC =2∠DBC ，∴∠BAC=∠DOE ， ……………………5分∴cos ∠DOE = cos ∠BAC =53，∵DE 切⊙O 于点D ， ∴∠ODE =90°，在Rt △ODE 中， cos ∠DOE =OD OE =53， ∴设OD =3x ，OE =5x ， ∴由勾股定理可得，DE =4x ， ∵DE =4， ∴4x =4，∴x =1，∴OE =5，OD =3，∴OB =OD =3，∴BE =OB +OE =3+5=8. ……………………6分（其它解法酌情给分）5.（1）证明：连接OD .∵DE 是⊙O 的切线， ∴∠ODE=90°……1分∵AO =DO ， ∴∠ODA =∠A ， ∴∠DOB =2∠A =∠ABC ∴DO ∥CE . ……2分∴∠E =180°-∠ODE =90°. ∴C E ⊥DE . ……3分（2）解：连接BD ,CD .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°. ∴∠A+∠ABD=90°.∵OD=OB ，∴∠ODB=∵∠ODE=∠ODB+∠BDE=90°， ∴∠BDE =∠A . ……4分 ∴tan ∠BDE=tan A=31. ∵BE=1，∠E=90°， ∴DE=3.∵∠C =∠A ，∴tan C=tan A=31. ∴CE=9. ……5分 ∴CB=CE -BE=8. ……6分 6．（本小题满分6分）解：（1）证明：∵ AC =AB ，∴∠ABC =∠ACB ．…………………………………………………………………1分 ∵ OB=OE ，∴∠ABC =∠OEB ．…………………………………………………………………2分∴∠ACB =∠OEB ．∴OE ∥AC ． ………………………………………………………………………3分（2）连接BD ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°． ∵BF 是⊙O 的切线，∴∠OBF =90°．……………………………4分 ∵AB =10， ∴OB =OE =5． ∵OE ∥AC ， ∴∠A =∠BOF ．∵∠ADB =∠OBF =90°，∠A =∠BOF ， ∴△ABD ∽△OFB ． ∴AD ABOB OF =，即：6105OF=， ∴OF =253．…………………………………………………………………………5分 ∴E F =2510533−=．…………………………………………………………………6分 7.（1）证明：连接AC 、OC . ∵CE ⊥AB , CF ⊥AD , CE =CF , ∴∠1=∠2. ∵OA =OC , ∴∠1=∠3, ∴∠1=∠3, ∴OC ∥AF .∴∠F+∠OCF=180°. ∵CF ⊥AD, ∴∠F=90°, ∴∠OCF=90°. ∵ OC 为⊙O 的半径,∴CF 是⊙O 的切线. ……………………………………………… 3分C（2）解：连接BC. ∵OC ∥AF , ∴∠BAF =∠BOC . ∵∠BAF=60°, ∴∠BOC=60°. ∵OB =OC ,∴△OCB 为等边三角形, ∴∠B=60°. ∵CF =1, ∴CE =1, ∴BE=°1=tan 603. ………………………………………………… 6分 8.暂缺9．（本小题满分6分）（1）证明：∵ OD ⊥OC ， ∴∠DOC ＝90° ． ∴∠AOD +∠BOC ＝90°． ∵∠ADO ＝∠BOC ， ∴∠AOD +∠ADO ＝90°． ∴∠DAO ＝90°． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°． ∴∠BAC +∠B ＝90°．过点C 作C E ⊥AB 于点E ， ∴∠ECB +∠B ＝90°． ∴∠BAC ＝∠ECB ．∵tan ∠BAC =21，∴tan ∠ECB =21．设BE =a （a ＞0），则CE=2a ，BC=5a ． ∴AC =25a ，AB =5a ． ∴O A =OB =2.5a ．∴OE =1.5a ．∵△ADO ∽△EOC ， ∴ECOE AO AD =．ABE O DCBA………… 3分第11页/共11页 ∴4325.1==a a AO AD ． ∵AD ＝3，∴O A =4．∴⊙O 的半径为4．10．(本题满分6分)(1) 证明：如图，连接OD ，∵点D 为BC ︵的中点，∴∠1＝∠2．∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3，∴OD ∥AE ．∵DE ⊥AE ，∴DE ⊥OD ．又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线． ……………………………………………3分(2) 解：如图，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OB ＝r ，在Rt △ODF 中，∠ODF ＝90°，OD ＝r ，OF ＝r ＋2，DF ＝4，由 2OF ＝2OD ＋2DF ，得 2(2)r +＝2r ＋24，解得 r ＝3，即⊙O 的半径为3，∴OF ＝OB ＋BF ＝5．∵OD ∥AE ， ∴FO FD OA DE=，即543DE=， ∴DE ＝125． ……………………………………………6分…………6分。

初三数学一模复习检测3.24

初三数学一抹复习检测一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,满分60分）1.12-的倒数是（）A ．12-B ．12C ．2-D ．22.下列运算正确的是（）A ．326a a a ⋅=B ．842a a a ÷= C ．3(1)33a a --=- D ．32911()39a a =3.如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．4.一面直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，F ACB ∠=∠，则DBC ∠的度数为（） A ．10°B ．15°C ．18°D ．30°5. 如图，将线段AB 先向右平移 5 个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转 90°，得到线段''A B ，则点B 的对应点'B 的坐标是（） A ．（－4 , 1） B ．（－1, 2） C ．（4，－1） D ．（1，－2）6.如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE =40°，则∠P 的度数为（）A ．140°B ．70°C ．60°D ．40° 7.式子12x x -++有意义的条件是（） A ．0x ≥B ．0x ≤C ．2x ≠-D ．0x ≤且2x ≠-8.当5b c +=时，关于x 的一元二次方程230x bx c +-=的根的情况为（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定9.如图，数轴上点A 表示的数是1，点B 到数轴的距离为1，以点A 为圆心，AB 为半径画弧交数轴于点C ，则点C 所表示的数为（） A ．3-B ．5-C ． 13-D ． 15-10.如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC ，BD 就可以判断，其数学依据是（）A.三个角都是直角的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是平行四边 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 11.如图，在△ABC 中AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD =∠B ，若△ADC的面积为a ，则△ABD 的面积为A ．a 2B ．52aC ．a 3D ． 72a 第3题12. 如图，点A是反比例图数myx=（0x<）象上一点，AC x⊥轴于点C，与反比例函数nyx=（0x<）图象交于点B，2AB BC=，连接OA、OB，若OAB∆的面积为3，则m n+=（）A．4- B．6- C．8- D．12-二、填空题（本大题共8个小题,每小题填对最后结果得5分,满分40分）13. 20202113tan6027()2---︒++-= ．14. 当x=时，分式15x-与分式253x-的值互为相反数．15.已知关于x的方程2230ax x+-=有两个不相等的实数根，则a的最小整数是_______________.16..若一个正多边形的一个外角为60°，边心距为23．则它的外接圆半径为．17.如图，在ABC∆中，90BAC∠=︒，AB AC=，D为BC的中点．若点E，F分别是AB，AC上的点，且BE AF=，则对于结论：①DEF∆是等腰直角三角形；②12ABCAEDFS S∆=四边形；③BE CF AD+=；④EF AD=，其中正确个数是个．18.如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=54，AE=CF=5，则四边形BEDF的周长是____.19.如图，直线()0<+=kbkxy经过点A（3，1），当xbkx31≤+时，x的最小整数解为．20.已知二次函数()20y ax bx c a=++≠的图象如图所示，则下列结论：①a，b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数有个.三、解答题:本大题共4个小题,满分50分.解答时请写出必要的演推过程.21.(本小题满分10分) 先化简：2728(3)33x xxx x-+-÷--，再从04x≤≤选一个适合的整数代入求值．xOy-2-1522. (本小题满分12分) 滨州行知中学为了普及推广校园体育活动，准备购进篮球和足球用于开展体育运动，若购进20个篮球和30个足球共需6500元；若购进40个篮球和10个足球共需5500元．（1）求篮球和足球的单价分别为多少元？（2）若学校欲购进篮球和足球共50个，且足球的数量不少于篮球数量的32，请你设计最省钱的购买方案，并求出篮球的个数个需要的费用.23.(本小题满分14分) 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以斜边AB 上的中线CD 为直径作⊙O ，与AC 、BC 分别交于点M 、N ，与AB 的另一个交点为E ．过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．（1）求证：NF 是⊙O 的切线；（2）若4NF =，2DF =，求弦ED 的长．24.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -与点()3,0B -，与y 轴交于点C . ⑴求抛物线的解析式；⑵Q 在直线BC 上方的抛物线上，是否存在点Q ，使△BCQ 的面积最大，若存在，请求出点Q 坐标.（3）抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P 的坐标；。